20100311205853 matematica financeira sergio alt 2010

MatemticaFinanceira

Sumrio2 JUROS SIMPLES (Capitalizao Simples)

5 JUROS COMPOSTOS (Capitalizao Composta)

7 TAXAS SIMPLES

8 TAXAS COMPOSTAS

10 TAXAS SIMPLES EXATO

11 PRAZO, TAXA E CAPITAL MDIO

13 CONVENO EXPONENCIAL

13 CONVENO LINEAR

15 DESCONTO COMPOSTO

18 DESCONTO SIMPLES

21 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS NO JURO COMPOSTO. (Rendas variveis)

24 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS NO JURO SIMPLES. (Rendas variveis e uniformes)

30 TAXAS NOMINAL E TAXA EFETIVA NO COMPOSTO

33 TAXA EFETIVA E NOMINAL NO JURO SIMPLES

35 RENDA CERTA OU RENDA UNIFORME (Rendas Uniformes)

41 PROVAS ANTERIORES

52 TABELAS PARA CONSULTA

2 Matemtica Financeira

EDITORA APROVAO

JUROS SIMPLES (Capitalizao Simples)Juros Simples comercial uma modalidade de

juro calculado em relao ao capital inicial, neste modelo de capitalizao, os juros de todos os pe-rodos sero sempre iguais, pois eles sero sempre calculados em relao ao capital inicial.

Veja as frmulas que usaremos nos exerccios de Juros Simples.

J = C.i.t ou M = C.(1+i+t)

Onde J = juros C = capital i = taxa unitria t = tempo M = Montante

Neste tpico o aluno precisa entender as vari-veis que usar no seus clculos e descobrir qual das duas frmulas a melhor para a resoluo dos exer-ccios.

Se bem que qualquer exerccio pode ser calcu-lado com qualquer uma delas.

importante que a unidade da taxa deva coin-cidir com a unidade do tempo para poder utilizar as frmulas.

O que Juros?Resposta: Juros quanto se ganha em uma apli-

cao. Por exemplo: se aplicarmos R$ 100,00 e esse valor se transforma em R$ 140,00, conclui-se que a aplicao gerou um aumento de capital de R$ 40,00, esse valor o que ganhamos na aplicao, isto R$ 40,00 os juros.

O que Capital?Resposta: o valor que aplicamos. No exemplo

da resposta anterior, o capital R$ 100,00.

O que taxa unitria?Resposta: a retirada do smbolo de percen-

tagem da taxa. Por exemplo: se estamos utilizando uma taxa de 10%, a taxa unitria 0,10. Se estamos utilizando uma taxa de 5%, a taxa unitria 0,05. Isto , devemos dividir por 100 o valor da taxa per-centual.

O que tempo?Resposta: o valor de quanto tempo se aplica

um capital.

O que Montante?Resposta: Montante o capital acrescidos de

juros. M = C + J.

Nosso prximo passo ganhar experincia com os 13 exerccios exemplos resolvidos.

Preste muita ateno na resoluo deles, por mais fcil que sejam, existe muita experincia sen-do transmitida.

Repare tambm que usarei sempre o melhor mtodo de resoluo, isto , aquele onde economi-zamos tempo e espao de resoluo.

Observao: importante ressaltar que quan-do lemos juros simples,estamos nos retratando ao juros simples comercial, nesta modalidade de juros o ano ter sempre 360 dias e o ms ter sempre 30 dias. Para alguns autores tambm chamado de ju-ros simples ordinrio.

Exerccios Exemplos Resolvidos

1. Calcular os juros simples que um capital de $ 10.000,00, rende em um ano e meio, aplicado taxa de 6%a.a.?a) R$ 700,00b) R$ 1.000,00c) R$ 1,600,00d) R$ 600,00e) R$ 900,00

J = ?C = 10.000t = 1,5 a

i = 6% a.a. = 100

6

J = C . i . t

J = 10.000 . 100

6 . 1,5

J = 900LETRA E

3Matemtica Financeira

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2. Qual o capital que produz, taxa de 6% a.a., em 3 meses, juro de R$ 78,00?a) R$ 4.300,00b) R$ 3.000,00c) R$ 5.200,00d) R$ 2.600,00e) R$ 3.500,00

C = ?

i = 6% a.a. = 100

6

t = 3 m = 123

a J = 78

J = C . i . t

78 = C . 100

6 . 123

78 = 2003C

C = 3200.78

C = 5200LETRA C

3. A que taxa anual o capital de R$ 5.000,00, em 1 ano, renderia R$ 300,00?a) 5%b) 6%c) 4%d) 3%e) 2%

i = ? % a.a.= 100

i

C = 5000t = 1 aJ = 300

J = C . i . t

300 = 5000 . 100

i . 1

i = 50300

i = 6% a.a.LETRA B

4. Durante quantos meses um capital de R$ 100,00 aplicado a uma taxa de 30% a.m., ren-deria R$ 240,00?a) 4b) 6c) 8d) 3e) 10

t = ?mC = 100

i = 30% a.m. = 10030

J = 240

J = C . i . t

240 = 100 . 10030 . t

t = 8 mLETRA C

5. Calcule o montante produzido por capital de R$ 5.000,00, aplicado durante 3 meses a uma taxa de 15% a.m?a) R$ 7.500,00b) R$ 4.300,00c) R$ 3.000,00d) R$ 5.000,00e) R$ 7.250,00

M = ?C = 5000t = 3 m

i = 15% a.m. = 10015

J = C. i . t

J = 500 . 10015 . 3

J = 2250M = C + JM = 5000 + 2250M = 7250LETRA E

6. Qual o capital que em dois anos, taxa de 5% a.a., produz um montante de R$ 6.600,00?a) R$ 5.400,00b) R$ 6.000,00c) R$ 4.200,00d) R$ 5.200,00e) R$ 6.200,00

C = ?t = 2 a

i = 5% a.a. = 100

5

M = 6600

M = C (1 + i .t)

6600 =

+ 2.

10051C

6600 = 1011C

C = 11

10.6600

C = 6000LETRA B

7. A que taxa mensal o capital de R$ 1.200,00, no fim de dois meses, geraria um capital acumu-lado de R$ 2.400,00?a) 12%b) 23%c) 25%d) 15%e) 50%


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i = ? % a.m. = 100

i

1200

2400

2

1200

=

=

=

=

J

M

mt

C

J = C . i . t

1200 = 1200 . 100

i . 2

i = 50% a.m.

LETRA E

8. Durante quantos meses um capital de R$ 100,00, aplicado a uma taxa de 30% a.m., ge-raria um montante de R$ 220,00?a) 4b) 6c) 8d) 3e) 10

t = ? m

120220

100=

=

=J

M

C

30100

i = 30% a.m. =

J = C . i . t

120 = 100 . 10030 . t

t = 4mLETRA A

Prtica1. (TTN-INTERNO) Qual o capital que produz,

taxa de 2% a.m., o juro mensal de Cr$ 48,00?a) Cr$ 2.400,00b) Cr$ 2.000,00c) Cr$ 3.200,00d) Cr$ 2.600,00e) Cr$ 3.000,00

2. (TTN-INTERNO) Qual o capital que, em 40 dias, taxa de 4% a.a., produz o juro de Cr$ 32,00?a) Cr$ 8.200,00b) Cr$ 7.000,00c) Cr$ 9.000,00d) Cr$ 7.200,00e) Cr$ 8.000,00

3. (TTN - INTERNO) Qual o capital que, taxa 2,5% a.a., no fim de um semestre, produz o montante de Cr$ 8.100,00?a) Cr$ 10.000,00b) Cr$ 5.000,00c) Cr$ 8.000,00d) Cr$ 7.000,00e) Cr$ 9.000,00

4. (TTN-INTERNO) A que taxa anual o capital de Cr$ 5.000,00, em um ano, renderia Cr$ 300,00?a) 5% a.a.b) 6% a.a.c) 4% a.a.d) 3% a.a.e) 2% a.a.

5. (TTN-89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevar a Cr$ 1.296,00 no fim de 8 meses, :a) Cr$ 1.100,00b) Cr$ 1.000,00c) Cr$ 1.392,00d) Cr$ 1.200,00e) Cr$ 1.399,68

6. Calcular o juro e montante de uma aplicao de R$ 1.000,00, durante 3 meses, a taxa de juro simples de 10% a.m.a) R$ 1.300,00 e R$ 3.300,00b) R$ 300,00 e R$ 1.300,00c) R$ 1.100,00 e R$ 2.100,00d) R$ 100,00 e R$ 1.100,00e) R$ 500,00 e R$ 1.500,00

7. Qual o capital que em 40 dias, taxa de 4% a.a., produz o montante de R$ 7.232,00a) R$ 8.400,00b) R$ 6.000,00c) R$ 5.200,00d) R$ 7.200,00e) R$ 6.200,00

8. (TTN/94-TARDE) Carlos aplicou 1/4 de seu ca-pital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalizao. Sabendo-se que uma das aplica-es rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de R$a) 4.200,00 d) 4.600,00b) 4.800,00 e) 4.400,00c) 4.900,00


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9. Qual o prazo para uma aplicao de 5% a.a., tenha um aumento que corresponda a 1/5 de seu valor?a) 2 anosb) 4 anosc) 6 anosd) 5 anose) 8 anos

10. Em quanto tempo um capital aplicado taxa de 150% a.a., quadruplique seu valor?a) 2 anosb) 4 anosc) 6 anosd) 5 anose) 8 anos

11. Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% a.a., rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quan-to tempo esteve empregado?a) 3 meses e 3 diasb) 3 meses e 8 diasc) 2 meses e 23 diasd) 3 meses e 10 diase) 3 meses

12. Calcule o valor do montante produzido por capital de 150, aplicado a juro simples a uma taxa de 4,8% a.m. , durante 25 dias?a) 151b) 151,2c) 156d) 153,6e) 210,0

13. Jos colocou 2/3 de meu capital a 36% a.a., e o restante a 18% a.a., recebendo juro anual de R$ 117.000,00. Qual o meu capital?a) R$ 480.000,00b) R$ 390.000,00c) R$ 410.600,00d) R$ 520.800,00e) R$ 350.000,00

JUROS COMPOSTOS (Capitalizao Composta)Juros Composto uma modalidade de juro cal-

culado em relao ao capital inicial de cada pero-do, onde o capital inicial de cada perodo o capital do perodo anterior acrescidos dos juros do perodo anterior se houver. costume dizer que juro com-posto juros sobre juros.

Veja as frmulas que usaremos nos exerccios de Juros Compostos.

J = C [(1+i)t - 1 ] ou M = C. (1+i)t

Onde J = juros C = capital i = taxa unitria t = tempo M = Montante


1. O capital de R$ 500.000,00 e aplicado 5% a.m. de juros compostos, durante 3 meses. Calcule o montante?a) R$ 578.800,00b) R$ 588.810,50c) R$ 570.000,50d) R$ 579.600,00e) R$ 588.882,50

C = 500000i = 5% a.m.t = 3 mM = ?

M = C . (1 + i )t

M = 500000 . (1 + 5%)3

M = 500000 . 1,1576M = 578800LETRA A


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2. Calcule o capital que produz o montante de R$ 112.360,00, taxa de 6% a.m. de juros compostos durante 2 meses :a) R$ 100.000,00b) R$ 145.000,00c) R$ 230.000,00d) R$ 214.000,00e) R$ 233.000,00

C = ?M= 112360i = 6% a.m.t = 2 m

M = C . (1 + i )t

112360 = C . (1 + 6%)2

112360 = C . 1,1236C = 100000

LETRA A

3. Qual o valor do capital que aplicado a 4% a.m. de juros compostos, produz ao final de 5 me-ses, um montante de R$ 1.300.000,00?a) R$ 1.088.551,70b) R$ 1.135.552,56c) R$ 1.222.642,60d) R$ 1.068.463,88e) R$ 1.155.897,32

C = ?i = 4% a.m.t = 5 mM = 1300000

M = C . (1 + i )t

1300000 = C . (1 + 4%)5

1300000 = C . 1,2167C = 1068463,88

LETRA D

Prtica1. Aplicaram-se R$ 400.000,00 a 9% ao bimestre

de juros compostos, durante 1 ano e 4 meses. O valor do capital acumulado :a) R$ 792.067,06b) R$ 797.025,06c) R$ 700.000,00d) R$ 733.867,53e) R$ 730.800,53

2. Calcular o valor do montante final da aplica-o de R$ 300.000,00 taxa composta de 6% ao ms, durante 5 meses.a) R$ 303.337,67b) R$ 501.433,67c) R$ 401.467,67d) R$ 601.457,65e) R$ 501.565,65

3. Aps 8 meses de aplicao a 7% ao ms de ju-ros composto, o capital acumulado era igual a R$ 1.374.552,00. Qual o valor do capital apli-cado?a) R$ 800.001,78b) R$ 789.661,78c) R$ 763.301,33d) R$ 850.601,33e) R$ 732.201,11

4. Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 15% a.a., produzir um montante de R$ 2.011.356,00?a) 5 anosb) 4 anosc) 6 anosd) 3 anose) 7 anos

5. O capital R$ 1.060.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses. Ao final do prazo o montante ser igual a R$ 1.288.440,00. Qual a taxa da aplicao?a) 9% a.m.b) 8% a.m.c) 7% a.m.d) 6% a.m.e) 5% a.m.

6. Um capital aplicado a 6% ao ms de juros composto, durante 8 meses. A que taxa de juros simples mensal, o mesmo capital deve-ria ser aplicado, durante o mesmo prazo, para produzir o mesmo montante?a) 7,42% a.m.b) 8,42% a.m.c) 9,42% a.m.d) 6,42% a.m.e) 5,42% a.m.

7. Um capital aplicado a 80% ao ano de juros simples, produziu ao final de 1 ano e 4 me-ses, um determinado montante. A que taxa mensal de juros compostos o mesmo capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante, durante o mesmo prazo?a) 4,6%b) 4,0%c) 5,2%d) 5,0%e) 5,8%


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8. Durante quantos meses o capital R$ 500.000,00 dever ser aplicado a 6% a.m. de juros compostos para se transformar em R$ 844.700,00?a) 5b) 8c) 7d) 6e) 9

9. Quantos bimestres so necessrios para o ca-pital R$ 1.000.000,00 se transformar em R$ 3.341.700,00, se for aplicado a 9% a.m. de ju-ros compostos?a) 5b) 8c) 7d) 6e) 9

10. A que taxa de juros compostos R$ 560.000,00 devem ser aplicados para produzirem o mon-tante de R$ 888.608,00 em 6 meses de aplica-o?a) 8% a.m.b) 7% a.m.c) 6% a.m.d) 5% a.m.e) 4% a.m.

11. O capital R$ 10.000,00 foi aplicado taxa composta de 5% ao trimestre, durante 8 anos. O valor do capital acumulado :a) R$ 38.566,88b) R$ 40.224,60c.) R$ 44.120,97d) R$ 47.647,65e) R$ 52.337,56

12. O capital de R$ 10.000,00 e aplicado 25% a.m. de juros compostos, durante 2 meses. Calcule o montante?a) R$ 15.000,00b) R$ 15.150,00c) R$ 15.350,00d) R$ 15.500,00e) R$ 15.625,00

TAXAS SIMPLESTAXA PERCENTUAL: aquela que possui o sm-

bolo de porcentagem junto a ela, ou melhor aquela aparecem nos exerccios. Exemplo: 20% a.m.

TAXA UNITRIA: a retirada do smbolo de porcento. Exemplo : 20/100 ou 0,20 (qualquer uma delas taxa unitria).

TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas so proporcionais, se mantiverem entre si a mesma ra-zo entre as taxas e os perodos de tempo a que se referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. proporcional a 10% a.m.

%1013%30

ii . Repare que 30% est

para 10% assim como 3 meses (1 trimestre) est para 1 ms.

TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas so equivalentes, se para um mesmo capital e para um mesmo perodo de tempo, produzirem montan-tes iguais. Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 30% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos abaixo para um melhor entendimento.

Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses.

130120

110100

0m 1m 2m 3mJ1 = 10 J2 = 10 J3 = 10

Aplicando R$100,00 a 30%a.m. durante 1 tri-mestre

Repare que as taxas de 10% a.m. e 30% a.t. so equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito.

130

100

0t 1tJ2 = 30


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Observao: Em Juros Simples, as taxas equiva-lentes so numericamente iguais s taxas proporcio-nais. Isto , o aluno pode usar qualquer modelo de transformao (equivalente ou proporcional) que o valor que ir encontrar servir para taxa proporcional ou equivalente.

importante ressaltar que apesar de numerica-mente iguais, taxas equivalentes e proporcionais, so teoricamente diferentes.


1. Qual a taxa anual simples equivalente taxa simples de 5% a.m.?a) 79,58%b) 69,58%c) 59,58%d) 78,88%e) 60.00%

i = ?% a.a. 5% a.m..5 . 12 = 60% a.a.LETRA E

2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros simples de 2% a.m.?a) 11,61%b) 10,61%c) 12,61%d) 13,61%e) 12,00%

i = ?% a.s. 2% a.m.2 . 6 = 12% a.s. LETRA E

3. Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 36% a.a.?a) 15%b) 16%c) 17%d) 18%e) 19%

i = ?% a.s.36% a.a.362

= 18% a.s.

LETRA D

4. Calcular a taxa mensal proporcional a juros simples de 84% a.a.?a) 5%b) 6%c) 7%d) 8%e) 9%

i = ?% a.m.84% a.a.8412 = 7% a.m.

LETRA C

TAXAS COMPOSTASTAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas so

proporcionais, se mantiverem entre si a mesma ra-zo entre as taxas e os perodos de tempo a que se referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. proporcional a 10% a.m.

%1013%30

ii . Repare que 30% est

para 10% assim como 3 meses ( 1 trimestre) est para 1 ms.

TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas so equivalentes, se para um mesmo capital e para um mesmo perodo de tempo, produzirem montantes iguais.

( ) ( )( ) ( )21

21

21

21

21

11

1.1.tt

tt

ii

iCiC

MM

+=++=+

=

Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 33,10% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos abaixo para um melhor entendimento.

Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses.

133,10121

110100

0m 1m 2m 3mJ1 = 10 J2 = 11 J3 = 12,10


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Aplicando R$100,00 a 33,10%a.t. durante 1 tri-mestre

133,10

100

0t 1tJ2 = 33,10

Repare que as taxas de 10% a.m. e 33,10% a.t. so equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito.

Encontrando a taxa equivalente de 10% a.m. sem montar o fluxo, usanado a frmula de equiva-lncia:

(1 + i1)t1 = (1 + i2)

t2

(1 + 10%)3 = (1 + i)11,3310 = 1 + ii = 1,3310 -1 i = 0,3310 (taxa equivalente unitria)i = 33,10% (taxa equivalente percentual)

Observao: No Juros Composto, as taxas equi-valentes so numericamente diferentes que as taxas proporcionais. Isto , voc no pode usar qualquer modelo de transformao (equivalente ou propor-cional) para transformar taxas, voc dever usar sem-pre que quiser transformar uma taxa o modelo de equivalncia.


1. Qual a taxa anual equivalente taxa compos-ta de 5% a.m.?a) 79,59%b) 69,58%c) 59,58%d) 78,88%e) 60.00%

(1 + i1)t1 = (1 + i

2)t2

(1 + 5%)12 = (1 + i)1

1,7959 = 1 + ii = 1,7959 -1 i = 0,7959 (taxa equivalente unitria)i = 79,59% (taxa equivalente percentual)LETRA A

2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros de 2% a.m.?a) 11,62%b) 10,62%c) 12,62%d) 13,62%e) 12,00%

(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2(1 + 2%)6 = (1 + i)1,1262 = 1 + ii = 1,1262 -1 i = 0,1262 (taxa equivalente unitria)i = 12,62% (taxa equivalente percentual)LETRA C

3. Calcular a taxa semestral equivalente a juros composta de 4% a.b.?a) 11,00%b) 12,49%c) 13,49%d) 14,49%e) 12,00%

(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2(1 + 4%)3 = (1 + i)11,1249 = 1 + ii = 1,1249 -1 i = 0,1249 (taxa equivalente unitria)i = 12,49% (taxa equivalente percentual)LETRA B

Prtica1. Qual a taxa anual equivalente taxa compos-

ta de 10% a.s.?a) 20%b) 21%c) 5%d) 18,88%e) 22.35%

2. Calcular a taxa semestral proporcional a juros composto de 36% a.a.?a) 15%b) 16%c) 17%d) 18%e) 19%


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3. Calcular a taxa semestral equivalente percen-tual juros compostos de 8,16% a.a.?a) 4%b) 4,08%

c) ( 12 0816,1 1).100%

d) ( 0816,1 1).100%

e) ( 0816,1 1)

4. Calcular a taxa mensal equivalente percentu-al a juros compostos de 69% a.b.?a) 34,5%b) 30%

c) ( 12 0816,1 1).100%

d) ( 0816,1 1).100%

e) ( 0816,1 1)

5. Calcular a taxa mensal equivalente unitria a juros compostos de 108% a.a.?

a) 12 08,1

b) 12 08,2

c) ( 12 08,1 1).100

d) 12 08,2 1

e) 12 08,1 1

6. Calcular a taxa semestral equivalente percen-tual a juros compostos de 8% a.a.?

a) 08,1 %

b) ( 08,1 1).100%

c) ( 8,1 1).100%

d) [( 08,1 1).100]%

e) 08,1 1

7. Qual a taxa anual composta equivalente a taxa de 4% a.m.?a) 60,10%b) 48,00%c) 59,26%d) 68,88%e) 58,88%

8. Calcular a taxa semestral equivalente a juros compostos de 10% a.m.a) 61,61%b) 70,61%c) 77,16%d) 60,00%e) 74,61%

9. Um capital foi aplicado a 4% ao ms de juros compostos. A que taxa anual o capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante?a) 60,10% a.a.b) 6,10% a.a.c) 50,10% a.a.d) 5,10% a.a.e) 7,10% a.a.

JUROS SIMPLES EXATOO juro que calculamos no primeiro captulo

chamado de juro comercial e o que iremos calcular neste captulo chama-se juro exato. A diferena entre eles est no fato que no juro comercial todos os meses apresentam 30 dias enquanto que no juro comercial o ms tem 30, 31, 28 ou 29 dias. Outra diferena entre eles, est no fato que o ano para o juro comercial apre-senta 360 dias enquanto que o juro exato apresenta 365 ou 366 dias. De resto, o processo de calculo o mesmo, inclusive a frmula: J = C . i . t

Separo aqui alguns problemas que o aluno pode ter, ao resolver exerccios de juros simples exato.

1 Problema: Descobrir se o ano ou no bissexto. Por que isso to importante? Para descobrir se fevereiro tem 28 ou 29 dias. Para resolver este problema, devemos dividir o ano por 4, se der resto 0, ento o ano bissexto e com isso fevereiro tem 29 dias, caso o resto for diferente de zero o ano no ser bissexto e com isso fevereiro ter 28 dias. Ver exemplo nos exerccios abaixo.

2 Problema: Realizar a contagem de quantos dias o capital foi aplicado. importante lembrar que o primeiro dia de aplicao contado e que o dia de resgate da aplicao no contado.

3 Problema: Quando for resolver um exerccio de juros simples exato, a taxa deve estar no perodo anual ou dirio. Por que a taxa deve estar no perodo anu-al? Para que ao transform-la para diria, possamos dividi-la por 366 ou 365, sendo assim teremos o que chamamos de taxa diria exata. Se a taxa estiver ao dia, no precisamos transform-la. Caso a taxa no esteja no perodo anual, devemos transform-la.


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1. Calcular o juro simples exato do capital R$ 3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?a) R$ 70,00b) R$ 72,00c) R$ 74,00d) R$ 76,00e) R$ 78,00

C = 3800

i = 5% a.a. = 100

5

t = 146 d = 365146

a

02/01/45 02030428/05/45

30 28 31 30 27 .146

o ano de 2005 no bissexto, em virtude disso fevereiro ter 28 dias.

J = C . i . t

J = 3800 . 365146.

1005

J = 76LETRA D

Prtica1. Calcular o juro simples exato do capital R$

5.000,00, colocado, taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?a) R$ 170,00b) R$ 120,00c) R$ 110,00d) R$ 100,00e) R$ 80,00

2. A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 8 de agosto de 2003 ao dia 2 de julho de 2004. Calcule os juros exatos obtidos, taxa de 10% ao ms.a) R$ 90,14b) R$ 90,00c) R$ 1080,00d) R$ 1081,64e) R$ 588,27

3. Um capital foi aplicado no dia 2 de maio de 1990 e o dia 14 de junho de 1991 havia rendi-do juro simples exato no valor de 6/5 de seu prprio valor. A que taxa anual o capital foi aplicado?a) 107,35%b) 95%c) 102,5%d) 110,5%e) 98,5%

PRAZO, TAXA E CAPITAL MDIO

Prazo Mdio

iC

tiCTm

.

..

Onde Tm o prazo mdio

Taxa Mdia

tC

tiC

.

..Im

Im a taxa mdia

Capital Mdio

ti

tiCCm

.

..

Cm o capital mdio


1. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 8% a.m., R$ 200,00 a 9% a.m. e R$ 100,00 a 6%a.m., sabe-se que o pra-zo de aplicaes so iguais. Qual a taxa mdia da aplicao?a) 10%a.m.b) 18%a.m.c) 8%a.m.d) 7,5%a.m.e) 25%a.m.

C1 = 300i1 = 8% a.m.t1 = t

C2 = 200i2 = 9% a.m.t2 = t

C3 = 100i3 = 6% a.m.t3 = t


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im = ( )( )tC

tiC...

= tttttt

.100.200.300.6.100.9.200.8.300

++++

= tttt

.600.600.1800.2400 ++ =

tt

.600.4800

im = 8% a.m. LETRA C

2. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 4% a.m. durante 2 meses, R$ 200,00 a 3% a.m. durante 3 meses e R$ 100,00 a 2%a.m. durante 3 ms. Qual a taxa mdia da aplicao?a) 8,0%a.m.b) 5,0%a.m.c) 6,5%a.m.d) 3,2%a.m.e) 15,0%a.m.

C1 = 300

i1 = 4% a.m.

t1 = 2 m

C2 = 200

i2 = 3% a.m.

t2 = 3 m

C3 = 100

i3 = 2% a.m.

t3 = 3 m

im = ( )( )tC

tiC...

= 3.1003.2002.3003.2.1003.3.2002.4.300

++++

= 30060060060018002400

++++

= 15004800

im = 3,2% a.m.LETRA D

3. Uma entidade financeira usa os seguintes critrios para investimento: R$ 40,00 em 180 dias, R$ 35,00 em 200 dias e R$ 25,00 em 360 dias. Qual o prazo mdio dos seus investi-mentos?a) 302b) 232c) 280d) 240e) 252

C1 = 40t1 = 180 di1 = i

C2 = 35T2 = 200 di2 = i

C3 = 25t3 = 360 di3 = i

tm =

( )( )iC

tiC...

=

iiiiii

.25.35.40360..25200..35180..40

=

iiii

.100.9000.7000.7200 ++

= i

i.100

.23200

tm = 232 dLETRA B

4. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 600,00 a 8% a.m., R$ 500,00 a 9% a.m. e R$ 400,00 a 3%a.m.. Qual o capital m-dio da aplicao?a) R$ 500,00b) R$ 451,00c) R$ 560,50d) R$ 525,00e) R$ 475,00

C1 = 600

i1 = 8% a.m.

t1 = t

C2 = 500

i2 = 9% a.m.

t2 = t

C3 = 400

i3 = 3% a.m.

t3 = t

Cm = ( )( )ti

tiC.

..

= ttt

ttt.3.9.8

.3.400.9.500.8.600++++

= t

ttt.20

.1200.4500.4800 = 31

124

Cm = 525LETRA D

Prtica1. Um investidor aplicou seu capital da seguinte

forma: metade do seu capital a 8% a.m., a tera parte do seu capital a 9% a.m. e o restante taxa de 6%a.m.. Qual a taxa mdia da aplicao?a) 10%a.m.b) 18%a.m.c) 8%a.m.d) 7,5%a.m.e) 25%a.m.

2. Uma entidade financeira usa os seguintes cri-trios para investimento: 40% dos seus recur-sos em 180 das, 35% de seus recursos em 200 dias e o restante em 360 dias. Qual o prazo mdio dos seus investimentos?a) 302 d) 240b) 232 e) 252c) 280


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3. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 16% ao ms, a tera parte do seu capital a 12% ao ms e o restante 6% ao ms. Qual a taxa mdia da aplicao?a) 10% a.m.b) 18 % a.m.c) 13% a.m.d) 11% a.m.e) 20% a.m.

CONVENO EXPONENCIALIrei colocar um ponto de vista meu neste tpico

que no interessa muito ao leitor, porm muito importante a citao deste para compreender me-lhor a conveno exponencial.

Muitos autores classificam este ponto com uma matria a ser explicada, eu no concordo com este ponto de vista, pois conveno exponencial nada mais do que juros composto e esta matria j foi explicada no captulo de juro composto.

Portanto no h o que explicar, o nico pon-to que preciso esclarecer que esta matria Juro Composto.

Veja o exemplo abaixo para entender que no existe nada a explicar.


1. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 por 40 meses taxa de 10% a.a. Qual o montan-te por ele recebido considerando-se a con-veno exponencial? (dado que (1+10%)1/3 = 1,0323)a.) R$ 13.739,91b.) R$ 15.587,84c.) R$ 14.984,47d.) R$ 11.317,11e.) R$ 13.181,81

C = 10000

t = 40m = 3a e 4 m ( 31

124

)i = 10% a.a.M = ?

M = C . (1 + i)t

M = 10000 . 31

3%101

M = 10000 . (1 + 10%)3 . 31

%101

M = 10000 . 1,3310 . 1,0323M = 13739,91LETRA A

Normalmente encontramos nos livros a seguin-te frmula de conveno exponencial

( ) ( )qpt iiCM ++= 1.1.Onde: t o tempo inteiro

qp o tempo fracionrio

CONVENO LINEARA conveno linear a utilizao de juro compos-

to e juro simples ao mesmo tempo em uma aplicao. Juro composto para o tempo inteiro e juro simples para o tempo fracionrio. Veja o exemplo abaixo para entender melhor o que estou escrevendo.

Exerccios Exemplos

2. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 por 40 meses taxa de 10% a.a. Qual o montante por ele recebido considerando-se a conven-o linear?a) R$ 11.411,25b) R$ 13.753,67c) R$ 12.477,27d) R$ 14.449,48e) R$ 15.455,55

C = 10000

t = 40m = 3a e 4 m (31

124

)i = 10% a.a.M = ?


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M = C . (1 + i)t

M = 10000 . 31

3%101

A resoluo do exerccio ir ser iniciada deste ponto em diante. Acima, temos a resoluo de conveno exponencial.

M = 10.000 . (1 + 10%)3 .

31.%101

M = 10.000 . 1,331 . 1,0333M = 13753,67LETRA B

Normalmente encontramos nos livros a seguin-te frmula de conveno linear

( )

++=

qpiiCM t .1.1.

Onde: t o tempo inteiro

qp

o tempo fracionrio

Perceba na frmula a concluso j explicada

acima. ( )ti+1 juro composto e

+

qpi .1

juro simples. Estamos misturando juro composto e juro simples nesta matria (conveno linear).

Comparando estas convenes

O montante da conveno linear ser sempre maior que o montante calculado pela conveno ex-ponencial, pois entre 0 e 1, juro simples maior que juro composto. Veja o exemplo abaixo:

(1+10%)1/3 = 1,0323 juro composto

31.%101 = 1,0333

juro simples

Prtica1. Qual o montante de um capital de R$

1.000.000,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Uti-lizando a conveno exponencial

(dado que (1 + 10%)1/2 = 1,0488)a) R$ 1.390.904,00b) R$ 1.312.933,67c) R$ 1.395.964,58d) R$ 1.355.554,67e) R$ 1.455.966,97

2. Qual o montante de um capital de R$ 1.000.000,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Uti-lizando a conveno linear.a) R$ 1.390.500,00b) R$ 1.397.550,00c) R$ 1.300.000,00d) R$ 1.090.050,00e) R$ 1.055.750,00

3. Um investidor aplicou R$ 20.000,00 por 44 meses taxa de 15% a.a. Qual o montante por ele recebido considerando-se a conven-o exponencial?

(dado que (1 + 15%)2/3 = 1,0977)a) R$ 33.387,87b) R$ 35.587,84c) R$ 34.484,47d) R$ 31.317,11e) R$ 30.181,81

4. Um investidor aplicou R$ 20.000,00 por 44 meses taxa de 15% a.a. Qual o montante por ele recebido considerando-se a conven-o linear?a) R$ 31.411,25b) R$ 33.459,25c) R$ 32.477,27d) R$ 34.449,48e) R$ 35.455,55


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DESCONTO COMPOSTODesconto uma operao financeira que retira

do valor de um ttulo um certo valor, em virtude do fato de no ter sido respeitado o prazo deste ttu-lo. O valor que receberemos aps ter sido retirado o desconto do valor do ttulo chamado de valor atual.

Portanto, podemos definir desconto como sendo a diferena entre o valor de um ttulo (valor nominal) e o valor do resgate do pelo ttulo (valor atual).

D = N - A

Onde D = desconto N = valor nominal ou valor de face

ou valor futuro ou valor do ttulo A = valor atual ou valor do resgate

ou valor resgatado ou valor presente ou valor des-contado

Temos um nico tipo de DESCONTO COM-POSTO a ser estudado, pelo edital:

DESCONTO RACIONAL (Desconto por den-tro) juros que pagamos, calculado sobre o valor atual.

( )[ ]11. += ftr iADFrmulas que podemos usar no exerccios de

desconto simples racional:

( ) ftiAN += 1.

( )[ ]11. += ftr iAD

( )( )

+

+=f

f

t

t

r iiND

111.

onde Dr = Desconto racional i = taxa unitria tf = tempo que falta para vencimento

do ttulo N = valor nominal A = valor atual.

Observao: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fr-mula.

2 Tipo: DESCONTO COMERCIAL ou (Des-conto por dentro) juros que pagamos, calculado sobre o valor atual.

( )[ ]ftc iND = 11.Frmulas que podemos usar no exerccios de

desconto simples racional:

( ) ftiNA = 1.

( )[ ]ftc iND = 11.

( )( )

=

f

f

t

t

c iiAD

111.

onde Dc = Desconto racional i = taxa unitria tf = tempo que falta para vencimen-

to do ttulo N = valor nominal A = valor atual.

Observao: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fr-mula.


1. Determinar o valor do desconto que um ttulo de R$ 408.150,00, com vencimento para 4 me-ses, dever sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto?a) R$ 108.150,00b) R$ 116.867,00c) R$ 146.464,54d) R$ 126.866,56e) R$ 136.855,25


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D = ?N = 408150tf = 4 mi = 8% a.m.

N = A . (1 + i)t

408150 = A . (1 + 8%)4

408150 = A . 1,3605A = 300000D = N AD = 108150LETRA A

2. Um ttulo disponvel ao fim de 6 meses foi des-contado a juros composto de 8% a.m. e se redu-ziu a R$ 40.000,00. Qual o valor do ttulo?a) R$ 56.176,26b) R$ 46.867,50c) R$ 50.464,54d) R$ 63.476,00e) R$ 76.866,56

tf = 6 m

i = 8% a.m.

A = 40.000

N = ?

N = A . (1 + i)t

N = 40.000 . (1 + 8%)6

N = 40.000 . 1,5869N = 63.476LETRA D

3. Um ttulo vale em sua data de vencimento, R$ 121.000,00. Um investidor quer saber quan-to tempo poder antecipar seu resgate para que, havendo um desconto composto de R$ 21.000,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a.a) 4 anosb) 3 anosc) 2 anosd) 1 anoe) 7 anos

N = 121.000D = 21.000A = N DA = 100.000t = ? ai = 10% a.a.

N = A . (1 + i)t

121000 = 100000 . (1 + 10%)4

000.100000.121

= (1 + 10%)t

1,21 = (1 + 10%)t

procurar na coluna do 10% o fator 1,21 e ver a qual tempo est associado este fator.t = 2 aLETRA C

4. O valor atual de um ttulo de R$ 700.000,00 vencvel em 4 meses R$ 478.109,72. Qual a taxa de juros compostos vigente?a) 9% a.m.b) 15% a.m.c) 10% a.m.d) 18% a.m.e) 8% a.m.

N = 700.000t = 4 mA = 478109,72i = ?% a.m.

N = A . (1 + i)t

700000 = 478109,72 . (1 + i)4

72,478109700000

= (1 + i)4

1,4116 = (1 + i)4

procurar na linha do tempo 4, o fator 1,4116 e ver a qual taxa est associado este fator.i = 9% a.m.LETRA A

5. Um ttulo obteve um desconto de R$ 4.641,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual dever ser o valor de resgate do ttulo?a) R$ 8.500,00b) R$ 9.500,00c) R$ 10.500,00d) R$ 9.000,00e) R$ 10.000,00

D = 4641A = ?tf = 4 mi = 10% a.m.

N = A . (1 + i)t

N = A . (1 + 10%)4

N = A . 1,4641

D = N A

4641 = 1,4641A - A4641 = 0,4641AA = 10000LETRA E

6. Determinar o valor do desconto comercial que um ttulo de R$ 600.000,00, com vencimento para 4 meses, dever sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto?a) R$ 158.980,00b) R$ 170.160,00c) R$ 146.460,00d) R$ 132.780,00e) R$ 166.540,00


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Dc = ?N = 600000tf = 4 mi = 8% a.m.

A = N . (1 - i)t

A = 600000 . (1 - 8%)4

A = 600000 . 0,7164A = 429840D = N ADc = 170160LETRA B

7. Um ttulo disponvel ao fim de 6 meses foi des-contado comercialmente a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ 12.128,00. Qual o valor do ttulo?a) R$ 22.175,35b) R$ 20.000,00c) R$ 25.464,54d) R$ 26.866,56e) R$ 24.326,45

A = 12128N = ?tf = 6 mi = 8% a.m.

A = N . (1 - i)t

12128 = N . (1 - 8%)6

12128 = N . 0,6064A = 20000LETRA B

Prtica1. Uma letra de cmbio no valor nominal de R$

8.000,00 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento. Qual o valor de resgate, se a taxa composta de juros corrente for de 4% a.m.?a) R$ 6.638,66b) R$ 5.832,63c) R$ 3.238,22d) R$ 5.855,52e) R$ 6.838,63

2. Pedro receber R$ 20.000,00 como parte sua numa herana. Contudo, necessitando do di-nheiro 4 meses antes da data de recebimento prope a um amigo a venda de seus direitos por R$ 16.454,05. Que taxa de juros anual Pe-dro pagou?a) 5,00% a.a.b) 73,77% a.a.c) 9,50% a.a.d) 79,59% a.a.e) 55,55% a.a.

3. Se existe a possibilidade de ganhar 3% a.m., que desconto racional devo exigir na compra de um ttulo no valor nominal de R$ 15.800,00, vencvel em 2 meses?a) R$ 906,98b) R$ 868,18c) R$ 110,11d) R$ 868,78e) R$ 915,12

4. Uma Nota Promissria foi quitada 6 meses an-tes de seu vencimento taxa de 6,0% ao ms de desconto composto. Sendo o valor nomi-nal da promissria R$ 670.000,00. Qual o va-lor do desconto concedido?a) R$ 227.676,42b) R$ 197.676,43c) R$ 337.654,82d) R$ 187.876,88e) R$ 145.663,13

5. Em um ttulo no valor nominal de R$ 6.500,00, o desconto racional sofrido foi de R$ 2.707,31. Se a taxa de juros de mercado for de 8,0% ao ms, qual dever ser o prazo de antecipao?a) 3 mesesb) 6 mesesc) 7 mesesd) 12 mesese) 2 meses

6. Determinar o prazo de antecipao de um ttulo de R$ 236.736,30, que dever ser des-contado a 9% ao ms de desconto compos-to e que gerou um valor descontado de R$ 100.000,00.a) 4 mesesb) 8 mesesc) 1 ano e 8 mesesd) 10 mesese) 2 anos e 3 meses

7. Um ttulo vai ser resgatado dois meses antes do seu vencimento. Sabendo que foi adota-do o critrio do desconto racional compos-to, a taxa de 15% a.m., qual o valor descon-tado desse ttulo de valor nominal igual a R$ 100.000,00?a) R$ 75.614,37b) R$ 95.619,25c) R$ 99.694,35d) R$ 55.514,57e) R$ 72.214,22


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8. Um ttulo vale em sua data de vencimento, R$ 100.000,00. Um investidor quer saber quanto tempo poder antecipar seu resgate para que, havendo um desconto comercial composto de R$ 27.100,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a.a) 4 anosb) 3 anosc) 2 anosd) 1 anoe) 7 anos

9. O valor atual comercial de um ttulo de R$ 700.000,00 vencvel em 4 meses R$ 479.990,00. Qual a taxa de juros compostos vigente?a) 9% a.m.b) 15% a.m.c) 10% a.m.d) 18% a.m.e) 8% a.m.

10. Determinar o valor do desconto bancrio que um ttulo de R$ 600.000,00, com vencimento para 4 meses, dever sofrer se for desconta-do a 8% a.m. de desconto composto, sabendo que os encargos administrativos de 5%?a) R$ 160.650,00b) R$ 170.160,00c) R$ 180.650,00d) R$ 190.650,00e) R$ 200.160,00

11. Descontando-se um ttulo de valor nominal de R$ 10.500,00 dois meses antes de seu ven-cimento, taxa de desconto de 3% ao ms e de acordo com o critrio do desconto comer-cial composto, o valor do desconto na opera-o dea) R$ 600,00b. R$ 610,00c) R$ 615,15d) R$ 620,55e) R$ 639,45

DESCONTO SIMPLESDesconto uma operao financeira que retira

do valor de um ttulo um certo valor, em virtude do fato de no ter sido respeitado o prazo deste ttu-lo. O valor que receberemos aps ter sido retirado o desconto do valor do ttulo chamado de valor atual.

Portanto, podemos definir desconto como sen-do a diferena entre o valor de um ttulo (valor no-minal) e o valor do resgate do ttulo (valor atual).

D = N - A

Onde D = desconto N = valor nominal ou valor de face

ou valor futuro ou valor do ttulo A = valor atual ou valor do resgate

ou valor resgatado ou valor presente ou valor des-contado

Temos dois tipos de DESCONTO SIMPLES a ser estudado, pelo edital:

DESCONTO RACIONAL (Desconto por den-tro) juros que pagamos, calculado sobre o valor atual.

Dr = A . i . tf

Frmulas que podemos usar no exerccios de desconto simples racional:

N = A . ( 1 + i . tf )

Dr = A . i . tf

Dr = N . i . tf . ( 1 + i . tf )

Onde Dr = Desconto racional i = taxa unitria tf = tempo que falta para vencimen-


Observao: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fr-mula

DESCONTO COMERCIAL (Desconto por fora) juros que pagamos, calculado sobre o valor nominal.

Dc = N . i . tf

Frmulas que podemos usar no exerccios de desconto simples comercial:

A = N . ( 1 - i . tf )


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Dc = N . i . tf

Dc = A . i . tf . ( 1 - i . tf )

Onde Dc = Desconto comercial i = taxa unitria tf = tempo que falta para vencimen-


Observao: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fr-mula

Relao entre os descontos racio-nal e desconto comercial

1.) Dc > Dr

2.) Dc = Dr . ( 1 + i . tf )


1. Qual o valor racional nominal de um ttulo, cujo valor atual vale R$ 200,00, dois meses an-tes do vencimento e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.?a) R$ 180,00b) R$ 192,00c) R$ 200,00d) R$ 220,00e) R$ 240,00

N = ?

A = 200

tf = 2 m

i = 10% a.m. = 10010

N = A (1 + i . t)

N = 200 . (1 + 10010

. 2)

N = 200 . ( 100120

)

N = 240LETRA E

2. Qual o valor comercial atual de um ttulo, dois meses antes do vencimento, cujo valor nominal vale R$ 240,00, e cuja taxa combina-da fora de 10% a.m.?a) R$ 180,00b) R$ 192,00c) R$ 200,00d) R$ 220,00e) R$ 240,00

A = ?tf = 2 mN = 240

i = 10% a.m. = 10010

A = N (1 i . t)

A = 240 . (1 10010

. 2)

A = 240 . ( 100120

)

A = 192LETRA B

3. Calcule o desconto por dentro e o valor atu-al de um ttulo no stimo ms aps feito ne-gcio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00?a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00Dr = ?A = ? i = 120% a.a. = 10% a.m. =

10010

N = 3000tf = 5 m

N = A (1 + i . t)

3000 = A . (1 + 100150

. 5)

3000 = A . ( 100150

)

A = 2000Dr = 3000 2000Dr = 1000LETRA A


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4. Calcule o desconto por fora e o valor atual de um ttulo no stimo ms aps feito negcio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor no-minal de R$ 3.000,00?a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00

Dc = ?A = ?

i = 120% a.a. = 10% a.m. = 10010

N = 3000tf = 5 m

A = N (1 i . t)

A = 3000 . (1 10010

. 5)

A = 3000 . ( 10050

)A = 1500Dc = 3000 1500Dc = 1500LETRA B

Prtica1. Se tenho um ttulo com valor nominal de R$

15.000,00.com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% a.a. qual o valor atual racional deste ttulo hoje?a) R$ 9.600,00b) R$ 8.700,00c) R$ 9.500,00d) R$ 8.000,00e) R$ 10.000,00

2. Se tenho um ttulo com valor nominal de R$ 10.400,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual racional deste t-tulo 2 meses antes do seu vencimento?a) R$ 10.315.00b) R$ 12.610,00c) R$ 10.000,00d) R$ 9.615,00e) R$ 14.655,00

3. Se tenho um ttulo com valor nominal de R$ 28.000;00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual! o valor atual racional deste t-tulo 4 meses depois de adquirido o ttulo?a) R$ 11.600,00b) R$ 11.611,00c) R$ 8.225,00d) R$ 9.220,00e) R$ 20.000,0

4. Se tenho um ttulo com valor nominal de R$ 10.000,00 e com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% .a.a., qual o valor atual comercial des-te ttulo 2 meses antes do seu vencimento?a) R$ 10.315,00b) R$ 12.610,00c) R$ 10.000,00d) R$ 9.600,00e) R$ 14.855;00

5. Se tenho um ttulo com valor nominal de R$ 20.000,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual comercial deste ttulo 4 meses depois de adquirido o ttulo?a) R$ 11.800,00b) R$ 11.611,00c) R$ 8.225,00d) R$ 9.220,00e) R$ 12.000,00

6. Determine o desconto racional obtido ao reportar-se uma letra de valor nominal R$ 7.200,00 a 10% a.m. 2 meses antes de seu ven-cimento.a) R$ 12,000,00b) R$ 1.200,00c) R$ 120,00d) R$ 120.000,00e) R$ 12,00

7. Determine a desconto comercial sofrido por um ttulo de R$ 7.200,00 descontado a 2 me-ses antes de seu vencimento a uma taxa de 10% a.m..a) R$ 144.000,00b) R$ 14.400,00c) R$ 8.440,00d) R$ 1.440,00e) R$ 11.200,00


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8. (TTN-89) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um ttulo com seu vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de Cr$ 29.500,00 e eu desejo ga-nhar 36% ao ano, de:a) Cr$ 24.000,00b) Cr$ 25.000,00c) Cr$ 27.500,00d) Cr$ 18.880,00e) Cr$ 24,190,00

9. Quanto tempo antes de seu vencimento foi paga uma letra de R$ 20.000,00, desconta-da a 6% a.a. o desconto comercial foi de R$ 2.400,00?a) 25 mesesb) 1 anoc) 10 mesesd) 3 anose) 2 anos

10. Uma letra, faltando 8 meses para seu ven-cimento, sofre o desconto por fora de R$ 3.200,00. Calcular o valor atual, sendo a taxa de 12% a.a.a) R$ 38.800,00b) R$ 38.600,00c) R$ 36.000,00d) R$ 36.800,00e) R$ 38.000,00

11. Uma letra de R$ 880.000,00 foi apresentada para desconto racional, faltando 1 ano e 3 meses para o seu vencimento. A que taxa foi descontada, se pagou R$ 800.000,00?a) 10% a.a.b) 9% a.a.c) 8% a.a.d) 7% a.a.e) 6% a.a.

12. (TTN-92-RIO) O valor atual de um ttulo igual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto sabendo-se que o pagamento foi antecipado de 5 meses.a) 200% a.a.b) 20% a.m.c) 25% a.m.d) 28% a.m.e) 220% a.a.

13. Um ttulo obteve um desconto racional sim-ples de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual dever ser o nominal do t-tulo?a) R$ 14.000,00b) R$ 9.500,00c) R$ 10.500,00d) R$ 9.000,00e) R$ 10.000,00

14. Um ttulo obteve um desconto comercial sim-ples de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual dever ser o valor de resga-te do ttulo?a) R$ 8.500,00b) R$ 9.500,00c) R$ 6.000,00d) R$ 9.000,00e) R$ 10.000,00

15. O desconto comercial simples de um ttulo seis meses antes do seu vencimento de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 10% ao ms, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.a) R$ 375,00b) R$ 600,00c) R$ 800,00d) R$ 700,00e) R$ 500,00

Equivalncia de Capitais no Juro Composto. (Rendas variveis)

O objetivo dessa matria trocar ttulos que vencem em datas futuras por outros ttulos que ven-cem em datas diferentes daquelas anteriores. Outro objetivo desta matria calcular a taxa de juros que uma empresa aplica ao trocar ttulos.

O segredo da matria capitalizar (aumentar o valor do ttulo) o ttulo, caso a troca seja por uma data futura ou descapitaliz-lo (diminuir o valor do ttulo) , caso a troca seja por uma data anterior do vencimento do ttulo.


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Veja os grficos abaixo para entender melhor o processo.

Exemplo 1

T T+1

Exemplo de Capitalizao de um ttulo.

X

Quando capitalizamos um ttulo, encontramos o valor nominal dele. Para isso devemos utilizar a seguinte frmula.

( )TiAN += 1.Onde N o valor nominal. A o valor atual. i a taxa. t o nmero de perodos que capita-

lizamos.

Vejamos abaixo o novo valor do ttulo.

T T+1

X

11. iX

Exemplo 2

T T+1

X

Exemplo de Descapitalizao de um ttulo.

Quando descapitalizamos um ttulo, encontra-mos o valor atual dele. Para isso tambm devemos utilizar a mesma frmula, porm isolando o valor atual.

( )TiNA+

=1

onde N o valor nominal. A o valor atual. i a taxa. t o nmero de perodos que desca-

pitalizamos.


T T+1

X

11 iX


1. Um capital de R$ 900,00 disponvel em 90 dias, equivalente a outro capital, disponvel em 150 dias, taxa de 5% a.m., qual o valor do outro capital?a) R$ 879,35b) R$ 987,70c) R$ 992,25d) R$ 995,50e) R$ 1.008,00

90 d (3 m) 150 d (5 m)

900 X

X = 900 . ( 1 + 5% )5 -3

X = 900 . ( 1 + 5% )2

x = 900 . 1,1025x = 992,25LETRA C

2. Qual o valor do capital, disponvel em 210 dias, equivalentes a R$ 10.000,00, disponvel em 90 dias, taxa de 10% a.m.?a) R$ 13.331,00b) R$ 14.641,00c) R$ 15.400,00d) R$ 17.350,00e) R$ 18.151,00


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90 d (3 m) 210 d (7 m)

10000 X

X = 10000 . ( 1 + 10% )7 -3

X = 10000 . ( 1 + 10% )4

x = 10000 . 1,4641x = 14641LETRA B

3. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto com-posto de mercado 10% a.m.?a) R$ 398,00b) R$ 405,15c) R$ 370,18d) R$ 359,00e) R$ 365,00

X

60 d (2 m) 90 d (3 m) 120 d (4 m)

180 220

X = 180 . ( 1 + 10% )3-2 + 34%101

220

X = 180 . ( 1 + 10% )1 + 1%101

220

X = 180 . 1,1 + 1,1220

X = 198 + 200X = 398LETRA A

4. Precisamos trocar trs ttulos com vencimen-tos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros ttulos de mes-mo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto composto, a uma taxa de 10% a.m., qual o va-lor nominal desses ttulos.a) R$ 1.900,00b) R$ 1.915,40c) R$ 1.800,75d) R$ 1.993,48e) R$ 1.887,70

X

1 m 2 m 3 m 4 m 6 m

1000 1000

X

1000

X + X . ( 1 + 10% )6-4 = 1000 . ( 1 + 10% )6-3 + 1000 . ( 1 + 10% )6-2 + 1000 . ( 1 + 10% )6-1

X + X . ( 1 + 10% )2 = 1000 . ( 1 + 10% )3 + 1000 . ( 1 + 10% )4 + 1000 . ( 1 + 10% )5

X + X . 1,21 = 1000 . 1,331 + 1000 . 1,4641 + 1000 . 1,6105

2,21 . X = 1331 + 1464,10 + 1610,502,21 . X = 4405,60

X = 21,260,4405

X = 1993,48LETRA D

Prtica1. Um capital de R$ 1.000,00 disponvel em 90 dias,

equivalente a um outro capital, disponvel em 150 dias, taxa de 5% ao ms de desconto com-posto, qual o valor do outro capital?a) R$ 1.276,30b) R$ 1.107,70c) R$ 1.102,50d) R$ 1.055,50e) R$ 1.108,00


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2. Qual ser a taxa anual de desconto necess-rio, para que os capitais de R$ 2.000,00 e R$ 2.200,00, vencveis daqui a 2 e 3 anos, respec-tivamente, sejam equivalentes na data atual pelo regime de capitalizao composta.a) 12,5%b) 8,5%c) 11,5%d) 11,4%e) 10%

3. Qual o valor do capital, vencvel em 3 anos, equivalente a R$ 115.927,40 vencvel em 8 anos, taxa de 3% ao ano de desconto composto?a) R$ 260.000,00b) R$ 166.056,56c) R$ 166.250,00d) R$ 160.500,25e) R$ 100.000,00

4. Um ttulo de R$ 7.700,00 com vencimento para 120 dias, deve ser substitudo por outro ttulo, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de des-conto composto vigente 10% ao ms, qual ser o valor do novo ttulo?a) R$ 3.000,00b) R$ 4.000,00c) R$ 5.000,00d) R$ 6.000,00e) R$ 7.000,00

5. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 100,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado 10% ao ms?a) R$ 310,00b) R$ 340,15c) R$ 370,18d) R$ 329,00e) R$ 350,23

6. Um ttulo de R$ 6.000.000,00 com vencimen-to ao final de 6 meses, a contar da poca atual. Deve ser liquidado por meio de 2 pagamen-tos iguais, o primeiro, ao final de 3 meses, e o segundo, ao final de 5 meses. Sendo a taxa de juros compostos de mercado 10% ao ms, calcular o valor de cada pagamento.a) R$ 2.468.120,12b) R$ 1.418.120,11c) R$ 2.400.000,00d) R$ 1.468.120,00e) R$ 2.000.000,00

7. Precisamos trocar trs ttulos com vencimen-tos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros ttulos de mes-mo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto composto, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor nominal desses ttulos.a) R$ 1.900,00b) R$ 1.915,40c) R$ 1.800,75d) R$ 1.986,56e) R$ 1.887,70

Equivalncia de Capitais no Juro Simples. (Rendas variveis

e uniformes)O objetivo dessa matria trocar ttulos que

vencem em datas futuras por outros ttulos que ven-cem em datas diferentes daquelas anteriores. Outro objetivo desta matria calcular a taxa de juros que uma empresa aplica ao trocar ttulos.

O esquema da matria realizar a troca dos t-tulos na data focal zero, a no ser que no enunciado seja especfica a data de equivalncia.

Quando no especificado o tipo de desconto usaremos como conveno o desconto racional.

Irei dividir este tpico em duas partes: equiva-lncia usando desconto racional e equivalncia uti-lizando desconto comercial.

Primeiro caso: equivalncia usando desconto racional


Caso 1

T T+1

Data de equivalncia no futuro.

X


EDITORA APROVAO

Quando a data de equivalncia for no futuro, devemos capitalizar o(s) ttulo(s), desse modo, ire-mos encontrar o valor nominal dele(s). Para isso de-vemos utilizar a seguinte frmula.

( )tiAN .1. +=Onde N o valor nominal. A o valor atual. i a taxa. t o nmero de perodos que capita-

lizamos.Vejamos abaixo o novo valor do ttulo.

T T+1

X

1.1. iX

Caso 2

T T+1

X

Data de equivalncia no passado.

Quando a data de equivalncia for no passado, devemos descapitalizar o(s) ttulo(s), desse modo, iremos encontrar o valor atual dele(s). Para isso, tambm devemos utilizar a mesma frmula, porm isolando o valor atual.

( )tiNA

.1 +=

Onde N o valor nominal. A o valor atual. i a taxa. t o nmero de perodos que desca-

pitalizamos.


T T+1

X

1.1 iX

Alguns exemplos para facilitar o entendimento.


1. Uma impressora vendida vista por R$ 300,00 vista ou com uma entrada de 30% e mais um pagamento de R$ 220,50 aps 30 dias. Qual a taxa mensal envolvida na operao?a) 5%b) 2%c) 10%d) 6%e) 20%

0 30 d (1 m)

300

90220,50


EDITORA APROVAO

300 = 90 + )1(50,220i

210 =

)1(50,220i

210 + 210i = 220,50210i = 10,50

i = 21050,10

i = 0,05 = 5% amLETRA A

2. Qual o valor do capital, disponvel em 120 dias, equivalente a R$ 10.500,00 disponvel em 75 dias taxa de 80% ao ano de desconto simples racional?a) R$ 10.400,00b) R$ 11.400,00c) R$ 10.000,00d) R$ 11.000,00e) R$ 10.500,00

80% ao ano de desconto simples racional

360120

.10080

136075

.10080

1

10500 X

9120

.1002

1975

.1002

1

10500 X

=

9001140

9001050

10500 X

1140105010500 X=

X = 10501140.10500

X = 11400LETRA B

3. Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com ven-cimentos respectivos em 150 e 360 dias, so equivalentes. Qual a taxa mensal de desconto simples racional vigente?a) 4%b) 5%c) 6%d) 7%e) 8%

0 150 d (5 m) 360 d (12 m)

500

700

)121(700

)51(500

ii

)121(7

)51(5

ii

5 + 60i = 7 + 35i25i = 2

i = 252

i = 0,08 = 8% a.m.LETRA D

Consideraes Finais

Sempre que realizarmos equivalncia de capitais, iremos realizar a equiva-lncia na data focal zero, a no ser que no enunciado seja especificado umadata de equivalncia. importante que fique bem claro que quando o enun-ciadoespecificarumadatafocal,fiquebemespecificadoqualseradata.Temque estar escrito algo tipo: faa a equi-valncia na data focal x, caso no seja especificado claramente a data focal,iremos utilizar a data focal zero.Quandonoespecificadootipodedes-conto usaremos como conveno o des-conto racional.


EDITORA APROVAO

Segundo caso: equivalncia usando desconto comercial


Caso 1

T T+1

Data de equivalncia no futuro.

X

Quando a data de equivalncia for no futuro, devemos capitalizar o(s) ttulo(s), desse modo, ire-mos encontrar o valor nominal dele(s). Para isso de-vemos utilizar a seguinte frmula.

( )tiAN

.1 =

Onde N o valor nominal. A o valor atual. i a taxa. t o nmero de perodos que capita-

lizamos.


T T+1

X

1.1 iX

Caso 2

T T+1

X

Data de equivalncia no passado.

Quando a data de equivalncia for no passado, devemos descapitalizar o(s) ttulo(s), desse modo, iremos encontrar o valor atual dele(s). Para isso, tambm devemos utilizar a mesma frmula, porm isolando o valor atual.

( )tiNA .1. =Onde N o valor nominal. A o valor atual. i a taxa. t o nmero de perodos que desca-

pitalizamos.


T T+1

X

1.1. iX

Alguns exemplos para facilitar o entendimento.


1. Uma empresa deve um ttulo de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desej-lo troc-lo por um outro que vencer na data 5, usando uma taxa simples comercial de 10% ao perodo, qual o valor do novo ttulo.a) R$ 1.760,00b) R$ 1.820,00c) R$ 1.950,00d) R$ 1.880,00e) R$ 1.700,00

0 3 5

1.300

X


EDITORA APROVAO

Devemos descapitalizar os dois ttulos e igua-lar eles, para o obter o valor de X.

5.

10010

1.3.10010

1.1300 X

1300 0,7 = X . 0,5X = 1820LETRA BO novo ttulo ter o valor de R$ 1.820,00 na

data 5.

2. Um capital de R$ 900,00 disponvel em 40 dias, equivalente a outro capital, disponvel em 100 dias, taxa de 60% a.a. de desconto simples co-mercial, qual o valor do outro capital?a) R$ 1.000,00b) R$ 2.000,00c) R$ 3.000,00d) R$ 4.000,00e) R$ 1.008,00

0 40 d 100 d

900

X

60% a.a. de desconto simples comercial

360100

.10060

1.36040

.10060

1.900 X

6100

.1001

1.640

.1001

1.900 X

600500.

600560.900 X=

X = 500560.900

X = 1008LETRA E

Consideraes Finais

Sempre que realizarmos equivalncia de capitais, iremos realizar a equiva-lncia na data focal zero, a no ser que no enunciado seja especificado umadata de equivalncia. importante que fique bem claro que quando o enun-ciadoespecificarumadatafocal,fiquebemespecificadoqualseradata.Temque estar escrito algo tipo: faa a equi-valncia na data focal x, caso no seja especificado claramente a data focal,iremos utilizar a data focal zero.Quandonoespecificadootipodedes-conto usaremos como conveno o des-conto racional.

Prtica1. Qual o valor do capital, vencvel em 45 dias,

equivalente a R$ 840.000,00 vencvel em 30 dias, taxa de 80% ao ano de desconto sim-ples racional?a) R$ 860.000,00b) R$ 866.000,00c) R$ 866.250,00d) R$ 860.500,00e) R$ 860.100,00

2. (AFC/93) Determinar a taxa de juros mensal para que sejam equivalentes hoje os capitais de Cr$ 1.000,00 vencvel em dois meses e Cr$ 1.500,00 vencvel em trs meses, consideran-do-se o desconto simples comercial.a) 15%b) 20%c) 25%d) 30%e) 33,33%

3. Um ttulo de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 1 ms, precisa ser troca-do por outro de valor nominal de R$ 700,00 com vencimento daqui a trs meses. Supondo o critrio de desconto racional simples, qual a taxa mensal que dever ser considerada?a) 25%b) 20%c) 30%d) 15%e) 10%


EDITORA APROVAO

4. Um ttulo de R$ 50.000,00 e outro de R$ 80.000,00, vencem respectivamente em 60 e 120 dias. Calcular o valor nominal de um ni-co ttulo com vencimento par 30 dias, a fim de substituir os dois primeiros. A taxa de descon-to simples comercial de 20% ao ms.a) R$ 57.500,00b) R$ 72.000,00c) R$ 55.000,00d) R$ 60.500,00e) R$ 65.000,00

5. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 200,00 ao fi-nal de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado 20% ao ms?a) R$ 300,00b) R$ 450,00c) R$ 370,00d) R$ 350,00e) R$ 200,00

6. O portador de um ttulo de R$ 800.000,00 com vencimento para 60 dias, quer troc-lo por dois outros, de igual valor, vencveis em 30 e 90 dias. Qual o valor de cada novo ttu-lo se a taxa de desconto simples comercial de mercado 120% ao ano?a) R$ 250.000,00b) R$ 350.000,00c) R$ 450.000,00d) R$ 550.000,00e) R$ 400.000,00

7. Precisamos trocar trs ttulos com vencimen-tos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros ttulos de mes-mo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de descon-to comercial simples, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor nominal desses ttulos.a) R$ 1.900,00b) R$ 2.000,00c) R$ 2.200,00d) R$ 2.100,00e) R$ 1.920,00

8. Uma empresa deve um ttulo de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desej-lo troc-lo por um outro que vencer na data 5, usando uma taxa simples de 10% ao perodo, qual o valor do novo ttulo.

a) R$ 1.400,00b) R$ 1.600,00c) R$ 1.300,00d) R$ 1.200,00e) R$ 1.500,00

9. Um som vendido da seguinte forma: entrada de R$ 500,00 e duas prestaes iguais de R$ 600,00. A primeira daqui a 30 dias e a segunda daqui a 90 dias. Se a loja opera com uma taxa de desconto igual a 20% a.m., qual o preo vista deste som?a) R$ 1.375,00b) R$ 1.220,00c) R$ 1.750,00d) R$ 1.300,00e) R$ 1.500,00

10. Uma empresa devedora de trs ttulos pag-veis em 6, 12 e 18 meses, com valores respec-tivamente de R$ 4.400,00, R$ 6.000,00 e R$ 7.800,00. Verificando que apenas daqui a 12 meses possuir recursos disponveis, prope liquidar esses trs ttulos nesta data. Qual ser o valor deste pagamento, se a taxa de ju-ros simples for de 20% a.a.?a) R$ 15.000,00b) R$ 17.500,00c) R$ 20.000,00d) R$ 22.500,00e) R$ 18.000,00

11. Precisamos trocar trs ttulos com vencimen-tos daqui a 6, 10 e 30 meses, todos com valo-res de R$ 1.000,00 por dois outros ttulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 40 e 60 meses. Considerando o regime de desconto simples racional, a uma taxa de 10% a.m., qual o valor nominal desses ttulos.a) R$ 2.250,00b) R$ 2.750,00c) R$ 3.000,00d) R$ 3.750,00e) R$ 4.250,00

12. Qual o valor do capital, disponvel em 80 dias, equivalente a R$ 800,00 disponvel em 60 dias taxa de 50% ao ano de desconto simples co-mercial?a) R$ 900,00b) R$ 915,00c) R$ 825,00d) R$ 805,00e) R$ 925,00


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13. Um ttulo de R$ 7.000,00 com vencimento para 120 dias, deve ser substitudo por outro ttulo, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente de 10% ao ms, qual ser o valor do novo ttulo?a) R$ 3.000,00b) R$ 4.000,00c) R$ 5.000,00d) R$ 6.000,00e) R$ 7.000,00

14. Uma empresa devedora de dois ttulos de $ 30.000,00 cada, vencveis em 3 e 4 meses, de-seja liquidar a dvida com um nico pagamen-to no quinto ms. Calcular o valor desse paga-mento empregando a taxa simples comercial de 15% a.m.a) $ 114.000,00b) $ 90.000,00c) $ 100.000,00d) $ 110.000,00e) $ 120.000,00

TAXAS NOMINAL E TAXA EFETIVA NO

COMPOSTOTAXA NOMINAL: a taxa que no coincide

com o perodo de capitalizao de uma aplicao

TAXA EFETIVA: a taxa que coincide com o perodo de capitalizao de uma aplicao

Observao: Para transformar uma taxa nomi-nal em efetiva ou vice-versa, devemos utilizar o con-ceito de proporcionalidade entre as taxas.

Veja o exemplo abaixo para uma melhor com-preenso.

Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, taxa de 44% a.a. com capitalizao semestral. Qual o montante dessa aplicao?

Resoluo errada usando taxas equivalentes:

C = 10000t = 1 a = 2 si = 44% a.a. taxa nominal

devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resoluo do exerccio.

Usaremos o conceito de taxas equivalentes(1 + i1)

t1 = (1 + i2)t2

(1 + 44%)1 = (1 + i)2

1,44 = (1 + i)2

44,1 = 1 + i1,2 = 1 + ii = 0,2i = 20% (suposta taxa efetiva)

M = C . (1 + i)tM = 10000 . (1 + 44%)1M = 10000 . 1,44M = 14400

Usando a suposta taxa efetiva, repare que iremos obter o mesmo montante, sendo assim no haveria necessidade de transfor-mao das taxas e conseqentemente no haveria a necessidade da existncia desta matria. Em virtude disso, quando formos transformar a taxa nominal em taxa efetiva usaremos sempre o conceito de taxas pro-porcionais.

M = C . (1 + i)t

M = 10000 . (1 + 20%)2M = 10000 . 1,44M = 14400

Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a ju-ros compostos, durante 1 ano, taxa de 44% a.a. com capitalizao semestral. Qual o mon-tante dessa aplicao?

Resoluo correta usando taxas proporcionais

C = 10000t = 1 a = 2 si = 44% a.a. taxa nominaldevemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resoluo do exerccio.i = 22% a.m. taxa efetiva


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M = C . (1 + i)t

M = 10000 . (1 + 44%)1

M = 10000 . 1,44M = 1400

Perceba-se como o valor do montante ser maior e diferente.M = C . (1 + i)t

M = 10000 . (1 + 22%)2

M = 10000 . 1,4884M = 14884


1. Um capital de R$ 1.000.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, taxa de 60% a.a. com capitalizao mensal. Qual o montante dessa aplicao?a) R$ 1.795.900,00b) R$ 1.600.567,00c) R$ 1.700.000,00d) R$ 1.450.340,00e) R$ 1.610.000,00

C = 1000000t = 1 a = 12 mi = 60% a.a. taxa nominal


i = 5% a.m. taxa efetivaM = C . (1 + i)t

M = 1000000 . (1 + 5%)12

M = 1000000 . 1,7959M = 1795900LETRA A

2. Qual o montante de uma aplicao de R$ 1.000.000,00, a juros compostos, durante 6 meses taxa de 36% a.a., capitalizados men-salmente?a) R$ 1.167.066,00b) R$ 1.450.597,00c) R$ 1.194.000,00d) R$ 1.190.340,00e) R$ 1,203,456,00

M = ?C = 1000000t = 6 mi = 36% a.a. taxa nominal


i = 3% a.m. taxa efetivaM = C . (1 + i)t

M = 1000000 . (1 + 3%)6M = 1000000 . 1,1941M = 1194000LETRA C

3. Determine o prazo de uma aplicao de R$ 550.000,00, a juros compostos, capitalizados mensalmente, se desejo obter um montan-te de R$ 1.106.215,00, a taxa de juro de 15% a.m.a) 2 mesesb) 3 mesesc) 4 mesesd) 5 mesese) 6 meses

t = ? mC = 550000M = 1106215i = 15% a.m.

a taxa em questo j efetiva.

M = C . (1 + i)t

1106215 = 550.000 (1 + 15%)t

t%)61(550000

1106215 +=

2,0114 = (1 + 15%)t

procurar na coluna do 15% o fator 2,0114 e ver a qual tempo est associado este fator.

t = 5 m

LETRA D


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4. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$ 1.200.000,00, aplicado durante 1 ano, com ca-pitalizao mensal, atinja um montante de R$ 3.021.720,00?a) 4% a.m.b) 8% a.m.c) 5% a.m.d) 9% a.m.e) 10% a.m.

C = 1200000

t = 1 a = 12 m

M = 3021720

i = ?% a.m.

M = C . (1 + i)t

3021720 = 1200000 . (1 + i)1212)1(

12000003021720 i+=

2,5181 = (1 + i)12

procurar na linha do tempo 12 o fator 2,5181 e ver a taxa que est associado este fator.

i = 8% a.m.LETRA B

5. A taxa de juros nominal de 48% a.s., capitali-zada mensalmente, equivale taxa semestral de:a) 8,00%b) 17,00%c) 25,00%d) 48,00%e) 58,69%

i = 48% a.s. taxa nominal

devemos transformar a taxa nominal em taxa efe-tiva para a resoluo do exerccio.

i = 8% a.m. taxa efetiva8% a.m. % a.s.

(1 + 8%)6 = (1 + i)11,5869 = 1 + ii = 1, 5869 -1 i = 0, 5869 (taxa equivalente unitria)i = 58,69% (taxa equivalente percentual)LETRA E

Prtica1. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$

1.200.000,00, aplicado durante 1 ano, com ca-pitalizao mensal, atinja um montante de R$ 2.155.027,20.a) 4% a.m.b) 8% a.m.c) 5% a.m.d) 9% a.m.e) 10% a.m.

2. Um ttulo de valor nominal de R$ 500.000,00 vai ser resgatado trs meses antes do venci-mento, sob o regime de desconto racional composto. Sabendo-se que a taxa de descon-to racional de 96% a.a., qual o valor descon-tado e o desconto, considerando capitaliza-o mensal?a) R$ 396.916,00 e R$ 103.083,88b) R$ 390.900,00 e R$ 100.080,00c) R$ 396.010,00 e R$ 103.080,88d) R$ 300.916,00 e R$ 100.083,88e) R$ 306.916,00 e R$ 100.080,88

3. (AFC/94) Quanto se deve investir hoje, taxa nominal de juros de 20% ao no, capitalizados trimestralmente, para se obter R$ 100.000,00 daqui a 5 anos?a) R$ 37.680,00b) R$ 30.000,00c) R$ 26.530,00d) R$ 23.020,00e) R$ 8.333,00

4. (AFC/93) A taxa de juros nominal de 30% ao semestre, capitalizados mensalmente equiva-le taxa semestral de:a) 5%b) 12%c) 15%d) 30%e) 34%

5. (AFC/94) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalizao semestral. Qual a anual taxa efetiva?a) 27,75%b) 29,50%c) 30%d) 32,25%e) 35%


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6. Um banco paga juros compostos de 20% a.a., com capitalizao semestral, Qual a taxa anual efetiva?a) 20%b) 25%c) 23%d) 21%e) 24%

TAXA EFETIVA E NOMI-NAL NO JURO SIMPLES

Sempre que o valor do desconto comercial sim-ples for equivalente ao desconto racional simples, a taxa do desconto comercial ser chamada de taxa nominal enquanto que a taxa do desconto racional ser chamada de taxa efetiva. interessante que quando acontecer o mencionado acima, o valor atu-al racional e o valor atual comercial tambm sero iguais.

Saliento que alguns autores atribuem outros nomes paras essas duas taxas, veja abaixo:

Taxa do desconto racional = taxa efetiva = taxa real = taxa linear = taxa de juros simples = taxa im-plcita.

Taxa do desconto comercial = taxa nominal = taxa estabelecida.

Relao entre as taxas efetivas e comerciais

1.) A taxa efetiva ser sempre maior que a taxa nominal.

2.) ( )titiNtiN

DD

r

rc

rc

.1....

+=

=

simplificando N e t, te-

mos: ( )ti

iir

rc .1+=

3.) ( )ti

tiAtiA

DD

c

cr

cr

.1..

..

=

=

simplificando A e t, te-

mos: ( )tiii

c

cr .1=

Observao: Repare que para resolver um exer-ccios desta matria o valor nominal ou o valor atual so desprezveis. O motivo desta concluso est no fato que ao deduzir as duas frmulas acima, os valo-res atuais e nominais so simplificados ao deduzir as duas frmulas.


1. Desconto simples por fora a uma taxa de 20% ao ms aplicado por 1 ms equivalente a desconto por dentro, tambm aplicado por 1 ms, a uma taxa mensal de:a) 10%b) 15%c) 17%d) 20%e) 25%

ir = ?% a.m.ic = 20% a.m. = 0,20tf = 1m

( )tiii

c

cr .1=

1.20,0120,0

ri

80,020,0

ri

ir = 0,25 = 25% a.m.LETRA E

2. Calcule a taxa simples efetiva mensal de uma aplicao feita utilizando desconto simples por fora a uma de 20% ao ms por 1 ms.a) 10%b) 15%c) 17%d) 20%e) 25%

Antes da resoluo desta, bom enfatizar que o enunciado dela apresenta a mesma idia do enunciado da questo nmero trs.


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ir = ?% a.m.ic = 20% a.m. = 0,20tf = 1m

( )tiii

c

cr .1=

1.20,0120,0

ri

80,020,0

ri

ir = 0,25 = 25% a.m.LETRA E

3. Desconto simples por dentro a uma taxa de 25% ao ms aplicado por 1 ms equivalente a desconto por fora, tambm aplicado por 1 ms, a uma taxa mensal de:a) 10%b) 15%c) 17%d) 20%e) 25%

ic = ?% a.m.ir = 25% a.m. = 0,25tf = 1m ( )ti

iir

rc .1+=

1.25,0125,0

ci

25,125,0

ci

ic = 0,20 = 20% a.m.LETRA D

4) Calcule a taxa simples nominal mensal de uma aplicao feita utilizando desconto simples por dentro a uma de 25% ao ms por 1 ms.a) 10%b) 15%c) 17%d) 20%e) 25%

Antes da resoluo desta, bom enfatizar que o enunciado dela apresenta a mesma idia do enunciado da questo nmero trs.

ic = ?% a.m.ir = 25% a.m. = 0,25tf = 1m ( )ti

iir

rc .1+=

1.25,0125,0

ci

25,125,0

ci

ic = 0,20 = 20% a.m.LETRA D

Prtica1. (Controladoria-RJ/00) Uma promissria de R$

240.000,00 descontada em um banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Se a operao resulta em uma taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao ms, a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco de a) 15,0%b) 10,0%c) 9,5%d) 8,5%e) 6,5%.

2. Calcule taxa de juros simples mensais que um ttulo descontado pelo desconto comercial, utilizando taxa de 16% a.b. em 5 meses:a) 0,80%b) 6,50%c) 13,3%d) 40,0%e) 80,0%.

3. Calcule taxa nominal simples mensal que um ttulo descontado pelo desconto racional sim-ples, utilizando taxa de 6% a.m. em 5 meses:a) 5,00%b) 3,59%c) 2,38%d) 4,62%e) 5,50%.

4. (AFC05) Marcos descontou um ttulo 45 dias an-tes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do ttulo e o valor mais prximo da taxa efetiva da operao so, respectivamente, iguais a:a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao msb) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao msc) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao anod) R$ 400.000,00 e 60 % ao anoe) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao ms


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RENDA CERTA OU RENDA UNIFORME

(Rendas Uniformes)O objetivo desta matria o mesmo da matria

anterior, porm nesta matria os ttulos apresen-tam os mesmos valores e os vencimentos so conse-cutivos, o que nos levar a ter um jeito alternativo e mais rpido para resolver os exerccios.

Iremos apresentar o novo jeito de resolver os exerccios de equivalncia de capitais que se ade-quam ao caso abordado acima.

Quando lidamos com uma srie de pagamentos (entradas) iguais e sucessivas, teremos dois casos de exerccios para resolver:

O primeiro caso iremos encontrar o va-lor atual dos pagamentos iguais e su-cessivos. Podemos dizer que esse valor ovalordofinanciamentoobtidoporuma empresa ou ainda o valor do em-prstimo que a empresa realizou.O segundo caso iremos encontrar o va-lorqueaempresaobterseaplicarospagamentos dos seus clientes em uma data futura s datas dos pagamentos.

Vamos abordar o primeiro caso: Cl-culo do Valor Atual.

a) Renda Certa Postecipada, tambm chamada de Imediata: aquela onde o primeiro pagamento acontecer um perodo aps contrair o emprstimo ou o financiamento.

P

t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6t-1

A

Para calcular o valor atual desta renda certa, basta usar a seguinte frmula:

A = P . an,i

Onde A o valor atual da renda certa. i a taxa empregada na descapitali-

zaes dos pagamentos.

n o nmero de prestaes a serem pagas.

P o valor de cada pagamento da renda certa.

Sabe-se que

( )( )n

n

in iiia+

+=1.

11,

um fa-tor que normalmente dado das provas. (segunda tabela da nossa apostila). Caso este fator no for dado, para resolver exerccios de renda certa, deve-mos utilizar os mesmo conceitos de equivalncia de capitais.

b) Renda Certa Antecipada: aquela onde o primeiro pagamento acontecer no ato do emprs-timo ou do financiamento

P

t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6

A

Para calcular o valor atual desta renda certa, ignorar a primeira prestao no fluxo e trabalhar como se a renda certa fosse postecipada com uma prestao a menos e depois para obter o valor atual s somar a prestao retirada.

A = P . an-1,i + P ou A = P . ( an-1,i + 1)


zaes dos pagamentos. n o nmero de prestaes a serem

pagas. P o valor de cada pagamento da

renda certa.

c) Renda Certa Diferida: aquela onde o pri-meiro pagamento acontecer perodos aps ser fei-to o emprstimo ou o financiamento.

P

t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9

A


EDITORA APROVAO

Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos adicionar quantas prestaes forem ne-cessrias para transformar a renda certa diferida em renda certa postecipada e depois retirar estas pres-taes adicionadas com o fator an,i para obter o valor atual do fluxo.

A

P

t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9

A = P . ( an+x,i - ax,I )



pagas. P o valor de cada pagamento da

renda certa. x o nmero de prestaes acres-

centadas.

Veja os exemplos abaixo para entender melhor como resolver problemas de renda certa, com clcu-lo de valor atual.


1. O valor atual de uma Anuidade Imediata de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, taxa composta de 10% a.m. :

Este mesmo exerccio, poderia se enunciado da seguinte maneira:

1. Uma empresa deve pagar a um banco um fi-nanciamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, taxa com-posta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece um ms aps recebido o financiamento, calcule o valor do financia-mento:a) R$ 31.699,00b) R$ 51.051,00c) R$ 46.410,00d) R$ 26.198,00e) R$ 34.868,00

10.000

0

A

1 2 3 4

A = P . an,i

A = 10000 . a4,10%A = 10000 . 3,1699A = 31699LETRA A

2. O valor atual de uma Anuidade Antecipa-

da de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, taxa composta de 10% a.m. :


2. Uma empresa deve pagar a um banco um fi-nanciamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, taxa com-posta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece no ato do recebimento o financiamento, calcule o valor do financia-mento:a) R$ 31.699,00b) R$ 51.051,00c) R$ 46.410,00d) R$ 26.198,00e) R$ 34.869,00

10.000

0 1 2 3

A


EDITORA APROVAO

Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos ignorar a primeira prestao no fluxo e trabalhar como se a renda certa fosse postecipada com uma prestao a menos e depois para obter o valor atual s somar a prestao retirada.

Transformando a renda certa antecipada em postecipada.

10.000

0 1 2 3

A

A = P . an-1,i + P

A = 10.000 . a3,10% + 10000A = 10.000 . 2,4869 + 10000A = 34869LETRA E

3. Determinar o valor atual de uma renda certa, diferida de 3 meses, com 4 pagamentos men-sais e iguais no valor de R$ 10.000,00, taxa composta de 10% a.m. :


3. Uma empresa deve pagar a um banco um finan-ciamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, taxa composta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece trs perodos aps o recebimento do financiamen-to, calcule o valor do financiamento:a) R$ 31.699,00b) R$ 51.051,00c) R$ 46.410,00d) R$ 26.198,00e) R$ 34.868,00

10.000

0 1 2 3 4 5 6

A

Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos acrescentar duas prestaes ao fluxo, transformando a renda certa diferida em renda certa postecipada e depois para obter o valor atual basta subtrair o fator an,i das parcelas que acrescentamos.

Transformando a renda certa diferida em poste-cipada (repare que acrescentamos duas parcelas).

10.000

0 1 2 3 4 5 6

A

A = P . ( an+x,i - ax,I )

A = 10000 . ( a6,10% - a2,10% )A = 10000 . ( 4,3553 - 1,7355 )A = 10000 . ( 2,6198 )A = 26198LETRA D

Vamos abordar o segundo caso: Cl-culo do Montante.

Neste caso, teremos duas abordagens, porm diferentemente do primeiro caso no teremos no-mes para estas abordagens.

a.) Primeira abordagem: nesta abordagem calcularemos o montante de uma renda certa na data do ltimo pagamento ou do ltimo recebi-mento das parcelas que compe a renda certa. Veja o fluxo abaixo:


EDITORA APROVAO

P

t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6

M

Para calcular o montante desta renda certa, basta usar a seguinte frmula: M = P . sn,i

Onde M o montante da renda certa. i a taxa empregada na descapitali-


pagas. P o valor de cada entrada da renda

certa.

sabe-se que ( )

iis

n

in11

,+=

um fator que normalmente dado das provas. (terceira tabe-la da nossa apostila). Caso este fator no for dado, para resolver exerccios de renda certa, devemos utilizar os mesmo conceitos de equivalncia de ca-pitais.

b.) Segunda abordagem: nesta abordagem calcularemos o montante de uma renda certa em uma data onde o ltimo pagamento ou o ltimo re-cebimento das parcelas que compe a renda certa no coincide com o montante que desejamos calcu-lar. Veja o fluxo abaixo:

P

t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9 t+10

M

Caso o ltimo ttulo da renda certa no coinci-dir com o valor do montante que queremos calcular devemos acrescentar ttulos e depois retir-los.

Olhe o fluxo abaixo para entender o explicado.

P

t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9 t+10

M

Para calcular o montante desta renda certa, basta usar a seguinte frmula:

M = P . ( sn+x,i sx,i )

Onde M o montante da renda certa. i a taxa empregada na descapitali-


pagas. P o valor de cada entrada da renda

certa. x o nmero de prestaes acres-

centadas.

Veja os exemplos abaixo para entender melhor como resolver problemas de renda certa, com clcu-lo de montante.


4. Aplica-se, mensalmente, R$ 10.000,00 duran-te 4 meses, no incio de cada ms, taxa com-posta de 10% a.m.. Qual o valor do montante, no incio do 4 ms?a) R$ 31.698,65b) R$ 51.051,00c) R$ 46.410,00d) R$ 26.198,00e) R$ 34.868,52

incio

10.000

1 2 3 4

M

M = P . sn,i

A = 10000 . s4,10%A = 10000 . 4,6410A = 46410LETRA C

5. Aplica-se, mensalmente, R$ 10.000,00 duran-te 4 meses, no incio de cada ms, taxa com-posta de 10% a.m.. Qual o valor do montante, no final do 5 ms?a) R$ 51.051,00b) R$ 56.156,00c) R$ 46.410,00


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d) R$ 57.156,10e) R$ 41.051,00

10.000

1 2 3 4 5 6

M

Para calcular o montante desta renda certa, devemos acrescentar duas prestaes ao fluxo, fazendo com que a ltima prestao coincida com o valor que queremos calcular e depois para obter o montante basta subtrair o fator sn,i das parcelas que acrescentamos.

10.000

1 2 3 4 5 6

M

A = P . ( sn+x,i - sx,I )

A = 10000 . ( s6,10% - s2,10% )A = 10000 . ( 7,7156 - 2,1000 )A = 10000 . ( 5,6156 )A = 56156LETRA B

Concluso sob Rendas Certas.

Quando calculamos o valor atual de uma 1) renda certa, a frmula que usamos descapi-taliza ao mesmo tempo todos os ttulos que compe a renda certa.Quando calculamos o montante de uma ren-2) da certa, a frmula que usamos capitaliza ao mesmo tempo todos os ttulos que compe a renda certa.

Prtica1. O valor atual de uma Anuidade Imediata

de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 100.000,00, taxa composta de 8% a.m. :a) R$ 331.212,68b) R$ 322.212,79c) R$ 345.665,56d) R$ 335.267,33e) R$ 357.709,70

2. O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 100.000,00, taxa composta de 8% ao ms. :a) R$ 331.212,68b) R$ 322.212,79c) R$ 345.665,56d) R$ 335.267,33e) R$ 357.709,70

3. O valor atual de uma Renda Certa Imedia-ta com 3 pagamentos mensais e iguais R$ 329.876,00. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta vigente 4% ao ms?a) R$ 134.413,11b) R$ 175.755,55c) R$ 214.448,81d) R$ 252.053,14e) R$ 118.870,33

4. O valor atual de uma Renda Certa Antecipa-da com 3 pagamentos mensais e iguais R$ 329.876,00. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta 4% ao ms?a) R$ 134.413,11b) R$ 275.755,55c) R$ 214.448,81d) R$ 114.298,42e) R$ 315.435,92

5. Determinar o valor atual de uma Renda Certa, Diferida de 3 meses, com 4 pagamentos men-sais e iguais de R$ 10.000,00, taxa composta de 5% ao ms.a) R$ 12.882,98b) R$ 22.122,45c) R$ 31.112,65d) R$ 32.162,82e) R$ 52.561,32


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6. Qual o valor de cada pagamento mensal de uma Renda Certa, Diferida de 2 meses, com 5 pagamentos iguais, se seu valor atual taxa composta de 6% ao ms R$ 557.000,00?a) R$ 240.122,66b) R$ 130.333,56c) R$ 188.863,58d) R$ 140.163,57e) R$ 121.127,77

7. Um carro vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, vencen-do a primeira prestao um ms aps a com-pra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao ms, qual o preo a vista desse carro?a) R$ 3.300.000,00b) R$ 3.312.126,00c) R$ 2.839.614,20d) R$ 3.577.097,00e) R$ 3.543.129,78

8. Um carro vendido a prazo em 4 pagamen-tos iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, ven-cendo a primeira prestao no ato da compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao ms, qual o preo a vista desse carro?a) R$ 3.300.000,00b) R$ 3.312.126,00c) R$ 2.839.614,20d) R$ 3.577.097,00e) R$ 3.543.129,78

9. Um carro vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, vencendo a primeira prestao trs meses aps a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao ms, qual o preo a vista desse carro?a) R$ 3.300.000,00b) R$ 3.312.126,00c) R$ 2.839.614,20d R$ 3.577.097,00e) R$ 3.543.129,78

10. Um dbito formado por 5 prestaes men-sais e iguais que devero vencer nos dias 15 de abril, 15 de maio, 15 de junho, 15 de julho e 15 de agosto, no valor de R$ 75.600 cada uma. Quanto dever ser pago no dia 15 de janeiro, do mesmo ano, para quitar o dbito, se a taxa composta vigente 7% ao ms?a) R$ 170.347,77b) R$ 171.748,08c) R$ 270.744,07d) R$ 232.733,88e) R$ 259.554,47

11. Aplica-se, mensalmente, R$ 50.000,00 duran-te 8 meses, taxa composta de 5% ao ms. Qual o valor do montante, ao final do 8 ms? (considere que as aplicaes so feitas no fim de cada ms)a) R$ 477.455,45b) R$ 338.786,87c) R$ 322.773,76d) R$ 333.124,56e) R$ 444.768,99

12. Um ttulo de R$ 823.506,00 dever vencer no dia 12 de julho. Quanto dever ser depositado nos dias 12 de maio, 12 de junho e 12 de julho, do mesmo ano para saldar o dbito, se a taxa composta vigente 9% ao ms?a) R$ 153.233,56b) R$ 257.289,49c) R$ 241.224,46d) R$ 121.274,77e) R$ 251.214,47

13. Aplica-se, mensalmente, R$ 50.000,00 duran-te 8 meses, taxa composta de 5% ao ms. Qual o valor do montante, ao final do 8 ms? (considere que as suplicaes so feitas no incio de cada ms)a) R$ 477.455,45b) R$ 501.328,20c) R$ 522.773,76d) R$ 433.124,56e) R$ 456.006,89

PRTICA 41Matemtica Financeira

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Provas de Concursos Anteriores AFRF (AFTN)

AFTN/91 (Usar a tabela do fim da apostila)

1. Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao ms, atinge, em 20 dias, um montante de:a) 51b) 51,2c) 52d) 53,6e) 68

2. A uma taxa de 25% ao perodo, uma quantia de 100 no fim do perodo t, mais uma quantia de 200 no fim do perodo t+2, so equivalentes, no fim do, perodo t+1, a uma quantia de:a) 406,25b) 352,5c) 325d) 300e) 285

3. Um comercial paper com valor de face U$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a trs anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.a) U$ 751.314,00b) U$ 750.000,00c) U$ 748.573,00d) U$ 729.000,00e) U$ 700.000,00

4. Uma aplicao realizada no dia primeiro de um ms, rendendo uma taxa de 1% ao dia til, com capitalizao diria. Considerando que o referido ms possui 18 dias teis, no fim do ms o montante ser o capital inicial aplicado mais:a) 20,324%b) 19,6147%c) 19,196%d) 18,174%e) 18%

5. O pagamento de um emprstimo no valor de 1.000 unidades de valor ser efetuado por in-termdio de uma anuidade composta por seis prestaes semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestao, vencer seis meses aps o recebimento do em-prstimo. O valor da referida prestao ser:a) 1.000 6b) 1.000 2,31306c) 1.000 3,784482d) 1.000 8,753708e) 1.000 2,31306

6. Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de 12.000, ao final de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remu-nerao do capital de 4% e que o primeiro depsito feito ao fim do primeiro ms?a) 12.000 15,025805b) 12.000 ( 12 x 1,48)c) 12.000 9,385074d) 12.000 (12 x 1,601032)e) 12:000 12

7. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de 20.000 no incio do primeiro ano, um desembolso de 20.000 no fim do primeiro ano e dez entra-das liquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% ao ano, obtenha o valor atu-al desse fluxo de caixa, no fim primeiro ano.a) 24.940,86b) 11.363,22c) 5.830,21d) 4.940,86e) 1.340,86

AFTN/96 (Usar a tabela dada na prova)

A Tabela abaixo contem nmeros elevados potncias especficas que podero ser usa-dos para facilitar seus clculos na resoluo das questes desta prova. Alguns resultados podem apresentar diferenas, isso ocorre-r pois os resultados que fornecemos, esto truncados com quatro casas decimais.

PRTICA42 Matemtica Financeira

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(1,04)2 = 1,0816 (1,10)2 = 1,2100(1,04)3

20100311205853 matematica financeira sergio alt 2010

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