INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO CINCIA e TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE

DIRETORIA ACADMICA DE CONSTRUO CIVIL

TEC. CONSTR. EDIFCIOS - EDIFICAES TCNICO SUBSEQUENTE

ESTABILIDADE DAS CONSTRUES

NOTAS DE AULA:

- Prof. Borja 2015.1

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1. INTRODUO REVISO

1.1. SISTEMA DE UNIDADES

As unidades adotadas na mecnica referem-se s unidades de comprimento,

tempo, massa e fora. A unidade de fora a unidade derivada, geralmente chamada de

Newton (N), definida como a forma que imprime uma acelerao de 1m/s massa de

1kg, conforme ilustrado na Figura 1.

F = 1 Na = 1m/s

m = 1 kg

FIGURA 1. Corpo sob ao de uma fora.

1N = (1kg)(1m/s) = 1kg.m/s

Na tabela 1 apresentam-se as unidades do Sistema Internacional (SI).

Tabela 1. Sistema Internacional de Unidade.

Quantidade Smbolo dimensional Unidade bsica

Comprimento L metro (m)

Tempo T segundo (s)

Massa M quilograma (kg)

Fora F Newton (N)

Na tabela 2 apresentam-se algumas converses de unidades equivalentes.

Tabela 2 - Converso de Unidades.

UNIDADE EQUIVALENCIA

1 MPa 1 N/mm2

1 MPa 1 x 10 6 N/m2

1 GPa 1 x 10 9 N/m2

1 kgf 9,81 N

1 kgf 2,20 lb

1 polegada (ou 1) 2,54 cm

1 m2 10000 cm2

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1.2. TRIGONOMETRIA

A trigonometria uma ferramenta poderosa para solues de problamas que

envolvam reas, ngulos, decomposio de foras, em todas as res tcnicas. O nome

trigonometria significa medida dos trs ngulos de um tringulo e determina um ramo da

matemtica que estuda as relaes entre esses ngulos e as medidas dos lados de um

tringulo. As relaes trigonomtricas podem sem observadas na Figura 2.

EFsen

OFcos

ABtg

DCgcot

OBsec

OCeccos

1ROR

FIGURA 2. Crculo e funes trigonomtricas

1.3. TRINGULO RETNULO

No tringulo retntulo, Figura 3, os catetos so os lados que formam o ngulo de

90 . A hipotensa o lado oposto ao ngulo de 90 e determinada pela relao:

a2 = b2 + c2, conhecida como TEOREMA DE PITGORAS.

ac

hipotenusaoposto cateto sen

ab

hipotenusaadjacente cateto cos

bc

adjacente catetooposto cateto tg

ba

adjacente catetohipotenusa sec

ab arccos

ac arcsen ;

bc arctg

FIGURA 3. Relaes Trigonomtricas de um Tringulo Retngulo.

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Relao fundamental da trigonometria: senx + cosx = 1

1.4. TRINGULO QUALQUER

Para a soluo de problemas de tringulo qualquer, utilizamos as relaes

trigonomtricas conhecidas como Lei do Seno e Lei do Cosseno, apresentadas a seguir e

representada graficamente na Figura 4.

FIGURA 4. Tringulo Qualquer.

LEI DOS SENOS:

2R C sen

c B sen

b Asen

a

LEI DOS COSSENOS:

C 2ab.cos - b a cB 2ac.cos - c a b A2bc.cos - c b a

2. NOES FUNDAMENTAIS ESTTICA DOS PONTOS MATERIAIS

a. Foras no plano

Uma fora representa a ao de uma ao de um corpo sobre outro, capaz de

alterar o estado de movimento ou provocar deformaes. Sua representao feita

atravs de vetores, caracterizada por seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e

sentido.

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A intensidade de uma fora definida por sua linha de ao. A linha de ao a

reta ao longo da qual a fora atua, sendo caracterizada pelo ngulo que forma com algum

eixo fixo (Figura 5). A fora representada por um segmento desta linha; usando uma

escala apropriada, o comprimento desse segmento pode ser escolhido para representar a

intensidade da fora. As duas foras nesta figura tm a mesma intensidade e a mesma

linha de ao, mas sentidos diferentes, provocando efeitos opostos sobre um ponto

material A.

A 3010N

A 3010N

FIGURA 5. Linha de ao de uma fora.

b. Adio de Vetores

Todas as quantidades vetoriais obedecem Lei do paralelogramo da adio. Para

ilustrar, os dois vetores componentes A e B na Figura 6a so somados para formar um vetor resultante R = A + B usando o seguinte procedimento:

Primeiro, una as origens dos vetores componentes em um ponto de modo

que se tornem concorrentes (Figura 6b);

A partir da extremidade de B, desenhe uma linha paralela a A. Desenhe

outra linha a partir da extremidade de A que seja paralela a B. Essas duas

linhas se interceptam no ponto P para formar os lados adjacentes de um

paralelogramo.

A diagonal desse paralelogramo que se estende at P forma R, que ento representa o vetor R = A + B (Figura 6c).

A

B

A

B

P

A

B

R

a) b) c) FIGURA 6. Resultante de duas foras concorrentes Lei do Paralelogramo.

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Diante do exposto, pode-se afirmar que duas foras que atuam sobre um ponto

material podem ser substitudas por uma nica fora R que tenha o mesmo efeito sobre

esse ponto. Essa fora chamada de resultante das foras e pode ser obtida pela

construo de um paralelogramo, como visto acima. Este procedimento conhecido

como a lei do paralelogramo para a adio de duas foras, podendo ser deduzida

matematicamente ou experimentalmente.

c. Regra do Tringulo Tambm podemos somar B a A (Figura 7a) usando a Regra do Tringulo, que

um caso especial da lei do paralelogramo, em que o vetor B somado ao vetor A da forma extremidade-para-origem, ou seja, conectando a extremidade de A com a origem

B (Figura 7b). O R resultante se estende da origem de A extremidade de B. De modo semelhante, R tambm pode ser obtido somando A a B (Figura 7c). Por comparao,

vemos que a adio de vetores comutativa; em outras palavras, os vetores podem ser

somados em qualquer ordem, ou seja, R = A + B = B + A.

B

R

a) b) c)

B

AR

R = A + B R = B + A

A

B

A

FIGURA 7. Regra do Tringulo.

No caso especial em que os dois vetores A e B so colineares, ou seja, ambos

possuem a mesma linha de ao, a lei do paralelogramo reduz-se a uma adio algbrica

ou escalar R = A + B, como ilustrado na figura 8.

A B

R

FIGURA 8. Adio de vetores colineares.

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d. Subtrao de vetores

A resultante da diferena entre dois vetores A e B do mesmo tipo pode ser

expressa como:

R= A B = A + (- B)

Essa soma de vetores mostrada graficamente na Figura 9. A subtrao

definida, portanto, como um caso especial da adio, de modo que as regras da adio

vetorial tambm se aplicam subtrao de vetores.

A

B

A

- B

R

FIGURA 9. Lei do Paralelogramo Subtrao de Vetores.

e. Adio de vrias foras (Resultante de vrias foras concorrentes -

Sistema de Foras)

Se mais de duas foras precisam ser somadas, aplicaes sucessivas da lei do

paralelogramo podem ser realizadas para obter a fora resultante. Por exemplo, se trs

foras, F1, F2 e F3 atuam em um ponto O (Figura 10), a resultante de quaisquer duas das foras encontrada (por exemplo, F1 + F2) e, depois, essa resultante somada terceira fora, produzindo a resultante das trs foras, ou seja, FR = (F1 + F2) + F3. O uso da lei do

paralelogramo para adicionar mais de duas foras, como mostrado, normalmente requer

clculos extensos de geometria e trigonometria para determinar os valores numricos da

intensidade e direo da resultante. Em vez disso, problema desse tipo podem facilmente

ser resolvidos usando o mtodo das componentes retangulares.

FIGURA 10. Mtodo das componentes retangulares.

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f. Procedimento para anlise

Duas foras componentes F1 e F2 na Figura 11 se somam conforme a lei do

paralelogramo, dando uma fora resultante FR que forma a diagonal do

paralelogramo.

FIGURA 11. Lei do paralelogramo.

Se uma fora F precisar ser decomposta em componentes ao longo de dois eixos u

e v (Figura 12), ento iniciando na extremidade da fora F, construa linhas

paralelas aos eixos, formando, assim, o paralelogramo. Os lados do paralelogramo

representam as componentes, Fu e Fv.

FIGURA 12. Decomposio de foras.

Rotule todas as intensidades das foras conhecidas e desconhecidas e os ngulos

no esquema e identifique as duas foras desconhecidas quanto intensidade e

direo de FR ou s intensidades de suas componentes.

Trigonometria

Redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a adio triangular

extremidade-para-origem das componentes.

Por esse tringulo, a intensidade da fora resultante determinada pela lei dos

cossenos, e sua direo, pela lei dos senos. As intensidades das duas

componentes de fora so determinadas pela lei dos senos. As frmulas so

mostradas na Figura 13.

FIGURA 13. Trigonometria.