3 ––redesredesde 1ª de 1ª...

Octávio Páscoa Dias 51

Curso de Engenharia Electrónica e de Computadores - Electrónica III

3 – Redes de 1ª ordem3 – Redes de 1ª ordem

n Para determinar a resposta em frequência de um elevado número de circuitos, é de grande utilidade conhecerem-se as características da respostaem frequência das redes de 1ª ordem, também designadas por redes com constante simples ( sigle-time-constant – STC).

n Uma rede de 1ª ordem é constituída, ou pode ser reduzida a um únicoelemento reactivo (condensador ou bobina), e a uma resistência, como se ilustra nas figuras 3.1 (a) e (b).

Figura 3.1 – Redes de 1ª ordem (STC).



3 – Redes de 1ª ordem (cont.)3 – Redes de 1ª ordem (cont.)

n Numa rede de 1ª ordem constituída por uma bobina de indutância, L, e uma resistência, R, a constante de tempo, τ, é dada por,

RL=τ

e numa rede de 1ª ordem formada por um condensador de capacidade, C, e uma resistência, R, a constante de tempo, τ, pode ser determinada pelaexpressão,

RC=τ



Exercício 3.1

Reduza o circuito da figura 3.2 a uma rede de 1ª ordem e determine a constante de tempo.

Considere R1=R2=R4=10 Ω, R3=5 Ω e C=5 µF

Soluções: τ = 25×10-6 s

Figura 3.2 – Circuito para o exercício 3.1.




Exercício 3.2

Determine a constante de tempo do circuito da figura 3.3.

Considere C1=C2=5 µF, R=5 Ω .

Soluções: τ = 50×10-6 s






Exercício 3.3

Considere o circuito da figura 3.4 e mostre que,

))//(

)//()//(

()(21

21

21

1

21)(

)(

21

2

2121

21

CCCC

CCIo ZRR

RRCC

CRRZ

Z

RRRvv

++

+

+×

++

+×

+=




n As redes de 1ª ordem podem ser classificadas em dois grupos,a) Redes passa-baixo (LP);b) Redes passa-alto (HP).

Cada um destes grupos apresenta respostas distintas para um mesmo sinalde entrada.

A tarefa de determinar se uma rede é LP ou HP pode ser efectuada de diversos modos. Uma forma fácil de identificar o tipo da rede, consiste emanalisar a sua resposta no domínio da frequência.

Por exemplo, uma rede LP deixa passar os sinais com frequências baixas(desde dc), e atenua sinais com frequência mais elevada. De facto, uma redeLP apresenta transmissão zero em ω=∞.

3.1 – Classificação das redes de 1ª ordem3.1 – Classificação das redes de 1ª ordem



n Deste modo, para identificar o tipo da rede de 1ª ordem, pode ser feitoum teste com ω=0 e outro com ω=∞.

n Em ω=0 os condensadores podem ser modelados por um circuito aberto, dado que,

3.1 – Classificação das redes de 1ª ordem (cont.)3.1 – Classificação das redes de 1ª ordem (cont.)

e as bobinas podem ser modeladas por um curto-circuito, uma vez que,

Assim, para um sinal de entrada com ω=0, n se o sinal de saída é finito, a rede é LP;n se o sinal de saída é zero a rede é HP.

∞→⇒==

cc ZCj

Z0

1

ωω

00

=⇒== LL ZLjZ

ωω



Em ω=∞ os condensadores podem ser modelados por um curto-circuito, pois,

e as bobinas podem ser modeladas por um circuito aberto, dado que,

Deste modo, para um sinal de entrada com ω=∞, n se o sinal de saída é finito, a rede é HP;n se o sinal de saída é zero a rede é LP.

01

=⇒=∞→

cc ZCj

Zωω

∞→⇒=∞→ LL ZLjZ

ωω

A tabela 3.1, mostra os resultados obtidos para estes dois tipos de testes (ω=0 e ω=∞).




Tabela 3.1 – Identificação do tipo de rede de 1ª ordem.

circuitocurtoL

abertocircuitoC

−→

→0=ω

abertocircuitoL

circuitocurtoC

→

−→

finitasaída

nulasaída∞=ω finitasaída

nulasaída




As figuras 3.5 (a) a 3.5 (f) mostram exemplos de redes LP de 1ª ordem.

Figura 3.5 – Redes LP de 1ª ordem.




As figuras 3.6 (a) a 3.6 (f) ilustram exemplos de redes HP de 1ª ordem.

Figura 3.6 – Redes HP de 1ª ordem.




Exercício 3.4

Determine as expressões para as constantes de tempo dos circuitos representados nas figuras 3.7 (a) e (b).

Soluções:21

2121

////

);//

)RRLL

bR

LLa == ττ





n As redes de 1ª ordem, com interesse para o presente estudo, podem ser modeladas como redes lineares de dois acessos (figura 3.8);

)(sT

)(sVi )(sVo

n A Função de Transfência, T(s), de uma rede é a razão entre a tensão de saída, Vo(s), e a tensão de entrada, Vi(s).

)()(

)(sVsV

sTi

O=

3.2 – Resposta em frequência das redes de 1ª ordem3.2 – Resposta em frequência das redes de 1ª ordem

Figura 3.8 – Rede linear de dois acessos.



3.2 – Resposta em frequência das redes de 1ª ordem (cont.)3.2 – Resposta em frequência das redes de 1ª ordem (cont.)

Redes LPRedes LP

A função de transferência, T(s), de uma rede LP de 1ª ordem, pode ser escrita na forma,

ou para as frequências físicas, s=jω,

onde,n k representa a amplitude da função de transferência para ω=0;n ω0=1/τ sendo τ a constante de tempo da rede.

0

0

0

1)()(

ωω

ωs

ksT

sk

sT+

=⇒+

=

00

1)(

1ωω

ω

ωω

j

kjT

jk

+=⇒

+




n A amplitude da resposta da rede é dada pela expressão,

2

0

)(1)(

ωω

ω+

=k

jT

n A fase é dada pela diferença entre os argumentos do númerador e do denominador de T(s),

)1()()(0

11

ωω

ω jtgktg +−=Φ −−

Dado que k é um real positivo,)()(

0

1

ωω

ω −−=Φ tg

)rdenominadoarg()numeradorarg()( −=Φ ωisto é,



)(log20 ωjT

klog20

01,0 ω 0ω 010ω ω

BW

dBk 20log20 −

n A figura 3.9 mostra o esboço da amplitude da resposta em função dafrequência (diagrama de Bode da amplitude) para uma rede LP de 1ª ordem. Ambos os eixos estão graduados em escalas logarítmicas.

Figura 3.9 – Amplitude da resposta uma rede LP de 1ª ordem, em função da frequência.




n As assímptotas das baixa e alta frequências podem ser determinadas pelaexpressão,

2

0

)(1)(

ωω

ω+

=k

jT

ω << ω0

kjTkjTdB

log20)()( =⇒= ωω

ω =ω0

dBkjTk

jTdB

3log20)(2

)( −=⇒= ωω

assímptota da baixa frequência,




ω >> ω0

dBkkjTk

jTdB

20log2010

log20log20)()(0

0

0

−=−=⇒=ωω

ω

ωω

ω

n Para analisar o comportamento de fase da rede LP de 1ª ordem, utiliza-se a expressão,

)()(0

1

ωω

ω −−=Φ tg

assímptota da alta frequência,seja ω =10ω0




Deste modo, para,

º90)()(

º90º3,84)10(10

)(10

º45)1()(

º0º7,5)1,0(1,0

)(1,0

1

0

1

1

0

010

1

0

010

1

0

010

−=∞−=∞

−=Φ⇒∞=

−≅−=−=−=Φ⇒=

−=−=−=Φ⇒=

≅−=−=−=Φ⇒=

−−

−−

−−

−−

tgtg

tgtg

tgtg

tgtg

ωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω

A figura 3.10 mostra o comportamento da fase da resposta da rede LP de 1ª ordem, em função da frequência (diagrama de Bode da fase), que ilustra o desfasamento entre os sinais de entrada e de saída, da rede.




01,0 ω 0ω 010ω ω)(ωΦ

Figura 3.10 – Comportamento da fase da resposta, em função da frequência, de uma rede LP de 1ª ordem.




Redes HPRedes HP

A função de transferência, T(s), de uma rede HP de 1ª ordem, pode ser expressa por,

ou para as frequências físicas, s=jω,

onde,n k representa a amplitude da função de transferência para ω→∞;n ω0=1/τ , em que τ é a constante de tempo da rede.

s

ksT

sks

sT00 1

)()(ωω +

=⇒+

=

ωω

ω

ωω

ω00 1

)(1

)(j

kjT

j

kjT

−=⇒

+=




n A amplitude da resposta da rede é dada pela expressão,

20 )(1)(

ωω

ω+

=k

jT

n A fase é dada pela diferença entre os argumentos do númerador e do denominador de T(s),

)1()()( 011

ωω

ω jtgktg −−=Φ −−

Dado que k é um real positivo,

)()()()( 0101

ωω

ωωω

ω −− =Φ⇒−−=Φ tgtg

)rdenominadoarg()numeradorarg()( −=Φ ωisto é,




ω

dBk 20log20 −

klog20

)(log20 ωjT

01,0 ω 010ω0ω

décadadBouoitavadB /20/6 ++

n A figura 3.11 mostra o esboço da amplitude da resposta, em função dafrequência (diagrama de Bode da amplitude), para uma rede HP de 1ª ordem.

Figura 3.11 – Amplitude da resposta de uma rede HP de 1ª ordem, em função da frequência.




n As assímptotas das baixa e alta frequências podem ser determinadas pelaexpressão,

ω >> ω0

kjTkjTdB

log20)()( =⇒= ωω

ω =ω0

dBkjTk

jTdB

3log20)(2

)( −=⇒= ωω

20 )(1)(

ωω

ω+

=k

jT

assímptota da alta frequência,




ω << ω0

dBkk

kjTk

jTdB

20log2010log20log20

1,0log20log20)()(

0

0

0

−=−

=−=⇒=ω

ωω

ωω

ω

assímptota da baixa frequência,para ω =0,1ω0

para ω =0,01ω0

dBkk

kjTk

jTdB

40log2010log20log20

01,0log20log20)()(

2

0

0

0

−=−

=−=⇒=ω

ωω

ωω

ω




n Para analisar o comportamento de fase da rede HP de 1ª ordem, utiliza-se a expressão,

)( 01

ωω−tg

e assim,

º0)0()(

º0º7,5)1,0(10

)(10

º45)1()(

º90º28,84)10(1,0

)(1,0

101

1

0

010

1

0

010

1

0

010

==∞

=Φ⇒∞=

≅=−==Φ⇒=

===Φ⇒=

≅===Φ⇒=

−−

−−

−−

−−

tgtg

tgtg

tgtg

tgtg

ωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω

ωω

ωωω




A figura 3.12 mostra o comportamento da fase da resposta da rede LP de 1ª ordem, em função da frequência (diagrama de Bode da fase) que ilustra o desfasamento entre os sinais de entrada e de saída, da rede.

01,0 ω 0ω 010ω ω

)(ωΦ

Figura 3.12 – Comportamento da fase da resposta, em função da frequência, de uma rede HP de 1ª ordem.




3.2 – Resposta em frequência das redes de 1ª ordem (revisão – cont.)3.2 – Resposta em frequência das redes de 1ª ordem (revisão – cont.)

Tomando com exemplo uma rede LP, a sua largura de banda é limitada pelafrequência de queda de 3 dB, f0, pelo facto dos sinais com essa frequência, entregarem à carga, apenas 50% da potência que os sinais de frequênciainferior a f0 entregam. De facto,


L

oo R

VP

2

=

L

ivo R

VAP LF

LF

2

=

f < f0

onde,AvLF é o ganho da rede LP na baixas frequências;Vo é tensão à saída da rede; RL é a resistência de carga; Vi é a tensão presente na entrada da rede;PoLF é a potência entregue à carga , RL, no domínio das baixas frequências.




L

iv

L

iv

L

ivo R

VA

R

VA

R

VAP LFLFLF

f

2222

5,0707,0707,0

0×==

×=

f = f0

dado que,

)707,0log(203 =− dB

isto é,

LFf oo PP 5,00

=

onde,Pof0 é a potência entregue à carga RL para f=f0.



Exercício 3.5

Considere o circuito da figura 3.13 e determine,

a) se a rede é do tipo LP ou HP;

b) a frequência de queda de 3 dB (f3dB);

c) a transmissão em dc;

d) a transmissão em f=2 MHz.

Soluções: a) LP; b) 318 kHz; c) -6 dB; d) -22 dB





Exercício 3.6

Considere o circuito da figura 3.14,

a) identifique o tipo de rede;

b) determine a sua função de transferência, T(s);

c) para R= 10 kΩ, determine o valor dos condensadores, C1 e C2, para que o ganho de tensão em alta

frequência tenha o valor de 0,5, e a frequência de queda de 3 dB esteja localizada em ω0= 10 rad/s.

Soluções: .5);]

)(1[

)();) 21

21

21

1 FCCc

RCCs

sCC

CsTbHPa µ==

++

×+

=





Exercício 3.7

O circuito da figura 3.15 representa um amplificador com acoplamento capacitivo,

a) determine o seu ganho de tensão em alta frequência;

b) determine a frequência de queda de 3 dB, f0;

c) determine o ganho, em dB, do amplificador à frequência de f=1 Hz.

Soluções: a) 40 dB; b) 15,9 Hz; c) 16 dB.



3 ––redesredesde 1ª de 1ª...

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