5 - quinta sÉrie - geometria - iezz - 30 04 2011

5/11/2018 5 - QUINTA S RIE - GEOMETRIA - IEZZ - 30 04 2011 - slidepdf.com

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B.

(ponto B)

c.(ponto C)

.P

(ponto P)

capitulo5

etria

(ponto D)

·0

[[JPonto

Urna picada de agulha na pele nos faz sentir urn ponto.

U rna estrela no ceu nos da ideia de urn ponto.

o ponto nao tern "tamanho",

Os pontos sao. indicados por letras maiusculas:

A, B, C, D, 0, P, etc.

Abaixo ternos imagens de alguns pontos.

A.(ponto A)

.0

(ponto 0)

155

Reta

Urn fio de linha bern esticado e urn "pedaco" de reta. Prolongado sern Jim, nern

de urn lado nern do outre>, ele nos da a ideia de uma reta.

As retas sao indicadas por letras minusculas:

a, b, c, r, s, etc.



9H

( A . ousjd) (» ounjd)

'SOUV,Id sun~Jl~ ~P s U ( J o v u q SOlU~l ox~v,qy

BWB~ V,l~q BlIV,

t t t'oio J _ [/ X l

:sBIn~sl).u~lU SB~~l~ SBll~I rod SOpB~~pU~ ogs SOUV,Id SO

-ouojd urn op v!?P! VP SOU .BP s~Q6

-onp SB SBPOl ure BPB~UOIOld 'OUBld ~P oired BUrn ~ BS~lU nurn ~p "BW~~ ~p ~~Bl" V

OUBld

J1 ; S '11 ; " M '11 ; w

1 :3 d '1:3 9 '1:3Y

:SOW~l

'S ~ " M 'd 'w 'a v soiuod SO

~.l V,l~l V,urcocredsopaj on oqucsop ON

(s VJiU)

s



No desenho ao lado aparecern 0 plano IY.e

os pontos A, X, P e Q.

Ternos:

.P

x •

AEIY., XEIY., PEIY.,

Observacao

Iniciarnos a Geornetria com as nocoes (ideias) de ponto, de reta e de plano.

-

Conforrne virnos, forrnarnos ideias, ternos impressao de ponto, de reta e de planocom nossos- sentidos, atraves da observacao e experiencia.

Exemplo: a quadra de basquete.

Abaixo ternos a imagem de urna quadra de basquete.

r

a piso da quadra nos da a ideia de plano. a plano a.A linha que divide os do is campos nos da a ideia de reta. Areta r.

a centro da quadra nos da ideia de ponto. 0 ponto P.

mais exemplos:

• Vm grao de areia nos da ideia de ponto.

• A pontinha do lapis nos da nocao de ponto.

• 0 encontro de duas paredes nos da ideia de reta.

• Uma parede nos da impressao de plano.

157



8~I

saieauuoo ogs ogu 1. a S ' 1 : 1

s ~ 1. 's 3S 's 3: 1

sa~eau!l0oogs :J a8 'V

J 3:J 'J 3 8 'J 3 V

StlJ8tlU!(OJ SOlUOd

. S8 no e+--> -

AX no~

OJ no s~

X

SOldUlJx:I

8V no J~

8

j

'. .



EXERCicIOS)

1. Observe a figura ao lado e responda.

a) Na figura aparecem as imagens de quantospontos?

b) Quais sao esses pontos?

p

•

A.

•B

2. a) Que figuras estao desenhadas ao lado?

b) Quantas e quais sao?

\ x

3. a) Ao lado temos imagens de quantos planos?

b) Quais sao eles?

4. Observe 0 desenho ao lado e copie as sentencas

abaixo completando com 0 simbolo E ou 1 : .a) M a c) X a e) Y ... a

b) R a d) S a

5. Observe a figura ao lado e responda.

a) Areta r passa por quais pontos?

b) Por quais dos pontos a reta r nao passa?

'c) Quais dos pontos pertencem a reta r?

d) Quais dos pontos nao pertencem it reta r?

6. Observe nq_£esenho ao lado as retasa, b,

C, r, S, e AB.

a) Quantas destas retas'passam pelo ponto·

A? Quais sao elas?

b) Quantas destas retas passam pelo ponto

B? Quais sao elas?

c) Quantas destas retas passam pelos pon-

pontos A e B?

b

a

~d) Areta AB e a unica reta que passa por

A e B? Por que?

7. Sao dados os pont os 0, PeR nao colineares. Quantas e quais sao as retas que eles permitem

determinar?

159

. .



091

J o----------------.

IIJ

J o

°0 oiuod UIn lR:lJRUI Rp crqos g .I Rlgl RUIn lR:5Rll SOUIRA

8J ,u - JwOlS

.i,SBp ops spmO l,S;:)l1'1;:)uH0:J o:gu'J ;:)E l 'y soiuod S~lllOd S1'1P"BU!Ull; :) l; :)P j '~s uropod S1'1l;:)l S1'1lUBnQ O ~ l

l,1'1l;:)l 1'1UlS;:)Ul cumu O:glS;:) soiuod orrenb SO (q

i. S;:)l1'1::lUHO:J ops X ;:)S '}[ soiuod SO (1'1

npuodsar 1'110KV

°S;:)l1'1;:)UHO:Jops uraqunn X ;:)L 's soiuod so ~S;:)l1'1;:)uHo:J Of<; L ~ S '}[ soiuod SO

°OX1:1':(;, o:g;~mnl!S 1'1 ;:)qu;:)s;:)G o n

ElY ;:) }[ (:J~

.I ;:) Y (q

JE l ;:) Y ( 1 ' 1~

~UO!:J1'1I;:)l1J no 3 sojoquns so opussn c 'S ;: ) } [ 'J 'E l 'y soiuod SO;:).1 mor num oquosop OU ;:)Al;:)sqO °11

s.

l,S;:)l"B;:)U!IO:J O~S }[ ;:) E l 'y soiuod so (p

l,1'1l;:)l 1'1UlS;:)Ul t J uroouorrcd }[ ;:)E l 'y soinod sO (:J

i,S;:)l1'1;:)uHO:J soiuod S~ll so ogs S!BnQ (q

l,1'1l;:)l 1'1UlS;:)Ul li ! uroououod onb soiuod S~ll so O~S S!BnQ (1'1

:lOP;:)lU1'1 0!:JP1;:)X;:) op 1'1Jn~!J 1'1N 0 z y

~.

.I ;:) J (f

ElY ;:) J (!~.I ;:) S (q

JE l ;:) S (~~

.I ;:) fl ( J



Cada uma das partes Or' e Or"e uma semi-reta.

o ponto 0 da reta r determina nesta reta duas semi-retas: Or' e Or".

Or' e Or" sao semi-retas opostas.

a ponto 0 e a origem da semi-reta Or' e tambern e a origem da semi-reta Or".

r

Vamos tracar uma reta r e sobre eia marcarmos tres pontos 0, A e B como apare-

ce na figura.

A o B

Vejamos como indicar as duas semi-retas de r determinadas pelo ponto o.

La ) A semi-reta, de ongem em 0, que contem 0 ponto A.

A o

Esta semi-reta e indicada por D A .

2.a) A semi-reta, de origem em 0, que contem 0 ponto B.

o B

-sta outra semi-reta e indicada por OB.

EXERCicIOS

1. Quantas semi-retas ha numa reta r e com origem num ponto P de r?

2. Numa reta r marcamos dois pontos distintos ReS . Quantas semi-retas de r , com origem em

Rou em S, podemos obter?

3. Observe a figura abaixo. Nela temos uma reta a e os pontos A, B e C assinalados.

161

a

A B c

Agora responda:

a) Quantas semi-retas da reta a podemos obter com origem no ponto B? Quais sao?

b) Qual a origem da semi-reta A c ?c) Quantas semi-retas da reta a podemos obter com origem nos pontos A, B ou C?



Z91

~sno S}J WN

noNW

JO no OJ vs no sv

: I N

'SOUJC J1U! soruod sncs o~s HV op soiuod S~"BUI~p sO

'HV OlU~UI~;)S op S~P"Bp~UI;)llX~ S"BO~S H ~ V soruod sO

'HV OlU~w~~S op oirodns cior "B '? .i no HV mor V--.J

8

8

~. ~1/ 'if

'V oiuod 0 UI,?lUO:) onb ~ H oruod OU UI~~~lO UI;)l cnb 'VH Bl~l-IUI~S V -

'H oiuod 0 uroiuoo onb ~ V oiuod OU UI~~~lO UI~l cnb 'iF Bl~l-iUI~S V -

'H ;) V .iod SBPBU~UI1~l~P ,I op SBl~l-~UI~S o.nnnb SBP sBnp lBl~p~SUO:) SOUIBA'H ~ V SOlU~lS~p sotuod stop lB:)lBUI SOUIBA .1 mor BUIn orqog

tq'}J ;} P OlU;}W~;}S

. .



Por fim observe a figura:

semi-reta Aa"- - - -+

semi-reta AB ou Aa'

a"'\ segmento A S l a'

semi-reta S A ou Ba" Asem i-reta Sa' •c

EXERCicIOS

4. Observe 0 desenho e responda:

a) Que figura e R S ?

b) Que figura e Sf?

c) 0 que e R S nR ?

d) Quais sao asextremidades do segmento RS?

5. Considere 0 segmento ao lado:

a) Quais sao as extremidades?b) Qual e a reta suporte?

c) Como deveser representado este segmento?

x y

6. Observe a figura:

A B c

Agora determine:

a ) A B n B A

7. Tomemos 3 pontos distintos A, Bee de uma reta s. Quantos e quais segmentos podemos obter

com extremidades em dois destes pontos?

EXERCicIOS DE REFOR(:O

8. Observe a reta r e os pontos X, Ye 2 assinalados na figura abaixo e responda:

x y z

a) Quantas semi-retas de r podemos obter com origem nos pontos X, Ye 2?

b) Quantos e quais sao os segmentos que podemos ter com extremidades em dois dospontosassinalados? .

c) 0 ponto Y e ponto interno de qual dos segmentos do item anterior? Quais sao as extremidadesdesse segmento?

9. Numa reta r marcamos dois pontos distintos X e Y . Quantas semi-retas de r , podemos obter

com origem em X ou Y?

10. Quantas semi-retas de uma reta t podemos obter com origem nos pontos X ou You 2 da

reta t?

163



Segmentos consecutivos

Observemos os segmentos AB e BC da

figura.

o ponto B e extremidade de AB.

o ponto B tambem e extremidade de

B

Be.A

o ponto B e extremidade comum de

AB e Be.

AB e BC sao segmentos consecutivos.

Segmentos consecutivos e coline ares

Se os pontos R, SeT sao colineares,os segmentos RS e STalem de consecutivos,

estao numa mesma reta.

R T---------_---------

RS e ST sao segmentos consecutivos e colineares.

Poligonal

Na figura ao lado os segmentosAB

eBC sao consecutivos e nao sao colineares.

Blado

·0 mesmo ocorre para os segmentos BC

e CD, e para os segmentos CD e DE.

A

extremidade

Esta figura e constituida de quatro seg-

mentos sucessivamente consecutivos e naoha dois segmentos vizinhos colineares.

D

E

Ela e uma poligonal.

165



991

(: J

8

3

(q

~dill!s-o~u sreuosqod ops S 'BP anb SOUI~Z~ a 's ~IdUI~ s o ~s optr S! 'BUO~~IodS 'BUIPl l )

sy - um ~01 ~ S onb sOAqn:J~SUo:J O~U SOP'BIUI~lS~X~S! 'BU O~!Iod S 'BUIq{I)snnp S 'BN

'S~IdUI!ss! 'BUO~HOd ogs S'Bl!~UI!ld snnp sV

~zxn os O~U sO qU ~Z !A O ~S O ~U onb sO PB I S !O P 'S!B uo ~qo d SB l!~ UI~ld ssnp SBN

'S!Buo~qod o.nnnb SOUI~ l OX !BqV

O!~B~!J!SSBD

'~aJHV (BUO~HOd ap SJPVPlWJJJXJ SB O~S ~ ~ V soiuod sO

'IB uo~Hod B p sopvl so ogs ~a ~ GJ 'o« 'ev SOlU~UI~~S sO

'IBUO~ !IOd u p SJ:J!)J?a soogs i1~a 'J --- 'fl 'V soruod so'~GJflV l'BUO~ !IOd JOd sOU IB : J!PU I



Curvas abertas

As figuras abaixo representam curvas que sao abertas e nao se cruzam. Sao cur-

vas abertas simples.

As figuras a seguir representam curvas abertas que se cruzam. Sao curvas aber-tas niio-simples.

As curvas abertas temextremidades que nao coincidem.

curva aberta simples

curva aberta nao-simples

EXERCiclOS





•

I. Observe os segmentos AB, BC, J J l 5 e responda:

a) Quais sao os 3 pares de segmentos consecutivos?

b) Quais sao segmentos consecutivos e.colineares?

2. Observe os segmentos AD, BO, CO, DO, EO da

figura e responda:

a) Quais deles sao segmentos consecutivos?

b) Quais deles sao segmentos consecutivos e

colineares?

•A B o

E

167



~s:m~:mHo:::l

::l soxtmoesuoo soiuourscs ops S ::lI ::lPs !~ no ( q

~soxunoosuoo soruourscs ogs S::lPP s!~no (~

.upuodsor

::l '3El 'a« 'JEl 'ElY soiuoursos SO : :lAl: :lSqO ·L

~S::lm::lUHo:::l:l

soxnnoosuoo soiuoursos o -g s S ::l{ ::lPs!~ no (q

a

'sostmoosuoo

soiuourxcs op sorsd Si :l ll sO S:: lp WO:: :l: lWlO_1 (~

· ~lf l8U ~P 'au» Jfl 'flY s oiu ou rs os s o ::lA l::lS qO ·9

(q (~

7( q (~

·SOP~I ep oronmu 0 ::l

IU0 rap g " S::lld w !s- o:g u" n o " S::lId w !s" u ro I~ u0 8H od ~ l~ :::l!J!S S~ p OS~ :::lnpso ~l~d .t -

a~O:gs- s!~nO~W ::ll ~p sOP~I sOlu~no (p

~ ogs s!~no i. tnssod ~ p S ::l:::l!ll:} AO lU~n o (o

~scpapnnanxo S~ ogs S!unO (q

~Dd'3aJEly~m8!J ~P ::lW OUo:} luna (~

.apuodscr :) 0P~I O~ ~ln8u ~ :)A l:)SqO .£



10. Como sao chamados dois segmentos que tern uma mesma extremidade e estao numa mesma reta?

'.

12. Para cada caso classificar a poligonal em "simples" e "nao-simples" dando 0numero de verticese de lados.

11. Observe a figura ao lado _e responda:

a) Qual eo nome da figura ABCDEF?

b) Quais sao as extremidades?

c) Quantos vertices e quantos lados ela possui?

b)

c) d)

B

A

E

a)

13. Classifique as curvas abertas abaixo em "simples" ou "nao-simples'' conforme 0 caso.

c)

169



O L I

'UIU::lOl~S onb sOqU!Z!A ogu sopnj S!OP ur~n S C J l d w ! s - o r ! u souosqod so

'urU::lOl cs ogu sOqU!Z!A ogs opu onb sopul S!OP S C J 1 d w ! S souofiqod sON

- s i 1 / d w ! s - 0 r ! u souosqod ~ S C J 1 d w ! S souofiqod ur~ urU::l!J!SSBP~S souosqod sOO!~U;)mSSUD

'soPBI so ops V:l ~ 'sa 'ao 'JH 'HV soiuoursos so (q

· S C J J ! J . lW l so ops :l ~ a 'J 'H 'v soiuod so (B

::laJHV ouosuod 0 OPUBl~P!SUOJ

sops] ;) S;);)!lJ~A

':laJHV ouoilnod rod soumorptq

-ouotniod epeumqo uroqurei V P V l { J C J { IBuoil!lod Burn ~ V:laJHV

30J8'v' ouobjjod

a 3 a~ 3

'uraptoutoo sapepturanxo sn uW!llI). Bls~N

. "V:laJHV luuoilnod U

'"'I"E~j~ IBUoilnod Burn ~ :laJHV Iuuoilnod U SOur~Al~SqO OX!UqB sBmil!J SUN



Nomes dos poligonos

Alguns poligonos recebem nomes especiais de acordo com o nurnero de ladosou de vertices. .

Colocamos a seguir os nomes dos. . .

poligonos.nncipais

poligono de 3 Iados . triangulopoligono de 4 lados quadrilatero

poligono de 5 lados pentagonopoligono de 6 lados hexagono

poligono de 7 lados heptagono

poligono de 8 lados octogono

poligono de 9 lados eneagono

poligono de 10 lados decagono

poligono de 11 lados undecagonopoligono de 12 lados dodecagono

poligono de 15 lados .pentadecagono

poligono de 20 lados icosagono

Exemplos

a)

simples .

d)

nao-sirnples

EXERCicIOS

simples

e)

1. Observe afigura ao lado e responda:

a) No' poligono ABCDE, quantos e quaissao os vertices?

b) Quantos sao os lados?

c) Quais sao os segmentos que indicam os

lados do poligono? B

c)

f)

simples

A

D

c

171



UI

·sa/dUl!S SBptHPdJ

seAln:J O : g S ·UIBZnJ:J cs O : g U onb sopmps] SV(I.mJ ureiuosardor oxmqa sBm2iU SV

scpcq~;}j SCAJn:)

l,SOPB{ ~1 UIO;) 3:l,sopuI L UIO;) 3: l,SOPUI 8 UIOJ OUOIlnod UIn ;}P ;}UIOU 0 ? {lmb ·L

l,OUOIll}lU;}d UIn 3: L OUOIll}SO;)!.urn 3: l,OUOIll}X;}q UIn mssod S;};)!ll?A SOluunO ·9

OUOIll}X;}q (o OUOIll};);}POP (q Ol;}l1}I!lpunb (B

·ouo:anod op S;};)!ll?A ;}P Ol;}UIl)U 0 ~p OSU;) BPB;)_B1Bd .~

OUOIll}lU;}d (o OUOIll};);}P (q 0InIlU~!ll (B

.OUOIlnod op SOPUI ;}P Ol;}UIl)U. 0 ~p OSU;). BPB;) B1Bd · 1 7

( q (B

·SOPBI ;}P

Ol;}UIl)U 0 UIO;) OPlO;)U ;}P ;}UIOU nes ~P ;} souofiqod sop UIn UPB;) mssod SOPUI sonmnb BIl!G .£

/\6

V(, ·SOPUI ;}P OJ;}UIl)U 0 ;} S;};)!ll?A

;}P01;}UIl)U 0 ~P '"S;}IdUI!s-o:yli"no "S;}IdUI!s" UId OUOIlnodo onbgtssap 'OX!BqB OSU;) BPB;) B1Bd ·Z

. .



As figurasa seguir representam curvas fechadas que secruzam. Sao curvas fe-

chadas niio-simples.

curva fechada

nao-simples

curva fechada

nao-simples

curva. fechada

nao-simples

Os poligonos simples sao curvas fechadas simples.

Os poligonos nao-simples sao curvas fechadas nao-simples.

Interior e exterior

A figura ao lado representa uma curva

fechada simples.

Os pontes assinalados, como os pontos

A, B, C, etc. sao pontos internos it curva. Elesestao do "lado de dentro" da curva.

Agora, esta outra figura ao lado repre-

senta uma curva fechada simples onde osos pontos assinalados R, S, T, etc. sao pontos

externos it curva. Eles estao do "lado de fora"da curva.

17 3



t L I

oaeouoo o uo 6} [o d

efle:>uQ:> e_{lJn:>

efle:>uQ:>0i ! !6aJ

e xa xu oo e flJ n:>

e xa xu co o g!6 aJxaxuoo ouob) [od

: S OU I; ;n U IU lOd

·VlW:J

-U~)J O~!~;;U npeureqo UI~qUIUl 'VXCJ(JUO:J-0!2U

O~!~~l U UIn ~ U I3 ·upP SO UI1!U S U I;;)S U I;;)P oi

-uod ormo U UI ;; )Pumbsnnb oiuod UIn ; ;) P 'U l; ;) l

uquq UI~'SOUI1! I ;; )A ! ss od ~ ~ldUI~S UI~N

·O~!~~l nnno UlS ;; ) SOUI ;; )A l~SqO 'U10~V

·OX;; )AUO~soruod

;;)P oiunfuoo UIn no UX;;)AUO~O~!~~l UUIn ~

up OSS! lOd · u I~ P SOU I1 !US U I; ;) SuPP ienbumb

oiuod o.nno U O~!~;;)l aisop umbpmb oiuod

U In ;;)P 'mor T !q uq U I;;) 'SOUI1! pA !ssod 3

·lO!l~lU! Om~~l nn s

U SOUI~A l;;)sqO ·opuI oe U1n~u up U OUIO~ sojd

- U I! S u pu q~ ;; )l UAm~ UU In SOU I;;) l;; )P !SUO:J

SOX~AUOJ soiuod ; } P o lu o fu o :J - ;}PUP!X~AUO:J

. .



capitu fo6

idades de •me a

Abaixo vernos algumas curvas simples.

Se fizermos cada uma dessas curvas corn urn barbante colocado sobre uma mesa,

ao esticar 0 barbante teremos urn segmento de reta que tern "tamanho" igual ao dacurva.

Quando queremos medir a extensao de uma curva simples, nos a convertemosem urn segmento de reta de igual tamanho e, em seguida, nos medimos esse segmento.

Para medir urn segmento de reta AB nos escolhemos urn segmento unitario u,

isto e , urn segmento que sera unidade de medida. Em seguida, verificamos quantas vezes

u cabe em AB. A medida de AB na unidade u e 0 comprimento de AB.

.Exemplos

1.0) A B AB = 4uo comprimento de AB e 4

~

~

2.°) A B AB = 2u

o comprimento de AB e 2

u

179

. .



08I

WW or = W J r

wor=wupr

W Jor = ur p I

w UPOI = urq I

W POI = W

w qOI = W ){

:l9!l;:)]U! ; :) lu ;: )WUlU!P;: )W! :)pup!un u SdZ ;: )Ao r u Iun~! 9 omounrduroo op ; :) pup!un UPU;)

soiuamuduroo ; ) P 8Jnl ! ; ) ' l

'ortour opnprun UU oiuapuodsauoo lOIuA 0

g sOIoqW !S snos 'OlU;:)W !ldW OJ op sopuprun sn B llUOJU;:) ~JOA OX!B qu orpnnb ON

'O lU ;: )W ! ldWOJ ; :) p

s V J.I~ p un JlJs S lJp v PJu n ; :) p s op sumqo ops 01l;:)W o p sojdnjnurqns ;:) sojdnjnur sO

(U lUI)

O. l ) lJUI !UUI

(UlJ)

0.1JlJUlJJUlJJ

(Ulp)

O.lJlJUI]JlJp

.o .nour op sojdnjnurqns so p urn ;:)pup!un OWOJ SOWB ~;:)ldw ;:) S OSUJ s;:)ss;:)N

' " ;: )pUB1~, , ounur 9 01l;:)W ;:)pB p!Un B '~q;:)q um ;:)p amunso U no 'uuod num op Bln~lUI

u no 'unq1?l num gp nmssadsc u OWOJ 'S gg SU ;:) lX ;:)seuonbcd .npour souraronb gs

(UI ' f )

O.lJlJUI(,mnb

(U lVp)

O.lJlJUlpJlJP

r :01lgW op SOIdmi;W sop urn opnpnm OWOJ soumf

-a rduro SOSUJ S ;:)SSgN '"uugnbgd" onnur 9 01lgW opnpnm B '0!1 urn op no 'UPU1lSg cum

gp no 'um aum op oiuounrduroo 0 OWOJ 'soosucixa s;:)pU B1~ l!P;:)W souraronb ;:)s

'UJ!W 1d .ros op B X!;:)P opnptun UlS;:) onbW;: ) s ;: )g6unl !S W; : )lS!X; :)oiueianno 'oriour 0 9 O lU ;:)W !ldwOJ ;:) p /vdp u!.Id lJp vp !u n y

S O ld !l ll}w q ns ;) sO l dm l}W

's~o ss;:)d S B SB PO l .rod Ul! ;: )JU ; :)B P !J gqUOJ B rgS onb oiuounrdtuoo op opa pnm num '9 OlS!

ourauruduroo op 6~lpud cpnpnm uw n l;:)qIOJSg cs op gpUP!SSgJgU B 'O~lUg 'glS!X3

'upusn

gp~!un up opuopuadop 'SBP!pgW sotucrojtp aumuosarde orso 'av O lU gW ~gS urn .npo ur

lued onrauruduroo op opnpnm sum ciuourc rxr] lJqIOJS;) gssgpnd nosscd upno g s

'O lU ;:)W !ldw O J o p gpup!un nred Op!q lo :, )Sg . ro s opod oiuoursos 19nbluno



Em conseqiiencia, cada unidade de comprimento e igual a 1 decimo da unidade

imediatamente superior:

1 hm = 0,1 km

1 dm = 0,1 m1 dam = ° 1 hm1 em = 0,1 dm

Im=Oldam

Imm.=Olcm

Veja como voce deve ler alguns comprimentos:

°I-=--- 1 decimo de metro, m -------....

1 decimetro

0,25 m ~ 25 cent~imos de metro

25 centimetres

6,37 m 6 inteiros e 37 cen~esimos de metro

----- 6 metros e 37 centimetros

EXERClcIOS

1. Marcelomediu duas vezes a largura da sua carteira. Na primeira utilizou como unidade 0

seu lapis e n~ segunda, 0 centimetro. Em qual delas obteve a maior medida?

2. Andre mediu duas vezes 0 comprimento de urn campo de futebol. Na primeira usou como

unidade 0 seu passo e na segunda, 0 metro. Em qual delas obteve a maior medida?

3. Que unidade de comprimento voceusaria paramedir:

a) a largura do seu caderno?

b) a distancia de Brasilia a Salvador?c) a altur-a de urn predio?

d) a espessura do vidro da janela?

e) a extensao de urn rolo de barbante?

4. D e os simbolos das seguintes unidades de comprimento:

a) metro e) decimetro

b) decametro

c) quilometro

d) milimetro

f) centimetro

g) hectometro

5. Em 1m cabem quantos decimetros"

6. Em 1m cabem quantos centimetros?

7. Em 1em cabem quantos milimetros?

8. Copie em seu caderno as igualdades abaixo e complete-as corretamente.

a) lOmm= .. ·... cm d) Im= ...... dm g) 100 em = 1 ......

b) lOcm = ...... dm e) Im= ... ; .. cm h) 10dm = 1 ......

c) lOdm = ...... m f) 1m= ....... mm i) lOrilm=l ......

181

. .



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UI ('L£ = UI (01 x U'£) = UIUp U'£

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UIq ...... = UIUp01 (p UIUp...... =UI 01 (u



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3~a)Para passar de uma unidade para outra qua1quer Basta- apliear sucessivas vezesuma das regras anteriores.

Exemplos

a) km para m

3,584 km = 35,84 hm = 358,4 dam = 3 584 m

b) dm para hm

87,5 dm = 8,75 m = 0,875 dam = 0,0875 hm

EXERCicIOS

14. Expresse em metros as seguintes medidas.

a) 1,7 km

b) 28,6 hm

e) 129 em

d) 548 mm

e) 60 , 07 dam

n 33,56dm

g) 9,73 kmh) 104 ,7 em

i] 8416mm

15. Expresse em eentimetros as seguintes medidas.

a) 2,1 m

b) 37mm.

e) 3,6dam

d) I km

e) 86 dm

n 0,7 hm

g) 3,4km

h) 817 mm

i) 6,877 m

16. Expresse em me!ros as seguintes somas.

a} 2,1 dam + 74 dm + 214 em

b) 104m + 0,37km + 0,2hm.

e) 2 km + 3 hm + 4 dam + 7 m

d) 817 mm + 18em + 3 dm

17. Chama-se perimetro de urn poligono a soma doseomprimentos de todos os lados do poligono.

Calcule 0 perimetro dos seguintes poligonos:

a) e)

2 em

(J,

5em

2 ern

em~~

5em

b) d)4em

6em 1 em

2,5em

2,5 em

6em

183



28. Calcule em metros 0 peri metro de urn triangulo cajos lades medem 0,2 d a : . m , 0,03 hm e 35 dm.

29. Calcule 0 perimetro de uma quadra de basquetebol que tern comprimento 15,7m e largura

7,2m.

30. Calcule 0 perimetro de urn campo de futebol que tern comprimento 10dam e largura 40 m.

31. Quantos metros de arame sao necessaries para cercar urn terre no de forma retangular medindo

1 0 m de frente por 25 m de fundo, sabendo que a cerca tera 5 fios de arame?

Abaixo vemos algumas reqiiies planas ou superficies planas. Sao curvas fechadas

simples reunidas com 0 conjunto dos pontos internos a etas.

Medir uma superficie significa compara-la com outra superficie tomada comoun idade e estabelecer quantas vezes a unidade cabe na superficie dada.

Veja alguns exemplos em que a superficie S esta sendo com parada com a unidade U:

s u

U cabe 6 vezes em S, isto e , S = 6 U.

185



981

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Em conseqiiencia, cada unidade de area e igual a 1 centesimo da unidade imediata-mente superior:

1hm' = 0,01 km2 1dam? =0,01 hm ' 1 rnz =0,01 dam?

Veja como voce Ie algumas areas:

~.

centesimo de metro quadrado

0,01 rn?decimetro quadrado

~

17 centesimos de metro quadrado

0,17.m2

17 decimetros quadrados

~ 2 inteiros e 8 173 decimos-milesimos de metro 'quadrado

2,8173 rrr' <----._. 2 metros quadrados e 8 173 centimetros quadrados

EXERCicIOS

1. Gustavo mediu duas vezes a area da cozinha Na primeira utilizou como unidade uma folhado seu caderno e na segunda, 0 centimetro quadrado. Em qual delas obteve a maior medida?

2. Que unidade de area voce usaria para medir:

a) a area de uma folha de caderno?

b) a area da sala de aula?

c) a area do terreno da escola?

d) a area de uma fazenda?

3. De os simbolos das seguintes unidades de area:

a) metro quadrado e) quilometro quadrado

b) decimetro quadrado f) centimetro quadrado

c) decametro quadrado g) hectometro quadrado

d) milimetro quadrado

4. Em 1m2 quantos centimetros quadrados cabem?

5. Em 1 km2 cabem quantos metros quadrados?

6. Copie em seu caderno as igualdades abaixo e complete-as corretamente.

a) 1m 2 = dm 2 c) 1 em 2 = mm 2 e) 10 000 m 2' = 1 .

b) 100m2 = dam? d) 100 crrr' = 1 f) 1000000 m2 = 1 .

189

7. Escreva do modo que voce le.

a) 0,01 r n 2

b) 5,24 in2

c) 0,0113 rrr'

d) 61,78 darn?

e) 9,6321 drrr'

f) 0,24 cm '



Q

Z61

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. .



Quando estarnos interessados em medir a quanti dade de espaco ocupada por urn

solido, nos escolhernos urna unidade de medida e verificamos quantas vezes ela cabeno solido. A rnedida encontrada e chamada velume do sollido_

Observe os exemplos:

I I I

I I I

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'" I I '" I'" I I »." I

"' + !.:. "_ - _ +

I I I

I I

J-'-_-I

vu

U cabe 4 vezes em V, isto e, V = 4U

v

u

U cabe 2 vezes em V, isto e , V = 2U

U cabe 6 vezes em V, isto e , V = 6U

193



1 7 6 1

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961

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~ ~ • .,- • _•.-- .1

<17 centesimos de litro

0,17 e17 centilitros

5 inteiros e dezessete centesimos de litro

5,17t<. 5 litros e dezessete centilitros

Alern disso, as mudancas de unidade de capacidade sao feitas de modo semelhante

as mudancas de unidade de cornprimento. Veja alguns exemplos:

6,84 t = (6,84 x 10)dt = 68,4 de

81,75t= (81,75 x 1~)dat = 8,175dae

9472t = 947,2dat = 94,72ht = 9,472kt

. .

EXERCicIOS

13. Escreva do modo que voce Ie as seguintes medidas de oapacidade.

a) 2,4(' b) 7,51f c) 12,417f d) 9,48 df e) "J7,ldaf

14. Expresse em litros as seguintes medidas de capacidade.

a) 2 kf b) 3,5 hf c) 9,48 daf d) 175 df e) 643 cf 1 ) 914 m f

15. Expresse em litros as seguintes somas.

a) 3,1 f + 4df + 13cf + 195mf b) 0,015 kf + 0,9472 hf + 1,27 daf

16. Uma caixa d'agua tern a forma de urn cubo com aresta de 1m. Quantos litros d'agua cabem

na caixa?

17. Urn tanque tern 5,5 m de comprimento, 4 m de largura e 1,2m de profundidade. Quantos li-

tros de agua sao necessaries para encher esse tanque?

18. Uma piscina tern 25 m de comprimento, 10m de largura e 2 m de profundidade.A agua colo-

cad a na piscina nao a preenche totalmente. 0 nivel da agua esta 10e rn abaixo da sua borda

superior. Quantos litros de agua ha na piscina?

19. Expresse em litros.

a) 2 m' d) 1,7dam:' e) 891 mm" 1 ) 3,721m'

EXERCicIOS DE REFORC;O

20. Escreva do modo que voce Ie as seguintes medidas.

a) 0,028 m' c) 4,665 m'

b) 0,000001 m ' d) 7,168 dam:'

e) 1,794hm'

1 ) 6,948 dm '

21. Expresse em metros cubicos as seguintes medidas.

a) 9844 drn ' c) 67811 em:'

b) 1,2dam 3 d) 0,785 dam 3

e) 0,8754 hm '

1 ) 10 183 dm '

199



O O Z

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Dois corpos tern massas iguars quando, colocados nos prates de uma balanca,

se equilibram.

Para determinar a massa de urn corpo C devemos escolherum corpo para uni-

dade de mass a e verificar quantas unidades sao necessarias para equilibrar 0 corpo C

numa balanca.

Exemplos

corpo C

'9 '3U

C= 3 U (a massa de C e 3 na unidade U)

cOcorpo C 5U

u l

C = 5 U (a massa de C e 5 na unidade U)

Se cada pessoa pudesse escolher livremente uma unidade de massa para deter-

minar a massa de urn corpo C, este apresentaria diferentes massas, dependendo da uni-

dade escolhida.

Existe, en tao, a necessidade de se escolher uma unidade padrao de massa, isto e,

uma quantidade de materia que seja aceita por todas as pessoas como unidade padrao.

A unidade principal de massa e 0 grama, entretanto, existem situacoes ern que esta

unidade deixa de ser pratica, \

\Para determinar a massa de corpos muito pesados, como urn saco de rnilho, uma

carreta, urn vagao ferroviario, etc., empregamos como unidade de massa urn dos mill-tiplos do grama: '

201



/

z o z

ii)( PL£ 'L = iiq tL '£L = iiep t 'L£L = ii tL £ L

ii L68'0 = ii (OI : L6'8) = iip L6'8

ii I'tL = ii (OI X It'L ) = iiep It'L

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B~P

(4)

B104

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B : ) qq IJ dd "} l up dlUdP!Sdld op OlB PUBW op og~Bmp •

B lnB num dP og~B lnp •

0:)!lJ1IJlBldW ouuiodo urn op 041P.qBll dP B ~p urn dPog~Bmp •

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Al dPBWBllJOld UIn op og~Bmp op oduroi •

joqomj dP P.P91P.d num dP og~p.lnp cp odiuoi •

SB A!lmdSUm sB lnB senp dllUd OIP.A ldlU! op og~B mp •

P.ld{dw o:) B lnB uum op og~p.mp op oduroi •

B lo:)sd ~ B SB ;) B SSOU np l! snq!ug 0 B1Bd OlSP.lJ oduroi •

.sojduroxq .npaur SOWB l!SSg: )dU (OlUdUI! :)d lUO;)B op OU!Wl~l 0 ~lB O!:)!U! 0 dPSdP OlSB lJ

odurci) og~Bmp op oduroi ofno soiuaunooiuooa so ogs SOl!nUI B !P-B -B !P ossou oN

f 7 0 Z



~m minuto e igual a 60 segundos.

I

o minuto e 0 tempo gasto pelo pon-

-.0des segundosde urn relogio para dar

volta com pIeta no mostrador.

Uma hora e igual a 60 minutos.

A hora e 0 tempo gasto pelo ponteiro

s minutos de urn relogio para dar uma

volta completa no mostrador.Como cada minuto equivale a 60 se-

gundos, ternos:

Urn dia e igual a 24 horas.

o dia e 0 tempo gasto pelo ponteiro

das horas dar duas voltas completas no

mostrador.

Como cada hora equivale a 3 600 se-gundos, ternos:

1

o que e coerente com a definicao de que 1

segundo representa 86 ~OO de 1 dia.

ponteiro dos segundos

ponteiro dos minutos

ponteiro das horas

205

. .



S O L6 9 = sO l + S 09£ £ + S 009 £ = sOl unu 95; q I

sopuusos 09£ £ = 09 x 95 ; = soinunu 95 ;sopunsos 009 £ = nroq I

i.sopunsos W;;) RP~P;; )W RSS; ;) rasscrdxo souropod owo:)

sopunsos 0I+ somunn 95 ; + nroq I

noissf ;;)P osrnorad .o rmojduroo urad onb l;;)Z~P ronb oisj

'RP~llO~

sum ~p SR lloA SB SB PO llR P urad s O T U!Ul 9~ I f T nOM I I-B lnUll9J ;;)P oiopd um 'ojduraxalOd 'OlS~Ul oroumu ur n rod sssardxo Rf;;)s oduroi op RP~P;;)Ul num onb UlnWO::J ~ 'I

; } P B P !U O ; } P sB~uBpnw

i,SU!P 6 uropuodsauoo OUU o p 0~6UlJ onb V '~

i,o~6nllSU O:l uum a p lU pUU s'O] op oIof9 urn : } P _ nponb (:}

i,umlIu cp ur OOZ U operurs o~Iuq um op npanb (p

L [oqoionbsnq :}p npurad (o

i, :}lAH open ur o o r uro 0~6ulU U :}p 0~6!l:} dw o:l (q

i. !9l} l !N-O! "H u SIuq u p U !S S:} AU ll(n

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SOI:lI:)1I3X3

(SOUB 00 I =) 0In::J~s

(SOUB 0 I =) BPB ::J~p (S;;)S;;)W £ =) ansounrr

(SOUB 5;=) o~u~nbumb no orisn] (sosaur Z =) ansounq

(SOUB Z =) otugtq ( SB~p' 5 ;I =) euozumb

(SgS;;)Ul 9 =) ansomos (SB~p L =) RURUl;;)S

:oduiai ;;lp sopeptun sanno B pU~R UlglS~X3

9 0 Z



2. Dada uma medida de tempo em certa unidade, como podemos expressa-la por

meio de urn numero misto?

Tomemos, por exemplo, 847-28.

Cada 60 s equivaIem a 1min. Pam saber qm:ntos Dlinmos existem em 8472 s

basta dividir 8 472 por 60:

84728

2 4 172

12 s

60

141 min 8472s=1 1min

Cada 60 min equivalem a 1 h. Para saber quantas horas existem em 1 1min basta

dividir 141 por 60:

entao :

141 min I 60

21 min 2 h

8472 s =141 min 12 s = 2 h 21 min 12 s

141 min = 2 h 21 min

EXERCicIOS

6. Transforme a medida dada por numero misto para a unidade pedida:

a) 7 min 36 s para segundos d) 3 h 2 min 40 s para segundos

b) 2 h 17 min para minutos e) 1d 4 h para minutos

c) 3h 36 min para segundos f) 3me 4 d para horas

7. Transforme ern numero misto:

a) 96 s

b) 7284 s

c) 100000 s

d) 80000 min

e) 100h

f) 275 d

g) 194me

h) 945 h

Operaeoes com medidas mistas

1. Adi~io

Somam-se as medidas que estao na mesma unidade e, se necessario, simplifica-se.

Exemplos:

1.0) 2 h 3 min 7 s}+6 h 10 min 21 s

8 h 13 min 28 s

7 h 56 min 40 s} +10 h 31 min 22 s

17 h 87 min 62 s

~17 h 88 min 2 s

./118 h 28 min 2 s

207

. .



S t~ U!W 6£ 4 £ 1

£

~I JU!W~Z

S ·Z91 U!W 611 1"-- -4 I

s oz: U !W 09 _.j 01

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S Zt U!W 6~ 4 Ot

£ : (s Zt U!W 6 ~ 40t) :ojduraxq

, . . 'OgS!A!Pnunxord up SdlU B 'lO PdJU ! dlU dW B lU !PdW ! epnprun B B1Ud 0PBW10JSUBl l ro s dA dP dlS d

'oisor OpUdABH 'Ol!dlU! OldWI).U ojod B lS!W B P !P dW np Bp::)Jud npeo dS-dP!A!O

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VU!W 0 9Z 4 O£ P ~ I

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S £ U!W Z~ 49~'

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'O!ll?SSd::ldU as 'd ononn OldWI).U opd U lS !W BP !P dW up ound apso dS-B::lqd9IRW

IBJOlBU OJ;)W~U Jod o!~8;)!ld!lIDW o f

l,oSof op o:g~>lunpu Iunb ·sZ~ U!UJ~1 ~pOlUA1~l

-U ! urn uroo 's Ot U !W O Z q 11 s~ noutuuoi ~ s 9£ U!W O~q 6 s~ nooouroo aionbseq ~p oSof w n '01

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U !W L 17 q17 - U !W Z ~q ~(u

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S Zt U!W ~£ 4 I. _ . { S L Z U!W 9~ 4 sS 69 U!W 16 49

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i U!W L 4 ~ Z P Z

{U!W s 40 Z P t

- U!W ZI 4~t P9 (0'1

_ { S L Z U!W 9~ 4~S 69 U!W 1£ 4 L

t_ {S L Z U!W 9~ 4 s

S 6 U!W l£ 4 L {o·£ {S 9t U!W Z I

s L 1 U!,UIO Z ( o ·Z

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dP opepmo 0 OpuUWOl 'opepnm UW SdW B U OglSd onb SU P!PdW se os-uroanqng

O!~BJlqns ° z



EXERCtCIOS

11. Calcule:

a) (6h12min'5s) x 3

b) (5 d 16 h) x 5

c) (12h52min48s) x 7

d) (5 d 7 h 25min 17 s) x 4

e) 5.h : 8 .

f) 11 d : 18I

g) (7 d 11 h 35min 42 s) : 2

h) (8h19min56s):4

L1VRO DO PRO FESSO R

(OR TES IA DOSAUTO RES E D A ED ITO RA

EXERCtCIOS DE REFOR(O

12. Em 1 quinzena quantas horas existem?

13. Em 1 trimestre quantos minutos existem?

14. A que fracao da hora correspondem 180 s?

15. Quantos minutos hit em meia hora?

16. Quantos segundos correspondem a urn quarto de hora?

17. Transforme para a unidade pedida.

a ) 17min 46 s em s

b) 3 h 2 min 25 s em s

c) 2 d 3 h em min

d) 1 me 2 d 4 h em h

e) 1 a 3 me 4 d em d

18. Transforme em numero misto.

a) 97 s d) 97 minb) 1 240 s e) 729 min .

c) 92 000 s f) 928 min

19. Calcule.

a) 10 min 6 s + 7 min 21 s

b) 3 h 5 min + 11 h 10 min

c) 11h 54min 47s+ 10h 46 min 32s

d) 1d - 1h 10min

e) 3 h - 1h 40 min 56 s

20. Uma partida de volei comecou as 8h 30 min. Foram jogados 5 "sets" com as seguintes du-

racoes 20 min 45 s, 22 min 15 s, 15min 10 s, 17min 30 s e 35 min 40 s. Os interval os entre os

"sets" foram de 3min. A que horas terminou 0 jogo?

•g) 804 hh) 420 d

i) 74520 min

f) (2 h 7 min 47 s) x 4

g) (3 h 15 min 56 s) x 7

h) 6 h : 24

i) (5 d 4 h 21 min) : 10

209

5 - quinta sÉrie - geometria - iezz - 30 04 2011

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