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Geometria Analítica

Prof Luis Carlos

Aula 1: Vetores – tratamento geométrico

1. Segmentos orientados:

Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos (A , B).

A é dito origem e B extremidade do segmento.

(A , B): segmento orientado de A para B.

(B , A): segmento orientado de B para A.

Logo, (A , B) (B , A)

Observação: se A = B, temos um segmento orientado nulo.

Geometricamente, o segmento orientado (A , B) será indicado por uma flecha de A

até B.

Comprimento:

A cada segmento orientado, podemos associar um número real (positivo ou nulo),

seu comprimento, que é a sua medida.

Utilizaremos u.c.: unidade de comprimento, para designar a unidade de medida

do segmento.

Direção e sentido:

Dados dois segmentos orientados não nulos (A , B) e (C , D) dizemos que eles têm

mesma direção se as retas AB e CD são paralelas (ou coincidentes). Só podemos

comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.

A

B

2

Exemplos:

2. Vetores:

Um vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm a mesma

direção (paralelos), o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Exemplo:

GH//EF//CD//AB

Notação: , AB ou B – A

A B

C D

A B C D

A B

CD

AB C D

mesmo sentidosentidos contrários

A B

C D

A B C D

A B

CD

AB C D

mesmo sentidosentidos contrários

A

BC

D

E

F

G

H

a

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Observações:

i) Um mesmo vetor pode ter vários representantes:

GHEFCDABa

e, para citarmos um vetor, basta citar (ou desenhar) um deles.

ii) A norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qualquer um

de seus representantes.

Notação: aoua

No exemplo acima, temos: GHEFCDAB

Casos particulares de vetores:

BA : vetor oposto de AB

AAouO : vetor nulo (a origem coincide com a extremidade)

Se a é tal que a = 1, então ele é um vetor unitário

Versor: a cada vetor não nulo a podemos associar dois vetores unitários de mesma

direção u e - u .

Exemplo:

A B

BA

a

- aBA = - AB

A B

BA

a

- u

BA = - AB

u

4

a

aa

5

1u

.c.u1uu

.c.u5a

O vetor u que tem mesmo sentido de a é um versor de a .

Vetores paralelos:

Exemplos:

Vetores ortogonais:

Exemplos:

Vetores coplanares: quando estão no mesmo plano.

Exemplos:

coplanaressãowev,u

A B

BA

a

- u

BA = - AB

u

paralelos de mesmo sentido paralelos de sentidos contrários

u

v

w

x

A B

BA

a

- u

BA = - AB

u u

v

w

x

A B

BA

a

- u

BA = - AB

u

uv

w

x

5

veuacoplanarénãow

coplanaressãov,u

Observação: dois vetores quaisquer são sempre coplanares.

Exercícios resolvidos:

1) A figura abaixo é constituída por 9 quadrados congruentes:

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a)

A B

BA

a

- u

BA = - AB

u

u

v

w

x

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(V) os vetores são iguais pois têm mesma direção, mesmo sentido e mesmo

comprimento.

b)


comprimento.

c)


comprimento.

d)

(F) pois esses vetores têm sentidos opostos.

e)

(V) esses vetores têm mesma direção.

f)

(F) esses vetores não têm mesma direção.

g)

(V) esses vetores têm mesma direção.

h)

(V) esses vetores são ortogonais.

i)


j)

(F) esses vetores não são ortogonais.

k)


l)

(V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguais.

m)


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2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo:

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a)


comprimento.

b)

(F) o vetor HG é o vetor GH que tem sentido oposto ao do vetor AB .

c)


d)


e)


f)


g)

(F) esses vetores não têm mesma direção.

h)

(F) esses vetores não estão no mesmo plano.

i)

(V) os vetores EGeFG,EFAB estão no mesmo plano.

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Operações com vetores

1. Adição / Subtração de vetores:

Vamos fazer a adição de vetores de duas maneiras:

1.1. Consideremos um representante qualquer do vetor a = AB e o representante do

vetor b que tem origem B. Seja C a extremidade deste último. Fica assim determinado o

vetor AC que por definição é um representante do vetor soma de a com b .

Exemplo:

1.2. Regra do paralelogramo:

Consiste em tomar representantes de a e b com a mesma origem A e construir o

paralelogramo ABCD. O vetor AC (uma das diagonais) é um representante do vetor

soma a + b e o vetor DB (a outra diagonal) é um representante do vetor diferença a -

b .

Exemplo:

a

b

A

B

AB + BC = AC

DB = a - b

C

a

b

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Observação: a - b = a + (- b ): soma do vetor a com o vetor oposto de b .

Observações:

a) Sendo a // b , temos:

b) Para se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo.

Exemplo:

a

b

A D

B C AC = a + b

DB = a - b

a b

A

B

AB + BC = AC

DB = a - b

C

a

b

a + bmesmo sentido

sentidos contrários

a

b

A

B

AB + BC = AC

DB = a - b

C

a

b

a + b

mesmo sentido


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Propriedades:

P1 – comutativa: a + b = b + a

P2 – associativa: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

P3 – elemento neutro: a + 0 = a

P4 – elemento oposto: a + (- a ) = 0

2. Multiplicação de número real por vetor:

Sendo 0v e 0 ( é um número real), chama-se produto do número real

pelo vetor v , o vetor v tal que:

i) Módulo: vv

ii) Direção: v // v

iii) Sentido: v tem o mesmo sentido de v , se > 0; v tem o sentido oposto ao de

v , se < 0.

Exemplos:

ab

A

B

AB + BC = AC

DB = a - b

a

b

a + b

mesmo sentido


c C

D

c

a + b + c

AB + BC + CD = AD

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3. Soma de ponto com vetor:

Dados P um ponto e v um vetor, definimos P + v = Q. Ou seja, a soma do ponto

P com o vetor v é um ponto Q, sendo vPQ .

Exemplo:

Exercício resolvido:

Com base na figura abaixo, determinar os vetores, expressando-os com origem no

ponto A:

a

b

A

B

AB + BC = AC

DB = a - b

3a

b

a + b

mesmo sentido


cC

D

c

a + b + c

AB + BC + CD = AD

a -2b

A

B

AB + BC = AC

DB = a - b

3ab

a + b

mesmo sentido


cC

D

c

a + b + c

AB + BC + CD = ADv

-2b

A

B

AB + BC = AC

DB = a - b

3a

b

a + b

mesmo sentido


cC

D

c

a + b + c

AB + BC + CD = AD

P

Q

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a) =

Solução:

b) =

Solução:

c) =

Solução:

M NL E

P

B

I

C DA

K

J H

OF

G

M NL E

P

B

I

C DA

K

J H

OF

G

13

d) =

Solução:

e) =

Solução:

f) =

Solução:

M NL E

P

B

I

C DA

K

J H

OF

G

M NL E

P

B

I

C DA

K

J H

OF

G

EO = CM

M NL E

P

B

I

C DA

K

J H

OF

G

BL = MK

M NL E

P

B

I

C DA

K

J H

OF

G

-NP = PN = MC

MO = AM

14

g) =

Solução:

h) =

Solução:

REFERÊNCIAS

CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. São

Paulo: Pearson, 2010.

STEINBRUCHY, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Makron

Books, 1987.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.

M NL E

P

B

I

C DA

K

J H

OF

G

-NP = PN = MC

MO = AM

LP = AM

PN = MC

NF = CE

M NL E

P

B

I

C DA

K

J H

OF

G

-NP = PN = MC

MO = AM

LP = AMPN = MC

NF = CE

BN = AM

BL = MK

PB = KA

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