2002do_suzanacpeleteiro

CONTRIBUIES MODELAGEM NUMRICA DE

ALVENARIA ESTRUTURAL

SUZANA CAMPANA PELETEIRO

Tese apresentada Escola de Engenharia de So

Carlos, da Universidade de So Paulo, como

parte dos requisitos para a obteno de ttulo de

Doutor em Engenharia de Estruturas.

ORIENTADOR: Prof. Dr. Mrcio Roberto Silva Corra

So Carlos2002

Aos meus pais -

Alcibei e Maria Ozilia -,

irmos -

Ubiratan e Guilherme -

e sobrinho -

Guilherme.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por tudo.

Ao Prof. Dr. Mrcio Roberto Silva Corra, muito mais do que pela

orientao, mas pela amizade, empenho, dedicao, pacincia e incentivo,

no s durante a realizao deste trabalho, mas por todos esses anos de

convivncia.

Ao amigo Rivelli da Silva Pinto, no s pela amizade, mas pelo

incentivo e apoio imprescindveis para a realizao desse trabalho.

Ao Prof. Dr. Marcio Antonio Ramalho, pela amizade e incentivo.

Aos amigos da TECSOF Engenharia de Estruturas, em especial

amiga Valria Perassoli, pelo apoio e amizade inestimveis.

Aos amigos Fabiana Lopes e Edgard, pela amizade e constante

incentivo desde o mestrado.

A Kristiane, Osvaldo e Vanessa, que sempre estiveram presentes com

sua amizade nos momentos que necessitei.

Ao Valentim e Andra Juste, pelo auxlio e informaes concedidas

durante a realizao do trabalho e pela amizade.

Aos amigos que fiz durante o mestrado e o doutorado: Aline, Ana C.,

Anamaria, Ana Rita, Andra, ngela, Crs, Cristina Vidigal, Daniel, Fabiana

Mamede, Felcio, Joel, Juliana, Luciana, Mnica, Rejane, Richard, Tatiana

Almeida, Tatiana Dumet.

Aos professores, colegas e funcionrios do Departamento de

Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de So Carlos, pela

colaborao. Especialmente a Rosi e a Nadir.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico

CNPq, pela bolsa concedida.

SUMRIO

Lista de figuras..................................................................................... i

Lista de tabelas..................................................................................... v

Lista de abreviaturas e siglas................................................................ vi

Lista de smbolos.................................................................................. vii

Resumo................................................................................................ ix

Abstract................................................................................................ x

1 - Introduo................................................................................... 1

1.1 - Consideraes preliminares................................................. 1

1.2 - Objetivos e metodologia....................................................... 3

1.3 - Justificativas....................................................................... 4

1.4 - Resumo dos captulos......................................................... 5

2 - Reviso dos critrios de resistncia utilizados na alvenaria

estrutural..................................................................................... 7

2.1 - Propriedades do material..................................................... 7

2.1.1 - Micro e macro modelagem............................................... 7

2.1.2 -Mecanismos de ruptura.................................................... 10

2.2 - Estado da arte..................................................................... 14

2.2.1 - Modelos discretos............................................................ 14

2.2.2 - Modelos homogeneizados................................................ 25

2.3 - Fechamento........................................................................ 37

3 - Modelos no-lineares empregados.............................................. 39

3.1 - Introduo.......................................................................... 39

3.1.1 - Modelos para materiais frgeis (ANSYS)........................... 39

3.1.2 - Modelo elastoplstico clssico (ABAQUS/Standard)......... 43

3.1.3 - Modelo elastoplstico para o concreto

(ABAQUS/Standard)...................................................................... 44

3.1.4 Modelo para materiais frgeis (ABAQUS/Explicit)............ 47

3.2 - Fechamento........................................................................ 52

4 - Modelagem do volume padro de parede.................................... 53

4.1 - Generalidades..................................................................... 53

4.2 - Determinao das caractersticas elsticas da alvenaria..... 54

4.3 - Estudo linear do material ortotrpico equivalente............... 58

4.3.1 - Exemplo 1 - Fora horizontal uniformemente distribuda 58

4.3.2 Exemplo 2 Fora vertical uniformemente distribuda.... 65

4.4 - Fechamento........................................................................ 69

5 - Aferio dos modelos no lineares para alvenaria submetida

compresso.................................................................................. 70

5.1 - Consideraes preliminares................................................. 70

5.2 - Exemplo.............................................................................. 70

5.3 - Fechamento........................................................................ 81

6 - Estudo de interao de paredes.................................................. 82

6.1 - Introduo.......................................................................... 82

6.2 - Anlise de interao de paredes.......................................... 82

6.2.1 - Anlise experimental e anlise numrica......................... 82

6.2.2 - Deslocamentos verticais.................................................. 86

6.2.3 - Tenses normais verticais............................................... 91

6.2.4 Deformao.................................................................... 94

6.3 - Fechamento........................................................................ 99

7 - Modelagem de paredinhas comprimidas..................................... 100

7.1 - Introduo.......................................................................... 100

7.2 - Trabalho experimental........................................................ 101

7.3 - Anlise numrica................................................................ 104

7.4 - Comparao entre as anlises numricas e experimentais.. 108

7.4.1 - Parede PAB1A2............................................................... 108

7.4.2 - Parede PAB1A1............................................................... 113

7.4.3 - Parede PAB2A1............................................................... 117

7.4.4 - Parede PAB2A2............................................................... 122

7.5 - Fechamento........................................................................ 126

8 - Concluses................................................................................... 127

Referncias Bibliogrficas.................................................................. 136

iLISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Tcnicas de modelagem da alvenaria: (a) Exemplar da

alvenaria; (b) Micromodelagem; (c) Micromodelagem

simplificada; (d) Macromodelagem 08

Figura 2.2 Mecanismos de ruptura: (a) Fissuras nas juntas;

(b) Escorregamento; (c) Fissurao das unidades;

(d) Fissura diagonal; (e) Fendilhamento 11

Figura 2.3 Comportamento tpico de materiais frgeis submetidos

carregamento uniaxial e definio da energia de fratura:

(a) trao; (b) compresso. 13

Figura 2.4 Homogeneizao em duas etapas 27

Figura 2.5 Critrio de resistncia proposto. Diferentes valores de

resistncia trao e compresso so adotados em cada

um dos eixos dos materiais. 32

Figura 3.1 Comportamento uniaxial do modelo 40

Figura 3.2 Superfcie de ruptura em trs dimenses 41

Figura 3.3 Superfcie de ruptura em duas dimenses 42

Figura 3.4 Superfcie de ruptura no plano p - q 45

Figura 3.5 Comportamento uniaxial do modelo 46

Figura 3.6 Superfcie de ruptura no estado plano de tenses 47

Figura 3.7 Critrio de Rankine no plano desviador 50

Figura 3.8 Critrio de Rankine no plano p - q 51

Figura 3.9 Critrio de Rankine no estado plano de tenses 51

Figura 4.1 Clula tpica da alvenaria 54

Figura 4.2 Discretizao da clula 55

Figura 4.3 Grfico da relao Ex/Eb x Espessura da Argamassa 56

Figura 4.4 Grfico da relao Ey/Eb x Espessura da Argamassa 57

Figura 4.5 Grfico da relao Ex/Ey x Espessura da Argamassa 57

Figura 4.6 Caso de Carregamento 1 59

Figura 4.7 Deslocamentos: (a) micromodelo; (b) homogeneizao

numrica; (c) homogeneizao PANDE et al. 60

Figura 4.8 Tenses sx: (a) micromodelo; (b) homogeneizao


Figura 4.9 Tenses sy: (a) micromodelo; (b) homogeneizao

numrica;(c) homogeneizao PANDE et al. 62

ii

Figura 4.10 Tenses txy: (a) micromodelo; (b) homogeneizao


Figura 4.11 Tenso sy prxima ao ponto de aplicao da fora

(micromodelo) 63

Figura 4.12 Tenso Vertical na Parede (y=274) 64


Figura 4.14 Caso de Carregamento 2 65

Figura 4.15 Deslocamentos: (a) micromodelo plano; (b) micromodelo

slido; (c) homogeneizao numrica;

(d) homogeneizao PANDE et al. 66



Figura 4.18 Tenso de Cisalhamento na Parede (y=274) 68

Figura 4.19 Tenso de Cisalhamento na Parede (y=305) 69

Figura 5.1 Tenso x Deformao do artefato bloco 71

Figura 5.2 Tenso x Deformao da argamassa 72

Figura 5.3 Superfcie de ruptura 72

Figura 5.4 Representao do amolecimento trao 73

Figura 5.5 Prisma ensaiado 74

Figura 5.6 Grfico Fora x Deformao 75

Figura 5.7 Detalhe do grfico Fora x Deformao 76

Figura 5.8 Parede ensaiada 77

Figura 5.9 Grfico Fora de ruptura x rea carregada 77

Figura 5.10 Tenses transversais em uma parede slida submetida a

uma fora concentrada 78

Figura 5.11 Padro de ruptura 79

Figura 5.12 Grfico da tenso vertical (sy) ao longo da altura da

parede

80

Figura 5.13 Grfico tenso transversal (sx) ao longo da altura da

parede 80

Figura 6.1 Esquema de amarrao das paredes 83

Figura 6.2 Painel de alvenaria 83

Figura 6.3 Instrumentao dos Painis 84

Figura 6.4 Discretizao do painel 85

Figura 6.5 Deslocamentos verticais na direo 2 (cm) 89

Figura 6.6 Deslocamentos verticais ao longo da altura da parede

(F = 280kN) 90

iii


(F = 400kN) 90


(F = 425kN) 91

Figura 6.9 Tenses normais verticais - s22 (kN/cm2) 92

Figura 6.10 Tenses normais verticais ao longo da altura da parede

(F=280kN) 93


(F=400kN) 93


(F=425kN) 94

Figura 6.13 Comportamento tpico do trecho inferior da alma 95

Figura 6.14 Comportamento tpico do trecho inferior da flange 95

Figura 6.15 Comportamento tpico do trecho superior da alma 96

Figura 6.16 Comportamento tpico do trecho superior da flange 97

Figura 6.17 Diagrama tenso x deformao tpico do trecho superior 97

Figura 6.18 Diagrama tenso x deformao tpico do trecho inferior 98

Figura 6.19 Deformaes plsticas verticais (ep22) 99

Figura 7.1 Posio dos transdutores na paredinha (medidas em

mm) 103

Figura 7.2 Discretizao da paredinha 105

Figura 7.3 Forma de ruptura tpica (PAB1A2) 109

Figura 7.4 Tenso principal mxima (PAB1A2) 110

Figura 7.5 Tenso normal horizontal s11 (PAB1A2) 110

Figura 7.6 Tenso normal vertical s22 (PAB1A2) 111

Figura 7.7 Tenso equivalente de von Mises (PAB1A2) 111

Figura 7.8 Grfico Tenso x Deformao (PAB1A2) 112











iv









vLISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 Propriedades Ortotrpicas 59

Tabela 4.2 Porcentagem de erro em relao ao micro-modelo 63

Tabela 5.1 Propriedades dos componentes dos materiais 71

Tabela 6.1 Propriedades dos componentes 85

Tabela 6.2 Deslocamentos relativos verticais numricos e

experimentais (F=280 kN) 87





Tabela 7.1 Valores mdios de resistncia compresso dos blocos 101

Tabela 7.2 Valores mdios dos mdulos de elasticidade dos blocos 102

Tabela 7.3 Valores mdios de resistncia compresso das

argamassas 102

Tabela 7.4 Valores dos mdulos de elasticidade das argamassas 103

Tabela 7.5 Resistncia compresso das paredinhas 104

Tabela 7.6 Propriedades dos componentes 107

Tabela 7.7 Resistncia compresso parede PAB1A2 109




vi

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

Ab rea bruta

Al rea lquida

A1 Argamassa com trao 1:0,5:4,5

A2 Argamassa com trao 1:1:6

ABNT Associao Brasileira de Normas Tcnicas

CP Corpo de prova

BS British Standards Institution

B1 Bloco de concreto com resistncia compresso nominal de

4,5 MPa

B2 Bloco de concreto com resistncia compresso nominal de

12 MPa

EPUSP Escola Politcnica da Universidade de So Paulo

EESC Escola de Engenharia de So Carlos

EF Ensaios finais

NBR Norma Brasileira Registrada

SET Departamento de Engenharia de Estruturas

USP Universidade de So Paulo

2D Bidimensional

3D Tridimensional

vii

LISTA DE SMBOLOS

a0 Razo entre a resistncia compresso biaxial e a uniaxial

cm Centmetros

cm2 Centmetros quadrados

E Mdulo de elasticidade

Ea Mdulo de elasticidade da argamassa

Eb Mdulo de elasticidade do bloco

Ex Mdulo de elasticidade na direo x

Ey Mdulo de elasticidade na direo y

fa Resistncia compresso da argamassa

fam Resistncia compresso mdia da argamassa

fb Resistncia compresso do bloco

fc Resistncia uniaxial ao esmagamento

Fc Equao da superfcie de compresso do critrio (ABAQUS)

fbm Resistncia mdia compresso do bloco

fcpa Resistncia compresso d parede

fpa Resistncia compresso da paredinha

fpam Resistncia compresso mdia da paredinha

Frup Fora de ruptura compresso

ft Resistncia uniaxial trao

Hb Altura do bloco

J2 Segundo invariante da parte deviatrica do tensor de tenses

kN Quilonewton

Lb Largura do bloco

m Metro

m3 Metro cbico

p Tenso mdia

q Tenso equivalente de von Mises

MPa Megapascal

S Superfcie de ruptura

na Coeficiente de Poisson da argamassa

nb Coeficiente de Poisson da unidade

viii

nxy Coeficiente de Poisson

ecu Deformao ltima compresso

ee Deformao elstica

s1, s2, s3 Tenses principais

s11 Tenso na direo 1*



sc Tenso de resistncia compresso

st Tenso de resistncia trao

s Tenso

sx Tenso na direo x

sy Tenso na direo y

sz Tenso na direo z

tC Tenso de resistncia num estado de cisalhamento puro

txy Tenso de cisalhamento no plano xy

* Direes 1,2 e 3 no so necessariamente principais.

ix

RESUMO

PELETEIRO, SUZANA C. (2002). Contribuies modelagem numrica de

alvenaria estrutural. So Carlos, 2002. 143p. Tese (Doutorado) Escola de

Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

Uma das reas da engenharia civil que tm apresentado maior

potencial de crescimento a execuo de edifcios em alvenaria estrutural.

Usualmente so utilizados procedimentos puramente experimentais para o

desenvolvimento dos processos construtivos e de projeto. Entretanto, a

experimentao sem uma modelagem terica prvia pode ser muito

dispendiosa. A modelagem numrica, desde que confivel, pode ser de

grande ajuda na reduo do nmero de corpos-de-prova a serem ensaiados

e do nmero de pontos a serem instrumentados, bem como o seu devido

posicionamento. Isso significa diminuio de custos e maior eficincia na

obteno de resultados.

No presente trabalho apresentam-se as ferramentas computacionais

mais adequadas para a anlise de alvenaria estrutural submetida a

compresso, objetivando o suporte terico a pesquisas experimentais.

Elabora-se um estudo comparativo sobre os vrios recursos de modelagem

numrica, linear e no-linear, disponveis em softwares comerciais

baseados no Mtodo dos Elementos Finitos.

Inicialmente, aps a apresentao do estado da arte, investiga-se a

modelagem numrica do volume elementar representativo da alvenaria.

Modelos no-lineares so, ento, escolhidos, aferindo-os com resultados

disponveis na literatura tcnica. So realizadas simulaes de casos

especficos de paredes de alvenaria submetidas compresso, assim como

a interao de paredes sujeitas a carregamentos verticais. Resultados

experimentais so comparados com os produzidos por modelos lineares e

no-lineares, focando a anlise na sua representatividade e no seu grau de

preciso.

Palavras-chave: Alvenaria estrutural, modelagem numrica,

anlise no-linear, resistncia compresso.

xABSTRACT

PELETEIRO, SUZANA C. (2002). Contributions to the numerical analysis of

masonry. So Carlos, 2002. 143p. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia

de So Carlos, Universidade de So Paulo.

The construction of structural masonry buildings has been one of the

most increasing civil engineering areas. The development of building and

design methods usually is based only on experiments. However, testing

without previous numerical analysis can be very expensive. Numerical

modeling, since reliable, can be greatly helpful for reducing the number of

experimental tests and the number of instrumented points, including the

improvement of their positions. That enables smaller costs and higher

efficiency in obtaining the results.

The present work deals with the most appropriate computational

strategies for the analysis of masonry walls subjected to compression,

focusing the theoretical support for experimental research programs. A

comparative study is elaborated on the several capabilities of linear and

nonlinear numerical models, which are available in commercial computer

programs based on the Finite Element Method.

Initially, after the presentation of the state-of-the-art, the numerical

analysis of the representative volume masonry element is investigated.

Nonlinear models are chosen and confronted with available results in the

technical literature. Specific cases of masonry walls submitted to

compression are numerical simulated, including the interaction of

intersecting walls under vertical loads. Experimental results are compared

to those produced by linear and nonlinear numerical modeling, emphasizing

their effectiveness and precision.

Keywords: Structural masonry, numerical analysis, nonlinear

analysis, compressive strength.

INTRODUO

1.1 Consideraes preliminares

Desde a Antigidade a alvenaria tem sido utilizada largamente pelo

ser humano em suas habitaes, monumentos e templos religiosos. Como

exemplos famosos podem ser citados: a pirmide de Queps, em que foram

utilizados mais de dois milhes de blocos de pedra, o farol de Alexandria,

com altura prxima a 190 m e as grandes catedrais gticas, construdas na

Idade Mdia, com vos expressivos e arquitetura belssima realizada com a

utilizao de arcos e abbadas.

Apesar do uso intenso da alvenaria, apenas no incio do sculo

passado, por volta de 1920, passou-se a estud-la com base em princpios

cientficos e experimentao laboratorial, segundo DICKEY &

SCHNEIDER (1994). Esta postura possibilitou o desenvolvimento de teorias

racionais que fundamentam a arte de se projetar alvenaria estrutural.

A partir da, segundo OLIVEIRA JR. (1992), edifcios cujas paredes

tinham espessuras exorbitantes (~1,80 m), como o Monadnock Building

construdo em Chicago no final do sculo XIX, cederam lugar a edifcios

com paredes mais esbeltas.

Com a utilizao do concreto armado e do ao estrutural, que

possibilitaram a construo de edifcios com peas de reduzidas dimenses,

a utilizao da alvenaria dirigiu-se, prioritariamente, s edificaes de

pequeno porte.

1

Captulo 1 - Introduo 2

Na dcada de 50, a utilizao da alvenaria ganhou novo impulso,

aps a realizao de uma srie de experimentaes na Europa. Em 1951,

Paul Haller dimensionou e construiu na Sua edifcio de 13 pavimentos em

alvenaria no armada, com paredes internas de 15 cm de espessura e

externas com 37,5 cm, conforme pode ser visto em AMRHEIN (1978).

Muitos edifcios foram construdos na Inglaterra, Alemanha e Sua, e

tambm nos Estados Unidos, em que a alvenaria estrutural passou a ser

empregada mesmo em zonas sujeitas a abalos ssmicos, sendo neste caso

utilizada a alvenaria armada.

Segundo SABBATINI, no Brasil, aps a sua implantao em 1966,

quando em So Paulo foram construdos alguns prdios de quatro

pavimentos, o desenvolvimento da alvenaria estrutural tem se dado de

maneira lenta e reservada. Isso tem ocorrido no obstante o seu carter

econmico, especialmente associado ao fato de se utilizarem as paredes no

apenas como elementos de vedao, mas, tambm, como elementos

portantes. Por muitos anos a alvenaria estrutural foi pouco utilizada devido

a muitos fatores tais como: preconceito, maior domnio da tecnologia do

concreto armado por parte de construtores e projetistas e pouca divulgao

do assunto nas universidades durante o processo de formao do

profissional. Muitos projetistas so leigos no que diz respeito a este sistema

construtivo e acabam, assim, optando pelo concreto armado. Isto tambm

influenciado pelo reduzido nmero de publicaes sobre o assunto em

portugus, pois a maior parte da bibliografia estrangeira e voltada para as

peculiaridades do pas de origem.

Se o projeto de edifcios de alvenaria no obteve um avano que

possa ser comparado ao das estruturas de concreto armado, o mesmo pode-

se dizer de itens isolados do processo construtivo. A verdade que ser

necessrio um avano mais significativo, no s de procedimentos de

projeto, mas tambm da prpria pesquisa bsica em alvenaria. Essa

pesquisa de suma importncia inclusive para que se possam melhorar os

procedimentos de projeto. Existem srias lacunas quando se fala do

comportamento da alvenaria quanto a alguns aspectos que podem ser

considerados bsicos, como por exemplo o cisalhamento dos painis.

Usualmente so utilizados procedimentos puramente experimentais

para o estudo desses tpicos. Entretanto, considera-se que a


experimentao, sem uma modelagem terica prvia, pode ser muito

dispendiosa. A modelagem numrica, desde que confivel, pode ser de

grande ajuda na reduo do nmero dos corpos-de-prova a serem

ensaiados e no nmero de pontos a serem instrumentados. Isso significa

reduo de custos e prazos e maior eficincia na obteno de resultados.

No Brasil, a pesquisa sobre modelagem matemtica de painis de

alvenaria muito incipiente, na verdade quase inexistente. Alguns poucos

trabalhos como LA ROVERRE (1994), CORRA & RAMALHO (1994a) e

CORRA & RAMALHO (1994b) representam uma breve introduo ao tema.

Entretanto essa linha de pesquisa precisa ser muito desenvolvida, pois

bsica para a experimentao que, por sua vez, fundamental para o

desenvolvimento do processo construtivo como um todo.

Com este trabalho, que constitui mais uma etapa de uma srie de

pesquisas que vm se encadeando h alguns anos, procurar-se- contribuir

para o aumento do acervo tcnico em alvenaria estrutural.

1.2 Objetivos e metodologia

O objetivo principal deste trabalho apresentar as ferramentas

computacionais mais adequadas para a anlise de alvenaria estrutural a

serem utilizadas no suporte terico a pesquisas experimentais

desenvolvidas, de maneira a reduzir os custos e aumentar a eficincia nos

ensaios. O trabalho ser desenvolvido elaborando-se um estudo sobre os

vrios recursos de modelagem numrica, linear e no-linear, disponveis em

softwares comerciais.

A metodologia empregada para realizao do trabalho pode ser

descrita como:

a) Pesquisa bibliogrfica para verificar o estado da arte, com

anlise dos critrios de resistncia mais adequados alvenaria.

b) Modelagem numrica, em elementos finitos, do volume elementar

representativo (VER) da alvenaria.

c) Estudo da influncia de considerao de modelos utilizando-se

elementos planos e tridimensionais.


d) Estudo da interao de paredes de alvenaria, anlise da

amarrao direta, com utilizao de modelos lineares e no lineares.

e) Modelagens de casos especficos de paredes de alvenaria

submetidas compresso. Comparao dos resultados numricos com

resultados obtidos experimentalmente, utilizando-se modelos lineares e no

lineares.

1.3 Justificativas

Umas das reas da engenharia civil que tem apresentado maior

potencial de crescimento , sem sombra de dvida, a execuo de edifcios

em alvenaria estrutural. Isso se deve principalmente economia obtida por

esse processo construtivo em relao ao concreto convencional, por

propiciar uma maior racionalizao na execuo da obra, reduzindo-se o

consumo e o desperdcio dos materiais. Essa economia pode chegar a 30%

do valor da estrutura, em casos de edifcios em alvenaria no armada de at

oito pavimentos. Dessa forma, as edificaes tornam-se mais baratas para o

comprador final, havendo uma melhor penetrao no mercado, em especial

junto s classes mdia e baixa. Portanto, evidente o grande benefcio

social que pode advir do desenvolvimento desse processo construtivo.

Deve-se considerar, entretanto, que conforme foi mencionado em

item anterior, o projeto de edifcios de alvenaria estrutural ainda feito de

uma maneira quase emprica, no se tendo verificado para esse campo o

desenvolvimento que se observa para as estruturas convencionais em

concreto armado. A prpria normalizao nacional pobre e um grande

esforo precisa ser feito nessa direo para que se possa projetar e executar

edifcios mais baratos e seguros. Esse esforo traduz-se em pesquisas

voltadas para a realidade brasileira, sem o que se tornar praticamente

impossvel desenvolver de forma satisfatria os procedimentos normativos

nessa rea. importante ressaltar que, quanto s pesquisas mencionadas,

uma dificuldade adicional deve ser considerada: na Europa e nos Estados

Unidos, nossos tradicionais fornecedores de pesquisas em engenharia

civil, os sistemas construtivos adotados so ligeiramente diferentes do ideal


para o Brasil. Na Europa praticamente s se constri com tijolos cermicos

e nos Estados Unidos, devido ocorrncia de sismos, predomina

amplamente a alvenaria armada. J no caso brasileiro, o sistema mais

utilizado a alvenaria parcialmente armada de blocos de concreto ou

cermicos.

Assim sendo, imprescindvel e urgente que haja uma concentrao

de esforos na direo de se implementar um conjunto de pesquisas que

possam embasar a reformulao das normas nacionais, tornando-as mais

adequadas elaborao de projetos cada vez mais econmicos e seguros.

Exatamente por se encaixar nesse objetivo bastante amplo que se justifica

a importncia da elaborao do presente trabalho. Ele ser, com certeza,

uma contribuio importante nesse esforo de elucidao de detalhes

significativos sobre um processo construtivo de grande viabilidade

econmica e interesse social.

1.4 Resumo dos captulos

No captulo 2 apresenta-se um panorama geral sobre o

comportamento do material alvenaria e sobre o estado da arte dos estudos

cientficos realizados nessa rea.

No captulo 3 analisam-se os modelos no lineares dos softwares

comerciais ANSYS e ABAQUS utilizados no desenvolvimento do presente

trabalho.

No captulo 4 faz-se a modelagem do volume padro representativo

do material alvenaria. Apresentando-se um material linear ortotrpico

equivalente.

No captulo 5 realiza-se a aferio dos modelos no lineares

apresentados no captulo 3, comparando-se resultados tericos com

experimentais encontrados na literatura.

O captulo 6 apresenta a anlise de um painel H, ensaiado no

laboratrio do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de

Engenharia de So Carlos (SET-EESC-USP), fazendo-se comparaes entre


os valores numricos, lineares e no-lineares, e os resultados

experimentais.

No captulo 7 apresenta-se a anlise numrica de paredinhas,

submetidas compresso, tambm ensaiadas no SET-EESC-USP.

No captulo 8 apresentam-se as concluses do trabalho.

REVISO DOSCRITRIOS DE RESISTNCIAUTILIZADOS NA ALVENARIA ESTRUTURAL

2.1 Propriedades do material

2.1.1 Micro e macro modelagem

A alvenaria um material estrutural composto, formado de

unidades (blocos ou tijolos) de concreto ou cermicos, e argamassa. Pode-se

afirmar, ento, que se trata de um material heterogneo e anisotrpico que

apresenta, por natureza, uma resistncia compresso elevada,

dependente principalmente da resistncia da unidade. Por outro lado a

resistncia trao baixa e est determinada principalmente pela adeso

da unidade com a argamassa.

Segundo GALLEGOS (1991) a alvenaria tem uma resistncia a

compresso elevada, dependente principalmente da resistncia da prpria

unidade, mas a resistncia a trao reduzida e definida principalmente

pela adeso entre a argamassa e a unidade. Segundo o autor, nos casos em

que a alvenaria construda com unidades de baixa resistncia, a adeso

pode apresentar resistncia trao igual ou superior da prpria unidade.

Para esses casos pode-se falar da homogeneidade e isotropia do material

com alguma segurana, por outro lado a resistncia da alvenaria ser

reduzida.

2

Captulo 2 Reviso dos critrios de resistncia utilizados na alvenaria estrutural 8

Os fatores que influenciam as propriedades da alvenaria so

muitos, tais como: anisotropia e dimenso das unidades, espessura das

juntas, propriedades das unidades e da argamassa, arranjo das juntas

horizontais e verticais e qualidade da mo-de-obra. Devido a essa grande

diversidade, a simulao numrica da alvenaria se torna extremamente

trabalhosa. Apenas recentemente a pesquisa em alvenaria comeou a

mostrar interesse em modelos mais refinados, tornando o clculo de

estruturas em alvenaria menos emprico e mais sofisticado.

Figura 2.1 Tcnicas de modelagem da alvenaria: (a) Exemplar da alvenaria;

(b) Micromodelagem; (c) Micromodelagem simplificada; (d) Macromodelagem

Adaptada de LOURENO (1996)

Em geral, para se fazer uma modelagem numrica so utilizados

dois modelos aproximados: a micromodelagem ou a macromodelagem. Na

micromodelagem os seus componentes so discretizados individualmente,

separando-se unidade e argamassa. A macromodelagem considera a

alvenaria como um compsito. Segundo LOURENO (1996), dependendo do

nvel de preciso e da simplicidade desejada, possvel utilizar as seguintes

estratgias para a modelagem, conforme figura 2.1.

- Micromodelagem detalhada (fig. 2.1b): as unidades e a

argamassa so representadas por elementos contnuos, e a

interface entre eles representada por elementos descontnuos;


- Micromodelagem simplificada (fig. 2.1c): as unidades so

representadas por elementos contnuos e suas dimenses so

expandidas, enquanto o comportamento das juntas de

argamassa e da interface considerado nos elementos

descontnuos;

- Macromodelagem (fig. 2.1d): unidade, argamassa e interface so

consideradas dispersas no meio contnuo. Considera-se a

alvenaria como um meio contnuo, com propriedades

homogneas.

Na primeira aproximao, o mdulo de elasticidade, o coeficiente de

Poisson e, opcionalmente, as propriedades no-lineares da unidade e da

argamassa so levadas em considerao. A interface da unidade com a

argamassa representa um plano potencial de fissurao/deslizamento, com

rigidez inicial pequena para evitar a interpenetrao do meio contnuo. Isto

possibilita que se estude a ao combinada da unidade, da argamassa e da

interface de forma mais minuciosa.

Na segunda aproximao, cada junta simulada como uma

interface mdia, e as unidades tm suas dimenses expandidas, com o

intuito de manter inalteradas as caractersticas geomtricas da alvenaria.

Essa alvenaria ento considerada como um conjunto de unidades

elsticas unidas por linhas potenciais de fratura e deslizamento nas juntas.

Perde-se preciso porque nesse tipo de modelagem o efeito de Poisson na

argamassa desprezado.

A terceira aproximao no faz distino entre a unidade e a

argamassa, mas trata a alvenaria como um meio homogneo, contnuo e

anisotrpico.

No possvel afirmar qual das formas de modelagem mais

vantajosa em relao s outras, porque cada uma delas apresenta

vantagens e desvantagens para estudos especficos.

A escolha deve ser feita de acordo com o objetivo a ser alcanado. O

estudo da micromodelagem necessrio para fornecer um bom

entendimento sobre o comportamento local das estruturas em alvenaria.

Esta forma de modelagem apresenta-se muito importante para a anlise de

detalhes estruturais. Por exemplo, anlise de distribuio e concentrao de


tenses junto a vos de portas e janelas. A macromodelagem mais

adequada para anlises mais gerais da estrutura, principalmente quando se

est estudando paredes slidas com dimenses grandes o suficiente para

garantir distribuies de tenses bastante uniformes. Claramente a

macromodelagem mais prtica, apresenta um tempo de processamento

reduzido, uma economia de memria dos computadores e uma gerao de

rede mais simples. Este tipo de modelagem mais valiosa quando existe um

compromisso entre preciso e eficincia.

2.1.2 Mecanismos de ruptura

A fissurao a causa mais freqente da ruptura no

comportamento da alvenaria; impedi-la torna-se ento uma preocupao

constante. Ela produzida por deformaes excessivas induzidas por

esforos trao muito grandes. A deformao pode ser causada por foras

aplicadas ou por restrio variao volumtrica do material. A aplicao

do mtodo dos elementos finitos para a anlise de estruturas em alvenaria

requer um modelo apropriado para o material.

De acordo com LOURENO & ROTS (1997a) um modelo preciso

para anlise de estruturas em alvenaria precisa incluir os mecanismos

bsicos de ruptura que caracterizam o material, figura 2.2:

a) Fissura nas juntas;

b) Escorregamento ao longo de uma junta horizontal ou vertical

com valores baixos de tenso normal;

c) Fissurao das unidades de alvenaria na direo da trao;

d) Fissura diagonal trao nas unidades de alvenaria com valores

de tenso normal suficientes para desenvolver atrito nas juntas;

e) Fendilhamento das unidades trao como resultado da

dilatao da argamassa, com valores altos de tenso normal de

compresso.


(a)

(b) (c)

(d) (e)

Figura 2.2 Mecanismos de ruptura: (a) Fissuras nas juntas; (b)

Escorregamento; (c) Fissurao das unidades; (d) Fissura diagonal; (e)

Fendilhamento

Adaptada de LOURENO(1996)

Pela descrio dos fenmenos torna-se claro que: (a,b) so

mecanismos das juntas, (c) um mecanismo da unidade, e (d,e) so

mecanismos combinados de ambos os materiais.

O mecanismo de ruptura dos componentes submetidos a esforos

de trao e compresso essencialmente o mesmo, ou seja, crescimento

das fissuras a nvel micro do material. Neste caso, deformaes inelsticas

resultam de um processo dissipativo, no qual a energia de fratura liberada

durante a ocorrncia de fratura interna. O material composto apresenta, no

entanto, outro tipo de ruptura: o escorregamento que resulta em um atrito

seco entre os componentes, uma vez que o amolecimento completado. Se

uma micromodelagem utilizada, todos esses fenmenos podem ser

incorporados no modelo porque as juntas e as unidades so representadas


separadamente. Numa macromodelagem, as juntas so dispersas num meio

contnuo homogneo anisotrpico e a interao dos componentes no pode

ser incorporada no modelo. Dessa forma, uma relao de tenses e

deformaes mdias estabelecida.

Independentemente do tipo de modelagem adotada, modelos

precisos de alvenaria s podem ser usados se for realizada uma descrio

completa dos materiais. Geralmente este no o caso, porque resultados

experimentais adequados para a modelagem numrica so escassos,

especialmente no regime de amolecimento. O amolecimento um

decrscimo gradual da resistncia mecnica do material sob um acrscimo

contnuo da deformao. uma caracterstica importante dos materiais

semifrgeis, como blocos cermicos, argamassa, rocha e concreto, que

rompem devido ao processo progressivo de crescimento interno de fissuras.

Este comportamento mecnico comumente atribudo heterogeneidade

do material, devido presena de fases diferentes e defeitos dos materiais,

como fendas e vazios. Mesmo antes da aplicao das foras, a argamassa

contm microfissuras devidas retrao durante a cura e presena de

agregados. As tenses iniciais e as microfissuras, assim como a variao da

rigidez e da resistncia, provoca o crescimento das fissuras quando o

material submetido a uma deformao progressiva. Inicialmente as

microfissuras so estveis, o que significa que elas crescem apenas quando

as foras aplicadas aumentam. Em torno da carga de pico, ocorre uma

acelerao na formao das fissuras e incio da formao de macrofissuras.

As macrofissuras so instveis, o que significa que a carga tem que

diminuir para evitar um crescimento incontrolvel.

Num ensaio com deformao controlada, o crescimento das

macrofissuras resulta no amolecimento e a concentrao das fissuras em

uma zona pequena, enquanto o resto do espcime se descarrega. Para

ruptura trao, este processo foi bem identificado, HORDIJK (1991) apud

LOURENO (1996). Para ruptura por cisalhamento, um processo de

amolecimento tambm observado, com degradao da coeso no modelo

de Coulomb. Para ruptura compresso, o comportamento de

amolecimento altamente dependente da condio de contorno nos ensaios

e da dimenso do corpo ensaiado, van MIER (1984) e VONK (1992) apud

LOURENO (1996). A figura 2.3 mostra caractersticas dos diagramas


tenso/deformao para materiais frgeis submetidos trao e

compresso uniaxial.

Figura 2.3 Comportamento tpico de materiais frgeis submetidos

carregamento uniaxial e definio da energia de fratura: (a) trao; (b)

compresso.

Adaptada de LOURENO (1996)

A argamassa constituinte da alvenaria usualmente muito mais

deformvel do que a unidade e geralmente comea a apresentar

deformaes plsticas muito antes do que as unidades. A maior parte da

deformao no-linear da alvenaria, at antes da ruptura, ocorre apenas

nas juntas.


2.2 Estado da arte

O constante crescimento da utilizao da alvenaria em obras de

construo civil proporciona um grande interesse na anlise mais detalhada

do comportamento destas estruturas por parte da comunidade cientfica.

Com o objetivo de suprir o meio tcnico com informaes mais precisas e

confiveis, muitos pesquisadores se dedicam ao estudo da alvenaria,

apresentando novos modelos e critrios para uma modelagem mais

adequada do seu comportamento.

Dois modelos diferentes, o modelo homogeneizado e o modelo

discreto (ou micromodelo), tm sido utilizados para simular as respostas

lineares e no-lineares da alvenaria. Conforme LUCIANO & SACCO (1997)

um dos micromodelos mais utilizados o denominado material sem trao

(no-tension). Neste tipo de modelagem a alvenaria considerada elstica na

compresso e sem capacidade para suportar tenses de trao. O material

sem trao foi proposto por HEYMAN (1966) que apresentou uma teoria

para a anlise limite das estruturas em alvenaria. A principal hiptese o

desprezo da resistncia trao da alvenaria, sendo que, com isso, o

colapso geralmente ocorre devido s aberturas de fissuras nas regies

tracionadas.

2.2.1 Modelos Discretos

Em 1978, PAGE publicou um estudo que trata da anlise de

paredes de alvenaria cermica sujeitas a um carregamento no seu prprio

plano, um problema comumente encontrado em projetos de estruturas de

alvenaria. Ele apresentou um mtodo que considerava o comportamento

no- da alvenaria. At ento a abordagem do estudo da alvenaria mais

comum era a considerao de um material elstico linear isotrpico,

ignorando-se a influncia das juntas de argamassa como planos de

fraqueza (plane of weakness). De acordo com esse trabalho, hipteses

dessa natureza apresentam resultados satisfatrios nos casos em que a

estrutura analisada est submetida a nveis baixos de tenso, mas no so


adequadas para casos em que as tenses aplicadas so altas e onde

necessria uma anlise da redistribuio de tenses. A redistribuio

acontece devido ao comportamento no-linear (predominante na argamassa)

e ruptura localizada nas reas onde ocorre um descolamento entre a

unidade e a argamassa. PAGE utilizou uma modelagem discreta,

considerando a alvenaria como um material bifsico consistindo de

unidades elsticas submersas numa matriz inelstica que seria a

argamassa. A ruptura ocorre nas juntas, se o critrio de resistncia trao

ou ao cisalhamento for violado. Estas caractersticas foram incorporadas

em um programa de elementos finitos incremental que modela a

propriedade no-linear das juntas e considera a sua ruptura progressiva.

As propriedades do material, necessrias para definir o modelo, foram

determinadas experimentalmente atravs de testes em painis de alvenaria

e em unidades individuais. As juntas so modeladas com um elemento de

ligao que limita: a tenso de trao; altas tenses de compresso (com

caractersticas de deformaes no-lineares); e a tenso de resistncia ao

cisalhamento, varivel dependente do valor da tenso de compresso

apresentada.

A utilizao do conceito de elemento de ligao possibilita uma

modelagem bastante apropriada das propriedades no-lineares da

alvenaria, com a vantagem de se conseguir caracterizar o material atravs

de ensaios uniaxiais. Com isso elimina-se a necessidade da realizao de

ensaios biaxiais, que so bem mais complexos. Para a anlise de um painel

de alvenaria, a distribuio de tenses, obtida numericamente, apresentou

uma razovel preciso quando comparada com a anlise experimental.

Mesmo para altos nveis de carga, onde uma redistribuio de tenses

bastante significativa j havia ocorrido, foram obtidos resultados bastante

coerentes. A nfase do trabalho est na determinao da redistribuio das

tenses na alvenaria, e no na obteno da fora de ruptura, que ocorre por

ruptura progressiva ou deslizamento, ou ambos em um determinado

nmero de elementos.

ALI & PAGE (1987) apresentaram um programa em elementos

finitos para analisar o comportamento no-linear da alvenaria de unidades

slidas de concreto sujeita a foras concentradas. As juntas e as unidades

so modeladas separadamente, com previso de caractersticas no-lineares


de deformao dos materiais, ruptura da unidade e da argamassa, e

ruptura da junta de argamassa. A fissurao e a conseqente perda da

resistncia trao so as maiores causas da no-linearidade. As

caractersticas de deformao e o critrio de ruptura dos materiais

constituintes so determinados em ensaios individuais das unidades, de

exemplares de argamassa e amostras de paredes de alvenaria. O

comportamento no-linear da alvenaria causado principalmente por dois

efeitos: ruptura progressiva e caractersticas no-lineares dos materiais

constituintes. Para que o modelo do material represente adequadamente o

comportamento da alvenaria, ambos os efeitos devem ser includos. A

ruptura pode ocorrer por esmagamento ou fissurao dos materiais

constituintes, ou por ruptura da junta na interface argamassa/unidade. O

mtodo de anlise proposto uma ferramenta vlida e eficiente para a

anlise no-linear de painis de alvenaria submetidos a carregamentos em

seu prprio plano. A idealizao do material proposta capaz de

representar o comportamento predominante nas estruturas de alvenaria

submetidas a cargas monotonicamente crescentes. O mtodo capaz de

predizer a carga inicial de fissurao, a carga ltima e o padro de ruptura

com razovel preciso.

ALI & PAGE (1988a) apresentaram um modelo em elementos finitos

para a anlise de painis de alvenaria de unidades slidas de concreto com

foras concentradas atuando em seu prprio plano. No estudo a alvenaria

considerada no estado plano de tenses, uma hiptese razovel para a

maioria dos casos de carregamento atuante no plano. O modelo proposto

reproduz as caractersticas no-lineares da alvenaria causadas pela no-

linearidade do material e falha local progressiva. As unidades e a argamassa

so modeladas separadamente, considerando-se as caractersticas de

deformao no-lineares dos dois materiais, assim como a ruptura da

unidade, da argamassa ou da junta unidade/argamassa. Devido

habilidade do modelo em considerar efeitos locais, o modelo capaz de

reproduzir o comportamento das paredes de alvenaria nas quais altas

tenses locais e altos gradientes de tenso esto presentes. As propriedades

dos materiais para o modelo so determinadas a partir de ensaios em

painis reduzidos e em seus materiais constituintes. Ensaios com cargas

concentradas em paredes de alvenaria foram utilizados como base de


comparao entre os valores tericos obtidos e os valores experimentais e

apresentaram uma boa concordncia.

Conforme ALI & PAGE (1989) a ruptura em paredes de alvenaria de

unidades slidas de concreto submetidas a cargas concentradas

usualmente ocorre como uma fissura, ou fissuras, que se propagam ao

longo do painel logo abaixo do ponto de aplicao da carga. Os autores

apresentaram um estudo que simula essa fissurao local, utilizando dois

modelos de fissuras diferentes. Um dos modelos espalha o efeito da

fissurao atravs do domnio do elemento (modelo de fissuras dispersas), e

o outro desconecta progressivamente os ns apropriados de elementos

adjacentes (modelo de fissuras discretas). Estas tcnicas de modelar a

fissurao foram incorporadas em programa de elementos finitos para

estados planos de tenses. Elementos quadrilaterais com quatro ns, com

uma rede mais refinada prxima ao local de aplicao da carga, foram

utilizados com sucesso para simular a fissurao progressiva que aparece

prxima regio em que aplicada a fora concentrada.

Nos modelos, as juntas e as unidades so consideradas

separadamente com propriedades de deformao no-lineares dos materiais

para caracterizar os diferentes modos de ruptura. As caractersticas

necessrias para se definir os modelos no-lineares em elementos finitos

foram determinadas a partir de ensaios em modelos reduzidos de paredes

de alvenaria e seus componentes. O modelo dos materiais inclui

caractersticas de deformao no-lineares para a unidade e a argamassa e

critrios de ruptura para a unidade e a junta. A ruptura pode ocorrer por

esmagamento ou fissurao dos materiais constituintes, ou por ruptura nas

juntas da interface unidade-argamassa.

Os autores escolheram os ensaios com foras concentradas em

painis de alvenaria para averiguar a preciso e a diferena entre os dois

modelos de fissuras adotados. A escolha foi feita em funo do estado de

concentrao de tenses que aparece logo abaixo do ponto de aplicao das

foras. Comparando-se os dois modelos de fissuras adotados, foram

verificadas algumas diferenas na determinao da fora ltima e no padro

de ruptura dos painis. No modelo de fissuras espalhadas, a fissura se

propaga ao longo de um ou mais elementos como um todo. No modelo de


fissuras discretas, a propagao acontece na forma de linhas retas ao longo

da separao dos ns dos elementos. No primeiro caso, a fissura pode se

propagar em qualquer direo, enquanto no segundo caso a fissura s pode

se propagar em linhas horizontais e verticais.

O critrio de resistncia proposto apresentou resultados coerentes

com referncia propagao das fissuras, padro de fissurao e fora de

ruptura. Os modelos so aplicveis a qualquer conjunto unidade-

argamassa e qualquer padro de juntas. Verificou-se, porm, que o modelo

de fissuras discretas mais apropriado na anlise do problema de cargas

concentradas, apresentando a desvantagem de gerar um custo

computacional quatro vezes maior do que o modelo de fissuras dispersas.

PAGE & SHRIVE (1990) publicaram um artigo analisando a

aplicao de foras concentradas em paredes de alvenaria e os seus

mecanismos de ruptura. Segundo os autores, quando uma fora

concentrada aplicada em uma parede de alvenaria, altas tenses locais

so desenvolvidas na regio logo abaixo desta. Nessa regio um estado de

compresso triaxial desenvolvido, enquanto um pouco mais abaixo o

estado de tenses muda para uma compresso vertical e uma trao

biaxial. Como a alvenaria resiste pouco trao, esta regio crtica, e as

fissuras vo aparecer nesse ponto, se a fora se tornar excessiva. Ensaios

realizados comprovaram que na regio logo abaixo do ponto de aplicao da

carga, devido ao estado de compresso triaxial, a resistncia da parede de

alvenaria aumenta.

Os autores realizaram uma srie de ensaios experimentais,

aplicando foras concentradas em paredes de blocos vazados de concreto e

tijolos macios cermicos, com o intuito de avaliar a diferena de

comportamento dos mesmos. Concluram que, no caso dos tijolos macios,

a considerao do aumento de resistncia da parede, devido ao estado

triaxial de tenses, bastante coerente e esse aumento de resistncia pode

ser considerado. No caso dos blocos vazados o comportamento bastante

diferente e novos estudos precisam ser realizados para que o mecanismo

seja melhor compreendido e, ento, considerado.

ROTS (1991a) apresentou uma breve avaliao de um projeto de

pesquisa em mecnica computacional de alvenaria estrutural. Segundo o

autor, dependendo do grau de preciso necessria e da simplicidade


desejada, pode-se adotar diferentes modelos para a anlise da alvenaria.

Em um primeiro caso, as juntas da alvenaria podem ser representadas por

elementos contnuos, considerando-se ou no o comportamento no-linear.

As juntas podem ser representadas por elementos descontnuos, sendo

possvel considerar a alvenaria como um conjunto de unidades com

comportamento elstico linear unidos por linhas potenciais de fratura nas

juntas. Nesse caso h uma perda de preciso porque o efeito Poisson nas

juntas desprezado. No terceiro caso as juntas so consideradas

espalhadas na alvenaria, no havendo distino entre unidades e

argamassa; a alvenaria considerada como um meio compsito

anisotrpico. Esta aproximao mais adequada na anlise global de

grandes estruturas em alvenaria.

Uma aproximao detalhada que representa a alvenaria como um

conjunto de unidades ligadas por elementos de interface no-lineares,

mostrou-se capaz de simular a propagao da fratura ao longo das juntas

horizontais e verticais e ao longo das unidades. Finalmente, com uma viso

para a anlise global de alvenaria estrutural como um meio composto

anisotrpico, foi demonstrado que um modelo de fissuras espalhadas

baseado na decomposio da deformao (em duas partes: uma Dea da

fissura e outra Dena do material slido entre fissuras) pode ser facilmente

estendido para incluir os efeitos da ortotropia inicial e o ngulo de

inclinao entre a fissura e a junta.

ROTS (1991b) estudou as possibilidades de se utilizarem os

modelos de fissuras espalhadas ou discretas para simular a fratura

localizada em materiais com amolecimento. So feitas comparaes entre

fissuras fixas, multidirecionais e fissuras espalhadas rotacionadas, onde a

orientao das fissuras mantida constante, atualizada em um passo

inteligente ou atualizada constantemente. Depois as aproximaes com

fissuras espalhadas so comparadas com sistemas onde tem-se fissuras

discretas potencialmente definidas.

Quando se utilizou a aproximao de fissuras espalhadas, o

conceito de fissura rotacionada (coaxial) e o conceito de fissura fixa com

desconsiderao da reteno do cisalhamento obtiveram os melhores

resultados. Fissuras fixas com significativa reteno do cisalhamento


levaram a tenses muito grandes aps a fissurao e a uma resposta muito

rgida. Uma deficincia da aproximao espalhada o perigo de aparecerem

tenses de travamento. Isto devido ao fato de que as descontinuidades

geomtricas so modeladas utilizando-se o conceito de deslocamentos

contnuos. O conceito de fissuras discretas envolve uma descontinuidade e

no sofre o risco de aparecerem tenses de travamento. O uso de elementos

de interface como locais potenciais para o aparecimento de fissuras

verstil para o caso onde o caminho provvel da fratura pode ser pr-

definido, e em casos onde certos caminhos de fissurao prevalecem.

LOFTI & SHING (1991) apresentaram um trabalho com o objetivo de

avaliar a capacidade dos modelos de fissuras espalhadas em analisar a

resistncia e os vrios mecanismos de ruptura para paredes de alvenaria de

unidades de concreto sujeitas ao cisalhamento. Com esta finalidade foi

desenvolvida uma formulao em elementos finitos com um modelo de

fissuras espalhadas adotando o modelo da plasticidade J2 para a alvenaria

ntegra e um modelo constitutivo no-linear ortotrpico para a alvenaria

fissurada. O desempenho do modelo avaliado com resultados

experimentais obtidos de painis de alvenaria. A objetividade dos resultados

numricos com respeito dimenso da rede considerada. Apesar do

modelo ter produzido excelentes resultados com respeito ao comportamento

predominante de flexo, ele apresenta uma desvantagem principal em

capturar o comportamento frgil ao cisalhamento de painis pouco

armados. A capacidade da aproximao das fissuras espalhadas em

capturar a resistncia e o mecanismo de ruptura para paredes de alvenaria

armadas, sujeitas ao cisalhamento, examinada. Foi demonstrado que

enquanto a resposta flexo do painel de alvenaria armada pode ser

reproduzido com preciso utilizando-se o modelo de fissuras espalhadas, o

comportamento frgil, quando o painel est submetido ao cisalhamento,

caracterizado por fissuras diagonais, no pode ser determinado com

preciso. Este fato devido inerente limitao da aproximao por

fissuras espalhadas, na qual as fissuras abertas so modeladas adotando-

se um campo de deslocamentos contnuos, o que leva a uma restrio

cinemtica irreal da fissura aberta. Em virtude dessas limitaes, assim

como de outros problemas tais como: dependncia da dimenso da malha e

dificuldades de se calibrar o modelo, os modelos de fissuras espalhadas


devem ser utilizados com muito cuidado, por usurios experientes e bem

informados que estejam atentos s suas limitaes. Caso contrrio, poder

conduzir a concluses errneas como foi demonstrado nos exemplos

numricos apresentados pelos autores.

ULM & PIAU (1993) apresentaram um trabalho onde aplicam a

teoria de contato nas juntas da alvenaria para simular o comportamento

no-linear. Baseado na hiptese de continuidade do campo de

deslocamento e/ou deformao, um elemento finito plano deduzido para a

anlise no-linear de estruturas de alvenaria sujeitas a cargas monotnicas,

cclicas e carregamento dinmico, assim como para anlise de estados

limites. O elemento possui seis graus de liberdade e considera um

mecanismo de abertura e fechamento das juntas de alvenaria com ou sem

material para simular a junta. O colapso de um templo devido a cargas

ssmicas utilizada para ilustrar a eficincia do modelo aplicado para a

anlise de estruturas, apresentando uma boa preciso.

Segundo LOTFI & SHING (1994) a ruptura de estruturas de

alvenaria de unidades de concreto no armadas sujeitas a um carregamento

lateral horizontal predominantemente devida fissurao das juntas de

argamassa, assim como da fissurao e esmagamento das unidades. Estes

fenmenos podem ser simulados utilizando-se uma aproximao do mtodo

dos elementos finitos no qual as juntas de argamassa so modeladas com

elementos de interface e as unidades de alvenaria so modeladas com

elementos planos com fissuras dispersas. No estudo apresentado, esta

aproximao foi adotada para simular o comportamento e os mecanismos

de ruptura do material alvenaria, baseados no comportamento de seus

materiais constituintes. Para se efetuar essa simulao foi desenvolvido um

modelo constitutivo de interface capaz de simular o incio e a propagao da

fissura. A eficincia do modelo proposto em representar o comportamento

das juntas de argamassa da alvenaria avaliada confrontando-se os

resultados com valores experimentais. Os resultados das anlises

demonstraram que o modelo numrico capaz no s de predizer a

capacidade de carga da alvenaria, mas tambm fornecer informaes

detalhadas do modo de ruptura, ductilidade e padro de fissurao.


RIDDINGTON & NAOM (1994) apresentaram um programa em

elementos finitos com o propsito de determinar a resistncia ltima

compresso da alvenaria. O critrio de ruptura local includo no programa

a resistncia trao da unidade, a resistncia trao da argamassa, a

resistncia trao e ao cisalhamento na junta unidade/argamassa.

Considera-se, tambm, o comportamento elstico no-linear da argamassa.

O programa estruturado de forma que todos os critrios de ruptura e a

no-linearidade da argamassa so considerados em cada uma das

iteraes. O programa foi capaz de determinar a capacidade ltima de

compresso da alvenaria com razovel preciso, comparando-se com

paredes ensaiadas experimentalmente. Quando a no-linearidade fsica da

argamassa no foi includa na anlise, a resistncia ltima compresso da

alvenaria foi superestimada. O trabalho demonstrou que a capacidade de

carga da alvenaria decresce com o aumento da espessura da argamassa.

Observou-se, tambm, que um acrscimo na resistncia trao da

unidade resulta em um acrscimo da resistncia compresso da parede.

FUSCHI et al. (1995) apresentaram uma aproximao numrica

para a anlise de paredes de alvenaria estrutural submetidas a um estado

plano de tenses. Adota-se um modelo constitutivo para o material

perfeitamente no resistente trao. As equaes so expressas na forma

clssica incremental com lei de fluxo associativa para material

elastoplstico. A eficincia do modelo proposto foi examinado e aprovado

por uma anlise de preciso. Dois exemplos de painis de alvenaria, cujo

comportamento assumido como descrito pelo modelo, foram analisados

pelo mtodo dos elementos finitos. A grande desvantagem do modelo o

fato da alvenaria ser admitida como indefinidamente linear na compresso.

Os valores de deslocamento obtidos no colapso iminente podem ser maiores

comparando-se com os valores que a estrutura real apresenta. Este fato

pode estar violando a hiptese de pequenas deformaes. Essa desvantagem

pode ser eliminada pela introduo de limites apropriados na tenso de

compresso mxima admitida, de uma forma consistente com o modelo

apresentado. Finalmente, comparaes dos resultados obtidos com dados

da literatura disponveis parecem comprovar a eficincia do procedimento

empregado, respeitando-se suas limitaes.


SAYED-AHMED & SHRIVE (1996) apresentaram um modelo

elastoplstico no-linear em elementos finitos para alvenaria de unidades

vazadas de concreto utilizando-se elementos de casca isoparamtricos. O

comportamento no-linear da alvenaria devido fissurao progressiva, e

as no-linearidades fsica e geomtrica so consideradas no modelo. Foram

realizadas anlises numricas de prismas com trs unidades de altura e os

resultados em termos de tenso, deformao e deslocamento foram

comparados com resultados experimentais. Os resultados apresentaram

boa concordncia. Segundo os autores a ruptura das paredes de alvenaria

de unidades vazadas se inicia pela fissurao dos septos verticais no plano

da parede. Uma anlise 3D essencial para predizer o estgio inicial de

ruptura. Anlises utilizando-se elementos tridimensionais (slidos), mesmo

com uma rede bastante refinada, no pode oferecer uma soluo para o

problema, porque no capaz de modelar o mecanismo de ruptura global.

Utilizou-se um elemento de casca que incorpora os modelos de

fendilhamento dos septos, comportamento no-linear da argamassa e o

incio da instabilidade final da alvenaria fissurada. Assim o modelo tem

condies de acompanhar o comportamento da alvenaria vazada, desde o

aparecimento da primeira fissura at prximo ruptura total, incluindo

comportamento no-linear fsico e geomtrico.

De acordo com ANDREAUS (1996) a ruptura de painis de alvenaria

submetidos a carregamentos em seu prprio plano pode ser atribuda a trs

mecanismos bsicos: deslizamento das juntas de argamassa, fissurao das

unidades e fendilhamento da junta de argamassa, e fissurao do plano

mdio. No artigo, Andreaus emprega trs critrios de ruptura conhecidos

para determinar os estados de tenso de colapso de painis de alvenaria sob

carregamento no seu prprio plano. Estes critrios so expressos em termos

de constantes elsticas e parmetros de resistncia, que so identificados

atravs de dados experimentais da literatura. O modo de colapso que exibe

o deslizamento das juntas de argamassa, o fendilhamento das juntas

horizontais, e o deslizamento e fendilhamento das juntas horizontais, pode

ser compreendido com suficiente preciso pelo modelo de Mohr-Coulomb,

que tem uma modificao com o intuito de considerar a dependncia no-

linear da tenso de cisalhamento com a tenso normal. O critrio da


mxima deformao de trao (critrio de Saint-Venant) foi associado com o

modo de colapso caracterizado pela fissurao das unidades e

fendilhamento da argamassa, fissurao das unidades e juntas verticais,

deslizamento das juntas horizontais e fendilhamento das juntas verticais,

fendilhamento das juntas horizontais, fendilhamento e deslizamento das

juntas e deformao biaxial. Por fim a fissurao do plano mdio pode ser

avaliada quando o critrio de mxima tenso de compresso cumprido

(Navier). Alguns resultados experimentais encontrados na literatura foram

coletados com o intuito de definir aproximadamente, de uma forma

adimensional, o intervalo de tenses onde os diferentes mecanismos

ocorrem, o deslizamento, o fendilhamento e a fissurao. O critrio de

ruptura proposto parece estar em boa concordncia com os resultados

experimentais, com as seguintes limitaes: painis reduzidos, paredes

simples, unidades slidas, juntas de argamassa regulares e carregamento

em seu prprio plano.

LOURENO, ROTS & BLAAUWENDRAAD (1997) publicaram um

artigo onde apresentam possveis aplicaes de modelagens numricas de

estruturas de alvenaria. Os exemplos apresentam os problemas de normas

de projeto e sua relao com os modelos numricos, a anlise de estruturas

complexas existentes sujeitas a novas condies de carregamento e a

segurana de estruturas antigas. Os exemplos apresentam uma indicao,

em trs diferentes categorias, de possveis regras para a anlise no-linear

de estruturas de alvenaria. O primeiro exemplo trata de normas de projeto e

como elas podem ser realadas e racionalizadas com o auxilio de modelos

numricos. Com este propsito, as especificaes de juntas de dilatao em

paredes de alvenaria so discutidas. O segundo exemplo trata da anlise de

estruturas complexas existentes, sujeitas a novas condies de

carregamento. Com este propsito, os modelos so utilizados para predizer

a quantidade de dano, associado com a fissurao, para prdios em

Amsterd, Holanda, devido aos recalques provocados pela abertura de

tneis. O ltimo exemplo trata da segurana de estruturas antigas. Com

este propsito, a resistncia residual de um prdio de 350 anos danificado

por um terremoto, em Salvitelle, Itlia, calculada e comparada com

resultados experimentais. Os exemplos demonstram o nvel de elaborao

do modelo numrico para a alvenaria.


2.2.2 Modelos Homogeneizados

DHANASEKAR et al. (1985) apresentaram um trabalho que descreve

o desenvolvimento de um critrio de ruptura, no estado plano, para paredes

de alvenaria. O critrio pode ser programado utilizando-se o mtodo dos

elementos finitos, e utilizado para se determinar a ruptura em regies

localizadas de uma parede, permitindo assim uma anlise mais verossmil

da alvenaria. Utilizando resultados experimentais, os autores determinaram

uma superfcie de ruptura completa para a anlise de paredes de alvenaria.

A superfcie de ruptura obtida fechada e pode ser representada pela

interseco de trs cones elpticos. Os fatores que influenciam a superfcie

de ruptura so discutidos e os ensaios mecnicos necessrios para se

definir uma superfcie de ruptura conservativa so descritos. Uma srie de

ensaios em painis de alvenaria publicados anteriormente foram analisados

e novos ensaios foram realizados. Os ensaios biaxiais de compresso-

compresso e compresso-trao foram realizados em painis quadrados

com uma variao do ngulo formado entre as juntas horizontais e o lado

carregado. Verificou-se que a carga e o padro de ruptura da alvenaria so

fortemente influenciados pelas juntas de argamassa que atuam como

planos de fraqueza. O artigo apresenta a superfcie de ruptura em dois

sistemas de referncia: no sistema de tenses principais e sua orientao

em relao junta horizontal (s1, s2, q); e em termos do sistema de tenses

relacionados com a direo das juntas (sn, sp, t).

PAGE et al. (1985) apresentaram um modelo em elementos finitos

para paredes de alvenaria de tijolos cermicos slidos, que incorpora

caractersticas realistas do material deduzidas de um grande nmero de

ensaios em painis de alvenaria. Utiliza-se um modelo contnuo

macroscpico para a relao tenso-deformao, consideram-se

deformaes no-lineares e um critrio de ruptura progressiva que leva em

considerao a orientao das juntas. A ruptura pode ocorrer apenas nas

juntas ou em um modelo envolvendo a unidade e as juntas. O programa de

elementos finitos, para estado plano de tenses, baseado em um elemento

isoparamtrico de oito ns e utilizado para simular um carregamento

incremental e a ruptura progressiva das paredes de alvenaria sujeitas a um


carregamento no seu plano. A eficincia do programa demonstrada

comparando-se o comportamento nos resultados numricos com os valores

obtidos nos ensaios experimentais obtidos em cinco prticos de ao

preenchidos com unidades de alvenaria. A grande vantagem do modelo

apresentado que as propriedades mdias, que incluem a influncia tanto

da unidade quanto das juntas, foram determinadas em ensaios de

laboratrio. Isto significa que uma rede de elementos relativamente pobre

pode ser utilizada, no havendo necessidade de se discretizar a unidade e a

argamassa separadamente. Isto uma grande vantagem computacional na

anlise de grandes painis de alvenaria, devido simplificao na gerao

da rede e economia no tempo de processamento.

Em 1989, PANDE et al. apresentaram um artigo onde utilizam um

material aproximado equivalente para a determinao das propriedades

elsticas da parede de alvenaria. introduzido um sistema composto de

duas camadas paralelas de materiais, formado de bloco e argamassa, e

determinam-se as propriedades mdias para este sistema. Estende-se,

ento, a aplicao para a alvenaria, com dois conjuntos de juntas de

argamassa (horizontal e vertical) que pode ser representado por um material

equivalente elstico ortotrpico. O processo consiste em duas etapas: na

primeira realizada uma homogeneizao horizontal, incluindo-se as

unidades e as juntas verticais. Na segunda etapa, a homogeneizao

vertical realizada, unindo-se o material homogeneizado anteriormente com

as juntas horizontais (Figura 2.4). Expresses para as propriedades

elsticas do material equivalente so determinadas em termos das

propriedades elsticas da unidade e da argamassa, considerando-se a

espessura relativa da argamassa.


Figura 2.4 Homogeneizao em duas etapas

Adaptada de LOURENO(1996)

Os referidos autores concluem que o mdulo de elasticidade

longitudinal (E) normal s juntas verticais do material equivalente menor

do que aquele na direo paralela junta. Tambm foi determinado que a

rigidez ao cisalhamento do material equivalente no plano paralelo s juntas

horizontais , em geral, maior que a rigidez ao cisalhamento perpendicular

s juntas horizontais. Verificou-se que para o caso mais comum, em que

Ea


programa para a anlise estrutural. Uma faixa de parede, de comprimento

unitrio, tratada como uma viga-coluna em estado plano de deformaes.

A relao tenso-deformao da alvenaria considerada no-linear na

compresso e desprezada na trao. O comportamento e a resistncia das

paredes so estudados utilizando-se o mtodo computacional desenvolvido.

So consideradas apenas paredes submetidas a carregamento uniforme

excntrico em relao ao plano mdio em ambas as extremidades. A

capacidade de carregamento das paredes foi considerada muito sensvel a

pequenas variaes do valor da excentricidade. Os tipos de colapso,

instabilidade ou ruptura do material, so influenciados principalmente pela

esbeltez e pelo valor da excentricidade. Uma pequena variao da fora axial

acarreta uma grande mudana na capacidade portante da alvenaria.

Em 1992, PIETRUSZCZAK & NIU apresentaram uma formulao

matemtica para a descrio das propriedades mecnicas mdias da

alvenaria estrutural de unidades de concreto. Um elemento tpico de

alvenaria considerado como um meio composto para a qual as

propriedades macroscpicas mdias podem ser unicamente identificadas.

Assim, um volume elementar representativo do material considerado

adotado como consistindo de um nmero de unidades interceptadas por

duas famlias de juntas ortogonais entre si. O artigo escrito na seguinte

seqncia: primeiro, uma formulao geral tridimensional fornecida. As

relaes constitutivas mdias so formuladas utilizando-se a hiptese de

que as juntas verticais representam um conjunto alinhado de incluso de

planos de fraqueza e as juntas horizontais formam planos contnuos de

fraqueza. A formulao , ento, aplicada para estabelecer as propriedades

elsticas mdias do sistema. Depois, o fenmeno de ruptura progressiva da

parede de alvenaria investigado. O mecanismo de ruptura consiste na

formao de macro-fissuras nas unidades ou uma ruptura dctil/frgil nas

juntas horizontais. O modo de ruptura efetivo funo da histria do

carregamento imposto. As propriedades das juntas verticais tm um efeito

muito limitado na ruptura macroscpica. Assim, para propsitos prticos,

as juntas verticais podem ser admitidas como lineares elsticas isotrpicas.

O artigo mostra que em anlise elstica a alvenaria pode ser considerada

como um meio ortotrpico. Os valores das constantes elsticas so muito

influenciadas pelas propriedades e espessura das juntas de argamassa.


PAPA & NAPPI (1993) apresentaram um modelo de material baseado

num procedimento de homogeneizao para a anlise de estruturas de

alvenaria. A alvenaria considerada como um material composto e suas

propriedades mecnicas globais so determinadas em funo das

propriedades dos seus componentes: as unidades (admitidas como

elsticas) e a argamassa (admitida como sujeita ao dano). O mtodo adotado

consiste de duas etapas. Numa primeira etapa uma homogeneizao

vertical realizada, incluindo as unidades e as juntas horizontais. Numa

segunda etapa, a homogeneizao horizontal realizada, com os materiais

previamente obtidos. Para avaliar a capacidade e as limitaes do modelo,

ensaios experimentais em painis reduzidos de alvenaria foram executados,

impondo-se diferentes combinaes de carregamento para estado plano de

tenso. Considerando-se a usual disperso dos resultados experimentais

encontrados com os painis de alvenaria, a ruptura predita pela

aproximao terica parece estar em boa concordncia com as evidncias

experimentais.

Em 1995, ANTHOINE apresentou um trabalho onde aplica a teoria

da homogeneizao para meios peridicos de uma forma mais rigorosa, com

o intuito de determinar as caractersticas da alvenaria no estado plano. De

acordo com o autor, procedimentos semelhantes tm sido utilizados por

muitos pesquisadores, mas, em geral, com tcnicas aproximadas. Em

particular, os processos de homogeneizao vm sendo aplicados atravs de

passos sucessivos de homogeneizao, as juntas horizontais e verticais

sendo introduzidas de forma sucessiva. Alm disso, usualmente a alvenaria

considerada como um meio bidimensional sujeito a um estado plano de

tenses, ou como um meio tridimensional muito espesso, assim sua

espessura finita nunca levada em considerao. No artigo a teoria da

homogeneizao para meios peridicos implementada em uma s etapa e

considera-se a geometria real da alvenaria (o padro da argamassa e

espessura da parede). Os resultados obtidos foram comparados com

anlises baseadas em mtodos simplificados existentes e constituem uma

base de referncia para avaliar a relevncia de algumas aproximaes

geralmente utilizadas na literatura. Como resultado importante, as

aplicaes numricas realizadas demonstraram que variando-se o padro

das juntas, ignorando-se as juntas verticais ou assumindo-se estado plano


de tenso, resultam em estimativas razoveis do comportamento elstico

global da alvenaria. No entanto, um minucioso estudo das tenses elsticas

desenvolvidas nos diferentes materiais constituintes (unidade e argamassa)

antecipa que a situao pode resultar completamente diferente na anlise

no-linear. Em particular, o estado plano de tenses assumido causa

controvrsias, por ser uma aproximao do modelo real, que

tridimensional.

LEE et al., em 1996, introduziram uma tcnica de homogeneizao

para investigar o comportamento elastofrgil de painis de alvenaria

sujeitos a carregamento lateral horizontal. Para modelar o comportamento

da alvenaria, so utilizados dois passos sucessivos de homogeneizao para

obter as propriedades elsticas mdias. Na primeira etapa, as unidades so

homogeneizadas com as juntas verticais, obtendo-se as propriedades

elsticas equivalentes de um sistema em camadas. Numa segunda etapa o

sistema em camadas ento homogeneizado com as juntas horizontais

para obter as propriedades equivalentes do material alvenaria. A nica no-

linearidade considerada est associada fissurao. O modelo constitutivo

incorporado em um programa de elementos finitos, utilizando-se

elementos tridimensionais. Dos exemplos analisados, os autores concluem

que a homogeneizao proposta, em duas etapas, conveniente, prtica e

pode ser utilizada para minimizar o custo computacional da anlise de

painis de alvenaria sujeitos a carregamento lateral. A previso numrica da

carga ltima e o padro de fissurao est em boa concordncia com os

ensaios. Parmetros mais precisos dos materiais, assim como a resistncia

trao e a resistncia trao da junta entre a unidade e a argamassa,

podem fornecer um modelo mais preciso. Foram realizadas tambm

anlises numricas de painis de alvenaria com diferentes condies de

contorno e aberturas que apresentaram uma boa concordncia com

resultados experimentais.

Em 1997 PAPA & NAPPI propuseram um modelo para anlise da

alvenaria estrutural baseado em noes de plasticidade e dano.

considerado apenas o estado plano de tenses e uma superfcie de ruptura

no plano introduzida. Incrementos de deformao inelstica so supostos

apenas quando o estado de tenso ultrapassa os limites do critrio de


escoamento. Os incrementos so considerados parcialmente irreversveis e

so relacionados a um decrscimo gradual de rigidez. Seguindo conceitos

bsicos da teoria da plasticidade, incrementos de deformao plstica so

assumidos como normais superfcie de ruptura. Depois de implementar o

modelo em um programa de elementos finitos, um procedimento adequado

utilizado com o intuito de limitar o efeito de dependncia de malha. Com o

objetivo de verificar os resultados numricos, foram considerados modelos

experimentais reduzidos realizados pelos autores em 1993 em painis de

alvenaria. Levando-se em considerao a grande disperso dos pontos de

ruptura experimentais, foi encontrada uma boa concordncia entre esses

pontos de ruptura obtidos e os resultados numricos. Verificou-se que as

respostas numricas, em termos de deslocamentos, apresentaram uma

rigidez levemente maior que a experimental. Apesar disso o modelo permite

que se determine a fora de ruptura e a distribuio do dano com boa

preciso.

Em 1997, LOURENO, DE BORST & ROTS desenvolveram um

modelo para estado plano de tenso de materiais ortotrpicos frgeis. A

teoria da plasticidade, que adotada para descrever o comportamento no-

linear, utiliza algoritmos modernos, incluindo uma tcnica implcita de

integrao das tenses, o mtodo de Newton-Raphson e uma matriz de

rigidez tangente consistente. O modelo capaz de predizer respostas

independentes ao longo dos eixos do material. Ele possui caractersticas de

energia de fratura trao e compresso, que so diferentes ao longo de

cada eixo do material. O critrio de resistncia proposto no trabalho

combina as vantagens dos conceitos da plasticidade moderna com uma

poderosa representao anisotrpica do comportamento do material, que

inclui diferentes caractersticas de encruamento/amolecimento ao longo de

cada eixo do material. O critrio de resistncia composto adequado para

modelar materiais anisotrpicos sob estado plano de tenso e consiste de

uma extenso das formulaes tradicionais para materiais frgeis

isotrpicos para descrever o comportamento ortotrpico. Critrios de

resistncia individuais so considerados para trao e compresso,

descrevendo diferentes mecanismos de ruptura. O primeiro critrio

associado com um processo de fratura localizada, denominado fissura do

material, e o segundo critrio associado com um processo de fratura mais


distribudo, que usualmente denominado esmagamento do material. O

critrio de resistncia apresentado representa um passo mais adiante do

trabalho de FEENSTRA & DE BORST (1996), que utilizaram esta

aproximao para o concreto com o critrio de Rankine associado ao critrio

de Drucker-Prager. Com o intuito de modelar o comportamento do material

ortotrpico, os autores propem um critrio tipo Hill para a compresso e

um critrio tipo Rankine para a trao, conforme a figura 2.5. O dano

interno devido aos mecanismos de ruptura pode ser representado por dois

parmetros internos, Kt e Kc, um para o dano em trao e outro para o dano

em compresso. O modelo formulado de forma que cada parmetro

interno relacionado com duas energias de fraturamento independentes ao

longo de cada eixo do material. Por essa razo, possvel reproduzir

diferentes comportamentos no-lineares ao longo de duas direes

ortogonais.

Figura 2.5 Critrio de resistncia proposto. Diferentes valores de resistncia

trao e compresso so adotados em cada um dos eixos dos materiais.

Adaptada de LOURENO et al. (1997)

Boa concordncia foi encontrada comparando-se resultados

numricos com dados experimentais para paredes de alvenaria de tijolos

cermicos submetidas ao cisalhamento, onde ambos os modos de ruptura

(trao e compresso) esto presentes. Outra grande vantagem apresentada

pelo modelo foi a sua capacidade de acompanhar a curva tenso-

deformao at a total degradao da resistncia.


LOURENO & ROTS (1997b) elaboraram um estudo minucioso

avaliando o desempenho do processo de homogeneizao em duas etapas,

que baseado na hiptese de materiais em duas camadas. Foram feitas

anlises dos respectivos processos adotados por PANDE et al. (1989) e

PAPA (1990). A eficincia das tcnicas de homogeneizao para a anlise de

estruturas de alvenaria foi discutida. A maior vantagem apresentada pela

homogeneizao que, uma vez completamente determinadas as

propriedades dos materiais constituintes, o comportamento do material

composto pode ser estimado sem a necessidade de ensaios adicionais. Isto

significa que alteraes na geometria, por exemplo: dimenso das unidades

e espessura das juntas ou arranjos geomtricos, podem ser manipulados

exclusivamente de forma numrica. Foi demonstrado que a homogeneizao

em duas etapas pode ser utilizada para a determinao das carac

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