5 - DINÂMICA DAROTAÇÃO FEX 1001

1 Objetivo

Determinar a aceleração da gravidade a partir do movimento de rolamento de um volante.

2 Teoria

Quando um corpo extenso e rígido está sujeito a ação de várias forças o seu movimento dependerá, além da intensidadee da direção das forças aplicadas, do ponto de aplicação dessas forças. Considere duas forças de mesma intensidadesendo aplicadas a um corpo plano, ambas na mesma direção mas com sentidos contrários, e ao longo da mesma reta.Veri�ca-se experimentalmente que o corpo permanece em repouso (equilíbrio). No entanto, se as forças, ainda commesma intensidade, mesma direção e sentidos contrários, forem aplicadas ao longo de retas não coincidentes, o corpoainda continuará em repouso mas apresentará um movimento de rotação. No caso geral de forças com intensidades edireções diferentes, sendo todas aplicadas a pontos diferentes, o corpo apresenta um movimento combinado de rotação etranslação. A �gura 1 abaixo ilustra estes fatos.

FF

F

F

equilibriorotacao

rotacao e tranlacao

Figura 1: Placa rígida submetida a ação de diferentes forças e de diferentes maneiras.

A dinâmica do movimento pode ser obtida também com a aplicação da 2ª Lei de Newton, considerando a translaçãodo centro de massa e uma rotação em torno do centro de massa. No caso do presente experimento considera-se um volantecomo um corpo rígido que rola por um plano inclinado, sem deslizar, apresentando o movimento combinado de translaçãoe rotação. Se considerarmos um volante rígido que rola sobre um plano inclinado formando um ângulo θ com a horizontal,como na �gura 2, a aceleração angular (α) é dada pelo torque resultante sobre o volante, ou seja,

Στ = Iα , (1)

onde I é o momento de inércia do volante em torno do eixo de rotação. Como o volante desce o plano inclinado sem deslizar,seu movimento é um movimento de rolamento, podendo ser descrito como uma rotação seguida de uma translação. Assim,podemos conceber o ponto de contato do volante com o plano inclinado como sendo o centro instantâneo de rotação, ouseja, imaginemos um eixo perpendicular ao plano da �gura 2, passando pelo ponto de contato do volante com o planoinclinado. A cada instante o volante está girando em torno deste eixo (que se desloca plano abaixo). Pelo teorema doseixos paralelos, I = ICM +mr2, onde r é o raio do eixo do volante e ICM é seu momento de inércia em torno de um eixoque passa pelo seu centro de massa.

Vamos considerar que o momento de inércia do volante seja simplesmente o momento de inércia de um disco. Nestecaso ICM = 1

2mR2 e a equação 1 toma a forma

Στ =(ICM +mr2

)α . (2)

Observe que, ao considerarmos o centro instantâneo de rotação como o ponto de contato do volante com o plano inclinado,apenas a componente da força peso ao longo do plano contribuirá para o torque resultante. Além disso, existe uma relaçãode vínculo entre a distância percorrida pelo centro de massa do volante e o ângulo descrito pelo volante, a saber, a = rα.Com estas informações, a equação 2 assume a forma

rmgsenθ =

(1

2mR2 +mr2

)a

r,

ou seja, a aceleração do centro de massa do volante ao descer pelo plano inclinado é

a =

(g

1 + R2

2r2

)senθ . (3)

1

θmg

N

R

r

fat

(a) Diagrama de corpo livre para um volante que rola

sobre uma calha inclinada.

(b) Aparato experimental.

Figura 2

3 Descrição do Experimento

Neste experimento você soltará um volante num plano inclinado para que ele role plano abaixo, sem deslizar.

4 Equipamento/Material

1. Apoio para plano inclinado de madeira.

2. Plano inclinado com régua centimetrada.

3. Transferidor.

4. Paquímetro.

5. Cronômetro.

6. Roda (volante).

5 Procedimento Experimental

(a) Meça, com o auxílio de um paquímetro, os diâmetros do cilindro maior e menor do volante e anote os correspondentesraios na Tabela da folha de questões. Escolha uma distância d a ser percorrida ao longo do plano inclinado e anoteo seu valor na mesma Tabela.

(b) Regule a inclinação do plano de maneira a obter, inicialmente, um ângulo inicial de 5o a 7o em relação a horizontalatravés de medidas da base e a altura do plano inclinado. Se preferir, use o transferidor. Anote na Tabela da folhade questões.

(c) Meça três vezes o tempo gasto pelo volante para percorrer a distância escolhida e determine o tempo médio paraisto, anotando-o na Tabela da folha de questões. Cuide para que o volante seja solto e role, sem deslizar.

(d) Repita as medidas com outros valores de ângulo de inclinação não superiores a 30o, para evitar que o volante deslize.É importante apenas o movimento de rolamento, sem deslizamento.

(e) Repita o procedimento (c) acima para cada inclinação escolhida. Se o volante começar a deslizar, utilizar ângulosmenores. Responda as questões.

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5 - DINÂMICA DAROTAÇÃO FEX 1001

r(mm)= R(mm)= d(mm)=

θ senθ t( ) a( )

1. Pode-se a�rmar que o centro do volante executa um MRUV? Justi�que.

2. Determine, para cada ângulo de inclinação do plano, a aceleração do volante utilizando o tempo derolamento e a distância percorrida, completando a Tabela acima.

3. Linearize a eq.(3) mostrando claramente os coe�cientes linear e angular da reta. Após, trace um grá�colinear em papel adequado usando os dados de sua tabela.

4. Calcule, a partir do seu grá�co, o valor da aceleração da gravidade, g, e compare com o valor de referência9, 81m/s2, calculando o erro percentual. Mostre todos os cálculos com clareza e indique no grá�co os pontosutilizados.

5. É possível obter o momento de inércia do volante com os dados? Justi�que qualitativamente e quantitati-vamente.

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6. Deduza uma expressão para o erro propagado em g, a partir da eq. (3). Quais os valores de ∆r, ∆R, ∆θe ∆a?

7. Utilize os dados da questão acima e calcule o erro propagado no valor de g. Expresse o valor de g na formacorreta.

Para resolver em casa:Usando a eq. (3) e os dados de sua tabela calcule, para cada ângulo de inclinação do plano, o valor de g.Após, calcule o valor mais provável juntamente com os desvios médio e padrão. Expresse o valor de g naforma correta.

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