4. escoamento de um fluido real -...

4. Escoamento de um Fluido RealO escoamento de um fluido real é mais complexo que o de

um fluido ideal. A viscosidade dos fluidos reais é responsável pelas forças de atrito entre as partículas fluidas, bem como entre estas e os contornos sólidos. Para que o escoamento ocorra, um trabalho deve ser realizado contra as forças de atrito e, durante este processo, parte da energia mecânica se transforma em calor.

4.1 A experiência de ReynoldsDevido ao efeito da viscosidade, o escoamento de fluidos

reais pode ocorrer de dois modos distintos. As características destes dois regimes foram inicialmente observadas por Reynolds (1883) em um dispositivo semelhante ao esquematizado abaixo:

Filamento estreito e paralelo ao eixo do tubo ( Regime laminar)

Filamento torna-se ondulado ( Regime crítico)

Ondulação aumenta rompendo-se o filamento que se difunde na água (Regime turbulento)

Abrindo o registro

(aumento da velocidade)

Tanque de água com paredes de vidro

TintaTubo de vidro

Registro

FLUXO

Reynolds generalizou os resultados do seu experimento com a introdução do termo adimensional Re .

Exemplo 4.1.1: Calcular o número de Reynolds no interior de uma tubulação de 50mm de diâmetro interno que conduz água a uma temperatura de 200C (ν = 1,003x 10-6 m2/s) com velocidade média de 0,9m/s.

4,865 44/sm 003 001 000.0

m1000

50s/m9,0DVR 2e =⋅

=ν⋅

=

υ⋅

=LTV R e

Onde:

=ρµ

= ViscosidadeCinemática

(m2/s)=υ

ViscosidadeDinâmica (kg /m s)

MassaEspecífica (kg/m3)

VelocidadeMédia de Fluxo

(m/s)=V ==

AQ Vazão (m3/s)

Área de fluxo (m2)

) ( Reynolds de Número R e =

LT= Dimensão Linear Típica (m) equivalente a quatro vezes o raio hidráulico do conduto (4Rh ),

para o caso dos condutos circulares :LT = 4Rh = D , onde D = diâmetro interno (m)

O tipo de fluxo não se prende exclusivamente ao valor da velocidade, mas ao valor do Número de Reynolds. Para encanamentos comerciais se o escoamento se verificar com Re superior a 4000, o regime é Turbulento. O escoamento em regime Laminar ocorre, e é estável, para valores do número de Reynolds inferiores a 2000. Entre este valor e 4000, encontra-se uma zona crítica, na qual não se pode determinar com segurança as condições de escoamento.

Obs:valores de ν da água, em diferentes temperaturas, são mostrados na tabela 4.1

Tabela 4.1- PROPRIEDADES FÍSICAS DA ÁGUA DOCE, À PRESSÃO ATMOSFÉRICA (g = 9,80665 m/s2)

NOS CÁLCULOS HABITUAIS DE HIDRÁULICA, NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES,QUANDO A TEMPERATURA NÃO É ESPECIFICADA, UTILIZA-SE :

ρ = 1000 kg/m3

γ = 9806 N/m3

ν = 1,003 x 10-6 m2/s

PRESSÃO DE VAPOR

TEMPE- RATURA

PESO

ESPECÍFICO γ

MASSA

ESPECÍFICA ρ

VISCOSIDADE

DINÂMICA µ

VISCOSIDADE CINEMÁTICA

ν

TENSÃO

SUPERFICIAL σ PV PV/γ

MÓDULO DE

ELASTICIDADE CÚBICA

ε OC kN/m3 kg/m3 N.s /m2 m2/s N/m kN/m2 mca kN/m2

0 5

9,805 9,807

999,8 1000,0

1,781x10-3 1,518x10-3

1,785x10-6 1,519x10-6

0,0756 0,0749

0,61 0,87

0,06 0,09

2,02x10 6 2,06x10 6

10 15

9,804 9,798

999,7 999,1

1,307x10-3 1,139x10-3

1,306x10-6 1,139x10-6

0,0742 0,0735

1,23 1,70

0,12 0,17

2,10x10 6 2,15x10 6

20 25

9,789 9,777

998,2 997,0

1,002x10-3 0,890x10-3

1,003x10-6 0,893x10-6

0,0728 0,0720

2,34 3,17

0,25 0,33

2,18x10 6 2,22x10 6

30 40

9,764 9,730

995,7 992,2

0,798x10-3 0,653x10-3

0,800x10-6 0,658x10-6

0,0712 0,0696

4,24 7,38

0,44 0,76

2,25x10 6 2,28x10 6

50 60

9,689 9,642

988,0 983,2

0,547x10-3 0,466x10-3

0,553x10-6 0,474 x10-6

0,0679 0,0662

12,33 19,92

1,26 2,03

2,29x10 6 2,28x10 6

70 80

9,589 9,530

977,8 971,8

0,404x10-3 0,354x10-3

0,413x10-6 0,364x10-6

0,0644 0,0626

31,16 47,34

3,20 4,96

2,25x10 6 2,20x10 6

90 100

9,466 9,399

965,3 958,4

0,315x10-3 0,282x10-3

0,326x10-6 0,294x10-6

0,0608 0,0589

70,10 101,33

7,18 10,3

3

2,14x10 6 2,07x10 6

Exemplo 4.1.2: Utilize os valores da tabela 4.1 para calcular o valor do número de Reynolds no interior de uma tubulação, de 100mm de diâmetro interno, que conduz água a com velocidade média de 1,5m/s, quando a temperatura passa, sucessivamente, de 10oC para 20oC e para 40oC.

Respostas: 1,1x105 ; 1,5x105 ; 2,3x105

Exemplo 4.1.3: Calcular a maior vazão (em m3/h) de água, a uma temperatura de 200C, na qual ν = 1,003x 10-6 m2/s, no interior de uma tubulação de 175mm de diâmetro interno, para que se obtenha fluxo laminar, isto é, para que um número de Reynolds no interior da tubulação seja igual a 2000.

Resposta:0,993m3/h

4.2 Equações fundamentais do escoamento de fluidos incompressíveis em tubos

Conforme visto anteriormente, a equação de Bernoulli para o escoamento de fluidos reais incompressíveis é representada por:

As primeiras experiências (por volta de 1850) sobre o escoamento da água em tubos longos retos e cilíndricos, indicam que a perda de carga varia (aproximadamente) diretamente com a carga cinética (V2/2g ) e com o comprimento do tubo (L), e inversamente com o diâmetro do tubo (D). Usando um coeficiente de proporcionalidade (f),denominado de fator de atrito, Darcy, Weisback e outros propuseram a seguinte equação para cálculo da perda de carga hf :

Observações experimentais indicavam que o fator de atrito depende não só do (i) material do tubo mas, também do (ii) diâmetro do tubo, da (iii) velocidade do fluxo e (iv) da viscosidade cinemática do fluido.

Onde, hf1-2 representa a perda de carga ( E1 – E2 = dissipação da energia mecânica da água) entre os pontos 1 e 2.

g2V

DLfhf

2

⋅⋅=

gV⋅2

22

γ1P

Linha de energia

Plano de carga efetivo

Direção do Fluxo:

Maior energia Menor Energia

γ2P

g2V 2

1

⋅

1Z

Linha piezométrica

2Z

21

222

2

211

1 hfg2

VPZg2

VPZ −+⋅

+γ

+=⋅

+γ

+

21hf −

4.3.1 As experiências de Nikuradse

Para avaliar o efeito da rugosidade relativa (k/D) das paredes dos tubos sobre o fator de atrito (f), Nikuradse, em 1933, decidiucolar grãos de areia de tamanho uniforme na parede de tubos lisos de vidro. Desta forma, Nikuradse pode determinar o fator de atrito, sob condições controladas e bem determinadas de k/D. Os resultados obtidos nesta experiência são ilustrados abaixo:

4.3 Experiências de atrito em tubos.A análise dimensional do problema do atrito em tubos

indica que o fator da atrito (f) depende de dois fatores adimensionais (i) do Número de Reynolds (que engloba o diâmetro do tubo, D, a velocidade, V, e a viscosidade cinemática, ν, do fluido) e (ii) da denominada rugosidade relativa do tubo (k/D), que representa a razão entre os tamanhos das protuberâncias das rugosidades nas paredes dos tubos e o seu diâmetro interno.

0,10

0,08

0,060,050,04

0,03

0,02

0,01103 104 105 106

10141

Dk

=

5041

Dk

=

2521

Dk

=

1201

Dk

=

2,611

Dk

=

301

Dk

=

Número de Reynolds - Re

Coe

ficie

nte

de a

trito

-f

)DK;DVR( Funçãof atrito de Fator e ν

⋅==

A diferença física entre o regime de escoamento laminar e o regime de escoamento turbulento é evidenciada pelo contraste na variação de f com Re nas regiões com Re <2000 e Re>4000 .

No regime Laminar (Re < 2000), independentemente da rugosidade relativa (k/D), os valores de f se agrupam em torno de uma única linha, que é caracterizada pela seguinte equação:

Na região de regime Turbulento (Re>4000) uma curva de f versus Re pode ser feita para cada valor de rugosidade relativa (k/D). No regime turblulento duas regiões podem se identificadas: (i) a região de turblência de transição, onde o fator f varia com Re e k/D, e (ii) a região de Turbulência completa onde o aspecto horizontal das curvas indica que o fator de atrito é independente de Re.

Na parte esquerda da zona de transição rugosa , os valores de f, independentemente do valor da rugosidade relativa, se agrupam em torno de uma linha, a chamada linha dos tubos lisos, que é caracterizada pela seguinte equação (fórmula de Von Kárman-Prandtl ):

No diagrama dos resultados experimentais de Nikuradse, os seguintes fatos devem ser observados:

106

Coe

fici

ente

de

atri

to f

Regime Laminar

103 104 105

Número de Reynolds

Linha dos Tubos Lisos

Turbulência de transição

Turbulência completa

20004000

Re64f =

( ) 0.8- fRlog2f

1 ou fR

512,2log2f

1e

e

⋅⋅=

⋅⋅−=

106

Coe

fici

ente

de

atri

to f

Regime Lâminar

103 104 105

Número de Reynolds

Linha dos Tubos Lisos

Turbulência de transição


20004000

A série de curvas de diferentes rugosidades relativas diverge da cuva dos tubos lisos à medida em que Re aumenta . Isto se explica pela espessura de uma subcamada viscosa, que se forma junto às paredes dos tubos, que decresce a medida em que Re aumenta. Na porção referente a linha dos tubos lisos, a rugosidades paredes fica submersa na subcamada viscosa, de tal forma que a rugosidade não tem efeito significativo sobre o módulo do fator de atrito. A medida que o Número de Reynolds aumenta, causando um decréscimo na espessura da camada viscosa, ocorre uma exposição maior das rugosidades das paredes fazendo que o tubo se comporte como um tubo rugoso.

Na zona de turbulência completa, na qual as curvas correspondentes as diferentes rugosidades relativas são praticamente horizontais, o fator f é calculado pela chamada fórmula de Nikuradse:

Infelizmente, os resultados excelentes de Nikuradse não podem ser diretamente aplicados aos problemas de Engenharia por as configurações das rugosidades dos tubos comerciais são inteiramente diferentes, mais variáveis e muito menos identificáveis do que as rugosidades artificiais usadas por Nikuradse.

Dklog214,1

f1 ou

715,3D/Klog2

f1

⋅−=

⋅−=

4.3.2 As experiências de Colebrook e WhiteColebrook e White (1939) apresentaram os resultados de testes

efetuados para verificar se os valores de f obtidos por Nikuradse, com grãos de areia, podiam ser aplicados aos tubos comerciais.

As diferentes curvas de f versus Re apresentadas por Nikuradse foram agrupadas ao redor de uma única curva, quando plotadas em um gráfico de 2 log(k/r)-1/f 1/2 versus Re f1/2/(r/k), sendo r o raio interno do tubo:

-2

10 100 1000 10000

0

-1

-3

Os testes de Colebrook e White com tubos comerciais indicaram que a seguinte equação semi-empírica pode ser utilizada no regime turbulento:

10 100 10001

-1

-2

-3

0

`1

Tubos comerciais

Rugosidade artificial: areia uniforme (Nikuradse)Rugosidade artificial: areia não uniforme (Nikuradse)

Valores observadospor Nikuradse

(areia)


Linha dos tubos Lisos

fR

512,2715,3D

Klog2f

1e

⋅+

⋅⋅−=

fR

512,2715,3D

Klog2f

1e

⋅+

⋅⋅−=

fR512,2log2

f1

e

⋅⋅−=

715,3Dklog2

f1

⋅⋅−=

4.4 Cálculo do Fator de Atrito (f) com o Uso do Diagrama de Moody.

Moody (1944), baseado nos estudos de Colebrook e White (1939), mostrou que, apesar dos tubos comerciais não apresentarem uma rugosidade uniforme e facilmente identificável como aquela dos tubos de vidro com grãos de areia, os resultados de Nikuradse podem ser utilizados como indicadores quantitativos da rugosidade equivalente dos tubos comerciais (k).

Para contornar a dificuldade de se trabalhar com a formula de Colebrook e White, Moody apresentou os valores de f em um diagrama de f versus Re, para diferentes valores de rugosidade relativa dos tubos (k/D).

Fato

r de

atr

ito

(f)

Número de Reynolds

Laminar

0.01

0.1

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08

0.050.040.030.020.0150.010.0080.0060.004

0.002

0.0010.0008

0.00040.00020.00010.00005Tubo liso

0.02

0.03

0.04

0.05

0.07

CríticoTurbulento

k/D

Rug

osid

ade

rela

tiva

(k/

D)

Transição Turbulência Completa

Zon

a C

ríti

ca

Diagrama de Moody Tubo RugosoLaminar

Tubo Liso

⋅+

⋅⋅−=

fR512,2

715,3Dklog2

f1

e

fR512,2

715,3Dklog2

f1

e

⋅

+⋅

⋅−= 715,3Dklog2

f1

⋅⋅−=

eR/64f =

fR512,2log2

f1

e

⋅⋅−=

200fRDk

e ≡⋅⋅⋅

Deve ficar claro que os valores de rugosidade equivalente (k) dos diversos materiais utilizados para fabricação de tubos comerciais apresentados em textos de Hidráulica (tabela acima) representam o diâmetro dos grãos de areia que, quando colados uniformemente em um tubo de vidro, com o mesmo diâmetro interno do tubo comercial considerado, resultaria no mesmo fator de atrito f observado no tubo comercial (f = (hf 2g D) /(L V2)).

Tabela 4.2: Valores de rugosidade equivalente (k) dos diversos materiais utilizados na fabricação de tubos comerciais (Azevedo Neto):

Menor que 1,0 x10-5Menor que 1,0 x10-5Plástico

Menor que 1,0 x10-5Menor que 1,0 x10-5Vidro

3,0 x10-36,0x10-4Manilhas cerâmicas

2,0x10-4 até 1,0x10-3Madeiras em aduelas

2,1 x10--31,2x10-4Fero Fundido com revestimento asfáltico

3,0x10-3 até 5x10-32,5 x10-4 até 5,0x 10-4Ferro Fundido

2,4 x 10-34,0 x 10-4 até 6,0 x 10-4Ferro Forjado

1,0x10--3 até 2,0x10-3Concreto ordinário

3,0x10-4 até 1,0x10-3Concreto bem acabado

Menor que 1,0 x10-5Menor que 1,0 x10-5Cobre ou Latão

2,5x10-5Cimento Amianto

Menor que 1,0 x10-5Menor que 1,0 x10-5Chumbo

2,4 x10-34,0 x10-5 até 6,0x10-5Aço soldado

5,0x10-4 até 1,2x10-34,0x10-4Aço revestido

6,0 x10-31,0x10-3 até 3,0x10-3Aço Rebitado

4,6 x10-31,5x10-4 até 2,0x10-4Aço Galvanizado

Tubos velhos **Tubos novosMaterial

Exemplo4.4.1: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de aço rebitado, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-3 m, diâmetro interno (D) de 0,30m e 300m de comprimento (L), que conduz 130L/s de água com viscosidade cinemática (ν) de 1,127x 10-6 m2/s.

Número de Reynolds

0.01

0.1

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08

Fato

r de

atr

ito

(f)

0.050.040.030.020.0150.010.0080.0060.004

0.0020.0010.00080.00040.00020.00010.00005Tubo liso

0.02

0.03

0.04

0.05

0.07

CríticoTurbulento

k/D

Zon

a C

ríti

ca

Diagrama de MoodyLaminar

4.89 x 105

Rug

osid

ade

rela

tiva

(k/

D)

0.038

m55,6s/m81,92)s/m839,1(

m30,0m300038,0

g2V

DLfhf 2

22

=⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅=

( )

0,01k/De104,9RecomMOODYdeDiagramanof

01,0m30,0m003,0

Dk10896,4

s/m10127,1m30,0s/m839,1DVRe

s/m839,1m30,0

s/m130,04DQ4

AQV

5

526

2

3

=×=

==×=×

⋅=ν⋅=

=⋅π

⋅=⋅π⋅==

−

Exemplo 4.4.2: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de PVC, com rugosidade absoluta (k) de 2,4x10-6 m, diâmetro interno (D) de 0,10m e 100m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade cinemática (ν) de 0,43 x 10-6 m2/s e velocidade (V) de 2,26m/s

Número de Reynolds

0.01

0.1

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08

Fato

r de

atr

ito

(f)

0.050.040.030.020.0150.010.0080.0060.004

0.0020.0010.00080.00040.00020.00010.00005Tubo liso

0.02

0.03

0.04

0.05

0.07

CríticoTurbulento

k/D

Zon

a C

ríti

ca


5,3 x 105

Rug

osid

ade

rela

tiva

(k/

D)

0,013

Tubo liso


000024,0m10,0

m10x4,2Dk10256,5

s/m1043,0m10,0s/m26,2DVRe

s/m26,2V

5

65

26

=×=

==×=×

⋅=ν⋅=

=

−

−

m38,3s/m81,92)s/m26,2(

m10,0m100013,0

g2V

DLfhf 2

22=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

Número de Reynolds

0.01

0.1

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08

Fato

r de

atr

ito

(f)

0.050.040.030.020.0150.010.0080.0060.004

0.0020.0010.00080.00040.00020.00010.00005Tubo liso

0.02

0.03

0.04

0.05

0.07

CríticoTurbulento

k/D

Zon

a C

ríti

ca


5, x 104

Rug

osid

ade

rela

tiva

(k/

D)

0,041

Exemplo 4.4.3: Calcule a perda de carga ao longo de um tubo de ferro fundido, com rugosidade absoluta (k) de 3,0x10-4 m, diâmetro interno (D) de 0,025m e 200m de comprimento (L), que conduz 1L/s de água com viscosidade cinemática (ν) de 1,0x 10-6 m2/s.

0.012

( )


012,0m025,0m0003,0

Dk10093,5

s/m100,1m025,0s/m037,2DVRe

s/m037,2m025,0

s/m001,04DQ4

AQV

4

426

2

3

=×=

==×=×

⋅=ν⋅=

=⋅π⋅=

⋅π⋅==

−

m37,69s/m81,92)s/m037,2(

m025,0m200041,0

g2V

DLfhf 2

22=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

(4.4.6) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando uma redução de apenas 25% no diâmetro interno (D = 0,75m).Respostas: Re = 1,3x106; k/D= 0.0004; f = 0,016; hf = 5,2m

(4.4.5) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação de 1,5 km de comprimento (L), com 1,0m de diâmetro interno (D), de concreto, com rugosidade k= 3x10-4m, que conduz uma vazão (Q) de 790 L/s de um líquidocom uma viscosidade cinemática (ν) de 1,01 x10-6 m2/s.Respostas: Re = 1x106; k/D= 0,0003; f = 0,016; hf = 1,2m.

(4.4.8) Calcule a taxa de perda de carga (J = em m/100m) ao longo de umatubulação com 100mm de diâmetro interno (D), em material com rugosidadek= 0,15mm, que conduz uma vazão (Q) de 57 m3/h de um líquido que apresenta uma viscosidade cinemática (ν) de 1,0 x10-6 m2/s.Respostas: Re = 2,0x105; k/D= 0.0015; f = 0,023; J =4,8 m/100m.

(4.4.9) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 500 mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 2 x10-4m, com 1 km de comprimento (L), que conduz uma vazão (Q) de 190L/s de água natemperatura de 30oC.Respostas=Re=6,0x105; k/D=0.0004; f= 0.017; hf=0,8m

(4.4.10) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo de uma tubulação com 7 mm de diâmetro interno (D) , em material com rugosidade k= 1 x10-6m, com 5m de comprimento (L), que conduz água com viscosidade cinemática (ν) de 1 x10-6 m2/s a uma velocidade de (V) de 0,18m/s.Respostas= Re = 1,26 x 103; f=0.051, hf = 0.06m

(4.4.7) Calcule a perda de carga (hf em m) ao longo da tubulação descrita no exemplo anterior (ex.4.4.5), considerando o dobro da vazão dada (Q =.1580L/s)Respostas: Re = 2x106; k/D= 0.0003; f = 0,015; hf = 4,6m

Mais alguns exemplos :(4.4.4) Calcule o fator de atrito (f), para as seguintes situações: (a)Re=3 x105 e k/D= 0,00001; (b) Re=3 x105 e k/D= 0,0001; (c) Re=3 x105 e k/D= 0,001; (d)Re=3 x105 e k/D= 0.01Rerspostas:f = 0,015; f =0,015; f =0,021; f =0,038

4.5 Fórmulas explicitas para o cálculo do fator de atrito (f).Com a introdução das calculadoras programáveis e dos computadores pessoais, algumas formulas explícitas para o cálculo do fator f poassaram a ser uteis:

Fórmula de Churchill (1974), que pode ser utilizada em qualquer regime de fluxo (Laminar e Turbulento):

Fórmula de Swamee (1993) que pode ser utilizada em qualquer regime de fluxo (Laminar e Turbulento) no limite 0< Re <108

Nota: Ln é o logaritmo Neperiano

( )

16

e

16

9,0

e

121

23

12

e

R37530B

Dk27,0

R7

1Ln457,2A

BA1

R88f

=

⋅+

⋅=

++

⋅=

125,0

166

e9,0

e

8

e

R2500

R74,5

D7,3KLn

5,9R64f

−

+

⋅

+

=

4.6 Outros métodos para cálculo da perda de carga em tubos: As Fórmulas Práticas.

Apesar da fórmula de Darcy-Weisbach ser o método recomendado para cálculo de perda de carga em tubulações, é muito comum encontrar na literatura especializada referências às chamadas FÓRMULAS PRÁTICAS.

Dentre as centenas, ou milhares, de fórmulas práticas encontradas na literatura, estudaremos apenas três delas: (i) a fórmula de Hazen-Williams, (ii) a fórmula de Flamant, e (iii) a Fórmula de Blasius.

4.6.1 A fórmula de Hazen-Williams (1913)

É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em qualquer tipo de conduto e material. Resultou de um estudo estatístico cuidadoso no qual foram considerados dados dos experimentais de diversas fontes e observações feitas pelos próprios autores. Os seus limites de aplicação são os mais largos : diâmetros de 50 a 300mm e velocidades de até 3m/s. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema Internacional de Unidades a fórmula de Hazen-Williams tem a seguinte apresentação:

Onde: hf = perda de carga, em metros de coluna de água, entre dois pontos da tubulação

Q = Vazão em m3/s;C = Coeficiente admensional que depende da natureza (material e

estado) das paredes dos tubos (ver Tabela 4.3);L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em

que se deseja calcular a perda de carga hf;D = diâmetro interno da tubulação (m);

10,643 s1.85/m 0,68 = constante empirica.

87,4

85,1

68,0

85,1

DL

CQ

ms643,10hf ⋅

⋅=

Tabela 4.3- Valores do Coeficiente C sugeridos para a fórmula de Hazen -Williams

MATERIAL do TUBO NOVOSUSADOSCerca de 10 Anos

USADOSCerca de 20 Anos

Aço corrugado (chapa ondulada) 60 - -

Aço galvanizado roscado 125 100 -

Aço rebitado novos 110 90 80

Aço soldado, comum ( revestido c/ betume)

125 110 90

Aço soldado com revestimento epoxi 140 130 115

Chumbo 130 120 120

Cimento amianto 140 130 120

Cobre 130 135 130

Concreto, bom acabamento 130 - -

Concreto acabamento comum 130 120 110

Ferro fundido , revestido com epoxi 140 130 120

Ferro fundido revestido com cimento 130 120 105

Grés ceramico,vidrado (manilhas) 110 110 110

Latão 130 130 130

Madeira em aduelas 120 120 110

Tijolos, conduto bem executado 100 95 90

Vidro 140 - -

Plástico ou PVC 140 135 135

4.6.2 A fórmula de Flamant (1892)

É uma Fórmula que pode ser satisfatóriamente aplicada em tubos de pequeno diâmetro. De acordo com Azevedo Neto, no Sistema Internacional de Unidades, a Fórmula de Flamant tem a seguinte apresentação:

Onde: J= hf/L = taxa de perda de carga entre dois pontos da tubulação (em metros/metros);

b = coeficiente que depende da natureza ( material e estado) das paredes dos tubos ( ver tabela abaixo);

V = velocidade média da água em m/s;L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em

que se deseja medir a perda de carga;D = diâmetro interno da tubulação (m), sendo recomendado observar

o limite entre 0,01m e 1,0m.

Os seguintes valores do coeficiente b são utlizados na fórmula de Flamant:b = 0,000 23 s1,75/m0,5 para tubos de ferro ou aço; b = 0,000 185 s1,75/m0,5 para tubos novos;b = 0,000 185 s1,75/m0,5 para canos de cobre; b = 0,000 140 s1,75/m0,5 para canos de chumbo;b= 0,000 135 s1,75/m0,5 para canos de PVC (catálogo da tigre)

45

74

7

DVLb4hf ou

DVb

4JD

⋅⋅⋅=⋅=⋅

Note que, quando a raiz quarta é eliminada da fórmula de Flamant, a seguinte expressão é obtida :

25,1

75,1

DVLb4hf ⋅⋅⋅=

4.6.3 A fórmula de Blasius (1913)Em tubos de polietileno de pequeno diâmetro, onde se espera a

ocorrência de um regime de fluxo do tipo turbulento liso, pode-se utilizar a fórmula de Blasius, para o fator f da fórmula universal, e um valor fixo da viscosidade cinemática da água (ν = 1,0 x10-6 m2/s), para desenvolver uma fórmula simplificada que tem a seguinte representação:

Onde: hf = perda de carga, em metros, entre dois pontos da tubulação kv= 0,000 5101 s1,75/ m0,5 ou 5,101 x 1 0-4 s1,75/ m0,5;kQ= 0,000 7785 s1,75/ m0,5 ou 7,785 x 1 0-4 s1,75/ m0,5;Q = vazão da água em m3/s;V= Velocidade média da água em m/s;L = é comprimento, em metros, entre os dois pontos da tubulação em

que se deseja medir a perda de carga;D = diâmetro interno da tubulação (m)

75,4

75,1

Q25,1

75,1

v DQKhf ou L

DVkhf ⋅=⋅⋅=

O valor da constante kv= 5,101x10-4 s1,75 / m0,5 pode ser deduzido através da combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e iii) e assumindo, para a viscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade, os seguintes valores: ν = 1,0 x10-6 m2/s e g = 9,80665m2/s.

( )( )

5,0

75,14

2

25.0

25,0x24

2

25.02625,0

25,1

75,125,02

25,0

0,25e

e

2

ms10x101,5

ms

sm10x101,5Kv

s/m80665,92s/m10x13164,0

g23164,0Kv

LDV

g23164,0hf

g2V

DL

DV3164,0hf

(iii) R

0,3164f )ii( DVR )i( g2

VDLfhf

−−

−

=⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⋅ν⋅

=

⋅⋅⋅ν⋅

=⋅

⋅⋅

ν⋅

=

=ν⋅

=⋅

⋅⋅=

4.6.3 A fórmula de Blasius (cont.)

Note que a Fórmula de Blasius tem validade apenas para tubos lisos na faixa de número de Reynolds maior que 4000 e menor que 80 000 (4000 <Re < 80 000)

25.0Re3164,0f =

De forma semelhante, o valor da constante KQ= 7,785x10-4 s1,75 / m0,5 pode ser facilmente determinada através da combinação das 3 fórmulas dadas abaixo (i, ii e iii) e assumindo, para a cviscosidade cinemática e para a aceleração da gravidade, os seguintes valores: ν = 1,0x10-6 m2/s e g= 9,80665m2/s:

( )( )

5,0

75,14

2

25,0

25,0x24

Q

75,1

2

25.02675,125,0

75,4

75,175,125,0

25,1

75,1

225,0

25,1

75,125,02

25,0

0,25e

e

2

ms10x785,7

ms

sm10x785,7K

4s/m80665,92

s/m10x13164,04g2

3164,0Kv

LDQ4

g23164,0hf L

DDQ4

g23164,0hf

LDV

g23164,0hf

g2V

DL

DV3164,0hf

(iii) R

0,3164f )ii( DVR )i( g2

VDLfhf

−−

−

=⋅⋅=

π

⋅⋅

⋅⋅=

π

⋅⋅ν⋅

=

⋅⋅

π

⋅⋅ν⋅

=⋅

⋅π⋅

⋅⋅ν⋅

=

⋅⋅⋅ν⋅

=⋅

⋅⋅

ν⋅

=

=ν⋅

=⋅

⋅⋅=

Exemplo 4.6.2. Calcule a perda de carga na tubulação do exercício anterior (tubo de 24 mm de diâmetro de PVC, com k= 0,06mm e 15m de comprimento), considerando uma vazão de 0,37L/s de água com, temperatura de 20oC ( v= 1,0 x10-6 m2/s). Compare o valor obtido com o abaco de Moody com valores obtidos com as fórmulas de (i) Hazen-Williams (com C=140), (ii) Flamant (com b=0,000 135 s1,75/m0,5 ) e (iii) Blasius.

Respostas:Moody ( Re = 2 x104; k/D= 0.0025; f = 0,0307; hf =0,66m); Hazen-Williams ( hf= 0,59m); Flamant(hf= 0,60m); Blasius (hf = 0,57m).

Exemplo 4.6.1. Calcule a perda de carga em um tubo de 24 mm de diâmetro de PVC (com k= 0,06mm), com 15m de comprimento, no qual escoa um vazão de 0,76 L/s de água com, temperatura de 20oC ( v= 1,0 x10-6 m2/s). Compare o valor da perda de carga obtida com o diagrama de Moody com valores de perda de carga obtidos com as fórmulas de Churchill (1974), Swamee (1993), de Hazen-Williams com C=140, de Flamant ( com b=0,000 135 s1,75/m0,5 ), e de Blasius.

Respostas: Moody (Re = 4,0 x104; k/D= 0.0025, f = 0,0281, hf = 2,53m); Churchill (f = 0,0285; hf = 2,56m); Swamee( f = 0,0284, hf= 2,56m); Hazen-Williams ( hf = 2,24m); Flamant ( hf = 2,13m); Blasius (hf (com kv) = 2,0m, hf (com kQ) = 2,0m).

Para resolver os exercícios 4.6.3 até 4.6.6 considere os valores de diâmetro interno mostrados pela tabela 4.4 que se refere a tubos PVC rígido para linhas fixas enterradas de sistemas de irrigação localizada (PN40) e sistemas de aspersão semi-portateis (PN-80) .

Tabela 4.4 - Tubos de PVC IRRIGA_LF PN40- PN-80 com Ponta Lisa (PL) PN40 PN80

Diâmetro Nominal

(DN)

Diâmetro Externo

(DE)

Espessura da parede

(e)

Diâmetro Interno

(D)

Diâmetro Nominal

(DN)

Diâmetro Externo

(DE)

Espessura da parede

(e)

Diâmetro Interno

(D) Mm Mm mm mm mm mm mm mm 35 38,1 1,2 35,7 50 50,6 1,2 48,2 50 50,6 1,9 46,8 75 75,4 1,5 72,4 75 75,4 2,5 70,4

100 101,6 2,0 97,6 100 101,6 3,6 94,4 125 125 2,5 120 150 150 3,0 144

Exemplo 4.6.3. Com base na fórmula de Hazen-Williams, com C =140, e nas dimensões dos

tubos IRRIGA LF PN40 dados na tabela 4.4, i) calcule o menor diâmetro comercial de uma adutora, de um único diâmetro, que é capaz de conduzir uma vazão de 25m3/h ao longo de uma distância de 200m, com uma perda de carga menor do que 6m. ii) calcule também o comprimento e o diâmetro de cada trecho de uma adutora, com dois diâmetros comerciais distintos e sucessivos, que é capaz de conduzir a vazão de 25m3/h, ao longo de uma distância de 200m, com uma perda de carga mais próxima de 8m.

Resposta : i) o diâmetro teórico é 77,3mm e o diâmetro interno comercial imediatamentesuperior é 97,6mm, que corresponde ao tubo PN40-DN100mm ; ii) Comprimentos teóricos: 128,2m de tubo PN40-DN100 e 71,8m de tubo PN40-DN75mm.

4. escoamento de um fluido real -...

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