· 2019. 6. 17. · h;df;h>m;g@6ub;k6c>@6 m6gh>, ,, k6a>ad88a6:>ga68figh;bd8>m...

МЕХАНИКА • СЛЕПКОВ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ. СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ЧАСТИ I, II

ХАЛИЛОВ ВЛАДИСЛАВ РУСТЕМОВИЧ

ФИЗФАК МГУ

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН

СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ.

VK.COM/TEACHINMSU.

ЕСЛИ ВЫ ОБНАРУЖИЛИ ОШИБКИ ИЛИ ОПЕЧАТКИ,

НАПИСАВ СООБЩЕСТВУ VK.COM/TEACHINMSU.

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

БЛАГОДАРИМ ЗА ОЦИФРОВКУ КОНСПЕКТАСТУДЕНТКУ ФИЗФАКА МГУ

ИЛЬИНУ ТАТЬЯНУ СЕРГЕЕВНУ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ЧАСТИ I, II.ХАЛИЛОВ ВЛАДИСЛАВ РУСТЕМОВИЧ

КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ

СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU

Содержание

Лекция 1 6Движение механических систем при наложенных связях. Голономные связи. Прин-

цип виртуальных перемещений. Принцип Даламбера . . . . . . . . . . . . . . 6Уравнения Лагранжа с неопределёнными множителями (1-го рода). Законы со-

хранения для механических систем при наличии связей . . . . . . . . . . . . 8Уравнения Лагранжа (2-го рода) в независимых координатах (вывод из общего

уравнения механики) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Лекция 2 10Механическая система с одной степенью свободы. Интегралы движения. Каче-

ственное исследование. Движение вблизи точек остановки. Формула для пе-риода колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Одномерный гармонический осциллятор. Собственные и вынужденные колеба-ния одномерного гармонического осциллятора. Функция Лагранжа. Фазоваяплоскость. Затухающие одномерные колебания. Условный период. Аперио-дический режим движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Лекция 3 16Общие свойства движения частицы в центральном поле. Интегралы движения.

Общее решение задачи в квадратурах. Качественное исследование. Точкиповорота. Классификация траектории. Формулы для периода радиальногодвижения частицы и смещения перигея траектории частицы в центральномполе. Условие замкнутости траекторий. Задача Кеплера. Вектор–интегралЛапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Лекция 4 24Система материальных точек. Внутренние силы. Инвариантность функции Лагран-

жа относительно группы движений Галилея для изолированной системы 𝑁материальных точек. Законы сохранения и изменения импульса, моментаимпульса и энергии системы точек. Аддитивные интегралы движения изоли-рованной системы𝑁 материальных точек и свойства пространства–времени.Инерциальные системы отсчёта. Группа движений Галилея . . . . . . . . . . 25

Лекция 5 27Задача двух тел, интегралы движения и общее решение задачи в квадратурах.

Движение частиц относительно лабораторной системы отсчёта и системыцентра масс. Упругое рассеяние частиц. Эффективное поперечное сечениерассеяния. Формула Резерфорда. Падение частиц в центр поля и захватчастиц. Полное сечение захвата частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Лекция 6 32Уравнения Лагранжа в независимых координатах и их ковариантность при то-

чечных преобразованиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Обобщённая энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

ВОЛЬНОЕ ДЕЛОФ О Н Д

https://vk.com/teachinmsu




Обобщённый импульс 𝑝𝑖, соответствующий обобщённой координате 𝑞𝑖 . . . . . . . 33Интегралы движения уравнений Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Лекция 7 34Функция Лагранжа заряда во внешнем электромагнитном поле. Обобщённый по-

тенциал, обобщённая сила в уравнениях Лагранжа заряженной частицы вовнешнем электромагнитном поле. Первые интегралы уравнений Лагранжазаряда 𝑒 массы 𝑚 в однородном магнитном поле и калибровка векторногопотенциала. Первые интегралы уравнений Лагранжа заряда 𝑒 массы 𝑚 воднородном магнитном поле в цилиндрических координатах . . . . . . . . 34

Лекция 8 36Малые линейные колебания динамических систем с 𝑆 степенями свободы. Общее

решение уравнений Лагранжа механической системы с 𝑆 степенями свободывблизи положений устойчивого равновесия. Собственные колебания механи-ческой системы с 𝑆 степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Ортогональность амплитуд. Векторы смещений. Свойства ортогональности . . . 40Нормальные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Устойчивость движения по Ляпунову. Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . 41Случаи нулевой и кратных частот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Лекция 9 43Интегральные принципы механики. Действие. Экстремали действия и уравнения

Лагранжа. Принцип наименьшего действия в пространстве конфигураций . 43

Лекция 10 43Гамильтонов формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Лекция 11 49Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Лекция 12 56Принцип наименьшего действия в расширенном фазовом пространстве. Вывод

уравнений Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Метод Гамильтона–Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Лекция 13 62Укороченное действие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Лекция 14 68Адиабатические инварианты и переменные действия . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Лекция 15 69Кинематика твёрдого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Тензор инерции твёрдого тела и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4






Лекция 16 72Динамические уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Тяжёлый симметричный волчок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Лекция 17 74Кинематика сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Лекция 18 76Уравнения движения сплошной среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Лекция 19 79Распространение малых возмущений в сжимаемой сплошной среде . . . . . . . . 79

Лекция 20 81Тензор вязких напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Динамически подобные течения. Число Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Дополнение. Метод Гамильтона–Якоби 82Уравнение Гамильтона–Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Теорема Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Консервативная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Метод разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Переменные «действие–угол» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Адиабатические инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Задача двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5






Лекция 1

Движение механических систем при наложенных связях. Голономныесвязи. Принцип виртуальных перемещений. Принцип Даламбера

Определение. Под связями понимают не вытекающие из уравнений движения ограниче-ния на положения () и скорости точек системы.

𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , 𝑡) = 0;𝛼 = 1, ..., 𝑘 — голономные связи.𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , ˙𝑟1, ..., ˙𝑟𝑁) = 0 — стационарные связи.𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , ˙𝑟1, ..., ˙𝑟𝑁 , 𝑡) = 0 — нестационарные связи.

Задача: нахождение закона движения и реакций связей по заданным силам 𝑖(𝑖 =1, ..., 𝑁) и заданным уравнениям голономных связей:

𝑚𝑖¨𝑟 = 𝑖 + 𝑖(𝑖 = 1, ..., 𝑁)

𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , 𝑡) = 0;𝛼 = 1, ..., 𝑘−→ 3N+K скалярных уравнений,

6N неизвестных функций: 3N←→ 𝑟𝑖, 3N←→ 𝑖.

Определение. Виртуальным перемещением системы называют бесконечно малое изме-нение конфигурации этой системы, согласующееся со связями в данный момент времени,т.е. если 𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , 𝑡) = 0;𝛼 = 1, ..., 𝑘, то и 𝑓𝛼(𝑟1 + 𝛿𝑟1, ..., 𝑟𝑁 + 𝛿𝑟𝑁 , 𝑡) = 0;𝛼 = 1, ..., 𝑘.

⇓

𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , 𝑡)⏟ ⏞ =0

+𝑁∑𝑖=1

(𝜕𝑓𝛼𝜕𝑟𝑖

𝛿𝑟𝑖(𝑡)) = 0, 𝛼 = 1, ..., 𝑘.

𝑁∑𝑖=1


𝛿𝑟𝑖) ≡𝑁∑𝑖=1

(∇𝑖𝑓𝛼 · 𝛿𝑟𝑖) = 0, 𝛼 = 1, ..., 𝑘.

Определение. Действительным перемещением 𝑖–й точки 𝑑𝑟𝑖 называют бесконечно малоеперемещение этой точки, происходящее под действием как заданных сил 𝑖, так и силреакций связей; оно происходит за время 𝑑𝑡.

Можно также ввести понятие возможных перемещений, удовлетворяющих только урав-нениям связей.

Действительное перемещение: 𝑓𝛼(𝑟1 + 𝑑𝑟1, ..., 𝑟𝑁 + 𝑑𝑟𝑁 , 𝑡+ 𝑑𝑡) = 0;𝛼 = 1, ..., 𝑘 ←→

←→𝑁∑𝑖=1

(∇𝑖𝑓𝛼 · 𝑑𝑟𝑖) +𝜕𝑓𝛼𝜕𝑡

𝑑𝑡 = 0, 𝛼 = 1, ..., 𝑘.

Определение. Пусть сумма работ всех реакций связей на любых виртуальных перемеще-

ниях точек системы равна нулю:𝑁∑𝑖=1

(𝑖, 𝛿𝑟𝑖) = 0. Связи, удовлетворяющие этому условию,

называют идеальными.! Альтернативные формулировки.Определение. Виртуальное перемещение (𝛿) — произвольное бесконечно малое измене-

ние координат точек системы, взятое в данный фиксированный момент времени и удовле-творяющее лишь уравнениям связи (не обладает длительностью, может противоречитьуравнению движения, а потому нефизично).

6






Определение. Действительное перемещение обладает длительностью, удовлетворяет урав-нениям связи и уравнениям движения, происходит под действием сил связи и внешнихсил.

Определение. Принципом, или началом, механики называют такое общее математиче-ски формулируемое предложение, из которого механика как физическая теория можетбыть выведена дедуктивно, т.е. могут быть получены уравнения движения для механиче-ских систем общего типа или для систем некоторого ограниченного класса.

Рассмотрим несвободную систему материальных точек в равновесии. Тогда Φ𝑖 = 0, гдеΦ𝑖 = 𝑖 + 𝑖 =⇒

=⇒𝑁∑𝑖=1

(Φ𝑖, 𝛿𝑟𝑖) = 0,𝑁∑𝑖=1

(𝑖 · 𝛿𝑟𝑖) +𝑁∑𝑖=1

(𝑖 · 𝛿𝑟𝑖)⏟ ⏞ =0 (связи идеальны)

= 0 =⇒𝑁∑𝑖=1

(𝑖 · 𝛿𝑟𝑖) = 0.

Здесь 𝑖 — активная (внешняя) сила.Принцип виртуальных работ (перемещений). Виртуальная работа сил реакции всегда

равна нулю на любом виртуальном перемещении, не нарушающем заданных кинематиче-ских условий:

0 =𝑁∑𝑖=1

(𝑖 · 𝛿𝑟𝑖) = −𝑁∑𝑖=1

(𝑖 · 𝛿𝑟𝑖).

𝑖 = 0, т.к. не все 𝛿𝑟𝑖 независимы.

𝑁∑𝑖=1

(𝑖 · 𝛿𝑟𝑖) = 0,𝑁∑𝑖=1

(𝑖 · 𝛿𝑟𝑖) = 0 =⇒𝑁∑𝑖=1

((𝑚𝑖¨𝑟𝑖 − 𝑖) · 𝛿𝑟𝑖) = 0 — принцип Даламбера.

Уравнения Лагранжа с неопределёнными множителями (1-го рода).Законы сохранения для механических систем при наличии связей

7






𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , 𝑡) = 0;𝛼 = 1, ..., 𝑘, 𝑓𝛼(𝑟1 + 𝛿𝑟1, ..., 𝑟𝑁 + 𝛿𝑟𝑁 , 𝑡) = 0 =⇒

=⇒ 𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , 𝑡)⏟ ⏞ =0

+𝑁∑𝑖=1


𝛿𝑟𝑖) = 0,

𝑁∑𝑖=1


, 𝛿𝑟𝑖) = 0 | ×(−𝜆𝛼(𝑡)),𝑘∑𝑖=1

−𝑘∑𝑖=1

𝜆𝛼

𝑁∑𝑖=1

(∇𝑖𝑓𝛼 · 𝛿𝑟𝑖) = −𝑁∑𝑖=1

(𝑘∑𝑖=1

𝜆𝛼(∇𝑖𝑓𝛼 · 𝛿𝑟𝑖)) = 0. (*)

Далее, (*) +𝑁∑𝑖=1

((𝑚𝑖¨𝑟𝑖 − 𝑖)𝛿𝑟𝑖),⏟ ⏞ =0

𝑁∑𝑖=1

(𝑚𝑖¨𝑟𝑖 − 𝑖 −

𝑘∑𝑖=1

𝜆𝛼∇𝑖𝑓𝛼)𝛿𝑟𝑖 = 0 =⇒

=⇒

⎧⎪⎨⎪⎩𝑚𝑖¨𝑟𝑖 = 𝑖 +

𝑘∑𝑖=1

𝜆𝛼∇𝑖𝑓𝛼, 𝑖 = 1, ..., 𝑁 — уравнения Лагранжа 1-го рода

𝑓𝛼(𝑟1, ..., 𝑟𝑁 , 𝑡) = 0;𝛼 = 1, ..., 𝑘 (3N+K скалярных уравнений)=⇒

=⇒ 𝑖 =𝑘∑𝑖=1

𝜆𝛼∇𝑖𝑓𝛼.

˙𝑃 = 𝐹 𝑒𝑥𝑡 + 𝑒𝑥𝑡, 𝑒𝑥𝑡 =

𝑁∑𝑖=1

𝑒𝑥𝑡𝑖 ,

˙𝐿 = 𝑒𝑥𝑡 + 𝑒𝑥𝑡

𝑅 , 𝑒𝑥𝑡𝑅 =

𝑁∑𝑖=1

[𝑟𝑖,

𝑒𝑥𝑡𝑖

],

=𝜕𝑢𝑒𝑥𝑡

𝜕𝑡+

𝑁∑𝑖=1

(𝐹𝛼𝑖 ,

˙𝑟𝑖

)+

𝑁∑𝑖=1

(𝑒𝑥𝑡, ˙𝑟𝑖

)⏟ ⏞

=

𝑁∑𝑖=1

𝑘∑𝑖=1

𝜆𝛼


, ˙𝑟𝑖

)= −

𝑘∑𝑖=1

𝜆𝛼𝑑𝑓𝛼𝑑𝑡.

Уравнения Лагранжа (2-го рода) в независимых координатах (вывод изобщего уравнения механики)

Пусть в системе N материальных точек (набор 𝛼, 𝛼 = ¯1, 𝑁) есть голономные идеаль-ные связи

𝑓𝑖(1, ..., 𝑁 , 𝑡) = 0, 𝑖 = ¯1, 𝑘 =⇒

=⇒ не все из 3N координатного набора 𝛼 являются независимыми: можно на основеуравнений голономных связей выразить k штук координат через остальные 3N-k, т.е. неза-висимыми являются 3N-k≡ s. s — число степеней свободы системы.

Определение. Минимально необходимое число независимых координат, с помощью ко-торых можно однозначно задать положение тел системы в любой момент времени, назы-вается числом степеней свободы системы.

8






Независимые координаты — 𝑞1, ..., 𝑞𝑠 — обобщённые координаты.

𝛼 : 𝑚𝛼¨𝑟𝛼 = 𝐹𝛼⏟ ⏞

заданные внешние силы+ 𝛼⏟ ⏞

силы реакции связи, 𝛼 = ¯1, 𝑁.

Цель: 𝛼(𝑡)–?

𝑚𝛼¨𝑟𝛼 = 𝐹𝛼 + 𝛼 | ×

∑𝛼

𝛿𝛼,

𝑁∑𝛼=1

𝑚𝛼¨𝑟𝛼𝛿𝛼 =

𝑁∑𝛼=1

𝐹𝛼𝛿𝛼 +𝑁∑𝛼=1

𝛼𝛿𝛼⏟ ⏞ ≡𝛿𝐴=0

.

𝛼 𝑞𝑖 — независимые (𝑖 = ¯1, 𝑠). ∃! 𝛼 = 𝛼(𝑞, 𝑡)

𝛿𝛼 ≡ 𝛼(𝑞 + 𝛿𝑞, 𝑡)− 𝛼(𝑞, 𝑡) = 𝛼(𝑞, 𝑡) +𝑠∑𝑖=1

𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖

𝛿𝑞𝑖 + ... +⏟ ⏞ −→0 при 𝛿𝑞−→0

−𝛼(𝑞, 𝑡) =𝑠∑𝑖=1


𝛿𝑞𝑖.

Правая часть:𝑁∑𝛼=1

𝐹𝛼𝛿𝛼 =∑𝛼

∑𝑖

𝐹𝛼𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖

𝛿𝑞𝑖 =𝑠∑

𝛼=1

(𝑁∑𝛼=1

𝐹𝛼 ·𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖

)⏟ ⏞

≡𝑄𝑖 — обобщённая сила

·𝛿𝑞𝑖 =𝑠∑

𝛼=1

𝑄𝑖𝛿𝑞𝑖.

Левая часть:𝑁∑𝛼=1

𝑚𝛼¨𝑟𝛼𝛿𝛼 =

∑𝑖

𝑁∑𝛼=1

𝑚𝛼

(𝑑

𝑑𝑡˙𝑟𝛼

)𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖

𝛿𝑞𝑖 =∑𝛼,𝑖

𝑚𝛼

(𝑑

𝑑𝑡( ˙𝑟𝛼


)− ˙𝑟𝛼𝑑

𝑑𝑡


)𝛿𝑞𝑖 = (*)

𝛼 = 𝛼(𝑞, 𝑡) | × 𝑑

𝑑𝑡

˙𝑟𝛼 =𝜕

𝜕𝑡𝛼(𝑞, 𝑡) +

∑𝑖


𝑞𝑖 | ×𝜕

𝜕𝑞𝑘

𝜕 ˙𝑟𝛼𝜕𝑞𝑘

= 0 +∑𝑖

𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖· 𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑘⏟ ⏞ =𝛿𝑖𝑘

=𝜕𝛼𝜕𝑞𝑘· 1, 𝜕

˙𝑟𝛼𝜕𝑞𝑘

=𝜕𝛼𝜕𝑞𝑘

.

(*) =∑𝛼,𝑖

𝑚𝛼

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣𝑑

𝑑𝑡( ˙𝑟𝛼 ·


)⏟ ⏞ ≡𝜕

𝜕𝑞𝑖(1

2˙𝑟2𝛼)

− ˙𝑟𝛼𝜕 ˙𝑟𝛼𝜕𝑞𝑖⏟ ⏞

≡𝜕

𝜕𝑞𝑖(1

2˙𝑟2𝛼)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦𝛿𝑞𝑖 =

∑𝑖

[𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑞𝑖(∑𝛼

𝑚𝛼˙𝑟2𝛼

2)− 𝜕

𝜕𝑞𝑖(∑𝛼

𝑚𝛼˙𝑟2𝛼

2)

]𝛿𝑞𝑖 =

9






= 𝑇 =𝑁∑𝛼=1

𝑚𝛼˙𝑟2𝛼

2— кинетическая энергия системы материальных точек =

=∑𝑖

[𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑇

𝜕𝑞𝑖− 𝜕𝑇

𝜕𝑞𝑖

]𝛿𝑞𝑖 =

∑𝑖

𝑄𝑖𝛿𝑞𝑖.

𝑞𝑖 — независимые, 𝛿𝑞𝑖 — независимые приращения независимых координат =⇒=⇒ ∀𝑖 = ¯1, 𝑠,

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑇


𝜕𝑞𝑖= 𝑄𝑖.

Обобщённые силы: 𝑄𝑖 =𝑁∑𝛼=1

(𝐹𝛼,𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖

).

Заданные внешние силы: 𝐹𝛼 = 𝐹 𝑝𝛼 (потенциальные) + 𝐹 𝑑

𝛼 (диссипативные).

𝐹 𝑝𝛼 могут быть представлены как градиент некоторой скалярной функции, или потен-

циала:

𝐹 𝑝(, 𝑡) = −∇𝑈(, 𝑡) ≡ −𝜕𝑈(, 𝑡)

𝜕, 𝐹 𝑝

𝛼(, 𝑡) = − 𝜕𝑈𝜕𝛼

.

𝑄𝑖 =∑𝛼

𝐹 𝑝𝛼 ·


+∑𝛼

𝐹 𝑑𝛼

𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖⏟ ⏞

≡𝑄𝑑𝑖

= −∑𝛼

𝜕𝑈

𝜕𝛼· 𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖

+𝑄𝑑𝑖 , 𝑄𝑖 = −𝜕𝑈

𝜕𝑞𝑖+𝑄𝑑

𝑖 , 𝛼 = 𝛼(, 𝑡) =⇒

=⇒ 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑇


𝜕𝑞𝑖= −𝜕𝑈


𝑖 +𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑈

𝜕𝑞𝑖⏟ ⏞ ≡0

, 𝑈(, 𝑡) = 𝑈((𝑞, 𝑡), 𝑡) ≡ 𝑈(𝑞, 𝑡) =⇒

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑞𝑖(𝑇 − 𝑈)− 𝜕

𝜕𝑞𝑖(𝑇 − 𝑈) = 𝑄𝑑

𝑖 , 𝑇 − 𝑈 = 𝐿 — функция Лагранжа, лагранжиан.

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖− 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 𝑄𝑑

𝑖 , 𝑖 = ¯1, 𝑠; 𝐿 = 𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡), 𝑞 — обобщённая скорость.

Лекция 2

Механическая система с одной степенью свободы. Интегралы движения.Качественное исследование. Движение вблизи точек остановки. Формула

для периода колебаний

Метод интегралов движения

Определение. Интеграл движения — это функция ((𝑞), (𝑞), 𝑡), сохраняющая своё значе-ние при движении системы.

𝑓(𝑞, 𝑞, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,∀𝑡 — интеграл движения. 𝑓(𝑞(𝑡), 𝑞(𝑡), 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡⏟ ⏞

⇐⇒ 𝑑

𝑑𝑡𝑓(𝑞, 𝑞, 𝑡) = 0.

10






— ? Начальные условия: 𝑞𝑖(𝑡 = 𝑡0) = 𝑞0𝑖, 𝑞𝑖(𝑡 = 𝑡0) = 𝑣0𝑖, тогда = 𝑓(𝑞(𝑡), 𝑞(𝑡), 𝑡)|𝑡=𝑡0 .Уравнения Лагранжа (УЛ) — дифференциальные уравнения 2–го порядка. Интегра-

лы движения — дифференциальные уравнения 1–го порядка. В замкнутой системе числоуравнений равно числу неизвестных. 𝑠 штук интегралов движения — закон движения.

1. Обобщённая энергия.

Определение. 𝐸 =𝑠∑𝑖=1

𝑞𝑖𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖− 𝐿.

𝑑

𝑑𝑡𝐸 =

∑𝑖

𝑑

𝑑𝑡

(𝑞𝑖𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

)− 𝑑

𝑑𝑡𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡) =

∑𝑖

(𝑞𝑖𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖+ 𝑞𝑖

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

)−

−

⎛⎜⎜⎝𝜕𝐿𝜕𝑡 +𝑠∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

𝑑𝑞𝑖𝑑𝑡⏟ ⏞ =𝑞𝑖

+𝑠∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝑞𝑖

⎞⎟⎟⎠ = −𝜕𝐿𝜕𝑡

+∑𝑖

𝑞𝑖 (𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿


𝜕𝑞𝑖)⏟ ⏞

=𝑄𝑑𝑖

= −𝜕𝐿𝜕𝑡

+∑𝑖

𝑄𝑑𝑖 𝑞𝑖.

𝑑𝐸𝑑𝑡

= 0⇐⇒ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (обобщённая энергия — интеграл движения), если:

достаточное условие: 1)𝜕𝐿

𝜕𝑡= 0, 2) 𝑄𝑑

𝑖 = 0.Правило 1. Если функция Лагранжа явно не зависит от времени и отсутствует дисси-

пация, то обобщённая энергия является интегралом движения.Интеграл движения — это следствие уравнения Лагранжа, поэтому есть возможность

использовать метод интегралов движения.2. Обобщённый импульс 𝑝𝑖, соответствующий обобщённой координате 𝑞𝑖.

Определение. 𝑝𝑖 =𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖.

𝑑

𝑑𝑡𝑝𝑖 =

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= УЛ =

𝜕𝐿


𝑖 ,𝑑

𝑑𝑡𝑝𝑖 = 0⇐⇒ 𝑝𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (интеграл движения), если:

достаточное условие: 1)𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 0, 2) 𝑄𝑑

𝑖 = 0.

Определение.𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 0 ⇐⇒ функция Лагранжа явно не зависит от 𝑖–ой обобщённой ко-

ординаты 𝑞𝑖 (зависит при этом от 𝑖–ой обобщённой скорости).𝐿 = 𝐿(𝑞1, ..., 𝑞𝑖, ..., 𝑞𝑠; 𝑞1, ..., 𝑞𝑖−1, 𝑞𝑖+1, 𝑞𝑠; 𝑡). Такая обобщённая координата 𝑞𝑖 называется циклической координатой.

Правило 2. Если нет диссипаций, то обобщённый импульс, соответствующий цикличе-ской координате, является интегралом движения.

Качественное исследование движения (одномерный случай).

𝑠 = 1, общий вид функции Лагранжа: 𝐿 =1

2𝑎(𝑞)𝑞2 − 𝑈(𝑞). Будем считать, что

𝜕𝑈

𝜕𝑡= 0.

Далее: частный случай 𝑎(𝑞) ≡ 𝑚, 𝑞 ≡ 𝑥. 𝐿 =𝑚

22 − 𝑈(𝑥).

𝜕𝐿

𝜕𝑡= 0, 𝑄𝑑

𝑖 = 0 =⇒ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐸 = 𝜕𝐿

𝜕− 𝐿 =

𝑚2

2+ 𝑈(𝑥).

𝐸 = 𝐸 |𝑡=𝑡0 , начальные условия:𝑥(𝑡0) = 𝑥0, (𝑡0) = 𝑣0,

11






= ±√

2

𝑚(𝐸 − 𝑈(𝑥)) =

𝑑𝑥

𝑑𝑡, 𝑡− 𝑡0 =

𝑡∫𝑡0

𝑑𝑡 = ±𝑥∫

𝑥0

𝑑𝑥√2𝑚

(𝐸 − 𝑈(𝑥),

« + »⇐⇒ > 0 =⇒ 𝑥 ↑«− »⇐⇒ < 0 =⇒ 𝑥 ↓

∈ ℜ =⇒ 𝐸 > 𝑈(𝑥) — условие классической доступной области движения.

1. Пусть 𝐸 = 𝐸1, 𝑥0 ∈ (𝑥1, 𝑥2), (𝑡0) > 0. Пока 𝐸 > 𝑈(𝑥), > 0, ∈ ℜ. Исследуемдвижение частицы в малой окрестности точки 𝑥2:

| 𝑥(𝑡)− 𝑥2 |−→ 0, 𝑡− 𝑡0 = ±𝑥∫

𝑥0

𝑑𝑥√2𝑚

(𝐸 − 𝑈(𝑥),

𝑈(𝑥) = 𝑈(𝑥2) + 𝑈 ′(𝑥2)(𝑥− 𝑥2) +...⏟ ⏞ −→0

, 𝑈 ′(𝑥2) > 0, 𝑈(𝑥2) = 𝐸,

𝑡−𝑡0 = +

𝑥∫𝑥0

𝑑𝑥√2𝑚

(𝐸 − (𝐸 + 𝑈 ′(𝑥2)(𝑥− 𝑥2)=

√𝑚

2𝑈 ′(𝑥2)

𝑥∫𝑥0

𝑑𝑥√𝑥2 − 𝑥

= −2

√𝑚

2𝑈 ′(𝑥2)

√𝑥2 − 𝑥

𝑥𝑥0

.

𝑡− 𝑡0 = −

√4𝑚

2𝑈 ′(𝑥2)(𝑥2 − 𝑥)1/2 =⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑥2 −

𝑈 ′(𝑥2)

2𝑚(𝑡− 𝑡0)2

— закон движения в малой окрестности точки 𝑥2 явно.При 𝑡 = 𝑡0 =∞ =⇒ 𝑥 = 𝑥2, т.е. за конечное время частица окажется в точке 𝑥2. В точке

𝑥2 : = ±√

2

𝑚(𝐸 − 𝑈(𝑥)) = 0, 𝑈(𝑥2) = 𝐸, т.е. в точке 𝑥2 частица останавливается.

При 𝑡 & 𝑡0 𝑥 < 𝑥2 =⇒ частица продолжает двигаться в обратную сторону. Точка 𝑥2 —точка поворота.

Реализуется финитное (пространственно ограниченное) периодическое движение.Период финитного движения: 𝑇 = 𝑡1−→2 + 𝑡2−→1,

𝑡1−→2 = +

𝑥2∫𝑥1

𝑑𝑥√2𝑚

(𝐸 − 𝑈(𝑥)), 𝑡2−→1 = −

𝑥1∫𝑥2

𝑑𝑥√2𝑚

(𝐸 − 𝑈(𝑥))=

𝑥2∫𝑥1

𝑑𝑥√2𝑚

(𝐸 − 𝑈(𝑥)),

12






𝑇 = 2𝑥2∫𝑥1

𝑑𝑥√2𝑚

(𝐸 − 𝑈(𝑥)), где 𝑥1,2 — точки поворота 𝑈(𝑥1,2) = 𝐸.

2. Пусть 𝐸 = 𝐸1, 𝑥0 > 𝑥3, (𝑡) < 0. За конечное время частица достигнет точки 𝑥3,остановится, развернётся и «уйдёт» на пространственную бесконечность. Реализуется ин-финитное движение.

3. Пусть 𝐸 = 𝐸2 = 𝑈𝑚𝑎𝑥, 𝑥0 > 𝑥4, (𝑡0) < 0. Исследуем движение частицы в малойокрестности точки 𝑥4:

𝑈(𝑥) = 𝑈(𝑥4) + 𝑈 ′(𝑥4)⏟ ⏞ =0

(𝑥− 𝑥4) + 𝑈 ′′(𝑥4)1

2(𝑥− 𝑥4)2 +...⏟ ⏞

−→0

,

𝑈 ′′(𝑥4) < 0 =⇒ 𝑈 ′′(𝑥4) = −|𝑈 ′′(𝑥4)|, 𝑈(𝑥4) = 𝐸,

𝑡− 𝑡0 = −𝑥∫

𝑥0

𝑑𝑥√2𝑚

(𝐸 − (𝐸 − 12|𝑈 ′′(𝑥4)|(𝑥− 𝑥4)2)

,√

(𝑥− 𝑥4)2 = 𝑥− 𝑥4, 𝑥 & 𝑥4,

𝑡− 𝑡0 = −√

𝑚

|𝑈 ′′(𝑥4)|

𝑥∫𝑥0

𝑑𝑥

𝑥− 𝑥4= −

√𝑚

|𝑈 ′′(𝑥4)|ln(𝑥− 𝑥4)

𝑥𝑥0

= −√

𝑚

|𝑈 ′′(𝑥4)|ln𝑥− 𝑥4𝐶

,

𝑥(𝑡) = 𝑥4 + 𝐶 exp(−√|𝑈 ′′(𝑥4)|

𝑚(𝑡 − 𝑡0)

)— закон движения в малой окрестности точки

𝑥4, явно. 𝑥 −→ 𝑥4 при 𝑡 −→ ∞, т.е. частица никогда не достигнет точки 𝑥4 ⇐⇒ части-ца достигает точки 𝑥4 лишь асимптотически при 𝑡 −→ ∞. Финитное непериодическоедвижение.

4. (𝑡0) > 0, 𝐸 = 𝐸2 = 𝑈𝑚𝑎𝑥, 𝑥(𝑡0) > 𝑥4. Инфинитное движение.5. 𝐸 = 𝐸2 = 𝑈𝑚𝑎𝑥, 𝑥(𝑡0) ∈ (𝑥5, 𝑥4), (𝑡0) < 0. Финитное непериодическое движение.

Одномерный гармонический осциллятор. Собственные и вынужденныеколебания одномерного гармонического осциллятора. Функция Лагранжа.Фазовая плоскость. Затухающие одномерные колебания. Условный период.

Апериодический режим движения

𝑞, 𝐿 =𝑎(𝑞)

2𝑞2⏟ ⏞

≡𝑇 (2)>0, 𝑎(𝑞)>0

− 𝑈(𝑞), 𝑄(𝑞) = −𝑑𝑈𝑑𝑞, 𝑄(𝑞𝑒) = 0 — положение равновесия.

𝐻 = 𝑞𝜕𝐿

𝜕𝑞− 𝐿, 𝑑𝐻

𝑑𝑡= −𝜕𝐿

𝜕𝑡= 0 −→ 𝑞

𝜕𝐿

𝜕𝑞= 𝐻0.

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞− 𝜕𝐿

𝜕𝑞= 0,

𝑈(𝑞) = 𝑈(𝑞𝑒)+𝑑𝑈

𝑑𝑞(𝑞𝑒)⏟ ⏞

=0

(𝑞−𝑞𝑒)+1

2

𝑑2𝑈

𝑑𝑞2

𝑞𝑒⏟ ⏞

=𝑘>0

(𝑞−𝑞𝑒)2+...,

13






𝑎(𝑞) = 𝑎(𝑞𝑒) ≡ 𝑚,

𝐿 =𝑚𝑞2

2− 𝑘

2(𝑞 − 𝑞𝑒)2⏟ ⏞

≡𝑥

,

𝐿 =𝑚2

2− 𝑘

2𝑥2 — функция Лагранжа гармони-

ческого осциллятора.

𝑚+ 𝑘𝑥 = 0, +𝑘

𝑚𝑥 = 0 −→ 𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos𝜔𝑡+ 𝐶2 sin𝜔𝑡 =

=√𝐶2

1 + 𝐶22

(𝐶1√

𝐶21 + 𝐶2

2

cos𝜔𝑡+𝐶2√

𝐶21 + 𝐶2

2

sin𝜔𝑡

)= 𝑎 cos(𝜔𝑡+ 𝛼) = 𝑥(𝑡),

𝑎 =√𝐶2

1 + 𝐶22 , tan𝛼 = −𝐶2

𝐶1

, 𝜔 =

√𝑘

𝑚, 𝑥0, 0, 𝑡 = 0 — начальные условия.

𝑥(0) = 𝑎 cos𝛼

(0) = −𝑎𝜔 sin𝛼, 𝑎 =

√𝑥20 + 20/𝜔

2, tan𝛼 = − 0𝑥0𝜔

.

𝑚2

2+𝑘𝑥2

2=𝑚𝑎2𝜔2 sin2(𝜔𝑡+ 𝛼)

2+𝑘𝑎2 cos2(𝜔𝑡+ 𝛼)

2=𝑚𝑎2𝜔2

2∼ 𝑎2.

𝑥(𝑡) = 𝑅𝑒(𝐴 exp𝑖𝜔𝑡), где 𝐴 = 𝑎 exp𝑖𝛼. Фазоваяплоскость: 𝑥, .

𝑥 = 𝑎 cos(𝜔𝑡+ 𝛼)

= −𝑎𝜔 sin(𝜔𝑡+ 𝛼),

2

𝑎2𝜔2+𝑥2

𝑎2= 1

Вынужденные колебания.

𝑈(𝑞)←→ 𝑈(𝑞, 𝑡), 𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑈(0, 𝑡) +𝜕𝑈

𝜕𝑥

𝑥=0⏟ ⏞

=−𝐹 (𝑡)

𝑥+ ...,

𝐿 =𝑚2

2− 𝑘𝑥2

2+ 𝐹 (𝑡)𝑥,

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕− 𝜕𝐿

𝜕𝑥= 0,

𝑚+ 𝑘𝑥 = 𝐹 (𝑡) = 𝐹0 cos(𝑡+ 𝛾), 𝑥пол = 𝑥об + 𝑥2, 𝑥об = 𝑎 cos(𝜔𝑡+ 𝛼),

+ 𝜔2𝑥 =𝐹0

𝑚cos(𝑡+ 𝛾), 𝑥2 = 𝑏 cos(𝑡+ 𝛾) =⇒ 𝑏(𝜔2 − 2) =

𝐹0

𝑚⇐⇒ 𝑏 =

𝐹0

𝑚(𝜔2 − 2),

14






𝑥пол = 𝑎 cos(𝜔𝑡+ 𝛼) +𝐹0

𝑚(𝜔2 − 2)cos(𝑡+ 𝛾),

𝑥пол = 𝐴 cos(𝜔𝑡+ 𝛼′) +−𝐹0

𝑚(𝜔2 − 2)[cos(𝜔𝑡+ 𝛾)− cos(𝑡+ 𝛾)] .

= 𝜔 − 𝜀, 𝜔2 − 2 = (𝜔 + )(𝜔 − ). С учётом того, что 𝜀 мало:𝐹0

𝑚(𝜔2 − 2)=

𝐹0

2𝑚𝜔𝜀,

cos(𝜔𝑡+ 𝛾 − 𝜀𝑡) = cos(𝜔𝑡+ 𝛾) cos 𝜀𝑡⏟ ⏞ ∼=1−𝜀2𝑡2/2

+ sin(𝜔𝑡+ 𝛾) sin 𝜀𝑡⏟ ⏞ ∼=𝜀𝑡

.

𝑥пол = 𝐴 cos(𝜔𝑡+ 𝛼′) +𝐹0𝑡

2𝑚𝜔sin(𝜔𝑡+ 𝛾).

Затухающие колебания.

𝜔0 =

√𝑘

𝑚, 𝑚+ 𝑘𝑥 = −𝛼, 𝛼 > 0

+ 2𝜇+ 𝜔20𝑥 = 0, 2𝜇 =

𝛼

𝑚

𝑥(𝑡) = 𝐶 exp𝜆𝑡, (𝜆2 + 2𝜇𝜆+ 𝜔20)𝐶 exp𝜆𝑡⏟ ⏞

=0

= 0, 𝜆2 + 2𝜇𝜆+ 𝜔20 = 0,

𝜆1,2 = −𝜇±√𝜇2 − 𝜔2

0, 𝑥(𝑡) = 𝐶1 exp𝜆1𝑡 +𝐶2 exp𝜆2𝑡

1. 𝜔0 > 𝜇, 𝜆1,2 = −𝜇 ± 𝑖𝜔, 𝜔 =√𝜔20 − 𝜇2, 𝑥(𝑡) = 𝑅𝑒

[𝐴 exp(𝑖𝜔−𝜇)𝑡] = 𝑎 exp−𝜇𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝛼).

𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡+ 𝑇 ) — условно периодическое движение. 𝑇 =2𝜋

𝜔— условный период.

⎧⎪⎨⎪⎩𝑥0 = 𝑎 cos𝛼

0 = − 𝑎𝜇 cos𝛼⏟ ⏞ =𝜇𝑥0

−𝑎𝜔 sin𝛼

⎧⎪⎨⎪⎩𝑎 =

√𝑥20 +

(0 + 𝜇𝑥0)2

𝜔2

tan𝛼 = − + 𝜇𝑥0𝑥0𝜔

Логарифмический декремент затухания: 𝜇𝑇 = ln𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡+ 𝑇 ).

2. 𝜇 > 𝜔0, 𝑥(𝑡) = 𝐶1 exp(−𝜇+√𝜇2−𝜔2

0)𝑡 +𝐶2 exp−(𝜇+√𝜇2−𝜔2

0)𝑡, |𝑥| −→ 0 при 𝑡 −→∞.

15






Апериодическое затухание:

𝜇 = 𝜔0 −→ 𝜆1,2 = −𝜇,

𝑥(𝑡) = (𝐶1 + 𝐶2𝑡) exp−𝜇𝑡.

Лекция 3

Общие свойства движения частицы в центральном поле. Интегралыдвижения. Общее решение задачи в квадратурах. Качественное

исследование. Точки поворота. Классификация траектории. Формулы дляпериода радиального движения частицы и смещения перигея траекториичастицы в центральном поле. Условие замкнутости траекторий. Задача

Кеплера. Вектор–интеграл Лапласа

Определение. Центральное поле — поле, в котором сила, действующая на движущуюсяв нём частицу, направлена вдоль линии, соединяющей силовой центр и частицу, и зависитот расстояния между ними.

Система координат: силовой центр (СЦ) в начале ко-ординат.

𝐹 = −𝐹 (𝑟)

𝑟,

𝑟 = ||.

Утверждение. ∀ центральное поле является потенциальным. 𝐹 = −∇𝑈 , причём 𝑈 = =𝑈(𝑟) =

∫𝐹 (𝑟)𝑑𝑟.

−∇𝑈 = −𝜕𝑈(𝑟)

𝜕= − 𝑑𝑈(𝑟)

𝑑𝑟⏟ ⏞ =𝑈 ′(𝑟)

·𝑑𝑟𝑑

= −𝑈 ′(𝑟)𝑑√2

𝑑= −𝑈 ′(𝑟)

1

2√2⏟ ⏞

=𝑟

𝑑2

𝑑⏟ ⏞ =2

= −𝑈 ′(𝑟)

𝑟=

= по определению = 𝐹 = −𝐹 (𝑟)

𝑟, 𝑈 ′(𝑟) ≡ 𝑑𝑈

𝑑𝑟= 𝐹 (𝑟) =⇒ 𝑈 =

∫𝐹 (𝑟)𝑑𝑟.

Замечание. 𝑈 = 𝑈(𝑟) = 𝑈(), 𝑈() = 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑈(𝑟) = 𝑈(√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2).

𝑘 = 0, 𝑁 = 1 =⇒ 𝑠 = 3𝑁 − 𝑘 = 3

𝑞𝑖 = 𝑟, 𝜃, 𝜙 — сферические координаты.

|| = 𝑟.

16






𝐿 =𝑚

2(2 + 𝑟2𝜃2 + 𝑟2 sin2 𝜃2)− 𝑈(𝑟). Интегралы движения:

1)𝜕𝐿

𝜕𝑡= 0, 𝑄𝑑

𝑖 = 0 =⇒ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

2)𝜕𝐿

𝜕𝜙= 0 =⇒ 𝑃𝜙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

3) —?

𝐿 =𝑚 ˙𝑟2

2− 𝑈(𝑟). Уравнения Лагранжа:

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟− 𝜕𝐿

𝜕= 0.

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟= 𝑚 ˙𝑟,

𝜕𝐿

𝜕= −𝜕𝑈

𝜕= −𝑈 ′(𝑟)

𝑟=⇒ 𝑚¨𝑟 = −𝑈 ′(𝑟)

𝑟

× слева

𝑚[ × ¨𝑟

]= −𝑈 ′(𝑟)

1

𝑟[ × ]⏟ ⏞

=0

,

0 = 𝑚

[ × 𝑑

𝑑𝑡˙𝑟

]= 𝑚

[𝑑

𝑑𝑡

[ × ˙𝑟

]−[𝑑

𝑑𝑡 × ˙𝑟

]⏟ ⏞

=0

],

0 =𝑑

𝑑𝑡

(𝑚[ × ˙𝑟

])=

𝑑

𝑑𝑡[ × 𝑝] =

𝑑

𝑑𝑡 =⇒ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡| ×

( · ) = ( 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ) = ( [ × 𝑝]) = 0 =⇒ ( 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ) = 0

𝐶1𝑥+ 𝐶2𝑦 + 𝐶3𝑧 = 0 — уравнение плоскости Лапласа =⇒ движение плоское =⇒ 𝑠 = 2В полярных координатах плоскости Лапласа:

|| = 𝜌

𝑈(𝑟) ≡ 𝑈(||) = 𝑈(𝜌)

𝐿 =𝑚

2(2 + 𝜌22)− 𝑈(𝜌)

1)𝜕𝐿

𝜕𝑡= 0, 𝑄𝑑

𝑖 = 0 =⇒ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =𝑚

2(2 + 𝜌22) + 𝑈(𝜌), 𝐸 = 𝐸

𝑡=𝑡0

.

2)𝜕𝐿

𝜕𝜙= 0, 𝑄𝑑

𝑖 = 0 =⇒ 𝑃𝜙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =𝜕𝐿

𝜕= 𝑚𝜌2, 𝑃𝜙 = 𝑃𝜙(𝜌, )

𝑡=𝑡0

.

=𝑃𝜙𝑚𝜌2

=⇒ 𝐸 =𝑚2

2+

𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2+ 𝑈(𝜌), ≡ 𝑑𝜌

𝑑𝑡= ±

√2

𝑚

(𝐸 −

𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2− 𝑈(𝜌)

),

17






𝑡 − 𝑡0 = ±𝜌∫𝜌0

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 −

𝑃 2𝜙


) , где −𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2− 𝑈(𝜌) ≡ −𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) — эффективный

потенциал.

=

𝑑𝜌

𝑑𝜙=

±

√2

𝑚

(𝐸 −

𝑃 2𝜙


)𝑃𝜙/𝑚𝜌2

, 𝜌 − 𝜌0 = ±𝜌∫𝜌0

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 −

𝑃 2𝜙


) —

уравнение траектории.

𝑡 − 𝑡0 = ±𝜌∫𝜌0

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌)

) , = ±√

2

𝑚

(𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌)

), ∈ ℜ =⇒ 𝐸 > 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) —

условие классически доступной области движения.

1. 𝐸 = 𝐸1, 𝜌0 ∈ (𝜌1, 𝜌2) — финитное периодическое движение. =𝑃𝜙𝑚𝜌2

, знак постоя-нен.

2. 𝐸 = 𝐸1, 𝜌0 > 𝜌3 — инфинитное движение.3. 𝐸 = (𝑈𝑒𝑓𝑓 )𝑚𝑎𝑥 = 𝐸2, 𝜌0 > 𝜌4 — выход на орбиту.4. 𝐸 > (𝑈𝑒𝑓𝑓 )𝑚𝑎𝑥 — падение на силовой центр.

I. 𝑈(𝑟) = − 𝛼𝑟2

, 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) = 𝑈(𝜌) +𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2=

1

𝜌2(−𝛼 +

𝑃 2𝜙

2𝑚).

18






Случай 1. −𝛼 +𝑃 2𝜙

2𝑚> 0. Рассеяние. Инфинитное движение.


2𝑚< 0.

Случай 2.1. 𝐸 > 0 — падение на силовойцентр.Случай 2.2. 𝐸 < 0 — финитное непериоди-ческое движение.

Случай 2.1. −𝛼 +𝑃 2𝜙

2𝑚< 0, 𝐸 > 0.

19






𝜙− 𝜙0 = ±𝜌∫

𝜌0

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 − 1

𝜌2(−𝛼 +

𝑃 2𝜙

2𝑚)

) , 1

𝜌2𝑑𝜌 = −𝑑

(1

𝜌

)≡ −𝑑𝑢, 𝑢 =

1

𝜌,

𝜙− 𝜙0 = ∓𝑢∫

𝑢0

𝑃𝜙𝑚

𝑑𝑢√2

𝑚

(𝐸 + 𝑢2(𝛼−

𝑃 2𝜙

2𝑚)

) =𝑃𝜙𝑚

√𝑚

2

∓1√𝛼−

𝑃 2𝜙

2𝑚

𝑢∫𝑢0

𝑑𝑢⎯𝑢2 +𝐸

𝛼−𝑃 2𝜙

2𝑚

=

=

∫𝑑𝑥√𝑎2 + 𝑥2

= arcsh𝑥

𝑎

= ∓ 1√

𝑚2

𝑃 2𝜙

2

𝑚

(𝛼−

𝑃 2𝜙

2𝑚))arcsh

1/𝜌√2𝑚𝐸

2𝑚𝛼− 𝑃 2𝜙

𝜌

𝜌0

=⇒

=⇒ 1

𝜌=

√2𝑚𝐸

2𝑚𝛼− 𝑃 2𝜙

sinh((𝜙− 𝜙0)

√2𝑚𝛼

𝑃 2𝜙

− 1), 𝜌 =

√2𝑚𝛼− 𝑃 2

𝜙

2𝑚𝐸

sinh

(𝜙− 𝜙0)

√2𝑚𝛼

𝑃 2𝜙

− 1 .

Если 𝜙 = 𝜙0, то 𝜌 =∞. Если 𝜙 −→∞, то 𝜌 −→ 0.

Случай 2.2. −𝛼 +𝑃 2𝜙

2𝑚< 0, 𝐸 < 0, 𝐸 = −|𝐸|.

𝜙− 𝜙0 = ±𝜌∫

𝜌0

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚

(− |𝐸|+ 1

𝜌2(𝛼−

𝑃 2𝜙

2𝑚)

) =

1

𝜌= 𝑢

=

= ∓𝑃𝜙𝑚

√𝑚

2

1√𝛼−

𝑃 2𝜙

2𝑚

𝑢∫𝑢0

𝑑𝑢⎯𝑢2 − |𝐸|

𝛼−𝑃 2𝜙

2𝑚

,

∫𝑑𝑥√𝑥2 − 𝑎2

= arcch𝑥

𝑎

,

𝜌 =

√2𝑚𝛼− 𝑃 2

𝜙

2𝑚|𝐸|

cosh

(𝜙− 𝜙0)

√2𝑚𝛼

𝑃 2𝜙

− 1 .

−𝛼 +𝑃 2𝜙

2𝑚< 0, 𝐸 < 0, 𝐸 = −|𝐸| = 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌1)⇐⇒

1

𝜌21(−𝛼 +

𝑃 2𝜙

2𝑚) = −|𝐸| =⇒ 𝜌1 =

⎯𝛼−𝑃 2𝜙

2𝑚|𝐸|

.

Если 𝜙 = 𝜙0, то 𝜌 = 𝜌1 = 𝜌𝑚𝑎𝑥.Если 𝜙 > 𝜙0, то 𝜌 ↓.Если 𝜙 −→∞, то 𝜌 −→ 0 — падение на силовой центр.

20







2𝑚> 0, 𝐸 > 0.

𝜙−𝜙0 = ±𝜌∫𝜌0

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌⎯ 2

𝑚

(𝐸 − 1

𝜌2(−𝛼 +

𝑃 2𝜙

2𝑚)

)⏟ ⏞

>0

=

= ∓𝑃𝜙𝑚

√𝑚

2

1√−𝛼 +

𝑃 2𝜙

2𝑚

𝑢∫𝑢0

𝑑𝑢⎯ 𝐸

−𝛼 +𝑃 2𝜙

2𝑚− 𝑢2

,

∫𝑑𝑥√𝑎2 − 𝑥2

= arcsin𝑥

𝑎

,

𝜌(𝜙) =

√𝑃 2𝜙 − 2𝑚𝛼

2𝑚𝐸

sin√

1− 2𝑚𝛼

𝑃 2𝜙

(𝜙− 𝜙0) .

Если 𝜙 = 𝜙0, то arg sin = 0 =⇒ 𝜌 =∞.Если 𝜙 ↑, то arg sin > 0 =⇒ sin ↑=⇒ 𝜌 ↓.

Если 𝜙 такое, что arg sin =𝜋

2, тогда sin = 1 = max, 𝜌 =

√𝑃 2𝜙 − 2𝑚𝛼

2𝑚𝐸= 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 𝜌2.

Если 𝜙 ↑, то arg sin >𝜋

2=⇒ sin ↓=⇒ 𝜌 ↑.

Если 𝜙 такой, что arg sin = 𝜋, то sin = 0 =⇒ 𝜌 =∞.

𝑁 — число оборотов, совершаемых при рассеянии. 𝑁 =𝜙𝑎𝑠1 − 𝜙𝑎𝑠2

2𝜋.

𝜙𝑎𝑠1 : arg sin = 0 =⇒ 𝜙𝑎𝑠1 = 𝜙0.

𝜙𝑎𝑠2 : arg sin = 𝜋 =⇒ 𝜋 =

√1− 2𝑚𝛼

𝑃 2𝜙

(𝜙𝑎𝑠1 − 𝜙0), 𝜙𝑎𝑠2 = 𝜙0 +𝜋√

1− 2𝑚𝛼

𝑃 2𝜙

.

𝑁 =1

2

1√1− 2𝑚𝛼

𝑃 2𝜙

= 𝑁(𝑚,𝛼, 𝑃𝜙)

21






II. 𝑈(𝑟) = −𝛼𝑟

+𝛽

𝑟2, (𝛼, 𝛽 > 0).

𝜙− 𝜙0 = ±𝜌∫

𝜌0

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 +

𝛼

𝜌− 1

𝜌2(𝛽 +

𝑃 2𝜙

2𝑚)

) ,

𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) = 𝑈(𝜌) +𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2= −𝛼

𝜌+

1

𝜌2(𝛽 +

𝑃 2𝜙

2𝑚), 𝑢 =

1

𝜌

∓𝑃𝜙𝑚

√𝑚

2

1√𝛽 +

𝑃 2𝜙

2𝑚

𝑢∫𝑢0

𝑑𝑢⎯−𝑢2 + 2𝑢𝛼

2(𝛽 +𝑃 2𝜙

2𝑚

+𝐸

𝛽 +𝑃 2𝜙

2𝑚

=

=

𝑥2∫𝑥1

𝑑𝑥√𝑎2 − 𝑥2

= arccos𝑥

𝑎

𝑥2𝑥1

=

∓1√2𝛽𝑚

𝑃 2𝜙

+ 1

arccos

1

𝜌− 𝑚𝛼

𝑃 2𝜙 + 2𝛽𝑚√

2𝑚𝐸

𝑃 2𝜙 + 2𝑚𝛽

+

(𝑚𝛼


)2

𝜌

𝜌0

,

1

𝜌=

𝑚𝛼

𝑃 2𝜙 + 2𝛽𝑚

+

√2𝑚𝐸


+

(𝑚𝛼


)2

· cos(√

1 +2𝛽𝑚

𝑃 2𝜙

(𝜙− 𝜙0)),

𝜌(𝜙) =

𝑃 2𝜙 + 2𝛽𝑚

𝑚𝛼

1 +

√1 +

2𝐸(𝑃 2𝜙 + 2𝑚𝛽)

𝑚𝛼2

cos(√

1 +2𝛽𝑚

𝑃 2𝜙

(𝜙− 𝜙0)).

Частный случай: 𝛽 = 0. 𝑈(𝑟) = −𝛼𝑟

— задача Кеплера.

𝜌(𝜙) =𝑃 2𝜙/𝑚𝛼

1 +

√1 +

2𝐸𝑃 2𝜙

𝑚𝛼2

cos(𝜙 − 𝜙0

). Обозначим: 𝑃 2

𝜙/𝑚𝛼 ≡ 𝑝0 — параметр орбиты,

𝜀 ≡√

1 +2𝐸𝑃 2

𝜙

𝑚𝛼2— эксцентриситет, 𝜌(𝜙) =

𝑝𝑜

1 + 𝜀 cos(𝜙− 𝜙0

) — уравнение конического

сечения, 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) = −𝛼𝜌

+𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2.

1) 𝜀 = 0, 𝜌(𝜙) = 𝑝0 — окруж-ность.

𝜀 = 0 =⇒ 1 +2𝐸𝑃 2

𝜙

𝑚𝛼2= 0

𝐸 = −𝑚𝛼2

2𝑃 2𝜙

= (𝑈𝑒𝑓𝑓 )𝑚𝑖𝑛.

22






2) 0 < 𝜀 < 1 — эллипс. 0 < 1 +2𝐸𝑃 2

𝜙

𝑚𝛼2< 1 −→ −𝑚𝛼

2

2𝑃 2𝜙

< 𝐸 < 0.

3) 𝜀 = 1 — парабола, 𝐸 = 0.4) 𝜀 > 1 — гипербола, 𝐸 > 1.

Рассмотрим случай эллипса. 0 < 𝜀 < 1, 𝑈𝑒𝑓𝑓 = −𝛼𝜌

+𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2.

𝜌(𝜙) =𝑝0

1 + 𝜀 cos(𝜙− 𝜙0

) = 𝜌(𝜙 + 2𝜋) (𝛽 = 0). За один оборот вокруг силового центра

аргумент cos изменяется на 2𝜋.

𝛽 = 0, 𝜌(𝜙) = 𝜌(𝜙+𝑇𝜙), ∆arg cos =

√1 +

2𝛽𝑚

𝑃 2𝜙

∆𝜙 = 2𝜋 =⇒ за 1 оборот вокруг силового

центра угол 𝜙 изменяется на ∆𝜙 =2𝜋√

1 +2𝛽𝑚

𝑃 2𝜙

< 2𝜋 (𝛽 > 0).

𝛽 = 0, 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) = 𝑈(𝜌) +𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2= −𝛼

𝜌+

1

𝜌2(𝛽 +

𝑃 2𝜙

2𝑚)⏟ ⏞

>0

Угол смещения афелия (перигелия): ∆𝜙угл = 2𝜋 −∆𝜙 = 2𝜋 − 2𝜋√1 + 2𝛽𝑚/𝑃 2

𝜙

= 0.

23






Вектор–интеграл Лапласа.

= × − 𝛼

𝑟 — интеграл движения задачи Кеплера (𝑈(𝑟) = −𝛼

𝑟).

𝑑

𝑑𝑡 = [ ˙𝑣× ]+[× ˙

𝐿⏟ ⏞ =0

]− 𝛼˙𝑟

𝑟+𝛼

𝑟3( · ˙𝑟) =

𝑑

𝑑𝑡

(1√2

)=

𝑑

𝑑𝑡

(2)−1/2 = −1

2(2)−3/2 ·2( · ˙𝑟) =

= − 1

𝑟3( · ˙𝑟), [ ˙𝑣 × ] =

[˙𝑣 × [ ×𝑚 ˙𝑟]

]= 𝑚

(¨𝑟, ˙𝑟)− ˙𝑟(¨𝑟, ˙𝑟)

,𝑚¨𝑟 = −∇𝑈 = − 𝛼

𝑟3

=

=

(− 𝛼

𝑟3, ˙𝑟

)− ˙𝑟

(− 𝛼

𝑟3,

)− 𝛼 ˙𝑟

𝑟+𝛼

𝑟3( · ˙𝑟) = 0.⎧⎨⎩

𝑑

𝑑𝑡 = 0

= (, ˙𝑟, 𝑡)⇐⇒ — интеграл движения.

Траектория финитного движения замкнута, если существуют такие целые числа 𝑘, 𝑛 ∈

Z, что𝜌2∫𝜌1

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚(𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌))

= 𝜋𝑘

𝑛.

∆𝜙 = 2𝜌2∫𝜌1

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚(𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌))

— изменение углового перемещения 𝜙 за 1 оборот. Тра-

ектория замкнута, если после 𝑛 оборотов ∆𝜙0𝑛 = 2𝜋 · 𝑘.

Лекция 4

Система материальных точек. Внутренние силы. Инвариантность функцииЛагранжа относительно группы движений Галилея для изолированной

системы 𝑁 материальных точек. Законы сохранения и изменения импульса,момента импульса и энергии системы точек. Аддитивные интегралыдвижения изолированной системы 𝑁 материальных точек и свойства

24






пространства–времени. Инерциальные системы отсчёта. Группа движенийГалилея

Определение. Системой материальных точек называют совокупность тел, каждое из ко-торых можно считать материальной точкой. Замкнутой системой — систему, в которойвзаимодействием с прочими телами можно пренебречь.

Определение. Внутренние силы — силы, действующие между точками данной системы.Сумма внутренних сил равна нулю, т.к. силы, действующие на ∀2 точки, равны по модулюи противоположны по направлению.

𝐿 =𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖˙𝑟2𝑖

2− 𝑈𝑖𝑛(1, ..., 𝑁), 𝑈𝑖𝑛 =

1

2

𝑁∑𝑖,𝑗=1

𝑈𝑖𝑗(|𝑖 − 𝑗|),

𝐹𝑖(𝑗) = −𝜕𝑈𝑖𝑛𝜕𝑖

, 𝐹𝑗(𝑖) = −𝜕𝑈𝑖𝑛𝜕𝑗

=⇒ 𝐹𝑖𝑗 = −𝐹𝑗𝑖.

Преобразование: , 𝛿 = 𝛿𝜙, 𝑡′ = 𝑡 + 𝜏 , 𝛿𝐿 = 𝐿(𝑖 + 𝛿𝑖, ˙𝑟𝑖 + 𝛿 ˙𝑟𝑖, 𝑡 + 𝜏) − 𝐿(𝑖, ˙𝑟𝑖, 𝑡) =

=𝑁∑𝑖=1

(𝜕𝐿

𝜕𝑖· 𝛿𝑖 +

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟𝑖· 𝛿 ˙𝑟𝑖

)+𝜕𝐿

𝜕𝑡𝜏 .

1. Пусть 𝛿 = 0, 𝜏 = 0, = 0. Тогда ′𝑖 = 𝑖 + , 𝛿𝐿 = ·𝑁∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑖, 𝛿𝐿 = 0 =⇒

𝑁∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑖= 0.

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟𝑖⏟ ⏞ =𝑚𝑖

˙𝑖𝑟=𝑝𝑖

=𝜕𝐿

𝜕𝑖=⇒ 𝑑

𝑑𝑡

𝑁∑𝑖=1

𝑝𝑖 = 0 =⇒ 𝑃 =𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖˙𝑟𝑖⏟ ⏞

=

𝑁∑𝑖=1

𝑝𝑖

,𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0 =⇒

=⇒ 𝑃 = 𝑃0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =⇒𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑖 = 𝑃0.

Рассмотрим системы отсчёта 𝑆 и 𝑆 ′: ˙𝑟𝑖 + = ˙𝑟𝑖| ·𝑚𝑖,∑𝑖

, 𝑃 = 𝑃 ′ +𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖⏟ ⏞ =𝑀

= 𝑃 ′ +𝑀.

Пусть 𝑆 ′ такая, что 𝑃 ′ = 0 =⇒ =𝑃

𝑀, =

𝑃

𝑀=

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖˙𝑟𝑖0

𝑀= 0,

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑖 = 𝑀0𝑡 +

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑖0 (3 параметра у ), =1

𝑀

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑖 — центр масс (инерции).

2. 𝛿 = 𝛿𝜙, 𝜏 = 0, = 0. 𝛿𝑖 = [𝛿, 𝑖] =⇒ 𝛿 ˙𝑟𝑖 = [𝛿, ˙𝑟𝑖],

𝛿𝐿 =𝑁∑𝑖=1

(𝜕𝐿

𝜕𝑖[𝛿, 𝑖] +

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟𝑖[𝛿, ˙𝑟𝑖]

)=

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟𝑖= 𝑝𝑖,

𝜕𝐿

𝜕𝑖= ˙𝑝𝑖

= 𝛿

𝑑

𝑑𝑡

𝑁∑𝑖=1

[𝑖 𝑝𝑖⏟ ⏞ =𝑚𝑖𝑖

],

25






=𝑁∑𝑖=1

[𝑖×𝑚𝑖˙𝑟𝑖] ≡

𝑁∑𝑖=1

[𝑖×𝑝𝑖], 𝛿⏟ ⏞ =0

𝑑

𝑑𝑡= 𝛿𝐿 = 0 =⇒ 𝑑

𝑑𝑡= 0 =⇒ = 0 — (3 параметра

у 𝛿).

𝑖 = ′𝑖 + , = ′ + [𝑎× 𝑝]. Обратимся к 𝑆, 𝑆 ′: ˙𝑟𝑖 = ˙𝑟′𝑖 + . = ′ +𝑀 [× ]. Если центрмасс в 𝑆 ′ покоится, то = ′ + [× 𝑝].

3. 𝛿 = 0, = 0, 𝜏 = 0. 𝛿𝐿 =𝜕𝐿

𝜕𝑡𝑡,

𝑑𝐿

𝑑𝑡=

𝑁∑𝑖=1

(𝜕𝐿

𝜕𝑖˙𝑟𝑖 +

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟𝑖

¨𝑟𝑖⏟ ⏞ =𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿𝜕 ˙𝑟𝑖

˙𝑟𝑖

)−𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿𝜕 ˙𝑟𝑖

)˙𝑟𝑖

)+𝜕𝐿

𝜕𝑡,

0 =𝑑

𝑑𝑡

( 𝑁∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟𝑖

˙𝑟𝑖 − 𝐿)

+𝜕𝐿

𝜕𝑡+

𝑁∑𝑖=1

(𝜕𝐿

𝜕𝑖− 𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿𝜕 ˙𝑟𝑖

)⏟ ⏞

=0

)˙𝑟𝑖,

𝑑𝐻


𝜕𝑡=⇒

𝐻 =

𝑁∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟𝑖

˙𝑟𝑖 − 𝐿

=⇒ 𝛿𝐿 = 0 =⇒ 𝜕𝐿

𝜕𝑡= 0 =⇒ 𝜕𝐻

𝜕𝑡= 0 =⇒ 𝐻 = 𝐻0 (1

параметр).

4. 𝑖 = ′𝑖 + 𝑡, = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝐿′ =1

2

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖˙𝑟′2𝑖 +

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖′𝑖 +

𝑀

2𝑣2⏟ ⏞

=𝑑

𝑑𝑡

(

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖′𝑖 +

𝑚2

2𝑡)

— можно отбросить.

− 𝑈𝑖𝑛

′𝑖 = 𝑖 + 𝐴 (𝛿)⏟ ⏞ 3 пары

𝑖 + ⏟ ⏞ 3 пары

+ ⏟ ⏞ 3 пары

𝑡

𝑡′ = 𝑡+ 𝜏⏟ ⏞ 1 пара

— 10–параметрическиая группа движения Галилея.

Итак, для замкнутой системы:

1. ′𝑖 = 𝑖 + =⇒ 𝛿𝐿 = 0. 𝑃 =𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖˙𝑟2𝑖 ≡

𝑁∑𝑖=1

𝑝𝑖 = 𝑃0 есть 3 интеграла движения,

связанных с однородностью пространства. Проинтегрируем по 𝑑𝑡:𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑖 = 𝑃0𝑡+𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑖0 =⇒ есть 3 вторых интеграла движения.

26






⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

= 0𝑡+ 0

(𝑡) =1

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖⏟ ⏞ =𝑀

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖𝑖 — однородность пространства.

2. Изотропность пространства: 𝛿 =⇒ 𝛿𝐿 = 0,𝑑

𝑑𝑡= 0 =⇒ = 0, =

𝑁∑𝑖=1

𝑖 =

=𝑁∑𝑖=1

[𝑖 ×𝑚𝑖˙𝑟𝑖] ≡

𝑁∑𝑖=1

[𝑖 × 𝑝𝑖].

3. Однородность времени: 𝑡′ = 𝑡 + 𝜏 . 𝛿𝐿 = 0,𝑑𝐸

𝑑𝑡= 0 =⇒ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐸 =

𝑁∑𝑖=1

𝑚𝑖2𝑖

2+

+𝑈 𝑖𝑛(1, ..., 𝑁) = 𝐸0.СО — 𝑆, 𝑆 ′ движется с 0 относительно 𝑆.𝑖 = 𝐴(𝛿)′𝑖 + + 0𝑡

𝑡 = 𝑡′ + 𝜏— 10–параметрическая группа преобразований Галилея (со-

храняет уравнения Лагранжа по форме, т.е. формирует инвариант).Предположим, что система НЕ замкнута: 𝑈 𝑡0𝑡 = 𝑈 𝑒𝑥𝑡(1, ..., 𝑁 , 𝑡) + 𝑈 𝑖𝑛. Тогда:

𝑑𝑃

𝑑𝑡=∑𝑖

𝜕𝐿

𝜕𝑖= −

∑𝑖

𝜕𝑈 𝑒𝑥𝑡

𝜕𝑖,𝑑

𝑑𝑡= −

𝑁∑𝑖=1

[𝑖 ×

𝜕𝑈 𝑒𝑥𝑡

𝜕𝑖

],𝑑𝐸


𝜕𝑡=𝜕𝑈 𝑒𝑥𝑡

𝜕𝑡.

Лекция 5

Задача двух тел, интегралы движения и общее решение задачи вквадратурах. Движение частиц относительно лабораторной системы отсчёта

и системы центра масс. Упругое рассеяние частиц. Эффективноепоперечное сечение рассеяния. Формула Резерфорда. Падение частиц в

центр поля и захват частиц. Полное сечение захвата частиц

Система материальных точек с 𝑁 = 2 допускает описание движения в произвольномполе.𝑚1, 𝑚2, 1, 2, 𝑈(|2 − 1|). 𝐹21 = −𝜕𝑈

𝜕1, 𝐹12 = −𝜕𝑈

𝜕2, 𝐹12 + 𝐹21 = 0.⎧⎪⎨⎪⎩

𝑚1¨𝑟1 = −𝜕𝑈

𝜕1

𝑚2¨𝑟2 = −𝜕𝑈

𝜕2

— есть 10 интегралов движения.

𝑚1˙𝑟1 +𝑚2

˙𝑟2 = 𝑃0, = 0𝑡+ 0. (𝑡) =𝑚11 +𝑚22𝑚1 +𝑚2⏟ ⏞

=𝑀

=⇒ 0 =𝑚1

˙𝑟10 +𝑚2˙𝑟20

𝑀.

𝑆 ′ — в центр масс системы. ′𝑖 + = 𝑖, 𝑖 = 1, 2, ...

27






⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝑚1

¨𝑟′1 = −𝜕𝑈

𝜕′1

𝑚2¨𝑟′2 = −𝜕𝑈

𝜕′2

, 𝑈(|′2 − ′1|),

′=𝑚1

′1 +𝑚2

′2

𝑚1 +𝑚2

= 0.

𝑚1

′1 +𝑚2

′2 = 0

= 2 − 1 = ′2 −

′1

⇐⇒

⎧⎪⎨⎪⎩′2 =

𝑚1

𝑚1 +𝑚2

′1 =

−𝑚2

𝑚1 +𝑚2

.

⎧⎪⎨⎪⎩1 = − 𝑚2

𝑚1 +𝑚2

2 = +𝑚1

𝑚1 +𝑚2

−→ 𝑚1𝑚2

𝑚1 +𝑚2

¨𝑟 = −𝜕𝑈(𝑟)

𝜕— задача о движении частицы в цен-

тральном силовом поле с силовым центром в центре масс.𝑀 =

𝑚1𝑚2

𝑚1 +𝑚2

— приведённая масса. = 2 − 1

=𝑚11 +𝑚22𝑚1 +𝑚2

1 = + ′1

2 = + ′2

𝑀𝑟 = −𝜕𝑈(𝑟)

𝜕, 𝑀 =

𝑚1𝑚2

𝑚1 +𝑚2

, 𝑃 = 𝑀, 𝑀 = 𝑚1 +𝑚2, 𝑀˙𝑅 = 𝑀0 = 𝑃0, = 0𝑡+ 0.

𝐸 =𝑀

˙𝑅2

2+ 𝐸 ′ =

𝑀˙𝑅2

2+𝑚1

˙𝑟′21

2+𝑚2

˙𝑟′22

2+ 𝑈(𝑟) =

𝑀˙𝑅2

2+𝑀 ˙𝑟2

2+ 𝑈(𝑟)⏟ ⏞

=𝐸′0

.

= [× 𝑝] + ′= [× 𝑝] +𝑚1[

′1 ×

˙

′

1𝑟] +𝑚2[′2 ×

˙

′

2𝑟] = [× 𝑝] +𝑀 [ × ˙𝑟]⏟ ⏞ =

′0

.

𝐿′0𝑥, 𝐿

′0𝑦, (

′0, ˙𝑟) = 0, (

′0, ) = 0, 𝐿′

0𝑥𝑥+ 𝐿′0𝑦𝑦 + 𝐿

′0𝑧𝑧 = 0.

′1 = − 𝑚2

𝑚1 +𝑚2

, ′2 =𝑚1

𝑚1 +𝑚2

,

𝑡+ 𝐶1 = ±∫ 𝑑𝑟√

2

𝑀

(𝐸

′0 − 𝑈(𝑟)− 𝐿

′20

2𝑀𝑟2

, 𝜙+ 𝐶2 = ±∫ 𝐿

′0

𝑀𝑟2𝑑𝑟√

2

𝑀

(𝐸

′0 − 𝑈(𝑟)− 𝐿

′20

2𝑀𝑟2

.

⎧⎨⎩1(𝑡) = (𝑡) +𝑚2

𝑚1 +𝑚2

(𝑡)

2(𝑡) = (𝑡)− 𝑚1

𝑚1 +𝑚2

(𝑡), = 2 − 1.

Упругое рассеяние частиц — внутреннее состояние частиц не меняется при их столкно-вениях.

28






Пучок:

1. Однороден по своему сечению (концентра-ция одинакова; все частицы одинаковы и обла-дают одинаковой энергией).

2. Достаточно разрежен(частицы не взаимо-действуют друг с другом).

Плотность потока (характеристика пучка): 𝑗 =𝑑𝑁

𝑑𝑡𝑑𝑆— сколько частиц пролетает в еди-

ницу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлениюраспространения пучка.

Детектор.𝑑𝑁расс𝑑𝑡𝑑𝜃

.

Дифференциальное сечение рассеяния. 𝑑𝜎 =𝑑𝑁расс/𝑑𝑡

𝑗— экспериментально измери-

мая величина.Прицельный параметр (𝑝) — длина перпендикуляра, опущенного из силового центра на

первоначальное направление движения частицы пучка.Угол рассеяния (𝜃) — угол между на-

правлениями частиц падающей и рассеян-ной.

∃!𝑝 = 𝑝(𝜃).

Рассмотрим 2 частицы в пучке с при-цельными параметрами 𝑝 и 𝑑𝑝. Все части-цы, пролетевшие в кольцо (𝑝, 𝑝 + 𝑑𝑝), рас-сеиваются в интервале углов 𝜃, 𝜃 + 𝑑𝜃.

𝑑𝑁расс𝑑𝑡𝑑𝜃

=

(𝑑𝑁пуч𝑑𝑡

)кольцо

1

𝑑𝜃= 𝑗

𝑑𝑆

𝑑𝜃= 𝑗

2𝜋𝑝𝑑𝑝

𝑑𝜃, 𝑑𝜎 =

𝑑𝑁расс/𝑑𝑡𝑗𝑑𝜃

𝑑𝜃 = 2𝜋𝑝𝑑𝑝, 𝑝 = 𝑝(𝜃),

𝑑𝑝 =𝑑𝑝

𝑑𝜃𝑑𝜃, 𝑑𝜎 = 2𝜋𝑝(𝜃)

𝑑𝑝𝑑𝜃

𝑑𝜃, 𝑑𝜎 = 2𝜋𝑝𝑑𝑝 = 𝜋𝑑𝑝2 = 𝜋

𝑑𝑝2𝑑𝜃

𝑑𝜃.

Рассеяние в 𝑑𝜃 ⇐⇒ рассеяние в элементе телесного угла 𝑑Ω, 𝑑Ω = 2𝜋 sin 𝜃𝑑𝜃.

𝑑𝜎 = 2𝜋𝑝(𝜃)𝑑𝑝(𝜃)𝑑𝜃

𝑑𝜃 =

𝑝(𝜃)

sin 𝜃

𝑑𝑝(𝜃)𝑑𝜃

𝑑Ω. 𝑑𝜎 : 𝑝 = 𝑝(𝜃)–?

𝑃𝜙 = 𝑚𝜌2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, = 𝑚[ × ˙𝑟] =

= 𝜌𝜌

˙𝑟 = 𝜌 + 𝜌𝜙

= 𝑚𝜌2[𝜌 × 𝜙] = 𝑚𝜌2𝑧,

|| = 𝑚𝜌2 = 𝑃𝜙 — физический смысл интеграла движения 𝑃𝜙.Пусть (𝑡0) = ∞, |∞| =∞, (𝑡0) = ∞. Считаем, что 𝑈(𝑟)|𝑟−→∞ = 0 .

𝑃𝜙 = || = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = ||𝑡=𝑡0

=

29






= 𝑚[∞ × ∞]

= 𝑚𝑣∞𝑝,

𝑃 2𝜙

2𝑚=𝑚𝑣2∞𝑝

2

2𝑚=𝑣2∞2𝑝2.

Интеграл движения: 𝐸 = 𝑇 +𝑈 =𝑚𝑣2

2+𝑈(𝑟) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐸

𝑡=𝑡0

=𝑚𝑣2∞

2+𝑈(∞)⏟ ⏞

−→0

=𝑚𝑣2∞

2.

Эффективный потенциал: 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) = 𝑈(𝜌) +𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2, 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) = 𝑈(𝜌) +

𝐸𝑝2

𝜌2.

Общая схема

∆𝜙 : 𝜙− 𝜙0 = ±𝜌∫𝜌0

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√...

∆𝜙+ 𝜃 = 𝜋± 2𝜋𝑛 (в каждом случае надоотдельно это устанавливать).

Пример. 𝑈(𝑟) = −𝛼𝑟

(𝛼 < 0 — отталкивающий силовой центр).

𝜌(𝜙) =𝑃0

1 + 𝜀 cos(𝜙− 𝜙0), 𝜀 =

√1 +

2𝐸𝑃 2𝜙

𝑚𝛼2, 𝑈𝑒𝑓𝑓 = −𝛼

𝜌+

𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2≡ −𝛼

𝜌+𝐸𝑝2

𝜌2> 0.

𝜀 > 1 =⇒ гипербола.

∆𝜙1 + ∆𝜙2⏟ ⏞ =Δ𝜙

+𝜃 = 𝜋

𝜙− 𝜙0 = ±𝜌∫𝜌0

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 + 𝛼/𝜌− 𝐸𝑝2/𝜌2

) ,∆𝜙1 = −

𝜌𝑚𝑖𝑛∫∞

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 + 𝛼/𝜌− 𝐸𝑝2/𝜌2

) =∞∫

𝜌𝑚𝑖𝑛

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 + 𝛼/𝜌− 𝐸𝑝2/𝜌2

) = ∆𝜙2,

𝜋 − 𝜃 = 2∆𝜙2 = 2∞∫

𝜌𝑚𝑖𝑛

𝑃𝜙𝑚𝜌2

𝑑𝜌√2

𝑚

(𝐸 + 𝛼/𝜌− 𝐸𝑝2/𝜌2

) , ℰ =1

𝜌, 𝑑𝜌

1

𝜌2= −𝑑ℰ ,

𝜋−𝜃 = −2ℰ(∞)∫

ℰ(𝜌𝑚𝑖𝑛)

𝑃𝜙𝑚

𝑑ℰ√2

𝑚

(𝐸 + 𝛼/ℰ − 𝐸𝑝2ℰ2

) = −2𝑃𝜙𝑚

√𝑚

2

1√𝐸𝑝2⏟ ⏞

=1

ℰ(∞)∫ℰ(𝜌𝑚𝑖𝑛)

𝑑ℰ√−ℰ2 +

𝛼ℰ𝐸𝑝2

+1

𝑝2

=

=

− ℰ2 +

𝛼ℰ𝐸𝑝2

+1

𝑝2= −(ℰ − 𝛼

2𝐸𝑝2)2 +

1

𝑝2+( 𝛼

2𝐸𝑝2)2

⏟ ⏞ >0

=

30






= −2ℰ(∞)∫

ℰ(𝜌𝑚𝑖𝑛)

𝑑ℰ√−(ℰ − 𝛼

2𝐸𝑝2)2 +

1

𝑝2+( 𝛼

2𝐸𝑝2)2 =

𝑑𝑥√𝑎2 − 𝑥2

= arcsin𝑥

𝑎

=

= −2 arcsin

1

𝜌− 𝛼

2𝐸𝑝2√1

𝑝2+( 𝛼

2𝐸𝑝2)2𝜌=∞

𝜌=𝜌𝑚𝑖𝑛

, 𝜌𝑚𝑖𝑛 — точка поворота.

𝐸 = 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) −→ −𝛼𝜌

+𝐸𝑝2

𝜌2= 𝐸, 𝐷 = 𝛼2 − 4𝐸𝑝2(−𝐸),

(1

𝜌

)1,2

=𝛼±

√𝛼2 + 4𝐸2𝑝2

2𝐸𝑝2=

=𝛼

2𝐸𝑝2±√

1

𝑝2+( 𝛼

2𝐸𝑝2)2, 1

𝜌𝑚𝑖𝑛=

𝛼

2𝐸𝑝2+

√1

𝑝2+( 𝛼

2𝐸𝑝2)2,

𝜋 − 𝜃 = −2 arcsin

− 𝛼

2𝐸𝑝2√1

𝑝2+( 𝛼

2𝐸𝑝2)2 + 2 arcsin 1⏟ ⏞

=𝜋

, sin2 𝜃

2=

(𝛼/2𝐸𝑝2)2

(1/𝑝)2 + (𝛼/2𝐸𝑝2)2· 𝑝

4

𝑝4,

sin2 𝜃

2=

( 𝛼2𝐸

)2𝑝2 +

( 𝛼2𝐸

)2 , 𝑝2 sin2 𝜃

2=( 𝛼

2𝐸

)2cos2

𝜃

2, 𝑝2(𝜃) =

( 𝛼2𝐸

)2ctg2 𝜃2.

𝑑𝜎 = 𝜋𝑑𝑝2𝑑𝜃

𝑑𝜃 = 𝜋

( 𝛼2𝐸

)22ctg

𝜃

2

1

sin2 𝜃/2

𝑑𝜃

2, 𝑑𝜃 =

𝑑Ω

2𝜋 sin 𝜃=

𝑑Ω

4𝜋 sin 𝜃/2 cos 𝜃/2,

𝑑𝜎 = 𝜋( 𝛼

2𝐸

)2 cos 𝜃/2

sin3 𝜃/2

𝑑Ω

4𝜋 sin 𝜃/2 cos 𝜃/2, 𝑑𝜎 =

( 𝛼4𝐸

)2 𝑑Ω

sin4 𝜃/2— формула Резерфорда. Экс-

перимент ←→ 𝑑𝜎

𝑑Ω.

Сечение падения

𝑗 =𝑑𝑁

𝑑𝑡𝑑𝑆

Сечение падения (захвата). 𝜎пад =𝑑𝑁упав/𝑑𝑡

𝑗,(𝑑𝜎 =

𝑑𝑁расс/𝑑𝑡𝑗

),

𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌) = 𝑈(𝜌) +𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2≡ 𝑈(𝜌) +

𝐸𝑝2

𝜌2.

У каждой частицы свой 𝑝 =⇒ свой 𝑈𝑒𝑓𝑓 .

𝑝3 ≡ 𝑝0 — предельный прицельный пара-метр.

31






𝑝 > 𝑝0 — рассеяние.𝑝 < 𝑝0 — падение на силовой центр.Все частицы пучка, проходящие через

круг радиуса 𝑝0, падают на силовой центр.

𝑑𝑁упав𝑑𝑡

=

(𝑑𝑁пучка

𝑑𝑡

)круг 𝑝𝑜

= 𝑗𝑆круга = 𝑗𝜋𝑝20, 𝜎пад =𝑑𝑁упав/𝑑𝑡

𝑗= 𝜋𝑝20, 𝑝0–?

𝑝0 — соответствует выходу на круговую орбиту. 𝑈𝑒𝑓𝑓 = 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜌, 𝑝) = 𝑈(𝜌) +𝐸𝑝2

𝜌2.

𝑝0 : 𝐸 = (𝑈𝑒𝑓𝑓 )𝑚𝑎𝑥 ⇐⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩𝐸 = 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝑝0, 𝜌0) (1)𝜕𝑈𝑒𝑓𝑓𝜕𝜌

(𝑝0, 𝜌0) = 0 (2)

𝜕2𝑈𝑒𝑓𝑓𝜕𝜌2

< 0

, из (1) и (2): 𝑝0 = ..., 𝜌0 = ...

Лекция 6Уравнения Лагранжа в независимых координатах и их ковариантность при

точечных преобразованияхУравнения Лагранжа сохраняют свой вид при точечных преобразованиях обобщённых

координат: 𝑞′𝑗 = 𝑞′𝑗(𝑡, 𝑞1, ..., 𝑞𝑠), 𝑗 = ¯1, 𝑠, т.е. при пользовании обобщёнными координатами𝑞′𝑗 уравнения Лагранжа будут иметь тот же вид:

𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗

)− 𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗= 0, 𝐿′ = 𝐿(𝑞(𝑞′), 𝑞(𝑞′, 𝑞′), 𝑡),

что и при использовании обобщённых координат 𝑞𝑗:

𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑗

)− 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑗= 0, 𝐿 = 𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡).

Доказательство. Построим 𝐿′: 𝐿′(𝑞′, 𝑞′, 𝑡) = 𝐿(𝑞(𝑞′, 𝑡), 𝑞(𝑞′, 𝑞′, 𝑡), 𝑡). Вычислим производные:

𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗=

𝑠∑𝑘=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘

𝜕𝑞𝑘𝜕𝑞′𝑗

,𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗

)=

𝑠∑𝑘=1

(𝜕𝑞𝑘𝜕𝑞′𝑗

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘+𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑞𝑘𝜕𝑞𝑗⏟ ⏞

=𝜕𝑞𝑘𝜕𝑞𝑗

),

𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗=

𝑠∑𝑘=1

(𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘


+𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘


), где учтено, что


=𝜕𝑞𝑘𝜕𝑞′𝑗

.

𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗

)− 𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗=

𝑠∑𝑘=1


(𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘− 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘

)⏟ ⏞

=0

= 0 =⇒ 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗− 𝜕𝐿′

𝜕𝑞′𝑗= 0.

32






Обобщённая энергия

Определение. 𝐸 =𝑠∑𝑖=1

𝑞𝑖𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖− 𝐿.

𝑑𝐸

𝑑𝑡=∑𝑖

𝑑

𝑑𝑡

(𝑞𝑖𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

)− 𝑑

𝑑𝑡𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡) =

∑𝑖

(𝑞𝑖𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖+ 𝑞𝑖

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

)− 𝜕𝐿

𝜕𝑡−

𝑠∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝑞𝑖 −

𝑠∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝑞𝑖 =

= −𝜕𝐿𝜕𝑡

+∑𝑖

𝑞𝑖

(𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿


𝜕𝑞𝑖

)⏟ ⏞

=𝑄𝑑𝑖

= −𝜕𝐿𝜕𝑡

+∑𝑖

𝑄𝑑𝑖 𝑞𝑖.

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 0⇐⇒ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (обобщённая энергия — интеграл движения), если:

1)𝜕𝐿

𝜕𝑡= 0 — функция Лагранжа не зависит явно от времени.

2) 𝑄𝑑𝑖 = 0 — в системе отсутствует диссипация.

Обобщённый импульс 𝑝𝑖, соответствующий обобщённой координате 𝑞𝑖

Определение. 𝑝𝑖 =𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖.

𝑑

𝑑𝑡𝑝𝑖 =

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖=𝜕𝐿


𝑖 ,𝑑

𝑑𝑡𝑝𝑖 = 0⇐⇒ 𝑝𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (интеграл движения), если:

1)𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 0 — координата 𝑞𝑖 — циклическая.

2) 𝑄𝑑𝑖 — в системе отсутствует диссипация.

Интегралы движения уравнений Лагранжа

Уравнения Лагранжа:𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑞− 𝜕𝐿

𝜕= 0 (*). 𝑆 штук дифференциальных уравнений 2–го

порядка.

Систему уравнений Лагранжа можно представить в виде:𝑑

𝑑𝑡𝑓𝑘((), ( ˙𝑞), 𝑡) = 0 (**), где

𝑓𝑘(, ˙𝑞, 𝑡) = 𝐶𝑘, 𝑘 = 1, ..., 𝑠— первые интегралы системы (*) — первые интегралы движения.

Определение. Интегралы движения называются независимыми, если 𝑑𝑒𝑡

𝜕𝑓𝑘𝜕𝑞𝑗

= 0, т.е.

если обобщённые скорости можно выразить через обобщённые координаты и время.

Систему (**) можно представить в виде:𝑑

𝑑𝑡𝐹𝑗(, 𝑡, ) = 0, 𝑗 = ¯1, 𝑠. 𝐹𝑗(, 𝑡, ) = 𝐶𝑗 —

вторые интегралы движения.

𝑞𝑖 = 𝑞𝑖(𝑡, ,𝐶) — решение 𝑖 = ¯1, 𝑠

𝑓𝑘(0, ˙𝑞0, 𝑡0) = 𝐶𝑘, 𝐹𝑗(0, 𝑡0, ) = 𝐶𝑘 (из начальных условий).

33






Лекция 7

Функция Лагранжа заряда во внешнем электромагнитном поле.Обобщённый потенциал, обобщённая сила в уравнениях Лагранжазаряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Первые

интегралы уравнений Лагранжа заряда 𝑒 массы 𝑚 в однородном магнитномполе и калибровка векторного потенциала. Первые интегралы уравнений

Лагранжа заряда 𝑒 массы 𝑚 в однородном магнитном поле вцилиндрических координатах

𝑈об ≡ −𝑒𝑐( ˙𝑟)+𝑒𝜙, 𝐿 = 𝑇−𝑈об =

𝑚 ˙𝑟2

2−𝑈об =

𝑚 ˙𝑟2

2+𝑒

𝑐( ˙𝑟)−𝑒𝜙, 𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑗

)− 𝜕𝐿𝜕𝑞𝑗

= 0 =⇒

=⇒ 𝑑

𝑑𝑡

(𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟

)− 𝜕𝐿

𝜕= 0,

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟= 𝑚 ˙𝑟 − 𝜕𝑈об

𝜕 ˙𝑟,𝜕𝐿

𝜕= −𝜕𝑈

об

𝜕, 𝑚¨𝑟 =

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑈об

𝜕 ˙𝑟− 𝜕𝑈об

𝜕⏟ ⏞ =𝐹л

,

𝐹л = −∇𝑈об +𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑈об

𝜕 ˙𝑟= −𝑒∇𝜙+

𝑒

𝑐∇((, 𝑡), ˙𝑟)−𝑒

𝑐

𝑑

𝑑𝑡⏟ ⏞ =−𝑒

𝑐

𝜕

𝜕𝑡−𝑒

𝑐( ˙𝑟,∇)

𝐹л = 𝑒

(− ∇𝜙− 1

𝑐

𝜕

𝜕𝑡

)⏟ ⏞

=

+𝑒

𝑐∇( ˙𝑟)−𝑒

𝑐( ˙𝑟, ∇) =

[˙𝑟,

]=[

˙𝑟, [∇, ]]

= ∇( ˙𝑟, )−( ˙𝑟, ∇)

=

= 𝑒+𝑒

𝑐[ ˙𝑟, ].

𝐿 =𝑚 ˙𝑟2

2+𝑒

𝑐( ˙𝑟)− 𝑒𝜙. Потенциалы и 𝜙 определены неоднозначно!

(, 𝜙) −→ (′, 𝜙′) :′ = + ∇𝛼(, 𝑡)

𝜙′ = 𝜙− 1

𝑐

𝜕𝛼

𝜕𝑡(, 𝑡)

. (, 𝜙) и (′, 𝜙′)←→ одним и тем же и .

Функция Лагранжа, постороенная по новым потенциалам: 𝐿′ =𝑚 ˙𝑟2

2+𝑒

𝑐(′ · ˙𝑟)− 𝑒𝜙′ =

=𝑚 ˙𝑟2

2+𝑒

𝑐(+∇𝛼, ˙𝑟)−𝑒

(𝜙−1

𝑐

𝜕𝛼

𝜕𝑡

)= 𝐿+

𝑒

𝑐(∇𝛼, ˙𝑟)+

𝑒

𝑐

𝜕𝛼

𝜕𝑡= 𝐿+

𝑒

𝑐

𝜕𝛼

𝜕𝑡(, 𝑡) +

𝜕

𝜕𝛼(, 𝑡) · ˙𝑟⏟ ⏞

=𝑑

𝑑𝑡𝛼(,𝑡)

=

= 𝐿+𝑒

𝑐

𝑑𝛼

𝑑𝑡.

Однородные постоянные электрическое и магнитное поля

34






= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, , 𝜙–?⎧⎨⎩ = 𝑟𝑜𝑡

= −∇𝜙− 1

𝑐

𝜕

𝜕𝑡

Выберем систему координат так, чтобы 𝑧 =⇒ = 𝐻0𝑧, = 0. –?

= 𝐻0𝑧 = 𝑟𝑜𝑡 =

𝑥 𝑦 𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

= 𝑥

(𝜕𝐴𝑧𝜕𝑦− 𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑧

)+ 𝑦

(− 𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥+𝜕𝐴𝑥𝜕𝑧

)+ 𝑧

(𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥−

−𝜕𝐴𝑥𝜕𝑦

).

𝑥 : 0 =𝜕𝐴𝑧𝜕𝑦− 𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑧

𝑦 : 0 =𝜕𝐴𝑥𝜕𝑧− 𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑥

𝑧 : 𝐻0 =𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥− 𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦

Будем искать частное решение с 𝐴𝑧 = 0 =⇒ 𝜕𝐴𝑦𝜕𝑧

= 0 =⇒ 𝐴𝑦 = 𝐴𝑦(𝑧),𝜕𝐴𝑥𝜕𝑧

= 0 =⇒ 𝐴𝑥 =

𝐴𝑥(𝑧), 𝐻0 =𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥− 𝜕𝐴𝑥

𝜕𝑦. Частные решения:

1) 𝐴𝑦 =1

2𝐻0𝑥, 𝐴𝑥 = −1

2𝐻0𝑦,

2) 𝐴𝑦 = 𝐻0𝑥, 𝐴𝑥 = 0,3) 𝐴𝑦 = 0, 𝐴𝑥 = −𝐻0𝑦 и т.д.Выбор конкретного частного решения для потенциалов называется выбором калибров-

ки.1. В калибровке векторного потенциала =

1

2𝐻0(−𝑦𝑥+𝑥𝑦),

𝑒

𝑐(, ˙𝑟) =

𝑒

𝑐

𝐻0

2(−𝑦+ 𝑥),

= −∇𝜙 − 1

𝑐

𝜕

𝜕𝑡. В используемой калибровке векторного потенциала

𝜕

𝜕𝑡≡ 0, 0 =

−∇𝜙 =⇒ 𝜙 = −(0, ) =⇒ функция Лагранжа в декартовых координатах в постоянных

электрическом и магнитном полях: 𝐿 =𝑚 ˙𝑟2

2+𝑒

𝑐( ˙𝑟)− 𝑒𝜙 =

= 𝐿 =𝑚

2(2 + 2 + 2) +

𝑒𝐻0

2𝑐(𝑥 − 𝑦) + 𝑒(0 · ) (1)

2. Цилиндрические координаты:

= 𝐻0𝑧 = 𝑟𝑜𝑡 =

𝜌 𝜌𝜙 𝑧𝜕/𝜕𝜌 𝜕/𝜕𝜙 𝜕/𝜕𝑧𝐴𝜌 𝐴𝜙 𝐴𝑧

,

⎧⎪⎨⎪⎩𝑥 = 𝜌 cos𝜙

𝑦 = 𝜌 sin𝜙

𝑧 = 𝑧

.

𝑥 − 𝑦 = 𝜌 cos𝜙𝑑

𝑑𝑡(𝜌 sin𝜙)− 𝜌 sin𝜙

𝑑

𝑑𝑡(𝜌 cos𝜙) = 𝜌2

𝐿 =𝑚

2(2 + 𝜌22 + 2) +

𝑒𝐻0

2𝑐𝜌2+ 𝑒(0 · )

35






𝜕𝐿

𝜕𝑡= 0 =⇒ 𝐸 — интеграл движения

𝜕𝐿

𝜕𝜙= 0 =⇒ 𝑃𝜙 — интеграл движения

𝜕𝐿

𝜕𝑧= 0 =⇒ 𝑃𝑧 — интеграл движения

— 1–ые интегралы движения

При = 0 ситуация аналогичная.

Лекция 8

Малые линейные колебания динамических систем с 𝑆 степенями свободы.Общее решение уравнений Лагранжа механической системы с 𝑆 степенямисвободы вблизи положений устойчивого равновесия. Собственные колебания

механической системы с 𝑆 степенями свободы

∀ классическая система с 𝑆 степенями свободы 𝑞1, ..., 𝑞𝑠. Функция Лагранжа:

𝐿 = 𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡) = 𝑇 − 𝑈 = 𝑇 (𝑞, 𝑞, 𝑡)− 𝑈(𝑞, 𝑡).

Пусть потенциал 𝑈 = 𝑈(𝑞) имеет точку минимума 𝑞0𝑖, 𝑖− ¯1, 𝑠.

Малые — отклонения от положения равновесия малы.Линейные — описываются линейными дифференциальными уравнениями.Разложим функцию Лагранжа в ряд Тейлора в окрестности точки минимума потенци-

ала и ограничимся квадратичным приближением.

𝑈(𝑞) = 𝑈(𝑞0) +𝑠∑𝑖=1

𝜕𝑈

𝜕𝑞𝑖

𝑞0⏟ ⏞

=0

(𝑞𝑖 − 𝑞0𝑖) +1

2

𝑠∑𝑖,𝑗=1

𝜕2𝑈

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑗

𝑞0

(𝑞𝑖 − 𝑞0𝑖)⏟ ⏞ =𝑥𝑖

(𝑞𝑗 − 𝑞0𝑗)⏟ ⏞ =𝑥𝑗

, 𝑞𝑖 − 𝑞0𝑖 = 𝑥𝑖 —

отклонение от положения равновесия (смещение). Малые колебания ⇐⇒ 𝑥𝑖 −→ 0.𝜕2𝑈


𝑞0

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑈0𝑖𝑗,𝜕2𝑈


𝑞0

=𝜕2𝑈

𝜕𝑞𝑗𝜕𝑞𝑖

𝑞0

=⇒ 𝑈𝑖𝑗 = 𝑈𝑗𝑖 .

36






𝑈(𝑞) ≃ 𝑈(𝑞0) +1

2

𝑠∑𝑖=1

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗, 𝑇 =1

2

𝑠∑𝑖=1

𝑡𝑖𝑗(𝑞)𝑞𝑖𝑞𝑗 −→ 𝑁 = 1, 𝑠 = 3, 𝑟, 𝜃, 𝜙.

𝑇 =𝑚

2

(2 + 𝑟2𝜃2 + 𝑟2 sin2 𝜃2), 2 = 𝑞21, 𝑖 = 1, 𝑗 = 1, 𝑡11 = 𝑚, 𝜃2 = 𝑞22, 𝑖 = 2, 𝑗 = 2, 𝑡22 = 𝑚𝑟2,

2 = 𝑞23, 𝑖 = 3, 𝑗 = 3, 𝑡33 = 𝑚𝑟2 sin2 𝜃.

𝑥𝑖 = 𝑞𝑖 − 𝑞𝑖0, 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖0 + 𝑥𝑖, 𝑞𝑖 = 𝑖 =⇒ 𝑇 =1

2

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗(𝑞0 + 𝑥) 𝑖𝑗⏟ ⏞ 2–ой порядок малости

.

Утверждение. Если ∀𝑡 : 𝑥𝑖(𝑡) −→ 0, то ∀𝑡 : 𝑖(𝑡) −→ 0.

𝑇 =1

2

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗(𝑞0)⏟ ⏞ 𝑡𝑖𝑗(𝑞0+𝑥)=𝑡𝑖𝑗(𝑞0)+...

𝑖𝑗 ≡1

2

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗𝑖𝑗. Функция Лагранжа в квадратичном приближении

по малым отклонениям от положения равновесия:

𝐿(2) =1

2

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗𝑖𝑗 −1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗𝑖𝑗 =∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗𝑗𝑖 = 𝑖←→ 𝑗 =∑𝑖,𝑗

𝑡𝑗𝑖𝑖𝑗 =⇒ 𝑡𝑗𝑖 = 𝑡𝑖𝑗.


𝑑𝑡

(𝜕𝐿

𝜕𝑘

)− 𝜕𝐿

𝜕𝑥𝑘= 0,

𝜕𝐿

𝜕𝑥𝑘= −1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝜕

𝜕𝑥𝑘(𝑥𝑖 · 𝑥𝑗) = −1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗(𝛿𝑖𝑘𝑥𝑗 + 𝑥𝑖𝛿𝑗𝑘

)= −1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝛿𝑖𝑘𝑥𝑗 −1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝛿𝑗𝑘 =

= −1

2

∑𝑗

𝑈𝑘𝑗𝑥𝑗 −1

2

∑𝑖

𝑈𝑖𝑘⏟ ⏞ =𝑈𝑘𝑖,𝑖−→𝑗

𝑥𝑖 = −∑𝑗

𝑈𝑘𝑗𝑥𝑗,

𝜕𝐿

𝜕𝑘=

1

2

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗𝜕

𝜕𝑘(𝑖 · 𝑗) =

∑𝑗

𝑡𝑘𝑗𝑗 =⇒ уравнения Лагранжа:∑𝑗

(𝑡𝑘𝑗𝑗 + 𝑈𝑘𝑗𝑥𝑗

)= 0,

𝑘 = ¯1, 𝑠 — система 𝑠 штук однородных линейных дифференциальных уравнений 2–го по-рядка.

+ 𝑥 = 0 =⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑅𝑒(𝐴 exp𝑖𝜔𝑡⏟ ⏞ комплексная амплитуда

). Ищем решение:

𝑥𝑗(𝑡) = 𝑅𝑒(𝐴𝑗 exp𝑖𝜔𝑡), 𝑗 = 𝑅𝑒((𝑖𝜔)2𝐴𝑗 exp𝑖𝜔𝑡

), 𝑅𝑒

∑𝑗

(−𝜔2𝑡𝑘𝑗 + 𝑈𝑘𝑗)𝐴𝑗 = 0,∑𝑗

(−𝜔2𝑡𝑘𝑗 + 𝑈𝑘𝑗)𝐴𝑗 = 0, 𝑘 = ¯1, 𝑠 — однородная система 𝑠 штук линейных алгебраических

уравнений. Нетривиальное решение существует, если:

𝑑𝑒𝑡(−𝜔2𝑡𝑘𝑗+𝑈𝑘𝑗) = 0 — характеристическое уравнение =⇒(1), ..., (𝑠)

↓ ↓𝐴(1), ..., 𝐴(𝑠)

— собственные

частоты системы.

𝜔 = 𝜔(𝑘) :∑𝑗

(−𝑡𝑘𝑗𝜔2(𝑘) + 𝑈𝑘𝑗)𝐴

(𝑘)𝑗 = 0 =⇒ 𝐴

(𝑘)𝑗 = 0 — недоопределённая система.

Закон малых линейных колебаний

37






𝑥𝑗(𝑡) = 𝑅𝑒∑𝑘

𝐶𝑘⏟ ⏞ комплексная const

𝐴(𝑘)𝑗 exp𝑖𝜔(𝑘)𝑡 .

Малые линейные вынужденные колебания

∀ колебательная система с 𝑠 степенями свободы. Существует минимум потенциала 𝑈(𝑞) :𝑞0𝑖, 𝑖 = ¯1, 𝑠, 𝑥𝑖 = 𝑞𝑖 − 𝑞0𝑖 — малые отклонения от положения равновесия 𝑞0𝑖, 𝑥𝑖 −→ 0.

Функция Лагранжа свободной системы в квадратичном приближении по малым откло-нениям от положения равновесия:

𝐿(2)0 =

1

2

𝑠∑𝑖,𝑗=1


2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗.

Пусть тела системы испытывают действие заданных внешних сил. 𝐹𝛼 — ньютоновскаясила, действующая на материальную точку 𝑁𝛼 (предполагаем, что ∀ система — набор 𝑁штук материальных точек). Потенциал внешних сил — 𝑈внеш. Полная функция Лагранжаколебательной системы:

𝐿 = 𝐿0 + ∆𝐿, ∆𝐿 = −𝑈внеш.

Потенциальная сила: 𝐹 𝑝 = −∇𝑈 ≡ −𝜕𝑈𝜕

, 𝐹𝛼 = −𝜕𝑈𝛼(𝛼, 𝑡)

𝜕𝛼, 𝑈𝛼 — потенциал силы 𝐹𝛼.

𝑈внеш =𝑁∑𝛼=1

𝑈𝛼(𝛼, 𝑡) = 𝑈внеш(1, ..., 𝑁 , 𝑡).

Надо — 𝑈внеш(𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝑡)–?𝜕𝑈внеш(1, ..., 𝑁 , 𝑡)

𝜕𝛽=𝜕𝑈𝛽(𝛽, 𝑡)

𝜕𝛽= −𝐹𝛽.

Обобщённая сила

𝑄𝑖 =𝑁∑𝛼=1

(𝐹𝛼 ·


), 𝑖 = ¯1, 𝑠, 𝑄𝑖 =

𝐹𝛼 = −𝜕𝑈внеш

𝜕𝛼

= −

𝑁∑𝛼=1

𝜕𝑈внеш𝜕𝛼

· 𝜕𝛼𝜕𝑞𝑖

= −𝜕𝑈внеш𝜕𝑞𝑖

.

𝑄𝑖 = −𝜕𝑈внеш𝜕𝑞𝑖

, 𝑈внеш = 𝑈внеш(𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝑡).

Пусть 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑡) — лишь функция времени.

𝑄𝑖(𝑡) = −𝜕𝑈внеш𝜕𝑞𝑖

=⇒ 𝑈внеш(𝑞, 𝑡) = −𝑠∑𝑖=1

𝑄𝑖(𝑡)𝑞𝑖 .𝜕𝑈внеш𝜕𝑞𝑘

=𝜕

𝜕𝑞𝑘

(−𝑄𝑘(𝑡)𝑞𝑘

)= −𝑄𝑘.

∆𝐿 = −𝑈внеш =𝑠∑𝑖=1

𝑄𝑖(𝑡)𝑞𝑖, 𝑞𝑖 = 𝑞0𝑖 + 𝑥𝑖, ∆𝐿 =∑𝑖

𝑄𝑖(𝑡)𝑥𝑖 +∑𝑖

𝑄𝑖(𝑡) 𝑞0𝑖⏟ ⏞ =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

=⇒ ∆𝐿 =

=∑𝑖

𝑄𝑖(𝑡)𝑥𝑖, 𝑄𝑖(𝑡) = 𝑓(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡𝑓(𝑡) — заданные функции времени.

38






𝐿(2) =1

2

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗𝑖𝑗−1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗+∑𝑖

𝑄𝑖(𝑡)𝑥𝑖, 0 =𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑘− 𝜕𝐿

𝜕𝑥𝑘=

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑘

(1

2

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗𝑖𝑗

)−

− 𝜕

𝜕𝑥𝑘

(− 1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 +∑𝑖

𝑄𝑖(𝑡)𝑥𝑖

)=∑𝑗

𝑡𝑘𝑗𝑗 +∑𝑗

𝑈𝑘𝑗𝑥𝑗 −∑𝑖

𝑄𝑖(𝑡)𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑘⏟ ⏞ =𝛿𝑖𝑘⏟ ⏞

=𝑄𝑘(𝑡)

= 0 =⇒

=⇒ уравнения Лагранжа:∑𝑗

(𝑡𝑘𝑗𝑗 + 𝑈𝑘𝑗𝑥𝑗

)= 𝑄𝑘(𝑡), 𝑘 = ¯1, 𝑠 — неоднородная система 𝑠

штук дифференциальных линейных уравнений 2–го порядка. Общее решение неоднород-ной системы:

𝑥𝑗(𝑡) = 𝑥общ.одн.𝑗 (𝑡) + 𝑥

част.неодн.𝑗 (𝑡).

1. Общее решение однородной системы.∑𝑗

(𝑡𝑘𝑗𝑗+𝑈𝑘𝑗𝑥𝑗

)= 0 — определяет закон малых линейных свободных колебаний. Ищем

решение в виде: 𝑥𝑗(𝑡) = 𝑅𝑒(𝐴𝑗 exp𝑖𝜔𝑡),∑𝑗

(−𝜔2𝑡𝑘𝑗 + 𝑈𝑘𝑗)𝐴𝑗 = 0, ∃𝐴𝑗 = 0, если 𝑑𝑒𝑡(−𝜔2𝑡𝑘𝑗 +

𝑈𝑘𝑗) = 0 — характеристическое уравнение =⇒ собственные частоты:𝜔2(1), ..., 𝜔2

(𝑠)

↓ ↓𝐴(1), ..., 𝐴(𝑠)

, 𝐴(𝑖)

— комплексные амплитуды.

𝑥общ.одн.𝑗 (𝑡) = 𝑅𝑒

∑𝑘

𝐶𝑘𝐴(𝑘)𝑗 exp𝑖𝜔(𝑘)𝑡 .

2. Частное решение неоднородной системы.Пусть внешние силы 𝑄𝑖(𝑡) — периодические функции времени.𝑄𝑘(𝑡) = 𝑅𝑒(𝑓𝑘 exp𝑖Ω𝑡), где 𝑓𝑘 — известные комплексные амплитуды внешних сил.Ищем частное решение неоднородной системы в виде:

𝑥част.неодн.𝑗 (𝑡) = 𝑅𝑒(𝐵𝑗 exp𝑖Ω𝑡), 𝑗 = 𝑅𝑒(−Ω2𝐵𝑗 exp𝑖Ω𝑡) =⇒

∑𝑗

((−Ω2)𝑡𝑘𝑗 + 𝑈𝑘𝑗

)𝐵𝑗 = 𝑓𝑘

— неоднородная система алгебраических уравнений.Введём 2 матрицы:

T = (T𝑖𝑗) = 𝑡𝑖𝑗, (U)𝑖𝑗 = 𝑈𝑖𝑗.

2 столбца:

𝑓 =

( 𝑓1...𝑓𝑠

), 𝐵 =

( 𝐵1...𝐵𝑠

).

(−Ω2T + U)𝐵 = 𝑓 , 𝐵 = (−Ω2T + U)−1𝑓 . Закон малых линейных вынужденных колебаний:

𝑥𝑗(𝑡) = общ.одн.(𝑡) + 𝑥част.неодн.𝑗 (𝑡).

Ортогональность амплитуд. Векторы смещений. Свойства ортогональности

39






Утверждение. ∀𝑖 = 𝑗: 𝐴𝑇(𝑖)T𝐴(𝑗) = 0, (T)𝑖𝑗 = 𝑡𝑖𝑗. Столбцы комплексных амплитуд, соот-ветствующих разным собственным частотам, ортогональны с весом T (где T — матрицаКФ кинетической энергии).

𝐿(2) =1

2

𝑠∑𝑖,𝑗=1

𝑡𝑖𝑗𝑖𝑗−1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗. Уравнения Лагранжа:∑𝑗

(𝑡𝑘𝑗𝑗 +𝑈𝑘𝑗𝑥𝑗

)= 0, 𝑘 = ¯1, 𝑠.

Ищем решение в виде: 𝑥𝑗(𝑡) = 𝑅𝑒(𝐴𝑗 exp𝑖𝜔𝑡) =⇒∑𝑗

(−𝜔2𝑡𝑘𝑗 + 𝑈𝑘𝑗)𝐴𝑗 = 0. ∃𝐴𝑗 = 0, если

𝑑𝑒𝑡(−𝜔2𝑡𝑘𝑗 + 𝑈𝑘𝑗) = 0 — характеристическое уравнение.Рассмотрим 2 различные собственные частоты 𝜔1 = 𝜔2. Соответствующие им уравнения

для амплитуд: ∑𝑗

(−𝜔21𝑡𝑘𝑗 + 𝑈𝑘𝑗)𝐴

(1)𝑗 = 0

× 𝐴(2)

𝑘 и∑𝑘

,

∑𝑗

(−𝜔22𝑡𝑘𝑗 + 𝑈𝑘𝑗)𝐴

(2)𝑗 = 0

× 𝐴(1)

𝑘 и∑𝑘

,

𝜔21

∑𝑘,𝑗

𝑡𝑘𝑗𝐴(1)𝑗 𝐴

(2)𝑘 =

∑𝑘,𝑗

𝑈𝑘𝑗𝐴(1)𝑗 𝐴

(2)𝑘 (*),

𝜔22

∑𝑘,𝑗


(1)𝑘 =

∑𝑘,𝑗

𝑈𝑘𝑗𝐴(2)𝑗 𝐴

(1)𝑘 , 𝑘 ←→ 𝑗,

𝜔22

∑𝑘,𝑗

𝑡𝑗𝑘⏟ ⏞ =𝑡𝑘𝑗

𝐴(2)𝑘 𝐴

(1)𝑗 =

∑𝑘,𝑗

𝑈𝑗𝑘⏟ ⏞ 𝑈𝑘𝑗

𝐴(2)𝑘 𝐴

(1)𝑗 (**),

(*)− (**) : (𝜔21 − 𝜔2

2)⏟ ⏞ =0

∑𝑘,𝑗


(2)𝑘⏟ ⏞

=0

= 0 =⇒∑𝑘,𝑗

𝐴(2)𝑘 𝑡𝑘𝑗𝐴

(1)𝑗 = 0⇐⇒ 𝐴𝑇 (2)T𝐴(1) = 0 .

Нормальные координаты

Определение. Обобщённые координаты 𝜀𝑖, в которых функция Лагранжа колебатель-ной системы равна сумме функций Лагранжа одномерных гармонических осциллято-ров с частотами, равными собственным частотам колебательной системы, называютсянормальными координатами.

Определение. Функция Лагранжа колебательной системы, записанная в нормальныхкоординатах, называется функцией Лагранжа, приведённой к нормальному виду.𝑥𝑖 −→ 𝜀𝑖 диагонализирует T и U.

1. Строим нормированные на 1 (с весом T) комплексные амплитуды: 𝐴(𝑘) = 𝐶𝐴(𝑘),требуя 𝐴𝑇𝑘T𝐴𝑘 = 1, ∀𝑘. При этом 𝐴𝑇(𝑖)T𝐴(𝑗) = 𝛿𝑖𝑗.

2. Составим матрицу A из стоблцов нормированных амплитуд:

A =

( 𝐴(1)1 𝐴

(2)1 · · · 𝐴

(𝑠)1

𝐴(1)2 𝐴

(2)2 · · · 𝐴

(𝑠)2

...,... . . . ...

𝐴(1)𝑠 𝐴

(2)𝑠 · · · 𝐴

(𝑠)𝑠

), (A)𝑖𝑗 = 𝐴

(𝑗)𝑖 , 𝑖 — строка, 𝑗 — столбец.

40






3. Совершим преобразование обобщённых координат: 𝑥 −→ 𝜀 (переход от «старых» обоб-

щённых координат 𝑥 к «новым» 𝜀):

( 𝑥1...𝑥𝑠

)= A

( 𝜀1...𝜀𝑠

)⇐⇒ 𝑥𝑖 =

𝑠∑𝑗=1

𝐴𝑖𝑗𝜀𝑗 =𝑠∑𝑗=1

𝐴(𝑗)𝑖 𝜀𝑗,

𝐿(2) =1

2

∑𝑖,𝑗


2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 ≡ 𝑇 − 𝑈 .

Кинетический член:

𝑇 =1

2

∑𝑖,𝑗

𝑡𝑖𝑗𝑖𝑗 =

[ 𝑖 =∑𝑘

𝐴(𝑘)𝑖 𝑘

𝑗 =∑𝑙

𝐴(𝑙)𝑗 𝑙

]=

1

2

∑𝑘,𝑙

(∑𝑖,𝑗

𝐴(𝑘)𝑖 𝑡𝑖𝑗𝐴

(𝑙)𝑗

)⏟ ⏞

=𝐴𝑇(𝑘)

T𝐴(𝑙)=𝛿𝑘𝑙

𝑘𝑙 =1

2

∑𝑘,𝑙

𝛿𝑘𝑙𝑘𝑙 =

=1

2

∑𝑘

2𝑘.

Потенциальный член:

𝑈 =1

2

∑𝑖,𝑗

𝑈𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 =

[ 𝑥𝑖 =∑𝑘

𝐴(𝑘)𝑖 𝜀𝑘

𝑥𝑗 =∑𝑙

𝐴(𝑙)𝑗 𝜀𝑙

]=

1

2

∑𝑘,𝑙

(∑𝑖,𝑗

𝐴(𝑘)𝑖 𝑈𝑖𝑗𝐴

(𝑙)𝑗

)⏟ ⏞

=𝐴𝑇(𝑘)

U𝐴(𝑙)≡𝑘𝑙

𝜀𝑘𝜀𝑙. (U)𝑖𝑗 = 𝑈𝑖𝑗. Должно

быть: 𝑘𝑙 ∼ 𝛿𝑘𝑙, 𝑘𝑙 ∼ 𝜔2𝑘.

Уравнение для амплитуд 𝑘–ой моды:∑𝑗

(−𝜔2𝑘𝑡𝑖𝑗 + 𝑈𝑖𝑗)𝐴

(𝑘)𝑗 = 0

× 𝐴(𝑙)

𝑖 ,∑𝑖

,

𝜔2𝑘

∑𝑖,𝑗

𝐴(𝑙)𝑖 𝑡𝑖𝑗𝐴

(𝑘)𝑗⏟ ⏞

=𝐴𝑇𝑙 T𝐴(𝑘)=𝛿𝑙𝑘

=∑𝑖,𝑗

𝐴(𝑙)𝑖 𝑈𝑖𝑗𝐴

(𝑘)𝑗⏟ ⏞

=𝐴𝑇𝑙 U𝐴(𝑘)≡𝑙𝑘

=⇒ 𝑙𝑘 = 𝜔2𝑘𝛿𝑘𝑙,

𝑈 =1

2

∑𝑘,𝑙

𝑘𝑙𝜀𝑘𝜀𝑙 =1

2

∑𝑘

𝜔2𝑘𝜀

2𝑘 =⇒ 𝐿(2) =

𝑠∑𝑘=1

(1

22𝑘 −

1

2𝜔2𝑘𝜀

2𝑘

), где

(1

22𝑘 −

1

2𝜔2𝑘𝜀

2𝑘

)—

функция Лагранжа одномерного гармонического осциллятора, соответствующего 𝑘–ой мо-де.

Устойчивость движения по Ляпунову. Теорема Лагранжа

Определение. Пусть ∀𝜀(𝑞), 𝜀(𝑞) > 0 ∃𝛿(𝑞), 𝛿(𝑞) > 0 такие, что ∀𝑡 > 𝑡0:

| 𝑞𝑗 − 𝑞𝑗0⏟ ⏞ 𝑥𝑗

| < 𝜀𝑞𝑗 , | 𝑞𝑗 − 𝑞𝑗0⏟ ⏞ =𝑗

| < 𝜀𝑞𝑗 при |𝑥𝑗(𝑡0)| < 𝛿𝑞𝑗 , |𝑗(𝑡0)| < 𝛿𝑞𝑗 .

Тогда невозмущённое состояние движения 𝑞0𝑗 (𝑡) ≡ 𝑞𝑗𝑒𝑞, 𝑞𝑗(𝑡) = 0 устойчиво, а положение𝑞𝑗𝑒𝑞 называют положением устойчивого равновесия.

41






Теорема Лагранжа.Положение равновесия консервативной голономной системы устойчиво, если в положе-

нии равновесия потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум.Определение. Минимум потенциальной энергии 𝑈 называют изолированным, если в неко-

торой окрестности положения равновесия ∆𝑖, в которой 𝑈 минимальна, нет других экстре-мумов. Иначе говоря, минимум будет изолированным, если при |𝑞𝑗 − 𝑞𝑗𝑒𝑞| < ∆𝑗 : 𝑈() >𝑈(𝑒𝑞), причём знак равенства будет, если все 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗𝑒𝑞.

Случаи нулевой и кратных частот

Случай нулевых частот.Пусть одна из собственных частот 𝜔𝑘 = 0. Тогда соответствующее решение в нормаль-

ных координатах имеет вид 𝜀𝑘 = 𝑘0𝑡+ 𝜀𝑘0.С физической точки зрения такое решение возникает, если потенциальная энергия систе-

мы достигает минимума не в одной точке конфигурационного пространства, а в некоторойобласти, т.е. когда потенциальная энергия не имеет изолированного минимума.

Случай кратных частот.В случае кратных собственных частот 𝜔(𝑛) вид соответствующего частного решения

однородной системы зависит от соотношения между кратностью 𝑁 частоты 𝜔(𝑛) и числом𝑘 линейно независимых собственных векторов 𝑣1, ..., 𝑣𝑘 матрицы системы (определяемоееё рангом 𝑟), в которой частота 𝜔 положена равной исследуемой кратной частоте 𝜔(𝑛):

𝑘 = 𝑠− 𝑟, где 𝑠 — размер матрицы системы(𝑠× 𝑠).

Если 𝑘 = 𝑁 , то соответствующее частотное решение строится как:

𝑥(𝑛)𝑗 (𝑡) = 𝑅𝑒

(( 𝑁∑𝑖=1

𝐶𝑖𝑣𝑖𝑗

)exp𝑖𝜔(𝑛)𝑡

).

Если 𝑘 < 𝑁 , то решение системы, согласно общей теории, должно искаться в видепроизведения многочлена по времени 𝑡 степени (𝑁 − 𝑘) на exp𝑖𝜔(𝑛)𝑡:⎧⎪⎨⎪⎩

𝑥1 = 𝑅𝑒(𝑎11 + 𝑎12𝑡+ ...+ 𝑎1(𝑁−𝑘)𝑡𝑁−𝑘) exp𝑖𝜔(𝑛)𝑡

...𝑥𝑠 = 𝑅𝑒(𝑎𝑠1 + 𝑎𝑠2𝑡+ ...+ 𝑎𝑠(𝑁−𝑘)𝑡

𝑁−𝑘) exp𝑖𝜔(𝑛)𝑡

.

Однако можно показать, что каждому корню характеристического уравнения кратности𝑁 соответствует ровно 𝑁 линейно независимых решений системы линейных алгебраиче-ских уравнений, т.е. ∀𝜔𝑛−𝑁–ой кратности ∃𝑁 линейно независимых столбцов амплитуд.

Случай 𝑘 < 𝑁 для уравнений, описывающих колебательные системы, невозможен.С физической точки зрения: наличие в законе колебательных членов, содержащих, на-

ряду с экспоненциальными, также и степенные временные множители, противоречило бызакону сохранения энергии.

42






Лекция 9

Интегральные принципы механики. Действие. Экстремали действия иуравнения Лагранжа. Принцип наименьшего действия в пространстве

конфигураций

Функционал действия: 𝑆 =𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝐿(𝑞(𝑡), 𝑞(𝑡), 𝑡) = 𝑆[𝑞(𝑡)].

Функция: 𝑦 = 𝑓(𝑥), число 𝑥 −→ число 𝑦.Функционал: 𝐹 [𝑓(𝑥)], функция 𝑓(𝑥) −→ число 𝐹 .Принцип стационарного действия. На временном отрезке [𝑡1, 𝑡2] система эволюциониру-

ет таким образом, что её функционал экстремален, т.е. та функция 𝑞(𝑡), которая опре-деляет закон движения системы, является функцией, на которой функционал действиядостигает своего экстремального значения (при этом предполагается, что значения обоб-щённых координат на концах временного отрезка [𝑡1, 𝑡2] заданы:

𝑞𝑖(𝑡1) = 𝑞1𝑖 = 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑

𝑞𝑖(𝑡2) = 𝑞2𝑖 = 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑).

Экстремум функции:𝑑𝑓

𝑑𝑥= 0⇐⇒ 𝑑𝑓(𝑥) = 0←→

←→ 𝑓(𝑥+ 𝑑𝑥)− 𝑓(𝑥) = 0.Экстремум функционала: 0 = 𝛿𝑆[𝑞(𝑡)] =

𝑆[𝑞(𝑡) + 𝛿𝑞(𝑡)] − 𝑆[𝑞(𝑡)], 𝑞(𝑡), 𝛿𝑞(𝑡) фиксиро-ваны.

𝛿𝑆 =𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝐿(𝑞 + 𝛿𝑞, 𝑞 + 𝛿𝑞, 𝑡) −𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡) ∼=𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡) +𝑆∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖 +

𝑆∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖−

−𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡) ≡∑𝑖

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡(𝜕𝐿𝜕𝑞𝑖

𝑑

𝑑𝑡𝛿𝑞𝑖 +

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖),𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖

𝑑

𝑑𝑡𝛿𝑞𝑖 =

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖(𝑡)

𝑡2𝑡1⏟ ⏞

=0;𝑞𝑖(𝑡1,2)=𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑,𝛿𝑞𝑖(𝑡1,2)=0

−𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖 =⇒

=⇒∑𝑖

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡(− 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖+

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖)

= −∑𝑖

𝑡2∫𝑡1

( 𝑑𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖− 𝜕𝐿𝜕𝑞𝑖

)𝛿𝑞𝑖⏟ ⏞

=ЛН

= 0 =⇒ ∀𝑖 :𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖− 𝜕𝐿𝜕𝑞𝑖

= 0

— уравнения Лагранжа.Функция 𝑞(𝑡), удовлетворяющая уравнениям Лагранжа (определяющая закон движе-

ния), является функцией, на которой функционал действия достигает экстремальногозначения.

Принцип стационарного действия применим в системах БЕЗ диссипаций.

Лекция 10

Гамильтонов формализм

43






Лагранжев формализм: независимые переменные 𝑞𝑖, 𝑞𝑖.𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑖

= 0,𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑖

= 0. Функция

Лагранжа: 𝐿 = 𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡).Эволюция системы описывается уравнениями Лагранжа:

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿



𝑖 , 𝑖 = ¯1, 𝑠 — система 𝑠 штук дифференциальных уравнения 2–го порядка.

Обобщённый импульс: 𝑝𝑖 =𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 𝑝𝑖(𝑞, 𝑞, 𝑡) =⇒ имеем набор 3–х сортов переменных

𝑞, 𝑞, 𝑝, но в Лагранжевом формализме 𝑝𝑖 = 𝑝𝑖(𝑞, 𝑞, 𝑡).

Гамильтонов формализм: независимые переменные 𝑝𝑖, 𝑞𝑖.𝜕𝑝𝑖𝜕𝑞𝑖

= 0,𝜕𝑞𝑖𝜕𝑝𝑖

= 0 (только если

∃! возможность 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)).Определение. Функция Гамильтона (гамильтониан):

𝐻 = 𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡) =𝑠∑𝑖=1

𝑝𝑖𝑞𝑖 − 𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡)

𝑞𝑖=𝑞𝑖(𝑞,𝑝,𝑡)

(*),

𝑝𝑖 =𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖=⇒ 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡).

Если 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 (для классических механических систем), то 𝐻 = 𝑇 + 𝑈 .В общем случае 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 , 𝐻 = 𝑇 + 𝑈 .

Обобщённая энергия: 𝐸 =𝑠∑𝑖=1

𝑞𝑖𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖⏟ ⏞ =𝑝𝑖(𝑞,𝑞,𝑡)

−𝐿 = 𝐸(𝑞, 𝑞, 𝑡), 𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡) = 𝐸(𝑝, 𝑞, 𝑡) .

𝑝, 𝑞 — канонические (канонически сопряжённые) переменные. Функция Гамильтона —обобщённая энергия, записанная в канонических переменных.

(*) — переход от функции Лагранжа к функции Гамильтона — (прямое) преобразованиеЛежандра.

Функция Гамильтона ∃, если ∃ возможность 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡). Согласно теореме о НФ, этовозможно (т.е. возможно выразить 𝑞𝑖 через канонические переменные), если гессиан

𝑑𝑒𝑡(𝜕𝑝𝑖𝜕𝑞𝑗

)= 0.

В числителе — то, через что выражают. В знаменателе — то, что выражают.

𝑝𝑖 =𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖=⇒ 𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑞𝑗≡ 𝜕2𝐿

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑗=⇒ 𝑑𝑒𝑡

( 𝜕2𝐿


)= 0.

Уравнения движения в Гамильтоновом формализме

Принцип стационарного действия =⇒ функционал действия достигает экстремума науравнениях движения.

Лагранжев формализм: 𝑆 =𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡) = 𝑆[𝑞(𝑡)]. (*) =⇒ 𝐿 =∑𝑖

𝑝𝑖𝑞𝑖 −𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡) =⇒ в

Гамильтоновом формализме функционал действия 𝑆 =𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡(∑

𝑖

𝑝𝑖𝑞𝑖 −𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡))

=

= 𝑆[𝑝(𝑡), 𝑞(𝑡)].

44






0 = 𝛿𝑆 = 𝑆[𝑝(𝑡) + 𝛿𝑝(𝑡), 𝑞(𝑡) + 𝛿𝑞(𝑡)]− 𝑆[𝑝(𝑡), 𝑞(𝑡)] =𝑡 −→ 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑

=

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡(∑

𝑖

(𝑝𝑖+

+𝛿𝑝𝑖)(𝑞𝑖 + 𝛿𝑞𝑖)−𝐻(𝑝+ 𝛿𝑝, 𝑞 + 𝛿𝑞, 𝑡))−

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡(∑

𝑖

𝑝𝑖𝑞𝑖 −𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡))

=

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡

∑𝑖

(𝑝𝑖𝑞𝑖 + 𝑝𝑖𝛿𝑞𝑖+

+𝑞𝑖𝛿𝑝𝑖 + 𝛿𝑝𝑖𝛿𝑞𝑖⏟ ⏞ −→0

)−(𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡) +

∑𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖𝛿𝑝𝑖 +

∑𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖 + ...⏟ ⏞

−→0

)−∑𝑖

𝑝𝑖𝑞𝑖 +𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡)

=

=∑𝑖

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡

𝑞𝑖𝛿𝑝𝑖 + 𝑝𝑖𝛿𝑞𝑖 −

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖𝛿𝑝𝑖 −

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖

= (**),

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝑝𝑖𝛿𝑞𝑖 =𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝑝𝑖𝑑

𝑑𝑡𝛿𝑞𝑖 =

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡 𝑑𝑑𝑡

(𝑝𝑖𝛿𝑞𝑖)− 𝑖𝛿𝑞𝑖

= 𝑝𝑖𝛿𝑞𝑖

𝑡2𝑡1⏟ ⏞

=0

−𝑡2∫𝑡1

𝑖𝛿𝑞𝑖𝑑𝑡. В формулировке прин-

ципа стационарного действия 𝑞𝑖(𝑡1,2) = 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑 =⇒ 𝛿𝑞𝑖(𝑡1,2) = 0,

(**) =∑𝑖

𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡

𝛿𝑝𝑖(𝑞𝑖 −

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖) + 𝛿𝑞𝑖(−𝑖 −

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖)

= 0 =⇒ ∀𝑖 : 𝑞𝑖 =

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖, 𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖⏟ ⏞ уравнение Гамильтона

—

уравнения движения в Гамильтоновом формализме.

Учёт диссипаций в Гамильтоновом формализме

Наличие сил трения не влияет на вид функции Гамильтона. Покажем, что уравнениеЛагранжа =⇒ уравнение Гамильтона. Пусть справедливы уравнения Лагранжа:𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿



𝑖 , 𝐻 = 𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡) =∑𝑖

𝑝𝑖𝑞𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)− 𝐿(𝑞(𝑞, 𝑝, 𝑡), 𝑞, 𝑡),

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘=∑𝑖

𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑘⏟ ⏞ =𝛿𝑖𝑘

𝑞𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡) +∑𝑖

𝑝𝑖𝜕𝑞𝑖𝜕𝑝𝑘−∑𝑖

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖⏟ ⏞ =𝑝𝑖

· 𝜕𝑞𝑖𝜕𝑝𝑘

= 𝑞𝑘 — 1–ое уравнение Гамильтона.

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑘=∑𝑖

𝑝𝑖𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑘−∑𝑖

𝜕𝐿


𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑘− 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘= − 𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘= 𝑄𝑑

𝑘 −𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑘⏟ ⏞ =𝑝𝑘

= 𝑄𝑑𝑘 − 𝑘, 𝑘 = −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑘+𝑄𝑑

𝑘.

Уравнения Гамильтона с учётом диссипаций:⎧⎪⎨⎪⎩𝑞𝑖 =

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖

𝑖 = −𝜕𝐻𝜕𝑞𝑖

+𝑄𝑑𝑖

, 𝑖 = ¯1, 𝑠, 2𝑠 штук дифференциальных уравнений 1–го порядка.

Переход от функции Гамильтона к функции Лагранжа называется обратным преобразо–ванием Лежандра.

𝐿(𝑞𝑖, 𝑞, 𝑡) =∑𝑖

𝑝𝑖𝑞𝑖 −𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡)

𝑝𝑖=𝑝𝑖(𝑞,𝑞𝑖,𝑡)

, 𝑞𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖.

∃𝑝𝑖 = 𝑝𝑖(𝑞, 𝑞𝑖, 𝑡) из 𝑞𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖, если, согласно теореме о НФ, гессиан 𝑑𝑒𝑡(

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑝𝑗

) = 0⇐⇒

⇐⇒ 𝑑𝑒𝑡( 𝜕2𝐻

𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑗

)= 0.

45






Скобка Пуассона

Система с 𝑠 степенями свободы: 𝑝1, ..., 𝑝𝑠; 𝑞1, ..., 𝑞𝑠; 𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡). 𝑓(𝑝, 𝑞, 𝑡) — функция кано-нических переменных.𝑑

𝑑𝑡𝑓(𝑝(𝑡), 𝑞(𝑡), 𝑡) =

𝜕𝑓

𝜕𝑡+

𝑠∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑝𝑖

𝑑𝑝𝑖𝑑𝑡⏟ ⏞ =𝑖

+𝑠∑𝑖=1

𝜕𝑓

𝜕𝑞𝑖𝑞𝑖.

Уравнения Гамильтона: 𝑞𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖, 𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖— система без диссипаций.

𝑑𝑓

𝑑𝑡=𝜕𝑓

𝜕𝑡+

𝑠∑𝑖=1

(𝜕𝑓

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖− 𝜕𝑓

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖

)≡ 𝜕𝑓

𝜕𝑡+

𝐻, 𝑓

.

Определение. Скобка Пуассона:𝐴(𝑝, 𝑞, 𝑡), 𝐵(𝑝, 𝑞, 𝑡)

=

𝑠∑𝑖=1

(𝜕𝐴

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝐵

𝜕𝑞𝑖− 𝜕𝐴

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝐵

𝜕𝑝𝑖

).

Свойства

1. Некоммутативность:𝐴,𝐵

= −

𝐵,𝐴

.

2. Билинейность (𝐶1, 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡):𝐶1𝐴+ 𝐶2𝐵,𝑁

= 𝐶1

𝐴,𝑁

+ 𝐶2

𝐵,𝑁

— линей-

ность по 1–му аргументу.

3. «Правило Лейбница»:𝐴𝐵,𝐶

=

𝐴,𝐶

𝐵 + 𝐴

𝐵,𝐶

,

𝐴𝐵,𝐶

≡∑𝑖

(𝜕(𝐴𝐵)

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝐶

𝜕𝑞𝑖−𝜕(𝐴𝐵)

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝐶

𝜕𝑝𝑖

)=∑𝑖

(𝜕𝐴

𝜕𝑝𝑖𝐵+𝐴

𝜕𝐵

𝜕𝑝𝑖

)𝜕𝐶

𝜕𝑞𝑖−(𝜕𝐴

𝜕𝑞𝑖𝐵+𝐴

𝜕𝐵

𝜕𝑞𝑖

)𝜕𝐶

𝜕𝑝𝑖

=

= 𝐵∑𝑖

(𝜕𝐴

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝐶

𝜕𝑞𝑖− 𝜕𝐴

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝐶

𝜕𝑝𝑖

)+ 𝐴

∑𝑖

(𝜕𝐵

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝐶

𝜕𝑞𝑖− 𝜕𝐵

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝐶

𝜕𝑝𝑖

).

4. Неассоциативность — тождество Якоби:

𝐴𝐵

, 𝐶

+ ц.п. = 0,

𝐴𝐵

, 𝐶

+

𝐶𝐴

, 𝐵

+

𝐵𝐶

, 𝐴

= 0.

Фундаментальные скобки Пуассона

1)𝑝𝑖, 𝑞𝑗

=∑𝑘

(𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑘

𝜕𝑞𝑗𝜕𝑞𝑘− 𝜕𝑝𝑖𝜕𝑞𝑘

𝜕𝑞𝑗𝜕𝑝𝑘

)=∑𝑘

𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑘 = 𝛿𝑖𝑗.

2)𝑝𝑖, 𝑝𝑗

=∑𝑘

(𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑘

𝜕𝑝𝑗𝜕𝑞𝑘− 𝜕𝑝𝑖𝜕𝑞𝑘

𝜕𝑝𝑗𝜕𝑝𝑘

)= 0.

3)𝑞𝑖, 𝑞𝑗

= 0.

Интегралы движения в Гамильтоновом формализме

Определение. Интеграл движения — функция независимых переменных, сохраняющаясвоё значение при эволюции системы.

46






Лагранжев формализм: 𝑞, 𝑞 — независимые переменные. Интегралы движения:∀𝑡 : 𝑓(𝑞, 𝑞, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Гамильтонов формализм: 𝑝, 𝑞 — независимые переменные. Интегралы движения:∀𝑡 : 𝑓(𝑝, 𝑞, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Уравнения Гамильтона: 𝑞𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖=⇒ 𝑝 = 𝑝(𝑞, 𝑞, 𝑡). Интегралы движения: ∀𝑡 : 𝑓(𝑞, 𝑞, 𝑡) =

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.𝑑𝑓

𝑑𝑡=𝜕𝑓

𝜕𝑡+

𝐻, 𝑓

. Интегралы движения: ∀𝑡 : 𝑓(𝑝, 𝑞, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =⇒ 𝑑𝑓

𝑑𝑡= 0.

Лемма. Для того, чтобы 𝑓(𝑝, 𝑞, 𝑡) была интегралом движения, достаточно выполнения2–х условий:

1)𝜕𝑓

𝜕𝑡= 0;

2)

𝐻, 𝑓

= 0.

1. Пусть функция Гамильтона явно не зависит от 𝑡. 𝐻 = 𝐻(𝑝, 𝑞) ⇐⇒ 𝜕𝐻

𝜕𝑡= 0 =⇒ 𝐻 —

сама функция Гамильтона — интеграл движения. 𝑓 = 𝐻:

1)𝜕𝑓

𝜕𝑡=𝜕𝐻

𝜕𝑡≡ 0;

2)

𝐻, 𝑓

=

𝐻,𝐻

= −

𝐻,𝐻

= 0.

2. Пусть функция Гамильтона не зависит от обобщённой координаты 𝑞𝑘 (такая коорди-ната называется циклической). Тогда канонически сопряжённый циклической координатеимпульс 𝑝𝑘 — интеграл движения. 𝑝𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑓 = 𝑝𝑘:

1)𝜕𝑓

𝜕𝑡=𝜕𝑝𝑘𝜕𝑡

= 0;

2)

𝐻, 𝑓

=

𝐻, 𝑝𝑘

=

𝑠∑𝑖=1

(𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑝𝑘𝜕𝑞𝑖⏟ ⏞ ≡0

−𝜕𝐻𝜕𝑞𝑖

𝜕𝑝𝑘𝜕𝑝𝑖⏟ ⏞ ≡𝛿𝑘𝑖

)= −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑘= 0,

𝐻 = 𝐻(𝑝1, ..., 𝑝𝑠; 𝑞1, ..., 𝑞𝑘−1, 𝑞𝑘+1, ..., 𝑞𝑠; 𝑡).

3. Пусть зависимость функции Гамильтона от канонически сопряжённой «парочки» 𝑝𝑘, 𝑞𝑘факторизуется в некоторую функцию 𝑓(𝑝𝑘, 𝑞𝑘).

𝐻 = 𝐻(𝑓(𝑝𝑘, 𝑞𝑘); 𝑝1, ..., 𝑝𝑘−1, 𝑝𝑘+1, ..., 𝑝𝑠; 𝑞1, ..., 𝑞𝑘−1, 𝑞𝑘+1, ..., 𝑞𝑠; 𝑡).

Тогда 𝑓(𝑝𝑘, 𝑞𝑘) — интеграл движения.

1)𝜕𝑓

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑡𝑓(𝑝𝑘, 𝑞𝑘) = 0 по построению;

2)

𝐻, 𝑓

=

𝑠∑𝑖=1

(𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑓(𝑝𝑘, 𝑞𝑘)

𝜕𝑞𝑖− 𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝑓(𝑝𝑘, 𝑞𝑘)

𝜕𝑝𝑖

)=𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘

𝜕𝑓

𝜕𝑞𝑘− 𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑘

𝜕𝑓

𝜕𝑝𝑘=𝜕𝐻

𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝜕𝑝𝑘

𝜕𝑓

𝜕𝑞𝑘−

47






−𝜕𝐻𝜕𝑓

𝜕𝑓

𝜕𝑞𝑘

𝜕𝑓

𝜕𝑝𝑘= 0.

Теорема Пуассона. Если 𝑢, 𝑣 — интеграл движения, то [𝑢, 𝑣] — интеграл движения.

Доказательство.𝜕

𝜕𝑡[𝑢, 𝑣]− [[𝑢, 𝑣], 𝐻]⏟ ⏞

=−[[𝐻,𝑢],𝑣]−[[𝑣,𝐻],𝑢]

= [𝜕𝑢

𝜕𝑡, 𝑣] + [𝑢,

𝜕𝑣

𝜕𝑡] + [[𝐻, 𝑢], 𝑣] + [[𝑣,𝐻], 𝑢] =

[𝜕𝑢

𝜕𝑡+ [𝐻, 𝑢]⏟ ⏞ =0

, 𝑣] + [𝑢,𝜕𝑣

𝜕𝑡+ [𝐻, 𝑣]⏟ ⏞ =0

] = 0. QED.

Интегралы движения в задаче Кеплера

𝐻 =𝑝2𝑙2𝑚− 𝑎√

𝑥2𝑙, 𝑎 > 0.

𝑥2𝑙 = 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2, 𝑝2𝑙 = 𝑝21 + 𝑝22 + 𝑝23 = 𝑝2𝑥 + 𝑝2𝑦 + 𝑝2𝑧 = 𝑝2,𝜕𝐻

𝜕𝑡= 0 =⇒ 𝑝2𝑙

2𝑚− 𝑎√

𝑥2𝑙= 𝐻0,

𝜕𝐿𝑖𝜕𝑡

=𝐿𝑖 = 𝑒𝑖𝑗𝑘𝑥𝑗𝑝𝑘

=𝜕𝐿𝑖𝜕𝑡⏟ ⏞ =0

+[𝐿𝑖, 𝐻], [𝐿𝑖, 𝐻] = 𝑒𝑖𝑗𝑘[𝑥𝑗[𝑝𝑘, 𝐻]+

+𝑝𝑘[𝑥𝑗, 𝐻]], [𝑝𝑘, 𝐻] =𝜕𝑝𝑘𝜕𝑝𝑛

𝜕𝐻

𝜕𝑥𝑛= 𝛿𝑘𝑛

𝑎

𝑟3𝑥𝑙𝛿𝑙𝑘, [𝑥𝑗, 𝐻] = 𝛿𝑗𝑛

𝑝𝑙𝑚𝛿𝑙𝑛 =⇒

=⇒ [𝐿𝑖, 𝐻] = 𝑒𝑖𝑗𝑘(−𝑥𝑗𝑎

𝑟3𝑥𝑙 𝑥𝑙𝛿𝑘𝑛⏟ ⏞

=𝑥𝑘

𝛿𝑙𝑛 + 𝑝𝑘𝛿𝑗𝑛𝑝𝑙𝑚𝛿𝑙𝑛) = (−𝑥𝑗

𝑎

𝑟3𝑥𝑙𝑒𝑖𝑗𝑙 + 𝑝𝑘

𝑝𝑙𝑚𝑒𝑖𝑒𝑘) =

=

𝑒𝑖𝑗𝑘⏟ ⏞ антисим.

𝑥𝑗𝑥𝑘⏟ ⏞ сим.

= 0

= 0 =⇒ [𝐿𝑖, 𝐻] = 0 =⇒ 𝜕𝐿𝑖𝜕𝑡

= 0, ∀𝑖.

Функция Гамильтона заряженной частицы

𝑒, 𝑚, (, 𝑡), Φ(, 𝑡), = 𝑥, 𝑦, 𝑧.

𝐿 =𝑚 ˙𝑟2

2+𝑒

𝑐(, ˙𝑟)− 𝑒Φ, 𝑝 =

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟= 𝑚 ˙𝑟 +

𝑒

𝑐 =⇒ ˙𝑟 =

(𝑝− 𝑒

𝑐)

𝑚, 𝐸 = (𝑝, ˙𝑟)− 𝐿 =

=𝑚 ˙𝑟2

2+ 𝑒Φ, 𝐻(, 𝑝) =

1

2𝑚(𝑝 − 𝑒

𝑐)2 + 𝑒Φ,

𝜕𝐻

𝜕𝑡= 0 =⇒ 𝐻 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 — интеграл движения.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

˙𝑟 =(𝑝− 𝑒

𝑐)

𝑚

˙𝑝 =𝑒

𝑚𝑐(𝑝− 𝑒

𝑐)𝜕

𝜕𝑡− 𝑒𝜕Φ

𝜕

— уравнения Гамильтона.

Однородное магнитное поле = 𝐻0𝑧

𝐿 =𝑚

2(2 + 𝜌22 + 2) +

𝑒𝐻0

2𝑐𝜌2, 𝐸 =

𝑚

2(2 + 𝜌22 + 2) + 0.

𝑃𝜌 = 𝑚, 𝑃𝜙 = 𝑚𝜌2+𝑒𝐻0𝜌

2

2𝑐, 𝑃𝑧 = 𝑚.

𝐻 =𝑃 2𝜌

2𝑚+

(𝑃𝜙 −𝑒𝐻0

2𝑐𝜌2)2

2𝑚+𝑃 2𝑧

2𝑚,

48






⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩𝜕𝐻

𝜕𝑡= 0 =⇒ 𝐻 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝜕𝐻

𝜕𝜙= 0 =⇒ 𝑃𝜙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝜕𝐻

𝜕𝑧= 0 =⇒ 𝑃𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

— интегралы движения.

Лекция 11

Канонические преобразования

Лагранжев формализм: 𝑞𝑖, 𝐿 = 𝐿(𝑞, 𝑞, 𝑡). Уравнения Лагранжа:𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿



𝑖 . Со-

вершим переход от «старых» обобщённых координат 𝑞𝑖 к «новым» 𝑄𝑖:

𝑞𝑖 −→ 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑡) — закон преобразования обобщённых координат.

Новая функция Лагранжа: = (, 𝑄, 𝑡) = 𝐿(𝑞(𝑄, 𝑡), 𝑞(𝑄, , 𝑡), 𝑡).

«Новые» уравнения Лагранжа имеют вид:𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝑖

− 𝜕

𝜕𝑄𝑖

= 𝑑𝑖 .

Лемма. Уравнения Лагранжа ковариантны относительно преобразований обобщённыхкоординат общего вида: 𝑞𝑖 −→ 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑡) (ковариантность — неизменность вида урав-нений Лагранжа при преобразовании обобщённых координат).

Гамильтонов формализм: 𝑝, 𝑞 — канонические переменные. Функция Гамильтона:

𝐻 = 𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡). Уравнения Гамильтона: 𝑞𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖, 𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖(далее 𝑄𝑑

𝑖 ≡ 0).

Пример. Свободная частица:

1) 𝐻 =𝑝2𝑥 + 𝑝2𝑦 + 𝑝2𝑧

2𝑚— декартовы координаты.

2) 𝐻 =𝑃 2𝜌

2𝑚+

𝑃 2𝜙

2𝑚𝜌2+𝑃 2𝑧

2𝑚— цилиндрические координаты.

Функция Гамильтона (2) не может быть получена из функции Гамильтона (1) лишьпреобразованием координат. Необходимо независимо задавать закон преобразования обоб-щённых импульсов.

𝑞𝑖 −→ 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡), 𝑝𝑖 −→ 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)

В общем случае закон преобразования обобщённых импульсов не связан и никак несогласован с законом преобразования обобщённых координат.

В Лагранжевом формализме: 𝑞𝑖 −→ 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑡) =⇒ автоматически задаётся законпреобразования для второй независимой переменной:

𝑞𝑖 −→ 𝑖 =𝑑

𝑑𝑡𝑄𝑖(𝑞, 𝑡).

В Гамильтоновом формализме, совершая преобразование канонических переменных 𝑝, 𝑞 −→𝑃,𝑄, законы которых не согласованы, мы заранее не знаем, какого вида будут «новые» уравненияГамильтона и какой будет «новая» функция Гамильтона.

49






«Новая» функция Гамильтона: 𝐾 = 𝐾(𝑃,𝑄, 𝑡) = 𝐻(𝑝(𝜌,𝑄, 𝑡), 𝑞(𝑃,𝑄, 𝑡), 𝑡).

«Новые» уравнения Гамильтона:

⎧⎪⎨⎪⎩𝑖 =

𝜕𝐾

𝜕𝑃𝑖

𝑖 = −𝜕𝐾

𝜕𝑄𝑖

.

𝜕

𝜕𝑞=

𝜕

𝜕𝑄(...) 𝑓(𝑃,𝑄, 𝑡)⏟ ⏞

=𝜕𝑄

𝜕𝑞

+𝜕

𝜕𝑃(...)

𝜕𝑃

𝜕𝑞⏟ ⏞ 𝑔(𝑃,𝑄,𝑡)

.

Хотим: сохранить вид «новых» уравнений Гамильтона и, как следствие, все имеющиесяметоды Гамильтонова формализма:⎧⎪⎨⎪⎩𝑖 =

𝜕𝐾

𝜕𝑃𝑖

𝑖 = − 𝜕𝐾𝜕𝑄𝑖

=⇒ чтобы этого достичь, необходимо рассматривать такие преобразования

(𝑝, 𝑞) −→ (𝑃,𝑄), чтобы закон преобразования для 𝑃 был каким-то образом согласовн сзаконом преобразования 𝑄.

Определение. Преобразования канонических переменных (𝑝, 𝑞) −→ (𝑃,𝑄) общего вида𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡), 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡), сохраняющие вид уравнений Гамильтона (относительно ко-торых уравнения Гамильтона ковариантны), называются каноническими преобразованиями.

«Старые» уравнения Гамильтона:

⎧⎪⎨⎪⎩𝑞𝑖 =

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖

𝑖 = −𝜕𝐻𝜕𝑞𝑖

— м.б. из принципа стационарного дей-

ствия,

𝑆1 =𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡𝐿 =𝑡2∫𝑡1

𝑑𝑡(∑

𝑖

𝑝𝑖𝑞𝑖−𝐻)

=

𝑡2∫𝑡1

(∑𝑖

𝑝𝑖𝑑𝑞𝑖−𝐻𝑑𝑡), 𝛿𝑆1 = 0 (условие экстремума 𝑆1) =⇒

«старые» уравнения Гамильтона.«Новые» уравнения Гамильтона (мы хотим, чтобы они были канонического вида):⎧⎪⎨⎪⎩𝑖 =

𝜕𝐾

𝜕𝑃𝑖

𝑖 = − 𝜕𝐾𝜕𝑄𝑖

— м.б. получены из принципа стационарного действия,

𝛿𝑆2 = 0 =⇒ «новые» уравнения Гамильтона.

𝑆2 =𝑡2∫𝑡1

(∑𝑖

𝑃𝑖𝑑𝑄𝑖 −𝐾𝑑𝑡). При этом 𝑄𝑖(𝑡1,2) = 𝑄1,2𝑖 = 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑.

Хотим: 𝑆1 и 𝑆2 достигают экстремума одновременно =⇒ условия одновременного вы-полнения «старых» и «новых» уравнений Гамильтона: 𝑐⏟ ⏞

мульт. конст.𝑆1 = 𝑆2 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡⏟ ⏞

аддит. конст., 𝑐𝛿𝑆1 = 𝛿𝑆2,

𝑐𝑡2∫𝑡1

(∑𝑖

𝑝𝑖𝑑𝑞𝑖 −𝐻𝑑𝑡)

=

𝑡2∫𝑡1

(∑𝑖

𝑃𝑖𝑑𝑄𝑖 −𝐾𝑑𝑡)

+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Аддитивная константа представима в виде: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =𝑡2∫𝑡1

𝑑𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡) = 𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡)𝑡2𝑡1

=

= 𝐹1(𝑞(𝑡2), 𝑄(𝑡2), 𝑡2)− 𝐹1(𝑞(𝑡1), 𝑄(𝑡1), 𝑡1).

50






𝑞(𝑡1,2), 𝑄(𝑡1,2) = 𝑓𝑖𝑥𝑒𝑑.

𝑐𝑡2∫𝑡1

(∑𝑖


=

𝑡2∫𝑡1

(∑𝑖

𝑃𝑖𝑑𝑄𝑖 −𝐾𝑑𝑡+ 𝑑𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡))

=⇒ 𝑐(∑

𝑖


=

=∑𝑖

𝑃𝑖𝑑𝑄𝑖 −𝐾𝑑𝑡+ 𝑑𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡), 𝑑𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡) =𝜕𝐹1

𝜕𝑡𝑑𝑡+

∑𝑖

𝜕𝐹1

𝜕𝑞𝑖𝑑𝑞𝑖 +

∑𝑖

𝜕𝐹1

𝜕𝑄𝑖

𝑑𝑄𝑖,

𝑐(∑

𝑖

𝑝𝑖𝑑𝑞𝑖−𝐻𝑑𝑡)

=∑𝑖

𝑃𝑖𝑑𝑄𝑖−𝐾𝑑𝑡+𝜕𝐹1

𝜕𝑡𝑑𝑡+

∑𝑖

𝜕𝐹1

𝜕𝑞𝑖𝑑𝑞𝑖+

∑𝑖

𝜕𝐹1

𝜕𝑄𝑖

𝑑𝑄𝑖 (∨), (∨) — разложение

по независимым дифференциалам 𝑑𝑞𝑖, 𝑑𝑄𝑖, 𝑑𝑡.

𝑑𝑞𝑖 : 𝑐𝑝𝑖 =𝜕𝐹1

𝜕𝑞𝑖,

𝑑𝑄𝑖 : 0 = 𝑃𝑖 +𝜕𝐹1

𝜕𝑄𝑖

,

𝑑𝑡 : −𝑐𝐻 = −𝐾 +𝜕𝐹1

𝜕𝑡.

Формально ∃ 4 группы переменных 𝑝, 𝑞, 𝑃,𝑄, которые выражаются друг через друга.𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)

𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)— закон преобразования.

1. 𝑄, 𝑞 — независимые, если ∃! возможность явно выразить 𝑝, 𝑃 через 𝑄, 𝑞:

𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑄, 𝑞, 𝑡), 𝑝𝑖 = 𝑝𝑖(𝑄, 𝑞, 𝑡).

Это возможно, если 𝑑𝑒𝑡(𝜕𝑄𝑖

𝜕𝑝𝑗

)= 0.

𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡) −→ 𝑝𝑖 = 𝑝𝑖(𝑄, 𝑞, 𝑡) =⇒ 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑞, 𝑝(𝑄, 𝑞, 𝑡), 𝑡) = 𝑃𝑖(𝑄, 𝑞, 𝑡).

Теорема. Если 𝑑𝑒𝑡

(𝜕𝑄𝑖

𝜕𝑝𝑗

)= 0, то необходимым и достаточным условием каноничности

преобразования (𝑝, 𝑞) −→ (𝑃,𝑄): 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)

𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)

является существование функции 𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡), удовлетворяющей формулам каноническихпреобразований: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐𝑝𝑖 =𝜕𝐹1

𝜕𝑞𝑖,

𝑃𝑖 = −𝜕𝐹1

𝜕𝑄𝑖

,

𝐾 = 𝑐𝐻 +𝜕𝐹1

𝜕𝑡.

Функция 𝐹1 называется производящей функцией канонического преобразования. Кон-станта 𝑐 называется валентностью канонического преобразования (𝑐 = 0). Если 𝑐 = 1, топреобразование называется унивалентным.

51






𝑝, 𝑞, 𝑡↓

𝐾 = 𝑐𝐻+𝜕𝐹1

𝜕𝑡↑ ↑

𝑃𝑖, 𝑄𝑖, 𝑡 𝑄, 𝑞, 𝑡

𝐾(𝑃,𝑄, 𝑡) = 𝑐𝐻(𝑝(𝑃,𝑄, 𝑡), 𝑞(𝑃,𝑄, 𝑡), 𝑡) +𝜕

𝜕𝑡𝐹1(𝑞(𝑃,𝑄, 𝑡), 𝑄, 𝑡). 𝐾 = 𝐻.

2. Пусть 𝑞, 𝑃 — независимы, т.е. ∃!𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑃, 𝑡), 𝑝𝑖 = 𝑝𝑖(𝑞, 𝑃, 𝑡), 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡) −→

−→ 𝑝𝑖 = 𝑝𝑖(𝑃, 𝑞, 𝑡) =⇒ 𝑑𝑒𝑡

(𝜕𝑃𝑖𝜕𝑝𝑗

)= 0, 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑝(𝑃, 𝑞, 𝑡), 𝑡) ≡ 𝑄𝑖(𝑞, 𝑃, 𝑡).

Условие согласованности «старых» и «новых» уравнений Гамильтона:

𝑐(∑

𝑖


=∑𝑖

𝑃𝑖𝑑𝑄𝑖 −𝐾𝑑𝑡+ 𝑑𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡), 𝑃𝑖𝑑𝑄𝑖 = 𝑑(𝑃𝑖𝑄𝑖)−𝑄𝑖𝑑𝑃𝑖,∑𝑖

𝑑(𝑃𝑖𝑄𝑖)+𝑑𝐹1 = 𝑑 (∑𝑖

𝑃𝑖𝑄𝑖 + 𝐹1)⏟ ⏞ =𝐹2

= 𝑑𝐹2, 𝑐(∑

𝑖

𝑝𝑖𝑑𝑞𝑖−𝐻𝑑𝑡)

= −∑𝑖

𝑄𝑖𝑑𝑃𝑖−𝐾𝑑𝑡+𝑑𝐹2(𝑞,𝑄, 𝑡),

𝐹2 =∑𝑖

𝑃𝑖𝑄𝑖(𝑞, 𝑃, 𝑡) + 𝐹1(𝑞,𝑄(𝑞, 𝑃, 𝑡), 𝑡), 𝑑𝐹2 =𝜕𝐹2

𝜕𝑡𝑑𝑡+

∑𝑖

𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑖𝑑𝑞𝑖 +

∑𝑖

𝜕𝐹2

𝜕𝑃𝑖𝑑𝑃𝑖,

𝑑𝑞𝑖 : 𝑐𝑝𝑖 =𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑖

𝑑𝑃𝑖 : 0 = −𝑄𝑖 +𝜕𝐹2

𝜕𝑃𝑖

𝑑𝑡 : −𝑐𝐻 = −𝐾 +𝜕𝐹2

𝜕𝑡

Теорема. Если 𝑑𝑒𝑡


)= 0, то необходимым и достаточным условием каноничности

преобразования (𝑝, 𝑞) −→ (𝑃,𝑄): 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡)

𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡)

является существование производящей функции 𝐹2(𝑞, 𝑃, 𝑡), удовлетворяющей формуламканонических преобразований: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩


𝜕𝑞𝑖,

𝑄𝑖 =𝜕𝐹2

𝜕𝑃𝑖,

𝐾 = 𝑐𝐻 +𝜕𝐹2

𝜕𝑡.

Аналогично,3. 𝑄, 𝑝 — независимы, 𝐹3(𝑄, 𝑝, 𝑡).

52






4. 𝑃, 𝑝 — независимы, 𝐹4(𝑃, 𝑝, 𝑡).Таблица: формулы канонического преобразования (КП) для производящих функций

разных классов.

Класс Условие ∃ Формулы КП

𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡) 𝑑𝑒𝑡

(𝜕𝑄𝑖

𝜕𝑝𝑗

)= 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑐𝑝𝑖 =

𝜕𝐹1

𝜕𝑞𝑖

𝑃𝑖 = −𝜕𝐹1

𝜕𝑄𝑖

𝐾 = 𝑐𝐻 +𝜕𝐹1

𝜕𝑡

𝐹2(𝑞, 𝑃, 𝑡) 𝑑𝑒𝑡


)= 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑐𝑝𝑖 =

𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑖

𝑄𝑖 =𝜕𝐹2

𝜕𝑃𝑖

𝐾 = 𝑐𝐻 +𝜕𝐹2

𝜕𝑡

𝐹3(𝑝,𝑄, 𝑡) 𝑑𝑒𝑡

(𝜕𝑄𝑖

𝜕𝑞𝑗

)= 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑐𝑞𝑖 = −𝜕𝐹3

𝜕𝑝𝑖

𝑃𝑖 = −𝜕𝐹3

𝜕𝑄𝑖

𝐾 = 𝑐𝐻 +𝜕𝐹3

𝜕𝑡

𝐹4(𝑝, 𝑃, 𝑡) 𝑑𝑒𝑡

(𝜕𝑃𝑖𝜕𝑞𝑗

)= 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑐𝑞𝑖 = −𝜕𝐹4

𝜕𝑝𝑖

𝑄𝑖 =𝜕𝐹4

𝜕𝑃𝑖

𝐾 = 𝑐𝐻 +𝜕𝐹4

𝜕𝑡

Общая теорема. Необходимым и достаточным условием каноничности преобразования(𝑝, 𝑞) −→ (𝑃,𝑄):

𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡)

𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡)

является существование хотя бы одной из 4–х производящих функций.Пусть ∃𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡). Формулы канонического преобразования:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


𝜕𝑞𝑖

𝜕

𝜕𝑄𝑗

𝑃𝑖 = −𝜕𝐹1

𝜕𝑄𝑖

𝑖 −→ 𝑗,

𝜕

𝜕𝑞𝑖

=⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝑐𝜕𝑝𝑖𝜕𝑄𝑗

=𝜕2𝐹1

𝜕𝑄𝑗𝜕𝑞𝑖

−𝜕𝑃𝑗𝜕𝑞𝑖

=𝜕2𝐹1

𝜕𝑄𝑗𝜕𝑞𝑖

=⇒

=⇒ 𝑐𝜕𝑝𝑖𝜕𝑄𝑗

= −𝜕𝑃𝑗𝜕𝑞𝑖

× 𝜕𝑄𝑘

𝜕𝑝𝑖и∑𝑖

,

53






𝑐∑𝑖

𝜕𝑝𝑖𝜕𝑄𝑗

𝜕𝑄𝑘

𝜕𝑝𝑖⏟ ⏞ =𝜕𝑄𝑘

𝜕𝑄𝑗

=𝛿𝑘𝑗

= −∑𝑖

𝜕𝑃𝑗𝜕𝑞𝑖

𝜕𝑄𝑘

𝜕𝑝𝑖+∑𝑖

𝜕𝑃𝑗𝜕𝑝𝑖

𝜕𝑄𝑘

𝜕𝑞𝑖⏟ ⏞ ≡0

, 𝑐𝛿𝑘𝑗 =

𝑃𝑗, 𝑄𝑘

𝑝,𝑞

.

𝑄𝑖, 𝑄𝑗

𝑝,𝑞

=∑𝑘

(𝜕𝑃𝑖𝜕𝑝𝑘

𝜕𝑄𝑗

𝜕𝑞𝑘⏟ ⏞ =0

− 𝜕𝑄𝑖

𝜕𝑞𝑘⏟ ⏞ =0

𝜕𝑄𝑗

𝜕𝑝𝑘

)= 0,

𝑃𝑖, 𝑃𝑗

𝑝,𝑞

=∑𝑘

(𝜕𝑃𝑖𝜕𝑝𝑘

𝜕𝑃𝑗𝜕𝑞𝑘− 𝜕𝑃𝑖𝜕𝑞𝑘

𝜕𝑃𝑗𝜕𝑝𝑘

)=

=

𝑃𝑖 = −𝜕𝐹1

𝜕𝑄𝑖

=∑𝑘

((− 𝜕2𝐹1

𝜕𝑝𝑘𝜕𝑄𝑖⏟ ⏞ =0

)(− 𝜕2𝐹1

𝜕𝑞𝑘𝜕𝑄𝑖

)−(− 𝜕2𝐹1

𝜕𝑞𝑘𝜕𝑄𝑖

)(− 𝜕2𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡)

𝜕𝑝𝑘𝜕𝑄𝑗⏟ ⏞ =0

))= 0.

Теорема (критерий каноничности). Необходимым и достаточным условием канонично-сти преобразования (𝑝, 𝑞) −→ (𝑃,𝑄):

𝑃𝑖 = 𝑃𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)

𝑄𝑖 = 𝑄𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡)

является выполнение следующих равенств:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑃𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡), 𝑄𝑗(𝑝, 𝑞, 𝑡)

𝑝,𝑞

= 𝑐𝛿𝑖𝑗,𝑃𝑖, 𝑃𝑗

𝑝,𝑞

= 0,𝑄𝑖, 𝑄𝑗

𝑝,𝑞

= 0.

Инфинитезимальные канонические преобразования

𝑄𝑗 = 𝑞𝑗 + 𝛿𝑞𝑗⏟ ⏞ функционально малые добавки

, 𝜚𝑗 = 𝑝𝑗 + 𝛿𝑝𝑗⏟ ⏞ .Выберем класс производящей функции 𝐹2, подобной производящей функции тожде-

ственного преобразования:

𝐹2 =𝑠∑

𝑘=1

𝑞𝑘𝜚𝑘 + 𝜀⏟ ⏞ малый параметр

𝐹2(, , 𝑡), 𝑐 = 1, 𝑄𝑗 =𝜕𝐹2

𝜕𝜚𝑗= 𝑞𝑗 + 𝜀

𝜕𝐹2

𝜕𝜚𝑗(, , 𝑡),

𝑝𝑗 =𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑗= 𝜚𝑗 + 𝜀

𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑗(, , 𝑡) =⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝑄𝑗∼= 𝑞𝑗 + 𝜀

𝜕𝐹2

𝜕𝑝𝑗(, 𝑝, 𝑡)

𝜚𝑗 ∼= 𝑝𝑗 − 𝜀𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑗(, 𝑝, 𝑡)

Пусть 𝜀 = 𝑑𝑡, 𝐹2 = 𝐻(, 𝑝, 𝑡).

𝑄𝑗 = 𝑞𝑗 + 𝑑𝑡𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑗= 𝑞𝑗 + 𝑞𝑗𝑑𝑡 = 𝑞𝑗(𝑡+ 𝑑𝑡), 𝜚𝑗 = 𝑝𝑗 − 𝑑𝑡

𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑗= 𝑝𝑗 + 𝑗𝑑𝑡 = 𝑝𝑗(𝑡+ 𝑑𝑡).

54






Поэтому движение системы можно рассматривать как непрерывное каноническое пре-образование с производящей функцией 𝐻.

Теорема Лиувилля2𝑠, 𝑞1, ..., 𝑞𝑠; 𝑝1, ..., 𝑝𝑠.Определение. Фазовый поток — однопараметрическая группа преобразований фазового

пространства.𝑔𝑡 : (0 = (𝑡0), 𝑝0 = 𝑝(𝑡0)) −→ ( (𝑡), 𝑝(𝑡)⏟ ⏞

решения уравнений Гамильтона

), 𝑑Γ = 𝑑𝑑𝑝 = 𝑑𝑞1...𝑑𝑞𝑠𝑑𝑝1...𝑑𝑝𝑠 — элементар-

ный объём фазового пространства.Γ =

∫Γ

...∫𝑑𝑑𝑝 =

∫...∫𝑑𝑞1...𝑑𝑞𝑠𝑑𝑝1...𝑑𝑝𝑠.

Ансамбль Гиббса — непрерывно запол-ненный гамильтоновыми частицами объёмв фазовом пространстве.

Гамильтоновы частицы — с одной и тойже функцией Гамильтона.

Теорема ЛиувилляПри движении ансамбля Гиббса фазовый объём Γ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, т.е. 𝑔𝑡Γ = Γ.Доказательство. Нужно доказать, что Γ(𝑡0 + 𝑑𝑡) = Γ(𝑡0).∫...

∫𝑑𝑑𝑝

𝑡0+𝑑𝑡

=

∫...

∫𝑑0𝑑𝑝0 = Γ(𝑡0 + 𝑑𝑡) =

∫Γ0

...

∫𝐷(𝑡0 + 𝑑𝑡)⏟ ⏞

якобиан преобразования 𝑝0,𝑞0 и 𝑝,𝑞

𝑑0𝑑𝑝0,

𝐷(𝑡0 + 𝑑𝑡) =𝜕(𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝑝1, ..., 𝑝𝑠)

𝜕(𝑞10, ..., 𝑞𝑠0, 𝑝10, ..., 𝑝𝑠0).

Нужно доказать, что 𝐷(𝑡0 + 𝑑𝑡) = 1. Ранее было показано, что

𝑞𝑖 = 𝑞𝑖0 +𝜕𝐻0

𝜕𝑝𝑖0𝑑𝑡, 𝑝𝑖 = 𝑝𝑖0 −

𝜕𝐻0

𝜕𝑞𝑖0𝑑𝑡, 𝐻0 ≡ 𝐻(0, 𝑝0, 𝑡)

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑞𝑗0

= 𝛿𝑖𝑗 +𝜕2𝐻0

𝜕𝑞𝑗0𝜕𝑝𝑖0𝑑𝑡,

𝜕𝑝𝑖𝜕𝑞𝑗0

= − 𝜕2𝐻0

𝜕𝑝𝑗0𝜕𝑞𝑖0𝑑𝑡,

𝜕𝑞𝑖𝜕𝑝𝑗0

=𝜕2𝐻0

𝜕𝑝𝑗0𝜕𝑝𝑖0𝑑𝑡,

𝜕𝑝𝑖𝜕𝑝𝑗0

= 𝛿𝑖𝑗 −𝜕2𝐻0

𝜕𝑝𝑗0𝜕𝑞𝑖0𝑑𝑡.

𝐷(𝑡0 + 𝑑𝑡) =

1 +𝜕2𝐻0

𝜕𝑞10𝜕𝑝10𝑑𝑡 · · · ∼ 𝑑𝑡

∼ 𝑑𝑡 1 +𝜕2𝐻0

𝜕𝑞𝑠0𝜕𝑝𝑠0𝑑𝑡 ∼ 𝑑𝑡

∼ 𝑑𝑡 · · · 1− 𝜕2𝐻0

𝜕𝑝𝑠0𝜕𝑝𝑠0𝑑𝑡

=

= 1 +𝑠∑𝑖=1

(𝜕2𝐻0

𝜕𝑞𝑖0𝜕𝑝𝑖0− 𝜕2𝐻0

𝜕𝑝𝑖0𝜕𝑞𝑖0

)+ ¯𝑜(𝑑𝑡2).

55






Введём обозначения: =

(𝑝

), 𝑓() =

( 𝜕𝐻

𝜕𝑝

−𝜕𝐻𝜕

).

Уравнения Гамильтона запишем в виде: ˙𝑥 = 𝑓(). Очевидно, что

𝑑𝑖𝑣𝑓 =𝑠∑𝑖=1

(𝜕

𝜕𝑞𝑖

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖+

𝜕

𝜕𝑝𝑖

(− 𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖

)).

Тогда Γ(𝑡0 + 𝑑𝑡) =∫...∫

1 + 𝑑𝑖𝑣𝑓(, 𝑝)⏟ ⏞ =0

𝑑𝑡𝑑𝑝0𝑑0,

𝜕Γ

𝜕𝑡

∫...∫𝑑𝑖𝑣𝑓𝑑𝑝𝑑 = 0, QED.

Инварианты канонических преобразовний

Каноническое преобразование: , 𝑝 −→ , . Тогда по теореме Лиувилля:∫(2𝑠)

...∫𝑑𝑑𝑝 =

∫(2𝑠)

...∫𝑑𝑑 — интегральный инвариант Пуанкаре.

Замечание. Скобка Пуассона — тоже инвариант канонических преобразований.

[𝑢, 𝑣](𝑞,𝑝) = [𝑢, 𝑣](,𝜚).

Лекция 12

Принцип наименьшего действия в расширенном фазовом пространстве.Вывод уравнений Гамильтона

См. лекцию 10.

Метод Гамильтона–Якоби

Идея: ∀𝐻 можно подобрать функцию 𝐹 (при 𝑐 = 1) так, чтобы 𝐾 = 0.Т.е. гипотетически ∃ каноническое унивалентное преобразование ∀ системы, приводящее

к «новой» функции Гамильтона 𝐾 = 0. Будем считать, что ∃ производящая функция𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡) = 𝐹 (𝑞,𝑄, 𝑡).⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐𝑝𝑖 =𝜕𝐹

𝜕𝑞𝑖

𝑃𝑖 = − 𝜕𝐹𝜕𝑄𝑖

𝐾 = 𝑐𝐻 +𝜕𝐹

𝜕𝑡

𝑐 = 1 (𝑝, 𝑞, 𝑡)𝑘 = 0 ↓

−→ 𝐻+𝜕𝐹

𝜕𝑡= 0

↑(𝑞,𝑄, 𝑡)

𝑝𝑖 =𝜕𝐹 (𝑞,𝑄, 𝑡)

𝜕𝑞𝑖=⇒ 0 =

𝜕𝐹

𝜕𝑡+𝐻

(𝜕𝐹

𝜕𝑞, 𝑞, 𝑡

)— уравнение Гамильтона–Якоби.

56






𝐻

(𝜕𝐹

𝜕𝑞, 𝑞, 𝑡

)≡ 𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡)

𝑝𝑖−→

𝜕𝐹

𝜕𝑞𝑖

. Решая уравнение Гамильтона–Якоби, получаем 𝐹 .

𝐹 — производящая функция канонического преобразования, приводящего к «новой» функцииГамильтона 𝐾 = 0.

Уравнение Гамильтона–Якоби — нелинейное дифференциальное уравнение в частныхпроизводных.

Полный интеграл — это некоторое частное решение нелинейного дифференциальногоуравнения в частных производных, зависящее от стольких произвольных констант, каковочисло независимых переменных в уравнении.

Независимые переменные в уравнении Гамильтона–Якоби: 𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝑡 =⇒ полный инте-грал уравнения Гамильтона–Якоби зависит от (𝑠+ 1) произвольных констант:

𝐹 = 𝐹 (𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝑡;𝐶1, ..., 𝐶𝑠⏟ ⏞ неаддитивные const

+𝐶𝑠+1.

Итак, 𝐾 = 0. «Новые» уравнения Гамильтона:⎧⎪⎨⎪⎩𝑖 =

𝜕𝐾

𝜕𝑃𝑖= 0, 𝑄𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ≡ 𝛽𝑖,

𝑖 =𝜕𝐾

𝜕𝑄𝑖

= 0, 𝑃𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ≡ −𝛼𝑖.

С одной стороны, 𝐹 = 𝐹1(𝑞,𝑄, 𝑡) = 𝐹1(𝑞, 𝛽⏟ ⏞ s штук

, 𝑡) + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

С другой стороны, полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби 𝐹 = 𝐹 (𝑞, 𝐶⏟ ⏞ s штук

, 𝑡)+

+𝐶𝑠+1 =⇒ имеет смысл отождествить 𝛽𝑖⏟ ⏞ новые координаты

= 𝐶𝑖, 𝐶𝑖 = 𝛽𝑖 = 𝑄𝑖,

⎧⎪⎨⎪⎩𝑐𝑝𝑖 =

𝜕𝐹

𝜕𝑞𝑖, (а)

𝑃𝑖 = − 𝜕𝐹𝜕𝑄𝑖

. (б)

(а) 𝑐 = 1 =⇒ 𝑝𝑖 =𝜕𝐹 (𝑞, 𝛽, 𝑡)

𝜕𝑞𝑖= 𝑓𝑖(𝑞, 𝛽⏟ ⏞

s штук, 𝑡) =⇒ 𝛽𝑖 = 𝑔𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 , 𝑖 = ¯1, 𝑠 —

интеграл движения.Ещё один физический смысл неаддитивных констант — они являются интегралами дви-

жения.(б) 𝑃𝑖 = − 𝜕𝐹

𝜕𝑄𝑖

, 𝑄𝑖 = 𝛽𝑖, 𝑃𝑖 = −𝛼𝑖, 𝐹 = 𝐹 (𝑞, 𝛽, 𝑡), −𝛼𝑖 = −𝜕𝐹 (𝑞, 𝛽, 𝑡)

𝜕𝛽𝑖,

𝛼𝑖 =𝜕𝐹 (𝑞, 𝛽, 𝑡)

𝜕𝛽𝑖= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = ℎ𝑖( 𝑞⏟ ⏞

s штук, 𝛽, 𝑡) , 𝑖 = ¯1, 𝑠 — уже закон движения, заданный неявно

=⇒ 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖(𝛼, 𝛽⏟ ⏞ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

, 𝑡) = 𝑞𝑖(𝑡) — закон движения.

Алгоритм применения метода Гамильтона–Якоби

1. Пишем уравнение Гамильтона–Якоби: 0 =𝜕𝐹

𝜕𝑡+𝐻

(𝜕𝐹

𝜕𝑞, 𝑞, 𝑡

).

57






2. Ищем частное решение уравнения Гамильтона–Якоби — полный интеграл — методомразделения переменных: 𝐹 = 𝐹 (𝑞, 𝛽⏟ ⏞

s штук неаддитивных констант, 𝑡) + 𝛽𝑠+1.

3. Находим закон движения:𝜕𝐹 (𝑞, 𝛽, 𝑡)

𝜕𝛽𝑖= 𝛼𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =⇒ 𝑞𝑖(𝑡).

4. Выясняем физический смысл неаддитивных констант 𝛽𝑖:𝜕𝐹 (𝑞, 𝛽, 𝑡)

𝜕𝑞𝑖= 𝑝𝑖 =⇒ 𝛽𝑖 = 𝛽𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 — иинтеграл движения. Из начальных условий

находим, что 𝛽𝑖 = 𝛽𝑖(𝑝, 𝑞, 𝑡)

𝑡=𝑡0

. Переобозначим 𝐹 ≡ 𝑆.

Теорема Якоби

Функции 𝑞𝑗, 𝑝𝑗, полученные из соотношений 𝛼𝑗 =𝜕𝑆

𝜕𝛽𝑗, 𝑝𝑗 =

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑗, где 𝑆 — полный инте-

грал уравнения Гамильтона–Якоби, являются решениями уравнений Гамильтона.

Доказательство. Для координат 𝛼𝑗⏟ ⏞ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

=𝜕𝑆

𝜕𝛽𝑗

𝑑

𝑑𝑡, 0 =

𝜕2𝑆

𝜕𝑡𝜕𝑝𝑗+

𝑠∑𝑘=1

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑘𝜕𝑝𝑗𝑞𝑘, (*)

𝜕𝑆

𝜕𝑡+𝐻

(,𝜕𝑆

𝜕, 𝑡)

= 0 — уравнение Гамильтона–Якоби𝜕

𝜕𝛽𝑗,

𝜕2𝑆

𝜕𝛽𝑗𝜕𝑡+

𝑠∑𝑘=1

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑘𝜕𝛽𝑗= 0, (**)

(*), (**) =⇒ 𝑞𝑘 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘.

Для импульсов:

𝑝𝑗 =𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑗

𝑑

𝑑𝑡, 𝑗 =

𝜕2𝑆

𝜕𝑡𝜕𝑞𝑗+

𝑠∑𝑘=1

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑘𝜕𝑞𝑗𝑞𝑗 (*)

𝜕𝑆

𝜕𝑡+𝐻

(,𝜕𝑆

𝜕, 𝑡)

= 0 — уравнение Гамильтона–Якоби𝜕

𝜕𝑞𝑗,

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑗𝜕𝑡+𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑗+

𝑠∑𝑘=1

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘⏟ ⏞ =𝑞𝑘

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑘𝜕𝑞𝑗= 0, (**)

(*), (**) =⇒ 𝑗 = −𝜕𝐻𝜕𝑞𝑗

, QED.

Действие как функция обобщённых координат

𝜕𝑆

𝜕𝑡+ 𝐻

(,𝜕𝑆

𝜕, 𝑡)

= 0 — уравнение Гамильтона–Якоби. 𝑆(𝑡, ) — функция действия.

Функционал действия: 𝑆 =𝑡2∫𝑡1

𝐿(, ˙𝑞, 𝑡)𝑑𝑡.

58






Лагранжева система движется таким образом, что закон движения — экстремаль функ-ционала.

𝛿𝑆 =𝑠∑𝑗=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑗𝛿𝑞𝑗

𝑡2𝑡1

+

𝑡2∫𝑡1

𝑠∑𝑗=1

(𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑗− 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑗

)𝛿𝑞𝑗𝑑𝑡,

(2 −→ 11 −→ 0

)

0 = (𝑡0), 1 = (𝑡1) =⇒ 𝛿(𝑡0,1) = 0.

Будем считать, что движение происходит с 𝑡0 по 𝑡1, что все траектории проходят через0, 1 и что эволюция системы описывается уравнениями Лагранжа.

𝛿𝑆 =𝑠∑𝑖=1

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖𝛿𝑞𝑖 — это уже функция.

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑖=𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑖= 𝑝𝑖.

𝑆 =

𝑡1∫𝑡0

𝐿(, ˙𝑞, 𝑡)𝑑𝑡, 𝑡0 6 𝑡 6 𝑡1,𝜕𝑆

𝜕𝑡= 𝐿, 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1]⇐⇒

⇐⇒ 𝜕𝑆

𝜕𝑡+

𝑠∑𝑗=1

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑗⏟ ⏞ =𝑝𝑗

𝑞𝑗−𝐿 = 0,𝜕𝑆

𝜕𝑡+

𝑠∑𝑗=1

𝑝𝑗𝑞𝑗−𝐿 = 0 =⇒ правомерна S как функция действия,

𝑆 =

𝑡∫𝑡0

𝐿𝑑𝑡 = 𝑆(𝑞(𝑡), 𝛽, 𝑡).

Разделение переменных в цилиндрических координатах и сферических координатах

Цилиндрические координаты: 𝐹 (𝜌, 𝜙, 𝑧, 𝑡) = 𝑇 (𝑡) +𝑅(𝜌) + Φ(𝜙) + 𝑍(𝑧).Сферические координаты: 𝐹 (𝑟, 𝜃, 𝜙, 𝑡) = 𝑇 (𝑡) +𝑅(𝑟) + Φ(𝜙) + Θ(𝜃).

Неизотропный двумерный гармонический осциллятор

𝐻 =𝑝21 + 𝑝22

2𝑚+𝑘1𝑞

21 + 𝑘2𝑞

22

2, 𝑘1,2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 > 0.

Найдём решение методом Гамильтона–Якоби:𝜕𝑆

𝜕𝑡+

1

2𝑚

(( 𝜕𝑆𝜕𝑞1

)2+( 𝜕𝑆𝜕𝑞2

)2)+𝑘1𝑞

21

2+𝑘2𝑞

22

2= 0.

Ищем решение в виде: 𝑆 = −𝐻0𝑡+ 𝑆1(𝑞1) + 𝑆2(𝑞2) =⇒ −𝐻0 +1

2𝑚

(𝑑𝑆1

𝑑𝑞1

)2+𝑘1𝑞

21

2+

+1

2𝑚

(𝑑𝑆2

𝑑𝑞2

)2+𝑘2𝑞

22

2= 0.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1

2𝑚

(𝑑𝑆1

𝑑𝑞1

)2+𝑘1𝑞

21

2= 𝛼1

1

2𝑚

(𝑑𝑆2

𝑑𝑞2

)2+𝑘2𝑞

22

2= 𝛼2

, 𝐻0 = 𝛼1 + 𝛼2, 𝛼𝑖 — энергия, приходящаяся на одну степень

свободы.

𝑆𝑖(𝑖=1,2)=∫ √

2𝑚(𝛼𝑖 −𝑘𝑖𝑞

2𝑖

2)𝑑𝑞𝑖,

𝜕𝑆

𝜕𝛼𝑖= 𝛽𝑖, 𝑆 = −(𝛼1 + 𝛼2)𝑡+ 𝑆1(𝑞1) + 𝑆2(𝑞2).

59






𝛽𝑖 = −𝑡+√

2𝑚

∫1

2

𝑑𝑞𝑖√𝛼𝑖 −

𝑘𝑖𝑞2𝑖

2

, 𝛽𝑖 = −𝑡+

√𝑚

𝑘𝑖

∫𝑑𝑞𝑖√

2𝛼𝑖𝑘𝑖− 𝑞2𝑖

= −𝑡+

√𝑚

𝑘𝑖arcsin

𝑞𝑖(𝑡)√2𝛼𝑖𝑘𝑖

,

𝑞𝑖(𝑡) =

√2𝛼𝑖𝑘𝑖

sin

√𝑘𝑖𝑚

(𝑡+ 𝛽𝑖).

Замечание. Решать эту задачу надо по-пименовски.

𝐻 =𝑝21 + 𝑝22

2𝑚+𝑘1𝑞

21 + 𝑘2𝑞

22

2.

1.𝜕𝐹

𝜕𝑡+

1

2𝑚

((𝜕𝐹𝜕𝑞1

)2+(𝜕𝐹𝜕𝑞2

)2)+𝑘1𝑞

21

2+𝑘2𝑞

22

2= 0.

2. 𝐹 (𝑞1, 𝑞2, 𝑡) = 𝐺1(𝑞1) +𝐺2(𝑞2) + 𝑇 (𝑡), −𝑇 ′(𝑡) =𝑘1𝑞

21

2+𝑘2𝑞

22

2+𝐺

′21 +𝐺

′22

2𝑚= 𝛽1,

𝑇 (𝑡) = −𝛽1𝑡+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,𝐺

′21

2𝑚+𝑘1𝑞

21

2= 𝛽1 −

𝐺′22

2𝑚− 𝑘2𝑞

22

2= 𝛽2,

𝐺′

1 = ±√

2𝑚(𝛽2 −𝑘1𝑞

21

2), 𝐺1 = ±

∫𝑑𝑞1

√2𝑚(𝛽2 −

𝑘1𝑞21

2) + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,

𝐺′22

2𝑚= 𝛽1 − 𝛽2 −

𝑘2𝑞22

2, 𝐺2 = ±

∫𝑑𝑞2

√2𝑚(𝛽1 − 𝛽2 −

𝑘2𝑞22

2) + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,

𝐹 = ±∫𝑑𝑞1√𝑘1(𝑞1)±

∫𝑑𝑞2√𝑘2(𝑞2)− 𝛽1𝑡+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

3.𝜕𝐹

𝜕𝛽1= −𝑡±

∫𝑑𝑞2√

2𝑚1

2

1√𝑘2(𝑞2)

2𝑚

= 𝛼1, 𝑡− 𝑡0 = ±𝑞2∫𝑞20

𝑑𝑞2√2

𝑚

√𝛽1 − 𝛽2 −

𝑘2𝑞22

2

=

= ±√𝑚

2

√2

𝑘2

𝑞2∫𝑞20

𝑑𝑞2√2𝛽1 − 𝛽2𝑘2

− 𝑞22, cos

(√𝑘2𝑚

(𝑡− 𝑡0) + 𝑞02

)=

𝑞2(𝑡)√2𝛽1 − 𝛽2𝑘2

,

𝑞2(𝑡) =

√2𝛽1 − 𝛽2𝑘2

cos

(√𝑘2𝑚

(𝑡− 𝑡0) + 𝑞02

),

𝜕𝐹

𝜕𝛽2= ±

∫𝑑𝑞1√

2𝑚1

2

√𝛽2 −

𝑘1𝑞21

2

±∫𝑑𝑞2√

2𝑚−1

2

√𝛽1 − 𝛽2 −

𝑘2𝑞22

2

= 𝛼2,

±𝑞1∫

𝑞01

𝑑𝑞1√𝛽2 −

𝑘1𝑞21

2

= ±𝑞2∫

𝑞02

𝑑𝑞2√𝛽1 − 𝛽2 −

𝑘2𝑞22

2

=

√2

𝑚(𝑡− 𝑡0), ∓

2

𝑘1arccos

𝑞1√2𝛽2𝑘1

=

√2

𝑚(𝑡− 𝑡0),

60






𝑞1(𝑡) =

√2𝛽2𝑘1

cos

(√𝑘1𝑚

(𝑡− 𝑡0) + 𝑞10

).

4.𝜕𝐹

𝜕𝑞1= ±

√2𝑚(𝛽2 −

𝑘1𝑞21

2) = 𝑝1, 𝛽2 =

𝑝212𝑚

+𝑘1𝑞

21

2,

𝜕𝐹

𝜕𝑞2= ±

√2𝑚(𝛽1 − 𝛽2 −

𝑘2𝑞22

2) = 𝑝2, 𝛽1 = 𝛽2 +

𝑝222𝑚

+𝑘2𝑞

22

2.

Частица массой 𝑚 в центрально-симметричном поле

𝑈(𝑟) = −𝑎𝑟

+𝑏

𝑟2, где 𝑟 — полярный радиус. Задача решается в полярных координатах

плоскости Лапласа.

𝑚 > 0, 𝑏, 𝑎 > 0. 𝐻 =1

2𝑚

(𝑃 2𝑟 +

𝑃 2𝜙

𝑟2

)− 𝑎

𝑟+

𝑏

𝑟2.

1.𝜕𝑆

𝜕𝑡+

1

2𝑚

((𝜕𝑆𝜕𝑟

)2+

1

𝑟2(𝜕𝑆𝜕𝜙

)2)− 𝑎

𝑟+

𝑏

𝑟2= 0.

2. 𝑆 = 𝑅(𝑟) + Φ(𝜙) + 𝑇 (𝑡).

𝑇 ′ +1

2𝑚

(𝑅

′2 +Φ

′2

𝑟2

)− 𝑎

𝑟+

𝑏

𝑟2= 0, 𝑇 (𝑡) = −𝛽1𝑡+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,

𝑅′2

2𝑚− 𝑎

𝑟+

Φ′2 + 𝑏

𝑟2= 𝛽1,

Φ′2 + 𝑏 = 𝛽1𝑟

2 + 𝑎𝑟 +𝑅

′2𝑟2

2𝑚(−1), Φ

′2 = 𝛽1𝑟2 + 𝑎𝑟 − 𝑏− 𝑟2

2𝑚𝑅

′2 = 𝛽2, Φ′ = ±√𝛽2 −→

−→ Φ = ±√𝛽2𝜙+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, (𝛽1𝑟

2 + 𝑎𝑟 − 𝑏− 𝛽2)2𝑚

𝑟2= 𝑅

′2, 𝑅′ = ±√

2𝑚(𝛽1 +𝑎

𝑟− 𝑏

𝑟2− 𝛽2𝑟2

),

𝑅 = ±∫𝑑𝑟

√2𝑚(𝛽1 +

𝑎

𝑟− 𝑏

𝑟2− 𝛽2𝑟2

)+𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑆 = −𝛽1𝑡±√𝛽2𝜙±

∫𝑑𝑟

√2𝑚(𝛽1 +

𝑎

𝑟− 𝑏

𝑟2− 𝛽2𝑟2

).

3.𝜕𝑆

𝜕𝛽1= −𝑡±

∫𝑑𝑟√

2𝑚1

2

√2𝑚(𝛽1 +

𝑎

𝑟− 𝑏

𝑟2− 𝛽2𝑟2

)

= 𝛼1,

𝜕𝑆

𝜕𝛽2= ±1

2

𝜙√𝛽2±∫𝑑𝑟√

2𝑚−1/𝑟2

2

√𝛽1 +

𝑎

𝑟− 𝑏

𝑟2− 𝛽2𝑟2

= 𝛼2.

± 1√𝛽2

(𝜙− 𝜙0) = ±𝑟∫

𝑟0

√2𝑚𝑑𝑟/𝑟2√

𝛽1 +𝑎

𝑟− 𝑏

𝑟2− 𝛽2𝑟2

, 𝜙− 𝜙0 = ±𝑟∫

𝑟0

−√

2𝑚𝑑(1/𝑟)√𝛽1 +

𝑎

𝑟− 𝑏+ 𝛽2

𝑟2

= (*)

𝛽1 +𝑎

𝑟− 𝑏+ 𝛽2

𝑟2= 𝛽1 −

(√𝑏+ 𝛽2𝑟

)2

+ 2

√𝑏+ 𝛽2𝑟

𝑎

2√𝑏+ 𝛽2

+𝑎2

4(𝑏+ 𝛽2)− 𝑎2

4(𝛽2 + 𝑏)=

=

𝛽1 +

𝑎2

4(𝑏+ 𝛽2)

⏟ ⏞

=𝐶1

−(√

𝑏+ 𝛽2𝑟

− 𝑎

2√𝑏+ 𝛽2

)2

61






(*) = ±ℰ(𝑟)∫

ℰ(𝑟0)

−√

2𝑚/√𝑏+ 𝛽2𝑑ℰ√

𝐶1 − ℰ2= ±

√2𝑚√𝑏+ 𝛽2⏟ ⏞ ≡𝛾−1

arccosℰ√𝐶1

ℰ(𝑟)ℰ(𝑟0)

ℰ =√𝐶1 cos(𝛾(𝜙− 𝜙0)),

√𝑏+ 𝛽2𝑟

− 𝑎

2√𝑏+ 𝛽2

=

√𝛽1 +

𝑎2

4(𝑏+ 𝛽2)cos(𝛾(𝜙− 𝜙0)),

𝑟 =

√𝑏+ 𝛽2

𝑎

2√𝑏+ 𝛽2

+

√𝛽1 +

𝑎2

4(𝑏+ 𝛽2)cos(𝛾(𝜙− 𝜙0))

,

𝑟 =2𝑏+ 𝛽2𝑎

1 +2√𝑏+ 𝛽2𝑎

√𝛽1 +

𝑎2

4(𝑏+ 𝛽2)⏟ ⏞ =

2

𝑎

√(𝑏+𝛽2)𝛽1+𝑎2/4=

⎯1+

4𝛽1(𝑏+ 𝛽2)

𝑎2

cos(𝛾(𝜙− 𝜙0))

.

Пусть 𝜀 ≡√

1 +4𝛽1(𝑏+ 𝛽2)

𝑎2, 𝑝 ≡ 2

𝑏+ 𝛽2𝑎

. Тогда 𝑟 =𝑝

1 + 𝜀 cos(𝛾(𝜙− 𝜙0)).

Лекция 13Укороченное действие

Для консервативных систем𝜕𝐻

𝜕𝑡= 0 диссипативные силы отсутствуют и функция Га-

мильтона является интегралом движения:𝐻(, 𝑝) = 𝐸. В этом случае уравнение Гамильтона–Якоби можно проинтегрировать по 𝑡. Тогда 𝑆 = −𝐸𝑡+ 𝑤(, 𝛽1, ..., 𝛽𝑠−1, 𝐸)⏟ ⏞

укороченное действие

.

К лекции 12:

𝑑𝐹

𝑑𝑡(, 𝑡) =

𝜕𝐹

𝜕𝑡+

𝑠∑𝑖=1

𝜕𝐹


𝑞𝑖 =𝜕𝐹

𝜕𝑡⏟ ⏞ =−𝐻

+𝑠∑𝑖=1

𝑝𝑖𝑞𝑖 =𝑠∑𝑖=1

𝑝𝑖𝑞𝑖 −𝐻 = 𝐿 =⇒ 𝐹 =

𝑡∫𝑡0

𝐿𝑑𝑡 ≡ 𝑆(𝑞(𝑡), 𝑡)

— действие как функция обобщённых координат.

Канонические переменные «действие–угол»

Пусть:

1. Система консервативна(𝜕𝐻

𝜕𝑡= 0

).

2. Система совершает движение, близкое к периодическому.3. Функция Гамильтона в тех переменных, в которых допускается их полное разделение,существует.

Пример

62






𝐻 =𝑝2

2𝑚𝑅2+𝑚𝑔𝑅(1− cos𝜙), 𝜔 =

√𝑔

𝑅.

Если 𝐻0 > 2𝑚𝑔𝑅, то возможны враще-ния.

Здесь и далее набор неаддитивных констант 𝛽 переобозначается как .

𝑆 = −𝐻0𝑡+ 𝑆0(, )⏟ ⏞ укороченное действие

(1)

𝑆0(, ) =𝑠∑𝑗=1

𝑆0𝑗(𝑞𝑗, ) (3)

Определим новые импульсы:

𝐽𝑗 =1

2𝜋

∮𝑃𝑗(𝑞𝑗)𝑑𝑞𝑗 ≡

1

2𝜋

∮𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑗𝑑𝑞𝑗 =

1

2𝜋

∮𝜕𝑆0𝑗

𝜕𝑞𝑗𝑑𝑞𝑗 — переменные действия =⇒

=⇒ 𝐽𝑗 = 𝐽𝑗(𝛼1, ..., 𝛼𝑠).

Построим функцию канонического преобразования: 𝑆0(, ) −→ 𝑆0(, 𝐽1, ..., 𝐽𝑠) −→ класс

𝐹2. 𝐻0 = 𝐻(𝛼1, ..., 𝛼𝑠), 𝐻 ′ = 𝐻(𝐽1, ..., 𝐽𝑠). 𝑄𝑗 =𝜕𝑆0

𝜕𝐽𝑗= 𝜙𝑗 — угол =⇒ (𝐽𝑗, 𝜙𝑗).

∃𝐹2(𝑞, 𝑃, 𝑡) = 𝐹 (𝑞, 𝑃, 𝑡).⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩𝑐𝑝𝑖 =

𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑖,

𝑄𝑖 =𝜕𝐹2

𝜕𝑃𝑖,

𝐾 = 𝑐𝐻 +𝜕𝐹2

𝜕𝑡,

(𝑝, 𝑞, 𝑡)𝑐 = 1 ↓

−→ 𝐻+𝜕𝐹

𝜕𝑡= 0.

𝐾 = 0 ↑(𝑞, 𝑃, 𝑡)

𝑝𝑖 =𝜕𝐹

𝜕𝑞𝑖(𝑞, 𝑃, 𝑡), 𝐻

(𝜕𝐹

𝜕𝑞, 𝑞, 𝑡

), 𝐹 = 𝐹 (𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝑡;𝐶1, ..., 𝐶𝑠) + 𝐶𝑠+1 — полный интеграл.

⎧⎪⎨⎪⎩𝑖 =

𝜕𝐾

𝜕𝑃𝑖= 0, 𝑄𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝛽𝑖

𝑖 =𝜕𝐾

𝜕𝑄𝑖

= 0, 𝑃𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝛼𝑖

63






С одной стороны, 𝐹 = 𝐹2(𝑞, 𝑃, 𝑡) = 𝐹2(𝑞, 𝛼, 𝑡). С другой, полный интеграл уравненияГамильтона–Якоби 𝐹 = 𝐹 (𝑞, 𝐶, 𝑡) + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =⇒ 𝛼𝑖 ≡ 𝐶𝑖 ≡ 𝑃𝑖.⎧⎪⎨⎪⎩

𝑝𝑖 =𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑖, (а)

𝑄𝑖 =𝜕𝐹2

𝜕𝑃𝑖, (б)

(а) 𝑝𝑖 =𝜕𝐹2(𝑞, 𝛼, 𝑡)

𝜕𝑞𝑖= 𝑓𝑖(𝑞, 𝛼⏟ ⏞

=S штук, 𝑡) =⇒ 𝛼𝑖 = 𝛼𝑖(𝑞, 𝑝, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 −→ интеграл движения.

(б) 𝑄𝑖⏟ ⏞ =𝛽𝑖

=𝜕𝐹2

𝜕𝑃𝑖=⇒ 𝛽𝑖 =

𝜕𝐹 (𝑞, 𝛼, 𝑡)

𝜕𝛼𝑖=⇒ 𝛽𝑖 = 𝛽𝑖(𝑞, 𝛼, 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 −→ закон движения

=⇒ 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖(𝛼, 𝛽, 𝑡) −→ закон движения.

𝑆 = −𝐻0𝑡+ 𝑆0(, ⏟ ⏞ — импульсы

)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝑗 =

𝜕𝐻 ′(𝐽1, ..., 𝐽𝑠)

𝜕𝐽𝑗

𝐽𝑖 = −𝜕𝐻′

𝜕𝜙𝑗= 0

— уравнения Гамильтона =⇒ 𝐽𝑗 = 𝐽𝑗0, 𝜙𝑗 =𝜕𝐻 ′

𝜕𝐽𝑗⏟ ⏞ ≡𝜔𝑗

𝑡+ 𝜙𝑗0.

∆𝜙𝑗𝑘⏟ ⏞ изменение i–го 𝜙 с изменением k–го q

=∮ 𝜕𝜙𝑗𝜕𝑞𝑘

𝑑𝑞𝑘 =𝜕

𝜕𝐽𝑗

∮𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑘⏟ ⏞ =2𝜋𝐽𝑘

𝑑𝑞𝑘 = 2𝜋𝛿𝑖𝑗, ∆𝜙𝑗𝑗 = 2𝜋, с другой стороны,

∆𝜙𝑗 = 𝜔𝑗𝑇𝑗 =⇒ 𝑇𝑗 =2𝜋

𝜔𝑗— период изменения импульса 𝑝𝑗, 𝑞𝑗.

Двумерный анизотропный гармонический осциллятор

𝐻 =𝑝21 + 𝑝22

2𝑚+𝑘1𝑞

21

2+𝑘2𝑞

22

2, 𝑘1 = 𝑘2,

𝜕𝑆

𝜕𝑡+

1

2𝑚

(𝜕𝑆

𝜕𝑞1

)2

+

(𝜕𝑆

𝜕𝑞2

)2+𝑘1𝑞

21

2+𝑘2𝑞

22

2= 0, 𝑆 = −(𝛼1 + 𝛼2)𝑡+ 𝑆1(𝑞1) + 𝑆2(𝑞2)⏟ ⏞

=𝑆0(𝑞)

,

𝑔1(𝑝1, 𝑞1) =𝑝212𝑚

+𝑘1𝑞

21

2= 𝛼1, 𝑔2(𝑝2, 𝑞2) =

𝑝222𝑚

+𝑘2𝑞

22

2= 𝛼2,

𝐻0 = 𝛼1 + 𝛼2, 𝐽𝑖 =1

2𝜋

∮𝑝𝑖(𝑞𝑖)𝑑𝑞𝑖⏟ ⏞ =𝜋𝑎𝑖𝑏𝑖

=𝑎𝑖𝑏𝑖2, 𝑎𝑖 =

√2𝑚𝛼𝑖, 𝑏𝑖 =

√2𝛼𝑖𝑘𝑖,

𝐽𝑖 = 𝛼𝑖

√𝑚

𝑘𝑖, 𝐻 ′(𝐽1, 𝐽2) = 𝐽1

√𝑘1𝑚

+ 𝐽2

√𝑘2𝑚,

𝜔1 =𝜕𝐻 ′

𝜕𝐽1=

√𝑘1𝑚, 𝜔2 =

𝜕𝐻 ′

𝜕𝐽2=

√𝑘2𝑚.

64






𝑝2𝑖2𝑚

+𝑘𝑖𝑞

2𝑖

2= 𝐽𝑖

√𝑘𝑖𝑚

=⇒ 𝐽𝑗 =𝐸0𝑗

𝜔𝑗, 𝜙𝑗 =

𝜕𝑆0

𝜕𝐽𝑗, 𝑆0(, ) = 𝑆1(𝑞1) + 𝑆2(𝑞2),

𝜕𝑆𝑖𝜕𝑞𝑖

=

√2𝑚(𝛼𝑖 −

𝑘𝑖𝑞2𝑖

2

), 𝑆𝑖 =

∫𝑑𝑞𝑖

√2𝑚(𝛼𝑖 −

𝑘𝑖𝑞2𝑖

2

), 𝑆𝑖 =

∫𝑑𝑞𝑖

√2𝑚(𝜔𝑖𝐽𝑖 −

𝑘𝑖𝑞2𝑖

2

),

𝜙𝑖 =𝜕𝑆0

𝜕𝐽𝑖=𝜕𝑆𝑖𝜕𝐽𝑖

=

√2𝑚𝜔𝑖2

∫𝑑𝑞𝑖√

𝐽𝑖 −𝑚𝜔𝑖𝑞

2𝑖

2

=

∫𝑑𝑞𝑖√

2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

− 𝑞2𝑖= arcsin

𝑞𝑖√2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

,

∆𝜙𝑖 = 2 arcsin𝑞𝑖√2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

⎯ 2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

−

⎯ 2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

= 2𝜋.

Алгоритм решения (поиска 𝜔𝑗):1. 𝑝𝑗(𝑞𝑗;𝛼1, ..., 𝛼𝑠).

2. Найти 𝐽𝑗 = 𝐽𝑗(𝛼1, ..., 𝛼𝑠)

(𝐽𝑗 =

1

2𝜋

∮𝑝𝑗(𝑞, )𝑑𝑞𝑗

).

3. 𝐻() −→ 𝐻(𝐽1, ..., 𝐽𝑠).

4. 𝜔𝑗 =𝜕𝐻

𝜕𝐽𝑗.

Центральное поле

𝑈(𝑟) = −𝑎𝑟

+𝑏

𝑟2, 𝐻 =

𝑃 2𝑟

2𝑚+

𝑃 2𝜙

2𝑚𝑟2− 𝑎

𝑟+

𝑏

𝑟2, = 𝑥, 𝑦, 𝑟 =

√𝑥2 + 𝑦2,

𝜕𝑆

𝜕𝑡+

1

2𝑚

(𝜕𝑆

𝜕𝑟

)2

+

(𝜕𝑆

𝜕𝜙

)21

𝑟2

− 𝑎

𝑟+

𝑏

𝑟2= 0, 𝑆 = − 𝐸0⏟ ⏞

=𝛼1

𝑡+ 𝑆𝑟(𝑟) + 𝐿0⏟ ⏞ =𝛼2

𝜙,

𝑑𝑆

𝑑𝑟=

∫ ⎯2𝑚(𝐸0 +

𝑎

𝑟− 𝑏

𝑟2− 𝐿2

0

2𝑚𝑟2⏟ ⏞ =−

𝑟2

),

= 𝑏+𝐿20

2𝑚, 𝐽𝜙 =

1

2𝜋

2𝜋∫0

𝜕𝑆0

𝜕𝜙𝑑𝜙 = 𝐿0, 𝐽𝑟 = 2

1

2𝜋

𝑟𝑚𝑎𝑥∫𝑟𝑚𝑖𝑛

√2𝑚(𝐸0 +

𝑎

𝑟−

𝑟2)𝑑𝑟 =

=

(−√

𝐿20⏟ ⏞

=𝐽2𝜙

+2𝑚𝑏+

√𝑚𝑎2

−2𝐸0

)2

,

𝐸0 =−𝑚𝑎2

2(𝐽𝑟 +

√𝐽2𝜙 + 2𝑚𝑏

)2 · 2, 𝐻 = − 𝑚𝑎2(𝐽𝑟 +


)2 .65






𝜔𝑟 =𝜕𝐻

𝜕𝐽𝑟=

2𝑚𝑎2(𝐽𝑟 +


)3 , 𝜔𝜙 =𝜕𝐻

𝜕𝐽𝜙=

2𝑚𝑎2(𝐽𝑟 +


)3 1

2√𝐽2𝜙 + 2𝑚𝑏

· 2𝐽𝜙⏟ ⏞ =

1√1 +

2𝑚𝑏

𝐽2𝜙

=1

𝛾

, 𝜔𝑟 =𝜔𝜙𝛾.

Если 𝛾 =𝑘

𝑛, 𝑘, 𝑛 ∈ N, то говорят о вырождении частот.

𝑏 = 0 =⇒ 𝛾 = 1 =⇒ 𝜔𝑟 = 𝜔𝜙 — полностью вырожденное движение. 𝑇𝑟 = 𝑇𝜙, 𝑇𝑟 =2𝜋

𝜔𝑟,

𝑇𝜙 =2𝜋

𝜔𝜙.

Условно периодическое движение

Движение является условно периодическим, если ∀𝑖 : 𝑝𝑖(𝑞𝑖, ) — либо замкнутая кривая(либрация), либо периодическая по 𝑞𝑖 функция (вращение).

Рассмотрим однозначную функцию 𝐹 (, 𝑝).𝐹 (, 𝑝) −→ 𝐹 (𝜙, 𝐽), где 𝐹 (𝜙, 𝐽) — периодическая функция по 𝜙𝑖 с периодом 2𝜋,∀𝑖.

𝐹 (, 𝑝) =∞∑

𝑒1=−∞

...∞∑

𝑒𝑠=−∞

C(𝐽)

exp𝑖(𝑒1𝜙1+...+𝑒𝑠𝜙𝑠) =

𝜙𝑗 = 𝜔𝑗𝑡+ 𝜙𝑗0⏟ ⏞

≡0

, 𝜔𝑗 =𝜕𝐻 ′

𝜕𝐽𝑗

=

=∞∑

𝑒1=−∞

...∞∑

𝑒𝑠=−∞

C(𝐽)

exp𝑖(𝑒1𝜔1+...+𝑒𝑠𝜔𝑠) .

Невырожденное движение: нет кратных частот.Частично вырожденное движение: 𝑛1𝜔1 = 𝑛2𝜔2.Полностью вырожденное движение: 𝑛1𝜔1 = ... = 𝑛𝑠𝜔𝑠.Пусть 𝑛1𝜔1 = 𝑛2𝜔2.

𝜔1,2 =𝜕𝐻

𝜕𝐽1,2, где 𝐻 = 𝐻(𝐽1, ..., 𝐽𝑠) =⇒ 𝐻(𝑛2𝐽1 + 𝑛1𝐽2, 𝐽3, ..., 𝐽𝑠). Действительно,

𝜔1𝑛1 = 𝜔2𝑛2 =⇒ 𝜕𝐻

𝜕𝐽1𝑛1 =

𝜕𝐻

𝜕𝐽2𝑛2 =⇒ если 𝐻(𝑛2𝐽1 + 𝑛1𝐽2⏟ ⏞

=𝐼

, 𝐽3, ..., 𝐽𝑠) =⇒ 𝜕𝐻

𝜕𝐼𝑛2𝑛1 =

𝜕𝐻

𝜕𝐼𝑛1𝑛2.

Итак, 𝐻(𝐽1, ..., 𝐽𝑠) = 𝐻(𝑛2𝐽1 + 𝑛1𝐽2, 𝐽3, ..., 𝐽𝑠) .

Неизотропный гармонический осциллятор

𝐻 =𝑝21 + 𝑝22

2𝑚+𝑘1𝑞

21 + 𝑘2𝑞

22

2, 𝑞1 −→ 𝑥, 𝑞2 −→ 𝑦

66






⎧⎨⎩𝑝2𝑖2𝑚

+𝑘𝑖𝑥

2𝑖

2= 𝛼𝑖,

𝐻 = 𝛼1 + 𝛼2,

𝐽𝑖 =

√𝑚

𝑘𝑖𝛼𝑖, 𝑆0 = 𝑆1(𝑞1) + 𝑆2(𝑞2), 𝑆𝑖(𝑞𝑖) =

∫ ⎯2𝑚(𝛼𝑖⏟ ⏞

=𝐽𝑖𝜔𝑖

−𝑘𝑖𝑞2𝑖

2

)𝑑𝑞𝑖 =

=

∫ √2𝑚(𝐽𝑖𝜔𝑖 −

𝑚𝜔2𝑖 𝑞

2𝑖

2

)𝑑𝑞𝑖 =

√2𝑚

𝜔𝑖√2

∫ √2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

− 𝑞2𝑖 𝑑𝑞𝑖,

𝜙𝑖 =𝜕𝑆𝑖𝜕𝐽𝑖

=

∫𝑑𝑞𝑖√

2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

− 𝑞2𝑖= arcsin

𝑞𝑖√2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

, 𝐻 = 𝐽1𝜔1 + 𝐽2𝜔2,

𝑝2𝑖2𝑚

+𝑚𝜔2

𝑖 𝑞2𝑖

2= 𝜔𝑖𝐽𝑖 −→ 𝑝𝑖 = 𝑚𝜔𝑖

√2𝐽𝑖𝑚𝜔𝑖

− 𝑞2𝑖 .

𝑘1 = 𝑘2 =⇒ 𝜔1 = 𝜔2 — полное вырождение

𝐻 =𝑝2𝑥2𝑚

+𝑝2𝑦2𝑚

+𝑘1𝑥

2 + 𝑘2𝑦2

2,

𝐽1 = 𝐽𝑥0 𝜙1 = 𝜔1𝑡 + 𝜙10

𝐽2 = 𝐽𝑦0 𝜙2 = 𝜔2𝑡 + 𝜙20, 𝜔1 = 𝜔2

(𝑥, 𝑦, 𝑝𝑥, 𝑝𝑦) −→ двумерный тор

⎧⎪⎨⎪⎩𝑝2𝑥2𝑚

+𝑚𝜔2

0𝑥2

2= 𝐽𝑥0, 𝑆

(1)

𝑝2𝑦2𝑚

+𝑚𝜔2

0𝑦2

2= 𝐽𝑦0, 𝑆

(1)

−→ 𝑆(1) × 𝑆(1).

𝑥(𝑡) =

√2𝐽𝑥0𝑚𝜔1

sin(𝜔1𝑡+ 𝜙10), 𝑦(𝑡) =

√2𝐽𝑦0𝑚𝜔2

sin(𝜔2𝑡+ 𝜙20).

Если 𝑘1 = 𝑘2, то 𝜔1 = 𝜔2 — полностью вырожденное движение.

𝐻 =𝑝2𝑥2𝑚

+𝑝2𝑦2𝑚

+𝑘

2(𝑥2 + 𝑦2) — изотропный осциллятор.

В полярных координатах: 𝐻 =𝑃 2𝑟

2𝑚+𝑃 2𝜙

2𝑚+𝑘𝑟2

2.

В ФП (𝑟, 𝜙, 𝑃𝑟, 𝑃𝜙): 𝐽𝜙 ≡ 𝑃𝜙 = 𝐿0 — момент импульса частицы.

𝐽𝑟 ≡1

𝜔𝐻(𝑃𝑟, 𝑟, 𝐿)− 𝐿0 = 𝐽𝑟0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑆0 = 𝑆0(𝜙, 𝑟, 𝐽𝑟, 𝐽𝜙) = 𝐿0𝜙+ 𝑆1(𝑟, 𝐽𝑟, 𝐽𝜙),

𝜙1 =𝜕𝑆0

𝜕𝐽𝑟, 𝜙2 =

𝜕𝑆0

𝜕𝐽𝜙.

67






Лекция 14

Адиабатические инварианты и переменные действия

1. Система консервативна.2. Задача допускает разделение переменных.Все параметры функции Гамильтона меняются достаточно медленно; параметр 𝜆𝑖, 𝑇 —

период движения в системе.

𝑖𝑇 ≪ 𝜆𝑖, 𝜆𝑖 = 𝜆𝑖(𝑡). 𝐻(𝑔1(𝑞1, 𝑝1, 𝜆1), ..., 𝑔𝑠(𝑞𝑠, 𝑝𝑠, 𝜆𝑠)).

Уравнения Гамильтона–Якоби можно решать при 𝜆𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑆 = −𝐻(𝛼1, ..., 𝛼𝑠)𝑡+ 𝑆0(, , ), 𝐻 = 𝐻(𝑔1(𝑞1,𝜕𝑆0

𝜕𝑞1⏟ ⏞ =𝛼1

, 𝜆1), ..., 𝑔𝑠(𝑞𝑠,𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑠⏟ ⏞ =𝛼𝑠

, 𝜆𝑠)) = 𝐻0,

𝑆 = −𝐻0𝑡+ 𝑆0(, , ), 𝑆0(, 𝐽, ) , 𝐻0 = 𝐻(𝐽1, ..., 𝐽𝑠).

𝑝𝑗 =𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑗, 𝜙𝑗 =

𝜕𝑆0

𝜕𝐽𝑗, 𝐻 ′ = 𝐻(𝐽1, ..., 𝐽𝑠) +

𝜕𝑆0

𝜕𝑡= 𝐻(𝐽) +

∑𝑘

𝜕𝑆0

𝜕𝜆𝑘𝑘.

(1) 𝑗 =𝜕𝐻

𝜕𝐽𝑗+∑𝑘

𝜕2𝑆0

𝜕𝐽𝑗𝜕𝜆𝑘𝑘, (2) 𝐽𝑗 =

𝜕𝐻 ′

𝜕𝜙𝑗= −

∑𝑘

𝜕2𝑆0

𝜕𝜙𝑗𝜕𝜆𝑘𝑘.

(1), (2) — уравнения Гамильтона в переменных «действие–угол».

𝜙𝑗 =𝜕𝑆0(, 𝐽, )

𝜕𝐽𝑗, 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗(, 𝐽).

Адиабатические инварианты

Интервал 𝑇 ≫ 𝑇𝜔 — период в системе. 𝑇𝜆 ≫ 𝑇 .

Определение. 𝑓 =1

𝑇

𝑇∫0

𝑓(𝑡)𝑑𝑡,

¯𝐽𝑗 = −¯∑

𝑘

𝜕2𝑆0

𝜕𝜙𝑗𝜕𝜆𝑘𝑘.

𝜕𝑆0

𝜕𝜆𝑘— периодическая функция по угловым переменным.

¯𝐽𝑗 = 0 =⇒ 𝐽𝑗 = 𝐽𝑗0.Пример. 𝑒,𝑚, 𝑈(𝑟), (𝑡) 𝑧 — медленная функция времени.(𝑟, 𝜃, 𝜙)←→ (𝑞1, 𝑞2, 𝑞3).

𝐿 =𝑚

2

(2 + 𝑟2𝜃2 + 𝑟2 sin2 𝜃2

)+𝐻𝑒

2𝑐𝑟2 sin2 𝜃−𝑈(𝑟), 𝐸 =

𝑚

2

(2 + 𝑟2𝜃2 + 𝑟2 sin2 𝜃2

)+𝑈(𝑟),

𝑃𝑟 =𝜕𝐿

𝜕= 𝑚, 𝑃𝜃 = 𝑚𝑟2𝜃, 𝑃𝜙 = 𝑚𝑟2 sin2 𝜃+

𝐻𝑒

2𝑐𝑟2 sin2 𝜃 −→ =

𝑃𝜙𝑚𝑟2 sin2 𝜃

− 𝑒𝐻

2𝑚𝑐,

68






𝐻 =𝑃 2𝑟

2𝑚+

𝑃 2𝜃

2𝑚𝑟2+

𝑃 2𝜙

2𝑚𝑟2 sin2 𝜃− 𝑒𝐻

2𝑚𝑐𝑃𝜙 +

𝑒2𝐻2

8𝑚𝑐2𝑟2 sin2 𝜃⏟ ⏞ −→0

+𝑈(𝑟), (поле слабое =⇒ 𝐻2 −→ 0)

𝑆 = −𝐸𝑡+𝑃𝜙0𝜙+𝑆𝑟(𝑟)+𝑆𝜃(𝜃),1

2𝑚

(𝜕𝑆𝑟𝜕𝑟

)2

+1

2𝑚𝑟2

(𝜕𝑆𝜃𝜕𝜃

)2

+𝑃 2𝜙0

2𝑚𝑟2 sin2 𝜃− 𝑒𝐻

2𝑚𝑐𝑃𝜙0+𝑈(𝑟) = 𝐸

𝑃 2𝜃 +

𝑃 2𝜙0

sin2 𝜃= 𝛼2 −→ 𝑃𝜃 =

√𝛼1 −

𝑃 2𝜙0

sin2 𝜃.

Введём теперь переменные действия:

𝐽𝜙 =1

2𝜋

2𝜋∫0

𝑃𝜙𝑑𝜙 = 𝑃𝜙0, 𝐽𝜃 =1

2𝜋

𝜃2∫𝜃1

𝑃𝜃(𝜃)𝑑𝜃 · 2 =1

𝜋

𝜃2∫𝜃1

𝑃𝜃(𝜃)𝑑𝜃,

𝐽𝑟 =1

2𝜋

𝑟𝑚𝑎𝑥∫𝑟𝑚𝑖𝑛

√2𝑚(𝐸 +

𝑒𝐻0

2𝑚𝑐𝑃𝜙0 − 𝑈(𝑟)

)− 𝛼2

𝑟2𝑑𝑟 · 2,

(𝐽𝑟 =

1

2𝜋

∮𝑃𝑟(𝑟)𝑑𝑟

).

𝐽𝜙, 𝐽𝜃 — точные адиабатические инварианты.

𝐽𝑟 ≡ 𝐽𝑟0

(𝐸 +

𝑒𝐻

2𝑚𝑐𝑃𝜙0, 𝛼2⏟ ⏞

параметры

)= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐸 +

𝑒𝐻

2𝑚𝑐𝑃𝜙0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐸0 , 𝐸0 −

𝑒𝐻(𝑡)

2𝑚𝑐𝑃𝜙0 = 𝐸.

Параметры 𝐸, 𝑃𝜙 — асимптотически зависимые.

Двумерный неизотропный осциллятор

Лекция 15

Кинематика твёрдого тела

Определение. Твёрдое тело (абсолютно) — система материальных точек, расстояния меж-ду которыми остаются неизменными при их движении. Твёрдое тело ≡ дискретная сово-

купность материальных точек.∑𝛼

𝑚𝛼 −→∫𝑉

𝜌𝑑𝑉 .

Положение твёрдлого тела определяется 6 координа-тами.

0 — полюс (центр инерции). — 3 координаты полюса (поступательное движе-

ние).

69






(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) — 3 угла, определяющих ориентацию осейотносительно 𝑋𝑌 𝑍 (вращение).

Бесконечно малое перемещение точки абсолютно твёрдого тела:

𝑑𝛼 = 𝑑0⏟ ⏞ сдвиг полюса

+ 𝑑𝛼⏟ ⏞ вращение

.

𝑑𝛼 = [𝛿 × 𝑑𝛼], 𝛿 — вектор бесконечно малого поворота (одинаков для любой точкитвёрдого тела), 𝛿 ось вращения =⇒ 𝑑𝛼 = 𝑑0 + [𝛿× 𝑑].

Промежуток времени 𝑑𝑡:

𝑑𝛼

𝑑𝑡⏟ ⏞ =𝛼

=𝑑0

𝑑𝑡⏟ ⏞ =0

+[𝛿

𝑑𝑡⏟ ⏞ =

×𝑑𝛼] −→ 𝛼 = 0 + [ × 𝛼] — скорость точки 𝛼.

= + [ × ].Пусть = ′ + (другая система отсчёта):

= + [ × ] + [ × ′].С другой стороны, = ′ + [′ × ′] =⇒

=⇒ ′ = +[× ], = ′ — не зависит от подвижнойсистемы отсчёта.

Выберем так, чтобы ′ = +[× ] = 0

𝑡=𝑡0

. Тогда движение твёрдого тела (в данный

момент времени) можно рассматривать как чистое вращение относительно мгновеннойоси вращения.

Пусть начало подвижной системы отсчёта выбрано в произвольной точке:

𝑃 =∑𝛼

𝑚𝛼

( + [ × 𝛼]

)= 𝑀 +𝑀 [, 𝑐] = 𝑀

( + [, 𝑐]

)— импульс твёрдого тела,

где 𝑐 =

∑𝛼

𝑚𝛼𝛼

𝑀, 𝑀 =

∑𝛼

𝑚𝛼.

— момент импульса относительно неподвижной системы отсчёта.

L =∑𝛼

𝑚𝛼

[( + 𝛼

),( + [, 𝛼]

)]= [, ] +𝑀 [𝑐 × ] +

∑𝛼

𝑚𝛼

[𝛼[, 𝛼]

]⏟ ⏞

обусловлено вращением твёрдого тела

,

𝑇 =1

2

∑𝛼

𝑚𝛼

( 2 + 2( , [ × 𝛼]) + [ × 𝛼]2

)=𝑀 2

2+𝑀 [ × 𝑐] +

1

2

∑𝛼

𝑚𝛼[, 𝛼]2⏟ ⏞ кинетическая энергия вращения

.

70






Если на твёрдое тело действуют внешние силы 𝐹𝛼, 𝐹𝑅𝛼, то:(1) ˙

𝑃 =∑𝛼

𝐹𝛼 +∑𝛼

𝐹𝑅𝛼 = 𝐹 + 𝐹𝑅, где 𝐹 — активные силы, 𝐹𝑅 — силы реакции.

(2) ˙𝐿 = 𝐹 + 𝑅, где 𝐹 =

∑𝛼

[𝛼, 𝐹𝛼], 𝑅 =∑𝛼

[𝛼, 𝐹𝑅𝛼].

(1), (2) определяют динамику твёрдого тела (6 скалярных уравнений).

Тензор инерции твёрдого тела и его свойства

−→ 𝑥𝑖 (тензорная запись).

вр =∑𝛼

𝑚𝛼

[𝛼[, 𝛼]

]=∑𝛼

𝑚𝛼

(2𝛼 − 𝛼(, 𝛼)

),

𝐿𝑖вр =∑𝛼

𝑚𝛼

(𝜔𝑖⏟ ⏞

=𝜔𝑘𝛿𝑖𝑘

𝑥2𝑙(𝛼) − 𝑥𝑖(𝛼)𝜔𝑘𝑥𝑘(𝛼))

= 𝐽𝑖𝑘𝜔𝑘, где

𝐽𝑖𝑘 =∑𝛼

𝑚𝛼

(𝑥2𝑙(𝛼)𝛿𝑖𝑘 − 𝑥𝑖(𝛼)𝑥𝑘(𝛼) — симметричный тензор 2–го ранга.

𝑇вр =1

2

∑𝛼

𝑚𝛼

2𝑥2𝑙(𝛼)⏟ ⏞

=𝜔𝑖𝜔𝑘𝛿𝑖𝑘𝑥2𝑙(𝛼)

−𝜔𝑖𝑥𝑖(𝛼)𝜔𝑘𝑥𝑘(𝛼)

=1

2

∑𝛼

𝑚𝛼

𝜔𝑖𝜔𝑘𝛿𝑘𝑖𝑥

2𝑙(𝛼)−𝜔𝑖𝜔𝑘𝑥𝑖(𝛼)𝑥𝑘(𝛼)

=𝐽𝑖𝑘𝜔𝑖𝜔𝑘

2,

2𝑥2𝑙(𝛼) − 𝜔𝑖𝑥𝑖(𝛼)𝜔𝑘𝑥𝑘(𝛼) = 22𝛼 − (, 𝛼)2 = [ × 𝛼]2, 𝜔𝑖 — компоненты в (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3).

𝐽𝑖𝑘 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∑𝛼

𝑚𝛼(𝑦2𝛼 + 𝑧2𝛼) −∑𝛼

𝑚𝛼𝑥𝛼𝑦𝛼 −∑𝛼

𝑚𝛼𝑥𝛼𝑧𝛼

−∑𝛼

𝑚𝛼𝑦𝛼𝑥𝛼∑𝛼

𝑚𝛼(𝑥2𝛼 + 𝑧2𝛼) −∑𝛼

𝑚𝛼𝑦𝛼𝑧𝛼

−∑𝛼

𝑚𝛼𝑧𝛼𝑥𝛼 −∑𝛼

𝑚𝛼𝑧𝛼𝑦𝛼∑𝛼

𝑚𝛼(𝑥2𝛼 + 𝑦2𝛼)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .

𝐽𝑖𝑘 −→ выбор системы координат −→ диагональный вид (главные оси инерции). Диа-гональные компоненты — осевые. Другие — центробежные.

𝐽𝑖𝑘 =

⎛⎝ 𝐽1 0 00 𝐽2 00 0 𝐽3

⎞⎠ — начало системы отсчёта выбрано в центре масс. 𝐽1, 𝐽2, 𝐽3 —

главные моменты инерции.𝐽1 = 𝐽2 = 𝐽3 — асимметрический волчок.𝐽1 = 𝐽2 = 𝐽3 — симметрический волчок.𝐽1 = 𝐽2 = 𝐽3 — шаровой волчок.𝐿1 = 𝐽1𝜔1, 𝐿2 = 𝐽2𝜔2, 𝐿3 = 𝐽3𝜔3 — в системе главных осей. Для шарового волчка = 𝐽.Теорема. Если 𝐽𝑖𝑘 — тензор в системе, связанной с центром масс, и если есть система,

полученная сдвигом на , то

𝐽′

𝑖𝑘 = 𝐽𝑖𝑘 +𝑀(𝑎2𝑙 𝛿𝑖𝑘 − 𝑎𝑖𝑎𝑘) — формула Штейнера.

71






Доказательство.

𝐽′

𝑖𝑘 =∑𝛼

𝑚𝛼(𝑥′2𝑙(𝛼)𝛿𝑖𝑘 − 𝑥

′

𝑖(𝛼)𝑥′

𝑘(𝛼)) =∑𝛼

𝑚𝛼

((𝑥𝑙(𝛼) + 𝑎𝑙)

2⏟ ⏞ =𝑥2

𝑙(𝛼)+2𝑥𝑙(𝛼)𝑎𝑙+𝑎

2𝑙

𝛿𝑖𝑘 −(𝑥𝑖(𝛼) + 𝑎𝑖)(𝑥𝑘(𝛼) + 𝑎𝑘)

)⏟ ⏞ =𝑥𝑖𝑥𝑘+𝑎𝑖𝑎𝑘+𝑎𝑖𝑥𝑘+𝑎𝑘𝑥𝑖

=

= 𝐽𝑖𝑘 +𝑀(𝑎2𝑙 𝛿𝑖𝑘 − 𝑎𝑖𝑎𝑘) +∑𝛼

𝑚𝛼

((2𝑥𝑙(𝛼)𝑎𝑙)𝛿𝑖𝑘 − 𝑎𝑖𝑥𝑘⏟ ⏞

=𝑎𝑖𝑥𝑖𝛿𝑖𝑘

− 𝑎𝑘𝑥𝑖⏟ ⏞ 𝑥𝑖𝑎𝑖𝛿𝑖𝑘

)= 𝐽𝑖𝑘 +𝑀(𝑎2𝑙 𝛿𝑖𝑘 − 𝑎𝑖𝑎𝑘).

Углы Эйлера. Кинематические формулы Эйлера

𝑖 ←→ 𝑥𝑖𝑖 ←→ 𝑋𝑖

единичные орты

𝜃 ←→ [3, 3]𝜙, 𝜓 ∈ [0, 2𝜋], 𝜃 ∈ [0, 𝜋] — независимые координа-

ты.ℰ — линия узлов, единичный вектор.𝜓 ←→ [ℰ , 1], 𝜙←→ [1, ℰ ].

𝑑𝜒 — вектор бесконечно малого поворота, 𝑑𝜒 = 𝑑𝜃 + 𝑑𝜙 + 𝑑𝜓 = 𝑑𝜃ℰ + 𝑑𝜙3 + 𝑑𝜓3,𝑑𝜒

𝑑𝑡= 𝜃ℰ + 3 + 3, · 𝑖 = 𝜔𝑖 = 𝜃(ℰ , 𝑖) + (3, 𝑖) + (3, 𝑖).⎧⎪⎨⎪⎩

𝜔1 = sin 𝜃 sin𝜓 + 𝜃 cos𝜓

𝜔2 = sin 𝜃 cos𝜓 − 𝜃 sin𝜓

𝜔3 = cos 𝜃 +

— кинематические формулы Эйлера.

Лекция 16Динамические уравнения Эйлера

В системе отсчёта, где 𝐽𝑖𝑘 имеет диагональный вид, 𝐿𝑖 = 𝐽𝑖𝜔𝑖 — в подвижной системеотсчёта. = 𝐿𝑖𝑖, вычислим ˙

𝐿.

˙𝐿 = 𝐽𝑖𝑖𝑖 + 𝐿𝑖 ˙𝑒𝑖⏟ ⏞

=[×𝑖]

= 𝐽𝑖𝑖𝑖 + [ × ] = 𝐽𝑖𝑖𝑖 +

⎡⎢⎢⎣1 2 3𝜔1 𝜔2 𝜔3

𝐿1⏟ ⏞ =𝐽1𝜔1

𝐿2⏟ ⏞ =𝐽2𝜔2

𝐿3⏟ ⏞ =𝐽3𝜔3

⎤⎥⎥⎦ = .

⎧⎪⎨⎪⎩𝐽11 + (𝐽3 − 𝐽2)𝜔2𝜔3 = 𝑀1

𝐽22 + (𝐽1 − 𝐽3)𝜔1𝜔3 = 𝑀2

𝐽33 + (𝐽2 − 𝐽1)𝜔1𝜔2 = 𝑀3

— динамические уравнения Эйлера.

72






Тяжёлый симметричный волчок

𝑀 , 𝐽1 = 𝐽2, 𝐽3𝑙 — расстояние от неподвижной точки до центра

масс.Выберем подвижную систему отсчёта в центре

масс.

По теореме Штейнера,

𝐽𝑖𝑘 = 𝐽𝑖𝑘 +𝑀(𝑎2𝑗𝛿𝑖𝑘 − 𝑎𝑖𝑎𝑘), 𝐽22 = 𝐽11 = 𝐽1 +𝑀𝑙2, 𝐽33 = 𝐽3.

Кинетическая энергия твёрдого тела:

𝑇 =𝐽11(𝜔

21 + 𝜔2

2) + 𝐽33𝜔23

2=

(𝐽1 +𝑀𝑙2)(2 sin2 𝜃 + 𝜃2) + 𝐽3( + cos 𝜃)2

2,

𝑈 = 𝑀𝑔𝑙 cos 𝜃, 𝐽1 +𝑀𝑙2 ≡ 𝐽.

𝐿 =(𝐽1 +𝑀𝑙2)(2 sin2 𝜃 + 𝜃2) + 𝐽3( + cos 𝜃)2

2−𝑀𝑔𝑙 cos 𝜃

Интегралы движения:

𝐸0 =𝐽(2 sin2 𝜃 + 𝜃2)

2+𝐽3( + cos 𝜃)2

2+𝑀𝑔𝑙 cos 𝜃,

𝜕𝐿

𝜕= 𝐽 ·2 sin2 𝜃

1

2+𝐽3·2(+ cos 𝜃)

cos 𝜃

2=

= 𝐽 sin2 𝜃 + 𝐽3( + cos 𝜃) cos 𝜃 = 𝑃𝜙0, (вращение вокруг Z)𝜕𝐿

𝜕= 𝐽3( + cos 𝜃) = 𝑃𝜓0. (собственное вращение)

=𝑃𝜙0 − 𝑃𝜓0 cos 𝜃

𝐽 sin2 𝜃=⇒ 𝐸0 = 𝑀𝑔𝑙 cos 𝜃 +

𝑃 2𝜓0

2𝐽3+𝐽𝜃2

2+

(𝑃𝜙0 − 𝑃𝜓0 cos 𝜃)2

2𝐽 sin2 𝜃,

𝐽𝜃2

2= −𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜃), где = 𝐸0−

𝑃 2𝜓0

2𝐽3−𝑀𝑔𝑙, 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜃) =

(𝑃𝜙0 − 𝑃𝜓0 cos 𝜃)2

2𝐽 sin2 𝜃−𝑀𝑔𝑙(1− cos 𝜃).

𝑡− 𝑡0 = ±𝜃∫𝜃0

𝑑𝜃√2

𝐽( − 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝜃))

73






Лекция 17

Кинематика сплошной среды

𝐴 — полюс системы отсчёта.Физически бесконечная частица ⇐⇒ элементар-

ный объём (частица жидкости).

Гипотеза сплошности

Среда полностью заполнена физически бесконечно малыми частицами. В окрестноститочки наблюдения всё движется поступательно, примерно с одинаковой скоростью.

Элементарный объём — физически бесконечно малая частица, движущаяся со скоро-стью (скорость сплошной среды в точке).𝑁𝑉 ≫ 𝑁Δ𝑉 ≫ 1, ∆𝑉 ≪ 𝑉 — для физически бесконечно малой частицы =⇒ 𝜌(𝜇), (𝜇) ∈∈ 𝐶[𝑉 ].

Поле скоростей, поле плотностей массы — параметры сплошной среды, непрерывныефункции координат и времени.

1. Лагранжев подход.0, 𝑡0 ←→ ∀ элементарному объёму (физически бесконечно малой частице). Не годится

при деформациях.2. Эйлеров подход., 𝑡←→ точке пространства, в которую приходит физически бесконечно малая частица

(элементарный объём).

= 0 + ′ (радиус–вектор точки 𝐵).(∆𝑉 )1/3 ≪ 𝑉 1/3

За промежуток времени 𝑑𝑡 физически бесконечномалая частица переместится на 𝑑:

𝑑 = 𝑑0 + 𝑑′ =⇒ 𝑑′ = 𝑑 − 𝑑0.

≡ 𝑑 =⇒ (, 𝑡) — поле перемещений .Поэтому 𝑑0 = (0, 𝑡). Тогда 𝑑′ = (, 𝑡)− (0, 𝑡).Предположим, что — достаточно гладкая функция. Учтём, что |′| ≪ ||. Тогда:

𝑑′ = (, 𝑡)− ( 0⏟ ⏞ =−′

, 𝑡) =

⎛⎝ 𝑢1()− 𝑢1(0)𝑢2()− 𝑢2(0)𝑢3()− 𝑢3(0)

⎞⎠ = (′ · ∇) =

⎛⎝ (′ · ∇)𝑢1(′ · ∇)𝑢2(′ · ∇)𝑢3

⎞⎠ =⇒

74






=⇒ 𝑑𝑥′

𝑖 = 𝑥′

𝑘

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑢𝑖,

𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

=1

2

(𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘− 𝜕𝑢𝑘𝜕𝑥𝑖

)⏟ ⏞ =𝜒𝑘𝑖 (антисим.)

+1

2

(𝜕𝑢𝑘𝜕𝑥𝑖

+𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

)⏟ ⏞

=𝜀𝑘𝑖 (сим.)

.

Рассмотрим 𝜒𝑘𝑖 = −𝜒𝑖𝑘 −→ три независимые компоненты −→ поставим в соответствиетрёхмерный вектор по следующему правилу:

𝑑𝜒𝑖 = 𝑒𝑖𝑗𝑘𝜒𝑗𝑘 −→ (𝑑𝜒1, 𝑑𝜒2, 𝑑𝜒3) = (𝜒23, 𝜒31, 𝜒12) =1

2

(𝜕𝑢3𝜕𝑥2− 𝜕𝑢2𝜕𝑥3

,𝜕𝑢1𝜕𝑥3− 𝜕𝑢3𝜕𝑥1

,𝜕𝑢2𝜕𝑥1− 𝜕𝑢1𝜕𝑥2

)=⇒

=⇒ 𝑑𝜒1

2[∇ × ] =

1

2𝑅𝑜𝑡 ,

𝑑𝑥′

𝑖 = 𝜒𝑘𝑖𝑥′

𝑘 = 𝑒𝑙𝑘𝑖𝑑𝜒𝑙𝑥′

𝑘 = 𝑒𝑖𝑙𝑘𝑑𝜒𝑙𝑥′

𝑘 = [𝑑𝜒× ′]𝑖.

𝑑′ = [𝑑𝜒, 𝑑′] — поле бесконечно малых поворотов

𝜀𝑘𝑖 =1

2

(𝜕𝑢𝑘𝜕𝑥𝑖

+𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

)−→ 𝑑𝑥

′

𝑖 = 𝜀𝑘𝑖𝑥′

𝑘,𝜕Ψ

𝜕𝑥′𝑖

=1

2𝜀𝑘𝑗(𝛿𝑘𝑖𝑥

′

𝑗 + 𝑥′

𝑘𝛿𝑗𝑖) =1

2(𝜀𝑖𝑗𝑥

′

𝑗 + 𝜀𝑘𝑖𝑥′

𝑘).

Введём функцию Ψ =1

2𝜀𝑘𝑗𝑥

′

𝑘𝑥′𝑗. Тогда:

𝑑𝑥′

𝑖 =𝜕Ψ

𝜕𝑥′𝑖

=⇒ 𝑑′ = ∇′Ψ =⇒ 𝑑 = 𝑑0 + [𝑑𝜒× ′] + ∇′Ψ,

где 𝑑 — перемещение B, 𝑑0 — перемещение A, [𝑑𝜒× ′] — поворот B, ∇′Ψ — деформации

сплошной среды. Поэтому 𝜀𝑘𝑖 =1

2

(𝜕𝑢𝑖𝜕𝑥𝑘

+𝜕𝑢𝑘𝜕𝑥𝑖

)— тензор деформации. Приведём тензор

к диагональному виду в системе главных осей 𝑥′1, 𝑥

′2, 𝑥

′3: 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜀

′1, 𝜀

′2, 𝜀

′3) (в некоторой точке

сплошной среды). Отсюда следует, что все деформации сплошной среды можно свести ксуперпозиции 3–х элементарных.𝑉 = 𝑥

′1𝑥

′2𝑥

′3 — элементарный объём в форме параллелепипеда.

𝑉 + 𝑑𝑉⏟ ⏞ изменение объёма за счёт деформаций

= 𝑉 (1 + 𝜀′

1)(1 + 𝜀′

2)(1 + 𝜀′

3)∼= 𝑉 (1 + 𝜀

′

1 + 𝜀′

2 + 𝜀′

3),

𝑑𝑉

𝑉= 𝜀

′

1 + 𝜀′

2 + 𝜀′

3 = 𝑖𝑛𝑣 =𝜕𝑢1𝜕𝑥1

+𝜕𝑢2𝜕𝑥2

+𝜕𝑢3𝜕𝑥3

= 𝑑𝑖𝑣 (, 𝑡).

Поле скоростей

Определение. 𝑑 = 𝑑𝑡.

𝑢𝑖 = 𝑣𝑖𝑑𝑡 =⇒

𝜒𝑘𝑖 = 𝜔𝑘𝑖𝑑𝑡

𝜀𝑘𝑖 = 𝑣𝑘𝑖𝑑𝑡, где

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝜔𝑘𝑖 =

1

2

(𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘− 𝜕𝑣𝑘𝜕𝑥𝑖

),

𝑣𝑘𝑖 =1

2

(𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘

+𝜕𝑣𝑘𝜕𝑥𝑖

).

— угловая скорость элементарного объёма.

75






=𝑑

𝑑𝑡— поле вихрей

=𝑑

𝑑𝑡

(1

2𝑅𝑜𝑡

)=

1

2𝑅𝑜𝑡 . Далее введём функцию Φ =

1

2𝑣𝑘𝑖𝑥

′

𝑘𝑥′𝑖.

𝑑 = 𝑑0 + 𝑑′ =⇒ = 0 + [ × ′] + ∇′Φ,

где — скорость B относительно неподвижной системы отсчёта, [× ′] — поворот B, ∇′Φ— скорость деформации сплошной среды.

𝑑

𝑑𝑡

(𝑑𝑉

𝑉

)=𝜕𝑣1𝜕𝑥1

+𝜕𝑣2𝜕𝑥2

+𝜕𝑣3𝜕𝑥3

= 𝑑𝑖𝑣 .

Несжимаемость ⇐⇒ 𝑑𝑖𝑣 = 0.

Лекция 18

Уравнения движения сплошной среды

Определение. Объёмные силы (массовые) — силы дальнего действия (не убывают помере продвижения вглубь объёма), действуют одинаково на весь объём.

𝐹 (, 𝑡) ∼ 𝜌(, 𝑡)∆𝑉 𝑓(, 𝑡).

Определение. Поверхностные силы — действуют на вещество, примыкающее к границеобъёма (глубина проникновения мала): 𝐹 (, 𝑡, )∆𝑆, где — нормаль к поверхности.

𝐹1(, 𝑡, ), 𝐹2(, 𝑡,−)

𝐹1(, 𝑡, ) = −𝐹2(, 𝑡,−)(3–й закон Ньютона)

=⇒ 𝐹 (, 𝑡, ) — нечётная функция , (1 = −2).

𝐹𝑖 = 𝑝𝑖𝑘(, 𝑡)𝑛𝑘 — можно представить в таком виде. 𝑝𝑖𝑘 — тензор локальных напряжений.𝑝𝑖𝑘 — 𝑖–я компонента поверхностной силы, действующая на площадь элемента поверх-

ности, ⊥ 𝑥𝑘.𝑝𝑖𝑘(, 𝑡) = 𝑝𝑘𝑖(, 𝑡) — симметричный тензор. Диагональные компоненты — нормальные

напряжения. Вне диагонали — касательные напряжения.𝑝𝑖𝑘 −→ локально приведём к виду: 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑝

′1 + 𝑝

′2 + 𝑝

′3).

𝜌 = 𝜌(, 𝑡), ∆𝑉 — выделенный элемент объёма.

𝜌∆𝑉𝑑𝑣𝑖𝑑𝑡

= 𝜌𝑓𝑖∆𝑉 +

∮𝑝𝑖𝑘𝑛𝑘𝑑𝑆⏟ ⏞

=∫𝑉

𝜕𝑝𝑖𝑘𝜕𝑥𝑘

Δ𝑉 ′=𝜕𝑑𝑝𝑖𝑘𝜕𝑥𝑘

Δ𝑉

— уравнение движения.

76






Таким образом, 𝜌𝑑𝑣𝑖𝑑𝑡

= 𝜌𝑓𝑖 +𝜕𝑝𝑖𝑘𝜕𝑥𝑘

. Учтём, что:

𝑑𝑣𝑖 =𝜕𝑑𝑣𝑖𝜕𝑡

𝑑𝑡+𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘

𝑑𝑥𝑘,𝑑𝑣𝑖𝑑𝑡

=𝜕𝑣𝑖𝜕𝑡

+ 𝑣𝑘𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘

,𝑑

𝑑𝑡=𝜕

𝜕𝑡+ (, ∇).

𝜌

(𝜕𝑑𝑣𝑖𝜕𝑡


)= 𝜌𝑓𝑖 +

𝜕𝑝𝑖𝑘𝜕𝑥𝑘

(1)

Запишем закон сохранения массы:

𝜕𝑚

𝜕𝑡= −Π⇐⇒ 𝜕

𝜕𝑡

∫𝜌𝑑𝑉 = −

∮(𝜌, )𝑑𝑆,

∫ (𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑣𝑖)

𝜕𝑥𝑖⏟ ⏞ =0

)𝑑𝑉 = 0.

𝜕𝜌


𝜕𝑥𝑖= 0 — уравнение неразрывности.

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣 𝜌 = 0 =

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ (∇, 𝜌) =

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌𝑑𝑖𝑣 + (, ∇)𝜌,

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌𝑑𝑖𝑣 = 0 (2)

(1), (2) образуют систему.Определение. Идеальной жидкостью называют жидкость, удовлетворяющую требова-

ниям:1. 𝑝𝑖𝑘 = −𝑝(, 𝑡)𝛿𝑖𝑘 — тензор локальных напряжений изотропен в любой точке среды.2. Отсутствуют процессы диссипации энергии, внутреннее трение; можно пренебречь

теплообменом между участками сплошной среды.⎧⎪⎨⎪⎩𝜌𝑑

𝑑𝑡= 𝜌𝑓 − ∇𝑝 (уравнение Эйлера)

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌𝑑𝑖𝑣 = 0 (уравнение неразрывности)

.

Баротропный процесс ←→ 𝜌 = 𝑓(𝑃 ) (пример изоэнтропического процесса, при котором𝑆(𝑝, 𝑣) = 𝑆0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡).

Итак, имеем 𝑆 уравнений и 𝑆 неизвестных функций 𝑝, 𝜌, , т.е. система замкнута.Пусть объёмные силы потенциальны, т.е. 𝑓 = −∇𝑢.Изменение удельной энергии:

𝑑𝑒

𝑑𝑡= −𝑝𝑑𝑉

𝑑𝑡, где 𝑉 =

1

𝜌.

Определение. Энтальпия −→ 𝑤 = 𝑒+ 𝑝1

𝜌(внутренняя энергия).

𝑑𝑤 = 𝑑𝑒⏟ ⏞ =−𝑝𝑑𝑉

+𝑑𝑝𝑉 + 𝑝𝑑𝑉 = 𝑉 𝑑𝑝 =⇒ ∇𝑤 =∇𝑝𝜌.

В уравнении Эйлера:𝑑

𝑑𝑡= 𝑓 − ∇𝑝

𝜌=𝜕

𝜕𝑡+ (, ∇)⏟ ⏞

=∇𝑣2

2−[[∇,]]

, [[∇, ]] = ∇(, )− (∇, ),

77






𝑑

𝑑𝑡+ 2[, ] = −∇

(𝑣2

2+ 𝑤 + 𝑢

), где учтено, что =

1

2∇, ] — вектор вихря.

Получим уравнение Эйлера в дифференциальной форме для идеальной жидкости впотенциальном поле объёмных сил.

Определение. Линии тока — линии, касательные к которым в точке касания указываютнаправление течения жидкости.

𝑑

𝑑𝑆=

𝑣=⇒ 𝑑𝑥

𝑉𝑥=𝑑𝑦

𝑉𝑦=𝑑𝑧

𝑉𝑧.

Определение. Установившееся (стационарное) течение — в любой точке пространстваскорость не зависит от времени.

2[, ] = −∇(2

2+ 𝑤 + 𝑢

) · (касательный вектор), ∇

(𝑣2

2+ 𝑤 + 𝑢

)= 0,

(2

2+ 𝑤 + 𝑢

)= 𝑃0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (вдоль определённой линии тока) — интеграл Бернулли.

Определение. Потенциальное течение — течение сплошной среды, при котором в любой

точке сплошной среды отсутствуют вихри, т.е. =1

2𝑅𝑜𝑡 = 0 =⇒ = ∇Φ, где Φ —

потенциал поля скоростей.

𝜕

𝜕𝑡= −∇

(2

2+ 𝑤 + 𝑢

), ∇(2

2+ 𝑤 + 𝑢+

𝑑Φ

𝑑𝑡

)= 0,

2

2+ 𝑤 + 𝑢+

𝑑Φ

𝑑𝑡= 𝑓(𝑡) — соотношение Коши (интеграл).

Если течение ещё и установившееся, т.е.𝜕

𝜕𝑡= 0 и

𝑑Φ

𝑑𝑡= 0, то

2

2+ 𝑤 + 𝑢 = 𝐶 —

выполнено во всём объёме жидкости.

Потоки энергии и импульса

Запишем уравнение неразрывности:𝜕𝜌


𝜕𝑥𝑖= 0 и уравнение Эйлера: 𝜌

𝑑𝑣𝑖𝑑𝑡

=

= 𝜌𝑓𝑖 −𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖

(*).

78






Учтём изоэнтропичность процесса, т.е.𝑑𝑆

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝑒

𝑑𝑡= −𝑝𝑑𝑉

𝑑𝑡= −𝑝 𝑑

𝑑𝑡

(1

𝜌

)= −𝑝

𝜌

𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑖

(см.

лекцию 17).

(*) · 𝑣𝑖,∑𝑖

=⇒ 𝜌𝑑(2/2)

𝑑𝑡= 𝜌𝑓𝑖𝑣𝑖 − 𝑣𝑖

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖⏟ ⏞ =−𝜕(𝑝𝑣𝑖)

𝜕𝑥𝑖+𝑝𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑖

=⇒ 𝜌𝑑

𝑑𝑡

(2

2+ 𝑒

)= −𝜕(𝑝𝑣𝑖)

𝜕𝑥𝑖+ 𝜌𝑓𝑖𝑣𝑖.

Пусть 𝑓𝑖 = 0, тогда𝜕𝜌(𝑒+ ∇2/2)

𝜕𝑡= − 𝜕

𝜕𝑥𝑖𝜌𝑣𝑖

(2

2+ 𝑒+

𝑝

𝜌

),𝜕

𝜕𝑡

∫𝜌

(𝑒+

2

2

)𝑑𝑉 =

= −∮𝜌𝑣𝑖𝑛𝑖

(2

2+ 𝑒+

𝑝

𝜌

)𝑑𝑆 ≡ −

∮𝜌

(2

2+ 𝑒+

𝑝

𝜌

)𝑑𝑆.

= 𝜌

(2

2+ 𝑒+

𝑝

𝜌

)— вектор Умова–Пойтинга,

𝜕

𝜕𝑡𝜌

(𝑒+

2

2

)+

𝜕

𝜕𝑥𝑖𝜌𝑣𝑖

(2

2+ 𝑒+

𝑝

𝜌

)= 0 —уравнение неразрывности для потока энергии.

Запишем уравнение Эйлера (𝑓𝑖 = 0): 𝜌𝑑𝑣𝑖𝑑𝑡

= − 𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖,𝜕(𝜌𝑣𝑖)

𝜕𝑡+𝜕𝜌𝑣𝑖𝑣𝑘𝜕𝑥𝑘

= − 𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑘𝛿𝑖𝑘,

𝜕(𝜌𝑣𝑖)

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥𝑘

(𝑝𝛿𝑖𝑘 + 𝜌𝑣𝑖𝑣𝑘⏟ ⏞

=𝑃𝑖𝑘

)= 0, где 𝑃𝑖𝑘 — некоторая тензорная величина. 𝑃𝑖𝑘 = 𝑝𝑖𝛿𝑖𝑘+𝜌𝑣𝑖𝑣𝑘.

𝜕

𝜕𝑡

∫𝜌𝑣𝑖𝑑𝑉 = −

∮𝑃𝑖𝑘𝑛𝑘𝑑𝑆 . Потоки импульса сплошной среды определяются 𝑃𝑖𝑘.

Лекция 19

Распространение малых возмущений в сжимаемой сплошной среде

Рассмотрим идеальную сжимаемую жидкость 𝑝 = 𝑝0 + 𝑝′, 𝑝′ ≪ 𝑝, где 𝑝0 — равновесноезначение, 𝑝′ — малые возмущения. 𝜌 = 𝜌0 + 𝜌

′ , 𝜌′ ≪ 𝜌0.Запишем линеаризованное уравнение Эйлера и уравнение неразрывности:⎧⎪⎨⎪⎩

𝜌0𝜕

𝜕𝑡= −∇𝑝′,

𝜕𝜌′

𝜕𝑡+ 𝜌0𝑑𝑖𝑣 = 0.

Учтём, что 𝑝′ = 𝑝− 𝑝0 =

(𝜕𝑝

𝜕𝜌0

)𝑆=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡⏟ ⏞

=𝑐2 (скорость звука)

(𝜌− 𝜌0)⇐⇒ 𝑝′ = 𝑐2𝜌′ , = ∇Φ (течение потенци-

ально). Тогда:

79






⎧⎪⎨⎪⎩𝜌0𝜕Φ

𝜕𝑡= −𝑝′

𝜕𝜌′

𝜕𝑡+ 𝜌0∆Φ = 0

· 𝜕𝜕𝑡

,𝜕2𝜌

′

𝜕𝑡2+ ∆

(𝜌0𝜕Φ

𝜕𝑡⏟ ⏞ =−𝑝′

) = 0←→ 𝜕2𝜌′

𝜕𝑡2= ∆𝑝′ = 𝑐2∆𝜌

′,

⎧⎪⎨⎪⎩𝜕2𝜌

′

𝜕𝑡2− 𝑐2∆𝜌′

= 0

𝜕2𝑝′

𝜕𝑡2− 𝑐2∆𝑝′

= 0

— волновые уравнения для 𝜌′ и 𝑝′.

Таким образом, все малые возмущения давления 𝑝′ и плотности 𝜌′ распространяются содинаковой скоростью в виде волн малых амплитуд в сплошной среде.

Вернёмся к уравнению Эйлера:

𝜌0𝜕Φ

𝜕𝑡= −𝑝′ = −𝑐2𝜌′

· 𝜕𝜕𝑡

, 𝜌0𝜕2Φ

𝜕𝑡2= −𝑐2𝜕𝑝

′

𝜕𝑡= 𝜌0𝑐

2∆Φ −→ ∆Φ =1

𝑐2𝜕2Φ

𝜕𝑡2— волновое

уравнение для потенциала поля скоростей.

Рассмотрим𝜕2𝑝

′

𝜕𝑡2− 𝑐2∆𝜌′

= 0.

Пусть возмущение распространяется вдоль оси 𝑂𝑋, т.е.𝜕2𝜌

′

𝜕𝑡2− 𝑐2𝜕

2𝜌′

𝜕𝑥2= 0 =⇒

=⇒ 𝜌′= 𝑓1(𝑥− 𝑎𝑡) + 𝑓2(𝑥+ 𝑎𝑡)

𝑎=𝑐

.

Пусть из н.у. следует, что 𝑓2 ≡ 0, тогда 𝜌′= 𝑓1(𝑥− 𝑐𝑡) — уравнение для бегущей волны,

распространяющейся в положительном направлении 𝑂𝑋 с 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑥− 𝑐𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 =⇒ 𝑥 = 𝑐𝑡+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (фронт волны — плоскость).

Для потенциала поля скоростей𝜕2Φ

𝜕𝑡2− 𝑐2𝜕

2Φ

𝜕𝑥2= 0 =⇒ Φ = 𝑓1(𝑥− 𝑐𝑡) + 𝑓2(𝑥+ 𝑐𝑡).

Пусть начальные условия таковы, что Φ = 𝑓1(𝑥 − 𝑐𝑡). Далее, = ∇Φ, = 𝑣𝑥, 0, 0.𝑣 = 𝑣𝑥 = 𝑓

′1 =⇒ звуковые волны — продольные.

Выведем условие «малости» возмущения.

𝜌0𝜕Φ

𝜕𝑡= −𝑝′ = −𝑐2𝜌′

=⇒ 𝜌′= −𝜌0

𝑐2𝜕𝑓1𝜕𝑡

=𝜌0𝑐𝑓

′

1 =𝜌0𝑐𝑣 =⇒ 𝑣

𝑐=𝜌

′

𝜌0≪ 1 =⇒ 𝑣 ≪ 𝑐.

Займёмся поиском решения уравнения колебаний. Будем искать решение в виде:

Φ = 𝑅𝑒(Φ0(𝑥, 𝑦, 𝑧) exp−𝑖𝜔0𝑡

)=⇒ ∆Φ0 +

𝜔20

𝑐2Φ0 = 0 (уравнение Гельмгольца) =⇒

=⇒ 𝑅𝑒Φ0 = 𝑅𝑒(𝐴 exp

𝑖𝜔0

𝑐𝑥 )

, где 𝐴 = 𝑎 exp𝑖𝛼 — решение =⇒ Φ = 𝑅𝑒(𝑎 exp

𝑖(𝜔0

𝑐𝑥−𝜔0𝑡+𝛼

) )—

плоская монохроматическая звуковая волна.

=

⎛⎝ 100

⎞⎠, =𝜔

𝑐, 𝑘 =

𝜔

𝑐, 𝜔 = 𝑘𝑐 =⇒ Φ = 𝑎 cos( − 𝜔𝑡 + 𝛼), где 𝑎 — амплитуда,

( − 𝜔𝑡+ 𝛼) — фаза.

80






Лекция 20

Тензор вязких напряжений

Идеальная жидкость←→ тензор локальных напряжений изотропен, 𝑝𝑖𝑘 = −𝑝𝛿𝑖𝑘 (в про-извольной точке пространства).

Далее формально запишем: 𝑝𝑖𝑘 = −𝑝𝛿𝑖𝑘+𝑡𝑖𝑘, где 𝑡𝑖𝑘 — тензор вязких напряжений. 𝑡𝑖𝑘 = 𝑡𝑘𝑖— так как процессы вращения частиц жидкости не приводят к появлению поверхностныхсил (т.е. 𝑝𝑖𝑘 остаётся симметричным).

В линейном приближении: 𝑡𝑖𝑘 = 𝜂


+𝜕𝑣𝑘𝜕𝑥𝑖− 2

3𝛿𝑖𝑘𝜕𝑣𝑙𝜕𝑥𝑙

)+ 𝜍𝛿𝑖𝑘

𝜕𝑣𝑙𝜕𝑥𝑙

, где 𝜂, 𝜍 — так назы-

ваемые 1–ая и 2–ая вязкости.𝜂 = 𝜂(𝑝, 𝑇 ), 𝜍 = 𝜍(𝑝, 𝑇 ) — числа (изотропная среда).Таким образом, рассматриваем изотропную линейную вязкую среду.

Уравнение движения примет вид: 𝜌(𝜕𝑣𝑖𝜕𝑡


)= − 𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑡𝑖𝑘𝜕𝑥𝑘

.

Замечание. Процессы, описывающиеся данным уравнением движения, необратимы, т.к.идут с диссипацией энергии.

Пусть 𝜂 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜍 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, тогда:

𝜌

(𝜕𝑣𝑖𝜕𝑡

+𝑣𝑘𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘

)= − 𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖+

𝜕

𝜕𝑥𝑘

𝜂


+𝜕𝑣𝑘𝜕𝑥𝑖−2

3𝛿𝑖𝑘𝜕𝑣𝑙𝜕𝑥𝑙

)+𝜍𝛿𝑖𝑘


= − 𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖+

𝜂

(−2

3

𝜕

𝜕𝑥𝑖


)+

+𝜍𝜕

𝜕𝑥𝑖


+ 𝜂𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑣𝑘𝜕𝑥𝑘

+ 𝜂𝜕2𝑣𝑖𝜕𝑥2𝑖

= − 𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖+

(𝜍 +

𝜂

3

)𝜕𝑣𝑙𝜕𝑥𝑙

+ 𝜂𝜕2𝑣𝑖𝜕𝑥2𝑖

или, в векторной форме,

𝜌

(𝜕

𝜕𝑡+ (, ∇)

)= −∇𝑝+ 𝜂∆ +

(𝜍 +

𝜂

3

)𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑣 — уравнение Навье–Стокса.

Рассмотрим несжимаемую жидкость (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡):⎧⎨⎩𝑑𝑖𝑣 = 0,

𝜌

(𝜕

𝜕𝑡+ (, ∇)

)= −∇𝑝+ 𝜂∆ + 0 (*)

.

Обсудим алгоритм решения этой системы.

Подействуем 𝑅𝑜𝑡 на (*): 𝑅𝑜𝑡𝜌

(𝜕

𝜕𝑡+ (, ∇)

)= − [∇, ∇𝑝]⏟ ⏞

=0

+𝑅𝑜𝑡 (𝜂∆).

Получим уравнение относительно . Решением будет поле скоростей.Замечание. Граничное условие

𝑆

= 0 (скорость на границе).

Дальше подействуем на (*) 𝑑𝑖𝑣: 𝑑𝑖𝑣 (−∇𝑝+ 𝜂∆) = 𝑑𝑖𝑣

(𝜌𝜕

𝜕𝑡+ 𝜌(, ∇)

),

−∆𝑝+ 𝜂∆ 𝑑𝑖𝑣 ⏟ ⏞ =0

= 𝜌𝜕

𝜕𝑡𝑑𝑖𝑣 ⏟ ⏞ =0

+𝜌 𝑑𝑖𝑣((, ∇)

),

∆𝑝 = −𝜌 𝑑𝑖𝑣((, ∇)

)= −𝜌 𝜕

𝜕𝑥𝑖

((, ∇)𝑣𝑖

)= −𝜌 𝜕

𝜕𝑥𝑖

(𝑣𝑘

𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑣𝑖)

= −𝜌 𝜕

𝜕𝑥𝑖

(𝑣𝑘𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘

)=

81






= −𝜌(𝜕𝑣𝑘𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘

+ 𝑣𝑘𝜕

𝜕𝑥𝑘

𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑖⏟ ⏞ =0

)= −𝜌𝜕𝑣𝑘

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑣𝑖𝜕𝑥𝑘

.

При полученном ранее это уравнение определяет 𝑝.

Динамически подобные течения. Число Рейнольдса𝜌, 𝜂 — параметры жидкости.𝑙 — характерный размер труб, 𝑣0 — скорость натекающего потока на пространственной

бесконечности. Эти величины определяют масштабы измерения.Уравнение Навье–Стокса для несжимаемой вязкой жидкости:𝜕𝑣𝑖𝜕𝑡


= −(∇𝑝𝜌

)𝑖

+𝜂

𝜌∆𝑣𝑖 (индексный вид),

𝜕

𝜕𝑡+ (, ∇) = −∇𝑝

𝜌+𝜂

𝜌∆ (векторный вид).

Проведём процедуру обезразмеривания: V =

0, R =

𝑙, T =

𝑡𝑣0𝑙

, P =𝑝

𝜌𝑣20.

Тогда уравнение примет вид:𝜕V𝜕T· 𝑣

20

𝑙+ (V, ∇R)V

𝑣20𝑙

= −𝑣20

𝑙∇RP +

𝜂

𝜌

𝑣20𝑙2

∆RV,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜕V𝜕T

+ (V, ∇R)V = −∇RP +𝜂

𝜌𝑣0𝑙⏟ ⏞ =

1

𝑅𝑒

∆RV,

𝑑𝑖𝑣R V = 0.

𝑅𝑒 =𝜌𝑣0𝑙

𝜂— число Рейнольдса.

Решением системы будет V = V(T, R, 𝑅𝑒) — закон подобия Рейнольдса.Геометрически подобные течения — течения, для которых отличается один из парамет-

ров 𝜌, 𝜂, 𝑣0, 𝑙. Для таких течений решение определяется законом подобия Рейнольдса.

Дополнение. Метод Гамильтона–ЯкобиУравнение Гамильтона–Якоби

Пусть новая функция Гамильтона 𝐻 ′ = 0. Тогда 𝑗 =𝜕𝐻 ′

𝜕𝑃𝑗= 0, 𝑗 = −𝜕𝐻

′

𝜕𝑄𝑗

= 0, 𝑗 = ¯1, 𝑠.

𝑄𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑃𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

При этом 𝐻 ′⏟ ⏞ =0

= 𝐻(𝑞, 𝑝, 𝑡) +𝜕𝐹𝑖(𝑞, 𝑃, 𝑡)

𝜕𝑡(1), где 𝐹𝑖 — производящая функция канониче-

ского преобразования. (1) — уравнение для производящей функции.

Выбирают 𝐹𝑖 ≡ 𝐹2(𝑞, 𝑃, 𝑡). По формулам преобразования: 𝑃𝑗 =𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑗. Поэтому

𝜕𝐹2

𝜕𝑡+𝐻

(𝑞𝑗,

𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑗, 𝑡

)= 0. Одно из решений этого уравнения обозначают буквой 𝑆. Гамиль-

тон назвал это решение главной функцией.

82






𝜕𝑆

𝜕𝑡+𝐻

(𝑞𝑗,

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑗, 𝑡

)= 0 — уравнение Гамильтона–Якоби (2).

𝑆 = 𝑆(𝑞, 𝑡), 𝑆 = 𝑆(𝑃 ), 𝑃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.Для удовлетворения этих требований выберем в качестве 𝑆 так называемый полный

интеграл (2).

Определение. Полным интегралом уравнения 1–го порядка 𝐿(𝑡, 𝑥1, ..., 𝑥𝑠,𝜕𝑓

𝜕𝑡, ...,

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑠) на-

зывают функцию 𝑓(𝑡, 𝑥1, ..., 𝑥𝑠, 𝛼1, ..., 𝛼𝑠+1), удовлетворяющую этому уравнению и содер-жащую столько независимых постоянных 𝛼1, ..., 𝛼𝑠+1, сколько независимых переменных𝑡, 𝑥1, ..., 𝑥𝑠+1 в этом уравнении.

Одна из констант аддитивная (𝑆 + 𝛼𝑠+1) (она несущественна). 𝑆(𝑡, 𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝛼1, ..., 𝛼𝑠).Если принять 𝛼𝑖 = 𝑃𝑖, то 𝑆 ≡ 𝐹2.Итак, если мы нашли полный интеграл уравнения Гамильтона–Якоби, то

𝑃𝑗 =𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑗=𝜕𝑆(𝑞, 𝛼, 𝑡)

𝜕𝑞𝑗−→ 𝛼𝑖 = 𝛼𝑖(𝑝0, 𝑞0),

𝑄𝑗 = 𝛽𝑗 =𝜕𝐹2

𝜕𝑃𝑗≡ 𝜕𝑆(𝑞, 𝛼, 𝑡)

𝜕𝛼𝑗−→ 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖(𝛼, 𝛽, 𝑡) = 𝑞𝑖(𝑝0, 𝑞0, 𝑡).

Алгоритм метода Гамильтона–Якоби1. 𝑆(𝑡, 𝑞1, ..., 𝑞𝑠;𝛼1, ..., 𝛼𝑠)–?

2.𝜕𝑆

𝜕𝛼𝑗= 𝛽𝑗.

3. 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗(𝑡, 𝛼1, ..., 𝛼𝑠, 𝛽1, ..., 𝛽𝑠).

4. 𝑃𝑗 =𝜕𝐹2

𝜕𝑞𝑗.

83






Теорема Якоби

Функции 𝑞𝑗 = 𝑞𝑗(𝑡, , 𝛽), 𝑝𝑗 = 𝑝𝑗(𝑡, , 𝛽), полученные из соотношений 𝑝𝑗 =𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑗, 𝛽𝑗 =

𝜕𝑆

𝜕𝛼𝑗,

𝑗 = 1, ..., 𝑠, являются решением канонических уравнений.Доказательство.

Для координат: 𝛽𝑗 =𝜕𝑆

𝜕𝛼𝑗

𝑑

𝑑𝑡, 0 =

𝜕2𝑆

𝜕𝑡𝜕𝛼𝑗+

𝑠∑𝑘=1

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑘𝜕𝛼𝑗𝑞𝑘 = 0 (*),

𝜕𝑆

𝜕𝑡+𝐻(,

𝜕𝑆

𝜕, 𝑡) = 0 — уравнение Гамильтона–Якоби

𝜕

𝜕𝛼𝑗,

𝜕2𝑆

𝜕𝛼𝑗𝜕𝑡+

𝑠∑𝑘=1

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑘𝜕𝛼𝑗= 0 (**).

(*), (**) =⇒ 𝑞𝑘 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘.

Для импульсов: 𝑝𝑗 =𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑗

𝑑

𝑑𝑡, 𝑗 =

𝜕2𝑆

𝜕𝑡𝜕𝑞𝑗+

𝑠∑𝑘=1

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑘𝜕𝑞𝑗𝑞𝑗 (*),

𝜕𝑆

𝜕𝑡+𝐻(,

𝜕𝑆

𝜕, 𝑡) = 0 — уравнение Гамильтона–Якоби

𝜕

𝜕𝑞𝑗,

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑗𝜕𝑡+𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑗+

𝑠∑𝑘=1

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑘⏟ ⏞ =𝑞𝑘

𝜕2𝑆

𝜕𝑞𝑗𝜕𝑞𝑘= 0 (**).

(*), (**) =⇒ 𝑗 = −𝜕𝐻𝜕𝑞𝑗

, QED.

Консервативная система

𝜕𝐻

𝜕𝑡= 0 =⇒ 𝑆 = 𝑆0(𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝛼1, ..., 𝛼𝑠)⏟ ⏞

укороченное действие

−𝐻0𝑡, 𝑆 — действие.

Уравнение Гамильтона–Якоби для укороченного действия:

𝐻

(𝑞1, ..., 𝑞𝑠,

𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑞, ...,

𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑠

)= 𝐻0.

Метод разделения переменных

Пусть уравнение в частных производных имеет следующую структуру:

𝐿

(𝑞1, ..., 𝑞𝑘−1, 𝑞𝑘+1, ..., 𝑞𝑠,

𝜕𝑆

𝜕𝑡, ...,

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑘−1

,𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑘, ..., 𝑔(𝑞𝑘,

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑘)

)= 0.

84






Тогда будем искать решение в виде:

𝑆 = 𝑆(𝑞1, ..., 𝑞𝑘−1, 𝑞𝑘+1, ..., 𝑡) + 𝑆𝑘(𝑞𝑘),

𝐿

(𝑞1, ..., 𝑞𝑘−1, 𝑞𝑘+1, ..., 𝑞𝑠;

𝜕𝑆

𝜕𝑡, ...,

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑘−1

,𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑘+1

, ..., 𝑔(𝑞𝑘,𝜕𝑆𝑘𝜕𝑞𝑘

)

)= 0 =⇒

=⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝑔

(𝑞𝑘,

𝜕𝑆𝑘𝜕𝑞𝑘

)= 𝛼𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,

𝐿

(𝑞1, ..., 𝑞𝑘−1, 𝑞𝑘+1, ..., 𝑡;

𝜕𝑆

𝜕𝑡, ...,

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑘−1

,𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑘+1

, ..., 𝛼𝑘

)= 0.

𝑔

(𝑞𝑘,

𝜕𝑆𝑘𝜕𝑞𝑘

)= 𝛼𝑘 — обыкновенное дифференциальное уравнение −→ 𝑆𝑘(𝑞𝑘).

Если разделение переменных можно произвести полностью и система консервативна, то

полный интеграл 𝑆 =𝑠∑𝑗=1

𝑆𝑗(𝑞, )−𝐻0(𝛼1, ..., 𝛼𝑠)𝑡.

Переменные «действие–угол»

1. Система консервативна.2. Существует хотя бы 1 набор канонических переменных, в котором все переменные

разделяются.3. Система совершает движение, близкое к периодическому.

а) Либрация — каждая из 𝑞𝑗(𝑡), 𝑝𝑗(𝑡) является периодической фунцией времени с оди-наковым периодом.

б) Вращение — ∀𝑝𝑗 является периодической функцией 𝑞𝑗, а сама 𝑞𝑗 не является перио-дической функцией времени.

Уравнение Гамильтона–Якоби: 𝐻(𝑔1

(𝑞1,

𝜕𝑆0

𝜕𝑞1

), ..., 𝑔𝑠

(𝑞𝑠,

𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑠

))= 𝐻0, причём

𝑔𝑗 = 𝑔𝑗

(𝑞𝑗,

𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑗

)= 𝛼𝑗, 𝑗 − ¯1, 𝑠, 𝑆0(, ) =

𝑠∑𝑗=1

𝑆0(𝑞𝑗, ),

85






𝐻0 = 𝐻(𝛼1, ..., 𝛼𝑠), 𝑝𝑗 =𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑗= 𝑝𝑗(𝑞𝑗, ).

«Новые» канонические переменные, в которых «новые» импульсы были бы постоянны-ми 𝐽𝑗, зависящими от 𝛼1, ..., 𝛼𝑠, а «новые» координаты были бы цилиндрическими, т.е.𝑃𝑗 = 𝐽𝑗(𝛼1, ..., 𝛼𝑠), 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑠, 𝐻 = 𝐻(𝐽1, ..., 𝐽𝑠).

Выберем 𝐽𝑗 =1

2𝜋

∮𝑝𝑗𝑑𝑞𝑗, 𝑗 = ¯1, 𝑠. Интеграл берётся по полному периоду изменения

импульсов как функций соответствующих координат.𝐽𝑗 = 𝐽𝑗() — переменные действия. 𝛼𝑗 = 𝛼𝑗(𝐽) −→ 𝐻 = 𝐻(𝐽1, ..., 𝐽𝑠), 𝑆0 = 𝑆0(, 𝐽).

𝑄𝑗 ≡ 𝜙𝑗 =𝜕𝑆0

𝜕𝐽𝑗— угловые переменные.

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩𝑗 =

𝜕𝐻

𝜕𝐽𝑗=⇒ 𝜙𝑗 =

𝜕𝐻

𝜕𝐽𝑗⏟ ⏞ =𝜔𝑗

𝑡+ 𝜙𝑗0,

𝐽𝑗 = − 𝜕𝐻𝜕𝜙𝑗

= 0.

Покажем, что 𝜔𝑗 — это частота изменения импульса 𝑝𝑗.

∆𝜙𝑗 =

∮𝑑𝜙𝑗𝑑𝑞𝑘

𝑑𝑞𝑘 =

∮𝜕2𝑆0

𝜕𝐽𝑗𝜕𝑞𝑘𝑑𝑞𝑘 =

𝜕

𝜕𝐽𝑗

∮𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑘𝑑𝑞𝑘 =

𝜕

𝜕𝐽𝑗

∮𝑝𝑘𝑑𝑞𝑘 = 2𝜋

𝜕𝐽𝑘𝜕𝐽𝑗

= 2𝜋𝛿𝑘𝑗.

С другой стороны, ∆𝜙𝑗 =𝜕𝐻0

𝜕𝐽𝑗𝑇𝑗, где 𝑇𝑗 — плоный период изменения импульса 𝑝𝑗 =⇒

2𝜋 =𝜕𝐻0

𝜕𝐽𝑗𝑇𝑗 =⇒ 𝜔𝑗 =

2𝜋

𝑇𝑗=𝜕𝐻0

𝜕𝐽𝑗.

Для нахождения частот 𝜔𝑗 нет необходимости решать динамическую задачу, т.е. отыс-кивать 𝑞𝑗(𝑡), а надо:

1. 𝑝𝑗 = 𝑝𝑗(𝑞𝑗, ).2. 𝐽𝑗 = 𝐽𝑗().3. 𝐻0(𝐽1, ..., 𝐽𝑠).

4.𝜕𝐻0

𝜕𝐽𝑗= 𝜔𝑗.

Адиабатические инварианты

Важным свойством переменных действия является свойство адиабатической инвари-антности, заключающееся в том, что переменные действия сохраняют свои постоянныезначения и в тех случаях, когда функция Гамильтона системы зависит от времени черезнекоторые параметры 𝜆𝑗(𝑡), которые, как говорят, адиабатически меняются со временем,т.е. очень медленно.

Под медленными подразумеваются такие изменения, при которых 𝜆𝑗(𝑡) мало меняются

за отрезки времени, равные по порядку величины периодам 𝑇𝑗, т.е.𝑑𝜆𝑗𝑑𝑡

𝑇𝑗 ≪ 𝜆𝑗, 𝑗 = ¯1, 𝑠.

Такие механические системы не являются изолированными.

86






Покажем, что переменные действия в таких системах являются адиабатическими инва-риантами.

Пусть система консервативна и допускает полное разделение переменных. Пусть дви-жение системы финитно.

𝐻 = 𝐻(𝑔1(𝑞1, 𝑝1, 𝜆1), ..., 𝑔𝑠(𝑞𝑠, 𝑝𝑠, 𝜆𝑠)).

При постоянных 𝜆𝑖 𝑝𝑖 являются периодическими функциями координат 𝑞𝑖; 𝑞𝑖 являютсяв данном случае периодическими функциями времени.

Решение уравнения Гамильтона–Якоби:

𝑆 = −𝐻0(𝛼1, ..., 𝛼𝑠)+𝑆0(𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝛼1, ..., 𝛼𝑠, 𝜆1, ..., 𝜆𝑠), 𝐻

(𝑔1

(𝑞1,

𝜕𝑆

𝜕𝑞1, 𝜆1

), ..., 𝑔𝑠

(𝑞𝑠,

𝜕𝑆

𝜕𝑞𝑠, 𝜆𝑠

))=

= 𝐻0(), 𝑆0 = 𝑆0(𝑞1, ..., 𝑞𝑠, 𝐽1, ..., 𝐽𝑠, 𝜆1, ..., 𝜆𝑠).

Формулы канонического преобразования: 𝑃𝑗 =𝜕𝑆0

𝜕𝑞𝑗, 𝜙𝑗 =

𝜕𝑆0

𝜕𝐽𝑗, 𝑗 = ¯1, 𝑠.

𝐻 ′ = 𝐻 +𝜕𝑆0

𝜕𝑡= 𝐻(𝐽, ) +

𝑠∑𝑗=1

𝜕𝑆0(𝑞(𝜙, 𝐽, 𝜆), 𝐽, 𝜆)

𝜕𝜆𝑗𝑗.

Новые уравнения движения:

𝑘 =𝜕𝐻 ′

𝜕𝐽𝑘=𝜕𝐻

𝜕𝐽𝑘+

𝑠∑𝑗=1

𝜕2𝑆0(, (𝜙, 𝐽, 𝜆), 𝐽, 𝜆)

𝜕𝐽𝑘𝜕𝜆𝑗𝑗,

𝐽𝑘 = −𝜕𝐻′

𝜕𝜙𝑘= −

𝑠∑𝑗=1

𝜕2𝑆0(𝑞(𝜙, 𝐽, 𝜆), 𝐽, 𝜆)

𝜕𝜙𝑘𝜕𝜆𝑗𝑗, 𝑘 = ¯1, 𝑠 (*).

Усредним (*) по интервалу 𝑇 : 𝑇𝜔 ≪ 𝑇 ≪ 𝑇𝜆 (𝑗 можно вынести). ¯𝐽𝑘 = −𝑠∑𝑗=1

¯𝜕2𝑆0

𝜕𝜙𝑘𝜕𝜆𝑗𝑗.

Покажем, что𝜕𝑆0

𝜕𝜆𝑗— однозначные периодические функции 𝜙. (В этом случае мож-

но разложить в ряд Фурье, коэффициенты которого зависят от 𝐽 и . Ряды Фурье для𝜕

𝜕𝜙

(𝜕𝑆0

𝜕𝜆𝑗

)не будут содержать постоянных членов, значит, при усреднении по достаточно

большому интервалу времени все𝜕

𝜕𝜙

(𝜕𝑆0

𝜕𝜆𝑗

)занулятся).

Заметим, что 𝑆0 — однозначная функция, т.к. 𝑆0 =𝑠∑𝑗=1

∫𝑝𝑗𝑑𝑞𝑗.

За полный период изменения координаты 𝑞𝑗 (при остальных фиксированных) 𝑆0 полу-чает приращение ∆𝑆0 =

∮𝑝𝑗𝑑𝑞𝑗 = 2𝜋𝐽𝑗.

Функции𝜕𝑆0

𝜕𝜆𝑗— однозначные функции координат, т.к. при дифференцировании по 𝜆𝑖

добавки, кратные 2𝜋𝐽𝑗, которые приводят к неоднозначности 𝑆0, исчезнут.𝜕𝑆0

𝜕𝜆𝑗— однозначные функции координат 𝑞𝑗, значит, периодические по 𝜙𝑗 =⇒ ¯𝐽𝑘 = 0 =⇒

𝐽𝑘 = 𝐽𝑘0, 𝑘 = ¯1, 𝑠.

87






Задача двух тел

Функция Лагранжа: 𝐿 =1

2𝑚1𝑣

21 +

1

2𝑚2𝑣

22 − 𝑈(|1 − 2|).


𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕1=𝜕𝐿

𝜕1,𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕2=𝜕𝐿

𝜕2.

⎧⎪⎨⎪⎩𝑚 ˙𝑣1 = −𝜕𝑈(|1 − 2|)

𝜕1,

𝑚 ˙𝑣2 = −𝜕𝑈(|1 − 2|)𝜕2

.

Введём новые переменные:

= 1 − 2𝑚𝑚 = 𝑚11 +𝑚22, 𝑚 = 𝑚1 +𝑚2

,

⎧⎨⎩1 = 𝑚 +𝑚2

𝑚

2 = 𝑚 −𝑚1

𝑚

.

𝐿 =𝑚1

2

(˙𝑟𝑚 +

𝑚2

𝑚˙𝑟

)2

+𝑚2

2

(˙𝑟𝑚 −

𝑚1

𝑚˙𝑟

)2

− 𝑈(|1 − 2|), 𝐿 =𝑚

2˙𝑟2𝑚 +

𝑚1𝑚2

𝑚1 +𝑚2⏟ ⏞ ≡𝜇

˙𝑟2 − 𝑈(||).

𝑚 — координаты центра масс — циклические. 𝑝𝑚 =𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟𝑚= 𝑚 ˙𝑟𝑚 ≡ 𝑚𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕 ˙𝑟=𝜕𝐿

𝜕⇐⇒ 𝜇¨𝑟 = −𝜕𝑈(||)

𝜕— уравнение движения квазичастицы 𝜇 в центрально–

симметричном поле.𝑚 = 𝑚𝑡+ 𝑚(0) — движение центра масс.Закон движения и траектория квазичастицы: = 0, = 𝜇[ × ˙𝑟] = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,

𝑡 = ±∫

𝑑𝑟√2

𝜇

(𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝑟)

) + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜙(𝑟) = ±∫

(𝐿/𝜇𝑟2)𝑑𝑟√2

𝜇

(𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝑟)

) + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,

𝑈𝑒𝑓𝑓 (𝑟) = 𝑈(𝑟) +𝐿2

2𝜇𝑟2.

𝐸, — энергия и момент импульса относительного движения. Полная энергия системыравна:

𝐸0 = 𝑚𝜕𝐿

𝜕𝑚+

𝜕𝐿

𝜕− 𝐿 =

𝑚2𝑚2

+𝜇2

2+ 𝑈(𝑟) =

𝑚2𝑚2

+ 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,

+ 𝑚 = [1 × 𝑝1] + [2 × 𝑝2].

88



ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

· 2019. 6. 17. · h;df;h>m;g@6ub;k6c>@6 m6gh>, ,, k6a>ad88a6:>ga68figh;bd8>m...

Documents