TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 1/842. Movimento de terras A terraplenagem consiste na modelao do terreno, tirando material de um local e pondo-o noutro, de modo a realizar umasuperfcierelativamenteuniformecomamelhorqualidadepossveledentrodeadequadoslimiteseconmicos.Parao efeito, a estimao de reas e volumes tem grande importncia em muitos trabalhos de engenharia civil tais como construo deviasdecomunicao,detneis,etc.Aescavaoetransportedomaterialresultantedessestrabalhosso,geralmente,a parte mais onerosa do projecto, da qual o eventual lucro ou prejuzo pode depender. figura 2.1.: Movimento de terras figura 2.2.: Trabalhos preparatrios: as superfcies dos terrenos a escavar ou a aterrar devem ser previamente limpas de pedra grossa,detritosevegetaolenhosa(arbustoservores)desmatao-,conservandotodaviaavegetaosubarbustivae herbcea,aremovercomadecapagem;adesmataodeveserfeitaexclusivamentenasreassujeitasaterraplenagem.As reasdeterrenosaescavarouaterrardevemserpreviamentedecapadasdaterraarvel,geralmentenumacamadano ultrapassandoos20cmdeespessura,edaterravegetalcomelevadoteordematriaorgnica,queseroaplicadas imediatamente, ou armazenadas, em locais apropriados. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 2/84 figura 2.3.: Aterro para construo de uma estrada Bulldozer:distncias pequenas Scrapper: distncias mdias Dumper: distncias grandes figura 2.4.: Veculos de transporte de terras Oobjectivodacompactaodoterrenoomelhoramentodaspropriedadesdossolosusadosnaconstruo rodoviria,proporcionando-lheselevadaresistnciaaocorte,baixasensibilidadeguaebaixatendnciaparasofrer assentamentos sob aco de cargas repetidas. Escavadora giratria Moto-niveladora Cilindro figura 2.5.: Veculos de apoio, de acabamento e de compactao TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 3/842.1 Elementos de geometria cotada UmpontoAdoespaodecotaconhecida(figura2.6.)representadopelasuaprojecoortogonalanumplano horizontal de referncia e pela sua cota cA em relao a esse plano, isto , por a(cA): figura 2.6. Representao cotada do ponto A do espao no plano de referncia Uma recta do espao que contm os pontos A e B de cota conhecida(figura 2.7.) representada pela recta do plano de referncia que contm as respectivas projeces a(cA) e b(cB): figura 2.7. Representao cotada de uma recta: d a distncia horizontal entre A e B, = cB-cA a distncia vertical entre A e B (desnvel), 2 2d D + = a distncia espacial entre A e B (verdadeira grandeza da distncia ab, a inclinao da recta AB, isto , o ngulo que AB forma com a sua projeco ab TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 4/84Define-se declive de uma recta relao constante entre a distncia vertical de quaisquer dois pontos dessa recta e arespectivadistnciahorizontal,isto,tangentedainclinaoentrearectaespacialearespectivaprojecohorizontal; define-se taludao de uma recta distncia horizontal t entre dois dos seus pontos cuja diferena de cotas seja iguala uma unidade de comprimento; tem-se entot / 1d) c c (tanA B== = . Para a resoluo de alguns problemas em geometria cotada necessrio efectuar o rebatimento da recta espacial AB (ou mais exactamente, do plano vertical que contm AB) sobre o plano horizontal de referncia, tomando a projeco ab como eixo de rotao (ou charneira); desta forma, os segmentos Aa e Bb mantm-se perpendiculares a essa charneira, obtendo-se os pontosrebatidos no plano de referncia, representados com uma barra. Na recta rebatida, ao contrrio da recta projectada, possvel medir distncias verdadeiras (figura 2.8.). figura 2.8. Rebatimento da recta AB no plano de referncia DadaumarectaespacialdefinidapelospontosAeBdecotaconhecida,paradeterminaracotacCdeumpontoC dessa recta, executa-se o respectivo rebatimento em torno da charneira ab e mede-se o comprimento do segmentoC c (figura 2.9.). Da mesma forma, dada a recta AB, pode determinar-se a posio do ponto C dessa recta cuja cota cC, determinando a intersecodeumarectaparalelacharneiradistnciacCcomarectaB A obtidapor rebatimentodarectaespacialAB e projectando o ponto c no espao. figura 2.9. Determinao da posio espacial de um ponto de cota conhecida TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 5/84Graduar uma recta AB significa determinar sobre ela os pontos de cotas inteiras (figura 2.10.), o que pode ser obtido rebatendoABnoplanoderefernciaemtornodeab,traandoparalelascharneiraadistnciascorrespondentesscotas inteiras(obtidasporinterpolaoapartirdecAedecB)etraandopelasintersecesdessasparalelascomarectarebatida segmentos perpendiculares charneira; os pontos resultantes da interseco destes segmentos com a charneira so projectados ortogonalmente no espao na cota respectiva, definindo os pontos pretendidos sobre AB: figura 2.10. Graduao de uma recta (as cotas cA e cB no so inteiras) Podeobter-seomesmoresultadorecorrendoaoteoremadeTales,traandopelo pontoaumarectaaxdoplanode referncia(figura2.11.),contendoopontoxdecotaconhecida.Paragraduarestaltimarecta,define-seosegmentobxe traam-separalelasaestesegmentopelospontosdecotas,quedeterminamsegmentosproporcionaisaossegmentosdeax sobre ab. figura 2.11. Graduao de uma recta (as cotas cA e cB no so inteiras) TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 6/84ParaqueduasrectasdoespaodefinidaspelospontosABeCD,respectivamente,cujasprojecessecruzamno plano de referncia sejam concorrentes (figura 2.12.), necessrio e suficiente que o ponto de cruzamento tenha a mesma cota em ambas as projeces, o que implica graduar ambas as rectas: figura 2.12. Rectas concorrentes pertencem ao mesmo plano no espao Se as duas rectas se cruzam fora do limite de representao (figura 2.13.), para verificar se so ou no concorrentes basta traar duas rectas auxiliares apoiadas nas primeiras e graduar essas rectas auxiliares, determinando a cota do ponto de cruzamento; se esta cota for a mesma nas duas rectas auxiliares, estas so concorrentes e portanto todos os seus pontos esto no mesmo plano, incluindo os quatro pontos de apoio pertencentes s rectas iniciais: figura 2.13. Rectas concorrentes TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 7/84Para que duas rectas no espao sejam paralelas (figura 2.14.), necessrio e suficiente que as suas projeces sejam paralelas e os respectivos declives (ou taludaes) sejam iguais e do mesmo sentido, o que implica graduar as rectas: figura 2.14. Rectas paralelas pertencem ao mesmo plano no espao ParatraarporumpontodadoAumarectaparalelarectaCD(figura2.15.),traa-sepelaprojecoadeAuma recta paralela projeco cd da recta CD; em seguida traa-se por a a recta horizontal ae, em que o ponto e tem a mesma cota de a; depois, por qualquer ponto g de cd traa-se uma paralela a ae determinando sobre a recta pretendida o ponto h que define essa recta: figura 2.15. Recta paralela recta CD passando por A TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 8/84Representa-seumplanopelasprojecescotadasdeumpontoedeumarecta(quenocontenhaoponto)desse plano, de duas rectas concorrentes desse plano ou de duas rectas paralelas desse plano. Se o plano for vertical, representado pelo seu trao no plano horizontal de referncia, se o plano for horizontal representado pela sua cota.Para que uma recta pertena a um plano, suficiente queesta seja concorrente com duas outras rectas desse plano. Asrectashorizontaisdeumplano(figura2.16.)sodeterminadaspelassuasprojeces(paralelasentresinoplanode referncia) e pelas respectivas cotas (todos os pontos de uma mesma recta tm a mesma cota). figura 2.16. Representao de rectas horizontais de um plano D-seonomederectasdemaiordeclivedeumplano(representadasnormalmentecomtraoduplo)srectas perpendiculares s rectas horizontais desse plano, sendo portanto paralelas entre si (figura 2.17.); as projeces das rectas de maior declive de um plano so paralelas entre si e perpendiculares s projeces das rectas horizontais desse plano. figura 2.17. Recta de maior declive de um plano TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 9/84Podem enunciar-se os seguintes postulados relativamente s rectas de maior declive de um plano: por um ponto do plano pode traar-se uma nica recta de maior declive desse plano. o plano horizontal tem declive nulo, no existindo portanto rectas de maior declive nesse plano. um plano pode ser representado pela sua recta de maior declive pois por qualquer ponto de cota conhecida da projeco dessa recta pode traar-se a projeco da nica recta horizontal do plano com a cota desse ponto e, dessa forma, define-se o plano atravs de duas rectas concorrentes. se o plano for vertical, a recta de maior declive ser projectada num s ponto, sendo necessrio para a determinao do plano mais uma recta que lhe pertena, que pode ser horizontal (por exemplo o trao do plano no plano horizontal).

Exemplo: determine a partir da projeco a(3) de um ponto A de um plano definido por A e pela recta BC tal que cB=1 e cC=4, a recta horizontal que contm A, a recta de maior declive do plano passando por A e o trao xy do plano no plano de referncia horizontal. Sendo conhecidos a(3), b(1) e c(4), determina-se sobre bc o ponto h de cota igual a 3, efectuando a graduao esta recta,sendoarectaaharectahorizontaldoplanoprocurado(figura2.18.).Arectademaiordecliveteradireco perpendicular recta horizontal e ser definida por quaisquer dois pontos que lhe pertenam, obtidos traando paralelas a ah pelos pontos da graduao. O trao xy do plano a recta horizontal de cota zero. figura 2.18: TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 10/84Exemplo: Determine a cota de um ponto a de um plano a partir das projeces das suas rectas bc e de, sabendo-se que b(13), c(7), d(9), e(6). Definidasasprojecesbcede,graduam-seambasasrectasetraa-seumahorizontalthdoplanounindodois pontosdeigualcotadebcede(figura2.19.).Aparalelamnathquecontmopontoadeterminaembcoudeacota pretendida,nestecaso8.5.Casooplanosejarepresentadopelasuarectademaiordeclive,aperpendicularaestarectaque passa por a horizontal, o que determina imediatamente a cota de a, neste caso 6.5. figura 2.19. Exemplo: Determine uma recta AB pertencente a um plano conhecendo-se a posio das projeces a e b de A e B, respectivamente. a)se o plano for dado pela sua recta de maior declive, pelos pontos a a e b traam-se rectas horizontais desse plano, que so perpendiculares recta de maior declive (figura 2.20a.). As cotas dessas horizontais so as cotas dos pontos a e b. b)seoplanofordadoporduasrectasquaisquercdeef,unem-sepontosdestasrectasquetenhamamesmacota, obtendo-se assim uma recta horizontal (figura 2.20b). O ponto p do cruzamento dessa horizontal com a projeco ab da recta tem a mesma cota dessa recta horizontal (12); procedendo-se da mesma forma para outro par de pontos de igual cota de cd e ef obtm-se o ponto q da projeco ab que tem a mesma cota dessa recta horizontal (13). figura 2.20a.figura 2.20b. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 11/84Exemplo: Determine, a partir de um ponto A de um plano definido pela sua recta de maior declive, uma recta desse plano com declive dado. Seja cd a projeco da recta de maior declive (em que c(6), d(3)) e seja =2/5, por exemplo, o declive pretendido, a quecorrespondeumataludaot=1/=2.5(figura2.21.).Traandoduasrectashorizontaisgehdecotasinteirase consecutivasdoplanoemquesto(perpendicularesrectademaiordecliveporpontosdecotasconsecutivas),a circunferncia com centro em d e de raio t ir intersectar a recta h nos pontos x e y: as rectas dx e dy tm o declive procurado. figura 2.21: Note-se que se o declive da recta for inferior, igual ou superior ao declive do plano, isto , se o raio t for maior, igual oumenorquede,existimduas,umaounenhumasoluesparaoproblema.Comoarectapretendidadeveconterum determinadopontoadoplanoA,bastatraarporaumaparalelaadxouady.Paraesteltimarectaficarperfeitamente definida,devecotar-semaisumpontosobreela,obtidoporexemploporintersecodessarectacomqualquerrecta horizontal. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 12/84Exemplo: determine um plano de declive de forma a que esse plano contenha uma recta AB dada. Sendo, por exemplo, =2/5 o declive do plano, isto , da recta de maior declive desse plano; a taludao dessa recta t=1/=2.5.Comcentronumpontocdecotainteiradeab,trace-seumacircunfernciaderaiot;dopontoddecotainteira seguinte, trace-se a tangente a essa circunferncia (figura 2.22.). figura 2.22: Considere o plano ABCD, inclinado relativamente ao plano horizontal EFCD (ou, em termos de taludao, 1 em x, isto,1unidadenaverticalcorrespondeaxunidadesnahorizontal).ParaaslinhasdemaiordeclivedoplanoABCD,a respectiva inclinao mxima, igual a , correspondente direco ortogonal s linhas de declive nulo (linhas horizontais doplanoABCD,comoporexemplo,alinhaAB);paraqualqueroutradirecodoplanoABCDquenosejaadomaior declive, como por exemplo a linha AP, fazendo um ngulo com a direco AC, a respectiva taludao 1 em y. A relao entre a taludao e a inclinao do plano ABCD, isto , entre e x (definidas pelalinha de maior declive desse mesmo plano) pode extrair-se da figura 2.23.:x cot1 = . figura 2.23. Plano inclinado ABCD, plano horizontal CDEF TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 13/84 figura 2.24. Plano inclinado ABCD projectado ortogonalmente sobre o plano horizontal CDEF Afigura2.24.representaaprojecoortogonaldoplanoinclinadoABCDsobreoplanohorizontalCDEF.Sea taludao da linha de maior declive AC do plano ABCD for igual a 1 em x ento AC=x unidades; da mesma forma, sendo 1 em y a taludao da linha AP, ento AP=y. Considerando o tringulo ACP, tem-se: = =cosxy APe = = cos y x ACisto , a taludao da linha de maior declive AC igual ao produto da taludao da linha AP pelo coseno do ngulo entre essas linhas. De outra forma, tem-se yxcos1 = . Exemplo:ataludaodalinhademaiordeclivedeumplanoinclinadode1em4,segundoorumo30(figura 2.25.); qual taludao da linha desse plano (a) segundo a direco N, (b) segundo o rumo 75, (c) segundo a direco E? figura 2.25. Taludaes segundo rumos diferentes TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 14/84Da figura 2.25., tem-se 30 CABC= = , 45 BADD= = , 60 BAEE= = , donde 62 . 4 30 cos4AC = = ,66 . 5 45 cos4AD = = ,00 . 8 60 cos4AE = =isto , a taludao das linhas com as direces pretendidas igual a 1 em 4.62, 1 em 5.66 e 1 em 8.00. Exemplo: a linha demaior declive de um plano inclinado igual a 1 em 5 segundo o rumo 208 (figura 2.26.); em que direco se poder construir uma estrada com taludao 1 em 8? figura 2.26. Taludaes segundo rumos diferentes Da figura 2.26., tem-se' 19 5185cos1= = ;ento, tem-se' 19 259 R RAB AC= + = ou' 19 156 R RAB AC= = . Um problema comum consiste em, dadas as taludaes e os rumos de duas linhas quaisquer AC e AD de um plano inclinado (com AA=1), determinar a taludao e o rumo da linha de maior declive AB; da figura 2.27. tem-se projectando ortogonalmente as linhas no plano horizontal: figura 2.27. Taludao e rumo da linha de maior declive de um plano TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 15/84 Do tringulo ABC tem-se x) 90 180 sin(y 90 sin donde xcosy1 =ou, = cos y x do tringulo ACD tem-se: y) sin(z) 90 sin( = ou =cos) sin( zy ; juntando as duas expresses anteriores, tem-se: ) cos cos sin (sin z ) sin( z coscos) sin( zx + = = = ; ento ) cos sin (tan zcosxy + == ou = cotsin zytane ) cotsin zy( tan1 = ; como = cot y , = cot z , = cot xento ) cot ec cos tan (cot tan ) cotsin cotcot( tan1 1 = = , e como = cos cot x ,tem-se = cos cot cotou, = cos tan tan . TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 16/84Exemplo: num dado plano inclinado, um troo de uma estrada tem taludao igual a 1 em 4 segundo o rumo 85 30 eintersectaumtroodeumaoutraestradacujataludaoiguala1em6,segundoorumo17430(figura2.28.); qual taludao da linha de maior declive desse plano? e qual o rumo dessa direco? 61tan = ,414cot = = , 89 R RAD AC= = , 56 ) 89 cot 89 sin 46( tan1= = 35 . 3 56 cos 6 x6 90 sinxcos= = = A taludao da linha de maior declive do plano inclinado considerado igual a 1 em 3.35, segundo o rumo 118 30. X figura 2.28. Taludao e rumo da linha de maior declive de um plano 2.2. rea de figuras planas Considerando o tringulo da figura 2.29., tem-se: 1 12 23 3 figura 2.29. Determinao da rea de uma figura plana TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 17/84' ACC ' A area ' BAA ' B area ' BCC ' B area ABC area = =2) y y )( x x (2) y y )( x x (2) y y )( x x (3 1 3 1 1 2 1 2 3 2 3 2 + + + 3 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ABC area 2 + + + + + = = = 1 3 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2y x y x y x y x y x y x + + . Em termos gerais, a rea de um polgono com n vrtices dada por + + = = ) y y ( x21) x x ( y21A1 i 1 i i 1 i i i i (caso a rea obtida seja negativa, ignora-se o sinal). Exemplo: qual a rea da parcela de terreno cujos vrtices tm as seguintes coordenadas? MP A10001000 B1200840 C1630795 D20001070 E17201400 F13101540 G9051135 A= ) 1000 * 905 1135 * 1310 1540 * 1720 1400 * 2000 1070 * 1630 795 * 1200 840 * 1000 (21+ + + + + + - ) 1540 * 905 1400 * 1310 1070 * 1720 795 * 2000 840 * 1630 1000 * 1200 1135 * 1000 (21+ + + + + + = ha 8225 . 50 m 5082252103623002113787502= = . Exemplo: considere a rea compreendida entre o terreno natural e a superfcie de projecto de uma auto-estrada, rea essa definida pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L e M da figura 2.30.; sendo as taludaes laterais iguais a 1 em 1 do lado esquerdo e 1 em 2 do lado direito, calcule essa rea. figura 2.30. readefinida pelos respectivos vrtices TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 18/84a)coordenadas do ponto A:declive do segmento AL: 6667 . 05 . 11tan == ; no ponto L: m 6667 . 3 b b x tan yL L = + = ; no ponto M:m 6667 . 9 b x tan yM M= + = o ponto A encontra-se na interseco dos segmentos AL e NB: m 95 . 14 y ; m 92 . 27 x) x 20 ( 6 . 2 ) y 01 . 17 ( 10y yy yx xx x) x 10 ( 667 . 6 ) y 3 ( 10x xy yx xx xA AA AA BN BA BN BA AA LM LA LM L= =)` = = = = b)coordenadas do ponto H: declive do segmento KH:5 . 021tan = = nopontoK:m 2 b b x tan yK K = + = ;nopontoH: m 94 . 34 x b x tan yH H H= + = c) coordenadas do ponto F: declive do segmento OF:2312 . 0 tan = nopontoH:m 39 . 7 b b x tan yH H= + = ;nopontoF: m 02 . 12 b x tan yF F= + = d)areadasecopretendidadadapor = = =+ +21 i i i 1 im 9090 . 423 )) 8992 . 495 ( 9188 . 351 (21y x21y x21A 2.3. Seces transversais figura 2.31. Seces transversais ao longo do traado TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 19/84Umasecotransversalresultadaintersecodeumplanoverticalperpendicularaoeixodaviacomoterreno natural(figura2.31.).Paracadasecotransversal,define-sebcomoalarguradaestrada,hcomoaaltura(diferenano eixo entre a cota do terreno natural e a cota de projecto para o pavimento da estrada), w=wL+wRcomo a abertura e m como a taludao das bermas.H trs tipos possveis de configurao para uma seco transversal: a)o terreno natural plano e horizontal b)o terreno natural plano e inclinado c)o terreno natural irregular a) No primeiro caso tem-se, da figura 2.32., sendo A a rea da seco considerada (neste caso rea de escavao): figura 2.32.Escavao em terreno plano e horizontal, taludaes das bermas diferentes h m CC1hmCC: F CCR 1R11= = h m2bwR R+ =h m AA1hmAA: D AAL 1L11= = h m2bwL L+ =)2hm2hm b ( h h m21h m21bh AR L2R2L e+ + = + + = Se mL=mR=m tem-se: ) mh b ( h Ae+ = . TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 20/84Exemplo:considereasecodafigura2.33.efectuadanumterrenoplanoehorizontal,emqueh=2meb=6m. Sabendo que a rea desse seco A=18 m2, qual a relao entre as taludaes n e m de cada uma das bermas? figura 2.33. 3hbh A2 m m bh2h) m m ( h hm21bh h hm21A2R L2R L R L== + + + = + + = . Pode concluir-se que, mantendo-se os valores de h e de b, qualquer combinao de mL e mR que verifique a relao mL+mR=3 d origem a uma seco de rea igual a 18 m2. b)Nosegundocaso,comoterrenoplanoeinclinado,podeexistirapenasescavao(ouaterro)ouescavaoe aterro; a figura 2.34. representa o caso em que existe aterro (h>0), tendo-se: L L R R ad h21bh d h21DFE area BHFD area AHB area A + + = + + = ondeBH hR= , AJ dR= , DF hL= , EF dL= , CG h = , BD b = ,L Ld2bw + = ,R Rd2bw + = . figura 2.34. Aterro em terreno plano e inclinado, taludaes das bermas diferentes TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 21/84Do tringulo GHI tem-se TRRTm 2bh h1h hm2b+ = = . Do tringulo FGK tem-se TLLTm 2bh h1h hm2b = = . De TRTRmdHJ1HJmd= =e de RRRRR RmdHJ hmd1HJ h= + =+ tem-se T RRRm1m1hd= . De TLTLmdLF1LFmd= =e de RLLLL LmdLF hmd1LF h= = tem-se T LLLm1m1hd+= . Ento, hbm mm ) hm 2 b (m mm ) b hm 2 (m 81m1m11)m 2bh (21hbm1m11)m 2bh (21AL TL2TR TR2TTT L2TT R2Ta+|||

\|+++=+ + ++ = . No caso de L Rm m m = = , tem-se: ( )|||

\| + ||

\|+ = ++ ||

\|+=2bw w mh2bm 21bhm m) bhm2bm h ( mA2R L2 2T22T2a,m mmmh2bwTTR||

\|+ = ,m mmmh2bwTTL+||

\|+ = . A figura 2.35. representa o caso em que numa mesma seco existe aterro e escavao: figura 2.35. Aterro e escavao em terreno plano e inclinado, taludaes das bermas diferentes TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 22/84Nestecasotem-se,noeixo,h>0,isto,escavao;sendoAL hL= , EH h= , CG hR= , L TTL Lm mm) h m2b( w+ = , R TTR Rm mm) h m2b( w = , do tringulo ALF tem-se LLLLLLLm 2b w 2m2bwhmLF1h == = ; do tringulo BEH tem-seh m BE1hmBETT= = ; do tringulo CDG tem-se RRRRRRRm 2b w 2m2bwhmDG1h == = ; ento, para as reas de escavao e aterro tem-se: ) hm2b(m 2b w 221) EB EF ( h21BF h21) FL BL ( h21h FL21h BL21ATLLL L L L L e+= + = = = = = = = ++ += ++ += ++) hm2b() m m ( m 2bm bm m m 221) hm2b() m m ( m 2bm bm m 2 )2bhm (21) hm2b(m 2bm mm 2)2bm (21TL T LL T L TTL T LL T T LTLL TTL =L T2TL T2T TL TTTL T LT Lm m)2bhm (21) m m ( 4) b km 2 (212hm 2 b) m m ( 2b hm 221) hm2b() m m ( m 2) b hm 2 ( m21+=+=++= ++; ) hm2b(m 2b w 221) EB ED ( h21BD h21) DG BG ( h21h DG21h BG21ATRRR R R R R a= = = = = == = + + = + = ) hm2b() m m ( m 2bm bm bm m hm 221) hm2b() m m ( m 2bm bm m 2 ) hm2b(21) hm2b(m 2bm mm 2) hm2b(21TR T RR T T T RTR T RR T T RTRR TTR =R T2TR T2T TR TTTR T RT Rm m) hm2b(21) m m ( 4) hm 2 b (212hm 2 b) m m ( 2hm 2 b21) hm2b() m m ( m 2) hm 2 b ( m21=== Se ocorrer o caso de existir aterro no eixo (h0). TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 23/84 figura 2.36. Estrada ao longo de um plano inclinado A taludao da encosta igual taludao da linha de maior declive desse plano: 1 em 10; a taludao da estrada (dorespectivoeixo)iguala1em15,deformaaqueodeclivedaencostasejamaisfcildevencer.Pretende-se determinar a taludao da seco transversal estrada. figura 2.37. Da figura 2.37. tem-se 1897 . 481510cos = = ;41 . 13 kk10sin ) 90 cos( = = = ; se h>0 ento h escavao no eixo, donde, de Ae=Aa, tem-se: |||

\|+|||

\|=R TL TTR TL Tm mm m1 m1m mm m2bh =0.004 m; pode assim calcular-sem 706 . 2m mmh m2bWL TTL L=||

\|+ = ; daqui tem-se2em 263 . 0 A = , 3e em 150 . 13 A * 50 V = = ; TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 24/84c) No terceiro caso (figura 2.38.), o terreno irregular, isto , tem taludaes diferentes. No caso de as taludaes das duas bermas serem iguais, (mL=mR ) tem-se: m mm) mh2b( wLRTTL+ = ,m mm) mh2b( wLLTTR+ = ,(((

+ + =2b)2bmh )( w w (m 21A2L R figura 2.38. Aterro em terreno irregular 2.4. Clculo de volumes de movimento de terras As operaes de movimento de terras consistem no transporte de material de forma a ser estabelecida uma superfcie pr-determinada(superfciedeprojecto),comacorrespondentedeterminaodovolumedomaterialmovimentado.Num projecto de estradas, o clculo do volume de terras a ser escavado, movimentado (retirado) e, eventualmente, utilizado como aterronoutroslocaisdeveserefectuadocomrigor,porexemploatravsdautilizaodesecestransversaisaotraado, aproveitando os perfis transversais que foram realizados aps a piquetagem do eixo, em geral de 25 em 25 m(figura 2.39.). figura 2.39. Perfis transversais ao eixo e respectivas seces TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 25/84Oestudopormenorizadodostrabalhosrelacionadoscomomovimentodeterrasdegrandeimportnciapoiseles correspondem a uma grande parcela do oramento da obra. Segundo a classificao mais usada, os materiais a escavar e para os quais sonormalmente atribudos preos distintosso a) rocha dura, b) rocha branda,c) terra dura, d) terra compacta, e) terra franca, f) areia. Nos projectos elaborados em Portugal, como por exemplo terraplenagens abrangendo a movimentao de grandesvolumesdeterras,nemsempretomadoemconsideraooempolamentodasterras,queporvezeschegaaser aprecivel pois que 1 m3 de terreno pode ocupar depois de escavado 1.1 a 1.4 m3, segundo se trate de terras brandas e areias ou de rocha. Efectuado o clculo sem atender ao empolamento, verificar-se- um excesso de terras a conduzir a depsito, pois mesmoqueessasterrassejamcompactadasconvenientemente,osaterrosgeralmentenorecebematotalidadedovolume retirado das escavaes, que por no ter sido considerado, no ser remunerado.Para o clculo de volumes atravs das reas das seces extremas pode utilizar-se a expresso aproximada d2A AV1 0 += ,segundo a qual o volume entre cada duas seces igual mdia das reas A0 e A1 dessas seces multiplicado pela distncia d entre elas (figura 2.40.). figura 2.40. Volume limitado pelas seces A0 e A1 separadas pela distncia d Exemplo: em planta, uma vala para irrigao mede 7.5 m de largura por 13.5 m de comprimento. Utilizando a tabela seguinte,quetraduzaprofundidade,emmetros,nospontosindicados,estimeovolumedeescavaoquefoinecessrio efectuar (supondo naturalmente o terreno original horizontal). m/m03.05.07.510.011.513.5 00.01.50.04.56.24.70.0 2.51.22.910.69.77.98.42.5 5.02.53.78.78.79.48.43.6 7.50.00.01.97.66.86.30.0 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 26/84Considerando os 7 perfis transversais seguintes, tem-se: Perfil 0 mA=9.25 mPerfil 3.0 mA=18.375 mPerfil 5.0 mA=50.625 mPerfil 7.5 mA=61.125 mPerfil 10.0 mA=59.5 mPerfil 11.5 mA=55.75 mPerfil 13.5 mA=15.25 m2 2 2 2 2 2 2 27262524232221m 25 . 15005 . 25 . 26 . 30 . 505 . 700 . 505 . 20021Am 75 . 55007 . 404 . 85 . 24 . 80 . 53 . 65 . 705 . 700 . 505 . 20021Am 5 . 59002 . 609 . 75 . 24 . 90 . 58 . 65 . 705 . 700 . 505 . 20021Am 125 . 61005 . 407 . 95 . 27 . 80 . 56 . 75 . 705 . 700 . 505 . 20021Am 625 . 50006 . 105 . 27 . 80 . 59 . 15 . 705 . 700 . 505 . 20021Am 375 . 18005 . 109 . 25 . 27 . 30 . 505 . 700 . 505 . 20021Am 25 . 9002 . 15 . 25 . 20 . 505 . 700 . 505 . 20021A=((

==((

==((

==((

==((

==((

==((

= 37 6 636 5 535 4 434 3 333 2 232 1 1m 0 . 71 2 ) A A (21Vm 4375 . 86 5 . 1 ) A A (21Vm 78125 . 150 5 . 2 ) A A (21Vm 6875 . 139 5 . 2 ) A A (21Vm 0 . 69 2 ) A A (21Vm 4375 . 41 3 ) A A (21V= + == + == + == + == + == + = O volume total ento Vtotal=558.34375 m3. Como alternativa, podem utilizar-se os 4 perfis longitudinais seguintes (Vtotal=562.84375 m3): Perfil 0 mA=35.625 mPerfil 2.5 mA=91.95 mPerfil 5.0 mA=91.425 mPerfil 5.0 mA=47.90 m2222 Exemplo:Nocasodoterrenoserplanoehorizontaleastaludaesdasbermasseremiguais,tem-se ) mh b ( h A0 0 0+ = ,) mh b ( h A1 1 1+ = , onde h0 e h1 so as alturas de projecto no eixo nas 2 seces e m a taludao das bermas, donde) mh bh mh bh (2dV21 120 0+ + + = . TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 27/84Um prismide definido como um slido tendo duas faces paralelas, A e B, que podem ter qualquer configurao, desde que as superfcies que unem os respectivos permetros sejam geradas por linhas rectas (figura 2.41.). A expresso para o clculo do volume de um prismide : 6) B M 4 A ( hVp+ +=onde h a distncia ortogonal entre A e B, e M a rea da seco a meia distncia entre A e B. figura 2.41. Prismide Exemplo:nocasodoexemploanterior,paraseobterumvalormaisrigorosodovolumeentreasduasseces extremasconsideradas,utiliza-seaexpressodovolumeprismoidald6A A 4 AV1 m 0P+ += ,ondeAmrepresentaareada seco distncia d/2; no caso do terreno ser plano e horizontal, tem-se2h mh4mh4mh2bh2bh)2h hm b (2h hA1 02120 1 0 1 0 1 0m+ + + + =+++= e portanto) mh bh h mh 2 mh mh bh 2 bh 2 mh bh (6dV21 1 1 02120 1 020 0 p+ + + + + + + + = = = ) h mh32mh32bh mh32bh (2d) h mh 2 mh 2 bh 3 mh 2 bh 3 (6d1 021 120 0 1 021 120 0+ + + + = + + + + . Sendo w1=(wL+wR)1 e b1 a abertura e a largura da seco A e w2=(wL+wR)2,b2 a abertura e a largura da seco B, onde 2b wA1 1= , 2b wB2 2= , 2b b2w w21M2 1 2 1+ += , o volume prismoidal Vp compreendido entre A e B pode obter-se atravs da expresso: ( ) ( )1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 12 2 2 1 2 1 1 1pb w b w b w 2 b w 212db w b w b w b w b w b w12d2b w2b b2w w22b w6dV + + + = + + + + + = ||

\|++ ++ = TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 28/84A utilidade da frmulad6A A 4 AV1 m 0P+ +=pode verificar-se aplicando-a a slidos simples (tabela 2.1.): cone:3h r602r4 r hV222p=|||

\|+ ||

\| + = esfera:( )3r 460 r 4 0 r 2V3 2p=+ += tronco de cone:( )3rR r R h6r4) R r ( 4R hV2 2222p+ + =|||

\| ++ + = cunha: ( )6) z y x ( wh608) y z ( ) z x ( w 42) y x ( whVp+ +=||

\|++ + +++= hxzAyMw tabela2.1.Nocasodacunha,xalarguradotopodasecomaisafastada,yalarguradabasedessamesma seco (w a altura) e z a largura da seco mais prxima; assim, (x+y)/2 a largura mdia da seco mais afastada e, para a seco mdia, as larguras do topo e da base so ((x+z)+(z+y))/4 e a respectiva altura w/2 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 29/84Pondo P PC V V + = ,ondeCPacorrecoprismoidalaaplicaraovolumeVobtidoapartirdasreasdasseces extremas para se obter o volume prismoidal Vp(isto , Vp=V-Cp), tem-se: 21 0 1 02120 1 02120p p) h h ( m6d) h mh 2 mh mh (6d) h mh323mh3mh(2dV V C = + = + = =. No caso mais geral de terreno inclinado, tem-se 2 2T2T 21 0 pm mm) h h ( m6dC = . Sendo conhecidos w e b, tem-se: ( )( )2 1 2 1 pb b w w12dC = . Designa-se excentricidade e do centride de uma seco transversal em relao ao respectivo eixo (no caso da figura 2.42.a seco em aterro) distncia horizontal entre o eixo OD da via de comunicao e o centride da seco, tendo-seAA3w weT R L= , onde A a rea da seco ABCDE considerada e AT a seco OCDE (OD=6.00 m). ABCDEOwL= 7.50wR= 9.90h= 3.00b= 9.003.602.00centroide figura 2.42. Definio da excentricidade do centride de uma seco transversal em relao ao eixo (seco em aterro) TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 30/84Exemplo: relativamente figura 2.42. tem-se 2m 70 . 38 A= , 2Tm 20 . 52 A = ,m 08 . 170 . 3820 . 52350 . 7 90 . 9e == Exemplo: Calcular a excentricidade do centride da seco transversal representada na figura 2.43. (OD=10.10 m). wL= 7.40mwR= 6.40 m2.10 m3.60mh = 2.60mb = 10.00 moABCDEcentroide figura 2.43. Definio da excentricidade do centride de uma seco transversal em relao ao eixo (seco em escavao) O mtodo de clculo de volumes aplica-se no caso em que as seces consecutivas formam troos rectilneos; para o clculo de volumes em troos curvilneos (figura 2.44.), as sucessivasseces transversais so radiais pelo que necessrio calcularacorrecorespectiva.Umareaplanagirandoemtornodeumeixogeraumvolumeigualaoprodutodessarea pelo comprimento do percurso efectuado pelo centro de massa da rea considerada. Sendo Cc a correco de curvatura, igual diferenaentreovolumeVccorrectoeovolumeVobtidoconsiderandoasreasdassecesextremasS0eS1,Roraiodo eixo da estrada, e a excentricidade da seco transversal (distncia horizontal entre o eixo e o centro de massa), tem-se c 1 0 cC ) A A (2dV + = , onde A0 e A1 tm excentricidades e0 e e1 e d a distncia horizontal, medida sobre o eixo, entre as 2 seces. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 31/84Sendo 0l oarcopercorridopelocentrodemassadasecoS0,cujoraioR+e0,tem-se 0 00A V l = ;darelao Re R0 0+=lltem-sel lRe R00+= elRe RA V000+= ;damesmaforma,tem-selRe RA V111+= ;admitindoque 1 0cV V V + =tem-se que) A e A e (R 2C1 1 0 0 c+ =l, sendo esta correco positiva quando o excesso de massa se verifica no exterior da curva e negativa quando o excesso de massa se verifica no interior da curva. figura 2.44. Clculo de volume num troo em curva TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 32/84Exemplo: Calcular o volume corrigido entre duas seces 70 e 71 (figura 2.45) espaadas de 25 m, cujas taludaes so iguais a 2/3, de uma estrada de largura b=10 m, num trecho em curva circular direita cujo raio igual a 200 m, sendo: Seco 70: h=4.40 m, wL=9.40 m, wR=6.60 m Seco 71: h=4.80 m, wL=10.80 m, wR=7.40 m seccao 71h=4.40 mwL= 9.40 m wR= 6.60 m2.40 m6.60 centroideeixoe seccao 71wL= 10.80 mwR= 7.40 m3.60 m8.70 mh=4.80 mecentroideeixo figura 2.45. m 54 . 170 . 5720 . 95360 . 6 40 . 9e70== m 70 . 193 . 11143 . 74340 . 7 80 . 10e71== Se no existissem excentricidades: 3 71 70m 625 . 1651 25243 . 74 70 . 57d2A AV =+=+= . Clculo da correco: 371 71 70 70m 462 . 13 ) e A e A (R 2dC = + = . Volume corrigido: 3cm 087 . 1665 462 . 13 625 . 1651 V = + = . TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 33/842.5. Diagrama de distribuio de terras (grfico de Bruckner) O grfico de Brckner consiste numa curva ou linha poligonal cuja ordenada em cada perfil , no a respectiva rea mas o volume acumulado do movimento de terras correspondente a esse perfil (as abcissas indicam distncias ou a localizao dosperfistransversais),obtidopelasomaalgbricadosvolumesdeescavaoeaterrodetodososperfisanteriores(por conveno, volumes de escavao so positivos e volumes de aterro so negativos). O grfico formado por uma srie de picos cujos tramos ascendentes indicam predominncia de escavao e cujos tramosdescendentesindicampredominnciadeaterro,indicandoosmximoseosmnimosdogrficopassagensde escavao a aterro e vice-versa. Para a construo de um diagrama de distribuio de terras, procede-se da forma seguinte: 1.calcular as reas das seces transversais regularmente espaadas ao longo do eixo (perfis transversais) 2.calcular os volumes de escavao e aterro entre seces sucessivas relativamente ao projecto3.calcular o volume agregado algbrico entre seces sucessivas 4.representar graficamente o perfil longitudinal do terreno natural e de projecto 5.utilizandoamesmaescalahorizontalanterior,representaracurvadotransporteacumuladodeterrasem ordenadas (figura 2.46.). figura 2.46. Diagrama de distribuio dasterras:emcimaesto representadosoperfildoterrenoea rasante,indicando-seaszonasde escavaoedeaterro;embaixo indica-seacurvadedistribuio (transporte acumulado) de terras TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 34/84As caractersticas de um diagrama de distribuio de terras so: uma curva de distribuio ascendente indica escavao, isto , h um aumento do volume acumulado (os pontos A-F do perfil longitudinal correspondem aos pontos a-f da curva de distribuio) um mximo da curva de distribuio corresponde ao fim de escavao (os pontos f e F) uma curva de distribuio descendente indica aterro, isto , h uma diminuio do volume acumulado (os pontos F-K do perfil longitudinal correspondem aos pontos f-k ) adiferenaverticalentreumpontodemximoeumpontodemnimodacurvadedistribuiorepresentao volume de aterro (por exemplo, ff1+k1k);mais geralmente, a diferena vertical entre quaisquer dois pontos no tendo um mximo ou mnimo entre eles representa o volume de movimento de terras entre ambos paraqualquerlinhahorizontalintersectandoacurvadedistribuiodeterras(figura2.47.),ovolumede escavao igual ao volume de aterro entre esses pontos (a soma algbrica dos volumes deve anular-se) quandooeixodasabcissasintersectaacurvadedistribuio,seareaseencontraporcimadoeixo,esse volume deve ser transportada para a frente; quando a rea se encontra abaixo do eixo, ento o volume deve ser transportado para trs a distncia sobre o eixo das abcissas entre pontos de interseco da curva de distribuio (por exemplo aq, qp) representa a distncia de transporte mxima na regio considerada a rea entre o eixo das abcissas e a curva de distribuio numa dada seco representa o transporte nessa seco figura2.47.Sendoaordenadade AigualordenadadeC(ambas h),significaqueosvolumes acumuladosdeescavao (positivos) so iguais aos volumes acumulados de aterro (negativos) 2.6. Exemplo Como j foi dito, o clculo de volumes baseia-se nos perfis transversais, que constituem uma das peas desenhadas de um projecto de estradas. A rea dos taludes obtm-se apartir damedio dos elementos que o definem em cadaum dos perfis desenhados (figura 2.48.): TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 35/84A =2.80A =2.80aeA =21.00aA =8.90aA =0.40aA =7.40eA =13.00eA =11.60eA =11.30aA =13.90aA =6.20aA =2.00A =7.30aeA =18.70aA =1.10aA =9.30eA =12.80eA =20.10eA =14.50eA =9.00aA =10.80aA =0.40eA =8.30aA =2.30eA =32.00aA =1.00A =17.20aeA =15.40eA =9.30e12345678910111213141516171819202122h=0.00h=0.97h=0.90h=-0.16h=0.92h=0.95h=0.50h=2.09h=-0.73h=-1.10h=1.10h=0.68h=1.30h=1.07h=-0.93h=-1.11h=-0.78h=-0.94h=1.54h=-0.48h=-1.32h=-1.83 figura 2.48. Desenho dos perfis 1 a 22; a faixa de rodagem tem largura igual a 4.2 m TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 36/84Calculadasasreasdosperfistransversais,preenchem-seosmapasdeclculodevolumes,tendoemcontaa existncia de pontos de passagem, pois a eles correspondem perfis de rea nula. A localizao dos pontos de passagem faz-se apartirdasdistnciasentreperfisedascotasdeprojecto(figura2.49.):assim,sefordadistnciaentreperfis,umem escavaoeoutroematerro,cujascotasdeprojectosorespectivamenteh1eh2,asdistnciasd1ed2entreopontode passagem e os dois perfis obtm-se da relao 2 1 2211h hdhdhd+= = figura 2.49. Localizao do ponto de passagem entre o perfil 1 e o perfil 2 Se o mtodo de clculo for o da mdia das distncias entre perfis, o mapa respectivo, denominado Mapa n 2, tem a estrutura que se apresenta em seguida. Concludooclculodevolumes,verifica-seseosvolumesdeescavaoeaterroseequilibram,procedendo-sede seguidaaoestudodadistribuiodasterras.Dosvriosmtodospossveisparaesteestudo,vaiutilizar-seodogrficode Bruckner(figura2.50.):sobreumalinhahorizontalmarcam-seosperfisnamesmaescalaadoptadanoperfillongitudinal, marcando-seemordenadasosvolumesacumulados,correspondendoasordenadaspositivasaexcessosdeescavaoeas negativas a excesso de aterro. As ordenadas obtm-se de um mapa previamente elaborado (mapa n 3 movimento de terras), que seguidamente se apresenta, em que so inscritos em colunas separadas os volumes a movimentar em cada perfil e entre os diversosperfis(volumesacumulados),figurandoapenasestesltimosnogrfico.Marcadasasordenadas,ligam-seos respectivos extremos por uma linha quebrada que limitar as reas correspondentes aos transportes e que se denomina linha de volumes:semprequeestalinhafechanoeixodasabcissasobtm-seumpontoondeosexcessossonulos,isto,ondeh compensao. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 37/84 N do perfil Distncia entre Distncia mdia Escav aes Ate rros Superfcies a regularizar perfis (m)reas (m2Volumes (m3)reas (m2Volumes (m3)Largura (m)rea (m2) 16.252.80182.80183.6023 12.50 214.10--21.002967.50106 15.70 315.35--8.901373.6055 15.00 p.p.14.65------ 14.30 412.1514.501870.4056.6080 10.00 p.p.12.45------ 14.90 516.35--9.001473.8062 17.80 612.850.40510.801394.0051 7.90 78.002.30188.30666.8054 8.10 816.45--32.0052611.60191 p.p.24.8017.40------ 910.0022.9517.203951.00237.00161 35.90 1027.8515.40429--4.40122 19.80 1116.859.30157--2.4040 13.90 1232.8520.10660--5.20171 51.80 1351.8012.80663--5.00259 51.80 1429.659.302761.10335.40160 7.50 p.p.19.60------ 31.70 1526.55--18.704966.80180 21.40 1619.302.00397.301415.0097 17.20 1716.40--6.201022.6043 15.60 1818.35--13.902556.50119 21.10 1921.35--11.302415.00107 21.60 p.p.18.30------ 15.00 2015.1011.60175--4.2063 15.20 2114.1513.00184--4.5064 13.10 226.557.4048--2.0012 Somas503.60503.60325426212220 Mapa n2: clculo dos volumes de escavao e de aterro TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 38/84N do perfil VolumesVolume a remover EscavaoAterro EscavaoAterrolateralmenteExcesso em cada perfilAcumuladoExcesso em cada perfilAcumulado 1181818---- 2-292---292292 3-137---137429 418755182--247 5-147---147394 651395--134528 7186618--48576 8-526---5261102 93952323372--730 10429--429--301 11157--157--144 12660--660516-- 13663--6631179-- 1427633332431422-- 15-496--926496- 163914139-824102- 17-102--722102- 18-255--467255- 19-241--226241- 20175--175401-- 21184--184585-- 2248--48633-- Somas325426211413113-2480- Mapa n 3: movimento de terras A compensao poder ser feita pela linha segundo a qual se marcaram as distncias, aparecendo assim no final do traadoexcessodeescavaooudeaterro,exceptuandooscasospoucoprovveisdecompensaocompletaousegundo linhas de compensao paralelas, havendo neste caso depsitos ou emprstimos ao longo do traado. AnalisandoogrficodeBruckner,verifica-sequesepodervariarosentidodostransportespeladeslocao,para cima ou para baixo, da linha de distribuio. A considerao das linhas de distribuio muito importante para a economia do movimentodeterras;custadeemprstimosededepsitosdeterras,poder-se-fazervariarosentidodostransportes, fazendo-oobedeceraosentidodasdescidas.tambmimportanteverificarsehcondiesfsicasparaefectuarnocampo esses emprstimos ou depsitos. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 39/84A rea de um segmento limitado pela curva e pela linha de distribuio vem expressa em m3xm, ou seja, m4; esta rea designa-se pormomento de transporte, por analogia com oproduto de uma fora pela sua distncia a um centro de rotao. Dividindoomomentodetransportepelovolumemovimentadoaolongodoeixodaestradaobtm-seadistnciamdiade transporte. Para o clculo das distncias de transporte medem-se as reas compreendidas entre a linha de volumes e a linha de compensaoesubstituem-seporrectnguloscujaalturacorrespondeordenadamxima;adistnciadetransporte corresponderbasedessesrectnguloseovolumetransportadosuaaltura.Adistnciamdiadetransportearelao entre os momentos de transporte e respectivos volumes: V) V d (dm = . No exemplo apresentado, omovimento de terras traduz-se por 141 m3 de terras a remover lateralmente, 633m3 de terras a conduzir a depsito e 2480 m3 de terras a remover longitudinalmente. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22d=54.15 mV=855 mM=46301.45 md=198.36 mV=247 mM=48997.30 md=24.69 mV=182 mM=4493.25 md=93.35 mV=789 mM=73656.72 m figura 2.50. Distribuio das terras ao longo do traado TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 40/84Exemplo:AfigurarepresentaogrficodeBrucknerdeprojectodumtroodeumaestrada,oqualtemcontinuidadepara ambososlados.Admitindoqueexisteumlocaldedepsitoaokm0+300eumlocaldeemprstimonofimdotroo considerado e que as operaes de transporte so realizadas com um nico meio mecnico: a)Indique a movimentao de terras preconizada e estime a distncia mdia de transporte. b)Se entre o km 0+500 e o km 0+700 se realizaram 2000 m3 de escavao, quantos m3 se efectuaram de aterro? c)Se o traado atravessar uma zona baixa em aterro, entre que quilometragem essa zona previsivelmente se localiza?

a) TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 41/84Qualquer recta horizontal traada sobre o diagrama determina trechos de volumes compensados (volume de corte = volume de aterro). Estas horizontais, por conseguinte, so chamadaslinha de compensao. A medida do volume dada pela diferena de ordenadas entre o ponto mximo ou mnimo do trecho compensado e a linha horizontal de compensao. A distncia mdia detransportedecadadistribuiopodeserconsideradacomoabasedeumrectngulodereaequivalentedosegmento compensado e de altura igual mxima ordenada deste segmento

VolumeDistnciaMovimento 1000(200+75)/2=137.5137500 333.3325/2=12.54166.67 166.6712.5/2=6.251041.67 150075+300+114.289+(112.5+85.71)/2=588.4882592.5 1000(200+75)/2=137.5137500 2000(100+114.289)/2214285.7 = 5 . 1377086 Movimentos , = 6000 Volumes , Distncia mdia de transporte=229.5 m b) km 0+500: 3000 m3 de excesso de terras km 0+700: 2000 m3 de excesso de terras 3000 2000 x = 2000 => x = 3000 m3 de aterro c)Entre o km 0+500 e o km 0+700TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 42/84 Figura 2.51. Modelo digital do terreno, da plataforma e dos taludes A parte tediosa do clculo dos movimentos de terras removida atravs da utilizao de modelos digitais do terreno, nos quais as superfcies do terreno e de projecto so definidas matematicamente em termos de coordenadas tridimensionais. A partir destes elementos, possvel definir o traado ptimo quer a nvel do plano horizontal quer a nvel do plano vertical. A definiodesecestransversaiseoclculodevolumessoefectuadasnumericamente(combasegeralmenteemredesde tringulos ou quadrilteros) com a preciso compatvel com o levantamento de base utilizado (figura 2.51.). 2.7. Diviso de parcelas Relativamente figura 2.52., pretende-se dividir a parcela ABCBEFA cujos vrtices tm coordenadas conhecidas em duas partes de reas previamente fixadas. Procede-se ento da forma seguinte: 1.calcular a rea total ABCDEFA 2.marcar os pontos G e H sobre as estremas da parcela que aproximadamente definem as reas pretendidas 3.medir a distncia CG e calcular o rumo RCD, o que permite o clculo das coordenadas do ponto G 4.definir a linha de G at ao vrtice da parcela mais prximo de H, neste caso F 5.calcular a distncia GF e os rumos RFA e RGF, o que permite calcular o ngulo =180 - RFA - RGF 6.calcular a rea DEFGD 7.calcular a rea FGHF=rea DEFHGD- rea DEFGD (a rea DEFHGD foi definida previamente) 8.do tringulo FGHF tem-se rea FGHF=0.5 x FHxGF x sin , donde FH=rea FGHF/(0.5 x GF x sin ) 9.calcular as coordenadas do ponto G 10. a posio correcta do ponto H obtm-se medindo a distncia FH a partir do ponto F TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 43/84 figura 2.52. Diviso de uma parcela UmaoutrasituaoquepodeocorrerconsistenadivisodaparcelaABCBEFGAcujosvrticestmcoordenadas conhecidasemduaspartesdereaspreviamentefixadassegundoalinhaHJ,derumotambmpreviamentefixado(figura 2.53.). Procede-se ento da forma seguinte: 1.estacionarnovrticeAdaparcelaedefiniropontoXsobreumadasestremasopostassegundoorumo previamente fixado 2.calcular o rumo RAD e a distncia AD 3.calcular a rea ABCDA 4.no tringulo ADX so conhecidos =RAX-RAD, =RDA-RDE, =RXD-RXA+360, onde RXD=RED e a distncia AD, pelo que possvel calcular a distncia AX e as coordenadas do ponto X: AX=AD x sin /sin , assim como a rea ADXA e a rea ABCDXA=rea ABCDA+rea ADXA 5.a diferena entre a predefinida e a rea ABCDXA pode ser positiva ounegativa, pelo que deveser somada ou subtradaumarearesidualdefinidasegundoumalinhaparalelalinhaAX;suponha-sequeestareao trapzioAXJHA,cujareaconhecida,paraalmdocomprimentoerumodalinhaAXedosrumosdos restantes lados. 6.comoosrumosdosladosdotrapziosoconhecidos,osngulose podemsercalculados;daquitem-se YH=x tan e JZ=x tan , donde possvel calcular o valor de x a partir derea[AXJHA]=rea[AXZYA]-(rea[AHYA]+rea[XZJX])= ) tan x2xtan x2x( x AX + = ) tan (tan2xx AX2 + 7.conhecido x, as distncias AH e XJ podem ser calculadas de forma a implantar a HJ linha pretendida. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 44/84 figura 2.53. Diviso de uma parcela 2.8. Terraplenagens Asplataformassoobrasprojectadaseexecutadascomafinalidadedetornarplanaasuperfcieirregulardeum terreno, podendo ser horizontais ou inclinadas. Relativamente ao tipo de movimento de terras utilizado, as plataformas podem ser classificadas em plataformas de aterro, plataformas de escavao (corte) ou plataformas de aterro e escavao.Sempre que se executa um corte ou aterro num determinado terreno, necessrio criar planos inclinados (de corte ou aterro) para a conteno do terreno adjacente. Esses planos inclinados recebem o nome de taludes de corte ou saias de aterro (ou, mais simplesmente taludes, tanto no caso de aterro como no caso de escavao). A inclinao (taludao) desses planos de conteno depende do ngulo de atrito do material do solo (isto , do maior ngulo para o qual o plano se mantm estvel) e do estado de agregao em que o revestimento se encontra. Como no caso de escavao o material do solo (terreno original) estmais coeso do queno caso do aterro (solo transportado), o ngulo de atrito para ocaso de escavao maior do que o ngulo de atrito para o caso de aterro (desde que o aterro seja construdo do mesmo material que o terreno de escavao). Exemplo: Seja abcd uma plataforma horizontal de cota 100 m que se deseja implantar na posio indicada na planta da figura 2.54.; como os segmentos de recta ab, bc, cd e da pertencem plataforma, so horizontais. Suponha-se que atravs doestudogeotcnicodoterreno,seconsiderouumataludao1para1paraostaludesdeescavao(equivalenteauma inclinaode45)eumataludao1para1.5paraostaludesdeaterro(equivalenteaumainclinaode33.69).Comoa plantaumarepresentaoobtidaporprojecoortogonal,difcilmarcar(semrebatimento)ataludaodessesplanosde conteno;recorre-seentoequidistnciadaplantaedistnciahorizontalentredoispontoscujadiferenadecotasseja uma unidade: os taludes, de aterro e de escavao, so determinados pelas suas rectas de maior declive: TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 45/84escavao:00 . 1 an cot horizontal distncia , 1 / 1 tan taludao , 45e e e e e= = = = = aterro:50 . 1 an cot horizontal distncia , 5 . 1 / 1 tan taludao , 69 . 33a a a a a= = = = = figura 2.54. Terreno natural com implantao da plataforma e dos taludes Pretendendo-se a plataforma cota 100 m, a curva denvel do terreno original correspondente a essa cota separa a regio abfe, que sofrer escavao, da regio cdef, que sofrer aterro. A curva de nvel 100 m, no trecho ef recebe o nome de linha de passagem (de escavao para aterro). Os planos inclinados E1, E2 e E3, limitados respectivamente por ea, ab ebf,sotaludesdeescavao;comoconsequncia,asprojeceshorizontaisdasintersecesentreE1eE2eentreE2eE3 so,respectivamente,asbissectrizesdosnguloseabeabf.Deformaidntica,osplanosinclinadosA1,A2eA3, limitados respectivamente por ed, dc e cf so taludes de aterro; como consequncia, as projeces horizontais das interseces entre A1 e A2 e entreA2 eA3 so, respectivamente, as bissectrizesdos ngulos edc e dcf. Devem entomarcar-se as bissectrizes dos ngulosdosvrticesdaplataforma,queseroprojecesdasintersecesentreplanosinclinadosdecontenodomesmo tipo. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 46/84 figura 2.55.Terraplenagem correspondente implantao da plataforma As curvas de nvel contidas nos planos inclinados de conteno so perpendiculares s rectas de maior declive desses planosinclinadosesorepresentadascomamesmaequidistnciadascurvasdoterrenonatural;ascurvasdenveldedois planos inclinados de conteno que se intersectam cruzam-se na bissectriz traada pelo correspondente vrtice da plataforma, o que permite que seja traada apenas uma recta de maior declive para o talude de escavao e apenas uma para o talude de aterro. Comoabumarectahorizontal,arectademaiordeclivedoplanoE2serperpendicularaab(abpertenceaE2), determinando o ponto de cota 100 m. A partir do valor calculado para a distncia horizontal de escavao (1.00), possvel graduar, na mesma escala da planta, a recta de maior declive do talude de escavao, determinando as posies das curvas de nvel do plano E2 correspondentes s cotas 101, 102, 103, etc.. As curvas de nvel dos taludes de escavao E1 e E3 so obtidas a partir da interseco das curvas de nvel do plano E1 com, respectivamente, as bissectrizes dos vrtices a e b da plataforma. Apartirdovalorcalculadoparaadistnciahorizontaldeaterro(1.50),possvelgraduar,namesmaescalada planta,arectademaiordeclivedotaludedeaterro,determinandoasposiesdascurvasdenveldoplanoA2.Arectade maior declive de A2 tem a respectiva projeco horizontal perpendicular recta de maior declive de A2, obtendo-se assim as curvasdenveldesteplanoinclinadocorrespondentesscotas97,98,99,etc..AscurvasdenveldosplanosA1eA3so determinadas a partir da interseco das curvas de nvel de A2 com, respectivamente, as bissectrizes dos vrtices d e c.TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 47/84Determinam-seemseguidaospontosemquecadacurvadenveldoterrenooriginalencontraascorrespondentes curvasdamesmacotadostaludes,cujauniosedesignaporlinhadeoff-set.Oterrenomodificado,porimplantaoda plataforma, tem ento o aspecto apresentado na figura 2.55., onde se podem observar que as curvas de nvel do terreno natural sofrem uma alterao ao atingiram as linhas de off-set, coincidindo com as curvas de nvel dos taludes at novo encontro com uma linha de off-set, quando retomam a configurao original. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 48/84Exerccios 1.Representeemmicrostationoexemploestudadoecomparecomaresoluoanaltica:aestradadeacessoauma antena, com uma largura igual a 5 metros e com comprimento igual a 50 m, deve subir com uma taludao igual a 1 em 15, ao longo de uma encosta cuja taludao igual a 1 em 10 (figura 2.7.). Supondo que as reas de escavao e aterro devem equivaler-se, determine a abertura do lado da escavao e o volume de escavao, supondo que as taludaes so iguais a 1 em 1 na berma em escavao e 1 em 2 na berma em aterro (no eixo h>0). 2.Representeemmicrostationoexemploestudadoecomparecomaresoluoanaltica:emplanta,umavalapara irrigao mede 7.5 m de largura por 13.5 m de comprimento. Utilizando a tabela seguinte, que traduz a profundidade, em metros, nos pontos indicados, estime o volume de escavao que foi necessrio efectuar (supondo naturalmente o terreno original horizontal). m/m03.05.07.510.011.513.5 00.01.50.04.56.24.70.0 2.51.22.910.69.77.98.42.5 5.02.53.78.78.79.48.43.6 7.50.00.01.97.66.86.30.0 3.A taludao do terreno igual a 1 em 20, a largura da faixa de rodagem igual a 12.00 metros, a altura de projecto noeixoiguala3.05metros;seataludaodasbermasforiguala1em2,calculeasaberturaseasreasdasduas seces transversais. 4.As coordenadas dos vrtices de uma parcela, em metros, esto indicadas na tabela. Calcule a) a rea da parcela, em hectaresb)ascoordenadasdaextremidadedeumavedaoquepartindodovrticeF,cortaaparcelaemduasreas iguais. MP A10001000 B1200840 C1630795 D20001070 E17201400 F13101540 G9051135 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 49/845.Aestradadeacessoaumtnelhorizontal,temumcomprimentode360metemumalargurade10m.A interseco da plataforma da estrada com o terreno natural (uma encosta cuja linha de maior declive tem uma taludao de 1 em 10) perpendicular ao eixo do tnel. A estrada termina na base de um talude de escavao cuja taludao de 1 em 1, enquanto que as taludaes laterais so de 1 em 1.5 . Calcule o volume de escavao associado construo da estrada. 6.Calculeovolumedeaterrode6lanosconsecutivosde20metrosdecomprimento(correspondentesa7perfis) para a construo de uma via rpida, onde o terreno apresenta uma taludao de 1 em 5. A largura da faixa de rodagem igual a 8metros e a taludao das bermas igual a 1 em 2, sendo as alturas de projecto de cada perfil, emmetros,iguais respectivamente a 2.50, 3.10, 4.30, 4.25, 4.45, 3.60 e 3.20. 7.Digitalizeascurvasdenvelealocalizaodaplataformacorrespondenteaoexemploestudado:sejaabcduma plataforma horizontal de cota 100 m que se deseja implantar na posio indicada na planta da figura 2.29.; suponha-se que atravs do estudo geotcnico do terreno, se considerou uma taludao 1 para 1 para os taludes de escavao e uma taludao 1 para 1.5 para os taludes de aterro. Calcule graficamente os volumes de escavao e aterro. 8.Considereaplantaseguinte,ondeascotasestoemmetros.Calcularovolumedecortequandooprojectoexigir uma plataforma horizontal na cota 3. 9.Calcular a cota final para a plataforma horizontal com volumes de escavao e aterro iguais. Calcular o nmero de viagens de camio com capacidade para transportar8 m3 por viagem caso seja imposta a cota final de 3.5 m. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 50/8410. Calcular a cota final para o plano horizontal de forma que sobrem 180 m3 de terra, que sero usados num aterro. 11.Num terreno cuja planta topogrfica se anexa, pretende-se construir uma plataforma horizontalABCD na cota 35 m (AD=35m). Depois da plataforma construda, deve ser efectuada uma ligao ao terreno na cota 29 m atravs de uma rampa EFGH, cujo declive constante. Sendo a taludaodos taludesde corte igual a 1/1 e dos taludes de aterro igual a 2/3, determine as linhas que definem os topos e as bases dos taludes, e o volume de corte e de aterro. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 51/84 12.A figura representa o projecto de uma plataforma abdef, cuja inclinao definida por a(18), b(18) e c(13), sendo a curva de nvel de cota 13 a linha de passagem, devendo ser consideradas as taludaes de 1 em 2 no caso das escavaes e de 1 em 3 no caso dos aterros. 13.Considere a imagem barragem.tif. Considerando o coroamento da barragem cota 290m: a)Digitalize a 3D a informao contida nessa imagem. b)Escale a informao digitalizada utilizando a quadrcula quilomtrica. c)Georeferencie correctamente a informao digitalizada. d)Considerando a albufeira cheia at cota 280 m, calcule o volume de gua armazenado. e)Considerando a albufeira cheia at ao nvel de pleno abastecimento (NPA), calcule o volume de gua armazenado. f)Qual a taludao do paramento montante da barragem? g)Suponha que aps o enchimento se entendeu necessrio reforar a estrutura da barragem aumentando a taludao do paramento juzante para o valor 1/2.5; represente esta obra. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 52/84 14.Pretende-se construir uma plataforma com6m de largura. Representaram-se os perfis transversais 1, 2 e 3 escala 1:250, sendo a distncia entre perfis sucessivos igual a 25m. Em cada um dos perfis indica-se a rea grfica correspondente escavao ou aterro a executar. a)Apresentenumdesenhoesquemticoumpossvelperfillongitudinaldoterrenoentreospontos1e3,colocandoem abcissasasdistnciasentreospontos1,2e3eemordenadasaposiorelativaaproximadadascotasdoterrenoede projecto. Identifique no desenho as zonas de escavao (E) e de aterro (A). b) Determine os volumes de escavao e de aterro entre o primeiro e o ltimo dos perfis representados. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 53/8415.Pretende-seconstruirumaplataformacom5mdelargura.Representaram-seosperfistransversais1,23e4escala 1:500, sendo a distncia entre perfis sucessivos igual a 20m. Em cada um dos perfis indica-se a rea grfica correspondente escavao ou aterro a executar. a)Apresentenumdesenhoesquemticoumpossvelperfillongitudinaldoterrenoentreospontos1e4.Utilizeum referencial ortogonal colocando em abcissas os pontos 1, 2, 3 e 4 e em ordenadas a posio relativa das cotas do terreno e de projecto. Identifique zonas de aterro/escavao. b) Determine os volumes de escavao e de aterro entre o primeiro e o ltimo dos perfis representados. 16. A figura seguinte representa parte de uma carta escala 1: 1 000.a) Entre os pontos A e B trace um perfil longitudinal do terreno sobrelevado 2 vezes.b) No perfil longitudinal desenhado e entre os mesmos pontos trace uma plataforma horizontal com cota de 108m. Identifique zonas de aterro e de escavao e os respectivos perfis de passagem. c)Paraclculodosvolumesdeterraamovimentar(escavaoeaterro)necessrioescolhercriteriosamentelocaispara realizaodeperfistransversais.Quantosperfistransversaisdeveroserrealizados?Indique-osnamesmafigura(utilize nmeros para este efeito). d) Repita a resoluo da alnea b) considerando que a plataforma desce de A para B, com cota de partida de 109m e inclinao de 1,55. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 54/8417.A figura representa o perfil longitudinal do terreno. Projecte a rasante correspondente a uma estrada de duas faixas que ligaospontosAeBsabendoqueaquilometragemdopontoAiguala100.000earespectivacotaiguala218.000m, sendo o declive do trainel precedente igual a -1.0%e que a quilometragem do ponto B igual a 3400.000 e a respectiva cota igual a 170.500 m, sendo o declive do trainel seguinte igual a -1.5%. Ao quilmetro 1900.000 a estrada cruza uma linha de gua,oquerequerautilizaodeumatubagemcom1mdedimetro.Aoquilmetro1150.000aestradaintersectauma estradajexistente.Seleccionearasantequeconsiderarmaisconveniente,desdequeverifiqueasnormasdetraado, indicando os declives dos trainis, a localizao dos pontos de interseco e respectiva cota, a localizao e cota dos pontos de transioparacurvasverticais,assimcomoosrespectivosdesenvolvimentos.Defendaassuasopesnumamemria descritiva, que inclua as normas aplicveis, os objectivos do projecto de rasante e as decises mais importantes. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 55/8418.ProjecteadirectrizqueligaospontosAeButilizandoomapatopogrfico,quedevesercompatvelcomasduas tangentesjimplantadas.OrumodatangenteemAN6621EeodatangenteemBN7415E.Podeseleccionarquais quaisquer elementos de traado que entender adequado, desde que verifiquem as normas de traado, indicando os rumos e os comprimentosdastangentes,osngulosdedeflexoentretangentesealocalizaodospontosdeinterseco,osraiose ngulosaocentrodascurvascirculares,oscomprimentosdasclotides,etc..Defendaassuasopesnumamemria descritiva, que inclua as normas aplicveis, os objectivos do projecto de directriz e as decises mais importantes. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 56/8419.ProjecteadirectrizparaumprojectodeviafrreaqueligueospontosAeB.Parareduziroscustosoperacionais, pretende-se que o declive aolongo da linha noultrapasse 0.5%. Os rumos das tangentes emA e B so iguais a N4500E. Podeseleccionarquaisquaisquerelementosdetraadoqueentenderadequado, desdequeverifiquemasnormasdetraado, indicandoosrumoseoscomprimentosdastangentes,osngulosdedeflexoentretangentesealocalizaodospontosde interseco, os raios e ngulos ao centro das curvas circulares, os comprimentos das clotides, etc.. Defenda as suas opes numamemriadescritiva,queincluaasnormasaplicveis,osobjectivosdoprojectodedirectrizeasdecisesmais importantes. 20.A figura representa o grfico de Bruckner de projecto de um troo de uma estrada, o qual tem continuidade para ambos os lados. Depois de iniciada a obra verificou-se que entre o km 5+200 e o km 5+400 o solo muito plstico e compressvel, no podendoserusadonaexecuodocorpodeaterro,emborasepossaconstruirumaterrosobreele.Osvolumesqueem projecto se previam realizarso: entre o km 5+000 e o km 5+200: Vesc = 4000 m3, entre o km 5+200 e o km 5+400: Vesc = 9000 m3, entre o km 5+400 e o km 5+700: Vat = 4000 m3, entre o km 5+700 e o km 6+000: Vesc = 9000 m3. Admita ainda que se vo realizar as operaes de transporte com um s meio mecnico. Indique a movimentao de terras global, identificando os volumes e as distncias necessrias para concretizar cada movimento necessrio. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 57/84 21. 22. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 58/84Bibliografia: Surveying. Theory and Practice. Davis, Foote, Anderson, Mikhail. McGraw-Hill Advanced EngineeringSurveying. Shepherd F. A.. Edward Arnold Ed. Vias de Comunicao-Estradas. Antnio Lemonde de Macedo. IST Vias de Comunicao. Jorge Paulino Pereira. IST Transportation Engineering-An introduction. Khisty C. J., LallB. K.. Prentice Hall Engineering Surveying. Schofield W.. Butterworth-Heinemann Topografia e astronomia de posio para engenheiros e arquitetos. Domingues F. A.A.. McGraw-Hill Geomatics. Kavanagh B. F.. Prentice Hall. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 59/841. 2. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 60/843.m 443 . 132012120 21205 . 3212wR=++ = ;m 000 . 112012120 21205 . 3212wL=++ = ; 22 2am 944 . 55 12 * 05 . 32 20) 20 05 . 3 2 12 (2 202 ) 12 20 05 . 3 2 (20 81A = +|||

\|+ + + = 4.2m 508225 ) 1000 1135 905 1540 1310 1400 1720 1070 2000 795 1630 840 1200 10001000 905 1135 1310 1540 1720 1400 2000 1070 1630 795 1200 840 1000 (21ABCDEFG= + + + + + + = ==22m 5 . 254112 FXCDEFBm 5 . 254112 FXBAGFBABCDEFGA755016 . 156745320tan a1540 7951310 1630tan aP PM Mtan a RF CF CFC==== ;m 817 . 810 ) P P ( ) M M ( C F2F C2F C= + =974323 . 27545430tan a795 8401630 1200tan aP PM Mtan a RC BC BCB===780693 . 60 974323 . 275 755016 . 156 180 R RCB CF= + = = 2m 229875 ) ( ) 1310 795 1630 1070 2000 1400 1720 1540 1540 1630 795 2000 1070 1720 1400 1310 (21FEDCF = + + + = FEDCF 5 . 254112 FXCF = =24237.5 m2 m 502 . 68sin C F 5 . 0FXCFC X = = TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 61/84 5. Recta AC: a=0.1, b=0 => y=0.1x Recta BC: a=1, b=-360 => y=-360+x ComoopontoCpertenceaambasasrectas,tem-se:0.1x=-360+x0.9x=360x=360/0.9=400 e y=40 Como as taludaes laterais so 1 em 1.5, para uma altura de 40 madistnciahorizontalcorrespondenteiguala60m;tem-se ento z=10+2x60=130 m. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 62/84a)Considerando os planos A, M, B (representados a azul na figura) paralelos face com taludao 1/1: 2 18022360 d360d 45 cos = = =(distncia entre os planos A e B) 2802240hh40 45 sin = = =Seco obtida por interseco do plano B com a cunha: rea da seco B = 2m25600280210 130= + Seco obtida por interseco do plano M com a cunha: rea da seco M = 2m21600240210 70= + Volume do prismide: 3Pm 360000 ) 6400 5600 ( 30 )21600 425600(62 180V = + =+ =(A=0) b)Considerando os planos A, M, B (representados a encarnado na figura) paralelos plataforma da estrada: TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 63/84 Seco obtida por interseco do plano A com a cunha: rea da seco A = 2m 3600 360 10 = Seco obtida por interseco do plano M com a cunha: rea da seco M = 2m 12600 180 70 = Volume do prismide: 3Pm 360000 ) 12600 4 3600 (640V = + =(B=0) Utilizando o siteworks, tem-se TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 64/84

Triangle Volume Report

Original Surface: superficie original Design Surface: superficie escavada

CutFill Net (cum) (cum) (cum) --------------------------------------------- 360000.000.00360000.00 6. D=20 m; mT=5; b=8 m; m=2; 2 2T22T2m mbhm2bm h mA|||

\|+ ||

\|+= +bh;( )2i 1 i2 2TT2ph h mm mm6DC =+ Volume total=8607.77 m3 Resoluo grfica: h1=2.50 mA1=40.22 m2 wR=15.00 mwL=6.43 m V1=D(A1+A2)/2=941.60 m3 Cp1=2.86 m3 Vp1=V1-Cp1= 938.74 m3 h2=3.10 mA2=53.94 m2wR=17.00 mwL=7.29 m V2=D(A2+A3)/2= 1404.40 m3Cp2=11.43 m3Vp2=V2-Cp2= 1392.97 m3 h3=4.30 mA3=86.50 m2wR=21.00 mwL=9.00 m V3=D(A3+A4)/2= 1715.10 m3Cp3=0.02 m3Vp3=V3-Cp3= 1715.08 m3 h4=4.25 mA4=85.01 m2wR=20.83 mwL=8.93 m V4=D(A4+A5)/2= 1760.50 m3Cp4=0.32 m3Vp4=V4-Cp4= 1760.18 m3 h5=4.45 mA5=91.04 m2wR=21.50 mwL=9.21 m V5=D(A5+A6)/2= 1577.20 m3Cp5=5.73 m3Vp5=V5-Cp5= 1571.47 m3 h6=3.60 mA6=66.68 m2wR=18.67 mwL=8.00 m V6=D(A6+A7)/2= 1230.60 m3Cp6=1.27 m3Vp6=V6-Cp6= 1229.33 m3 h7=3.20 mA7=56.38 m2wR=17.33 mwL=7.43 m TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 65/84a)supondoaestradaematerrocomoeixohorizontal,cadaumadas7secesdefinidapelosrespectivosvrtices, cujas coordenadas so obtidas em relao ao referencial (x,y,z) considerado calculando as interseces das rectas que definem a forma das seces: h=2.50x=0y=-6.4286z=1.2857y=15z=-3 h=3.10x=20y=-7.2857z=1.4571y=17z=-3.4 h=4.30x=40y=-9z=1.8y=21z=-4.2 h=4.25x=60y=-8.9286z=1.7857y=20.8333z=-4.1667 h=4.45x=80y=-9.2143z=1.8429y=21.5z=-4.3 h=3.60x=100y=-8z=1.6y=18.6667z=-3.7333 h=3.20x=120y=-7.4286z=1.4857y=17.3333z=-3.4667 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 66/84 Triangle Volume Report Original Surface: terreno Design Surface: aterro Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 0.00008607.4082 -8607.4082 b)supondo a estrada em escavao com o eixo segundo a linha de maior declive do terreno, tem-se: TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 67/84 Triangle Volume Report Original Surface: terreno Design Surface: escavacao Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 7076.6333 0.00007076.6333 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 68/847. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 69/84 Triangle Volume Report Original Surface: natural Design Surface: plataforma Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 9372.3334 10755.1637 -1382.8303 8. Considerando 2 perfis longitudinais, tem-se: (0,3) (10,3)(0,3.2)(20,3)(10,4)(20,4.8) (0,3) (10,3) (20,3)(0,4.4)(10,5.1)(20,5.6) TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 70/84 21m 20 ) 48 60 60 30 32 80 96 30 (21)302 . 304108 . 42032031030(21A = + + + = = 22m 41 ) 56 60 60 30 44 102 112 30 (21)304 . 401 . 5106 . 52032031030(21A = + + + = = 3m 305 10 x241 20V =+= Triangle Volume Report Original Surface: natural Design Surface: plataforma Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 306,6667 0,0000 306,6667 9. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 71/84 Triangle Volume Report Original Surface: terreno Design Surface: cota 3 m Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 875.7800 649.1134 226.6667 Original Surface: terreno Design Surface: cota 3.1 m Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 795.2940 728.627466.6667 Original Surface: terreno Design Surface: cota 3.12 m Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 779.7234 745.056734.6667 Original Surface: terreno Design Surface: cota 3.14 m Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 764.3271 761.6604 2.6667 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 72/8410. Triangle Volume Report Original Surface: terreno Design Surface: cota 5 m Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 305.4636 483.7969-178.3333 Original Surface: terreno Design Surface: cota 4.5 m Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 531.3839 259.7173 271.6667 Original Surface: terreno Design Surface: cota 4.7 m Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 432.0649 340.398291.6667 Original Surface: terreno Design Surface: cota 4.6 m Cut FillNet (cum)(cum)(cum) ---------------------------------- ----------- 480.1766 298.5100 181.6667 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 73/8411.Ostaludesdaplataformahorizontalsofacilmentemarcadospoisalinhademaiordeclivedecadaumdestesplanos perpendicularaolimitedaplataforma.Nocasodostaludesdarampanecessriodeterminaraslinhashorizontaisdesses mesmos planos. Considerando um plano de taludao T e sobre ele o segmento de recta EH conhecido, pretende-se determinar a direco das rectashorizontais do plano. Para o efeito, projecta-se ortogonalmente sobre o planohorizontal que contm o pontoHosegmentoEH,definindo-seosegmentoHE,comcomprimentodh,sendodvadiferenadecotasentreEeH. Desenha-se em seguida com centro em E uma circunferncia cujo raio obtido mantendo a proporcionalidade 1/T aplicada a dv,ouseja,T*dv.Desenha-seporfimoarcocapazdosegmentoHEcorrespondenteaumngulode90,cujocentro coincide com amediatriz dosegmento HE (ou seja, o lugar geomtrico dos pontos que subtendem para HEum ngulo de 90, que para cada ponto dessa circunferncia forma um tringulo rectngulo cuja hipotnusa a distncia dh). A direco das rectas horizontais do plano obtem-se ligando o ponto E interseco das duas circunferncias anteriores, de forma a que o cateto do tringulo rectngulo anterior que tem comprimento T*dv (por ter que pertencer a ambas as circunferncias) tenha a direco da linha de maior declive do plano , tendo o outro cateto (ortogonal ao primeiro, por o tringulo ser rectngulo) a direco das rectas horizontais do plano . TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 74/84O procedimento anterior, para o talude de aterro do lado esquerdo de quem sobe a rampa, supondo que a imagem foi correctamente digitalizada e escalada : a) em planta (vista top), fazer uma cpia do segmento EH (H est cota 29 m e E est cota 35 m) e alterar a cota do ponto E para 29 m (modify element, dx=0,0,-6), obtendo-se o segmento horizontal HE b)noplanodecota29m(AZ=29m),desenharumacircunfernciacomcentronopontomdiodosegmentohorizontal anterior e contendo os pontos H e E. c) sendo a diferena de cotas dos pontos E e H igual a 6 m e sendo a taludao do plano de aterro igual a 2/3, traa-se com centro em E uma circunferncia com raio igual a9236 = m, definindo-se o ponto P de interseco das 2 circunferncias. d) construir a recta que passa por H e por P, que define a direco da linha horizontal do plano da rampa cota 29 m. e) efectuar cpias da linha anterior para as cotas 30 m, 31 m, 32 m, 33 m e 34 m. Determinao da direco daslinhas horizontais do plano do talude da rampa TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 75/84 Terreno original Terreno aps implantao da plataforma e da rampa. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 76/84 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 77/8412. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 78/84 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 79/8413. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 80/84 TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 81/8414.a) b) Areareal(Ar)do perfilcalculadaapartirdareagrfica(Ag)edodenominadordaescala(m)combasenaexpresso: Ar=Ag*m2=2,2*2502=137500cm2=13,750m2.Adistnciaentrequalquerperfileoperfildepassagem(pp)nodeveser inferida do perfil longitudinal; para o clculo destas distncias aplica-se uma regra de 3 simples (interpolao linear) com base nadimensodasreasdosperfisemcausa(readoperfil1ereadoperfil2)edadistnciaentreestes(nocaso25m). Assim, a rea 3,9 cm2 =2,2+1,7 est para a distncia entre os perfis 1 e 2 (25m), tal como a rea 2,2 cm2 est para a distncia x (entre o perfil 1 e pp); logo a distncia do perfil 1 ao pp= rea do perfil 1*25/(rea perfil 1+ rea perfil 2) em metros; a distncia do pp ao perfil 2 (y) em metros =25 - distncia do perfil 1 ao pp. (2,2+1,7) -------25m 2,2----------------x = 14,103 m, logo y=25-14,103=10,897 m (1,7+1,6) -------25m 1,7 ---------------x= 12,879 m, logo y=25-12,879=12,121 m. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 82/8415. a) b) TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 83/8416. TOPOGRAFIA APLICADA2. Movimento de terras DEGGE Engenharia Geogrfica jcalvao@fc.ul.pt 2011/2012 84/8420.