Euclides e a geometria

Csar Benjamin

Folha de S. Paulo, 1 de agosto de 2010

Caderno Ilustrssima

Passou despercebida a primeira edio brasileira do livro mais editado no

mundo, depois da Bblia: os Elementos, de Euclides, o tratado cientfico mais

importante da histria.

Quase nada sabemos do autor e das circunstncias que cercaram a

criao da obra no sculo III a.C.. Por isso, e pela impressionante dimenso do

trabalho, alguns j propuseram que Euclides pode ter sido um nome coletivo e

os Elementos, a obra de uma escola. Mas isso no provvel. A maioria dos

estudiosos situa por volta de 295 a. C. o ponto mdio da vida ativa do

gemetra e aceita que ele estudou em Atenas at se transferir para Alexandria.

Alm dos Elementos, autores antigos referem-se a onze livros seus, entre os

quais um Livro das falcias, uma Astronomia e um sobre msica.

Houve outras obras com o mesmo ttulo, que era usado para designar

compilaes de conhecimentos bsicos. Mas elas se perderam, esmagadas

pelo peso do tratado de Euclides. Em sua poca a matemtica helnica j

estava avanada, com uma tradio que remontava a Tales e Pitgoras,

passando por Plato, Aristteles e seus discpulos. Euclides, diz Proclo,

juntou os elementos, ordenando muitos teoremas de Eudoxo, aperfeioando

os de Teeteto e acrescentando demonstraes irrefutveis que s tinham sido

vagamente comprovadas por seus antecessores.

difcil rastrear a trajetria da obra, sujeita por mais de 2 mil anos ao

arbtrio de copistas, tradutores e comentadores, o que gerou diferentes

tradues, tradues de tradues, verses resumidas, interpretaes e

interpolaes. A primeira traduo rabe, feita por al-Hajjj no sculo VIII,

registra no frontispcio que deixou de lado os suprfluos, preencheu as

lacunas, corrigiu ou retirou os erros, at ter melhorado o livro e o tornado mais

exato, e resumiu-o, conforme encontrado na verso atual. Poderamos

multiplicar tais exemplos. Em Lisboa, encontrei em um sebo Los elementos

geomtricos del famoso Euclides Megarense, amplificados de nuevas

demonstraciones por el sargento general de batalla Don Sebastian Fernandez

de Medrano (1646-1705); o bravo general j erra no ttulo, ao confundir o

gemetra com um homnimo, Euclides de Megara.

O livro foi traduzido diversas vezes para o latim e o rabe na Idade

Mdia, e para as mais importantes lnguas vernculas a partir do

Renascimento. At o sculo XIX, todas as edies em grego adotaram como

referncia a de Teon de Alexandria, preparada cerca de setecentos anos depois

da poca de Euclides. Em 1808, porm, Franois Peyrad constatou que um

manuscrito trazido da Itlia por Napoleo era uma verso mais prxima do

original, iniciando pesquisas que culminaram em 1888 com o estabelecimento

da edio de J. L. Heiberg, hoje aceita como a mais fiel. Ela foi o ponto de

partida da traduo que Irineu Bicudo realizou durante dez anos, recm-

publicada pela Editora da Unesp. Um trabalho assim no se faz por dinheiro,

mas por amor. No h como exagerar a sua importncia.

A ausncia de um aparato crtico faz a edio brasileira (um volume,

594 pginas) menor, em tamanho, que outras que a antecederam. A espanhola

(Gredos), por exemplo, tem dois volumes e 772 pginas, enquanto a francesa

(PUF) atinge quatro volumes e 2.024 pginas. Mas, no que essencial,

estamos diante de um trabalho cuidadoso e competente: comparado com as

outras edies, o texto em portugus parece at mesmo mais fiel ao estilo seco

de Euclides.

***

A geometria nasceu no Egito antigo como cincia emprica, um conjunto de

mtodos de mensurao necessrios para reconstituir os limites das

propriedades em seguida s inundaes anuais do Nilo. O gnio grego a

transformou em um sistema dedutivo, gigantesco salto.

Os gregos viram que os conhecimentos geomtricos no poderiam

depender da experincia ou da evidncia sensorial, pois uma e outra nunca nos

permitiriam entrar em contato com pontos, retas e planos, meras abstraes.

Esses conhecimentos dependeriam de demonstraes. Sabiam, porm, que era

impossvel demonstrar tudo, pois isso provocaria uma regresso ao infinito,

com cada afirmao sendo sempre remetida a afirmaes anteriores. Para

evitar isso, era preciso buscar o que Aristteles chamou de primeiros

princpios, que, sendo evidentes, dispensariam as provas. A partir dessa

ncora, a lgica nos conduziria a conhecimentos vlidos, constituindo-se

assim uma cincia demonstrativa. Coube a Euclides realizar esse ideal.

Em um sistema desse tipo, hoje denominado axiomtico, a escolha das

proposies primeiras, ou postulados, devia atender trs exigncias principais:

consistncia (a partir deles no se podem deduzir logicamente proposies

contraditrias), completude (entre quaisquer duas proposies contraditrias

formuladas nos termos do sistema, uma pode ser corretamente demonstrada) e

independncia (nenhum postulado pode ser demonstrado a partir dos demais).

(Em 1931, Kurt Gdel provou que sistemas axiomticos usuais, como a

aritmtica e a teoria dos conjuntos, no podem preencher o requisito da

completude, mas isso ultrapassa o tema deste artigo.)

Euclides deduziu toda a sua geometria 372 teoremas e 93

construes a partir de cinco postulados, que aparecem acompanhados de 23

definies e cinco noes comuns.

Quando Michelangelo foi perguntado como conseguira esculpir a

Piet a partir de um bloco de mrmore, deu a famosa resposta: Ela j estava

l; eu s tirei o excesso. Euclides poderia dizer o mesmo, lidando agora no

com a matria, mas com o esprito. Os postulados aparecem no incio dos

Elementos, mas isso no deve nos enganar: eles so o ponto de chegada de

uma longa reflexo prvia que vai desbastando o pensamento, muitas vezes

tendo teoremas como ponto de partida. A ordem expositiva do sistema, de

natureza lgica, no segue o caminho percorrido na sua formulao.

A escolha de apenas cinco postulados todos simples, por definio

para deles derivar uma geometria completa um trabalho de gnio. o

momento mais difcil da construo, pois as proposies que estamos

acostumados a usar derivam de outras proposies, cujos pontos de partida

desconhecemos.

***

Euclides exaustivo no que Leibniz chamou de arte de demonstrar.

Qualquer um de ns dispensaria diversas de suas demonstraes, por bvias,

mas no devemos criticar essa obsesso: a cultura helnica estava repleta de

sofistas habilssimos em contestar as verdades mais evidentes.

O esforo para super-los resultou em uma construo intelectual de

magnfica concepo: as proposies primeiras, indemonstrveis, so

enunciadas explicitamente; os termos usados so objeto de definio prvia; e

os teoremas so demonstrados (s vezes, com reduo ao absurdo) sem o

recurso aos sentidos ou experincia emprica. Novas provas se sucedem,

sempre por lgica, com base naquilo que foi provado antes. O resultado uma

rede na qual todas as proposies se comunicam, sustentando-se umas s

outras. No lugar da compilao de receitas prticas ou de enunciados

empricos, legados por egpcios e babilnios, surge assim uma cincia racional.

O xito foi inigualvel. o nico caso, na histria, em que um s livro

fundou uma disciplina cientfica, instituindo um padro que passou a servir de

referncia ao pensamento rigoroso. Graas a Euclides, a unidade e a

estabilidade da geometria foram excepcionais. Durante mais de 2 mil anos ela

permaneceu fundamentalmente a mesma, com acrscimos, claro, mas sem

crises, confundindo-se por isso com os fundamentos da razo. Os demais

ramos do conhecimento deviam inspirar-se nela.

A obra de Newton reforou a importncia da de Euclides. Na

juventude, Newton foi trado pela aparente simplicidade dos Elementos, cuja

leitura iniciou e largou, por consider-la banal. Redimiu-se adulto: depois de

reestudar o livro, percebeu que nos seus postulados esto implcitas, como

veremos, as propriedades do espao, tal como ele mesmo veio a conceber no

seu sistema do mundo: um meio homogneo, imutvel, intemporal, infinito e

infinitamente divisvel, que existe independentemente do contedo fsico que

contm. Embora esse espao absoluto tenha se tornado desnecessrio na fsica

contempornea, no se deve subestimar a profundidade de sua concepo:

nenhuma de tais caractersticas acessvel aos sentidos. A ideia euclidiana de

uma extenso pura e de um espao sem qualidades extremamente abstrata.

No fim do sculo XVIII, os Elementos, de Euclides, e os Principia, de

Newton, davam ao conhecimento cientfico uma base imponente, sobre a qual

Kant, maravilhado, filosofou. Ele viu uma geometria dotada de validade

universal, construda de modo racional e, ao mesmo tempo, passvel de ser

aplicada ao mundo fsico. Identificou nisso um problema profundo: como um

conhecimento que se desenvolve sem recorrer realidade sensvel pode ser a

chave para decifr-la? Como uma pura criao da razo humana pode

representar, com tamanha perfeio, o mundo exterior? Que estranha conexo

essa, entre a mente do homem e as coisas?

Tendo Euclides e Newton como principais referncias, Kant concluiu

que espao e tempo so intuies puras, estruturas do prprio sujeito. A

intuio a priori do espao nos possibilita os juzos a priori da geometria,

enquanto a intuio a priori do tempo funda as operaes do clculo, que se

sucedem e duram.

A construo kantiana sofreu duro golpe quando, primeiro, a

geometria euclidiana e, depois, a fsica newtoniana perderam seu carter

universal. Para entender isso, no caso da geometria, precisamos contemplar os

cinco postulados.

***

Uso a traduo de Irineu Bicudo, mas fao a ressalva de que o que Euclides

chama de reta o que hoje chamamos de segmento de reta.

1. Fique postulado traar uma reta a partir de todo ponto at todo ponto.

2. Tambm prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.

3. E, com todo centro e distncia, descrever um crculo.

4. E serem iguais entre si todos os ngulos retos.

5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faa ngulos interiores e do

mesmo lado menores que dois retos, sendo prolongadas as duas retas,

ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual esto os menores que dois

retos.

O primeiro postulado diz que somente uma reta pode ser desenhada

entre dois pontos quaisquer, o que equivale a dizer que, se dois segmentos de

reta tm as mesmas extremidades, todo o seu comprimento coincide; logo, o

espao contnuo. O segundo postulado diz que quaisquer retas podem ser

prolongadas indefinidamente; logo, o espao infinito em todas as direes. O

terceiro postulado afirma a existncia do crculo e enfatiza que o espao, alm

de infinito, infinitamente divisvel, pois diz que o raio de um crculo pode ter

qualquer comprimento.

O quarto postulado desconcertante por sua aparente trivialidade.

Note-se, no entanto, que Euclides no diz que os ngulos retos so retos, o que

seria uma redundncia; ele diz que so iguais entre si, uma ideia que no

est contida na definio de ngulo reto. Ao estabelecer que as figuras podem

ocupar quaisquer posies e conservar suas formas, permanecendo iguais

entre si, o postulado implica um espao homogneo.

Os postulados, como se v, definem as caractersticas do espao

hoje seria mais rigoroso dizer de um tipo de espao e estabelecem a

existncia de pontos, retas e crculos, os elementos bsicos da geometria de

Euclides, com os quais ele demonstrar a existncia de todas as outras figuras

que define.

Mas Euclides sentiu a necessidade de tambm postular a existncia de

paralelas, necessrias em muitas demonstraes. Era uma encrenca, pois

exigia encontrar uma afirmao que fosse evidente e, ao mesmo tempo, se

referisse ao que acontece no espao remoto: paralelas so retas coplanares que

nunca se encontram. A soluo do gemetra, mais uma vez, foi muito

engenhosa: props um postulado que s fala de retas secantes, cuja existncia

indiscutvel, mas mantm implcita a existncia de paralelas.

Mesmo assim, ele logo foi reconhecido como problemtico. Ouamos

Proclo: O fato de que as retas convergem quando os ngulos retos so

diminudos certo e necessrio; mas a afirmao de que chegaro a se

encontrar apenas verossmil, mas no necessria, na falta de um argumento

que prove que isso verdade para duas linhas retas. Pois o fato de que existam

algumas linhas que se aproximam indefinidamente mas permanecem sem se

tocar [asmptotoi], por mais improvvel e paradoxal que parea, tambm

certo e est comprovado em relao a linhas de outro tipo. Por que, no caso

das retas, no possvel ocorrer o mesmo que ocorre com as linhas

mencionadas? Proclo conclui que o quinto postulado deve ser riscado dos

postulados, pois se trata de um teorema repleto de dificuldades.

O debate sobre isso envolveu os grandes gemetras gregos, rabes e

europeus durante mais de 2 mil anos, sem soluo. Cresceram as suspeitas de

que no se tratava de um verdadeiro postulado, mas as tentativas de manej-lo

como um teorema exigiam introduzir novos postulados igualmente

problemticos, que eram meros equivalente lgicos do postulado de Euclides;

configurava-se assim o erro que os filsofos chamam de petio de princpio,

ou seja, adotar como ponto de partida de uma demonstrao o mesmo

argumento que ser provado no fim dela. Tentou-se deduzir o quinto

postulado dos demais, at que se provou que isso era impossvel. Buscaram-se

formulaes alternativas, todas insuficientes. E, quando ele era simplesmente

retirado, o sistema perdia o requisito da completude: muitos teoremas no

podiam mais ser demonstrados.

Parecia impossvel inserir a afirmao de Euclides em seu prprio

sistema, consistentemente. O postulado das paralelas, como ficou conhecido,

permanecia como um corpo estranho, um expediente que preenchia uma

lacuna no encadeamento lgico. DAlembert disse que ele era o escndalo da

geometria, pois a credibilidade dos teoremas no pode ser maior do que o

grau de credibilidade associado ao postulado que tenha menor credibilidade.

Dois pensadores estiveram perto da soluo, o rabe al-Khayyami

(1048-1131) e o jesuta italiano Girolamo Saccheri (1667-1733). Ambos

adotaram o caminho da reduo ao absurdo. Aceitando o restante do sistema

euclidiano e negando o quinto postulado, pretendiam chegar a contradies, o

que demonstraria a validade e a necessidade dele. No sabemos bem at onde

foi al-Khayyami, mas Saccheri abandonou a empreitada quando comeou a

encontrar o que denominou teoremas estranhos.

Teve nas mos o bilhete premiado, mas no percebeu. Comeara a

descobrir uma outra geometria, mas viu nisso um erro. Estava preso ideia

milenar de que s a geometria de Euclides podia existir.

***

S no sculo XIX, um matemtico de valor excepcional, o alemo Carl

Friedrich Gauss, e dois matemticos jovens, o hngaro Jnos Bolyai e o russo

Nicolai Lobachevski, trabalhando de forma independente, ousaram prosseguir

at o fim na deduo dos teoremas estranhos. Em vez de encontrar

contradies, como esperavam, chegaram a geometrias consistentes e

completas, diferentes da euclidiana, mas sem defeito lgico.

Gauss no divulgou seu trabalho, pois acreditou que ningum o

compreenderia. O inseguro Bolyai entregou o manuscrito ao pai, tambm

matemtico, que o enviou a Gauss sem saber que este ltimo j tinha

percorrido o mesmo caminho. O texto pioneiro de Lobachevski, por sua vez,

denominava-se Geometria imaginria. Os descobridores pisavam em ovos:

viam que as descobertas eram deveras estranhas. No era para menos: Bolyai

e Lobachevski, por exemplo, adotaram como postulado a afirmao de que

por um ponto fora de uma reta possvel fazer passar mais de uma paralela

reta dada...

O trabalho dos trs foi completado depois, magistralmente, por um

aluno de Gauss, Bernhard Riemann, cuja geometria nega a existncia de

paralelas. Ao contrrio do espao infinito de Euclides, o espao de Riemann

finito, mas ilimitado, pois ele aplicou a noo de curvatura ao espao

tridimensional, em uma formulao muito abstrata, quase sempre mal

compreendida. (Muito depois, essa geometria imaginria foi decisiva na

formulao da relatividade geral, a teoria fsica mais importante do sculo

XX.)

Para dar s um exemplo dos resultados discrepantes, em cada uma das

geometrias a soma dos ngulos de um tringulo diferente: sempre igual a

180 graus em Euclides, sempre menor que esse valor em Lobachevski e

Bolyai, sempre maior em Riemann.

Eugnio Beltrami, Felix Klein, Henri Poincar e David Hilbert

demonstraram em sequncia, por diversas vias, que as novas geometrias

tinham a mesma validade que a geometria de Euclides. Mais ainda:

demonstraram que a eventual inconsistncia de uma delas implicaria a

inconsistncia do prprio sistema euclidiano. Nunca mais poderamos, como

Saccheri, nos livrar dos teoremas estranhos. Desde ento, as geometrias se

multiplicaram, mas, para nosso consolo, Sophus Lie demonstrou que elas no

so infinitas.

Como possvel essa existncia mltipla da verdade? Qual, afinal, a

geometria verdadeira? Ouamos Einstein: No podemos nos interrogar se

verdade que por dois pontos passa uma nica reta. Podemos apenas dizer que

a geometria de Euclides trata de figuras, que ela chama de retas, s quais

atribui a propriedade de serem determinadas univocamente por dois de seus

pontos. O conceito de verdadeiro no se aplica aos enunciados da geometria

pura, pois com verdadeiro ns costumamos, em ltima anlise, designar a

correspondncia com um objeto real. Porm, a geometria no se ocupa da

relao entre seus conceitos e os objetos da experincia, mas apenas com os

nexos lgicos desses conceitos entre si.

Teoremas incompatveis entre si podem ser igualmente verdadeiros se

estiverem perfeitamente integrados em diferentes sistemas lgicos.

Compreender isso foi a culminncia do ideal da cincia grega, de um modo

que nem os gregos ousaram pensar.

***

Sempre que avana, a cincia cria problemas novos. Por isso, sua marcha no

pode ter fim. Se a matemtica passou a admitir diferentes geometrias, qual

delas se aplica ao mundo fsico? No sculo XIX, a questo era indita. Gauss

concluiu que a resposta dependeria da observao emprica. Com medies

geodsicas, lanou-se em busca de uma prova experimental, mas seus esforos

no foram conclusivos: nas escalas humanas, as geometrias convergem para

padres euclidianos. (Poincar props outra soluo: as geometrias so

convenes, de modo que todas so aplicveis; a euclidiana apenas mais

cmoda.)

Paradoxalmente, a culminao do ideal grego redimiu a geometria

praticada por egpcios e babilnios, que ele mesmo havia superado. Seria mais

correto dizer que houve uma bifurcao. Pois, ao lado de uma geometria fsica,

novamente emprica, as pesquisas em geometria pura foram impulsionadas na

direo de formulaes ainda mais abstratas, em busca de procedimentos

lgicos mais rigorosos.

Hilbert elaborou novos postulados de modo a apart-los de qualquer

representao sensvel. Em vez de evocar objetos especificados, buscam

estabelecer relaes entre objetos genricos, representados por letras, e so

manejados sem que contenham nenhum sentido, segundo regras puramente

formais. Esse carter hiperabstrato da matemtica contempornea foi

sintetizado, no sem ironia, por Bertrand Russell: A matemtica uma

cincia na qual nunca sabemos do que estamos falando, nem se aquilo que

estamos falando verdadeiro.

Pobre Kant. Se a matemtica trabalha com proposies destitudas de

sentido, adaptveis a qualquer contedo, ento se desfaz o problema que o

atormentou. A aplicabilidade das leis matemticas ao real no decorre de uma

harmonia maravilhosa entre o esprito e as coisas. Tais leis valem em nosso

mundo simplesmente porque valem em todos os mundos possveis.