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Aula 7 _ Progressão Geométrica

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA

2º Trimestre

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA é uma sequência numérica onde qualquer termo, a partir do segundo, pode ser obtido pela MULTIPLICAÇÃO do termo imediatamente anterior com um valor constante denominado razão da P.G.EXEMPLOS:(3, 12, 48, 192, ...) é uma P. G. de razão 4;(–60, 30, –15, ...) é uma P.G. de razão –1/2.

Observe as sequências:

A = (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...) B = (2, 10, 50, 250, ...)

Para obter a razão, basta dividir qualquer termo pelo termo anterior.EXEMPLO:Para a PG ( 1/2 , 1, 2, 4, 8, ...), determine a razão, fazendo:a) q = a2/a1 b) q = a3/a2

a) c) q = a4/a3 d) q = a5/a4

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G.Numa P.G. de razão “ q ” e primeiro termo “ a1 ”, podemos obter um termo qualquer “ an ”através da seguinte relação:

an = a1 .qn – 1DEMONSTRAÇÃOConsidere uma P.G. qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a “ q ”. Observe que:

a2 =

a3 =

a4 =

… an =

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Testando os Conhecimentos1 – Dada a PG (7, 14, 28, ...), determine:a) O 8º termo;b) A posição do termo de valor 224.

2 – Qual a soma dos valores de uma PG de três termos, cuja soma é 78 e o produto é 5832?

3 – Qual é a razão da PG (x + 10, x – 5, x + 70)?

Resolva os exercícios do livro:P. 212 _ 63, 64, 67 e 68.P. 213 _ 75, 77 e 78.P. 216 _ 86 e 87.

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Vamos somar os 7 primeiros termos da PG (8 , 24 , 72 , … , a7 )

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG

Mas, faz sentido falar sobre a soma de uma quantidade infinita de termos?

Vejamos:EXEMPLO: Some os termos da PG

SOLUÇÃO:Sn = 1

(Alguém pode me emprestar uma folha?)

Agora, siga o procedimento:1º) Escreva as 7 parcelas em uma mesma linha e iguale a S7

2º) Multiplique os dois membros por 3, que é a razão;3º) Subtraia “1º)” do “2º)”, ou seja, “2º)” – “1º)”4º) Isole S7

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DEMONSTRAÇÃO:

S∞ = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...S∞ = a1 + a1 .q + a1 .q2+ ... + a1 .qn–1+ ...

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

Inicialmente, vamos somar “apenas” os “n” primeiros termos:

Sn = a1 + a1 .q + a1 .q2+ ... + a1 .qn–1 (*)Multiplicando os dois lados pela razão “q”, obteremos:q.Sn = q.(a1 + a1 .q + a1 .q2+ ... + a1 .qn–1)q.Sn = a1.q + a1 .q2 + a1 .q3+ ... + a1 .qn) (**)Fazendo (*) – (**), temos:Sn – q.Sn = a1 – a1.qn

+ a1 .qn–1

a1 .q3 +

Sn .(1 – q) = a1 .(1 – qn)

Sn = a1 .(1 – qn) / (1 – q) Quando n ⟶ ∞ , temos qn ⟶ 0 ,

logo S∞ = a1/(1 – q)

Vamos considerar 0 < q < 1, caso contrário, não podemos somar infinitos termos.

A soma de uma PG infinita é:primeiro termo

1 ─ razão

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Testando os Conhecimentos

4 – Determine a soma dos 20 primeiros termos da PG (0,125 ; 0,25 ; 0,5 ; ... )

2 – Em cada PG apresentada a seguir, calcule a soma dos 10 primeiros termos:a) a1 = 1/32 e q = 2b) a2 = 9 e q = 1/3

3 – Resolva a equação 5x + 10x/3 + 20x/9 + 40x/27 ... = 20

Resolva os exercícios do livro:P. 218 _ 90 e 92P. 219 _ 93 e 94P.222 _ 97, 98 e 100

S∞ = a1/(1 – q)

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