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Representacao de Circuitos Logicos
• Formas de representação de um circuito lógico:• Representação gráfica de uma rede de portas lógicas• Expressão booleana• Tabela verdade
• 3 representações são equivalentes:• Dado um circuito representado de uma forma,
obtemos as outras representações do circuito
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Representacao de Circuito Logico com Expressao Booleana
• Expressão booleana de um circuito:• Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito
em função do valor dos sinais lógicos de entrada
• Operações lógicas:• NOT: complemento• AND (•): multiplicação booleana (operador pode ser omitido)• OR (+): adição booleana
• Precedência das operações lógicas: NOT, AND, OR
• Exemplos:
X = A+B + C +D Y = A •B • C •D
Z = A • (B + C •D) W = A • (B + C •D)
K = A+B + C •D T = A B C + A B C + A C
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Representacao Grafica de Circuito Logico
• Rede de portas lógicas interligadas
• Convenções:• Em geral, sinais de entrada do lado esquerdo• Em geral, sinais de saída do lado direito• Em geral, sinais fluem da esquerda para direita• Conexão entre fios: simbolizada por •
• Exemplo:
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Representacao de Circuito Logico com Tabela Verdade
• Tabela Verdade de um circuito lógico:• Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito
para todos os possíveis valores dos sinais lógicos de entrada
• Dado um circuito com n entradas, tabela verdade possui:• Uma coluna para:
• Cada sinal de entrada do circuito• Sinal de saída do circuito
• 2n linhas
• Convenção:• Valores das entradas
em ordem crescentena sequência binária
• Exemplo:
Entradas Saída
A B C A+B • C0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
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Expressao Booleana a partir de Circuito Logico
• Dado um circuito lógico, obter expressão booleana:• Da esquerda da direita, escreve expressão booleana de cada porta lógica
• Exemplo: X = A • (B + C •D)
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Exemplo: Expressao Booleana a partir de Circuito Logico
6
Exemplo: Expressao Booleana a partir de Circuito Logico
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Circuito Logico a partir de Expressao Booleana
• Dado uma expressão booleana, obter circuito lógico:• Listar todos os sinais de entrada do lado esquerdo• Colocar portas lógicas de acordo com precedência das operações
• Exemplo: X = A •B +B • C •D +A • C
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Exemplo: Circuito Logico a partir de Expressao Booleana
• X = A • (B + C •D)
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Exemplo: Circuito Logico a partir de Expressao Booleana
• Y = A •B + C •D
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Exemplo: Circuito Logico a partir de Expressao Booleana
• Z = A B C D + A B C +B C D
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Exemplo: Circuito Logico a partir de Expressao Booleana
• Z = A B C D + A B C +B C D
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Tabela Verdade a partir de Expressao Booleana
• Dado uma expressão booleana, obter tabela verdade:• Montar tabela verdade• Criar colunas para avaliar sub-expressões• Avaliar expressão completa
• Exemplo: X = A • (B + C)
Entradas Auxiliares Saída
A B C A B + C A • (B + C)
0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 1 0
1 1 1 0 1 0
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Exemplo: Tabela Verdade a partir de Expressao Booleana
Entradas Auxiliares SaídaA B C D X = A • (B + C •D)
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 114
Equivalencia de Circuitos
• 2 circuitos equivalentes:• Produzem o mesmo valor de saída para os mesmos valores de entrada
• Determinar se 2 circuitos são equivalentes:• Usando a tabela verdade:
• Construir tabela verdade para os 2 circuitos• Comparar valores das saídas
• Usando propriedades da Álgebra Booleana:• A partir da expressão booleana de um circuito,
aplicar propriedades transformando expressão,até chegar na expressão booleana do outro circuito
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Exemplo: Equivalencia de Circuitos
• Equivalentes ? X = A XOR B e Y = A •B +A •B
Entradas Saída Saída
A B X = A⊕B Y = A •B +A •B0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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Exemplo: Equivalencia de Circuitos
• Equivalentes ?
Entradas Auxiliares Saída Saída
A B C A•B +A•(B+C) +B•(B+C) B +A•C0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 117
Propriedades da Algebra Booleana
• Propriedade comutativa
• Propriedade associativa
• Propriedade distributiva
• Identidades
• Teorema de De Morgan
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Propriedade Comutativa
• Para OR: A+B = B + A
• Para AND: A •B = B • A
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Propriedade Associativa
• Para OR: A+ (B + C) = (A+B) + C = A+B + C
• Para AND: A • (B • C) = (A •B) • C = A •B • C
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Propriedade Distributiva
• Para AND: A • (B + C) = A •B + A • C
• Para OR: A+ (B • C) = (A+B) • (A+ C)
Entradas Saída SaídaA B C A+ (B • C) (A+B) • (A+ C)
0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1
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Lei do Elemento Neutro
• Para OR: A+ 0 = A
• Para AND: A • 1 = A
22
Lei do Elemento Dominante
• Para OR: A+ 1 = 1
• Para AND: A • 0 = 0
23
Lei da Idempotencia
• Para OR: A+ A = A
• Para AND: A • A = A
24
Lei do Complemento
• Para OR: A+ A = 1
• Para AND: A • A = 0
• Para NOT: A = A
25
Lei da Absorcao
• Para OR: A+ A •B = A
Entradas SaídaA B A+A •B0 0 00 1 01 0 11 1 1
• Para AND: A • (A+B) = A
Entradas SaídaA B A • (A+B)
0 0 00 1 01 0 11 1 1
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Lei da Absorcao• Para OR: A+ A •B = A
A+ A •B = Elemento Neutro
A • 1 + A •B = Distributiva
A • (1 +B) = Elemento Dominante
A • 1 = Elemento Neutro
A
• Para AND: A • (A+B) = A
A • (A+B) = Distributiva
A • A+ A •B = Idempotência
A+ A •B = Elemento Neutro
A • 1 + A •B = Distributiva
A • (1 +B) = Elemento Dominante
A • 1 = Elemento Neutro
A
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Lei da Identidade Auxiliar
• Para OR: A+ A •B = A+B
Entradas Saída SaídaA B A+A •B A+B
0 0 0 00 1 1 11 0 1 11 1 1 1
• Para AND: A • (A+B) = A •B
Entradas Saída SaídaA B A • (A+B) A •B0 0 0 00 1 0 01 0 0 01 1 1 1
28
Lei da Identidade Auxiliar
• Para OR: A+ A •B = A+B
A+ A •B = Absorção
A+ A •B + A •B = Distributiva
A+B • (A+ A) = Complemento
A+B • 1 = Elemento Neutro
A+B
• Para AND: A • (A+B) = A •B
A • (A+B) = Distributiva
A • A+ A •B = Complemento
0 + A •B = Elemento Neutro
A •B
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Lei de De Morgan
• Para OR: A+B = A •B
Entradas Saída SaídaA B A+B A •B0 0 1 10 1 0 01 0 0 01 1 0 0
• Para AND: A •B = A+B
Entradas Saída SaídaA B A •B A+B
0 0 1 10 1 1 11 0 1 11 1 0 0
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Lei de De Morgan
• Para OR:
A+B = A •B
A+B + C = A •B • C
• Para AND:
A •B = A+B
A •B • C = A+B + C
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Simplificacao de Circuitos Logicos
• Métodos de simplificação de circuitos:• Aplicação das leis da Álgebra Booleana• Mapa de Karnaugh
• Simplificação do circuito lógico:• Obter circuito lógico equivalente ao original,
com menos portas lógicas ou portas lógicas mais simples
• Minimização do circuito lógico:• Obter circuito lógico equivalente ao original,
com o menor número de portas lógicas possível
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Simplificacao de Circuito usando Leis da Algebra Booleana
• Exemplo:
AB + A(B + C) +B(B + C) = Distributiva
AB + AB + AC +BB +BC = Idempotência
AB + AC +BB +BC = Idempotência
AB + AC +B +BC = Absorção
AB + AC +B = Comutatividade
AB +B + AC = Absorção
B + AC
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Simplificacao de Circuito usando Leis da Algebra Booleana
• Exemplo:
A •B + A • C + A •B • C = De Morgan
(A •B) • (A • C) + A •B • C = De Morgan
(A+B) • (A • C) + A •B • C = De Morgan
(A+B) • (A+ C) + A •B • C = Distributiva
A • A+ A •B + A • C +B • C + A •B • C = Idempotência
A+ A •B + A • C +B • C + A •B • C = Absorção
A+ A • C +B • C + A •B • C = Absorção
A+B • C + A •B • C = Absorção
A+B • C
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Formas Padronizadas de Expressoes Booleanas
• Toda expressão booleana pode ser convertida para formas padronizadas
• Objetivo:• Facilitar a simplificação do circuito
• Formas padronizadas:• Soma de Produtos• Soma de Mintermos• Produto de Somas• Produto de Maxtermos• ...
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Soma de Produtos (SOP)
• Soma de Produtos (Sum-Of-Products):• Expressão booleana é soma (OR) de parcelas• Cada parcela é produto (AND) de sinais de entrada ou seus complementos
• Exemplos:• Expressões na forma SOP:
• A •B + A •B • C
• A •B + A •B • C + A • C
• A •B • C
• A + A •B • C + B • C •D
• Expressões não estão na forma SOP:
• A • (B + C •D)
• (A+B) • (A+ C)
• A •B • C + A •B36
Produtos de Somas (POS)
• Produtos de Somas (Product-Of-Sums):• Expressão booleana é produto (AND) de fatores• Cada fator é soma (OR) de sinais de entrada ou seus complementos
• Exemplos:• Expressões na forma POS:
• (A+B) • (A+B + C)
• (A+B + C) • (C +D + E) • (B + C +D)
• A • (A+B + C)
• A+B + C
• Expressões não estão na forma POS:
• A •B + A •B • C
• (A+B + C) • (A+B)
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Circuito Logico de uma Soma de Produtos
• Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma SOP:• Portas NOT para os sinais de entrada• Uma porta AND para cada parcela:
• Entradas: sinais de entrada ou seus complementos• Saída: produto
• Uma porta OR:• Entradas: produtos• Saída: resultado da expressão booleana
• 2 níveis de lógica
• Exemplo:
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Circuito Logico de um Produto de Somas
• Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma POS:• Portas NOT para os sinais de entrada• Uma porta OR para cada fator:
• Entradas: sinais de entrada ou seus complementos• Saída: soma
• Uma porta AND:• Entradas: somas• Saída: resultado da expressão booleana
• 2 níveis de lógica
• Exemplo:
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Mintermos e Maxtermos
• Dada uma função boolena com n sinais de entrada
• Mintermo:• Corresponde a uma linha da tabela verdade• Produto (AND) dos n sinais de entrada:
• Se sinal é 1, sinal de entrada é usado diretamente• Se sinal é 0, sinal de entrada é complementado
• Maxtermo:• Corresponde a uma linha da tabela verdade• Soma (OR) dos n sinais de entrada:
• Se sinal é 0, sinal de entrada é usado diretamente• Se sinal é 1, sinal de entrada é complementado
40
Exemplo: Mintermos e Maxtermos
Entradas Saída Termos
A B C X Mintermos Maxtermos
0 0 0 1 m0 = A •B • C M0 = A+B + C
0 0 1 0 m1 = A •B • C M1 = A+B + C
0 1 0 1 m2 = A •B • C M2 = A+B + C
0 1 1 1 m3 = A •B • C M3 = A+B + C
1 0 0 0 m4 = A •B • C M4 = A+B + C
1 0 1 0 m5 = A •B • C M5 = A+B + C
1 1 0 1 m6 = A •B • C M6 = A+B + C
1 1 1 1 m7 = A •B • C M7 = A+B + C
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Soma de Mintermos a partir da Tabela Verdade
• Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma SOP:• Expressão booleana:
• Soma (OR) de mintermosdas linhas da tabela verdade em que saída é 1
• Exemplo:
Entradas SaídaA B X
0 0 00 1 1 ⇒ m1 = A •B1 0 1 ⇒ m2 = A •B1 1 0
X = m1 + m2 = A •B + A •B
42
Produto de Maxtermos a partir da Tabela Verdade
• Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma POS:• Expressão booleana:
• Produto (AND) de maxtermosdas linhas da tabela verdade em que saída é 0
• Exemplo:
Entradas SaídaA B X
0 0 0 ⇒ M0 = A+B
0 1 11 0 11 1 0 ⇒ M3 = A+B
X = M0 • M3 = (A+B) • (A+B)
43
Exemplo: Soma de Mintermos e Produto de Maxtermos
Entradas Saída Mintermo MaxtermoA B C X
0 0 0 0 M0
0 0 1 0 M1
0 1 0 0 M2
0 1 1 1 m3
1 0 0 1 m4
1 0 1 0 M5
1 1 0 1 m6
1 1 1 1 m7
X = m3 + m4 + m6 + m7
= A •B • C + A •B • C + A •B • C + A •B • C
X = M0 •M1 •M2 •M5
= (A+B + C) • (A+B + C) • (A+B + C) • (A+B + C)44
Exemplo: SOP e POS a partir da Tabela Verdade
Entradas Saída
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
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Equivalencia de Circuitos: SOP e POS
Entradas Saída
A B X
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
SOP: X = A •B + A •B
POS: X = (A+B) • (A+B)
A •B + A •B?≡ (A+B) • (A+B)
Entradas Auxiliares Saída Auxiliares Saída
A B A •B A •B A •B + A •B A+B A+B (A+B) • (A+B)
0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1 0 0
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Equivalencia de Circuitos: SOP e POS
• SOP: X = A •B + A •B
• POS: X = (A+B) • (A+B)
A •B + A •B?≡ (A+B) • (A+B)
(A+B) • (A+B) = Distributiva
A • A + A •B + B • A + B •B = Complemento
0 + A •B + B • A + 0 = Elemento Neutro
A •B + B • A = Comutatividade
A •B + A •B
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