O modelo de ondulação O modelo de ondulação do geóide e da anomalia do geóide e da anomalia

da altitude em Lisboada altitude em Lisboada altitude em Lisboada altitude em LisboaAna Paula Falcão

Instituto Superior Técnico

Estrutura da ApresentaçãoEstrutura da Apresentação

� Considerações sobre os referenciais altimétricos

� Referência altimétrica em Portugal Continental

� A transformação das altitudes: método de predição� A transformação das altitudes: método de predição

� Modelo local de ondulação do geóide em Lisboa

� Modelo local da anomalia da altitude

IV Jornadas Engenharia Topográfica- Instituto Politécnico Guarda23 e 24 de Maio de 2012

Referência altimétricaReferência altimétrica

Definição de um datum altimétrico está tradicionalmente associada aos registos do nível do mar:

Primeiros medições

Marcas gravadas nas rochas nas entradas dos portos marítimos, cais fluviais ou margens de riosRéguas graduadas: Escalas de marés

Primeiros registos das medições: França (1679) Observações e registos contínuos das marés apresentados pelos geodesistas Jean Piccard e Philippe de la Hire (Woppelmann, 2006) :

1ºs relativos a 10 dias em Brest. 2ºs relativos a 5 meses em 1692

O jornal francês Journal dês Sçavans, de 22 de Abril de 1675, faz referência a um artigo publicado num jornal italiano no qual estão descritos, de um modo muito completo, os procedimentos e os equipamentos que deveriam ser utilizados no registo das marés

Journal dês Sçavans de 22 de Abril de 1675

Athanasius Kircherus, por volta de 1665, designando-o por Horologium Aestus Marini e descrevendo-o na sua obra Mundus subterraneus, quo universae denique naturae

divitiae .

Contrapeso

Quadrante de leitura

Pedaço de madeira no interior do tubo

NilómetrosNilómetrosEstrabão (63 a.C. – c. 24 d.C.): geógrafo, historiador e filósofo grego Referenciou na sua Geographia a importância e o modo de medição das águas do Nilo para efeitos de cálculo de impostos

Nilómetros.Poço de grande largura provido deuma escada que descia até ao níveluma escada que descia até ao níveldo lençol freático .Permitindo a medição dasflutuações do nível da água do rioNilo

Objectivo: determinar a intensidade da inundação anual e, em consequência, o valor dos impostos devidos nesse ano.

Nilómetros localizados na Ilha de Elefantina (ilha no rio Nilo, no sul do Egipto, em frente à cidade de Assuão) e no Cairo

Marégrafos:Surgiram na primeira metade do século XIX

Associação Internacional de Geodesia (AIG), em 1864 durante a Convenção de Berlim, pressionou os países com costa marítima a fazer o maior número possível de registos:

- Inglaterra (1831): Sheerness- França (1842): Toulon/Marselha

Registos das marésRegistos das marés

- França (1842): Toulon/Marselha- Holanda (1862): Amesterdão - Portugal (1892): Cascais - Espanha (1874): Alicante- Itália (xxx): Génova

Geóide - nível médio das águas do mar: 2 m (salinidade, temperatura, pressão, correntes,…)

Referência altimétrica em Referência altimétrica em PortugalPortugal

A primeira recomendação relativa às referências altimétricas:

Programa para os Trabalhos da Carta Topográfica de Lisboa (artigos 4.º e 5.º)Referente aos trabalhos para a elaboração da carta topográfica da Cidade de Lisboa na escala 1/1 000. Redigido sob orientação do Conselheiro Filipe Folque, à data director dos Trabalhos Redigido sob orientação do Conselheiro Filipe Folque, à data director dos Trabalhos Geodésicos e Topográficos do Reino, com data de 9 de Dezembro de 1854, e de cuja publicação em Diário do Governo se transcreveram os pontos mais importantes no que concerne à altimetria:

4.º - Proceder-se-á a um rigoroso nivelamento em todas as ruas, travessas, becos, praças, largos e nas porções das estradas que entrarem na carta. O plano de referência será a superfície da base da estátua equestre no Terreiro do Paço; esta superfície tem de altura sobre as águas médias do Oceano 5,011 metros.

Em cada uma das esquinas em que as ruas e travessas se cruzem ou terminam nos largos e praças, se marcará em altura conveniente um traço horizontal por cima do qual se escreverá o valor da cota de nível, que lhe pertencer: (depois o Governo mandará por neste lugar uma chapa de ferro fundido em que se veja o traço e os algarismos da cota, tudo em relevo).

Carta topográfica da cidade de Lisboa 1910 (Carta de Silva Pinto):Utilizada a mesma referência altimétrica embora à altitude de 5,59 m valor que resultou da ligação por nivelamento geométrico entre o marégrafo de Cascais e o referido monumento [CML, 2005].

Carta14- Penha de França

MarégrafoMarégrafo de Cascais de Cascais

Crisóstomo et al, 2005 – CNCG; IGP, 2009; Vasco Antunes, 2010

1ª Instalação em 1881 Novo marégrafo:1883

Poço de acesso ao nível do marTambor de registo

Edifício de abrigo ao marégrafo acústico2003

Nível médio das águas do marNível médio das águas do marA determinação do valor médio das águas do mar em Cascais resultou das seguintes considerações (Lemos, 1957):

- Média aritmética das variações diárias;- Média mensal corrigindo as flutuações, no nível médio, da revolução sinódica da Lua;- Média anual corrigindo as variações derivadas da variação da distância da Terra ao Sol;- Média de um intervalo de 19 anos, corrigindo as variações provocadas pela variação em longitude da linha dos nodos da Lua – ciclo metónico;longitude da linha dos nodos da Lua – ciclo metónico;- Média de séries de 19 anos.

1º cálculo: registos entre 1882-1938. 2º cálculo: registos entre 1882-1950 (nova referência está indexada à época 1950,5)

Marégrafo

0 m

NMAM

NIM

MNP

Nível médio das águas do marNível médio das águas do marLocalidade

Diferença (cm)

Vila Real de Santo António

+ 16

Vila Verde de Ficalho + 33

Elvas + 15

Segura + 24

NAP

(-83 )(-82 )(-45 )(-48 )

(-13 )

(-47 )

(83 )

AHD

Segura + 24

Vilar Formoso + 22

Barca d’Alva + 39

Miranda do Douro + 32

Chaves + 48

Valença + 48

AlicanteMarselha

CascaisGenova

Oostend

Trieste

(-83 )(-82 )

(-244 )

Valores das translações (em cm) dos data verticais locais emrelação à superfície equipotencial W 0 = 62636856,0 m2s-2

(Bursa et al., 2001).Diferenças altimétricas em alguns pontos na fronteira entre a altimetria de Portugal Continental e a altimetria de Espanha. (Casaca et al., 2008)

ENQUADRAMENTOENQUADRAMENTO�ALTITUDES GEOMÉTRICAS

◦Altitude elipsoidal (h)

�ALTITUDE GRAVÍTICA◦Altitude ortométrica (H)

sup. terrestre

P

h(P)

AH(P)

◦Altitude ortométrica (H)◦Altitude normal (HN)

�RELACÇÕES ALTIMÉTRICAS

◦h (P)=H(P)+N(P)◦h (P)=HN(P)+AH(P)◦H(P)=HN(P)+AH(P)-N(P)

H(P)

elipsóide

geóide

quasi-geóide

teluróide

HN(P)

N(P)

Tipos de AltitudesTipos de AltitudesAltitudes gravíticasgeopotencial

dinâmicaortométrica

� Altitudes normais (Mikhail Molodensky1960, contornar a incerteza da distribuição das massas no interior da Terra)

Gravidade normal média:

Modelo de Molodensky; Modelo de Vignal

( ) ( ) ∫=−=P

00G gdHPWWPH ( )

( )QUPW

)P(H 0N

γ

−=

( ) ( )PHPH G=

ortométrica

Gravidade média:

Modelo de Prey-PoincaréModelo de HelmertModelo de NiethammerModelo de MaderModelo de MuellerModelos de RamsayerModelo de LederstegerModelo de Baranov

Modelo de Molodensky; Modelo de VignalModelo de Bomford;Modelo de Hirvonen

Altitude normalAltitude normal-ortométricaAltitude ortométricaSem informação

( ) ( )g

PHPH G=

ALTITUDES NORMAISALTITUDES NORMAIS

�GRAVIDADE NORMAL

ϕ+ϕ

ϕγ+ϕγ=ϕγ

2222

2b

2a

0SenbCosa

SenbCosa)(

( ) ( )

+

ϕ−

ω++−ϕγ≈ϕγ 2

22

22

0 ha

3hfsen2

GMba

f1a2

1h,

GRAVIDADE NORMAL MÉDIAModelo de MolodenskyModelo de VignalModelo de BomfordModelo de Hirvonen

�ALTITUDE NORMAL

-1.60

-1.40

-1.20

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

1 2 3 4 5 6 7 8

m

Molodensky - Vigna (x 0.00001)l

Molodensky - Bomford

Molodensky- Hirvonen (x 0.00001)

( ) ( )

20 ha

hfsen2GM

f1a

1h,Modelo de Hirvonen

( )( ) ( )

( )Q

WUPHPgPH 00

Nγ

−+×=

( )

+

ϕ−

ω++−×ϕγ=ϕγ

2NN2

22

aH

aH

fsen2GM

baf11)h,(

COMPARAÇÃO ENTRE AS ALTITUDES COMPARAÇÃO ENTRE AS ALTITUDES LINHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICOLINHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICOMALVEIRAMALVEIRA--BUCELASBUCELAS--V.F.XIRAV.F.XIRA

75

100

125

150

175

200

225

250

275

300

(m)

0.4960

0.4980

0.5000

0.5020

0.5040

0.5060

(m

)

0

25

50

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14

altitude ortométrica altitude elipsoidal altitude normal0.4900

0.4920

0.4940

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14

A A transformação das altitudestransformação das altitudes�Métodos Clássicos

◦Método de Stokes�anomalia da gravidade

◦Método astrogeodésico�desvios da vertical

◦Funções harmónicas esféricas

�Método Proposto

◦Método de predição

�expedito�pouco dispendioso�probabilístico

◦Funções harmónicas esféricas�potencial perturbador

Método de PrediçãoMétodo de Predição� Campos Escalares Aleatórios (CEA): funções cujo dominio é o plano cartesiano e o

contradominio é a familia de variáveis aleatórias gaussianas

0.6

0.8

1

au

toco

vari

ân

cia

a=200 a=300 a=400),(NZ)y,x( 2σµ∈=Φ

( )

σ

µ−−

πσ=σµ

2

2

2

zexp

2

1),|z(fFDP:

◦ Isotropia◦ Variograma (medida da correlação)◦ Autocovariância

� modelo exponencial

0

0.2

0.4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

dist (m)

au

toco

vari

ân

cia

σ22

( ) ( )ρϕσ=ρ 2C

( )

ρ−σ=ρ

a3

expC 2ρ- distância entre pares de pontosa - alcance efectivoσ2 - variância na origem

Método de PrediçãoMétodo de Predição�Campos Escalares Aleatórios Gaussianos

Dada uma amostra (z1,….zn) do campo escalar, o objectivo é predizer o valor da variável Z(x,y) e da têndencia. Consideramos apenas preditores lineares.

)y,x(Z)y,x()y,x(Z* +µ=

�Tendência µµµµ(x,y)

�Preditor linear da tendência

�CEA com autocorrelação intrínseca Z(x,y)

�Preditor linear da V.A. Z(x,y)

( )∑=

ω=n

1iiiiT y,xZ)y,x(L

( )∑=

λ=n

1iiii0 y,xZ)y,x(L

Funções polinomiais

Polinómio bilinear

Polinómio de 2º grau

Polinómio de 3º grau

A tendênciaA tendência

iiii yxayaxaaPB33344344

: +++ iiii 33344344

24

2

4233344344:2 axayxayaxaaGP iiiii +++++

2

23

2

32

2

24

2

4233344344:3

iiii

iiiiii

yxayxa

yaxayxayaxaaGP

++

++++++

Funções trigonométricas

�Sobreajustamento

Critérios numéricos

Coeficiente de determinação ajustado (R2a)

Critério de comparação (CP)

A tendênciaA tendência( )

( )∑

∑

=

=

−

−

−=n

i

n

i

zz

zz

R

1

2

1

2ˆ

12

( )( ) 2a2 R

pn1n

1R−

−−=

( )

( )( )

PA

PR

n

i

PA

n

i

P pn

pn

zz

zz

C ×−−

−

−

−

=

∑

∑

=

=2

ˆ

ˆ

1

2

1

2

Critério de comparação (CP)

Critério Prediction Sum of Squares (PRESSP)

Critério de Akaike (AIC)

Método de Jackknife

PR

zzdcomdPRESSpn

i

ˆ,1

2 −==∑=

2pnpn

nSQR

lnAIC−−

++

=

PreditorPreditor: BLUP: BLUP(Preditor linear cêntrico que minimiza a variância do erro de predição )

Método Dos Multiplicadores de Lagrange:

Coeficientes do BLUP (B1,….Bn) definidos pelos pontos estacionários do Lagrangeano

ρϕ

ρϕ

=

β

β

β

×

ρϕρϕ

ρϕρϕ

1

)(

)(

011

1)()(

1)()(

n

1

0

n

1

nn1n

n111

MM

L

L

MMOM

L

AplicaçõesAplicações� B - Modelo local de ondulação do geóide� A - Modelo local da anomalia da altitude

13 km

Predição da ondulação do Predição da ondulação do geóide em Lisboa (V.G.) geóide em Lisboa (V.G.)

2,42,32,0AIC0,01990,00620,0066PRESSp8,000011,08639,3401CP

0,96640,95900,9593R2a

P3GP2GPBCritério

Fonte: IGP29 V.G.

Predição da ondulação do Predição da ondulação do geóide em Lisboa geóide em Lisboa (V.G.)(V.G.)

0.0003

0.0005

0.0006

0.0008

0.0010

0.0011

0.0013

0.0000

0.0002

0.0003

0.00

1.79

2.64

3.34

3.90

4.37

4.98

5.62

6.17

6.78

7.61

8.76

10.09

12.60

dist (km)

Parâmetros empíricos PR (cm)

Desvio-padrão (m) 1,1

Amplitude (m) 5,7Análise: - variação da ondulação do geóide com uma amplitude de cerca de 45 cm;- as isolinhas estão orientadas segundo a direcção nordeste - sudoeste.

PREDIÇÃO DA ANOMALIA DA PREDIÇÃO DA ANOMALIA DA ALTITUDE (M.N.)ALTITUDE (M.N.)

ANA PAULA MARTINS FALCÃO FLÔR29 DE JULHO DE 2010

a2R

PC

9,69,08,0AIC

-3,6292,68PRESSp

8,0006,3574,009

0,3680,3530,368

P3GP2GPBCritério

PREDIÇÃO DA ANOMALIA DA PREDIÇÃO DA ANOMALIA DA ALTITUDE (M.N.)ALTITUDE (M.N.)

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0

0.05

0.1

0 6.2 8.2 10.8 12.6 14.0 16.7 18.1 18.9 20.8 22.6 25.2 27.1 28.7

dist (m)

Parâmetros empíricos

PR (m)

PRCTE (m)

PU (m)

PUCTE (m)

Desvio-padrão (m)

0,27 0,21 0,26 0,21

Média (m) 0,02 0,06 -0,06 0,06

Amplitude (m) 0,64 0,47 0,64 0,47

Obrigada pela Vossa Obrigada pela Vossa atençãoatençãoatençãoatenção

Ana Paula FalcãoInstituto Superior Técnico