3) teoria dos potenciais - udesc · podemos seguir uma trajetória radial para a integral de linha...

ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA - Prof. Dr. Airton Ramos

3) Teoria dos Potenciais

Introdução Potenciais são funções do espaço e do tempo associadas aos campos

eletromagnéticos. A utilização dos potenciais na teoria eletromagnética se deve ao

fato de, na maioria das situações, ser mais simples calcular potencial do que

campo. Alem disso, os potenciais têm uma relação muito estreita com a energia

armazenada nos campos eletromagnéticos e isso lhes confere uma importância

destacada na análise física de sistemas reais. O potencial elétrico, por exemplo, é

uma grandeza fundamental na descrição de circuitos elétricos. Trata-se de uma

grandeza escalar, e por isso de fácil manipulação algébrica. Já o potencial vetorial

desempenha papel fundamental na descrição de campos alternados e ondas

eletromagnéticas geradas por fontes variáveis no tempo. Apresentaremos

inicialmente os conceitos e métodos para os potenciais de fontes estáticas e logo

a seguir as extensões para as fontes variáveis no tempo. Esta última descrição é

mais abrangente, porém, consideravelmente mais complexa. Por isso, neste

capítulo, ela será tratada apenas como uma introdução a um tema que será

melhor desenvolvido em capítulos posteriores.

Potencial Elétrico Estático Na parte da teoria eletromagnética denominada de eletrostática e magnetostática,

as distribuições de carga e corrente não dependem do tempo, ou variam muito

lentamente, de modo que a aproximação para campos estáticos é considerada

válida. No caso de uma distribuição estática de carga, concluímos no Capítulo 2

que o rotacional do campo elétrico é nulo e que esse fato nos permite associar à

102


distribuição de carga uma função escalar da posição no espaço, chamada de

potencial elétrico, de tal modo que o campo elétrico seja calculado como o

gradiente dessa função.

(3.1) )r()r(errr

ϕ−∇=

Como vimos no exemplo 2.7, existe um significado físico muito importante no

potencial elétrico. Para entendê-lo melhor neste ponto, podemos realizar a

seguinte análise. Suponha que estamos deslocando uma carga de prova (carga

pontual de pequeno valor) com velocidade constante entre duas posições do

espaço sob a influência do campo elétrico produzido por uma dada distribuição de

carga. Em virtude da força elétrica aplicada na carga de prova, a fim de manter

sua velocidade constante, será necessário exercer uma força externa sobre ela,

de modo que em cada posição ocupada pela carga, a força resultante seja nula.

Portanto, o trabalho realizado por essa força externa em um deslocamento

incremental é: rdr

(3.2) rdeqrdfrrrr

⋅−=⋅

Assim, o trabalho total realizado no deslocamento entre as posições 1rr

e 2rr

é dado

pela seguinte integral:

(3.3) ∫∫∫ ⋅ϕ∇=⋅−=⋅=Δ2

1

2

1

2

1

r

r

r

r

r

rrdqrdeqrdfW

r

r

r

r

r

r

rrrrr

Mas, de acordo com a definição de gradiente de uma função escalar, o último

integrando em (3.3) pode ser escrito na forma ϕ=⋅ϕ∇ drdr

. Então, o trabalho

realizado pode ser calculado por:

(3.4) ( ) ( )[ ]12 rrqWrr

ϕ−ϕ=Δ

o que nos leva a conclusão de que a diferença de potencial elétrico entre dois

pontos do espaço é igual ao trabalho necessário que um agente externo deve

realizar para movimentar uma carga unitária do ponto inicial ao final com

velocidade constante. Obviamente a exigência de velocidade constante implica em

que não haja variação de energia cinética da carga e, por isso, todo o trabalho

realizado deve estar armazenado no sistema carga-campo. Potencial elétrico é

103


medido em Volts (V) no Sistema Internacional de unidades, o que corresponde a

Joule / Coulomb.

Definindo arbitrariamente que o potencial elétrico produzido por uma distribuição

localizada de cargas se anula no infinito, podemos obter uma expressão geral

para o potencial elétrico em qualquer posição finita do espaço na forma:

(3.5) ∫∞

⋅=ϕr

rde)r(rrr

Para uma carga pontual na origem do sistema de coordenadas, por exemplo,

podemos seguir uma trajetória radial para a integral de linha em (3.5) e obter o

potencial elétrico na forma:

(3.6) r4

qrdrr

4q)r(

or3o πε

=⋅πε

=ϕ ∫∞ rr

r

Para uma distribuição de cargas descrita por uma densidade de cargas )r(v ′ρr

,

podemos generalizar o resultado anterior somando a contribuição de cada

elemento de carga vd)r(dq v ′′ρ=r

para obter:

(3.7) ∫∫∫′

′−′ρ

πε=ϕ

VodV

rr)r(

41)r( rr

rr

Para distribuições superficiais ou lineares de carga, podemos reescrever (3.7) de

maneira conveniente nas respectivas formas:

(3.8) ∫∫′

′−′σ

πε=ϕ

SodS

rr)r(

41)r( rr

rr

(3.9) ∫′

′−′λ

πε=ϕ

LodL

rr)r(

41)r( rr

rr

Exemplo 3.1 – Potencial elétrico para uma distribuição retilínea de carga com

densidade uniforme e comprimento L. Usando o sistema cilíndrico com eixo z

coincidindo com a direção da linha de cargas e com a origem posicionada no

ponto médio dessa linha, temos:

(Ex.1) zddL ′=

104


(Ex.2) 22 )zz(srr ′−+=′−rr

(Ex.3)

2L

2L22o

2L

2L 22o )zz(s)zz(

sln4)zz(s

zd4

+

−

+

− ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

′−++′−=∫

′−+

′=

πελ

πελϕ

(Ex.4) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−++−

++++=

22

22

o )2Lz(s)2Lz(

)2Lz(s)2Lz(ln

4πελϕ

Podemos calcular o campo elétrico usando (3.1):

(Ex.5) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++−

−+=

∂∂

−=2222o

z)2Lz(s

1

)2Lz(s

14z

eπελϕ

(Ex.6) ⋅=∂∂

−=o

s 4s

se

πελϕ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++++

22222222

2222

)2Lz(s)2Lz()2Lz(s)2Lz(s)2Lz()2Lz(s

)2Lz(s)2Lz()2Lz()2Lz(s)2Lz()2Lz(

Estas expressões se simplificam consideravelmente para um fio longo e posições

longe das extremidades, de tal modo que 2Lz << . Nesse caso, temos:

(Ex.7) 0ez =

(Ex.8) ( )22o

s2Ls

Ls4

e+

⋅=πελ

Além disso, para pontos bem próximos do fio, tal que 2Ls << , obtemos:

(Ex.9) s2

eo

s πελ

=

Este foi exatamente o resultado obtido no Capítulo 1 e capítulo 2 usando

respectivamente a lei de Coulomb e a lei de Gauss para um fio infinito. O

importante caso de dois fios paralelos carregados com cargas opostas é

representado na Figura 3.1. Para a geometria indicada nessa figura, podemos

estender o resultado (Ex.4) para obter:

105


(Ex.10)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++

=22

2

222

221

221

o )2Lz(s)2Lz(

)2Lz(s)2Lz(

)2Lz(s)2Lz(

)2Lz(s)2Lz(ln

4πελϕ

A Figura 3.2 mostra uma família de linhas equipotenciais no plano transversal dos

fios para 2Lz << .

λ+ λ−1sr 2s

r

2L

2L

λ+ λ−1sr 2s

r

2L

2L

Figura 3.1 – Linha de fios paralelos carregados com cargas opostas.

O método das Imagens Sistemas constituídos por distribuições de carga próximas a superfícies de

contorno com potenciais fixos não podem ser analisados, em geral, por meio da

abordagem mostrada acima, uma vez que não podemos obter corretamente as

distribuições de carga nessas superfícies sem conhecer o campo elétrico

superficial. Consideremos o sistema mostrado na Figura 3.3a, onde uma carga

pontual está localizada próxima a uma superfície condutora de potencial nulo.

Embora o potencial em qualquer lugar da superfície seja independente da posição

da carga pontual, o mesmo não ocorre com a carga distribuída na superfície.

Quanto mais próxima a carga pontual estiver, maior é a densidade de carga na

área da superfície correspondente à posição da carga pontual. Uma vez que o

potencial é constante na superfície, o campo elétrico superficial é perpendicular

106


em qualquer posição (ver Apêndice 3.5) e todo o fluxo elétrico produzido pela

carga pontual “penetra” na superfície como se existisse uma carga pontual de

sinal contrário localizada na posição exatamente simétrica à carga original. Esta

carga pontual fictícia é denominada de carga imagem e podemos obter o potencial

elétrico em qualquer posição do espaço acima do plano considerando a soma dos

potenciais da carga original com sua carga imagem. Segundo o esquema

mostrado na Figura 3.3b e usando a equação (3.6), o potencial para é dado

por:

0z >

(3.10) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε=ϕ

21o r1

r1

4q

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 -0.5

-1

-1.5

-2.0

-2.5

0.5

1

1.5

2.0

2.5

2( cm )

( cm )

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 -0.5

-1

-1.5

-2.0

-2.5

0.5

1

1.5

2.0

2.5

2( cm )

( cm )

2

Figura 3.2 – Equipotenciais no plano transversal de dois fios paralelos de comprimento infinito,

carregados uniformemente. O valor indicado nas linhas é o potencial normalizado para o4πελ .

Entre linhas consecutivas, a diferença de potencial é de 0.5.

107


0=ϕ

+q

0=ϕσ

+q

-q

z

z

z)

1rr

2rr

θ

( carga imagem )

0

( a )

( b )

0=ϕ

+q

0=ϕσ

+q

-q

z

z

z)

1rr

2rr

θ

( carga imagem )

0

( a )

( b )

Figura 3.3 – Uma carga pontual acima de um plano condutor aterrado. (a) a carga induzida no

plano é indicada pela linha tracejada. (b) A carga imagem representa o efeito da carga distribuída

no plano.

onde θ−+= coszr4z4rr 122

12 . O campo elétrico em qualquer posição do espaço

para pode ser calculado como o negativo do gradiente desse potencial: 0z >

(3.11) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

πε=ϕ−∇=

32

231

1

o rr

rr

4qe

rrr

na superfície do plano aterrado, temos 21 rr = e zcosr2rr 121)rr

θ−=− . Assim, o

campo na superfície do plano é dado por:

(3.12) zr

cos2

qe21o

)r θπε

−=

108


Como sabemos (exemplo 2.3), a densidade de carga superficial em um condutor é

igual ao módulo da indução elétrica na superfície. Assim, a carga distribuída na

superfície do plano aterrado é dada por:

(3.13) 21

or

cos2qe θπ

−=ε=σ

A Figura 3.4 mostra um gráfico tridimensional desta distribuição de carga.

Figura 3.4 – Distribuição de carga no plano condutor aterrado para uma partícula com carga q

posicionada no centro a uma altura de 1cm.

Exemplo 3.2 - A Figura 3.5 ilustra uma outra situação na qual o método das

imagens pode ser aplicado. Uma carga pontual próxima a uma superfície esférica

condutora aterrada. A carga imagem deve ser posicionada de tal maneira que o

potencial total seja nulo em qualquer posição da superfície da esfera. A escolha

natural para a posição da carga imagem é algum ponto sobre o eixo que liga a

109


carga externa ao centro da esfera. De acordo com os símbolos usados na Figura

3.4, podemos escrever o potencial na superfície da esfera na forma:

(Ex.11) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′+=

21o rq

rq

41πε

ϕ

0 z´ z

r1r2

aqq´

ϕ=0

0 z´ z

r1r2

aqq´

ϕ=0

Figura 3.5 – Análise do potencial criado pela carga pontual próxima de uma esfera condutora

aterrada.

onde as distâncias e 1r 2r são dadas por:

(Ex.12) θcosaz2zar 221 −+=

(Ex.13) θcosza2zar 222 ′−′+=

Mas, se o potencial na superfície da esfera é sempre nulo, então devemos ter:

(Ex.14) 0rq

rq

21=

′+ → k

rr

qq

2

1 −=−=′

onde k é uma constante a ser determinada. Podemos determinar o seu valor

substituindo (Ex.12) e (Ex.13) em (Ex.14):

(Ex.15) 22

221 kkr = → θθ coszak2zkakcosaz2za 2222222 ′−′+=−+

110


Ignorando o resultado trivial k=1 que não interessa, podemos obter de (Ex.15) as

seguintes relações:

(Ex.16) zzk,azk,zka 2 =′=′=

de onde obtemos:

(Ex.17) azk =

e

(Ex.18) z

az2

=′

Segundo (Ex.14) a imagem tem carga proporcional à carga externa, sendo dada

por:

(Ex.19) qza

kqq −=−==′

O potencial elétrico para qualquer ponto fora da esfera, exceto a posição da carga

pontual, pode ser calculado pela superposição dos potenciais da carga externa e

da carga imagem. Usando os resultados obtidos acima, podemos escrever a

seguinte expressão para esse potencial em função da distância r ao centro da

esfera:

(Ex.20) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−

−+=

θθπεϕ

coszar2arz

a

coszr2zr

14

q242222o

A Figura 3.6 mostra algumas curvas equipotenciais obtidas de (Ex.20).

Exemplo 3.3 – Um condutor cilíndrico longo é posicionado paralelamente a um

plano aterrado e está ligado a uma fonte de potencial fixo Vo. A Figura 3.7 mostra

este esquema. Vamos calcular o potencial elétrico em todo o espaço acima do

plano e em torno do condutor. Se o condutor estivesse isolado, sua carga estaria

distribuída uniformemente em sua superfície e a carga imagem correspondente

estaria posicionada em seu centro geométrico. Contudo, em virtude da

proximidade com o plano aterrado, a carga superficial no cilindro está concentrada

na face mais próxima do plano e, como mostra a Figura 3.7, a carga imagem está

111


0

0.1

0.15 0.2 0.3

0.5 0.7

1

2

5

10 ( x a )

( x a ) 0 1 2 3 42

1

0

-1

-2

0

0

0.1

0.15 0.2 0.3

0.5 0.7

1

2

5

10 ( x a )

( x a ) 0 1 2 3 42

1

0

-1

-2

0

Figuras 3.6 – Equipotenciais para o problema da carga pontual próxima da esfera aterrada no

plano que contém a carga e o centro da esfera. As distâncias são normalizadas para o raio da

esfera. Os potenciais são normalizados para a4

q

oπε.

deslocada para a posição z1. Definimos esta carga pela densidade linear λ.

Existem duas condições de contorno a satisfazer: potencial na superfície do

cilindro igual a Vo e potencial nulo no plano aterrado. A fim de satisfazer a

segunda, devemos ter uma carga imagem -λ na posição simétrica em relação ao

plano. Esta posição medida em relação ao centro geométrico do cilindro é dada

por 12 zh2z −= . Para o cálculo do potencial de uma distribuição retilínea e

112


uniforme de cargas, vamos utilizar a aproximação para uma linha de cargas de

comprimento infinito. Este resultado foi obtido no Capítulo 1 na equação (1.17):

(Ex.21) ss2

eo

)r

πελ

=

oV=ϕ

0=ϕ

λ

λ−

h

a

r

1s

2s

1z

2z

+ + +

_ _ _ _

oV=ϕ

0=ϕ

λ

λ−

h

a

r

1s

2s

1z

2z

+ + +

_ _ _ _

Figura 3.7 – Esquema geométrico para cálculo do potencial e campo elétrico no problema do

condutor cilíndrico sobre um plano condutor aterrado usando o método das imagens.

A linha de carga na Figura 3.7 está a uma distância d do plano. Assumindo que o

potencial nessa distância é nulo, obtemos o potencial para outra posição qualquer

integrando a equação (Ex.21):

(Ex.22) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=∫−=∫−=−

sdln

2sds

2sd.e)s()d(

o

d

so

d

s πελ

πελϕϕ

rr

113


Substituindo 0)d( =ϕ , obtemos:

(Ex.23) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

sdln

2)s(

oπελϕ

Com base neste resultado podemos escrever o potencial em uma posição

qualquer acima do plano aterrado na forma:

(Ex.24) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

2

o2o1o21 s

sln2s

dln2s

dln2

)s,s(πελ

πελ

πελϕ

Onde s1 e s2 são as distâncias em relação às cargas imagens λ e -λ,

respectivamente. De acordo com a Figura 3.7, essas distâncias podem ser

escritas em relação ao centro geométrico do cilindro na forma:

(Ex.25) θcoszr2zrs 121

21 −+=

(Ex.26) θcoszr2zrs 222

22 −+=

A equação (Ex.24) mostra que a condição de contorno no plano aterrado é

satisfeita, pois para qualquer posição no plano, 21 ss = , e com isso, (Ex.24)

resulta em potencial nulo. Na superfície do cilindro o potencial é Vo. Então

podemos escrever:

(Ex.27) ar1

2

oo s

sln2

V=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πελ

Isso nos leva à condição:

(Ex.28) Kss

ar1

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

onde K é uma constante a determinar. Substituindo (Ex.25) e (Ex.26) em (Ex.28),

resulta:

(Ex.29) θθ coszak2zkakcosza2za 122

1222

222

2 −+=−+

de onde obtemos as seguintes relações:

(Ex.30) →

2121

2

zzk

akzzka

=

==

az

zak

azz

2

1

221

==

=

114


A fim de determinar o valor de z1 podemos substituir 1

22 z

az = obtido acima na

equação 12 zh2z −= . Fazendo isso, resulta:

(Ex.31) 0ahz2z 21

21 =+−

A solução válida para z1 é:

(Ex.32) 221 ahhz −−=

Com isso, substituindo nas relações (Ex.30), obtemos também z2 e k:

(Ex.33) 2222

22 ahh

ahh

az −+=−−

=

(Ex.34) 1ah

ah

ahh

ak2

22−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

−−=

A densidade da carga imagem é obtida de (Ex.27) com a substituição de (Ex.28):

(Ex.35) ( ) o2

oo

o V

1ah

ahln

2V

kln2

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

πε=

πε=λ

Voltando a expressão (Ex.24) do potencial em uma posição qualquer acima do

plano e substituindo a densidade de carga imagem, teremos:

(Ex.36) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

=ϕ1

22

o21 s

sln

1ah

ahln

V)s,s(

onde s1 e s2 são dadas em (Ex.25) e (Ex.26). A Figura 3.8 mostra a distribuição de

campo elétrico no espaço em torno do condutor cilíndrico para um potencial

unitário aplicado. Note que o campo é perpendicular às superfícies do cilindro e do

plano aterrado.

115


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

a

( x a )

( x a

)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

a

( x a )

( x a

)

Figura 3.8 – Linhas equipotenciais e vetores de campo elétrico no problema do cilindro condutor

sobre um plano condutor aterrado. As distâncias estão normalizadas para o raio do cilindro.

Equação de Laplace Um dos problemas centrais da eletrostática é o cálculo do potencial elétrico

quando a distribuição de cargas não é conhecida a priori, mas o potencial em

certas regiões de contorno do espaço é especificado. Como vimos nos exemplos

anteriores, o método das imagens é uma abordagem possível para sistemas com

geometrias relativamente simples. Um método de aplicação mais geral é baseado

na obtenção de soluções para o sistema de equações diferenciais formado pela lei

de Gauss e pela equação (3.1). Substituindo o campo elétrico na lei de Gauss

pela sua expressão como o gradiente do potencial elétrico, obtemos:

(3.10) o

2

ερ

−=ϕ∇

116


onde o operador Laplaciano é obtido como ( )ϕ∇⋅∇=ϕ∇2 . Esta equação é

denominada de equação de Poisson. Na ausência de cargas livres no meio, ou

seja, onde a densidade macroscópica de cargas seja nula, obtemos um caso

particular de grande importância, denominado de equação de Laplace:

(3.11) 02 =ϕ∇

As condições de contorno para a obtenção de soluções particulares para o

potencial elétrico em todos os pontos internos de um volume são definidas pelos

potenciais nas suas superfícies limítrofes. A forma geométrica dessas superfícies

determina, em geral, o sistema de coordenadas mais adequado a ser usado na

representação do operador laplaciano. Como (3.11) é uma equação diferencial

linear, suas soluções particulares podem ser combinadas linearmente para obter

novas soluções, ou seja: se ϕ1, ϕ2, ϕ3, ..., são soluções da equação de Laplace,

então, a combinação linear dessas funções na forma:

(3.12) nn

na ϕ∑=ϕ

também é uma solução. Os coeficientes an são constantes. Por outro lado, pode-

se demonstrar que uma solução da equação de Laplace que satisfaça as

condições de contorno especificadas é única, ou seja, não existe duas soluções

diferentes para o mesmo conjunto de condições de contorno.

Equação de Laplace em coordenadas retangulares:

Em coordenadas retangulares a equação de Laplace é dada por:

(3.13) 0zyx 2

2

2

2

2

2=

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂+

∂

ϕ∂

Uma solução geral em coordenadas retangulares pode ser obtida com o método

de separação de variáveis. Supondo que podemos encontrar três funções

independentes X(x), Y(y) e Z(z), tal que:

(3.14) )z(Z)y(Y)x(X)z,y,x( =ϕ

seja uma solução da equação de Laplace, podemos substituir esta expressão em

(3.13) para obter:

117


(3.15) 0dz

ZdXYdy

YdXZdx

XdYZ2

2

2

2

2

2=++

Dividindo toda a expressão por XYZ, obtemos:

(3.16) 0dz

ZdZ1

dyYd

Y1

dxXd

X1

2

2

2

2

2

2=++

Como cada termo nesta equação depende apenas de uma coordenada, para que

a soma seja nula em qualquer posição do espaço, cada termo deve ser igual a

uma constante, isto é, podemos separar (3.16) em três outras equações

independentes:

(3.17)

2z2

2

2y2

2

2x2

2

kdz

ZdZ1

kdy

YdY1

kdx

XdX1

=

=

=

onde kx, ky e kz são denominadas de constantes de separação e devem satisfazer

a seguinte relação:

(3.18) 0kkk 2z

2y

2x =++

Consideremos a equação na coordenada x e vamos avaliar as possibilidades de

solução. Uma solução geral pode ser obtida pelo método habitual, substituindo

. Fazendo isso, encontramos que o coeficiente α deve satisfazer a

relação . Assim, temos as seguintes possibilidades:

xoeXX α=

2x

2 k=α

Se , α é nulo mas a solução geral é: 0k2x =

(3.19) bxaX +=

onde a e b são constantes;

Se , α é um número real que admite dois valores: 0k2x > xk±=α . Então, a

solução geral é dada por:

(3.20) xxk2

xxk1 eXeXX −+=

118


Se , α é um número imaginário que admite dois valores: , onde 0k2x < xjβ±=α

xx k=β . Então, a solução geral é dada por:

(3.21) xxj2

xxj1 eXeXX β−β +=

Esta última equação pode ser reescrita em uma forma mais conveniente usando a

equação de Euler: . Fazendo isso, obtemos: φ+φ=φ senjcose j

(3.22) ( ) ( ) )x(senXXj)xcos(XXX x21x21 β−+β+=

Uma vez que X representa uma grandeza física, esta equação deve fornecer um

valor real. Para que isso ocorra, os coeficientes X1 e X2 devem ser números

complexos conjugados. Então, (3.22) pode ser escrita na forma:

(3.23) )x(senA)xcos(AX x2x1 β+β=

onde A1 e A2 são coeficientes reais.

Para que (3.18) seja satisfeita, devemos ter um ou dois termos negativos.

Digamos que e . Neste caso . As soluções

possíveis são:

0k2x < 0k2

y < 0kkk 2y

2x

2z >−−=

(3.24) )x(senA)xcos(AX x2x1 β+β=

(3.25) )y(senB)ycos(BY y2y1 β+β=

(3.26) z2

z1 eCeCZ α−α +=

onde xx k=β , yy k=β e 2y

2x β+β=α .

Exemplo 3.4 – Dois planos condutores infinitos e paralelos em 2zz o−= e

2zz o= estão ligados a potenciais fixos e 1V 2V . O potencial entre os planos é

independente das coordenadas x e y. Assim, a solução de (3.18) é

e a solução da equação de Laplace é: 0kkk 2z

2y

2x ===

(Ex.37) baz +=ϕ

119


Aplicando as condições de contorno 1o V2z =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−ϕ e 2o V2

z =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ϕ , obtemos

o12

z)VV(a −= e 2

)VV(b 12 += . Assim, o potencial em todos os pontos entre os

planos é dado por:

(Ex.38) 2

)VV(zz

)VV( 12

o

12 ++

−=ϕ

O campo elétrico neste espaço é uniforme e perpendicular aos planos:

(Ex.39) ( )z

zVVe

o

12 )r −−=ϕ−∇=

Exemplo 3.5 – Na Figura 3.9 os planos 0x = e ax = estão no potencial nulo e o

plano está no potencial . Uma vez que o volume se estende a infinito na

direção z, o termo exponencial crescente em (3.26) deve ser eliminado pela

escolha de . Os planos são infinitos na direção y, por isso o potencial não

varia nessa direção e . Assim, a solução geral para o potencial assume a

forma:

0z = oV

0C1 =

0y =β

(EX.40) [ ] zx2x1 e)x(senA)xcos(A α−β+β=ϕ

onde xβ=α . As condições de contorno restantes são: 0)0z,0x( =≥=ϕ ,

e 0)0z,ax( =≥=ϕ oV)0z,ax0( ==≤≤ϕ . Para que o potencial se anule no

plano x=0, o coeficiente A1 deve ser nulo. Por outro lado, para que o potencial se

anule no plano x=a, devemos ter:

(Ex.41) 0)a(sen x =β → an

xπ

=β

onde ‘n’ é qualquer número inteiro. Esta equação mostra que existem infinitas

soluções particulares que satisfazem as condições de contorno nos planos x=0 e

x=a. Uma solução geral, então, pode ser obtida pela superposição dessas

soluções particulares na forma (3.12):

(Ex.42) ∑π

=ϕπ−

na

znn e)x

an(sena

120


x

z

a

0

oV=ϕ

0=ϕ

0=ϕ

x

z

a

0

oV=ϕ

0=ϕ

0=ϕ

Figura 3.9 – Cálculo do potencial no espaço entre três planos condutores. Os planos são infinitos

na direção y. Não há contato entre o plano z=0 e os planos x=0 e x=a.

A fim de satisfazer a última condição de contorno, devemos ter:

(Ex.43) ∑π

=n

no )xan(senaV

Para obter os coeficientes an que satisfazem esta equação, podemos utilizar o

método da série de Fourier (Apêndice 3.1). Neste caso, basta multiplicar ambos os

lados de (Ex.43) por )xa

m(sen π , onde ‘m’ é um número inteiro, e integrar na

variável x nos limites de 0 a ‘a’:

(Ex.44) ∑ ∫ππ

=∫π

n

a

0n

a

0o dx)x

am(sen)x

an(senadx)x

am(senV

Para integral no lado direito temos:

(Ex.45) ⎩⎨⎧

=∫ππ =

≠mnse2

amnse0

a

0dx)x

am(sen)x

an(sen

Com isso, o coeficiente an é dado por:

(Ex.46) n

)ncos(1V2dx)x

an(senV

a2a oa

0on

π−π

=∫π

=

Vemos que apenas os termos pares são não nulos nesta série, ou seja:

(Ex.47) ,..,.4,2,0npara0a

,...5,3,1nparanV4

a

n

on

==

=π

=

121


Assim, a solução para o potencial é obtida na forma:

(Ex.48) ∑π

π=ϕ

π−

ímparna

zno e)xan(sen

n1V4

A Figura 3.10 mostra um conjunto de linhas equipotenciais normalizadas obtidas a

partir desta equação.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

210− 310− 410− 510−010 110−x ( a

)

z ( a )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

210− 310− 410− 510−010 110−x ( a

)

z ( a )

Figura 3.10 – Linhas equipotenciais normalizadas para π

oV4obtidas na análise dos planos

condutores. As distâncias estão normalizadas para a separação ‘a’ entre os planos

perpendiculares ao eixo x. Foram usadas apenas as funções com índice de 1 a 11.

Exemplo 3.6 – A Figura 3.11 mostra uma situação mais realista do que a análise

anterior. Neste caso os planos são limitados na direção y e existem planos de

potencial nulo em y=0 e y=b. A solução geral neste caso é semelhante a (Ex.40)

mas devemos acrescentar a dependência na coordenada y:

(EX.49) [ ][ ] zy2y1x2x1 e)y(senB)ycos(B)x(senA)xcos(A α−β+ββ+β=ϕ

A fim satisfazer as condições de contorno: 0)0z,by0,0x( =≥≤≤=ϕ e

, devemos ter 0)0z,0y,ax0( =≥=≤≤ϕ 0A1 = e 0B1 = . De modo análogo ao

122


que foi feito no exemplo anterior, a fim satisfazer as condições de contorno:

e 0)0z,by0,ax( =≥≤≤=ϕ 0)0z,by,ax0( =≥=≤≤ϕ , devemos ter:

x

y

z0

a

b

0=ϕ

0=ϕ0=ϕ

0=ϕ

oV=ϕ

x

y

z0

a

b

0=ϕ

0=ϕ0=ϕ

0=ϕ

oV=ϕ

Figura 3.11 – Cálculo do potencial entre 5 planos condutores. Não há contato entre os planos em

x=0, x=a, y=0, y=b e o plano z=0.

(Ex.50) π=β n)a(sen x → an

xπ

=β

(Ex.51) → π=β m)b(sen y bm

yπ

=β

onde n e m são inteiros. De acordo com (3.18), a constante α é dada por:

(Ex.52) 22

2y

2x b

man

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π=β+β=α

Como vimos antes, a solução geral pode ser escrita na forma de uma série. Neste

caso temos uma série dupla nas variáveis x e y:

(Ex.53) ∑∑ππ

=ϕ α−

n m

znm e)y

bm(sen)x

an(sena

Finalmente, para satisfazer a condição de contorno final,

devemos ter: 0)0z,by0,ax0( ==≤≤≤≤ϕ

(Ex.54) ∑∑ππ

=n m

nmo )yb

m(sen)xan(senaV

123


Usando o mesmo método aplicado anteriormente, devemos multiplicar ambos os

lados da equação anterior por )yb

q(sen)xap(sen ππ e integrar nos limites 0 a ‘a’ em

x e 0 a ‘b’ em y. Fazendo isso, obtemos:

(Ex.55)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫

ππ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫

ππ∑∑

=∫ ∫ππ

b

0

a

0n mnm

b

0

a

0o

dy)ybq(sen)y

bm(sendx)x

an(sen)x

ap(sena

dxdy)ybq(sen)x

ap(senV

As integrais têm os seguintes resultados:

(Ex.56) ⎩⎨⎧

=∫ππ =

≠npse2

anpse0

a

0dx)x

an(sen)x

ap(sen

(Ex.57) ⎩⎨⎧

=∫ππ =

≠mqse2

bmqse0

b

0dy)y

bm(sen)y

bq(sen

(Ex.58) [ ] [ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=π−π−

π

=∫ ∫ππ

πímparmense

nm2ab4

oV

parmounse02o

b

0

a

0o

m)mcos(1

n)ncos(1abV

dxdy)yb

m(sen)xan(senV

Com estes resultados em (Ex.55), obtemos os valore de anm na forma:

(Ex.59) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

= πímparmenpara

nm216

oV

parmounpara0nma

E o potencial em todos os pontos internos do volume definido na Figura 3.11 é

dado por:

(Ex.60) ∑ ∑ππ

π=ϕ α−

ímparn

ímparm

z2o e)y

bm(sen)x

an(sen

nm116V

As Figuras 3.12 e 3.13 mostram as distribuições de potencial em dois planos neste

volume: o plano z=0 e o plano z=a, sendo a=b. Nos cálculos referentes a estas

figuras, a série (Ex.60) foi truncada no termo com n=11 e m=11. Observe que,

devido ao truncamento, o potencial uniforme Vo no plano z=0 é aproximado por

124


uma função oscilatória no plano xy. Aumentando o número de termos na série

truncada, a resposta obtida deve se aproximar cada vez mais de um potencial

uniforme no valor Vo.

x ( a )y ( a )

)0z,y,x( =ϕ

x ( a )y ( a )

)0z,y,x( =ϕ

Figura 3.12 – Distribuição de potencial no plano z=0 representada pelos termos de n=1 e m=1 a

n=11 e m=11 na série (Ex.60). As distâncias estão normalizadas para a largura a (a=b) dos planos

x e y. O potencial está normalizado para . oV

x ( a )y ( a )

)a1.0z,y,x( =ϕ

x ( a )y ( a )

)a1.0z,y,x( =ϕ

Figura 3.13 – Distribuição de potencial no plano z=0.1a representada pelos termos de n=1 e m=1 a

n=11 e m=11 na série (Ex.60). As distâncias estão normalizadas para a largura a (a=b) dos planos

x e y. O potencial está normalizado para . oV

125


Equação de Laplace em coordenadas cilíndricas Em coordenadas cilíndricas, a equação de Laplace é descrita pela expressão:

(3.27) 0zs

1s

sss

12

2

2

2

2=

∂

ϕ∂+

φ∂

ϕ∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ϕ∂

∂∂

Procedendo à separação de variáveis, teremos:

(3.28) )z(Z),s(F)z,,s( φ=φϕ

Substituindo em (3.27) e dividindo todos os termos por FZ, obtemos:

(3.29) 0dz

ZdZ1F

s1

sFs

ss1

F1

2

2

2

2

2=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

φ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

O segundo termo deve ser igual a uma constante. Temos então:

(3.30) Zkdz

Zd 22

2=

e o primeiro termo pode ser reescrito na forma:

(3.31) 0FskFsFs

ss 22

2

2=+

φ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

Aplicando novamente a separação de variáveis, substituímos )()s(S),s(F φΦ=φ e

obtemos:

(3.32) 0skdd1

dsdSs

dsds

S1 22

2

2=+

φ

ΦΦ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

O segundo termo deve ser uma constante. Por conveniência, em virtude da

necessária periodicidade em relação ao ângulo azimutal, podemos atribuir a esta

constante um valor negativo a priori. Com isso, temos as equações separadas:

(3.33) Φ−=φ

Φ 22

2n

dd

(3.34) 0S)nsk(dsdSs

dsSds 2222

22 =−++

onde, a fim de haver periodicidade na coordenada azimutal, n deve ser real e

inteiro. Vamos obter agora as soluções para as funções S, Φ e Z. As soluções

126


para (3.30) e (3.33) são bem conhecidas. Neste estudo, iremos tratar apenas de

situações nas quais a constante k é real. Então, para as funções Φ e Z, temos:

(3.35) 0kseeAeAZ

0ksebzaZ2kz

2kz

1

2

>+=

=+=−

(3.36) ( ) ( )φ+φ=Φ nsenBncosB 21

Por outro lado, a solução de (3.34) tem três possibilidades:

1) k=0 e n=0; Neste caso (3.34) pode ser reescrita na forma:

(3.37) 0dsdSs

dtd0

dsdS

dsSds2

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛→=+

cuja solução geral é:

(3.38) ( ) 21 CslnCS +=

2) Se k=0 mas n≠0, temos:

(3.39) 0SndsdSs

dsSds 22

22 =−+

Cuja solução geral é dada por:

(3.40) n2

n1 sCsCS −+=

E, finalmente, para k diferente de zero, (3.34) é a equação diferencial de Bessel

(Apêndice 3.2), cujas soluções são e , as funções de Bessel de

primeira e segunda espécie de ordem n, respectivamente. A solução geral de

(3.34) pode, então, ser escrita na forma:

)ks(Jn )ks(Nn

(3.41) )ks(NC)ks(JC)s(S nn2nn1n +=

Exemplo 3.7 – Um cabo coaxial tem seu condutor externo (raio b) aterrado e seu

condutor interno (raio a) ligado a um potencial Vo (Figura 3.15). Se o cabo é muito

longo e estamos interessados no potencial longe das extremidades, definindo o

eixo z como sendo o eixo de simetria axial dos condutores, podemos verificar que

o potencial não depende das coordenadas z e φ. Assim, temos k=0 e n=0. A

solução para o potencial é, então, dada por:

(Ex.61) ( ) 21 CslnC)s( +=ϕ

127


Vo

2a2b

Vo

2a2b

Figura 3.15 – Análise de um cabo coaxial longo.

Aplicando as condições de contorno oV)a( =ϕ e 0)b( =ϕ , teremos:

(Ex.62) ( )

( ) 21

21oCblnC0

CalnCV+=+=

Resolvendo para os coeficientes C1 e C2, obtemos:

(Ex.63) ( )

( )baln

)bln(VC

baln

VC

o2

o1

−=

=

Com isso, a solução para o potencial dentro do cabo coaxial é dada por:

(Ex.64) ( ) ( ) ( ) )bsln(

baln

V

baln

)bln(V)sln(

baln

V)s( ooo =−=ϕ

Exemplo 3.8 – A Figura 3.16 mostra uma calha semi-cilíndrica condutora de

comprimento infinito ligada a um potencial fixo Vo e apoiada, mas sem contato

elétrico, em um plano condutor aterrado. Se posicionarmos o eixo z paralelamente

ao comprimento da calha saberemos que o potencial elétrico não dependerá da

coordenada z. Portanto temos k=0. Uma vez que o potencial é finito em qualquer

128


posição do espaço, a solução da equação de Laplace dentro da calha deve

envolver apenas as potências positivas da coordenada s e para fora da calha

apenas as potências negativas de s. Temos então:

(Ex.65) para ( ) ( )[ ]∑ φ+φ=φϕ∞

=1n

nnn snsenbncosc),s( as ≤

(Ex.66) para ( ) ( )[ ]∑ φ+φ=φϕ∞

=

−

1n

nnn snsenbncosc),s( as ≥

a

0=ϕ

oV=ϕ

s

φa

0=ϕ

oV=ϕ

s

φ

Figura 3.16 – Calha semicircular condutora ligada a um potencial fixo sobre um plano condutor

aterrado.

Aplicando agora as condições de contorno para o potencial sobre o plano:

e 0)0,as0( ==φ≤≤ϕ 0),as0( =π=φ≤≤ϕ , verificamos que os coeficientes cn

devem ser nulos. Aplicando a condição para a calha, oV)0,as( =π<φ<=ϕ ,

obtemos as relações:

(Ex.67) para ( )∑ φ=∞

=1n

nno nsenabV as ≤

(Ex.68) para ( )∑ φ=∞

=

−

1n

nno nsenabV as ≥

Usando o método da série de Fourier, os coeficientes bn podem ser calculados

pelas expressões:

129


(Ex.69) ∫⎪⎩

⎪⎨

⎧

=φφπ

=π

π

0

ímparnsen1

naoV2

parnse0no

n d)n(sena

Vb para as ≤

(Ex.70) ∫⎪⎩

⎪⎨

⎧

=φφπ

=π −π

− 0

ímparnsen1

naoV2

parnse0no

n d)n(sena

Vb para as ≥

Com isso, as soluções na forma de série de Fourier são dadas por:

(Ex.71) ( )∑

φ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=φϕ

ímparn

no

nnsen

asV2

),s( para as ≤

(Ex.72) ( )∑

φ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=φϕ

−

ímparn

no

nnsen

asV2

),s( para as ≥

A Figura 3.17 mostra uma distribuição de linhas equipotenciais no plano

transversal à calha, obtidas a partir das equações acima com truncamento da

série no termo n=99.

-1 0 1 2

1

2

-20

0.10.2

0.3

0.3

0.4

0.4

1

( x a )

( x a

)

-1 0 1 2

1

2

-20

0.10.2

0.3

0.3

0.4

0.4

1

( x a )

( x a

)

Figura 3.17 – Linhas equipotenciais no problema da calha semicircular. Os potenciais estão

normalizados para Vo e as distâncias para ‘a’.

130


Exemplo 3.9 – A Figura 3.18 mostra uma cavidade cilíndrica condutora na qual

todas as superfícies menos a tampa superior estão aterradas. A tampa superior,

por sua vez, está no potencial Vo. Usando convenientemente a simetria azimutal

em torno do eixo do cilindro, verificamos que a solução geral deve assumir o valor

n=0 para a função da coordenada φ. Além disso, como a região de análise envolve

a origem, s=0, a função radial deve conter apenas funções de Bessel de primeira

espécie. A expressão para o potencial tem, então, a forma geral:

(Ex.73) ( ) )ks(JeAeA)z,s( okz

2kz

1−+=ϕ

0z =←

Lz =←

0=ϕ

0=ϕ

oV=ϕ

s

z

0z =←

Lz =←

0=ϕ

0=ϕ

oV=ϕ

s

z

Figura 3.18 – Condições de contorno para cálculo do potencial dentro de uma cavidade cilíndrica

Aplicando a condição de contorno 0)0z,as0( ==≤≤ϕ , teremos:

(Ex.74) → ( ) )ks(JAA0 o21+= 12 AA −=

Então, o potencial pode ser escrito na forma:

(Ex.75) ( ) )ks(J)kz(senhA)ks(JeeA)z,s( ookzkz

1 =−=ϕ −

Aplicando a condição de contorno 0)Lz0,as( =<≤=ϕ , teremos:

131


(Ex.76) → )ka(J)kz(senhA0 o=a

xk om

m =

Como existem infinitas funções que satisfazem as condições de contorno

anteriores, podemos propor que a solução geral é a combinação linear dessas

funções:

(Ex.77) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ϕ

∞

=s

ax

Jza

xsenhc)z,s( om

1mo

omm

Aplicando agora a condição oV)Lz,as0( ==≤≤ϕ , teremos:

(Ex.78) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞

=s

ax

JLa

xsenhcV om

1mo

ommo

Comparando com a expressão geral da expansão em série de funções de Bessel

(A.100) e (A.101) no Apêndice 3.2, concluímos que os coeficientes cm devem ser

calculados por:

(Ex.79) dssa

xJs

)x(Ja

V2L

ax

senhca

0

omo

om21

2oom

m ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

Consultando uma tabela de integrais de funções de Bessel verificamos que:

. Com isso, temos: ∫ = )x(Jxdx)x(Jx 1o

(Ex.80) ( )om1om

2a

0

om1

om

a

0

omo xJ

xas

ax

sJx

adssa

xJs =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

Assim, substituindo este último resultado em (Ex.79), obtemos cm na forma:

(Ex.81) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

La

xsenh)x(Jx

V2c

omom1om

om

e a solução para o potencial em (Ex.77) torna-se:

(Ex.82) ∑⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=ϕ∞

=1m omom1om

omo

om

oL

ax

senh)x(Jx

sa

xJz

ax

senhV2)z,s(

A Figura 3.19 mostra a superposição dos 10 primeiros termos da série acima na

composição do potencial na tampa superior da cavidade.

132


Figura 3.19 – Representação do potencial na tampa superior da cavidade cilíndrica por meio da

série (Ex.82) truncada no termo m=10. O potencial está normalizado para Vo.

Equação de Laplace em coordenadas esféricas Em coordenadas esféricas a equação de Laplace é escrita na forma:

(3.42) 0sen

1sensen

1r

rr 2

2

22 =

φ∂

ϕ∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂ϕ∂

θθ∂∂

θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ϕ∂

∂∂

Aplicaremos a separação de variáveis em duas etapas. Inicialmente, escrevemos

o potencial na forma:

(3.43) ),(F)r(R),,r( φθ=φθϕ

Substituindo em (3.42), teremos:

(3.44) RkdrdRr

drd 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

133


(3.45) θ−=φ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

θθ∂∂

θ 222

2senkFFsensen

Agora, substituímos a função F em (3.45) por: φθ=φθ FF),(F . Obtemos com isso:

(3.46) φφ −=

φFm

d

Fd 22

2

(3.47) ( ) 0Fmsenkd

dFsen

ddsen 222 =−θ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛θ

θθ

θ θθ

A equação radial (3.44) pode ser reescrita na forma:

(3.48) 0RkdrdRr2

drRdr 22

22 =−+

e sua solução é dada por:

(3.49) )1n(2

n1 rArA)r(R +−+=

onde . Esta solução pode ser facilmente verificada por substituição

em (3.48).

)1n(nk2 +=

A equação na coordenada azimutal tem uma solução bem conhecida e já utilizada

anteriormente. Em virtude da periodicidade nessa coordenada, o valor de m é

necessariamente real e a solução é obtida como a soma de funções sen(mφ) e

cos(mφ). Contudo, neste estudo, trataremos apenas de problemas que

apresentam simetria azimutal. Nesse caso, m=0 e .cteF =φ

A equação na coordenada polar pode ser reescrita em uma forma geral bem

conhecida com a seguinte substituição em (3.47):

(3.50) → xcos =θ 2x1sen −=θ → dxdx1

dd 2−−=θ

Com isso, obtemos a equação na coordenada polar na forma:

(3.50) ( ) 0Fx1

mkdx

dFx1dxd

x2

22x2 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

com substituído por 2k )1n(n + , esta equação é denominada de equação

diferencial associada de Legendre e suas soluções são as funções associadas de

134


Legendre. Contudo, trataremos apenas de casos em que m=0, e assim, (3.50)

pode ser escrita na forma mais simples:

(3.50) ( ) 0F)1n(ndx

dFx2dx

Fdx1 xx

2x

22 =++−−

cujas soluções são os polinômios de Legendre (Apêndice 3.3).

Exemplo 3.10 – A Figura 3.20 mostra dois hemisférios ligados a potenciais

opostos. Evidentemente, com o ângulo φ sendo medido da forma indicada, a

figura apresenta simetria azimutal. Neste caso, a solução geral para o potencial

em todo o espaço é dada pelo produto da função radial R(r) com o polinômio de

Legendre:

(Ex.83) [ ] )(cosPrArA),r( n)1n(

2n

1 θ+=θϕ +−

Mas, como o potencial é finito em qualquer posição do espaço, esta equação deve

ser separada em uma solução interna e noutra solução externa aos hemisférios:

(Ex.84) para )(cosPrA),r( nn

n θ=θϕ ar ≤

(Ex.85) para )(cosPrA),r( n)1n(

n θ=θϕ +− ar ≥

A condição de contorno sobre os hemisférios é descrita por:

(Ex.86) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=θ=θ=ϕπ<θ≤

π≤θ<π−20paraoV

2paraoV)(f),ar(

Para a solução interna satisfazer esta condição de contorno é necessário

combinar linearmente infinitas soluções do tipo (Ex.84). Assim, para , temos: ar ≤

(Ex.87) ∑ θ=θ∞

0n

nn )(cosPaA)(f

De acordo com (A.119) e (A.120) no Apêndice 3.3, podemos obter os coeficientes

An desta série

Pela expressão:

(Ex.88) ∫+

=−

1

1nnn dx)x(P)x(f

a21n2A

onde a função escrita na variável x é dada por: )(f θ

135


(Ex.89) ⎩⎨⎧= <≤−−

≤<0x1paraoV

1x0paraoV)x(f

Como f(x) é ímpar, apenas os termos ímpares da série (Ex.87) de polinômios de

Legendre tem coeficientes diferentes de zero. Assim, a equação (Ex.88) resulta

em:

(Ex.90) ∫+

=1

0nonn dx)x(PV

a1n2A para n ímpar

θ

r

φ

oV=ϕ

oV−=ϕ

θ

r

φ

oV=ϕ

oV−=ϕ

Figura 3.20 – Hemisférios condutores ligados a potenciais opostos. Solução em coordenadas

esféricas.

Consultando uma tabela de integrais, obtemos:

(Ex.91) 1n2

)x(P)x(Pdx)x(P 1n1nn +

−=∫ −+

Com isso e considerando que 1)1(Pn = , (Ex.90) resulta em:

(Ex.92) [ )0(P)0(Pa

VA 1n1nn

on +− −= ] para n ímpar

Assim, obtemos a solução para ar ≤ na forma:

(Ex.93) [ ]∑ θ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=θ≤ϕ

∞+−

ímparnn1n1n

n

o )(cosP)0(P)0(ParV),ar(

136


De maneira análoga pode-se mostrar que para a solução é dada por: ar ≥

(Ex.94) [ ]∑ θ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=θ≥ϕ

∞+−

+−

ímparnn1n1n

)1n(

o )(cosP)0(P)0(ParV),ar(

A Figura 3.21 mostra algumas curvas de potencial em função do ângulo polar para

diferentes valores do quociente ar usando as expansões (Ex.93) e (Ex.94) até o

termo de ordem 19.

Exemplo 3.11 – Uma esfera metálica ligada a um potencial nulo é colocada em

um campo elétrico inicialmente uniforme. Evidentemente, o campo induz cargas

superficiais na esfera e essas cargas produzem um campo adicional que distorce

o campo elétrico. Podemos calcular o potencial final fora da esfera, considerando

as condições de contorno na superfície da esfera e no infinito. Uma vez que o

potencial produzido pela carga superficial se anula no infinito, a condição de

contorno no infinito é a mesma do campo elétrico uniforme, a qual é dada por:

(Ex.95) θ−=∫ ⋅−=θ∞→ϕ∞

cosrErdzE),r( o0

or)

onde escolhemos o eixo z coincidindo com a direção do campo e definimos o

centro da esfera como a posição de potencial nulo. A solução geral para o

potencial fora da esfera é dada por:

(Ex.96) [ ] )(cosPrArA),r( n)1n(

2n

1 θ+=θϕ +−

No infinito, esta expressão se transforma em:

(Ex.97) )(cosPrA),r( nn

1 θ=θ∞→ϕ

Para satisfazer a condição expressa em (Ex.95), devemos ter n=1 e o1 EA −= .

Além disso, sabemos que θ=θ cos)(cosP1 . Assim, a solução que satisfaz a

condição de contorno no infinito é dada por:

(Ex.98) [ ] θ+−=θϕ − cosrArE),r( 22o

Aplicando agora a condição de contorno na superfície: 0),ar( =θ=ϕ , temos:

(Ex.99) [ ] θ+−= − cosaAaE0 22o

137


o que resulta em . Assim, a solução final para o potencial é dada por: 3o2 aEA =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ar

0.1

0.5

2

1

oVϕ

θ ( rad )0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ar

0.1

0.5

2

1

oVϕ

θ ( rad ) Figura 3.21 – Curvas de potencial normalizado em função do ângulo polar para quatro raios

constantes obtidas na análise dos hemisférios da Figura 3.20 usando a expansão em série de

Legendre até o termo de ordem 19.

(Ex.98) θ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=θϕ cos

ar

raaE),r( 2

2o

A partir daí, podemos obter as componentes radial e polar do campo elétrico fora

da esfera pelas expressões:

(Ex.99) θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂ϕ∂

−= cos1ra2E

re 3

3or

(Ex.100) θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

θ∂ϕ∂

−=θ sen1raE

r1e 3

3o

Podemos também obter a distribuição de carga na esfera aplicando a lei de

Gauss. De acordo com outros exemplos já analisados, isto nos leva à relação

138


noeε=σ , onde en é o campo perpendicular na superfície do condutor, o qual, no

caso da esfera corresponde ao campo radial. Assim, a carga na superfície da

esfera é dada por:

(Ex.101) θε==ε=σ cosE3)ar(e ooro

Quando a geometria de um problema é muito complexa para cálculo do potencial

elétrico segundo os métodos apresentados nesta seção e nas seções anteriores,

existe uma alternativa geral baseada na solução da equação de Laplace por

métodos numéricos. O Apêndice 3.4 apresenta os fundamentos do método das

diferenças finitas, uma das abordagens mais utilizadas para este tipo de análise.

Potencial magnético Analogamente ao que ocorre entre o potencial e o campo elétrico, também o

campo magnético pode ser representado por uma função da posição espacial que

está relacionada a alguma propriedade intrínseca deste campo. Segundo a Lei da

Gauss para o campo magnético, o divergente da indução magnética é sempre

nulo. De acordo com a identidade vetorial 0F =×∇⋅∇r

, válida para qualquer

campo , podemos sempre encontrar uma função vetorial da posição espacial tal

que a indução magnética seja obtida como o rotacional dessa função, ou seja:

Fr

(3.51) abrr

×∇=

Esta função é denominada de potencial magnético e sua unidade no Sistema

Internacional é Tesla x metro [Tm] . O seu significado físico é muito menos óbvio

do que o significado do potencial elétrico e por ora aceitaremos que o potencial

magnético é apenas uma forma de simplificar o cálculo do campo magnético a

partir de uma distribuição de corrente. Por exemplo, a partir da equação (2.34),

podemos verificar que uma expressão geral para o potencial magnético de uma

distribuição de corrente estática é dada por:

ar

(3.52) ∫∫∫ ′′−′

πμ

=′V

o vdrr)r(j

4)r(a rr

rrrr

Além disso, podemos aplicar o rotacional em ambos os lados de (3.51) e obter

com o uso da Lei de Ampere a seguinte expressão:

139


(3.53) teja)a(ab 2

∂∂

με+μ=∇−⋅∇∇=×∇×∇=×∇rrrrrr

Contudo, a relação (3.51) não determina univocamente o potencial magnético,

pois de acordo com a identidade 0=ϕ∇×∇ , é sempre possível acrescentar o

gradiente de uma função escalar arbitrária à equação (3.52) e ainda continuar

obtendo o valor correto para a indução magnética, ou seja:

(3.54) ( ) aaabrrrr

×∇=φ∇×∇+×∇=φ∇+×∇=

A não unicidade na definição do potencial magnético permite que se arbitre um

valor conveniente para o a fim de simplificar o cálculo do próprio potencial

magnético. No caso de campos estáticos (

ar⋅∇

0te=

∂∂r

), se escolhermos na

equação (3.53), obteremos a seguinte expressão para o laplaciano do potencial

magnético:

0a =⋅∇r

(3.55) ja o2

rrμ−=∇

Em termos das componentes retangulares, esta equação se desdobra nas

seguintes três equações:

(3.56)

zz2

yy2

xx2

ja

jaja

μ−=∇

μ−=∇

μ−=∇

Convém ressaltar as semelhanças entre as equações (3.10) e (3.56). Cada

componente ortogonal do potencial magnético depende da correspondente

componente da densidade de corrente, do mesmo modo que o potencial elétrico

depende da densidade de cargas. Assim, não é de se estranhar que as soluções

para essas equações de Poisson para os potenciais elétrico e magnético não

dependentes do tempo, dadas em (3.7) e (3.52), sejam complemente análogas.

Uma extensão simples e muito útil da equação (3.52) para uma corrente em um fio

com seção transversal muito pequena é obtida pela substituição . Assim,

para uma corrente filamentar, o potencial magnético pode ser calculado por:

Ldidvjrr

=

(3.57) ∫ ′−′

πμ

=′L

o

rrLdi

4)r(a rr

rrr

140


Exemplo 3.12 – Consideremos uma corrente circulando em uma espira quadrada.

Vamos calcular o potencial magnético no plano da espira. A Figura 3.22 mostra a

espira no plano z=0 e um sistema de referência onde a origem coincide com o

centro geométrico do quadrado. Consideremos inicialmente o ramo em 2cx −= .

Os valores de , e rr

r ′r

Ld ′r

são dados por:

(Ex.102) yyxxr ))r+=

(Ex.103) yyx2cr ))r

′+−=′

(Ex.104) ( ) ( )22yy2

cxrr ′−++=′−rr

(Ex.105) yydLd )r′=′

x

y

i2c

−

2c

r ′r

rr ′−rr

Ld ′r

2c

2c

−

rr

)y,x(

x

y

i2c

−

2c

r ′r

rr ′−rr

Ld ′r

2c

2c

−

x

y

i2c

−

2c

r ′r

rr ′−rr

Ld ′r

2c

2c

−

y

i2c

−

2c

r ′r

rr ′−rr

Ld ′r

2c

2c

−

rr

)y,x(

Figura 3.22 – Elementos para cálculo do potencial magnético da corrente em uma espira

quadrada.

Levando esses valores em (3.57), teremos:

(Ex.106) ( ) ( )

∫′−++

′π

μ=

−

2c

2c 22

o

yy2cx

ydyi4

a )r

141


A solução desta integral pode ser obtida com o uso de uma Tabela de integrais. O

resultado fornece uma componente y do potencial vetorial da espira:

(Ex.107) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+++−

+++++

πμ

=22

22

oy

2cy2

cx2cy

2cy2

cx2cy

Lni4

a

Para o ramo em 2cx = , basta trocar o sinal da corrente e substituir o termo

( )2cx + por ( )2

cx − , isto é:

(Ex.108) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−

++−++

πμ

−=22

22

oy

2cy2

cx2cy

2cy2

cx2cy

Lni4

a

O potencial total na direção y é a soma dos potenciais desses ramos. Portanto, a

componente total do potencial magnético na direção y é dada por:

(Ex.109)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−++

−+−+−⋅

−+++−

+++++

πμ

=22

22

22

22

oy

2cy2

cx2cy

2cy2

cx2cy

2cy2

cx2cy

2cy2

cx2cy

Lni4

a

O potencial na direção x pode ser obtido de modo análogo. Para o ramo em

2cy = teremos:

(Ex.110) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−

++−++

πμ

=22

22

ox

2cx2

cy2cx

2cx2

cy2cx

Lni4

a

e para o ramo em 2cy −= teremos:

(Ex.111) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+++−

+++++

πμ

−=22

22

ox

2cx2

cy2cx

2cx2

cy2cx

Lni4

a

Com isso, o potencial total na direção x é dado por:

142


(Ex.112)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++

−+++−⋅

−+−+−

++−++

πμ

=22

22

22

22

ox

2cx2

cy2cx

2cx2

cy2cx

2cx2

cy2cx

2cx2

cy2cx

Lni4

a

Uma vez obtido o potencial magnético no plano z=0, podemos calcular a

componente z da indução magnética neste plano através da equação (3.51):

(Ex.113) ( )ya

xa

ab xyzz ∂

∂−

∂

∂=×∇=

r

Este cálculo é deixado como exercício para o leitor.

Exemplo 3.13 – Vamos obter agora o potencial magnético de uma espira circular

plana. Os detalhes geométricos deste exemplo são mostrados na Figura 3.23.

Temos então:

(Ex.114) zzyyxxr )))r++=

(Ex.115) ysenaxcosar ))rφ+φ=′

(Ex.116) zzy)senay(x)cosax(rr )))rr+φ−+φ−=′−

(Ex.117) )senycosx(a2azyxrr 2222 φ+φ−+++=′−rr

(Ex.118) φφ=φφ+φ−=φφ′

=′)))

rrdada)ycosxsen(d

drdLd

levando essas expressões na equação (3.57), teremos:

(Ex.119) ∫φ+φ−+++

φφ

πμ

=π2

0 2222

o

)senycosx(a2azyxd

4ai

a)r

Vemos que o potencial está sempre orientado na direção azimutal. A integral não

tem solução analítica, mas é facilmente resolvida pelo método de integração

numérica apresentado no Apêndice 1.2.

Exemplo 3.14 – Consideremos um cabo coaxial transportando a corrente

constante e vamos calcular a distribuição de potencial magnético no interior do

cabo. A Figura 3.24 mostra o dispositivo. A corrente circula em um sentido no

condutor interno e a mesma corrente circula no sentido inverso no condutor

oi

143


externo. Como a corrente é constante, ela se distribui uniformemente na área da

seção transversal dos condutores. Portanto, a densidade de corrente no cabo é

dada por:

rr

r′r

rr ′−r

φ φφ=)r

daLd

)z,y,x(

x

y

z

rr

r′r

rr ′−r

φ φφ=)r

daLd

)z,y,x(

x

y

z

Figura 3.23 – Elementos para cálculo do potencial magnético de uma espira circular.

(Ex.120)

( ) csbparazbc

ij

bsapara0j

asparazai

j

22o

2o

≤≤−π

−=

≤≤=

≤π

=

)r

r

)r

A fim de obter o potencial magnético, devemos resolver a equação de Poisson

(3.55). Escrevendo o potencial em coordenadas cilíndricas zaasaa zs)))r

+φ+= φ e

aplicando o operador laplaciano, teremos:

(Ex.121) ( ) ( ) z22

s22 azasaa ∇+φ∇+∇=∇ φ

)))r

O vetor unitário axial ( )z) é constante e portanto pode sair do operando. O mesmo

não ocorre com os vetores unitários radial e azimutal, que são variáveis com a

posição. Mas, a densidade de corrente tem componente apenas na direção z. Por

isso, podemos considerar nulas as componentes radial e azimutal do potencial

magnético. Neste caso, a equação (3.55) pode ser escrita na forma escalar:

(Ex.122) ja oz2 μ−=∇

144


Substituindo o Laplaciano coordenadas cilíndricas, conforme dado no Apêndice

2.1, termos:

(Ex.123) jzaa

s1

sas

ss1

o2z

2

2z

2

2z μ−=

∂∂

+φ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

a

b

c

oi z

sa

b

c

oi z

s

Figura 3.24 – Cabo coaxial transportando corrente constante. Esquema para cálculo do potencial

magnético.

Contudo, uma vez que estejamos considerando um cabo longo e posições longe

das extremidades, o potencial não varia com z. Além disso, em virtude da simetria

azimutal, o potencial também não varia com o ângulo φ. Assim, a equação anterior

pode ser reescrita na forma:

(Ex.124) jsas

ss1

oz μ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

Duas integrações em seqüência fornecem a seguinte solução geral para esta

equação:

(Ex.125) ( ) 212o

z KsLnKs4

ja ++

μ−=

Onde K1 e K2 são constantes a determinar. A fim de obter o potencial em cada

região do cabo, devemos substituir o valor correspondente da densidade de

corrente e as condições de contorno adequadas.

Na região as ≤ o potencial se anula para s=0. Com isso, K1 e K2 são nulos.

Substituindo o valor correto da densidade de corrente para esta região, obtemos:

(Ex.126) 22

ooz s

a4ia

πμ

−=

145


Na região , a densidade de corrente é nula. Sabendo que o potencial é

contínuo através da superfície do condutor interno, podemos escrever a solução

neste caso em uma forma um pouco diferente:

bsa <<

(Ex.127) )a(aasLnKa zz +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Onde é obtido de (Ex.126). A determinação da constante K deve atender a

condição de continuidade do campo magnético tangencial à superfÍcie do

condutor. No Apêndice 3.5, que trata das condições de continuidade em

interfaces, demonstra-se que em uma interface que não contenha uma corrente

superficial concentrada, o campo magnético tangencial é contínuo. No caso atual,

a corrente no condutor está distribuída em toda a área da seção transversal, por

isso esta condição de continuidade é válida. O campo magnético dentro do

condutor pode ser calculado pelo rotacional do potencial dada em (Ex.126).

Usando a fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas dado no Apêndice 2.1

e verificando que o potencial depende apenas da coordenada radial, teremos:

)a(az

(Ex.128) φπ

=φ∂∂

μ−=×∇

μ=

))rrs

a2i

sa1a1h 2

oz

oo1

Fazendo o mesmo para o campo no espaço entre os condutores, usando a

expressão (Ex.127), teremos:

(Ex.129) φμ

−=φ∂∂

μ−=×∇

μ=

))rr

sK1

sa1a1h

o

z

oo2

A condição de continuidade exige que )a(h)a(h 21 = . Desse modo, obtemos a

constante K igualando (Ex.128) e (Ex.129):

(Ex.130) π

μ−=

2i

K oo

Portanto, o potencial na região bsa << é dado por:

(Ex.131) π

μ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πμ

−=4

iasLn

2i

a ooooz

Na região , com a substituição do valor correto da densidade de corrente,

e com o valor de dado por (Ex.131), podemos escrever o potencial

magnético na forma:

csb ≤≤

)b(az

146


(Ex.132) ( ) )b(absLnKbs

)bc(4i

a z22

22oo

z +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′+−

−πμ

=

Novamente, devemos aplicar a condição de continuidade do campo magnético na

interface em s=b. O campo magnético na região bsa << é obtido a partir de

(Ex.131):

(Ex.133) φπ

=φ∂∂

μ−=×∇

μ=

))rr

s2i

sa1a1h oz

oo2

e na região o campo magnético é calculado a partir de (Ex.132): csb ≤≤

(Ex.134) φ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡μ′

+−π

−=φ∂∂

μ−=×∇

μ=

))rr

sKs

)bc(2i

sa1a1h

o22

oz

oo3

Aplicando a condição , obtemos o valor da constante : )b(h)b(h 32 = K ′

(Ex.135) 22

2oo

bcc

2i

K−π

μ−=′

Com isso, o potencial magnético na região csb ≤≤ é dado por:

(Ex.136) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−−

πμ

= 1abLn2

bsLn

bcc2

)bc(bs

4ia 22

2

22

22oo

z

Substituindo-se (Ex.135) em (Ex.134) e simplificando-se a expressão, obtemos o

campo magnético na região csb ≤≤ :

(Ex.137) φ−−

π=

)r22

22o

3 bcsc

s2i

h

A Figura 3.25 mostra os gráficos das distribuições radiais de densidade de

corrente, potencial magnético e campo magnético no cabo coaxial.

Potenciais Variáveis no Tempo Trataremos agora dos potenciais associados às fontes que variam com o tempo.

De imediato devemos entender que nem as equações de Poisson nem as

soluções (3.7) e (3.52) descrevem corretamente os potenciais dependentes do

tempo. Para chegar a essa descrição, consideremos o caso geral de uma

distribuição de carga e uma distribuição de corrente em um certo volume do

147


espaço, ambas dependentes do tempo e correlacionadas pela equação de

continuidade. A cada uma dessas distribuições podemos associar uma parcela do

campo elétrico total em cada ponto do espaço. Se chamamos essas parcelas de

, para a parcela associada a Lei de Coulomb e qer

aer

, a parcela associada a Lei de

Faraday, o campo elétrico total será aq eeerrr

+= . O campo é um campo

conservativo e pode ser escrito na forma do gradiente do potencial escalar, ou

seja, . O campo , por sua vez, tem rotacional não nulo, e de acordo

com a Lei de Faraday, se relaciona com o potencial magnético pela expressão:

qer

ϕ−∇=qer

aer

(3.58) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

×−∇=×∇∂∂

−=∂∂

−=×∇taa

ttbea

rr

rr

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014-6

-4

-2

0

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.0140

50

100

150

200

)Tm

10 (a

7z

−)

m/A(

h φ

a b c s (m)

s (m)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014-6

-4

-2

0

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.0140

50

100

150

200

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014-6

-4

-2

0

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.0140

50

100

150

200

)Tm

10 (a

7z

−)

Tm10 (

a7

z−

)m/

A(h φ

)m/

A(h φ

a b c s (m)

s (m) Figura 3.25 – Distribuições de potencial magnético e campo magnético em um cabo coaxial

(a=1mm, b=10mm e c=11mm) onde circula uma corrente constante de valor 1A.

148


Então, a menos do gradiente de um escalar arbitrário, que pode ser simplesmente

anulado sem maiores implicações, vemos que o campo elétrico induzido pela

variação de fluxo magnético é dado por:

(3.59) taea ∂∂

−=r

r

Assim, o campo elétrico total pode ser escrito na forma:

(3.60) tae∂∂

−ϕ−∇=r

r

Voltemos agora à expressão (3.53) e substituímos o campo elétrico dado por

(3.60) para obter:

(3.61) 2

2

ooooo2

ta

tja)a(

∂∂

εμ−ϕ∇∂∂

εμ−μ=∇−⋅∇∇rrrr

Como temos a possibilidade de arbitrar o valor do ar⋅∇ , uma escolha que simplifica

consideravelmente a equação anterior é a chamada condição de Lorentz:

(3.62) t

a oo ∂ϕ∂

εμ−=⋅∇r

Esta condição aplicada em (3.61) elimina os termos dependentes do e ar⋅∇ ϕ∇ ,

de modo que obtemos uma equação desacoplada para o potencial vetorial

magnético na forma:

(3.63) jtaa o2

2

oo2

rrr

μ−=∂∂

εμ−∇

Podemos também obter uma equação para o potencial elétrico substituindo (3.60)

na equação da Lei de Gauss.

(3.64) o

v2 att

aερ

=⋅∇∂∂

−ϕ−∇=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−ϕ∇−⋅∇r

r

Usando agora a condição de Lorentz para substituir o ar⋅∇ , obtemos para o

potencial elétrico uma equação equivalente à (3.63):

(3.65) o

v2

2

oo2

t ερ

−=∂ϕ∂

εμ−ϕ∇

Portanto, as equações (3.63) e (3.65) determinam as distribuições espacial e

temporal dos potenciais magnético e elétrico criados pelas fontes e jr

vρ

149


dependentes do tempo. Trata-se de equações de onda e por isso suas soluções

bem como os campos elétrico e magnético que devem ser obtidos a partir dos

potencias, de acordo com (3.51) e (3.60), são ondas que se propagam no espaço.

Neste ponto, não estamos em condições de obter as soluções dessas equações.

Esta questão será analisada mais tarde junto com o estudo das ondas

eletromagnéticas. A Tabela 3.1 mostra um resumo das relações entre campos e

potenciais.

Tabela 3.1 – Quadro resumo das relações entre campos e potenciais

Campos

Estáticos

ϕ−∇=er

abrr

×∇=

∫∫∫ ′′−′ρ

πε=ϕ

′V

v

o

vdrr)r(

41)r( rr

rr

∫∫∫ ′′−′

πμ

=′V

o vdrr)r(j

4)r(a rr

rrrr

Campos

Variáveis

tae∂∂

−ϕ−∇=r

r

abrr

×∇=

o

v2

2

oo2

t ερ

−=∂ϕ∂

εμ−ϕ∇

jtaa o2

2

oo2

rrr

μ−=∂∂

εμ−∇

Energia Eletromagnética As cargas interagem entre si através das forças elétrica e magnética, por isso,

estabelecer uma distribuição de cargas e/ou de corrente no espaço envolve a

realização de trabalho. Se o sistema considerado é globalmente não dissipativo,

ou seja, se não existem forças de atrito modificando o movimento das cargas, toda

a energia transferida durante a criação dessas distribuições de carga e corrente é

armazenada no sistema formado pelos campos e pelas cargas.

Densidade de energia elétrica Consideremos inicialmente o trabalho necessário para formar uma configuração

espacial de cargas com determinada densidade volumétrica especificada.

Suponha que estamos construindo essa configuração de cargas trazendo do

150


infinito até a região do espaço em questão, quantidades incrementais de cargas

e espalhando no volume correspondente com uma densidade incremental qδ δρ

(Figura 3.26). Como essas quantidade são muito pequenas, podemos considerar

que a cada passo desse processo, o potencial elétrico em todo o espaço varia

apenas de uma quantidade infinitesimal e, assim, o trabalho realizado para variar

a densidade de carga no elemento de volume localizado na posição dv rr

do

espaço, pode ser calculado pela expressão:

(3.66) dv)r()r()W(drr

δρϕ=δ

A integração desta equação resulta no trabalho infinitesimal realizado para

distribuir a carga dq em todo o espaço.

(3.67) dv)r()r(WV∫∫∫ δρϕ=δ

rr

rr

Vdvδρ

)r(r

ϕrr

Vdvδρ

)r(r

ϕ

Figura 3.26 – Representação do processo de construção de uma distribuição de cargas trazendo

quantidades infinitesimais de uma distância infinita para um volume especificado.

Note que a carga total pode estar distribuída em um volume finito. Isso não

impede de escrever a integral acima como sendo calculada em todo o espaço,

uma vez que na região externa ao volume efetivamente ocupado pelas cargas a

integral (3.67) se anula. Desde que a carga é continuamente trazido do infinito

para o volume considerado, o trabalho total para construir a distribuição final de

cargas é obtido pela integração de (3.67) no domínio do tempo. Mas, como a

densidade de carga é uma função do tempo, podemos realizar essa integração na

própria variável ρ . Assim, temos:

151


(3.68) dvWV 0∫∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫ δρϕ=ρ

O integrado nesta equação pode ser então considerado uma densidade

volumétrica de energia armazenada no sistema de cargas e campo. Para uma

distribuição de cargas no vácuo, o potencial é proporcional à densidade de carga.

Assim, o integrando em (3.68) tem um resultado simples:

(3.69) ρϕ=∫ δρϕρ

21

0

e, com isso, a energia total armazenada no sistema é dada por:

(3.70) dv21W

V∫∫∫ ϕρ=

Esta expressão nos faz pensar que a energia é armazenada apenas nas regiões

do espaço onde existem cargas. Contudo, isso não é correto. Podemos obter uma

expressão equivalente em termos do campo elétrico estabelecido pelas cargas

que nos permite reinterpretar esse resultado. Usando a Lei de Gauss e a

identidade vetorial ( ) dddrrrδ⋅∇ϕ+δ⋅ϕ∇=ϕδ⋅∇ , podemos reescrever (3.70) na

forma:

(3.71) ( ) ∫∫∫ ϕ∇⋅δ−∫∫∫ δϕ⋅∇=∫∫∫ δ⋅∇ϕ=δVVV

dvd21dvddvdW

rrr

Aplicando agora o teorema de Gauss para transformar a primeira integral em uma

integral de superfície e substituindo a relação ϕ−∇=er

, válida para campos

estáticos, no segundo integrando, obtemos:

(3.72) ∫∫∫ δ⋅+∫∫ ⋅δϕ=δVS

dvdesddWrrrr

Mas, a superfície de integração deve conter todo o volume que, a princípio, é todo

o espaço. Como não pode haver fluxo para fora de uma superfície infinita e, além

disso, como o potencial deve se anular no infinito, a primeira integral é nula.

Assim, obtemos a expressão da energia em todo o espaço como uma integral de

volume dada por:

(3.73) ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫ δ⋅=

V

d

0dvdeW

rr

152


Esta energia está distribuída em todo o espaço, sendo mais concentrada onde o

campo é mais intenso. O integrando nesta equação pode ser interpretado como a

densidade volumétrica de energia elétrica armazenada no sistema:

(3.74) ∫ δ⋅=d

0e dew

rr

No vácuo, o campo e a indução elétrica são proporcionais e (3.74) tem uma

solução simples na forma:

(3.75) 2o

o

2

e e21d

21ed

21w

rr

rrε=

ε=⋅=

Exemplo 3.15 – Uma esfera metálica isolada no ar, de raio R, é conectada a uma

bateria de tensão Vo. Vamos calcular a energia total acumulada no carregamento

da esfera. Por se tratar de um condutor, sabemos que a carga se acumula na

superfície. Se a esfera está isolada, esta carga se distribui uniformemente em sua

superfície e toda a carga está sujeita a um mesmo potencial. Assim, (3.70) tem um

resultado simples dado por:

(Ex.138) oe VQ21)R(Q

21W =ϕ=

Trataremos de obter agora uma relação entre a carga total e o potencial na

superfície da esfera. Esta relação define a capacitância da esfera e pode ser

obtida como segue. Como sabemos, a carga distribuída uniformemente na

superfície produz campo elétrico fora da esfera como se ela estivesse toda

concentrada no centro geométrico da esfera. O potencial de uma carga pontual é

dado pela equação (3.6). Assim, o potencial na superfície da esfera condutora

carregada é dado por:

(Ex.139) R4

QV)R(o

o πε==ϕ → R4

VQC o

o

πε==

Onde C é a capacitância da esfera (A relação entre a carga total e o potencial da

esfera). Substituindo em (Ex.138), obtemos:

(Ex.140) 2oo

2oe VR2CV

21W πε==

153


Exemplo 3.16 – Um cabo coaxial é carregado por uma diferença de potencial Vo

entre os condutores interno e externo. Vamos calcular a energia acumulada por

unidade de comprimento do cabo. O potencial elétrico entre os condutores em um

cabo coaxial foi calculado no exemplo (3.7), e é repetido aqui por conveniência:

(Ex.141) ( ) )bs(Ln

baLn

V)s( o=ϕ

onde a e b são os raios dos condutores interno e externo, respectivamente. O

campo elétrico entre os condutores pode ser calculado a partir da relação

ϕ−∇=er

. Isto resulta em:

(Ex.142) ( )ss

baLn

Vs

se o

))r

−=∂ϕ∂

−=

Com isso, a densidade de energia armazenada no cabo, segundo (3.75), é dada

por:

(Ex.143) ( ) 22

2oo2

oesb

aLn2V

e21w

ε=ε=

r

onde supomos que o isolante no cabo tenha permissividade igual à do vácuo. Isto

é apenas uma aproximação, e sempre será necessário calcular uma parcela de

energia adicional devido à polarização do material, mas isto será considerado

apenas no próximo capítulo. Para obter a energia armazenada por unidade de

comprimento do cabo devemos fazer uma integração de (Ex.143) no volume

correspondente a um comprimento unitário. O volume diferencial neste caso pode

ser descrito por , onde L é um comprimento arbitrário. A energia é

então dada por:

dsLs2dV π=

(Ex.144) ( ) ( ) Lb

aLnV

sdsL

baLnVdsLws2W

2oo

b

a2

2oo

b

aee

πε=∫

πε=∫ π=

Então, a energia por unidade de comprimento no cabo coaxial é dada por:

(Ex.145) ( )baLnV

W2

ooe

πε=

154


Exemplo 3.17 – Na expressão (Ex.140) a energia total armazenada foi expressa

em função da capacitância do condutor. Este não é um resultado particular. De

fato, em qualquer sistema de dois condutores é possível definir a relação entre a

carga acumulada na superfície e a diferença de potencial entre os condutores

através da capacitância. Como a superfície dos condutores é equipotencial,

qualquer variação de carga está associada a uma variação de potencial dV ,

por meio de:

dq

(Ex.146) dVCdq =

e a variação da energia acumulada é dada por:

(Ex.147) dVVCdqVdWe ==

A integração desta equação no intervalo de tempo no qual o potencial varia de seu

valor inicial 0 até o valor final Vo leva ao resultado bem conhecido para a energia

armazenada em um capacitor:

(Ex.148) oe CV21W =

Este resultado é completamente geral e independente da forma dos condutores.

Densidade de energia magnética Consideremos agora o trabalho que as fontes externas realizam para estabelecer

uma distribuição de corrente. Ao se estabelecer uma distribuição de corrente no

espaço, a variação do fluxo magnético produzido gera força eletromotriz que se

opõem à variação da corrente. Assim, as fontes externas realizam trabalho para

superar o campo elétrico induzido. Consideremos uma distribuição de corrente

representada por espiras elementares conforme mostrado na Figura 3.27. Se, em

uma espira de volume infinitesimal está circulando uma carga durante um

intervalo de tempo e, em virtude da indução magnética, existe uma força

eletromotriz nos extremos do circuito, o trabalho infinitesimal realizado pode

ser calculado por:

qδ

tδ

ϕd

155


ϕd

mφ

i

)r(jrr

rr

V

ϕd

mφ

i

)r(jrr

rr

ϕd

mφ

iϕd

mφ

i

)r(jrr

rr

V

Figura 3.27 – Representação do processo de construção de uma distribuição de corrente em um

volume especificado.

(3.76) )d(itdidq)dW( mφδ=δϕ=ϕδ=δ

onde i é a corrente na espira infinitesimal e ( )mdφδ é a variação do fluxo

magnética nessa espira no intervalo de tempo considerado. Mas, usando o

teorema de Stokes podemos escrever o fluxo magnético como função do potencial

magnético:

(3.77) ∫ ⋅=∫∫ ⋅×∇=∫∫ ⋅=φCSS

m Ldasdasdbrrrrrr

e um fluxo infinitesimal pode, então, ser dado por:

(3.78) Ldad m

rr⋅=φ

Com isso em (3.76) e considerando que dvjLdirr

= , verificamos que o trabalho

infinitesimal pode ser escrito na seguinte forma em função do potencial vetorial e

da densidade de corrente:

(3.79) dvajLdai)dW(rrrr

δ⋅=⋅δ=δ

Portanto, o trabalho total para estabelecer a distribuição de corrente pode ser

obtido em uma integração nos dois domínios, espaço e tempo, no intervalo de

variação da corrente:

156


(3.80) ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫ δ⋅=

V

a

0dvajW

rr

No vácuo, a densidade de corrente e o potencial magnético são proporcionais e a

integral no domínio do tempo tem um resultado simples dado por:

(3.81) ∫∫∫ ⋅=V

dvaj21W

rr

Esta equação é análoga à (3.70) para o caso da energia elétrica. Também no caso

magnético podemos obter uma descrição da energia armazenada no sistema a

partir do campo gerado pela distribuição de corrente. Em (3.81), em se tratando de

campos estáticos, podemos substituir a densidade de corrente por hr

×∇ e aplicar

a identidade ( ) ( ) ( ) ahhaharrrrrr

δ⋅×∇−⋅δ×∇=×δ⋅∇ para substituir o termo a)h(rr

δ⋅×∇ .

Assim fazendo, obtemos:

(3.82) [ ] ∫∫ ⋅×δ−∫∫∫ δ⋅=∫∫∫ ×δ⋅∇−⋅δ×∇=δSVV

sd)ha(dvbhdv)ha(h)a(Wrrrrrrrrr

A integral de superfície no último termo desta equação é nula porque os campos

se anulam no infinito. Assim, a energia magnética acumulada no espaço é dada

por:

(3.83) ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∫ δ⋅=

V

b

0dvbhW

rr

E podemos interpretar o integrando como uma densidade volumétrica de energia

magnética acumulada:

(3.84) ∫ δ⋅=b

0m bhw

rr

No vácuo, o campo magnético e a indução magnética são proporcionais. Assim, a

expressão da densidade de energia magnética é obtida na forma:

(3.85) 2

oo

2

m h21b

21hb

21w

rr

rrμ=

μ=⋅=

Analogamente ao caso elétrico, esta expressão mostra que existe energia

armazenada no espaço onde existe campo magnético e que a energia é mais

concentrada onde o campo magnético é mais intenso.

157


Concluindo, podemos entender que a energia transferida para um sistema a fim de

estabelecer distribuições de carga e corrente no espaço é armazenada no volume

desse espaço com densidade proporcional ao quadrado das intensidades dos

campos criados, tendo uma parcela de energia elétrica e uma parcela de energia

magnética. A densidade de energia total é dada por:

(3.86) ∫ δ⋅+∫ δ⋅=b

0

d

0bhdewrrrr

(3.87) 2

o2

oo h21e

21w

rrμ+ε=

onde (3.86) aplica-se a qualquer meio e (3.87) somente no vácuo. Contudo, Para

estabelecer campos na matéria, a energia envolvida dependerá ainda do trabalho

realizado na polarização e magnetização do material. Adicionalmente, se o meio

for condutor, haverá uma parcela de energia envolvida com a movimentação das

cargas nesse material. Estes termos de energia serão considerados no próximo

capítulo.

Exemplo 3.18 – No exemplo 3.14 obtivemos as distribuições de potencial e

campo magnético em um cabo coaxial. Podemos usar aqueles resultados para

calcular a energia magnética armazenada por unidade de comprimento do cabo.

Se usarmos a equação (3.81), verificamos que a integração pode ser feita apenas

no volume dos condutores, uma vez que a corrente é nula no restante do espaço.

Contudo, o cálculo da energia através da distribuição de campo é um pouco mais

fácil neste caso, embora exija uma integração em todo o volume interno do cabo.

Usando então (3.85) e substituindo dss2dv π= para um comprimento unitário do

cabo, teremos:

(Ex.149) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∫+∫+∫πμ= dsshdsshdsshWc

b

23

b

a

22

a

0

21om

Substituindo as expressões dos campos e efetuando as integrações, obtemos:

(Ex.150) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

πμ

= 1bcLn

bcc4

abLn4

16iW 22

22oo

m

Os detalhes deste cálculo são deixados como exercício para o leitor.

158


Exemplo 3.19 – Uma expressão alternativa muito útil para a energia magnética é

dada em função da indutância do sistema de condutores. A demonstração dessa

expressão é simples uma vez que não depende diretamente da geometria

específica dos condutores. Um sistema de condutores com uma geometria tal que

define uma área fechada estabelece uma relação entre o fluxo magnético total

nessa área e a corrente nos condutores. Essa relação de proporcionalidade é

dada pela indutância:

(Ex.151) i

L mφ=

Conforme sabemos, quando a corrente varia no tempo, o fluxo magnético variável

induz uma força eletromotriz no sistema. O trabalho realizado pela fonte de

corrente em um intervalo infinitesimal dt pode ser calculado pelo produto da carga

infinitesimal que circula pelos condutores nesse intervalo de tempo com a força

eletromotriz induzida. Usando a lei de Faraday para expressar esta diferença de

potencial, temos:

(Ex.152) diiLdidtidqdW m =φ=ϕ=ϕ=

Onde usamos (Ex.151) para substituir o diferencial de fluxo. Integrando esta

equação do instante inicial, no qual a corrente é nula, até o valor final da corrente,

obtemos:

(Ex.153) 2m iL

21W =

159


__________________________Apêndice 3.1_____________________________ Série de Fourier O método da série de Fourier consiste em representar funções periódicas por

meio de funções senos e cossenos da mesma variável e com a mesma

periodicidade. Qualquer função f(x) integrável e periódica com período L pode ser

representada pela seguinte série:

(A.81) ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+π

+=1n

nno )xLn2(senb)x

Ln2cos(aa)x(f

A série converge para f(x) nos pontos de continuidade e para

[ )ax(f)ax(f21 −+ →+→ ] se x=a é um ponto de descontinuidade de f(x). Os

coeficientes an e bn da série são determinados a partir da verificação da

ortogonalidade das funções seno e cosseno. Esta condição é expressa nas

relações:

(A.82) 0dx)xLm2(sen)x

Ln2cos(

Lox

ox=∫

ππ+

(A.83) ⎩⎨⎧

=∫ππ =

≠

+ nmse2L

nmse0

Lox

oxdx)x

Lm2cos()x

Ln2cos(

(A.84) ⎩⎨⎧

=∫ππ =

≠

+ nmse2L

nmse0

Lox

oxdx)x

Lm2(sen)x

Ln2(sen

onde xo é qualquer posição inicial. Assim, ao é obtido pela integração de ambos os

lados de (A.81) no período da função. Isto resulta em:

(A.85) ∫=+Lox

oxo dx)x(f

L1a

os outros coeficientes an são obtidos multiplicando-se ambos os lados de (A.81)

por )xLn2cos( π e integrando-se toda a expressão no período da função. Assim,

obtemos:

(A.86) ∫π

=+Lox

oxn dx)x

Ln2cos()x(f

L2a

160


e os coeficientes bn são obtidos multiplicando-se ambos os lados de (A.81) por

)xLn2cos( π e integrando-se toda a expressão no período da função. Isto resulta

em:

(A.87) ∫π

=+Lox

oxn dx)x

Ln2(sen)x(f

L2b

___________________________Apêndice 3.2____________________________ Funções de Bessel Substituindo em (3.34), obtemos uma forma mais geral da equação

diferencial de Bessel:

ksx =

(A.88) 0S)xn1(

dxdS

x1

dxSd

2

2

2

2=−++

As soluções desta equação são obtidas na forma de série de potências:

(A.89) j

0jjxcx)x(S ∑

∞

=

α=

Substituindo em (A.88), agrupando todos os termos de mesma potência e

igualando a zero cada termo, obtém-se as seguintes relações:

(A.90) ( )

0címparj

c2)12

j(!2j

)1(1cparj

n

J

oj

2j

j

=→

+α+Γ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+αΓ−=→

±=α

onde a função gama é definida por:

(A.91) ∫∞

−−=Γ0

x1n dxex)n(

e tem as seguintes propriedades:

(A.92) 1!0onde,...2,1,0npara!n)1n(

)n(n)1n(===+Γ

Γ=+Γ

161


No somatório (A.89) apenas as potências pares de x tem coeficientes não nulos.

Com a escolha do coeficiente inicial )1(2

1co +αΓ= α , obtém-se as seguintes

séries como solução da equação (A.88).

(A.93) ( ) m2

0m

mn

n 2x

)1nm(!m1

2x)x(J ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

∞

=

(A.94) ( ) m2

0m

mn

n 2x

)1nm(!m1

2x)x(J ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−Γ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

∞

=

−

−

Essas são as funções de Bessel de primeira espécie e ordem n e –n,

respectivamente. Para valores não inteiros de n, essas duas funções formam um

conjunto linearmente independente de soluções da equação diferencial de Bessel.

Para valores inteiros de n, de acordo com (A.92), a função de Bessel de primeira

espécie assume a seguinte forma:

(A.95) ( ) m2

0m

mn

n 2x

!)nm(!m1

2x)x(J ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑

∞

=

e pode-se mostrar que , ou seja, as soluções (A.93) e (A.94)

são linearmente dependentes. Nesse caso, define-se uma outra função

linearmente independente denominada de função de Bessel de segunda espécie

de ordem n pela expressão:

)x(J)1()x(J nn

n −=−

(A.96) )p(sen

)x(J)p(cos)x(JLim)x(N pp

eirointnp

n π

−π= −

→

e com isso, a solução geral da equação diferencial de Bessel pode ser escrita na

forma:

(A.97) )x(NS)x(JS)x(S nn2nn1n +=

A Figura 3.28 mostra o gráfico das primeiras funções de Bessel de primeira

espécie. Essas funções têm um número infinito de raízes, as primeiras das quais

são mostradas na Tabela 3.2 a seguir.

162


Figura 3.28 – Gráficos das funções de Bessel J0 a J3 no intervalo de 0 a 15.

Tabela 3.2 – Raízes das funções de Bessel de primeira espécie

Ordem de Jn(x) 0 1 2 3

1 2,405 3,832 5,136 6,380 2 5,520 7,016 8,417 9,761

Posição da

raiz 3 8,654 10,174 11,620 13,015

Tal como ocorre nas séries de Fourier, pode-se demonstrar a ortogonalidade das

funções de Bessel segundo a expressão:

(A.98) ( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∫=+

≠

tpse2

)npx(21nJ

tpse01

0ntnnpn dxxxJxxxJx

onde xnp é o p-ésimo zero de Jn(x). Então, as funções ( )xxJx npn formam uma

base ortogonal para expandir qualquer outra função de x integrável no intervalo de

0 a 1, com a condição adicional que a função se anule em x=1. Os coeficientes

dessa expansão são dados por:

(A.99) ( )dxxxJ)x(fx)x(J

2c1

0nmn

nm2

1nnm ∫=

+

Assim, uma função F(s) definida no intervalo de 0 a a, e que satisfaz a condição

, pode ser expandida em série de funções de Bessel na forma: 0)a(F =

163


(A.100) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∑=∞

=s

axJc)s(F nm

n1m

nm

com os coeficientes calculados pela expressão:

(A.101) dssa

xJ)s(fs)x(Ja

2ca

0

nmn

nm2

1n2nm ∫ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=+

___________________________Apêndice 3.3____________________________ Polinômios de Legendre A solução de (3.50) é obtida como uma série de potências. Propondo uma

expressão geral na forma:

(A.102) j0j

j xcx)x(P ∑=∞

=

α

Substituindo em (3.50) e anulando independentemente cada termo de potência

diferente de x, obtém-se as seguintes relações envolvendo α e os coeficientes cj

da série:

(A.103) ou 0co = 0c1 =

(A.104) se → ou 0co = 0=α 1=α

(A.105) se → ou 0c1 = 0=α 1−=α

(A.106) j2j c)2j)(1j(

)1n(n)1j)(j(c++α++α

+−++α+α=+

A fim de evitar a potência negativa em α e conseqüentemente a singularidade em

x=0, escolhe-se sempre e com isso, de acordo com (A.106), todos os

termos com j par são nulos. Pode-se demonstrar que a série converge para todos

os pontos no intervalo no qual

0co =

1x < . Nos extremos desse intervalo ( 1x = ) a

convergência é garantida apenas se a série é finita. Segundo (A.106) isto ocorre

apenas se . Uma vez que apenas os termos com j ímpar são diferentes

de zero, existem apenas duas possibilidades:

nj =+α

(A.107) n par → → série de potências pares 1=α

(A.108) n ímpar → → série de potências ímpares 0=α

164


Obtém-se assim, uma família de funções designadas por polinômios de Legendre,

os quais, por convenção, são normalizados para o valor unitário em x=1. A seguir

uma relação dos polinômios de ordem mais baixa.

(A.109) 1)x(Po =

(A.110) x)x(P1 =

(A.111) )1x3(21)x(P 2

2 −=

(A.112) )x3x5(21)x(P 3

3 −=

(A.113) )3x30x35(81)x(P 24

4 +−=

(A.114) )x15x70x63(81)x(P 35

5 +−=

(A.115) )5x105x315x231(161)x(P 246

6 −+−=

(A.116) )x35x315x693x429(161)x(P 357

7 −+−=

Os polinômios de Legendre podem também ser gerados a partir da fórmula de

Rodrigues:

(A.117) n2n

n

nn )1x(dxd

!n21)x(P −=

Os polinômios de Legendre formam uma base ortogonal para expansão de

funções no intervalo de 1x1 ≤≤− . Isto ocorre devido à condição de

ortogonalidade ser satisfeita, de acordo com a expressão:

(A.118) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=∫≠

=+

−

nmse0

nmse1n2

2m1

1n dx)x(P)x(P

Assim, qualquer função integrável no intervalo 1x1 ≤≤− pode ser expandida na

forma:

(A.119) )x(Pa)x(f n0n

n∑=∞

=

onde os coeficientes an são dados por:

165


(A.120) ∫+

=−

1

1nn dx)x(P)x(f

21n2a

___________________________Apêndice 3.4____________________________ O Método das Diferenças Finitas O método das diferenças finitas é um método de resolução de equações

diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. As

fórmulas de aproximação das derivadas são obtidas da série de Taylor da função.

Seja uma função contínua e derivável em um intervalo definido em torno de

uma posição . A expansão em série de Taylor de em torno de é

dada por:

)x(f

oxx = )x(f ox

(A.121) ∑ −+=∞

=1i

no

o)n(

o )xx(!n

)x(f)x(f)x(f

onde é a derivada de ordem ‘n’ da função calculada na posição

. Podemos representar uma posição em torno de pela distância

)x(f o)n( )x(f

oxx = ox

oxxx −=Δ . Assim, para uma posição anterior a , (A.121) fornece a seguinte

expansão:

ox

(A.122)

...x)x(f!4

1x)x(f!3

1x)x(f21x)x(f)x(f)xx(f 4

o)4(3

o)3(2

o)2(

o)1(

oo +Δ+Δ−Δ+Δ−=Δ−

enquanto para uma posição posterior a , teremos: ox

(A.123)

...x)x(f!4

1x)x(f!3

1x)x(f21x)x(f)x(f)xx(f 4

o)4(3

o)3(2

o)2(

o)1(

oo +Δ+Δ+Δ+Δ+=Δ+

Se subtrairmos (A.122) de (A.123), obteremos:

(A.124) ...x)x(f!3

2x)x(f2)xx(f)xx(f 3o

)3(o

)1(oo +Δ+Δ=Δ−−Δ+

Assim, podemos escrever a primeira derivada da função no ponto xo por:

(A.125) )x(errox2

)xx(f)xx(f)x(f )1(ooo

)1( Δ+Δ

Δ−−Δ+=

166


Se tomarmos apenas o primeiro termo como sendo uma aproximação para a

primeira derivada da função estamos cometendo um erro que depende das

derivadas da função e das potências pares de xΔ , segundo a expressão:

(A.126) ...x)x(f!7

1x)x(f!5

1x)x(f!3

1)x(erro 6o

)7(4o

)5(2o

)3()1( −Δ−Δ−Δ−=Δ

Por outro lado, se somarmos (A.122) e (A.123), obteremos:

(A.127) ...x)x(f!4

2x)x(f)x(f2)xx(f)xx(f 4o

)4(2o

)2(ooo +Δ+Δ+=Δ−+Δ+

Então, podemos escrever a segunda derivada da função no ponto xo na forma:

(A.128) )x(errox

)x(f2)xx(f)xx(f)x(f )2(

2ooo

o)2( Δ+

Δ−Δ−+Δ+

=

Se tomarmos apenas o primeiro termo como sendo uma aproximação para a

segunda derivada da função estamos cometendo um erro que depende das

derivadas da função e das potências pares de xΔ , segundo a expressão:

(A.129) ...x)x(f!8

2x)x(f!6

2x)x(f!4

2)x(erro 6o

)8(4o

)6(2o

)4()2( −Δ−Δ−Δ−=Δ

Sob a hipótese de estarmos usando xΔ suficientemente pequeno para que os

erros possam ser ignorados, as expressões para as derivadas de primeira e

segunda ordem são:

(A.130) x2

)xx(f)xx(f)x(f ooo

)1(

ΔΔ−−Δ+

=

(A.131) x

)x(f2)xx(f)xx(f)x(f 2

oooo

)2(

Δ−Δ−+Δ+

=

Para uma função de duas variáveis, essas derivadas são escritas na forma:

(A.132) x2

)y,xx(f)y,xx(f)y,x(f oooooo

)x1(

ΔΔ−−Δ+

=

(A.133) y2

)yy,x(f)yy,x(f)y,x(f oooooo

)y1(

ΔΔ−−Δ+

=

(A.134) x

)y,x(f2)y,xx(f)y,xx(f)y,x(f 2

oooooooo

)x2(

Δ−Δ−+Δ+

=

(A.135) y

)y,x(f2)yy,x(f)yy,x(f)y,x(f 2oooooo

oo)y2(

Δ−Δ−+Δ+

=

167


Substituindo as derivadas aproximadas na equação diferencial, obtemos a

equação de diferenças finitas correspondente. Por exemplo, no caso da equação

de Laplace bidimensional, teremos:

(A.136) 0)y,x(f)y,x(f ji)y2(

ji)x2( =+

onde i e j são índices que identificam posições discretas no espaço. As posições

possíveis fazem parte de uma grade de pontos em uma malha de discretização do

espaço. A Figura 3.29 mostra um esquema de discretização possível e o efeito

dos parâmetros de malha e xΔ yΔ na definição de interfaces. Devemos entender

que a equação de diferenças finitas descreve o fenômeno físico em questão no

espaço discreto, do mesmo modo que a equação diferencial correspondente

descreve o fenômeno no espaço contínuo. Substituindo as derivadas dadas em

(A.134) e (A.135) na equação (A.136), obtemos a seguinte equação de diferenças

finitas:

(A.137) 0)y,x(fc)y,x(fb)y,x(fb)y,x(fa)y,x(fa ji1ji1jij1ij1i =−+++ −+−+

Figura 3.29 – Malha de discretização regular bidimensional com a representação aproximada de

uma superfície circular.

168


onde os coeficientes a, b e c, são dados por:

(A.138)

y2

x2c

y1b

x1a

22

2

2

Δ+

Δ=

Δ=

Δ=

No caso de uma malha regular, yx Δ=Δ , e a equação de diferenças pode ser

escrita na forma simples:

(A.139) 4

)y,x(f)y,x(f)y,x(f)y,x(f)y,x(f 1ji1jij1ij1i

ji−+−+ +++

=

ou seja, o valor da função em cada posição da malha discreta é a média aritmética

dos valores da mesma função nas posições adjacentes. Para cada posição na

malha temos uma equação de diferenças finitas correspondente, relacionando o

valor da função naquele ponto com os valores vizinhos. Esse sistema de

equações lineares deve ser resolvido para se obter a distribuição espacial da

função no espaço discreto. Entretanto, certas condições de contorno

apropriadas devem ser utilizadas para especificar o valor da função nas posições

limites da malha de discretização. No cálculo do potencial elétrico, por exemplo,

uma superfície condutora é equipotencial. Todos os pontos da malha adjacentes a

essa superfície, terão pelo menos um dos potenciais vizinhos no valor do potencial

da superfície (ver Figura 3.30). Essa condição é chamada de condição de

contorno de Dirichlet. Por outro lado, em certos sistemas é possível prever o

valor da derivada da função na direção perpendicular a uma superfície e, com

isso, estabelecer uma relação entre o valor da função em um ponto da malha

adjacente à superfície e o valor na própria superfície. No cálculo do potencial

elétrico, por exemplo, a sua derivada perpendicular é o próprio campo elétrico

normal na superfície. Como mostra a Figura 3.30, A fixação do campo elétrico

normal em uma superfície, determina uma relação simples entre o potencial da

superfície e do ponto da malha adjacente. Esta condição é denominada de

condição de contorno de Neumann.

)y,x(f ji

169


os V=ϕ )j,i(ϕ )j,i(ϕ

ne

xe)j,i( ns Δ−ϕ=ϕ

xΔCondição de contorno de Dirichlet

Condição de contorno de Neumann

os V=ϕ )j,i(ϕ )j,i(ϕ

ne

xe)j,i( ns Δ−ϕ=ϕ

xΔCondição de contorno de Dirichlet

Condição de contorno de Neumann

Figura 3.30 – Representação das condições de contorno de Dirichlet e Neumann.

___________________________Apêndice 3.5____________________________ Condições de Continuidade em Interfaces A Figura 3.31 mostra uma interface entre dois meios com propriedades

eletromagnéticas diferentes. Podemos usar as equações de Maxwell para

relacionar os campos em ambos os lados da interface. Consideremos a aplicação

da lei de Gauss à superfície S. Se A é uma área pequena e o comprimento zΔ

tende a zero, temos:

(A.140) AAn)dd(dsndLim 12S0z

σ=⋅−∫∫ =⋅→Δ

)rr)r

onde σ é a densidade superficial de carga livre na interface. Para uma interface

entre materiais dielétricos, , e (A.140) implica em que a componente normal

da indução elétrica na interface é contínua, ou seja:

0=σ

(A.141) n1n2 dd =

Se a constante dielétrica é diferente nos dois materiais, o campo elétrico normal

será descontínuo:

(A.142) n11n22 ee ε=ε

Utilizando agora a lei de Gauss para a indução magnética, obtemos:

(A.143) 0An)bb(dsnbLim 12S0z

=⋅−∫∫ =⋅→Δ

)rr)r

170


zΔ

n)

n)

S1dr

2dr

1br

2brA 1t

)2t)

1er

2er

1hr

2hr

C zΔ

L

( a ) ( b )

zΔ

n)

n)

S1dr

2dr

1br

2brA 1t

)2t)

1er

2er

1hr

2hr

C zΔ

L

( a ) ( b )

Figura 3.31 – Arranjo geométrico para aplicação das equações de Maxwell na obtenção das

condições de contorno em uma interface. (a) superfície para aplicação da lei de Gauss. (b)

caminho fechado para aplicação das leis de Faraday e Ampere.

ou seja, a componente normal da indução magnética é contínua na interface:

(A.144) n1n2 bb =

Se os materiais têm diferentes permeabilidades magnéticas, o campo magnético é

descontínuo na interface:

(A.145) n11n22 hh μ=μ

Vejamos agora o comportamento das componentes tangenciais na interface.

Aplicando as equações referentes às leis de Ampere e Faraday ao caminho C com

L pequeno e tendendo a zero, teremos: zΔ

(A.146) 0dLztbdtdLimLt)ee(LdeLim 2

S0z112C0z

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ∫∫ ⋅−=⋅−∫ =⋅

→Δ→Δ

)r)rrrr

(A.147) dLzttdjLimLt)hh(LdhLim 2

S0z112C0z

Δ∫∫ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+=⋅−∫ =⋅→Δ→Δ

)r

r)rrrr

171


Onde 1t)

e 2t)

são vetores unitários perpendiculares entre si e ambos paralelos à

interface. O fluxo magnético em (A.146) se anula uma vez que a indução

magnética está espalhada na área infinitesimal zΔ dL que tende a zero. Desta

equação concluímos que a componente paralela do campo elétrico é contínua na

interface:

(A.148) t1t2 ee =

mas, se os materiais envolvidos têm diferentes constantes dielétricas, a indução

elétrica tangencial é descontínua:

(A.149) 1

t1

2

t2 ddε

=ε

Quando um dos materiais envolvidos na interface é um bom condutor, existe uma

condição de contorno especial associada ao campo elétrico. Acontece que, se não

há corrente em regime permanente no condutor, o mesmo deve ser tratado como

um volume equipotencial. Então, o campo elétrico dentro deste volume é nulo e,

por esta razão, o campo paralelo à interface, dentro e fora do condutor, é nulo.

Assim, o campo elétrico no meio não condutor incide sempre perpendicularmente

na interface com um condutor. Esta condição falha se existe correntes

permanentes no condutor, pois nesse caso o campo elétrico não se anula no

condutor.

Na equação (A.147) a última integral tem dois termos no integrando. O termo

dependente da indução elétrica certamente se anula já que a indução está

distribuída na área que tende a zero. O termo dependente da densidade de

corrente de condução não necessariamente é nulo. Se a corrente se concentra

exatamente na interface, então no limite com 0z →Δ , ktzj 2 →⋅Δ)r

, onde k é a

densidade linear de corrente na interface na direção de 2t)

. Esta integral, então,

resulta em:

(A.150) LkdLzttdjLim 2

S0z=Δ∫∫ ⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+→Δ

)r

r

Assim, a condição de continuidade para o campo magnético tangencial é dada

por:

172


(A.151) khh t1t2 =−

Uma vez que k é a densidade linear de corrente perpendicular à 1t)

, podemos

concluir que uma corrente superficial na interface afeta a continuidade apenas da

componente de campo magnético paralela à interface mas perpendicular ao vetor

. Na ausência de correntes superficiais, o campo magnético tangencial é

contínuo:

kr

(A.152) t1t2 hh =

Se a interface envolve dois materiais com diferentes permeabilidades magnéticas,

a indução magnética tangencial será descontínua:

(A.153) 1

t1

2

t2 bbμ

=μ

Observe que se , temos 12 μ>>μ t2t1 bb << . Uma vez que , concluímos

que, em interfaces com materiais de alta permeabilidade magnética, a indução e o

campo magnético no meio de baixa permeabilidade tem orientação

aproximadamente perpendicular à interface.

n2n1 bb =

Quanto aos potenciais, pode-se mostrar facilmente que ambos, o potencial elétrico

e o potencial magnético, são contínuos através de uma interface. Consideremos,

por exemplo, a identidade (A.58) (Apêndice 2.1) aplicada ao caminho mostrado na

Figura 3.31b.

(A.154) ∫∫ ×ϕ∇−=∫ϕSC

dsnLd)r

Se , a integral de superfície se anula, enquanto a integral de linha resulta

em , ou seja:

0z →Δ

0L)( 12 =ϕ−ϕ

(A.155) 12 ϕ=ϕ

De modo análogo, consideremos a circulação do potencial magnético ao longo do

mesmo caminho nessa figura:

(A.156) ∫∫ ⋅=∫∫ ⋅×∇=∫ ⋅SSC

dsnbdsnaLda)r)rrr

Novamente, se , a integral de superfície se anula, enquanto a integral de

linha resulta em

0z →Δ

0Lt)aa( 112 =⋅−)rr

, ou seja:

173


(A.157) 1t2t aa =

Para a componente normal, podemos calcular o fluxo do potencial magnético

através da superfície S definida na Figura 3.31a:

(A.158) ∫∫∫ ⋅∇=∫∫ ⋅VS

dVadSnar)r

Usando a condição de Lorentz (3.62) para substituir o divergente do potencial

magnético, teremos:

(A.159) ∫∫∫∂ϕ∂

με−=∫∫ ⋅VS

dVt

dSna)r

Mas, se , a integral de volume se anula, e a integral de superfície resulta

em

0z →Δ

0An)aa( 12 =⋅−)rr

, ou seja:

(A.160) 1n2n aa =

174


Exercícios Propostos 1) Calcule o potencial elétrico para os campos definidos pelas seguintes

expressões:

a) zEe o)r

=

b) 3o rr

4qe

vr

πε= (r é a coordenada radial no sistema esférico)

c) 2o ss

2e

rr

πελ

= (s é a coordenada radial no sistema cilíndrico)

d) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡θθ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−θ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

))rsen

ra1rcos

ra21Ee 3

3

3

3o com a condição de contorno

. 0),ar( =θ=ϕ

2) Definimos a capacitância por unidade de comprimento de um cabo coaxial ou

linha paralela como o quociente entre a densidade linear de carga nos condutores

e a diferença de potencial entre eles VC Δλ= .

a) Usando o método das imagens, calcule a capacitância de uma linha paralela

com condutores cilíndricos de raio ‘a’ separados pela distância ‘d’.

a) Usando a equação de Laplace, calcule a capacitância de um cabo coaxial com

condutores cilíndricos de raio interno ‘a’ e raio externo ‘b’.

3) Calcule o potencial elétrico em todo o espaço e a densidade de carga nas

superfícies condutoras nos sistemas da Figura Exercício 3.

4) Calcule o potencial e o campo elétrico nos sistemas da Figura Exercício 4.

Dentro da cavidade retangular. Dentro e fora da cavidade semi-esférica e dentro e

fora da cavidade cilíndrica.

175


5) Calcule o potencial magnético para uma linha paralela como aquela mostrada

na Figura 3.1 considerando que correntes de mesmo valor circulam em sentidos

opostos nos fios.

Figura Exercício 3

b

b

d

b

q

q -q

b

b

d

b

q

q -q

Figura Exercício 4

Vo0 0

0

0

0b

a

c

Vo

a

aVoVo

0 0

0

0

0b

a

c

Vo0 0

0

0

0b

a

c

Vo

a

Vo

a

aVo

aVo

176


6) Considere uma linha de transmissão consistindo de duas placas condutoras

paralelas de largura ‘w’ e comprimento infinito. O espaçamento entre as placas é

‘d’. Considere que uma corrente circula pelas placas, com densidade linear

uniforme (

oi

zwi

k o )r= onde z é a direção do comprimento das placas). A corrente em

uma placa está em sentido oposto ao da outra placa. Considerando que wd << ,

calcule a distribuição de potencial magnético nessa linha.

7) Calcule a energia magnética armazenada por unidade de comprimento da linha

de placas paralelas descrita no exercício anterior.

8) Considere um capacitor formado por duas superfícies esféricas concêntricas,

de raios ‘a’ e ‘b’, e uma diferença de potencial Vo entre elas, mantida por uma

bateria. Calcule a energia elétrica armazenada neste capacitor.

9) Usando os resultados do Exemplo 3.14 refaça o exemplo 3.18 e calcule a

energia magnética armazenada por unidade de comprimento do cabo coaxial

usando desta vez o potencial magnético.

10) Calcule a energia magnética armazenada em um solenóide longo pelo qual

circula a corrente . Considere número de espiras total ‘N’, raio das espiras ‘a’ e

comprimento ‘L’. Considere que o diâmetro do fio condutor é muito pequeno

comparado ao raio e comprimento do solenóide. Use a aproximação de campo

magnético uniforme dentro do solenóide.

oi

11) Um capacitor de placas paralelas é carregado por uma fonte de corrente de

valor durante o intervalo de tempo oi tΔ . Calcule a energia armazenada no

capacitor ao final desse intervalo, considerando que a área das placas é ‘A ‘, que o

espaçamento entre as placas é ‘d’ e que o campo é uniforme no interior do

capacitor. Calcule pelo potencial e pelo campo e compare os resultados.

177

3) teoria dos potenciais - udesc · podemos seguir uma trajetória radial para a integral de linha...

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