2a parte derivadas parciais

h 0

h 0

2ª Parte: Diferenciação Parcial

Dada as funções:

a) f(x, y) = x2 + y2

b) f(x, y) = y2 + 3x

determinaremos a: f x h y f x y

h

, , e

f x y h f x y

h

, ,

Passando o limite das funções quando h 0 obteremos a taxa de variação instantânea.

1o) lim 2x + h = 2x

2o) lim 2y + h = 2y

2.1. Derivada Parcial de Função de Várias variáveis

Definição 1: Se f é uma função de duas variáveis, então as derivadas parciais primeiras de f em

relação a x e a y são as funções fx e fy definidas como segue :

fx (x,y) = lim f x h y f x y

h

( , ) ( , ) e

fy (x,y) = lim f x y h f x y

h

( , ) ( , ) desde que existam os limites.

Outras notações usuais para derivadas: ff

xx

e ff

yy

Exemplo 1 : Dada a função: f(x, y) = 3x2 - 2xy + y2, encontre fx e fy , aplicando a definição.

Exemplo 2: Para a função do f do Exemplo 1, encontre fx (3,-2) e f (3,-2)

www.pucrs.br/famat/salett

h0

h0

Interpretações geométricas de derivadas parciais de uma função de duas variáveis são

análogas àquelas de funções de uma variável.

Então as derivadas são as declividades da rota tangente à curva dada.

Exemplo 3: De acordo com a lei do gás ideal para um gás confinado, se P Newton por unidade

quadrada é a pressão, V unidades cúbicas é o volume, e T graus a temperatura, temos a fórmula

PV = KT

onde K é uma constante de proporcionalidade.

Supondo que o volume de gás em um certo recipiente seja 100 cm3 e a temperatura seja 90° e K = 8.

a) Encontre a taxa de variação instantânea de F por unidade de variação em T se V permanecer fixo em

100;

b) Use o resultado da parte (a) para aproximar a variação de pressão se a temperatura aumentar para

92°C.

c) Encontre a taxa de variação instantânea de V por unidade de variação em P se T permanecer fixo em

90°.

d) Suponha que a temperatura permaneça constante. Use o resultado da parte (c) para

encontrar a variação aproximada no volume para produzir a mesma variação na pressão, obtida na

parte (b).

LISTA 1

A) Determine as derivadas parciais de f.

a) f(x, y) = 2x4y3 - xy2 + 3y + 1

b) f(x, y) = (x3 - y2)2

c) f(x, y) = r2 + s2

d) f(x, y) = (xey + y sen x)

e) f(x, y) = ex 1n(xy)

f) f(x, y) = x cos x y

g) f(x, y) = tss

stt

B) A lei dos gases ideais pode ser enunciada como:

PV = cnT, onde n é o número de moléculas do gás, V é o volume, T a temperatura, P a

pressão e c uma constante. Mostre que

V

T

T

P

P

V 1


C) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo tal que a

temperatura T no ponto (x, y) é dada por T = 10(x2 + y2). Determine a taxa de variação de T em

relação à distância no ponto P(1, 2) na direção

a) do eixo dos xx b) do eixo dos yy

Definição 2: Derivada parcial à função de n variáveis: Definem-se da mesma forma que em (3.1) as

derivadas parciais de funções de três ou mais variáveis, especificamente, mantêm-se constantes todas

as variáveis menos uma, em relação à qual faz-se a derivação. Assim, dada f(x, y, z), podemos calcular

fx, fy e fz .

fz(x, y, z) = lim f x y z h f x y x

h

( , , ) ( , , )

Exemplo 1: Se f = xy2 cos z + e2xy, determine fx, fy e fz.

Exemplo 2: Se f(r, s, t) = r e s2 sen t, determine fr, fs e fz.

Observamos que para uma função Z = f(x, y) de duas variáveis, as derivadas parciais fx e fy

também são funções de duas variáveis, poderão então ter derivadas parciais - derivadas parciais de

segunda ordem. As derivadas parciais de segunda ordem podem ser denotadas como:

- em relação a x e x:

x

f

x

f

x

f

xfxxx

2

2

- em relação a y e y :

y

f

y

f

y y

f

yf

y

yy

2

- em relação a x e y :

y

f

x

f

y x

f

yfxxy

2

- em relação a y e x :

x

f

y

f

x y

f

xf

y

yx

2

Se fyx e fxy existirem para todos os pontos numa vizinhança de (x0, y0) e forem continuas em (x0,

y0), então: fxy = fyx


h 0

LISTA 2

A) Uma função f de x e y é harmônica se

2

222 0

f

x

f

y prove que as funções, abaixo, são

harmônicas:

a) f(x, y) =

b) f(x, y) = e-x cos y + e-y cos x

B) Se W = r4s3t - 3s2ert, verifique que: WRrs = Wvuv = Wvvu

B) Mostre que V satisfaz a equação da onda:

2

2

2 2

2

v

t

a v

x v = (sen akx) . (sen kt)

2.2. Acréscimos e Diferenciais de Funções de Várias Variáveis

Definição 3: Acréscimos e diferenciais nas funções de duas variáveis: Se f é uma função de duas

variáveis, então os símbolos x e y denotam acréscimos de x e y, ou seja, se z = f(x, y) e se damos a xe a y acréscimos x ey , (x, y) varia para (x + x , y +y ) ---- z = f(x + x , y + y ) - f(x, y)

Exemplo 1: Se z = f(x, y) = 3x2 - xy, determinaremos z .

Exemplo 2: Vamos determinar a variação da f(x, y) do exemplo anterior quando (x, y) varia de (1, 2) a

(1, 0l ; 1, 98)

Analogamente, a função de uma variável se z= f(x, y) uma função definida numa região

retangular e supondo que existam as derivadas parciais fx e fy contínuas no ponto (x0, y0) de R então

z f x y x f x y y n x n yx y ( , , ) ( , )0 1 2

retomando a solução do Exemplo 1

Se z = f(x, y), definimos dy e dx das variáveis independentes x e y como dx = x e dy = y,

onde x e y são os acréscimos de x e y. A diferencial dz da variável dependente Z define-se como

dz = fx (x, y)dx + fy (x, y)dy =

z

xdx

z

ydy

LISTA 3:

A) Determine dz:

a) z = x3 - x2 + 3y2


b) z = x2 eyz + y 1n z

B) Por meio se diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de f(x, y) = x2 + 2xy - 5y quando

(x, y) varia de (1, 2) a (1, 01 ; 2, 01)

C) A equação que relaciona a pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás confinado e PV =

KT, k é constante. Se P bpol0 51 2, quando V = 64 pol3 e T = 80°, obtenha uma aproximação da

variação de P quando V e T variam de 70 pol3 e 76°, respectivamente.

2.3. Regra da Cadeia

Analisando o exemplo:

1) Z = u2 + sen v e u = x . e2y

v = x . y

Vamos calcular as derivadas parciais em relação a x e a y. Uma maneira de calcular as

derivadas é fazendo as respectivas substituições u e v na função

Logo de (1) teremos:

f(x, y) = Z = (x . e2y)2 + x . e2y sen(x . y) daí

Zx = 2x . e4y + e2y sen(xy) + y . x. e2y cos(xy)

Zy =

Outra forma para calcular é utilizar a Regra da Cadeia.

Teorema: Se Z = f(u, v), u = g(x, y) e v= k(x, y), f sendo diferenciável e g e k dotadas de derivadas

parciais contínuas, então:

z

x

z

u

u

x

z

v

v

x

z

y

z

u

u

y

z

v

v

y

Assim, no exemplo anterior (1)

Zu = 2u + sen v

Z = u2 + u . sen v

Zv = u . cos v


z

x

z

y

OBS: A Regra da Cadeia pode ser estendida a um no arbitrário de variáveis.

Exemplo 2: Calcule z

a e

z

b com,

(Z = exy , x = a2 - b2 , y = a3 + b3)

Exemplo 3: Calcule e com

, u = r . e-5 , v = s2 . e-r

2.4. Extremos de funções de duas variáveis

Tal como no caso de uma variável, diz-se que uma função f de duas variáveis tem Máximo

Local em (a, b) (ou Mínimo Local) em (c, d) se existir uma região retangular |R contendo (a, b), tal que

f(x, y) f(a, b) ( ou f(x, y) f(c, d)).

Assim, os extremos locais são os pares de valores que originam das soluções: fx(x, y) = 0 e fy (x, y) = 0

Exemplo 1: Se f(x, y) =1+ x2 + y2, determine os extremos de f

Exemplo 2: Se f(x, y) = y2 - x2, determine os extremos de f

Exemplo 3: Se f(x, y) = x2 - 4xy + y3 - 4y, determine os extremos de f

Testes de Extremos:

Seja f uma função de duas variáveis dotada de derivadas parciais segundas contínuas em uma

região retangular R e seja


ux = e2y

uy = 2x . e2yu = x . e2y

v = x . y

vx = y

vy = x

g(x, y) = fxx(x, y) fyy(x, y) - f x yxy ,2

para todo par (x, y) de R. Se (a, b) está em R e f (a, b) = 0, então vale o seguinte:

(i) f(a, b) é máx. local de f se g(a, b) > 0 e fxx (a, b) < 0

(ii) f(a, b) é mín. local de f se g(a, b) > 0 e fxx (a, b) > 0

(iii) f(a, b) não é extremo de f se g(a, b) < 0.

LISTA 1

A) Calcule as derivada parciais em relação a x, y e z

a) W = x2y5z7

b) W = x ln yz

c) W = e x y z2 45

B) Mostre as funções z = f(x, y) seguintes satisfazendo a equação: xz

xyz

y

0

a) Zx

y b) Z

x

x y

C) Se z = x5 - 2x4y + 5x2y3 : xz

xyz

yz

5

D) Determine w:

a) W = x2eyz + y ln z

b) W = x2y3z + e -2z


Em tempo 4:

Um dos criadores do Cálculo, Issac Newton (1642 - 1727), usou o símbolo Y que é ainda popular

em dinâmica. Y’ é semelhante ao Y. 0 outro criador, Gottfried Wilheim Leibniz (1646 - 1716), introduziu o

símbolo dv dx . Ele não disse que y e x tendem para zero, mas declarou esses incrementos como

quantidades “infinitesimais” e escreveu eles dy e dx. O termo “infinitesimal” ou “infinitamente pequeno”

causou confusão por cerca de dois séculos. Mais tarde, os matemáticos abandonaram este termo. Em

matemática, “infinitesimal” não é definido. Quando usado, ele tem somente um significado intuitivo. Em

fórmulas, não confundir dx com d.x, isto é com a multiplicação de d por x.

2a parte derivadas parciais

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