2006me_danieldossantos

ANLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO UTILIZANDO MODELOS DE BIELAS E TIRANTES

Daniel dos Santos

Dissertao apresentada Escola de

Engenharia de So Carlos da Universidade de So

Paulo, como parte dos requisitos para obteno do

ttulo de Mestre em Engenharia de Estruturas.

ORIENTADOR: Jos Samuel Giongo

So Carlos

2006

A grande virtude persistir por mais um

momento, quando tudo parece perdido.

Ao querido tio Euclydes Pereira (in memorian) que, apesar de

no ter sido engenheiro civil, amava como poucos essa profisso.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por estar sempre presente em minha vida, zelando por mim e

mostrando-me o melhor caminho a tomar, mesmo que, nele, existam inmeras

barreiras necessrias para o meu crescimento.

Aos meus pais, que dedicaram sua vida exclusivamente criao dos

filhos, pela doao e apoio incondicionais. Certamente ns, eu e meu irmo,

nunca poderemos retribuir altura tamanha dedicao.

Ao Jos Samuel Giongo que, muito mais que orientador, por muitos

anos foi meu tutor, um verdadeiro pai em So Carlos. Agradeo imensamente

pela pacincia, pela compreenso e, especialmente, pelo apoio nos momentos

difceis. Agradeo tambm pelos ensinamentos no s relativos a engenharia,

mas tambm a tica pessoal e profissional, poltica, economia, educao e

todos os demais setores que fazem parte de nossas vidas.

minha Mi, pelo amor e pela compreenso interminveis.

Ao meu irmo Michel, meu espelho para agir corretamente, por suas

dicas na elaborao da dissertao.

Aos amigos de So Carlos Moacir, Anibal, Fredo, Julio e Slow, pelo

companheirismo, pelas boas risadas e pelos inesquecveis momentos felizes

que pude desfrutar ao longo desses anos.

Ao Pan e ao Mario, acima de tudo pela amizade, mas tambm pelo

constante e irrestrito apoio e pelos momentos que deixam essa vida menos

dura.

Aos demais companheiros de So Carlos, em especial ao Z Srgio,

Ricardinho, Gordo, Pedro, Anselmo, Sudano e Gustavo, pelas dicas,

conselhos e trocas de conhecimento que contriburam com esse trabalho.

A toda a minha famlia, que sempre me apoiou e que foi imprescindvel

nos momentos difceis.

Ao tio Pereira (in memorian), meu grande incentivador nessa profisso.

Aos professores do Departamento de Engenharia de Estruturas da

EESC-USP, que muito contriburam para o meu crescimento profissional.

Aos funcionrios do Departamento de Engenharia de Estruturas da

EESC-USP, pela competncia na realizao de seus servios e por estarem

sempre dispostos a ajudar.

CAPES, pelo apoio financeiro pesquisa.

Sumrio

I

SUMRIO

LISTA DE FIGURAS .................................................................................... IX

LISTA DE TABELAS .................................................................................. XII

RESUMO.....................................................................................................XV

ABSTRACT...............................................................................................XVII

1 INTRODUO.........................................................................................1

1.1 PRELIMINARES ...............................................................................1

1.2 OBJETIVO ........................................................................................2

1.3 JUSTIFICATIVA................................................................................2

1.4 MTODOS E TCNICAS..................................................................3

1.5 APRESENTAO DA DISSERTAO ............................................4

2 AS VIGAS E O MODELO DE BIELAS E TIRANTES..............................5

2.1 PRELIMINARES ...............................................................................5

2.2 ANLISE ESTRUTURAL ..................................................................6

2.2.1 INTRODUO...........................................................................6

2.2.2 POSIES DE VIGAS E LAJES...............................................8

2.2.3 DESENHOS PRELIMINARES DE FORMAS.............................9

2.3 MECANISMOS DE RUNA EM VIGAS (FUSCO, 1984) ...................9

2.3.1 GENERALIDADES ....................................................................9

2.3.2 TIPOS DE RUNA ....................................................................10

2.4 A ANALOGIA CLSSICA DA TRELIA..........................................11

2.4.1 PRELIMINARES ......................................................................11

2.4.2 HIPTESES BSICAS............................................................12

Sumrio

II

2.4.2.1 Posio relativa dos banzos .......................................13

2.4.2.2 Inclinao das diagonais () .......................................13

2.4.2.3 Inclinao da armadura transversal () ......................13 2.4.2.4 Limitao da tenso na armadura transversal ............14

2.4.2.5 Deslocamento do diagrama de momentos fletores.....14

2.5 ANALOGIA DA TRELIA GENERALIZADA: PRINCIPAIS

IMPERFEIES DA TRELIA CLSSICA ......................................................15

2.6 MODELO PLSTICO DE TRELIA................................................17

2.7 DEDUO DAS EXPRESSES SEGUNDO O CDIGO MODELO

CEB-FIP (1990) ................................................................................................18

2.7.1 GENERALIDADES ..................................................................18

2.7.2 CONDIES PARA APLICAO DOS MODELOS ...............19

2.7.3 EXPRESSES PARA DIMENSIONAMENTO .........................19

2.7.3.1 Banzo tracionado ........................................................21

2.7.3.1.1 Fora solicitante de clculo ..................................21

2.7.3.1.2 Fora resistente de clculo...................................22

2.7.3.1.3 Condio de segurana........................................23

2.7.3.2 Banzo comprimido ......................................................23




2.7.3.3 Bielas ..........................................................................24




2.7.3.4 Trao na armadura transversal .................................26




2.7.4 DETERMINAO DA INCLINAO DAS BIELAS .................27

2.8 O MODELO DE BIELAS E TIRANTES ...........................................28

2.8.1 HISTRICO.............................................................................28

2.8.2 CONSIDERAES INICIAIS SOBRE O MODELO.................30

Sumrio

III

2.8.3 PRINCPIOS BSICOS DO MODELO DE BIELAS E

TIRANTES .............................................................................................32

2.8.4 DEFINIO GEOMTRICA DO MODELO .............................34

2.8.5 REGIES CONTNUAS (B) E DESCONTNUAS (D) ..............35

2.8.6 TIPOS FUNDAMENTAIS DE NS ..........................................37

2.8.7 PARMETROS DE RESISTNCIA DAS REGIES NODAIS.40

2.8.7.1 SCHLAICH & SCHFER (1988, 1991) .......................41

2.8.7.1.1 N N1 ...................................................................42

2.8.7.1.2 N N2 ...................................................................42

2.8.7.1.3 N N3 ...................................................................43

2.8.7.1.4 N N4 ...................................................................44

2.8.7.1.5 N N5 ...................................................................44

2.8.7.1.6 N N6 ...................................................................45

2.8.7.1.7 N N7 ...................................................................46

2.8.7.1.8 N N8 ...................................................................46

2.8.7.1.9 N N9 ...................................................................47

2.8.7.2 MACGREGOR (1988).................................................48

2.8.7.3 Apndice A do ACI 318 (2002) ...................................49

2.8.8 PARMETROS DE RESISTNCIA DAS BIELAS ...................49

2.8.8.1 Norma canadense CSA-A-23.3-94 (1994) ..................49

2.8.8.2 Resistncia das bielas segundo SCHLAICH &

SCHFER (1988, 1991).........................................................................50

2.8.8.3 Resistncia das bielas segundo o Apndice A do ACI

318 (2002) ....................................................................................50

2.8.9 PARMETROS DE RESISTNCIA DOS TIRANTES..............51

3 COMPORTAMENTO E VERIFICAO DE VIGAS SEGUNDO AS NORMAS PROPOSTAS ..................................................................................52

3.1 CRITRIOS DA NBR 6118:2003 ....................................................52

3.1.1 GENERALIDADES ..................................................................52

3.1.2 VERIFICAO DO ESTADO LIMITE LTIMO........................53

3.1.2.1 Modelo de clculo I .....................................................53

3.1.2.2 Modelo de clculo II ....................................................54

Sumrio

IV

3.1.3 ARMADURA MNIMA E ESPAAMENTOS ............................55

3.1.4 RELAO ENTRE A NBR 6118:2003 E O CDIGO MODELO

CEB-FIP (1990) .............................................................................................55

3.1.4.1 Verificao da compresso diagonal do concreto.......56

3.1.4.1.1 NBR 6118:2003 ....................................................56

3.1.4.1.2 MC CEB-FIP (1990) .............................................56

3.1.4.1.3 Compatibilizao ..................................................57

3.1.4.2 Clculo da armadura transversal ................................58

3.1.4.2.1 NBR 6118:2003 ....................................................58

3.1.4.2.2 MC CEB-FIP (1990) .............................................58

3.1.4.2.3 Compatibilizao ..................................................58

3.2 CRITRIO DO EUROCODE 2 (1992).............................................59

3.2.1 GENERALIDADES ..................................................................59

3.2.2 VERIFICAO DA RUPTURA DO CONCRETO.....................60

3.2.3 CLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL .........................60

3.2.4 ARMADURA MNIMA E ESPAAMENTO...............................60

3.3 CRITRIO DO ACI 318M (1995) ....................................................61

3.3.1 GENERALIDADES ..................................................................61

3.3.2 CONTRIBUIO DO CONCRETO..........................................62

3.3.3 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL.......63

3.3.4 ARMADURA MNIMA E ESPAAMENTO...............................64

4 DETERMINAO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM DAS ARMADURAS DAS VIGAS..............................................................................65

4.1 INTRODUO................................................................................65

4.2 FUNDAMENTOS TERICOS - RECOMENDAES DA FIB (1999)..

....................................................................................................66

4.2.1 MODELAGEM ANALTICA DO COMPRIMENTO DE

ANCORAGEM .............................................................................................66

4.2.1.1 Idealizaes e simplificaes assumidas na

modelagem ....................................................................................66

4.2.2 APROXIMAES DO MC CEB-FIP (1990) PARA

MODELAGEM DE EMENDA ............................................................................67

Sumrio

V

4.2.2.1 Relao simplificada entre a tenso de aderncia e o

escorregamento da armadura ................................................................67

4.2.2.2 Equao diferencial da emenda..................................67

4.2.2.3 Resistncia de clculo do concreto.............................69

4.2.2.4 Comprimento bsico de transferncia.........................70

4.2.3 MODELOS ANALTICOS AVANADOS PARA CLCULO DO

COMPRIMENTO DE ANCORAGEM ................................................................70

4.2.4 IMPORTNCIA DA LIGAO ENTRE BARRA DE AO E

CONCRETO PARA A SEGURANA ESTRUTURAL.......................................72

4.2.5 REGIES DE ANCORAGEM ..................................................72

4.2.5.1 Comportamento da ancoragem de barras retas,

ganchos, curvas, laos e telas soldadas ................................................72

4.2.5.2 Comprimento de ancoragem necessrio ....................73

4.2.5.3 Comprimento mnimo de ancoragem..........................74

4.2.5.4 Ancoragem de feixe de barras ....................................74

4.2.6 DISPOSITIVOS DE ANCORAGEM .........................................74

4.2.7 ANCORAGEM FORA DO APOIO E NO APOIO......................75

4.2.7.1 Ancoragem fora do apoio............................................75

4.2.7.2 Ancoragem no apoio ...................................................76

4.2.8 EMENDAS DE BARRAS EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS..76

4.2.8.1 Emendas por traspasse de barras tracionadas...........76

4.2.8.2 Comprimento necessrio para emendas por traspasse

de barras tracionadas ............................................................................77

4.3 ADERNCIA ...................................................................................79

4.3.1 ANLISE DA ADERNCIA COMO INDICADO EM NORMAS 79

4.3.1.1 Introduo ...................................................................79

4.3.1.2 Condies de aderncia .............................................79

4.3.1.3 Tenso de aderncia entre a armadura e o concreto .80

4.3.1.3.1 Clculo da tenso de aderncia de clculo na

ancoragem segundo o Eurocode 2 (1992) .........................................80

4.3.1.3.2 Clculo da tenso de aderncia de clculo na

ancoragem segundo a NBR 6118:2003..............................................81

Sumrio

VI

4.3.1.4 Valores das tenses de aderncia de projeto segundo o

Eurocode 2 (1992) e segundo a NBR 6118:2003 ..................................82

4.3.2 ANCORAGEM .........................................................................83

4.3.2.1 Introduo ...................................................................83

4.3.2.2 Comprimento bsico de ancoragem ...........................83

4.3.2.2.1 Comprimento bsico de ancoragem segundo o

Eurocode 2 (1992) .............................................................................83

4.3.2.2.2 Comprimento bsico de ancoragem segundo a

NBR 6118:2003 .............................................................................84

4.3.2.2.3 Comprimento bsico de ancoragem segundo o ACI

318 (1995) .............................................................................84

4.3.2.3 Mtodos de ancoragem ..............................................85

4.3.2.3.1 Recomendaes segundo o Eurocode 2 (1992) ..85

4.3.2.3.2 Recomendaes segundo a NBR 6118:2003 ......85

4.3.2.4 Dimetros mnimos dos pinos de dobramento............86

4.3.2.5 Armadura transversal..................................................86

4.3.2.6 Comprimento de ancoragem necessrio ....................87

4.3.2.6.1 Comprimento de ancoragem necessrio segundo o

Eurocode 2 (1992) .............................................................................87

4.3.2.6.2 Comprimento de ancoragem necessrio segundo a

NBR 6118:2003 .............................................................................88

4.3.2.6.3 Comprimento de ancoragem necessrio segundo o

ACI 318 (1995) .............................................................................89

4.3.3 EMENDAS POR TRASPASSE PARA BARRAS OU FIOS......89

4.3.3.1 Arranjo das emendas..................................................89

4.3.3.2 Armadura transversal..................................................90

4.3.4 ANCORAGEM DE ESTRIBOS E DE ARMADURA DE

CISALHAMENTO .............................................................................................90

5 O PROGRAMA CAST ...........................................................................92

5.1 CONCEITOS GERAIS ....................................................................92

5.2 A MODELAGEM NO CAST (2000) PASSO-A-PASSO...................93

5.2.1 DESCRIO DO PROJETO ...................................................94

Sumrio

VII

5.2.2 DEFINIO DO ELEMENTO ESTRUTURAL..........................95

5.2.3 OBTENO DAS FORAS NO MODELO DE BIELAS E

TIRANTES .............................................................................................95

5.2.4 DEFINIO DAS PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS........96

5.2.5 VERIFICAO DAS TENSES ..............................................98

6 MODELAGENS DAS VIGAS E ANLISE DOS RESULTADOS ..........99

6.1 ROTINA PARA VERIFICAES DE VIGAS DE CONCRETO

ARMADO DE SEES RETANGULARES SUBMETIDAS A FLEXO

SEGUNDO A NBR 6118:2003..........................................................................99

6.2 MODELOS VB - VIGAS DE CONCRETO ARMADO BIAPOIADAS

SUBMETIDAS A CARREGAMENTOS UNIFORMEMENTE DISTRIBUDOS 102

6.2.1 MODELO VB1 - PROPRIEDADES INICIAIS .........................104

6.2.1.1 Propriedades gerais ..................................................104

6.2.1.2 Determinao de kc, ks e As ......................................105

6.2.1.3 Clculo de Md,lim, Vd,u e Vd,min ....................................105

6.2.1.4 Verificao das bielas segundo o MC CEB-FIP (1990)...

..................................................................................105

6.2.1.5 Verificao das bielas segundo a NBR 6118:2003 ...107

6.2.1.6 Resultados da modelagem .......................................107

6.2.2 MODELO VB2 - VB1 COM ACRSCIMO DE

CARREGAMENTO .........................................................................................124

6.2.2.1 Geometria e aes....................................................124




..................................................................................125



6.2.3 MODELO VB3 - MUDANDO-SE A INCLINAO DAS BIELAS..

...........................................................................................135

6.2.3.1 Geometria e aes....................................................135


Sumrio

VIII



..................................................................................136



6.3 MODELO VF: VIGA DE CONCRETO ARMADO COM FURO NA

ALMA SUBMETIDA A CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUDO E

A CARREGAMENTOS PONTUAIS ................................................................145

6.3.1 Introduo..............................................................................145

6.3.2 Resultados da modelagem ....................................................146

7 CONSIDERAES FINAIS E SUGESTES PARA FUTURAS PESQUISAS...................................................................................................164

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..........................................................168

Lista de figuras

IX

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Tipos de runa segundo FUSCO (1984).....................................11

Figura 2.2 - Cobertura do diagrama de fora de trao solicitante pelo

diagrama resistente [NBR 6118:2003]...............................................................15

Figura 2.3 - Modelo fundamental da alma [MC CEB-FIP, 1990]...................18

Figura 2.4 - Esquemas para deduo das foras nos membros da trelia

[MC CEB-FIB, 1990]..........................................................................................20

Figura 2.5 - Processo do caminho de carga..................................................32

Figura 2.6 - Modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de

uma viga............................................................................................................34

Figura 2.7 - Regies (B) e (D) para uma viga................................................36

Figura 2.8 - Regies (B) e (D) e modelo de trelia para uma viga

(SILVA & GIONGO, 2000).................................................................................36

Figura 2.9 - Exemplo bsico de ns contnuos e ns singulares em modelo

de bielas e tirantes.............................................................................................37

Figura 2.10 - N N1 segundo SCHLAICH & SCHFER (1988; 1991)..........42




Lista de figuras

X






Figura 5.1 - Todos os passos da modelagem no CAST (2000)....................94

Figura 6.1 - VB1 - Carregamento e comprimento efetivo............................104

Figura 6.2 - VB1 - A trelia e seus elementos.............................................108

Figura 6.3 - VB1 - Aplicao das foras aos ns.........................................110

Figura 6.4 - Propriedades dos elementos....................................................111

Figura 6.5 - Propriedades dos ns..............................................................111

Figura 6.6 - VB1 - Foras nos membros da trelia......................................116

Figura 6.7 - VB1 - Fatores de utilizao dos elementos..............................116

Figura 6.8 - VB1 - Disposio das armaduras dos tirantes da

trelia...............................................................................................................121

Figura 6.9 - VB1 - Resumo..........................................................................123

Figura 6.10 - VB2 - Foras nos membros da trelia....................................129

Figura 6.11 - VB2 - Fatores de utilizao dos elementos............................129


trelia...............................................................................................................133

Figura 6.13 - VB2 - Resumo........................................................................134

Figura 6.14 - VB3 - Foras nos membros da trelia....................................139

Lista de figuras

XI

Figura 6.15 - VB3 - Fatores de utilizao dos elementos............................139


trelia...............................................................................................................143

Figura 6.17 - VB3 - Resumo........................................................................144

Figura 6.18 - VF - Carregamento e comprimento efetivo............................146

Figura 6.19 (a-e) - VF - Foras nos membros da trelia......................150-151

Figura 6.20 (a-d) - VF - Fatores de utilizao dos elementos..............152-153

Figura 6.21 (a-e) - VF - Disposio das armaduras dos tirantes da

trelia........................................................................................................161-162

Figura 6.22 - VF - Resumo..........................................................................163

Lista de tabelas

XII

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Limites inferior e superior para o ngulo formado entre as

diagonais comprimidas e a armadura longitudinal da viga................................40

Tabela 3.1 - Taxas mnimas de armadura transversal w,min segundo o Eurocode 2 (1992).............................................................................................61

Tabela 4.1 - Tenso de aderncia de projeto fbd segundo o

Eurocode 2 (1992).............................................................................................82

Tabela 4.2 - Tenso de aderncia de projeto fbd segundo o a

NBR 6118:2003.................................................................................................82

Tabela 4.3 - Dimetros mnimos dos pinos de dobramento segundo o

Eurocode 2 (1992).............................................................................................86

Tabela 4.4 - Dimetros mnimos dos pinos de dobramento segundo a

NBR 6118:2003.................................................................................................86

Tabela 5.1 - Propriedades dos ns segundo as normas e expresses

disponveis no CAST (2000)..............................................................................96

Tabela 5.2 - Propriedades das bielas segundo as normas e expresses

disponveis no CAST (2000)..............................................................................97

Tabela 6.1 - Rotina para o clculo da rea de armadura transversal em

vigas.................................................................................................................100

Tabela 6.2 - VB1 - Propriedades geomtricas dos elementos....................108

Lista de tabelas

XIII

Tabela 6.3 - VB1 - Propriedades geomtricas dos ns...............................109

Tabela 6.4 - VB1 - Propriedades dos elementos.........................................112

Tabela 6.5 - VB1 - Propriedades dos ns....................................................113

Tabela 6.6 - VB1 - Fatores de utilizao dos elementos da trelia.............117

Tabela 6.7 - VB1 - Fatores de utilizao dos ns da trelia........................118

Tabela 6.8 - VB1 - Armaduras necessrias para a viga determinadas pelo

CAST (2000)....................................................................................................121

Tabela 6.9 - VB2 - Propriedades dos elementos.........................................126

Tabela 6.10 - VB2 - Propriedades dos ns..................................................128

Tabela 6.11 - VB2 - Fatores de utilizao dos elementos da trelia...........129

Tabela 6.12 - N2 - Fatores de utilizao dos ns da trelia........................130

Tabela 6.13 - VB2 - Armaduras necessrias para a viga determindas pelo

CAST (2000)....................................................................................................133

Tabela 6.14 - VB3 - Propriedades dos elementos.......................................137

Tabela 6.15 - VB3 - Propriedades dos ns..................................................138

Tabela 6.16 - VB3 - Fatores de utilizao dos elementos da trelia...........140

Tabela 6.17 - VB3 - Fatores de utilizao dos ns da trelia......................141

Tabela 6.18 - VB3 - Armaduras necessrias para a viga determindas pelo

CAST (2000)....................................................................................................143

Tabela 6.19 - VF - Propriedades dos elementos.........................................146

Tabela 6.20 - VF - Propriedades dos ns....................................................148

Tabela 6.21 - VF - Fatores de utilizao dos elementos da trelia..............153

Lista de tabelas

XIV

Tabela 6.22 - VF - Fatores de utilizao dos ns da trelia........................155

Tabela 6.23 - VF - Armaduras necessrias para a viga determindas pelo

CAST (2000)....................................................................................................160

Resumo

XV

RESUMO

SANTOS, D. (2006). Anlise de vigas de concreto armado utilizando modelos

de bielas e tirantes. So Carlos. Dissertao (Mestrado) Escola de

Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

O modelo de bielas e tirantes apresenta como uma de suas vantagens

a generalidade, ou seja, capaz de representar, de modo aproximado, porm

realista e sistemtico, grande parte dos elementos de concreto estrutural da

atualidade. Alm disso, permite ao engenheiro fcil visualizao fsico-intuitiva

do comportamento do concreto estrutural. Por outro lado, o modelo ainda tem

um enorme potencial no aproveitado. Ainda no se tem um critrio exato para

determinao dos ns e das sees transversais das bielas de alguns

elementos. Apesar de haver certas incertezas no caso de vigas-parede e

principalmente de blocos de fundao, nas vigas esses elementos do modelo

podem ser determinados sem grandes dificuldades. Possivelmente, a soluo

seria variar as dimenses das bielas e as posies dos ns, ambas hipotticas,

a fim de confrontar vrias situaes com resultados experimentais. Da a

grande importncia da difuso do modelo de bielas e tirantes: um maior

nmero de anlises de modelagens e de resultados de ensaios levar a um

maior domnio sobre o modelo. Este trabalho consiste na anlise de vigas de

concreto armado utilizando modelos de bielas e tirantes. So apresentados os

conceitos que levaram concepo do modelo, desde a Analogia Clssica da

Trelia, chegando aos critrios para verificao dos elementos da trelia e s

recomendaes atuais de normas e pesquisadores. Com o auxlio do programa

computacional CAST (2000), foram modeladas quatro vigas, sendo as trs

primeiras biapoiadas sem descontinuidades e a quarta com balano e

Resumo

XVI

descontinuidade geomtrica (abertura na alma). A primeira viga biapoiada teve

algumas de suas caractersticas iniciais alteradas a fim de gerar o segundo e o

terceiro modelos, procurando-se estabelecer limites de carregamentos e

anlises comparativas. Os resultados das modelagens permitiram

comparaes com os resultados das verificaes realizadas segundo os

critrios da NBR 6118:2003 e do MC CEB-FIP (1990) e, permitiram tambm,

identificar os aspectos de maior dificuldade na concepo de um modelo de

bielas e tirantes e os pontos crticos dos mesmos, nos quais h maior

possibilidade de falha nas verificaes.

Palavras-chave: concreto armado, modelo de bielas e tirantes, viga.

Abstract

XVII

ABSTRACT

SANTOS, D. (2006). Analysis of reinforced concrete beams using strut and tie

models. So Carlos. Dissertao (Master Degree Thesis) Escola de

Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

One of the main advantages presented by the strut-and-tie model is

generality. This model is able to approximately represent, in a realistic and

systematic way, the majority of todays reinforced concrete elements.

Furthermore, it allows the physics-intuitive visualization of the behavior

presented by structural concrete. On the other hand, its potentials are not fully

explored yet. Up to date, there is no accurate criterion for the determination of

nodes and transverse sections of some strut elements. Despite presenting

some uncertainties related to the determination of wall-beams (and mainly of

foundation blocks), the model can determine beams without major difficulties.

Probably, the key is to vary the dimensions of the struts and the positions of the

nodes, both hypothetical, in order to confront various situations with

experimental data. Hence, it is very important to diffuse the strut-and-tie model:

the bigger the number of modeling analysis and experimental data, the better

the comprehension of the model. This work aims to analyze reinforced concrete

beams employing the strut-and-tie model. Here are presented the concepts that

led to the development of the model, ranging from the Truss Classic Analogy to

the criteria employed to verify truss elements and the recommendations from

researchers and established standards (rules or norms). Four examples of

beams were modeled. Three of them were double-based and the fourth

presented balance and no geometric discontinuity (with an opening). Some of

the characteristics of the first double-based beam were altered in order to

Abstract

XVIII

generate the second and the third model, thus establishing loading limits and

comparative analysis. The modeling allowed comparisons between the

verifications performed in accordance with the NBR 6118:2003 and MC CEB-

FIP criteria. It also allowed the identification of major difficulties and critical

aspects related to the development of struts and ties, the ones that are most

prone to failure in the verification process.

Keywords: reinforced concrete, strut and tie model, beam.

Captulo 1 Introduo

1

1 INTRODUO

1.1 PRELIMINARES

Ao se projetar vigas de concreto armado, o procedimento empregado

o que utiliza o dimensionamento relativo teoria da flexo (momento fletor e

fora cortante). Porm, no s no aspecto cientfico, mas tambm em outros

aspectos, como prtico e at didtico, o clculo de vigas de concreto armado

utilizando o modelo de bielas e tirantes pode ser muito valioso. Este modelo

tem como principais vantagens a melhor visualizao do comportamento da

estrutura, podendo-se verificar de modo mais claro a distribuio das tenses,

e a facilidade na identificao das regies mais solicitadas da estrutura. O

modelo tambm permite que o projetista o utilize em toda a estrutura, tanto nas

regies sem descontinuidades, quanto nas regies com descontinuidades.

O trabalho pretendeu desenvolver rotina de projeto para vigas de

concreto armado adotando o modelo de bielas e tirantes. Para isso foi feita

extensa reviso bibliogrfica, considerando os trabalhos publicados desde o

incio das pesquisas at os mais recentes, que levaram ao desenvolvimento de

programas computacionais. Para as modelagens utilizou-se o programa

computacional CAST, Computer Aided Strut-and-Tie (2000), especfico para

clculo de estruturas de concreto simples, armado ou protendido, utilizando os

princpios do modelo de bielas e tirantes. Com isso, visou-se garantir a

segurana dos banzos comprimido e tracionado, de tal modo que para este se

considere a retirada de servio das barras longitudinais da armadura. Os ns,

as diagonais comprimidas e os estribos tiveram suas seguranas verificadas

com as condies de resistncia do concreto e das barras ou fios de ao. Por

fim, os comprimentos de ancoragem foram convenientemente considerados.

Captulo 1 Introduo

2

1.2 OBJETIVO

Esta pesquisa visou o dimensionamento de vigas de concreto armado

utilizando-se modelos de bielas e tirantes. Procurou-se atentar para todos os

critrios de verificao necessrios para se garantir a segurana da viga tanto

em servio como nos estados limites ltimos. Pretendeu-se, desse modo,

elaborar uma opo de verificao para vigas.

O objetivo geral que se pretendeu atingir com esta dissertao foi

apresentar, estudar e avaliar as prescries das normas em relao s vigas

de concreto armado e, em seguida, com o auxlio do programa computacional

CAST, Computer Aided Strut-and-Tie (2000), propor um mtodo para o

dimensionamento de vigas de concreto armado em que no necessrio fazer

a decalagem do diagrama de momentos fletores para a determinao dos

pontos de interrupo das barras da armadura longitudinal, como feito pelo

modo tradicional.

1.3 JUSTIFICATIVA

A proposta de se analisar soluo alternativa para o projeto de

estruturas de concreto armado estimulou este trabalho.

Um dos elementos estruturais mais comuns em vrios tipos de

construes, a viga elemento fundamental de sustentao da maioria das

edificaes de concreto armado. Ao mesmo tempo, o modelo de bielas e

tirantes uma das mais geniais idias de concepo e anlise estrutural do

sculo XX e at da prpria histria do concreto. Esse modelo passou por

evolues e at hoje usado e proposto por cdigos e normas para o clculo

de estruturas no usuais de concreto armado, apesar de poder ser usado,

tambm, para dimensionar estruturas usuais, como vigas biapoiadas sem

descontinuidades geomtricas.

Captulo 1 Introduo

3

Em virtude da falta de trabalhos desse gnero, pode ser de grande

importncia esta pesquisa, que analisa, compara e discute o dimensionamento

de vigas usuais submetidas a flexo simples segundo algumas das principais

Normas em vigncia, bem como segundo um programa especializado em

resolver estruturas pelo modelo de bielas e tirantes.

A proposta de se encontrar um mtodo alternativo para a determinao

dos pontos de interrupo das barras da armadura longitudinal, sem a

necessidade do j tradicional cobrimento do diagrama de momentos fletores

da viga, parece oportuna e surge como valiosa alternativa para os usurios de

programas computacionais.

1.4 MTODOS E TCNICAS

Este trabalho analisa o comportamento de vigas de concreto armado,

tomando-se por base os critrios da NBR 6118:2003, do ACI 318M (1995), do

EUROCODE 2 (1992), do Cdigo de Recomendaes da fib (1999) e do MC

CEB-FIP (1990). Posteriormente, compara os resultados obtidos com

simulao feita em computador utilizando o programa CAST (2000), o qual,

utilizando-se especificamente dos princpios do modelo de bielas e tirantes,

permite realizar verificaes de estruturas de concreto.

Em relao ao dimensionamento de vigas, foi realizado um estudo que

abrange desde a analogia de trelia, proposta por MRSCH no incio do sculo

XX, passando pelas grandes contribuies de SCHLAICH & SCHAFER (1987,

1988, 1991) e chegando ao dimensionamento segundo cada uma das normas.

Apresentam-se, ento, exemplos de verificao de vigas de concreto armado

submetidas a flexo.

Em seguida discutem-se alguns aspectos relativos ao comportamento

e modelagem de vigas de concreto armado utilizando-se o programa

computacional CAST (2000). Posteriormente, sero apresentados os

resultados das modelagens realizadas e as concluses em relao aos

resultados obtidos, pretendendo-se avaliar o mtodo proposto.

Captulo 1 Introduo

4

1.5 APRESENTAO DA DISSERTAO

O Captulo 1 apresenta preliminares em relao utilizao do modelo

de bielas e tirantes, os objetivos deste trabalho, as justificativas que

estimularam a elaborao do mesmo e os mtodos empregados em seu

desenvolvimento.

No Captulo 2 so abordados aspectos gerais da anlise estrutural, os

possveis mecanismos de ruptura das vigas, as analogias das trelias Clssica

e Generalizada, as hipteses de Bernoulli e so deduzidas as expresses para

dimensionamento segundo o MC CEB-FIP (1990). Em seguida, h uma

apresentao do histrico do modelo de bielas e tirantes e todas as

caractersticas relativas s verificaes pertinentes ao modelo.

O Captulo 3 apresenta as verificaes necessrias s vigas

submetidas a esforos de flexo, segundo a NBR 6118:2003, o MC CEB-FIP

(1990), o Eurocode 2 (1992) e o ACI 318M (1995).

No Captulo 4 foi realizada extensa abordagem da ancoragem das

barras das armaduras das estruturas de concreto armado e de todos os

critrios necessrios para o clculo do comprimento de ancoragem de barras

nas mais diversas situaes.

O Captulo 5 faz uma abordagem geral do CAST (2000), desde seu

histrico, passando por suas caractersticas peculiares, at a descrio de

todas as etapas necessrias na modelagem.

As modelagens das vigas VB1, VB2, VB3 VF constam no Captulo 6,

que apresenta as propriedades geomtricas e dos materiais, as condies de

contorno, os modelos de trelias definidos, as solicitaes e as tenses nos

elementos, de todos os quatro modelos.

Por fim, no Captulo 7 so relacionadas consideraes finais com base

nos resultados obtidos e so fornecidas sugestes para pesquisas futuras

utilizando modelos de bielas e tirantes.

Captulo 2 As vigas e o modelo de bielas e tirantes

5

2 AS VIGAS E O MODELO DE BIELAS E TIRANTES

Este captulo apresenta a fundamentao terica que possibilitou o

desenvolvimento do trabalho. Em resumo, apresentam-se a seguir os

fundamentos tericos a respeito da anlise estrutural, do comportamento e

verificao de vigas pelas normas propostas, do modelo de bielas e tirantes e

da determinao do comprimento de ancoragem das armaduras das vigas.

2.1 PRELIMINARES

O projeto usual de vigas de concreto armado realizado, com os

esforos solicitantes momento fletor e fora cortante , com os critrios de

verificao do equilbrio das resultantes internas no concreto comprimido e nas

barras das armaduras tracionadas. Ao se estudar o equilbrio da trelia de

MRSCH, idealizada no sculo retrasado, podem ser determinados os

deslocamentos no diagrama de momentos fletores, a fim de estabelecer os

corretos pontos de interrupo das barras longitudinais da viga. Segundo a

NBR 6118:2003, o dimensionamento das armaduras longitudinais deve

conduzir a um conjunto de esforos resistentes (NRd, MRd) que constituam

envoltria dos esforos solicitantes (NSd, MSd) determinados na anlise

estrutural.

O modelo de bielas e tirantes, por sua vez, analisa a viga como um

todo, sem a necessidade de separar os esforos solicitantes e as foras

internas para equilibr-los, constituindo-se em modelo mais realista. Assim,

permite que a determinao dos comprimentos das barras longitudinais seja

realizada de maneira mais simples que do que pelo modo tradicional - anlise

do momento fletor resistido por barra e considerao do diagrama de


6

momentos fletores deslocado. Ao se aplicar o modelo, os pontos de interrupo

das barras longitudinais podem ser determinados facilmente, de acordo com as

foras aplicadas em cada barra do banzo da trelia, ou seja, determina-se a

rea de armadura necessria para resistir a fora resultante em cada tramo do

banzo que esteja tracionado. Sabendo-se que a fora varia para cada barra da

trelia, os pontos de interrupo das barras da armadura longitudinal podem

ser definidos, portanto, pelos ns da trelia interna da viga.

A anlise da segurana da viga adotando o modelo de bielas e tirantes

permite as verificaes relativas aos banzos tracionado e comprimido, s

diagonais comprimidas, aos pendurais e s regies nodais.

Para uso corrente pelos projetistas, para as verificaes das vigas de

concreto armado utilizando o modelo de bielas e tirantes, necessrio elaborar

rotina de projeto que considere convenientemente:

1. a segurana das regies nodais;

2. as verificaes das diagonais comprimidas, considerando os critrios

de resistncia do concreto;

3. as verificaes dos pendurais (estribos), considerando os critrios de

resistncia das barras ou fios de ao;

4. os comprimentos de ancoragem das armaduras longitudinais.

2.2 ANLISE ESTRUTURAL

2.2.1 INTRODUO

A rigor, as estruturas precisam ser tratadas como tridimensionais, uma

vez que todos os seus elementos trabalham conjuntamente. Tal procedimento,

embora conduza a um projeto mais refinado, dificulta a determinao dos

esforos solicitantes, em virtude do alto grau de hiperestaticidade da estrutura,

exigindo o emprego de recursos computacionais sofisticados.


7

Alternativamente, o clculo dos esforos solicitantes feito por

processos simplificados, aceitos pelas normas, considerando os elementos

estruturais separadamente, fazendo-se as correes necessrias para garantir

a segurana dos elementos isolados e da estrutura como um todo.

O sistema estrutural de uma edificao precisa ser projetado de modo

que ele seja capaz de resistir no s s aes verticais, mas tambm s aes

horizontais que possam provocar efeitos significativos ao longo da sua

existncia.

As aes verticais so constitudas por: peso prprio dos elementos

estruturais; pesos prprios de revestimentos e de paredes divisrias, alm de

outras aes permanentes; aes variveis decorrentes da utilizao, cujos

valores vo depender da finalidade do edifcio, e outras aes especficas,

como por exemplo, a massa de equipamentos.

As aes horizontais, onde no h ocorrncia de abalos ssmicos,

constituem-se, basicamente, da ao do vento.

A distribuio das aes verticais tem incio nas lajes, que suportam,

alm de seus pesos prprios, outras aes permanentes e as aes variveis

de uso, incluindo, eventualmente, peso de paredes que se apiam diretamente

sobre elas. As lajes transmitem essas aes para as vigas, por meio das

reaes de apoio.

As vigas suportam seus pesos prprios, as reaes provenientes das

lajes, peso de paredes e, ainda, aes de outros elementos que nelas se

apiam como, por exemplo, as reaes de apoio de outras vigas. As vigas,

assim como as lajes, trabalham flexo e transmitem as aes para os

elementos verticais - pilares e paredes estruturais - por meio das respectivas

reaes.

Os pilares e as paredes estruturais recebem as reaes das vigas que

neles se apiam, as quais, juntamente com o peso prprio desses elementos

verticais, so transferidas para os andares inferiores e, finalmente, para o solo,

por meio dos elementos de fundao.


8

As aes horizontais devem igualmente ser absorvidas pela estrutura e

transmitidas, passo a passo, para a fundao. O caminho dessas aes tem

incio nas paredes externas do edifcio, onde atua o vento. Esta ao

resistida por elementos verticais de grande rigidez, tais como prticos, paredes

estruturais e ncleos, que formam a estrutura de contraventamento. Os pilares

de menor rigidez pouco contribuem na resistncia s aes laterais e, portanto,

podem ser ignorados na anlise da estabilidade global da estrutura.

As lajes exercem importante papel na distribuio das foras

decorrentes do vento entre os elementos de contraventamento, pois possuem

rigidez praticamente infinita em seu plano, promovendo, assim, o travamento

do conjunto.

2.2.2 POSIES DE VIGAS E LAJES

A estruturao segue com o posicionamento das vigas nos diversos

pavimentos. Alm daquelas que ligam os pilares, formando prticos, outras

vigas podem ser necessrias, seja para dividir um painel de laje com grandes

dimenses, seja para suportar uma parede divisria e evitar que ela se apie

diretamente sobre a laje.

comum, por questes estticas e com vistas a facilidades no

acabamento e ao melhor aproveitamento dos espaos, adotar larguras de vigas

em funo da largura das alvenarias. As alturas das vigas ficam limitadas pela

necessidade de prever espaos livres para aberturas de portas e de janelas.

Como as vigas delimitam os painis de laje, suas disposies precisam

levar em considerao o valor mdio econmico do menor vo das lajes, que,

para lajes macias, da ordem de 3,5 metros a 5,0 metros. O posicionamento

das lajes fica, ento, praticamente definido pelo arranjo das vigas.


9

2.2.3 DESENHOS PRELIMINARES DE FORMAS

De posse do arranjo dos elementos estruturais, passa-se ao pr-

dimensionamento, cujo propsito a determinao aproximada das alturas das

lajes e das dimenses das sees transversais dos pilares e das vigas.

As larguras das vigas so adotadas para atender condies de

arquitetura ou construtivas. Sempre que possvel, as vigas ficam embutidas nas

alvenarias e permitem a passagem de tubulaes. Costuma-se adotar para as

vigas no mximo trs pares de dimenses diferentes para as sees

transversais.

Em edifcios residenciais, conveniente que as alturas das vigas no

ultrapassem 60 cm, para no interferir nos vos de portas e de janelas. Por

exemplo, pode-se adotar, para as vigas mais solicitadas, com vos maiores ou

aquelas que fazem parte dos prticos de contraventamento, as dimenses 25

cm x 60 cm. As outras vigas podem ter dimenses inferiores, como 20 cm x 50

cm ou 20 cm x 40 cm. Essas dimenses podem ser adotadas em funo do

pr-dimensionamento e devem, posteriormente, ser verificadas nos clculos

definitivos.

A fase de estruturao do edifcio termina com a elaborao dos

desenhos preliminares das formas de todos os pavimentos, contendo as

dimenses estimadas no pr-dimensionamento, a partir das quais calculam-se

os vos efetivos de lajes e vigas, necessrios para iniciar o clculo dos

esforos solicitantes nesses elementos.

2.3 MECANISMOS DE RUNA EM VIGAS (FUSCO, 1984)

2.3.1 GENERALIDADES

O colapso de vigas de concreto armado pode ocorrer segundo aes

normais ou aes tangenciais. Entende-se que no dimensionamento e


10

verificao a runa desses elementos deve ocorrer somente por solicitaes

normais, e nunca por solicitaes tangenciais.

O estado limite ltimo para solicitaes normais pode ocorrer ou por

ruptura do concreto, ou por deformao plstica excessiva da armadura

longitudinal.

Por outro lado, para solicitaes tangenciais o estado limite ltimo

ocorre por escoamento da armadura transversal ou por esmagamento das

diagonais comprimidas. Em vista disso, a runa pode ser frgil e, por isso,

precisa ser evitada.

2.3.2 TIPOS DE RUNA

Segundo FUSCO (1984) os tipos de runa de vigas de concreto armado

submetidas a solicitaes cisalhantes so:

1. Runa por fora cortante-compresso: tpico de peas subarmadas

transversalmente. A runa no frgil, pois ocorre escoamento da armadura

transversal e fissurao excessiva (Figura 2.1 - a);

2. Runa por fora cortante-trao: tpico de peas superarmadas

transversalmente. A runa frgil, pois ocorre esmagamento das bielas de

concreto antes que a armadura transversal entre em escoamento (Figura 2.1 -

b);

3. Runa por fora cortante-flexo: ocorre pela diminuio da espessura

do banzo comprimido da pea, quando as fissuras diagonais se estendem at

ele. Essa diminuio pode provocar acrscimo de tenses e,

conseqentemente, esmagamento do concreto. Geralmente a seo de runa

se localiza em regies de elevadas foras concentradas (Figura 2.1 - c);

4. Runa por flexo da armadura longitudinal: ocorre quando h

deficincias localizadas na armadura longitudinal de trao, como

espaamento ou ancoragem de armadura transversal incorretos (Figura 2.1 -

d).


11

Figura 2.1 - Tipos de runa segundo FUSCO (1984)

2.4 A ANALOGIA CLSSICA DA TRELIA

2.4.1 PRELIMINARES

A trelia clssica de MRSCH foi concebida no incio do sculo XX e,

desde ento, vem sendo utilizada como base para o dimensionamento de vigas

de concreto armado. Apesar de algumas pesquisas sugerirem alteraes em

sua teoria, seu aspecto geral foi mantido e est distante de ser superado, pois

Runa foracortante-compresso

Runa fora

Runa fora

cortante-trao

cortante-flexo

Runa por f lexoda armadura longitudinal

a)

b)

c)

d)

de trao


12

o mecanismo resistente desses elementos estruturais pode ser associado ao

de trelias.

A Analogia Clssica da Trelia faz a analogia entre uma viga de

concreto armado, depois de fissurada, e uma trelia de banzos paralelos e,

apesar de apresentar certas imperfeies, resultantes da incompatibilidade

entre modelo e viga real, ainda hoje empregada em grande escala. Nas

ltimas dcadas propostas vm sendo feitas por pesquisadores e engenheiros

sugerindo alteraes no modelo original, a fim de aperfeio-lo e,

principalmente, ajustar os resultados experimentais aos tericos.

Atualmente, como importantes incrementos ao modelo de MRSCH,

destacam-se os modelos de bielas e tirantes, nos quais os elementos ou

regies da viga real so denotados como elementos da trelia. Neste caso, as

armaduras transversais so os montantes tracionados da trelia, atuando

tipicamente como tirantes na viga de concreto armado. Por sua vez, as

diagonais comprimidas, situadas entre duas fissuras consecutivas, trabalham

como as barras das diagonais comprimidas da trelia, atuando como as bielas.

Por fim, citam-se os banzos da trelia, nos quais a armadura longitudinal de

trao da viga funciona como o banzo tracionado e a faixa superior de concreto

como o banzo comprimido.

Em relao a ambos os modelos, sero relacionadas suas

consideraes bsicas e principais imperfeies, procurando justific-las,

terminando por exibir o dimensionamento segundo as normas NBR 6118:2003

e ACI 318M (1995), bem como do Eurocode 2 (1992) e as prescries do

Cdigo de Recomendaes da fib (1999).

2.4.2 HIPTESES BSICAS

As hipteses admitidas pela trelia clssica baseiam-se no panorama

fissurado da viga, a partir do qual se pode determinar o mecanismo de

funcionamento da mesma.


13

2.4.2.1 Posio relativa dos banzos

O modelo prope uma trelia de banzos paralelos em quase toda a

extenso da viga, sendo que apenas nas regies dos apoios o banzo superior

inclina-se at se encontrar com o inferior.

2.4.2.2 Inclinao das diagonais ()

As diagonais comprimidas apresentam inclinao menor ou igual a

45 em relao ao eixo longitudinal da viga, sendo que varia conforme a

largura da alma e a taxa de armadura transversal. A delimitao das diagonais

se d segundo as fissuras, pois cada diagonal est compreendida no espao

entre duas fissuras. Experimentalmente, observa-se que as inclinaes das

fissuras diminuem em direo aos apoios, valendo aproximadamente 90 na

regio central da viga. Porm, os modelos de clculo determinam um ngulo de

inclinao e consideram-no constante em toda a extenso da viga.

O ngulo de inclinao mnimo especificado segundo cada norma,

porm usualmente admite-se = 45, a fim de simplificar as consideraes

para o dimensionamento. A NBR 6118:2003 apresenta dois modelos de

clculo: o modelo I, que considera o ngulo = 45, e o modelo II, que

considera o ngulo arbitrado livremente entre 30 e 45.

2.4.2.3 Inclinao da armadura transversal ()

A armadura transversal pode apresentar inclinao entre 45 e 90 em relao ao eixo longitudinal da pea. Na prtica, a grande maioria dos

casos apresenta armadura transversal na posio vertical, ou seja, com = 90, em funo da dificuldade de modelagem das barras da armadura com

diferentes inclinaes. Porm, pode-se citar que tais inclinaes, apesar de no

usuais, melhoram a eficincia da armadura transversal.


14

2.4.2.4 Limitao da tenso na armadura transversal

Segundo a NBR 6118:2003, a tenso nas barras da armadura

transversal fywd precisa respeitar os seguintes limites:

Estribos: fywd = fyd = fyk / s 435 MPa (2.1)

Barras dobradas: fywd = 0,70 fyd = 0,70 fyk / s 435 MPa (2.2)

sendo:

s = 1,15

2.4.2.5 Deslocamento do diagrama de momentos fletores

Os esforos solicitantes relativos flexo que atuam em uma viga de

concreto de alma cheia no so exatamente iguais aos atuantes numa trelia.

Na viga de concreto armado a resultante de compresso, que atua no banzo

comprimido, e a de trao, que atua na armadura tracionada, para uma mesma

seo, so proporcionais ao momento fletor atuante. Sendo assim, na viga, por

se tratar de um elemento geometricamente contnuo, as intensidades das

foras atuantes nos banzos variam ponto a ponto, ou seja, a cada diferena

infinitesimal de espao. Por outro lado, na trelia as foras apresentam valores

constantes entre dois ns consecutivos, ou seja, em cada uma de suas barras.

Por conta dessa diferena, precisa-se realizar uma translao a do

diagrama de momentos fletores de clculo, a fim de compatibilizar modelo e

viga real. Para o modelo II da NBR 6118:2003, tal translao admite os valores

dados pela seguinte expresso:

a = (z / 2) (cotg - cotg) + st / 2 (2.3) sendo:

z = distncia entre a resultante de compresso e a de trao nos

banzos (brao de alavanca);

= inclinao da armadura transversal;


15

= inclinao das bielas de concreto comprimido;

st = espaamento longitudinal entre os estribos.

Para vigas no modelo I, ou seja, com estribos a 90 e inclinao das

bielas igual a 45, a expresso anterior resulta:

a = st / 2 (2.4)

A figura a seguir indica a decalagem do diagrama de momento fletor

sugerida pela NBR 6118:2003.

Figura 2.2 - Cobertura do diagrama de fora de trao solicitante pelo

diagrama resistente [NBR 6118:2003]

2.5 ANALOGIA DA TRELIA GENERALIZADA: PRINCIPAIS

IMPERFEIES DA TRELIA CLSSICA

A necessidade de se generalizar a Analogia da Trelia Clssica pelo

fato de se levar em considerao, dentre outros fatores, principalmente a

hiperestaticidade da viga real. Podem ser estabelecidos trs fatores como os

principais responsveis pela diferena entre os valores das tenses calculadas


16

teoricamente, segundo a trelia clssica, e os observados experimentalmente.

So eles:

1. Alta hiperestaticidade da viga de concreto armado;

2. Posio relativa dos banzos, que no so paralelos;

3. Diferena na inclinao das fissuras, pois na viga real a inclinao

menor que a admitida por MRSCH.

As bielas diagonais so aproximadamente 20 vezes mais rgidas que

os montates tracionados, ou seja, a armadura transversal. Portanto, elas

deveriam absorver uma parcela maior de tenses que a determinada pela

trelia clssica. Alm disso, h engastamento na ligao entre biela e banzo

comprimido, pois trata-se de uma massa contnua de concreto, o que contraria

a teoria, no que diz respeito s ligaes nas trelias. Isso significa que as bielas

trabalham tambm a flexo, aliviando os montantes ou as diagonais

tracionadas. Observa-se experimentalmente que, como conseqncia desse

fator, a armadura transversal ser menos solicitada medida que maior for a

largura da alma da viga. Os valores das tenses de compresso calculadas

nas bielas segundo a teoria da trelia clssica, no caso de estribos a 90, so

de 10% a 20% menores que as observadas experimentalmente em ensaios de

vigas, comprovando a validade da hiptese da hiperestaticidade. No caso de

estribos inclinados tal diferena aumenta para 60%, em mdia.

Com relao inclinao dos banzos, verifica-se que na viga real o

banzo comprimido inclinado, o que possibilita a absoro direta de uma

parcela da fora cortante atuante.

As fissuras e, por conseqncia, as diagonais comprimidas apresentam

inclinao menor que 45 nos trechos mais solicitados.

A Analogia Generalizada de Trelia resulta em menores taxas de

armadura transversal, porm deve-se atentar para a possibilidade de

esmagamento das diagonais comprimidas, pois nesse caso elas encontram-se

mais solicitadas.


17

2.6 MODELO PLSTICO DE TRELIA

O modelo plstico de trelia consiste em um banzo tracionado e outro

comprimido, bielas com inclinao com a horizontal e estribos. Em conseqncia ao efeito de leque, foras concentradas e reaes so

transmitidas aos estribos por bielas radiais, formando um campo de tenses de

compresso constitudo por bielas de inclinao constante.

Uma das hipteses da trelia plstica que toda a fora cortante deve

ser resistida por estribos, sendo que, em projeto, o ideal seria proporcionar um

arranjo da armadura transversal tal que todos os seus ramos atingissem o

escoamento simultaneamente, quando a fora de ruptura fosse alcanada.

Desse modo, uma fora igual a Asw.fyd seria transmitida pela fissura, sendo Asw

a soma das reas dos ramos da armadura transversal compreendida entre

duas fissuras. Dessa forma, a trelia se tornaria estaticamente determinada.

Como a viga real projetada de modo a alcanar o escoamento dos

estribos anteriormente ao esmagamento do concreto, o modelo depende da

plastificao dos estribos, porm independe da plastificao do concreto. Um

modelo de trelia to mais adequado a uma determinada viga quanto mais se

aproximar da situao real. Vigas de concreto armado sofrem redistribuies

de foras internas, partindo do estado elstico no-fissurado, mudando para o

estado elstico fissurado e chegando at o estado plstico fissurado. Se o

modelo de trelia adotado considerar deformao excessiva para atingir

plastificao completa, a trelia poder romper-se prematuramente.


18

2.7 DEDUO DAS EXPRESSES SEGUNDO O CDIGO

MODELO CEB-FIP (1990)

2.7.1 GENERALIDADES

A proposta do Cdigo Modelo CEB-FIP (1990) a utilizao dos

modelos para vigas de concreto armado submetidas a ao de fora cortante e

momento fletor.

Para o dimensionamento da armadura transversal, o MC CEB-FIP

(1990) define verificaes das aes atuantes e das foras resistentes nos

tirantes da armadura transversal. Visando a otimizao da distribuio das

barras da armadura longitudinal, o cdigo tambm prope verificaes das

aes atuantes e das foras resistentes nos banzos tracionado e comprimido.

O modelo fundamental de um trecho tpico da alma de uma viga

mostrado na Figura 2.3. O brao de alavanca representado por z e se

estende desde o centro geomtrico do banzo comprimido at o centro

geomtrico do banzo tracionado, trecho no qual os momentos fletores mantm

o mesmo sinal e podem ser considerados iguais ao valor na seo de momento

fletor Md mximo. O (menor) ngulo formado entre as bielas e os banzos (ou o

comprimido, ou o tracionado) representado por e o (menor) ngulo formado entre os tirantes e os banzos (ou o comprimido, ou o tracionado)

representado por .

Figura 2.3 - Modelo fundamental da alma [MC CEB-FIP, 1990]


19

2.7.2 CONDIES PARA APLICAO DOS MODELOS

Segundo o CEB-FIP (1990), so condies bsicas para aplicao dos

modelos de bielas e tirantes:

1. necessrio que haja adequada ancoragem da armadura de

cisalhamento nos banzos superior e inferior;

2. Estribos precisam ter inclinao mnima de 45 e barras dobradas de

30 em relao ao eixo da viga;

3. Os espaamentos longitudinal e transversal entre os ramos da

armadura podem ser no mximo iguais a 0,75 d ou 800 mm, sendo d a altura

til da viga;

4. A fim de limitar as aberturas das fissuras de cisalhamento, a taxa

mecnica de armadura transversal wsw no pode ser inferior a 0,2, como

indicado nas expresses seguintes:

wsw = Asw fyk / (bw s fctm sen) 0,2 (2.5)

ou seja:

yk

wctm

sw

fsen.bf2,0

sA (2.6)

com (fctm = resistncia mdia trao do concreto), calculado por:

2/3ck

ctm 10f1,4f

= (2.7)

2.7.3 EXPRESSES PARA DIMENSIONAMENTO

A Figura 2.4, apresentada a seguir, fundamental na demonstrao

das solicitaes externas e as conseqentes reaes internas observadas na

seo transversal de uma viga de concreto armado submetida flexo.


20

B1

A

21

2

z (co tg +co tg )

1 B 2

1

A

2

FS c

M d

Nd

Vd

Fs t

S cF

stF

z2 (co tg + co tg )

B

A

s twF

z /2(co

tg +

cotg

)se

n

z co s s tF

S cF

S cwF

R cVd

z (co tg +c o tg )se n

c

z (co tg + co tg )

Fst

S cF

a )

b ) c)

d ) e)

f)

z (co tg + c o tg )

Figura 2.4 - Esquemas para deduo das foras nos membros da trelia

[MC CEB-FIB, 1990]

A seguir apresentam-se as expresses para o dimensionamento,

baseadas na Figura 2.4. Note-se que a simbologia adotada pelo MC CEB-FIB

(1990) ser alterada, neste trabalho, a fim de que os termos e as respectivas


21

expresses que eles constituem estejam de acordo com os utilizados no Brasil.

Sendo assim, sero realizadas as seguintes substituies:

FSc por RSc (fora solicitante de compresso no concreto banzo comprimido);

FRc por RRc (fora resistente de compresso no concreto banzo comprimido);

FSt por RSt (fora solicitante de trao na armadura banzo tracionado);

FRt por RRt (fora resistente de trao na armadura banzo tracionado);

FScw por RScw (fora solicitante de compresso na alma);

FRcw por RRcw (fora resistente de compresso na alma);

FStw por RStw (fora solicitante de trao na alma).

FRtw por RRtw (fora resistente de trao na alma).

2.7.3.1 Banzo tracionado

2.7.3.1.1 Fora solicitante de clculo

Segundo a Figura 2.4 - a, ao se passar uma seo vertical 1-1 pelo

ponto B e ao se calcular o momento fletor para as foras externas que atuam

esquerda do ponto A, obtm-se:

MA = Md + Vd (z cotg) + Nd (z - zs) (2.8)

sendo:

zs = distncia da linha de ao de Nd ao centro de gravidade da

armadura de trao.


22

Por meio de uma seo A-B em uma fissura diagonal de inclinao pode-se obter o momento fletor em A segundo os esforos internos (

esquerda):

MA = RSt z + Rstw (z / 2) (cotg + cotg) sen (2.9)

sendo:

RSt = fora solicitante no banzo tracionado;

RStw = fora resultante em um trecho z (cotg + cotg) da armadura transversal (Figura 2.4 - c).

Fazendo o equilbrio das foras verticais na Figura 2.4 - c, obtm-se:

RStw sen = Vd RStw = Vd / sen (2.10) Substituindo (2.10) em (2.9) e igualando a (2.8), obtm-se:

RSt z + (Vd / sen) (z / 2) (cotg + cotg) sen = Md + Vd z cotg + Nd (z - zs) (2.11)

RSt z = Md + Vd z cotg - (Vd / 2) z (cotg + cotg) + Nd (z - zs) (2.12)

RSt z = Md + Nd (z - zs) + (Vd / 2) z (cotg - cotg) (2.13)

) cotg cotg(2V

z)zz(N

zM

R dsddSt ++= (2.14)

sendo Nd positiva para trao e negativa para compresso.

No caso de aes aplicadas na face superior da viga, na seo de

momento mximo (na seo de Md,max, Vd = 0, para vigas biapoiadas):

z)zz(N

zM

R sdmax,dSt+ (2.15)

2.7.3.1.2 Fora resistente de clculo

RRt = As fyd (2.16)


23

2.7.3.1.3 Condio de segurana

RSt RRt (2.17)

Portanto:

ydsdsdd fA) cotg cotg(

2V

z)zz(N

zM ++ (2.18)

2.7.3.2 Banzo comprimido


Na Figura 2.4 - b, passando uma seo vertical 2-2 pelo ponto A, o

momento fletor em virtude das foras externas que atuam direita de B vale:

MB = Md - Nd zs - Vd z cotg (2.19)

Por meio de uma seo diagonal A-B, pode-se obter o momento fletor

em B, em funo das foras internas ( direita):

MB = RSc z - RStw (z / 2) (cotg +cotg) sen (2.20) sendo:

RSc = fora solicitante no banzo comprimido.

Igualando (2.19) a (2.20) e substituindo (2.10) em (2.20), obtm-se:

Md - Nd zs - Vd z cotg = RSc z - (Vd / sen) (z / 2) (cotg + cotg) sen (2.21)

RSc z = Md - Nd zs - (Vd / 2) z (cotg - cotg) (2.22)

) cotg cotg(2V

zz.N

zM

R dsddSc = (2.23)

No caso de aes aplicadas na face superior da viga, na seo de

momento mximo (na seo de Md,max, Vd = 0, para vigas biapoiadas):


24

zzN

zM

R sdmax,d

Sc = (2.24)


RRc = fcd1 Ac + fycd Asc (2.25)

sendo:

Asc = rea da armadura longitudinal comprimida, no caso de armadura

dupla;

Ac = rea da seo transversal do banzo comprimido, igual a:

+

=xbh)bb(

xbxb

A

wfwf

f

w

c

Acima so fornecidos os valores de Ac para (1) seo retangular, (2)

seo T com a linha neutra cortando a mesa e (3) seo T com a linha neutra

cortando a alma, respectivamente, sendo x a altura da linha neutra.


RSc RRc (2.26)

Portanto:

scycdccd1dsdd AfAf) cotg cotg(

2V

zz.N

zM + (2.27)

2.7.3.3 Bielas


No esquema mostrado na Figura 2.4 - e, fazendo o equilbrio das

foras verticais, obtm-se:


25

Rc sen = Vd Rc = Vd / sen (2.28) sendo:

Rc = resultante na biela de concreto das tenses atuantes no

trecho z (cotg + cotg) sen.

+=

sen) cotgcotg(zbR

w

cc (2.29)

Substituindo (2.28) em (2.29), tem-se:

+= 2wd

c sen) cotg cotg(zbV (2.30)

Analisando-se a Figura 2.4 - d, mostra-se que:

= coszbR

w

Scwc (2.31)

sendo:

RScw = resultante na biela diagonal das tenses atuantes no

trecho (z cos). Igualando (2.30) a (2.31), obtm-se:

=+ coszbR

sen) cotg cotg(zbV

w

Scw2

w

d (2.32)

+=

sen) cotg cotg(sencosVR dScw (2.33)

+

= cotg cotg cotg

senVR dScw (2.34)


Segundo esquema mostrado na Figura 2.4 - d, tem-se:


26

RRcw = fcd2 bw z cos (2.35)


RScw RRcw (2.36)

Portanto:

+

cos z b f cotg cotg cotg

senV

w2cdd (2.37)

2.7.3.4 Trao na armadura transversal


RStw = Vd / sen (2.38)


Pelo esquema mostrado na Figura 2.4 - f, a quantidade de barras da

armadura transversal distribudas num trecho de comprimento z (cotg + cotg) pode ser obtida por:

nmero de barras = n = z (cotg + cotg) / s (2.39)

sendo:

s = espaamento dos estribos medido ao longo do eixo da pea.

Assim, a fora resistente definida por:

RRtw = Asw n fyd (2.40)

RRtw = Asw fyd z (cotg + cotg) / s (2.41)


RStw RRtw (2.42)


27

Vd / sen < Asw fyd z (cotg + cotg) / s (2.43) Portanto:

Asw / s > Vd / fyd z (cotg + cotg) sen (2.44)

Para armadura transversal vertical ( = 90):

Asw / s > Vd / fyd z cotg (2.45)

2.7.4 DETERMINAO DA INCLINAO DAS BIELAS

No projeto da viga, o ngulo formado entre as bielas e o eixo longitudinal do elemento pode ser arbitrado livremente no intervalo min max = 45.

medida que o ngulo escolhido se aproxima do valor mximo, 45,

maior a taxa de armadura transversal necessria e, por outro lado, menor a

tenso nas bielas. Contrariamente, ao se adotar um valor de prximo a min diminui-se a rea de armadura transversal, resultando, porm, em acrscimo

nas tenses de compresso atuantes nas bielas. Em vista disso, sugere-se a

adoo de valores da inclinao das bielas () os mais prximos possveis de min, pois as tenses de compresso so verificadas diretamente, pois deve-se apenas garantir que tais tenses estejam dentro dos limites estabelecidos. O

valor mnimo que pode ser utilizado para a inclinao das bielas varia de acordo com as normas, os cdigos e os pesquisadores. O MC CEB-FIP (1990)

recomenda utilizar inclinao mnima min = 18,4 (cotgmin = 3). Esse valor mnimo sugerido pelo MC CEB-FIP (1990) est relacionado a casos de vigas

em flexo-compresso, situao usual de vigas protendidas.

Porm, alguns pesquisadores discordam desse valor, justificando ser

um valor muito baixo. Sugestes baseadas em investigaes experimentais

indicam valores para inclinao mnima das bielas comprimidas em torno de

min = 26,5. A NBR 6118:2003 admite, em seu modelo de clculo II, no qual a inclinao das diagonais de compresso pode ser diferente de 45, valor


28

mnimo igual a 30. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra reduo

com o aumento de VSd.

Deve-se salientar que bielas com baixas inclinaes resultam em alta

tenso na armadura transversal entre o incio da fissurao e o estado limite

ltimo, alm de requererem maior comprimento de ancoragem da armadura

longitudinal. Nesse caso, o controle da fissurao pode ser limitante no projeto

podendo, ento, impedir valores de prximos a min. Alm disso, aconselha-se no utilizar pequenas inclinaes em elementos submetidos a trao axial.

Por fim, cita-se que valores de prximos a 45 indicam que a armadura tracionada atuar sem auxlio do concreto, ao passo que, ao se aproximar de seu valor mnimo, igual a 30, passam a atuar os mecanismos alternativos ao

de telia.

2.8 O MODELO DE BIELAS E TIRANTES

2.8.1 HISTRICO

Uma das grandes idias do sculo XX, em se tratando de vigas de

concreto armado, a Analogia de Trelia, surgiu nos primrdios do sculo XX,

criada por E. Mrsch, e foi se aprimorando ao longo dos anos. A Analogia de

Trelia Clssica, a qual sugere uma analogia entre a viga de concreto armado

e a trelia, foi uma das idias mais duradouras da histria do concreto armado.

Durante dcadas, pesquisadores apenas sugeriram modificaes no modelo,

porm mantendo seus conceitos bsicos, ou seja, a idia bsica de MRSCH

se mantm at os dias de hoje, mesmo apesar das sugestes e modificaes

propostas por pesquisadores que buscaram adaptar melhor o modelo original

aos resultados experimentais.

Resultados de ensaios levaram adoo da Trelia de Mrsch

Generalizada, em que a inclinao das bielas comprimidas em relao ao eixo

da viga variava de acordo com os comportamentos observados nos ensaios.


29

Uma grande evoluo se observou nos anos 80, quando SCHLAICH &

SCHFER (1988), pesquisadores de Stuttgart, Alemanha, passaram a aplicar

os modelos de bielas e tirantes em outros elementos estruturais, como vigas-

parede, consolos, sapatas, blocos de fundao, ligaes entre viga e pilar,

aberturas em vigas e apoios em dente.

MARTI (1985) utilizou-se da teoria da plasticidade e de critrios

bsicos, que envolviam conceitos de ns, bielas, tirantes, arcos e leques, para

propor a aplicao dos modelos ao dimensionamento das armaduras

longitudinais e transversais de uma viga.

Assim sendo, pode-se dizer que o modelo de bielas e tirantes teve

significativo avano e ampla divulgao somente a partir da dcada de 80,

quando Schlaich, Schfer e Marti conduziram generalizao da Analogia da

Trelia e criaram uma base cientfica refinada, proporcionando considervel

avano para uma aplicao racional dos modelos em vigas.

Mais tarde, COOK & MITCHELL (1988), analisando resultados de

ensaios, confirmaram a adequao dos modelos ao projeto de consolos, vigas-

parede e vigas com descontinuidades geomtricas.

TJHIN & KUCHMA (2002) discutiram avanos e desafios do

dimensionamento utilizando o modelo de bielas e tirantes com o auxlio de

programas computacionais.

SOUZA (2004) analisou amplamente o dimensionamento de elementos

de concreto armado com descontinuidades, no apenas pelo modelo de bielas

e tirantes, o qual o autor denomeia Mtodo das Bielas, como tambm pelo

Mtodo Corda-Painel. Em seu trabalho foram realizadas anlises em relao

determinao de parmetros polmicos, como a resistncia adequada para

bielas e ns, bem como a configurao geomtrica das regies nodais

dependente das foras que nelas atuam.

Vigas com aberturas em suas almas foram dimensionadas por

RONCATTO & CAMPOS (2005), utilizando programa computacional

desenvolvido pelos prprios autores. O programa Furos em Vigas de

Concreto capaz de estabelecer de forma automatizada o modelo de bielas e


30

tirantes mais adequado para a situao sob anlise, determinar as solicitaes

nos elementos, realizar as verificaes de bielas e ns e as reas de

armaduras necessrias para os tirantes.

2.8.2 CONSIDERAES INICIAIS SOBRE O MODELO

A intensificao e a divulgao das pesquisas durante a dcada de 80

abriu definitivamente as portas para que outros pesquisadores comeassem a

estudar, investigar e aplicar o mtodo. De acordo com a ASCE-ACI (1998),

grande variedade de parmetros para a resistncia das bielas e das regies

nodais foram, ento, propostos com base em pesquisas de mbito

experimental. Esse fato contribuiu consideravelmente para o entendimento do

modelo de bielas e tirantes, possibilitando ampla discusso e gerando cada vez

mais resultados experimentais para a determinao dos seus parmetros mais

significativos.

Sabe-se que a maioria dos procedimentos para a anlise e o clculo

estrutural das quais dispem os escritrios de projeto realiza anlises globais e

anlises locais dos elementos estruturais, tais como os pilares, as lajes e as

vigas. Entretanto, sabe-se tambm que a qualidade e a confiabilidade de um

projeto estrutural, em geral, esto relacionadas no com seu comportamento

global, mas sim com a preciso com que so dimensionadas as regies de

descontinuidade de seus elementos isoladamente. O que se verifica,

corriqueiramente, o uso de mtodos e rotinas consagrados e confiveis para

o dimensionamento da maior parte dos elementos, mas isso no acontece

quando se trata de regies descontnuas, pois tais regies geralmente so

projetadas por modelos relativamente simples e ainda no consagrados,

baseados, muitas vezes, na experincia do projetista. O modelo de bielas e

tirantes um mtodo racional cientificamente comprovado, recomendado pela

norma brasileira e por diversas outras normas internacionais para o

dimensionamento de regies descontnuas de elementos de concreto armado,

que atende s necessidades de tais anlises.


31

A NBR 6118:2003 aborda superficialmente o modelo de bielas e

tirantes, permitindo sua utilizao no dimensionamento de vigas-parede,

consolos e dentes Gerber.

Por outro lado, uma das normas mais completas e abrangentes em se

tratando de modelos de bielas e tirantes a norma espanhola EHE (1999). H

captulos especficos que determinam as regies B e D, outros para

determinao dos parmetros de resistncia das bielas, ns e tirantes e outros

para a anlise de estruturas no-usuais, nos quais so fornecidos modelos

simplificados para se analisar vigas-parede, consolos, sapatas e blocos sobre

estacas.

Apesar de o CEB-FIP Model Code (1978) j tratar do modelo de bielas

e tirantes, somente na verso de 1990 que foram disponibilizadas

informaes suficientes para se desenvolver projetos de elementos estruturais

utilizando o modelo.

No modelo de bielas e tirantes as bielas so representadas por campos

de tenses de compresso, resistidas pelo concreto, e os tirantes so

representados por campos de tenses de trao, usualmente resistidas pela

armadura. Ocasionalmente, o concreto pode absorver as tenses de trao,

desde que sejam respeitadas as condies de segurana relativas resistncia

a trao do concreto.

Buscando-se representar a estrutura real, constri-se um modelo

idealizado, o qual constitudo por barras, comprimidas e tracionadas, unidas

por ns. As foras nas bielas e nos tirantes so calculadas por equilbrio entre

as foras atuantes internas e externas.

O processo do caminho de carga permite que se criem modelos

analisando-se os fluxos de tenses na estrutura. Utilizando mtodos

numricos, como o mtodo dos elementos finitos, podem ser expressas as

tenses elsticas e suas direes principais, o que permite uma direta

determinao do modelo. As bielas podem ter as direes das linhas mdias

dos campos de compresso e os tirantes as linhas mdias dos campos de


32

trao. Um exemplo simplificado do processo do caminho de carga, e suas

etapas bsicas, pode ser observado na viga-parede da Figura 2.5.

Figura 2.5 - Processo do caminho de carga

A norma canadense CSA-A23.3-94 (1994) entende que, aps

significativa fissurao, as trajetrias principais das tenses de compresso no

concreto aproximam-se de linhas retas, as quais podem ser tomadas como

bielas, os tirantes representam a armadura principal de trao e as regies

nodais so definidas pelas regies de encontro entre bielas e tirantes. O

Cdigo Modelo CEB-FIP (1990) indica que, desde que as armaduras sejam

dimensionadas de acordo com os campos de tenses elsticas, as verificaes

em servio no precisam ser efetuadas.

2.8.3 PRINCPIOS BSICOS DO MODELO DE BIELAS E TIRANTES

Pode-se entender o modelo de bielas e tirantes como um modelo de

trelia mais abrangente. Esse modelo tem por base o mecanismo resistente

das vigas de concreto armado, resultando em representaes dos campos de

trao e compresso das mesmas. Os campos comprimidos so as diagonais


33

de concreto limitadas por duas fissuras consecutivas e o banzo comprimido de

concreto (banzo superior, no caso de carregamento na face superior da viga), o

qual pode apresentar barras de ao no caso de vigas com armadura dupla. Os

campos tracionados correspondem armadura transversal (pendurais ou

montantes das trelias) e ao banzo tracionado (banzo inferior, no caso de

carregamento na face superior da viga), composto pela armadura longitudinal

da viga. O modelo prope analisar a viga de concreto armado como uma

trelia, estrutura formada por barras, em que as bielas e os tirantes esto

ligados por ns, como mostrado na Figura 2.8 - b.

Em outras palavras, o modelo consiste na representao discreta dos

campos de tenso de trao e dos campos de tenso de compresso nos

elementos estruturais, sendo que as bielas representam os campos principais

de compresso e os tirantes representam os campos principais de trao. A

trao pode ser absorvida por uma ou mais camadas de armadura. As bielas e

os tirantes so interligados por elementos pontuais denominados de ns, os

quais do origem s regies nodais. Estas, por suas vezes, constituem um

volume de concreto que envolve os pontos de interseco dos elementos do

modelo. A Figura 2.6 apresenta um modelo de bielas e tirantes aplicado a um

apoio em dente de uma viga, com todos os seus elementos bsicos descritos.

O modelo de bielas e tirantes adotado funo da geometria da

estrutura e das aes atuantes em seu contorno. Segundo SILVA & GIONGO

(2000), normalmente pode-se obter a geometria do modelo analisando-se os

seguintes aspectos:

1. tipos de aes atuantes;

2. ngulos entre bielas e tirantes;

3. reas de

2006me_danieldossantos

Documents