Fsica 1A1 VolumeCarlos Farina de SouzaMarcus Venicius Cougo PintoPaulo Carrilho Soares FilhoMdulo 1CE DE R J 9AULA 21 MDULO 3Carlos Farina de SouzaMarcus Venicius Cougo Pinto Paulo Carrilho Soares FilhoVolume 1 - Mdulo 1Fsica 1AApoio:Material DidticoRua Visconde de Niteri, 1364 - Mangueira - Rio de Janeiro, RJ - CEP 20943-001Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725Fundao Cecierj / Consrcio CederjReferncias Bibliogrfcas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.Vice-Presidente de Educao Superior a DistnciaPresidenteCelso Jos da CostaCarlos Eduardo BielschowskyDiretor de Material DidticoCarlos Eduardo BielschowskyCoordenao do Curso de FsicaLuiz Felipe CantoCopyright 2005,Fundao Cecierj / Consrcio CederjNenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.S729fSouza, Carlos Farina de.Fsica 1A. v.1 / Carlos Farina de Souza. Rio de Janeiro : Fundao CECIERJ, 2007.280p.; 21 x 29,7 cm.ISBN: 85-89200-67-1 1. Movimento retilneo. 2. Movimento no-retilneo. 3. Vetores. 4. Cinemtica vetorial. I. Soares Filho, Paulo Carrilho. II. Pinto, Marcus Venicius C. III. Ttulo.CDD: 530.1 2007/1 ELABORAO DE CONTEDOCarlos Farina de SouzaMarcus Venicius Cougo Pinto Paulo Carrilho Soares FilhoEDITORATereza QueirozCOORDENAO EDITORIALJane CastellaniCOORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa BarretoDESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISO Ana Tereza de AndradeCarmen Irene Correia de OliveiraLeonardo VillelaJos MeyohasCOORDENAO DE LINGUAGEMMaria Anglica AlvesREVISO TIPOGRFICAEquipe CEDERJCOORDENAO GRFICAJorge MouraPROGRAMAO VISUALMarcelo FreitasILUSTRAOEquipe CEDERJCAPAEduardo de Oliveira BordoniFabio MunizPRODUO GRFICAAndra Dias FiesKaty AraujoGoverno do Estado do Rio de JaneiroSecretrio de Estado de Cincia, Tecnologia e InovaoGovernadoraWanderley de SouzaRosinha GarotinhoUniversidades ConsorciadasUENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Raimundo Braz FilhoUERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Nival Nunes de AlmeidaUNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania TuttmanUFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta MirandaUFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio TeixeiraUFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Ccero Mauro Fialho RodriguesFsica 1ASUMRIOAula 1 -Noes bsicas sobre o movimento _____________________________7Aula 2 -A descrio matemtica do movimento ________________________21Aula 3 -Deslocamento e velocidade mdia no movimento retilneo __________ 37Aula 4 -Velocidade instantnea no movimento retilneo __________________ 61Aula 5 -De volta s funes-movimento ______________________________ 79Aula 6 -Grfcos do movimento ___________________________________ 107Aula 7 -Acelerao no movimento retilneo __________________________ 137Aula 8 -Movimentos no-retilneos e vetores _________________________ 163Aula 9 -Cinemtica vetorial ______________________________________ 195Aula 10 - Comeando a praticar ____________________________________ 225Aula 11 - Exemplos de movimentos no-retilneos_______________________ 237Aula 12 - Medindo o movimento____________________________________ 269Anexo -Introduo ao tratamento de dados __________________________ 277Volume 1 - Mdulo 1CE DE R J 9AULA 21 MDULO 3Noc oes b asicas sobre o movimentoM ODULO 1 - AULA 1Aula 1 Noc oes b asicas sobre o movimentoObjetivosEntender os conceitos de partcula, corpo rgido, eixos coordenados, refe-rencial e posic ao de uma partcula.Entender como esses conceitos fundamentamo conceito de movimento usadoem mec anica.Introduc aoUmp or-de-sol esemprebeloe, emalgunsdiasdoano, podeserumes-pet aculo maravilhoso. A cor do c eu vai mudando do azul esmaecido para o rosadoe o rubro, ` a medida que o disco solar vai desaparecendo na linha do horizonte.Enquanto ainda h a claridade talvez um p assaro cruze o c eu voando para longe eescutemos seu pio triste de tempos em tempos, at e que sua silhueta alada se torneum pontinho e desapareca junto com os ultimos raios de luz vespertina.Figura 1.1:A natureza e movimento.Emumacenacomoessa, vemosamudancadecordoc eueamudancadeposic aodosolemrelac aoaohorizonte. Vemosomovimento dop assaroeouvimos oseupio, que eumaformademovimento,avibrac aosonoraqueseprocessa no ar e que se propaga do p assaro at e nossos ouvidos. Todas as luzes quepercebemos s ao ondas vibrat orias que se propagam do sol, do c eu e de tudo que7CEDERJNoc oes b asicas sobre o movimentovemos at e nossos olhos. Tudo isso e mudanca, e movimento.Mesmo uma rochaque nos parece im ovel e constituda de enorme quantidade de atomos emconstantevibrac ao, com seus el etrons em movimento em torno dos n ucleos. A natureza emovimento eporisso os antigos chamavam oestudo danaturezadeestudodoser m ovel. Tamb em chamavam deFsica o estudo da natureza. Hoje aci enciadaFsicaserestringe` asleis mais geraisefundamentais danatureza, deixandopara outras ci encias, como a qumica e a biologia, os estudos de certos fen omenosmais especcos, no caso os qumicos e biol ogicos. Mas a Fsica de hoje, como aantiga, ocupa-se essencialmente do estudo de movimentos e mudancas em geral.Chamamos genericamente de mec anica o estudo dos movimentos dos cor-pos materiais. Na verdade, a mec anica que estudaremos aqui e a chamada mec ani-ca cl assica. Nela estudamos apenas os corpos macrosc opicos, isto e, muito maio-res do que as dimens oes at omicas. O movimento de corpos pequeninos, como os atomos, e explicado n ao pela mec anica cl assica, mas pela mec anica qu antica, quevoc e estudar a em disciplinas mais avancadas.Sabemos que um corpo est a em movimento porque as dist ancias entre elee outros corpos v ao mudando com o passar do tempo. Para estudarmos o movi-mento devemos ent ao ser capazes de medir dist ancias e intervalos de tempo, isto e, devemos dispor na pr atica de r eguas e rel ogios. No estudo te orico da Mec anicafazemos a suposic ao de que dispomos de uma quantidade ilimitada de r eguas erel ogios em qualquerlocal quequisermos e, al em disso,supomos quetais ins-trumentos t em uma precis ao t ao boa quanto desejarmos. N ao e necess ario dizerque essas suposic oes s ao idealizadas e otimistas ao m aximo. Em uma situac aoconcreta, quando fazemos uma medida experimental, h a um n umero enorme decomplicac oes e limitac oes, em especial o fato de que as r eguas e rel ogios t emsem-pre uma precis ao limitada (em geral menor do que a que gostaramos de ter!). Noentanto, no estudo te orico e necess ario e mesmo conveniente fazer as suposic oesidealizadas que descrevemos acima sobre nossa capacidade de medir.E bom lem-brar que supomos como dado o m etodo correto de usar as r eguas e rel ogios. Usa-remos o metro como unidade de dist ancia, ou comprimento. Quando convenientetamb em usaremos os seus m ultiplos e subm ultiplos decimais. Como unidade detempo usaremos o segundo e seus m ultiplos e subm ultiplos decimais. Em algunscasos usaremos tamb em seus m ultiplos sexagesimais, o minuto e a hora. Essass ao as unidades de comprimento e tempo do Sistema Internacional de Unidades,o SI. Quando nada for dito sobre a unidade usada subentendemos que e o metropara comprimento e o segundo para o tempo. Os movimentos que consideramosacima, o movimento do sol, do p assaro, ou o movimento das mol eculas do ar qued ao origem ao som, s ao muito complicados para comecarmos por eles o estudoCEDERJ8Noc oes b asicas sobre o movimentoM ODULO 1 - AULA 1da mec anica. Embora nosso objetivo na mec anica seja criar uma teoria capaz dedescrever e entender, pelo menos em princpio, qualquer tipo de movimento, parachegar a esse objetivo ambicioso,vamos lancar m ao de um m etodo usado commaestria por Galileu, um dos pais da Fsica. Esse m etodo consiste em abordar umGalileo Galilei, fsico eastr onomo italiano (Pisa, 1564 -Arcetri, 1642). Foi um dosfundadores do m etodoexperimental em Fsica.Descobriu o isocronismo daspequenas oscilac oes do p endulo eas leis da queda dos corpos,enunciou o princpio da in ercia ea lei da composic ao dasvelocidades.Construiu lunetas ecom elas fez descobertasfundamentais para a astronomiaque o levaram` a defesa dosistema planet ario helioc entricode Cop ernico.Essa defesa lhetrouxe problemas com aInquisic ao, perante a qual teve deabjurar suas id eias em 1633.fen omeno que se deseja estudar escolhendo objetos e situac oes as mais simplespossveis. Al emdisso, abstramosdosobjetosedassituac oestodasascarac-tersticas concretas que complicam o seu estudo. O que sobra e um modelo muitosimples e idealizado da realidade. Depois de compreendermos a situac ao simples,introduzimos aos poucos as caractersticas concretas que julgarmos mais relevan-tesevamosestudandosituac oescadavezmaiscomplexas. Oestudocomecaent ao de um modo muito simples e idealizado e vai se tornando paulatinamentemais complexo e mais pr oximo das situac oes reais.Dentro dessa estrat egia, de comecar com as quest oes mais simples, vamosinicialmenteestudarcomodescreverelmenteosmovimentos, paradepoisin-vestigar a quest ao mais difcil,qual seja: quais s ao as causas desses movimen-tos. Apartedamec anicaqueestudaadescric aodosmovimentos echamadadecinem aticaeaquelaqueestudaascausasdosmovimentos, dedin amica.Comecaremos pois, nosso estudo, pela cinem atica.Voc e notar a que grande parte do nosso estudo inicial consistir a em criar umvocabul ario. Dedicaremos muito tempo e espaco em denir o signicado de certaspalavras e em criar nomes para conceitos relacionados com o movimento. N aodevemos subestimar essa parte de nosso estudo, pois as palavras s ao o instrumentodo pensamento e da ci encia e, quando bem denidas e escolhidas, tornam-se uminstrumento aado e preciso para a investigac ao cientca.PartculasConsideremos, em primeiro lugar, o tipo de corpo mais simples que pode-mos imaginar. Trata-se de um corpo cujas dimens oes s ao desprezveis na situac aoemquevamosconsiderar.Epoisumcorpoqueemumasituac aoespeccapodeserconsideradocomoumpontogeom etrico, noquedizrespeito` assuasdimens oes. Tal corpo e chamado partcula ou de ponto material. Um autom ovelpodeserconsideradocomoumapartcula, sequeremosdescreverumaviagemsua do Rio a S ao Paulo. Tome um mapa com essas duas cidades e tente repre-sentarneleocarro. Certamentevoc evairepresent a-loporumpontinho. Poroutrolado, sequisermos estudarosmovimentos demanobradeum carroden-tro de uma garagem n ao podemos consider a-lo como uma partcula,pois nessasituac ao suas dimens oes s ao importantes. Deve car claro com esse exemplo que9CEDERJNoc oes b asicas sobre o movimentoum corpo pode ou n ao ser considerado como partcula, dependendo do problemaem quest ao. Devemos levar em considerac ao o tamanho do corpo em relac ao aoutros corpos, qu ao grandes s ao as dist ancias que ele percorre e qual a precis aoque desejamos ou de que dispomos para medir dist ancias e intervalos de tempo.Por esse motivo e que n ao dizemos simplesmente que uma partcula e um corpo dedimens oes desprezveis, mas que partcula e um corpo de dimens oes desprezveisem um dado problema. Um outro exemplo que ilustra bem o conceito de partcula e o da Terra. Se o problema que desejamos estudar e o do movimento de rotac aoda Terra em torno de seu eixo, movimento que causa a sucess ao de dias e noites,n ao podemos considerar a Terra como uma partcula, pois uma partcula n ao tempartes quepossam girar umas em torno das outras. J apara consideraro movi-mento anual da Terra em torno do sol, a mesma Terra pode ser considerada comouma partcula, pois ela tem um di ametro que e oito cent esimos de mil esimos desua dist ancia ao sol e um mil esimo da dist ancia que percorre em um ano; seu ta-manho e de fato desprezvel no estudo de seu movimento anual. Para encerrar essadiscuss ao do conceito de partcula conv em notar que para dizermos que um corpotem ou n ao dimens oes desprezveis e necess ario o uso de uma r egua para avaliaras ditas dimens oes no problema em considerac ao. Esse e um motivo, entre outros,que faz com que seja necess ario supor, no estudo da Mec anica, que dispomos der eguas para a medic ao de comprimentos.Sistemas de partculas e corpos rgidosNa sec ao anterior denimos o conceito de partcula. Considere agora umcorpo qualquer cujas dimens oes n ao sejam desprezveis no problema em conside-rac ao . Ele n ao pode ser considerado como uma partcula. Ele pode, no entanto,ser considerado como um conjunto de partes t ao pequenas, que cada uma delaspode ser considerada como uma partcula. Desse modo podemos dizer que todocorpo pode ser considerado como um conjunto de partculas. Olhe para uma fo-lhadepapel. Voc epodementalmente quadricularafolhaemquadradinhos deummilmetro delado. Podeserquenoproblemaquevamos estudartaisqua-dradinhos de papel possam ser considerados como partculas e teremos ent ao queafolhadepapelser a, nesseproblema, oconjuntodessaspartculas. Poroutrolado, consideremos a folha de papel em um problema mais delicado, no qual ummilmetro e uma dist ancia importante, embora um comprimento de, por exemplo,um cent esimo de milmetro, j a seja desprezvel. Nesse caso consideramos a folhamentalmente dividida em quadradinhos de lados menores do que um cent esimode milmetro, para termos certeza de que suas dimens oes sejam efetivamente des-CEDERJ10Noc oes b asicas sobre o movimentoM ODULO 1 - AULA 1prezveis no problema em tela. Novamente poderemos considerar a folha comoum conjunto de partculas.Qualquer parte do universo bem denida e chamada de sistema fsico. Porbem denida entendemos que est a exatamente estabelecido o que pertence a essaparte e o que n ao pertence. Em mec anica, um sistema fsico e sempre constitudoporumouv arios corpos. Comocadacorpo eumconjunto departculas, todosistema fsico em mec anica e um conjunto de partculas. O conjunto de partculasqueformaumsistemaqualquer echamadotamb emde sistema departculas.Desse modo, em mec anica, estaremos sempre lidando com sistemas de partculas.Quando o sistema fsico queestamos considerando econstitudo por apenas umapartcula, a rigor ele e um sistemade partculas com uma unicapartcula.No entanto, quandonos referimos a um sistema departculas, o que normalmenteestamos querendo dizer e que h amais de uma partcula no sistema.Usando a id eia de que qualquer corpo e um conjunto de partculas vamosdenir um corpo rgido como sendo um conjunto de partculas com a seguintepropriedade: a dist ancia entre qualquer par de partculas do conjunto permanecesempre a mesma. Certamente essa denic ao est a de acordo com o conceito quetodos fazemos de um corpo rgido.A folha de papel que consideramos no exem-plo anterior n ao e um corpo rgido.E f acil mudar a dist ancia entre os diversospontos da folha enrolando-a e dobrando-a. Um corpo perfeitamente rgido e umaidealizac aoque n ao existe nanatureza, pois qualquer corpopode ser forcado asofreralgumadeformac aoquealtereadist anciaentrealgumpardeseuspon-tos. Na pr atica encontramos corpos que s ao aproximadamente rgidos, isto e,adist ancia entre qualquer par de partculas do corpo permanece aproximadamentea mesma. Um pedaco de granito, por exemplo, e praticamente um corpo rgidoem um imenso n umero de situac oes, embora possa, em situac oes extremas, ser de-formado ou quebrado e, portanto, deixar de ser um bom exemplo de corpo rgido.Oimportante equedispomosnanaturezadecorposcujarigidez eboaobas-tante para as nalidades de nosso estudo de mec anica. Um autom ovel n ao e umcorpo rgido, pois podemos, por exemplo, abrir suas portas ou mesmo p or suasrodas em movimento. Nesses casos h a variac ao das dist ancias entre partculas doautom ovel. Em contrapartida ele tem uma carcaca central razoavelmente rgida.Quando nosreferirmos aobjetos como autom oveis, onibus,trensou avi oes di-zendo que s ao rgidos, estaremos considerando apenas as suas partes que s ao pro-priamente rgidas.Um sistema qualquer de partculas, mesmo envolvendo v arios corpos, e ditoum sistema rgido se a dist ancia entre qualquer par de suas partculas permanecesempre a mesma. O Cruzeiro do Sul, por exemplo, e constitudo por cinco estrelasbemseparadas. Noentanto, elasmant emdist anciasrelativasinvari aveis(pelomenos h a milhares de anos). Desse modo, o Cruzeiro do Sul pode ser chamadode um sistema rgido.11CEDERJNoc oes b asicas sobre o movimentoFigura 1.2:Cruzeiro do Sul.Talvez voc e que surpreso em saber que e comumchamar umsistema rgidode partculas de corpo rgido, mesmo quando o sistema e constitudo por v ariaspartes, separadas umas das outras, como no caso do Cruzeiro do Sul.Veremos que os conceitos de corpo rgido e de sistema rgido de partculasdesempenhamumpapel importante na mec anica. Na pr oxima sec ao, por exemplo,o conceito de rigidez ser a usado na denic ao de referencial.Deve ser mais f acil estudar o movimento de uma partcula do que o de umcorpo extenso ou de um sistema com v arias partculas. Tamb em deve ser maisf acil estudar o movimento de um corpo rgido do que o de um corpo deform avelcomo os el asticos, pl asticos e uidos.Pretendemos estudar primeiramente o mo-vimento de uma partcula e mais tarde o de um corpo rgido. Em disciplinas maisavancadas estudaremos tamb em o movimento de corpos deform aveis, um assuntobem mais complicado.Eixos coordenados e posic aoRecordemos da geometria o conceito de eixo coordenado. Ele edenidoda seguinte maneira: primeiramente, consideramos uma reta e escolhemos nelaum ponto, que chamamos de origem. A reta ca dividida em duas semi-retas quecomecam na origem.OFigura 1.3:Eixo coordenado.CEDERJ12Noc oes b asicas sobre o movimentoM ODULO 1 - AULA 1Escolhemos uma das semi-retas (pode ser qualquer uma das duas) para serchamada de semi-eixo positivo e nela marcamos uma setinha para indicar nossaescolha, tal como est a indicado na Figura 1.3, na qual a origem est a representadapela letra O. A outra semi-reta e chamada de semi-eixo negativo. A cada pontodo semi-eixo positivo associamos o n umero dado por sua dist ancia at e a origem.A cada ponto de semi-eixo negativo associamos o n umero dado por menos a suadist ancia at e a origem e` a pr opria origem Oassociamos o n umero zero. Dessemodo, estabelecemos uma correspond encia biunvoca entre os pontos da reta e osn umeros reais:a cada ponto corresponde um unico n umero e a cada n umero, um unico ponto. Aretana qual foramespecicadasaorigem,os semi-eixos posi-tivo e negativo e a correspond encia entre n umeros e pontos, conforme acabamosdedescrever, echamadadeum eixo coordenado. On umeroquecorrespondeaumpontodoeixo echamadodesua coordenadanoeixo, ouemrelac aoaoeixo. Dizemos que a coordenada de um ponto em relac ao a um eixo localiza oponto em relac ao ao eixo.E claro que a origem tem coordenada zero, os pontosdo semi-eixo positivo t em coordenadas positivas e os do semi-eixo negativo, co-ordenadas negativas (ali as, e apenas por isso que os semi-eixos s ao chamados depositivo e negativo). As coordenadas s ao dadas em unidade de comprimento, isto e em metro ou em algum de seus subm ultiplos decimais, como, por exemplo, ocentmetro. Se nada for dito sobre a unidade de comprimento de uma coordenada,ca subentendido que a unidade e o metro.Note que a especicac ao de um eixo em uma situac ao concreta exige o usode uma r egua para medir dist ancias e especicar coordenadas. Em mec anica espe-ramos poder denir eixos coordenados em situac oes concretas, gracas ` a hip otesede que dispomos de r eguas.Para identicar um eixo coordenado (o que e necess ario quando v arios s aousadosemumproblema)usamos, al emdo Odaorigem, umaoutraletra, que e sempre escrita junto ao semi-eixo positivo. O eixo e identicado pelo par deletras. Por exemplo, se a segunda letra e A, chamamos o eixo coordenado de eixoOA. A Figura 1.4 mostra um eixo coordenado OAcom um ponto arbitr ario Pesua coordenada x.O AxPFigura 1.4:Ponto Pe sua coordenada x (positiva, nesse exemplo).13CEDERJNoc oes b asicas sobre o movimentoConsidere agora tr es eixos coordenados OA, O e OZ, ortogonais entre sie com origem comum O. Vamos chamar o conjunto constitudo pelos tr es eixoscoordenadosortogonais desistemadeeixos OAZ. Consideremosum pontoqualquerPdoespaco. Existeum unicoplanoperpendicularaoeixo OAquepassa por P; esse plano intercepta o eixo OAem um ponto bem determinado Pxcuja coordenada nesse eixo chamaremos de x. Usando planos perpendiculares aO e OZtamb em obtemos nesses eixos pontos Py e Pz com coordenadas y e z,respectivamente, conforme indicado na Figura 1.5.OAZxyzPPxPyPzFigura 1.5:Sistema de eixos coordenados tri-ortogonais OAZ.Por esse processo a cada ponto Pdo espaco ca associada uma unica trinca(x, y, z). Inversamente,dada uma trinca(x, y, z) tomamos nos eixos OA, Oe OZos pontos de coordenadas respectivasx, yeze nesses pontos passamosplanos perpendiculares aos eixos OA, Oe OZ, respectivamente. Esses planosseinterceptamemum unicopontoPdoespaco. Ficaassimestabelecidaumacorrespond encia biunvoca entre os pontos do espaco e as trincas de coordenadas,isto e, a cada ponto P corresponde uma unica trinca (x, y, z) e vice-versa. A trincaquecorrespondedessemodoaumponto echamadadetrincadecoordenadasdo ponto em relac ao ao sistema de eixos OAZ. Tamb em chamamos a trincasimplesmente de coordenadas de Pem relac ao a OAZ.Note que as trincas que correspondem aos pontos do eixo OAs ao da forma(x, 0, 0). Qual a forma das trincas que correspondem aos eixos Oe OZ? Astrincas que correspondem ao plano OA s ao da forma (x, y, 0). Qual a forma dastrincas que correspondem ao plano OZ e ao plano OZA?Uma partcula em cada instante ocupa um unico ponto do espaco. As co-ordenadasdapartculaemrelac aoaumsistemadeeixos OAZs ao, porCEDERJ14Noc oes b asicas sobre o movimentoM ODULO 1 - AULA 1denic ao, as coordenadas do ponto que ela ocupa. Desse modo, se a partcula est aem um ponto cuja trinca de coordenadas em relac ao a OAZ e (x, y, z) ent ao atrinca de coordenadas da partcula em relac ao a OAZ tamb em e (x, y, z). Dize-mos que a trinca de coordenadas d a a posic ao da partcula em relac ao a OAZ.Muitas vezes dizemos simplesmente que a trinca de coordenadas e a posic ao dapartcula em relac ao a OAZ.O sistema de eixos coordenados e uma estrutura rgida em relac ao ` a qual po-demos especicar a posic ao de qualquer ponto do espaco ou de qualquer partcula.Tamb em podemos especicar a posic ao de qualquer corpo em relac ao ao sistemade eixos coordenados, pois qualquer corpo pode ser considerado como um con-junto de partculas e cada partcula do conjunto pode ter sua posic ao especicadaem relac ao ao sistema de eixos, conforme vimos acima.E claro que estamos en-tendendo que a posic ao de um corpo ca especicada quando especicamos asposic oes das partculas que o comp oem.O referencial e o movimentoEm princpio, podemos n ao somente determinar a posic ao de um corpo emrelac ao a um sistema de eixos coordenados, como tamb em determinar o instanteem que o corpo ocupa a dita posic ao. De fato, fazemos a suposic ao de que, emmec anica, dispomos n ao somente de r eguas mas tamb em de rel ogios. Vamos su-porque, associadoaumsistemadeeixoscoordenados, temos umaquantidadeilimitadaderel ogios, tantosquantosforemnecess arios, todossincronizadoseemrepousoemrelac aoaosistemadeeixos.Eclaroquepodemosdeterminarse um rel ogio est aem repouso em relac ao ao sistema deeixos. Bastavericarque, ` a medida que o tempo passa, tal como indicado pelo rel ogio, a posic ao dopr oprio rel ogio n ao muda. O sistema de eixos coordenados, junto com as r eguaserel ogios, e umaestrutura paramedir posic oes einstantes do tempo. Uma talestrutura e chamada de sistema de refer encia ou de referencial. Podemos descre-ver brevemente um referencial dizendo que e um sistema de eixos coordenadosmunido de r eguas e rel ogios. Um agente xo em um referencial e capaz de reali-zar medic oes costuma ser chamado de observador. O observador pode ser umapessoa ou aparelho programado para medir.E conveniente supor que os rel ogiosest ao sincronizados em um dado referencial para que haja um unico instante dotempo atribuido a um dado evento. Por outro lado, a exig encia de que os rel ogiosestejam em repouso em relac ao ao sistema de eixos do referencial tem raz oes maisprofundas que voc e examinar a quando estudar a chamada relatividade restrita deEinstein.15CEDERJNoc oes b asicas sobre o movimentoO sistema de eixos coordenados e uma estrutura rgida, na qual cada eixopermanece perpendicular aos outros dois. Na pr atica, para garantir a rigidez doseixos usamos algum corpo rgido, ou um sistema rgido de partculas, para nelesxar o sistema de eixos. Por exemplo, podemos considerar um sistema de eixoscoordenados xos nas paredes de uma sala.Figura 1.6:Sistema de eixos coordenados OAZ, xo nas paredes de uma sala.Podemos desenhar os eixos nas paredes como mostra a Figura 6. Nos es-tudos te oricos simplesmente imaginamos os eixos, como entidades matem aticas,xos nas paredes.Neste exemplo diramos que o referencial e xo na sala, ou naTerra, pois sala e Terra formam um todo rgido. Podemos tamb em imaginar umreferencial xo em um autom ovel, como ilustrado na Figura 1.7.Figura 1.7:Sistema de eixos coordenados OAZ, xo na estrutura rgida de um autom ovel.CEDERJ16Noc oes b asicas sobre o movimentoM ODULO 1 - AULA 1E comum n ao mencionar os rel ogios quando especicamos um referencial.Escolhemos um sistema de eixos e a exist encia dos rel ogios ca subentendida.Epor esse motivo que, por simplicidade, nos referimos ao referencial como sendo opr oprio sistema de eixos; dizemos algo como: seja o referencial OAZ...Deve ter cado claro que o conceito de posic ao e relativo ao sistema de ei-xos coordenados que usamos. Por exemplo, em relac ao a um sistema de eixos,umapartculatemuma posic aodadaporumatrincadecoordenadas, enquantoemrelac aoaoutrosistemadeeixosaposic aopodeserdadaporoutratrincacompletamente diferente. A Figura 8 mostra uma partcula e dois referenciais,representados por OAZ e O

A

Z

. Os eixos OZ e O

Z

s ao perpendicularesao plano desta folha e n ao aparecem no desenho. Os outros eixos est ao todos noplano da gura, onde tamb em situa-se a partcula.OAA

xx

yy

O

PFigura1.8: Umamesmapartculapodeserlocalizadaemrelac aoadoissistemasdeeixosdiferentes.De acordo com o desenho a posic ao da partcula em relac ao ao referencialOAZ e (x, y, 0), enquanto a posic ao da mesma partcula em relac ao ao referen-cial O

A

Z

e (x

, y

, 0).Pelo que discutimos, dado um referencial podemos, em princpio, estabele-cer a posic ao de uma partcula em relac ao a ele e tamb em o instante em que elaest a nessa posic ao. Tamb em podemos estabelecer a posic ao de um corpo qualquerem relac ao ao referencial e o instante em que ele ocupa tal posic ao, mas vamosnos concentrar por enquanto no caso de uma partcula, que e mais simples de serestudado. Omovimento econceituadoemmec anicaapartirdosconceitosdeposic ao e de tempo. Por isso e um conceito que necessita da id eia de referencialpara ser compreendido.17CEDERJNoc oes b asicas sobre o movimentoDizemos que uma partcula est a em movimento em relac ao a um referencialquando sua posic ao em relac ao ao referencial muda com o passar do tempo.Eclaro que a posic ao muda se pelo menos uma das coordenadas que determina aposic ao muda. No caso de um corpo, dizemos que ele est a em movimento, emrelac ao a um referencial, quando pelo menos uma das partculas que o comp oemest aemmovimento emrelac aoaoreferencial. Seumapartcula, ouumcorpoqualquer, n ao est a em movimento em relac ao a um referencial dizemos que est aem repouso em relac ao ao referencial.De acordo com a denic ao anterior o conceito de movimento e sempre re-lativo a um referencial. N ao faz sentido falar em movimento sem pressupor umreferencialemrelac aoaoqualeleest asendoconceituado. Defato, parafalarem movimento e necess ario falar em mudanca de posic ao e o conceito de posic aoexige um referencial em relac ao ao qual a posic ao e denida. No linguajar comumfalamos em movimento sem mencionar referenciais n ao porque eles sejam des-necess arios, mas porque est ao implicitamente pressupostos pelo h abito. Temos,por exemplo, o h abito de xar inconscientemente referenciais na Terra. Assim,quando dizemos que uma pedra, ou um carro, ou o sol se movem, estamos nor-malmente usando um referencial xo na Terra, embora n ao tenhamos consci enciadisso se nossa mente n ao estiver cienticamente alerta.Omovimento eoobjetofundamentaldeestudodafsicae, emparticu-lar, damec anica. Fizemosnossoestudoinicialsobreomovimento nestaaula,construindo paulatinamente os conceitos que lhe d ao fundamento: os de r eguase rel ogios, de partculas e corpos rgidos e os de sistema de eixos coordenados ereferencial. Como em qualquer parte da Fsica, para estudar o conceito de movi-mento precisamos tamb em de usar uma linguagem matem atica. Qual o conceitomatem atico que descreve com perfeic ao, em todos os seus detalhes, um dado mo-vimento? Essa e uma quest ao muito profunda e a obtenc ao desse conceito ma-tem atico e praticamente uma denic ao do que entendemos por movimento. Esse e o assunto da pr oxima aula, que e o complemento necess ario desta que encerra-mos agora.ResumoUm corpo em movimento pode mudar de lugar, rodar e at e mesmo se de-formar. O seu movimento pode ser muito complicado. Para estudar o movimentocomecamospelocasomaissimples: odeumcorpocujasdimens oess aodes-prezveisnomovimento emconsiderac ao. Talcorpo echamadodepartcula.Umapartcula eumpontomaterial. Partculasmudamdelugar, masn aofazCEDERJ18Noc oes b asicas sobre o movimentoM ODULO 1 - AULA 1sentido dizerquerodam ousedeformam. Defato, paraumcorporodarousedeformar e necess ario ser constitudo por diversas partes, e uma partcula, obvi-amente, n ao tem partes. Qualquer corpo extenso pode ser considerado como umconjunto de partculas. Se as dist ancias entre elas permanecem constantes esseconjunto echamadode corporgidoou sistema rgido. Umreferencial eumcorpo rgido no qual est ao xados um sistema de eixos coordenados e rel ogios.Em relac ao ao sistema de eixos determinamos a posic ao de qualquer partculano espaco ou de qualquer ponto que desejarmos. A posic ao e denida pelas coor-denadas da partcula ou do ponto, no sistema de eixos coordenados.Movimentode uma partcula em relac ao a um referencial e a mudanca de sua posic ao com otempo, em relac ao ao sistema de eixos do referencial.Portanto, movimento e umconceito sempre relativo a um referencial.E absurdo falar em movimento semque haja um referencial em relac ao ao qual tal movimento e especicado.Question ario1. O que e uma partcula?2. Explique porque qualquer corpo pode ser considerado como um conjuntode partculas.3. O que e um corpo rgido?4. O que e um sistema de partculas?5. O que e um sistema rgido de partculas?6. O que dene a posic ao de uma partcula em relac ao a um sistema de eixoscoordenados?7. O que e um referencial?8. Usando os conceitos de posic ao e de tempo explique o que entendemos pormovimento de uma partcula e de um corpo.9. Explique porque o conceito de movimento e sempre relativo a umdado referencial.10. Nossa tend encia natural e a de xar referenciais na Terra. Descreva algumasituac ao na qual tomamos algum outro corpo como referencial para nossapercepc ao visual do movimento?19CEDERJNoc oes b asicas sobre o movimentoProblemas propostos1. Compare as denic oes de partcula, corpo rgido, referencial e movimento,dadas nesta aula, com as dicionarsticas.2. Descreva situac oes diferentes envolvendo um mesmo corpo de tal modo queem algumas delas o corpo possa ser considerado como uma partcula e emoutras n ao.3. Se voc e representasse o Sol por uma bolinha de gude de 1 cm de raio, a quedist ancia dessa bolinha voc e deveria localizar a Terra para que as proporc oesrelevantes no problema fossem mantidas? Se nessa situac ao a Terra tamb emfosse representada por uma pequena esfera, qual seria o seu raio?Auto-avaliac aoPor tratar-se de aula introdut oria, voc e deve ser capaz de responder ao ques-tion ario inteiro e de resolver todos os problemas propostos.CEDERJ20A descric ao matem atica do movimentoM ODULO 1 - AULA 2Aula 2 A descric ao matem atica do movimentoObjetivoEntender o conceito de func oes-movimento.Introduc aoNa aula anterior, denimos movimento de uma partcula em relac ao a umdado referencial como sendo a mudanca de sua posic ao em relac ao a esse refe-rencial, com o passar do tempo. Ressaltamos que o movimento e o objeto fun-damental de estudo da Fsica e que necessitamos de sua conceituac ao matem aticaparaaprofundarmosseuestudo. Passemos agoraaoestudodessaconceituac aomatem atica.O conceito de func oes-movimentoSuponhamos que estejamos interessados no movimento que ocorre em umintervalodetempoentreoinstantetieoinstantetf. Esseintervalo erepre-Recordemos a denic ao deintervalo aberto:(ti, tf) = {t lR|ti< t < tf}; a escolha de seraberto e motivada por desejo desimplicidade matem atica, masn ao e necess ario nospreocuparmos com isso nomomento.sentado por (ti, tf). Qual o conceito matem atico que descreve completamente omovimento dapartcula? Parachegaraele, faremosaseguinte armac ao: co-nhecemos o movimento de uma partcula se sabemos qual e sua posic ao em cadainstante do tempo no intervalo de interesse. Isso signica que em cada instante dointervalo (ti, tf) sabemos quais s ao as tr es coordenadas x, y e z que d ao a posic aoda partcula. Portanto, o movimento ca completamente determinado se for dadauma regra que especique a cada instante t qual a coordenada x da partcula; umasegunda regra que especique a cada instante t qual a coordenada y; e uma terceiraregra que especique qual a coordenada z a cada instante t. Em cada instante t, apartcula s o tem um valor para a coordenada x, caso contr ario, a partcula estarianesse instante ocupando duas posic oes diferentes,o que e absurdo. Portanto,aregra que d a a coordenada x em cada instante t do intervalo (ti, tf) e o que, emmatem atica, recebe o nome de func ao. Vamos representar essa func ao por fx. Emsmbolos matem aticos:fx: (ti, tf) lR (2.1): t x .Tamb em s ao func oes as regras que determinam a cada instante t as coorde-nadasyez. Representaremos porfya func ao que d a a coordenadayem cada21CEDERJA descric ao matem atica do movimentoinstante t do intervalo (ti, tf) e por fza func ao que d a a coordenada zem cadainstante do mesmo intevalo:fy: (ti, tf) lR (2.2): t yefz: (ti, tf) lR (2.3): t z .Astr esfunc oes(2.1), (2.2)e(2.3)d aoastr escoordenadasx, yezdapartculaemcadainstantedointervalo(ti, tf). Elasespecicam, portanto, aposic ao da partcula em cada instante do intervalo. As tr es func oesfx, fyefzdescrevemjuntas omovimento dapartculano intevalo detempo(ti, tf). Elass aochamadasdefunc oesdomovimentodapartcula. Elasd aoainformac aocompleta sobre o movimento da partcula.As func oes-movimento s aochamadas comumente deequac oes hor arias. Elas s aodadas em geral por equac oes daforma (2.4). Damos prefer enciaao uso de um smbolo x pararepresentar o valor da func ao fxno instante t e um outro smbolo,fx, para representar a pr opriafunc ao . No entanto, e comumusar a mesma letra pararepresentar a func ao e o valor dafunc ao , escrevendo, porexemplo, x = x(t) no lugar dex = fx(t). Caso prera, voc epode usar essa notac ao e escreverno lugar de (2.4) as equac oes:x = x(t), y= y(t) e z= z(t).As func oes-movimento s ao o conceito matem atico mais importante da me-c anica. Encontrar as func oes-movimento para uma partcula emuma dada situac ao e o problema fundamental da mec anica. Toda a teoria desenvolvida nessa ci enciatem por m criar m etodos de obter as func oes-movimento desconhecidas e de tirarinformac oes daquelas que j a s ao conhecidas.Para expressar o fato de que as func oes do movimento d ao as coordenadasx, y e z da partcula em cada instante t, tamb em escrevemos:___x = fx(t) ,y= fy(t) ,z= fz(t) .(2.4)Notequenessasequac oesotempo eexpressoemsegundoseascoorde-nadasx, yezemmetros, amenosqueexplicitamenteindique-sequealgumaoutra unidade deve ser considerada. Finalizamos a discuss ao dando a resposta ` apergunta feita no comeco desta sec ao: o conceito matem atico que descreve comperfeic ao, em todos os seus detalhes, um dado movimento e o conceito de func oesdo movimento.Ecomumexpressarasfunc oes-movimentonaformadasequac oes(2.4),sem falar em domnio e contradomnio, como zemos nas equac oes (2.1), (2.2)e (2.3). O motivo e simples. O contradomnio n ao precisa ser especicado, pois e sempre lR. De fato, cada coordenada x,y ouz e sempre um n umero real. J aCEDERJ22A descric ao matem atica do movimentoM ODULO 1 - AULA 2ointervalo de tempo(ti, tf), durante o qual estamos interessados em estudar omovimento, ca em geral subentendido e, normalmente, n ao e importante espe-cic a-lo. Algumas vezes estudamos movimentos supondo que eles s ao eternos,isto e, que o intervalo de tempo em que ocorrem e (, +).E claro que isso eapenas uma idealizac ao extrema de situac oes em que o movimento dura, ou podedurar, um longo intervalo de tempo, desde um passado remoto at e um futuro dis-tante. Por exemplo, quando estudamos o movimento da Terra em torno do sol n aoh a, normalmente, interesse em considerar se esse movimento tem comeco ou m.`A medida que o tempo corre, uma partcula em movimento vai passando pordiversos pontos do espaco. O conjunto desses pontos forma uma linha contnua.Essa linha e chamada de trajet oria. Uma pedra, quando solta, tem por trajet oriaum segmento de reta, at e que ela atinja o ch ao. A ponta da h elice de um ventiladorcaseiro tem, durante seu movimento, uma trajet oria circular. A Figura 2.1 mostrauma trajet oria mais gen erica.AZPartculaFigura 2.1:Trajet oria e a curva que a partcula traca no espaco durante o movimento.Vamos considerar a seguir alguns exemplos de func oes-movimento.Exemplos de func oes-movimento.Todos os movimentos da s erie de exemplos desta sec ao ser ao consideradosem relac ao a um referencial OAZ. Nesses exemplos, todas as coordenadas s aoexpressas em metros e o tempo sempre em segundos. As unidades ser ao escritasapenas nos dados iniciais e nas repostas nais de exemplos concretos,mas n aonas f ormulas intermedi arias. Os valores das coordenadas, dos instantes do tempoedemaisquantidadesser aoconsideradoscomoexatos, poisn aoqueremosnospreocupar por ora com a quest ao da precis ao com que s ao dadas essas grandezas.Deve car claro que esse procedimento e provis orio, pois as quest oes de precis aos ao muito importantes. Elas ser ao consideradas posteriormente.23CEDERJA descric ao matem atica do movimentoExemplo 2.1Sejam as func oes-movimento de uma partcula dadas por:fx(t)=3 t, fy(t)=0e fz(t) = 0.Nesse caso, a partcula est a em movimento retilneo ao longo do eixo OAesua coordenada x no instante t e dada por x = 3 t. Note ainda que essa coordenadax cresce indenidamente como passar do tempo. A Figura 2.2 mostra as posic oesdapartculanosinstantes 2, 1, 0, 1, 2e3segundos. Noinstantet = 2segundos, temos x=fx(2)=3(2)= 6, ou seja, a posic ao da partcula e, nesse instante, igual a 6 metros. Ela se encontra no semi-eixo negativo a6metros da origem. Nos outros instantes, as posic oes da partcula s ao calculadasde modo semelhante.fx(1)fx(0)fx(1)fx(2)AZfx(2)fx(3)Figura 2.2:Movimento com dist ancias percorridas iguais em intervalos de tempo iguais.Observe que as dist ancias entre duas posic oes consecutivas quaisquer mar-cadas na Figura 2.2 s ao todas iguais.Escrevendo as func oes-movimento no formato das equac oes (2.4), obtemos:___x = 3 t ,y= 0 ,z= 0 .(2.5)Exemplo 2.2Considere as seguintes func oes-movimento de uma partcula:fx(t)=0, fy(t)=4t t2e fz(t) = 0.Comonoexemploanterior, apartculatamb emest aemmovimentore-tilneo,masneste casoaolongo doeixo O. Asua coordenadayno instanteCEDERJ24A descric ao matem atica do movimentoM ODULO 1 - AULA 2t edadapory =4t t2. Notequeapartculapassapelaorigemnoinstantet = 0 segundo e retorna a ela no instante t = 4 segundos. A Figura 2.3 mostra asposic oes da partcula nos instantes 1, 0, 1, 2, 3, 4, e 5 segundos.fy(0) = fy(4) = 0fy(1) = fy(3) = 3fy(2) = 4AZfy(1) = fy(5) = 5Figura 2.3:A partcula inverte o sentido de seu movimento em t = 2s.Observe que as dist ancias entre duas posic oes consecutivas quaisquer mar-cadas na Figura 2.3 n ao s ao todas iguais, embora sejam iguais os intervalos detempo entre elas.Em um instante arbritr ario t, a posic ao da partcula e dada por:___x = 0 ,y= 4t t2,z= 0 .(2.6)Exemplo 2.3Considere as seguintes func oes-movimento de uma partcula:fx(t)=3, fy(t)=4 e fz(t) = 20 5t2.Novamente trata-se de um movimento retilneo, mas ao longo da reta para-lela ao eixo OZe que intercepta o plano OA no ponto desse plano de coorde-nadas x = 3 metros e y= 4 metros. J a que 5t2nunca assume valores positivos,o ponto mais alto da trajet oria da partcula ocorreparat =0 segundo,quandoz=20 metros. Note ainda que a partcula atinge o plano OA(z=0 metros)em t = 2 segundos.A Figura 2.4 mostra a trajet oria retilnea da partcula e as suas posic oes nosinstantes t=0 segundo, t=0, 5 segundo, t=1 segundo, t=1, 5 segundos et = 2 segundos.25CEDERJA descric ao matem atica do movimentoA Z trajet oria3m 4mFigura 2.4:Movimento vertical n ao uniforme de uma partcula.A posic ao da partcula e dada em qualquer instante t por:___x = 3 ,y= 4 ,z= 20 5t2.(2.7)A partir da Figura 2.4, constatamos que, durante intervalos consecutivos de0, 5 segundo de durac ao, a partcula percorre dist ancias cada vez maiores.Exemplo 2.4Considere as seguintes func oes-movimento de uma partcula:fx(t)=0, fy(t)=5t e fz(t) = 20t 5t2.Apartculasemovenoplano OZeemuminstantequalquertasuaposic ao e dada por___x = 0 ,y= 5t ,z= 20t 5t2.(2.8)Atrajet oriadapartculaseencontranoplano OZ, poistemossemprex = 0 metro. Eliminando t das duas ultimas equac oes, em (2.8), obtemos:z= 4y y25,que e a equac ao de uma par abola no plano OZ. Para encontrarmos os pontosem que a par abola intercepta o eixo O, basta impor que x=0 metro e z=0CEDERJ26A descric ao matem atica do movimentoM ODULO 1 - AULA 2metro. Aprimeiracondic aoj aest aasseguradaem(2.8)easegundanosleva,atrav es da equac ao anterior, a buscar as razes da equac ao de segundo grau:4y y25= 0 .Tais razes s ao dadas pory =0 metro ey =20 metros. Isso signica que ospontos da trajet oria parab olica que interceptam o eixo Os ao a origem (0, 0, 0)e o ponto (0, 20, 0).Paradescobrirmosemqueinstantesapartculaseencontranessesdoispontos, recorremos, como para tudo o mais, ` as func oes-movimento, no caso, asfunc oes dadas em (2.8). Substituindo em (2.8) os valores x=0 metro, y=20metros e z=0 metro, e resolvendo as equac oes resultantes, obtemos t=4 se-gundos. Portanto, a partcula intercepta o eixo Oa 20 metros da origem aos 4segundos. Voc e pode descobrir por esse m etodo os instantes em que a partculapassa por qualquer ponto dado. Experimente aplic a-lo para encontrar o instanteem que a partcula intercepta o outro ponto do eixo O, a origem (0, 0, 0). Se oseu conhecimento sobre par abolas estiver em dia, voc e constatar a com facilidadeque a partcula tem sua maior coordenada z no ponto (0, 10, 20), no instante t = 2segundos.A Figura 2.5 mostra a trajet oria parab olica e as posic oes da partcula emintervalosdetempode1segundo, desdeoinstante0segundoat eoinstante4segundos.AZ10m20mt = 2sFigura 2.5:Trajet oria parab olica de uma partcula.27CEDERJA descric ao matem atica do movimentoExemplo 2.5Considere as seguintes func oes-movimento de uma partcula:fx(t) =6 + 5 sen(2t), fy(t) =7 + 5 cos(2t)efz(t) =0, nasquaisosargu-mentos das func oes trigonom etricas s ao, naturalmente, dados em radianos.Apartculasemovenoplano OA. Emuminstantequalquert, asuaposic ao e dada por___x = 6 + 5 sen(2t) ,y= 7 + 5 cos(2t) ,z= 0 .(2.9)Eliminando t das duas primeiras equac oes em (2.9), e usando a identidadetrigonom etrica que arma que a soma do quadrado do seno com o quadrado docosseno e sempre igual a um, obtemos:(x 6)2+ (y 7)2= 52_sen2(2t) + cos2(2t) = 52. (2.10)Esse resultado mostra que a trajet oria e um crculo no plano OA, de raio5 metros e centro no ponto de coordenada x=6 metros e y=7 metros. Comoos valores do seno e do cosseno oscilam entre 1 e 1, a coordenada x est a sempreno intervalo 6 5 x 6 + 5, isto e, no intervalo 1 metro x 11 metros,enquanto a coordenada y est a sempre no intervalo 2 metros y 12 metros.Em t = 0 segundo, a partcula est a na posic ao:___x = 6 + 5 sen(0) = 6 metros ,y= 7 + 5 cos(0) = 12 metros ,z= 0 metros .J a em t = 0, 5 segundo, a partcula se encontra na posic ao:___x = 6 + 5 sen(2 0, 5) = 10, 2073... , metrosy= 7 + 5 cos(2 0, 5) = 9, 7015... metros ,z= 0 metro .A Figura 2.6 mostra a trajet oria e as posic oes da partcula em intervalos detempo de 0, 5 segundo, desde o instante 0 segundo at e o instante 2 segundos.E f acil encontrar movimentos que s ao circulares em boa aproximac ao. Po-demos citar os que ocorrem na h elice de um ventilador ou de um liquidicador.Um outro exemplo mais lento e majestoso e o das estrelas, que vemos percorreremarcos de crculo quando as observamos durante as horas da noite.CEDERJ28A descric ao matem atica do movimentoM ODULO 1 - AULA 2AZ7m12mt = 0st = 0, 5st = 2st = 1st = 1, 5s6mFigura 2.6:Trajet oria circular da partcula.Exemplo 2.6Considere as seguintes func oes-movimento de uma partcula:fx(t) = 5 sen(2t), fy(t) = 5 cos(2t) e fz(t) = 4t.Em um instante qualquer t, a posic ao da partcula e dada por___x = 5sen(2t) ,y = 5cos(2t) ,z= 4t .(2.11)Setiv essemosfz(t) =0, emlugardefz(t) =4t, omovimentodessapartcula seria id entico ao da partcula do exemplo anterior,exceto pelo fato deque o centro de sua trajet oria circular estaria na origem e n ao no ponto (6, 7, 0),como naquele caso. No entanto, no problema em considerac ao, temos z=4t e,conseq uentemente, a coordenada z cresce indenidamente ` a medida que o tempopassa. Essecrescimentofazcomqueatrajet oriasejaumacurvachamadadeh elice.Um ponto na extremidade de uma h elice de um avi ao que avanca em mo-vimento retilneo traca no espaco uma curva desse tipo se o velocmetro do avi aoestiver indicando velocidade constante.Imagine os eixos OAe Oxos na superfcie horizontal de uma mesa eo eixo OZsaindo da mesa e apontando para cima. Com a ponta do indicador,faca um movimento circular sobre a superfcie da mesa. Agora, sem interrompero movimento circular, movimente para cima sua m ao na direc ao do eixo OZ, nosentido de baixo para cima. Com esse procedimento, voc e poder a obter um movi-mento muito parecido com o descrito pelas func oes-movimento (2.11), ilustradona Figura 2.7.29CEDERJA descric ao matem atica do movimentoAZFigura 2.7:Trajet oria helicoidal da partcula.Exemplo 2.7Considere as seguintes func oes-movimento de uma partcula:fx(t)=0, fy(t)=2t sen_2t_ e fz(t) = 1 cos_2t_.Em um instante qualquer t, a posic ao da partcula e dada por___x = 0 ,y =2t sen_2t_ ,z= 1 cos_2t_ .(2.12)Essas equac oes descrevem um tipo de movimento, chamado cicloidal, cujavisualizac ao est a longe de ser obvia e direta. Ainda assim vale a pena inclu-locomo um ultimo exemplo. Primeiramente, para car claro que podemos estudarum movimento mesmo que n ao possamos visualiz a-lo. Qualquer informac ao so-breomovimento est acontida nasfunc oes-movimento eamatem atica nos levamuito al em das nossas possibilidades de visualizac ap. Em segundo lugar, demosesse exemplo para que permaneca o desao de entend e-lo cada vez mais ` a medidaque mais formos aprendendo. Finalmente, decidimos inclu-lo por envolver umtipo de curva que teve um papel importante na hist oria da Fsica e tamb em ocorrecom freq u encia em muitos problemas do cotidiano. A Figura 2.8 mostra a tra-jet oria da partcula e suas posic oes em intervalos de tempo de 1 segundo, desde oinstante 0 segundo at e o instante 4 segundos.Essa trajet oria e uma curva chamada de cicl oide,nome dado por Galileu,considerado um dos descobridores dessa curva.CEDERJ30A descric ao matem atica do movimentoM ODULO 1 - AULA 2AOZt = 0st = 3st = 2st = 1st = 4sFigura 2.8:Trajet oria cicloidal da partcula.A cicl oide foi descoberta independentemente pelo padre franc es Mersenne,quelhe atribua onome la roullete. Um ponto na periferiade um pneudeumcarro que se movimenta em linha reta traca uma curva desse tipo, se o pneu n aoderrapar durante o movimento.A hist oria da cicl oide e bastanteinteressante e em in umerasocasi oes esteve misturada com ahist oria da Fsica. Intimamenteligada ` a hist oria dos rel ogios dep endulo, a cicl oide foi tamb emtema de discuss oes cientcasentre gigantes do s eculo XVII,como ocorreu por exemplo numadisputa entre R. Descartes e P.Fermat, ou at e mesmo tema dedisc ordia entre membros de umamesma famlia, como ocorreucom os irm aos Jean e JacquesBernoulli, no nal desse mesmos eculo.Finalizamos esse exemplo com uma frase sobre essa curva do grande pen-sador, matem atico e fsico franc es Blaise Pascal:a cicl oide e uma curva t ao usual e corrente que depois da reta e dacircunfer encia nenhuma outra curva e t ao comumente encontrada.Edescrita t ao freq uentemente diante de nossos olhos que e surpreen-dente que n ao tenha sido considerada pelos antigos(...)Para nalizar esta aula, imaginemos que as tr es coordenadas x, y e z de umapartcula sejam dadas pelas respectivas func oes fx(t) = 2, fy(t) = 4 e fz(t) = 5.Cadaumadessasfunc oes eumafunc aoconstante, queassociaatodososins-tantesdotemposempreomesmon umero. Conseq uentemente, essasfunc oesdescrevem a situac ao em que a partcula, em qualquer instante t, encontra-se naposic ao dada por x=2 metros, y=4 metros e z=5 metros, isto e, a situac aoemque apartcula est aem repouso nessa posic ao. Porcomodidade,essas tr esfunc oes ser ao tamb em chamadas de func oes-movimento, embora estejam descre-vendo uma situac ao de repouso. Basta dar` as func oes-movimento o signicadode func oes que descrevem os estados de movimento e os estados de aus encia demovimento. Sendoassim, continuaremosdesignandofx, fyefzporfunc oes-movimento, mesmo quando as tr es forem constantes.31CEDERJA descric ao matem atica do movimentoResumoO movimento de uma partcula e descrito matematicamente por tr es func oeschamadas func oes-movimento. Elas especicam as tr es coordenadas da partculaem cada instante do tempo. A trajet oria da partcula e o conjunto dos pontos pelosquais ela passa durante o seu movimento. As func oes-movimento determinam atrajet oria da partcula e, al em disso, em que ponto dela a partcula se encontra acada instante. Essas func oes descrevemcompletamente o movimento da partcula.Se as conhecemos,podemos, em princpio, responder a qualquer quest ao sobreomovimentodapartcula. Oproblemafundamentaldamec anicaconsisteemencontrar as func oes-movimento de uma partcula em uma dada circunst ancia.Question ario1. O que s ao func oes-movimento de uma partcula?2. O que e trajet oria de uma partcula?3. Considere o movimento de duas partculas cujas trajet orias possuem algunspontos em comum. Isso signica que elas ir ao obrigatoriamente encontrar-se em algum instante?4. Suponha que duas partculas em movimento descrevam trajet orias circula-res, demesmo raioecentradasnomesmoponto. Issosignicaqueelaspossuem necessariamente as mesmas func oes-movimento?Problemas propostos1. Considere quatro avi oes da Esquadrilha da Fumaca que, durante uma exibic aocomemorativa, descrevem, todos eles, movimentos retilneos comtrajet oriashorizontais paralelas. Nenhum avi ao se adianta em relac ao aos outros, demodoqueacadainstanteest aotodosemummesmoplanoortogonal ` astrajet orias. Al em disso, os quatro avi oes se localizam nos v ertices de umquadrado com 20 metros de lado e com dois lados verticais e dois horizon-tais. Os avi oes que voam mais baixo est ao a100 metros do solo. Vamosescolher um sistema de eixos OAZxo na Terra. O eixo OAest a nosolo, paralelo ` as trajet orias e exatamente embaixo de duas delas, conformeilustra a Figura 2.9, que mostra a esquadrilha em um certo instante t > 0.CEDERJ32A descric ao matem atica do movimentoM ODULO 1 - AULA 2AOZABCD20m100mFigura 2.9:Formac ao da esquadrilha em um certo instante.As func oes-movimento de um dos avi oes, identicado na gura como avi aoA, s aodadaspor: fx(t) =40t, fy(t) =0efz(t) =100. Notequeessa ultima equac ao arma que o avi ao A est a a 100 metros de altitude eque a unidade, de acordo com nossa convenc ao provis oria, n ao aparece naf ormula. Na soluc ao do problema, siga tamb em a convenc ao de n ao escre-ver as unidades, deixando-as subentendidas.Escreva as func oes-movimento para os outros tr es avi oes, denotados na Fi-gura 2.9 como avi oes B, C e D.2. Considere o movimento descrito no exemplo 2.2 desta aula.(a) Em que instantes a partcula passa pelo ponto do eixo O de coorde-nada y = 12 metros? E de coordenada y= 12 metros?(b) Demonstre que a partcula se encontra no semi-eixo positivo Oso-mente durante o intervalo de tempo entre0 e4 segundos e no semi-eixo negativo, somente nos instantes anteriores a 0 segundo ou poste-riores a 4 segundos.(c) Qual e o maior valor assumido pela coordenada y da partcula durantetodo o seu movimento e em que instante isso ocorre?(d) Demonstrequeapartculapassaduasvezesporqualquerpontodesua trajet oria, com excec ao de um, pelo qual ela passa uma unica vez.Identique esse ponto excepcional.3. Nostr esitensdestaquest aoser aodadasasfunc oes-movimentodeduaspartculas, que designaremos por partculas A e B, respectivamente. Como33CEDERJA descric ao matem atica do movimentovoc e observar a de imediato, em todos os itens, ambas descrevem movimen-tos retilneos aolongo doeixo OA. Pois bem, determineemcadaitem,separadamente, se as partculas se encontram e, em caso armativo, onde eem que instantes se encontram.(a)___xA= 30 4tyA= 0zA= 0e___xB= 2tyB= 0zB= 0.(b)___xA= 10 +t2yA= 0zA= 0e___xB= 2t2yB= 0zB= 0.(c)___xA= 12 + 8t t2yA= 0zA= 0e___xB= 2t 4yB= 0zB= 0.4. Duas partculas, Ae B, comecama movimentar-se a partir de t = 0 segundocom as seguintes func oes-movimento:___xA= 80 4t2yA= 0zA= 0e___xB= t2yB= 0zB= 0.Quantas vezes essas partculas se encontram e em que instantes isso ocorre?Onde elas se encontram?5. Duas partculas, Ae B, comecama movimentar-se a partir de t = 0 segundocom as seguintes func oes-movimento:___xA= 2tyA= 2tzA= 0e___xB= 5tyB= 20 5tzB= 0.(a) Trace as trajet orias dessas partculas e determine o ponto de intersec aoentre elas.(b) Essas partculas ir ao encontrar-se nesse ponto?CEDERJ34A descric ao matem atica do movimentoM ODULO 1 - AULA 26. Considere novamente duas partculas, A e B, que comecam a movimentar-se a partir de t = 0 segundo, mas agora comas seguintes func oes-movimento:___xA= 4t ,yA= t ,zA= 0 ;e___xB= 40 ,yB= Ct ,zB= 0 .,onde C e uma constante real.(a) Trace as trajet orias das partculas e determine o ponto em que elas seinterceptam (note que as coordenadas desse ponto n ao dependem dovalor de C).(b) Qual deve ser a condic ao sobre os valores de C para que as partculaspassem ao mesmo tempo pelo ponto de intersec ao das trajet orias?(c) Paraquevalores deCapartculaBpassapelo ponto deintersec aoantes que a partcula A?7. As func oes-movimento de uma partcula s ao dadas por:___x = 2 cos(2t) ,y = 4 sen(2t) ,z= 0 .(a) Eliminando t das equac oes anteriores, encontre a relac ao entre as coor-denadas xe y que, juntamente coma condic ao z = 0 metro,d aatrajet oriadapartcula. Qual onomedacurvaconstitudaporessa trajet oria?(b) Faca um desenho da trajet oria no plano OAe marque as posic oesda partcula em intervalos de tempo de 0, 5 segundo, desde o instantet = 0 segundo at e o instante t = 3 segundos.Auto-avaliac aoVoc e deve ser capaz de responder a todo o question ario. Al em disso, voc edeve saber o caminho para resolver todos os problemas propostos, embora possan ao conseguir termin a-los por diculdades matem aticas ou por lhe escapar algumdetalhe importante para prosseguir na soluc ao. Observe que os problemas propos-tos aparecem em ordem crescente de diculdade.35CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoM ODULO 1 - AULA 3Aula 3 Deslocamento e velocidade m edia nomovimento retilneoObjetivosEntender os conceitos de deslocamento e velocidade m edia no movimentoretilneo.Saber calcular deslocamentos e velocidades m edias em movimentos dadose, em particular, no caso do movimento retilneo uniforme.Introduc aoNa aula anterior, voc e aprendeu o conceito de func oes-movimento de umapartcula. Tamb emfoiditoqueoproblemafundamentaldamec anicacl assicaconsiste em encontrar as func oes-movimento de uma partcula em cada situac aoapresentada. Para resolver esse problema, e ness ario estudar certas caractersticasfundamentais do movimento, tais como velocidade e acelerac ao.Nesta aula e nas pr oximas, vamos considerar o caso particular de movimen-tos retilneos. Entendendo bem os conceitos fundamentais do movimento nessecaso, torna-se mais f acil entend e-los depois no caso de movimentos gerais. Noteque os movimentos discutidos nos tr es primeiros exemplos da aula anterior s aomovimentos retilneos. Na presente aula,vamos estudar os conceitos de deslo-camentoevelocidadem edia, quenospreparamparaoestudodevelocidadeeacelerac ao, t opicos das aulas seguintes.DeslocamentoConsideremos umapartculaquepode mover-se apenasaolongo deumareta. Tal movimento e dito retilneo ou unidimensional. Vamos escolher o eixoOAde nosso referencial ao longo dessa reta. Nesse caso, as coordenadas y e z dapartcula ser ao sempre nulas e a posic ao da partcula ca determinada apenas porsua coordenada x. Por isso, muitas vezes chamamos a coordenada x de posic ao dapartcula.As func oes-movimento que d ao as coordenadas y e z s ao, obviamente,asfunc oesnulas: fy(t) =0, fz(t) =0. Paraestudarummovimento, bastaconcentrarmo-nos na func ao fx que d a a posic ao x em qualquer instante t duranteo movimento:x = fx(t) . (3.1)37CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoVamos supor que a partcula execute um movimento retilneo descrito porumadadafunc aofx, deacordocom(3.1). Vamosconsiderarumintervalodetempo[t1, t2],desde um instante t1at e um instantet2,durante o movimento dapartcula.Note que o intervalo em quest ao,[t1, t2] ={t lR|t1 t t2}, efechado, isto e, cont em osextremos t1 e t2. No contextoem que estamos, e bom usar ointervalo fechado para termos aliberdade de considerar ou n ao asituac ao particular em quet2= t1. Nessa situac ao , ointervalo se reduz a um unicoinstante, isto e:[t1, t2] = {t1}.Seja x1 a posic ao da partcula no instante t1 e x2 a sua posic ao no instantet2. A variac ao de posic ao da partcula, do instante t1 ao instante t2, e a diferencax2x1. Essa variac ao e chamada de deslocamento da partcula do instante t1 aoinstante t2, ou de deslocamento da partcula no intervalo [t1, t2]. Para representar odeslocamento da partcula no intervalo [t1, t2], podemos usar o smbolo x[t1, t2],isto e:x[t1, t2] = x2x1. (3.2)O smbolo signica variac ao da grandeza que est a escrita logo ap os essesmbolo. Por exemplo, no caso da f ormula anterior, x[t1, t2] signica variac aoda posic ao x (lembre-se de que o deslocamento e uma variac ao de posic ao), e ointervalo [t1, t2] indica que a variac ao da posic ao x em quest ao e a que acontecedurante o intervalo de tempo de t1 a t2. Esse e um smbolo muito complicado e econveniente utiliz a-lo somente por enquanto, pois acabamos de denir o conceitode deslocamento e queremos que o seu smbolo mostre tudo o que e importanteno conceito. Na pr atica, se o conceito j a est a claro, voc e pode trocar o smbolox[t1, t2] por algo mais simples como,por exemplo,x,deixando implcito ointervalo de tempo no qual estamos considerando o deslocamento.A unidade de deslocamento e, naturalmente, a mesma da posic ao. Se expri-mirmos as posic oes em metros, os deslocamentos ser ao dados tamb em em metros.O deslocamento de uma partcula em um intervalo de tempo, assim comoquaisquer outras informac oes sobre o movimento, e fornecido pela func ao-movimento:x[t1, t2] = x2x1= fx(t2) fx(t1) . (3.3)Um deslocamento epositivo se, esomente se, x2>x1. Issoindica queo sentido da posic ao inicialx1para a nalx2 e o sentido positivo do eixo OA,conforme mostra a Figura 3.1. Nesse caso, dizemos que o deslocamento ocorreno sentido positivo do eixo OA.Um deslocamento e negativo se,esomente se, x2 x1Ox1x2AFigura 3.1:Deslocamento positivo no eixo OA.x2< x1Ox2x1AFigura 3.2:Deslocamento negativo no eixo OA.Durante um movimento qualquer, podem ocorrer deslocamentos no sentidopositivo ou negativo do eixo OA. No movimento de uma partcula,durante uma parte do tempo, tamb em pode ocorrer que todos os deslocamentossejam positivos, em qualquer intervalo detempo quese considere dentro dessaparte. Nesse caso,dizemos que durante essa parte do tempo o movimento temo sentido positivo do eixo dos OA. Se, por outro lado, durante parte do tempotodososdeslocamentoss aonegativos, emqualquerintervalodetempoqueseconsidere dentro dessa parte, dizemos que o movimento tem o sentido negativodo eixo dos OA. Pode ocorrer tamb em que durante uma parte do tempo ocorramdeslocamentos positivos e negativos. AFigura 3.3 mostra as posic oes da partculaem quatro instantes consecutivos t1, t

, t

e t2 (t1< t

< t

< t2).Ox1x2x

x

AFigura 3.3:Posic oes de uma partcula em uma seq u encia de quatro instantes.No instante t1, a partcula passa porx1;no instantet

, chega emx

, ondep arae volta at e aposic aox

, onde chega no instantet

. Dex

apartcula vaiat ex2, onde chega no instantet2. (Note que a partcula se move no eixo OA,sendoaslinhastracejadasapenasindicac oesdaseq u enciaemqueosdesloca-mentos s ao realizados com o passar do tempo.) O movimento em considerac aoocorreunointervalo[t1, t2], duranteoqualapartculasofreumdeslocamento39CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneox2 x1que epositivo. Emboranointervalotodo[t1, t2]odeslocamentosejapositivo, dentro desse intervalo ocorreram deslocamentos negativos. De fato, nointervalo [t

, t

] que est a dentro do intervalo [t1, t2], o deslocamento x

x

e ne-gativo.A conclus ao e que:um deslocamento positivo em um intervalo de tempo[t1, t2] n ao signica necessariamente que s o houve movimento no sentido positivonesse intervalo. Na verdade, o deslocamento em um intervalo de tempo d a umainformac ao global e n ao detalhada sobre o movimento no intervalo.E claro queum deslocamento negativo no intervalo inteiro tamb em n ao signica necessaria-mente que o movimento ocorreu sempre no sentido negativo durante o intervalo.Um deslocamento e nulo se,e somente se, x2=x1,isto e,a posic ao nonaldo intervalo[t1, t2] eamesma que nocomeco. Nesse caso, n aodevemosnecessariamente concluir que a partcula tenha cado parada em x1 durante todoo intervalo de tempo.Ela pode ter cado parada, mas tamb em pode ter realizadoum outro movimento qualquer, desde que tenha voltado no instante t2` a mesmaposic ao x1 que ocupava no instante t1.Por exemplo, quando jogamos uma pedraverticalmente para cima, podemos observar um ponto de sua trajet oria pelo qual apartcula passa duas vezes, na subida e na descida, conforme mostra a Figura 3.4.AOt=t1t=t2subida descidaFigura 3.4:A partcula passa pelo mesmo ponto na subida e na descida.Suponhamos que na subida ela tenha passado nesse ponto no instante t1 e nadescida no instante t2. Se usarmos um eixo OAna vertical, ao longo da trajet oria,podemos atribuir a esse ponto uma certa coordenadax1. Com isso, no instantet2aposic aox2dapartcula eigual ax1, demodoquenointervalo det1at2,CEDERJ40Deslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoM ODULO 1 - AULA 3o deslocamento da partcula foi nulo,x2 x1=0, embora a partcula tenha semovido durante esse intervalo, subindo e descendo em sua trajet oria.Noteque odeslocamento deuma partcula duranteum certointervalo detempo [t1, t2] n ao e, obrigatoriamente, a dist ancia percorrida por ela durante esseintervalo. No exemplo anterior, a variac ao de posic ao da pedra no intervalo [t1, t2] e zero, enquanto a dist ancia percorrida por ela no mesmo intervalo n ao e zero; eo dobro da altura que ela alcanca acima da posic ao inicial x1, conforme indicadopela gura.Comodissemos, odeslocamentoemumintervalodetempon aod a, emgeral, informac oes detalhadas sobre o movimento da partcula durante o intervalo.D a apenas uma id eia global sobre este movimento. Ainda assim, o conceito dedeslocamento e util para comecar o estudo do movimento.No intervalo de tempo [t1, t2], o tempo decorrido e evidentemente t2t1; otempo decorrido e tamb em chamado de durac aodo intervalo. Note que no lugarda express ao intervalo de durac ao t2t1 e comumutilizar a express ao intervalot2t1. Por exemplo, se o intervalo vai de 1 a 4 segundos, a durac ao e de (4 1)segundos, isto e, de 3 segundos. Num linguajar preciso e rigoroso, dizemos umintervalo de durac ao 3segundos. J a numa linguagem mais informal,dizemosumintervalode3segundos. Essetipodelinguageminformaln aocostumacausar nenhuma confus ao.Se x1 e a posic ao da partcula no instante t1 e x2 e sua posic ao no instantet2, dizemos que t2 t1 e o tempo gasto para ocorrer o deslocamento de x1 parax2, ou que t2t1 e o tempo gasto pela partcula para sofrer o deslocamento de x1para x2. O tempo gasto em um deslocamento depende obviamente do movimento.Em um certo movimento, a partcula pode gastar um certo tempo para sofrer umdeslocamento de x1 para x2, mas pode ocorrer um outro movimento, no qual elagasta menos tempo para sofrer o mesmo deslocamento.41CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoExemplo 3.1Umatleta, emseutreinamentoparaumacorrida, utilizaumapistaretilneade1.500 metros de comprimento. No instante t0=0 segundo, ele comeca a correrapartirdoinciodapista. Noinstantet1=10minutos, eleatingeonaldapista, faz meia-volta e retorna ao incio da pista, onde chega no instante t2=20minutos. Resolve seguir com seu treinamento ecorre novamente at e o nal dapista, atingindo-o em t3=30 minutos, retornando, por m, ao ponto inicial emt4= 40 minutos.Vamosescolherumeixo OAaolongodapista, comorigemnoincioesentido positivo do incio ao m da pista.O incio da pista tem coordenada x0=0metroeonal, quechamaremosdepontoF, temcoordenadaxF=1.500metros. Embora n ao seja necess ario, vamos expressar os instantes de tempo emnossa unidade favorita, o segundo. Temos: t0=0 segundo, t1=600 segundos,t2=1.200 segundos, t3=1.800 segundos e t4=2.400 segundos.Chamaremosde fx a func ao-movimento do atleta, que n ao supomos conhecida; do movimentos o conhecemos as informac oes dadas acima, isto e, os instantes nos quais o atletaatinge as extremidades da pista.A Ot1= 600st3= 1800st0= 0st2= 1200st4= 2400sFFigura 3.5:Posic oes na pista de atletismo.Nos primeiros 600 segundos de treino, seu deslocamento foi dex[0; 600] = fx(600) fx(0) = 1.500 0 = 1.500 metros.CEDERJ42Deslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoM ODULO 1 - AULA 3O deslocamento do atleta entre 600 e 1.200 segundos foi de:x[600; 1.200] = fx(1.200) fx(600) = 0 1.500 = 1.500 metros.J a nos primeiros 1.200 segundos de movimento, seu deslocamento foi de:x[0; 1.200] = fx(1.200) fx(0) = 0 0 = 0 metro .Esse resultado j a nos mostra que o deslocamento de uma partcula numdadointervalo de tempo e uma informac ao muito pobre no que diz respeito ao movi-mento da partcula nesse intervalo. Observe, por exemplo, que se soub essemosapenas que x[0; 1.200] =0 metro, n ao poderamos armar que o atleta foi at eonal dapistaevoltouaoincio, nesseintervalodetempo, ousecousim-plesmente parado no incio, durante todo o intervalo[0; 1.200]. Sabemos que aprimeira possibilidade e a que ocorreu de fato, porque na primeira metade do in-tervalo[0; 1.200] odeslocamento ede1.500metros (foiaonaldapista)enasegunda metade e de 1.500 metros (voltou ao incio).Note ainda que x[0; 1.200] =x[0; 600] + x[600; 1.200], isto e, o des-locamento no intervalo e a soma dos deslocamentos nos subintervalos que foramconsiderados. Esse resultado e conseq u encia direta da denic ao de deslocamento.Voltaremos a ele em um dos exerccios propostos.Como um ultimo coment ario, vale enfatizar que, embora o deslocamento doatleta nos primeiros 1.200 segundos de corrida tenha sido nulo, a dist ancia percor-rida por ele, nesse mesmo intervalo, n ao foi nula, mas igual a 2 1.500 =3.000metros. Ficapatente adistinc aoentredist ancia percorrida, que esempreposi-tiva ou nula, e deslocamento, que pode ser positivo, negativo ou nulo, conforme omodo como se processa o movimento. Voc e pode agora calcular os deslocamentose as respectivas dist ancias percorridas nos intervalos [1.200; 1.800], [1.800; 2.400]e [1.200; 2.400] e analisar os resultados de modo semelhante ao que zemos paraos primeiros 1.200 segundos.Exemplo 3.2Filma-seumabolinhadeacodescendoumplanoinclinado. Ap oscuidadosoexame do lme, obt em-se que o movimento da bolinha e bemdescrito pela func ao-movimento x=2 t2, sendo t=0 segundo o instante em que ela inicia seu mo-vimentoapartirdorepousoe OA, umeixoaolongodatrajet oriaretilneadabolinha, com sentido positivo de cima para baixo no plano inclinado.43CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoOt = 0xAFigura 3.6:Bolinha descendo um plano inclinado.Diferentementedoexemplo anterior, noqualn aoconhecamosafunc ao-movimento doatleta, masapenassuasposic oesemalgunsinstantesdetempo,neste exemplo conhecemos a func ao-movimento da bolinha . Portanto, podemoscalcular seu deslocamento em qualquer intervalo de tempo durante o movimento.No entanto, por ora vamos calcular os deslocamentos em alguns poucos intervalosde tempo, todos eles com a durac ao de1 segundo, a saber: [0, 1],[1, 2],[2, 3] e[3, 4]. Da denic ao de deslocamento, temos:x[0, 1] = 2 122 02=2 metros;x[1, 2] = 2 222 12= 6 metros;x[2, 3] = 2 322 22= 10 metros;x[3, 4] = 2 422 32= 14 metros .Note que, ao contr ario do que acontece no exemplo anterior, agora os des-locamentos s ao sempre positivos e, embora os intervalos de tempo consecutivossejam iguais,as dist ancias percorridas v ao aumentando com o tempo. O modocomo essas dist ancias aumentam foi descoberto por Galileu.E um resultado sim-ples e belo que voc e ser a convidado a redescobrir no terceiro problema propostodesta aula.Vamos nalizar essa sec ao sobre deslocamento, considerando o caso muitoespecial de um intervalo [t1, t2] com t2=t1. De fato, n ao e proibido considerart2=t1, e apenas um caso particular muito especial. Nesse caso, o intervalo sereduz a um unico instante t1 e o tempo decorrido e zero. Temos ent ao x2=x1,pois a func ao-movimento n ao pode associar duas posic oes diferentes a um unicoinstante t1. A variac ao de posic ao x2 x1 e, portanto, nula. Em um intervalo detempo de durac ao nula n ao h a deslocamento. Nenhuma surpresa, n ao e mesmo?CEDERJ44Deslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoM ODULO 1 - AULA 3Velocidade m ediaConsidere um intervalo de tempo [t1, t2] comt2 ,= t1. Nesse caso, a durac aot2t1 do intervalo e diferente de zero. Seja x1 a posic ao da partcula no instantet1ex2, suaposic aonoinstantet2. Odeslocamentodapartculanointervalodet1at2 ex2 x1eotempogastonessedeslocamento et2 t1. Araz aoentre o deslocamento da partcula no intervalo det1at2e o tempo gasto nessedeslocamento e chamada de velocidade m edia da partcula no intervalo [t1, t2]. Avelocidade m edia no intervalo [t1, t2] e dada por: (x2x1)/(t2t1). A velocidadem edia e uma frac ao, e como toda frac ao ela n ao pode ter denominador zero.Eporessemotivoquezemosaressalvadequet2,=t1. Portanto, oconceitode velocidade m edia s o existe paraintervalos detempo[t1, t2]que t em algumadurac ao, isto e, com t2 t1 maior do que zero. A durac ao pode ser t ao pequenaquanto se queira, por em jamais nula. Se t2=t1, o intervalo se reduz ao instantet1 e para um unico instante n ao e possvel usar o conceito de velocidade m edia.Pararepresentaravelocidadem ediadapartculanointervalodet1at2,usaremososmbolo vx)[t1, t2] que, deacordocomadenic aodevelocidadem edia, tem o signicado:vx)[t1, t2] =x2x1t2t1(t2 ,= t1) . (3.4)No smbolo vx)[t1, t2], o v signica velocidade e o sub-ndice x, na le-tra v, signica que estamos considerando o movimento no eixo OA. Os smbolos` aesquerdae ), ` adireita, s aocomumenteusadosparasignicarm edia. O[t1, t2] especica que a velocidade m edia est a sendo calculada no intervalo detempo de t1 a t2. Esse e um smbolo muito complicado e para ele valem os mes-moscoment ariosfeitosparaosmbolo dedeslocamentoem(3.2). Napr atica,voc e pode trocar o smbolo vx)[t1, t2] por algo mais simples como, por exemplo,v), deixando implcito o eixo do movimento e o intervalo no qual se calcula avelocidade m edia.E muito comum escrever a denic ao de velocidade m edia (3.4)da maneira simplicada:vx) =xt, (3.5)ondex eodeslocamentoet eotempogastonodeslocamento; comessanotac ao , o intervalo de tempo em que ocorreu o deslocamento ca implcito.45CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoSendo a velocidade m edia a raz ao entre um deslocamento e um intervalo detempo, a sua unidade ser a a raz ao entre as unidades de comprimento e de tempoque forem usadas. Se usamos o metro para os deslocamentos e o segundo para otempo, a unidade de velocidade m edia e o metro por segundo, usualmente escritacomo m/s.Uma vez que a durac ao t2 t1 do intervalo e positiva, a velocidade m edia e positiva se, e somente se, o deslocamento da partcula no intervalo de t1 a t2 epositivo, isto e, se ele ocorre no sentido positivo do eixo OA. Do mesmo modo,a velocidade m edia e negativa se, e somente se, o deslocamento ocorre no sentidonegativo do eixo. Finalmente, o caso de velocidade m edia nula no intervalo t1 a t2corresponde a duas situac oes possveis: ou a partcula ca parada durante todo ointervalo de tempo ou ela se move de modo a voltar ` a mesma posic ao que ocupavano comeco do intervalo.Avelocidadem edianointervalodet1at2 edada, apartir dafunc ao-movimento, por:vx)[t1, t2] =fx(t2) fx(t1)t2t1. (3.6)Do mesmo modo que o deslocamento, a velocidade m edia em um intervalode tempo n ao d a, em geral, informac oes precisas sobre o movimento da partculano intervalo. Na verdade, a velocidade m edia e um bom conceito, principalmentepara nos preparar para o conceito de velocidade instant anea, que abordaremos napr oxima aula.Exemplo 3.3Reconsideremos o primeiro exemplo desta aula e calculemos algumas velocidadesm edias durante os primeiros 20 minutos de treinamento do atleta. Da denic ao develocidade m edia, temos para os 600 segundos iniciais:v)[0, 600] =fx(600) fx(0)600 0=1.500600= 2, 5 m/s .Nos 600 minutos seguintes, temos:v)[600, 1.200] =fx(1.200) fx(600)1.200 600=0 1.500600= 2, 5 m/s .A velocidade m edia na volta tem o mesmo m odulo que a velocidade m ediana ida. Elas t em sinais opostos por um motivo obvio: os respectivos deslocamen-tos t em sentidos opostos.E imediato mostrar ainda que e nula a velocidade m ediano intervalo de tempo[0, 1.200].E claroque ela enula nesse intervalo porqueCEDERJ46Deslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoM ODULO 1 - AULA 3o deslocamento tamb em o e. Para certicar-se de que entendeu os c alculos an-teriores, determine as velocidades m edias do atleta nos intervalos [1.200, 1.800],[1.800, 2.400] e [1.200, 2.400].Exemplo 3.4Considere o movimento de uma partcula descrito pela func ao-movimento: x=fx(t) = t34t, t lR. Podemos extrair da func ao-movimento qualquer informac aosobre o movimento da partcula, em particular, podemos calcular a sua velocidadem edia em qualquer intervalo de tempo que desejarmos. Vamos, no entanto, esco-lher alguns poucos intervalos de tempo e, neles, calcular a velocidade m edia dapartcula para entender que tipo de informac ao ela d a sobre o movimento.No intervalo [2, 1], temos:v)[2, 1] =fx(1) fx(2)1 (2)(3.7)=[(1)34(1)] [(2)34(2)]1 (2)(3.8)=31= 3 m/s . (3.9)Para o intervalo [0, 2], temos:v)[0, 2] =fx(2) fx(0)2 0= 0 m/s .O resultado nulo para a velocidade m edia no intervalo [0, 2] n ao signica,necessariamente, que a partcula tenha permanecido em repouso durante todo esseintervalo. Vamostentardescobrirse, defato, elasemoveunesseintervalodetempo, calculandoasvelocidadesm ediasnasduasmetadesdointervalo[0, 2],isto e, nos intervalos [0, 1] e [1, 2]:v)[0, 1] =fx(1) fx(0)1 0= 3 m/s .v)[1, 2] =fx(2) fx(1)2 1= 3 m/s .Ou seja, na primeira metade do intervalo [0, 2], a partcula tem velocidadem edia negativa e na segunda metade, positiva. Isso mostra que ela se move duranteo intervalo [0, 2], embora tenha nele uma velocidade m edia nula.Esse valor nuloapenas expressa o fato de que no instante nal do intervalo a partcula voltou aocupar a mesma posic ao que tinha no instante inicial.47CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoExemplo 3.5Um estudante em viagem pela estrada Belo Horizonte-Braslia passa por um tre-cho da rodovia que e retilneo e muito longo. Ele observa os marcos quilom etricose registra que em 3 minutos o carro percorre 4 kil ometros e nos 3 minutos seguin-tes percorre mais 3 kil ometros. Ao nal da viagem, ap os um banho reconfortantee um jantar delicioso, ele ca em d uvida se deve sair para farrear ou car em casaestudando fsica. Extremamente esperto, ele decide por estudar fsica e comeca aanalisar os registros da viagem.Em primeiro lugar, eleexpressaos intervalos detempo emhoras. Dessemodo, o primeiro intervalo tem durac ao de t1= 3 minutos= 0, 05 hora, duranteo qual o deslocamento do carro foi x1= 4 quil ometros. O segundo intervalo temdurac ao de t2=0, 05 hora, mas nele o carro sofreu o deslocamento x2=3quil ometros. No primeiro intervalo a velocidade m edia e, portanto,v)1 =x1t1=40, 05= 80 km/h ,enquanto no segundo, e dada por:v)2=x2t2=30, 05= 60 km/h .J a o intervalo inteiro, em que foram feitos os registros, teve a durac ao det =t1+ t2=6 minutos, ou seja, t =0, 10 horas. Nesse intervalo, odeslocamento do carro foi de x = 7 quil ometros. Portanto, no intervalo total, avelocidade m edia foi:v) =xt=70, 10= 70 km/h .Notequeavelocidadem ediaencontradaparaointervalo total eam ediaaritm etica das velocidades m edias nos dois subintervalos de tempo. Essa igual-dade acontece somente porque os subintervalos t em a mesma durac ao, no caso de3 minutos.Para encerrar a prazerosa noite, o estudante se pergunta quanto tempo teriagasto para percorrer os mesmos 7 quil ometros, todo ele com a velocidade m ediados primeiros 3 minutos, isto e, de 80 quil ometros por hora. Ele obt em:t

=780= 0, 0875 hora ,isto e, t

= 5, 25 minutos.E claro que o carro, de fato, gastou mais do que essetempo (gastou 6 minutos), porque a velocidade m edia em todo o percurso foi deCEDERJ48Deslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoM ODULO 1 - AULA 370 quil ometros por hora, que e menor do que a velocidade m edia dos 3 primeirosminutos, isto e, de80quil ometrosporhora. Emcontrapartida, setodosos7quil ometros fossem percorridos com a velocidade m edia dos ultimos 3 minutos,isto e, de 60 quil ometros por hora, o carro teria gasto um tempo maior do que os6 minutos que de fato gastou. Voc e pode mostrar que, nesse caso, teria gasto 7minutos. Ao nal de tantos estudos e reex oes, o estudante resolveu divertir-seum pouco para continuar a viagem no dia seguinte.Exemplo 3.6Em dias de fortes tormentas e difcil n ao parar por alguns minutos para contemplara beleza dram atica dos rel ampagos e trov oes, alternando-se no c eu cinzento.E deconhecimento comum que a luz provocada por um rel ampago chega aos nossosolhos antes do que osom dessemesmo rel ampago chegue aos nossos ouvidos.Sabendo-se a velocidade do som e da luz na atmosfera e contando o tempo entrevermos a luz e ouvirmos o som do rel ampago, e possvel fazermos uma estimativada dist ancia d entre n os e o rel ampago. Vamos fazer essa estimativa calculando adist ancia que o som do trov ao percorre at e atingir nossos ouvidos.Figura 3.7:Rel ampagos em dia de tormenta.Antes de tudo, fazemos a hip otese de que a luz e o trov ao sejam proveni-entes do mesmo lugar. Em condic oes atmosf ericas usuais, a velocidade m edia depropagac ao do som no ar e aproximadamente de vS=340 metros por segundo.J a avelocidade daluz no ar evL=3108metros por segundo. A dist anciaque o som percorre at e nossos ouvidos e igual ` a dist ancia que percorre at e o ins-tanteemque aluz atingenossos olhos, somada` adist ancia quepercorredesdeesse instante at e o instante em que o pr oprio som chega aos nossos ouvidos. Aprimeira dist ancia e desprezvel em comparac ao` a segunda, pois a velocidade daluz e muitas ordens de grandeza superior ` a do som (estime voc e mesmo quantas49CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneovezes). Resta-nos, pois, calcular a segunda dist ancia, que nos d a:d vS t ,onde t e o intervalo de tempo entre vermos a luz e ouvirmos o somdo rel ampago.Por exemplo, se ap os percebermos o clar ao provocado por um raio o som dotrov ao demorar 3 segundos para chegar aos nossos ouvidos, esse rel ampago ter aocorrido a uma dist ancia de n os de aproximadamente 3403=1.020 metros.Caso o tempo observado entre o clar ao e o som do rel ampago seja de 0, 5 segundo,a dist ancia ter a sido de 340 0, 5 = 170 metros.Comessemodelosimplicado, nospr oximosdiasdetormenta, al emdeapreciar esse espet aculo da natureza, voc e tamb emser a capaz de fazer seus pr opri-os c alculos e avaliar a que dist ancias de voc e estar ao ocorrendo os rel ampagos.Movimento retilneo uniformeVamos considerarnestasec aoo unicotipodemovimento que eperfeita-mentedescritopeloconceitodevelocidadem edia.Eochamadomovimentouniforme: aquele no qual a velocidade m edia tem o mesmo valor em qualquerintervalo de tempo (intervalo com alguma durac ao, e claro, caso contr ario n ao es-taramosfalandoemvelocidadem edia). Lembre-sequeestamosconsiderandonestecaptuloapenasmovimentosretilneos, demodoqueomovimentouni-forme que mencionamos e tamb em retilneo. Portanto, estamos nos referindo aochamado movimento retilneo uniforme, comumente abreviado por MRU. Pordenic ao, ele e o movimento em linha reta no qual a velocidade m edia e a mesmaem qualquer intervalo de tempo. Usaremos o conceito de velocidade m edia paraexplorar as caractersticas desse movimento. A velocidade m edia tem o mesmovalor emqualquer intervalo detempo evamos representaressevalor constantesimplesmente por v. Temos ent ao para a velocidade m edia em qualquer intervalo[t1, t2]:vx)[t1, t2] = v . (3.10)Usando a denic ao (3.4) de velocidade m edia, obtemos:x2x1t2t1= v , (3.11)onde, naturalmente, x1 e x2 s ao as respectivas posic oes da partcula nos instantest1 e t2. J a que essa f ormula vale para qualquer intervalo, vamos tomar o intervalono qual o instante inicial e t1= 0 e o instante nal e um instante qualquer duranteCEDERJ50Deslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoM ODULO 1 - AULA 3o movimento. Vamos chamar esse instante nal simplesmente de t, de tal modoque t2=t e o intervalo em quest ao e representado por [0, t]. Para esse intervalo,a equac ao (3.11) toma a forma:x x0t 0= v , (3.12)onde, naturalmente, x0 e a posic ao da partcula no instante 0 e x e a sua posic aono instante t. A posic ao x0, no instante xo t0, e chamada de posic ao inicial. Daequac ao anterior, obtemos:x = x0 +v t . (3.13)Sesoubermos aposic aox0dapartcula no instante inicial eovalorvdavelocidade m edia, essa equac ao permite encontrar a posic ao da partcula em qual-querinstantetquedesejarmos. Essaequac ao(3.13) d a, naverdade, afunc ao-movimento do MRU cuja velocidade m edia e v e cuja posic ao no instante 0 e x0.A func ao-movimento fx de qualquer MRU tem, portanto, a forma:fx(t) = x0 +v t . (3.14)Comox=fx(t) eclaroque(3.13)e(3.14)s aoequac oesperfeitamenteequivalentes, de modo que podemos chamar a relac ao entre t e x dada em(3.13) defunc ao-movimento. A func ao-movimento e especicada na forma (3.14), princi-palmente para explorar os conceitos fundamentais sobre o movimento. Na pr atica e mais conveniente trabalhar com equac oes como a (3.13).Para obter (3.13) e (3.14), escolhemos o instante inicial como sendo zero.Poderamos ter escolhido qualquer outro instante xo para ser o inicial, digamos,um instante t0. Consideremos ent ao que a partcula esteja emx0 no instante inicialt0 e que no instante arbitr ario t ela tenha posic ao x.Nesse caso, a f ormula (3.11)nos fornece a func ao-movimento:x = x0 +v (t t0) . (3.15)E claro que essa func ao-movimento se reduz` a anterior (3.13) no caso daescolha t0=0. A func ao-movimento na forma (3.15) e util na an alise de v ariassituac oes, mas nessa sec ao n ao teremos necessidade dela; vamos continuar a usara func ao-movimento na forma (3.13).Dada a func ao-movimento (3.13), podemos, e claro, obter qualquer infor-mac ao que quisermos sobre o MRU que ela descreve. Vamos ent ao explorar essetipo de movimento, usando (3.13). Consideremos primeiramente o caso em que avelocidade m edia e nula: v=0. A func ao-movimento (3.13) mostra que, nesse51CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneocaso, a partcula est a em repouso (na posic ao x0).E claro que isso e uma trivia-lidade no caso do MRU, mas devemos nos lembrar que no caso de outros movi-mentos uma velocidade m edia nula em um intervalo de tempo n ao implica que apartcula tenha permanecido em repouso durante esse intervalo, como foi discu-tido anteriormente. Suponhamos agora que a velocidade m edia seja maior do quezero: v>0. Nesse caso, o deslocamento em qualquer intervalo de tempo [t1, t2] e dado por:x2x1= v (t2t1) , (3.16)conforme pode ser vericado usando a func ao-movimento (3.13). Sendo t2 t1positivo e v positiva, o deslocamento x2x1 e sempre positivo. Como o intervaloem quest ao e arbitr ario, conclumos que qualquer deslocamento no MRU se pro-cessa no sentido positivo se a velocidade m edia e positiva. De modo semelhante,conclumos que qualquer deslocamento no MRU e negativo se a velocidade m edia e negativa.Lembremo-nos que o m odulo |x|de um n umero real x e igual a xse x e positivo ou nulo e e igual ax se x e negativo; dessamaneira o m odulo de um n umerojamais e negativo.Em suma: todos os deslocamentos em um dado MRU t em o mesmo sentido,ou s ao sempre positivos, ou s ao sempre negativos. Em qualquer MRU a partculanunca inverte o sentido do movimento, de modo a retornar a um ponto pelo qualj a tenha passado.Uma vez que no MRU os deslocamentos n ao mudam de sentido, o m odulododeslocamento emumintervalo detempo eigual ` adist anciapercorridapelapartcula nesse intervalo. Temos de falar em m odulo porque no caso de velocidadem edia negativa o deslocamento e sempre negativo e torna-se necess ario tomar oseu m odulo para obter a dist ancia percorrida.Ox2x1 Adist ancia = [x2x1[Figura 3.8:Em um deslocamento negativo, tanto como em um positivo, a dist ancia percorrida e positiva.CEDERJ52Deslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoM ODULO 1 - AULA 3A Figura 3.8 mostra um deslocamento negativo, de x1para x2(x2< x1). Nesse caso, o deslocamento x2x1 e um n umero negativo, enquantoa dist ancia percorrida e o n umero positivo [x2x1[.Voc e n ao estaria longe daverdade se dissesse que oconceito de m odulo de umn umero real foi inventado paratratar situac oes desse tipo.Lembremo-nosqueaigualdadeentreom odulododeslocamentoemumcertointervalodetempoeadist anciapercorridanesseintervalon ao esempreverdadeira para qualquer tipo de movimento, como discutimos acima.Ela ocorrepara o MRU e para outros movimentos que se processam sem mudar o sentido.Tomemos agora dois intervalos, [t1, t2] e [t

1, t

2], com durac oes iguais:t

2t

1= t2 t1.Usando a func ao-movimento (3.13), ou simplesmente o fato de queno MRU a velocidade m edia e a mesma em qualquer intervalo de tempo, obtemos:x

2x

1t

2t

1=x2x1t2t1, (3.17)ondex2 x1 eodeslocamento no intervalo[t1, t2] ex

2 x

1, o deslocamentono intervalo [t

1, t

2]. Usando o fato de que as durac oes dos intervalos s ao iguais,obtemos da equac ao anterior que os respectivos deslocamentos s ao iguais:x

2x

1= x2x1. (3.18)Dessa equac ao conclumos que, em intervalos de tempo com a mesma dura-c ao,a partcula em MRU percorre dist ancias iguais. Essa propriedade costumaser enunciada na seguinte forma:no MRU a partcula percorre dist ancias iguaisem tempos iguais (tempos a signica, e claro, durac oes de intervalos).Vamos nalizar esse estudo do MRU comparando dois movimentos retilne-os uniformes com velocidades m edias diferentes. Para simplicar a an alise, va-mos considerar as duas como positivas, mas se consider assemos outras situac oes,obteramos as mesmas conclus oes. Sejam os movimentos das duas partculas da-dos pelas func oes-movimento:x = x0 +v t e x

= x

0 +v

t , (3.19)com a condic ao:v

> v . (3.20)53CEDERJDeslocamento e velocidade m edia no movimento retilneoA posic ao da partcula de menor velocidade m edia e representada porx esua posic ao inicial por x0.J a a posic ao da partcula de maior velocidade m edia erepresentada por x

e sua posic ao inicial por x

0.Primeiramente, vamos compararos deslocamentos das partculas em um dado intervalo de tempo [t1, t2]. Usando(3.19), obtemos que a raz ao entre eles e dada por:x

2x

1x2x1=v

(t2t1)v (t2t1)=v

v. (3.21)Sendo v

>v, conclumos que v

/v>1 e, conseq uentemente, obtemos daequac ao (3.21) que a partcula de maior velocidade sofre o maior deslocamento.Como estamos considerando que os movimentos s ao do tipo MRU, podemos di-zer que a partcula de maior velocidade percorre uma dist ancia maior. Podemosent ao enunciar esse resultado do seguinte modo: a dist ancia percorrida por umapartcula em MRU, em um dado intervalo de tempo, e tanto maior quanto maiorfor a sua velocidade m edia.Vamos agora comparar o tempo gasto pelas duas partculas para percorreruma mesma dist ancia. Como estamos considerando que os movimentos s ao dotipo MRU, a igualdade das dist ancias percorridas e dada por x

2 x

1=x2 x1.Sejam t1 e t2 os respectivos instantes inicial e nal do deslocamento da primeirap