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Matemática para CEF Teoria e Exercícios Comentados

Prof Alexandre Azevedo – Aula 02

Prof. Alexandre Azevedo www.estrategiaconcursos.com.br 1

Bom pessoal, esta será a terceira aula do nosso curso, se contarmos com

a aula demonstrativa.

Hoje irei esgotar o assuntos de juros e taxas, fazendo mais questões a respeito dos assuntos anteriores. Além disso, darei a teoria de

logaritmos, bem como as questões de concurso que envolvem a aplicação de tal matéria.

Na próxima aula iniciaremos um novo assunto.

Forte abraço,

Prof Alexandre Azevedo

Março/ 2012

AULA 02: Juros, capitalização e taxas

(terceira parte)




Colocar mais questões dos assuntos das matérias passadas...

Bom pessoal, conforme o prometido, vou fazer mais algumas questões dos assuntos das aulas passadas e ,logo após, dar a

teoria de logaritmos ,bem como resolver as questões de juros que envolvem esta matéria.

1) (CEF/CESGRANRIO) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema

de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores

inteiros positivos de i é:

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

Resolução:

Questão sobre Equivalência de Taxas

Informações:

Taxa Efetiva (anual) = 50% =ia

Taxa Nominal semestral = i% cap. Bimestralmente = ib

(1 + ia) ∙ 1 = (1 + ib)6




(1 + 0,5) = (1 + ib)6 1,5 = (1 + ib)6

Utilizando a tabela, teremos: i = 7% ab

Como o semestre tem 3 bimestres (taxa proporcional), temos: 7% ∙ 3 = 21% ao semestre.

O número 21 possui os seguintes divisores:

D(21) = {1, 3, 7, 21} n(21) = 4

Gabarito: A

2) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos,

equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

a) 75,0% b) 72,8%

c) 67,5% d) 64,4%

e) 60,0%

Resolução: i = 40% a.b. → taxa nominal (devemos transformar a taxa nominal em

taxa efetiva para a resolução do exercício ÷2). i = 20% a.m. → taxa efetiva

20% a.m. → % a.t.

(1 + 20%)3 = (1 + i)1

1,7280 = 1 + i

i = 1,7280 -1 = 0,7280 = 72,80%

Gabarito: B

3) (BB/CESPE) Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No vencimento, o

valor total a ser pago é de R$ 30.000,00, no entanto, o devedor quer quitá-la dois meses antes do prazo. Nessa situação, de

acordo apenas com as regras de matemática financeira, o credor deverá conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00.




Resolução:

Como temos juros compostos, trata-se de uma operação de desconto

composto.

Resolvendo a equação:

N = A ∙ (1 + i) t 30.000 = A ∙ (1 + 0,02)²

A = 28.835 – 30.000 = 1.165 O devedor um desconto de R$ 1.165,00.

Gabarito: Errado

4) (BB/CESPE) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses após

concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ 12.000,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-

se 1,2 como valor aproximado de 1,06³, conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$ 11.000,00.

Resolução:

Mais uma questão de desconto composto, cópia-carbono da

questão anterior...

Resolvendo a equação:

N = A ∙ (1 + i) t 20.000 ∙ (1 + 0,06)³ = 12.000 ∙ (1 + 0,06)¹ + A ∙ (1 + 0,06)º

A = 11.280,00

Gabarito: Certo




Função Logarítmica:

Definição de Logaritmo:

Bom, esta matéria sim será muito útil e cobrada em prova. Vocês vão

perceber que há várias questões de logaritmo que caem em prova, principalmente aquelas em que tal assunto é misturado com questões de

juros.

Não há como dar o “pontapé” inicial em logaritmos sem que você entenda muito bem a definição.

É o que ire fazer agora, dar a definição e apresentar as propriedades logo

em seguida.

Vamos lá:

Me acompanhem no raciocínio que irei fazer logo abaixo:

Se eu tenho que:

10x = 100 , qual o número ao qual eu elevo o 10 para dar 100? Eu elevo

a 2.Exatamente.Viu como você sabe tudo de logaritmos? Pois o logaritmo é justamente o expoente ao qual eu elevo algum número.

Ou seja:

10x = 100 log10 100 = x

Vamos continuar:

Se eu tenho 10x = 1000

Eu sei que o exponente ali é igual a 3.

Isso é o mesmo que dizer que o log101000 = 3

Ou seja:

103 = 1000 log10 1000 = 3

Só que à medida em que a matemática foi avançando, criou-se a

necessidade de trabalharmos com bases diferentes da base 10, surgindo situações como as seguintes:

3x = 9 log3 9 = x




Como sabemos que 32 = 9, sabemos também que log3 9 =2.

Resumidamente, temos:

bx = a logba = x

Notem que esse “a” e esse “b” tem nomes:

Chamaremos o “a” de logaritmando e de “b” a base do logaritmo.

Tais valores, por detalhes que não vêm ao caso, não podem ser iguais a qualquer coisa. Teremos que obedecer às seguintes restrições:

a > 0 e b > 0 e 1

Bom, vamos agora às propriedades... aviso que teremos uma quantidade

bem considerável delas e que todas são importantes em maior ou menor escala. Caso contrário eu nem as colocaria aqui.

Propriedades

a)O logaritmo de 1, em qualquer base, é sempre igual a zero.

Dizer que logb 1 = x é o mesmo que procurar o valor “x” tal que bx =1. Com isso, como todo número diferente de zero, elevado a zero, dá um ,

temos que tal log será igual a zero.

Logo:

Logb 1 = 0

b)O logaritmo em que a base é igual ao logaritmando será sempre igual a 1.

Temos que: logbb =x , então bx = b , ou seja, x =1.

O logaritmo de logbbm = m

Vou dar um exemplo :

Se eu tenho log337 = x , isso é o mesmo que dizer que 3x = 37 ,ou seja, x

= 7.

Logo, numa situação como essa, basta que eu olhe para o expoente ,que

ele será a resposta.




c)O logaritmo de logbam = m. logba

É a famosa “regra do peteleco”.

Sempre que tivermos este expoente no logaritmando podemos “empurrá-

lo” para a frente, multiplicando o restante da expressão que ficou após a sua retirada.

Por exemplo:

Log35

6 = 6.log35

d)O logaritmo de logbma =

.logba

Esta propriedade é uma variação da anterior. Vamos dar um exemplo:

e)Soma de logaritmos de mesma base

Logba + logbc = logb(a.c)

Exemplo:

Log23 + log24 = log2(3 . 4 ) = log2 12

f)Diferença de logaritmos de mesma base

Logba - logbc = logb(

)

Log214 – log2 2 = log2(14/2) = log2 7

e)Mudança de base

Em algumas situações precisaremos mudar a base do logaritmo com o qual estivermos trabalhando. Tal mudança será feita da seguinte

maneira:

Esta nova base “c” que apareceu será uma base escolhida por você. Ué,

pode ser qualquer base? Isso mesmo, pode ser qualquer base...Isso significa que você pode escolher a nova base de acordo com o contexto

na questão, na hora de resolver qual será a melhor base a ser colocada.




Exemplo:

ou

Ou seja, na primeira equação eu fiz a mudança para a base “2” e, na segunda, fiz a mudança para a base “6”.

5) (ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS PETROBRAS CESGRANRIO

2010) Dado log3(2) = 0,63, tem-se que log6(24) é igual a (A) 1,89

(B) 1,77 (C) 1,63

(D) 1,51 (E) 1,43

Resolução:

A questão forneceu o valor de log3(2) e solicitou o valor de log6(24).

Repare que o logaritmo fornecido está na base 3 e o solicitado na base 6. Por conta disso, temos de escrever log6(24) na base 3, para utilizar o

logaritmo fornecido. Para tanto, utilizaremos a propriedade da mudança de base.

Relembrando:

Sejam a, b e c números reais, com 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1 e c > 0.

O objetivo é escrever log6(24) na base 3. De acordo com a propriedade

acima, fica:

Para desenvolver o logaritmo obtido, temos de fazer uso das seguintes

propriedades: - Logaritmo do produto

Sejam a, b e c números reais, com 0 < a ≠ 1, b > 0 e c > 0.

O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos




- Logaritmo da potência

Sejam a, b e r números reais, com 0 < a ≠ 1 e b > 0.

No logaritmo da potência, o expoente passa multiplicando.

Aplicando as propriedades, fica:

Da definição de logaritmo, temos:

Além disso, a questão forneceu log32=0,63 . Substituindo, fica:

Assim, log6(24) = 1,77.

Gabarito: B.

6) (Geofísico/Geologia/PETROBRAS/CESGRANRIO/2010) Os

valores de x que satisfazem ao sistema

(A) 1, -1 (B) 1, 10

(C) 10, 1/10

(D) 10, 1/11 (E) 11, 11/10

Resolução:

O sistema fornecido no enunciado possui duas equações. A primeira é

logarítmica e possui duas variáveis. Já a segunda é do 2º grau e possui uma única variável. Comecemos pela segunda equação.




Com os valores de obtidos na segunda equação, podemos calcular os

valores de na primeira equação.

Com os valores de y, obtidos na segunda equação, podemos calcular os

valores de x , na primeira equação. Há dois valores possíveis para y, -1 e 1 .

A questão solicitou os valores de x que satisfazem o sistema. Os valores

são

e 11.

Gabarito: E.

7) (CEF/CESGRANRIO/2008) Após a data de seu vencimento, uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%,

além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a

2% da dívida original. Sabendo-se que log 10 2 = 0,30 e log 10 3 =

0,48 e utilizando-se para todo o período o sistema de

capitalização composta, determine o tempo mínimo necessário, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que

a dívida original.

(A) 24 (B) 23,5 (C) 13 (D) 11,5 (E) 10

Resolução:

Esta questão foi anulada pela Cesgranrio. Por sua complexidade, a apresentação da tabela financeira seria essencial, o que não aconteceu.

Sua resolução:

Dados:

Log 102 = 0,3 e log 103 = 0,48

i = 8% am Valor quitado: 190% do original.

Suponhamos que o valor da dívida seja 100$. Logo, o valor quitado será de 290$

M = C ∙ (1 + i)n + 2% ∙ C (multa)

290 = 100 ∙ (1 + i)n+ 2% ∙ 100




290 = 100 ∙ (1 + i)n + 2

100 ∙ (1 + i)n = 290 – 2

100 ∙ (1 + i)n = 288

(1 + i)n= 2,88

Bom pessoal, este é um tipo de questão de juros compostos que, como vocês podem ver, não tinha como ser apresentado na aula de juros,

justamente por causa dessa parte final.

Por acaso você sabe a qual número temos de elevar o 1,08 para dar

2,88? Nem eu. Pois é...é justamente numa situação como essa que teremos de fazer o uso de logaritmos. Observe em como o enunciado

forneceu o logaritmo de 2 e de 3 na base 10.

Vamos pegar a equação acima e calcular o log na base 10 tanto na parte da esquerda quanto na parte da direita.

Usando as propriedades dos logaritmos:

Log (1,08)n= log 2,88

n ∙ log (1,08) = log 2,88

n ∙ log100

108

= log 100

288

n ∙ (log 108 – log 100) = log 288 – log 100

n ∙ (log 2² ∙ 3³ – log 10²) = log (25 ∙ 3²) – log 10 2

n ∙ (2 ∙ log 2 + 3 ∙ log 3 – 2) = 5 ∙ log 2 + 2 ∙ log3 – 2

n[2 ∙ (0,30) + 3 ∙ (0,48) – 2] = 5 ∙ (0,30) + 2 ∙ (0,48) – 2 n ∙ (1,5 + 0,96 – 2) = 0,6 + 1,44 – 2

n = 04,0

46,0

244,16,0

296,05,1

n = 11,5 meses

Gabarito: D

8) (CEf-2010 – RJ e SP)A população P de uma comunidade, t anos

após determinado ano – considerado ano t=0 - , pode ser calculada pela fórmula P = Po . ek.t, em que k é uma constante

positiva, Po é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t=0 e é a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando

0,63 como valor aproximado para

e que a população Po

triplique em 6 anos, então Po será duplicada em:

a) 3,38 anos.

b) 3,48 anos. c) 3,58 anos.

d) 3,68 anos.




e) 3,78 anos.

Resolução:

Gabarito: E

9)O número de bactérias de uma cultura duplica a cada hora.

Num determinado instante, a cultura tem mil bactérias. A partir desse instante, aproximadamente quantas horas serão

necessárias para que o número de bactérias nessa cultura chegue a um milhão? Caso necessário, utilize a aproximação

0,3 para o valor de log 2.

A) 20

B) 3

C) 5

D)10

E) 200

Resolução:

Tentemos gerar uma fórmula para a quantidade em função das horas...

q(0) = 1000 (começa com 1000) q(1) = 1000.2 (duplica após uma hora)

q(2) = 1000.2.2 (novamente o dobro) q(3) = 1000.2.2.2 (idem)




...

Vemos que a cada hora multiplicamos por 2... Perceba que a quantidade de horas é o mesmo número do expoente de

2... Logo:

q(h) = 1000.2h Assim, a fórmula é q(h) = 1000.2h

Agora queremos saber quantas horas para alcançar 1 bilhão... Usando a fórmula...

q(h) = 1000.2h = 1000000000 2h = 1000000000/1000

2h = 1000000 (aplicando "log" nos dois lados) log2h = log1000000

log2h = log106 (propriedade de log) h.log2 = 6.log10 (sabendo que log2=0,301 e log10=1)

h.0,301 = 6.1 h = 6 / 0,301

h = 19,93

Ou seja, h é aproximadamente 20.

Gabarito: A

10) (Cesgranrio 2011-Engenheiro de Petróleo) Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, então o valor de n tal que

log n = 3 – log 2 é:

a)2000 b)1000

c)500 d)100

e)10

Resolução:

Temos que log n = 3 – log 2

Passando o log 2 para a esquerda, temos:

Log n + log 2 = 3

Como temos uma soma de logaritmos de mesma base, ficará assim:

Log ( 2 . n) = 3

Aplicando a definição de log:

2 . n = 103 = 1000




n = 500

Gabarito: C

11) (CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT -

Fiscal Municipal) Qual é o valor de k, para que a expressão

seja igual a 2?

a) 5 b) 4 c) 9 d) 2 e) 3

Resolução:

Primeiramente, temos que o numerador da fração é uma soma de logaritmos de mesma base:

log4 + log 9 + log 25 = log 900

logo:

Passando esse (1 + log k) para a direita, temos:

log 900 = 2 x (1 + log K)

log 900 = 2 + 2 log K

Vamos pegar esse “2” na frente do log K e colocá-lo como expoente do “K”, ou seja, estamos fazendo o caminho inverso da regra do “peteleco”.

log 900 = 2 + log K2

log 900 – log k2 =2

log (

) = 2

Aplicando a definição de logaritmo, temos que:

900 = 100 k2

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/consulplan-2010-prefeitura-de-campo-verde-mt-fiscal-municipal





Ou seja: k2 = 9

k = 3

Gabarito: E

12) (CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Fiscal

Municipal) Simplificando-se obtém-se:

a) 1/3 b) 1/5

c) 2/3 d) 2/5

e) 3/4

Resolução:

Vamos começar calculando o log216 = 4

Além disso,

Devemos, nesta questão, usar a propriedade da mudança de base:

e

Com isso, a expressão:

fica igual a

x

) = (pois cortamos os “logs” iguais na

parte de cima e de baixo, além de dividir 4 por 2)

Aplicando a definição de logaritmo, teremos:

Log82 = x ou, ainda, 8x = 2

Como 8 = 23 , fica:

(23)x = 2 23x = 2 3x = 1 x = 1/3

Gabarito: A

13) (CESPE- 2011 – CBM-ES-Oficial Bombeiro Militar Combatente) A soma dos logaritmos na base 10 de 2 números é 6, e o dobro de

um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue os itens a seguir.






O produto desses números é igual a 1 milhão.

Resolução:

Como a questão fala que a soma dos logaritmos de dois números na base

10 é 6, chamemos cada um destes valores de x e y.Com isso, teremos:

Log x + log y = 6 ou seja: log(x.y) = 6

Pela definição de logaritmo:

x.y = 106 = 1.000.000= 1 milhão

Gabarito: Certo

14) (CESPE- 2011 – CBM-ES-Oficial Bombeiro Militar Combatente)

A soma dos logaritmos na base 10 de 2 números é 6, e o dobro de


A soma desses números é igual a 2.000.

Resolução:

Esta questão é, digamos, uma continuação da questão anterior. Como sabemos,

x.y = 106 e o dobro de um desses logaritmos vale 4.

Digamos que tal logaritmo seja o logx. Com isso:

2.logx = 4

Logx = 2

x = 102

y = 106 / 102 = 104

Logo, x + y = 100 + 10000 = 10100, diferente de 2000.

Gabarito: Errado

15) (CESPE - 2011 - PREVIC - Técnico Administrativo - Básicos)

Com o objetivo de despertar mais interesse de seus alunos

para a resolução das expressões algébricas que com frequência ocorrem nos problemas, um professor de matemática propôs uma

atividade em forma de desafio. Os estudantes deveriam preencher retângulos dispostos em forma triangular de modo que cada

retângulo fosse o resultado da soma das expressões contidas nos dois retângulos imediatamente embaixo dele, exceto para aqueles

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/cespe-2011-previc-tecnico-administrativo-basicos




da base do triângulo. Portanto, na figura a seguir, D = A + B,

E = B + C e F = D + E.

Com base nos dados acima, julgue o item que se segue.

Os estudantes que preencheram corretamente os retângulos em

branco encontraram

Resolução:

Em primeiro lugar, esse lnx apresentado na questão é o chamado

logaritmo neperiano, que é a mesma coisa que o logaritmo na base “e”. Este “e” é chamado de número de Napier e é uma constante cujo valor é

irracional, ou seja, uma dízima não-períodica, cujo valor aproximado é 2,71,mas na verdade seu correto valor é e = 2,71... ,ou seja, se eu

continuasse a escrever iriam aparecer valores cada vez mais diferentes....o que isso importa a você na hora de resolver esta questão?

Sendo bem sincero... nada!

Como E = B + C, temos:

√ √ + B

B √ = √ √ √

B = √

Continuando, temos que calcular agora o valor de D:

D = B + A = ( √ + ( ln (x /2) + √ ) = 5x√ + ln2 + ln (x/2) =

5x√ + lnx + ln2 – ln2 =

D = 5x√ + lnx

Finalmente calculando o valor de F:




F = D + E = (5x√ + lnx) + ( √ = 4x√ + lnx + 2ln2 ,

Podemos transformar 2ln2 em ln22 = ln4.Assim:

F = 4x√ + lnx + ln4 = 4x√ + ln4x

Gabarito: Correto

16) (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás - Técnico de Administração -

Biocombustível) Quando os alunos perguntaram ao professor qual era a sua idade, ele respondeu: "Se considerarmos as funções f(x)

= 1 + e g(x) = , e a igualdade g(i) = f(243), i

corresponderá à minha idade, em anos." Quantos anos tem o professor?

a) 32 b) 48 c) 56 d) 60 e) 64

Resolução:

Como f(x) = 1 + log3x , temos:

f(243) = 1 + log3243 = 1 + 5 = 6

Por outro lado, o enunciado disse que g(x) = log2x.

Com isso, g(i) = log2i

Fazendo f(243) = g(i):

6 = log2i

Pela definição e logaritmo:

i = 26 = 64

Gabarito: E

17) (CESPE/UnB - TCDF/AFCE - 1995) Determinada quantia é investida à taxa de juros compostos de 20%a.a., capitalizados

trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, deve-se esperar:

a) trimestres

b) trimestres

http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/cesgranrio-2010-petrobras-tecnico-de-administracao-biocombustivel


http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=9199#p24351




c) trimestres

d) trimestres

e) trimestres

Resolução:

i = 20% a.a., capitalizados trimestralmente, que é o mesmo que 20 / 4 =

5 % ao mês, pois em 1 ano temos 12/3 = 4 trimestres.

Como M = C.( 1 + i )n e ele quer que dobremos o capital, teremos:

2C = C.(1 + i)n

Cortando os “C’s”, teremos:

2 = (1 + i )n

Calculando o logaritmo de ambos os lados, teremos:

Log2 = log(1 + i)n

Log 2 = n . log (1 + i) = n. log(1 + 0,05) = n.log 1,05

n =

Gabarito: B

18) (BB/CESPE) Considere que campanhas mundiais de conscientização e esclarecimento façam que os níveis de emissão

de CO 2 caiam, per capita, por ano, 10% na China e 15% na

Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 10 4 = 0,60, log 10

90 = 1,95 e log 10 85 = 1,93, conclui-se que serão necessários mais

de 20 anos para que os níveis de emissão de CO 2 , per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.

Resolução:

Considerando que os níveis de emissão de CO 2 caiam, per capita, por ano,

10% na China e 15% na Califórnia, teremos:

China = 3 ∙ (1 – 10%)t

Califórnia = 12 ∙ (1 – 15%)t




Como queremos que os níveis de emissão de CO 2 fiquem iguais, teremos:

3 ∙ (1 – 0,1)t= 12 ∙ (1 – 0,15)

t

Simplificando os dois membros da equação por 3:

(1 – 0,1)t= 4 ∙ (1 – 0,15)

t

(0,9)t= 4 ∙ (0,85)

t

Vamos multiplicar pelos logaritmos:

log(0,9)t= log4 ∙ (0,85)

t

t ∙ (log90 – log100) = log4 + t ∙ (log85 – log100)

t ∙ (1,95 - 2) = 0,6 + t ∙ (1,93 - 2) -0,05t = 0,6 – 0,07t

0,02t = 0,6 t = 30 anos

Conclui-se que serão necessários mais de 30 anos para que os níveis de

emissão de CO 2 nessas duas regiões tornem-se iguais.

Gabarito: Certo

19) (SOLDADO PM/ES - 2010 – CESPE) Julgue o item que se

segue, a respeito de operações com logaritmos:

Tomando 0,301 e 0,477 como os valores aproximados de log10 2 e

log10 3, respectivamente, é correto inferir que log10 72 = 1,578.

Resolução:

Ao fatorarmos o 72, temos que 72 = 23 x 32

Logo: log 72 = log (23 x 32) = log23 + log 32 = 3log2 + 2 log3 = 3(0,301) + 2(0,477) = 0,903 + 0,954 = 1,857 , que é diferente de 1,578.

Gabarito: Errado



Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 10 4 = 0,60, log10


de 20 anos para que os níveis de emissão de CO 2 , per capita, por

ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.

Resolução:




Considerando que os níveis de emissão de CO 2 caiam, per capita, por ano,

10% na China e 15% na Califórnia, teremos:

China = 3 ∙ (1 – 10%) t

Califórnia = 12 ∙ (1 – 15%) t

Como queremos que os níveis de emissão de CO 2 fiquem iguais, teremos:

3 ∙ (1 – 0,1) t = 12 ∙ (1 – 0,15) t

Simplificando os dois membros da equação por 3:

(1 – 0,1) t = 4 ∙ (1 – 0,15) t

(0,9) t = 4 ∙ (0,85) t Vamos multiplicar pelos logaritmos:

log(0,9) t = log4 ∙ (0,85) t t ∙ (log90 – log100) = log4 + t ∙ (log85 – log100)

t ∙ (1,95 - 2) = 0,6 + t ∙ (1,93 - 2) -0,05t = 0,6 – 0,07t

0,02t = 0,6 t = 30 anos

Conclui-se que serão necessários mais de 30 anos para que os níveis de

emissão de CO 2 nessas duas regiões tornem-se iguais.

Gabarito: Certo

21) (Cesgranrio-2005) As indicações R1 e R2 , na escala Richter,

de dois terremotos estão relacionados pela fórmula R1 – R2 =

(

) onde m1 e m2 medem a energia liberada pelos terremotos

sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos um correspondente a R1 = 8 e outro

correspondente a R2 = 6. A razão

é:

a) 2

b) Log210 c) 4/3

d) 100 e) Log(4/3)

Resolução:

Substituindo os valores de R1 e R2 na equação, teremos:

8 – 6 = log(

)




2 = log(

)

Aplicando a definição de logaritmos, temos:

Gabarito: D

22) Em quanto tempo um capital será quadruplicado se aplicado a

uma taxa de juros compostos de 2% a.m.?

Considere para a resolução:

log 2 = 0,3; log 1,02 = 0,01.

Resolução:

Sabemos que M = C.(1+i)n

O enunciado pediu que o capital fosse quadruplicado, ou seja:

M = 4C

4C = C(1 + 0,02)n

Cortando os “C’s” em ambos os lados, temos:

4 = (1,02)n

Bom, chegamos a um ponto em que não temos outra saída a não ser aplicarmos logaritmo em ambos os lados da equação.

Com isso, teremos:

log 4 = log (1,02)n

log 22 = log(1,02)n

Utilizando a regra do “peteleco”, temos:

2log 2 = n log(1,02)

Pelos dados do enunciado, teremos:

2 x 0,3 = n x 0,01




0,6 = 0,01 n

n = 0,6/0,01 = 60 meses

Gabarito: 60 meses

23) Durante quantos meses o capital de R$ 500.000,00 deverá ser aplicado a 6% a.a. de juros compostos para se transformar em R$

884.700,00?

Utilize log 1,7694/ log 1,06 = 9

Resolução:

M = C.(1 + i)n

Como C = 500000 , i = 0,06 e M = 884700, temos:

884700 = 500000( 1 + 0,06)n

Dividindo ambos os lados por 500000, temos:

1,7694 =(1,06)n

Novamente, teremos de calcular o logaritmo na base 10 de ambos os

lados da equação:

log 1,7694 = log (1,06)n

Utilizando a regra do “peteleco”, temos:

log 1,7694 = n. log(1,06)

n = log 1,7694 / log 1,06 = 9

Com isso, temos que n = 9 anos

Gabarito: 9 anos

24) Quantos bimestres são necessários para o capital de R$

1.000.000,00 se transformar em R$ 3.341.700,00, se for aplicado a 9% a.m. de juros compostos?

Utilize log 3,3417/ log1,09 = 14




Resolução:

Questão bem parecida com a anterior. Como M = C.(1 + i)n, temos:

3.341.700 = 1.000.000 (1 + 0,09)n

Passando “1.000.000” para a direita, temos:

3,3417 = (1,09)n

Calculando o logaritmo decimal em ambos os lados, temos:

log 3,3417 = log (1,09)n

Vamos aplicar a regra do “peteleco” para que o expoente “n” vá para a frente do logaritmo.

log 3,3417 = n.log(1,09)

n = log 3,3417/log(1,09) = 14

Logo, n = 14 meses = 14/2 = 7 bimestres

Gabarito: 7 bimestres

25) (BANCO DO BRASIL-Cesgranrio) Adotando log32 = 0,63 e

log311 = 2,18, o valor de log3(

).

a) -6,88

b) -3,38

c) -1,58 d) +3,38

e) +6,88

Resolução:

O grande problema aqui é escrevermos o logaritmo que foi pedido em função dos demais dados no enunciado. A questão consiste basicamente

disso.

log3(

) = log31 – log31936

Se fatorarmos o número 1936, teremos que ele é igual a 24 x 112

Logo: log3 1936 = log3 2

4 x 112 = 4.log32 + 2log311 =




= 4 x0,63 + 2 x0,18 = 2,52 + 4,36 = 6,88

Como “log” de 1 ,em qualquer base,é igual a 0, temos:

log3(

) = log31 – log31936 = 0 – 6,88 = -6,88

Gabarito: A




Questões Resolvidas nesta aula

1) (CEF/CESGRANRIO) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema

de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores

inteiros positivos de i é:

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

2) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos,

equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

a) 75,0%

b) 72,8%

c) 67,5% d) 64,4%

e) 60,0%

3) (BB/CESPE) Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No vencimento, o

valor total a ser pago é de R$ 30.000,00, no entanto, o devedor

quer quitá-la dois meses antes do prazo. Nessa situação, de




acordo apenas com as regras de matemática financeira, o credor

deverá conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00.

4) (BB/CESPE) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à

taxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ 12.000,00 e, no

final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de 1,06³, conclui-se que esse

último pagamento foi superior a R$ 11.000,00.

5) (ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS PETROBRAS CESGRANRIO 2010) Dado log3(2) = 0,63, tem-se que log6(24) é igual a:

(A) 1,89

(B) 1,77 (C) 1,63

(D) 1,51 (E) 1,43

6) (Geofísico/Geologia/PETROBRAS/CESGRANRIO/2010) Os valores de x que satisfazem ao sistema

(A) 1, -1

(B) 1, 10 (C) 10, 1/10

(D) 10, 1/11 (E) 11, 11/10

7) (CEF/CESGRANRIO/2008) Após a data de seu vencimento, uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%,

além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a

2% da dívida original. Sabendo-se que log 10 2 = 0,30 e log 10 3 =

0,48 e utilizando-se para todo o período o sistema de

capitalização composta, determine o tempo mínimo necessário, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que

a dívida original.

(A) 24 (B) 23,5 (C) 13 (D) 11,5 (E) 10

8) (CEf-2010 – RJ e SP)A população P de uma comunidade, t anos após determinado ano – considerado ano t=0 - , pode ser

calculada pela fórmula P = Po . ek.t, em que k é uma constante




positiva, Po é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano

t=0 e é a base do logaritmo neperiano. Nesse caso, considerando

0,63 como valor aproximado para

e que a população Po

triplique em 6 anos, então Po será duplicada em:

a) 3,38 anos.

b) 3,48 anos. c) 3,58 anos.

d) 3,68 anos. e) 3,78 anos.

9)O número de bactérias de uma cultura duplica a cada hora.

Num determinado instante, a cultura tem mil bactérias. A partir desse instante, aproximadamente quantas horas serão

necessárias para que o número de bactérias nessa cultura chegue a um milhão? Caso necessário, utilize a aproximação

0,3 para o valor de log 2.

A) 20

B) 3

C) 5

D)10

E) 200

10) (Cesgranrio 2011-Engenheiro de Petróleo) Se log x representa

o logaritmo na base 10 de x, então o valor de n tal que log n = 3 – log 2 é:

a)2000

b)1000

c)500 d)100

e)10

11) (CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Fiscal Municipal) Qual é o valor de k, para que a expressão

seja igual a 2?






a) 5 b) 4 c) 9 d) 2 e) 3

12) (CONSULPLAN - 2010 - Prefeitura de Campo Verde - MT - Fiscal

Municipal) Simplificando-se obtém-se:

a)1/3

b) 2/3

c) 2/5

d) 3/4


A soma dos logaritmos na base 10 de 2 números é 6, e o dobro de um desses logaritmos é 4. Com relação a esses números, julgue os

itens a seguir. O produto desses números é igual a 1 milhão.


A soma dos logaritmos na base 10 de 2 números é 6, e o dobro de


A soma desses números é igual a 2.000.

15) (CESPE - 2011 - PREVIC - Técnico Administrativo - Básicos)

Com o objetivo de despertar mais interesse de seus alunos

para a resolução das expressões algébricas que com frequência

ocorrem nos problemas, um professor de matemática propôs uma atividade em forma de desafio. Os estudantes deveriam preencher

retângulos dispostos em forma triangular de modo que cada retângulo fosse o resultado da soma das expressões contidas nos

dois retângulos imediatamente embaixo dele, exceto para aqueles da base do triângulo. Portanto, na figura a seguir, D = A + B,

E = B + C e F = D + E.

Com base nos dados acima, julgue o item que se segue.



http://www.questoesdeconcursos.com.br/provas/cespe-2011-previc-tecnico-administrativo-basicos




Os estudantes que preencheram corretamente os retângulos em

branco encontraram

16) (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás - Técnico de Administração - Biocombustível) Quando os alunos perguntaram ao professor qual

era a sua idade, ele respondeu: "Se considerarmos as funções f(x)

= 1 + e g(x) = , e a igualdade g(i) = f(243), i

corresponderá à minha idade, em anos." Quantos anos tem o

professor?

a) 32 b) 48 c) 56 d) 60 e) 64

17) (CESPE/UnB - TCDF/AFCE - 1995) Determinada quantia é

investida à taxa de juros compostos de 20%a.a., capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, deve-se

esperar:

a) trimestres

b) trimestres

c) trimestres

d) trimestres

e) trimestres

18) (BB/CESPE) Considere que campanhas mundiais de

conscientização e esclarecimento façam que os níveis de emissão


Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 10 4 = 0,60, log 10




19) (SOLDADO PM/ES - 2010 – CESPE) Julgue o item que se segue, a respeito de operações com logaritmos:

Tomando 0,301 e 0,477 como os valores aproximados de log10 2 e log10 3, respectivamente, é correto inferir que log10 72 = 1,578.



http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=9199#p24351






Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 10 4 = 0,60, log10




21) (Cesgranrio-2005) As indicações R1 e R2 , na escala Richter, de dois terremotos estão relacionados pela fórmula R1 – R2 =

(

) onde m1 e m2 medem a energia liberada pelos terremotos

sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre.

Houve dois terremotos um correspondente a R1 = 8 e outro

correspondente a R2 = 6. A razão

é:

a) 2 b) Log210

c) 4/3 d) 100

e) Log(4/3)

22) Em quanto tempo um capital será quadruplicado se aplicado a uma taxa de juros compostos de 2% a.m.?

Considere para a resolução:

log 2 = 0,3; log 1,02 = 0,01.

23) Durante quantos meses o capital de R$ 500.000,00 deverá ser

aplicado a 6% a.a. de juros compostos para se transformar em R$ 884.700,00?

Utilize log 1,7694/ log 1,06 = 9

24) Quantos bimestres são necessários para o capital de R$

1.000.000,00 se transformar em R$ 3.341.700,00, se for aplicado a 9% a.m. de juros compostos?

Utilize log 3,3417/ log1,09 = 14

25) (BANCO DO BRASIL-Cesgranrio) Adotando log32 = 0,63 e

log311 = 2,18, o valor de log3(

).

a) -6,88




b) -3,38

c) -1,58 d) +3,38

e) +6,88

Gabarito:

1-A 6-E 11-E 16-E 21-D

2-B 7-D 12-A 17-B 22-60 meses

3-E 8-E 13-C 18-C 23-9 anos

4-C 9-A 14-E 19-E 24-7 bim

5-B 10-C 15-C 20-C 25-A

Pessoal, esta aula foi um pouco mais curta, mas a próxima aula será bem maior, pois começaremos a falar sobre equivalência de capitais, mais um

assunto essencial para a prova!

Vamos então terminar de estudar estas primeiras aulas, pois a próxima

aula será “pesada”.

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