3 º cíclo - exercícios

TEMAS/CONTEÚDOS DO 3.º CICLO

7.º ANO

I. CONHECER MELHOR OS NÚMEROS 1. Estimativas e arredondamentos 2. Múltiplos e divisores 3. Critérios de divisibilidade por 2, 3 e 5 4. Número primo e número composto 5. Decomposição de um número num produto de factores primos 6. Potências de expoente natural 7. Raiz quadrada e raiz cúbica 8. Expressões com variáveis

II. PROPORCIONALIDADE DIRECTA 1. Razão e proporção 2. Proporcionalidade directa 3. Percentagens 4. Escalas

III. SEMELHANÇA DE FIGURAS 1. Semelhança de figuras 2. Semelhança de polígonos 3. Ampliação e redução de polígonos 4. Semelhança de triângulos

IV.OS NÚMEROS RACIONAIS 1. Operações com números racionais relativos 2. Potencias de números racionais e expoente natural 3. Operações com números racionais relativos e potências 4. Números racionais relativos e expressões com variáveis

V. ESTATÍSTICA 1. Tabelas de frequência 2. Gráficos de barras e gráficos circulares 3. Medidas de tendência central (média, moda e mediana)

VI. DO ESPAÇO AO PLANO: SÓLIDOS, TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS 1. Perpendicularidade e paralelismo entre rectas, entre planos e entre rectas e

planos 2. Áreas e volumes de sólidos 3. Ângulos (verticalmente opostos e de lados paralelos) 4. Simetria (eixo de simetria, simétrico de um ponto em relação a uma recta) 5. Relações entre os elementos de um triângulo 6. Critérios de igualdade de triângulos 7. Propriedades, classificação e construção de quadriláteros

VII. EQUAÇÕES 1. Equações do 1.º grau com uma incógnita 2. Resolução de problemas

8.º ANO

I. DECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS – TEOREMA DE PITÁGORAS 1. Áreas de quadriláteros 2. Teorema de Pitágoras 3. Critérios de p erpendicularidade e teorema de Pitágoras no espaço

II. FUNÇÕES 1. Noção de função,domínio, contradomínio e conjunto de chegada. Formas de

representar uma função 2. Funções de proporcionalidade directa e do tipo y = ax + b

III. AINDA OS NÚMEROS 1. Sequências de números (descobrir termos seguintes e termo geral) 2. Máximo divisor comum (m. d. c.) e mínimo múltiplo comum (m. m. c.) 3. Potências de números racionais e expoente inteiro 4. Notação científica

IV. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1. Critérios de semelhança de triângulos

V. ESTATÍSTICA 1. Histogramas, polígonos de frequência e pictogramas 2. Leitura e interpretação de gráficos

VI. LUGARES GEOMÉTRICOS 1. Lugares geométricos: mediatriz, plano mediador, circunferência, círculo,

superfície esférica e esfera 2. A conjunção de condições e a intersecção de conjuntos

VII. EQUAÇÕES 1. Equações do 1.º grau com denominadores 2. Equações literais 3. Operações com polinómios 4. Casos notáveis da multiplicação 5. Lei do anulamento do produto 6. Equações de grau superior ao 1.º

VIII. TRANSLAÇÕES 1. Translação 2. Composição de translações; adição de vectores

9.º ANO

I. ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES 1. Probabilidade de um acontecimento (Lei de Laplace) 2. A probabilidade e a frequência relativa

II. SISTEMAS DE EQUAÇÕES 1. Sistemas de equações do 1.º grau com 2 incógnitas

III. PROPORCIONALIDADE INVERSA. REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS 1. Proporcionalidade 2. Leitura e interpretação de gráficos

IV. OS NÚMEROS REAIS. INEQUAÇÕES 1. Os números reais e seus subconjuntos 2. Representação de números reais na recta 3. Intervalos de números reais 4. Inequações 5. Conjunção e disjunção de condições; intersecção e reunião de conjuntos

V. CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS: ROTAÇÕES 1. Circunferência e polígonos 2. Rotação

VI. EQUAÇÕES 1. E quações do 2º grau

VII. TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RECTÂNGULO 1. Trigonometria do triângulo rectângulo

VIII. ESPAÇO – OUTRA VISÃO 1. Áreas e volumes de sólidos 2. Perpendicularidade e paralelismo entre rectas, entre planos e entre rectas e

planos

Arredondamentos

1. Quatro amigos encontraram-se para resolver um problema de Matemática que envolvia o cálculo do perímetro de um círculo com 10 cm de diâmetro.Na tabela que se segue, está indicado o valor que cada um obteve para o perímetro do círculo.

Rita Carlos João Sofia31,4 cm 31,41 cm 31,42 cm 31,43 cm

a) Qual dos quatro amigos obteve uma melhor aproximação do perímetro daquele círculo?

b) Indica um valor aproximado do perímetro daquele círculo:i) às décimas por excesso;ii) às centésimas por defeito.

(adaptado de um exercício do exame de 2005 – 1ª chamada)

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Critérios de divisibilidade

Critério de divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 se o seu algarismo das unidades for 2, 4, 6, 8 ou 0.

Critério de divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos:

Será 45 divisível por 3? Vejamos:4 + 5 = 99 é divisível por 3, logo 45 é divisível por 3

Será 453868 divisível por 3? Vejamos:A soma dos algarismos do número 453868 é igual a 4 + 5 + 3 + 8 + 6 + 8 = 34E 34 é divisível por 3? 3 + 4 = 7.7 não é divisível por 3, logo 34 não é divisível por 334 não é divisível por 3, logo 453868 não é divisível por 3.

Critério de divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 se o seu algarismo das unidades for 5 ou 0.

Exercícios

1. Escreve um número, compreendido entre 5000 e 5999, que seja simultaneamente divisível por 2 e por 3.

(exercício retirado do exame de 2007 – 2.ª chamada)

2. De um número de quatro algarismos desconhecem-se os algarismos das centenas e das unidades. O algarismo dos milhares é 1 e o das dezenas é 3.

Indica quais são os algarismos desconhecidos, sabendo que:O número é divisível por 2, 3 e 5. Indica todas as soluções possíveis.

3. Determina:

a) Os múltiplos de 3, menores do que 100 e que terminam em 4.

b) Os números divisíveis por 3, maiores do que 100 e menores do que 150 que terminam em 5.

c) O menor número com 3 algarismos que começa em 7 e é divisível por 2, 3 e 5.

4. Considera os números: 434812973106 524308476495 130248213970

Indica, justificando, quais dos números acima representados são divisíveis por:

a) 2 b) 3 c) 5

5. 23KW representa um número de quatro algarismos. Substitui as letras K e W por algarismos de modo a obteres um número divisível por:

a) 2; b) 3; c) 5; d) 2, 3 e 5.

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Raiz quadrada e raiz cúbica

1. Considera a tabela seguinte:

Determina:

a) o comprimento do lado do quadrado representado na figura, apresentando o resultado arredondado a menos de 0,1;

b) o comprimento da aresta do cubo seguinte, apresentando o resultado arredondado às centésimas.

2. Determina o comprimento do lado de um quadrado cuja área é igual a 25 cm2.

3. Qual é o comprimento da aresta de um cubo com 343 m3 de volume?

4. Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos perpendiculares), um triângulo [ABC].O segmento de recta [BC] é perpendicular ao eixo dos xx.

Sabe-se que AB=20 , AC=5 e BC=5 .Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do perímetro do triângulo [ABC] a menos de 0,1.


n n 3 n53 7,2801... 3,7562...54 7,3484... 3,7797...55 7,4161... 3,8029...

Volume = 55 cm3

Área = 53 m2

5. Calcula o perímetro da figura sabendo que A e B são quadrados.

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área de A = 49 m2

área de B = 9 m2

Potências de expoente natural

Vamos trabalhar com potências. Este conceito não é novo para ti, pois já estudaste potências em que a base e o expoente são números naturais. Descobrirás agora novas regras para trabalhar com potências. Para isso poderás recorrer à tua calculadora.Recorda que:

24 é a potência de base 2 e expoente 4 24 lê-se "2 elevado a 4" 24 = 2 x 2 x 2 x 2 (4 vezes)

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS COM A MESMA BASECompleta os espaços em branco:

Repara que em cada um dos dois casos apresentados a base das potências é igual, mas os expoentes são diferentes. Pretende-se obter uma regra para multiplicar potências com a mesma base. A partir do que já concluíste para cada caso, completa a seguinte frase:Na multiplicação de potências com a mesma base, mantém-se a ________ e adicionam-se os ____________.

POTÊNCIA DE POTÊNCIACompleta os espaços em branco:

Pretende-se obter uma regra para determinar o valor potências de potências. A partir dos resultados que obtiveste, completa a seguinte frase:Para obter o valor de uma potência de potência, mantém-se a ____________ e multiplicam-se os ____________.

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Expressões com variáveis

1. A figura seguinte representa um terreno visto de cima:

a) Escreve uma expressão simplificada para o perímetro do terreno.

b) Determina o perímetro do terreno sabendo que x =2.

2. Simplifica a escrita das expressões seguintes:

a) 2×ab b) 11y−6y c) 3×a×bab d) u×u×u×u×uvvv

3. Escreve uma expressão com variáveis para traduzir:

a) metade de um número;

b) a diferença entre dois números;

c) a soma da raíz quadrada de um número com o triplo de outro;

d) o quociente entre o cubo de um número e o dobro de outro número;

e) a soma do quadrado de dois números.

4. Durante uma trovoada, para calcular a distância a que caiu o raio cujo relâmpago foi visto, pode usar-se a formula: d = 340n, onde d representa a distância em metros e n o número de segundos que passaram desde que se viu o relâmpago até se ouvir o trovão.Durante uma trovoada o Nuno contou 3 segundos desde que viu o relâmpago até ouvir o trovão. A que distância caiu o raio?

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3x

7x+3

4x-2

Razão e proporção

1. Num saco estão 4 bolas vermelhas e 6 bolas azuis.

a) Escreve a razão entre o número de bolas vermelhas e azuis.

b) Escreve a razão entre o número de bolas azuis e vermelhas.

2. Determina o valor de x em cada uma das seguintes proporções.

a) 23=

x21 b) x

7=

535

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Proporcionalidade directa

1. Dos gráficos seguintes, qual representa uma situação de proporcionalidade directa?

2. Observa a tabela que se refere ao custo de um perfume.

Quantidade (ml) 30 100 150Custo (€) 25 90 130

a) Existe proporcionalidade directa entre o custo e a quantidade de perfume?

b) Copia e completa a seguinte tabela, sabendo que, neste caso, existe proporcionalidade directa entre o custo e a quantidade de perfume.

Quantidade (ml) 50 100Custo (€) 30 90

c) Indica a constante de proporcionalidade da situação considerada na alínea anterior e o seu significado no contexto da tabela.

3. A tabela seguinte relaciona a quantidade de concentrado de sumo “Orangix”, com a quantidade de água que deve misturar-se para se obter sumo de laranja:

Concentrado de sumo (n.º de copos) 2 6 10Água (n.º de copos) 5 15 25

a) As grandezas representadas na tabela são directamente proporcionais? Justifica e em caso afirmativo, indica a constante de proporcionalidade e o seu significado.

b) A Alice comprou uma garrafa de concentrado de sumo “Orangix” para a sua festa de anos.Cada garrafa de concentrado de sumo enche 4 copos.Quantos copos de sumo obteve a Alice, sabendo que fez o sumo de acordo com a tabela e gastou toda a garrafa de concentrado?4. Sabendo que um carro gasta 2,08 litros de gasolina para percorrer 26 km, calcula o número de litros que gasta em 100 km.

5. A tabela seguinte relaciona o lado l de um triângulo equilátero com o seu perímetro P.

a) Constrói um gráfico cartesiano que relacione o lado l com o perímetro p.

b) O perímetro do triângulo equilátero é directamente proporcional seu lado.Justifica a afirmação anterior com base no gráfico.

c) Qual é a contante de proporcionalidade e o que significa?

d) Indica o perímetro de um triângulo equilátero com 4 cm de lado.

e) Indica o comprimento do lado de um triângulo equilátero com perímetro igual a 24 cm.

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l (cm) 2 5 10P (cm) 6 15 30

Percentagens

1. Muitos dos estudantes que usam mochilas transportam diariamente peso a mais para a sua idade.Para evitar lesões na coluna vertebral, o peso de uma mochila e o do material que se transporta dentro dela não devem ultrapassar 10% do peso do estudante que a transporta.A Marta pesou a sua mochila.Na balança da figura ao lado, está indicado o peso dessa mochila vazia.

Sabendo que a Marta pesa 45 kg, qual é, em kg, o peso máximo que ela poderá transportar dentro da sua mochila, de forma a evitar lesões na coluna vertebral?Apresenta todos os cálculos que efectuares.


2. Uma empresa de vendas por catálogo decidiu apresentar duas promoções (A e B) sobre o preço de venda dos seus artigos.

Promoção A:desconto de 25% na compra de um artigo à escolha e desconto de 10% nos restantes artigos.

Promoção B:desconto de 10 euros na compra de um artigo à escolha e desconto de 20% nos restantes artigos.

O Roberto vai encomendar umas calças no valor de 30 euros e um casaco no valor de 80 euros.Como é que o Roberto poderá gastar menos dinheiro no pagamento desta encomenda?Indica que promoção deverá escolher e que desconto deverá aplicar a cada artigo.Justifica a tua resposta, apresentando todos os cálculos que efectuares.


3. A Sara foi a uma loja e escolheu um blusão que custava 35 €. O dono da loja fez-lhe um desconto de 25%.Quanto pagou a Sara pelo blusão?

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Escalas

1. A figura abaixo representa uma piscina desenhada à escala de 1/200. Indica as dimensões reais da piscina em metros.

2,5 cm

4 cm

2. Num mapa do Porto, o comprimento da Avenida da Boavista é de 2 cm. O mapa está feito à escala de 1/200 000. Qual é o comprimento real, em quilómetros, da Avenida da Boavista?

3. O Mapa refere-se à zona da cidade do Porto onde mora a avó da Sara. Foi feito à

escala 1

13 500 .

A Sara foi de metro até casa da avó.

Saiu na estação de Francos, no ponto S do mapa, e percorreu o percurso mais curto até casa da avó - ponto A no mapa.

Faz as medições necessárias e determina quantos metros, aproximadamente, a Sara andou.

4. Um avião tem 72 m de comprimento. Qual é o comprimento de uma maqueta deste avião feita à escala 1:300?

5. A figura ao lado é uma imagem da fachada do Partenon – templo grego, construído no século V a.C. na

acrópole de Atenas. Está feita à escala de 1

800 .

Determina, em metros, a altura de uma coluna do templo, na realidade.

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1,3 cm

Semelhança de polígonos

1. Na figura, estão representados três rectângulos, A, B e C, cujas dimensões estão indicadas em centímetros (cm).

Apenas dois dos rectângulos representados na figura são semelhantes.Indica a razão dessa semelhança, considerando-a uma redução.


2. Considera um segmento de recta [AB] com 4 cm de comprimento.Efectuou-se uma redução do segmento de recta [AB].O segmento de recta obtido tem 0,8 cm de comprimento.Qual dos seguintes valores é igual à razão de semelhança desta redução?

(A) 0,2 (B) 0,3 (C) 0,4 (D) 0,5(exercício retirado do exame de 2007 – 2.ª chamada)

3. Observa os polígonos e responde, justificando, às questões seguintes, apresentando todos os cálculos que tiveres de efectuar.

a) o polígono A é semelhante ao polígono B?

b) o polígono A é semelhante ao polígono C?

c) o polígono A é semelhante ao polígono D?

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Ampliação e redução de polígonos

1. Na figura abaixo, está desenhado um triângulo equilátero que tem 6 cm de lado.Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói a ampliação, de razão 1,5, deste triângulo.Efectua a construção a lápis. (Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.)


2. Constrói uma redução do polígono seguinte com razão de semelhança igual a 34

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Semelhança de triângulos

1. Para medir a altura de uma árvore o Vicente usou uma vara.Mediu a vara, a sombra sombra da vara e a sombra da árvore; essas medidas encontram-se registadas na figura abaixo (que não está feita à escala).

a) Os triângulos [ABC] e [DEF] são semelhantes? Justifica a tua resposta.

b) Determina a altura da árvore.

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ABC DEF pois correspondem à inclinação dos raios solares.ˆ ˆCAB FDE 90º

=

= =

S S

Operações com números racionais relativos.

Adição:

734 =+ tenho 4 e tenho 3 – tenho 7734 −=−− devo 4 e devo 3 – devo 7

134 =− tenho 4 e devo 3 – tenho 1134 −=+− devo 4 e tenho 3 – devo 1

1. Calcula:

a) 432 −− b) 432 ++−

c) 234 +−− d) 2143 +−+−

e) 4,03,02,01,03,0 ++−− f) 1,012,02,02 −−+−

g) 265

34

23 −+−− h) 10

151

10112 −+−−

i) 125

127

65

341 −+−+ j) 2

12233

85

43 ++++−−

Resolução da a): 572432 −=−=−−

Resolução da g): 4

624

65

629

612

65

68

69

12

65

34

232

65

34

23 −=−=+−=−+−−=−+−−=−+−−

Desembaraçar de parêntesis:

( ) 617134134 −=+−=+−−=+−+−

Temos o sinal + antes de um parêntesis – ao tirar os parêntesis mantemos o sinal a tudo o que está dentro dele.

( ) 211134134 −=−−=−+−=+−−−

Temos o sinal - antes de um parêntesis – ao tirar os parêntesis trocamos o sinal a tudo o que está dentro dele.

-7

( )3× ( )2× ( )1× ( )6×

tenho: + devo: -

2. Desembaraça de parêntesis e depois calcula ao valor de cada uma das expressões:

a) ( ) ( )510218 −−+− b) ( ) ( )2263 −−−−

c) ( ) ( ) 591257 ++−+−− d) ( ) ( )22610263 −−−−−

e)

−+

+−−511

57

51

52

54 f) ( ) ( )3,16,33,26,53,7 +−−+−+

Resolução da a): ( ) ( ) 21728510218510218 −=+−=+−+−=−−+−

Produto:

1234 =×( ) 1234 =−×−

( ) 1234 −=−×1234 −=×−

3. Calcula:

a) ( )452 −××− b) 231

21 ×

−×

c) ( )

−×−×525

34 d) 2

213 ××−

e) 331

23 ×

−×

f) ( )3

41

37 −×

−×

Resolução da a): −2×5×−4=−10×−4=40

Resolução da b):

62

12

61

12

3211

12

31

212

31

21 −=×−=×

××−=×

−×=×

−×

Os sinais são iguais – “multiplicamos os números e damos o sinal +”

Os sinais são diferentes – “multiplicamos os números e damos o sinal –“

Como antes do parêntesis não tem sinal, é como se lá estivasse o sinal +

Divisão:

158

5324

52

34

25:

34

25

34

−=××−=

−×=

−=

−

Para dividir dois números racionais multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor.

4. Calcula:

a) ( )5:2 − b)

−

−21:

101

c)

12565

−

−d) 5

6:65:3

−

Resolução da a): ( )52

512

15:25:2 −=

−×=

−=−

5. Calcula:

a) ( ) ( )1636 −×−−×− b) ( ) ( ) 1578 +−×+−−c) ( ) 25,04819 ×−−− d) ( ) ( )14234 +−+−×

e) ( )573

52

51 +−×+− f) ( )

−×−−××

+−

1315014

45

23

g) ( ) 23231

211 −

−−−×+ h)

−×−

−×

32

23

21

412

i)

−+

×−−561

214

52 j)

−×

×+−

21

54

212

k) ( )124131

21 ×−−×

+−

Não te esqueças que primeiro tens de resolver o que está dentro de parêntesis, depois tens de fazer os produtos e só depois as adições.

Resolução da g): ( ) 23231

211 −

−−−×+ = ( ) 2

13

231

211 −

−−−×+ =

( ) 226

231

211 −

−−−×+= = ( ) 2

231

211 −

−−−×+ = 2

23

211 −+− =

= 12

23

21

11 −+− = 2

423

21

22 −+− .= 2

525 − = 0

dividendo divisor inverso do divisor

( )2×

( )2× ( )2×

6. Calcula:

a) ( )52:10 −×− b) ( ) 21:10 ×−c) ( )55,05:5,0 −×+ d) ( ) ( )16,0:2,13 −−

e) ( )

−

−+−21:

1015:2 f) ( )1:

564 −

−

g)

−

−−125:

32

61 h)

−×

−

34

21:

53

i) 2423

−

−j)

21

2−

k) 10

25− l)

−×−−

+−

31

41

411:

31

21

Resolução da l):

−×−−

+−

31

41

411:

31

21 =

=

−×−−

+−

124

123

411:

31

21 =

=

−×−−

+−

121

411:

31

21 =

=

+−

+−4811:

31

21 =

=

+−

+−4811:

62

63 =

=

+−

−4811:

61 =

=

+−

−481

11:

61 =

=

+−

−481

4848:

61 =

=

−

−4847:

61 =

=

−×

−4748

61 = 282

48

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Potencias de números racionais

Repara no seguinte:

221 = ( ) 22 1 −=−

42222 =×= ( ) ( ) ( ) 4222 2 =−×−=−822223 =××= ( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 −=−×−×−=−

16222224 =×××= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1622222 4 =−×−×−×−=−

•Se a base de uma potência é positiva, a potência representa um número positivo.

•Se a base de uma potência é negativa:- a potência representa um número positivo, se o expoente for par;- a potência representa um número negativo, se o expoente for impar.

1. Calcula:

a) ( ) ( )55 2 −+− e) ( ) 135 011 ++−

b) ( ) 162

131 −−

− f) ( ) 22 10100 −+−

c) ( ) ( ) 23 1,03 −−− g) ( ) ( ) 512 103 −−−−

d) 3

4

212

−+−

Multiplicação de potências:

Para multiplicarmos potências com a mesma base, damos a mesma base e somamos os expoentes.

qpqp aaa +=×

Para multiplicarmos potências com o mesmo expoente, damos o mesmo expoente e multiplicamos as bases.

( ) ppp baba ×=×

Divisão de potências:

Para dividirmos potências com a mesma base, damos a mesma base e subtraímos os expoentes.

qpq

pa

aa −=

Para dividirmos potências com o mesmo expoente, damos o mesmo expoente e dividimos as bases.

p

p

p

ba

ba

=

Potência de potência:

Para calcularmos uma potência de uma potência, damos a mesma base e multiplicamos os expoentes.

( )[ ] qpqp aa ×=

2. Calcula:

a) ( ) ( )33 2 −×− i) 67

32:

32

−

−

b) ( ) ( ) 24 22 −×− j) ( ) ( ) 55 5:10 −−

c)

−×

−21

21 3

k) 33 10:100

d) ( ) 22 32 ×− l) 1010

41:

41

−

e) ( ) ( ) 22 43 −×− m) ( )[ ]3210−

f) 55

331 ×

− n)

32

21

g) ( )( ) 19

21

55

−−

o) ( )[ ]351−

h) ( )( ) 100

103

22

−−

Resolução da a): ( ) ( ) ( ) ( ) 273333 3122 −=−=−=−×− +

Resolução da d): ( ) ( ) ( ) 3663232 2222 =−=×−=×−

Resolução da g): ( )( )

( ) ( ) 255555 21921

19

21

=−=−=−− −

Resolução da j): ( ) ( ) ( )[ ] 3225:105:10 5555 ==−−=−−

Resolução da m): ( )[ ] ( ) ( ) 1000000101010 63232 =−=−=− ×

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Operações com números racionais relativos e potências

1. Escreve sob a forma de uma potência, as expressões numéricas seguintes:a) ( ) ( )− × −3 35 7 b) ( ) ( )− × −10 1012 c) ( )− ×6 612 3

d) ( )− ×7 75 6 e) ( ) ( )− × +4 26 6 f) ( ) ( )− × −1 511 11

g) 0 5 14

99

, × −

h) ( ) ( )− −8 810 3: i) −

−

73

73

5

:

j) ( )( )0 40 4

9

8

,,

k) ( )− 22

8

5 l) ( )− 6 34 4:

m) ( )20

5

4

4−n) 1

434

15 15

−

: o)

( )( )− 1 80 3

20

20

,,

p) −

12

6 2

q) ( )[ ]− 10 3 10 r) ( ) ( )− × −×

8 82 4

4 2

6 6

s) ( )[ ] ( )

( ) ( )− × −

− × −

2 2

3 3

3 2 5

9 2

2. Calcula:

a) ( )[ ] ( )− × −2 5 104 3 12 10: b) ( ) ( )− − ×7 7 25 4: c) 15 5 1

66 20

× − d)

( ) ( )− −2 212

3:

3. Completa:a) 5 52 8× =_ _ b) 11 117 5: _ _ = c) 6 68 5= _ _ :

d) ( )7 3 34 4× = ×_ _ e) ( ) ( )− = −9 37 7: _ _ f) ( ) ( )[ ]− = −8 22 2__

g) ( ) ( )− = − ×13 136 5 _ _ h) ( )[ ]275 3 5= _ _

4. Calcula o valor das expressões numéricas:

a) 1 25 1 2+ − , b)

( )( )

−−

0 50 5

3

3

,,

c) − + +

+ − +

3 12 1

23 2 1

3

d) ( )− × + × −4 11 9 4

e) −

−

×

23

23

12

3 2

: f) ( )2 3 6 84

2 × − − −

g) − ×

×

−

+ −

4 5

395 10 16

3

2 2

h) 0 18 2 1

36

2 2

×

+ −

:

i) ( )( )

( )−−

× −22

2 25

36 5: j) 5 5 5 5 5394 6 200 196 4× − ×:

k) 2 12

12 1 1

3 2

×

−

−

−: l) ( )2 15

45

3 4

2× −

−−:

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Números racionais relativos e expressões com variáveis

1. Desembaraça de parêntesis e simplifica a escrita sempre que puderes:

a) 3(x + 5)

b) -4(1 - 6u)

c) −−6x 14

d) -0,1(x - 10)

e) -x + (-2x + 1)

f) 5 + 2(b - 3)

g) -(x - 3) + (x - 5)

h) 2(5m - 1) -3(m -1)

2. Calcula:

a) -(2 + 8) : (-5) - 3

b) −92− 1

2 : 16c) −

25:35×− 1

15 d) −

1525×−3

75:12

e) −5×− 12 1: 23

f) 35×0,5:− 4

5

g) −1325

74

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Gráficos de barras e gráficos circulares

1. O gráfico circular que se segue fornece informação sobre as zonas do corpo onde as lesões provocadas por mochilas são mais frequentes.

A Marta e duas das suas amigas começaram a construir, cada uma, um gráfico de barras que traduzisse a mesma informação deste gráfico circular.Na figura que se segue, podes observar esses três gráficos.

Apenas um deles poderá corresponder ao gráfico circular apresentado. Qual?Para cada um dos outros dois gráficos, indica uma razão que te leva a rejeitá-lo.


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Medidas de tendência central

1. O Roberto tem nove primos.Explica como farias para determinar a mediana das idades dos nove primos do Roberto.


2. Explica, por palavras tuas, como se deve proceder para determinar o número médio de chamadas telefónicas feitas, ontem, pelos alunos da turma do Paulo.


3. A pedido da Maria, todas as pessoas convidadas para a sua festa de aniversário vão levar, pelo menos, um CD de música.A Maria perguntou a todos os convidados quantos CD tencionava cada um deles levar, e fez uma lista onde escreveu todas as respostas.Depois de ordenadas, todas as respostas, por ordem crescente, as primeiras 14 são as seguintes:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5.

Sabendo que a mediana de todas as respostas dadas é 4, quantas pessoas foram convidadas para a festa de aniversário da Maria?

(exercício retirado do Teste Intermédio de Janeiro de 2008)

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Perpendicularidade e paralelismo entre rectas, entre planos e entre rectas e planos

1. Uma tenda de circo (figura 1) está montada sobre uma armação.A figura 2 representa uma parte dessa armação.

Os pontos A, B, C e D são alguns dos vértices de um polígono regular, contido no plano do chão da tenda.Os ferros representados pelos segmentos de recta [EA], [FB], [GC] e [HD]têmtodos o mesmo comprimento e estão colocados perpendicularmente ao chão.O mastro representado pelo segmento de recta [IJ] também está colocado perpendicularmente ao chão. O ponto K pertence a esse segmento de recta.Utilizando as letras da figura 2, indica:

a) uma recta paralela ao plano ABF.

b) um plano não perpendicular ao chão.


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Áreas e volumes de sólidos

1. Nas figuras 1 e 2, podes observar o mesmo dado em duas posições distintas.

Qual das quatro planificações seguintes é uma planificação desse dado?


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Simetria

1. O símbolo ao lado está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a localização dos lavabos.As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo.Em cada uma delas, está desenhada uma recta r.Em qual delas a recta r é um eixo de simetria?


2. Na figura ao lado, estão representados um quadrado [ABCD] e quatro triângulos geometricamente iguais.Em cada um destes triângulos:• um dos lados é também lado do quadrado;• os outros dois lados são geometricamente iguais.

Quantos eixos de simetria tem esta figura?


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Quadriláteros

1.

1 2 5 3 4 6 7

a) Indica o nome de cada um dos quadriláteros acima desenhados.

1 - 2 - 3 - 4 -5 - 6 - 7 -

b) Desenha, caso existam, os eixos de simetria de cada um dos quadriláteros.

2. Adivinha quem sou:

a) Os meus quatro ângulos são rectos e só tenho dois eixos de simetria.

b) Sou um trapézio e só tenho um eixo de simetria.

c) Sou um quadrilátero regular.

d)Tenho apenas um par de lados paralelos, não tenho ângulos rectos nem eixos de simetria.

e) Tenho quatro lados iguais e os meus ângulos não são todos iguais.

f) Sou um quadrilátero com dois ângulos rectos, um agudo e um obtuso.

g) Tenho quatro lados, paralelos dois a dois, e as minhas diagonais não são perpendiculares nem iguais.

3. Desenha um quadrado cuja diagonal é [AC].

4. Na figura, [AB] é o lado de um paralelogramo e O é o ponto de intersecção das diagonais. Desenha o paralelogramo [ABCD].

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A

B

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Quadrado Aquadrado = l2

Rectângulo Arectângulo = b×a

Paralelogramo Aparalelogramo = b×a

Trapézio Atrapézio =Bb×a

2

Losango Alosango =D×d

2

Triângulo Atriângulo =b×a

2

Círculo Acírculo = r 2

1. Calcula a área de cada uma das figuras seguintes:

a

b

a

b

B

a

b

d - diagonalmenor

D - diagonalmaior

a

b

r

l

l

Um trapézio isósceles tem de área 28 cm2 e as bases medem 8 cm e 6 cm.

a) Calcula a altura do trapézio.

b) Comenta a afirmação: “O trapézio e um losango de diagonais 7 cm e 8 cm são figuras equivalentes”

2. Corrige cada uma das seguintes afirmações:

a) A área de um trapézio é dada pela fórmula += ×trapézio

B hA b2

.

b) No paralelogramo seguinte, $=DÂB ABC .

c) A área de um losango é dada pela fórmula losangoD dA

2+= .

d) Duas figuras são equivalentes se têm a mesma forma.

3. A circunferência representada na figura tem 43,96 cm de perímetro.

a) Determina o raio da circunferência, considerando =3,14 .

b) Calcula a área do triângulo, sabendo que é isósceles.

5. Existe um quadrado que tem o mesmo perímetro do que o rectângulo A da figura ao lado, cujas dimensões estão indicadas em cm.Determina, em centímetros quadrados, a área desse quadrado.Apresenta todos os cálculos que efectuares.

(adaptado de um exercício do exame de 2006 – 1.ª chamada)

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5 cm

6 cm

4 cm

3 cm5 cm

3 cm

D C

BA

Teorema de Pitágoras

1. Identifica quais dos seguintes triângulos são triângulos rectângulos:

2. Calcula x e y:

3. Considera o trapézio representado na figura:

a) Classifica o trapézio.

b) Calcula o perímetro do trapézio (use nos cálculos valores aproximados às décimas).

4. A D. Ana comprou 8,5m de renda, para colocar na sua toalha de forma quadrada, como mostra a figura:

a) 8m de renda chegariam? Porquê?

b) Na loja fizeram-lhe um desconto de 10%. Sabendo que a D. Ana pagou 38,25€ pela renda, determina o preço de cada metro.

5. Considera o triângulo [ABC] rectângulo em A.

a) Calcula BC .

b) Prova que o triângulo [ABC] é semelhante ao triângulo [AHC].

c) Calcula HC .

d) Calcula a área do triângulo [AHC].

6. As dimensões do rectângulo A da figura ao lado estão indicadas em cm. Imagina que este rectângulo está inscrito numa circunferência.Qual é o valor exacto do diâmetro dessa circunferência?Apresenta todos os cálculos que efectuares.


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[ ]AH é a altura relativa a [ ]BC

AB 6cm=AC 8cm=

Teorema de Pitágoras no espaço

1. Observa a seguinte figura:

2. Indica: a) dois planos paralelos;

b) duas rectas complanares e perpendiculares;

c) uma recta perpendicular ao plano FGH;

d) uma recta contida no plano BCH.

3. Verdadeiro ou falso:

a) BC é uma recta contida no plano ABD;

b) GH e GE são rectas complanares e perpendiculares;

c) ABC e CDH são planos paralelos.

4. AB e HE são rectas complanares. Determina:

• GE

• BE

• o perímetro do triângulo [CBE].

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Funções

Função é uma correspondência entre dois conjuntos, que a cada elemento do 1.º conjunto faz corresponder um e um só elemento do 2.º conjunto.

Numa função chamamos:● Objectos aos elementos do 1.º conjunto;● Imagens aos elementos do 2.º conjunto que correspondem a algum objecto;● Domínio da função ou conjunto de partida ao conjunto formado pelos objectos e

podemos representá-lo por D;● Contradomínio da função ao conjunto formado pelas imagens e podemos

representá-lo por D’;● Conjunto de chegada ao 2.º conjunto que contém o contradomínio.

Formas de representar uma função

1. Considera as correspondências I, II e III:

a) I, II e III são funções? Justifica.

b) Em relação ás que são funções, indica:

● o domínio;● o contradomínio;● o conjunto de chegada.

2. Considera a função f definida por:x 2 4 6 8y 1 2 3 4

a) Representa f por meio de uma expressão analítica.

b) Completa:

( )f 4=

( )f 15 = K

3. Seja g uma função que a cada número natural inferior a cinco faz corresponder o quadrado desse número.

a) Como se lê: ( )g 2 4=

b) Indica o domínio e o contradomínio de g.

c) Qual o objecto que tem por imagem nove?

4. A função t, está definida pela expressão ( ) xt x 12

= − .

a) Sabendo que esta função tem por domínio 5D 0, 2, , 42

=

, completa a tabela:

x 0y -1

b) Representa a função t por meio de um gráfico.

5. A função g está definida do seguinte modo:

{ } { }g : 1, 2, 3 3, 2, 0, 2, 3, 4x x 1

→ − −+a

a) Indica o domínio da função g;

b) Representa g por meio de um diagrama;

c) Comenta a afirmação: “O contradomínio de g coincide com o conjunto de chegada.”

6. Considere as afirmações:

a) Numa função, a cada valor da variável independente damos o nome de imagem;

b) Numa função, dois objectos podem ter a mesma imagem.

c) Na função y 2x= , y é a variável independente.

d) A imagem de 2 por f é 4, representa-se por ( )f 2 4=

Identifica as afirmações verdadeiras e as falsas. Corrige as falsas.

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Funções de proporcionalidade directa e do tipo y = ax + b

Duas grandezas x e y são directamente proporcionais se:

yx=k ,k≠0

Uma função que representa uma situação de proporcionalidade directa é uma função do tipo:

y=k×x ,k≠0

Os pontos do gráfico desta função pertencem a uma recta que passa pela origem do referencial.

1. A correspondência h está definida pela tabela:

x 0 1 2 3y 0 1 4 9

a) A correspondência h é uma função? Justifica.

b) Escreve uma expressão analítica que represente h.

c) A função h não é uma função de proporcionalidade directa. Porquê?

2. Dada a função ( )x f x 3x= −a

a) Calcula a imagem de -1.

b) Determina x de modo que ( )f x 2=

c) Representa graficamente a função f.

d) Verifica se os pontos A (-3, 1) e B (1, -3) pertencem ao gráfico da função f.

3. Observa o gráfico

a) Indica as coordenadas de dois pontos da recta r.

b) A recta r pode representar o gráfico de uma função de proporcionalidade directa. Porquê?

c) Escreve a equação da recta r.

d) Comenta a afirmação: “A recta s de equação y 3x= − é paralela à recta r”

4. O peso de uma pessoa na Lua ( )LP é um sexto do peso dessa pessoa na Terra ( )TP .

a) Escreve uma expressão que relacione a grandeza ( )LP com a grandeza ( )TP .

b) As grandezas são directamente proporcionais? Justifica.

c) O João pesa 42 kg. Quanto pesaria na Lua?

5. Considera as seguintes expressões analíticas:I: y 3x= II: y 3x 2= − III: y 3= −

a) Identifica a expressão que representa uma função de proporcionalidade directa. Justifique a sua escolha.

b) A recta de equação y 3x= é paralela à recta de equação y 3x 2= − . Porquê?

c) Indica a ordenada do ponto de intersecção da recta de equação y 3x 2= − com o eixo dos yy.

6. Considera as rectas r, s p representadas no gráfico:

a) Escreve as equações das rectas r, s e p.

b) Identifica a recta, a que pertence cada um dos seguintes pontos:• A (-1, -1)

• B (-2, -4)

• C (1, 0)

7. A Viagem do João a Lisboa. O gráfico relaciona a distância percorrida (d), em km, com a hora do dia (h).

a) Quantos quilómetros percorreu o João?

b) Quanto tempo esteve parado para almoçar?

c) A que horas chegou a Lisboa?

d) Indica dois objectos com a mesma imagem.

8. Hoje de manhã, a Ana saiu de casa e dirigiu-se para a escola.Fez uma parte desse percurso a andar e a outra parte a correr.O gráfico que se segue mostra a distância percorrida pela Ana, em função do tempo que decorreu desde o instante em que ela saiu de casa até ao instante em que chegou à escola.Apresentam-se a seguir quatro afirmações.De acordo com o gráfico, apenas uma está correcta. Qual?

(A) A Ana percorreu metade da distância a andar e a outra metade a correr.

(B) A Ana percorreu maior distância a andar do que a correr.

(C) Ana esteve mais tempo a correr do que a andar.

(D) A Ana iniciou o percurso a correr e terminou-o a andar.(exercício retirado do exame de 2005 – 2.ª chamada)

9. De acordo com o Decreto n.º 150, de 30 de Junho de 1911, «o comprimento da Bandeira Nacional é de vez e meia a sua altura.»

a) Constrói, no referencial abaixo desenhado, o gráfico que traduz a relação entre a altura da Bandeira Nacional e o seu comprimento, para valores da altura compreendidos entre 10 e 60 cm (inclusive).

b) Qual das quatro equações que se seguem permite calcular o perímetro (P) de uma Bandeira Nacional, dada a sua altura (a)?

(A) P = 3a (B) P = 5a

(C) P = 4a (D) P = 6a(exercício retirado do exame de 2006 – 2.ª chamada)

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Máximo divisor comum (m. d. c.) e mínimo múltiplo comum (m. m. c.)

1. Durante a realização de uma campanha sobre Segurança Rodoviária, três canais de televisão emitiram o mesmo programa sobre esse tema.No 1.º dia da campanha, o programa foi emitido nos três canais.Do 1.º ao 180.º dia de campanha, o programa foi repetido de 9 em 9 dias, no canal A,de 18 em 18 dias, no canal B e de 24 em 24 dias, no canal C.Do 1.º ao 180.º dia de campanha, em que dias é que coincidiu a emissão deste programa nos três canais?Mostra como obtiveste a tua resposta.


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Potências de números racionais e expoente inteiro

1. Escreve o número 19 na forma de uma potência de base 3.


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Notação científica

1. Escreve um número compreendido entre 3×10−1 e 13 .


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Lugares Geométricos

1. A figura representa uma planta de um campo de lançamento de peso.No decorrer de um treino, o peso lançado pelo atleta A caiu no local assinalado na figura. O atleta B conseguiu uma marca melhor.Usa os instrumentos de desenho e sombreia a zona do campo onde pode ter caído o peso lançado pelo atleta B.

2. O Miguel vê televisão, na sala de estar, sentado a 3 m do televisor.Na figura abaixo, está desenhada a planta dessa sala, à escala de 1:50.O ponto A representa o local onde o Miguel se senta para ver televisão.

Recorrendo a material de desenho e de medição, assinala a lápis, na planta, todos os pontos da sala em que o televisor pode estar.Apresenta todos os cálculos que efectuares.

(exercício retirado do exame de 2007 – 1ª chamada)

Local de lançamentode peso

Local onde caiu opeso lançadopelo atleta A

3. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói, a lápis, a circunferência cujo centro é um ponto da recta r e que passa pelos pontos A e B.Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres a circunferência.

(exercício retirado do exame de 2007 – 1ª chamada)

4. Uma empresa de comunicações móveis pretende montar uma antena que sirva os utilizadores da sua rede na zona indicada no mapa. A referida antena deve ficar situada a menos de 100 km de Coimbra e a menos de 80 km de Castelo Branco.Usa uma escala adequada e representa a zona do país onde poderá ser montada a antena. Tem em consideração que a distância entre Coimbra e Castelo Branco é de cerca de 160 km.

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Probabilidade de um acontecimento

1. Na escola da Rita, fez-se um estudo sobre o gosto dos alunos pela leitura.Um inquérito realizado incluía a questão seguinte.

«Quantos livros leste desde o início do ano lectivo?»

As respostas obtidas na turma da Rita, relativamente a esta pergunta, estão representadas no gráfico de barras que se segue.

Escolhendo, ao acaso, um aluno da turma da Rita, qual dos seguintes acontecimentos é o mais provável?

• Ter lido menos do que um livro.• Ter lido mais do que dois livros.• Ter lido menos do que três livros.• Ter lido mais do que quatro livros


2. Pintaram-se as seis faces de um prisma quadrangular regular antes de o cortar em cubos iguais, tal como se pode observar na figura.

Se escolheres, ao acaso, um desses cubos, qual é a probabilidade de o cubo escolhido ter só duas faces pintadas?Apresenta o resultado na forma de uma fracção irredutível.


3. Em cada uma das seis faces de um dado equilibrado, com a forma de um cubo, desenhou-se um símbolo diferente. Numa das faces, está desenhado o símbolo ♦.A Ana lançou este dado duas vezes consecutivas e, em ambas as vezes, saiu o símbolo ♦.Se ela lançar o mesmo dado mais uma vez, o símbolo ♦ é, dos seis símbolos, o que tem maior probabilidade de sair? Justifica a tua resposta.


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Sistemas de equações do 1.º grau com 2 incógnitas

1. Um grupo de 20 crianças foi ao circo.Na tabela ao lado, podes observar o preço dos bilhetes, em euros.Na compra dos 20 bilhetes, gastaram 235 €.

Quantas crianças daquele grupo tinham mais de 10 anos de idade?Apresenta todos os cálculos que efectuares.


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Proporcionalidade

1. Um grupo de amigos foi passar férias a uma aldeia que fica distante do sítio onde moram. Partiram todos ao mesmo tempo, mas chegaram a horas diferentes, pois utilizaram meios de transporte diferentes.O Henrique e o Duarte foram de carro com a Luísa a uma velocidade média de 80 km/h e chegaram hora e meia depois.O primeiro a chegar foi o João, que foi de mota a uma velocidade média de 120 km/h.Ao fim de 4 horas chegou o Guilherme, que viajou de bicicleta.

a) A que distância fica a aldeia?

b) Ao fim de quanto tempo chegou o João?

c) A qua velocidade viajou o Guilherme?

2. O João cronometrou o tempo que o irmão demorou a tomar um duche e reparou que:• demorou 1 minuto e 33 segundos a molhar-se;• ensaboou-se com a torneira fechada e voltou a abrir a torneira 4 minutos e 4 segundos após o início do duche;• terminou o duche, quando tinham decorrido 6 minutos e 33 segundos.O João verificou que a torneira do duche tem um débito de água de 500 ml em 2,42 segundos.

a) Verifica que o irmão do João demorou 2 minutos e 31 segundos a ensaboar-se. Apresenta os cálculos que efectuares.

b) Quantos litros de água foram gastos pelo José no duche?

c) Que percentagem de água poupou pelo facto de ter fechado a torneira enquanto se ensaboava?

d) Qual dos seguintes gráficos descreve o banho do José? Explica a tua resposta.

(retirado do banco de itens do “Projecto 1000 Itens” - http://www.gave.min-edu.pt/np3/15.html)

3. A Renata demorou 24 dias a fazer uma camisola, tricotando em média 2 horas por dia.

a) Se tivesse trabalhado 3 horas por dia, ao fim de quantos dias teria a camisola pronta?

b) Para fazer a camisola em 8 dias, quantas horas teria de ter trabalhado por dia?

c) Há uma proporcionalidade entre o número de horas de trabalho diárias e o número de dias necessários para fazer a camisola. Que tipo de proporcionalidade? Indica a constante de proporcionalidade e o que ela representa nesta situação.

4. Lê o seguinte excerto :

“ Aquilo de que eu (Alex) gostava mais era dos dias de chuva e das tempestades. (…)Ensinei ao Floco (rato de estimação) que, se contássemos os segundos entre um relâmpago e o trovão e os multiplicássemos por trezentos e trinta, obteríamos a distância a que o relâmpago estava de nós em metros. Era um rato tão ignorante que tive de lhe explicar que isso se devia ao facto de a luz chegar até nós imediatamente, enquanto que o som viaja à velocidade de trezentos e trinta metros por segundo.”

de Uri Orlev, “A ilha na rua dos pássaros”

A partir da informação do texto resolve as questões seguintes:

a) Calcula a distância a que estava a trovoada do Alex, se ele contou 10 segundos entre o momento em que viu o relâmpago e o momento em que ouviu o trovão.

b) Transcreve para a tua folha a relação que permite calcular a distância (d), em quilómetros, a que está uma trovoada, conhecido o tempo (t), em segundos, que decorre entre o relâmpago e o trovão.

(A) d = 330 × t (B) d = 0,33 × t

(C) d = 33000 × t (D) d = 0,033 × t

(retirado do banco de itens do “Projecto 1000 Itens” - http://www.gave.min-edu.pt/np3/15.html)

5. O senhor Armando quer a sua casa pintada em 6 dias.Contratou 3 pintores que lhe disseram fazer o trabalho em 8 dias. Quantos pintores tem de contratar mais?

6. Um tanque foi cheio em 4 horas com uma mangueira de 600 l/h de caudal.Para encher o tanque em hora e meia, de quantos litros por hora teria de ser o caudal da mangueira?

7. Sempre que ligamos o computador, a televisão, uma lâmpada ou a torradeira eléctrica, estamos a consumir energia. A quantidade de energia consumida (E), em watts-hora (Wh), é dada pela fórmula

E =P× t em queP é a potência em watts (W);t é o tempo de utilização em horas.

a) Em casa do Pedro, a televisão está ligada, em média, 6 horas por dia. A família do Pedro em vez de desligar a televisão usa o comando para deixá-la no modo stand-by, o que reduz para 5 W a sua potência.Que quantidade de energia gasta a família do Pedro, por semana, por não desligar a televisão em vez de a deixar no modo stand-by?

b) A família do Pedro ausenta-se todos os anos durante o mês de Agosto. Quando recebeu a conta de electricidade, o pai do Pedro reparou que tinha havido um consumo de energia de 2,16 kWh nesse período de tempo. O Pedro lembrou-se então de que o detector de movimento tinha sido o único aparelho que ficaraligado. Qual é a potência do detector de movimento?

c) Em Setembro a mãe do Pedro decidiu substituir 5 lâmpadas incandescentes, todas com igual potência, por lâmpadas de baixo consumo de 11 watts cada. Ficou agradavelmente surpreendida, pois o consumo do mês seguinte diminuiu 22,05 kWh, apesar dos outros gastos serem idênticos.

i) Sabendo que, em média, a utilização diária das lâmpadas incandescestes substituídas era de 3 h, qual foi o consumo de energia das 5 lâmpadas de baixo consumo? E qual era o consumo de energia das 5 lâmpadas incandescentes?

ii) Qual é a potência das lâmpadas incandescentes?

(adaptado de um exercício do banco de itens do “Projecto 1000 Itens” - http://www.gave.min-edu.pt/np3/15.html)

8. Existem vários rectângulos, de dimensões diferentes, com 18 cm2 de área.a) Completa a tabela que se segue, indicando, em cm, o comprimento e a largura detrês rectângulos diferentes (A, B e C), com 18 cm2 de área.

Rectângulo A Rectângulo B Rectângulo C

Comprimento (cm) 4Largura (cm) 0,5

b) Qual dos gráficos seguintes pode representar a relação entre a largura (l) e o comprimento (c) de rectângulos com 18 cm2 de área?


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Leitura e interpretação de gráficos

1. Dois amigos, o Carlos e o João, participaram numa corrida de 800 metros.Logo após o sinal de partida, o João estava à frente do Carlos, mas, ao fim de algum tempo, o Carlos conseguiu ultrapassá-lo. Na parte final da corrida, o João fez um sprint, ultrapassou o Carlos e cortou a meta em primeiro lugar.Os gráficos que se seguem representam a relação entre o tempo e a distância percorrida, ao longo desta corrida, por cada um deles.

a) Quantos metros percorreu o João durante o primeiro minuto e meio da corrida?

b) Quanto tempo decorreu entre a chegada de cada um dos dois amigos à meta?Apresenta, na tua resposta, esse tempo expresso em segundos.


2. Quando se vai à praia, é preciso ter cuidado com o tempo de exposição ao sol, para que não se forme eritema (vermelhão na pele), devido a queimadura solar.O tempo máximo, t, em minutos, de exposição directa da pele ao sol sem formar eritema pode ser calculado através da fórmula

t=Di

em que:i representa o índice de radiação solar ultravioleta;D é um valor constante para cada tipo de pele.O gráfico que se apresenta a seguir traduz essa relação para o tipo de pele da Ana.

a) A Ana foi à praia numa altura em que o índice de radiação solar ultravioleta era 5. Quantos minutos, no máximo, é que ela poderá ter a pele directamente exposta ao sol, sem ficar com eritema?

b) Na tabela que se segue, apresentam-se, para cada um dos principais tipos de pele da população europeia, algumas das características físicas que lhe estãoassociadas e o valor da constante D.

Tipo de pele Cor do cabelo Cor dos olhos D1 Ruivo Azul 2002 Louro Azul/Verde 2503 Castanho Cinza/Castanho 3504 Preto Castanho 450

Qual é a cor do cabelo da Ana?Explica como obtiveste a tua resposta.


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Os números reais e seus subconjuntos

1. Escreve um número irracional compreendido entre 4 e 5


Intervalos de números reais

2. Considera o conjunto A = [-1, +∞[

Qual das quatro igualdades que se seguem é verdadeira?

• [ [ 31,1 ,2

A = − − + ∞ I

• [ [ 11,1 ,2

A = − − + ∞ I

• [ [ 31,1 ,2

A = − − + ∞ U

• [ [ 11,1 ,2

A = − − + ∞ U


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Inequações

1. Considera o conjunto A = [-1, +∞[ e a seguinte inequação:

31−x2

4

Será A o conjunto solução desta inequação?Justifica a tua resposta e apresenta todos os cálculos que efectuares.


2. O pai da Ana foi contratado para vender um modelo de computadores, cujo preço unitário é de 600 euros.Por mês, ele recebe uma quantia fixa de 200 euros. Para além deste valor, recebe ainda, por cada computador que vender, 12% do seu preço.Qual é o número mínimo de computadores que ele terá de vender, num mês, para receber mais do que 1500 euros, nesse mês?Apresenta todos os cálculos que efectuares.


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Circunferência e polígonos

1. Na figura está representado um decágono regular [ABCDEFGHIJ], inscrito numa circunferência de centro O.

Ao observar a figura, a Rita afirmou:«A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI»Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão?Justifica a tua resposta.


2. Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na circunferência abaixo desenhada, um triângulo equilátero.O ponto que está marcado no interior da circunferência é o seu centro.Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo.

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Rotação

Resolução de um exercício.

1. Na figura está representado um decágono regular [ABCDEFGHIJ], inscrito numa circunferência de centro O.

Os segmentos de recta [ID] e [HC] são diâmetros desta circunferência.Após uma rotação de centro em O e de amplitude 144° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?


2. Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos perpendiculares), um triângulo [ABC].O segmento de recta [BC] é perpendicular ao eixo dos xx.

A imagem do segmento de recta [BC] obtida por meio de uma rotação de centro em A e amplitude 90° é um segmento de recta ...

(A)... paralelo ao eixo dos xx. (B)... paralelo ao eixo dos yy.

(C)... perpendicular a [AB]. (D)... perpendicular a [AC].(exercício retirado do exame de 2005 – 2.ª chamada)

http://www.scribd.com/doc/2891039/Rotacoes?secret_password=a9p47o73urzdzwrhwlh

3. A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos.Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos.Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no ponto O, de amplitude 90° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)?


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EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Uma equação do segundo grau em x é qualquer equação redutível à forma (canónica):ax bx c2 0+ + =

onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

ax 2 é o termo em x 2 que tem coeficiente a.bx é o termo em x que tem coeficiente b.c é o termo independente.

Se b e c forem diferentes de zero a equação diz-se uma equação completa do 2º grau, caso contrário diz-se incompleta.

Resolução de equações incompletas do 2º grau:

Se b = 0 e c = 0: Se b = 0: Se c = 0:

2 002

00

2

2

2

x

x

xx

= ⇔

⇔ = ⇔

⇔ = ⇔⇔ =

2 4 02 4

42

2

2 2

2

2

2

2

xx

x

x

x x

− = ⇔

⇔ = ⇔

⇔ = ⇔

⇔ = ⇔

⇔ = ∨ = −

( )3 2 0

3 2 00 3 2 00 3 2

0 23

2x xx xx xx x

x x

+ = ⇔⇔ + = ⇔⇔ = ∨ + = ⇔⇔ = ∨ = − ⇔

⇔ = ∨ = −

ATENÇÃO: Nunca te esqueças que x 2 é sempre um número maior ou igual a zero. Por exemplo a equação x 2 4= − é uma equação impossível.

Resolução de equações completas do 2º grau:

ax bx c x b b aca

22 4

2+ + ⇔ = − ± −

( ) ( ) ( )

x x a b c

x x x x x

x x x x x x x

2

22

2 0 1 1 2

2 01 1 4 1 2

2 11 1 8

21 9

21 3

21 3

21 3

242

22 2 1

− − = = = − = −

− − = ⇔ =− − ± − − × × −

× ⇔ = ± + ⇔ = ± ⇔

⇔ = ± ⇔ = + ∨ = − ⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ = −

1. Resolve as seguintes equações:

a) 3 02x = b) x 2 9 0− = c) x x2 3 0− =

d) x x2 5 6 0− + = e) 3 22 2x x= f) x 2 16 0+ =

g) x x2 0− = h) x x2 6 8 0+ + = i) ( )x x x x− = −3 5 32

j) − + =8 32 02x k) 4 8 02x x+ = l) ( )x x − =2 63

m) 12 5 7 52 2x x+ = + n) 6 52 2x x− = o) 1

213

2x x=

p) − − + =13

12 1 02x x q) ( )x x x− −

= −2 1

2 422

r) 23 4 42 2x x x+ = − + s) ( ) ( ) ( )x x x− − = +3 2 5 3 2 2

t) ( ) ( )− − = + +2 1 3 22 2x x u) ( )x x x x− − =1 5 3 2

v) ( )3 25

12

35

4 125 0

22

2x x

x− − +

−

−=

2. Se adicionarmos quatro unidades ao quadrado de um número, obtemos o seu quíntuplo. Qual é esse número?

3. O quadrado de um número natural excede em 30 unidades o seu simétrico. Qual é esse número?

4. A soma dos quadrados de três números inteiros consecutivos é 50. Quais são os números?

5. A diferença entre dois números inteiros positivos é 3 e o seu produto é 40. Quais são os números?

6. Se ao quadrado da idade da Eva adicionarmos o triplo da idade dela, e, em seguida, subtrairmos trinta anos, obtemos o dobro da idade da Eva. Quantos anos tem a Eva?

7. Qual é a idade da Maria se há três anos o quadrado da sua idade era igual ao quíntuplo da idade que terá daqui a sete anos?

Soluções:

1. a) C. S. = {0} b) C. S. = {-3; 3} c) C. S. = {0; 3} d) C. S. = {2; 3}

e) C. S. = {0} f) C. S. = { } g) C. S. = {0; 1} h) C. S. = {-2; -4}

i) C. S. = {0} j) C. S. = {-2; 2} k) C. S. = {0; -2} l) C. S. = {-7; 9}

m) C. S. = {0} n) C. S. = {-1; 1} o) C. S. = {0; 23 } p) C. S. = {−3−574

; −3574 }

q) C. S. = { } r) C. S. = {0; 35 } s) C. S. = {−23−83414

; −23−83414 }

t) C. S. = {−2; 2} u) C. S. = {0; -3} v) C. S. = { }

2. Esse número pode ser o 1 ou o 4. 3. O número é o seis.

4. Os números podem ser o 3, o4 eo5 ou o -5, o -4 e o -3. 5. Os números são o 5 e o 8.

6. A Eva tem 5 anos. 7. A Maria tem 13 anos.

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Trigonometria do triângulo rectângulo

1. O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com 10 cm de altura.Com o objectivo de facilitar a entrada na escola a pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa.Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi construída de modo a fazer com o solo um ângulo de 3°, como se pode ver no esquema que se segue (o esquema não está à escala).

Determina, em metros, o comprimento, c, da rampa.Indica o resultado arredondado às décimas e apresenta todos os cálculos que efectuares.Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais.

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Áreas e volumes de sólidos

1. Arrumaram-se três esferas iguais dentro de uma caixa cilíndrica (figura 1).Como se pode observar no esquema (figura 2):• a altura da caixa é igual ao triplo do diâmetro de uma esfera;• o raio da base do cilindro é igual ao raio de uma esfera.

Mostra que:O volume da caixa que não é ocupado pelas esferas é igual a metade do volume das três esferas.(Nota: designa por r o raio de uma esfera.)


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3 º cíclo - exercícios

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