EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2015-2

Segundo Semestre de 2015 - 04 de maio de 2015

VERIFIQUE SE O SEU CADERNO CONTEM 6 PROBLEMAS.

OS 6 PROBLEMAS SAO OBRIGATORIOS.

A PROVA TEM DURACAO MAXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

DADOS PARA A PROVA: ∫ ∞0

dxx3

ex − 1=π4

15∫dx

x2

(x2 + a)3/2= − x√

x2 + a+ log[x+

√x2 + a] + C

Problema 1: Um gas ideal e especificado por tres quantidades termodinamicas as quais podem porexemplo ser o numero de partıculas N , seu volume V e sua temperatura T . Por sua vez, em um gasde fotons necessita-se apenas de duas variaveis termodinamicas ja que o numero de fotons e funcao dovolume e da temperatura do gas. Com efeito, em um gas de fotons o numero de partıculas contidas emum volume V mantido a temperatura T e N = r V T 3 onde r = 2, 03× 107m−3K−3. Considerando queeste gas de fotons apresenta uma distribuicao espectral igual a de um corpo negro, sua densidade deenergia por unidade de frequencia segue a distribuicao de Planck, ou seja,

ρ(ν) =8πh

c3ν3

ehν/(kBT ) − 1,

onde ν e a frequencia, T a temperatura e as constantes h, c e kB sao respectivamente a constante dePlanck, a velocidade da luz e a constante de Boltzmann.

a) Prove a lei de Stefan-Boltzmann dada por

ε =4

cσ T 4

na qual a densidade de energia ε, em um corpo negro, e proporcional a temperatura a quarta potencia.

Dados:

σ ≡ 2π5k4B15c2h3

= 5, 67× 10−8 J. s−1.m−2. K−4

1

b) Para um gas de fotons, a energia livre de Helmholtz, F ≡ U−TS, e dada por F = −4σ3cV T 4. Mostre

que a entropia do gas e

S =16

3cσ V T 3

c) Sabendo que um gas de fotons satisfaz uma equacao similar a lei de gas ideal, ou seja,

P V

N T=

4σ

3 r c

calcule a variacao de sua energia interna quando o gas sofre uma expansao isotermica reversıvel, atemperatura To, de um volume Vi ate um volume Vf .

Problema 2: Considere o experimento da fenda dupla de Young, conforme esquematizado na Figura1. O sistema produz franjas de interferencia a partir de uma fonte de luz pontual monocromatica S0,a qual emite com comprimento de onda λ. A fonte S0 ilumina duas fendas estreitas S1 e S2 separadaspor uma distancia d. A tela de observacao esta em uma distancia L do anteparo que contem as duasfendas, com L� d.

S0

S

S

1

2

d

L

Figura 1: Problema 2.

a) Tomando a separacao entre os dois primeiros mınimos de interferencia como sendo z (distancia entreas franjas escuras centrais), determine a distancia d entre as fendas. Expresse sua resposta em termosde L, λ e z.

b) Uma das fendas e coberta com uma placa fina transparente de faces paralelas e ındice de refracao n.Considere que isso produz um deslocamento de m franjas na figura de interferencia (a franja centralclara se desloca para a posicao que era ocupada pela franja clara de ordem m na ausencia da placa).Determine a espessura x da placa em termos de m, λ e n.Sugestao: Considere que a luz incide perpendicularmente sobre o anteparo em que estao as fendas einvestigue a diferenca de fase entre as ondas causada pela presenca da placa (quando elas chegam asfendas S1 e S2).

Problema 3: Um corpo de massa m1 = M desliza com velocidade v = v0i sobre um plano horizontalsem atrito na direcao x. Este corpo colide elastica e instantaneamente com outro corpo, inicialmenteem repouso, formado por duas massas m2 = m3 = M ligadas por uma mola ideal de coeficiente k, comona Figura 2. No instante da colisao a mola esta em sua posicao de repouso.

2

Figura 2: Problema 3.

a) Calcule as velocidades da massa m1 e do centro de massa do corpo formado por m2 e m3 logo aposa colisao.

b) Calcule a energia potencial elastica maxima que o sistema apresenta.

c) Calcule a razao entre as energias cinetica media e a energia potencial media do sistema apos a colisao.

Problema 4: Considere um bastao retilıneo, fino, de comprimento 2L, com densidade linear de cargadada por

λ1 = Cz, (−L1 ≤ z ≤ L1),

em que C e uma constante, conforme mostra a Figura 3.

Figura 3: Problema 4.

a) Determine o campo eletrico E(s) devido a tal bastao, em um ponto a uma distancia s do bastao, noseu plano medio perpendicular de simetria (z = 0).

b) Suponha agora que trazemos um segundo bastao do infinito, onde ele estava em repouso, ate a posicaomostrada na Figura 4, onde novamente o deixamos em repouso. Sabe-se que esse segundo bastao eretilıneo, fino, de comprimento L2 e densidade linear de carga uniforme λ2. Qual o trabalho feitopela forca eletrica nesse processo? Justifique a sua resposta.

c) Com uma carga de prova, um pesquisador mede a amplitude do campo eletrico criado por uma barrasemelhante a do item (a), novamente no plano medio perpendicular de simetria. Cada medida e feitaa uma distancia diferente do centro da barra. Os resultados estao apresentados na Figura 5. As retassao somente guias para os olhos. Analisando este grafico justifique, apenas em palavras, o que sepode inferir sobre a carga eletrica total e a distribuicao de carga desta barra. Utilize de 5 a 10 linhaspara tal.

3

Figura 4: Problema 4.

0.01 0.10 1 10 100

0.01

1

100

104

distância s (unid. arbitrárias)

|E(s)|(unid.arbitrárias)

Figura 5: Problema 4.

Problema 5: Considere o Hamiltoniano de uma partıcula carregada q de massa m em um campoeletromagnetico

H =1

2m

(~p− q ~A

)2+ qφ,

onde ~p e o momento canonico conjugado, ~A(~r) o potencial vetor e φ(~r) o potencial escalar.

Sabendo que a evolucao temporal do valor esperado de um operador arbitrario Q e dada por:

d

dt〈Q〉 =

i

~〈[H,Q]〉+

⟨∂Q∂t

⟩a) Mostre que:

d〈~r〉dt

=1

m〈(~p− q ~A)〉

b) Identificamos d〈~r〉/dt com o valor esperado da velocidade da partıcula 〈~v〉. Mostre que as compo-

nentes do operador momento cinetico ~Π = m~v obedecem a seguinte relacao de comutacao:

4

[~Πj, ~Πk] = i~qεjklBl,

onde εjkl e o tensor completamente antissimetrico de Levi-Civita e Bl a l-esima componente do campomagnetico.

c) Obtenha o seguinte resultado:

md〈~v〉dt

= q〈 ~E〉+q

2〈(~v × ~B − ~B × ~v)〉

d) Demonstre que no caso particular em que os campos ~E e ~B sao uniformes, o valor esperado davelocidade se move de acordo com a lei de forca de Lorentz, i.e.,

md〈~v〉dt

= q(~E + 〈~v〉 × ~B

)

Problema 6: Considere um feixe monoenergetico de partıculas de massa m sujeito ao potencialunidimensional

V (x) =

{0, x < 0−V0, x > 0,

(1)

com V0 > 0. Considere que a intensidade do feixe de partıculas que incide sobre este degrau de potencialseja constante e que ele e emitido em uma posicao x→ −∞ com energia mecanica E. Nestas condicoes,levando em consideracao que se trata de um sistema microscopico onde valem as leis da MecanicaQuantica:

a) Calcule o percentual medio de partıculas transmitidas t (i.e., detectadas em x → ∞) como funcaode V0 e de E.

b) Diga o que ocorre com a transmissividade no limite V0 → ∞ (ou, equivalentemente, E � V0).Justifique sua resposta. Compare o resultado quantico com o que deveria acontecer se as partıculasdo feixe fossem regidas pela Mecanica Classica.

5

EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2015-2

Second Semester 2015 - May 4th, 2015

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USEFUL DATA: ∫ ∞0

dxx3

ex − 1=π4

15∫dx

x2

(x2 + a)3/2= − x√

x2 + a+ log[x+

√x2 + a] + C

Problem 1: An ideal gas can be specified by three thermodynamic quantities which can be, forexample, the particle number N , its volume V and its temperature T . On the other hand, a photon gasrequires only two thermodynamic variables, as the number of photons is a function of the volume andthe temperature of the gas. Indeed, the number of particles in a photon gas contained in a volume V ata temperature T is given by N = r V T 3, where r = 2, 03 × 107m−3K−3. Let the spectral distributionof the photon gas be given by a black-body spectrum, such that its energy density per frequency followsPlanck’s distribution, i. e.

ρ(ν) =8πh

c3ν3

ehν/(kBT ) − 1,

where ν is the frequency, T the temperature and the constants h, c and kB are respectively Planck’sconstant, the speed of light and Boltzmann’s constant.

a) Prove the Stefan-Boltzmann law, given by

ε =4

cσ T 4

in which the black-body energy density ε is shown to be proportional to the fourth power of thetemperature.

Definition:

σ ≡ 2π5

15c2h3= 5, 67× 10−8 J. s−1.m−2. K−4

b) For a photon gas, the Helmholtz free energy, F ≡ U −TS, is given by F = −4σ3cV T 4. Show that the

gas entropy is given by

S =16

3cσ V T 3

1

c) Knowing that a photon gas satisfies an equation similar to the ideal gas law, namely,

P V

N T=

4σ

3 r c

evaluate the internal energy variation when the gas is submitted to a reversible isothermal expansion,at temperature To, from a volume Vi until it reaches a volume Vf .

Problem 2: Consider Young’s double-slit experiment, as sketched in the figure below. The systemproduces interference fringes from a source of monochromatic point light S0, which emits at a wavelengthλ. The source S0 illuminates two narrow slits S1 and S2 separated by a distance d. The observationscreen is at distance L of the wall containing the two slits, with L� d .

a) Taking the separation between the first two minima of interference as z (distance between the centraldark fringes), determine the distance d between the slits. Express your result in terms of L , λ, andz.

b) One of the slits is covered with a thin transparent plate of parallel faces and refractive index n.Consider that this yields a shift of m fringes in the interference figure (the bright central fringemoves to the position that was occupied by the bright fringe of order m in the absence of the plate).Determine the thickness of the plate x in terms of m , λ, and n.Hint: Assume that light is perpendicularly incident on the wall containing the slits and investigatethe phase difference between the waves caused by the presence of the plate (as they reach at the slitsS1 and S2).

S0

S

S

1

2

d

L

Figure 1: Problem 2.

Problem 3: A body of mass m1 = M slides over a frictionless horizontal plane with velocity v = v0i onthe x-direction until instantaneously colliding elastically with another body, initially at rest, constitutedby two identical objects with masses m2 = m3 = M , and linked by an ideal spring with coefficient k, asshown in the figure. At the collision instant the spring is at its resting position.

a) Calculate the velocity of m1 and the center of mass velocity of the body m2 + m3 right after thecollision.

b) Calculate the maximal elastic potential energy the system presents after the collision.

2

Figure 2: Problem 3.

c) Calculate the ratio between the mean kinetic energy and the mean potential energy of the systemafter the collision.

Problem 4: Consider a straight thin and long bar of length 2L, with linear charge density given by

λ1 = Cz (−L1 ≤ z ≤ L1),

as shown in figure 3.

a) Determine the electric field E(s) at a distance s from the bar on a plane perpendicular to it containingits center (z = 0).

b) Suppose now that we bring a second bar from infinity, where it was at rest, to the position shown inFigure 4, where again the bar is at rest. This second bar is also straight and thin, but with uniformcharge density λ2 and length L2. What is the work done by the electric force in this process? Justifyyour answer.

c) With a test charge, a researcher measures the amplitude of the electric field created by a bar similarto the one in item (a), again at its symmetry plane. Each measurement is made at a different distancefrom the center of the bar. The results are shown in figure 5. The two lines are only to guide theeye. Looking at the plot justify, only in words, what can be inferred about the total electric chargeand the distribution of the charge on this bar. Use from 5 to 10 lines for this purpose.

Figure 3: Problem 4.

Problem 5: Consider the Hamiltonian of a charged particle of mass m and charge q under the influenceof an electromagnetic field,

3

Figure 4: Problem 4.

0.01 0.10 1 10 100

0.01

1

100

104

distância s (unid. arbitrárias)

|E(s)|(unid.arbitrárias)

Figure 5: Problem 4.

H =1

2m

(~p− q ~A(~r)

)2+ qφ(~r),

where ~p is the canonically conjugate momentum, ~A(~r) is the vector potential and φ(~r) is the scalarpotential.

The time evolution of the mean value of an arbitrary operator Q is given by:

d

dt〈Q〉 =

i

~〈[H,Q]〉+

⟨∂Q∂t

⟩(a) Show that:

d〈~r〉dt

=1

m〈(~p− q ~A)〉

(b) We identify d〈~r〉/dt as the mean value for the particle velocity 〈~v〉. Show that the components of

the kinetic momentum operator ~Π = m~v obey the following commutation rule:

[Πj,Πk] = i~qεjklBl(~r),

where εjkl is the Levi-Civita symbol and Bl the l th component of the magnetic field.

4

(c) Derive the following result:

md〈~v〉dt

= q〈 ~E〉+q

2m〈(~p× ~B − ~B × ~p)〉.

(d) Show that in the particular case where the fields ~E e ~B are uniform, the velocity mean value movesaccordingly to a Lorentz force law, i.e.,

md〈~v〉dt

= q(~E + 〈~v〉 × ~B

).

Problem 6: Consider a monoenergetic beam of particles of mass m subject to the unidimensionalpotential

V (x) =

{0, x < 0−V0, x > 0,

(2)

with V0 > 0. Consider that the beam intensity is constant and that particles are emitted from x→ −∞with mechanical energy E. Under these conditions and taking into account the laws of QuantumMechanics,

(a) Calculate the average fraction t of transmitted particles (i.e., detected at x → ∞) as a function ofV0 and E.

(b) Describe what happens to the particle transmissivity t in the limit V0 → ∞ (or, equivalently,E � V0). Justify your answer. Compare the quantum result with what should happen if the beamparticles were ruled by Classical Mechanics.

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