Razões e Proporções

Prof. Wilson Francisco Julio

Guarulhos

2010

2

RAZÕES - INTRODUÇÃO

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de

comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles

pelo outro. Assim:

22

4 = (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade 2

1 do comprimento do carro de

corrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão .

A razão 2

1 pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart

corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero) o quociente

b

a ou ba ÷ .

A palavra razão vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são

diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão.

Exemplos:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas.

Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou 4

1 ou 0,25.

3

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde

que seus termos tenham sinais contrários.

Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é 8

1− . A razão entre 4

1

5

1e− é

5

4

4

15

1

−=−

.

Termos de uma razão

Observe a razão:

b

aba =÷ (lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão b

aouba ÷ , o número a é denominado antecedente e o número b é

denominado conseqüente . Veja o exemplo: 3:5 =

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões 4

5

5

4e .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, 14

5

5

4 =⋅ .

Nesse caso, podemos afirmar que 4

5

5

4e são razões inversas .

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

EXEMPLO: 3

7

7

3e são razões inversas, pois 1

3

7

7

3 =⋅ .

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o conseqüente da outra, e

vice-versa.

OBSERVAÇÕES:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.

2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os

seus termos.

EXEMPLO:

O inverso de 2

5

5

2é .

4

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte

maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional

(diferente de zero), obtemos uma razão equivalente.

EXEMPLOS:

são razões equivalentes .

são razões equivalentes .

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:

Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os

números que expressam as medidas dessas grandezas n uma mesma unidade.

EXEMPLOS:

1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma

altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é

dada por: 5

4

5,1

2,1

50,1

20,1

2

1 ===m

m

h

h

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete,

sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de

240m2.

Razão entre as áreas da quadra de vôlei e basquete: 40

27

240

162

240

1622

2

===m

m

A

A

B

V

Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de esp écies diferentes, determina-se

o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da

notação que relaciona as grandezas envolvidas.

5

EXEMPLOS:

1) Consumo médio:

Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso

8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa

essa razão?

Solução:

Razão = lkm

l

km5,11

8

92 =

Razão = lkm5,11 (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média:

Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida

dessas grandezas? O que significa essa razão?

Solução:

Razão = h

km

h

km90

5

450 =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

3) Densidade demográfica:

O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924

habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área

desse estado. O que significa essa razão?

Solução:

Razão = 2246

694.145

924.701.6km

habkm

hab =

Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica:

Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a

massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?

Solução: Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão = 338,7

1

8,7cm

gcm

g =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

6

PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO

Rogério e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogério pesa 120kg, e seu cão,

40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: 2

5

48

120 =kg

kg

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: 2

5

16

40 =kg

kg

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a

igualdade 16

40

48

120 = é uma proporção .

Assim: Proporção é uma igualdade entre duas razões

ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles

formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

dcbaoud

c

b

a:: == (lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da

proporção.a e d os extremos da proporção.

EXEMPLO:

Dada a proporção 36

27

4

3 = , temos:

Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.

Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

Observe as seguintes proporções:

=⋅==⋅=

=120403Pr

120304Pr

40

30

4

3

extremosdosoduto

meiosdosoduto

De modo geral, temos que: cbdad

c

b

a ⋅=⋅⇔=

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao p roduto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

7

EXEMPLOS:

Determine o valor de x na proporção: x

15

8

5 =

Solução:

5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120 5

120=x ∴ x = 24

Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção: 2

1,

5

4

12

3 −≠=+

−xsendo

x

x

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental)

5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19 x = 3

19−

Logo, o valor de x é 3

19− .

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

x

35

8

5 = (aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 8 . 35 5x = 280 5

280=x x = 56

Logo, o valor de x é 56.

Resolução de problemas envolvendo proporções

EXEMPLO:

Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal.

Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.

Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a

proporção:

33

3

33

3

3

3

204,0

1

240

1lg

40

1

m

x

m

m

m

x

dm

m

saldeqtdd

adasaáguadeqqtdd

dm

m =→=→=

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

(aplicando a propriedade fundamental)

1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2 04,0

2=x x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

8

QUARTA PROPORCIONAL

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional

desses números um número x tal que: x

c

b

a =

EXEMPLO:

Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental)

8 . x = 12 . 6 8 . x = 72 8

72=x x = 9

Logo, a quarta proporcional é 9.

PROPORÇÃO CONTÍNUA

Considere a seguinte proporção: 16

12

12

9 =

Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção

contínua .

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por: c

b

b

a =

Terceira proporcional

Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional

desses números o número x tal que: x

b

b

a =

EXEMPLO:

Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.

Solução

Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:

x

10

10

20 = (aplicando a propriedade fundamental)

20 . x = 10 . 10 020x = 100 20

100=x x = 5

Logo, a terceira proporcional é 5.

Proporção contínua é toda proporção que apresenta o s meios iguais.

Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua c

b

b

a = , o número b é denominado média geométrica ou

média proporcional entre a e c.

9

EXEMPLO:

Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.

Solução:

20

5 b

b= 5 . 20 = b . b 100 = b2 b2 = 100

b = b = 10

Logo, a média geométrica positiva é 10.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos es tá para o 2º (ou 1º) termo,

assim como a soma dos dois últimos está para o 4º ( ou 3º).

EXEMPLO:

Determine x e y na proporção 4

3=y

x, sabendo que 84=+ yx .

Solução:

4

43

4

3 +=+⇒=

y

yx

y

x

Assim:

487

484

4

784 =⋅=⇒= yy

3648848484 =∴−=⇒−=⇒=+ xxyxyx

Logo, 4836 == yex .

2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros term os está para o 2º (ou 1º)

termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

EXEMPLO:

Sabendo-se que 18=− yx , determine x e y na proporção 2

5=y

x

Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x = 18 + y => x = 18 + 12 => x = 30.

Logo, x = 30 e y = 12.

3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes,

assim como cada antecedente está para o seu conseqüente.

10

Demonstração

Considere a proporção: d

c

b

a =

Permutando os meios, temos: d

b

c

a =

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos: d

db

c

ca +=+

Permutando os meios, finalmente obtemos: b

a

d

c

db

ca ==++

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes,

assim como cada antecedente está para o seu conseqüente.

Demonstração

Considere a proporção: d

c

b

a =

Permutando os meios, temos: d

b

c

a =

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos: d

db

c

ca −=−

Permutando os meios, finalmente obtemos: b

a

d

c

db

ca ==−−

EXEMPLO:

Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção 75

ba = .

Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que: 7575

baba ==−−

842

)24(7

72

2460

2

)24(5

52

24 =⇒−−⋅=⇒=

−−=⇒

−−⋅=⇒=

−−

bbb

eaaa

5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes,

assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu conseqüente.

Demonstração

Considere a proporção: d

c

b

a =

Multiplicando os dois membros por b

a, temos:

db

ca

b

a

b

a

d

c

b

a

b

a

⋅⋅=⇒⋅=⋅

2

2

Assim: 2

2

2

2

d

c

b

a

db

ca ==⋅⋅

11

Grandezas - Introdução

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas

podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.

Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a

capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.

Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor

será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo

de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

Grandezas diretamente proporcionais

Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis

dependentes . Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica . kg100min5 →

kg200min10 →

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica . kg100min5 →

kg300min15 →

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais

quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores

correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre

os dois valores correspondentes da outra grandeza.

2

1

400

200

20

10

3

1

300

100

15

5 ====

12

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em

cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a

tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis

dependentes . Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade . ssm 200/5 →

ssm 100/10 →

Quando quadruplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte .

ssm 200/5 → ssm 50/20 →

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais

quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os

valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da

razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam

quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir

dos três já conhecidos.

13

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e

mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

EXEMPLOS:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido

a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para

1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m 2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta .

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as

grandezas são diretamente proporcionais . Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo

sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

5002,1

4005,1

4005,12,1400

5,1

2,1

=⋅=

⋅=⇒=

x

xx

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora .

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado

percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada

fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

14

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui .

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as

grandezas são inversamente proporcionais . Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido

contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

400

4803 =x

1200480 =x

5,2480

1200 ==x

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$ 120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5

camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta .

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as

grandezas são diretamente proporcionais . Montando a proporção e resolvendo a equação

temos:

Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em

20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe

fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

15

Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término

aumenta .

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as

grandezas são inversamente proporcionais . Montando a proporção e resolvendo a equação

temos:

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta

ou inversamente proporcionais.

EXEMPLOS:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos

caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie

e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de

caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna ).

16

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a

relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna ). Devemos igualar a razão que

contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões .

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos

carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta . Portanto a

relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta . Portanto a relação

também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão

que contém o termo x com o produto das outras razões .

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos .

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3

pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse

muro?

17

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-

se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e

discordantes para as inversamente proporcionais , como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias .

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras

para encher 2 piscinas?

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se

for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro

de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para

construir um muro de 225m?

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma

velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga

em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

5) Com certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de

largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura,

seriam produzidos em 25 minutos?