132

137

4 Solucionador Iterativo Proposto

41 Introduccedilatildeo

Apoacutes terem sido apresentados nos capiacutetulos anteriores os fundamentos

necessaacuterios para a compreensatildeo das caracteriacutesticas do problema este capiacutetulo

descreve o solucionador iterativo proposto para resolver o subproblema linear

esparso associado ao meacutetodo de Newton-Raphson do problema de fluxo de

carga O solucionador eacute desenvolvido buscando agregar eficiecircncia e robustez

evitando as limitaccedilotildees das teacutecnicas numeacutericas analisadas nos capiacutetulos

anteriores

A fim de atingir as metas acima eacute proposto um preacute-condicionador baseado no

algoritmo de Doolittle (Bodewig 1956 Wilkinson 1965 Dahlquist amp Bjoumlrk 1974

Hoffman 2001) denominado deste ponto em diante de ILU(ξ) Aliado ao preacute-

condicionador tambeacutem se propotildee uma regra de preenchimento baseada no erro

resultante apoacutes o descarte de elementos explorando certas caracteriacutesticas do

meacutetodo de Doolittle visando facilitar o caacutelculo do referido erro

Consequumlentemente a regra pode decidir eficientemente se um dado elemento

em ambos os fatores triangulares L e U deve ser preenchido ou descartado

Neste capiacutetulo tambeacutem eacute proposto um meacutetodo para ajuste dos valores dos

paracircmetros dos solucionadores iterativos O meacutetodo permite identificar intervalos

de valores permissiacuteveis para cada um dos paracircmetros visando garantir a

robustez e melhorar o desempenho do solucionador

42 O Estado da Arte dos Solucionadores de Sistemas Lineares

Um solucionador eacute um termo geneacuterico associado a um programa computacional

que soluciona um problema matemaacutetico Dentro deste contexto um solucionador

de sistemas de equaccedilotildees lineares eacute um programa computacional que inclui um

133

137

meacutetodo numeacuterico de soluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees lineares (direto ou

iterativo) e estrateacutegias numeacutericas desenvolvidas para melhorar seu desempenho

computacional

421 Solucionadores Diretos

Embora o estudo e avaliaccedilatildeo dos meacutetodos diretos natildeo seja um dos objetivos

desta tese existe a necessidade de adotar um solucionador direto para realizar

comparaccedilotildees com o solucionador iterativo que estaacute sendo proposto aqui Na

Tabela 41 apresenta-se uma siacutentese das principais caracteriacutesticas dos

solucionadores diretos mais usados em diversas aacutereas da engenharia e da

ciecircncia Como se pode observar na primeira coluna satildeo listados os nomes dos

solucionadores na segunda o tipo de meacutetodo direto adotado pelo solucionador

na terceira os tipos de reordenamento da matriz de coeficientes adotados pelo

solucionador e finalmente na uacuteltima coluna satildeo listadas as referecircncias para

cada solucionador nas quais pode-se obter maiores detalhes

Pode-se afirmar que existem basicamente 4 grandes categorias de meacutetodos

diretos usados nos solucionadores conhecidos como atualizaccedilatildeo imediata (right-

looking) atualizaccedilatildeo retrasada (left-looking) meacutetodo supernodal meacutetodo

multifrontal ou combinaccedilotildees destes Pode-se dizer tambeacutem que a maioria utiliza

o conjunto de sub-rotinas BLAS disponibilizada por (Dongarra et al 1990) para

realizar as principais operaccedilotildees esparsas de aacutelgebra linear (vetor matriz-vetor e

matriz-matriz)

Os solucionadores realizam fatoraccedilotildees do tipo LU sendo que o SPARSPAK e os

solucionadores do Matlab podem tambeacutem realizar fatoraccedilotildees do tipo QR Todos

os solucionadores satildeo capazes de operar com matrizes simeacutetricas e natildeo-

simeacutetricas Os meacutetodos de reordenamento disponiacuteveis satildeo do tipo grau miacutenimo

(minimum degree) e variantes como o miacutenimo preenchimento (minimum fill) grau

miacutenimo por colunas (column minimum degree) Markowitz e outros tambeacutem satildeo

considerados o reordenamento por divisatildeo encaixadauacutenico-sentido (nestedone-

way dissection) permutaccedilotildees por blocos triangulares e de reduccedilatildeo de largura de

banda como o conhecido Cuthill Mckee reverso RCM (Reverse Cuthill Mckee)

134

137

Tabela 41 ndash Caracteriacutesticas baacutesicas dos solucionadores diretos mais usados

Solucionador Tipo de Meacutetodo Direto Estrateacutegias

Implementadas Referecircncia

MA28 Atualizaccedilatildeo imediata

Markowitz Miacutenimo grau

e Bloco triangular (Duff amp Reid 1979)

SPARSPAK Atualizaccedilatildeo retrasada Miacutenimo grau

Divisatildeo encaixada e Cuthill Mckee reverso

(George amp Liu 1981)

Solucionadores de MATLAB

Vaacuterios Miacutenimo grau

Bloco triangular e Cuthill Mckee reverso

(Gilbert et al 1992)

MA48 Atualizaccedilatildeo retrasada Miacutenimo grau

Bloco triangular (Duff amp Reid 1996)

SuperLU Atualizaccedilatildeo retrasada

Supernodal Miacutenimo grau (Demmel et al 1999)

SuperLU _DIST Atualizaccedilatildeo imediata

Supernodal Miacutenimo grau (Li amp Demmel 2003)

PARDISO Atualizaccedilatildeo

imediataretrasada Supernodal

Miacutenimo grau e Divisatildeo encaixada

(Schenk amp Gartner 2001)

WSMP Multifrontal Miacutenimo grau

Divisatildeo encaixada e Bloco triangular

(Gupta 2002)

Solucionadores de Mathematica

Vaacuterios Miacutenimo grau

Divisatildeo encaixada e Bloco triangular

(Wolfram 2003)

UMFPACK Multifrontal Miacutenimo grau

e Escalonamento (Davis 2004)

Nestes solucionadores os aspectos a serem levados em consideraccedilatildeo para

desenvolver os algoritmos complexos heuriacutesticas e estrateacutegias apresentadas na

Tabela 41 basicamente satildeo a geraccedilatildeo do menor nuacutemero de elementos natildeo-

nulos possiacutevel durante o processo de fatoraccedilatildeo e tambeacutem a conservaccedilatildeo da

estabilidade numeacuterica mediante as estrateacutegias de reordenamento e

monitoramentoeleiccedilatildeo dos elementos pivocircs respectivamente

Neste trabalho o solucionador MA28 representaraacute os solucionadores diretos

quando realizadas as comparaccedilotildees de desempenho com o solucionador iterativo

proposto nesta tese Este solucionador foi escolhido principalmente porque

permite calcular o nuacutemero de operaccedilotildees de ponto flutuante pela facilidade para

ser acondicionado dentro do programa de fluxo de carga pela disponibilidade

135

137

total do coacutedigo do solucionador em linguagem FORTRAN e desempenho similar

a outros solucionadores diretos O MA28 permuta tanto linhas como colunas na

matriz de coeficientes A utilizando duas matrizes P e Q Este solucionador usa

principalmente as estrateacutegias de Markowitz e miacutenimo grau visando manter as

propriedades esparsas e o controle da perda da exatidatildeo devido aos erros de

arredondamento (Duff amp Reid 1979) Ambas as estrateacutegias satildeo executadas de

forma dinacircmica durante o processo de fatoraccedilatildeo (PmiddotAmiddotQ = LmiddotU)

No proacuteximo capiacutetulo satildeo usados dois programas computacionais ndash ANAREDE e

ORGANON (Chaves 2008 Jardim amp Stott 2005 CEPEL 2007) para validar os

resultados dos experimentos numeacutericos e realizar comparaccedilotildees principalmente

em termos de robustez e eficiecircncia computacional O ORGANON eacute um sistema

utilizado para avaliaccedilatildeo da seguranccedila de redes eleacutetricas de potecircncia que

emprega computaccedilatildeo de alto desempenho utilizando teacutecnicas numeacutericas

avanccediladas algoritmos especializados arquitetura construtiva flexiacutevel e

processamento distribuiacutedo (Chaves 2008) No ORGANON o problema de fluxo

de carga eacute solucionado de duas formas usando-se os modelos estaacuteticos da rede

eleacutetrica e o algoritmo de Newton-Raphson ou usando-se modelos dinacircmicos da

rede eleacutetrica e o meacutetodo de dinacircmica sinteacutetica (Jardim amp Stott 2005) Em

(Chaves 2008) satildeo feitas diversas e diferentes aplicaccedilotildees com este programa

em estudos de fluxo de potecircncia atraveacutes do meacutetodo convencional de Newton-

Raphson completo ou com o meacutetodo de Fluxo de Potecircncia de Dinacircmica Sinteacutetica

(FPDS) Este uacuteltimo obteacutem a soluccedilatildeo para o problema de fluxo de potecircncia (caso

essa exista) mesmo para casos em que os meacutetodos convencionais falhem e

ainda apenas soluccedilotildees estaacuteveis

Jaacute o programa de anaacutelise de redes (ANAREDE ndash versatildeo 090403) eacute um conjunto

de aplicaccedilotildees computacionais algoritmos e meacutetodos eficientes adequados agrave

realizaccedilatildeo de estudos nas aacutereas de operaccedilatildeo e de planejamento de sistemas

eleacutetricos de potecircncia No ANAREDE a soluccedilatildeo das equaccedilotildees da rede eleacutetrica eacute

realizada pelo algoritmo Newton-Raphson e o reordenamento da matriz

Jacobiana para preservar a esparsidade eacute efetuado utilizando a teacutecnica MD

(CEPEL 2007)

136

137

422 Solucionadores Iterativos Aplicados em Problemas de Sistemas de Energia Eleacutetrica

Na Tabela 42 apresenta-se uma siacutentese do estado da arte dos solucionadores

iterativos quando aplicados ao problema de fluxo de carga A maior parte das

informaccedilotildees associadas com os meacutetodos iterativos e estrateacutegias de preacute-

condicionamento de cada um destes solucionadores jaacute foi apresentada nas

seccedilotildees 241 242 e 34 dos capiacutetulos anteriores Algumas informaccedilotildees

associadas com outras estrateacutegias e teacutecnicas numeacutericas consideradas em

alguns destes solucionadores e que ainda natildeo foram mencionadas satildeo

apresentadas nas uacuteltimas duas colunas da Tabela 42 sendo estas

Em (Flueck e Chiang 1998) combina-se a teacutecnica de reordenamento RCM com

o meacutetodo GMRES e o preacute-condicionador fixo FastD Todas as simulaccedilotildees foram

realizadas usando RCM e um sistema de 8027 barras sendo o solucionador

proposto 50 mais raacutepido que o tradicional solucionador direto de fatoraccedilatildeo LU

Em (Dag e Semlyen 2003) o solucionador proposto usa teacutecnicas de

escalonamento na matriz Brsquo do meacutetodo desacoplado raacutepido obtendo-se bons

resultados em termos de robustez Poreacutem em (de Leon 2003) a proposta de

Dag eacute fortemente criticada pelo uso dos meacutetodos desacoplados junto aos

meacutetodos iterativos

Em (Pessanha et al 2009) avaliam-se os efeitos do reordenamento RCM e da

teacutecnica de maacuteximo produto transversal com escalonamento na qualidade do preacute-

condicionador ILUT(τρ) quase-fixo Os resultados mostram que este tipo de

preprocessamento da matriz Jacobiana melhora significativamente a qualidade

do preacute-condicionador consequentemente a robustez do solucionador

Nas uacuteltimas linhas da Tabela 42 apresentam-se as caracteriacutesticas baacutesicas do

solucionador proposto nesta tese destacando-se o preacute-condicionador ILU(ξ) com

regra de preenchimento baseada no erro Nas proacuteximas seccedilotildees todos os

componentes do solucionador proposto satildeo tratados com maiores detalhes

137

137

Tabela 42 ndash Caracteriacutesticas dos solucionadores iterativos usados em aplicaccedilotildees de fluxo de carga

Autor Ano Meacutetodo

Iterativo

Estrateacutegias Usadas

Preacute-condicionador Regra de Eliminaccedilatildeo Reordenamento Escalonamento

Galiana 1994 GConjugado Cholesky Incomp M=Lrsquo∙LrsquoT(0) Sem novos elementos natildeo-nulos mdash mdash

Mori 1996 Tchebychev Cholesky Incompleto Sem novos elementos natildeo-nulos mdash mdash

Semlyen 1996 GMRES(m) mdash mdash mdash mdash

Borges 1996(97) BiCGStab M = L∙U da primeira Iteraccedilatildeo mdash mdash mdash

Pai 1997 GMRES ILU(k) Niacutevel de novos elementos natildeo-nulos mdash mdash

Flueck 1998 GMRES(m) FastD M = Brsquo mdash RCM mdash

Alves 1999 GConjugado Cholesky completo mdash MD MST mdash

De Leoacuten 2002 BiCGStab GMRES QMR CGS BiCG + ILU() Com paracircmetro limitante

limitante

mdash mdash

Dag 2003 GConjugado Aproximaccedilatildeo da Inversa Polinocircmio de Chebyshev mdash D1∙Brsquo∙D2

Chen 2006 GMRES(m) Aprox da Inversa Adaptativa mdash mdash mdash

Mori 2007 BiCGStab ILU(k) Niacutevel de novos elementos natildeo-nulos mdash mdash

Pessanha 2009 GMRES ILUT( ρ) quase-fixo

Duplo paracircmetro limitante e ρ RCM mdash

Khaitan 2010 GMRES M = L∙U Multifrontal quase-fixo mdash RCM mdash

Solucionador Proposto GMRES ILU(ξ) Baseada no Erro MD mdash

138

137

43 Solucionador Iterativo Para Fluxo de Carga

O solucionador desenvolvido eacute composto basicamente pelo meacutetodo iterativo de

subespaccedilos de Krylov GMRES (vide Capiacutetulo 2) e pela estrateacutegia de preacute-

condicionamento de fatoraccedilatildeo incompleta ILU(ξ) com suporte da teacutecnica de

reordenamento Miacutenimo Grau (MD) A estrateacutegia de reinicializaccedilatildeo GMRES(m)

(apresentada em 26) usada para limitar o tamanho dos subespaccedilos de Krylov a

um valor maacuteximo ―m natildeo faz parte do solucionador uma vez que a estrateacutegia

de preacute-condicionamento forccedila a convergecircncia do GMRES em poucas iteraccedilotildees

lineares (uma ou duas iteraccedilotildees) Portanto jaacute que poucas iteraccedilotildees estatildeo

associadas a subespaccedilos pequenos entatildeo natildeo eacute necessaacuterio estabelecer um

valor maacuteximo ―m

Nesta tese adota-se a teacutecnica de reordenamento MD porque a mesma acarreta

a reduccedilatildeo significativa do nuacutemero de novos elementos natildeo-nulos gerados

reduzindo o esforccedilo computacional realizado para construir e usar o preacute-

condicionador Alem disso este tipo de reordenamento aumenta a taxa de

convergecircncia do meacutetodo iterativo GMRES O solucionador eacute denominado de

GMRES+ILU(ξ)+MD e foi implementado em um programa computacional de

fluxo de carga desenvolvido em linguagem Fortran da forma apresentada no

fluxograma da Figura 41 Seus componentes estatildeo destacados na cor vermelha

numerados por algarismos romanos na mesma ordem em que satildeo aplicados

Observa-se que antes de iniciadas as iteraccedilotildees Newton-Raphson eacute calculada a

sequumlecircncia de reordenamento usando-se a teacutecnica MD matematicamente

representada pela matriz de permutaccedilotildees P Na praacutetica eacute gerado um vetor com

a sequumlecircncia de reordenamento que permitiraacute montar a matriz Jacobiana jaacute

reordenada em cada iteraccedilatildeo k do algoritmo Newton-Raphson Esse vetor

tambeacutem eacute usado para reordenar os resiacuteduos de potecircncia ativa e reativa

armazenados no vetor bk Cada vez que o teste de convergecircncia do algoritmo

Newton-Raphson natildeo for satisfeito uma nova matriz Jacobiana reordenada eacute

montada A partir das informaccedilotildees da matriz Jacobiana reordenada a estrateacutegia

de preacute-condicionamento ILU(ξ) constroacutei um preacute-condicionador Mk que em

seguida seraacute usado para obter explicitamente o novo sistema linear preacute-

condicionado (41) a ser solucionado pelo meacutetodo iterativo GMRES Finalmente

139

137

as incoacutegnitas satildeo atualizadas em (42) O procedimento eacute repetido ateacute que o

teste de convergecircncia do algoritmo Newton-Raphson seja satisfeito

1 T 1k k kM P J P x M P b (41)

T

k 1 k

v vP x

(42)

Figura 41 ndash Fluxograma do Solucionador Iterativo para o problema de fluxo de carga

O programa de fluxo de carga modela as barras de acordo como seu tipo (PQ

PV e de referecircncia) as linhas de transmissatildeo transformadores e

140

137

transformadores defasadores satildeo representados pelos seus circuitos ᴨ

equivalentes Os tapes variaacuteveis sob carga podem ainda ter a atuaccedilatildeo contiacutenua

ou discreta As cargas das barras satildeo normalmente modeladas como potecircncias

ativa e reativa constantes ou podem ser expressas como uma funccedilatildeo da

magnitude da tensatildeo da barra Natildeo satildeo modelados elos de corrente contiacutenua

No algoritmo de fluxo de carga consideram-se o controle de variaccedilatildeo automaacutetica

de tape e os limites de geraccedilatildeo de potecircncia reativa

44 Regra de Preenchimento Baseada no Caacutelculo do Erro Associado ao Elemento Descartado

Uma forma simples de estimar o erro total R originado pelos elementos

descartados devido agraves regras de preenchimento da fatoraccedilatildeo incompleta eacute

usando-se (310) (Mori et al 1996 Saad 2003) Nesta equaccedilatildeo o produto dos

fatores triangulares incompletos eacute igual ao preacute-condicionador M e o produto dos

fatores triangulares completos eacute igual agrave matriz de coeficientes A como mostrado

em (311) Desta forma o erro R permite vislumbrar quatildeo diferente se tornou

o preacute-condicionador em relaccedilatildeo aos fatores triangulares completos apoacutes o

descarte de seus elementos

Um preacute-condicionador sem regra de preenchimento efetua completamente o

caacutelculo dos fatores triangulares Neste caso o preacute-condicionador M se iguala agrave

matriz de coeficientes (M = L∙U = A) o que resulta na convergecircncia do meacutetodo

GMRES em uma uacutenica iteraccedilatildeo com erro R nulo Poreacutem o nuacutemero de

operaccedilotildees de ponto flutuante ainda eacute consideraacutevel Para se obter esta reduccedilatildeo eacute

necessaacuterio usar uma regra de preenchimento que descarte o maior nuacutemero de

elementos nos fatores triangulares e sem que isso provoque o aumento do erro

R consequumlentemente afetando o desempenho do GMRES

R A M (43)

R L U L U (44)

Como exemplo na Figura 36 satildeo apresentados dois graacuteficos que ilustram como

os erros produzidos pelo descarte dos fatores triangulares natildeo-nulos podem se

alastrar ateacute em posiccedilotildees de elementos jaacute preenchidos O experimento foi

141

137

apresentado na seccedilatildeo 332 do capiacutetulo anterior para o sistema brasileiro de

3513 barras usando-se o preacute-condicionador ILU(0) para o caacutelculo dos fatores

incompletos No graacutefico da Figura 36(a) mostra-se que 8797 dos elementos

do preacute-condicionador M (83078) satildeo distintos dos encontrados na matriz

Jacobiana O graacutefico do erro em 42(b) permite se ter uma ideacuteia da dimensatildeo

destas diferenccedilas Dos 38738 elementos com erros entre 0 e 001 (pontos

azuis) 11360 tecircm erro igual a zero (elementos idecircnticos) e 27378 tecircm erros

menores que 001 Os erros nesta faixa de valores normalmente natildeo prejudicam

a convergecircncia do GMRES

As outras faixas de valores associadas aos pontos de cores verde amarelo e

vermelho normalmente prejudicam a convergecircncia do GMRES Esses erros

devem ser evitados e satildeo gerados quando alguns elementos importantes satildeo

descartados durante a fatoraccedilatildeo ILU(0) O maior erro provocado entre os

elementos de M e da Jacobiana eacute de 401931 e o erro total para este preacute-

condicionador eacute de 10632middot105 (norma de Frobenius) Para evitar que os erros

se propaguem enquanto eacute realizada a fatoraccedilatildeo eacute necessaacuterio calcular o erro

associado a cada elemento dos fatores triangulares antes de seu preenchimento

ou descarte Este erro deve tambeacutem considerar os erros propagados nos

caacutelculos futuros onde o elemento seja requerido Se este valor for zero ou

proacuteximo de zero entatildeo o elemento pode ser descartado caso contraacuterio deve ser

preenchido

a) Produto dos fatores incompletos (LrsquoUrsquo) do preacute-condicionador ILU(0)

b) Matriz R para o preacute-condicionador ILU(0)

Figura 42 ndash Erros produzidos pela regra de preenchimento com o preacute-condicionador ILU(0) para a matriz Jacobiana do sistema brasileiro de 3513 barras

142

Sejam L e U os fatores triangulares completos Lrsquo e Ursquo os fatores triangulares

incompletos apoacutes o descarte de um uacutenico elemento Lik o elemento descartado

em Lrsquo e Uki o elemento descartado em Ursquo (Lik = 0 ou Uki = 0) Usando a equaccedilatildeo

(311) (Mori et al 1996 Saad 2003 Benzi et al 1999b Benzi 2002) eacute possiacutevel

calcular o erro associado ao elemento Lik (45) e o erro associado ao elemento

Uki (46) Como mencionado anteriormente esses erros permitem ter uma ideacuteia

de quatildeo diferente se torna o preacute-condicionador M dos fatores triangulares

completos apoacutes os elementos Lik e Uki serem descartados Como os erros estatildeo

associados a um uacutenico elemento descartado as equaccedilotildees (45) e (46) podem

ser reescritas como em (47) e (48) respectivamente

R = L U - L Usdot sdot (45)

R = L U - L Usdot sdot (46)

)ik(LR = (L -L) Usdot (47)

)ik(UR = L (U-U)sdot (48)

Verifica-se que tanto a matriz diferenccedila (L-Lrsquo) como tambeacutem (U-Ursquo) possuem

apenas um elemento natildeo nulo Lik (descartado em Lrsquo) e Uki (descartado em Ursquo)

respectivamente como apresentado em (49) e (410)

ik

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

L L =

0 0 0 0 0

0 0 L 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( - )

⋮ ⋱

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

⋯ ⋯ ⋯

(49)

143

ki

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 U 0 0

0 0 0 0 0

(U - U) =

0 0 0 0

0 0 0

0 0

0

⋯ ⋯ ⋯

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯

⋯

⋯

⋱ ⋮

(410)

Pela substituiccedilatildeo de (49) e (410) nos produtos (L-Lrsquo)middotU como Lmiddot(U-Ursquo) resulta

em (411) e (412)

ik kk ik kk+1 ik ki ik kn

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

L - L) U =

0 0 0 0 0 0

0 0 L U L U L U L U

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

(

sdot

sdot sdot sdot sdot

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

(411)

ki

k+1k ki

ik ki

nk ki

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 U 0 0

L (U - U) = 0 0 L U 0 0

0 0 L U 0 0

0 0 L U 0 0

sdot sdot

sdot

sdot

⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯

(412)

Conforme mencionado no capiacutetulo anterior uma das dificuldades para propor

uma regra de preenchimento estaacute em se reduzir o nuacutemero de operaccedilotildees

associadas com sua execuccedilatildeo dentro do algoritmo de preacute-condicionamento

144

Neste trabalho propotildee-se usar a norma-1 em (47) para o caacutelculo do erro

associado a um elemento de L e a norma-infin em (48) para o caacutelculo do erro

associado a um dado elemento de U como apresentado em (413) e (414) As

referidas normas aproveitam a estrutura das matrizes (411) e (412) evitando-se

a realizaccedilatildeo de operaccedilotildees adicionais sendo requeridas ao inveacutes disto apenas

comparaccedilotildees entre elementos Portanto substituindo (411) em (413) e (412)

em (414) e calculando-se as normas satildeo obtidas as equaccedilotildees (415) e (416)

que devem ser usadas na regra de preenchimento

)1ik(LR = (L -L) Usdot (413)

ki(U )R = L (U-U) infinsdot (414)

ik ik km(L )R = L max U m = [kn]sdot (415)

ki ki mk(U )R U max 1 L m=[k+1n]= sdot (416)

Na Figura 43 satildeo destacados em vermelho todos os elementos dos fatores

triangulares que satildeo requeridos para calcular o erro produzido quando o

elemento Lik (no quadrado) eacute descartado Jaacute na Figura 44 satildeo destacados em

azul todos os elementos necessaacuterios para calcular o erro produzido quando o

elemento Uki (encerrado no quadrado) eacute descartado Observa-se que para que

esta regra possa ser implementada tanto no fator triangular U como em L o

algoritmo de fatoraccedilatildeo deve ser capaz de calcular os elementos Ukk Ukk+1

Ukn (em vermelho) antes de decidir se o elemento Lik deve ser preenchido ou

descartado Semelhantemente deve ser capaz de calcular os elementos Lk+1k

Lnk (em azul) antes de decidir se o elemento Uki deve ser preenchido ou

descartado

145

Figura 43 ndash Elementos necessaacuterios para calcular o erro associado ao elemento Lik

Figura 44 ndash Elementos necessaacuterios para calcular o erro associado ao elemento Uki

45 Adequaccedilatildeo da Regra Baseada no Erro

Nesta seccedilatildeo a regra de preenchimento baseada no erro eacute adequada para ser

usada no preacute-condicionador ILUT(τρ) analisado no capiacutetulo anterior O preacute-

condicionador resultante seraacute chamado de preacute-condicionador de duplo

paracircmetro limitante ILUT(ξτ) Neste preacute-condicionador natildeo eacute mais necessaacuterio

usar o paracircmetro ρ

Conforme visto no Capiacutetulo 3 o algoritmo de fatoraccedilatildeo usado neste preacute-

condicionador eacute o IKJ e deriva da eliminaccedilatildeo de Gauss (Saad 2003) Este tipo

de algoritmo permite calcular os elementos Ukk Ukk+1 Ukn antes de decidir se

o elemento Lik deve ser preenchido ou descartado Poreacutem o algoritmo IKJ natildeo

permite calcular os elementos Lk+1k Lnk antes de decidir se o elemento Uki

deve ser preenchido ou descartado porque no mesmo os elementos de L e U

146

satildeo calculados por linhas uma de cada vez Portanto a regra baseada no erro

pode ser aplicada apenas nos elementos do fator L enquanto que uma variante

da regra convencional usada no ILUT(τρ) eacute usada para os elementos de U

O caacutelculo da norma-2 usada na regra de preenchimento convencional dada pela

raiz quadrada da soma dos quadrados dos elementos da linha pode exigir

consideraacutevel esforccedilo computacional dependendo da dimensatildeo da matriz de

coeficientes Portanto ao inveacutes de se usar esta norma para descartar os

elementos em U recomenda-se realizar a meacutedia aritmeacutetica dos elementos da i-

eacutesima linha da matriz de coeficientes original Este procedimento reduz o nuacutemero

de operaccedilotildees de ponto flutuante sem comprometer a qualidade do preacute-

condicionador No entanto a eficiecircncia de ambas as heuriacutesticas eacute inferior agrave da

regra baseada no erro para preenchimento dos elementos proposta no presente

trabalho O resultado eacute um preacute-condicionador que aplica dois criteacuterios para

definir sua regra de preenchimento da seguinte forma

De acordo com a relaccedilatildeo dada por (417) um elemento Lik eacute descartado se o

erro resultante for menor que a toleracircncia ξ usada para todas as linhas de L

Caso contraacuterio calcula-se Lik usando-se o elemento aik da matriz resultante do

processo de eliminaccedilatildeo de Gauss ateacute a correspondente etapa Jaacute para um

elemento Uik este eacute descartado se for menor que uma certa toleracircncia relativa

τi obtida multiplicando-se a toleracircncia absoluta τ pela meacutedia aritmeacutetica dos

elementos da i-eacutesima linha da matriz de coeficientes original O caacutelculo de w eacute

efetuado de acordo com o algoritmo de fatoraccedilatildeo IKJ apresentado no capiacutetulo

anterior

ik

ikik

(L )

ik (L )k=(1i-1)

kk

0 R= aL

RU

lt ξ ge ξ

(417)

ik

k i

k k ik=(i+1n)

0 w =U

w w

lt ge

ττ

(418)

A adaptaccedilatildeo da regra baseada no erro no preacute-condicionador ILUT(τρ) falha

devido ao fato do algoritmo de fatoraccedilatildeo IKJ natildeo permitir a aplicaccedilatildeo da regra

147

em ambos os fatores triangulares L e U dificultando a exploraccedilatildeo das vantagens

do uso desta regra A seguir mostra-se uma proposta para superar estes

problemas utilizando-se outro algoritmo de fatoraccedilatildeo que permite aplicar a regra

em ambos os fatores triangulares

46 Preacute-condicionador ILU( ξ) Baseado no Caacutelculo do Erro

Nesta seccedilatildeo propotildee-se uma eficiente e robusta estrateacutegia de preacute-

condicionamento da fatoraccedilatildeo incompleta ILU(ξ) derivada de uma versatildeo do

algoritmo de eliminaccedilatildeo de Gauss conhecido como Doolittle A maior vantagem

deste algoritmo eacute que permite usar de forma efetiva a regra de preenchimento

baseada no erro em ambos os fatores triangulares L e U

Os fatores L e U satildeo apresentados em (419) e (420) Os elementos da diagonal

de L satildeo iguais a um e a primeira linha de U eacute igual agrave primeira linha da matriz de

coeficientes A As equaccedilotildees usadas pelo algoritmo de Doolittle para calcular os

elementos dos fatores triangulares satildeo apresentadas em (422) e podem ser

obtidas ao se igualar cada elemento do produto dos fatores triangulares LmiddotU de

(419) e (420) aos elementos da matriz de coeficientes A apresentada em (421)

Estas equaccedilotildees podem ser implementadas computacionalmente de diferentes

formas todas baseadas na eliminaccedilatildeo de Gauss Teoricamente os diferentes

tipos de eliminaccedilatildeo de Gauss realizam o mesmo nuacutemero de operaccedilotildees de ponto

flutuante No entanto no contexto da fatoraccedilatildeo incompleta estas variantes

resultam em importantes diferenccedilas praacuteticas quando o interesse eacute utilizar a regra

de preenchimento baseada no erro

k-11

k1 kk 1

i1 ik 1 ik

n1 nk 1 nk ni

1 0 0 0 0

L 1 0 0 0

L L 1 0 0L

L L L 1 0

L L L L 1

minus

minus

minus

=

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

(419)

148

11 1k 1 1k 1i 1n

k-1k-1 k-1k k-1i k-1n

kk ki kn

ii in

nn

U U U U U

0 U U U U

0 0 U U UU

0 0 0 U U

0 0 0 0 U

minus =

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

(420)

11 1k 1 1k 1i 1n

k-11 k-1k-1 k-1k k-1i k-1n

k1 kk-1 kk ki kn

i1 ik-1 ik ii in

n1 nk-1 nk ni nn

a a a a a

a a a a a

a a a a aA

a a a a a

a a a a a

minus =

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

(421)

k-1

ki ki kj jij=1

k-1

ik ij jkj=1

ikkk

U =a - [L U ] i=kn

a - [L U ]

L = i=k+1nU

sum

sum (422)

As equaccedilotildees de Doolittle podem gerar algoritmos de eliminaccedilatildeo de Gauss que

calculam os elementos dos fatores triangulares por linhas de forma similar agrave

fatoraccedilatildeo IKJ ou por colunas (Bodewig 1956 Wilkinson 1965 Dahlquist amp

Bjoumlrk 1974 Hoffman 2001) Em ambos algoritmos natildeo seria possiacutevel usar a

regra de preenchimento baseada no erro A partir de (422) propotildee-se usar o

algoritmo de eliminaccedilatildeo de Gauss apresentado na Figura 45 que permite

calcular os elementos dos fatores triangulares simultaneamente por linhas em U

e por colunas em L como mostrado na Figura 46

No passo k da eliminaccedilatildeo de Gauss os elementos da k-eacutesima linha de U e a k-

eacutesima coluna de L (identificados por linhas tracejadas) satildeo calculados utilizando

elementos jaacute computados anteriormente nas linhas e colunas de U e L Por

exemplo para se calcular o elemento Uki satildeo usados os elementos destacados

em azul enquanto que para calcular o elemento Lik satildeo usados os elementos

149

destacados em vermelho Observa-se que este algoritmo permite calcular

elementos de L em linhas posteriores agrave linha k Esta caracteriacutestica possibilita o

uso em U da regra de preenchimento baseada no erro

1 Para i = 1n Faccedila

2 min = Ji in

3 Para k = in Faccedila

4 Para j = 1i-1 Faccedila

5 mk = mk - LijmiddotUjk

6 Fim ndash Faccedila

7 Fim ndash Faccedila

8 Registrar Umax = maxmin

9 ni+1n = J i+1ni

10 Para k = i+1n Faccedila

11 Para j = 1i-1 Faccedila

12 nk = nk ndash LkjmiddotUji

13 Fim ndash Faccedila

14 Fim ndash Faccedila

15 n = nUii

16 Registrar Lmax = maxni+1n

17 Aplicar a regra de preenchimento baseada no erro em m e n

18 Ui in = m in

19 L i+1ni = n i+1n

20 Fim ndash Faccedila

Figura 45 ndash Algoritmo do preacute-condicionador ILU(ξ)

Figura 46 ndash Elementos necessaacuterios para calcular os elementos Lik e Uki durante a fatoraccedilatildeo triangular

150

No algoritmo da Figura 45 observa-se que no passo k os elementos da linha de

U satildeo armazenados no vetor m enquanto que os elementos da coluna de L satildeo

armazenados no vetor n (passos 5 e 12 respectivamente) Uma vez calculados

ambos os vetores procura-se o maior elemento de m sendo armazenado em

Umax e o maior elemento de n armazenado em Lmax (passos 8 e 16

respectivamente) Ambos os valores maacuteximos (em valores absolutos) satildeo

usados pela regra de preenchimento no passo 17 para descartar em m e n os

elementos associados com os menores erros e preencher a linha de U e a

coluna de L da seguinte forma

De acordo com as relaccedilotildees dadas por (423) e (424) tanto um elemento Lki

como tambeacutem um elemento Uik satildeo descartados se seus erros associados

foram menores que uma dada toleracircncia ξ usada para todas as colunas de L e

linhas de U Caso contraacuterio Lki eacute preenchido usando-se o valor armazenado

em nk e Uik eacute preenchido usando-se o valor armazenado em mk

ik

ikik

(U )

(U )kk=(in)

0 R =U

m R

lt ξ ge ξ

(423)

ik

ikki

(L )

(L )ki=(1+1n)

0 R=L

n R

lt ξ ge ξ

(424)

Como observado na Figura 46 o algoritmo da Figura 45 permite encontrar os

elementos Ukk Ukk+1 Ukn necessaacuterios para se calcular o erro associado ao

elemento Lki e os elementos Lk+1k Lnk que por sua vez satildeo necessaacuterios para

se calcular o erro associado ao elemento Uik Nota-se que os elementos

necessaacuterios para calcular o erro (passo k) satildeo calculados neste mesmo passo

portanto natildeo eacute necessaacuterio realizar grandes buscas de elementos nas matrizes L

e U Igualmente tambeacutem natildeo eacute necessaacuterio armazenar valores Umax Lmax ou

erros do passo k porque natildeo seratildeo mais necessaacuterios nos proacuteximos passos

Observe-se que natildeo eacute necessaacuterio multiplicar o paracircmetro ξ por alguma norma ou

meacutedia aritmeacutetica dos elementos da matriz de coeficientes como realizado no

preacute-condicionador ILUT(τρ) porque o erro independe dos valores dos elementos

151

da matriz de coeficientes Este preacute-condicionador usa apenas um uacutenico

paracircmetro ξ Esta caracteriacutestica facilita o ajuste dos paracircmetros do solucionador

como seraacute visto nas proacuteximas seccedilotildees e no proacuteximo capiacutetulo

47 Meacutetodo Convencional Para Ajuste dos Paracircmetros dos Solucionadores

O ajuste dos paracircmetros de um solucionador iterativo eacute considerado fundamental

para garantir sua robustez e eficiecircncia computacional principalmente em

anaacutelises mais complexas como aquelas que solucionam vaacuterios fluxos de carga

com diferentes pontos de operaccedilatildeo Nesses casos a escolha de valores

apropriados para os paracircmetros se torna ainda mais relevante

A ideacuteia fundamental eacute escolher os valores dos paracircmetros que permitam

preencher o menor nuacutemero de elementos sem prejudicar a qualidade do preacute-

condicionador isto eacute sem tornaacute-lo muito diferente de A Poreacutem a escolha de

valores apropriados para os paracircmetros eacute uma tarefa difiacutecil jaacute que existe uma

interdependecircncia com as toleracircncias relativa e absoluta do GMRES e com o tipo

de problema que estaacute sendo solucionado

Pouco tem sido pesquisado em relaccedilatildeo a este tema apenas em (de Leon amp

Semlyen 2002) apresenta-se uma foacutermula que permite calcular para cada

sistema eleacutetrico o valor do paracircmetro limitante τ no preacute-condicionador ILU(τ)

dado por (322) onde τ eacute igual agrave metade do nuacutemero de equaccedilotildees totais Neq do

sistema linear Na praacutetica estaacute foacutermula natildeo garante robustez nem o melhor

desempenho do solucionador

eq

12 N

τ =sdot

(425)

No entanto o procedimento convencional define primeiro valores arbitraacuterios para

as duas toleracircncias absoluta e relativa do GMRES Nas simulaccedilotildees realizadas

nos capiacutetulos anteriores se usou toleracircncias iguais (10-5) e menores que a

toleracircncia usada no teste de convergecircncia do algoritmo Newton-Raphson pois

toleracircncias maiores costumam impedir a convergecircncia do Newton-Raphson

152

Uma vez definidas as toleracircncias a escolha dos paracircmetros do preacute-

condicionador eacute realizada com base em tentativa e erro

Este meacutetodo natildeo considera a possibilidade de encontrar melhores desempenhos

para outras toleracircncias do GMRES que natildeo necessariamente devem ser

consideradas iguais Durante o procedimento de tentativa e erro o meacutetodo pode

encontrar um miacutenimo nuacutemero de operaccedilotildees local (MFLOPSL) associado com τL

como ilustrado na Figura 47 que natildeo necessariamente eacute o menor possiacutevel

(MFLOPSG) Observa-se que para obter o miacutenimo nuacutemero de operaccedilotildees global

(MFLOPSG) o procedimento de tentativa e erro deveria comeccedilar com um valor

de τ proacuteximo de τG

Figura 47 ndash Procedimento de tentativa e erro para busca de valores de um paracircmetro do preacute-condicionador

Quando o preacute-condicionador possui um segundo paracircmetro o procedimento de

tentativa e erro eacute repetido para este segundo paracircmetro fixando-se o primeiro

paracircmetro

48 Meacutetodo Proposto Para Ajuste dos Paracircmetros dos Solucio nadores

O meacutetodo proposto consiste em realizar sucessivas simulaccedilotildees de fluxo de

carga variando simultaneamente todos os paracircmetros do solucionador e

registrando o nuacutemero de operaccedilotildees de ponto flutuante para cada caso gerado O

objetivo eacute encontrar regiotildees de valores para os paracircmetros onde o solucionador

153

apresente alto desempenho permitindo estabelecer e recomendar faixas para os

valores dos paracircmetros onde o solucionador garante convergecircncia com a maior

eficiecircncia possiacutevel O meacutetodo tambeacutem permite identificar as faixas de valores

onde o solucionador natildeo converge

O meacutetodo eacute ilustrado para ajustar os paracircmetros de duas configuraccedilotildees de

solucionador iterativo sendo estas o solucionador proposto neste trabalho

identificado como GMRES+ILU(ξ)+MD e o solucionador GMRES+ILUT(τρ)+MD

apresentado no capiacutetulo 2 Na Tabela 43 especificam-se os paracircmetros

associados a cada solucionador

Tabela 43 ndash Paracircmetros usados nos solucionadores

Solucionadores Meacutetodo Iterativo Preacute-condicionador

GMRES+ILU(ξ)+MD atol rtol

ξ

GMRES+ILUT(τρ)+MD τ ρ

481 Passos Fundamentais

Esta seccedilatildeo apresenta de maneira sucinta os passos envolvidos no meacutetodo para

ajuste dos paracircmetros dos solucionadores onde uma descriccedilatildeo geral eacute

mostrada na Figura 48 O primeiro passo refere-se agrave definiccedilatildeo do espaccedilo de

busca onde satildeo procurados os valores para os paracircmetros que garantem alto

desempenho do solucionador O segundo refere-se aos experimentos numeacutericos

realizados para avaliar o desempenho do solucionador considerando-se todas as

combinaccedilotildees possiacuteveis dos valores de seus paracircmetros definidos no espaccedilo de

busca O passo seguinte tem como objetivo calcular as faixas de valores

recomendaacuteveis para as toleracircncias absoluta e relativa do GMRES Finalmente o

quarto passo calcula as faixas de valores recomendaacuteveis para os paracircmetros do

preacute-condicionador

154

Figura 48 ndash Passos fundamentais para delimitaccedilatildeo dos paracircmetros do solucionador

Nas proacuteximas seccedilotildees os passos mais relevantes no contexto deste trabalho satildeo

discutidos mais detalhadamente

482 Estabelecimento do Espaccedilo de Busca

Para definir o espaccedilo de busca primeiramente deve-se estabelecer o domiacutenio de

cada paracircmetro isto eacute um valor miacutenimo e maacuteximo para cada toleracircncia do

GMRES e para cada paracircmetro do preacute-condicionador como mostrado na Tabela

44 e na Figura 49 Depois devem ser definidos valores intermediaacuterios para cada

paracircmetro sendo que o nuacutemero de valores totais eacute definido em funccedilatildeo do grau

de precisatildeo que se deseja conseguir nos paracircmetros

Finalmente o espaccedilo de busca eacute definido por todas as combinaccedilotildees possiacuteveis

entre as toleracircncias absoluta e relativa do GMRES como apresentado na Figura

49(a) e por todas as combinaccedilotildees possiacuteveis realizadas entre os paracircmetros do

preacute-condicionador como mostrado na Figura 49(b-c)

Para os valores especificados na Tabela 44 existem (m x n) combinaccedilotildees

possiacuteveis entre a toleracircncia absoluta e relativa (ver Figura 49(a)) e (q x p)

combinaccedilotildees possiacuteveis entre os paracircmetros τ e ρ do preacute-condicionador ILUT(τρ)

(ver Figura 49(c)) No caso do preacute-condicionador ILU(ξ) natildeo existem

combinaccedilotildees jaacute que este preacute-condicionador possui somente um uacutenico

paracircmetro Poreacutem existem k valores possiacuteveis para ξ (ver Figura 49(b))

Estabelecer Espaccedilo de Busca

Experimentos numeacutericos

Delimitar paracircmetros do preacute-condicionador

Delimitar toleracircncias do GMRES

155

Tabela 44 ndash Domiacutenios dos paracircmetros usados nos solucionadores

Paracircmetros Maacuteximo Miacutenimo Nuacutemero total de valores

atol atol1 atoln n

rtol rtol1 rtolm m

ξ ξ1 ξk k

τ τ1 τq q

ρ ρ1 ρp P

a) Espaccedilo de busca das toleracircncias do GMRES

b) Espaccedilo de busca dos paracircmetros do preacute-condicionador ILUT(ξ)

c) Espaccedilo de busca dos paracircmetros do preacute-

condicionador ILUT(τρ)

Figura 49 ndash Espaccedilo de busca dos paracircmetros do solucionador

483 Experimentos Numeacutericos

No segundo passo para cada combinaccedilatildeo das toleracircncias absoluta e relativa

(atolrtol) do espaccedilo de busca da Figura 49(a) satildeo simulados tantos Fluxos de

Carga quanto combinaccedilotildees dos paracircmetros do preacute-condicionador existam

registrando-se o nuacutemero de operaccedilotildees de ponto flutuante (MFLOPS) para cada

156

combinaccedilatildeo dos paracircmetros do preacute-condicionador Portanto para cada

combinaccedilatildeo (atolrtol) eacute gerado um graacutefico de eficiecircncia computacional (em

MFLOPS) em funccedilatildeo dos paracircmetros do preacute-condicionador como mostrado na

Figura 410(a) para o preacute-condicionador ILUT(τρ) e na Figura 410(b) para o

preacute-condicionador ILU(ξ)

a) Graacutefico de eficiecircncia para o preacute-condicionador ILUT(τρ)

b) Graacutefico de eficiecircncia para o preacute-condicionador ILU(ξ)

Figura 410 ndash Graacuteficos de eficiecircncia em funccedilatildeo dos paracircmetros do preacute-condicionador

Para cada graacutefico gerado eacute registrado o nuacutemero de operaccedilotildees de ponto flutuante

miacutenimo (MFLOPSmiacuten) e este valor eacute associado agrave sua correspondente combinaccedilatildeo

(atolrtol) Apoacutes terem sido realizados todos os experimentos e registrados todos

os MFLOPSmiacuten associados a todas as combinaccedilotildees (atolrtol) eacute gerado o graacutefico

de alta eficiecircncia Este graacutefico apresenta em escala de cores todos MFLOPSmiacuten

em funccedilatildeo de suas correspondentes combinaccedilotildees (atolrtol) como mostrado na

Figura 411 sendo que a cor azul estaacute associada com os menores MFLOPSmiacuten a

157

cor vermelha com os maiores MFLOPSmiacuten e em negrito os casos natildeo

convergentes

Observa-se que entre todos os valores registrados para MFLOPSmiacuten existe uma

regiatildeo que conteacutem os casos com os menores MFLOPSmiacuten Este valor chamado

de MFLOPSoacuteti eacute o nuacutemero miacutenimo de operaccedilotildees possiacutevel (global) e estaacute

associado com a regiatildeo quadrada em azul escuro segmentada pelas linhas

brancas Os pontos brancos indicam as posiccedilotildees de todas as combinaccedilotildees que

possuem nuacutemero de operaccedilotildees igual a MFLOPSoacuteti

Figura 411 ndash Graacuteficos de alta eficiecircncia em funccedilatildeo das toleracircncias do GMRES

484 Delimitaccedilatildeo das Toleracircncias do GMRES

No terceiro passo a partir do graacutefico de alta eficiecircncia apresentado na sua forma

bidimensional na Figura 412 eacute segmentada a regiatildeo dos MFLOPSoacuteti Neste

caso esta regiatildeo eacute o quadrado azul do centro do graacutefico onde cada ponto

branco estaacute associado a uma combinaccedilatildeo (atolrtol) que apresenta o menor

nuacutemero de operaccedilotildees possiacutevel em todo o espaccedilo de busca (MFLOPSoacuteti) Este

graacutefico permite encontrar as faixas de valores (atolmiacutenatolmaacutex) e (rtolmiacutenrtolmaacutex)

recomendaacuteveis para as toleracircncias do meacutetodo GMRES associadas ao melhor

desempenho possiacutevel

158

Figura 412 ndash Regiotildees de alta eficiecircncia em funccedilatildeo das toleracircncias do GMRES

485 Delimitaccedilatildeo dos Paracircmetros do Preacute-condicionador

No quarto e uacuteltimo passo a partir das faixas (atolmiacutenatolmaacutex) e (rtolmiacutenrtolmaacutex)

recomendaacuteveis para as toleracircncias do GMRES eacute escolhido um valor para cada

toleracircncia isto eacute atol = atoloacuteti e rtol = rtoloacuteti (Figura 413) Jaacute que todas as

toleracircncias dessas faixas tecircm o mesmo MFLOPSoacuteti pode-se escolher qualquer

um

Figura 413 ndash Escolha dos valores (atoloacutetirtoloacuteti) para as toleracircncias absoluta e relativa do GMRES

Uma vez escolhidos os valores da toleracircncia absoluta e relativa utiliza-se o

graacutefico de eficiecircncia calculado em funccedilatildeo dos paracircmetros do preacute-condicionador

(jaacute obtido no passo dois ver Figura 410) associado aos valores (atoloacutetirtoloacuteti)

escolhidos neste passo A partir deste graacutefico na sua forma bidimensional

159

(Figura 414) satildeo geradas as regiotildees de desempenho do solucionador em

funccedilatildeo dos paracircmetros do preacute-condicionador especificamente para os valores

das toleracircncias do GMRES escolhidas no inicio do presente passo (atoloacutetirtoloacuteti)

As regiotildees de desempenho satildeo diferenciadas pela escala de cores sendo que a

cor azul estaacute associada com os melhores desempenhos (menores MFLOPS) a

cor vermelha com os piores desempenhos (maiores MFLOPS) e em negrito os

casos natildeo convergentes

As regiotildees de desempenho do solucionador permitem obter as faixas de valores

recomendaacuteveis para os paracircmetros do preacute-condicionador associadas ao melhor

desempenho possiacutevel MFLOPSoacuteti sendo estas (ξmiacutenξmaacutex) para o preacute-

condicionador ILU(ξ) e (τmiacutenτmaacutex) e (ρmiacutenρmaacutex) para o preacute-condicionador ILUT(τρ)

Recomenda-se aplicar este meacutetodo em diferentes configuraccedilotildees do sistema

interligado nacional brasileiro com diferentes niacuteveis de carga O meacutetodo deve

gerar para cada sistema eleacutetrico faixas de valores para todos os paracircmetros do

solucionador A interseccedilatildeo dessas faixas poderaacute ser considerada confiaacutevel para

ser usada sempre no solucionador garantindo robustez e alto desempenho

computacional A eficaacutecia do meacutetodo pode ser avaliada com experimentos de

fluxo de carga e Anaacutelise de Contingecircncias No proacuteximo capiacutetulo o meacutetodo

proposto eacute aplicado para a geraccedilatildeo de valores recomendaacuteveis dos paracircmetros

do solucionador iterativo no problema de fluxo de carga

a) Graacutefico de eficiecircncia para os preacute-

condicionadores ILUT(τρ) e ILUT(ξτ)

b) Graacutefico de eficiecircncia para o preacute-

condicionador ILU(ξ)

Figura 414 ndash Regiotildees de eficiecircncia em funccedilatildeo dos paracircmetros do preacute-condicionador