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O Instituto IOB nasce a partir daexperincia de mais de 40 anos da IOB nodesenvolvimento de contedos, servios deconsultoria e cursos de excelncia.

Por intermdio do Instituto IOB, possvel acesso a diversos cursos por meiode ambientes de aprendizado estruturadospor diferentes tecnologias.

As obras que compem os cursos preparatriosdo Instituto foram desenvolvidas com oobjetivo de sintetizar os principais pontosdestacados nas videoaulas.

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Matemtica 2edio / Obra organizada pelo Insti-

tuto IOB - So Paulo: Editora IOB, 2014.

ISBN 978-85-63625-75-5

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A violao dos direitos autorais

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9.610/1998 e punido pelo art. 184

do Cdigo Penal.

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Sumrio

Captulo 1 Conjuntos, 91. Simbologia, 92. Tringulo de Pascal, 113. Tringulo de Pascal Aplicaes, 124. Tringulo de Pascal e Anlise Combinatria, 135. Tringulo de Pascal Nmeros Figurados, 146. Sequncia de Fibonacci, 167. Diagramas de Venn, 18

8. Diagramas Dicas de Resoluo, 229. Conjuntos Resoluo por Excluso ou Incluso, 2310. Conjunto Resoluo por Sistemas Lineares, 2511. Princpio das Gavetas de Dirichlet, 26

Captulo 2 Conjuntos Numricos, 281. Conjuntos Numricos, 282. Nmeros Naturais, 293. Contagem de Algarismos, 30

4. Quantas Vezes o Nmero 1 Aparece de 1 a 1.000?, 315. Operaes e Propriedades dos Nmeros Naturais, 31

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6. Quadro Posicional, 327. Sudoku, 338. Nmeros Inteiros, 349. Operaes de Nmeros Inteiros, 3510. Mltiplos de um Nmero, 3611. Divisibilidade, 3812. Divisibilidade e Aplicao, 3913. Divisibilidade por 11 e 13, 4114. Divisibilidade Questes de Prova, 4215. Nmeros, 4316. Nmeros Primos, 4417. MMC e MDC Conceito, 4518. Definio de MMC e MDC, 46

19. MMC e MDC Resoluo de Questes, 4720. Nmeros Racionais, 4821. Dzimas Peridicas, 5022. Nmeros Racionais: Dica til, 5123. Potenciao I, 5324. Potenciao II, 5425. Radiciao, 55

Captulo 3 Sistema Legal de Medidas, 571. Nomenclatura do Sistema Legal de Medidas, 572. Unidades de Medidas, 583. Unidades de Medidas Aplicao, 59

Captulo 4 Matemtica Comercial, 611 Razo, 612. Velocidade Relativa, 633. Conceito de Escala, 644. Proporo Sistemas de Cotas, 655. Cotas x Juros, 666. Sistema de Cotas e Fracionrios, 67

7. Grandeza Diretamente e Inversamente Proporcional, 688. Resoluo de Questes Grandezas, 709. Regra de Trs, 7010. Problema das Torneiras, 7211. Porcentagem e Conceitos Bsicos, 7312. Aumento e Descontos Sucessveis, 7413. Resoluo de Questes Porcentagem, 7514. Custo e Venda, 7815. Parcelas Iguais Com ou Sem Entrada, 7916. Taxas, Reajustes e ndices Inflacionrios, 79

17. Porcentagem II, 8118. Juros Simples, 81

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Captulo 5 Matemtica Financeira, 831. Rendas Certas e Anuidades Aspectos Introdutrios, 832. Valor Atual das Rendas, 85

3. Valor Atual das Rendas Antecipada, 864. Valor Atual das Rendas Diferida, 875. Montante de Renda, 886. Rendas Certas e Anuidades Questes, 897. Amortizaes Aspectos Introdutrios, 908. Sistema de Amortizao Francs SAF, 929. Sistema de Amortizao Constante SAC, 9310. Sistema Price,9411. Sistema de Amortizao Americano SAA, 9512. Amortizaes Questo I, 95

13. Amortizaes Questo II, 9614. Taxa Interna de Retorno, 9615. Introduo aos Juros Compostos, 9816. Montante, 9917. Questes de Concurso, 10018. Questes de Concurso Continuao, 10019. Taxas Equivalentes, 10120. Taxas Equivalentes Questes de Concurso, 10221. Taxas Equivalentes Frmulas, 10222. Taxas Nominal e Efetiva, 103

23. Taxas Nominal e Efetiva Exerccios, 10424. Taxas Nominal, Equivalente e Efetiva, 10425. Conveno Linear e Exponencial, 10426. Questes de Juros Compostos e Valor Atual, 10527. Desconto Composto Racional, 10628. Desconto Composto Comercial, 10729. Equivalncia de Capitais e Juros Compostos, 10830. Exerccios de Juros Compostos, 10931. Taxa Efetiva e Exerccios, 109

Captulo 6 Sistemas e Equaes de 1e 2Graus, 1111. Equaes de 1e 2Graus Parte I, 1112. Equaes de 1e 2graus Parte II, 1123. Equaes de 1e 2graus Parte III, 114

Captulo 7 Funo, 1171. Funo I Conceito, 1172. Funo II, 1203. Funo III, 121

4. Funo IV, 1225. Funo Composta Aplicao, 124

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6. Anlise de Grficos I, 1257. Anlise de Grficos II, 1278. Grficos e Valores Numricos, 130

9. Domnio e Imagem de uma Funo, 13210. Funo Inversa, 13311. Translao e Rotao de Eixos I, 13512. Translao e Rotao de Eixos II, 13813. Translao e Rotao Simultnea, 13914. Funo Modular, 14215. Equao Modular, 14316. Funo do 1Grau, 14517. Funo do 1Grau no Cotidiano, 14718. Funo do 1Grau Alternativa de Investimento e Outro, 148

19. Funo do 1Grau Grficos, 14920. Inequaes do 1Grau, 150

21. Funo do 2Grau, 15222. Funo do 2Grau Relao entre os Coeficientes, 15323. Funo do 2Grau Grficos (Propriedades), 15424. Funo do 2Grau Grficos (Aplicaes), 15725. Funo do 2Grau Questes Envolvendo Vrtice e Imagem, 15926. Funo do 2Grau Maximizao e Minimizao, 16027. Inequao de 1e 2Graus Produto e Quociente, 161

Captulo 8 Equao Exponencial, 1641. Funo Exponencial, 1642. Expresso Independente da Varivel, 1663. Valor Numrico, Crescimento e Decrescimento, 1664. Equaes e Inequaes Exponenciais, 1685. Equaes Exponenciais Usando Substituio, 170

Captulo 9 Logaritmo, 1721. Logaritmos Definio, 1722. Consequncias da Definio de Logaritmos, 1743. Propriedades dos Logaritmos, 1754. Mudana de Base do Logaritmo, 1765. Logaritmo Decimal e Neperiano, 1766. Equaes Logaritmas, 1787. Funo Logaritma, 179

Captulo 10 Sequncias, 1811. Sequncias Alfabticas e Geomtricas, 1812. Sequncias Lgicas, 182

3. Sequncias Categricas, 1834. Sequncias Numricas, 185

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Captulo 11 Estatstica, 1881. Estatstica Introduo, 1882. Sries Estatsticas, 1903. Grficos Estatsticos, 1924. Organizao de Dados, 1975. Grficos de Colunas e Setores Questes de Concurso, 1996. Distribuio de Frequncias, 2017. Mdia Aritmtica e suas Propriedades, 2038. Dica de Ouro e Mediana, 2049. Mdia Harmnica, 20510. Mdia e suas Aplicaes, 20611. Mdias de Disperso, 207

Captulo 12 Geometria, 2091. Noes dos Teoremas da Geometria, 2092. ngulos e Teorema de Tales, 2113. Tringulos Propriedades, 2134. Tringulos rea, 2165. Quadrado e Retngulo, 2186. Losango e Trapzio, 2197. Circunferncia, 2218. Cubo, 2229. Paraleleppedo, 223

10. Cilindro, 22411. Pirmides, 22612. Cone, 22713. Esfera, 229

Gabarito, 230

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Captulo 1

Conjuntos

1. Simbologia

1.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos a simbologia de conjuntos problemas

envolvendo conjuntos, diagramas, parte simblica e questes relaciona-

das a percentuais.

1.2 Sntese

Simbologia de conjunto: interpretar a linguagem corrente: Pertinncia: Pertence () / No Pertence (). Incluso (Est contido () / no est contido (), contm () e no

contm ().

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Exemplo Questo Fundep:Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {4}}, ento:1 A (1 pertence ao conjunto A).

2 A (2 pertence ao conjunto A).4 A (4 no pertence ao conjunto A, pois 4 no est separado por vrgula),

mas:{4} A (conjunto 4 pertence ao conjunto A, pois o conjunto {4} est sepa-

rado por vrgula).Podemos dizer que:{1,2} A (Subconjunto {1,2} est contido em A).

A {2,3} (A contm {2,3}).{3,4} A (Subconjunto {3,4} no est contido em A), assim como:

A {4} (A no contm {4}), mas:A {{4}} (A contm um conjunto cujo elemento o {{4}}).Nota: Importante saber diferenciar um conjunto de um elemento.Outras simbologias utilizadas:Unio ()Interseo ()Diferena ( )Exemplo:Conjunto A ou B (Unio) = (A B)Conjunto A e B (interseo) = (A B)Exceto B (diferena) = A B; No B = jamais B = (A B)Outra simbologia bastante utilizada tambm conhecida como: Subcon-

junto de um conjunto.Exemplo:

A

B

Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B esto contidos em A,ento dizemos que B est contido em A ou que A contm B.

A expresso se d por: 2n, onde n = nmero de elementos desse conjunto.Exemplo:

A = {1,2,3}.

Nesse caso: 2n

= 23

= 8 (8 subconjuntos de A = 0, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3},{2,3}, {1,2,3}).

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Exerccio1. Um conjunto passa a possuir 512 subconjuntos depois de retirarmos

trs elementos de um outro conjunto. Quantos subconjuntos tinha oprimeiro conjunto?

2. Tringulo de Pascal

2.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos o Tringulo de Pascal.

2.2 Sntese

O Tringulo de Pascal um tringulo aritmtico formado por nmeros quetm diversas relaes entre si. Ele infinito, composto por linhas e colunas,comeando por zero (0).

Veja a seguinte tabela, com a distribuio entre linhas e colunas:N = 0 1

N = 1 1 1

N = 2 1 2 1

N = 3 1 3 3 1

N = 4 1 4 6 4 1

N = 5 1 5 10 10 5 1

N = 6 1 6 15 20 15 6 1

N = 7 1 7 21 35 35 21 7 1

N = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6 P = 7 P = 8

+=

+=

Propriedades importantes do tringulo: toda linha comea e termina com o nmero 1; as linhas so simtricas quando chega ao meio da tabela (Ex.: N = 3: 1 3 3 1); e a soma dos elementos de cada linha equivale a 2n.(Ex.: N = 3: 23= 8, sendo igual a: 1+3+3+1 = 8).(Ex.: N = 6: 26= 64, sendo igual a: 1+6+15+20+15+6+1 = 64).Sendo assim, atravs da interpretao da tabela, possvel visualizar que

cada elemento da linha retrata cada subconjunto existente.

Exemplo:A = {1,2,3} = 3 elementos.

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Visualizando na tabela: N = 3

N = 3 1 3 3 1

P = 0 P = 1 P = 2 P = 3

Temos: 1 subconjunto com 0 elemento {0}. 3 subconjuntos com 1 elemento {1},{2},{3}. 3 subconjuntos com 2 elementos {1,2}, {1,3}, {2,3}. 1 subconjunto com 3 elementos {1,2,3}.

3. Tringulo de Pascal Aplicaes

3.1 Apresentao

Nesta Unidade, faremos uma anlise do Tringulo de Pascal e suas apli-

caes e curiosidades.

3.2 Sntese

A possibilidade de trabalhar com agrupamentos de informaes lembra amatria chamada Gentica, quando se trata da combinao de tipos sangu-neos, com assuntos relacionados a gene recessivo e dominante.

Ex.: Aa x Bb = AB (AB) / Ab (A) / aB (B) / ab (O).Trabalhando com a cor da pele humana (raa branca (recessivo) x raa ne-

gra (dominante)). A quantidade de fentipos se d pela expresso: 2n + 1, onden = nmero de gametas existentes no cruzamento, ou seja:

2 x 2 (raas) + 1 = 5 (negro, mulato escuro, mulato mdio, mulato claro ebranco).

Em Biologia, estuda-se com a seguinte tabela:

Gametas NB Nb nB nb

NB NNBB NNBb NnBB NnBb

Nb NNBb NNbb NnBb Nnbb

nB NnBB NnBb nnBB nnBb

nb NnBb Nnbb nnBb nnbb

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Exerccio

2. Qual a probabilidade de se nascer uma criana mulato mdio?

3. No desenvolvimento de (a+b)6, qual o termo central?

4. Tringulo de Pascal e AnliseCombinatria

4.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos a aplicao do Tringulo de Pascal na an-

lise combinatria.

4.2 Sntese

Cada linha do Tringulo de Pascal retrata um agrupamento, ou seja, umacombinao. Podemos dizer que, agrupar nmeros de dois em dois o mesmoque formar duplas.

Exerccios4. Formam-se comisses de trs professores escolhidos entre os sete de

uma escola. O nmero de comisses distintas que podem, assim, serformadas :a) 35.b) 45.c) 210.d) 73.

5. (UnB) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha seis filmes deanimao e cinco de comdia para distribuio. Nesse caso, superiora 140 e inferior a 160 o nmero de formas distintas pelas quais quatrodesses filmes podem ser distribudos, de modo que dois sejam com-dia e dois sejam de animao.

6. (BB) Considere sete tarefas que devam ser distribudas entre trs fun-cionrias de uma repartio, de modo que o funcionrio mais recen-temente contratado receba trs tarefas e os demais, duas tarefas cadaum. Nessa situao, sabendo-se que a mesma tarefa no ser atribuda

a mais de um funcionrio, correto concluir que o chefe da repartiodispe de menos de 120 maneiras diferentes para atribuir essas tarefas?

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7. (TRT) Em um tribunal, os julgamentos dos processos so feitos emcomisses compostas de trs desembargadores de uma turma de cincodesembargadores. Nessa situao, a quantidade de maneiras diferen-

tes de se constiturem essas comisses superior a 12?8. (Funiversa) A cela da delegacia de D1 tem capacidade para abrigar,em carter provisrio, seis detentos. Na noite em que foram captura-dos quatro homens e cinco mulheres, trs pessoas tiveram de ser trans-portadas para a cela de outra delegacia. De quantas maneiras distintaspuderam ser selecionados os seis que ficariam na cela, de acordo comas normas dessa delegacia? O nmero de homens no pode exceder onmero de mulheres naquela cela.a) 44.

b) 54.c) 64.d) 74.e) 84.

5. Tringulo de Pascal Nmeros Figurados

5.1 Apresentao

Nesta unidade, abordaremos os nmeros figurados.

5.2 Sntese

Nmeros figurados significam figuras geomtricas.

1+2=3+3=6+4=10+5=15+6=21+7=28+8=36+9=45+10=55

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Relembrando a construo geral do tringulo:Nmeros triangulares, tambm chamados de nmeros figurados, um n-

mero que pode ser representado na forma de um tringulo equiltero. Tais

nmeros so calculados atravs de duas frmulas:T(n) = 1 + 2 + 3 +...+ n que o mesmo que: Tn= [n(n+1)]/2Ou como no teorema: O quadrado de todo nmero inteiro maior que um

a soma de dois nmeros triangulares consecutivos.T(1) = 1T(n+1) = T(n) + (n+1).

Exerccios

9. (Analista/CEAL/05/2005) Um nmero que pode ser representadopelo padro abaixo chamado nmero triangular. A soma dos oitoprimeiros nmeros triangulares :a) 110.b) 120.c) 140.d) 130.e) 150.

10. (Fundep)No meio do caminho tinha uma pedra tinha uma pedra nomeio do caminho.Carlos Drummond de AndradeSuponha que Ronando passa por esse caminho todo dia. Suponhaainda que, no caminho de Ronando, uma nova pedra se soma s ante-riores a cada dia. Assim sendo, CORRETO afirmar que, no final de100 dias, Ronando ter tido em seu caminho:a) 100 pedras.b) 5.050 pedras.c) 6.250 pedras.d) 8.850 pedras.

11. (FCC) Nmeros figurados so assim chamados por estarem associa-dos a padres geomtricos. Veja os exemplos:

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A tabela abaixo traz algumas sequncias de nmeros figurados:

Nmeros triangulares 1 3 6 10 ?

Nmeros quadrados 1 4 9 16 ?

Nmeros pentagonais 1 5 12 22 ?Nmeros hexagonais 1 6 15 28 ?

Observando os padres, os elementos da quinta coluna, respeitando aordem da tabela, devem ser:

a) 20, 30, 40, 50.b) 18, 28, 45, 50.c) 16, 36, 46, 56.d) 15, 25, 40, 50.

e) 15, 25, 35, 45.

6. Sequncia de Fibonacci

6.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos sobre a Sequncia de Fibonacci.

6.2 SnteseSequncia de Fibonacci uma continuidade de nmeros naturais, em que

os primeiros dois termos so 0 e 1, na qual somando os dois antecessores resul-tam no nmero sucessor.

Relao entre o Tringulo de Pascal e a Sequncia de Fibonacci: a soma dasdiagonais do tringulo representa a Sequncia de Fibonacci. Siga os exemplos:

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Olhando o tringulo original:

Outro exemplo: A planta (Carnaba) cresce na sequncia de Fibonacci,que trabalha na sequncia natural dos seres. Em analogia, podemos citar tam-

bm os marinhos Nautilus,que tambm crescem na sequncia de Fibonacci,como no exemplo do espiral abaixo:

=1+13+2=

2+1=

5+3=8+5=

Exemplo de Prova: Fibonacci usou a reproduo do coelho para exempli-ficar sua sequncia. Utilizando um casal de coelhos, colocando-os isolados emum lugar totalmente fechado. Considerando a seguinte sequncia de meses,temos:

Nmero do ms 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nmero de casais 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Aps isso, Fibonacci trabalhou com a Razo urea (nmero de ouro): divi-dir um nmero da sequncia pelo seu antecessor, obtendo, assim, o chamadonmero Fi ( ) = razo dos nmeros da sequncia, que tem o valor aproxima-do de 1,61803, caracterizado pela seguinte expresso:

5

2

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Algumas comparaes relacionando Razo urea: Aparelho dentrio: a distncia entre os dentes deve ser 1,618. Razo da carta de baralho: dividindo comprimento x largura = 1,618.

Razo entre as diversas configuraes de uma borboleta, a razo entreos ossos de cada membro do nosso corpo, as simetrias dos animais e plantas, asimetria do nosso rosto, movimentos de frequncia na fsica, entre outros.

Exerccio

12. Como descobrir a sequncia de Fibonacci?

7. Diagramas de Venn7.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos os Diagramas de Venn.

7.2 Sntese

Utilizao do Diagrama de Venn em Conjuntos. Sabendo esboar a ideiade conjunto, possvel visualizar todas as operaes simblicas do mesmo.

Relembrando:

INTERSEO: Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em co-mum, estes formam a INTERSEO desses conjuntos. A B = {x / x Ae x B}

Exemplos: Propriedades

1) A A = A

2) A =

3) A B = B AUNIO: Dados dois conjuntos quaisquer, a UNIO desses conjuntos agrupar em um s conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A B ={x / x A ou x B}

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Exemplos: Propriedades

1) A A = A

2) A = A

3) A B = B A

DIFERENA:Dados dois conjuntos quaisquer, a DIFERENA entre eles tirar do primeiro os elementos comuns aos dois. A B = { x / x A e x B }

Exemplos: Observao

B A ento (A B) o

conjunto complementar

de B em relao a A.

AB

comB,A=

B

AC

Exerccios13. (FCC 2010 SJCDH BA Agente Penitencirio) Em relao

s pessoas presentes em uma festa, foi feito o diagrama abaixo, qualtemos:

Onde:P: conjunto das pessoas presentes nessa festa;M: conjunto dos presentes nessa festa que so do sexo masculino; eC: conjunto das crianas presentes na festa.

Assinale o diagrama em que o conjunto dos presentes da festa, que sodo sexo feminino, est representado em cinza.

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a)

b)

c)

d)

e)

14. (FCC 2010 Bahiags Tcnico Processos Organizacionais Adm.) Admita as frases seguintes como verdadeiras:I Existem futebolistas (F) que surfam (S) e alguns desses futebolistastambm so tenistas (T).

II Alguns tenistas e futebolistas tambm jogam vlei (V).III Nenhum jogador de vlei surfa.

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A representao que admite a veracidade das frases :a)

b)

c)

d)

e)

15. Olhando o conjunto abaixo (A, B, C), a parte rasurada do desenho :

//////////

AB

C

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16. Olhando conjunto abaixo (A,B,C), a parte rasurada (apenas A,B,C) :

//////////

AB

C//////////

//////////

17. Em uma universidade so lidos dois jornais, A e B; exatamente 80%dos alunos leem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual dealunos que leem ambos?

8. Diagramas Dicas de Resoluo

8.1 Apresentao

Nesta unidade, sero apresentadas dicas de resoluo de questes com

conjuntos.

8.2 Sntese

O segredo sempre comear pela interseo. A recomendao sempreiniciar pela interseo maior, abrindo para a interseo menor, retirando a in-terseo que excedeu o total.

Exerccios

18. (Upenet 2010 Seres PE Agente Penitencirio) Uma pesquisade opinio envolvendo, apenas, dois candidatos (A e B) determinouque 57% das pessoas eram favorveis ao candidato A e que 61% eramfavorveis ao candidato B. Sabendo-se que 23% eram favorveis tantoao candidato A quanto ao B, CORRETO afirmar que:a) A pesquisa no vlida, pois o total das preferncias, considerando

o candidato A e o candidato B, de 118%, o que no , logicamen-te, possvel.

b) Exatamente 5% das pessoas entrevistadas no so favorveis a ne-nhum dos dois candidatos.

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c) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas so favorveis ao candi-dato A, mas no ao candidato B.

d) Exatamente 4% das pessoas entrevistadas so favorveis ao candi-

dato B, mas no ao candidato A.e) Exatamente 38% das pessoas entrevistadas so favorveis ao candi-dato A e indiferentes ao candidato B.

19. Numa escola de 870 alunos, 450 deles estudam Finanas, 320 estu-dam Lgica e 110 deles estudam as duas matrias (Finanas e Lgica).Pergunta-se:a) Quantos alunos estudam APENAS Finanas?b) Quantos alunos estudam APENAS Lgica?c) Quantos alunos estudam Finanas ou Lgica?

d) Quantos alunos estudam nenhuma das duas disciplinas?20. (Fundep) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas vrias pes-soas acerca de suas preferncias em relao a trs produtos: A, B e C.Os resultados das pesquisas indicaram que: 210 pessoas compram o produto A. 210 pessoas compram o produto B. 250 pessoas compram o produto C. 20 pessoas compram os trs produtos. 100 pessoas no compram nenhum dos trs.

60 pessoas compram os produtos A e B. 70 pessoas compram os produtos A e C. 50 pessoas compram os produtos B e C.Quantas pessoas foram entrevistadas?a) 670.b) 970.c) 870.d) 610.

9. Conjuntos Resoluo por Excluso ouIncluso

9.1 Apresentao

Nesta Unidade, abordaremos a resoluo de conjuntos por excluso e

incluso.

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9.2 Sntese

Trabalhando a resoluo de conjuntos por excluso ou incluso, ou seja, s

existem dois valores: certo ou errado; gosto ou no gosto; verdade ou mentiraetc.

Exerccios

21. (Fundep) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hbitos alimen-tares de seus alunos.

Alguns resultados dessa pesquisa foram: 82% do total de entrevistados gostam de chocolate.

78% do total de entrevistados gostam de pizza.

75% do total de entrevistados gostam de batata frita.

Ento, CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados,a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, depizza e de batata frita , pelo menos:a) 25%.b) 30%.c) 35%.d) 40%.

22. Uma pesquisa foi feita no melhor curso do Brasil, IOB, contando-se1.000 alunos, em que 800 so mulheres, 850 prestaro prova em Cam-pinas, 750 usaro caneta azul e 700 levaro garrafinha de gua. Qualo nmero mnimo de alunos que apresentam, ao mesmo tempo, todasas caractersticas citadas?a) 50.b) 100.c) 150.

d) 200.23. (Frias do Prof. Dlio em Cabo Frio) No ltimo vero, o professorDlio passou, com sua famlia, alguns dias na praia. Houve sol pelamanh em 7 dias e sol tarde em 12 dias. Em 11 dias houve chuvae se chovia pela manh, no chovia tarde. Quantos dias o professorDlio passou na praia?a) 11.b) 12.c) 13.

d) 14.e) 15.

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10. Conjunto Resoluo por SistemasLineares

10.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos como resolver questes importantes de con-

juntos que utilizam sistemas lineares na soluo.

10.2 Sntese

Operao linear: uma operao que no muda a dimenso da questo.Exemplo: X + Y = 10 (se todos estiverem em metros (m), a dimenso

mantida).

Exerccios

24. (Fundep) Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que fre-quentam, pelo menos, uma das trs livrarias (A,B,C). Foram obtidos

os seguintes dados: das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 no frequentam as

demais; das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 no frequentam as

demais; das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 no frequentam as

demais e 8 pessoas frequentam as trs livrarias.

a) Determine o nmero de pessoas que frequentam apenas uma das

livrarias.b) Determine o nmero de pessoas que frequentam, pelo menos,

duas livrarias.c) Determine o nmero total de pessoas ouvidas.

25. Na compra de equipamentos para um grupo de tcnicos, foram gastosR$ 1.040,00 em quatro arquivos, trs cavaletes e dois walkie-talkies;logo depois foram gastos R$ 1.000,00 na compra de dois arquivos, trscavaletes e quatrowalkie- talkies.Para adquirir um objeto de cada, ou

seja, um arquivo, um cavalete e um walkie-talkiesero necessrios:a) R$ 324,00.

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b) R$ 360,00.c) R$ 280,00.d) R$ 340,00.

e) R$ 420,00.

11. Princpio das Gavetas de Dirichlet

11.1 Apresentao

Nesta Unidade, ser abordado o Princpio das Gavetas de Dirichlet.

11.2 Sntese

Esse princpio tambm conhecido como Teoria dos Pombos. Isso querdizer que se o nmero de elementos de um conjunto finito A maior do que onmero de elementos de outro conjunto B, ento uma funo de A em B nopode ser injetiva.

Exemplo: Quantas pessoas so necessrias para se ter certeza que h, pelomenos duas delas, fazendo aniversrio no mesmo ms?

Resoluo: 13 pessoas. Pelo princpio da casa dos pombos se houver maispessoas (13) do que meses (12) certo que pelos menos duas pessoas teronascido no mesmo ms.

Exerccios

26. Se n objetos forem colocados em, no mximo, n- 1 gavetas, ento pelomenos uma delas conter pelo menos dois objetos.

27. Uma prova de concurso possui 10 questes de mltipla escolha, comcinco alternativas cada. Qual o menor nmero de candidatos para oqual podemos garantir que pelo menos dois candidatos deram exata-mente as mesmas respostas para todas as questes?

28. Ricardo Erse veste-se e calcula que tem 13 pares de meias brancas, 11pares de meias cinzas, 17 pares de meias azuis e 7 pares de meias pretas.Todas esto misturadas e ele resolve pegar certo nmero de meias noescuro e, chegando no carro, ir escolher duas que tenham cor igual

para calar. Qual o menor nmero de meias que Ricardo Erse poderpegar para ter certeza de que pelo menos duas so da mesma cor?

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a) 12.b) 10.c) 8.

d) 6.e) 5.29. Em uma urna h 18 esferas: 5 azuis, 6 brancas e 7 amarelas. No d

para saber a cor delas sem tir-las da urna; tambm no se pode dis-tingui-las, a no ser pela cor. N esferas so retiradas simultaneamentedessa urna. Qual o menor valor de N para que se possa garantir queduas sejam da mesma cor?a) 2.b) 3.

c) 4.d) 7.e) 8.

30. Qual o menor valor de N para que se possa garantir que entre as esfe-ras retiradas haver duas com cores diferentes?a) 2.b) 3.c) 4.d) 7.

e) 8.

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Captulo 2

Conjuntos Numricos

1. Conjuntos Numricos

1.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos noes bsicas de conjuntos numricos

naturais, inteiros, racionais e irracionais e reais.

Exerccio

31. Testando seus conhecimentos: Julgue os itens a seguir se V (Verdadei-ro) ou F (Falso):1. Se x < y, ento: x2 < y2.2. 2 , x R

3. Todo nmero natural divisvel por ele mesmo.4. O conjunto dos mltiplos de um nmero natural infinito.

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5. 981)27()3()27()3( 6. Se x2 = 25 \ x = 5, assim 525 7. Se o que j passou so 3/5 do que falta, ento agora so 14 horas e

24 min.8. Pai e filho moram juntos e trabalham na mesma fbrica. O filho

vai da casa at fbrica em 20 minutos, e o pai vai em 30 minutos.Ento, se o pai sair de casa 5 minutos antes do filho, este levar 10minutos para alcanar o pai.

9. Nmero primo todo nmero que divide apenas por um e elemesmo.

10. Se Amanda recebe 50% a mais que Carla e Beatriz recebe 25% amais que Carla, ento Amanda ganha 20% a mais que Beatriz.

2. Nmeros Naturais

2.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos que o primeiro conceito de nmeros naturais

a decomposio.

2.2 Sntese

Relembrando os nmeros naturais:N = 0,1,2,3,4.....N* = 1,2,3,4....(onde * significa que no tm o zero).Quando se fala em nmeros naturais, fala-se tambm do sistema de nume-

rao decimal (pois se usa 10 algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)).Decompor um nmero: Exemplo: 547 = 500 + 40 + 7

1.234 = 1.000 + 200 + 30 +4, ou seja: 1.234 unidades ou 123 dezenas e 4unidades ou 12 centenas e 34 unidades ou 1 milhar e 234 unidades.

Decompor um nmero: Exemplo: XYZ = 100X + 10Y + 1ZQVL = Quadro Valor de Lugar ou Quadro Posicional.

Exerccios

32. (Fundep) Em relao aos nmeros naturais, a nica afirmativa falsa :a) Todo nmero divisvel pelo produto de dois outros divisvel por

qualquer um deles.

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b) Se um nmero divide o produto de dois outros, ele divide umdeles.

c) Um divisor comum de dois nmeros divide a soma deles.

d) Se um nmero divide dois outros, ele divide o mximo divisor co-mum deles.

e) Se um nmero mltiplo de dois outros, ele mltiplo do mni-mo mltiplo comum deles.

33. Considere um nmero de dois algarismos tal, que a soma desses alga-rismos seja 13. Adicionando-se 9 ao nmero, obteremos outro nmeroformado com os algarismos dispostos em ordem inversa. O novo n-mero :a) menor que 49.

b) maior que 50 e menor que 60.c) maior que 61 e menor que 77.d) maior que 78 e menor que 86.

3. Contagem de Algarismos

3.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos tpicos relacionados questo do tipo:

Quantas vezes aparece o nmero 2 na contagem de 1 at 100?

Exerccios

34. (UFRJ/TEC./MAPA/2005) Sabemos que o nmero 4 escrito comum algarismo, o nmero 27 com dois algarismos e o nmero 123 comtrs algarismos. O total de algarismos escritos para enumerar as pgi-nas de um livro com 150 pginas um nmero:a) Menor que 300.b) Entre 300 e 349.c) Entre 350 e 399.d) Entre 400 e 449.e) Maior que 450.

35. (TRT) Um tcnico, responsvel pela montagem de um livro, obser-

vou que na numerao de suas pginas haviam sido usados 321 alga-rismos. O nmero de pginas desse livro era:

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a) 137.b) 139.c) 141.

d) 143.e) 146.36. Quantas vezes o nmero 1 aparece ou se repete entre 1 e 1.111?

4. Quantas Vezes o Nmero 1 Aparece de 1 a1.000?

4.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos a melhor forma de resolver a seguinte ques-

to: Quantas vezes o nmero 1 aparece de 1 a 1.000?

Exerccios

37. Quantas vezes escrevemos o algarismo 2 quando escrevemos de 1

at 789?38. Quantas vezes aparece o nmero 1 de 1 a 1.111?

5. Operaes e Propriedades dos NmerosNaturais

5.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos operaes bsicas dos nmeros naturais

adio, subtrao, multiplicao e diviso.

Exerccios

39. (Fundep) Considere a sequncia de operaes aritmticas na qualcada uma atua sobre o resultado anterior: Comece com um nme-ro X, subtraia 2; multiplique por 3/5; some 1; multiplique por 2;

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subtraia 1 e finalmente multiplique por 3 para obter o nmero 21.O nmero x pertence ao conjunto:a) {1, 2, 3, 4}.

b) {-3, -2, -1, 0}.c) {5, 6, 7, 8}.d) {-7, -6, -5, -4}.

40. Jos decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Come-ou a faz-lo em um sbado; nadou pela segunda vez na quarta-feiraseguinte e assim por diante. Nesse caso, na centsima vez em que Josfor nadar ser:a) Tera-feira.b) Quarta-feira.

c) Quinta-feira.d) Sexta-feira.e) Sbado.

41. Considerando hoje: 31/03 = quarta-feira, que dia da semana ser em15/10?7.

6. Quadro Posicional

6.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos sobre quadro posicional.

6.2 Sntese

O quadro posicional utilizado sempre quando inverte-se as posies: cen-tena com dezena, dezena com unidade etc.

Exerccios42. Se M um nmero de trs algarismos e N obtido de M, permu-

tando-se os algarismos das unidades e das centenas, ou seja, trocarcentena por unidade, ento: M N = ser sempre um mltiplo de:a) 2.b) 7.c) 11.

d) 13.e) 15.

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43. Um nmero inteiro, de dois dgitos, k vezes a soma dos seus doisdgitos. Trocando-se a posio desses dgitos, a soma dos dgitos dessenovo nmero fica multiplicada por:

a) 9 k.b) 9 + k.c) 11 + k.d) 11 k.

44. Qual o menor valor do algarismo a para que o nmero natural M=3.104+ a.103+ 7.102+ 6.10 + 5 seja divisvel por 15?a) 0.b) 1.c) 2.

d) 3.e) 4.

7. Sudoku

7.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos sobre Sudoku.

7.2 Sntese

Sudoku considerado um jogo de raciocnio e lgica.

Exerccios45. (UnB/Escrit./BB-NE/2007) Julgue o item a seguir: O quadro abaixo

pode ser completamente preenchido com algarismos de 1 a 6, de modoque cada linha e cada coluna tenham sempre algarismos diferentes.

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46. Um quebra-cabeas que se tornou bastante popular o chamado SU-DOKU. Para preench-lo, basta um pouco de raciocnio lgico. Natabela abaixo, que ilustra esse jogo, cada clula identificada por uma

letra, que se refere coluna, e por um algarismo, que se refere res-pectiva linha. Aps preencher as clulas em branco com os algarismosde 1 a 9, de modo que cada algarismo aparea uma nica vez em cadalinha e em cada coluna, julgue os itens a seguir:

A B C D E F G H I

1 3 9 8 6 7 1

2 8 2 1 3 4 6

3 6 7 4 9 8 2

4 3 7 5 6 1 45 9 4 8 1 2 5

6 8 5 3 2 6 9

7 1 2 4 8 6 7

8 7 9 6 2 5 3 8

9 8 7 3 9 2

a) Est correto preencher com o algarismo 4 na clula B6.b) Os algarismos 5 e 6 so os que preenchem as clulas B9 e D9,

respectivamente.

8. Nmeros Inteiros

8.1 Apresentao

Nesta unidade, trabalharemos os nmeros inteiros. Todos os naturais +

a parte negativa.

8.2 Sntese

Nmeros Inteiros (Z):Z = {..., 3 , 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}Z * = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3, ...} lembrando que * significa que no tm

o zero.

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} Inteiros no negativos.Z = {..., 3, 2, 1, 0} Inteiros no positivos.

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Z*+ = {1, 2, 3, ...} Inteiros positivos.Z* = {..., -3, 2, 1} Inteiros negativos.

Valor Absoluto: o valor que est enxergando. o que realmente vale o

nmero. Exemplo: Numeral123 = valor absoluto: 1 2 3Porm, em se tratando de valor relativo (posio que ocupa): 1 = 100, 2 =

20 e 3 = 3.Em relao a nmeros inteiros, o valor absoluto tem a ver com mdulo,

onde o mesmo sempre positivo (mdulo = distncia). A representao do valorabsoluto de um nmero n |n|. (L-se valor absoluto de n ou mdulo de n).

Definio: | x | = a onde a 0Aplicao em Provas:

1) Aplicando propriedade de mdulo.2) Usando a definio de mdulo.Exemplo (Fundep) Qual o valor da equao: x2+ x + x2?Se x 0 = possvel cortar todos os expoentes, resultando em: x + x + x = 3xSe x < 0 = (-x) + x + (-x) = xSe x R = | x | + x + | x | = 2| x | + x

Exerccio

47. O valor de 5352 :a) 5 52b) 5 + 52c) 5d) 1

9. Operaes de Nmeros Inteiros

9.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos todas as operaes que envolvem nmeros

inteiros.

9.2 Sntese

Algumas definies:

3 e 3 so simtricos (ou opostos) pois (3) + (3) = 0.4 e 4 so simtricos (ou opostos) pois (4) + (4) = 0.

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Adio/Subtrao/Multiplicao de dois nmeros inteiros, ou seja, pro-priedade de fechamento (Ex.: inteiro + inteiro = inteiro).

Adio e Subtrao com nmeros inteiros: pode-se simplificar se forem

simtricos, assim como agrupar os positivos com os negativos.Exemplo: (10 7 9 + 15 3 + 4) = (10 + 15 + 4 = 29) (7 9 3 = 19)

= 29 19 = 10 (positivo).Outra operao importante: Diviso = quando se faz uma diviso pelo m-

todo euclidiano significa: dividendo, divisor, cociente e resto.Dividendo: o produto do divisor pelo cociente adicionado ao resto, no

qual o maior resto possvel um a menos que o divisor.

Exerccios48. (Cesgranrio)

Qual o 70termo da sequncia de nmeros (an) definida acima?a) 2b) 1c) -1

d) -2e) -3

49. Sejam x e y dois nmeros inteiros positivos, dividindo-se x por y, oquociente 5 e o resto o maior possvel. Dividindo-se x pelo dobro dey, o quociente 2 e o resto 45. Qual o valor de x + y?a) 160.b) 170.c) 172.d) 178.e) 179.

10. Mltiplos de um Nmero

10.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos mltiplos de um nmero.

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10.2 Sntese

Mltiplo de um nmero inteiro o produto deste nmero por um inteiro

qualquer (tanto positivo quanto negativo).Todo nmero inteiro no nulo tem infinitos mltiplos. Assim, sendo n umnmero inteiro positivo qualquer, podemos indicar o conjunto dos mltiplosde m por:

M(n) = {0, 1n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, 7n, 8n,....}. Qualquer nmero inteiro um mltiplo de 1:M(n) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. Somente o prprio zero mltiplo de zero: M(0) = {0}. O zero mltiplo de todos os nmeros inteiros (zero o mltiplo

universal).Divisor de um nmero inteiro a qualquer inteiro de tal que a = d x n paraalgum inteiro n. Deste modo, podemos indicar o conjunto dos divisores de uminteiro a por:

D(a) = {d Z / $n Z, d x n = a}. Quando d um divisor de n diz-se que n divisvel por d. O menor divisor positivo de um inteiro n qualquer 1. O maior divisor de um inteiro n qualquer |n|. O nmero 1 divisor de todos os nmeros inteiros (1 o divisor universal).

O zero no pode ser divisor de qualquer nmero inteiro.Lembre-se: mltiplo de um nmero assim como seu divisor, nos nmeros

naturais considera a parte positiva mais o zero. Nmeros inteiros deve-se consi-derar a parte negativa, a parte positiva e o zero.

Exerccio

50. (TRE/Cargo: Tcnico Judicirio Administrativa) Considere que:A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {(x, y) A A : 2|(x y)}, ou seja, B o subcon-junto de pares ordenados (x, y) A A, tais que x y seja mltiplo de2. Nessa situao, a quantidade de elementos do conjunto B igual a:a) 0.b) 2.c) 5.d) 13.e) 25.

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11. Divisibilidade

11.1 Apresentao

Esta unidade abordar a divisibilidade.

11.2 Sntese

Um critrio de divisibilidade uma regra que permite decidir se uma divi-so exata ou no, sem que seja preciso executar a diviso.

Exemplos: Um nmero divisvel por 2 quando ele par. Um nmero divisvel por 3 quando a soma de seus algarismos divi-

svel por 3. Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5. Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3 ao mesmo

tempo.Algumas metodologias: a divisibilidade por 2,4,8 tem a ver com as potncias de 2, ou seja, tem a

ver com os ltimos, penltimos e trs ltimos algarismos do nmero.Assim, a divisibilidade de 2n tem a ver com os n ltimos algarismos.Deve-se observar se o nmero for divisvel por:

2: ltimo algarismo; 4: dois ltimos algarismos (Ex.: 2596 = 96 divisvel por 4); Ano bissex-

to: todo ano em que a terminao divisvel por 4 (Ex.: 2008 e 2012); 8: trs ltimos algarismos (Ex.: 135800 = 800 divisvel por 8); 16: quatro ltimos algarismos (Ex.: 1330016 = 0016 divisvel por 16); 10: quando o nmero terminar com um zero; 100: quando o nmero terminar com dois zeros; 25: 25 + 25 = 50 + 25 = 75 + 25 = 100, ento todo nmero que termi-

nar em 00, 25, 50 ou 75 divisvel por 25 (Ex.: 17475; 854325; 79000;123459).

Dica: qualquer nmero terminado em 52deve acabar com 25. Para isso,deve-se isolar o 5 e o primeiro nmero restante multiplica-se pelo prximonmero, como nos exemplos abaixo:

152= isolando o 52= 1 x 2 = 225. 252= isolando o 52= 2 x 3 = 625 352= isolando o 52= 3 x 4 = 1225 452= isolando o 52= 4 x 5 = 2025

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752= isolando o 52= 7 x 8 = 5625 1052= isolando o 52= 10 x 11 = 11025.Mtodo Geomtrico: a multiplicao oriunda da geometria. Exemplo:

21 x 32 = 672.Isolando as casas decimais em: 2 1 e 3 2

6intersees

7intersees

2intersees=672

12. Divisibilidade e Aplicao

12.1 Apresentao

Nesta unidade, lembraremos a divisibilidade e estudaremos algumas dassuas aplicaes.

12.2 Sntese

Relembrando: Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos dos

algarismos do nmero divisvel por 3. Exemplo: O nmero 74022 divisvel por 3, pois: 7 + 4 + 0 + 2 + 2 = 15 (divisvel por 3).

divisvel por 9: Exemplo: O nmero 8514 divisvel por 9, pois: 8 + 5 +1 + 4 = 18 (divisvel por 9).

divisvel por 6: quando for divisvel por 2 e 3 ao mesmo tempo. divisvel por 12: quando for divisvel por 3 e 4 ao mesmo tempo.Na verdade, a divisibilidade de qualquer nmero est ligada a sua fatura-

o. Porm, os nmeros primos tm sua regra especfica: s possuem 2 diviso-res: o nmero 1 e ele mesmo.

Para saber a regra da divisibilidade de qualquer nmero composto, basta

fatorar o nmero e separar em fatores primos.Isso pode ser feito para qualquer nmero.

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Exemplo:Ento: todo nmero divisvel por 2, 3, 5 e 7 tambm divisvel por 210. Divisibilidade por 7: Um nmero divisvel por 7 quando a diferena

entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades divisvel por 7. Exemplo nmero 343 (isolando o nmero 3):

34 36 dobrandoo3=628 divisvelpor7

Outro exemplo: 819 (isolando o nmero 9):

81 9

18 dobrandoo9=18

63 divisvelpor7

Exerccio

51. (Bacen/2010) Existe uma regra prtica de divisibilidade por 7 com oseguinte procedimento: Separa-se o ltimo algarismo da direita. Mul-

tiplica-se esse algarismo por 2 e tal resultado subtrado do nmeroque restou sem o algarismo direita. Procede-se assim, sucessivamen-te, at se ficar com um nmero mltiplo de 7, mesmo que seja zero.

Veja os exemplos a seguir:1) 23.457 mltiplo de 7

2) 2.596 no mltiplo de 7

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Matemtica

41

Seja a um algarismo no nmero a13.477.307. O valor de apara queeste nmero seja divisvel por 7 :a) 1.

b) 3.c) 5.d) 7.e) 9.

13. Divisibilidade por 11 e 13

13.1 Apresentao

Nesta unidade, abordaremos questes relacionadas divisibilidade por

11 e 13.

13.2 Sntese

Um nmero divisvel por 11 quando a diferena entre a soma dos valoresabsolutos dos algarismos de ordem mpar (a partir das unidades) e a soma dosvalores absolutos dos algarismos de ordem par um mltiplo de 11.

Exemplo: No nmero 23.859, ((2(I)3(P)8(I)5(P)9(I)) os algarismos de or-dem mpar, a partir das unidades so 9, 8 e 2 cuja soma resulta 9 + 8 + 2 = 19.Os algarismos de ordem parso 5 e 3 cuja soma nos d 5 + 3 = 8. Como a di-ferena entre essas duas somas 19 8 = 11 (divisvel por 11). Ento o nmero23.859 ser divisvel por 11.

Em matemtica comercial, normalmente as taxas no so aplicadas comvalores picados, porm, 11% uma taxa bastante usada.

Exemplo: Capital de R$ 1.000,00 aplica-se durante 5 meses a 10%a.m. emjuros compostos:

1.000 x 10% = 110 = taxa unitria = 1,15

Multiplicando 1,15:= 11 x 11 x 11 x 11 x 11.= 121.x.11 = 1331.= 1331.x.11 = 14641.= 14641.x.11 = 161051.

Exerccio

52. (Cesgranrio/CEF) Quantos nmeros mltiplos de 7 ou de 11 h entre1 e 1.000?

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Matemtica

42

a) 90.b) 142.c) 220.

d) 229.e) 232.Divisibilidade por 13: Um nmero divisvel por 13 quando a somadas suas dezenas com o qudruplo do valor do seu algarismo das uni-dades divisvel por 13. Exemplo: 338.3 3 | 8+326 | 5+2026 = divisvel por 13, ento 338 tambm divisvel por 13.

14. Divisibilidade Questes de Prova

Exerccios53. Considere um nmero N com exatamente dois algarismos diferentes

de zero, e seja P o conjunto de todos os nmeros distintos de doisalgarismos formados com os algarismos de N, incluindo o prprio N.

A soma de todos os nmeros do conjunto P, qualquer que seja N, divisvel por:a) 2.b) 3.c) 5.d) 7.e) 11.

54. Seja n = 235ab um nmero natural, cujos 5 algarismos so 2,3,5, a eb. Sabe-se que n mpar e que n divisvel por 5 e por 9. A diferena

b a igual a:a) 2.b) 3.c) 5.d) 7.e) 8.

55. O algarismo da unidade da potncia 31475:a) 1.b) 3.c) 7.d) 9.

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Matemtica

43

56. (Bacen/2010) Considerando-se N um nmero inteiro e positivo, ana-lise as afirmaes seguintes, qualquer que seja o valor de N:I N2+ N + 1 um nmero mpar;

II N (N + 1) (N + 2) um nmero mltiplo de 3;III N2tem uma quantidade par de divisores;IV N + (N + 1) + (N + 2) um nmero mltiplo de 6.

A quantidade de afirmaes verdadeiras :a) 1.b) 2.c) 3.d) 4.e) 0.

15. Nmeros

15.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos, questes de prova envolvendo nmeros.

Exerccios

57. Em uma disputa, h 34 pessoas: 20 homens e 14 mulheres. A cadaetapa da competio, 3 concorrentes so eliminados, sendo sempre 2homens e 1 mulher. O nmero de homens igualar-se- ao nmero demulheres aps a eliminao de nmero:a) 7.b) 6.c) 5.d) 4.e) 3.

58. (FCC/TRT/2004) Em uma nota fiscal, o valor pago na compra de45 blocos de papel apareceria como R$ _8,7_, faltando o primeiro eo ltimo algarismos do nmero que, evidentemente, representava opreo total dos blocos. Sabendo que este valor maior que R$ 50,00,cada bloco foi vendido por:

a) R$ 1,20.b) R$ 1,25.

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Matemtica

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c) R$ 1,50.d) R$ 1,75.e) R$ 1,80.

59. (UnB) Considere os itens a seguir, os quais contm o resultado deuma operao realizada a partir de dois nmeros irracionais positivosX e Y. Nmero irracional todo nmero que no pode ser escrito emforma de frao (razes no exatas). correto afirmar que, independentemente dos valores de X e Y, oresultado da operao sempre um nmero irracional?a) X + Yb) X Yc) X . Y

d) X Ye) XY

60. (UnB) Considere que MN seja um nmero natural de dois algarismosonde M o algarismo das dezenas e N o algarismos das unidades.Sabe-se que 4M igual a 3N e que a soma MN + NM = 154. Nessecaso, correto afirmar que a diferena entre N-M :

16. Nmeros Primos

16.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos os nmeros primos.

16.2 Sntese

Nmeros Primos: Aquele que possui apenas 2 divisores (consequentemente1 e ele mesmo).

Nmero Composto: aquele que tem mais de 2 divisores.Nmeros Primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 31, 37 ...).Decomposio de nmeros em fatores primos, por exemplo, nmero 120:120 / 2 = 60 /2 = 30/2 = 15/3 = 5/5 = 1Ento, na forma fatorada: 23x 3 x 5Conceito: dois nmeros so primos entre si quando possuem apenas o nu-

mero 1 como divisor comum, exemplos: (3 e 5) e (4 e 9).

Quantos divisores tem um nmero? Por exemplo, o nmero 120: (1, 2, 4,8, 3, 6, 12, 24, 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120).

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Matemtica

45

Dica para no fatorar todos os nmeros e achar a quantidade total de divisores:120 = 23x 31x 51Retirando os expoentes e somando + 1: 3 + (1) x 1 + (1) x 1 + (1) = 4 x 2 x

2 = 16 nmeros.

Exerccios

61. O nmero de divisores positivos que possui o nmero M = 1 . 2 . 3 . 4 .5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 :a) 512.b) 1024.c) 256.d) 270.

62. O nmero 2a.3.6.20 tem 48 divisores, ento o valor de a :a) 2.b) 3.c) 4.d) 5.

17. MMC e MDC Conceito

17.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos sobre MMC e MDC, abordando tambm

seus conceitos.

17.2 Sntese

MMC (Mnimo Mltiplo Comum) e MDC (Mximo Divisor Comum).MMC: o menor nmero positivo que mltiplo de todos os nmeros

em questo.MDC: encontra todos os divisores comuns do mesmo nmero e utiliza o

maior que comum a todos eles.Exemplos: 120, 150 e 180.Olhando para os trs nmeros, todos terminam com 0 (zero). Ento, para

facilitar, divide tudo por 10, assim:

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Matemtica

46

120 150 180 10

12 15 18 3

4 5 6 2

2 5 3 2

1 5 3 3

1 5 1 5

1 1 1

4, 5 e 6 so nmeros consecutivos (primos entre si)

Assim, sabe-se que os nmeros 2, 5 e 3 viro na sequncia abaixo

Multiplicando: 10 x 3 x 2 x 2 x 3 x 5 = 1800 o MMC de 120, 150 e 180

MDC: 10 e 3 dividiram todos os nmeros, portanto: 10 x 3 = 30 o MDC.Algumas propriedades importantes: O mximo divisor de dois nmeros 1.

Qual o mximo divisor comum de 3 e 5? Resp.: 1. Qual o mximo divisor comum de 4 e 9? Resp.: 1. Qual o mximo divisor comum entre 25 e 36? Resp.: 1 (so primos

entre si).MMC (a, n x a) o mltiplo de A. O MMC ser o maior e o MDC ser o

menor. Exemplo: o MMC de 15 e 30 30 e o MDC 15 pois divisor de 30.Regra fundamental: o MMC de dois nmeros x o MDC de dois nmeros

ser o produto entre eles. Exemplo: 84 x 90 = 7560 (MMC x MDC = 7560).Exemplos:

MMC de 6 e 8: 24. MMC de 60 e 80: 240.

18. Definio de MMC e MDC

18.1 Apresentao

Definio de MMC (Mnimo mltiplo comum) e MDC (Mximo divi-

sor comum).

Exerccios

63. (Fumarc) A partir das 7 horas, as sadas de nibus de Belo Horizontepara Itabira, Barbacena e Patos de Minas obedecem o seguinte horrio:Para Itabira, de 20 em 20 minutos.Para Barbacena, de 30 em 30 minutos.Para Patos de Minas, de 50 em 50 minutos.

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Matemtica

47

Depois de quanto tempo, aps as 7 horas, saem simultaneamente,pela primeira vez os trs nibus?

64. (Fundep) Trs fios tm comprimentos de 36 m, 48 m e 72 m. Deseja-

-se cort-los em pedaos menores, cujos comprimentos sejam iguais,expressos em um nmero inteiro de metros e sem que haja perda dematerial. O menor nmero total possvel de pedaos :

65. Ao cercar um terreno de sua chcara, a professora Roberta tentou dei-xar todas as estacas da cerca igualmente espaadas, mas ao tentar colo-car essas estacas ela percebeu que, quando colocava: de 2 em 2 metrossobrava 1 metro; de 3 em 3 metros sobravam 2 metros; de 4 em 4 me-tros sobravam 3 metros; de 5 em 5 metros sobravam 6 metros e de 7 em7 metros tambm sobravam 6 metros. Sabendo que o comprimento

total da cerca menor que 500, qual o comprimento da cerca?66. (Fundep) Os restos das divises de 247 e 315 por x so 7 e 3, respectiva-

mente. Os restos das divises de 167 e 213 por y so 5 e 3, respecti-vamente. O maior valor possvel para a soma x + y :

19. MMC e MDC Resoluo de Questes

19.1 Apresentao

Nesta unidade, abordaremos sobre resoluo de questes.

19.2 Sntese

Resoluo de questo de MMC (Mnimo Mltiplo Comum) e MDC (M-ximo Divisor Comum).

Exerccios

67. (Fundep) Entre algumas famlias de um bairro, foi distribudo umtotal de 144 cadernos, 192 lpis e 216 borrachas. Essa distribuio foifeita de modo que o maior nmero possvel de famlias fosse contem-plado e todas recebessem o mesmo nmero de cadernos, o mesmonmero de lpis e o mesmo nmero de borrachas, sem haver sobra

de qualquer material. Nesse caso, o nmero de cadernos que cadafamlia ganhou foi:

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Matemtica

48

a) 4.b) 6.c) 8.

d) 9.e) 12.68. (Fundep) Duas fazendas de 1.122 hectares e 680 hectares, respecti-

vamente, foram redivididas e distribudas entre os herdeiros, de modoque, todos receberam a mesma rea e a maior possvel.

69. (UnB/2008) Aps a realizao de um grande simpsio em um centrode convenes contou-se com a participao de professores e pesqui-sadores de diversas universidades brasileiras. Os motoristas Carlos eManoel foram encarregados dos transportes dos convidados do hotel

para o aeroporto. Carlos faz cada viagem de ida e volta em 35 minutose Manoel faz em 45 minutos. Supondo que na primeira viagem, am-bos saram do hotel juntos s 12h00min e desprezando o tempo queeles gastam pegando e deixando os passageiros, correto afirmar que

A prxima vez que eles se encontraro no hotel, isso vai acontecer aque horas?

70. (TRT/2004) Todos os domingos Murilo almoa em certo restaurante.Saulo almoa no mesmo lugar a cada 15 dias. Se no dia 07 de Marode 2004, um domingo, os dois almoaram juntos nesse restaurante,

em qual das seguintes datas eles almoaro juntos novamente?

20. Nmeros Racionais

20.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos os nmeros racionais e suas aplicaes.

20.2 Sntese

Nmero Racional todo nmero que pode ser escrito na forma de frao:b

a Dados dois nmeros inteiros ae b, com b0, denomina-se nmero racionala

todo nmero x =b

a , tal que x . b = a. x =b

a x . b = a (com a b e b Z*).

Subconjuntos ImportantesQ* (conjunto dos nmeros racionais no nulos):

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Matemtica

49

Q* = {x Q / x 0}Q* + (conjunto dos nmeros racionais positivos):Q* + = {x Q / x> 0}

Q+ = (conjunto dos nmeros racionais no negativos):Q+ = {x Q / x0}Q* = (conjunto dos nmeros racionais negativos):Q* = {x Q / x< 0}Q = (conjunto dos nmeros racionais no positivos):Q = {x Q / x 0}Dzima Peridica: Nmero decimal infinito, porm, peridico.Nmero Decimal Infinito No Peridico: Nmero Irracional (Ex.: 2 e 3).Todo Nmero racional real.

Todo Nmero Natural inteiro.Todo Nmero Inteiro racional.Propriedades: A soma de dois nmeros racionais quaisquer um nmero racional:

Racional + Racional = Racional. A diferena entre dois nmeros racionais quaisquer um nmero racio-

nal: Racional Racional = Racional. O produto de dois nmeros racionais quaisquer um nmero racional:

Racional x Racional = Racional.

Exerccios

71. Considerando-se o conjunto dos nmeros racionais, CORRETOafirmar que:a) A soma de dois nmeros racionais sempre um nmero racional,

existindo apenas uma exceo.b) As dzimas decimais peridicas contm um nmero infinito de

casas decimais e, por isso, no so nmeros racionais.c) 5(n!) se anula apenas para um nico valor natural de n.d) A raiz de ndice par de um nmero racional positivo nem sempre

um nmero racional.72. Certo dia, um funcionrio foi incumbido de digitar certo nmero de

pginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotan-do o seguinte procedimento: nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das pginas emais meia pgina;

nos 15 minutos seguintes, a metade do nmero de pginas restantese mais meia pgina;

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Matemtica

50

nos ltimos 15 minutos, a metade do nmero de pginas restantes emais meia pgina. Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total depginas do texto era um nmero compreendido entre:

a) 5 e 8.b) 8 e 11.c) 11 e 14.d) 14 e 17.

21. Dzimas Peridicas

21.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos a determinao de uma dzima peridica.

21.2 Sntese

Denominamos representao fracionria ou simplesmente frao expres-so de um nmero racional na forma

b

a .

Exemplos de dzima peridica:1/3 = 0,333.2/7 = 0,285714285714.Conceito de Geratriz da Dzima: a frao que gerou a dzima. Como

determinar ?Exemplos:= 0,4444....nmero que repete o 4, ento o numerador. Quantos alga-

rismos tm o nmero 4: apenas 1, ento:4

9

= 0,1717....nmero que repete o 17, ento o numerador. Quantos alga-rismos tm o nmero 17: apenas 2, ento: 17

99

= 0,285714....nmero que repete o 285714, ento o numerador. Quan-

tos algarismos tm o nmero 285714: apenas 6, ento: 285714999999

Porm, e as dzimas que no se repetem (peridicas compostas = uma partedecimal e o restante dzima)?

Exemplos:

= 0,2111...nmero que se repete o 1, porm, o 0,2 inicial no faz parte dadzima, com isso faz-se necessrio separar:

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= 0,2 =

+

. Porm, como o nmero 1 afastou da vrgula 1 casa, a

resultante :

+

(acrescenta o zero no denominador), resultando em = 1990

Exerccio

73. (Fundep) Considere x, y e z nmeros naturais. Na diviso de x por y,obtm-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representao decimal a dzima peridica 7,363636... Ento, o valor de x + y + z :a) 190.b) 193.

c) 191.d) 192.

22. Nmeros Racionais: Dica til

22.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos algumas dicas para resoluo de problemas com

nmeros racionais.

22.2 Sntese

Como saber se uma dzima ou no? Sabemos que nosso sistema decimal (base 10); se fatorarmos o nme-

ro 10 ou um de seus mltiplos a fatorao ser do tipo: 2n.5m. Qualquernmero fracionrio onde o denominador do tipo 2n.5m, ser um n-

mero decimal finito e se dentre seus fatores primos estiver um nmeroque no seja uma potncia de 2 ou de 5, esta frao ser uma dzimaperidica.

finitosdecimaisnmerosso

5.2

1

1000

1

5.2

1

100

1

5.2

1

20

1

33

22

2

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Matemtica

52

Dica para resoluo rpida:

E vice-versa, dividir por uma potncia de 5 o resultado decimal ser umapotncia de 2:

Exerccio

74. Calcule:a)

b)

infinitosdecimaisnmerosso

5.3.2

1

240

1

5.3.2

1

90

1

3.2

1

6

1

4

2

5depotnciaumadarquetem2,depotnciaumaporDividir

0625,016

1

125,08

1

25,04

1

5,02

1

0016,0625

1

008,0125

1

04,025

1

2,05

1

100

11...

4

11

3

11

2

11

100

101...

4

5

3

4

2

3

1000

11...

4

11

3

11

2

11

1000

999...4

1.3

1.2

1

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Matemtica

53

23. Potenciao I

23.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos conceitos, regras e exemplos de potenciao.

23.2 Sntese

uma maneira de reduzir a escrita.Exemplo: 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28

Base = 2 e Expoente = 8Regras:Seja a um nmero inteiro qualquer e n um nmero inteiro positivo,

definem-se:I. a0= 1 (com a 0)II. an= a . an 1

Para simplificar expresses envolvendo potncias til conhecermos as se-guintes propriedades:

1. anam= an + m

2. an

am

= an m

3. (an)m= an x m

4. (a x b)n= an x bn

5. (a b)n= anbn

No existe propriedade com soma ou subtrao de potncia.O resultado de uma potenciao s negativo em um nico caso: Quando

a base negativa e o expoente mpar.Exemplos:(+2)4= +16 (+2)5 = +32

(2)4

= + 16 (2)5

= 32 base negativa e expoente mpar.Cuidado!No confunda (-2)4= +16 enquanto que 24= -16

Vejamos por que o resultado da segunda expresso negativo:-24= -1 x 24= -1 x 16 = -16como se v no desenvolvimento da expresso, o sinal negativo no base,mas, sim, um indicativo do nmero 1 que multiplica a potncia toda.Da mesma forma tambm teremos:(-3)2= +9 enquanto 32= -1 x 32= -9

(-10)4= +10.000 enquanto 104= -1 x 104= -10.000

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Matemtica

54

Exerccios

75. O valor de99

33

15

30

:

76. Em relao aos nmeros reais, a alternativa CORRETA :a) 33:3

b) 3

c) 28 2 010 43

6

d) 63

3

88

82

e) 78+ 77= 1415

24. Potenciao II

24.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos potenciao e o uso dos parnteses.

24.2 Sntese

Os parnteses so extremamente necessrios em uma potenciao.Exemplos:23(23)2= 29 26

24(-2)4= 16 +16

Exerccio77. Se n N > 1, a expresso

nnn 222 24

20

:

a) 4

b)4 nn

c)n

d) 2

1

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Matemtica

55

Regras de sinais nas potenciaesO sinal da potncia depende sempre do sinal da base (+ ou -) e da paridade

do expoente (par ou mpar). O resultado de uma potenciao s negativo em

um nico caso: quando a base negativa e o expoente mpar.Um nmero natural n (n > 1) que tem como divisores naturais apenas o 1(um) e o prprio n chamado nmero natural primo. Os primeiros naturaisprimos so 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Todo natural primo diferente de 2 pode ser escrito, de forma nica, comoa diferena dos quadrados de dois nmeros naturais consecutivos. Exemplo:

7 = 42 32

Represente, dessa forma, os nmeros naturais primos 3, 11 e 19.Resolues:

3 = 22

12

11 = 62 52

19 = 102 92

25. Radiciao

25.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos radiciao, suas propriedades operatrias e

restries.

25.2 Sntese

a operao inversa da potncia. Ex: ab= ab/c

Restries: Seja a um nmero inteiro qualquer e n um nmero inteiro po-sitivo, define-se a raiz ensima aritmtica de a como sendo o nmero x = n a ,tal que:

I. n a = x, quando xn= a e n for mpar;II. n a = |x|, quando xn= a e n for par.Propriedades operatrias:

1. n a . n b = n b.a

2. n a n b = n ba

3. n mmn aa

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Matemtica

56

4. m.nn m aa 5. m.n m.nn m aa 6. d nd

n

aa Radical de Radical:

305.3.23 5

..

777

rqpp q r aa Exerccios:

= 0xcom,. 632

xxx

=

6 7x =6 7x =x71= .6 6x = x

6 x x1

Exemplo (Regra do Apartamento (entra e sai)). Para sair e entrar voc pre-cisa da chave do apartamento, da portaria, da garagem etc. Ou seja, o melhorcaminho tentar simplificar ao mximo as razes. Veja os exemplos:

xxx

abccba rqp rqrp q r

1

8 78 42

.. .

22.2.2222

24222

..

Exerccio

78. Resolva:1x xxx = 8 421 .xxx 8 1x

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Captulo 3

Sistema Legal de Medidas

1. Nomenclatura do Sistema Legal deMedidas

1.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos a nomenclatura do sistema legal de medidas

(Sistema MKS). Transformao de medidas de rea, comprimento e volume.

1.2 Sntese

M = metro.K = kilograma.S = segundo.Exemplos: Nmero 254,36. Se quiser andar com a vrgula quatro casas para

a direita = 2.543.600. Ou se quiser andar com a vrgula duas casas para aesquerda = 2,5436.

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Matemtica

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Potncia de 10:2,37x102= 237. Como aumentou duas casas decimais, diminui o expoente

da potncia, resultando em: 102-2ou 100= 237.

254,36 = andar duas casas para a esquerda (aumenta a potncia) = 2,5436 x 102

.Notao cientfica: se andar com a vrgula para a direta aumenta o nmero(diminui a potncia). Se andar com a vrgula para esquerda diminui o nmero(aumenta a potncia). Exemplo: 3.200 no se escreve em notao cientfica. Ocorreto escrever 3,2. Diminuindo as casas demais, aumenta a potncia = 103.

Outros exemplos:583.000.000 = 583 x 106= 5,83 x 108.34,56 x 108= 345,6 x 107(andando para a direita) ou 3,456 x 109(andando

para a esquerda).

0,0028 x 1015= (no correto usar em notao cientfica), ento se andacom a vrgula at 2,8 x 1012.

5438,25 x 10-12= em notao cientfica (nmero inteiro no nulo antes davrgula): 5,438 x 10-12+3= 5,438 x 10-9.

0,000037 x 10-20= 3,7 x 10-20-5= 3,7 x 10-25.Resumindo a regra bsica: Diminui a base e aumenta o expoente. Aumenta

a base e diminui o expoente.

2. Unidades de Medidas2.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos a aplicao das principais unidades de me-

didase como transform-las.

2.1 SnteseTrs tipos so necessrios: comprimento x superfcie (reas) x volume.Unidades:

Unidades de Comprimento

km hm dam m dm Cm mm

Cada pulo arrasta a vrgula 1xUnidades de Superfcie (rea)

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Cada pulo arrasta a vrgula 2x

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Matemtica

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Unidades de Volume

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Cada pulo arrasta a vrgula 3x

Medidas de Volume (litro)k h da d c m

Cada pulo arrasta a vrgula 1xUnidades de Massa

kg hg dag g dg cg mgDica para transformar medidas: Se elevado a 1 = pula 1 casa. Se elevado a 2 = pula 2 casas. Se elevado a 3 = pula 3 casas.Medidas padres:1 dm3= 1 litro.1 m3= 1000 litros.1 tonelada = 1000 kg.1 arroba = aprox. 13 kg (porm, o sistema regional, ento varia conforme

a regio).1 hectare = 10.000 m2.

Exerccios79. Em uma fotografia area, um trecho retilneo de uma estrada que

mede 15 km possui 5 cm; nessa mesma fotografia, aparece um desma-tamento de 9 cm2. O valor real do desmatamento, em km2, de:a) 3.b) 9.c) 27.d) 81.

80. (Fundep) Uma maquete de um prdio, feita na escala 1:1000, a pisci-na, com a forma de um cilindro circula reto, tem a capacidade de 0,6cm3. O volume, em litros, dessa piscina ser:

3. Unidades de Medidas Aplicao

3.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos a aplicao das unidades de medidas em exerccios.

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Matemtica

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Exerccios

81. Um barril cheio de gua pesa 1.160 g e com gua at metade de sua

capacidade , 6,5 hg . O peso do barril vazio, em kg, :a) 0,07.b) 0,12.c) 0,14.d) 0,25.

82. (Fundep) Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tbuas cor-ridas foram substitudas por tacos. As tbuas medem 3 m de compri-mento por 15 cm de largura e os tacos medem 20 cm por 7,5 cm. Onmero de tacos necessrios para essa substituio foi:

a) 1.029.b) 1.050.c) 1.470.d) 1.500.

83. Um paciente est recebendo, por via intravenosa, em um perodo de 6horas, um frasco de 2.400 cm3de soro fisiolgico. O aparelho de apli-cao do soro tem um fluxo constante, medido em gotas por minuto.Se 1 cm3equivale a 18 gotas, pode-se estimar que o fluxo do aparelho,em gotas por minuto, :a) 120.b) 140.c) 160.d) 180.

84. Uma casa tem dez janelas, cada uma com quatro vidros retangularese iguais, de 0,45 m de comprimento e 0,40 m de largura. Cada vidrocusta R$ 0,25 o dm2e a mo de obra para coloc-lo, R$ 4,00 por jane-la. A importncia a ser gasta para colocar os vidros nessas janelas :a) R$ 44,50.b) R$ 220,00.

c) R$ 225,00.d) R$ 445,00.e) R$ 450,00.

85. Uma senhora comprou 4 m de fazenda a R$ 12,00 o metro. No en-tanto, o metro do lojista media 2 cm a mais. A quantia que o lojistadeixou de ganhar pelo tecido vendido :a) R$ 0,81.b) R$ 0,96.c) R$ 1,08.

d) R$ 1,20.

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Captulo 4

Matemtica Comercial

1. Razo

1.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos que a razo uma diviso (quociente) entre dois

nmeros.

1.2 Sntese

Exemplos: razo entre homens e mulheres / candidatos por vaga / por-centagem.

Algumas razes possuem clculos matemticos: densidade (qumica) = massa / volume.

densidade (geogrfica) = populao / rea. velocidade mdia = distncia total percorrida / tempo total gasto.

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Matemtica

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distncia = velocidade x tempo (d = v.t). variao da velocidade. variao do tempo.

Exerccios

86. Um motorista dirige seu carro da cidade X at a cidade Y, distantes en-tre si 100 km, a uma velocidade mdia na ida, de 30 km/h e na volta,pelo mesmo percurso, a velocidade mdia de 60 km/h. Nesse caso, correto afirmar que a velocidade mdia desenvolvida pelo motoristaem todo o percurso de:a) 40 km/h.b) 45 km/h.c) 47,5 km/h.d) 50 km/h.Em matemtica se usa a mdia harmnica = harmoniza o ambiente(se no est submetido s mesmas condies fsicas, caso contrrio,se usa a mdia aritmtica comum). Frmula = quantidade de coisasenvolvidas sob suas medidas.

Assim, utilizando o exemplo anterior:

87. Em uma viagem Rio-So Paulo, metade da distncia foi percorridacom um rendimento de 11 km/l de combustvel, e a outra metade,

com rendimento de 9 km/l. O rendimento da viagem toda foi de:a) 9,8 km/l.b) 9,9 km/l.c) 10 km/l.d) 10,1 km/l.e) 10,2 km/l.

...11

21

nn

nM

h

= 40 km/h

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Matemtica

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2. Velocidade Relativa

2.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos sobre definio e aplicao da velocidade

relativa.

2.2 Sntese

Considerem-se duas partculas A e B, movendo-se em uma mesma tra-

jetria e com velocidades escalares, em duas situaes distintas: movendo-seno mesmo sentido e em sentidos opostos. A velocidade escalar que uma daspartculas possui em relao outra (tomada como referncia) chamada develocidade relativa.

Exemplos: Um carro est na estrada a 80 km/h e outro carro no sentido oposto

passa a 100 km/h. Um carro passa pelo outro a 180 km/h. Uma pessoa corre a 7 km/h e na sua frente outra pessoa corre a 6 km/h.

Isso quer dizer que a cada hora se aproximam 1 km.

Exerccios

88. Maurcio e Julinho brincam com seu cachorro numa praia. Esto ini-cialmente separados por uma distncia de 100 metros e comearama caminhar cada um em direo ao outro, um deles com velocidadede 2 m/s e o outro com velocidade de 3 m/s. Neste mesmo instante ocachorro, que estava junto de um deles, comea a correr em direoao outro e chegando, volta imediatamente ao primeiro recomeandotudo outra vez at que Julinho e Maurcio se encontrem. Quantos me-tros, ao todo, ter percorrido o cachorro se mantiver uma velocidadede 8 m/s?a) 100 metros.b) 120 metros.c) 140 metros.d) 160 metros.e) 180 metros.

89. Um coelho est 80 metros frente de uma raposa que o persegue.Enquanto o coelho percorre 19 metros, a raposa percorre 21 metros.

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Quantos metros a raposa dever percorrer para alcanar o coelho?a) 760 m.b) 840 m.

c) 441 m.d) 560 m.90. (Fundep) Uma pessoa que est indo para a rodoviria pega um trnsi-

to e chega 5 minutos atrasada para pegar o nibus. Chama um txi epede para alcanar o nibus. Dados: O nibus saiu a 80 km/h e o txicorre a 100 km/h. Em quanto tempo a pessoa alcana o nibus? Quala distncia aproximada que percorreu para alcanar o nibus?

3. Conceito de Escala3.1 Apresentao

Conceito de escala (mapas, maquetes, projetos).

3.2 Sntese

Definio: real

objeto

Tamanho

Tamanho

E Se a escala 1:1.000, para cada 1 pedao do objeto, tenho 1.000 pedaos

reais (razo).Relembrando algumas medidas:1 m3= 1.000 litros (Ex.: caixa dgua padro).1 dc3= 1 litro / 1 cm3= 1 ml / 1t = 1.000 kg.

Exerccios91. (Fundep) Numa maquete de um condomnio a escala utilizada de

1:1000 e uma piscina cilndrica possui 0,6 cm3de volume. Determi-ne, em litros, a capacidade da piscina:a) 600 l.b) 6.000 l.c) 60.000 l.d) 600.000 l.

92. Um tijolo pesa 4,8 kg, uma miniatura 4 vezes menor, feita do mesmomaterial, pesar quantos gramas?

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a) 1.200 g.b) 300 g.c) 75 g.

d) 750 g.93. (Fundep) Em um mapa na escala 1:10.000.000, a distncia entre dois

pontos de 2,5 cm. Assim sendo, no terreno, a distncia entre essespontos de:a) 5 km.b) 100 km.c) 250 km.d) 1.000 km.

94. O nmero de aeronaves entre 4 empresas brasileiras distribudo da

seguinte maneira: TAM: 1/3 da frota brasileira. GOL: 1/3 do restante. TRIP: 1/3 do restante. AZUL: 80 aeronaves.O total de aeronaves desse grupo brasileiro :a) 270 aeronaves.b) 300 aeronaves.

c) 360 aeronaves.d) 540 aeronaves.

4. Proporo Sistemas de Cotas

4.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos a igualdade de duas razes.

4.2 Sntese

Proporo: Igualdade entre duas razes. A est para B assim como C estpara D (grandezas proporcionais nessa ordem). O produto dos meios igual aoproduto dos extremos.

Propriedade Importante: todas as operaes realizadas no numeradordevem tambm ser feitas no denominador.

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Matemtica

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Exerccios

95. Um tijolo pesa 1 kg mais meio tijolo, quanto pesa um tijolo mais meio

tijolo?96. A soma de dois nmeros 90 e a razo entre eles 4/6. Quais so os

nmeros?97. O montante de uma aplicao diretamente proporcional ao capital

investido. Trs investidores aplicaram respectivamente, capitais de R$2.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00. Se o montante total recebidopelos trs foi de R$ 10.800,00, quanto desse montante cabe a cada umdeles?

5. Cotas x Juros

5.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos a diferenciao entre cotas e juros.

5.2 Sntese

Podem-se usar cotas nos problemas envolvendo juros simples. Os mesmospodem ser trabalhados como cotas, porque um juros linear onde o crescimen-to proporcional.

Exerccios

98. Os juros de uma aplicao devem ser diretamente proporcionais

ao capital investido e a taxa de juros da aplicao. Trs investidoresaplicaram, durante o mesmo perodo, seus capitais de R$ 200,00, R$300,00 e R$ 500,00 a taxas de juros mensais de 4%, 3% e 2%, respec-tivamente. Sabendo que o total de juros das trs aplicaes foi de R$270,00, determine que parte desse total cabe a cada investidor.

99. Dois scios, A e B, abriram uma empresa com os capitais de R$4.000,00 e R$ 5.000,00, respectivamente. Quando a sociedade com-pletou o seu quinto ms de existncia, A investiu mais R$ 1.000,00 naempresa. Dois meses depois dessa data, B aumentou sua participao

para R$ 6.000,00. Ao fim de um ano de atividades, verificou-se umlucro de R$ 2.400,00. Que parte desse lucro coube ao scio A?

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100. (UnB) Uma empresa tem em seu quadro pessoal 84 empregados, e arazo entre o nmero de homens e mulheres , nessa ordem, iguala 4/3. A propsito dessa situao, julgue os itens a seguir:

( ) O nmero de mulheres no quadro de pessoal dessa empresa superior a 38.( ) Ao se somar 2/3 do nmero de mulheres a 75% do nmero dehomens dessa empresa, obtm-se um nmero racional no inteiro.

6. Sistema de Cotas e Fracionrios

6.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos problemas envolvendo sistema de cotas e fracionrios.

Exerccios

101. (Fundep) Um avicultor afirmou que 2/5 dos ovos de sua granja eramdo tipo extragrande, sendo o restante do tipo grande. Posterior-mente, verificou-se que um em cada oito ovos classificados comoextragrandes era, na verdade, grande e que um em cada oito ovosclassificados como grandes era, na verdade, extragrande. Do to-tal de ovos que este avicultor produzia, a porcentagem de ovos ex-tragrandes era de:a) 42,5%.b) 45%.c) 55%.d) 57,5%.

102. (Fundep) Para calcular o comprimento do segmento AB, usam-seduas unidades de medida. Representadas por U e V, essas unidadescorrespondem a 1/5 e 1/6 de AB, respectivamente. Considere umponto F sobre AB. Se a medida de AF com a unidade U 2, ento amedida de AF com a unidade V :a) 0,1.b) 1,2.c) 1.d) 2,4.

103. Trs scios: Miguel, Pedro e Joo, lucraram juntos R$ 38.000,00. Mi-guel investiu R$ 5.000,00 durante 1 ano; Pedro investiu R$ 4.000,00

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durante 6 meses e Joo investiu R$ 6.000,00 durante 5 meses. Aparte do lucro que Pedro recebeu foi de:a) R$ 20.000,00.

b) R$ 10.000,00.c) R$ 8.000,00.d) R$ 6.000,00.

104. Uma empresa decidiu agraciar os empregados Antnio, Pedro e Joo,que tiveram a menor quantidade de faltas ao servio durante o anopassado, com 42 cotas de determinado ttulo de capitalizao. An-tnio, Pedro e Joo registraram, respectivamente, 3, 5 e 6 faltas, ea empresa destinar a cada um deles uma quantidade de cotas in-versamente proporcional ao nmero de suas faltas. Dessa forma, o

nmero de cotas destinadas a Antnio ser igual a:a) 07.b) 10.c) 12.d) 14.e) 20.

7. Grandeza Diretamente e Inversamente

Proporcional7.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos grandezas diretamente e inversamenteproporcionais, usando o sistema de cotas.

7.2 Sntese

Relembrando o sistema de cotas: Se em um determinado lugar tiver 3 ho-mens para cada 5 mulheres. Os homens e as mulheres sero representados porcotas. Logo, existem 3 cotas de homens e 5 cotas de mulheres, totalizando8 cotas. Em um local com 120 pessoas e existindo 8 cotas = 15 pessoas por cota.

Assim: 15 x 3 homens = 45 homens / 15 x 5 = 75 mulheres.

Exerccios

105. (Fundep) Um bilogo capturou 60 araras de uma mata e colocou umanel de identificao em cada uma delas. Em seguida, soltou-as na

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mesma mata. Alguns dias depois, o bilogo capturou novamente 60araras dessa mata e somente 15 tinham o anel de identificao. As-sim, correto afirmar que, nessa mata deve haver aproximadamente:

a) 180 araras.b) 240 araras.c) 280 araras.d) 320 araras.

106. (Fundep) O governo dispe de uma verba de R$ 140.000.000,00para equipar a Polcia Militar, a Polcia Civil e o Corpo de Bombei-ros. Esse valor dever ser dividido entre essas corporaes em partesrespectivamente proporcionais a . Nesse caso, o valor a ser alocadoao Corpo de Bombeiros ser de:a) R$ 80.000.000,00.b) R$ 90.000.000,00.c) R$ 92.000.000,00.d) R$ 95.000.000,00.

107. (TRT) Trs funcionrios A, B e C decidem dividir entre si a tarefade conferir o preenchimento de 420 formulrios. A diviso deverser feita na razo inversa de seus respectivos tempos de servio noTribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal h 3, 5 e 6 anos, res-pectivamente, o nmero de formulrios que B dever conferir :a) 100.

b) 120.c) 200.d) 240.e) 250.

108. O montante de uma aplicao diretamente proporcional ao capitalinvestido. Trs investidores aplicaram, respectivamente, capitais de R$2.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00. Se o montante total recebido pelostrs foi de R$ 10.800,00, quanto desse montante cabe a cada um deles?

109. Julgue os itens abaixo:

a) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando umadelas aumenta a outra tambm aumenta na mesma proporo.b) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma

delas diminui a outra aumenta na mesma proporo.c) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando

uma delas aumenta a outra diminui na mesma proporo.d) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma

delas diminui a outra tambm diminui na mesma proporo.e) O nmero de ganhadores de um nico prmio de uma loteria

e a quantia recebida por cada ganhador so grandezas inversa-mente proporcionais.

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8. Resoluo de Questes Grandezas

8.1 Apresentao

Nesta unidade, abordaremos questes envolvendo grandezas e regra de trs.

8.2 Sntese

Dicas para resoluo de problemas com regra de trs:1) Escrever a pergunta e depois os demais dados: 1DADO, 2DADO e

3DADO.

2) Comparar cada dado com a pergunta, separadamente: Se aumentaramambos os lados = diretamente / Se aumentou um lado e diminuiu outrolado = inversamente.

3) Inverte quem inversamente e multiplica cruzado.

Exerccios

110. 20 operrios cavam 400 metros de um poo em 15 dias de 8 horas.Em quantos dias de 9 horas, 15 operrios, cuja capacidade de traba-lho trs vezes a dos primeiros, podero fazer 900 metros de outropoo, cuja dificuldade de cavar seja 3/5 da do primeiro?

111. Um gato e meio come um rato e meio em um minuto e meio, emquanto tempo 100 gatos comero 200 ratos?

9. Regra de Trs

9.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos a regra de trs.

9.2 Sntese

A regra de trs o processo de clculo utilizado para resolver problemasque envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais.

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Exerccios

112. (Fundep) A faz uma pea em 9 dias. B 50% mais eficiente que A.

Ento, o nmero de dias que B dever demorar para fazer a mesmapea :a) 3.b) 4.c) 9/2.d) 6.

113. Certo trabalho pode ser realizado por 16 digitadores em 20 dias, tra-balhando 6 horas dirias. Para executar metade desse trabalho em 16dias, 12 digitadores teriam de trabalhar diariamente:

a) 4 horas.b) 5 horas.c) 6 horas.d) 7 horas.

114. Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletosde pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumentode 50% no total de boletos a serem emitidos, trs impressoras, iguais primeira, trabalhando juntas podero realizar o trabalho em 1 hora e:a) 30 minutos.

b) 35 minutos.c) 40 minutos.d) 45 minutos.e) 50 minutos.

115. Hoje, Filomena gastou 3 horas de trabalho ininterrupto para digitar3/5 do total de pginas de um texto e, amanh, Gertrudes deverdigitar as pginas restantes. Considerando que a capacidade opera-cional de Gertrudes 80% da capacidade de Filomena, ento, oesperado que Gertrudes digite a sua parte em:a) 2 horas.b) 2 horas e 30 minutos.c) 3 horas.d) 3 horas e 30 minutos.e) 4 horas.

116. Um automvel poderia rodar 6 horas consecutivas, sem ser reabasteci-do, se partisse com um tanque de gasolina completo. Entretanto, ten-do partido com um vazamento no tanque, rodou somente por 4 horas,

logo aps ter completado o tanque. Quanto tempo foi necessrio paraque 1/20 da gasolina do tanque fosse perdido pelo vazamento?

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10. Problema das Torneiras

10.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos problemas envolvendo torneiras. Qualquer

problema semelhante se resolve utilizando mdia harmnica.

Exerccios

117. Uma torneira enche um tanque sozinha em 10 horas. Outra torneira

enche o mesmo tanque sozinha em 15 horas. Se abrir as duas tornei-ras simultaneamente, em quantas horas enchero o tanque?118. Um tanque tem trs torneiras. A duas primeiras o enchem sozinhas,

respectivamente em 4h e 6h. A terceira o esvazia em 3h. Quantas ho-ras sero necessrias para ench-lo se as trs torneiras ficarem abertase o tanque j estiver cheio com de sua capacidade?

119. Paulo demora 5 dias a mais do que Pedro para fazer um servio. Sejuntos fazem o servio em 6 dias, em quanto tempo cada um faz oservio individualmente?

a) 3 e 10.b) 10 e15.c) 3 e 8.d) 9 e 14.

120. Operando ininterruptamente, uma mquina capaz de tirar X c-pias de um texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condies,outra copiadora executaria o mesmo servio em 4 horas. Se essasduas mquinas operassem juntas, que frao de X cpias elas tirariamaps 2 horas de funcionamento ininterrupto?

a) 5/12.b) 1/2.c) 7/12.d) 2/3.e) 5/6.

121. Julgue os itens abaixo:a) A velocidade desenvolvida por um automvel e o tempo gasto

para percorrer certa distncia so grandezas diretamente propor-cionais.

b) Um reservatrio possui duas torneiras. A primeira o enche sozinhaem 5 horas. A segunda gasta 4 horas para ench-lo sozinha. Se

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abrirmos a segunda torneira uma hora aps a primeira, o tempototal gasto para ench-lo corresponder a 2 horas, 46 min e 40s.

11. Porcentagem e Conceitos Bsicos11.1 Apresentao

Nesta unidade, estudaremos sobre porcentagens e seus conceitos bsicos.

11.2 Sntese

As fraes que apresentam denominadores iguais a 100 so chamadas tam-bm de razes centesimais e podem ser representadas pelo smbolo%.

Problemas de porcentagem: necessrio trabalhar a ideia de referencial econceitos bsicos de porcentagem, onde:

i = taxa proporcional.i/100 = taxa unitria.Exemplo: 20% = 20/100 = 0,2.Referencial: 100%.

se tiver lucro, em cima dos 100% + a taxa; se inflao, 100% + a taxa inflacionria; se juros, 100% + taxa de juros; se desconto, 100% taxa do desconto; se deflao, 100% taxa de deflao; se desvalorizao, 100% taxa.Exemplos:

de Lucro/juros/inflao Prejuzo/desvalorizao/desconto20% x 0,20 + 1,20 x 0,80

5% x 0,05 + 1,05 x 0,9525% x 0,25 + 1,25 x 0,75

Exerccios

122. Uma pessoa chega em uma loja onde est escrito Promoo. Se com-prar vista, tem desconto de 10%. Se preferir parcelar, dar uma entradae outra parcela para 30 dias. Qual a taxa mensal realmente cobrada?

a) 0%.b) 10%.

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c) 15%.d) 20%.e) 25%.

123. Se seu salrio subiu 32% e os preos subiram 10%, no mesmo pero-do, em quanto aumentou o seu poder de compra?

12. Aumento e Descontos Sucessveis

12.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos questes envolvendo aumento e descontos sucessveis.

12.2 Sntese

Exemplo: Calcular 20% de 30% das pessoas que esto presentes. 20% dos30% dos candidatos que esto fazendo concurso moram em capitais. Calcular20% de 30% que equivale a 6% do total de pessoas que vo prestar concursomoram em capitais.

Exerccios124. (Fundep) De todos os empregados de uma grande empresa, 30%

optaram por realizar um curso de especializao. Essa empresa temuma matriz localizada na capital. Possui tambm duas filiais, umaem Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45%dos empregados e na filial de Ouro Preto 20% dos empregados. Sa-bendo que 20% dos empregados da capital optaram pela realizaodo curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto tambmo fizeram. A porcentagem dos empregados da filial de MontesClaros que no optaram pelo curso ?a) 60%.b) 40%.c) 35%.d) 21%.

125. Uma mercadoria sofre aumento de 20% e logo depois, a ttulo depromoo, um desconto de 30%.De quanto ser o prejuzo?

126. As aes de uma certa empresa subiram 20% ao ms durante dois me-ses consecutivos e baixaram 20% ao ms em cada um dos dois meses

7/13/2019 51034_CEMMat_14022014

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Matemtica

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seguintes. Com relao variao sofrida por essas aes duranteesses quatro meses correto afirmar que:a) O valor das aes permaneceu inalterado.

b) As aes desvalorizaram 7,84%.c) As aes valorizaram 7,84%.d) As aes desvalorizaram 8,48%.

127. (TRT) O preo de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor.Como as vendas diminuram, o novo preo foi reduzido em 10% deseu valor. Em relao ao preo inicial, o preo final apresenta:a) Uma diminuio de 10%.b) Uma diminuio de 2%.c) Um aumento de 2%.

d) Um aumento de 8%.e) Um aumento de 10%.128. (TRT) Dos funcionrios de uma empresa sabe-se que o nmero de

mulheres est para o nmero de homens, assim como 12 est para 13.Relativamente ao total de funcionrios dessa empresa, correto afir-mar que o nmero de funcionrios do sexo feminino corresponde a:a) 40%.b) 42%.c) 45%.

d) 46%.e) 48%.

13. Resoluo de Questes Porcentagem

13.1 Apresentao

Nesta unidade, veremos questes envolvendo porcentagem e estatstica.

Exerccios

129. Antnio ganha 30% a mais que Beatriz e Carlos 20% a menos queAntnio. Se a diferena entre os salrios de Antnio e de Carlos deR$ 130,00, qual o salrio de Beatriz?

130. (Cespe INSS) A falta de informaes dos micros e pequenos em-

presrios ainda o principal motivo para a baixa adeso ao SIM-PLES o sistema simplificado