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Modelagem Matematica de Sistemas
1. Descricao Matematica de Sistemas
2. Descricao Entrada-Saıda
3. Exemplos
c©Reinaldo M. Palharespag.1 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
Sistemau(t) y(t)
B Para a representacao do sistema tendo entradas e saıdas como acima;
assume-se que para uma certa excitacao u(t) (entrada) obtem-se uma unica
resposta y(t) (saıda)
I Ja sabemos: 1 entrada/1 saıda: monovariavel ou SISO (Single input - single
output)
I +1 entrada/+1 saıda: multivariavel ou MIMO (Multiple input - multiple
output)
c©Reinaldo M. Palharespag.2 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
· · ·· · ·
u1u2
up
y1
y2
yq
u′ =[
u1 u2 · · · up
]
; y′ =[
y1 y2 · · · yq
]
I Sistemas Contınuos no Tempo
u = u(t) ; y = y(t) : funcoes do tempo t ∈ (−∞, ∞)
I Sistemas Discretos no Tempo
u = u(k) ; y = y(k) : sequencias k ∈ Z
c©Reinaldo M. Palharespag.3 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Relembrando...
à Sistemas com parametros concentrados: numero finito de variaveis de estado
à Sistemas com parametros distribuıdos. Eg, sistema com atraso unitario:
y(t) = u(t−1)
u(t)
y(t)
0 t01 t
Estado: u(t), t0−1 ≤ t < t0 (infinitos pontos)
c©Reinaldo M. Palharespag.4 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Relembrando...
à Se u(t) ≡ 0, t ≥ t0: resposta a entrada nula
à Se x(t0) = 0: resposta ao estado nulo
x(t0)
u(t) ≡ 0, t ≥ t0
−→ yent. nula(t), t ≥ t0
x(t0) = 0
u(t), t ≥ t0
−→ yest. nulo(t), t ≥ t0
c©Reinaldo M. Palharespag.5 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Relembrando... Descricao Entrada-Saıda
Sistemas SISO — Funcao Pulso
t1 t1 + ∆
∆
t
1/∆ δ∆(t−t1) =
0 , t < t1
1/∆ , t1 ≤ t < t1 + ∆
0 , t ≥ t1 + ∆
δ(t − t1) , lim∆→0
δ∆(t − t1) : funcao pulso ou Delta de Dirac
I PropriedadesZ +∞
−∞
δ(t − t1)dt =
Z t1+ε
t1−ε
δ(t − t1)dt = 1 , ∀ ε > 0
Z +∞
−∞
f(t)δ(t − t1)dt = f(t1) , ∀ f(t) contınua em t1
c©Reinaldo M. Palharespag.6 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Relembrando... Descricao Entrada-Saıda
ti
u(ti)
u(ti)δ∆(t − ti)∆
t
u(t)
Entrada: u(t) ∼=∑
i u(ti)δ∆(t − ti)∆
c©Reinaldo M. Palharespag.7 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Entrada-Saıda
I Considere g∆(t, ti) a saıda no instante t do sistema excitado pelo pulso
u(t) = δ∆(t − ti) aplicado no instante ti. Entao
δ∆(t − ti)gera−→ g∆(t, ti)
δ∆(t − ti)u(ti)∆gera−→ g∆(t, ti)u(ti)∆ (homogeneidade)
∑
i
δ∆(t − ti)u(ti)∆gera−→
∑
i
g∆(t, ti)u(ti)∆
︸ ︷︷ ︸
≈ Saıda: y(t)
(aditividade)
I Quando ∆ → 0 o pulso δ∆(t − ti) tende ao impulso aplicado em ti,
denotado δ(t − ti), e a saıda correspondente e dada por g(t, ti)
c©Reinaldo M. Palharespag.8 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Entrada-Saıda
Resposta ao Impulso
y(t) =
∫ +∞
−∞
g(t, τ )u(τ )dτ
I Sistema Causal ⇐⇒ g(t, τ ) = 0 para t < τ
I Sistema Relaxado em t0 ⇐⇒ x(t0) = 0
à Sistemas causais e relaxados em t0
y(t) =
∫ t
t0
g(t, τ )u(τ )dτ
c©Reinaldo M. Palharespag.9 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Entrada-Saıda
B Se o sistema linear e invariante no tempo e relaxado em t = 0, entao:
g(t, τ ) = g(t + T, τ + T )︸ ︷︷ ︸
deslocado...
= g(t − τ, 0)︸ ︷︷ ︸
instante inicial nulo
= g(t − τ )
Integral de Convolucao
y(t) =
∫ t
0
g(t − τ )u(τ )dτ =
∫ t
0
g(τ )u(t − τ )dτ
à g(t): resposta ao impulso aplicado em t = 0
à Sistema causal invariante no tempo: g(t) = 0 para t < 0
c©Reinaldo M. Palharespag.10 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Entrada-Saıda
Sistema MIMO
y(t) =
∫ t
t0
G(t, τ )u(τ )dτ
Gq×p(t, τ ) =
g11(t, τ ) g12(t, τ ) · · · g1p(t, τ )
g21(t, τ ) g22(t, τ ) · · · g2p(t, τ )...
......
gq1(t, τ ) gq2(t, τ ) · · · gqp(t, τ )
Sistema com p entradas e q saıdas
gij(t, τ ) : resposta no instante t na i-esima saıda devida ao im-
pulso aplicado no instante τ na j-esima entrada
G(·, τ ) : matriz de resposta ao impulso
c©Reinaldo M. Palharespag.11 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Entrada-Saıda
Matriz Funcao de Transferencia
As integrais de convolucao sao substituıdas por equacoes algebricas via Laplace...
Y (s) =
∫∞
0
(∫∞
0
G(t − τ )u(τ )dτ
)
e−stdt
=
∫∞
0
(∫∞
0
G(t − τ )e−s(t −τ)dt
)
u(τ )e−sτ dτ
=
∫∞
0
G(v)e−svdv
∫∞
0
u(τ )e−sτ dτ
, G(s)U(s)
G(s): Transformada de Laplace da matriz resposta ao impulso G(t)
I Se p = q = 1 (SISO) → Funcao de Transferencia
I Exige que o sistema esteja relaxado em t = 0
c©Reinaldo M. Palharespag.12 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Entrada-Saıda
Exemplo Circuito RLC serie com R = 3Ω, L = 1H, C = 0.5F
u(t)
R
i
L
C++
−
−
y(t)
8
>
>
<
>
>
:
u(t) = Ri(t) + L di(t)dt
+ y(t)
C dy(t)dt
= i(t)
Relaxado: ie, condicoes iniciais nulas (y(0) = y(0) = 0):
LCs2Y (s) + RCsY (s) + Y (s) = U(s) ⇒Y (s)
U(s)=
1
LCs2 + RCs + 1
Y (s)
U(s)=
2
(s + 1)(s + 2)=
2
s + 1−
2
(s + 2)= G(s)
c©Reinaldo M. Palharespag.13 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Entrada-Saıda
I Resposta ao Impulso:
g(t) = 2e−t − 2e−2t , t ≥ 0
I Para uma entrada qualquer tem-se
y(t) =
∫ t0
−∞
g(t − τ )u(τ )dτ +
∫ t
t0
g(t − τ )u(τ )dτ , t ≥ t0
e
Z t0
−∞
g(t − τ)u(τ)dτ = 2e−t
Z t0
−∞
eτ u(τ)dτ − 2e−2t
Z t0
−∞
e2τ u(τ)dτ
= 2e−t c1 − 2e−2t c2 , t ≥ t0
Determinacao de c1 e c2?
c©Reinaldo M. Palharespag.14 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Entrada-Saıda
Determinacao de c1 e c2
y(t0) = 2e−t0c1 − 2e−2t0c2
y(t0) = −2e−t0c1 + 4e−2t0c2
I Se y(t0) (tensao no capacitor) e Cy(t0) (corrente no indutor) forem
conhecidas, entao a saıda pode ser unicamente determinada para t ≥ t0 mesmo
que o sistema nao esteja relaxado em t0
y(t0), y(t0) , c1, c2 → Estado do Circuito em t0
I Note que a informacao (estado) necessaria para determinar unicamente a
resposta do sistema nao e unica, e que pode haver redundancia....
c©Reinaldo M. Palharespag.15 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Funcoes Racionais em s
Para G(s) = N (s)D(s)
à G(s) e estritamente propria ⇔ grau de D(s) > grau de N(s) ⇔ G(∞) = 0
à G(s) e propria ⇔ grau de D(s) = grau de N(s) ⇔ G(∞) = constante 6= 0
à G(s) e impropria ⇔ grau de D(s) < grau de N(s) ⇔ | G(∞) | = ∞
à p ∈ C e um polo de G(s) =N(s)
D(s)se | G(p) | = ∞
à z ∈ C e um zero de G(s) =N(s)
D(s)se | G(z) | = 0
c©Reinaldo M. Palharespag.16 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Funcoes Racionais em s
à Se D(s) e N(s) sao coprimos (isto e, nao possuem fatores comuns de grau
1 ou maior), todas as raızes de N(s) sao zeros de G(s) e todas as raızes de
D(s) sao polos de G(s):
G(s) = k(s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)
à Propria se G(s) = constante, Estritamente Propria se G(s) = 0, Bipropria
se G(s) quadrada com G(s) e G(s)−1 proprias
c©Reinaldo M. Palharespag.17 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Linearizacao
à via Jacobiano
à A linearizacao nem sempre se aplica: para alguns sistemas nao lineares, uma
diferenca infinitesimal nas condicoes iniciais pode gerar solucoes completamente
diferentes (hipersensibilidade as condicoes iniciais, caos)...
Exemplo MolaForca
rompimentoy
y
y = 0
y1
y2
Comportamento linear para deslocamentos no intervalo [y1, y2]
c©Reinaldo M. Palharespag.18 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
Sistema Massa-Mola
u1 u2
y1y2
k1 k2k3
m1 m2
Assumindo que nao ha atrito:
m1y1 = u1 − k1y1 − k2(y1 − y2)
m2y2 = u2 − k3y2 − k2(y2 − y1)
c©Reinaldo M. Palharespag.19 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
Combinando:
m1 0
0 m2
y1
y2
+
k1 + k2 −k2
−k2 k2 + k3
y1
y2
=
u1
u2
Espaco de Estado – definem-se x1 , y1, x2 , y1, x3 , y2, x4 , y2:
x ,[
x1 x2 x3 x4
]′
c©Reinaldo M. Palharespag.20 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
x =
2
6
6
6
6
6
4
0 1 0 0
−(k1 + k2)/m1 0 k2/m1 0
0 0 0 1
k2/m2 0 −(k3 + k2)/m2 0
3
7
7
7
7
7
5
x +
2
6
6
6
6
6
4
0 0
1/m1 0
0 0
0 1/m2
3
7
7
7
7
7
5
2
4
u1
u2
3
5
y ,
2
4
y1
y2
3
5 =
2
4
1 0 0 0
0 0 1 0
3
5 x
B Duas entradas, duas saıdas...
c©Reinaldo M. Palharespag.21 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
Descricao Entrada Saıda – Aplicando a Transformada de Laplace (condicoes
iniciais nulas):
m1s2Y1(s) + k1Y1(s) + k2 (Y1(s) − Y2(s)) = U1(s)
m2s2Y2(s) + k3Y2(s) + k2 (Y2(s) − Y1(s)) = U2(s)
Matriz de Transferencia:
2
6
4
Y1(s)
Y2(s)
3
7
5=
2
6
6
4
m2s2 + k3 + k2
d(s)
k2
d(s)
k2
d(s)
m1s2 + k1 + k2
d(s)
3
7
7
5
2
6
4
U1(s)
U2(s)
3
7
5
com
d(s) , (m1s2 + k1 + k2)(m2s2 + k3 + k2) − k22
c©Reinaldo M. Palharespag.22 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
B Se k2 = 0 ⇒ dois sistemas desacoplados com matriz de transferencia
bloco-diagonal:
Y1(s) =1
m1s2 + k1
U1(s) ; Y2(s) =1
m2s2 + k2
U2(s)
B A matriz de transferencia pode ser obtida elemento a elemento, fazendo-se
inicialmente U1(s) = 0 e depois U2(s) = 0 ⇒ para sistemas lineares basta
considerar o princıpio da superposicao...
c©Reinaldo M. Palharespag.23 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
Exemplo Carrinho com Pendulo Invertido
H
V
θ
u
y
l
M
m
mg
Assume-se que o movimento se da no plano e desprezam-se o atrito e a massa da haste.
O objetivo e manter o pendulo na posicao vertical (modelo simplificado do lancamento
de um foguete espacial)
c©Reinaldo M. Palharespag.24 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
I H, V : forcas horizontal e vertical exercidas pelo carro no pendulo
I Em relacao a M : Md2y
dt2+ H = u ⇒ M
d2y
dt2= u − H
I Em relacao a m:
8
>
<
>
:
md2
dt2(y + l sin(θ)) = H : Horizontal
mg = md2
dt2(l cos(θ)) + V : Vertical
⇒ H = my + mlθcos θ − mlθ2sin θ
⇒ mg − V = −mlθsin θ − mlθ2cos θ
I Movimento rotacional da massa m:
ml2θ = mglsin θ + V lsin θ − Hlcos θ
c©Reinaldo M. Palharespag.25 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
B Note que as equacoes sao nao-lineares. Porem para pequenas variacoes de
angulo, pode-se assumir que θ e θ sao pequenos (pendulo na posicao vertical):
sin θ ∼= θ ; cos θ ∼= 1 ; θ2, θ2, θθ, θθ → 0
∴ V = mg ; H = my + mlθ
My = u − my − mlθ
ml2θ = mglθ + mglθ −(
my + mlθ)
l
Re-escrevendo (e cancelando m e l na 2a. eq.):
(M + m) y + mlθ = u
2lθ − 2gθ + y = 0
c©Reinaldo M. Palharespag.26 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
B Transformada de Laplace (condicoes iniciais nulas):
(M + m) s2Y (s) + mls2Θ(s) = U(s)(2ls2 − 2g
)Θ(s) + s2Y (s) = 0
Gyu(s) =Y (s)
U(s)=
2ls2 − 2g
s2[
(2M + m)ls2 − 2g(M + m)]
Gθu(s) =Θ(s)
U(s)=
−1
(2M + m)ls2 − 2g(M + m)
c©Reinaldo M. Palharespag.27 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
B Definindo x1 = y, x2 = y, x3 = θ, x4 = θ
x ,[
x1 x2 x3 x4
]′
Resolvendo as equacoes para y e θ:
y = −2gm
2M + mθ +
2
2M + mu
θ =2g(M + m)
(2M + m)lθ −
1
(2M + m)lu
c©Reinaldo M. Palharespag.28 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
Equacoes de Estado
x =
0 1 0 0
0 0−2mg
2M + m0
0 0 0 1
0 02g(M + m)
(2M + m)l0
x +
0
2
2M + m
0
−1
(2M + m)l
u
y =[
1 0 0 0]
x
c©Reinaldo M. Palharespag.29 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
Conexao em paralelo:
+u
u1
u2
S1
S2
y1
y2
y = y1 + y2
c©Reinaldo M. Palharespag.30 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Descricao Matematica de Sistemas
Conexao em cascata:
S1 S2
u1 y2
y1 = u2
Conexao com realimentacao:
S1
S2
u1 y1
y2
y+
−
u
u2
c©Reinaldo M. Palharespag.31 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Representacao em Espaco de Estados
S1
x1 = A1x1 + B1u1
y1 = C1x1 + E1u1
S2
x2 = A2x2 + B2u2
y2 = C2x2 + E2u2
Conexao em paralelo:
x1
x2
=
A1 0
0 A2
x1
x2
+
B1
B2
u
y =[
C1 C2
]
x1
x2
+ (E1 + E2)u
c©Reinaldo M. Palharespag.32 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Representacao em Espaco de Estados
Conexao em cascata:
x1
x2
=
A1 0
B2C1 A2
x1
x2
+
B1
B2E1
u
y =[
E2C1 C2
]
x1
x2
+ E2E1u
c©Reinaldo M. Palharespag.33 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Representacao em Espaco de Estados
Conexao com realimentacao:
Escreva as relacoes entrada-saıda... Veja:
u1 = u−y2
= u−C2x2 − E2u2
= u − C2x2 − E2y1
= u − C2x2 − E2[C1x1 + E1u1]
= u − C2x2 − E2C1x1 − E2E1u1
ou
(I + E2E1) u1 = u − C2x2 − E2C1x1, define-se: L1 , (I + E2E1)−1
u1 = L1u − L1C2x2 − L1E2C1x1
c©Reinaldo M. Palharespag.34 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Representacao em Espaco de Estados
Entao substituindo u1:
x1 = A1x1 + B1L1u − B1L1C2x2 − B1L1E2C1x1
= (A1 − B1L1E2C1) x1 − B1L1C2x2 + B1L1u
c©Reinaldo M. Palharespag.35 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Representacao em Espaco de Estados
Repetindo os mesmos passos para u2:
u2 = y1
= C1x1 + E1u1
= C1x1 + E1(u − y2)
= C1x1 + E1(u − C2x2 − E2u2)
= C1x1 + E1u − E1C2x2 − E1E2u2
ou
(I + E1E2) u2 = C1x1 + E1u − E1C2x2, define-se: L2 , (I + E1E2)−1
u2 = L2C1x1 + L2E1u − L2E1C2x2
c©Reinaldo M. Palharespag.36 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Representacao em Espaco de Estados
Entao substituindo u2:
x2 = A2x2 + B2L2C1x1 + B2L2E1u − B2L2E1C2x2
= (A2 − B2L2E1C2) x2 + B2L2C1x1 + B2L2E1u
em relacao a y:
y = y1
= C1x1 + E1 (u − y2)
= C1x1 + E1u − E1C2x2 − E1E2y
(I + E1E2) y = C1x1 + E1u − E1C2x2
y = L2C1x1 + L2E1u − L2E1C2x2
c©Reinaldo M. Palharespag.37 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Representacao em Espaco de Estados
Conexao com realimentacao:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
:
2
4
x1
x2
3
5 =
2
4
A1 − B1L1E2C1 −B1L1C2
B2L2C1 A2 − B2L2E1C2
3
5
2
4
x1
x2
3
5 +
2
4
B1L1
B2L2E1
3
5 u
y =h
L2C1 −L2E1C2
i
2
4
x1
x2
3
5 + L2E1u
L1 , (I + E2E1)−1 ; L2 , (I + E1E2)
−1 , L1 e L2 devem existir
c©Reinaldo M. Palharespag.38 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3
Representacao na Frequencia
Faca: G1(s) ↔ S1 e G2(s) ↔ S2
Conexao em paralelo: G1(s) + G2(s)
Conexao em cascata: G2(s)G1(s)
Conexao com realimentacao: Sejam G1(s) e G2(s) matrizes racionais proprias
de S1 e de S2. Entao, se det(Iq + G1G2) 6= 0 (condicao necessaria para a
conexao)
G(s) = G1(s)(Ip + G2(s)G1(s))−1 = (Iq + G1(s)G2(s))
−1G1(s)
c©Reinaldo M. Palharespag.39 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3