5. síntese de leis de controlo usando técnicas...

Modelação, Identificação e Controlo Digital 5-Controlo com técnicas polinomiais

J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

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5. Síntese de leis de controlo usando técnicas

polinomiais

Objectivo: Projectar controladores discretos lineares por colocação

de pólos, recorrendo a descrições entrada/saída do processo

Referência: AW, Cap. 5



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Controlador com dois graus de liberdade

B A

d y u

Proc.

+ r T

R

S R

-

+

Seguimento:

Melhora o seguimento

das referências

Regulação:

Estabiliza, rejeita perturbações e

reduz a sensibilidade a erros de

modelação



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Objectivos para o controlador

• Estabilizar o sistema

• Seguir referências

• Rejeitar perturbações

• Impôr uma dinâmica conveniente ao sistema controlado;

• Evitar entrar em zonas de funcionamento não lineares.



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Modelo do Controlador

Ru=Tr-Sy B A

d y u

Proc. Controlador

+ r

O controlador tem a forma:

� � � � � � � � � � � �� = −

em que R é mónico (i. e. o coeficiente da maior potência de R é 1)

� � � � � ��

�� = + + +−∂ ∂∂�

�� (∂� = grau de R)

q representa o operador avanço: � � �� = + �

A lei de controlo tem que ser causal.



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Colocação de pólos baseada em modelos entrada/saída

O processo é modelado pela função de transferência

��

��

� �

� �=

em que A e B são polinómios coprimos (i.e. sem raízes comuns).

Objectivo: Determinar um controlador causal (polinómios R,S e T) tal que o

sistema controlado se comporte como ��

�

�

�

� ��

� �= com � e �� coprimos.

Porque temos de

impor isto?



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Condições de causalidade

A causalidade do controlador significa que a variável manipulada u no

instante k não depende das variáveis a partir das quais é calculada (saída do

processo, referência e, eventualmente, perturbações acessíveis a medida).

O controlador é causal neste sentido sse

∂ ∂∂ ∂� �

� �

≥≥



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Exemplo - Causalidade

� � � � � � � � � � � �� = + = + = +� � �

� � � � � � � � � � � �� + = + − +� � � � �

Resulta num controlador causal:

( )� � � � � � � � � � � � � � � � �� + + = + + − + +� � ��

Se a segunda condição é violada, por exemplo com:

� � � � � � �� = + +�

�

� �

fica definido um controlador não causal:

( )� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� + + = + + − + + + +� � � ��

( )� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� = − − + + − − + + + −� � � � � ��

O sinal de controlo em k

depende da saída em k+1 !!



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Acção Integral

Por forma a rejeitar perturbações de saída de baixa frequência, o ganho de

malha dado por:

��

� � ��

� � � �

� � � �=

deve ser alto nesta gama de frequências.

Uma forma de assegurar isto é forçando acção integral. Para tal R é da forma

�� λ= −

λ número de integradores. Normalmente λ=1 (um integrador) ou λ=0 (e.g. se

o processo já tiver um integrador).



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Função de transferência em cadeia fechada

Modelo do processo (com d=0): � � � � � � �� =

Controlador: � � � � � � � � � � � �� = −

Eliminar u(k) entre ambas as equações para obter:

( ) � � � � � � � � � � � � � � �� = −

ou seja [ ]� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+ =

O problema de projecto do controlador consiste em obter R, S, T tal que:

��

� ��

�

�

�+=

Multiplicar por � ��

Multiplicar por � ��



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Há muitas soluções da equação

��

� ��

�

�

�+=

Exemplo: Solução puramente antecipativa:

� � � � �� = = =�

BA

u

Plant

r ABm

BAm

Isto não é uma boa solução: Dado que S=0, o ganho de malha é zero. Na

prática o sistema está em malha aberta.



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Exemplo: Solução de retroacção pura

� � �

� � �

��

�

� �

= == −= −� �

� �

BA

ur ABm

B(Am-Bm)+

-

y

PlantController

e

Esta solução também tem problemas:

• Não há garantia de alto ganho a baixas frequências;

• Não se explora a componente feedforward para melhorar a resposta a

referências.

��

� ��

�

�

�+=



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Exemplo de Trabalho: Regulação de um integrador duplo �

��

� � � � � �= − = +

Não se pretende acção integral no controlador.

Pretende-se determinar R e S tal que AR+BS = Am :

( )�

� � � � � � ��

�

�� − + + + =

Tentamos inicialmente um controlador proporcional:

�� = =

e colocar os polos desejados em malha fechada em p1 e p2:

( )( )� �� = − − =



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Desenvolvendo a equação vem:

( )�

� �

� � � � ��

�� − + + + = − + +

Igualando coeficientes:

( )�

� � �

�

� � �

�

�

��

��

�= − +��

�� =��

Não se conseguem colocar os polos desejados em localizações arbitrárias!

Temos que aumentar a ordem do controlador, o que implica aumentar a

ordem do polinómio característico desejado em malha fechada.



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Considera-se um observador Ao tal que o polinómio característico desejado

em malha fechada seja Acl = AmAo

Experimentemos � � �� = + = + = +

A nova equação é dada por:

( )( ) ( ) ( ) ( )�

� �

� � � � � � ��

�

�� − + + + + + = − + + +� �

Desenvolvendo, obtém-se:

( )

( ) ( )� �

� � � �

� � � � � � �

�

� � � � � � � �

� � ��

� � � �

��

� � ��

� � � � � ��

+ − + + + − + + + + =� � � � � �

= − + + + + + −��



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Igualando coeficientes e resolvendo, obtém-se a solução:

( )

( )

( )

� � �

� � ��

� � � �

�

�

�

�

� �

�

� � � �

� � � ��

� � � ��

� = − + +�� = − + −�� = + − +��

Para conseguir resolver o problema foi necessário aumentar a ordem do

controlador e incluir um polinómio “observador”.

Mais adiante vamos ver métodos mais “automáticos” para resolver o

problema da colocação de pólos e estabelecer regras para definir a ordem do

controlador e observador.

Já é possível encontrar um controlador

que defina arbitrariamente os polos do

regulador.



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Como vimos no exemplo anterior pode ser necessário considerar um

polinómio � correspondendo à dinâmica de um observador. No entanto não

queremos que este termo influencie a função de transferência desejada:

��

� ��

�

� �

� �+=

O polinómio � será factor de T.

Assim, no exemplo anterior, para resolver o problema do seguimento de

referências, teriamos que definir um polinómio Bm com os zeros desejados

para a função de transferência e resolver:

� �� =



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Há muitas soluções para o problema de colocação de pólos, mas nem todas

igualmente boas ou mesmo aceitáveis.

Para encontrar R, S, T que satisfaçam

��

� ��

�

� �

� �+=

poderá haver cancelamento de pólos e zeros. Isto deve ser feito com cuidado

para evitar o cancelamento de pólos e zeros de fase não mínima o que

levaria a modos internos instáveis.

Notar que se não for feito nada em contrário (cancelamento) os zeros do

sistema a controlar também serão zeros do sistema controlado.



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Dedução de um procedimento de projecto

��

� ��

�

� �

� �+=

Se um factor de � não for factor de �� , deve ser factor de � ��+ por

forma a ser cancelado.

Apenas podem ser cancelados zeros "estáveis" (i. e. dentro do círculo

unitário) para impedir que haja modos que "expludam". Assim, factoriza-se �

como

� � �= + −

�+ é mónico e contém todos os zeros a cancelar.



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� � �= + −

�− não pode ser cancelado, tem que ser um factor de �� .

As especificações têm ser tais que includam as raízes de �− . Factoriza-se:

� �� −=

�+ é para ser cancelado, será um factor de � ��+ .

Logo, também será um factor de � (porquê?), e factoriza-se

� � �+=

Mónico, com os zeros

a cancelar Contém os zeros que NÃO

são cancelados



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Em resumo:

��

� ��

�

� �

� �+=

� � �= + − � �� −= � � �+=

Pelo que:

( )� �

� �

� � � � �

� � � �

−+ −

+ −=

+

ou seja

� �

� �

� ��

� � �

− −− =

+



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� �

� �

� �

� � � − =+

As condições seguintes devem ser satisfeitas:

(1) � �� =

e

(2) � � � � � −+ =

ou, dado que �� λ= −

( ) �� λ −− + =



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A primeira equação permite calcular directamente � .

� �� =

A segunda equação

( ) �� λ −− + =

é uma equação polinomial dita Equação Diofantina1em que as incógnitas são

�� e S.

Exercício: Estabeleça a equação diofantina para o controlo de um integrador

duplo em que se pretende erro estático nulo no seguimento de parábolas. 1 De facto uma equação diofantina de 1ª ordem.

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