2º unidade - faculdades integradas simonsen · vamos determinar os cinco primeiros termos da...
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2º UnidadeCapítulo VI
Progressões_____________________________________________________________________3
Capítulo VIISemelhança de Triângulos__________________________________________________________10
Capítulo VIIITrigonometria no Triângulo Retângulo_________________________________________________16
Capítulo IXFiguras Planas___________________________________________________________________26
Capítulo X
Introdução à Estatística_____________________________________________________________39
Questões de ENEM e Vestibulares__________________________________________________48
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Organização: Apoio:
Determinação De Uma SequênciaOs elementos de uma sequência podem ser determinados através de uma lei de
formação.Exemplo 1
Vamos determinar os cinco primeiros termos da sequência definida por an = 3n² + 2, n ∈ ℕ*. an representa o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência, onde n = 1, 2, 3.
Por esse motivo, an é chamado termo geral da sequência.
Atribuindo valores permitidos para n, encontramos os termos procurados:
n = 1 ⇒ a1 = 3 . 1² + 2 ⇒ a1 = 5
n = 2 ⇒ a2 = 3 . 2² + 2 ⇒ a2 = 14
n = 3 ⇒ a3 = 3 . 3² + 2 ⇒ a3 = 29
n = 4 ⇒ a4 = 3 . 4² + 2 ⇒ a4 = 50
n = 5 ⇒ a5 = 3 . 5² + 2 ⇒ a5 = 77
Assim, a sequência procurada é (5, 14, 29, 50, 77, ...)
Exemplo 2Consideremos a sequência definida por an = 3n – 16, n ∈ ℕ*. Podemos descobrir o
valor de a5 + a6:
a5 = 3 . 5 – 16 = -1 e a6 = 3 . 6 – 16 = 2
Assim, a5 + a6 = -1 + 2 = 1.
Se quisermos saber se o número 113 pertence à sequência, devemos substituir an por 113 e verificar se a equação obtida tem solução natural:
113 = 3n – 16 ⇒ 3n = 129 ⇒ n = 43
Concluímos, então, que o número 113 pertence à sequência e ocupa a 43ª posição.
Outra maneira de determinarmos os elementos de uma sequência é através da lei de
.
.
.
3
Capítulo VI
recorrência. Essa lei nos permite encontrar um termo qualquer da sequência a partir do termo anterior.
Exemplo 3Vamos construir a sequência definida pelas relações:
Determinaremos o 2º termo a partir do 1º; o 3º a partir do 2º, e assim por diante. Para isso, basta atribuirmos valores para n em (I):
n = 1 ⇒ a2 = a1 + 2 ⇒ a2 = 5 + 2 ⇒ a2 = 7
n = 2 ⇒ a3 = a2 + 2 ⇒ a3 = 7 + 2 ⇒ a3 = 9
n = 3 ⇒ a4 = a3 + 2 ⇒ a4 = 9 + 2 ⇒ a4 = 11
n = 4 ⇒ a5 = a4 + 2 ⇒ a5 = 11 + 2 ⇒ a5 = 13
Assim, a sequência procurada é (5, 7, 9, 11, 13, …).
Progressão AritméticaObserve a seguinte sequência:
(4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...)Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa sequência e seu antecedente
é sempre igual a 3:7 – 4 = 3; 10 – 7 = 3; 13 – 10 = 3; 16 – 13 = 3; 19 – 16 = 3; 22 – 19 = 3, ...
Podemos observar ainda que, considerando três termos da sequência, o termo central é dado pela média aritmética entre os outros dois termos:
(a1, a2, a3) ⇒ (4, 7, 10) → Temos: 7= 4102
(a3, a4, a5) ⇒ (10, 13, 16) → Temos: 13=10162
(a5, a6, a7) ⇒ (16, 19, 22) → Temos: 19=16222
Ou, ainda, o termo central também é dado pela média aritmética dos termos equidistantes a ele:
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) ⇒ (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22) → Temos: 10= 4162 , 13=719
2 ,
13=4212 , 16=1022
2 .
a1 = 5
an+1
= an + 2, n ∈ ℕ* (I) a
n+1 = a
n + 2
significa que o sucessor (a
n+1) de
um elemento é igual ao antecessor (a
n) mais 2
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Capítulo VI
Podemos definir uma Progressão Aritmética (P.A.) como uma sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada razão da P.A. e é indicada por r.Vejamos alguns exemplos:
1. Na P.A. (3, 6, 9, 12, …) temos r = 3.
2. Na P.A. −12
,−1,−32
,−2, ... temos r = −12 .
3. Na P.A. (-6, -1, 4, 9, …) temos r = 5.4. Na P.A. (5, 5, 5, 5, …) temos r = 0.5. Na P.A. (23, 20, 17, 14, …) temos r = -3.
De acordo com o sinal da razão, podemos classificar as progressões aritméticas da seguinte forma:
a) Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente, como nos exemplos 1 e 3.b) Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente, como nos exemplos 2 e 5.c) Quando r = 0, todos os termos da P.A. são iguais; nesse caso, dizemos que ela é
constante, como no exemplo 4.
Termo Geral da P.A.Pretendemos encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer da
P.A., conhecendo apenas o 1º termo e a razão.Isso é possível graças à obediência dos termos de uma P.A. a uma regra especial de
formação. Temos:
• a2 – a1 = r ⇒ a2 = a1 + r
• a3 – a2 = r ⇒ a3 = a2 + r ⇒ a3 = a1 + 2r
• a4 – a3 = r ⇒ a4 = a3 + r ⇒ a4 = a1 + 3rDe modo geral, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.A., permite-nos conhecer qualquer termo da P.A. em função de a1 e r. Assim, por exemplo, podemos escrever: a9 = a1 + 8r; a15 = a1 + 14r; a73 = a1 + 72r, e assim por diante.
Exemplo 1Vamos calcular o 20º termo da P.A. (26, 31, 36, 41, …):
Sabemos que a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5.
.
.
.
5
an = a1 + (n-1)r
Capítulo VI
Utilizando a expressão do termo geral, podemos escrever:
a20 = a1 + 19r ⇒ a20 = 26 + 19 . 5 ⇒ a20 = 121
Exemplo 2Vamos determinar a P.A. que possui as seguintes características: o 10º termo vale 16
e a soma do 5º com o 9º termo é igual a 2:
De acordo com o enunciado, temos:
a10 = 16 a1 + 9r = 16 a1 + 9r = 16
a5 + a9 = 2 (a1 + 4r)+(a1 + 8r) = 2 2a1 + 12r = 2
Resolvendo o sistema, segue que r = 5 e a1 = -29.
Assim, a P.A. pedida é (-29, -24, -19, -14, …).
Exemplo 3Vamos encontrar o primeiro termo negativo da P.A. (63, 59, 55, 51, ...)
Sabemos que a1 = 63 e r = -4
O temo geral da P.A. é an = a1 + (n-1)r
Então: an = 63 + (n-1)(-4) ⇒ an = 63 -4n + 4 ⇒ an = 67 – 4n
Agora temos condição de descobrir o 1º termo negativo da P.A.
Façamos an < 0, isto é, 67 – 4n < 0 ⇒ n >674 ⇒ n > 16,75.
Como n pertence aos naturais, concluímos que o 1º termo negativo da P.A. é o 17º, cujo valor é a17 = 67 – 4 . 17 ⇒ a17 = -1.
Exemplo 4Determinemos x de modo que a sequência (x+5, 4x – 1, x² – 1) seja uma P.A.:
Utilizando a propriedade da média aritmética de três termos consecutivos, podemos escrever:
4x−1=x5x2−12 ⇒ 8x – 2 = x² + x + 4 ⇒ x² – 7x + 6 = 0.
As raízes dessa equação são x = 1 e x = 6.
Podemos verificar que, para x = 1, a P.A. é (6, 3, 0) e, para x = 6, a P.A. é (11, 23, 35)
Soma dos n Primeiros Termos de uma P.A.Reza a lenda que, em 1787, o diretor de uma escola alemã chamado Büttner pediu aos
seus alunos que somassem os números inteiros de um a cem, pois a turma estava fazendo muita bagunça. O diretor mal havia enunciado o problema e um garoto de apenas 10 anos de nome Johann Carl Friedrich Gauss (que futuramente seria conhecido como príncipe dos matemáticos e considerado por muitos como o maior gênio da Matemática) já havia lhe
⇔ ⇔
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Capítulo VI
apresentado uma resposta: 5.050. Büttner ficou descrente quanto à sua resposta tão rápida e só pode ter certeza de sua verossimilhança quando os outros alunos depois de muito tempo, após terem feito 1 + 2 + 3 + 4 + …. + 99 + 100, chegaram à mesma conclusão que Gauss. Ao final da aula, ao ser perguntado sobre seu método para realizar esta tarefa percebeu-se que este brilhante menino havia descoberto a soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Está curioso para saber como raciocinou Gauss? Você verá que o seu raciocínio foi bem simples. Acompanhe:
Gauss simplesmente percebeu que a soma dos pares equidistantes das pontas 1 e 100, 2 e 99, 3 e 98, ..., é sempre igual a 101 e, como são 50 pares, bastaria calcular 50 x 101. Assunto encerrado!
Trocando em miúdos, Gauss somou o primeiro com o último termo dessa sequência
(101 = 1 + 100) e multiplicou o resultado pela metade do número de termos 50=1002 .
A partir daí, deduz-se a seguinte fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma P.A.:
ExemploCalculemos a soma dos dez primeiros termos da P.A. (38, 42, 46, …):
Sabemos que a1 = 38 e r = 4.
Precisamos determinar o 10º termo da P.A.:
a10 = a1 + 9r ⇒ a10 = 38 + 9 . 4 ⇒ a10 = 74
Assim, a soma dos dez primeiros termos da P.A. é:
S10=a1a n.10
2⇒S 10=3874.5=560
Progressão GeométricaObserve a sequência: (3, 6, 12, 24, 48, ...)Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa sequência pelo termo antecedente, o
resultado é sempre igual a 2: a 2
a 1=6
3=2 ;
a 3
a 2=12
6=2 ;
a 4
a 3=24
12=2 , e assim por diante.
Temos também que, considerando três termos consecutivos dessa sequência, o quadrado do termo central é igual ao produto dos outros dois. Dizemos que o termo central é a média geométrica dos extremos.
Assim, temos:(a1, a2, a3) ⇔ (3, 6, 12) e 6² = 3 . 12
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Sn=a1an. n
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Capítulo VI
(a2, a3, a4) ⇔ (6, 12, 24) e 12² = 6 . 24Analogamente a uma P.A., a idéia da média geométrica pode ser estendida aos termos
equidistantes do termo central:(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) ⇔ (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192) → Temos:12² = 3 . 48; 24² = 6 .
96; 24² = 3 . 192Portanto, podemos definir a Progressão Geométrica (P.G.) como uma sequência de
números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada razão da P.G. e é indicada por q.Vejamos alguns exemplos:
(2, 6, 18, 54, …) é uma P.G. de razão q = 3(-5, 15, -45, 135, …) é uma P.G. de razão q = -3
(20, 10, 5,52 , …) é uma P.G. de razão q =
12
(4, -4, 4, -4, …) é uma P.G. de razão q = -1Quando q < 0, como nos exemplos 2 e 4, dizemos que a P.G. é alternada ou oscilante.
Termo Geral da P.G.Vamos encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer da P.G.
conhecendo apenas o 1º termo (a1) e a razão (q).Isso é possível graças à obediência dos termos de uma P.G. a uma lei especial de
formação:Seja (a1, a2, a3, …, an) uma P.G. de razão q. Temos:
•a 2
a 1=q⇒a 2=a 1⋅q
•a3
a2=q⇒a 3=a 2⋅q⇒a 3=a1⋅q2
•a 4
a 3=q⇒a 4=a3⋅q⇒a 4=a 1⋅q 3
⋮
De modo geral, o termo an, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:
Essa expressão, conhecida como fórmula do termo geral da P.G., permite-nos conhecer qualquer termo da P.G. em função do 1º termo (a1) e da razão (q). Assim, temos: a6 = a1 . q5; a11 = a1 . q10; a75 = a1 . Q74; e assim por diante.
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an = a1 . qn-1
Capítulo VI
Exemplo 1
Vamos determinar o 10º termo da P.G. 13
, 1,3,9 , ... :
Sabemos que a 1=13 e q = 3.
Assim, pela expressão do termo geral, podemos escrever:
a10 = a1 . q9 ⇒ a10 = 13 . 39 ⇒ a10 = 38 ⇒ a10 = 6.561
Exemplo 2
Numa P.G., o 4º termo é igual a 32 e o 1º termo é igual a12 . Vamos determinar a
razão da P.G. e, em seguida, obter seu 8º termo:
Como a4 = a1 . q3, vem:
32 =12 . q³ ⇒ q³ = 64 ⇒ q = 4
Usando novamente a expressão do termo geral, determinemos o 8º termo:
a8 = a1 . q7 ⇒ a8 =12 . 47 ⇒ a8 =
12 . (2²)7 ⇒ a8 =
214
2 ⇒ a8 = 213 = 8.192
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Capítulo VI
Congruência de Triângulos
Dois triângulos serão congruentes se os lados e os ângulos correspondentes são congruentes.
Lembremos que dois segmentos ou dois ângulos são congruentes se tem a mesma medida.
Informalmente, podemos dizer que duas figuras planas, em particular dois triângulos, são congruentes se um deles puder ser deslocado, sem alterar as suas medidas nem a sua forma, até coincidir com o outro.
No caso da comparação entre dois triângulos, para verificarmos se eles são congruentes não é necessário saber a medida de todos os seus elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Daí nasceu os casos de congruência (L.L.L., L.A.L., A.L.A., L.A.Ao.).
Resumindo, em dois triângulos quaisquer, eles serão congruentes se ambos:
• Possuírem três lados congruentes, assim os três ângulos, consequentemente, também serão (caso L.L.L.).
• Possuírem dois lados e o ângulo por eles formados congruentes, assim o terceiro lado e os outros dois ângulos também serão (caso L.A.L.).
• Possuírem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado congruentes, assim, consequentemente, os outros dois lados e o outro ângulo também serão (caso A.L.A.).
• Possuírem um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado congruentes, assim, o outro ângulo e os outros dois lados também serão (caso L.A.Ao.).
Responda rápido: Qual a razão entre os lados correspondentes de dois triângulos congruentes?
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Capítulo VII
Exemplo 1Pelo caso L.A.L., ABC DEF (Lê-se: o triângulo ABC é congruente ao triângulo△ ≅ △
DEF), pois AB ≅ DE , AC ≅ DF e A ≅ D
Exemplo 2Pelo caso A.L.A., ABC DEF, pois △ ≅ △ BC ≅ EF , B ≅ E e C ≅ F
Exemplo 3Pelo caso L.L.L., ABC DEF, pois △ ≅ △ AB ≅ DE , AC ≅ DF e BC ≅ EF
Exemplo 4Pelo caso L.A.Ao., ABC DEF, pois △ ≅ △ BC ≅ EF , B ≅ E e A ≅ D
A
B C
80º1,8 cm 2,2 cm
D
E F
80º1,8 cm 2,2 cm
A
B C60º
3 cm E F50º 60º
3 cm50º
D
A
B C
2 cm 3 cm
D
E F
2 cm 3 cm
4 cm 4 cm
A
B C45º
5 cm E F
100º
5 cm
100º
D
45º
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Capítulo VII
Tales e QuéopsO filosofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga, por volta
do ano 585 a. C.Tales de Mileto passava grande parte do
tempo viajando, como era comum aos sábios daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo faraó Amásis por ter medido a altura da pirâmide de Quéops sem precisar escalá-la.
Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que no momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base.
A altura da piramide é a distancia do vértice V à base. Observe a figura abaixo: a altura é a medida do segmento VH .
Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-se em alguns fatos:1. Quando dois triângulos tem os ângulos iguais, então seus lados correspondentes
formam uma proporção.2. Os raios solares são paralelos.3. Já que os raios solares são paralelos, então os ângulos de incidência desses
raios solares num mesmo instante tem a mesma medida.Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da base mais o
comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginou também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar.
Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles um ângulo reto e um ângulo de mesma medida (ângulo de incidência do raio solar). Nesse caso, Tales, usando seus conhecimentos de semelhança de triângulos, foi capaz de calcular a altura da pirâmide.
A Semelhança entre os TriângulosImagine que você seja um fotógrafo e um cliente seu lhe pediu para ampliar uma foto.
Como você faria a ampliação sem distorcer a imagem? Bom, se você não tiver conhecimentos
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Capítulo VII
de semelhança de figuras planas certamente não terá como realizar esse trabalho, daí terá que procurar outro emprego.
Faça a medição dos lados dos triângulos abaixo com uma régua, e se tiver um transferidor, calcule os seus ângulos:
Qual é a sua conclusão a partir das medições? O que dizer quanto aos seus lados e ângulos? Você deve ter percebido que os lados dos triângulos são proporcionais e os ângulos são congruentes. Pois bem, esses dois triângulos são semelhantes! E é exatamente essa característica que determina a semelhança entre duas figuras planas quaisquer, em particular os triângulos, o fato dos seus lados serem proporcionais e seus ângulos congruentes.
A partir das medições, você deve ter concluído que AB=BC = 1,5 cm, BC = 2,1 cm,DE =EF = 4,5 cm, DF = 6,3 cm e A=C=D=F = 45º e B=E = 90º.
Podemos concluir, a partir desses valores, que os lados do triângulo DEF é três vezes maior que os lados do triângulo ABC, pois a razão (que recebe o nome de razão de
semelhança) entre os lados correspondentes vale 3, ou seja,ABDE
= BCEF
= ACDF
=3 . Lê-se: AB
está para DE assim como BC está para EF , BC está para EF assim como AC está para DFou, então, AB está para DE assim como AC está para DF
Portanto, para ampliar uma foto, basta usar seus conhecimentos de semelhança de figuras e multiplicar as dimensões da foto (comprimento e altura) pela razão de semelhança que desejar.
Podemos formalizar uma definição para semelhança de triângulos da seguinte maneira: Dois triângulos ABC e DEF são semelhantes quando tem os ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais e denotamos por: △ABC ~ DEF△
A
B C
D
E F
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Enquanto que na congruência de triângulos a razão de semelhança vale sempre 1, na semelhança de triângulos essa razão pode variar.
Capítulo VII
Critérios de SemelhançaVimos que, se dois triângulos tem os ângulos respectivamente congruentes, eles tem
os lados respectivamente proporcionais. Portanto, eles são triângulos semelhantes.Na verdade, para saber se dois triângulos são semelhantes, não é preciso verificar se
eles tem os três ângulos respectivamente congruente e se os lados correspondentes são proporcionais, pois existem, também, certos casos que estabelecemos para esse reconhecimento. Vejamos quais são:
• Caso AA (Ângulo-Ângulo)Nos triângulos, a soma dos ângulos internos é 180º. Assim, se dois ângulos forem
respectivamente congruentes, o mesmo acontecerá com o ângulo restante. Ou seja, basta verificarmos apenas dois ângulos correspondentes.
B=E = 45º, C=F = 40 ⇒ A=D = 95º e △ABC ~ DEF△
• Caso L.A.L. (Lado-Ângulo-Lado)Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e ângulos
congruentes compreendidos entre estes lados, então estes dois triângulos são semelhantes.
Temos que:21=3,4
1,7=2 (são proporcionais) e A=D =63º ⇒ IJK△ ~ LMN△
• Caso L.L.L. (Lado-Lado-Lado)Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes proporcionais, então estes
triângulos são semelhantes.
A
B C45º
E F40º 45º 40º
D
I
J K
63º2 cm 3,4 cm
L
M N
63º 1 cm 1,7 cm
14
Capítulo VII
Temos que:3
1,5= 2,5
1,25=1,8
0,9=2 (são proporcionais) ⇒ △PQR ~ △STU
Retornando ao Problema de TalesAgora que sabemos reconhecer quando dois
triângulos são semelhantes, vamos entender o que se passou na cabeça de Tales.
O primeiro conceito de semelhança de triângulos que Tales aplicou foi o critério de semelhança AA, pois os dois triângulos imaginários, como você vê na figura acima, tinham em comum o ângulo de 90º e o ângulo de incidência solar. Então, já que esses triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais, daí vale a relação que resulta na razão de semelhança. No caso:
altura da pirâmidealtura da estaca
= sombrametade da base da pirâmidesombra da estaca
Como era fácil calcular a altura da estaca, sua sombra e a sombra da pirâmide juntamente com a metade da sua base, bastou substituir os valores na relação acima para poder calcular a altura da pirâmide em qualquer momento.
P
Q R
1,8 cm 2,5 cm
3 cm
S
T U
0,9 cm1,25 cm
1,5 cm
15
Capítulo VII
A trigonometria é a parte da Matemática que trata dos cálculos nos triângulos. Podemos ainda dizer, que a trigonometria relaciona medidas de lados com medidas de ângulos. Seu significado vem das palavras gregas trigonom (triângulo) e metría (medição).
Apesar da trigonometria tratar dos cálculos em qualquer triângulo, ela nasceu a partir dos estudos do triângulo retângulo, e para começarmos a estudá-lo precisaremos relembrar alguns conceitos acerca deste tipo de triângulo:
• Os lados de um triângulo retângulo são chamados de cateto e hipotenusa.
• De acordo com o teorema de Pitágoras:(hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)²
• Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º, num triângulo retângulo um de seus ângulos é reto (90º) e os outros dois são sempre agudos e complementares (soma = 90º)
Construindo Triângulos Retângulos SemelhantesSeja um ângulo agudo x qualquer:
16
Capítulo VIII
Observe que a partir desta construção, podemos desenhar uma infinidade de triângulos retângulos:
Então, a partir de um ângulo agudo temos condições de desenhar vários triângulos retângulos:
Repare que, pelo critério de semelhança AA, todos os triângulos retângulos desenhados são semelhantes, pois todos tem em comum o ângulo x e o ângulo reto. E como esses triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais, então valem as seguintes relações:
Relação 1:BCAC
= DEAE
= FGAG
=HIAI
= JKAK
= LMAM
=... ,
Relação 2:ABAC
= ADAE
= AFAG
= AHAI
= AJAK
= ALAM
=... e
Relação 3:BCAB
= DEAD
= FGAF
= HIAH
= JKAJ
= LMAL
=...
Relacionando os Lados e os Ângulos de um Triângulo RetânguloPrimeiramente, para diferenciar os catetos num triângulo retângulo, os lados BC , DE ,
FG , HI , JK e LM da figura 1, que estão no lado oposto do ângulo x, são chamados de
17
M
A B D F H J L
CE
GI
K
x • • • •••
Figura 1
Capítulo VIII
cateto oposto, e os lados AB , AD , AF , AH , AJ e AL , que estão ao lado do ângulo x, ou seja, são vizinhos desse ângulo, são chamados de cateto adjacente.
Observando as três relações da folha anterior, percebemos que:1. A primeira relaciona os catetos opostos ao ângulo x com as hipotenusas.2. A segunda relaciona os catetos adjacentes ao ângulo x com as hipotenusas.3. E a relação 3 relaciona os catetos opostos ao ângulo x com os catetos adjacentes
ao ângulo x.Então, reescrevendo as proporções obtidas na figura 1 usando essa nova
nomenclatura, em relação ao ângulo x, temos:
Essas três relações trigonométricas que acabamos de generalizar, pela sua importância na trigonometria, recebem nomes especiais:
1. A primeira é chamada seno do ângulo x e escreve-se: sen x= cateto opostohipotenusa
2. A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escreve-se: cos x= catetoadjacentehipotenusa
3. A última denomina-se tangente do ângulo x e escreve-se: tg x= catetoopostocatetoadjacente
18
BCAC
= DEAE
= catetoopostohipotenusa
ABAC
= ADAE
= catetoadjacentehipotenusa
BCAB
= DEAD
= catetoopostocatetoadjacente
Capítulo VIII
Entendendo Melhor as Relações Trigonométricas
SenoSeja uma escada de 15 m de comprimento que está encostada a uma parede num
ponto B e ao solo num ponto C. Em A temos um ângulo reto.
Se uma pessoa estiver descendo a escada a partir de B:
• Ao atingir o ponto C1 terá percorrido 5 m, terá descido verticalmente 4 m e estará afastada da parede 3 m;
• Ao atingir o ponto C2 terá percorrido 10 m, terá descido verticalmente 8 m e estará afastada da parede 6 m;
• Ao atingir o ponto C terá percorrido 15 m, terá descido verticalmente 12 m e estará afastada da parede 9 m.
Calculando as razõesA1C 1
BC 1=3
5,
A2C 2
BC 2= 6
10, AC
BC= 9
15 , verificamos que todas são iguais,
sendo o valor comum 0,6.Mudando a inclinação da escada, como os triângulos BA1C1, BA2C2 e BAC são
semelhantes, as razões continuam iguais entre si, porém o valor comum mudará. Isso deve significar que esse valor comum das razões depende do ângulo que a escada forma com a parede.
De fato, indo mais adiante, podemos afirmar que o ângulo de medida determina o valor das razões do tipo cateto oposto a sobre a hipotenusa nos triângulos retângulos BA1C1, BA2C2 e BAC da figura. E essa figura é o seno de . No caso da figura:
A1C 1
BC 1=
A2 C 2
BC 2= AC
BC=0,6.
Ou seja, em geral, para um ângulo agudo de um triângulo retângulo:
sen= catetooposto ahipotenusa
•
•A
1
•A
2
C1
C2
A C
B
19
BC1 = 5 m
BC2 = 10 m
BC = 15 mBA
1 = 4 m
BA2 = 8 m
BA = 12 mA
1C
1 = 3 m
A2C
2 = 6 m
AC = 9 m
Capítulo VIII
CossenoVoltando à figura da escada, utilizando o mesmo raciocínio observaremos agora as
razões do tipo cateto adjacente ao ângulo sobre a hipotenusa nos triângulos retângulos BA1C1, BA2C2 e BAC. Verificamos que:
BA1
BC 1=
BA 2
BC 2= BA
BC=0,8.
Este valor comum das razões é o cosseno de . Daí, num triângulo retângulo:
cos = catetoadjacente a hipotenusa
TangenteAinda no problema da escada, calculando as razões do tipo cateto oposto a sobre
cateto adjacente a nos triângulos BA1C1, BA2C2 e BAC, obtemos:
E essa razão é a tangente de . Temos, então:
Tabela TrigonométricaComo vimos, para calcular o seno, o cosseno e a
tangente de um ângulo agudo, basta desenhar um triângulo retângulo que possua esse ângulo, medir com bastante precisão os seus lados e calcular as raízes.
Vejamos como calcularíamos essas raízes para um ângulo de 32º:
Vamos utilizar um papel milimetrado (papel quadriculado onde os lados de cada quadradinho medem 1 milímetro = 1 mm) para tentar ser bastante precisos.
Observe que construímos um ângulo de 32º e o triângulo OPQ. Medindo seus lados temos:
OP = 50 mm, PQ = 31 mm, OQ = 59 mm
sen 32º ≅3159 = 0,52
cos 32º ≅5059 = 0,84
20
A1C 1
BA 1=
A2 C 2
BA2= AC
BA=0,75.
tg = catetooposto a catetoadjacente a
Capítulo VIII
tg 32º ≅3150 = 0,62
No entanto, esses valores, obtidos por processos gráficos, por melhor que seja nosso desenho, apresentam sempre imprecisões. Além disso, seria muito trabalhoso obter os valores de senos, cossenos e tangentes de ângulos graficamente, cada vez que precisássemos desses valores.
Existem processos para calcular senos, cossenos e tangentes com muitas casas decimais exatas. Hoje em dia, muitas calculadoras já trazem teclas com essas funções. Para usá-las, basta digitar a medida do ângulo e depois a tecla correspondente à função desejada.
Outro recurso muito utilizado é consultar uma tabela trigonométrica, que está anexada na última folha.
Nessa tabela, poderemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente com uma aproximação de 4 casas decimais para todos os ângulos com medidas inteiras entre 1º e 90º.
ExemploUm torneiro mecânico precisa moldar uma peça e recebe o projeto a seguir. Todas as
medidas necessárias à fabricação constam na figura. No entanto, como saber exatamente onde ele deve começar a fazer a inclinação para obter um ângulo de 25°, como mostra o projeto?
Esse é um exemplo de aplicação da trigonometria dos triângulos retângulos na indústria.
Para resolver o problema, o que precisamos é determinar o cateto x do triângulo retângulo a seguir:
Com os dados do projeto, podemos calcular AP:
21
Capítulo VIII
AQ = 50 e BR = 10
Assim, AP = 50−10
2=20
Sendo o ângulo B de 25° no triângulo ABP, podemos escrever:
De acordo com a tabela, tg 25° = 0,4663. Usando apenas 3 casas decimais, temos:
0,466=20x ou x= 20
0,466 ≅ 43
Dessa maneira, o torneiro descobre que o comprimento 100 da figura está dividido em duas partes, uma valendo 43 e a outra 67. Em 67 unidades de comprimento não há inclinação, e nas outras 43 ele deve inclinar a peça de tal maneira que seu final fique com 14 unidades de comprimento.
Ângulos NotáveisApesar de termos à nossa disposição uma tabela com todos os valores de seno,
cosseno e tangente dos ângulos compreendidos entre 1° e 90°, daremos uma atenção especial a alguns ângulos chamados de notáveis, pois, além de serem geometricamente mais simples, são também uns dos mais facilmente encontrados no nosso dia a dia. Esses ângulos são os de 30°, 45° e 60°.
O Ângulo de 45°Uma figura geométrica muito simples e bastante utilizada é o quadrado. Traçando um
segmento de reta unindo dois vértices não consecutivos do quadrado (uma diagonal), dividimos o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
22
tg 25°= catetoopostocatetoadjacente
= APBP
=20x
Capítulo VIII
Em qualquer um desses triângulos, dois lados são iguais aos lados do quadrado, a hipotenusa é igual à diagonal do quadrado, e os dois ângulos agudos são iguais a 45°. Sabendo que os dois catetos medem ℓ podemos calcular o comprimento d da hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras:
d² = ℓ² + ℓ²d² = 2ℓ²
d =2ℓ2 d = ℓ 2
Assim, para qualquer quadrado de lado ℓ, calculamos facilmente o comprimento da diagonal multiplicando ℓ por 2 .
Usando as relações trigonométricas, temos condições de descobrir o seno, cosseno e tangente de 45°:
sen 45°= catetoopostohipotenusa
= ℓℓ 2
= 22
cos 45°= catetoadjacentehipotenusa
= ℓℓ 2
=22
tg 45°= catetoopostocatetoadjacente
= ℓℓ=1
23
Esquadro 1 Esquadro 2
Você já observou um par de esquadros? Existem 2 tipos de esquadro. Um deles é formado por um ângulo reto e dois ângulos de 45°, e o outro possui um ângulo reto, um ângulo de 30° e outro de 60°.
Capítulo VIII
Os Ângulos de 30° e 60°Imagine que tenhamos 2 esquadros iguais como o esquadro 2. Se unirmos esses
esquadros pelos catetos graduados, ou seja, com os ângulos de 60° para baixo, formaremos um triângulo equilátero.
Os dois catetos que estão encostados tornam-se a altura deste triângulo equilátero, e como todos os seus lados são iguais vamos chamá-los de ℓ.
Usando o Teorema de Pitágoras podemos calcular a medida da altura h em função do lado ℓ:
ℓ² = h² + ℓ2
2
h² = ℓ² - ℓ 2
4
h² =4ℓ²− ℓ²
4
h² =3ℓ²4 ⇒ h = ℓ 3
2
Assim, conhecendo a medida do lado de um triângulo equilátero, pode-se calcular sua altura através do resultado que acabamos de encontrar.
Utilizando as razões trigonométricas temos condições de encontrar o seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60°:
24
A palavra equilátero vem do latim aequilateralis (aequi = igual e lateralis = lado) e recebe esse nome porque todos os seus lados tem valores iguais. Por conta disso, seus ângulos também são equivalentes e valem 60°. A sua altura é também mediana (divide o lado oposto em duas partes iguais) e bissetriz (divide o ângulo do vértice em dois ângulos iguais).
Capítulo VIII
Podemos resumir os resultados obtidos numa tabela:
30° 45° 60°
seno12
22
32
cosseno 32
22
12
tangente 33 1 3
25
ℓ ℓ
ℓ2
h
ℓ2
ℓ
ℓ2
ℓ 32
60°
30°
tg 30 °= catetoopostocatetoadjacente=
ℓ2
ℓ 32
=33
cos 30 °= catetoadjacentehipotenusa
=
ℓ 32ℓ
=32
sen 30 °= catetoopostohipotenusa =
ℓ2ℓ =
12
cos 60 °= catetoadjacentehipotenusa =
ℓ2ℓ =
12
sen 60 °= catetoopostohipotenusa
=
ℓ 32ℓ
=32
tg 60 °= catetoopostocatetoadjacente
=
ℓ 32ℓ2
=3
Capítulo VIII
Antes de começarmos o estudo de figuras planas, vamos relembrar alguns conceitos que relacionam ângulos e retas.
RetasVocê já deve saber que duas retas podem ser paralelas ou concorrentes. As retas
paralelas são as que não tem nenhum ponto em comum, ou seja, não se encontram. Já as concorrentes são aquelas que se cruzam em um ponto.
O. P. V.As retas concorrentes determinam 2 pares de ângulos, ambos opostos pelo vértice
(ponto de interseção das retas).
Repare que os ângulos a e b formam um ângulo raso (ângulo de 180°) e que b e c também formam o mesmo ângulo. Como b é o mesmo nos dois casos, podemos afirmar que a e c , que são ângulos opostos pelo vértice (O. P. V.) são congruentes. Analogamente,
26
Retas paralelas Retas concorrentes
a
d
c
b
Capítulo IX
concluímos o mesmo para b e d .
Portanto, podemos dizer que ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Ângulos de Duas Retas com uma TransversalAgora, consideremos duas retas paralelas r e s cortadas por uma terceira reta t
transversal às outras duas:
De acordo com o que já aprendemos, podemos concluir que os pares de ângulos a e c, b e d , e e g , f e h são congruentes pois são opostos pelo vértice.
Como a inclinação da reta s em relação à reta t é a mesma da reta r em relação à t, pois s e r são paralelas, podemos afirmar que b= f , a=e , d=h , c= g e, consequentemente, teremos também a=c=e= g , b= d= f =h .
Por causa das igualdades, esses ângulos se correspondem, então, podemos dizer que ângulos correspondentes são congruentes.
PolígonosPodemos dizer, de um modo geral, que polígono é a região do plano limitada por uma
poligonal fechada.Mas o que poligonal? A poligonal é formada por uma sucessão de pontos consecutivos
não colineares.
Poligonal Aberta
Quando a extremidade do último segmento se liga à origem do primeiro, temos uma poligonal fechada, que forma um polígono.
27
a b
cd
e f
gh
r
t
s
Capítulo IX
Vejamos alguns exemplos de polígonos:
• Polígonos Simples
• Polígonos Entrelaçados
• Polígonos Convexos: Um polígono é convexo quando o segmento reto que une dois pontos internos está contido na região interior do polígono.
• Polígono não convexo: Um polígono é não convexo quando o segmento reto que une dois pontos internos quaisquer pode ter uma parte externa à figura.
Os polígonos convexos são aqueles que são mais encontrados no nosso dia a dia, por isso são os mais importantes, os mais utilizados e, por causa disso, os mais estudados. A partir de agora, nos limitaremos a estudá-los.
Os Incas da América do Sul foram habilidosos construtores em pedra. Observe como são variados os polígonos empregados em suas construções.
28
Capítulo IX
Elementos de um Polígono ConvexoSeja o polígono ABCD a seguir:
1. Vértices - são os pontos extremos dos segmentos: A, B, C e D2. Lados - são os segmentos que se unem pelas extremidades: AB , AD , BC e CD ,
3. Diagonal - são os segmentos de retas que unem vértices não consecutivos: BD e AC
4. Ângulos internos - são os ângulos formados por dois lados consecutivos: A , B , C e D
Alguns polígonos convexos recebem nomes especiais, dependendo do numero de lados.
Numero de lados Nomes Numero de lados Nomes3 Triângulo 9 Eneágono4 Quadrilátero 10 Decágono5 Pentágono 11 Undecágono6 Hexágono 12 Dodecágono7 Heptágono 15 Pentadecágono8 Octógono 20 Icoságono
29
A
B C
D
Capítulo IX
Polígonos RegularesUm polígono convexo é regular, quando tem os lados e os ângulos congruentes. Ex.:
Número De Diagonais De Um PolígonoSeja o retângulo ABCD:
Tomemos o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono
Se k é o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os três vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A, criaremos uma fórmula que descreve a quantidade de diagonais a partir de um único vértice.
k = n – 3 (onde n é o número de vértices do polígono)Aplicando essa fórmula ao retângulo acima temos; k = 4 – 3 = 1. Portanto, para o
vértice A, temos apenas uma diagonal possível a ser traçada.Agora, aplicando o mesmo raciocínio aos outros vértices, teremos:
a) Para o vértice B: k = 4 – 3 = 1b) Para o vértice C: k = 4 – 3 = 1c) Para o vértice D: k = 4 – 3 = 1
Concluímos, então, que em cada vértice sai uma diagonal. Portanto, até agora, contamos 4 diagonais no total (mesmo número de vértices do polígono). Aprimoraremos a fórmula anterior para k = n(n-3).
Mas, se repararmos bem, perceberemos que as diagonais foram contadas duas vezes. Contamos a diagonal AC a partir de A e também a partir de C. O mesmo acontece com a diagonal BD . Portanto, concluímos que contamos o dobro de diagonais que realmente tem no retângulo, então aprimoraremos pela última vez a fórmula dividindo o resultado por dois para corrigir o problema:
d= n n−3 2
30
A
D
B
C
AB≃ BC ≃CD≃DA
A
B C
D
Capítulo IX
Então, aplicando a fórmula para retângulo encontraremos duas diagonais apenas.
Área dos PolígonosDigamos que você receba duas ofertas de compra de dois terrenos de mesmo valor. As
plantas dos terrenos estão a seguir:
A escolha mais acertada, certamente deverá ser pelo terreno de maior área.Vamos desenvolver fórmulas para as áreas das figuras geométricas.
RetângulosConsideremos um retângulo de 3 cm por 4 cm. Vamos dividir o comprimento em 4
partes iguais e a largura em 3 partes iguais. Cada quadradinho de 1 cm de lado tem 1 cm² de área, que corresponde à uma unidade de área.
1 cm²
Portanto, se contarmos todos os quadradinhos, o retângulo terá 12 unidades de área ou 12 cm² de área, que é justamente a multiplicação do comprimento ou base (b) pela largura ou altura (h).
Então, podemos dizer que a fórmula para o cálculo da área de um retângulo é:ARETANGULO: b x h
TriângulosSeja um retângulo qualquer. Tracemos uma diagonal.
31
Terreno do Sr. Y20 m
22 mTerreno do Sr. Z
20 m
26 m
18 m
4 cm
3 cm
Capítulo IX
Podemos observar que essa diagonal determina dois triângulos idênticos. Daí, podemos pensar que a área do retângulo é o dobro da área do triângulo. Portanto, a área do triângulo vale a metade da área do retângulo. Então,
ATRIÂNGULO:bxh
2
Podemos pensar também em um triângulo qualquer. Se o duplicarmos o dispormos como abaixo, formaremos um paralelogramo. Então a área do triângulo será a metade da área do paralelogramo.
ParalelogramoUm paralelogramo é todo quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Portanto,
concluímos que o retângulo e o quadrado são paralelogramos. Na realidade, são casos particulares de paralelogramos.
Para calcular sua área transportaremos uma parte da figura para o outro lado como mostrado na figura:
Repare que formamos um retângulo, então podemos concluir que a área do paralelogramo é a mesma da área do retângulo. Então,
APARALELOGRAMO: b x h
32
Capítulo IX
LosangoDe acordo com as suas propriedades, um losango possui os quatro lados congruentes
e os ângulos opostos iguais. Ao traçarmos as suas diagonais verificaremos que o losango possui uma diagonal maior que a outra. No caso do losango abaixo, a diagonal AC (D) é maior que a diagonal BD (d).
Se repararmos bem, a diagonal menor (d) determina dois triângulos congruentes, pois A= C e os ângulos da base do ABD e BCD também são congruentes. Então, podemos△ △ pensar na área do losango como a soma desses triângulos isósceles.
Como já sabemos, área de um triângulo é dada por bxh
2 , mas as bases desses
triângulos são dadas por d e suas alturas são dada pela metade da diagonal maior (D). Então,
a área de cada triângulo do losango é dada por d x D
22
. Somando as áreas dos triângulos
obteremos:
d x D2
2
d x D2
2=2d x D
22 =d x D
2=d x D
2
Portanto, a fórmula da área de um losango qualquer é dada por:
ALOSANGO:Dxd
2
TrapézioO trapézio é o único quadrilátero que possui apenas um par de lados opostos
paralelos.
33
A
B
C
D
Capítulo IX
Assim como fizemos com o losango e o paralelogramo, vamos dividir a figura para calcular sua área.
Vamos representar as bases do trapézio por B e b e a altura por h:
Desta vez, ao invés de dividirmos a figura em dois triângulos, dividiremos em um retângulo e um triângulo retângulo. Para calcularmos sua área, basta somarmos essas outras áreas.
A área do retângulo nesse trapézio é dada por b x h. E a área do triângulo no trapézio é
dada porB−b h
2 . Então somando as áreas temos:
bh+ B−b h2
=2bh +Bh−bh2
= Bh+bh2
= B+b h
2
Dai, concluímos que a área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula:
ATRAPÉZIO:B+b h
2
Voltemos aos problemas dos terrenos:
A área do terreno do Sr. Y vale 20 x 22 = 440 m² e a área do terreno do Sr. Z
vale 2620 18
2=414 m2 . Portanto, a melhor compra será do terreno retangular, pois tem a
maior área.
Círculo
O Número PI () e o Contorno Do CírculoA constante foi encontrada pelos matemático gregos, da escola de Pitágoras, da
seguinte maneira:
34
b
B
h
Terreno do Sr. Y20 m
22 m
Terreno do Sr. Z
20 m
26 m
18 m
Capítulo IX
Eles tomaram três discos de tamanhos diferentes, mediram experimentalmente o contorno e o diâmetro de cada um. Depois, dividiram a medida de cada contorno pelo diâmetro correspondente. Verificaram, então, que o quociente obtido era quase o mesmo. Assim, ficou determinado o número constante pelo qual devemos multiplicar o diâmetro, para acharmos o contorno de uma circunferência qualquer.
A multiplicação pelo diâmetro se deve ao fato de que como o número π é dado pela razão entre o contorno e o
diâmetro, encontrados manualmente cd , compensamos
operando a multiplicação dessa razão pelo diâmetro afim de encontrarmos o contorno da circunferência, ou seja, c= c
d×d=πd ⇒c=πd .
Como já sabemos, o diâmetro é o segmento de reta, que passa pelo centro do círculo e o divide em duas metades e o raio é o segmento de reta que parte do centro da circunferência em direção a qualquer ponto dela. Concluímos, então, que o raio é a metade do diâmetro ou que o diâmetro é o dobro do raio. Portanto, c=πd ⇒c=π 2r ou, então, c = 2πr.
A fórmula para encontrarmos o comprimento de uma circunferência é:c = 2πr
35
Há 100 anos aproximadamente, o matemático William Shanks calculou o número π com 707 casas decimais. Para realizar essa tarefa, precisou de 15 anos!Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o número π com milhares de casas decimais em apenas alguns minutos.
π = 3,1415926535897932384626433832795028...Na prática, usa-se apenas 3,14 ou 3,1416 para aproximar o valor de π.
Você também pode fazer esse experimento em casa. Faça as medições dos contornos e diâmetros de objetos redondos e coloque em um quadro como no ao lado, informando a razão entre essas medidas.
Capítulo IX
Área Do CírculoConsideremos um círculo qualquer com polígonos inscritos nele.Observe que quanto mais aumentamos o número de lados do polígono regular inscrito
ao círculo mais seu perímetro vai se aproximando do comprimento da circunferência.
Observe os polígonos regulares na mesma circunferência:
Imagine que dividamos o quadrado, na figura 2, em quatro triângulos, ligando o centro da circunferência até seu vértice. Poderemos pensar na sua área como a soma dos triângulos
36
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5 Figura 6
Capítulo IX
isósceles que o determinam. O mesmo podemos pensar no pentágono da figura 3, que pode ser divido em 3 triângulos. Assim, sucessivamente, podemos pensar em dividir os polígonos regulares das figuras 4, 5 e 6 em triângulos isósceles.
Nesses termos, percebemos que as áreas desses polígonos vão aumentando e ficando cada vez mais próximas da área desconhecida do círculo.
Observe como fica a área de um dodecágono inscrito:
Chamando de a o valor do seu lado, sua área fica: 12⋅ah2 .
Então, a área de qualquer polígono regular inscrito em uma circunferência pode ser
dada por n⋅ah2
Mas n⋅a é o valor do perímetro de uma figura de n lados. Dai, podemos pensar na área
desse polígono inscrito como: perímetro do polígono inscrito × h2 .
Então, aumentando cada vez mais o número de lados desse polígono inscrito, a tendência é do seu perímetro ficar cada vez mais parecido com o comprimento da circunferência, e a altura de cada triângulo formado no polígono regular ficar igual ao raio do círculo. Assim, podemos concluir que a fórmula do cálculo da área de um círculo poderá ser indicada da mesma forma que a área de um polígono regular de n lados:
perímetro ou comprimento do círculo × r2
ou
2 πr⋅r2⇒πr 2
Portanto, a área de um círculo é dado por:
Área Do Setor CircularConsideremos um setor de ângulo α e raio r.
37
ACIRCULO=πr 2
Capítulo IX
A área do setor é diretamente proporcional à medida do ângulo central.Como a área de um círculo, que sempre tem 360°, é πr², então a área do setor circular
poderá ser calculada pela regra de três:
Área Ângulo centralSetor A ___________________ α°Círculo πr² ___________________ 360°
⇒A
πr 2=α
360⇒ A SETORCIRCULAR=
πr 2 α360
Então, a área do setor circular de qualquer círculo é dada por:
ASETOR CIRCULAR=πr 2 α360
38
Capítulo IX
VariávelUm colégio está interessado em traçar um perfil de seus alunos dos cursos do 2º grau.
Para isso, escolheu uma equipe de pesquisadores que definiu seis diferentes objetos de estudo: sexo, idade, área da carreira universitária pretendida, número de irmãos, disciplina favorita e renda familiar mensal. A investigação dos itens acima permitirá à equipe traçar o perfil desejado.
Para isso, a equipe entrevistou 20 alunos do colégio, os quais transmitiram as informações pedidas. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.
Algumas variáveis, como sexo, área da carreira universitária pretendida e disciplina favorita, apresentam como resultado uma qualidade (atributo) ou preferência do estudante entrevistado. Variáveis dessa natureza recebem o nome de variáveis qualitativas. Se considerarmos, por exemplo, a variável área da carreira universitária pretendida, diremos que exatas, humanas e biológicas correspondem às realizações dessa variável.
Outras variáveis, como idade, numero de irmãos e renda familiar mensal, apresentam como resposta um número real, resultante ou de contagem ou de mensuração. Variáveis assim definidas são chamadas variáveis quantitativas. Estudando a variável número de irmãos, por exemplo, dizemos que 0, 1, 2, 3 ou 4 são as realizações ou valores assumidos por essa variável.
Sexo IdadeÁrea da carreira
universitária pretendida
Número de irmãos
Disciplina favorita
Renda familiar mensal (em
salários mínimos)
Masculino 16 Humanas 2 História 11,2
Masculino 17 Biológicas 3 Biologia 18,5
Feminino 15 Humanas 2 Geografia 12,1
39
Capítulo X
Masculino 14 Exatas 1 Matemática 11,5
Feminino 14 Exatas 1 Geografia 10
Feminino 15 Biológicas 0 Química 10,7
Masculino 15 Biológicas 0 Biologia 11,6
Masculino 15 Exatas 1 Português 12,4
Masculino 19 Humanas 3 Português 15,9
Feminino 15 Biológicas 1 Química 9,6
Feminino 20 Humanas 4 História 16,3
Masculino 17 Humanas 0 Matemática 12,9
Masculino 16 Humanas 1 História 13,4
Feminino 16 Humanas 2 Geografia 13,2
Feminino 16 Biológicas 2 Matemática 11,7
Feminino 18 Humanas 2 Geografia 17,6
Masculino 15 Exatas 1 Matemática 12,6
Masculino 18 Exatas 3 Física 13,1
Masculino 18 Biológicas 4 Química 15,4
Masculino 14 Biológicas 1 Física 8,7
Tabelas de FrequênciaA simples observação dos dados brutos apresentados na tabela anterior não nos
permite explicar o comportamento das variáveis em estudo.Um primeiro passo a ser dado, na obtenção de informações mais resumidas e precisas
a respeito do comportamento das variáveis, é a construção de tabelas de frequência.Para cada variável estudada, contamos o número de vezes que ocorre cada uma de
suas realizações (ou valores). O número obtido é chamado frequência absoluta e indicado por ni (cada realização de uma variável apresenta um valor para n i).
Considerando as realizações da variável área da carreira pretendida, temos os seguintes valores de ni:
• Humanas: 8
• Biológicas: 7
• Exatas: 5A frequência absoluta não é uma medida muito conveniente para a analise dos dados,
especialmente nos casos em que se deseja comparar a distribuição de uma mesma variável ao longo de populações diferentes (poderíamos estar interessados em comparar a carreira pretendida por estudantes em diferentes colégios). Assim, precisamos definir uma medida que leve em consideração o número total de observações colhidas.
Para isso, definimos a frequência relativa (indica-se por ƒi) como a razão entre a
40
Capítulo X
frequência absoluta (ni) e o número total de observações (n), isto é: f i=ni
n .
Como ni ≤ n, segue que 0 ≤ ƒi ≤ 1. Por esse motivo é comum expressar ƒi em porcentagem.
Exemplo 1Para a variável área da carreira universitária pretendida, construímos a seguinte tabela
de frequência:
Área da carreira universitária pretendida
Frequência absoluta (ni)
Frequência relativa (ƒi) Porcentagem
Humanas 88
20=0,4 40,00%
Biológicas 77
20=0,35 35,00%
Exatas 55
20=0,25 25,00%
Total 20 1 100,00%
A construção das tabelas de frequência par as demais variáveis do exemplo acima é análoga. Muitas vezes, porém, pode ocorrer que os valores assumidos por uma variável quantitativa variem em determinado intervalo real, não havendo, praticamente, repetição de valores. Por exemplo, os valores da renda familiar mensal da tabela anterior variam no intervalo [8,19[ (em salários mínimos). Nesse caso, construímos a tabela de frequência em classes ou intervalos de valores.
Exemplo 2Vejamos a tabela de frequência para a variável renda familiar mensal (em salários
mínimos):
Classes de valores
Frequência absoluta (ni)
Frequência
relativa ni
n Porcentagem
8 Ⱶ 10 2 0,1 10,00%10 Ⱶ 12 6 0,3 30,00%12 Ⱶ 14 7 0,35 35,00%14 Ⱶ 16 2 0,1 10,00%16 Ⱶ 18 2 0,1 10,00%18 Ⱶ 20 1 0,05 5,00%
41
Capítulo X
Total 20 1 100,00%
Representação GráficaOs gráficos constituem poderoso instrumento de análise e interpretação de um
conjunto de dados. Eles aparecem nos mais variados veículos de comunicação. Pesquisas de opinião pública, pesquisas eleitorais, economia, agricultura, saúde são apenas alguns exemplos de assuntos em que as representações gráficas assumem um papel fundamental para explicar o comportamento do objeto de estudo. Os mais poderosos recursos fornecidos pelos gráficos são a facilidade e a rapidez na absorção e interpretação dos resultados, por parte do leitor.
Estudaremos aqui duas representações gráficas: o gráfico de setores e o gráfico de barras.
Gráfico de SetoresSuponhamos que a variável em estudo apresenta k realizações (ou valores) distintas.
O processo consiste em dividir um círculo em k partes (setores circulares) proporcionais às frequências das realizações observadas. Mais precisamente, os ângulos dos setores circulares são proporcionais às realizações da variável.
Exemplo 1A tabela abaixo relaciona o tipo de transporte utilizado por 240 pessoas de uma
metrópole nacional.
Transporte Frequência absoluta (ni) Frequência relativa f i=
n i
n Porcentagem
Metrô 90 0,375 37,50%
42
A notação a b refere-se ao intervalo a,b, que inclui a mas não inclui b. A amplitude da classe a b é dada pela diferença b – a. No exemplo anterior,
a amplitude de cada uma das classes é igual a 2. Não há regras fixas para a construção das classes da tabela anterior, a
partir dos dados brutos. Dependendo da natureza dos dados, podemos ter um número maior ou menor de classes. Procuraremos, na medida do possível, construir classes de mesma amplitude e evitaremos, apenas, considerar classes de amplitude muito grande ou muito pequena, a fim de que não haja comprometimento na análise.
Capítulo X
Ônibus 8013≈0,333 33,33%
Trem 30 0,125 12,50%
Particular 4016≈0,166 16,67%
Total 240 1,000 100,00%
Para cada tipo de transporte podemos utilizar a seguinte relação entre a frequência relativa (ou porcentagem) e o ângulo do setor:
1. metrô: Como sua frequência relativa é 0,375 (ou 37,5%), o ângulo de seu setor circular é 0,375 x 360° = 135°;
2. ônibus: 13×360 °= 120 °
3. trem: 0,125 x 360° = 45°
4. particular: 16×360 °= 60 °
Com o auxílio de um transferidor, podemos traçar o gráfico de setores ao lado.
Gráfico de Barras e HistoriogramaConstruímos um sistema de eixos coordenados xoy, dispondo, no eixo x, os valores assumidos
pela variável e no eixo y as respectivas frequências (pode-se considerar a frequência absoluta, ou a frequência relativa, ou ainda a porcentagem).
Exemplo 2Uma pesquisa levantou aspectos socioeconômicos de 50 famílias paulistanas,
investigando alguns itens de conforto nos domicílios, como o número de aparelhos de TV:
Número de aparelhos ni ƒi Porcentagem
0 5 0,10 10
1 20 0,40 40
2 15 0,30 30
3 8 0,16 16
4 2 0,04 4
Total 50 1,00 100
Construímos, assim, o seguinte gráfico de barras:
43
38%
33%
13%
17%
metrôônibustremparticular
Capítulo X
Quando os dados estão agrupados em classes de intervalos reais, construímos, de forma análoga, um gráfico denominado histograma.
Exemplo 3A altura de 80 homens de uma comunidade está distribuída de acordo com a tabela
abaixo:
Altura (metros) ni ƒi Porcentagem1,60 Ⱶ 1,65 4 0,050 5
1,65 Ⱶ 1,70 12 0,150 15
1,70 Ⱶ 1,75 18 0,225 22,5
1,75 Ⱶ 1,80 26 0,325 32,5
1,80 Ⱶ 1,85 10 0,125 12,5
1,85 Ⱶ 1,90 8 0,100 10
1,90 Ⱶ 1,95 2 0,025 2,5
Total 80 1,000 100
44
0 1 2 3 40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Número de TV´s
(%)
1,60 Ⱶ 1,65 1,65 Ⱶ 1,70 1,70 Ⱶ 1,75 1,75 Ⱶ 1,80 1,80 Ⱶ 1,85 1,85 Ⱶ 1,90 1,90 Ⱶ 1,950
5
10
15
20
25
30
35
altura (m)
Por
cent
agem
Capítulo X
Medidas de CentralidadeNo item anterior estudamos as representações gráficas, que constituem um importante
recurso na interpretação de um conjunto de dados. Procuraremos, agora, estabelecer para esses dados medidas (números) que sejam representativas, isto é, que resumam como se distribuem os valores de uma variável quantitativa. Para isso, será necessário estabelecer um valor médio ou central e outro valor que indique o grau de variabilidade (em torno do valor central) dos dados da variável em estudo.
Média AritméticaSejam x1, x2,..., xn os valores de n observações de determinada variável X. Definimos a
média aritmética (indicada porx ) como a razão entre a soma de todos os valores observados e o número total de observações:
x=x 1+x 2⋯+x n
n
Exemplo 1As notas finais de 15 alunos de um curso de computação estão apresentadas abaixo.
Qual a média das notas obtidas?
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15
7,5 9,0 4,5 4,0 5,5 8,0 8,5 9,0 7,5 7,5 7,0 6,5 7,5 9,0 6,5
Temos:
x=7,594,5⋯6,515
=107,515
≈7,17
Assim, a nota média da classe é 7,17
A média aritmética é a medida de centralidade mais amplamente usada no cotidiano (aparece no cálculo de aproveitamento escolar, em pesquisas de opinião pública, nos índices referentes a saúde, educação etc.
Exemplo 2Os dados abaixo referem-se ao tempo de vida útil, em anos, de determinado aparelho
eletrônico:
x1 x2 x3 x4 x5
5 5 6 4 20
Calculando a média aritmética, temos:
x=556420
5=40
5⇒x=8 anos
45
Capítulo X
Assim, concluiríamos que, em média, a vida útil desse aparelho seria de 8 anos.
Porém, o cálculo dessa medida foi muito influenciado por uma observação discrepante (20 anos), o que provocou uma distorção no tempo médio de vida.
De modo geral, quando há dados discrepantes em um conjunto de observações, a média aritmética não é uma medida muito apropriada para análise dos dados.
Para contornar problemas dessa natureza, definiremos, a seguir, uma medida de centralidade mais “resistente” às observações discrepantes, denominada mediana.
MedianaSejam x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn os n valores ordenados de uma variável X. A mediana (indicada
por Me) é o valor central desse conjunto de valores.Notemos que a mediana é o valor tal que o número de observações menores (ou
iguais) a ela é igual ao número de observações maiores (ou iguais) a ela.
Exemplo 3O controle de qualidade de uma industria forneceu o seguinte número de pecas
defeituosas (por lote de 100 unidades):
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
5 4 9 6 3 8 1 4 5 6 11
Vamos determinar a mediana do número de peças defeituosas. Para isso, ordenamos esses valores:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
1 3 4 4 5 5 6 6 8 9 11
Como n = 11 é impar, temos Me = x6, isto é, a mediana é igual à 6ª observação. Assim, Me = 5
Podemos observar, por fim, que há cinco valores menores (ou iguais) a 5 e cinco valores maiores (ou iguais) a 5.
Exemplo 4As temperaturas máximas diárias de uma cidade, no inverno, foram medidas durante
10 dias:
21°C 17°C 19°C 25°C 26°C 19°C 16°C 15°C 15°C 18°C
Determinemos a mediana das temperaturas: como n = 10 é par, temos Me =
Me=x5 +x 6
2 , isto é, a mediana é a média entre a 5ª e a 6ª observações, quando elas estão
ordenadas. Assim:
46
Capítulo X
15°C 15°C 16°C 17°C 18°C 19°C 19°C 21°C 25°C 26°C
Me= 18192
⇒Me= 18,5°C
ModaModa de um conjunto de valores (indicado por Mo) é a realização mais frequente entre
os valores observados.
Exemplo 5Vamos encontrar a moda dos seguintes conjuntos de valores:
a) 5 – 8 – 11 – 8 – 3 – 4 – 8
A moda é Mo = 8, pois há três observações iguais a 8.
b) 2 – 3 – 9 – 3 – 4 – 2 – 6
Há duas modas: 2 e 3. Dizemos que se trata de uma distribuição bimodal.
c) 1 – 3 – 4 – 6 – 9 – 11 – 2
Nesse caso, todos os valores “aparecem” com a mesma frequência unitária. Assim, não há moda nessa distribuição.
47
Capítulo X
(ENEM 2008) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) - objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais - objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.
I. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:
II. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
III. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
IV. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
V. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é:
48
Questões
(ENEM 2007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a
A) 465
B) 493
C) 498
D) 538
E) 699
(ENEM 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
A) 1,16 metros
B) 3,0 metros
C) 5,4 metros
D) 5,6 metros
E) 7,04 metros
(ENEM 1998) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
A) 30 cm
B) 45 cm
C) 50 cm
D) 80 cm
E) 90 cm
49
Questões
( ENEM 2009) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
A) 2,9 cm × 3,4 cm
B) 3,9 cm × 4,4 cm
C) 20 cm × 25 cm
D) 21 cm × 26 cm
E) 192 cm × 242 cm
(ENEM 2009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8
pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe:
A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0
B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10
C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8
D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno
E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9
(ENEM 2009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007
e 2008.
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era
50
Questões
igual a:
A) R$ 73,10
B) R$ 81,50
C) R$ 82,00
D) R$ 83,00
E) R$ 85,30
(ENEM 2009) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é:
A) inferior a 0,18
B) superior a 0,18 e inferior a 0,50
C) superior a 0,50 e inferior a 1,50
D) superior a 1,50 e inferior a 2,80
E) superior a 2,80
(ENEM 2009) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
51
Questões
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor:
A) inferior a 300 milhões de dólares
B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares
C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares
D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares
E) superior a 600 milhões de dólares
(ENEM 2009) O Indicador do CadÚnico (IcadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA),
em queTC= NVNF
,TA= NANV , NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do
CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público-alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a:
A) 10.000
B) 7.500
C) 5.000
D) 4.500
E) 3.000
52
Questões