4_teste12_13-14

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Escola Bsica e Secundria Dr. ngelo Augusto da Silva Teste de MATEMTICA A 12 Ano

1 PARTE Para cada uma das seguintes questes de escolha mltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe so apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questo ser anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambgua.

1. Seja m a funo, real de varivel real, definida em IR por 1

( )ex

m xb

, com 0b .

Sabendo que (2) 7m , qual o valor de ln(b) ?

(A) 7

e (B) 7 e (C) ln7e (D) 1 ln 7

2. A reta t, de equao 2 3y x , uma assntota do grfico de uma funo h quando x tende para

.

Qual o valor de lim ( ) 2x

h x x

?

(A) 3 (B) (C) 0 (D) 3

3. Na figura encontram-se partes das representaes

grficas das funes f e g.

O grfico de f uma reta tangente ao grfico de g no

ponto C, de coordenadas (3, 1) .

Seja j a funo tal que ( )( )( ) e f g xj x .

O valor de '(3)j , derivada de j, :

(A) 4

3e (B) e (C) 1 (D)

2

3e

4. Seja a um nmero real no nulo. Qual o valor de 2 2

1lim

eax

x o ax a x

?

(A) 1

a (B)

1

2a (C) 0 (D)

Durao: 90 minutos Maro/ 2014

Nome ________________________ N ___ T: __

Classificao

____________

O Prof.__________________ (Lus Abreu)

c

O x

y

1

-1

3

f

g


5. De uma funo h, de domnio IR, definida por 2( ) ex

h x k , IRk , sabe-se que:

2

( ) (2)lim

2 2

ex

h x h

x

Ento o valor de k :

(A) e (B) 1 (C) 2e (D) 2

4

e

2 PARTE

Apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando os clculos efectuados e as justificaes necessrias. Quando no indicada a aproximao que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.

1. O nmero de utentes que utilizam transporte pblico numa

determinada localidade, em milhares, pode ser dado, t anos

aps o incio da contagem, pela funo definida por:

0,4( )

1 2e tA

U t

, sendo A uma constante positiva.

Suponha que a contagem iniciou-se a 1 de janeiro de 2006 e que

nessa data foram contabilizados cinco mil utentes.

1.1. Mostre que 15A .

1.2. De acordo com este modelo, qual ser o nmero de utentes em janeiro de 2014?

Apresente o resultado em milhares arredondado s milsimas.

1.3. Calcule lim ( )t

U t

e interprete esse resultado no contexto da situao descrita.

2. Colocaram-se venda, na Internet, os bilhetes para um espetculo

musical. Ao fim de seis horas a venda de bilhetes esgotou.

Admita que, t horas aps o incio da venda, o nmero de bilhetes

vendidos, em centenas, dado aproximadamente por:

3

3 3( ) 6log (2 1) 6log (2 1)N t t t , [0,6]t .

Recorrendo a processos exclusivamente analticos resolva as alneas seguintes.

2.1. Mostre que 3( ) 12log (2 1)N t t , [0,6]t .

2.2. Determine quanto tempo foi necessrio para vender 2500 bilhetes. Apresente o resultado em

horas e minutos, minutos aproximados s unidades.

Se utilizar a calculadora para eventuais clculos numricos, sempre que proceder a arredondamentos, use trs casas

decimais.


3. Considere a funo h, de domnio , definida por:

2

0

( ) 1 0

1 ln(3 1)- 0

2 2

x xe ese x

x

h x se x

xse x

x

Recorrendo a processos exclusivamente analticos resolva as alneas seguintes.

3.1. Estude a funo h quanto continuidade.

3.2. Mostre, recorrendo ao Teorema de Bolzano, que o grfico da funo h interseta a reta de

equao 1y x no intervalo 1,2 .

4. Considere a funo g, real de varivel real, tal que:

2

( )1 ln( )

g xx

4.1. Mostre que o domnio da funo 1

\e

.

4.2. Determine uma equao da reta tangente ao grfico de g no ponto de abcissa 1.

4.3. Estude a funo g quanto existncia de assntotas do seu grfico.

Indique uma equao para cada uma das assntotas encontradas.

5. Seja f uma funo contnua em ,a b e tal que ( ) 2ef a e ( ) ln(0,5)f b .

Justifique que o domnio da funo h, definida por 1

( )( )

h xf x

, no pode ser ,a b .

Fim Cotaes:

1 Parte

Questes10 pontos cada

questo. Total :1.1 1.2. 1.3. 2.1. 2.2. 3.1. 3.2. 4.1. 4.2. 4.3. 5. Total

Pontos 50 15 15 10 10 10 20 15 5 15 20 15 200

2 Parte


Formulrio

Comprimento de um arco de circunferncia

. (r amplitude, em radianos, do ngulo ao

centro; r raio)

reas de figuras planas

Losango:

2

Diagonal maior Diagonal menor

Trapzio:

2

Base maior Base menorAltura

Polgono regular: SemipermetroAptema

Sector circular:

2

2

r ( amplitude, em radianos,

do ngulo ao centro; r raio) reas de superfcies

rea lateral de um cone: rg (r raio da base; g geratriz)

rea de uma superfcie esfrica: 24 r

(r raio)

Volumes

Pirmide:1

3rea da baseAltura

Cone: 1

3rea da baseAltura

Esfera: 34

3r (r raio)

Trigonometria

sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a

cos (a + b) = cos a .cos b sen a. sen b

tg (a + b) = 1 .

tga tgb

tga tgb

Complexos

( ) ( . )n ncis cis n

2

, k 0,...,n-1n nk

cis cisn

Probabilidades

1 1 ... n nx p x p

2 2

1 1( ) ... ( )n nx p x p

Se X N(,) , ento:

( ) 0,6827P X

( 2 2 ) 0,9545P X

( 3 3 ) 0,9973P X

Regras de Derivao

'u v u v

uv u v uv

2

u u v uv

v v

1( ) (n )n nu nu u

cos sen u u u

cos u u sen u

2

cos

utg u

u

u ue u e

( ) lnu ua u a a ( \{1})a

ln u

uu

(log )ln

a

uu

u a

( \{1})a

Limites notveis

1lim 1

n

en

0

lim 1

xx

sen x

0

1lim 1

x

x

e

x

0

ln( 1)lim 1x

x

x

lnlim 0

x

x

x

lim (p )

x

px

e

x


Solues

1. Parte

1 2 3 4 5

D D A A B

2. Parte

1.2. 13,869 1.3. 15 Com o passar do tempo o nmero de utentes que utilizam o transporte pblico

aproxima-se dos 15 mil.

2.2. 4 horas e 26 minutos

3.1. h contnua em

4.2. 2 4y x

4.3. Assintota vertical 1

xe

, assintota horizontal 0y

5. f(a) positivo e f(b) negativo, como a funo contnua em ,a b pelo Teorema de Bolzano tem pelo menos

um zero em .a b . Assim o domnio da funo h dado por : ( ) 0x f x .

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