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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 3a série – Volume 3

1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA: UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES

Página 3

Pessoal.

Páginas 4 - 9

1.

(I) O comprimento C de uma circunferência

é uma função de seu raio x: C = 2x.

(III)

(II) A área A de um quadrado é uma função

de seu lado x: A = x2.

(V)

(III) A massa m de uma substância radioativa

diminui com o tempo, ou seja, é uma função do

tempo de decomposição t: m = f(t). Para certa

substância, tem-se m = mo2-0,1t, onde mo é a

massa inicial e t o tempo de decomposição em

horas.

(II)


2

(IV) Uma pequena bola é presa a uma mola

perfeitamente elástica. Afastada da posição

O de equilíbrio, a uma distância a, a bola

oscila em torno da mola, deslocando-se em

uma superfície lisa, horizontal. A distância x

da bola até o ponto O depende do instante t

considerado, ou seja, é uma função de t:

x = f(t). No caso, temos x = a.cos(kt), onde

k é uma constante que depende da

elasticidade da mola e da massa da bola.

(I)

(V) Mantendo-se constante a temperatura, a

pressão P de um gás no interior de um

recipiente de volume variável V é uma

função de V: P = f(V). No caso, temos

P = v

k , onde k é uma constante.

(IV)

2.

Escolhendo o sistema de coordenadas XOY indicado na figura, a parábola será o gráfico

da função f(x) = ax2 + c, com a < 0. Como as hastes são igualmente espaçadas, os

comprimentos das hastes serão os valores de f(x) para x1 = 5, x2 = 10 e x3 = 15. Como a

flecha do arco de parábola é f = 5, segue que c = 5 e f(x) = ax2 + 5. Como o ponto B tem

abscissa x = 20 e ordenada y = 0, segue que: f(20) = 0 e, então, 0 = a . 202 + 5, ou seja,

a = –80

1. Logo, f(x) = – 5

80

1 2 x e os valores procurados são:

m69,416

75 f(5) )f(x y 11 ;


3

m75,34

15 f(10) )f(x y 22 ;

m19,216

35 f(15) )f(x y 33 .

3. Um retângulo de perímetro de 24 m pode ser bem “magrinho”, tendo área muito

pequena. Chamando de x e y os lados de um retângulo, seu perímetro será p = 2x + 2y e

sua área será A = xy. Como devemos ter p = 24, a cada valor de x escolhido

corresponderá um valor para y, ou seja, y é uma função de x. No caso, temos y = 12 – x.

A área do retângulo é uma função de x e y, mas, como y = 12 – x, segue que a área A é

uma função de x: A = f(x) = x . (12 – x) = 12x – x2. Essa função é um trinômio de 2o

grau que se anula para x1 = 0 e para x2 = 12. Seu gráfico é uma parábola com a

concavidade voltada para baixo, ou seja, a função área apresenta um valor máximo no

ponto de coordenadas (u; v), sendo u = 2

)x(x 21 e v = f(u).

Logo, u = 6 e Amáx = f(6) = 36. O retângulo de perímetro de 24 m e área máxima é, pois,

o quadrado de lado 6 m; a área máxima é igual a 36 m2.

4.

a)

A população N é uma função do tempo t, contado a partir da fundação:

N = f(t)= 3 000 . 100,1t. O gráfico de f(t), neste caso, é o de uma função exponencial

crescente, cujo valor inicial (para t = 0) é 3 000.


4

b) O valor de N para t = 15 é N = f(15) = 3 000.100,1.15 = 3 000.10 2

3

94 868

habitantes.

c) O valor de N será 216 000 para um valor de t tal que f(t) = 216 000, ou seja,

3 000 . 100,1t.= 216 000. Logo, 100,1t = 72 e 0,1t = log 72. Consultando uma tabela de

logaritmos ou usando uma calculadora, obtemos log 72 = 1,86, seguindo daí que o

valor de t pedido: t 18,6 anos.

5.

a) A função m = f(t) = 60 . 2-0,25t é uma exponencial decrescente, a partir do valor

inicial 60.

b) O valor de f(t) para t = 8 é: m = f(8) = 60 . 2-0,25 . 8 = 15 g.

c) Expressando t em termos de m, ou seja, escrevendo t como uma função de m,

obtemos sucessivamente:

m 2 . 60 -0,25t 60

2 0,25t- m – )

60( log 0,25t 2

m t = – )

60(log . 4 2

m.

d) Para saber após quanto tempo a massa m será igual a 12 g, podemos usar a

expressão de m em função de t ou a expressão de t em função de m obtida no item c:

)60

12( log.4 t 2 5. og.4 )

5

1( log.4 2 2 l

Usando uma calculadora, obtemos o valor log25 2,32; segue que t 9,28 h.

6.

a) Sabemos que para t = 0, x = 10 e que para t = 4, temos x = 10 (primeiro retorno à

posição inicial), resulta, então: 10 = 10.cos(k.4).

Logo, cos(4k) = 1, o que implica: 24k seja,ou 2

k

.


5

Note que, para t = 8, também temos 10cos(k.8) = 10, e cos(8k) = 1; também temos

8k = 4 (segundo retorno à posição inicial).

b) Sendo

tx

2cos.10

, calculemos os valores de x para os valores indicados

de t:

1t 02

cos10 x

cm

2t 10cos10)22

( cos10 x cm

3t 0)32

(cos10 x

cm

3

10t 5

2

110)

3

5(cos10)

3

10

2(cos10 x

cm

c) O gráfico da função

ttfx

2cos.10)(

é mostrado a seguir:

Páginas 9 - 11

1. Analogamente ao que foi feito no exemplo, temos:

• as raízes da equação polinomial de grau 4 representada pela igualdade f(x) = 0 são

x = 0, x = –1, x = 2 e x = 3;

• sendo a equação de grau 4, ela terá no máximo 4 raízes reais, ou seja, o gráfico

somente cortará o eixo x nos pontos correspondentes às 4 raízes mencionadas;

• notamos, mesmo sem efetuar os cálculos, que o coeficiente do termo em x4 é

positivo e igual a 1, ou seja, quando os valores de x crescem muito, os valores de f(x)

são “dominados” pelos valores de x4, ou seja, tornam-se cada vez maiores; o mesmo


6

ocorre quando x se torna muito pequeno (–1 000 000, por exemplo), uma vez que o

maior expoente de x é par;

• segue o esboço do gráfico de f(x):

Construindo efetivamente o gráfico usando um software, obtemos:


7


CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: UM OLHAR “FUNCIONAL”

Páginas 14 - 18

1. (a), (b), (c) e (d).

2. (a), (b), (c).


8

3.

4.


9

5.

6.

7.


10

Páginas 18 - 19

1.

2.

Note que o valor de g(x) para x = 0 é igual a 3

1, ou seja, é o inverso do valor de f(x)

para x = 0, que é 3.


11


AS TRÊS FORMAS BÁSICAS DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO: A VARIAÇÃO E A VARIAÇÃO DA VARIAÇÃO

Desafio!

Páginas 21 - 23

A forma padrão de crescimento ou decrescimento é: f(x) = ax + b.

a) No país A, os preços mantiveram-se constantes.

b) No país B, os preços variaram tendo como gráfico uma reta inclinada com inclinação

positiva.

c) No país D, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para cima, o que significa

taxas crescentes.

d) No país C, os preços decresceram tendo como gráfico uma reta com inclinação

negativa.

e) No país F, os preços cresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.

f) No país E, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para cima.

g) No país J, os preços inicialmente tiveram um gráfico retilíneo. Depois, seguiram uma

curva voltada para baixo.

h) No país G, os preços decresceram tendo o gráfico encurvado para baixo.

i) No país H os preços inicialmente tiveram um gráfico voltado para cima. A partir de

certo ponto, o gráfico encurvou-se para baixo.

j) No país I, os preços decresceram segundo um gráfico voltado para baixo. Depois,

segundo um gráfico voltado para cima.

Páginas 27 - 30

1. O aluno aqui fará a correção do desafio proposto no inicio desta Situação de

Aprendizagem. É importante que você, professor, esteja atento a qualquer dúvida que

poderá surgir.


12

2.

a) Temos f(x) > 0 para x entre x2 e x7 e para x entre x10 e x12.

b) Temos f(x) < 0 para x entre x1 e x2 e para x entre x7 e x10.

c) A função f(x) é constante para valores de x entre x4 e x5 e para x entre x8 e x9.

d) A função f(x) é crescente para x entre x1 e x4, e para x entre x9 e x12.

e) A função f(x) é decrescente para x entre x5 e x8.

f) A função f(x) cresce a uma taxa constante nos intervalos em que o gráfico é um

segmento de reta ascendente, ou seja, para x entre x1 e x3 e para x entre x10 e x11.

g) A função f(x) decresce a uma taxa constante no intervalo em que o gráfico é um

segmento de reta descendente, ou seja, para x entre x6 e x7.

h) A função f(x) cresce a taxas crescentes no intervalo em que é crescente e o

gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x9 e x10.

i) A função f(x) cresce a taxas decrescentes nos intervalos em que é crescente e o

gráfico está encurvado para baixo, ou seja, para x entre x3 e x4 e para x entre x11 e

x12.

j) A função f(x) decresce a taxas crescentes no intervalo em que é decrescente e o

gráfico é encurvado para baixo, ou seja, para x entre x5 e x6.

k) A função f(x) decresce a taxas decrescentes no intervalo em que é decrescente e

o gráfico é encurvado para cima, ou seja, para x entre x7 e x8.

3. (a), (b), (c) , (d) e (e).

• O gráfico da velocidade v como função do tempo t é uma semirreta, com início

no ponto (0; 40) e com inclinação negativa e igual a –10. Como v diminui 10 m/s a

cada segundo, após 4 s a velocidade será igual a 0, ou seja, a semirreta corta o eixo x

(ver figura a seguir).

• O gráfico da altura h em função do tempo t é um arco de parábola, iniciando no

ponto (0; 45), com a concavidade para baixo. Seu ponto de máximo coincide com o

instante em que a velocidade é igual à 0, ou seja, ocorre para t = 4 s. A altura

máxima é o valor de h(t) para t = 4, ou seja, é h(4) = 125 m.

• A pedra leva 4 s subindo até a altura máxima e igual tempo descendo até a

posição de partida; logo, após 8 s estará de volta à posição inicial.

• O instante em que ela toca o solo é o valor de t para h = 0, ou seja, é a raiz da

equação 0 = 45 + 40t – 5t2. Resolvendo, encontramos t = 9 s.


13

Todos esses resultados estão sintetizados nos seguintes gráficos:

f) Observando os gráficos e especialmente as concavidades, concluímos que as três

afirmações são verdadeiras.

Páginas 31 - 32

1. Para construir o gráfico de f(x), sabemos que ele é uma parábola com a concavidade

para cima, pois o coeficiente de x2 é positivo (igual a 1), e temos as raízes da equação

f(x) = 0, que são x = –1 e x = 5. Sabemos ainda que o vértice da parábola se encontra


14

no ponto médio do segmento determinado pelas raízes, ou seja, no ponto em que

x = 2.

Logo, temos:

Observando o gráfico, concluímos:

a) f(x) > 0 para x > 5, ou então para x < –1;

f(x) < 0 para x entre –1 e 5.

b) f(x) é crescente para x > 2;

f(x) é decrescente para x < 2.

c) Para x > 2, f(x) cresce a taxas crescentes (concavidade para cima);

para x < 2, f(x) decresce a taxas decrescentes (concavidade para cima).

2. Basta notar a concavidade do gráfico em cada caso.

Concluímos que:

a) f(x) cresce a taxas crescentes;

b) g(x) decresce a taxas decrescentes;

c) h(x) cresce a taxas decrescentes;


15

d) m(x) decresce a taxas decrescentes.

Páginas 33 - 34

1.

a) No intervalo considerado, temos:

f(x) é crescente para x entre 0 e 2

e para x entre

23

e 2;

f(x) é decrescente para x entre 2

e

23

;

g(x) é crescente para x entre e 2;

g(x) é decrescente para x entre 0 e .

b) Notamos que o valor máximo de f(x) ocorre no ponto x = 2

e o valor mínimo

ocorre no ponto x = 2

3

; nesses pontos, temos g(x) = 0. Analogamente, o valor

máximo de g(x) ocorre nos pontos x = 0 e x = 2, e o valor mínimo, no ponto x = ;

nesses pontos, temos f(x) = 0.

c) Notamos que o gráfico de f(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima

no ponto x = , em que g(x) assume o valor mínimo. Analogamente, o gráfico de


16

g(x) passa de voltado para baixo a voltado para cima no ponto x = 2

, máximo para

f(x), e volta a se tornar voltado para baixo no ponto x = 2

3

, mínimo de f(x).


17


OS FENÔMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NÚMERO ℮

Página 36 - 37

1.

Notamos que, quando x aumenta uma unidade, a partir de x = 0, a variação em f(x) é

igual, sucessivamente, a 2, 6, 18, 54, 162,..., ou seja, a taxa de variação unitária, que é

igual a f(x+1) – f(x), é igual ao dobro do valor de f(x):

f(1) – f(0) = 2f(0) = 2 f(2) – f(1) = 2f(1) = 6

f(3) – f(2) = 2f(2) = 18 f(4) – f(3) = 2f(3) = 54

f(5) – f(4) = 2f(4) = 162 e assim por diante.

A taxa de variação unitária de f(x) = 3x é, portanto, igual a 2f(x).

Chamando, como anteriormente, a taxa unitária de f1(x) e calculando seu valor para

um x qualquer, temos, de fato: f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 3x+1 – 3x = 3x . (3 – 1) = 2 . 3x.

2.

a) f1(1) = f(2) – f(1) = 4 000 – 2 000 = 2 000;

f1(2) = f(3) – f(2) = 8 000 – 4 000 = 4 000.

b) O aumento citado é igual a f(7) – f(6) = 1 000 . (27 – 26) = 1 000 . 26. (2 – 1) =

= 1 000 . 26 = f(6), ou seja, a taxa de variação unitária para t = 6 é igual ao valor de

f(6).


18

Página 37

1.

a) f1(2) = f(3) – f(2) = 600 . 103 - 600 . 102 = 540 000.

b) O aumento pedido é igual a:

f(8) – f(7) = 600 . (108 – 107) = 600 . 107. (10 – 1) = 600 . 107. 9 = 9 . f(7),

ou seja, a taxa de variação unitária para t = 7 é igual a 9 vezes o valor de f(7).

Páginas 44 - 45

1.

a) Se os juros são simples, então o capital C1 ao final do ano será 12% maior, ou

seja, C1 = 1,12 . 1 000 = R$ 1 120,00.

b) Se os juros são distribuídos (1% ao mês) e incorporados ao capital mês a mês,

temos:

• ao final do 1o mês: 12

1C = 1,01 . 1 000;

• ao final do 2o mês: 12

1C = (1,01)2 . 1 000;

• analogamente, ao final do 12o mês: C1 = (1,01)12 . 1 000 , ou seja,

C1 = 1,1268 . 1 000 ≈ R$ 1 126,80.

c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos: C = 1 000 . ℮0,12t.

Ao final do primeiro ano, ou seja, para t = 1, temos C1 = 1 000. ℮0,12, ou seja,

C1 = 1,1275 . 1000 = R$ 1 127,50.

2.

a) Se os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada ano, temos:

C(t) = Co . (1,12)t, com t em anos.

Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2 Co = Co (1,12)t.

Daí, segue que (1,12)t = 2 e, portanto, t . ln(1,12) = ln 2, ou seja, t = )12,1(ln

2ln.


19

Consultando uma tabela ou usando uma calculadora, obtemos: t 6,12 anos, ou seja,

o capital dobrará de valor somente após o sexto ano. Se os juros somente são

incorporados ano a ano, somente poderá ser resgatado o capital após completar o

sétimo ano.

b) Se os juros são incorporados ao capital ao final de cada mês, temos:

C(t) = Co (1,01)t, com t em meses.

Para termos C(t) = 2Co, devemos ter: 2Co = Co . (1,01)t, ou seja, 2 = (1,01)t.

Daí, segue que t . ln(1,01) = ln 2, de onde obtemos: t 69,66 meses 5,8 anos. Se os

juros somente são incorporados mês a mês, o capital dobrado somente poderá ser

resgatado após 5 anos e 10 meses.

c) Se os juros são incorporados continuamente ao capital, temos:C(t) = Co. ℮0,12t,

com t em anos. Para termos C(t) = 2Co, devemos ter 2Co = Co. ℮0,12t.

Daí, segue que 2 = ℮0,12t, ou seja, 0,12 . t = ln 2, de onde obtemos t ≈ 5,78 anos.

Páginas 45 - 46

1.

a) Supondo que m(t) = mo.2bt, ou seja, m(t) = 60.2bt, e sabendo que quando t = 4

temos m = 30, resulta: 30 = 60.24b, ou seja, 24b=2

1. Em consequência, 4b =

2

1log 2 .

Como log22 = 1, segue que 4b = –1, pois

2

1log 2 = log21 – log22 = –log22 = –1.

Segue que b = –0,25 e, então, m(t) = 60.2– 0,25t.

b) Supondo m(t) = mo . ℮at, ou seja, m(t) = 60 . ℮at, e sabendo que quando

t = 4, temos m = 30, resulta: 30 = 60 . ℮4a, ou seja, ℮4a = 2

1. Em consequência,

4a =

2

1ln . Obtendo o valor de ln 2 em uma calculadora, obtemos ln 2 0,6932, de

onde segue que 4a = –0,6932, ou seja, a = –0,1733. Assim, a função obtida é

m(t) = 60.℮– 0,1733t.


20

c) Calculando 2-0,25, com uma calculadora (ou uma tabela de logaritmos), obtemos

0,8409. Calculando ℮-0,1733, obtemos o mesmo valor, 0,8409, o que significa que (2-

0.25)t = (e-0,1733)t, ou seja, as duas expressões para a função m(t) são equivalentes.

d) Em qualquer uma das expressões para m(t), substituindo t por 8 obtemos a

massa restante após 8 h: m(8) = 60. 2-0,25.8 = 60.2-2 = 15 g.

e) Para saber após quanto tempo a massa será reduzida a 12 g, basta determinar o

valor de t em qualquer uma das expressões:

12 = 60 . e-0,1733t, ou seja, –0,1733t =

60

12ln , isto é, –0,1733t = –ln 5.

Recorrendo a uma calculadora (ou a uma tabela de logaritmos), obtemos

ln 5 = 1,6094; segue que t = 9,29 h, ou seja, aproximadamente, 9h17.

Página 47

1.

Os gráficos de f(x) e de g(x) são simétricos em relação ao eixo y, uma vez que os

valores de f(x), quando trocamos x por –x, coincidem com os valores de g(x).

Os gráficos de m(x) e h(x) também são simétricos em relação ao eixo y. Notamos

que, para x = –2, a função m(x) assume o mesmo valor que a função h(x) para x = 2.

Naturalmente, o domínio de h(x) é o conjunto dos números reais positivos, enquanto

o domínio de m(x) é o conjunto dos números reais negativos.


21

a) Observando os gráficos e lembrando o significado da taxa de variação unitária,

notamos que ela é crescente em f(x), o que faz com que o gráfico resulte encurvado

para cima; f(x) é crescente a taxas crescentes.

b) No gráfico de h(x) = ln x, notamos que a taxa de variação unitária é decrescente,

o que faz com que o gráfico seja encurvado para baixo; h(x) é crescente a taxas

decrescentes.

c) O gráfico de m(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de

variação são crescentes em valor absoluto; m(x) decresce a taxas crescentes.

d) O gráfico de g(x) representa uma função decrescente e notamos que as taxas de

variação são decrescentes em valor absoluto; g(x) decresce a taxas decrescentes.

2.

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