543655_fundamentos de metrologia - mediÇÃo e incerteza-30-07-2012
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INSTITUTO POLITÉCNICO
Curso de Engenharia Elétrica
Laboratório de Medidas Elétricas
FUNDAMENTOS DE METROLOGIA:
MEDIÇÃO E INCERTEZA (*)
Coordenador: Prof. Celso Martins de Almeida Fagioli
Colaboradores: Prof. Antônio Carlos Inácio Mor eira
Prof. Délio Eduardo Barroso Fernandes
Prof. Nivaldo Miranda
Apoio: Monitor Bruno Moraes de Alcântara
Monitor Luciano Almeida da Silva
Monitor Wanderson Afonso Passos Oliveira
(*)Trabalho em fase inicial. Autores aguardam críticas e sugestões.
SUMÁRIO
1 VANTAGENS DE UMA CULTURA METROLÓGICA............. .................................5 2. VOCABULÁRIO DE TERMOS BÁSICOS ................... ...........................................5 2.1 Grandeza e unidade de medida................... .......................................................5 2.1.1 Grandeza mensurável .......................... ............................................................5 2.1.2 Sistema de grandezas......................... .............................................................5 2.1.3 Grandeza de base............................. ................................................................5 2.1.4 Grandeza derivada ............................ ...............................................................5 2.1.5 Unidade (de medida) .......................... ..............................................................5 2.1.6 Símbolo de uma unidade (de medida) ........... .................................................5 2.1.7 Sistema de unidades (de medida).............. .....................................................6 2.1.8 Unidade (de medida) (derivada) coerente ...... ................................................6 2.1.9 Sistema Internacional de Unidades ............ ....................................................6 2.1.10 Valor (de uma grandeza)..................... ...........................................................6 2.1.11 Valor verdadeiro (de uma grandeza).......... ...................................................6 2.1.12 Valor numérico (de uma grandeza)............ ...................................................6 2.2 Operações de medição ........................... ............................................................6 2.2.1 Medição...................................... .......................................................................6 2.2.2 Metrologia ................................... ......................................................................6 2.2.3 Princípio de medição ......................... ..............................................................6 2.2.4 Método de medição............................ ..............................................................7 2.2.5 Procedimento de medição..................... .........................................................7 2.2.6 Mensurando ................................... ...................................................................7 2.2.7 Grandeza de influência ....................... .............................................................7 2.2.8 Valor transformado de um mensurando .......... ..............................................7 2.3 Características e resultados de medição........ ..................................................7 2.3.1 Resultado de uma medição ..................... ........................................................7 2.3.2 Indicação (de um instrumento de medição)..... ..............................................7 2.3.3 Resultado corrigido.......................... ................................................................7 2.3.4 Exatidão de medição.......................... ..............................................................7 2.3.5 Repetitividade (de resultados de medições)... ...............................................7 2.3.6 Reprodutibilidade (dos resultados de medição) ...........................................8 2.3.7 Desvio padrão experimental................... .........................................................8 2.3.8 Incerteza de medição ......................... ..............................................................9 2.3.9 Erro (de medição) ........................... .................................................................9 2.3.10 Erro relativo ............................... .....................................................................9 2.3.11 Erro sistemático ........................... .................................................................9 2.3.12 Correção.................................... ......................................................................9 2.4 Instrumentos medidores e dispositivos acoplados .........................................9 2.4.1 Instrumentos de medição...................... ........................................................10 2.4.2 Sistema de medição.......................... ............................................................10 2.4.3 Instrumento de medição mostrador / indicador . .........................................10 2.4.4 Instrumento de medição registrador .......... .................................................10 2.4.5 Instrumento totalizador...................... ............................................................10 2.4.6 Instrumento integrador ....................... ...........................................................10 2.4.7 Instrumento analógico........................ ...........................................................10 2.4.8 Instrumento de digital ....................... .............................................................10 2.4.9 Índice...................................... ........................................................................11
2.4.10 Valor de uma divisão........................ ............................................................11 2.4.11 Escala linear .............................. ..................................................................11 2.4.12 Escala com zero suprimido ................... ......................................................11 2.4.13Ajuste de um instrumento de medição.......... ..............................................11 2.4.14 Regulagem de um instrumento de medição ..... ........................................11 2.5 Características de instrumentos e dispositivos de medição ........................11 2.5.1 Faixa nominal ................................ .................................................................11 2.5.2 Amplitude da faixa nominal................... ........................................................12 2.5.3 Faixa de medição ou faixa de trabalho........ .................................................12 2.5.4 Condições de utilização...................... ...........................................................12 2.5.5 Constante de um instrumento.................. .....................................................12 2.5.6 Sensibilidade ................................ ..................................................................12 2.5.7 (Limiar de) mobilidade ...................... ............................................................12 2.5.8 Conceitos sobre resolução .................... .......................................................12 2.5.9 Zona morta................................... ...................................................................12 2.5.10 Estabilidade ................................ ..................................................................12 2.5.11 Discrição ................................... ....................................................................13 2.5.12 Exatidão de um instrumento de medição....... ............................................13 2.5.13 Erro de um instrumento de medição ........... ...............................................13 2.5.14 Erros máximos admissíveis .................. .....................................................13 2.5.15 Tendência.................................. ...................................................................13 2.5.16 Repetitividade.............................. .................................................................13 2.6 Material de referência, medidores e sistemas pa drão ...................................13 2.6.1 Padrão ....................................... ......................................................................13 2.6.2 Calibração ................................... ....................................................................13 3 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ........................ .................................................14 3.1 Notação científica com potências de 10......... .................................................14 3.2 Registros possíveis para uma medição ........... ...............................................15 3.3 Registro do resultado de uma medição consideran do o erro possível........15 4 MENSURANDO E ERRO DE MEDIÇÃO..................... ..........................................17 4.1 Mensurando ..................................... ..................................................................17 4.2 Conceito de erro............................... .................................................................17 4.3 Erro na medição ................................ ................................................................17 4.4 Correção da medida............................. .............................................................17 4.5 Valor verdadeiro ............................... .................................................................17 4.6 Classificação dos erros ........................ ............................................................17 4.7 Fontes de erro ................................. ..................................................................18 4.8 Erro absoluto .................................. ...................................................................18 4.9 Erro relativo .................................. .....................................................................18 4.10 Erro relativo percentual ...................... ............................................................18 4.11 Erros grosseiros.............................. ................................................................18 4.12 Erros sistemáticos ............................ ..............................................................18 4.13 Erros acidentais ou aleatórios ................ .......................................................19 4.14 Abandono de leituras.......................... ............................................................19 4.15 Aplicação de erro grosseiro ................... ........................................................19 5 PROPAGAÇÃO DE ERROS NAS MEDIÇÕES INDIRETAS....... ..........................22 5.1 Medição indireta com adição ou subtração....... .............................................22 5.1.1 Erro absoluto na medição com adição ou subtra ção .................................22 5.1.2 Erro relativo na medição com adição.......... .................................................22 5.1.3 Erro relativo na medição com subtração ....... ..............................................22
5.2 Multiplicação.................................. ....................................................................23 5.3 Quociente...................................... .....................................................................23 5.4 Fórmula geral envolvendo produto e quociente de potência........................23 5.5 Incerteza no processo de medição de amostras... .........................................24 5.6 Soma de medições com uma faixa de incerteza ... ........................................24 5.7 Subtração de medições com faixa de incerteza ... ..........................................24 5.7.1 O erro relativo percentual com relação ao val or da diferença ...................25 6 CONCEITOS METROLÓGICOS............................................................................25 6.1 Instrumento de medição......................... ..........................................................25 6.2 Exatidão ....................................... ......................................................................25 6.2.1 Exatidão total para uma medição .............. ...................................................25 6.2.2 Avaliação da exatidão do resultado de uma med ição.................................25 6.3 Classe de exatidão de um instrumento analógico . ........................................26 6.4 Precisão ....................................... ......................................................................26 6.5 Resolução do instrumento analógico............. .................................................27 6.6 Sensibilidade .................................. ...................................................................27 6.7 Instrumentos digitais .......................... ..............................................................27 6.7.1 Considerações gerais ........................ ...........................................................27 6.7.1.1 Exibição na forma de dígitos .....................................................................27 6.7.1.2 O número de dígitos de um instrumento ..................................................28 6.7.1.3 Bit e palavra digital ......................................................................................28 6.7.1.4 Valor do bit em função da sua posição relat iva na palavra digital .........28 6.7.1.5 Conversor analógico / digital (CAD ou ADC) ............................................29 6.7.1.6 Conversor digital / analógico (CDA ou DAC) ............................................29 6.7.1.7 Número de bits de um sinal digital - passo de quantização e níveis de quantização ..............................................................................................................30 6.7.1.8 Resolução r de um conversor A/D com N bits ..........................................31 6.7.1.9 Menor valor que um conversor A/D consegue p erceber (converter) ......31 6.7.1.10 Tempo de conversão do conversor A/D ..................................................31 6.7.1.11 Problema de aliasing .................................................................................31 6.7.1.12 Número de dígitos dos instrumentos digitai s ........................................32 6.7.1.13 Resolução do instrumento e resolução do di splay ................................32 6.7.2 Resolução do instrumento digital............. ....................................................34 6.7.3 Exatidão e precisão de um instrumento digital ...........................................34 6.7.4 Modificação da precisão...................... ..........................................................35 6.7.5 Consulta ao manual do fabricante............. ...................................................35 6.7.6 Limiar de mobilidade vinculada a resolução ... ............................................35 6.7.7 Resposta dinâmica de um medidor .............. ................................................35 6.7.8 Transformada de Laplace – regime transitório – regime permanente.......36 6.7.9 Estudo de caso de medidor digital ............ ...................................................36 6.7.9.1 Gráfico de barras.......................... ...............................................................36 6.7.9.2 Tabelas do manual do usuário............... ....................................................37 6.7.9.3 Trabalho de aplicação...................... ...........................................................39 6.8 Medir.......................................... .........................................................................41 6.9 Medida......................................... .......................................................................42 6.10 Medição....................................... .....................................................................42 6.11 Resultado de uma medição ...................... ......................................................42 6.12 Objetivo de uma medição de qualidade .......... ..............................................42 6.13 Desvio de uma leitura ......................... ............................................................42 6.14 Desvio médio .................................. .................................................................42
6.15 Resultado da medição .......................... ..........................................................42 6.16 Erro ou desvio absoluto ....................... ..........................................................42 6.17 Erro relativo ou desvio relativo de uma mediçã o.........................................43 7 ANÁLISE ESTATÍSTICA DE MEDIDAS................... .............................................44 7.1 Aspectos relevantes ............................ .............................................................44 7.2 Média aritmética ............................... .................................................................44 7.3 Desvio de uma medida em relação à média aritmét ica das medidas ...........44 7.4 Desvio médio ................................... ..................................................................45 7.5 Mediana........................................ ......................................................................45 7.6 Moda........................................... ........................................................................46 7.7 Média, mediana e moda idênticas................ ....................................................46 7.8 Amplitude da dispersão......................... ...........................................................46 7.9 Medidas da dispersão........................... ............................................................46 7.10 Desvio Padrão σσσσ ..............................................................................................46 7.11 Área sob a Curva Gaussiana................... ......................................................47 7.12 Faixa de erro provável ........................ ............................................................48 7.13 Variância ..................................... .....................................................................48 7.14 Distribuição de valores medidos ............... ....................................................49 7.15 Resultado gráfico na forma de histograma...... .............................................49 7.16 Curva Gaussiana–Curva da Lei Normal de Distrib uição..............................50 7.16.1 Análise estatística das medidas ............. ....................................................50 7.16.2 Tabela de ocorrências relativas ............. .....................................................50 8 DADOS DISPERSOS ............................................................................................51 9 PROVIDÊNCIAS INICIAIS PARA UM PROCESSO DE MEDIÇÃO ......................51 10 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO DE MEDIDAS......... ...........................51 10.1 Curva de Gauss determinada pelos erros aleatór ios...................................52 10.2 Porcentagens de erros prováveis correspondente s às diferentes áreas sob a curva de probabilidades...................... .........................................................52 10.2.1 Área sob a curva gaussiana ........................................................................52 11 LIMITE DE ERRO PARA INSTRUMENTOS E COMPONENTES E LÉTRICOS..53 11.1 Erro máximo para instrumentos ................. ...................................................53 11.2 Limite de erro em resistores, capacitores, ind utores: faixa de erro ou tolerância ......................................... ........................................................................54 12 FÓRMULAS PARA A INCERTEZA CALCULADA EM LABORATÓR IOS INDUSTRIAIS E PARÂMETROS COMPLEMENTARES ............ .............................55 12.1 Nível de confiança recomendado ................ ..................................................55 12.2 Resultado da medição .......................... ..........................................................55 12.3 Ferramentas para apresentação dos dados ....... ..........................................55 12.3.1 Tabelas ..................................... .....................................................................55 12.3.2 Gráficos.................................... .....................................................................55 12.3.3 Equação matemática determinada pela regressã o linear.........................55 12.4 Universo ou população......................... ..........................................................56 12.5 A Distribuição de Student..................... ..........................................................56 12.6 Fórmulas para o resultado da medição em labora tórios industriais ..........61
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1 VANTAGENS DE UMA CULTURA METROLÓGICA
O desenvolvimento da metrologia possibilita maior produtividade, redução de
perdas e custos, aprimoramento da qualidade dos serviços e produtos, além da harmonização interdisciplinar da terminologia metrológica.
2. VOCABULÁRIO DE TERMOS BÁSICOS
Foram estabelecidos termos pelo presidente do Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – INMETRO que, em 10.03.1995, publicou a portaria nº 29.
A seguir, apresenta-se um extrato selecionado da obra “Vocabulário internacional de termos fundamentais e gerais da metrologia”, decorrente dessa portaria1.
Os termos podem ser agrupados, conforme sua aplicação ou vinculação.
2.1 Grandeza e unidade de medida
2.1.1 Grandeza mensurável
Atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado.
2.1.2 Sistema de grandezas
Conjunto de grandezas, em um sentido geral, entre as quais há uma relação definida.
2.1.3 Grandeza de base
Grandeza que, em um sistema de grandezas, é por convenção aceita como
funcionalmente independente de uma outra grandeza.
2.1.4 Grandeza derivada
Grandeza definida, em um sistema de grandezas, como função de grandezas de base deste sistema.
2.1.5 Unidade (de medida)
Grandeza específica, definida e adotada por convenção, com a qual outras grandezas de mesma natureza são comparadas para expressar suas magnitudes em relação àquela grandeza.
2.1.6 Símbolo de uma unidade (de medida)
Sinal convencional que designa uma unidade de medida.
1 INMETRO. Vocabulário internacional de termos fundamentais e gerais de metrologia . 2. ed. Brasília: SENAIDN, 2000, p. 13 a 64.
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2.1.7 Sistema de unidades (de medida)
Conjunto das unidades de base e unidades derivadas, definido de acordo com regras específicas, para um dado sistema de grandezas.
2.1.8 Unidade (de medida) (derivada) coerente
Unidade de medida derivada que pode ser expressa como um produto de potências de unidades de base com fator de proporcionalidade um.
2.1.9 Sistema Internacional de Unidades
Sistema coerente de unidades adotado e recomendado pela Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM).
2.1.10 Valor (de uma grandeza)
Expressão quantitativa de uma grandeza específica, geralmente sob a forma de uma unidade de medida multiplicada por um número.
2.1.11 Valor verdadeiro (de uma grandeza)
Valor consistente com a definição de uma dada grandeza específica. Observação: É um valor que seria obtido por uma medição perfeita.
2.1.12 Valor numérico (de uma grandeza)
Número que multiplica a unidade na expressão do valor de uma grandeza.
2.2 Operações de medição
2.2.1 Medição
Conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza.
2.2.2 Metrologia
Ciência da medição.
2.2.3 Princípio de medição
Base científica de uma medição.
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2.2.4 Método de medição
Sequência lógica de operações, descritas genericamente, usadas na execução das medições.
2.2.5 Procedimento de medição
Conjunto de operações, descritas especificamente, usadas na execução de medições particulares, de acordo com um dado método.
2.2.6 Mensurando
Objeto da medição.
2.2.7 Grandeza de influência
Grandeza que não é o mensurando, mas que afeta o resultado da medição deste.
2.2.8 Valor transformado de um mensurando
Valor do sinal de uma medição representando um dado mensurando. 2.3 Características e resultados de medição
2.3.1 Resultado de uma medição
Valor atribuído a um mensurando obtido por medição.
2.3.2 Indicação (de um instrumento de medição)
Valor de uma grandeza fornecido por um instrumento de medição.
2.3.3 Resultado corrigido
Resultado de uma medição, após a correção, devida aos erros sistemáticos.
2.3.4 Exatidão de medição
Grau de concordância entre o resultado de uma medição e o valor verdadeiro do mensurando.
Observações: 1) Exatidão é um conceito qualitativo. 2) O termo precisão não deve ser utilizado como exatidão.
2.3.5 Repetitividade (de resultados de medições)
Grau de concordância entre os resultados de medições sucessivas de um mesmo mensurando efetuadas sob as mesmas condições de medição.
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Observações: 1) Estas condições são denominadas condições de repetitividade. 2) Condições de repetitividade incluem: - mesmo procedimento de medição; - mesmo observador; - mesmo instrumento de medição, utilizado nas mesmas condições; - mesmo local; - repetição em curto período de tempo. 3) Repetitividade pode ser expressa, quantitativamente, em função das
características da dispersão dos resultados.
2.3.6 Reprodutibilidade (dos resultados de medição)
Grau de concordância entre os resultados das medições de um mesmo mensurando efetuadas sob condições variadas de medição.
Observações: 1) Para que uma expressão da reprodutibilidade seja válida, é necessário que
sejam especificadas as condições alteradas. 2) As condições alteradas podem incluir: - princípio de medição; - método de medição; - observador; - instrumento de medição; - padrão de referência; - local; - condições de utilização; - tempo. 3) Reprodutibilidade pode ser expressa, quantitativamente, em função das
características da dispersão dos resultados. 4) Os resultados aqui mencionados referem-se, usualmente, a resultados
corrigidos.
2.3.7 Desvio padrão experimental
Para uma série de “n” medições de um mesmo mensurando, a grandeza “s”, que caracteriza a dispersão dos resultados, é dada pela fórmula:
onde xi representa o resultado da “iésima” medição e representa a média
aritmética dos “n” resultados considerados. Observações: 1) Considerando uma série de “n” valores como uma amostra de uma
distribuição, é uma estimativa não tendenciosa da média µ e s² é uma estimativa não tendenciosa da variância desta distribuição.
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2.3.8 Incerteza de medição
Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentadamente atribuídos a um mensurando.
Observações: 1) O parâmetro pode ser, por exemplo, um desvio padrão (ou um múltiplo
dele), ou a metade de um intervalo correspondente a um nível de confiança estabelecido.
2.3.9 Erro (de medição)
Resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do mensurando.
2.3.10 Erro relativo
Erro da medição dividido pelo valor verdadeiro do objeto da medição
2.3.11 Erro sistemático
Média que resultaria de um infinito número de medições do mesmo mensurando, efetuadas sob condições de repetitividade, menos o valor verdadeiro do mensurando.
Observações: 1) Erro sistemático é igual ao erro menos o erro aleatório.
2.3.12 Correção
Valor adicionado algebricamente ao resultado não corrigido de uma medição para compensar um erro sistemático.
Observações: 1) A correção é igual ao erro sistemático estimado com sinal trocado.
2.4 Instrumentos medidores e dispositivos acoplados
Muitos termos diferentes são empregados para descrever os artefatos utilizados nas medições. Este vocabulário define somente uma seleção de termos preferenciais; a lista a seguir, mais completa, está organizada em ordem aproximadamente crescente de complexidade. Esses termos não são mutuamente excludentes.
a - elemento b - componente c - parte d - transdutor de medição e - dispositivo de medição f - material de referência g - medida materializada
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h - instrumento de medição i - aparelhagem j - equipamento k - cadeia de medição l - sistema de medição m - instalação de medição
2.4.1 Instrumentos de medição
Dispositivo utilizado para uma medição, sozinho ou em conjunto com dispositivo(s) complementar (es).
2.4.2 Sistema de medição
Conjunto completo de instrumentos de medição e outros equipamentos acoplados para executar uma medição específica.
2.4.3 Instrumento de medição mostrador / indicador
Instrumento de medição que apresenta uma indicação. Observações: 1) A indicação pode ser analógica (contínua/descontínua) ou digital. 2) Valores de mais de uma grandeza podem ser apresentados
simultaneamente. 3) Um instrumento de medição indicador pode, também, fornecer um registro.
2.4.4 Instrumento de medição registrador
Instrumento de medição que fornece um registro da indicação.
2.4.5 Instrumento totalizador
Instrumento de medição que determina o valor de um mensurando, por meio da soma dos valores parciais desta grandeza, obtidos, simultânea ou consecutivamente, de uma ou mais fontes.
2.4.6 Instrumento integrador
Instrumento de medição que determina o valor de um mensurando por integração de uma grandeza em função de outra.
2.4.7 Instrumento analógico
Instrumento de medição no qual o sinal de saída ou a indicação é uma função contínua do mensurando ou do sinal de entrada.
2.4.8 Instrumento de digital
Instrumento de medição que fornece um sinal de saída ou uma indicação em forma digital.
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2.4.9 Índice
Parte fixa ou móvel de um dispositivo mostrador, cuja posição em relação às marcas de escala permite determinar um valor indicado.
2.4.10 Valor de uma divisão
Diferença entre os valores da escala correspondentes a duas marcas sucessivas.
2.4.11 Escala linear
Escala na qual o comprimento de uma divisão está relacionado com o valor de uma divisão correspondente por um coeficiente de proporcionalidade constante ao longo da escala.
2.4.12 Escala com zero suprimido
Escala cuja faixa de indicação não inclui o valor zero.
2.4.13Ajuste de um instrumento de medição
Operação destinada a fazer com que um instrumento de medição tenha desempenho compatível com o seu uso.
2.4.14 Regulagem de um instrumento de medição
Ajuste, empregando somente os recursos disponíveis no instrumento para o usuário. 2.5 Características de instrumentos e dispositivos de medição
2.5.1 Faixa nominal
Faixa de indicação que se pode obter em uma posição específica dos controles de um instrumento de medição.
Figura 1 – Escala linear de amperimetro
Figura 2 – Escala não linear de voltímetro
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2.5.2 Amplitude da faixa nominal
Diferença, em módulo, entre os dois limites de uma faixa nominal.
2.5.3 Faixa de medição ou faixa de trabalho
Conjunto de valores de um mensurando para o qual se admite que o erro de um instrumento de medição mantém-se dentro dos limites especificados.
2.5.4 Condições de utilização
Condições de uso para as quais as características metrológicas especificadas de um instrumento de medição mantêm-se dentro de limites especificados.
2.5.5 Constante de um instrumento
Fator pelo qual a indicação direta de um instrumento de medição deve ser multiplicada para obter-se o valor indicado do mensurando ou de uma grandeza utilizada no cálculo do valor do mensurando.
2.5.6 Sensibilidade
Variação da resposta de um instrumento de medição dividida pela correspondente variação do estímulo.
2.5.7 (Limiar de) mobilidade
Maior variação no estímulo que não produz variação detectável na resposta de um instrumento de medição, sendo a variação no sinal de entrada lenta e uniforme.
2.5.8 Conceitos sobre resolução
Menor diferença entre indicações de um dispositivo mostrador analógico que pode ser significativamente percebida.
Observações: 1) Para dispositivo mostrador digital, é a variação na indicação quando o
dígito menos significativo varia de uma unidade.
2.5.9 Zona morta
Intervalo máximo no qual um estímulo pode variar em ambos os sentidos, sem produzir variação na resposta de um instrumento de medição.
2.5.10 Estabilidade
Aptidão de um instrumento de medição em conservar constantes suas características metrológicas ao longo do tempo.
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2.5.11 Discrição
Aptidão de um instrumento de medição em não alterar o valor do mensurando.
2.5.12 Exatidão de um instrumento de medição
Aptidão de um instrumento de medição para dar respostas próximas a um valor verdadeiro.
2.5.13 Erro de um instrumento de medição
Indicação de um instrumento de medição menos o valor verdadeiro da grandeza de entrada correspondente.
2.5.14 Erros máximos admissíveis
Valores extremos de um erro admissível por especificações, regulamentos, etc., para um dado instrumento de medição.
2.5.15 Tendência
Erro sistemático da indicação de um instrumento de medição.
2.5.16 Repetitividade
Aptidão de um instrumento de medição em fornecer indicações muito próximas, em repetidas aplicações do mesmo mensurando, sob as mesmas condições de medição.
2.6 Material de referência, medidores e sistemas pa drão
2.6.1 Padrão
Medida materializada, instrumento de medição, material de referência ou sistema de medição destinado a definir, realizar, conservar ou reproduzir uma unidade ou um ou mais valores de uma grandeza para servir como referência.
Exemplos: a) Massa padrão de 1 kg; b) Resistor padrão de 100 Ω; c) Amperímetro padrão; d) Padrão de frequência de césio; e) Eletrodo padrão de hidrogênio; f) Solução de referência de cortisol no soro humano, tendo uma concentração
certificada.
2.6.2 Calibração
Conjunto de operações que estabelece, sob condições especificadas, a relação entre os valores indicados por um instrumento de medição ou sistema de
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medição ou valores representados por uma medida materializada ou um material de referência, e os valores correspondentes das grandezas estabelecidos por padrões.
Observações: 1) O resultado de uma calibração permite tanto o estabelecimento dos valores
do mensurando para as indicações como a determinação das correções a serem aplicadas.
2) O resultado de uma calibração pode ser registrado em um documento, algumas vezes denominado certificado de calibração ou relatório de calibração.
3 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
O número de algarismos significativos com que a medida deve ser expressa é indicativo da precisão dessa medida. Contém informações sobre a magnitude e precisão da medida da variável sob medição.
Exemplos:
1-Seja o resistor cujo valor nominal é de 75Ω. Sua resistência real deve se aproximar mais de 75 Ω, do que de 74Ω ou 76Ω.
2-O valor nominal do resistor é de 87,1Ω. Sua resistência real deve se aproximar mais de 87,1 Ω do que de 87,0 Ω ou 87,2Ω.
3-Se são especificados 100 Ω e 100,3 Ω para o resistor, o segundo valor tem mais precisão.
Quanto maior o número de algarismos significativos, maior será a precisão da medição.
Os zeros que posicionam a vírgula não são significativos. Os zeros na extremidade esquerda do número não são significativos.
Exemplos: Medida Número de algarismos significativos
0,025 cm 2 0,349 s 3 0,0070000 m 5
3.1 Notação científica com potências de 10
Nem sempre o número de algarismos ou dígitos da medida é significativo, ou seja, corresponde à precisão devida para a medida. Pode haver alguma impropriedade e esse número não reflete a precisão da medida, quando por exemplo, o valor da medida tem mais de um algarismo duvidoso.
Exemplos:
- Uma população é avaliada em 470.000 habitantes. Se todos os algarismos forem significativos, a população estaria entre 470.001 e 469.999 habitantes. Se o
15
levantamento realizado mostra que a população é mais próxima de 470.000 do que de 460.000 ou 480.000, o número de algarismos significativos são dois.
Em notação científica de potências de 10, a quantidade 470.000 habitantes fica corretamente representada como 4,7 x 105 habitantes.
-A carga do elétron é 1,6022x10 –19 C
-A velocidade da luz é de 3,0 x 105 km/s.
3.2 Registros possíveis para uma medição
A medição feita com um voltímetro é de 127,0 V. Está bem mais próxima de 127,0 V do que de 126,9 V ou 127,1 V.
3.3 Registro do resultado de uma medição consideran do o erro possível
O erro possível permite que sejam conhecidos os limites entre os quais o valor medido se encontra. Quando se busca o valor mais próximo do verdadeiro, são feitas várias medições independentes da grandeza. Seu valor mais provável será entendido como a média aritmética das medidas acompanhada do máximo desvio das medidas com relação à média.
Para o valor medido de 127,10 ± 0,03 V, a faixa de valores possíveis seria:
de (127,10 + 0,03) V =127,13 V até (127,10 – 0,03) V = 127,07 V, ficando assim representada a medição: 12 7,07 V ≤valor medido ≤ 127,13V.
Esse resultado é expresso pela média aritmética das medições associada a uma faixa de erros possíveis correspondente ao máximo desvio entre as medições e a média delas.
Exemplo:
Para as medidas de tensão 127,06 V, 127,05 V, 127,04 V, e 127,09 V, calcular:
a) A tensão média
b) A faixa de erros
Tensão média = 4
VV V V 4321 +++ = 127,06 V
Faixa de erros: Vmáx - Vmédio = 127,09 – 127,06 = 0,03 V Vmédio - Vmin = 127,06 – 127,04 = 0,02 V Faixa de erros da medida = 0,03 + 0,02 = + 0,025 = + 0,03 V 2 Resultado da medição = 127,06 + 0,03 V
16
Exemplo:
Para a ligação de R1 = 15,6Ω, R2 = 2,328 Ω em série, calcular a resistência total, com o número correto de algarismos significativos.
Regra: O resultado de uma adição deve ter o mesmo n úmero de casas decimais que a parcela com menor número de casas de cimais.
RT = 2,328+ 15,6 = 17,928 = 17,9 Ω Exemplo: Uma corrente de 2,31 A percorre uma resistência de 40,23 Ω. V = R x I = 2,31 x 40,23 = 92,9313 = 92,9 V
Regra: O produto não pode ter maior precisão (maior número de algarismos significativos) do que o fator de menor precisão (m enor número de algarismos significativos).
Os dígitos extras do resultado (da resposta), devem ser arredondados.
Nota: Se o dígito mais significativo a ser descarta do for maior que 5, o dígito anterior deve ser acrescido de uma unidade. Se o dí gito mais significativo a ser descartado for menor que 5, o d ígito anterior permanece com seu valor. Se o dígito mais significa tivo a ser descartado for igual a 5, o dígito anterior poderá ou não ser acrescido de uma unidade, a critério do responsável pelos cálcul os.
Exemplo:
Tem-se a tensão de 120,0V e a corrente de 1,57A num resistor. Qual é a sua resistência?
R = I
V=
1,57
120,0V= 76,433 = 76,4Ω
Regra: Na divisão ou na multiplicação o resultado d eve ter a quantidade de algarismos significativos correspondente à do númer o com a menor quantidade de algarismos significativos.
17
4 MENSURANDO E ERRO DE MEDIÇÃO
4.1 Mensurando
“Objeto da medição. Grandeza específica submetida à medição”2.
4.2 Conceito de erro
É a diferença entre o valor medido e o valor real ou verdadeiro da grandeza.
4.3 Erro na medição
Erro de medição é a diferença algébrica entre o valor da medição e o valor verdadeiro do mensurando. Sua unidade é a mesma da grandeza medida.
Não se consegue o resultado de uma medição absolutamente exato. A análise estatística da medição possibilita-nos conhecer seu grau de exatidão.
Um estudo de erros possibilita diminuir a sua propagação nas medições indiretas e aumentar a precisão do resultado.
E = valor da medição – valor real da grandeza
4.4 Correção da medida
Correção da medida é o erro decorrente dela com o sinal invertido.
C = - E
A correção deve ser adicionada algebricamente à medida ainda sem correção, para compensar o erro.
4.5 Valor verdadeiro
O valor verdadeiro de uma grandeza pode ser obtido pelo o valor medido acrescido da correção. Isto se considerarmos a medição com um instrumento. Tratando-se do valor nominal da resistência de um resistor, seu valor verdadeiro ou real corresponderá ao seu valor nominal acrescido da correção.
4.6 Classificação dos erros
Erro grosseiro : é cometido pelo usuário do medidor. É provocado por dúvida, engano, mau uso do equipamento, deslize.
Erro sistemático : é a tendência de erro de um medidor.
Erro aleatório ou residual : é provocado no instrumento de modo imprevisível.
2 INMETRO. Vocabulário internacional de termo fundamentais e g erais de metrologia : portaria
INMETRO no 029 de 1995. 5. ed. Rio de Janeiro: INMETRO, SENAI - Departamento Nacional, 2007. p. 24.
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4.7 Fontes de erro
Ocorrem erros dos instrumentos, dos operadores, do procedimento adotado, das condições ambientais do local da medição, dos materiais utilizados que são consumidos ou deteriorados com o tempo.
4.8 Erro absoluto
É o valor absoluto do erro, ou seja, da diferença entre o valor da medida e o real ou verdadeiro da grandeza.
4.9 Erro relativo
É a razão entre o erro da medida e o valor verdadeiro.
Exemplo:
O valor verdadeiro de uma tensão são 20,0V, o valor encontrado através da
utilização de um voltímetro foi 19,9V. O erro relativo é 0,20
0,209,19 − =
0,20
1,0− = − 5 x 10-3
4.10 Erro relativo percentual
É o erro relativo tomado em porcentagem. No caso anterior o seu valor é – 0,5%.
4.11 Erros grosseiros
São erros provenientes de erros humanos. Pode surgir sempre que houver a presença do homem na execução da medição. Decorrem, em sua essência, de erro do operador. Podem ser leituras e/ou ajustes incorretos, aplicação incorreta do instrumento de medição ou do método de medição utilizado, erros computacionais, efeito de carga, etc. Esses erros podem ser evitados com a repetição dos ensaios pelo operador ou por outros operadores. Assim sendo, o efeito de carga de instrumento, o erro de leitura e/ou de seu registro provocam erro grosseiro na medição.
4.12 Erros sistemáticos
Para um instrumento de medição erro sistemático é denominado tendência.
São erros instrumentais devidos a falhas de medidores defeituosos. Podem decorrer ainda de efeitos ambientais sistemáticos de temperatura, pressão, umidade relativa do ar, campo elétrico ou magnético. Os erros causados por fatores ambientais podem ser eliminados com a escolha correta do instrumento devidamente protegido contra cada tipo de influência perturbadora do meio ambiente. É o caso do medidor contar a existência de blindagem magnética ou
19
elétrica, utilização de ar condicionado no ambiente onde ocorre a medição, encapsulamento de componentes ou controle da umidade relativa do ar.
Os erros sistemáticos de um medidor podem ser identificados através de uma comparação com medições realizadas com outro instrumento. Este deve ser devidamente protegido contra a perturbação ambiental, de melhor classe de exatidão, e possuidor das demais características similares às do primeiro instrumento.
Os erros sistemáticos podem ainda ser estáticos ou dinâmicos ao longo do tempo.
Os dinâmicos podem ser causados por uma demora do instrumento ao responder a uma alteração da variável sob medição.
4.13 Erros acidentais ou aleatórios
São provocados por fenômenos aleatórios, devido a causas desconhecidas atuando sobre os instrumentos, independentemente da ocorrência de erros sistemáticos e de erros grosseiros. Não há como identificar suas origens nem quando vão atuar nem a sua intensidade.
Para que os erros aleatórios possam ser compensados, deve-se fazer um grande número de leituras. O valor estimado deverá corresponder à média aritmética das leituras das medidas acompanhada do desvio relativo ou da medida de incerteza definidos pela análise estatística dos resultados.
4.14 Abandono de leituras
As leituras sem sentido ou muito divergentes com relação à média das amostras, devem ser abandonadas, pois devem estar afetadas com erros grosseiros de medição, leitura ou registro e/ou de erros sistemáticos.
4.15 Aplicação de erro grosseiro
O efeito de carga é um erro grosseiro introduzido pelo o ser humano devido à escolha indevida do instrumento.
Exemplo:
O voltímetro V tem escala de 100V, sensibilidade voltimétrica
Sv de 1100Ω/V e indica 100V.
O miliamperímetro com resistência interna RA nula, indica corrente de 5 mA.
20
Figura 3 – Diagrama de circuito elétrico
Calcular: a) a resistência aparente Rxa do resistor desconhecido. b) a resistência real Rx do resistor desconhecido. c) O erro relativo percentual de Rxa, resistência aparente com relação a
resistência real Rx devido ao efeito de carga do voltímetro. Solução:
Resistência aparente= Rxa = I
V =
5mA
100V = 20 kΩ
Resistência do voltímetro=Rv = 100 x 1100 Ω/V= 110 kΩ
Rxa = XV
XV
RR
Rx R
+; Rxa x (Rv + Rx ) = Rv x Rx ; Rxa Rv + Rxa Rx ) = Rv x Rx
Rxa x Rv = Rv x Rx - Rxa Rx = (Rv – Rxa) Rx
Rx = xaV
vxa
RR
Rx R
− =
20101
x20x10101 3
− = Rx = 24,44 kΩ
Erro relativo % = x
xxa
R
)R -(R x 100% =
44,24
24,44-20x 100% = - 18%
21
Exemplo: Temos um voltímetro com escala de 100V. Sua sensibilidade é Sv = 1100 Ω/V . A tensão indicada é de 40V. A resistência interna do miliamperímetro é RA = 0 e a corrente indicada foi alterada para 800 mA, se comparada com a figura 3 do exemplo anterior.
Figura 4 – Diagrama de circuito elétrico
Calcular: a) Rxa a resistência aparente do resistor desconhecido. b) Rx a resistência real do resistor desconhecido. c) O erro devido ao efeito de carga do voltímetro na medição da Rxa aparente
comparado com Rx real. Solução:
Rxa = 0,8A
40V = 50 Ω
Rv = 100 x 1100 Ω/V = 110 kΩ
Rxa = xv
xv
RR
Rx R
+ ; Rx =
xav
vxa
RR
Rx R
− (conforme deduzido no exemplo anterior).
Rx = xav
vxa
RR
Rx R
− =
50110x10
50x110x103
3
− = 50 Ω
Erro relativo percentual = x
xxa
R
R -R x 100% =
50
5005 − x 100% = 0%
22
Conclusão: Não devemos medir tensão com um voltímet ro de baixa resistência, principalmente entre dois pontos de al ta resistência, pois seu efeito de carga seria elevado. Um voltímet ro digital com alta impedância de entrada tem efeito de carga desp rezível.
5 PROPAGAÇÃO DE ERROS NAS MEDIÇÕES INDIRETAS
Muitas medições indiretas de grandezas resultam de operações aritméticas com valores de medições diretas de outras grandezas. Exemplo:
Podemos medir R indiretamente, utilizando valores medidos diretamente de V
e I na fórmula anterior. O erro na medição indireta de R será uma propagação dos erros nas
medições diretas de V e I. 5.1 Medição indireta com adição ou subtração
5.1.1 Erro absoluto na medição com adição ou subtra ção
Nas medições indiretas com soma e subtração os desvios absolutos ou erros absolutos se somam, independentemente do sinal de cada um. G ± δG = (G1 ± δG1 )+ (G2 ± δG2) ........+(Gn ± δGn) δG = ± δG1 ± δG2 ± ......... ± δGn = ± (δG1 + δG2 + ......... + δGn)
Exemplo: (S1 ± δS1) + (S2 ± δS2) = (S1 + S2) ± (δS1 + δS2)
Exemplo: (S1 ± δS1) - (S2 ± δS2) = (S1 - S2) ± (δS1 + δS2)
5.1.2 Erro relativo na medição com adição
G ± δG = (G1 ± δG1 )+ (G2 ± δG2) =(G1 + G2) ± (δG1 + δG2)
γG = 21
21
GGGG
++ δδ
5.1.3 Erro relativo na medição com subtração
G ± δG = (G1 ± δG1 ) - (G2 ± δG2) =(G1 - G2) ± (δG1 + δG2)
γG = 21
21
GGGG
−+ δδ
23
Nota: γγγγG terá valor elevado quando G1 - G2 for de valor reduzido. γγγγG poderá tender para infinito . As medições indiretas através de subtração devem ser evitadas quando a diferença G 1 - G2 for reduzida, pois o erro relativo da medição atingirá valor absurdo.
5.2 Multiplicação
G ± δG = (G1 ± δG1 ) · (G2 ± δG2) = G1 · G2 ± G1 . δG2 ± G2 . δG1 ± (δG1 . δG2) δG1 . δG2 é de valor desprezível. G ± δG = G1 · G2 ± G1 . δG2 ± G2 . δG1
21
1G2G21
21
G
.GG
.δG.δG
.GG
δ ±±=
±
γG = ± (γG1 + γG2 )
Na multiplicação os erros (desvios) relativos se somam. G ± δG = (G1 ± δG1 ) · (G2 ± δG2)..... (Gn-1 ± δG n-1 )
Gn
Gn
2
2G
1
1GG
G
δ.....
G
δ
G
δ
G
δ±±±±=
)γ.....γγ(γγ nG3G2G1GG ++++±= 5.3 Quociente
Na divisão os erros (desvios) relativos se somam. Desenvolvendo raciocínio análogo ao da multiplicação anterior, teremos:
G ± γG = ±=
+±=
±±
2
1
2
2
1
1
2
1
22
11
G
G
G
δG
G
δG
G
G
δGG
δGG(γG1 + γG2 )
±=±±
2
1
22
11
G
G
δGG
δGG(γG1 + γG2 )
5.4 Fórmula geral envolvendo produto e quociente de potência
dGnn
c1-Gn1-n
b2G2
a1G1
) (G
) ...(G) (G) (GG
δδδδ
±±±±
=
Gn1GnG2G1G dγcγ...bγaγγ ±±±±= −
24
)dγcγ...bγ(aγG
...GGGG Gn1GnG2G1d
n
1cn
b2
a1 +++±= −
−
Exemplo: Um resistor R = 100 + 0,2 Ω, é percorrido por uma corrente I = 2,00 + 0,01 A.
Calcular o erro relativo percentual provável para o cálculo da potência dissipada. R = 100 + 0,2 Ω = 100 + 0,2 % I = 2,00 + 0,01 A =2,00 + 0,5% P = R x I² = R x I x I
γP = + 1 γ R + 2
γ I Erro relativo percentual provável = +0,2% + 2 x 0,5% = + 1,2% 5.5 Incerteza no processo de medição de amostras
Incerteza é a estimativa que permite caracterizar a faixa de valores em que se encontra o verdadeiro valor da grandeza medida.
5.6 Soma de medições com uma faixa de incerteza
Exemplo: A soma de N1 = (725 + 5) Ω e N2 =(526 + 3) Ω (725 + 0,690 %) + (526 + 0,570 %) = (1251 + 8) Ω = (1251 + 0,64 %) Ω Nota: A faixa de incerteza da adição resultante não difere muito das faixas das
parcelas.
Regra: O resultado da adição deve ter o mesmo númer o de casas decimais que a parcela com menor quantidade de casas decimais.
23,54508 0,43 + 23,97 5.7 Subtração de medições com faixa de incerteza
Considerar N1= 725 ± 5 e N2 = 526 ± 3 do exemplo anterior.
Subtração: N1 - N2 = 199 + 8 = 199 + 4%
25
5.7.1 O erro relativo percentual com relação ao val or da diferença
Na subtração há um grande acréscimo da incerteza do resultado em relação à das parcelas. O erro relativo percentual com relação ao valor da diferença pode tender para infinito se o valor da diferença tender para zero, pois o denominador da fração a ser calculada será quase nulo.
Nota: As medições resultantes de subtração de valo res próximos devem ser evitadas pois a faixa de incerteza do resultado fin al poderá ser bastante elevada, com relação à diferença,ou seja, o erro re lativo percentual poderá ser muito grande, tornando o resultado absur do.
6 CONCEITOS METROLÓGICOS
6.1 Instrumento de medição
É o recurso físico utilizado para se determinar o valor de uma grandeza.
6.2 Exatidão
A exatidão de um instrumento corresponde ao grau de concordância entre a medição realizada com o instrumento e o valor verdadeiro da grandeza.
É o grau de proximidade entre o valor medido e o valor verdadeiro.
Suponhamos dois voltímetros idênticos. Se a resistência interna de um deles variar, sua indicação será afetada com erro.
As exatidões das medições com os dois serão diferentes. Para se saber qual dos dois foi afetado, basta comparar a indicação de cada um com a de um voltímetro padrão.
A exatidão de um instrumento só pode ser verificada quando ocorrer comparação da medição deste com outra, da mesma grandeza, realizada através de um instrumento padrão. A exatidão é um aspecto qualitativo.
6.2.1 Exatidão total para uma medição
Nenhuma medida é realizada com plena exatidão, isto é, sem erro.
6.2.2 Avaliação da exatidão do resultado de uma med ição
Num processo de medição necessitamos conhecer a exatidão dos resultados, para avaliar sua qualidade em função das exigências feitas para sua obtenção. Para avaliar a exatidão dos resultados será necessário conhecer os tipos de erros envolvidos e como trabalhar com os mesmos.
26
6.3 Classe de exatidão de um instrumento analógico
É um índice que avaliado em porcentagem do valor final da escala do instrumento o resultado corresponde ao seu erro absoluto máximo possível, para qualquer uma das suas indicações.
Quando dizemos que um instrumento de medição pertence a uma determinada classe de exatidão , estamos informando que ele “satisfaz a certas exigências metrológicas destinadas a conservar os erros dentro de limites especificados. Observação: uma classe de exatidão é usualmente indicada por um número ou símbolo adotado por convenção e denominado índice de classe”3.
Quando o manual do fabricante não está disponível, é necessário realizar um levantamento das curvas de correção para o instrumento com o auxílio de um instrumento padrão do qual se conheça a exatidão.
6.4 Precisão
A precisão corresponde ao grau de afastamento entre várias medidas sucessivas de um mesmo valor de uma grandeza. Corresponde ao grau de reprodutibilidade da medida repetida sob condições que podem variar. Para um nível de afastamento haverá um nível de proximidade correspondente.
A precisão revela o grau de proximidade entre vários valores medidos de uma mesma grandeza, com um mesmo instrumento ou com instrumentos diferentes, sob condições que podem variar.
Possui duas características: grau de concordância d as medidas e número de algarismos significativos, com os quais a medição é realizada.
Exemplo: Se uma resistência com o valor real 1.593.681 Ω, é medida com um mesmo multímetro várias vezes. Obtém-se repetidamente o valor indicado de 1,6MΩ. Com a escala utilizada, este é o valor mais próximo do verdadeiro. Se o número de algarismos significativos fosse maior, poderíamos perceber maior ou menor precisão, desde que percebêssemos a partir de qual algarismo haveria diferença entre as indicações. Aí poderíamos avaliar a precisão em função do grau de aproximação entre os valores das medidas.
O erro criado pelo número limitado de algarismos si gnificativos, é um erro de precisão .
Se a precisão fosse maior, haveria maior número de algarismos significativos nos valores e o grau de afastamento entre as medidas seria menor. Caso o número de algarismos significativos fosse maior, o erro criado seria menor.
O grau de concordância de valores é necessário neste caso, mas não é suficiente, uma vez que é necessário que possamos observar a partir de qual algarismo significativo acontecem as variações dos valores medidos. Isto não ocorre no exemplo anterior das medições de uma resistência com um multímetro. 3 INMETRO. Vocabulário internacional de termo fundamentais e g erais de metrologia : portaria
INMETRO no 029 de 1995. 5. ed. Rio de Janeiro: INMETRO, SENAI - Departamento Nacional, 2007. p.49.
27
A precisão das medidas pode ser quantificada pelo grau de dispersão entre as mesmas, em observações sucessivas. O desvio é uma avaliação passível de precisão. A precisão pode ser quantificada.
6.5 Resolução do instrumento analógico
Corresponde à diferença entre os dois valores indicados pelo o instrumento correspondentes a duas graduações adjacentes da sua escala.
Figura 5 - Escala de voltímetro com resolução de 1 V
6.6 Sensibilidade
É a razão entre a resposta do instrumento e o estímulo que recebeu. Num instrumento analógico sua resposta é o ângulo de deflexão do ponteiro e o estímulo é o valor da grandeza que está sendo medida. Portanto quanto maior a deflexão, para o mesmo valor sob medição, maior será a sensibilidade do instrumento.
6.7 Instrumentos digitais
6.7.1 Considerações gerais
6.7.1.1 Exibição na forma de dígitos
Instrumentos digitais exibem os valores das grandezas medidas na forma de dígitos discretos. Esta característica os torna sensivelmente diferentes dos instrumentos de medição analógicos que utilizam a deflexão de um ponteiro sobre uma escala contínua, para indicar o valor da grandeza medida. Algumas características tornam os instrumentos digitais preferidos para algumas aplicações. A utilização desses instrumentos proporciona aspect os positivos: possibilita leituras mais rápidas, sem erro de interpolação e s em erro paralaxe da parte do usuário. Sua saída digital é processável.
Para que se possa fazer o melhor uso de um instrumento digital de medida é necessário conhecer algumas de suas características funcionais. É o caso da resolução e da exatidão.
28
6.7.1.2 O número de dígitos de um instrumento
O número de dígitos de um instrumento define a resolução do instrumento.
Número de Dígitos
Fundo de
Escala
Total de Contagens
Fundo de Escala em Múltiplo de
3 1/2 1999 2000 2
3 3/4 3999 4000 4
4 1/2 19999 20000 2
4 3/4 39999 40000 4
4 4/5 49999 50000 5
A unidade do dígito mais à direita corresponde ao m enor valor de medição feita pelo instrumento. Correspondente à re solução do instrumento.
6.7.1.3 Bit e palavra digital
O bit pode corresponder a 1 ou 0.
O BYTE ou palavra digital é um conjunto de bits.
Exemplo:
A palavra digital 0 1 0 1 tem quatro bits.
O Bit Mais Significativo (MSB) fica mais à esquerda da palavra digital e o Bit Menos Significativo (LSB) fica mais à direita da palavra.
6.7.1.4 Valor do bit em função da sua posição relat iva na palavra digital
Indicando-se a posição relativa do bit no byte, na sequência da direita para a esquerda, teremos os seguintes respectivos valores:
X......... X X X
... .
... 4 2 1
MSB bit mais
significativo
LSB bit menos
significativo
LSB
MSB
29
Exemplo:
Determinar o valor do byte 1 1 1
1 1 1
O valor é 4 + 2 + 1 = 7
6.7.1.5 Conversor analógico / digital (CAD ou ADC)
Converte um sinal analógico em sinal digital.
6.7.1.6 Conversor digital / analógico (CDA ou DAC)
Converte um sinal digital em sinal analógico.
30
6.7.1.7 Número de bits de um sinal digital - passo de quantização e níveis de
quantização
Admitindo-se que a tabela anterior corresponde a um converso A/D, verifica-se que o sinal digital na sua saída tem 16 níveis de quantização e o passo de quantização é 0,1 V.
31
6.7.1.8 Resolução r de um conversor A/D com N bits
A resolução R de um conversor A/D de N bits pode ser calculada por:
N é o número de bits do sinal digital de saída do conversor A/D.
Ventrada max. e V entrada min são os limites do sinal de entrada analógico do conversor A/D.
Exemplo:
Um conversor A/D é de 8 bits, tem fundo de escala de 20 V e entrada mínima de 0V. Calcular sua resolução.
80mV1256
2012020
8≅
−=
−−
Exemplo:
Trocando o número de bits para N=12, no exemplo anterior, temos:
5mV14096
2012020
Resolução12
≅−
=−−=
6.7.1.9 Menor valor que um conversor A/D consegue p erceber (converter)
O menor valor de sinal analógico de entrada que um conversor A/D consegue converter em sinal digital corresponde à sua resolução. 6.7.1.10 Tempo de conversão do conversor A/D
É o tempo gasto pelo conversor para gerar uma palavra digital, quando recebe um sinal analógico na sua entrada.
6.7.1.11 Problema de aliasing
Ocorre no conversor A/D quando sua frequência de amostragem é menor que a frequência dos componentes do sinal de entrada.
32
6.7.1.12 Número de dígitos dos instrumentos digitai s
O número de dígitos nos displays estão entre 3 e 8 dígitos.
6.7.1.13 Resolução do instrumento e resolução do di splay
Resolução, por definição, é a menor variação na variável medida que pode ser indicada pelo instrumento4. Adaptando esta definição para um instrumento de medição digital podemos dizer que a resolução de um instrumento de medição digital é a menor modificação, para mais ou para menos, na variável medida, que provoca alteração no valor do dígito menos significativo exibido no display do instrumento.
Figura 6 - Paquímetro digital
Em instrumentos digitais é comum haver uma coincidência entre a resolução do instrumento e a resolução do display do instrumento, ou seja, a menor variação na variável medida que pode ser considerada pelo circuito interno do instrumento e que provoca a menor variação exibida no display do instrumento. Apenas para entendimento do que foi dito, considere o paquímetro5 da figura 6 cujo display com 5 dígitos pode indicar número de 0 a 99999 unidades de medida, com ponto decimal em qualquer posição. Quando está medindo na escala de milímetros, pode indicar qualquer comprimento entre 0,00 mm e 150,00 mm, respondendo a variações de 0,01 mm. Quando está medindo na escala de polegadas6 pode indicar qualquer comprimento de 0,0000 in a 6,0000 in, respondendo a variações de 0,0005 in. No primeiro caso, a resolução do instrumento é igual à resolução do display. No segundo caso, não, já que o display pode variar de 0,0001 in, mas o circuito interno
4 HELFRICK, A. D.; COOPER, W. D. Instrumentação eletrônica moderna e técnicas de m edição .
Tradução de Antônio Carlos Inácio Moreira. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1994, p.1. 5 Instrumento para medição de comprimento. 6 Unidade de medida de comprimento do sistema inglês ( ).
33
do instrumento só responde a variações de 0,0005 in, produzindo arredondamento na quarta casa decimal.
A forma mais objetiva de se obter a informação sobre a resolução de um instrumento de medição digital é consultando o manual do fabricante. Ao consultar o manual do fabricante, o usuário do instrumento deve ter atenção para os seguintes aspectos:
a) A resolução de um instrumento pode ou não concordar com a resolução do display (conforme visto no parágrafo anterior).
b) Em instrumentos com múltiplas escalas7, a resolução é um atributo próprio de cada escala. Então, um instrumento com múltiplas escalas terá múltiplas resoluções. Veja na figura 7 um capacímetro digital com múltiplas escalas.
c) Um instrumento que mede várias grandezas8 pode ter resoluções distintas para cada grandeza medida. Veja na figura 8 um multímetro digital.
d) Em instrumentos que possuem o recurso de escala automática9, a resolução é aquela da menor escala que o equipamento pode selecionar automaticamente. Veja na figura 9 um multímetro digital com escala automática.
Figura 7 - Capacímetro Multiescala
Figura 8 - Multímetro digital
7 Múltiplas escalas da mesma grandeza: . 8 Um multímetro mede várias grandezas (exemplo: tensão elétrica, corrente elétrica, resistência
ôhmica, etc.). 9 Instrumentos com seleção automática de escala ajustam automaticamente a escala, para se obter a
melhor (menor) resolução possível durante uma medição.
34
Figura 9 - Multímetro digital com escala automática
Se o manual do fabricante não está disponível, uma observação cuidadosa do display do instrumento durante uma medição pode dar uma boa pista sobre a resolução do instrumento na escala que estiver sendo utilizada.
6.7.2 Resolução do instrumento digital
De modo geral considera-se que a resolução corresponde ao menor valor da grandeza que o instrumento é capaz de medir. Esse valor altera de acordo com a escala selecionada e corresponde a uma unidade no menor algarismo significativo (LSB) apresentado no display.
6.7.3 Exatidão e precisão de um instrumento digital
Exatidão é a medida do grau de concordância entre a indicação de um instrumento e o valor verdadeiro da variável sob medição10. É um conceito qualitativo da aptidão de um instrumento de medição para dar respostas próximas a um valor verdadeiro. O termo não deve ser confundido com precisão (capacidade de reprodução de uma indicação para um mesmo mensurando).
Para se conhecer a exatidão de um instrumento de medição digital é necessário consultar o manual do fabricante e levar em consideração os seguintes aspectos:
a) A exatidão de um instrumento pode variar de uma escala para outra em instrumentos com múltiplas escalas.
b) A exatidão de um instrumento pode variar de uma grandeza para outra em instrumento que mede múltiplas grandezas.
A precisão do instrumento leva a uma incerteza na medição realizada através dele.
A precisão é expressa por uma percentagem da leitura acrescida do número de unidades (contagens) que pode fazer flutuar o dígito (algarismo) menos significativo (LSB) do display.
10 HELFRICK, A. D.;COOPER, W. D. Instrumentação eletrônica moderna e técnicas de m edição .
Tradução de Antônio Carlos Inácio Moreira. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1994, p.1.
35
Exemplo:
Caso (A): ± (2% da leitura + 3 contagens)
3 contagens: esta parcela representa 3 vezes a resolução da escala utilizada
Exemplo :
Caso (B): ± (% da leitura + % do final de escala)
% do final de escala: esta parcela é denomina da incerteza base, pois quando a leitura for igual a zero já haverá esse mínimo de incerteza.
Exemplo:
Caso (C): ± (% da leitura + número de dígitos)
Número de dígitos: é a variação de n unidades no dígito menos significativo (LSB) ou (mais à direita); é equivalente a número de contagens citado no caso (A). O caso C corresponde ao caso A.
6.7.4 Modificação da precisão
A precisão pode ser alterada por condições ambientais, inclusive pela temperatura, resultando, então, a incerteza modificada ou incerteza combinada.
Incerteza total = Incerteza base + Modificação da Incerteza 6.7.5 Consulta ao manual do fabricante
É importante sempre consultar o manual do fabricante, pois a precisão total ou combinada (precisão básica + modificação da precisão) pode ser modificada em função da escala e da variável a ser medida.
6.7.6 Limiar de mobilidade vinculada a resolução
Limiar de mobilidade é a maior variação do sinal de entrada que não produz indicação no instrumento de medição.
O limiar de mobilidade está vinculado à resolução de entrada e à resolução de saída. Esta corresponde à resolução do mostrador.
6.7.7 Resposta dinâmica de um medidor
Quando uma grandeza física varia ao longo tempo, sua medida é denominada dinâmica. A resposta dinâmica do sistema de medição permite a análise do sistema quanto à sua resposta em frequência, tempo de resposta, fator de amortecimento, função de transferência, etc.
36
6.7.8 Transformada de Laplace – regime transitório – regime permanente
A transformada de Laplace transforma operações de diferenciação e de
integração em operações algébricas. Funções como seno, cosseno e exponenciais têm sua transformada de Laplace em forma de relações de polinômios. A transformada de Laplace traduz uma resposta fiel tanto do transitório quanto do regime permanente. A variável s = σ + jw representa uma frequência complexa. A transformada de Laplace de f(t) é F(s).
6.7.9 Estudo de caso de medidor digital
A seguir são apresentadas informações sobre os multímetros digitais marca
Fluke para medição de valores eficazes, modelos 175, 177 e 17911 obtidos no seu Manual do Usuário:
6.7.9.1 Gráfico de barras
Um gráfico de barras corresponde ao deslocamento do ponteiro num
instrumento, portanto corresponde a um mostrador analógico.
Figura 10 – Gráfico de barras
O gráfico de barras, no multímetro Fluke – modelo 179, é atualizado 40 vezes por segundo enquanto que o mostrador digital o é 4 vezes por segundo. Portanto a atualização do gráfico de barras é 10 vezes mais rápido que a atualização do mostrador.
Por isto o gráfico de barras pode ser utilizado para verificação de sinais de entrada que variam rapidamente em valor eficaz, além de ajustes de valores de pico e de valor eficaz nulo. O instrumento tem indicação de sobrecarga à direita do mostrador e indicação de polaridade (±) à esquerda. Para indicações de temperatura e frequência o gráfico de barras é desabilitado.
Indica com precisão o valor de correntes e tensões até 1kHz. O valor medido é indicado pelo GB proporcionalmente ao valor do final da
escala selecionada. Na figura 10 a escala selecionada é de 60 Vdc e o valor indicado é de 30 Vdc aplicado no instrumento com a polaridade invertida.
11 Manual do usuário do multímetro de verdadeiro RMS, marca Fluke, modelos 175, 177, 179. Fluke
Corporation, P. O. Box 9090, Everett, WA 982006 – 9090 U.S.A., 2003.
37
6.7.9.2 Tabelas do manual do usuário
38
14
39
6.7.9.3 Trabalho de aplicação
Considerando as informações apresentadas no Manual do Usuário dos
multímetros digitais marca Fluke, de verdadeiro valor eficaz (“true RMS”), modelo 179, responder às questões que se seguem relativas aos mesmos:
a) Quais são as condições para a validade da sua precisão quanto a tempo ocorrido após a sua última calibração, temperatura ambiente e umidade relativa do ar?
b) Qual é a fórmula da precisão quando a função selecionada para a medição é Ampères CC e a faixa escolhida é 400,0mA?
c) Considerando a leitura de 200,0 mA na questão b anterior, qual é a precisão da medida?
d) Qual é a tensão de prova do medidor?
e) Como poderia ocorrer um surto elétrico no instrumento quando estivesse ligado a um circuito?
f) Qual seria o limite de altitude para sua utilização?
g) Para seu armazenamento, qual poderia ser a altitude máxima do local?
h) O multímetro está em conformidade com quais normas de segurança?
i) Quais são os dispositivos de proteção para os circuitos de medição nas faixas de mA e de A ? Qual é o significado das suas respectivas especificações?
j) Qual é a distinção entre suas faixas de temperatura, para operação e para armazenamento?
k) Explique qual é o significado de coeficiente de temperatura 0,1x (precisão especificada) / ºC, (<18ºC ou >28ºC). Utilize esse coeficiente para calcular o/a aumento/modificação na precisão da medida, para o medidor funcionando a 15 graus centígrados?
l) Qual será o aumento percentual na precisão, quando a medição ocorrer a 32 graus centígrados?
m) Qual é o comportamento do instrumento segundo a umidade relativa do ar?
n) Os medidores têm quais certificações?
40
o) Esclareça o significado das notas ao pé de página:
- Página 12, nota 1.
- Página 12, nota 4.
- Página 12, nota 5.
- Página 13, nota 2.
- Página 13, nota 3.
- Página 13, nota 4.
- Página 13, nota 5.
p) Considere que foram feitas várias medições com um multímetro marca Fluke de valor eficaz verdadeiro (“True RMS”), modelo 179. Os dados obtidos encontram-se na tabela apresentada a seguir. Calcular a faixa de erro provável e o resultado da medição com a incerteza, para cada leitura. Anotar os valores correspondentes na mesma tabela.
41
Tabela 1 Dados obtidos e resultados da medição
q) Descreva pormenorizadamente o significado de: - Mostrador digital de 6000 contagens; atualiza-se 4 vezes por seg. - Medidor de 3 ¾ dígitos. - Mostrador gráfico de barras (mostrador analógico) - Mostrador: freqüência de 10.000 contagens - Capacitância: 1.000 contagens - Gráfico de barras: 33 segmentos/barras; atualiza-se 40 vezes por segundo.
6.8 Medir
Medir envolve erros de instrumento, de operador, de método utilizado, de
variação das condições do meio ambiente como temperatura, pressão e umidade relativa do ar.
Função Faixa Leitura Faixa de erro possível
Resultado da medição e incerteza
600,0 mV 500,0 mV Volts CA 1000 V 900,0 V 60,00 V 49,10 V Volts CC 600,0 V 528,3 V 60,00 kΩ 48,7 kΩ Ohms 6,000 MΩ 4,208 MΩ 10,00 µF 8,50 µF Capacitância 9999 µF 7830 µF
60,00 mA 49,50 mA Ampères (A-RMS verdadeiro) 6,000 A 2,700 A
60,00 mA 51,30 mA Ampères CC 10,00 A 8,12 A
999,9 Hz 490,0 Hz Hz (acoplado em CA ou CC, entrada de V ou A)
99,99 kHz 58,62 kHz
-40ºC a +400ºC
102,0ºC Temperatura
-40ºF a +752ºF
630,0ºF
42
6.9 Medida
A medida resultante tem sua margem de erro. Juntas corresponderão a uma
faixa de valores dentro da qual estará o valor real ou verdadeiro da grandeza medida.
6.10 Medição
É o procedimento pelo qual o valor de uma grandeza física é determinado.
6.11 Resultado de uma medição
O valor da medição VM corresponde ao valor da grandeza e é expresso por um número e uma unidade. Entretanto há erros de medição. Assim sendo, o resultado da medição RM, considerando a existência de um grau de indeterminação, deve ser expresso por um resultado base acompanhado por mais ou menos a medição da indeterminação MI e pela unidade correspondente.
Exemplo: O resultado da medição de uma tensão será apresentado na forma RM = VM ± IM (V)
6.12 Objetivo de uma medição de qualidade
É executar a medição com um grau adequado de precisão, exatidão, com aplicação adequada de análise estatística das medidas e definição da incerteza.
6.13 Desvio de uma leitura
É o desvio da leitura considerada com relação à média aritmética das leituras: Xi - Xma. Seu valor pode ser positivo, negativo ou nulo.
Ao se fazer uma medição, de preferência a grandeza deve ser medida várias vezes.
Seu valor mais provável Xma será a média aritmética dos valores medidos (das leituras).
6.14 Desvio médio
Desvio médio é a soma dos valores absolutos dos desvios das leituras
dividida pelo número total de leituras. Quanto menor for o desvio médio maior será a precisão do instrumento utilizado na medição.
6.15 Resultado da medição
G = Gmédio ± δmédio G
6.16 Erro ou desvio absoluto
Erro ou desvio absoluto é o valor absoluto da diferença entre o valor medido e
o valor mais provável (valor médio). δi = | medida – valor mais provável |. No caso de se adotar a média aritmética dos valores medidos como o valor
mais provável da medida, o erro absoluto de uma das medidas é considerado como
43
o valor absoluto da diferença entre essa medida e a média aritmética de todas as medidas. | δi | = | medida – média aritmética das medidas | |δi | = | Gi – Gmédia |
6.17 Erro relativo ou desvio relativo de uma mediçã o
É a razão entre o desvio absoluto de determinada leitura e o valor adotado
como mais provável para a medição, que na maioria das vezes é a média aritmética das leituras.
γi = médio
i
G
δ
Suponhamos o caso da tabela a seguir:
Tabela 2 Valores medidos G i e respectivos desvios δi
Medida Valor G i (mA) δi (mA) 1 6,32 0,01 2 6,31 0,02 3 6,35 0,02 4 6,34 0,01 5 6,33 0,00
Total = 5 ∑ Gi =31,65 ∑ δi =0,06 O valor mais provável da grandeza é a medida aritmética dos valores obtidos.
Media aritmética =Gmédio = n
Gn
1ii∑
= = 5
65,31= 6,33 mA
O desvio médio δmédio é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios.
O desvio médio de G = δmédio G = n
δn
1ii∑
= = 5
06,0= 0,01
Desvio absoluto ou erro absoluto | δi | de uma medida é o valor absoluto da diferença entre o valor da medida e a média aritmética do conjunto das medidas. δi = | Gi - Gmédio| δ4 = | 6,34 – 6,33| = 0,01 mA
44
G = 6,33 ± 0,01 mA será o resultado mais provável da medição.
γ4 = 33,6
33,634,6 − =
33,6
01,0 = 0,16%
Nota: O erro relativo de uma medida é um número pur o. Será erro relativo
percentual quando calculado em porcentagem.
7 ANÁLISE ESTATÍSTICA DE MEDIDAS
7.1 Aspectos relevantes
1- A análise estatística permite a determinação analítica do grau de incerteza do
resultado final. 2- É necessário um grande número de medições para que o método estatístico e
a interpretação dos resultados tenham significado. 3- O grande número de medições por sua vez minimizará o efeito dos erros
acidentais ou aleatórios. 4- Os erros sistemáticos devem ser pequenos, pois o método estatístico não
consegue remover o efeito de uma tendência que esteja presente em todas as medidas.
7.2 Média aritmética
O valor mais provável de uma medição é a média aritmética de um conjunto de medidas.
Sejam X1, X2,...., Xn-1, Xn os n valores apurados em uma amostragem, então sua média aritmética será:
n
X
n
XXXX
n
ii
n∑
==+++
= 121 ..........
7.3 Desvio de uma medida em relação à média aritmét ica das medidas
Desvio de uma leitura é a sua diferença com relação à média aritmética das leituras. Xma = média aritmética das medidas
δi = Xi – Xma
δn = Xn – Xma Os desvios das medidas com relação à média aritmética podem ser positivos ou negativos ou nulos.
δi < 0 , δi > 0 , δi = 0
45
A soma algébrica de todos os desvios é nula.
∑=
n
1iiδ = 0
Exemplo:
Para as medições realizadas de 15,80 mA,15,20 mA,15,50 mA, 16,10 mA,15,90 mA, 15,40 mA, pede-se: a) Calcule a média aritmética Xma das medições
Xma = 6
15,4015,9016,1015,5015,2015,8 +++++ = 15,65 mA
b) Calcule Xi-Xma=δi, o desvio de cada medida com relação à média. c) Calcule a soma algébrica dos desvios com relação à média.
∑=
n
1iiδ = 0
c) Apresente os resultados numa tabela.
Tabela 3 Medidas e desvios
Medida X i Xi-Xma=δi
X1 15,80 0,15 X2 15,20 -0,45 X3 15,50 -0,15 X4 16,10 0,45 X5 15,90 0,25 X6 15,40 -0,25
∑ (Xi – Xma) 0,00 7.4 Desvio médio
δmédio = n
δn
1ii∑
=
O desvio médio é um indicador da precisão do(s) instrumento(s) utilizado(s) na medição. É a soma dos valores absolutos dos desvios dividida pelo número de leituras. 7.5 Mediana
É o valor que está no meio do conjunto de medidas variáveis, considerando que as mesmas estão em ordem crescente ou decrescente, caso o número delas seja ímpar. Caso esse número seja par, a mediana será a média dos dois valores centrais.
46
7.6 Moda
É o valor da medida que apresenta maior frequência de ocorrência, ou seja, que está com a máxima ordenada na curva de distribuição relativa das leituras.
7.7 Média, mediana e moda idênticas
Média, mediana e moda são idênticas quando a curva da frequência das leituras com relação às leituras é simétrica. Caso contrário, serão distintas.
7.8 Amplitude da dispersão
Corresponde à diferença entre o maior valor e o menor valor do conjunto de dados obtidos.
mínmáx XXA −=
7.9 Medidas da dispersão
As medidas de dispersão de interesse são: desvio padrão, variância e amplitude da dispersão.
7.10 Desvio Padrão σσσσ
O desvio padrão σ da amostra é a raiz quadrada da média aritmética dos
quadrados dos desvios δi. O desvio padrão σ é denominado também desvio rms (desvio “root mean square”).
n
)Xma(Xσ
2N
1ii∑
=
−= , para um número infinito de medidas.
1n
)Xma(Xs
2N
1ii
−
−=∑
= , para um número finito de medidas.
n
)Xma(XV(x)σ
2N
1ii
2(x)
∑=
−== , para um número infinito de medidas.
47
7.11 Área sob a Curva Gaussiana
A área sob a Curva Gaussiana de Probabilidades representa o total de observações durante o trabalho de medição que a originou.
A área entre os limites de erro +σ e –σ, representa os casos que diferem da
média por não mais que o desvio padrão σ.
Do total das medições, 68% estarão na faixa correspondente ao intervalo de
+σ e –σ a partir da média.
Suponhamos o caso sintetizado na tabela a seguir, onde o erro é calculado com relação ao valor médio das medidas:
Tabela 4
Erros e frequências Erro Frequência
-3σ 1
-2σ 4
-1σ 16
0 23
1σ 15
2σ 3
3σ 1
Os erros são considerados com relação ao valor médio das medidas.
48
O histograma e a curva normal de distribuição de erros são apresentados a seguir.
Figura 11 – Histograma e curva normal de distribuição de erro
7.12 Faixa de erro provável
Na área sob a curva gaussiana compreendida entre as abcissas
r = + 0,67456 σ, estão concentrados 50% dos erros das medições. A região compreendida entre +r e –r nas abcissas indica a faixa de erro
provável. 7.13 Variância
A variância V é o quadrado do desvio padrão V = σ2. As unidades de medidas da variância são o quadrado das unidades originais do desvio padrão. A variância de uma população é dada por:
V = 1n
)Xma(XV(x)s
2N
1ii
2(x) −
−==∑
= , para um número finito de medidas, ou para uma
amostra reduzida da população.
V = n
)Xma(XV(x)σ
2N
1ii
2(x)
∑=
−== , para um número infinito de medidas, ou para toda
uma população.
49
O desvio-padrão da medição de uma população será representado por σ e será, também, calculado pela raiz quadrada da variância populacional V.
7.14 Distribuição de valores medidos
Foram realizadas 100 leituras de intensidade de corrente, entre curtos
intervalos de tempo, e registrados com aproximação de 0,1 mA. O valor nominal da corrente era de 200,0 mA. Os dados foram tabelados:
Tabela 5
Medidas e frequências Medida X i
mA Frequência
199,7 2
199,8 8
199,9 24
200,0 38
200,1 20
200,2 6
200,3 2
7.15 Resultado gráfico na forma de histograma
Figura 12 - Histograma
50
A figura 12 corresponde aos dados da tabela 5. A ordenada frequência
corresponde, respectivamente, ao número de leituras coincidentes, ou seja, correspondentes a um mesmo valor de corrente. A abcissa dada é o valor medido da corrente.
A figura é um histograma mostrando a frequência de ocorrência, para o total de 100 leituras de corrente. 7.16 Curva Gaussiana–Curva da Lei Normal de Distrib uição
7.16.1 Análise estatística das medidas
A análise estatística permite calcular o melhor valor provável para a medição de uma grandeza e determinar a medida da incerteza devida à dispersão dos valores das medidas obtidas.
Podemos observar que o histograma das medidas tem um contorno em forma de degraus. A largura dos degraus, na direção horizontal, depende do incremento considerado para as leituras agrupadas. Portanto, depende do número de algarismos significativos considerados para os apontamentos dos valores medidos. Quanto maior o número de algarismos significativos, maior será a precisão. Dependerá assim, da resolução do instrumento da medição.
Incrementos da ordem de 0,01mV levarão a degraus mais estreitos que incrementos de 0,1V, por exemplo.
Se dispusermos de muitas leituras e fizermos seus incrementos menores, o contorno dos degraus ficará mais suave.
O número de leituras tendendo para o infinito e os incrementos nas leituras tendendo para valores desprezíveis, o contorno do histograma em degraus tenderá para uma curva contínua denominada Curva Normal ou Curva de Gauss.
7.16.2 Tabela de ocorrências relativas
Se o número de leituras for substituído pela ocorrência relativa dessas leituras com relação ao número total de leituras, a curva será uma curva de ocorrência relativa de cada valor da leitura. Esta curva traduzirá uma representação gráfica de probabilidade matemática da ocorrência dos valores das leituras.
Tabela 6 Ocorrência relativa das leituras
Valor da Leitura (em A) Número de leituras Ocorrência relativa das leituras
99,7 2 0,02 99,8 6 0,06 99,9 24 0,24
100,0 36 0,36 100,1 22 0,22 100,2 8 0,08 100,3 2 0,02 Total 100 1,00
51
O total das ocorrências relativas é 100% ou uma unidade.
A tabela de ocorrências relativas poderá substituir as ordenadas do número de leituras no histograma, onde poderão ser mantidas as abcissas correspondentes aos respectivos valores das leituras.
8 DADOS DISPERSOS
As leituras obtidas nas medidas de uma grandeza representam um conjunto de dados dispersos.
Mesmo com os melhores métodos e técnicas utilizadas, permanece um grau de incerteza. Nenhuma medida é dotada de precisão absoluta .
9 PROVIDÊNCIAS INICIAIS PARA UM PROCESSO DE MEDIÇÃO
Corrigir os erros sistemáticos em todos os dados obtidos, como é o caso dos erros detectados na calibração dos instrumentos.
Tomar o máximo de cuidado nas operações envolvidas na medição.
Tentar manter as condições de processo tão próximas de constantes quanto conseguir inclusive as condições do meio ambiente nas proximidades.
Assim, estarão sendo inibidos os erros grosseiros e sistemáticos. Sobrarão os erros aleatórios ou residuais, para os quais poderemos aplicar uma análise estatística.
A abordagem estatística será aplicada aos erros residuais ou aleatórios. Essa técnica nos conduzirá à determinação do melhor resultado possível da medição, com os dados obtidos através das leituras, além de permitir calcular os limites da incerteza decorrente da dispersão das leituras.
10 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO DE MEDIDAS
Os dados podem ser representados numa tabela ou num histograma como já foi observado. Há outra representação para o resultado das medidas.
Para desenvolvê-la, considerando ainda o caso do item 7.16.2, as medidas de corrente do eixo das abcissas do histograma podem ser substituídas,
respectivamente, pelo seu desvio correspondente em unidades do desvio padrão σ. No caso limite do histograma, quando um grande número de leituras com
pequenos incrementos for realizado, os retângulos com seus lados maiores verticais tenderão para segmentos de retas verticais iniciados nos pontos médios de suas abcissas.
Se imaginarmos então uma curva tracejada que tangencie a parte superior do histograma ( gráfico de barras), sua linha será uma curva gaussiana que representará a Lei Normal de Distribuição das medidas.
A probabilidade de o valor central da curva de Gaus s coincidir com a média aritmética das leituras e o valor verdadeiro será t anto maior, quanto mais aguda e estreita for a forma da curva.
52
10.1 Curva de Gauss determinada pelos erros aleatór ios
A Gaussiana ou Lei Normal de Distribuição de Freqüências é uma função dos efeitos aleatórios e permite que se afirme:
- Todas as ocorrências são afetadas por erros aleatórios;
- Erros aleatórios podem ser positivos ou negativos;
- Erros aleatórios positivos e erros aleatórios negativos têm a mesma probabilidade de ocorrerem;
- Erros pequenos têm maior probabilidade para ocorrer que erros grandes;
- Erros grandes são pouco prováveis;
- A probabilidade de um erro é simétrica em relação ao erro zero, pois a probabilidade de ocorrerem erros aleatórios positivos é a mesma de ocorrerem erros aleatórios negativos.
10.2 Porcentagens de erros prováveis correspondente s às diferentes áreas sob
a curva de probabilidades
10.2.1 Área sob a curva gaussiana
A área sob a curva de Gauss, entre determinados limites de dispersão
(desvio) dos dados (leituras) com relação à média dos dados, e em termos percentuais com relação à área total, corresponde ao percentual de medidas com até aquele limite de desvio, dentro da amostra colhida no universo das medidas.
Da área sob a curva gaussiana, podemos verificar a fração da área total (que corresponde ao total de erros / desvios), que indica a região provável de erros
quantificados em função do desvio padrão σ.
Tabela 7 Fração da área sob a curva de Gauss e desvio corres pondente Desvio = k σσσσ = p
(k = fator de abrangência)
Fração da área % Nível de confiança do resultado
Probabilidade de acerto do resultado
0,6745σ 0,5 50
1σ 0,6828 68
2σ 0,9546 95
3σ 0,9972 99 – 100
k é o fator de abrangência
desvio = k σσσσ = p = 1 - αααα = t
A última coluna da tabela 7 corresponde a um nível de confiança do resultado da medição ou à probabilidade de acerto do resultado da medição.
53
Exemplo
Tem-se a tabela de medições da resistência R: 302,2Ω; 302,7Ω; 302,3Ω; 302,0Ω; 302,5Ω; 302,3Ω; 302,2Ω; 302,4Ω; 302,3Ω; 302,1Ω. Admitindo-se apenas erros aleatórios presentes, calcular:
a) A média aritmética das medidas Xmédio
b) Soma dos desvios em valores absolutos
c) O desvio padrão σ
d) Faixa de erro provável r = + 0,6745 σ
Tabela 8
Leitura e desvio com relação à média das leituras
Medida Leitura (ohm)
Desvio Xi - Xmédio (Xi - Xmédio )²
d1 302,20 -0,10 0,01 d2 302,70 0,40 0,16 d3 302,30 0,00 0,00 d4 302,00 -0,30 0,09 d5 302,50 0,20 0,04 d6 302,30 0,00 0,00 d8 302,20 -0,10 0,01 d8 302,40 0,10 0,01 d9 302,30 0,00 0,00 d10 302,10 -0,20 0,04 ∑ 3.023,00 0,00 0,36
- Média=Xmédio =1013/10=302,3ΩS
- Soma dos desvios em valores absolutos ∑=
n
1iiδ =1,4 Ω
- Desvio padrão σ= )12(
1−∑
=n
n
iiδ = 9:36,0 = 0,2 Ω
- Faixa de erro provável = r=+ 0,6745 x σ = +0,1349 Ω = + 0,1Ω 11 LIMITE DE ERRO PARA INSTRUMENTOS E COMPONENTES E LÉTRICOS
11.1 Erro máximo para instrumentos
Para os instrumentos indicadores esse limite de erro possível é estabelecido pela classe de exatidão tomada em porcentagem do final da escala.
54
Exemplo :
Um voltímetro tem escala de 250 V, classe de exatidão 1 e indica uma tensão de 130V. Calcule o erro limite percentual para essa medição.
- Erro limite do voltímetro = Erro absoluto máximo possível do voltímetro = 1%
de 250V = 2,5V= erro absoluto máximo possível - Erro limite percentual para a medição = (2,5V/130V) x 100% = 1,9% Pela solução desse problema observa-se quanto menor for a leitura na
escala do instrumento, maior será o erro limite per centual para a medição correspondente com o instrumento, pois menor será o denominador da última expressão.
Portanto quanto menor for a leitura na escala, maior será o erro limite percentual máximo possível para a leitura efetuada.
Assim sendo, devemos escolher um instrumento em que a leitura oc orra o mais próximo possível do final de sua escala.
11.2 Limite de erro em resistores, capacitores, ind utores: faixa de erro ou
tolerância
Nesses componentes o limite de erro é estabelecido em percentual de seus
valores nominais. O limite de erro nesses elementos pode ser denominado ainda faixa de erro
ou tolerância. Exemplo:
Num resistor com 500 Ω + 10% , sua resistência varia na faixa de 450 Ω < R < 550 Ω
Para esses componentes não é especificado o Desvio Padrão σ, ou o erro
provável r = + 0,6745 σ.É fornecida sua faixa de erro ou tolerância.
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12 FÓRMULAS PARA A INCERTEZA CALCULADA EM LABORATÓR IOS
INDUSTRIAIS E PARÂMETROS COMPLEMENTARES
Considerando-se o número de leituras (amostras) limitado:
Média aritmética: ∑=
−=
n
1iiX
n
1X
Variância experimental: 2n
1ii
2 )X(X1-n
1s ∑
=
−−= = ∑∑
== −=
n
1i
2i
n
1i
2i 1n1-n
1 δδ
Desvio padrão experimental: 2ss =
12.1 Nível de confiança recomendado
Para um nível de confiança recomendado corresponde uma medida da
incerteza recomendada. O nível de confiança recomendado normalmente é de 95% para aplicações de um nível de padrão secundário e terciário. A faixa de desvio correspondente é de ±2s (duas vezes o desvio padrão experimental), que também é a medida da incerteza recomendada. Isto pode ser observado na tabela 7.
O nível de confiança recomendado tem, em correspondência, duas vezes o desvio padrão experimental.
12.2 Resultado da medição
O resultado da medição deverá conter o valor médio das medições e a faixa
de incerteza recomendada da medição:
RM = IMX±−
RM = 2sX±−
12.3 Ferramentas para apresentação dos dados
12.3.1 Tabelas
Os dados da medição podem ser apresentados através de tabelas, com os valores dos valores originais dos dados das medições e até valores calculados a partir deste, como é o caso da incerteza da medição.
12.3.2 Gráficos
Os dados são lançados num gráfico.
12.3.3 Equação matemática determinada pela regressã o linear
A função matemática representará a relação entre variáveis. A melhor técnica conhecida para se determinar esta equação é a denominada técnica de regressão linear.
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Exemplo:
y = ax² +bx + 5
12.4 Universo ou população
Universo ou população corresponde a uma quantidade infinita de determinações enquanto que amostra corresponde a uma quantidade reduzida de determinações.
A análise estatística permite buscar a probabilidade de ocorrências de um valor numa quantidade de determinações tão grande que pode ser considerada aproximadamente infinita, correspondendo ao universo ou população de determinações.
A média da amostragem reduzida não será provavelmente a média do universo ou população. O mesmo ocorrerá com o desvio padrão s e a variância s2, neste caso corresponderão ao número limitado de medidas da amostragem.
Para distinguir uma condição de outra se utilizam anotações da tabela a seguir:
Tabela 9
Símbolos de atributos de universo e de amostra fini ta
Atributo Universo / População / Quantidade Infinita (letras gregas)
Amostra / Quantidade Finita (letras do nosso alfabeto)
Média µ X Variância σ² s² Desvio Padrão σ s
12.5 A Distribuição de Student
A distribuição de Student é utilizada para curvas de distribuição simétricas, ou
seja, para curva de distribuição normal de Gauss. Para a determinação do nível de confiança do resultado de uma medição ou
determinação da probabilidade de acerto do resultado da medição RM = −X ± kσ,
com um número de observações normalmente inferior a 30, podemos utilizar a tabela de distribuição t ou Tabela de Student para curvas simétricas.
Com os dados nela contidos podemos determinar intervalos de confiança, em porcentagem, para a medição realizada através de amostragem com número reduzido de elementos correspondentes às medidas repetidas de uma grandeza. A distribuição pode ser considerada semelhante à distribuição normal de Gauss.
A distribuição t corresponde também a uma área que é determinada em função dos parâmetros α e grau de liberdade gl que corresponde ao número de elementos (medidas) n de amostras menos 1 unidade:
grau de liberdade = gl = n-1 = v α é a probabilidade de erro na estimativa por intervalo. 1 – α = probabilidade de acerto na estimativa por intervalo = nível de
confiança do resultado da medição RM.
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Um dos parâmetros para se entrar na tabela de Student é 1 – α ou 2
α.
O segundo parâmetro é n-1 = gl = v = grau de liberdade.
Exemplo: Têm-se as probabilidades de erros nas estimativas por intervalo α = 0,10 =
10%, α = 0,05 = 5% e α = 0,02 = 2%, que correspondem às seguintes probabilidades de acerto de resultado da medição: 1 – α = 90%, 1 – α = 95% e 1 – α = 98%, respectivamente.
Assim podemos considerar: α % = probabilidade de erro no resultado da medição RM. t % = 100% – α% : probabilidade de acerto ou nível de confiança do resultado
da medição RM. Na tabela 10 temos t% = 90% ou 95% ou 99%. α = probabilidade de erro na estimativa por intervalo, segundo a distribuição
de Student, para a amostra de medidas. É igual ao nível de incerteza ou medição de incerteza ou probabilidade de erro do resultado da medição RM.
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Tabela 10 Tabela de Student (para curvas simétricas)
Fonte: THEISEN, Alvaro Medeiros de Farias. Fundamentos da metrologia
industrial: aplicação no processo de certificação ISO 9000. Porto Alegre: [s.n.], 1997, p. 142.
Nessa tabela 10 temos: n é o número de medições; t 90% é a probabilidade
acerto ou nível de confiança no RM, que corresponde a probabilidade de erro αααα = 10% = probabilidade de erro em RM, que corresponde a αααα //// 2 = 0,05; t 95% corresponde a αααα = 5%, que corresponde a αααα //// 2 = 0,025; t 99% corresponde a αααα = 1%, que corresponde αααα //// 2 = 0,01 (arredondado).
O nível de confiança ou probabilidade de acerto 1 - αααα = p = t aumenta com o aumento do intervalo de confiança ± k σσσσ adotado para a curva de distribuição Gauss ou de Student.
A seguir é apresentada outra tabela de Student com mais opções. Na tabela 11, p% corresponde a t% na tabela 10;
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a esperança µz corresponde à média das medidas −X da grandeza z;
k é denominado fator de abrangência; µz ± k σσσσ é o intervalo para os valores da medida correspondente; é intervalo
para os valores do resultado da medição RM. v = n-1 são os graus de liberdade. tn-1, αααα //// 2 = tp (v) = k σσσσ p% corresponde a (1- αααα)% = t% que é o nível de confiança ou probabilidade
acerto do RM. Os valores de tp (v) encontram-se entre a 2ª e a última colunas da tabela 11.
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Tabela 11 Valor de t p (v) da distribuição t, para v graus de liberdade, que define o
intervalo de - t p (v) até + t p (v) que abrange a fração p da distribuição
Fonte: Guia para a Expressão da Incerteza de Medição , Terceira edição brasileira em língua
portuguesa – Rio de Janeiro: ABNT, INMETRO, 2003, p. 68.
n = número de medições da amostra ou do universo. v = n-1 = graus de liberdade da medição (amostra).
µ = µz = esperança = −X = valor médio das medidas.
k = fator de abrangência do desvio kσσσσ. Nesta tabela grandeza z corresponde à grandeza medida; v a n-1 ; p% = t ( )% = nível de confiança
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µ = µz esperança = valor médio −X das medidas.
α = probabilidade de erro no resultado da medição RM.
RM = −X ± kσσσσ é o intervalo do resultado da medição.
p% = (1 - αααα)% = t% é o nível de confiança ou a probabilidade de acerto no RM.
k = fator de abrangência do desvio kσσσσ. z = grandeza medida. v = n-1 = graus de liberdade da amostra.
σα kt(v)t 2 1,np == −
12.6 Fórmulas para o resultado da medição em labora tórios industriais
Média aritmética das medidas da amostra: ∑=
−=
n
1iiX
n
1X
Variância experimental das medidas da amostra com número n limitado de
elementos (medidas): 21-n
1ii
2 )X(X1-n
1s
−
=
−= ∑
Desvio padrão da amostra com n medidas: 2ss = Incerteza da medição referente à média das medidas, segundo a distribuição
de Student: n
s,tIM .
2
α1n−=
A incerteza da medição correspondente a uma faixa de incerteza FI, tal que: –IM ≤ FI ≤ IM. Resultado do processo de medição RM segundo a distribuição de Student:
RM = −X ±IM ou
−X - IM ≤ RM ≤
−X + IM.