4 - Para cada uma das operações abaixo informe quais são operações internas no conjunto indicado:(a) a * b = |ab|1/2 em Q.(b) a * b = a/b em Z.(c) (a, b)*(c, d) = (a + c, cb + d) em R2.(d) a * b = raiz da equação x2 – a2b2 = 0 em R.(e) a * b = a log b no conjunto R*+ (reais positivos).(f) a * b = a + b em N.(g) a * b = a – b em {x Z | x > 0}(h) a * b = (a + b)2 em Z.

5 - Para as operações indicadas a seguir em R2 verifique se as mesmas são: I – comutativa, II – associativa, III – possui elemento neutro, IV – admite inverso(a) (a, b) * (c, d) = (ac, bd) (b) (a, b) * (c, d) = (a + c, cb + d)

6 - Considere o conjunto dos reais e a operação *, definida por a * b = (a2 + b2)1/2. (a) Informe se tal operação é ou não associativa e/ou comutativa.(b) Verifique se a operação * tem ou não elemento neutro. Se afirmativo, qual é ele?(c) Verifique se a operação * admite ou não elemento inverso. Se afirmativo, qual é o elemento inverso de x? (d) Se apenas alguns elementos de R apresentam inverso, quais seriam esses elementos?

4 - (a) a * b = |ab|1/2 em Q.

Não. Por exemplo, a = 2 e b = 3. |2.3| = |6| é irracional.

(b)a * b = a/b em Z.

Não. Se a = 2 e b = 3, 2/3 Z

(c) (a, b)*(c, d) = (a + c, cb + d) em R2.

Sim. Se a, b, c, d R, a + c e cb + d pertencem a R.(d) a * b = raiz da equação x2 – a2b2 = 0 em R.

Sim. a2.b2 é um número positivo. Nesse caso, x = |ab| ou x = -|ab|.

(e) a * b = a log b no conjunto R*+ (reais positivos).

Não. O logaritmo de um nº entre 0 e 1 é negativo. Portanto, o produto a.log b, pode não pertencer a R*

+.

(f) a * b = a + b em N.

Sim. A adição é definida em N, para todo a, b de N.

(g) a * b = a – b em {x Z | x > 0}Não. Se a < b, a – b é negativo. Ex. 3 – 5 = -2.

(h) a * b = (a + b)2 em Z.Sim. A adição e a potenciação são definida em Z. Isto é: (1)a soma de dois números inteiros é um número inteiro, e (2) o quadrado de um número inteiro é um número inteiro.

5 - (a) (a, b) * (c, d) = (ac, bd) I - comutativa: -(a, b) * (c, d) = (ac, bd) = (ca, db) devido à comutatividade da multiplicação= (c, d) * (a, b).Portanto, a operação é comutativa.

II – Associativa(a, b)*[(c, d)*(e, f)] = (a, b)* (ce, df) = (ace, bdf) = (ac, bd)*(e, f) = = [(a, b)*(c, d)]*(e, f). Isto comprova a associatividade.

III – Elemento neutro

IV – INVERSO

(b) (a, b) * (c, d) = (a + c, cb + d)I – Comutativa

II – Associativa[(a, b)*(c, d)]*(e, f) = (a + c, cb + d)*(e, f) = [a + c + e, (cb + d).e + f] =

= (a + c + e, cbe + de + f)(a, b)*[(c, d)*(e, f)] = (a, b)*(c + e, de + f) = [a + c + e, b(c + e) + de + f] =

= (a + c + e, bc + be + f).

Como os resultados são diferentes, a operação não é associativa.

(an, bn’) = (a, b) (1) an = a n = 1 e

(2) bn’ = b n’ = 1.Portanto, (1, 1) e o elemento neutro.

Observação. Não é necessário fazer (n, n’)*(a, b) pois já foi comprovada a comutatividade.

(a, b)*(n, n’) =

(1) aa’ = 1 a’ = 1/a e

(2) bb’ = 1 b’ = 1/b.Como não existe divisão por zero, somente os elementos (x, y) com x 0 e y 0, têm inverso.

(a, b)* (a’, b’) = (1, 1)

(a + c) = (c + a), porém, cb + d é diferente de ad + b.

Portanto, a operação não é comutativa.

Trocando a ordem: (c, d) * (a, b) = (c + a, ad + b).

III – Elemento neutro (x, y)

Elemento neutro à esquerda:

(x, y)*(a, b) = (x + a, ya + b) = (a, b) x = 0 e y = 0.

O elemento neutro à esquerda é (0, 0).

Elemento neutro à direita:

(a, b)*(x, y) = (a, b).

Para que a igualdade aconteça:

a + x = a x = 0 e bx + y = b. Como x = 0, y = b.

para cada par (a, b) teríamos um neutro.

Portanto,

Concluindo: como não há neutro à direita, a operação não admiteelemento neutro.

IV - Inverso

Não há o que verificar pois não tendo neutro, não tem inverso.

IV - INVERSO

Inverso à esquerda:

(x’, y’)*(x, y) = (0, 0) x’ = -x e y’ = -y.

Concluindo:

O inverso à esquerda de (x, y) é (-x, -y).

Inverso à esquerda:

Não existe pois não existe neutro à direita.

6 a