Lógica

Ciência dos argumentos; tem por

objeto de estudo os argumentos,

procurando elaborar procedimentos

que permitam distinguir os argumentos

válidos daqueles que não são.

Vantagens e utilidade da lógica

Clarificar e analisar o pensamento e a

linguagem;

Assegurar a eficácia demonstrativa do

pensamento;

Garantir a correção formal do raciocínio e

a coerência do discurso,

Definir conceitos, ordenar as noções,

obter conclusões formalmente rigorosas

Verdade/Validade

Matéria de um raciocínio é o conteúdo das

afirmações, aquilo que elas significam e é a

seu respeito que falamos de verdade ou

falsidade.

Forma é o modo como as afirmações são

encadeadas, independentemente da matéria

que possamos exprimir, e é a este respeito

que falamos de validade.

Raciocínio

Três tipos:

a) Dedutivo

b) Indutivo

c) Analógico

Tipos de raciocínio ou argumentação

Dedutivo

Toda mulher gosta de chocolate

Regina é mulher

Logo, Regina gosta de chocolate.

Indutivo

O cobre é condutor de calor

O cobre é um metal

Todo metal é condutor de calor

Falacioso (falácia, sofisma, paralogismo)

Sofisma- intenção de enganar o interlocutor,

paralogismo-erro, equívoco.)

Premissas Conclusão Validade

Verdadeiras Verdadeira Válido

Verdadeiras Falsa Inválido

Falsas Verdadeira Válido

Origem Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de

argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são

válidos daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de

“falácias” ou “sofismas”. Exemplos:

Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira

e morreu com 87 anos.

Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50

anos bebiam água, logo…

Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando

apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu

significado. Exemplos:

“Pássaros comem insetos”, por “Todos os pássaros comem

insetos” ou “Alguns pássaros comem insetos”.

“Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é careca” ou

“Alguns índios não são carecas”

Origem

Para julgar a validade ou não de um argumento, é

necessário que a sentença que os constituem não tenham

mais de um sentido. Segundo Aristóteles, isso é possível se

enunciarmos as sentenças na forma categórica. Exemplos:

Todos os brasileiros são técnicos de futebol.

Nenhum gato sabe latir.

Algumas pessoas gostam de comer fígado.

Existem caubóis que não sabem andar a cavalo.

As sentenças assim formuladas foram

chamadas de proposições categóricas e,

segundo Aristóteles, podem ser de 4 tipos:

Afirmação Universal Todos os atletas são saudáveis

Negação Universal Nenhum atleta é saudável

Afirmação Particular Alguns atletas são saudáveis

ou

Existem atletas saudáveis

Negação Particular Alguns atletas não são saudáveis

ou

Existem atletas não-saudáveis

Tipos de Proposição

Universal Afirmativa (A)

Universal Negativa (E)

Particular Afirmativa (I)

Particular Negativa (O)

Todos os homens são

mortais

Nenhum aluno é

inteligente

Algumas alunas são

extravagantes

Alguns alunos não

gostam de estudar

Tipos de proposições e exemplos:

A: afirmação universal (todo homem é mortal);

E: negação universal (nenhum homem é mortal);

I: afirmação particular (algum homem é mortal);

O: negação particular (algum homem não é mortal).

Relacionamento entre proposições:

A e E são ditos contrários; se a proposição A é

verdadeira então E é falsa;

A e O e também E e I são contraditórios: não podem

ser nem verdadeiros nem falsos conjuntamente;

I e O são sub-contrários: não podem ser ambos

falsos;

I é subalterno de A, e O é subalterno de E; se A é

verdadeira, I também o é, e se E é verdadeira então O

também o é.

Relacionamento entre proposições

A existência de quatro tipos de proposições não

é coincidência: representam as quatro relações

possíveis entre as extensões dos termos gerais;

O matemático Euler representou as quatro

relações lógicas na forma de diagramas de

conjuntos (diagramas de Venn-Euler).

Se S é o termo sujeito e se P é um predicado

então as proposições correspondem aos

diagramas a seguir...

4 relações lógicas de Euler

Proposição A: inclusão total

(todo S é P)

Proposição E: exclusão total

(nenhum S é P)

Proposição I: inclusão parcial de S em P

(algum S é P)

Proposição O: exclusão parcial de S em P

(algum S não é P)

S P

P S

P S

S

P

4 relações lógicas de Euler

1. Proposição A: inclusão total

(todo S é P)

“Todos os atletas são saudáveis”

S

P

2. Proposição E: exclusão total

(nenhum S é P)

“Nenhum atleta é saudável” S P

4 relações lógicas de Euler

3. Proposição I: inclusão parcial de S em P

(algum S é P)

“Alguns atletas são saudáveis”

4. Proposição O: exclusão parcial de S em P

(algum S não é P)

“Alguns atletas não são saudáveis”

P S

P S

Exercício 1

Chamando R o conjunto dos países ricos e de E o

conjunto dos países exportadores de petróleo e

admitindo válido o diagrama abaixo, procure identificar:

a) o conjunto dos países que não são ricos;

b) o conjunto dos países que não são exportadores de

petróleo;

c) o conjunto dos países ricos que são exportadores de

petróleo;

d) o conjunto dos países que são ricos e que não são

exportadores de petróleo;

e) o conjunto dos países que são exportadores de petróleo,

mas não são ricos.

R E

Respostas

R E

b)

E

a)

R

R E

c)

R E

d)

E

e)

R

Exercício 2

Construa diagramas de Euler que

representam as seguintes proposições:

a) Todos os poetas são pobres.

b) Todos os franceses são europeus.

c) Nenhum europeu é asiático.

d) Existem árvores que são verdes.

e) Há livros que não são caros.

Exercício 3

Sendo N o conjunto de todos os seres que

nadam, Construa diagramas de Euler que

representam as seguintes proposições:

a) Todos os patos nadam.

b) Alguns gorilas nadam.

c) Nenhum gato nada.

d) Alguns homens não nadam.

A B

Exercício 4

Sendo A o conjunto das pessoas que moram no Brasil e B o

conjunto dos brasileiros, temos a seguinte representação para a

relação existente entre A e B:

Descreva com suas palavras o que caracteriza cada um dos

conjuntos assinalados a seguir:

A B

a)

R E

b)

B

c)

A

Exercício 5

Sabe-se que “nenhum amigo meu é amigo seu” e

que “alguns amigos dele são seus amigos”, assim,

pode-se afirmar, corretamente:

a) Alguns de meus amigos são amigos dele.

b) Alguns amigos dele são meus amigos.

c) Nenhum amigo meu é amigo dele.

d) Alguns amigos dele não são meus amigos.

e) Nenhum amigo dele é meu amigo.

Exercício 6

Considerando “todo livro é instrutivo” como uma

proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição

necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição

necessariamente verdadeira.

c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição

verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição

proposição necessariamente verdadeira.

Exercício 7

Considerando “todo livro é instrutivo” como uma

proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição

necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição

necessariamente verdadeira.

c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição

verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição

proposição necessariamente verdadeira.

Negação (~)

Dada uma proposição p, sua negação será denotada por

~p (não p).

Se p é verdadeira então ~ p será falsa e vice versa.

Ex: p = Bia está usando tênis preto.

~p = Bia não está usando tênis preto.

p = Esta frase possui cinco palavras.

~p = Esta frase não possui cinco palavras.

Chama-se negação de uma proposição p a proposição

representada por não p cujo valor lógico é a verdade (v) se p é

falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira. Simbolicamente: ~p.

Algumas observações

sobre a negação

A negação de “sempre” é

Algumas observações

sobre a negação

A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

Algumas observações

sobre a negação

A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

A negação de “nunca” é

Algumas observações

sobre a negação

A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

Algumas observações

sobre a negação

A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

A negação de “p e q” é

Algumas observações

sobre a negação

A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

Algumas observações

sobre a negação

A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

A negação de “p ou q” é

Algumas observações

sobre a negação

A negação de “sempre” é “existe uma vez que não”

A negação de “nunca” é “existe uma vez que”

A negação de “p e q” é “~p ou ~q”

A negação de “p ou q” é “~p e ~q”

1. A resposta 2 é 2 ou 3.

a) A resposta é nem 2 nem 3.

b) A resposta não é 2 ou não é 3.

c) A resposta não é 2 e não é 3.

Quais negações das proposições

estão corretas?

1. A resposta 2 é 2 ou 3.

a) A resposta é nem 2 nem 3.

b) A resposta não é 2 ou não é 3.

c) A resposta não é 2 e não é 3.

2. Pepinos são verdes e têm sementes.

a) Pepinos não são verdes e não têm sementes.

b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes.

c) Pepinos são verdes e não têm sementes.

2. Pepinos são verdes e têm sementes.

a) Pepinos não são verdes e não têm sementes.

b) Pepinos não são verdes ou não têm sementes.

c) Pepinos são verdes e não têm sementes.

3. 2 < 7 e 3 é ímpar.

a) 2 > 7 e 3 é par.

b) 2 7 e 3 é par.

c) 2 7 ou 3 é ímpar.

d) 2 7 ou 3 é par.

3. 2 < 7 e 3 é ímpar.

a) 2 > 7 e 3 é par.

b) 2 7 e 3 é par.

c) 2 7 ou 3 é ímpar.

d) 2 7 ou 3 é par.

Quais negações das proposições

estão corretas?

4. Se a comida é boa, então o serviço é excelente.

Escreva a negação das afirmações a seguir:

A comida é boa, mas o serviço é ruim.

5. Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente.

A comida é ruim e o serviço também.

6. Se correr o bicho pega. Assim sendo:

a) Correr é condição necessária para o bicho pegar.

b) O bicho pegar é condição suficiente para correr.

c) Correr é condição necessária para o bicho pegar.

d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar.

e) O bicho pegar é condição necessária e suficiente

para correr.

7. “André vai à missa se, e somente se, Ricardo vai ao

cinema.

Sabe-se qua André não vai à missa, logo:

I – Ricardo vai ao cinema.

II – Nada se pode afirmar sobre Ricardo.

III – Ricardo não vai ao cinema.

a) Apenas I é verdadeira.

b) Apenas II é verdadeira.

c) Apenas III é verdadeira.

d) I e II são verdadeiras.

e) I e III são verdadeiras.

8. João é atleta ou Maria é estudande, então:

a) Se Maria não é estudante, então João não é atleta.

b) Se João não é atleta, então Maria não é estudante.

c) João é atleta e Maria é estudante.

d) Correr é condição suficiente para o bicho pegar.

e) Se Maria não é estudante, então João é atleta.

9. Todos os aprovados foram alunos do PITÁGORAS,

todos os alunos do PITÁGORAS são inteligentes,

pessoas intelgentes não ficam desempregadas, logo:

a) Pelo menos uma pessoa que fez o PITÁGORAS está

desempregada.

b) Alguns desempregados estudaram no PITÁGORAS.

c) As pessoas empregadas foram aprovadas.

d) Pessoas aprovadas não estão desempregadas.

e) Nem todos inteligentes estão empregados.

10. Considerando que todos os Gringles são Jirnes e que

nenhum Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum

Trumps pode ser Gringles é:

a) Necessariamente verdadeira.

b) Verdadeira, mas não necessariamente.

c) Necessariamente falsa.

d) Falsa, mas não necessariamente.

e) Indeterminada.

Lista de exercícios sobre

Operações com Conjuntos.

O silogismo categórico

É uma forma particular de raciocínio

dedutivo, constituída por três proposições

categóricas (que afirmam ou negam algo de

forma absoluta e incondicional):

2 premissas e 1 conclusão.

A conclusão deriva das proposições

(premissas) que apresentam um nexo lógico

explícito.

No silogismo

A conclusão deriva necessariamente das

premissas, pelo que seria contraditório

negar a conclusão, aceitando a verdade

das premissas de que aquela é

consequência necessária.

Três termos:

- Maior (predicado na conclusão)

- Menor (sujeito na conclusão)

- Médio (estabelece o nexo lógico

entre as premissas e aparece em

ambas as premissas, mas não na

conclusão

Duas premissas

Uma conclusão

SILOGISMO

CATEGÓRICO

Regras

Dos termos:

- Três termos

- O termo médio está presente

nas premissas e não parece na

conclusão

- O termo médio está distribuído

pelo menos uma vez

- Nenhum termo pode ter maior

extensão na conclusão que nas

premissas

Das proposições:

- Não ter duas premissas

negativas

- Não pode derivar uma

conclusão negativa de duas

premissas afirmativas

- A conclusão segue sempre

a parte mais fraca

- Não ter duas premissas

particulares

Silogismo Aristóteles tentou sistematizar as regras lógicas e dedicou

atenção especial a um tipo de argumento, com duas proposições

iniciais e uma conclusão. Exemplos:

Premissas:

Alguns alemães são loiros.

Todos os alemães são europeus.

Conclusão:

Alguns europeus são loiros.

Premissas:

Alguns médicos são poliglotas.

Alguns professores são poliglotas.

Conclusão:

Alguns médicos são professores.

Silogismo

Premissas:

Alguns atleticanos não são chatos.

Todos os atleticanos são fanáticos.

Conclusão:

Alguns fanáticos não são chatos.

• Aristóteles classificou os silogismos entre os que são válidos e os

que não são válidos. Exemplo de silogismo que não é válido,

portanto, é um sofisma:

• Premissas:

• Todos os alemães são europeus.

• Alguns alemães são loiros.

• Conclusão:

• Nenhum europeu é loiro.

Todos cães são vegetarianos.

Dálmatas são cães.

Logo, dálmatas são vegetarianos.

Todos cães comem carne.

Nenhum cão é peixe.

Logo, nenhum peixe come carne.

Raciocínios Inválidos

Silogismos e Sofismas

Silogismo: raciocínio formado de três proposições:

premissa maior – premissa menor – conclusão

Pedro é homem. O homem é mortal.: Pedro é mortal

Sofisma: argumento falso, intencionalmente feito para

induzir outrem ao erro.

O cão late. Cão é uma constelação.: A constelação late

Sofisma 1

Deus ajuda quem cedo madruga

Quem cedo madruga, dorme à tarde...

Quem dorme à tarde, não dorme à noite...

Quem não dorme à noite, sai na balada!!!!!!!

Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!!!!

Sofisma 2

Deus é amor.

O amor é cego.

Steve Wonder é cego.

Logo, Steve Wonder é Deus.

Sofisma 3

Disseram-me que eu sou ninguém.

Ninguém é perfeito.

Logo, eu sou perfeito.

Mas só Deus é perfeito.

Portanto, eu sou Deus.

Se Steve Wonder é Deus, eu sou

Steve Wonder!!!!

Meu Deus, eu sou cego!!!

Sofisma 4 Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem

cheios de buracos.

Quanto mais queijo, mais buracos.

Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo.

Assim, quanto mais buracos, menos queijo.

Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais

buracos, menos queijo.

Logo, quanto mais queijo, menos queijo.

Sofisma 5

Toda regra tem exceção.

Isto é uma regra.

Logo, deveria ter exceção.

Portanto, nem toda regra tem exceção.

Sofisma 6

Existem biscoitos feitos de água e sal.

O mar é feito de água e sal.

Logo, o mar é um biscoitão.

Sofisma 7

Quando bebemos, ficamos bêbados.

Quando estamos bêbados, dormimos.

Quando dormimos, não cometemos pecados.

Quando não cometemos pecados, vamos para o Céu.

Então, vamos beber para ir pro Céu!

Sofisma 8 Penso, logo existo.

Loiras burras não pensam, logo, loiras burras não

existem.

Meu amigo diz que não é boiola porque namora uma

loira inteligente.

Se uma loira inteligente namorasse meu amigo ela

seria burra.

Como loiras burras não existem, meu amigo não

namora ninguém.

Logo, meu amigo é boiola mesmo.

Sofisma 9

Hoje em dia, os trabalhadores não

têm tempo pra nada.

Já os vagabundos... têm todo o

tempo do mundo.

Tempo é dinheiro.

Logo, os vagabundos têm mais

dinheiro do que os trabalhadores.

Silogismo

Silogismo Categórico é uma forma de raciocínio

lógico na qual há duas premissas e uma

conclusão distinta destas premissas, sendo todas

proposições categóricas ou singulares.

Termo Médio é o termo que se repete nas duas

premissas mas não aparece na conclusão.

Qual o termo médio da expressão?

Todo cachorro é um mamífero

Todo mamífero é vertebrado

Logo, todo cachorro é vertebrado

Qual é o termo médio?

Resposta: Mamífero

Silogismo

1) Todo silogismo contém somente três termos: maior, médio

e menor;

2) Os termos da conclusão não podem ter extensão maior

que os termos das premissas;

3) O termo médio não pode entrar na conclusão;

4) O termo médio deve ser universal ao menos uma vez;

5) De duas premissas negativas, nada se conclui;

6) De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão

negativa;

7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca;

8) De duas premissas particulares, nada se conclui.

Os raciocínios lógicos ocorrem na forma de seqüências de

proposições geradas por inferências imediatas obtidas da tábua

de oposições.

Um silogismo é um discurso no qual, estando dadas certas

proposições premissas, uma nova proposição conclusão é obtida

necessariamente e unicamente a partir das premissas.

Usualmente os silogismos são apresentados da seguinte forma:

Premissa maior

Premissa menor

Conclusão

O termo menor (S) é o sujeito da conclusão, o termo maior (P) é

o predicado da conclusão, e o termo comum às premissas é o

termo médio (M).

Silogismo

Silogismo Exemplos:

Todos os mamíferos são vertebrados (premissa maior)

Todos os homens são mamíferos (premissa menor)

portanto

Todos os homens são vertebrados (conclusão).

Neste caso o termo menor S é “todos os homens”, o termo

maior P é “vertebrados”, e o termo médio M é “mamíferos”.

Este silogismo tem portanto a forma:

Todas as proposições são do tipo A.

MP

SM

SP

Considerando que há 4 tipos de proposições (A,E,I e O)

então há 43 = 64 silogismos por figura (ver abaixo) , ou

seja 256 silogismos no total;

As figuras do silogismo são:

1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura

Premissa maior MP PM MP PM

Premissa menor SM SM MS MS

Conclusão SP SP SP SP

Silogismo

Nem todos os silogismos são válidos; o estudo da Lógica por

Aristóteles, e posteriormente na idade média, buscou separar os

silogismos válidos, ou seja, aqueles em que a conclusão segue

necessariamente das premissas;

Pode-se deduzir a validade ou não de um silogismo a partir dos

diagramas de Venn-Euler correspondentes;

Exemplo:

Nenhum peixe (M) é mamífero (P) <tipo E>;

Todos os robalos (S) são peixes (M) <tipo A>;

portanto

Nenhum robalo (S) é mamífero (P) <tipo E>.

Ou, esquematicamente:

S

M

P

MP<E>

SM<A>

SP<E>

Silogismo

Exemplo:

Todos os animais venenosos (M) são perigosos (P) <tipo A>;

Algumas serpentes (S) são animais venenosos (M) <tipo I>;

portanto

Algumas serpentes (S) são perigosas (P) <tipo I>.

Esquematicamente:

S M P

MP<A>

SM<I>

SP<I>

Silogismo

Em alguns casos os diagramas de Venn-Euler apresentam

o inconveniente de admitir, para um mesmo silogismo,

várias representações geométricas;

Exemplo: MP<E>

SM<I>

SP<O>

S M P

S M P

S M P

Silogismo

Verdade e validade (ou correção):

Um silogismo é válido (correto) se e somente se (sse) a verdade da conclusão segue necessariamente da verdade das premissas;

Os silogismos portanto “transmitem” a verdade das premissas à conclusão;

Esta definição exclui a possibilidade de que um silogismo válido possa ter premissas verdadeiras e conclusão falsa;

Isto não exclui a possibilidade de que a conclusão de um silogismo válido seja falsa; neste caso alguma das premissas é falsa.

Exemplo:

Todos os animais marinhos são peixes;

Todas as baleias são animais marinhos;

portanto

Todas as baleias são peixes.

Silogismo

1) Indique a forma do silogismo (termos, figura, diagrama), e

indique se mesmo é válido ou não:

a) Todos os gregos são homens;

Todos os atenienses são gregos;

Todos os atenienses são homens.

b) Todos os socialistas são marxistas;

Alguns governantes são marxistas;

Alguns governantes são socialistas.

c) Todas as ações penais são atos cruéis;

Todos os processos por homicídio são ações penais;

Todos os processos por homicídio são atos cruéis.

Exercícios sobre lógica aristotélica

d) Alguns papagaios não são animais nocivos;

Todos os papagaios são animais de estimação;

Nenhum animal de estimação é nocivo.

e) Nenhum ator dramático é um homem feliz;

Alguns comediantes não são homens felizes;

Alguns comediantes não são atores dramáticos.

f) Todos os coelhos são corredores muito velozes;

Alguns cavalos são corredores muito velozes;

Alguns cavalos são coelhos.

Exercícios sobre lógica aristotélica

2) Escreva na forma típica, indique termos, figura, diagrama, e

verifique a validade:

a) Nenhum submarino de propulsão nuclear é um navio

mercante, assim nenhum vaso de guerra é navio mercante,

visto que todos os submarinos de propulsão nuclear são

vasos de guerra;

b) Alguns conservadores não são defensores de tarifas

elevadas, porque todos os defensores de tarifas elevadas

são republicanos, e alguns republicanos não são

conservadores;

c) Nenhum indivíduo obstinado que jamais admite um erro é

bom professor; portanto, como algumas pessoas bem

informadas são indivíduos obstinados que nunca admitem

um erro, alguns bons professores não são pessoas bem

informadas.

Exercícios sobre lógica aristotélica