5 entendendo.orbitas new

UFABC/C.E.C.S. - 2011-3

EN 3212EN 3212 - Introduo Astronutica - Introduo Astronutica

Entendo as rbitasEntendo as rbitas

Imagem: NASA/Cassini

(somente para uso pessoal - Prof. Dr. Antonio Gil Vicente de Brum)

Somos do mesmo material do que se tecem os Somos do mesmo material do que se tecem os sonhos, nossa pequena vida est rodeada de sonhos, nossa pequena vida est rodeada de

sonhos." sonhos." (William Shakespeare)(William Shakespeare)

Resumo:O Movimento Orbital Processo de anlise do movimento - PAM

As Leis de Newton Peso, massa, inrcia Momento Variao do momento Ao e reao Gravidade

As Leis de Conservao Momento Energia

Problema Restrito de 2 CorposConstantes do Movimento Orbital

O Movimento OrbitalO Movimento OrbitalConceitoConceito Dar a um objeto velocidade horizontal suficiente para que, no

processo de queda livre em direo Terra, conforme a gravidade o puxe para o solo, ele encontre a curvatura terrestre e nunca toque o solo, permanecendo nessa queda livre indefinidamente.

Processo de Anlise do Movimento PAMProcesso de Anlise do Movimento PAM Abordagem geral para compreenso do movimento de qualquer

objeto no espao. Consiste de:

Um sistema de coordenadas Uma equao de movimento Suposies simplificadoras Condies iniciais Anlise de erros Teste do modelo

Exemplo: lanamento de uma bola de beisebol.

Exemplo:Exemplo: lanamento de uma bola de beisebol.lanamento de uma bola de beisebol.Um sistema de coordenadas (ao lado)

Uma equao de movimentoForas envolvidas: gravidade, arrasto, ventos, etc.

Suposies simplificadorasAtrao terrestre apenas (Sol, Vnus,..., sem importncia), sem vento, arrasto desprezvel, homogeneidade, etc.

Condies iniciais

V0, ngulo inicial, massa m.

Anlise de errosComo o modelo se comporta na presena de pequenos erros.

Teste do modelo

Lanamentos, testes prticos e medidas; comparao com resultados previstos; ajustes/mudanas no modelo.

Fonte: www.mundovestibular.com.br.

As Leis de NewtonAs Leis de NewtonA massa de um objeto descreve 3 coisas sobre ele: quanta matria ele tem; quanto ele resiste ao movimento sua inrcia; quanta atrao gravitacional ele tem.

As 3 leis do movimento de Newton:1 lei1 lei: Um corpo continua no seu estado de repouso, ou movimento uniforme Um corpo continua no seu estado de repouso, ou movimento uniforme em linha reta, a menos que seja compelido a mudar seu estado pela ao de em linha reta, a menos que seja compelido a mudar seu estado pela ao de foras aplicadas nele.foras aplicadas nele. A 1 lei diz que os momentos linear e angular permanecero inalterados a menos que

uma fora externa ou torque, respectivamente, haja sobre o corpo. Momento linearMomento linear, p, igual a massa

do objeto, m, vezes a sua velocidade, v.

Momento angularMomento angular, H, o produto do momento de inrcia, I, do objeto (em torno do eixo de momento angular; uma medida de quanto ele resiste ao movimento angular), pela sua velocidade angular, .

Expressa-se o momento angular, H, como o produto vetorial entrea posio do objeto a partir do centro de rotao, r (chamada de brao do momento) e o seu momento linear, p. Assim,

O giroscpio se mantm ereto quanto tem rotao devido ao momento angular, H, que surge como consequncia dessa rotao.(Imagem: Wikipedia.)

Regra da mo direita para obter a direo de .FONTE: http://efisica.if.usp.br

2 lei:2 lei: A taxa de variao no tempo do momento angular de um objeto iguala a fora nele aplicada.

3 lei:3 lei: Quando um corpo A exerce uma fora num corpo B, o corpo B exerce uma fora igual em A, porm de sentido contrrio. Lei de Newton da Gravitao UniversalLei de Newton da Gravitao Universal: A fora da gravidade entre dois corpos (m1 e m2) diretamente proporcional ao produto das duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas, R. GG = constante gravitacional universal 6,67 x 10-11 N.m2/kg2

Uso do parmetro gravitacional, GM.Terra: T GMT 3,986 x 1014 m3/s2 = 3,986 x 105 Km3/s2

As Leis de NewtonAs Leis de Newton

BAAB FF

=

)(221 R

RmGmFg =

2

21

RmGmFg =

Terra e Lua se atraem com uma fora incrivelmente intensa (como um cabo de guerra), que causa as mars na Terra.FONTE: SELLERS (2005).

22 RRGMa TerraTerrag

==

Exemplo 1Exemplo 1 Imagine algum girando uma bola de massa 0,1 Kg presa a um cordo de 1 m. O momento angular da massa girante de 10 Kg m2/s. Se a massa for solta, quo rapidamente e em que direo seguir a massa?

Resumo do problema:Dados: mbola = 0,1 Kg, H=10 Kgm2/s, R=1 m;Determine: Vbola, direo em que foi solta.

FONTE: SELLERS (2005).

Exemplo 2Exemplo 2 Um chutador de futebol americano aplica uma fora de 100 N a uma bola de 1 Kg por um intervalo de tempo de 0,1 s. Ignorando a gravidade, com que velocidade a bola sair aps este chute?Resumo do problema:Dados: mbola = 1 Kg, F=100 N, t=0,1 s.Determine: Vbola.


As Leis de ConservaoAs Leis de ConservaoUma propriedade conservada quando ela se mantm Uma propriedade conservada quando ela se mantm constante em um sistema. constante em um sistema.

Momento Na ausncia de foras externas, ambos os momentos linear e angular

se conservam.Energia

Em um campo conservativo, como o gravitacional, a energia mecnica total se conserva.

Energia Mecnica Total a soma das energias potencial e cintica. E = EC + EP Energia Cintica, EEnergia Cintica, ECC: a energia do movimento.

Energia Potencial, EEnergia Potencial, EPP: a energia da posio. Energia potencial de um V/E de massa m em rbita da Terra:

(R a distncia do V/E at o centro da Terra)

Energia Mecnica total de uma nave em rbita da Terra:RmEP

=

2

21 mVEC =

RmmVE = 2

21

Exemplo 3 Um patinador est em repouso segurando uma bola de 0.5 Kg. Se ele atirar a bola para oeste a uma velocidade de 10 m/s, o que acontecer com ele?Resumo do problema:Dados: mpat = 50 Kg, Vpat0=0 m/s, Vbola0=0 m/s, mbola =0.5 Kg, Vbolaf = 10 m/s.Determine: Vpatf e direo do movimento.


Exemplo 4Exemplo 4 Um carro de montanha russa (pista sem atrito) parte do topo da primeira montanha, com uma altura de 50 m. Que velocidade ele ter quando estiver no topo da segunda montanha, com altitude de 40 m? Resumo do problema:Dados: V0=0 m/s, hfinal=40 , h0 =50 .Determine: Vf .


O Problema restrito dos dois corposO Problema restrito dos dois corpos

Sistema de coordenadas

Combinando a 2a. Lei de Newton com a lei da gravitao universal, obtm-se a equao do movimento para o problema restrito de dois corpos.

O Sistema Geocntrico Equatorial:Origem: centro da Terra

Plano fundamental: plano equatorial

Direo perpendicular ao plano na direo do plo Norte.

Direo principal: direo do equincio vernal (ponto - linha de interseo do plano equatorial celeste com com a eclptica, ascendente).

Obs.: Este sistema utilizado para analisar rbitas de V/Es ao redor da Terra.

FONTE: www.astroscience.org/abdul-ahad/planetary-positions.htm


Fig. 4-30 Foras possveis num V/E. FONTE: SELLERS (2005).

Equaes de MovimentoEquaes de Movimento Aplicar a 2a. Lei de Newton investigando as possveis foras que atuam no

sistema: Gravidade terrestre Arrasto (se estivermos prximos da atmosfera) Impulso (se houver acionamento de foguetes) 3o corpo (gravidade do Sol, da Lua e de outros planetas) Outras (caso esqueamos de algo)

Somando todas, obtemos a seguinte equao de movimento:

Agora, substituir as expresses matemticas para cada fora (segundo a fsica) e resolver o problema. Problema complexo => melhor fazer algumas suposies que simplifiquem um

pouco o problema.

O Problema restrito dos dois corposO Problema restrito dos dois corposSuposies simplificadorasSuposies simplificadoras

O V/E est a altitude suficiente para desprezarmos o arrasto atmosfrico: FFarrastoarrasto 0 0O V/E no far manobras, portanto no sero utilizados foguetes: FFimpulsoimpulso 0 0.Consideremos o mov. prximo Terra:

Assim, podemos ignorar as atraes do Sol, da Lua e planetas: FF3.corpo3.corpo 0 0.ignorar 3ignorar 3oo corpo? => corpo? => problema de dois corposproblema de dois corpos..

Comparadas atrao terrestre, foras como a devida radiao solar, campos eletromagnticos, etc., so desprezveis: Foutros 0.

A massa da Terra muito, muito maior que a massa de qualquer V/E.mT >> mV/E

Terra esfrica, simtrica, com densidade uniforme e, portanto, pode ser tratada como uma massa puntual. Assim, a gravidade da Terra age a partir do seu centro.

Massa do V/E constante, assim m=0.O sistema geocntrico equatorial suficientemente inercial. Assim, aplicam-se as leis de Newton.

O Problema restrito dos dois corposO Problema restrito dos dois corposDepois de todas essas hipteses, resta somente a gravidade como nica fora atuando no V/E.

Aplicando a lei da gravitao de Newton (vetorial):

Assim,

Dividindo por m, chegamos equao equao do movimento restrito de dois corposdo movimento restrito de dois corpos:

Onde R = magnitude do vetor posio do V/E; = parmetro gravitacional (=3.986x105 Km3/s2) = vetor posio do V/E = acelerao do V/E (vetor)

A soluo desta equao d a trajetria do veculo, . Como resolver?

EDO no linear de ordem 2; coordenadas polares (SIDI), cartesianas (numrico: [x, y, z, x, y, z]T), etc.=> mtodo vetorial (SELLERS, 2005 em anexo)

O problema restrito de dois corpos.FONTE: SELLERS (2005).


Definio do semilatus rectun (magnitude do vetorPosio, R, para = 90o). FONTE: SELLERS (2005).

A soluo da equao do problema restrito de dois corpos produz: Onde

R = magnitude do vetor posio do V/E; k1=constante que depende de m , R e V. k2=constante que depende de m , R e V. = ngulo polar medido no eixo principal da rbita (anomalia verdadeira)

Essa equao identifica o tipo de movimento que ter um V/E em rbita da Terra: => sees cnicas: elipses, parbolas e hiprbolessees cnicas: elipses, parbolas e hiprboles.

Identificando os parmetros k, temos

A equao mostra que um corpo sob ao de uma fora central dever apresentar movimento elptico, parablico ou hiperblico. Prova da lei das rbitas de Kepler usando as lei de Newton. Kepler verificou isso usando os dados de Tycho Brahe,

mas no sabia explicar. A excentricidade define o tipo de rbita:

e = 0 : crculoe = 0 : crculo; 0 < e < 1: elipse0 < e < 1: elipse;e = 1: parbolae = 1: parbola, e > 1: hiprbolee > 1: hiprbole.

cos1 21

kkR

+=

cos1 epR

+=

p = semilatus rectun (ver figura);a=semi eixo maior;e=excentricidade.

Geometria de Uma rbita:Geometria de Uma rbita:

Geometria de uma rbita elptica. Esse parmetros completamente descrevem uma rbita, incluindo seu tamanho e forma.FONTE: SELLERS (2005).

Obs.: e 2c/2a; p = a(1-e2).

cos1)1( 2

eeaR

+

=

Tabela: Resumo dos parmetros de sees cnicas:


Exemplo 4.6Exemplo 4.6Suponha uma nova classe de satlites de sensoriamento remoto com raio do perigeu de 7.000 Km e raio do apogeu de 10.000 Km. Qual a altitude do sat quando a anomalia verdadeira 90o?Dados do problema:

RP=7000 Km, Ra=10.000 Km. Calcule a altitude quando = 90o.

Constantes do movimento orbitalConstantes do movimento orbital

Energia mecnica, E:

Momento angular, H:Definio: Energia mecnica especficaEnergia mecnica especfica, E/m E/m;

a energia (constante) da rbita independente da massa do V/E vale para qqr V/E: ISS ou microsat. rbitas circulares e elpticas rbitas circulares e elpticas=0 => trajetrias parablicas=0 => trajetrias parablicas>0 => trajetrias hiperblicas>0 => trajetrias hiperblicas

Definio: Momento angular especfico, Momento angular especfico, h h HH/m;/m;Porque observamos que o plano orbital se mantm fixo no espao, um vetor perpendicular, tal como h, tambm constante em direo (desprezando perturbaes orbitais).

Na ausncia de outras foras que no a gravitacional, duas quantidades Na ausncia de outras foras que no a gravitacional, duas quantidades se mantm constante em uma rbita.se mantm constante em uma rbita.

RmmVE = 2

21

RV = 2

21

Constantes do movimento orbitalConstantes do movimento orbital

Sendo constante, uma vez que se conhea seu valor, vale:Equao til para clculo de V, conhecido R, e vice-versa.

Outras relaes teis: como funo nica do semi-eixo maior, a (provar!):

P, perodo de uma rbita (provar!):

+= R

V 2

a2

=

pi

3

2 aP =

Exerccio Exerccio Retomando o exemplo 4.6, qual a velocidade do sat de sensoriamento remoto quando a anomalia verdadeira 90o? Quanto tempo levar para que o sat retorne a este ponto da rbita?

Resumo do problema: Dados: a = 8.500 Km; R=90o=8235,2 Km

Calcule: V=90o= ?; P = ?

R.: V=7.065 Km/s e P = 130 min

QuestesQuestes1. No problema dos dois corpos, prove que so constantes: i) a energia mecnica especfica; ii) o momento angular especfico.

2. Verifique a relao entre a energia mecnica especfica e o semi-eixo maior, a ; verifique tambm a expresso para o perodo da rbita, P:

3. Um objeto em rbita circular recebe um pouco de velocidade adicional. Que tipo de rbita ele descrever agora? Que tipos de rbitas so consideradas rbitas de escape da Terra?

4. Voc est girando uma massa de 0,25 Kg presa em um cordo de 0,5 m acima de sua cabea. Quando solto o cordo, a massa sai do movimento circular para um movto em linha reta na direo da tangente ao crculo no ponto de soltura, com v=2m/s. Qual a velocidade angular da massa girante antes de ser solta? Porque o momento angular sempre se conserva, para onde foi o momento angular depois de solta a massa?

5. Um satlite russo em rbita da Terra tem altitude no perigeu de 375 Km e altitude no apogeu de 2000 Km.a) Qual o semi-eixo maior desta rbita?b) Qual a excentricidade?c) Se a anomalia verdadeira 175o, qual a altitude do satlite?d) Determine a energia mecnica e o momento angular especficos desta rbita.

6. Calcule a altitude necessria para uma rbita circular geossncrona.7. Uma sonda para Marte est em rbita circular em torno da Terra com um raio de 25.000 Km. O prximo passo

no caminho para Marte impulsionar a sonda, de maneira que ela entre numa rbita de escape. a) Determine a velocidade da sonda na rbita circular; b) Determine a mnima velocidade necessria para adentrar uma rbita parablica naquele raio;c) Determine a diferena na energia cintica especfica das duas rbitas;d) Agora, compare este resultado energia mecnica da rbita circular inicial. Qual das duas tem maior energia cintica

especfica? Isso uma surpresa para voc? Explique.8. Para que as equaes do movimento estarem corretas o sistema de coordenadas de referncia precisa ser

inercial. O SGI, comumente utilizado para V/E, um sistema realmente inercial? Explique sua resposta. Em caso negativo, porque ele ainda assim utilizado?

a2

=

pi3

2 aP =

Fim da aula.

Entrega: 2 semanas.

[email protected]@hotmail.com

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