3) lógica sentencial ou proposicioanal.pdf

Prof: Edgar Abreu www.acasadoconcurseiro.com.br Pgina 1

Raciocnio Lgico

Prof.: Edgar Abreu

Ministrio Pblico da Unio

Tcnico

Raciocnio Lgico MPU

Prof. Edgar Abreu Pgina 5

Sumrio

MDULO 1 LGICA SENTENCIAL .................................................................. 6

PROPOSIO ..................................................................................................... 6

NEGAO SIMPLES ............................................................................................ 6 CONJUNO E ............................................................................................. 7 DISJUNO OU ............................................................................................ 8 CONDICIONAL SE...ENTO ........................................................................... 9 BICONDICIONAL ... SE E SOMENTE SE .........................................................10

TAUTOLOGIA ....................................................................................................11 CONTRADIO .................................................................................................12 RESUMO ...........................................................................................................13

MDULO 2 OPERAES BSICAS EM LGICA ............................................. 14

EQUIVALNCIA DE CONETIVOS .........................................................................14 NEGAO COMPOSTA .....................................................................................16

RESUMO ...........................................................................................................17

MDULO 3 DIAGRAMAS LGICOS ............................................................. 18

ARGUMENTOS VLIDOS ...................................................................................18 ARGUMENTOS QUE NO SO VLIDOS............................................................20 NEGAO .........................................................................................................21 RESOLVENDO PROBLEMAS ...............................................................................21

PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS .........................................................28

QUESTES DE CONCURSO ............................................................................ 30

Raciocnio Lgico MPU

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MDULO 1 LGICA SENTENCIAL

PROPOSIO

Proposio: Permite ser julgado verdadeiro ou falso. Possui um nico valor lgico

Exemplos:

O concurso para o MPU ser um sucesso

O edital da MPU ser publicado em 2012

A Casa do Concurseiro ir aprovar os primeiros colocados.

7 5 = 10

Sentena: Nem sempre permite julgar se verdadeiro ou falso. Pode no ter valor lgico

Exemplos:

1. Ser que agora vai?

2. Maz Bah tch!

3. Vai estudar!

4. A frase dentro desta aspa uma mentira

5. X + 5 = 20

Note que as sentenas exclamativas, imperativas ou interrogativas no admitem um nico valor

lgico, V ou F. J as sentenas 4 e 5 no proposio pois no conseguimos atribuir um

nico valor lgico.

No item 5 por exemplo, se X igual a 15 o valor lgico V se for diferente de 15 ento o valor

lgico ser F.

Concluso: Toda proposio uma sentena, porm nem toda sentena uma proposio

NEGAO SIMPLES

Veremos algo de suma importncia: como negar uma proposio.

No caso de uma proposio simples, no poderia ser mais fcil: basta pr a palavra no antes da

sentena, e j a tornamos uma negativa.

Exemplos:

PROPOSIO NEGAO

Eu bebo Eu no bebo

Gui no gosta de correr Gui gosta de correr

Ayme Mazara SoaresHighlight





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Agora tente negar a proposio abaixo:

Eu no vou passar no concurso da MPU

Opo 1: Eu vou passar no concurso da MPU

Opo 2: No verdade que eu no vou passar no concurso da MPU

Isso mesmo, a negao de uma negao uma afirmao!

O smbolo que representa a negao uma pequena cantoneira () ou um sinal de til (~),

antecedendo a frase.

Vamos simbolizar a proposio

p = A mulher mais eficiente que o homem.

p= A mulher no mais eficiente que o homem.

CONJUNO E

Proposies compostas em que est presente o conectivo e so ditas conjunes.

Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^.

Exemplo:

Fui aprovado no concurso da PF e Serei aprovado no concurso da MPU

Proposio 1: Fui aprovado no concurso da PF

Proposio 2: Serei aprovado no concurso da MPU.

Conetivo: e

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de ^

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p^q

AGORA A SUA VEZ:

Vamos preencher a tabela abaixo com as seguintes hipteses:

H1:

p: No fui aprovado no concurso da PF

q: Serei aprovado no concurso da MPU.

H2:

p: Fui aprovado no concurso da PF

q: No serei aprovado no concurso da MPU.







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H3:

p: No fui aprovado no concurso da PF

q: No serei aprovado no concurso da MPU.

H4:

p: Fui aprovado no concurso da PF

q: No serei aprovado no concurso da MPU

DISJUNO OU

Recebe o nome de disjuno toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo

conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se temos a

sentena:

Estudo para o concurso ou assisto o Big Brother

Proposio 1: Estudo para o concurso

Proposio 2: assisto o Big Brother

Conetivo: ou

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de v

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p v q

AGORA A SUA VEZ:


H1:

p: Estudo para o concurso

q: assisto o Big Brother Brasil.

H2:

p: No Estudo para o concurso

q: assisto o Big Brother Brasil.

p q P ^ Q

H1 F V F

H2 V F F

H3 F F F

H4 V V V








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H3:

p: Estudo para o concurso

q: No assisto o Big Brother Brasil..

H4:

p: No Estudo para o concurso

q: No assisto o Big Brother Brasil.

CONDICIONAL SE...ENTO

Recebe o nome de condicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo

conectivo Se... Ento.... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por . Portanto, se

temos a sentena:

Se estudo, ento sou aprovado

Proposio 1: estudo (Condio Suficiente)

Proposio 2: sou aprovado (Condio Necessria)

Conetivo: se.. ento

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

AGORA A SUA VEZ:


H1:

p: estudo

q: sou aprovado

H2:

p: No estudo

q: sou aprovado

p q P v Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 V F V

H4 F F F






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H3:

p: No estudo

q: No sou aprovado

H4:

p: estudo

q: No sou aprovado

BICONDICIONAL ... SE E SOMENTE SE ...

Recebe o nome de bicondicional toda proposio composta em que as partes estejam unidas pelo

conectivo ... se somente se... Simbolicamente, representaremos esse conectivo por .

Portanto, se temos a sentena:

Maria compra o sapato se e somente se o sapato combina com a bolsa

Proposio 1: Maria compra o sapato

Proposio 2: O sapato combina com a bolsa

Conetivo: se e somente se

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de q e o conetivo de

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p q

AGORA A SUA VEZ:


H1:

p: Maria compra o sapato

q: O sapato no combina com a bolsa

H2:

p: Maria no compra o sapato

q: O sapato combina com a bolsa

p q P Q

H1 V V V

H2 F V V

H3 F F V

H4 V F F







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H3:

p: Maria compra o sapato

q: O sapato combina com a bolsa

H4:

p: Maria no compra o sapato

q: O sapato no combina com a bolsa

TAUTOLOGIA

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma

Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das

proposies p, q, r, ... que a compem

Exemplos:

Gabriela passou no concurso da MPU ou Gabriela no passou no concurso da MPU

No verdade que o professor Zambeli parece com o Z gotinha ou o professor Zambeli parece

com o Z gotinha

Ao invs de duas proposies, nos exemplos temos uma nica proposio, afirmativa e negativa.

Vamos entender isso melhor. Exemplo:

Grmio cai para segunda diviso ou o Grmio no cai para segunda diviso

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de V

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p V ~p

AGORA A SUA VEZ:

H1:

p: Grmio cai para segunda diviso

~p: Grmio no cai para segunda diviso

p q P Q

H1 V F F

H2 F V F

H3 V V V

H4 F F V





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H2:

p: Grmio no vai sair campeo

~p: Grmio cai para segunda diviso

Logo temos uma TAUTOLOGIA!

CONTRADIO

Uma proposio composta formada por duas ou mais proposies p, q, r, ... ser dita uma

contradio se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lgicos das proposies

p, q, r, ... que a compem

Exemplos:

O Zorra total uma porcaria e Zorra total no uma porcaria

Suelen mora em Petrpolis e Suelen no mora em Petrpolis

Ao invs de duas proposies, nos exemplos temos uma nica proposio, afirmativa e negativa.

Vamos entender isso melhor. Exemplo:

Lula o presidente do Brasil e Lula no o presidente do Brasil

Vamos chamar a primeira proposio de p a segunda de ~p e o conetivo de ^

Assim podemos representar a frase acima da seguinte forma: p ^ ~p

AGORA A SUA VEZ:

H1:

p: Lula o presidente do Brasil

~p: ______________________________

H2:

p: Lula no o presidente do Brasil

~p: _______________________________

p ~p p v

~p

H1 V F V

H2 F V V






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Logo temos uma CONTRADIO!

RESUMO

Agora iremos criar tabelas com o resumo e principais tpicos estudados neste captulo.

SENTENA

LGICA

VERDADEIRO SE... FALSO SE..

p q p e q so, ambos, verdade um dos dois for falso

p q um dos dois for verdade ambos, so falsos

p q nos demais casos que no for

falso

p = V e q = F

p q p e q tiverem valores lgicos

iguais

p e q tiverem valores

lgicos diferentes

p ~p p ^

~p

H1 V F F

H2 F V F

SENTENA

LGICA

VERDADEIRO

SE...

FALSO SE..

p p = V p = F

~p p = F p = V



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MDULO 2 OPERAES BSICAS EM LGICA

EQUIVALNCIA DE CONETIVOS

Dizemos que duas proposies so logicamente equivalentes (ou simplesmente que so

equivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de

suas tabelas-verdade so idnticos

A equivalncia lgica entre duas proposies, p e q, pode ser representada simbolicamente como:

p q , ou simplesmente por p = q

EQUIVALNCIAS:

1 p ^ p = p

Exemplo: Professor Ed feliz e feliz = Professor Ed Feliz

Construindo a tabela:

2 p ou p = p

Exemplo: Joaquina foi a praia ou a praia = Joaquina foi a praia

3 p q = (p q) ^ (q p)

Exemplo:

Trabalho na Defensoria se e somente se estudar para o concurso = Se trabalho na Defensoria

ento estudo para o concurso e se estudo para o concurso ento trabalho na Defensoria

P p ^

p

V V

F F

p p ^

p

V V

F F




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Tabela

4 p q = (~q ~p)

Exemplo:

Se bebo ento sou rico = Se no sou rico ento no bebo

5 p q = (~p v q)

Exemplo:

Se bebo ento sou rico = no bebo ou sou rico

p q P

q

q p (P q) ^ (q p) P q

V V

F F

F V

V F

p q ~q ~p (P q) (~q ~p)

V V

F F

F V

V F

p q ~p (P q) (~p v q)

V V

F F

F V

V F

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6 Conetivos que so comutativos (podemos trocar a ordem que a soluo ser a mesma): V , ^,

Exemplos:

(p q) = (q p)

(p V q) = (q V p)

(p q) = (q p)

7 Conetivo que no comutativo (no podemos trocar a ordem):

Exemplos:

(p q) (q p)

NEGAO COMPOSTA

Agora vamos aprender a negar proposies compostas, para isto devemos considerar que:

TABELA:

PROPOSIO

OU

CONETIVO

NEGAO

p ~p

~p p

^ v

Para negarmos uma proposio conjunta devemos utilizar a propriedade distributiva, similar

aquela utilizada em lgebra na matemtica.

Vamos negar a sentena abaixo

~(p v q) = ~(p) ~(v) ~(q) = (~p ~q)

~(~p v q) = ~(~p) ~(v) ~(q) = (p ~q)

~(p ~q) = ~(p) ~( ) ~(~q) = (~p v q)

~(~p ~q) = ~(~p) ~( ) ~(~q) = (p v q)



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Agora vamos aprender a negar uma sentena com um condicional.

Para isso devemos trabalhar com a5 propriedade de equivalncia de conetivos demonstradas na

pgina 10, onde:

p q = (~p q)

Ento temos:

~( p q) = ~( ~p q) = ~(~p) ~( ) ~(q) = (p ~q)

Agora a sua vez:

Sabendo que um bicondicional igual a dois condicionais, propriedade 3 da pgina 9. Tente fazer

a negao da sentena abaixo:

~( p q)

RESUMO

PROPOSIO COMPOSTA NEGAO

(p v q) (~p ~q)

(p q) (~p v ~q)

(p q) (p ~q)

(p q) (p ~q) v (q ~p)

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MDULO 3 DIAGRAMAS LGICOS

Chama-se argumento a afirmao de que um grupo de proposies iniciais redunda em uma outra

proposio final, que ser conseqncia das primeiras. Estudaremos aqui apenas os argumentos

que podemos resolver por diagrama, contendo as expresses: Todo, algum, nenhum ou

outras similares

Exemplo:

1: Todas pessoas aposentadas pelo PF possui mais de 60 anos de idade.

2: Todas as pessoas com mais de 60 anos de idade so gastam com remdio todos os meses.

Assim, caso as proposies, argumentos, 1 e 2, estejam corretos, podemos concluir que:

Concluso : Todos os aposentados pelo PF gastam com remdio todos os meses.

Nem todos os argumentos so vlidos. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lgicos,

interessados em verificar se eles so vlidos ou invlidos!

SIMBOLOGIA:

SENTENA SIMBOLOGIA

PARA TODO x (elemento)

EXISTE x (elemento)

ARGUMENTOS VLIDOS

Dizemos que um argumento vlido (ou ainda legtimo ou bem construdo), quando a sua

concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de premissas.

Para concluirmos se um argumento vlido ou no, devemos olhar APENAS como ele foi

construdo sem nos prendermos ao texto ou conhecimentos prvios sobre o assunto. Abaixo

segue um exemplo de um argumento vlido.

1: Todos os Policiais Federais so homens violentos.

2: Nenhum homem violento casado.

Concluso: Portanto, nenhum Policial Federal Casado.

Apesar de parecer um absurdo, o argumento acima est correto. Se considerarmos como

hipteses verdadeira que os itens 1 e 2 esto corretos, a concluso consequencia das hipteses,

por uma propriedade de transitiva.





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Para concluir se um silogismo verdadeiro

ou no, devemos construir conjuntos com

as premissas dadas. Para isso devemos

considerar todos os casos possveis,

limitando a escrever apenas o que a

proposio afirma.

no exemplo acima temos que Todos os

Policiais Federais so homens violentos,

mas nesta proposio no deixa claro se

Todos as pessoas violentas so Policiais Federais. Por este motivo temos sempre que trabalhar

com todas as hipteses, considerando tambm este caso. Vamos representar a proposio em

conjunto

Este conjunto mostra exatamente o que a proposio fala.

TODA PF Violento, porm no podemos concluir que TODO violento PF, assim trabalhamos

com a hiptese de existirem pessoas violentas que no so Policiais.

2: Nenhum homem violento casado.

Com a expresso nenhum a frase acima afirma que o conjunto dos casados e dos violentos

no possuem elementos comuns. Logo devemos construir conjuntos separados.

Logo correto afirmar que, nenhum Policial Federal Casado, j que estes conjuntos no

possuem elementos em comum.

Violentos

Policial Federal

SOLTEIROS





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ARGUMENTOS QUE NO SO VLIDOS

Dizemos que um argumento invlido tambm denominado ilegtimo, mal construdo, falacioso

ou sofisma quando a verdade das

premissas no suficiente para garantir a

verdade da concluso.

Vamos considerar um exemplo similar ao

anterior com apenas uma pequena

alterao na proposio 2 e na concluso.

1: Todos os Policiais Federais so homens

violentos.

2: Alguns homens violentos so casados.

Concluso: Portanto, existem Policiais Federais que so Casados.

A uma primeira leitura pode parecer um argumento vlido (silogismo), porm ao considerarmos

todas as hipteses possveis iremos

descobrir que as proposies so

insuficientes para a concluso,

tratando ento de uma falcia.

Representao do argumento 1:

Todos os Policiais Federais so

homens violentos.

Lembre-se que: TODA PF Violento,

porm no podemos concluir que

TODO violento PF, assim

trabalhamos com a hiptese de existirem pessoas violentas que no so Policiais.

Podemos representar a hiptese 2 de duas formas, uma como a banca quer que voc entenda,

de maneira errada, conforme abaixo:

2: Alguns homens violentos so casados

Assim existiria um conjunto X de policiais que so violentos e casados.

Portanto, poderamos concluir existem Policiais Federais que so Casados.

Mas devemos considerar todas as hipteses, imagine que os conjuntos sejam divididos da forma

abaixo:

Neste exemplo, todo policial federal violento, alguns violentos so casados, ou seja, as hipteses

so satisfeitas.

Violentos

Policial Federal

VIOLENTOS CASADOS

PF X




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Mas no existem policiais casados. Assim a concluso precipitada!

As Proposies da forma Algum A B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um

elemento em comum com o conjunto B.

As Proposies da forma Todo A B estabelecem que o conjunto A um subconjunto de B. Note

que no podemos concluir que A = B, pois no sabemos se todo B A.

NEGAO

Como negar estas Proposies:

PROPOSIO NEGAO

TODO ALGUM OU EXISTE PELO

MENOS

ALGUM NENHUM

NENHUM ALGUM, OU EXISTE PELO

MENOS UM

Exemplos:

RESOLVENDO PROBLEMAS

As questes de lgica cobradas em concursos, em geral, so textos formados por proposies e

conetivos.

PROPOSIO NEGAO

Todo A B Algum A no B ou Existe pelo menos um A que no seja

B

Algum A B Nenhum A B

PF



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Para resolver qualquer questo necessrio traduzir este texto para uma linguagem lgica,

operar dentro desta linguagem e no final traduzir da linguagem lgica de volta para o texto,

conforme modelo abaixo:

Exemplo 4.2.1:

A negao da sentena: Se Teobaldo estuda ento ser aprovado no concurso

Passo 1: Simbolizar as proposies acima

p: Teobaldo estuda

q: Teobaldo aprovado no concurso

Conetivo: Se ento (condicional)

Passo 2: Representar logicamente a sentena: (p q)

Passo 3: Negar a sentena aplicando propriedades de lgica:

~(pq) = ~(~p q) Lembrar da propriedade de equivalncia

~(~p q) = (p ~q) Negar as proposies e o conetivo

Passo 4: traduzir da lgica para o texto novamente

p: Teobaldo estuda

= e

q = Teobaldo no aprovado no concurso. (poderia usar tambm a expresso: no verdade

que Teobaldo aprovado no concurso)

Juntando tudo temos a negao da sentena que ser: Teobaldo estuda e no aprovado

no concurso

Traduz a resposta em lgica

para um texto

Aplica as propriedades de

lgica que aprendemos

Traduz os testos para uma

linguagem lgica matemtica

TEXTO

LGICA

OPERA


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Exemplo 4.2.2: (CESPE DETRAN/ES 2010)

A negao da proposio "No dirija aps ingerir bebidas alcolicas ou voc pode causar um

acidente de trnsito" , do ponto de vista lgico, equivalente afirmao "Dirija aps ingerir

bebidas alcolicas e voc no causar um acidente de trnsito".

1: Simbolizar as proposies acima

~p: no dirija aps ingerir bebidas alcolicas (note que a proposio p possui um no em seu

texto, por isso estamos representando por ~p ao invs de usar somente p)

q: Voc pode causar um acidente de trnsito

Conetivo: ou (conjuno)

2: Representar logicamente a sentena: (~p q)

3: Negar a sentena aplicando propriedades de lgica:

~(~p q) = (p ~q) Negar as proposies e o conetivo

4: traduzir da lgica para o texto novamente

p: dirija aps ingerir bebidas alcolicas

= e

q = voc no causar um acidente de trnsito

Juntando tudo temos a negao da sentena que ser:Dirija aps ingerir bebidas alcolicas

e voc no causar um acidente de trnsito

Exemplo 4.2.3:

Qual a negao da sentena: Estudo se e somente se no chover.

Esta parece simples, mas trabalhosa. Temos que transformar esta bi condicional em duas

condicionais e negar.


p: Estudo

~q: no chover

Conetivo: bicondicional ( )

2: Representar logicamente a sentena: (p ~q)

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3: Aplicando propriedades de lgica:

RESOLUO EXPLICAO

~(p ~q) =~[ (p ~q) (~q

p)]

Propriedade de equivalncia do bi

condicional

~(p ~q) ~( ) ~(~q p) Negar TUDO (distributividade)

~(~p ~q) ~(q p) Negamos a disjuno e usamos a

propriedade de equivalncia do

condicional

(p q) (~q ~p) Negamos as duas expresses

4: traduzir da lgica para o texto novamente

p: estudo

~p: no chove

q: chove

~q: no chove

= e

= ou

Juntando tudo temos a negao da sentena que ser:

estudo e chove ou no estudo e no chove

Agora iremos estudar como resolver as questes com argumentos que no utilizam as

expresses: todos, nenhum ou algum.

Exemplo 4.3.1

Se prova fcil, ento sou funcionrio do MPU.

No sou funcionrio do MPU.

Sabendo que as duas proposies acima so verdadeiras, podemos concluir que: A prova no

fcil.

Resoluo:


p: A prova fcil

q: sou funcionrio do MPU

~q= no sou funcionrio do MPU

Conetivo: condicional ()

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2: Representar logicamente a sentena:

(p q) = V

~q = V


Ora, se ~q = V logo q = F. Assim temos a seguinte situao:

Como sabemos o condicional ser falso se a primeira proposio for verdadeira e a segunda falsa.

Como a segunda proposio FALSA e este condicional VERDADEIRO,

obrigatoriamente a primeira proposio deve ser FALSA, logo, p=F

4: traduzir da lgica para o texto novamente: a prova no fcil

Exemplo 4.3.2

1. Robinho come ou dorme

2. Se Robinho come ento no joga bola

3. Robinho joga bola

Sabendo que as trs proposies acima so verdadeiras, podemos concluir que verdade que:

Robinho dorme.

Resoluo:


p: Robinho come

q: dorme

~r= no joga boa

r: joga bola

Conetivos: condicional () e disjuno ( V )


1. (p q) = V

2. (p ~r) = V

p q

? V F

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3. r = V


Ora, se r = V logo ~r = F.

Vamos fixar ~r=F e testar a proposio 2 a fim de descobrir o valor lgico de P, sabendo que o

condicional deve ser verdadeiro.

Como sabemos o condicional ser falso se a primeira proposio for verdadeira e a segunda falsa.

Como a segunda proposio FALSA e este condicional VERDADEIRO,


Agora vamos fixar a informao p=F e testar na sentena 1 e tentar descobrir o valor lgico de q,

sabendo que a sentena como todo verdadeira

Como p falso e a sentena verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro j

que a disjuno para ser verdadeira pelo menos uma das proposies devem ser verdadeiras.

Assim conclumos que q=V

4: traduzir da lgica para o texto novamente: Robinho dorme

Exemplo 4.3.3

1. Rejo no bruto ou habilidoso

2. Rejo no bruto se e somente se Carruira habilidoso

3. Carruira habilidoso

Sabendo que as trs proposies acima so verdadeiras, podemos concluir que verdade que:

Rejo habilidoso.

hipteses p ~r

h1 V F F

h2 F V F

hipteses p

q

h1 F F F

h2 F V V

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~p: Rejo no bruto

q: Rejo habilidoso

~p= Rejo no bruto

r: Carruira habilidoso

Conetivos: condicional () e disjuno ( )


(~p q) = V

(~p r) = V

r = V


Ora, se r = V vamos fixar r=V e testar a proposio 2 a fim de descobrir o valor lgico de ~p,

sabendo que o bicondicional deve ser verdadeiro.

Como sabemos o bicondicional ser falso se as duas proposies tiverem valores lgicos

diferentes. Para que o bicondicional seja verdadeiro necessrio que ambas proposies tenham

o mesmo valor lgico.

Como a segunda proposio FALSA e este bicondicional VERDADEIRO,


Agora vamos fixar a informao p=F e testar na sentena 1 e tentar descobrir o valor lgico de q,

sabendo que a sentena como todo verdadeira

hipteses ~p r

h1 V F F

h2 F V F

hipteses p q

h1 F F F

h2 F V V

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Como p falso e a sentena verdadeira obrigatoriamente o valor de q deve ser verdadeiro j

que para que a disjuno seja verdadeira pelo menos uma das proposies devem ser

verdadeiras.

Assim conclumos que q=V

4: traduzir da lgica para o texto novamente: Rejo habilidoso

Exemplo 4.4.1: Considere a seguinte proposio: "Se o Policial honesto, ento o Policial

Honesto ou Mdico trabalhador. Do ponto de vista lgico, a afirmao da proposio

caracteriza uma tautologia.

p= Policial honesto

q = Mdico trabalhador

Resolvendo:

p (p q) Sentena dada

~p ( p q) propriedade da igualdade de um condicional

( ~p p) q Associao

Verdade q Tautologia (sempre ser verdadeiro)

Verdade Verdadeiro sempre.

Logo estamos diante de uma Tautologia.

PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS

Alguns problemas de raciocnio lgico, precisam de uma representao em diagramas para sua

resoluo.

A grande dificuldade destes problemas identificar as informaes e representa-las de maneira

correta nos conjuntos.

Vamos a um exemplo: Considere que um grupo de N alunos esto estudando para os

concursos do MPU, Receita Federal e Polcia Federal. Sabendo que dentre estes alunos, alguns

esto realizaram as provas para mais de um concurso. Vamos representar isso atravs de

conjuntos.


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Onde:

N = Nmero total de alunos

X = Nmero de alunos que prestaram concurso apenas para a Receita Federal

M = Nmero de alunos que prestaram concurso apenas para a MPU

O = Nmero de alunos que prestaram concurso apenas para a Polcia Federal

Y = Nmero de alunos que prestaram concurso para Receita e para o MPU

Z = Nmero de alunos que prestaram concurso para Receita e para a Polcia Federal

N = Nmero de alunos que prestaram concurso para Polcia e para o MPU

W = Nmero de alunos que prestaram todos os concursos

L = Nmero de alunos que no prestaram nenhum dos concursos

X+Y+W+Z =Total de alunos que prestaram o concurso da Receita Federal

M+Y+W+N =Total de alunos que prestaram o concurso da MPU

O+N+W+Z =Total de alunos que prestaram o concurso da Polcia Federal

M+X+O+Z+Y+N+W+L = Numero total de alunos N.

L

MPU

PF Rec, Fed

X

Y

Z

W

M

N

O

N

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QUESTES DE

CONCURSO

Vamos ver como a CESPE costuma cobrar

Rac. Lgico em suas provas!

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1. Considere as proposies A, B e C a seguir.

A. Se Jane policial federal ou procuradora de justia, ento Jane foi aprovada em concurso pblico.

B. Jane foi aprovada em concurso pblico. C. Jane policial federal ou procuradora de justia.

Nesse caso, se A e B forem V, ento C tambm ser V.

2. As proposies Se o delegado no prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra

no ser bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra ser bem-sucedida so equivalentes

3. Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e Jos, j sabia que, na quadrilha

qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatrio, Carlos disse: Jos s fala a verdade, e Jos disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declaraes e na regra da contradio, seria correto o delegado concluir que Carlos e Jos mentiram.

4. Se A for a proposio Todos os policiais so honestos, ento a proposio A estar

enunciada corretamente por Nenhum policial honesto.

5. A sequncia de proposies a seguir constitui uma deduo correta.

Se Carlos no estudou, ento ele fracassou na prova de Fsica. Se Carlos jogou futebol, ento ele no estudou. Carlos no fracassou na prova de Fsica.

Carlos no jogou futebol.

6. correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes:

Se Antnio for bonito ou Maria for alta, ento Jos ser aprovado no concurso.

Maria alta.

Portanto Jos ser aprovado no concurso.

POLCIA FEDERAL 2009 - CESPE

BANCO DO BRASIL 2007 - CESPE

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7. correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes:

Se Clia tiver um bom currculo, ento ela conseguir um emprego.

Ela conseguiu um emprego.

Portanto, Clia tem um bom currculo.

8. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.

A frase dentro destas aspas uma mentira.

A expresso X + Y positiva.

O valor de .

Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.

O que isto?

9. A proposio funcional Para qualquer x, tem-se que verdadeira para todos os

valores de x que esto no conjunto .

10. A proposio funcional Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira

para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

11. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega

a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala

somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala

somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir.

Se a primeira pessoa diz Nossas fichas no so da mesma cor e a segunda pessoa diz Nossas

fichas so da mesma cor, ento, pode-se concluir que a segunda pessoa est dizendo a verdade

12. Considere as seguintes proposies:

P: Mara trabalha e Q: Mara ganha dinheiro

Nessa situao, vlido o argumento em que as premissas so Mara no trabalha ou Mara

ganha dinheiro e Mara no trabalha, e a concluso Mara no ganha dinheiro

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13. H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:

(I) O BB foi criado em 1980.

(II) Faa seu trabalho corretamente.

(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade

14. A proposio simblica (P Q) R possui, no mximo, 4 avaliaes

15. Uma expresso da forma uma proposio que tem exatamente as mesmas

valoraes V ou F da proposio A B.

16. Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria ento ela ficou rica e Mara no

acertou na loteria sejam a m b a s p r o p o s i e s v e r d a d e i r a s . S i m b o l i z a

n d o adequadamente essas proposies pode-se garantir que a proposio Ela no ficou rica

tambm verdadeira.

17. A proposio simbolizada por (AB)(BA) possui uma nica valorao F.

18. Considere que a proposio Slvia ama Joaquim ou Slvia ama Tadeu seja verdadeira.

Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira

19. A negao da proposio A B possui os mesmos valores lgicos que a proposio A

(B).

20. Considere que A seja a proposio As palavras tm vida e B seja a proposio Vestem-se

de significados, e que sejam consideradas verdadeiras. Nesse caso, a proposio A (B)

F

BANCO DO BRASIL 2008 - CESPE

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21. A negao da proposio As palavras mascaram-se pode ser corretamente expressa pela

proposio Nenhuma palavra se mascara

22. A proposio Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, ento o pas fica

protegido de ataques especulativos pode tambm ser corretamente expressa por O pas

ficar protegido de ataques especulativos condio necessria para que as reservas

internacionais aumentem.

23. A proposio Se o Brasil no tem reservas de 190 milhes de dlares, ento o Brasil tem

reservas menores que as da ndia tem valor lgico F.

24. Toda proposio simbolizada na forma AB tem os mesmos valores lgicos que a

proposio BA

25. A proposio Existem pases cujas reservas ultrapassam meio bilho de dlares F

quando se considera que o conjunto dos pases em questo {Brasil, ndia, Coria do Sul,

Rssia}

26. Considerando como V as proposies Os pases de economias emergentes tm grandes

reservas internacionais e O Brasil tem grandes reservas internacionais, correto concluir

que a proposio O Brasil um pas de economia emergente V

27. A frase Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos ltimos 10 anos? no

pode ser considerada uma proposio

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28. Suponha um argumento no qual as premissas sejam as proposies I e II abaixo.

I Se uma mulher est desempregada, ento, ela infeliz.

II Se uma mulher infeliz, ento, ela vive pouco.

Nesse caso, se a concluso for a proposio Mulheres desempregadas vivem pouco, tem-se um

argumento correto

29. Considere que A seja a proposio O nmero de mulheres no mercado de trabalho

mundial atingiu 1,2 bilho, em 2007 e B seja a proposio O percentual de mulheres que

trabalhavam no campo era maior que o percentual de mulheres que trabalhavam em

servios, em 2007. Atribuindo valores lgicos, V ou F, proposio A e proposio B, de

acordo com o referido texto, pode-se garantir que a proposio (A) B V.

30. Atribuindo-se todos os possveis valores lgicos V ou F s proposies A e B, a proposio

ter trs valores lgicos F.

31. Considerando-se como V a proposio Sem linguagem, no h acesso realidade,

conclui-se que a proposio Se no h linguagem, ento no h acesso realidade

tambm V.

32. Se o valor lgico da proposio Se as operaes de crdito no pas aumentam, ento os

bancos ganham muito dinheiro V, ento correto concluir que o valor lgico da proposio

Se os bancos no ganham muito dinheiro, ento as operaes de crdito no pas no

aumentam tambm V.

33. A negao da proposio Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dlares de cada

100 dlares investidos pode ser assim redigida: Nenhum banco brasileiro fica com mais de

32 dlares de cada 100 dlares investidos.

34. Se a proposio Algum banco lucra mais no Brasil que nos EUA tiver valor lgico V, a

proposio Se todos os bancos lucram mais nos EUA que no Brasil, ento os correntistas tm

melhores servios l do que aqui ser F.

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GABARITO

1 E 2 E 3 C 4 E

5 C 6 C 7 E 8 E

9 E 10 E 11 C 12 E

13 C 14 E 15 C 16 E

17 C 18 E 19 C 20 C

21 E 22 C 23 E 24 E

25 E 26 E 27 C 28 C

29 E 30 E 31 C 32 C

33 C 34 E

GABARITO

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35. (TCE-ES 2012) Considerando as definies acima e a proposio:

, julgue os itens a seguir. A negao da referida

proposio a proposio:

36. (TCE-ES 2012) Considerando as definies acima e a

proposio , julgue os itens a seguir. Essa proposio

logicamente equivalente proposio

37. (TCE-ES 2012) Considerando as definies acima e a

proposio ,julgue os itens a seguir. Se P e S forem V e

Q e R forem F, ento o valor lgico da proposio em questo ser F.

38. (TCE-ES 2012) Considere que a proposio-concluso do auditor possa ser

escrita, simbolicamente, na forma em que P, Q e R sejam proposies

adequadamente escolhidas. Nesse caso, a negao da proposio-concluso do

auditor estar corretamente escrita na forma

39. (TCE-ES 2012) Na auditoria de uma empresa, o auditor concluiu que: Ocorreu

desvio de recursos se, e somente se, o gerente financeiro e o presidente da

empresa estiveram envolvidos nesse desvio. Considerando que a concluso do

auditor corresponde a uma proposio verdadeira, julgue os itens seguintes. A

proposio Se o gerente financeiro esteve envolvido no desvio mas o presidente

no, ento no ocorreu desvio de recursos verdadeira.

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40. (TCE-ES 2012) Na auditoria de uma empresa, o auditor concluiu que: Ocorreu

desvio de recursos se, e somente se, o gerente financeiro e o presidente da

empresa estiveram envolvidos nesse desvio. Considerando que a concluso do

auditor corresponde a uma proposio verdadeira, julgue os itens seguintes. A

proposio No ocorreu desvio se, e somente se nem o gerente financeiro nem o

presidente estiveram envolvidos verdadeira.

41. (ANATEL 2012) A negao da proposio Ocorre falha tcnica na chamada ou

a operadora interrompe a chamada de forma proposital corretamente expressa

por No ocorre falha tcnica na chamada nem a operadora interrompe a chamada

de forma proposital.

42. (ANATEL 2012) Supondo que, por determinao da ANATEL, as empresas

operadoras de telefonia mvel tenham enviado a seguinte mensagem a seus

clientes: Caso no queira receber mensagem publicitria desta prestadora, envie

um SMS gratuito com a palavra SAIR para 1111, julgue os prximos itens,

considerando que a mensagem corresponda proposio P. A proposio P

logicamente equivalente proposio Queira receber mensagem publicitria

desta prestadora ou envie um SMS gratuito com a palavra SAIR para 1111.

43. (ANCINE 2012) A negao da proposio Todo ator sabe cantar e danar

equivalente a Existe ator que no sabe cantar ou que no sabe danar.

44. (ANCINE 2012) A proposio tem somente o valor lgico V,

independentemente dos valores lgicos de P e Q.

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45. (ANCINE 2012) A proposio logicamente equivalente

proposio

46. (ANCINE 2012) A proposio Se todo diretor excntrico e algum excntrico

mau ator, ento algum diretor mau ator logicamente equivalente

proposio Algum diretor no excntrico ou todo excntrico bom ator ou

algum diretor mau ator.

47. (PMCE 2012) Acerca da proposio R: A populao aprende a votar ou haver

novos atos de corrupo, julgue os itens seguintes. A proposio Enquanto a

populao no aprender a votar, haver novos casos de corrupo tem o mesmo

valor lgico da proposio R.

48. (PMCE 2012) Acerca da proposio R: A populao aprende a votar ou haver

novos atos de corrupo, julgue os itens seguintes. Se P e Q forem,

respectivamente, as proposies A populao aprende a votar e Haver novos

atos de corrupo, ento a proposio R estar corretamente assim

simbolizada:

O cenrio poltico de uma pequena cidade tem sido movimentado por denncias a

respeito da existncia de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dvida

quanto a esse esquema persiste em trs pontos, correspondentes s proposies P, Q

e R, abaixo:

P: O vereador Vitor no participou do esquema;

Q: O prefeito Prsio sabia do esquema;

R: O chefe de gabinete do prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigao de uma CPI da cmara municipal conduziram s premissas P1, P2 e

P3 seguintes:

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P1: Se o vereador Vitor no participou do esquema, ento o prefeito Prsio no sabia do

esquema.

P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o prefeito Prsio sabia do esquema, mas

no ambos.

P3: Se o vereador Vitor no participou do esquema, ento o chefe de gabinete no foi o mentor

do esquema.

Considerando essa situao hipottica, julgue os itens seguintes, acerca de proposies lgicas.

49. (TRE/RJ 2012) Das premissas P1, P2 e P3, correto afirmar que O chefe de

gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema.

50. (TRE/RJ 2012) A premissa P1 logicamente equivalente proposio Se o

prefeito Prsio sabia do esquema, ento o vereador Vitor participou do esquema.

51. (TRE/RJ 2012) A premissa P2 pode ser corretamente representada por R V Q.

52. (TRE/RJ 2012) A premissa P3 logicamente equivalente proposio O

vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete no foi o mentor do

esquema.

53. (TRE/RJ 2012) Considerando que as proposies P e R sejam verdadeiras,

ento, nesse caso, a premissa P3 ser falsa.

54. (TRE/RJ 2012) A partir das premissas P1, P2 e P3, correto inferir que o

prefeito Prsio no sabia do esquema.

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GABARITO

35 E 36 C 37 E 38 C

39 C 40 E 41 C 42 C

43 C 44 E 45 E 46 C

47 C 48 E 49 C 50 C

51 E 52 E 53 E 54 C

3) lógica sentencial ou proposicioanal.pdf

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