DESENVOLVIMENTO DE UM ALGORITMO EFICIENTE PARA A EQUAO DE AGUAS RASAS BASEADO NO

MTODO DO ELEMENTO MVEL

Franklin Misael Pacheco Tena

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE DOUTOR EM CINCIAS EM ENGENHARIA OCENICA.

Aprovado por:

Prof Paulo Cesar Colonna Rosman, Ph.D. n

Prof. Carlos Augusto Antonio Carbonel Huainn, Dr.Ing.

~roib. Cynara de Lourdes da Nbrega Cunha, D.Sc.

p k f Afonso de Moraes Paiva, Ph.D.

Prof. Jos Paulo Soares de kzevedo, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

SETEMBRO DE 2001

PACHECO TENA, FRANKLIN MISAEL Desenvolvimento de um algoritmo eficiente

para a equao de guas rasas baseado no mtodo de elemento mvel

[Rio de Janeiro] 2001 XI, 80p. 29,7cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,

Engenharia Ocenica, 200 1) Tese - Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE 1. Modelagem numrica 2. Circulao hidrodinmica 2DH 3. Mtodo de elemento mvel

I. COPPE/UFRJ II. Ttulo (srie)

AGRADECIMENTOS

Ao professor Paulo Cesar Colonna Rosman, meu orientador, pelas importantes idias para a realizao deste trabalho, a orientao e amizade oferecidas.

Ao professor Cludio Freitas Neves, pelo seu apoio aos alunos, assim como sua amizade e incentivo transmitido nos momentos dificeis.

A meu pai, que no est mais comigo, a minha me e meus irmos, que de longe, o Per, me apoiaram e incentivaram no meu aperfeioamento acadmico.

A Cristina, minha companheira de todos os momentos, sempre me incentivando com a sua alegria, seu c a r d o e sua "pacincia".

Ao Samuel, que com seu sorriso faz "sumiry7

minhas preocupaes.

A meus amigos do PEnO, Andrea, Cynara, Marcos e Renato, pela amizade e seus conselhos acadmicos.

Aos amigos da UNIVALI, em especial as professoras Cristina e Patrcia, que com sua solidariedade, permitiram finalizar este trabalho. A Letcia pelos grficos.

A UNIVALI e CAPES pela ajuda financeira, e a todos aqueles que de alguma forma contriburam para o desenvolvimento deste trabalho.

A Cristina e ao Samuel

Resumo da Tese apresentada COPPELIFRJ como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Doutor em Cincias @.Sc.).

DESENVOLVIMENTO DE UM ALGORITMO EFICIENTE PARA A EQUAO DE GUAS RASAS BASEADO NO MTODO DO ELEMENTO MVEL

Franklin Misael Pacheco Tena

Setembro1200 1

Orientador: Paulo Cesar Colonna Rosman

Programa: Engenharia Ocenica

Este trabalho apresenta o desenvolvimento de um algoritmo eficiente na formulao das equaes de gua rasas, usando o Mtodo do Elemento Mvel (MEM) na discretizao espacial, e um esquema Desacoplado, que permite calcular explicitamente os valores das componentes de velocidades e implicitamente a elevao da superfcie (MEMD). Tambm foi usado um esquema tipo Direo Implcita Alternada (ADI), com a finalidade de reduzir o tempo de processamento do sistema e explorar a potencialidade do MEM.

A consistncia, eficincia, e o desempenho computacional dos esquemas so verificados atravs da comparao dos resultados numricos com os obtidos nas

solues analticas, e uma aplicao na Lagoa Rodrigo de Freitas. Os resultados mostram que os esquemas so eficientes na soluo de problemas associados a

geometrias simples, entretanto mostra algumas dificuldades quando a geometria complexa.

Abstract of Thesis presented to COPPELJFRJ as a partia1 fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D. Sc.).

DEVELOPMENT OF AN EFFICIENT ALGORITHM FOR THE SHALLOW WATER WAVES EQUATION BASED ON THE MOVING ELEMENT METHOD

Franklin Misael Pacheco Tena

Septemberl200 1

Advisor: Paulo Cesar Colonna Rosman

Department: Ocean Engineering

This work presents the development of an efficient algorithm in the formulation of the shallow water equations, using the Moving Element Method (MEM) in the space discretization, and an uncoupled scheme, that allows to evaluate explicitly the values of the components of velocity and inlplicitly the surface elevation of the surface (UMEM). An Alternate Implicit Direction scheme was also used, with the purpose of reducing the computer execution time and to explore MEM's potenciality.

The schernes consistency, efficiency and computational effort are verified through the comparation of the numerical results with the analytical results, and an

application in Rodrigo de Freitas' Lagoon. The results show that the scheme is efficient in the solution of problems associated with simple geometries; however it shows some

difficulties in dealing complex geometries.

Figura 1. Sistema de coordenadas do sistema de modelagem (2DH), onde NR o nvel de referncia. No caso 2DH, Q , exemplifica a velocidade promediada na vertical. Note que as coordenadas e velocidades horizontais so representadas como (x, y) E

........................................... (xl, x2) e (U, V ) E (ui, u2) utilizando o ndice i = 1,2. I I Figura 2. Esquema de um domnio a ser modelado (a). Contornos de terra, r2~,

representam margens de rios ou fluxos de gua doce. Contornos abertos, l-I, no ....... representam limites fisicos, mas limites de gua no domnio de modelagem. 13

Figura 3. Discretizao do domnio por pontos discretos. ............................................ 15 Figura 4. Mapeamento de elemento original, no elemento padro ................................ 17 Figura 5. (a) Todas as conexes na direo x so tratadas implicitamente (b) Todas as

conexes na direo y so tratadas implicitamente. Os pontos em cor amarela indicam a posio das variveis conhecidas. Os pontos em cor preta indicam a posio das variveis a ser calculadas. ................................................................. 29

Figura 6. Malha para um recinto de contornos irregulares. ........................................... 30 Figura 7. Contorno lateral ........................................................................................... 3 1 Figura 8. Varredura no sentido positivo do eixo x. Os pontos em cor amarela indicam a

posio das variveis conhecidas usando frmulas de extrapolao. Os pontos em cor preta indicam a posio das variveis a ser calculadas. Os pontos em cor azul indicam a posio das variveis j calculadas. ..................................................... 33

Figura 9. Varredura no sentido positivo do eixo y. Os pontos em cor amarela indicam a posio das variveis conhecidas usando frmulas de extrapolao. Os pontos em cor preta indicam a posio das variveis a ser calculadas. Os pontos em cor azul indicam a posio das variveis j calculadas. ..................................................... 34

Figura 10. (a) Geometria da baa com formato Quarto Anular, (b) Seo longitudinal ....................................................... com profundidade varivel quadraticamente. 36

Figura 11. Discretizao da Baa com formato de um quarto de anular usada no teste de validao. Os pontos vermelhos indicam a seo anular para r = 106690 ............. 37

Figura 12. Resultados Numricos do MEMD e MEMD-ADI (smbolos) vs. soluo analtica (linha azul: elevao; linha vermelha: velocidade radial), da posio radial r = 106690m. As figuras superior, central e inferior, correspondem a os passos de tempo At = 1800.5, At = 900s e At = 450s, respectivamente. ................................ 39

Figura 13. MEMD: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo At = 1800s. 40

Figura 14. MEMD ADI: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h7 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo At = 1800s ........................................................................................................... 41

Figura 15. MEMD: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo At = 900s. ... 42

Figura 16. MEMD ADI: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo At = 900s. ............................................................................................................ 43

vii

Figura 17. MEMD: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo At = 450s. .. 44

Figura 18. ME-I: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diversos tempos de simulao (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de

................................................................................................. tempo Ar = 450s. 45 Figura 19. MEMD: Erro relativo da posio da superficie livre ao longo de vrias

posies radiais e com tempos de simulao de 3,6,9 e 12 horas. Passos de tempo de 1800s, 900s e 450s, na figura superior, central e inferior respectivamente. ..... .48

Figura 20. MEMD: Erro relativo da Velocidade radial ao longo de vrias posies radiais e com tempos de simulao de 3, 6, 9 e 12 horas. A figura superior, central e inferior, correspondem a passos de tempo de 1 8 0 0 ~ ~ 900s e 450s, respectivamente. ................................................................................................. .49

Figura 21. MEMD ADI: Erro relativo da posio da superfcie livre ao longo de vrias posies radiais e com tempos de simulao de 3,6, 9 e 12 horas. A figura superior, central e inferior, correspondem a passos de tempo de l8OOs, 900s e 450s, respectivamente. .................................................................................................. 50

Figura 22. MEMD ADI: Erro relativo da Velocidade radial ao longo de vrias posies radiais e com~empos de simulao de 3, 6 ,9 e 12 horas. A figura superior, central e inferior, correspondem a passos de tempo de 1800s, 900s e 450s, respectivamente. .................................................................................................. 5 1

Figura 23. Caractersticas geomtricas de uma lagoa de forma retangular. Comprimento L = 200m, Largura B = 400m e profundidade h = 5m. ......................................... 54

Figura 24. Comparao dos resultados obtidos pelos modelos MEMD e MEMD-ADI, para as posies da superficie livre, com solues analticas para uma onda estacionria num recinto fechado. Resposta para cada 118 do perodo 2". .............. 55

Figura 25. Comparao dos resultados obtidos pelos modelos MEMD e MEMD-ADI, para as velocidades, com solues analticas para uma onda estacionria num recinto fechado. Resposta para cada 118 do perodo T. ......................................... 55

Figura 26. Vista de planta do canal com expanso sbita usado por Stelling e Wang (1984). ............................................................................................................. 57

Figura 27. Canal de Laboratrio discretizado com 419 ns usados no modelo MEMD. 57 Figura 28. Condio de contorno na seo com expanso sbita .................................. 58 Figura 29. Simulao 1: Padro de escoamento obtido com o MEMD com condio de

contorno imposta no canto protuberante, velocidade normal direo do fluxo nula. Instantes 5, 10, 15 e 17 segundos. ............................................................. 59

Figura 30. Definio de um n auxiliar, fora do domnio. Caso de fronteira com canto protuberante .................................................................................................... 60

Figura 3 1. Simulao 2: Padro de escoamento obtido com o MEMD com condio de contorno imposta no n auxiliar, velocidade nula. Instantes 5, 10, 15 e 17 segundos. ............................................................................................................ 6 1

Figura 32. Malha usada na discretizao da Lagoa Rodrigo de Freitas com a localizao ................................................................................................. dos ns 87 e 189. 64

Figura 33. Campo de velocidades, aps 21 horas de simulao, obtido pelo SisBAHIA. Forantes a mar e o vento sudoeste constante. .................................................... 65

Figura 34. Campo de velocidades, aps 21 horas de simulao, obtido pelo MEMD. Forantes a mar e o vento sudoeste constante. .................................................... 66

Figura 35. Campo de velocidades, aps 24 horas de simulao, obtido pelo SisBAHIA. Forantes a mar e o vento sudoeste constante ..................................................... 67

Figura 36 . Campo de velocidades. aps 24 horas de simulao. obtido pelo MEMD . Forantes a mar e o vento sudoeste constante ..................................................... 68

Figura 37 . Comparao das superfcies livres obtidas pelo SisBAHIA (linha contnua) e .................................................................................... MEMD (smbolos). n 87 69

Figura 38 . Comparao das superfcies livres obtidas pelo SisBAHIA (linha contnua) e MEMD (smbolos). n 189 .................................................................................. 69

.............................................. Tabela 1. Pontos discretos que compem um elemento. 15 Tabela 2 Tempos de Processamento (segundos) e largura de Banda para T (perodo da

mar) e um At (passo de tempo) ........................................................................... 52 Tabela 3. Tempos de Processamento (segundos) e largura de Banda: Lagoa Rodrigo de

.......................................... Freitas. T o perodo da onda e At o passo de tempo. 71

1 Introduo ....................................................................................................... i ..................................................................................... 1.1 Reviso bibliogrfica 2

....................................................................................................... 1.2 Objetivos 6 2 Modelo Matemtico para escoamentos em corpos de gua rasos ........................................................................................................................... 8

..................................................................................................... 2.1 Introduo 8 2.2 Equaes governantes Para Corpos D'gua Rasos Integrados Verticalmente 2DH . 9

.................................................................................... 2.2.1 Superfcie livre 11 ..................................................................... 2.2.2 Tenso de atrito no fundo 12

................................................................................ 2.3 Condies de Contorno 12 ................................................................................... 2.3.1 Fronteira Aberta 13

3 Mtodo do Elemento Mvel ................................................................ 14 ................................................................................................... 3.1 Introduo 14

I . ............................................................................ 3.2 Discretizao do dominio 14

.............................................................................. 3.3 Mapeamento geomtrico 17 ...................................................................................... 4 Modelo Numrico 21

.................................................................................................. 4.1 Introduo 2 1 ................................................................................ 4.2 Discretizao temporal 23 . .

................................................................... 4.2.1 Soluo na superficie livre 23 ......................................................................... 4.2.2 Soluo nos contornos 25

. -

.................................................................................. 4.3 Discretizaao espacial 27 .................................... 4.4 Uso do Algoritmo Tipo Direo Implcita Alternada 29

................................................................................... 4.4.1 Algoritmo ADI 2 9 .............................................. 4.4.2 Implementao do ADI junto ao MEMD 30

....................................................................................... 5 Testes Numricos 35 5.1 Introduo .............................................................................................. 3 5

....................................................... 5.2 Baa com formato de um quarto anular 3 5 ........................................................................................... 5.2.1 Resultados 38

............................................................................................. 5.2.2 Discusso 46 ....................................................... 5.3 Onda estacionria em recintos fechados 53

5.3.1 Resultados ........................................................................................... 54 ............................................................................................. 5.3.2 Discusso 56

..................... 5.4 Escoamento no permante em um Canal com expanso sbita 56 ........................................................................................... 5.4.1 Resultados 58

5.4.2 Discusso ...................................................................................... 59 5.5 Simulao numrica da hidrodinmica na Lagoa Rodrigo de Freitas, RJ ...... 62

........................................................................................... 5.5.1 Resultados 64 ............................................................................................. 5.5.2 Discusso 70

............................................................ 6 . Concluses e Recomendaes 7 2 ..................................................................... 7 Referncias Bibliogrficas 75

...................................................................................................................... ANEXO 79

Os sistemas costeiros e estuarinos so reas de grande importncia econmica e ecolgica, devido ao seu potencial para o transporte, disposio de esgotos, pesca e recreao. O ambiente costeiro tem-se deteriorado rapidamente nas ltimas dcadas, devido as descargas de efluentes industriais e domsticos, pesticidas e fertilizantes e outras intervenes antrpicas. Simultaneamente, o aumento da populao de pases em desenvolvimento e o alto consumo dos pases desenvolvidos, so fatores de incremento da explorao dos recursos marinhos. O conflito entre a destruio dos recursos e o incremento das necessidades, pode ser frequentemente minimizado por uma cincia baseada no gerenciamento destes recursos (Fortunato, 1996). Os modelos numricos tm um papel muito importante neste gerenciamento, por serem ferramentas que podem integrar o conhecimento dos processos fisicos, qumicos e biolgicos que acontecem nessas reas.

Os modelos hidrodinmicos so um componente essencial de muitas estruturas computacionais que apiam o gerenciamento estuarino. Na verdade, a simulao do campo de velocidades usualmente um pr-requisito para estudos detalhados de problemas de qualidade d'gua, isto porque os esturios e as zonas costeiras so reas muito dinmicas, onde o transporte de substncia no meio fluido depende basicamente da circulago hidrodinmica local. Alm disso, o campo de velocidades influencia na distribuio espacial e temporal da salinidade e da temperatura. Por sua vez, tanto a temperatura como a salinidade podem ter um papel importante nos processos qumicos e biolgicos.

Os mtodos numricos, utilizados na soluo da simulao da circulao hidrodinmica e de transporte de poluentes, tm incrementado sua importncia tanto na engenharia hidrulica como na engenharia ambiental. Os modelos numricos mais utilizados para resolver as equaes bidimensionais de gua rasas integradas na vertical (2DH), so o mtodo das diferenas finitas (MDF) e o mtodo dos elementos finitos (MEF); mas existem trabalhos onde se usam outros mtodos, como o mtodo de elementos de contorno (MEC) e o mtodo de volumes finitos (MVF).

Com o intuito de desenvolver ferramentas numricas mais eficientes na simulao da circulao hidrodinmica 2DH, muitos esforos foram feitos nas ltimas dcadas, na

busca de formulaes mais otimizadas ou de novas estratgias na soluo de sistemas de equaes. Como parte destes esforos, pode-se citar os trabalhos de Rosman (1994) e Scudelari (1997), que propem e desenvolvem um novo mtodo numrico denominado mtodo do elemento mvel (MEM) e de Rosman (1999), que prope um desacoplamento das equaes governantes do mdulo 2DH, de forma que a equao da continuidade resolvida de forma implcita e as equaes de conservao de quantidade de movimento nas direes x e y so resolvidas de forma explicita, reduzindo o nmero de incgnitas.

Embora a circulao hidrodinmica em um sistema estuarino ou costeiro seja um fenmeno tridimensional, muitas vezes as suas caractersticas permitem que esta possa ser considerada como se ocorresse basicamente em um plano horizontal. Para estes casos, modelos bidimensionais na horizontal (2DH) podem ser aplicados, obtendo-se bons resultados (Rassmusen, 1994). Estes modelos (2DH), tambm denominados de modelos verticalmente integrados ou modelos promediados na vertical, so geralmente aplicados a corpos de gua que apresentam profundidade inferior a 5% do comprimento caracterstico do fenmeno a ser estudado. Mais especificamente, estes modelos so vlidos quando a velocidade na vertical desprezvel quando comparada com as componentes horizontais da velocidade (uma condio que permite o uso de uma distribuio hidrosttica da presso na vertical) e quando a variao do perfil da velocidade horizontal ao longo da vertical no de grande relevncia para o problema em questo.

Alguns escoamentos que podem ser estudados com o modelo promediado na vertical so os escoamentos devidos a mar, mar meteorolgica e as correntes induzidas por ondas de curto perodo (Falconer, 1994). Entretanto, existe ainda um grande nmero de problemas de circulao hidrodinmica que precisa de modelos numricos tridimensionais. Estes problemas surgem quando a mar deixa de ser o forante principal e outros forantes, como a tenso do vento e a presso baroclnica tornam-se importantes. Estes forantes atuam ao longo da coluna de gua, e portanto no podem ser simuladas com modelos promediados na vertical. Os efeitos das variaes de densidade em particular, podem ser muito importantes em sistemas

costeiros e estuarinos: os gradientes horizontais de densidade geram foras de presso interna e os gradientes verticais de densidade muitas vezes amortecem significativamente a mistura da coluna de gua por efeitos da turbulncia. Por exemplo, os sedimentos apresentam altas concentraes perto do fundo e efluentes sanitrios podem espalhar-se em camadas (Fortunato, 1996).

Os trabalhos de Heaps (1987); Nihoul e Jamart (1987) e Abbot (1997), apresentam uma reviso das metodologias na modelagem de sistemas costeiros e estuarinos, mostrando que as aplicaes dos modelos tridimensionais (3D) esto progressivamente substituindo as simulaes com modelos promediados na vertical. Mas segundo Fortunato (1996), os modelos 3D ainda apresentam fortes limitaes e indica as trs mais importantes, que so: dados insuficientes, pouca resoluo das malhas e o insuficiente entendimento de alguns processos fisicos, como o caso da turbulncia. Indica tambm o incompleto entendimento das propriedades dos mtodos numricos como outra limitao.

Os modelos de circulao hidrodinrnica tridimensionais (3D) mais recentes so abordados de forma que a direo horizontal desacoplada da vertical, isto como reconhecimento explcito das diferentes escalas envolvidas em cada direo (Jin, 1993, Rosso, 1997, Fortunato, 1996, Rosman, 1997). O desacoplamento implica que as equaes governantes so separadas em dois mdulos: um mdulo externo (ou horizontal) onde as equaes promdiadas na vertical so solucionadas para as elevaes e velocidades promdiadas, outro mdulo interno (ou vertical) que soluciona as equaes tridimensionais e resolve a estrutura vertical do escoamento; esta tcnica usualmente referida na literatura como tcnica de Separao Vertical-Horizontal (Vertical-Horizontal Splitting - (Jin, 1993).

Os mtodos mais usados na discretizao espacial, no desenvolvimento de modelos numricos dos modelos matemticos para as equaes de guas rasas, so o Mtodo de Diferenas Finitas (MDF) e o Mtodo de Elementos Finitos (MEF). Nas duas ltimas dcadas, muitos esforos foram feitos com o intuito de conseguir ferramentas numricas mais eficientes na simulao da circulao hidrodinmica. Como parte destes estudos, pode-se citar os mtodos de diferenas finitas com transformaes de coordenadas (MDFT), o do elemento mvel (MEM), e a formulao das equaes de guas rasas na forma de equao da onda.

O MDF simples de se usar na programao do algoritmo, e alm de permitir efetivo tratamento de termos advectivos no-lineares da equao de guas rasas, possibilita o uso de esquemas de clculo muito eficientes como o da Alternncia da Direo Implcita (ADI). Os modelos de diferenas finitas tradicionais, para o fluxo de guas rasas e transporte de poluentes, usam malhas de diferenas finitas retangulares. Sua principal desvantagem a utilizao de malhas homogneas, o que obriga o emprego de enorme quantidade de pontos de clculo quando o domnio complexo (contornos curvos so substitudos por contornos retos), exemplos podem ser encontrados em Blumberg e Mellor (1987), Cassulli (1990), Martins (1992, 1999), Kowalik e Murty (1993).

Na dcada de oitenta foram feitos esforos, tentando-se aproveitar as vantagens dos MDF e motivaram a introduo das coordenadas curvilneas transformadas; o resultado foi o uso do Mtodo de Diferenas Finitas com transformaes de coordenadas que permitem um certo grau de ajuste da grade aos contornos (MDFT). Com esta transformao, as regies fsicas curvas so transformadas em um domnio de clculo simples, no qual aplicado o MDF. Na transformao da regio curva (domnio), as equaes governantes do fluxo hidrodinmico e de transporte so tambm transformadas, obtendo-se, portanto equaes mais complexas. O grau de complexidade depende do tipo de transformao, o incremento de nvel de complexidade uma desvantagem deste mtodo. Exemplos deste mtodo encontram-se em Sheng (1987), Nielsen e Skovgaard (1990), Lin e Chandler-Wilde (1996) e Muin e Spaulding (1996).

Os MEF apresentam como principal vantagem a enorme flexibilidade no tratamento de problemas de geometrias muito complexas (comuns em sistemas estuarinos), entretanto quando comparado com MDF, este apresenta maior dificuldade em reduzir as oscilaes numricas (Gray, 1982). O MEF mais complexo na implementao, e a soluo do sistema de equaes resultante custosa numericamente j que implica inverter matrizes, que so geralmente muito grandes pelo fato que precisam de maior tempo computacional; exemplos podem ser encontrados em Walters (1983), Rosman (1987, 2000), Chen, Li e Wong (1989), Zienkiewicz e Ortiz (1995). Para controlar oscilaes esprias, Gray e Lynch (1979) apresentam a formulao da equao da onda para guas rasas; a equao diferencial desta formulao tem como varivel dependente somente a elevao e , portanto desacoplada da equao de conservao da quantidade de movimento (momentunz). Esta forma de apresentar as

equaes de guas rasas permite reduzir o nmero de incgnitas do sistema de equaes final, tornando os modelos mais rpidos.

O esquema que usa o desacoplamento das equaes de momentum e de continuidade, de modo que a elevao da superficie livre determinada de forma implcita e as velocidades determinadas explicitamente, tambm usado no MDF. Casulli (1990) apresenta esta forma de abordagem e chama este tipo de esquema como semi-implicito. Recentemente Rosman (1 997) apresenta um esquema desacoplado para guas rasas, usando o mtodo de substituio sucessiva (MSS); este esquema foi implementado por Martins (1999) usando o MDF e por Cunha (2000) usando o MEF.

O Mtodo de Volumes Finitos (MVF) permite aproximar as equaes diferenciais atravs de balanos de conservao da propriedade envolvida (massa, quantidade de movimento, &c.) num volume elementar levando a principio, a menores erros de conservao de massa. Suas limitaes so semelhantes as achadas no MDF. Exemplos podem ser vistos em Stelling e Van Kester (1994) e Maliska (1995).

O Mtodo de Elementos de Contorno (MEC) permite discretizar apenas o contorno do domnio, sem necessidade de discretizar o domnio interno. Exemplos podem ser vistos em Mansur et. a1 (1995) e Moura (1997).

O mtodo do elemento mvel (MEM) proposto por Rosman (1994) e desenvolvido para o caso de guas rasas por Scudelari (1997), permite a mesma flexibilidade de ajuste a contornos irregulares do MEF e potencialmente a mesma eficincia computacional do MDF. A idia principal do MEM a de discretizar o domnio do problema fsico a ser estudado usando pontos sobre os quais sero definidos elementos de forma semelhante a usada pelo MEF. Sobre estes elementos (que tero domnios sobrepostos) sero construdas funes locais de interpolao as quais permitem aproximar os valores das variveis desconhecidas e suas derivadas, tal como ocorre no MDF. Desta forma o MEM contm aspectos do MEF e do MDF.

Trabalhos j foram desenvolvidos usando o MEM mostram a eficincia do mtodo; Scudelari (1997) apresenta um modelo de circulao com velocidades promediadas na vertical (2DH) para corpos de guas rasas, utilizando elementos bidimensionais; Reis Jr. (1998) desenvolveu um modelo para rede de canais (lD), usando elementos unidimensionais, e Cunha (2000) usa elementos tridimensionais (hexadrico) na

discretizao vertical de um modelo hidrodinmico tridimensional sem aproximao hidrosttica.

A idia principal na qual baseia-se o MEM (usar funes de aproximao em cada n discreto do domnio), tambm foi usada em outros trabalhos, mas com algumas diferenas. Frey, em 1977, formulou uma tcnica numrica chamada Diferenas Finitas Flexveis (DFF), a partir de Elementos Finitos Isoparamtricos apresentando resultados numricos de fluxo potencial sobre um crculo. No incio da dcada de 70 Bellman e seus colaboradores apresentam a tcnica numrica Quadratura Diferencial (QD), com o propsito de solucionar equaes diferenciais lineares e no lineares de problemas de valor inicial e de contorno. Posteriormente, outros autores aplicam essa tcnica a problemas de anlises estrutural, problemas de transientes, e de mecnica de fludos (Han e Liew, 1997). Ambas tcnicas (DFF e QD) utilizam uma malha parecida usada pelo MDFT. Recentemente, Oate et. al. (1996) formularam o Mtodo de Ponto Finito, a qual usa polinmios de aproximao nos pontos discretos e no tm malha associada a seu domnio apresentando resultados numricos de problemas de mecnica de fluidos compressvel e de transporte convectivo-difusivo.

Neste trabalho apresenta-se um modelo bidimensional(2DH) para escoamentos em corpos de guas rasos. Desenvolve-se um esquema desacoplado para guas rasas usando o Mtodo de Elemento Mvel. Este modelo, denominando como MEM Desacoplado (MEMD), calcula explicitamente os valores das componentes de velocidades e implicitamente a elevao da superfcie. O desacoplamento permite reduzir a ordem da matriz resultante para um tero, em comparao com a forma primitiva das equaes de guas rasas1. A soluqo do sistema feita usando mtodo direto. Como segunda parte do trabalho, desenvolve-se um algoritmo tipo Alternncia da Direo Implcita (ADI) no MEMD, com a finalidade de reduzir a matriz resultante a vrias matrizes tridiagonais, as quais so resolvidas com rapidez pelo mtodo de varredura dupla. Este modelo denominado MEMD-ADI.

1 Entende-se como forma primitiva das equaes de guas rasas, as equaes (continuidade e conservao da quantidade de movimento) com as variveis originais, isto velocidade na direo x e y e a posio da superfcie livre.

Com o objetivo de verificar a preciso e investigar o comportamento numrico dos modelos numrico, foram feitos alguns testes para os quais existem solues analticas; sendo testado o caso da propagao de onda de mar em uma baa em forma quarto anular, cuja soluo analtica foi deduzida por Lynch e Gray (1978), e o caso de uma onda estacionaria num recinto retangular fechado.

As equaes governantes que compem o modelo matemtico para escoamentos em corpos de guas rasos esto apresentadas no captulo 2. No capitulo 3 apresenta-se uma descrio do mtodo do elemento mvel. No capitulo 4 o esquema numrico apresentado, e so desenvolvidos dois tipos de algoritmos para a soluo das equaes de guas rasas, sendo avaliadas suas caractersticas. No captulo 5 avaliada a eficincia dos algoritmos usados no MEMD e MEMD - ADI, confrontando os resultados dos modelos com o obtido atravs de solues analticas e ilustrada a aplicabilidade do modelo num corpo d'gua real, atravs da simulao numrica da hidrodinmica em um canal com expanso sbita (canal de Delft) e na Lagoa Rodrigo de Freitas, RJ. No ltimo capitulo (6) so apresentadas as discusses e concluses com respeito as vantagens e desvantagens dos algoritmos implementados.

2 MODELO MATEIMTICO PARA ESCOAMENTOS EM CORPOS DE GUA RASOS

Neste captulo so apresentadas as equaes utilizadas no modelo hidrodinmico para corpos d'gua rasos integradas verticalmente (2DH).

A mecnica do escoamento de corpos de guas rasos regida por leis fsicas expressas pelo princpio de conservao da massa e da quantidade de movimento, representada matematicamente pelas equaes de continuidade e de Navier-Stokes. Este sistema de equaes, juntamente com as equaes de estado e de transporte dos constituintes da equao de estado, formam o modelo matemtico fundamental para representao do escoamento em corpos d'guas.

Geralmente, na escala de interesse dos problemas de engenharia, o escoamento em corpos d'gua rasos turbulento, caracterizado principalmente pela presena de vrtices de vrias dimenses com largo espectro espacial e temporal. Para resolver as equaes governantes dos escoamentos turbulentos necessrio resolver o problema at escalas onde as tenses viscosas tenham significado fisico, pois a energia que transferida ao escoamento por foras externas vai para os maiores vrtices que vo gerando vrtices cada vez menores at que a energia dissipada pelas tenses viscosas. Isto significa utilizar no modelo numrico correspondente discretizaes espaciais e temporais compatveis. Em escoamentos geofkicos, o nmero de pontos de discretizao aplicado a resoluo dessas equaes muito grande, tornando sua soluo incompatvel com a capacidade dos computadores atuais. Mesmo sendo superada tal dificuldade, a determinao das condies de contorno apropriadas para as escalas das dissipages viscosas representaria uma impossibilidade prtica.

Como se deseja conhecer as caractersticas dos escoamentos naturais apenas dentro de uma escala de interesse, diminui-se a magnitude do problema atravs de tcnicas de mudana de escala. Tal tipo de tcnica iniciou-se com a obteno das equaes para o escoamento mdio feita por Reynolds em 1895. Esta mudana de escala consiste em decompor as variveis instantneas em uma parte resolvvel ou de grande

escala, E , e uma parte no resolvvel ou de pequena escala, u', da qual apenas os efeitos gerais aparecem no modelo. Matematicamente, pode-se expressar a decomposio como: u = +uf . Busca-se assim, obter um modelo para o escoamento resolvvel ou de grande escala.

De modo a resolver computacionalmente o problema do escoamento em corpos d'gua rasos, promediam -se as equaes governantes atravs de tcnicas como a mdia temporal de Reynolds, mdia temporal relaxada ou vicinal, mdia estatstica, e mais recentemente, atravs da tcnica de filtragem (Rosman, 1987; Rosman e Gobbi, 1990). Considerando corpos d'gua rasos, onde a profundidade (H) inferior a 5% da escala espacial caracterstica de um dado fenmeno a ser modelado e onde se pode supor a existncia de uma coluna d'gua bem misturada, i.e., com estratificao vertical irrelevante, pode-se adotar as equaes integradas na profundidade. Duas outras aproximaes convenientes ao problema so tambm adotadas: a hidrosttica e a de Boussinesq. A seguir, apresentam-se as equaes governantes para o escoamento de guas rasas promediada na vertical (2DH); maiores detalhes da formulao destas equaes podem ser vistos em Rosman (1989, 1997).

2.2 EQUAOES GOVERNANTES PARA CORPOS D'GUA RASOS INTEGRADOS VERTICALMENTE 2DH

As velocidades horizontais mdias na coluna d'gua podem ser definidas por uma integrao na vertical, do fundo at a superfcie livre, conforme as expresses abaixo:

onde, conforme ilustrado na Figura 1, H(x, y, t) = h(x, y) +

(3) Equao de conservao de quantidade de movimento 2DH para um escoamento integrado na vertical, na direo y:

onde, p, a massa especfica de referncia e g a acelerao da gravidade; @ representa a

velocidade angular da Terra e 8 o ngulo de latitude local considerado. Os termos r: e

T: so as tenses de atrito na superfcie e no fundo. Os termos T,,T,,T~,T,,

representam as tenses turbulentas laterais integradas na vertical; estas tenses so parametrizadas segundo a tcnica de filtragem proposto por Rosman (1987) e modificado por Rosman & Gobbi (1990). Segundo este modelo, estas tenes podem ser escritas como:

onde i, j = 1,2 corresponde aos eixos coordenados (x, y), k = 1, 2, e 3, com k = 3 correspondendo ao instante t, (neste contexto x~ = x, x2 = y, x3 = t). O termo DH O coeficiente de viscosidade turbulento horizontal, ou difusividade de quantidade de movimento lateral, e o termo Dv um coeficiente de disperso horizontal necessrio para incorporar os efeitos da adveco diferenciada na vertical, que so perdidos pela aproximao da mdia na vertical. Segundo Rosman (2000) pode-se adotar a seguinte formulao para (D&Dv) em fungo da velocidade de atrito u*:

(D, + D,) = 0.067 u,H ; com u, = (6)

Os parmetros Ak = a k Axk so escalas de largura de filtragem local na dimenso xk, e a k so parmetros homogneos de dimensionamento. O valor de a k calibra a quantidade de dissipao dada pelos termos de filtragem.

As equaes (Z), (3) e (4) constituem as equaes governantes para corpos de gua rasos promediados na vertical, tendo como incgnitas a posio da superfcie livre

I;@, y, t) e as componentes da velocidade U(x, y, t) e V(x, y, t). Para resolver o sistema formado necessrio estabelecer condies de contorno apropriadas. A seguir uma descrio destas condies mostrada.

Figura 1. Sistema de coordenadas do sistema de modelagem (2DH), onde NR o nvel de referncia. No caso 2DH, Ui , exemplifica a velocidade promediada na vertical. Note que as coordenadas e velocidades horizontais so representadas como (x, y) E (x,, x2) e (U, V) = (y, u2) utilizando o ndice i = 1,2.

2.2.1 Superfcie livre

As tenses na superfcie livres so provocadas pela ao do vento, e podem ser parametrizadas segundo:

z: = p,,c,W,; cose ;L: = p , , ~ , ~ ; sen 8

onde p, a densidade do ar, ?V10 a velocidade do vento medida a 10 metros acima da superficie livre, 0 o ngulo entre o vetor velocidade do vento e o eixo x. O coeficiente de arraste CA pode ser determinado pela seguinte expresso (Wu, 1982; apud Rosman, 1989):

C, = 0,001 (0,s + 0,065 V,,) (8) Na expresso acima W ~ O em [mls].

2.2.2 Tenso de atrito no fundo

As tenses de atrito no fundo podem ser parametrizadas por uma expresso semelhante a (7):

c, u J i 7 3 cf vJU'+VZ

onde Cf o coeficiente de atrito obtido via coeficiente de Chezy, C, definido como:

sendo C = 18 log,, (6r) - , onde r a amplitude da rugosidade equivalente do Eiindo, e H a profundidade da coluna de gua, como j definido.

Fronteiras de Terra: As fronteiras de terra caracterizam as margens do corpo de gua a ser modelado e os possveis afluentes. A Figura 2 ilustra o tipo de contorna de terra (I?$ do domnio a ser modelado (a). Nos trechos de terra caractersticos de margens, basta impor uma condio de contorno, que a prescrio do valor da componente da velocidade normal (UN) a linha de fronteira; usualmente considera-se a margem como impermevel e impe-se valor zero. Nos trechos de fronteira de terra representado afluxo de rios ou canais (T~R, fluxo para o interior do domnio), alm da velocidade normal ao trecho de fronteira em questo, h tambm que prescrever a componente tangencial da velocidade (UT), usualmente zero. Estas condies podem ser expressas como:

U, (x, y, t) = U i (x, y, t) , ao longo de T2 (1 1.a)

U, (x, y, t) = U; (x, y, t) , ao longo de Tz (1 1.b) onde VN e U*T, so a velocidade normal e tangencial prescrita, respectivamente. Para trechos de fronteira de terra representado efluxo (fluxo para o exterior do domnio do modelo), s prescrito a velocidade normal sendo a velocidade tangencial calculada.

U, (x, y, t) = U i (x, y, t) , ao longo de T2 (12.a)

Figura Esquema de um domnio a ser modelado (O). Contornos de terra, r 2 R i representam margens de rios ou fluxos de gua doce. Contornos abertos, TI, no representam limites fsicos, mas limites de gua no domnio de modelagem.

2.3.1 Fronteira Aberta

As fronteiras abertas caracterizam normalmente encontros de massas de gua, ou seja, representam um limite do modelo, mas no um limite fisico do corpo de gua. Nas fronteiras abertas em situao de efluxo prescreve-se uma condio de contorno, que a variao do nvel da gua (por exemplo, um registro de mar). Entretanto, nas situaes de afluxo h necessidade de outra condio alm da anterior, sendo frequente impor-se como nula a componente da velocidade tangencial a fronteira. No caso de afluxo e efluxo, a posio da superficie livre C, ser sempre especificada sendo substituda a equao de continuidade pela seguinte expresso:

C@, y, t) = C* (x, y, t) , ao longo de TI (13.a) onde C,* a elevao prescrita. No caso de afluxo imposta (alem da condio anterior) a velocidade tangencial, isto :

U, (x, y, t) = U; (x, y, t) , ao longo de TI (13 .b)

Neste captulo apresenta-se o Mtodo do Elemento Mvel e os conceitos que ele utiliza para poder aproximar uma equao diferencial.

Do ponto de vista matemtico pode-se verificar que todos os mtodos numricos so derivados do mtodo de resduos ponderados, empregando-se diferentes funes peso (Wrobel, 1989). No MEM, igualmente ao MDF, a funo peso a funo delta de Dirac no ponto em considerao. Como se descrevera na seguinte seo o MEM usa o polinmio de Lagrange como funes de interpolao. Quando a malha associada ao domnio uma malha com espaamento uniforme (Ax= Ay), as equaes que relacionam os ns via MEM e MDF so as mesmas (Frey, 1977). Pode-se considerar o mtodo do elemento mvel uma generalizao do mtodo de diferenas finitas.

A idia principal do MEM de que o domnio (a) do problema fisico a ser estudado discretizado usando pontos, sobre os quais sero definidos elementos de forma semelhante ao usado pelo MEF. Sobre estes elementos (que tero domnios sobrepostos) sero construdas funes locais de interpolao para cada ponto discreto do domnio. Na Figura 3 pode-se ver um exemplo da discretizao do domnio: a linha pontilhada cor vermelha indica o domnio do elemento 6 e a linha pontilhada cor azul indica o domnio do elemento 11. As conectividades dos pontos que definem um elemento, do exemplo da Figura 3 apresentada na Tabela 1.

L-

Figura 3. Discretizao do domnio por pontos discretos.

Tabela 1. Pontos discretos que compem um elemento.

Conectividade dos Ns Definidores do Elemento

A aproximao de uma fimo qualquer u(x), situada na posio xp contida no domnio de um elemento (Oe) definido por AP pontos de clculo, pode ser feita da seguinte forma:

onde vi so as funes de interpolao.

Num dado elemento formado por Ali' pontos de clculo, as funes de interpolao vi, pertinentes ao ponto de clculo i, so escolhidas de forma tal que tenham valores unitrios em cada n i e zero nos demais ns, e sejam contnuas nos contornos do elemento. A condio de continuidade pode ser obtida assumindo uma funo polinomial para vi (x, y ) como a apresentada a seguir:

As constantes do polinmio para cada n i (ao, ai, ..., a8) so determinadas fazendo q t ( ~ j , yi) = 1 e

3.3 MAPEAMENTO GEOMTRICO

Em termos computacionais, trabalhar em coordenadas globais (plano x-y) mais custoso que trabalhar num sistema de coordenadas locais (plano 5-17). Isso ocorre pois, h que se resolver (no plano x-y), 9 vezes para cada elemento, um sistema de equaes que origina cada funo de interpolao. A vantagem de se trabalhar em coordenadas locais no plano 5-17 est em considerar-se funes de interpolao escritas com base em um elemento genrico padro. Uma hno f(x, y) e suas derivadas podem ser expressas em funo das coordenadas locais JTx(E,,q), y(t,q)), usando um mapeamento das coordenadas geomtricas x e y (Figura 4), isto :

Figura 4. Mapeamento de elemento original, no elemento padro.

onde xj e yj so as coordenadas do n i no plano x-y , e qj(E,,q) so as funes de interpolao quadrticas para elementos quadrangulares, as quais so:

01 = (C2 - 5Wl2 - 17); 0, = i (C2 + 5mI2 - 17); 0, = $ (C2 + 5)(r2 + 17); 0, = +(C2 -5)(r2 +r) ; 0, = +(1-52)(172 -17); 9, = +(C2 +5M - q2); 0, =+(1-52)(172 +r);

Usando a regra da cadeia, pode-se relacionar as derivadas de primeira e segunda ordem de uma funo f(x,y) (isto ,JX,J;, f , f , fV,'), nos dos sistemas de coordenadas (global e local) pelas seguintes expresses:

Assume-se que os valores das derivadash, f,, AS, fqq, fS71; Xt, h, XSS, %,, XSV; Yt, Y,, Ytt, y,,, p,; so possveis de serem calculados no plano (5, q). Um resumo dos valores destas derivadas podem ser encontrados no Anexo do presente trabalho.

Para uma varivel genrica u[x (E,, q), y (E,, r)] a definio da derivada de primeiro ordem pode ser feita usando os valores das equaes (31) e (32), aplicados as equaes (15), (17)), isto :

2 fa (a = x, y, 6, ou q) e f4 (ap = xx, H], xy, 55, qq, ou cq) representam as derivadas de primeira e de segunda ordem da funof(x(t,, q), y(c,, q)) com referncia a a e a a e p, respectivamente.

onde J o Jacobiano da transformao.

No caso das derivadas de segunda ordem, usa-se os valores das equaes (33), (34) e (39, nas equaes (16), (18) e (19) e obtm-se as derivadas de segunda ordem em funo das coordenadas locais (6, q). Por razes de espao apresenta-se os valores destas derivadas em forma condensada:

onde:

Quantidade de movimento na direo y:

Nas equaes indicadas (51),(52) e (53) considera-se que a coluna de gua bem misturada, de forma que o gradiente de densidade pode ser desconsiderado. As tenses turbulentas laterais mdias integradas na vertical (Eq. (5)) so escritas da seguinte forma:

Sendo as equaes (51), (52) e (53) equaes diferenciais parciais no lineares, o sistema de equaes resultante a princpio precisaria de mtodos iterativos para ser solucionado. Uma alternativa para evitar o uso de mtodos iterativos, linearizar no tempo as equaes governantes, o que pode ser feito utilizando-se o mtodo de fatoramento implcito (Rosman, 1987), sem perda de generalidade, e mantendo a mesma acurcia de mtodos iterativos baseado em esquemas Crank-Nicholson , por exemplo. A seguir, apresenta-se o esquema a ser desenvolvido para solucionar as equaes de guas

rasas usando o mtodo de substituies sucessivas, e adotando-se o esquema de discretizao temporal via fatoramento implcito.

4.2 Disc~~~izao TEMPORAL

4.2.1 Soluo na superfcie livre O mtodo das substituies sucessivas implica na explicitao das velocidades U

e V nas equaes de quantidade de movimento permitindo que na equao de continuidade a posio da superfcie livre ( c ) seja calculada implicitamente. A utilizao do mtodo de fatoramento implcito para linearizar as equaes leva, em alguns casos ao surgimento de derivadas de U elou de V no tempo t + At, que devem ser evitadas, j que o objetivo explicitar U e de V nas equaes de quantidade de movimento. Sendo assim, algumas extrapolaes so necessrias,onde a seguinte notao adotada:

Notao: ( ) varivel no instante t ( ) varivel no instante t + At

( ) varivel no instante t - At ( ) varivel no instante t - 2At (. .)@: varivel extrapolada no instante t + l l z ~ t

( ) varivel extrapolada no instante t + At por exemplo :

U = U ( t ) ; u + = ~ ( t + A t ) ; U - = U (t - At); = U (t - 2At); Para o caso das extrapolaes usado uma aproximao quadrtica. No caso

usou-se as mesmas, usadas nos trabalho de Martins (1999) e de Cunha (2000), a saber: U" = ( 1 5 ~ - 1 0 ~ - + 3 ~ ; ) / 8 (58)

U# = 3 U - 3 u - + u = (59) Utilizando o mtodo do fatoramento implcito lineariza-se a equao de

continuidade, e pode-se escrever sua forma discretizada, no tempo, como:

da mesma forma se apresenta a equao discretizada, no tempo, da equao da conservao da quantidade de movimento em x ( maiores detalhes pode ser achado em Cunha (2000)):

e a equao discretizada, no tempo, da equao da quantidade de movimento em y:

na equao (61) e (62) o termo f3, definido como:

explicitando-se da equao (6 1):

definem-se os seguintes parmetros

de modo que a equao (63)fica:

de modo semelhante, explicitando em (62) obtm-se:

pode-se ser escrita como:

onde:

substituindo (64) e (66) em (60):

esta equao (67) a forma desacoplada da equao de guas rasas, onde aparece como incgnita a posigo da superfcie livre (c') no tempo t + At, sendo que os valores dos parmetros C,, C,, M, e M, so conhecidos porque foram calculados no tempo t+At com valores extrapolados no tempo t + 112 At

4.2.2 Soluo nos contornos

Como pode ser observada na Figura 2, as fronteiras laterais do domnio C2 a ser

modelado so de dois tipos, as abertas TI e as de terra ou fechadas I'2. Nestes contornos a equao (67) so6e algumas modificaes, porque necessrio incorporar as condies de contorno estipuladas na seo 2.3.3 e 2.3.4. A elevao usualmente prescrita ao longo dos contornos abertos, como na entrada de baas e esturios, e velocidade que so comumente associadas com os contornos de terra.

4.2.2.1 Fronteiras Abertas (r1): No caso de afluxo, so prescritos a elevao (cf) e a velocidade tangencial a

qual, geralmente tomada como nula (U,'=O), ento U,' = -U+sen(a,) +V' cos(a,) = O

onde a, o ngulo formado pelo vetor normal fronteira com a direo x. Conhecidas as elevaes cf, calcula-se os valores de U' e V da seguinte forma:

Se I cos (a,) I > I sen (a,) 1 , calcula-se d a partir da equao (64) e de modo a fazer U; = 0, calcula-se V a partir da equao (68)

Se / cos (a,) I < I sen (a,) 1 , calcula-se a partir da equao (66) e calcula-se v a partir da equao (68)

4.2.2.2 Fronteiras de Terra (r2): Para o caso de efluxo prescrito a velocidade normal a fronteira (V; = Vi)

UG = Uf cos(a,) + V+sen(a,) substituindo (64) e (66) na equao (71):

explicitando as derivadas, obtm-se:

para calcular valores de e V usam-se as seguintes equaes: Se I cos (a,) I> I sen (a,) I

u+ = unr - V'sen(a,) cos(a,)

Se I cos (a,) I < I sen (a,) I V' = unr - U' cos(a,)

sen(a,>

Para o caso de afluxo so prescritas a velocidade normal (V; = Vi) e a velocidade tangencial (V; = 0) a fi-onteira. Isto :

somando estas duas equaes,

U+ (cos(a,) - sen(a,)) + V' (cos(a,) + sen(a,)) = U i \ J \ J

a b

substituindo os valores de f l (64)e Y' (66) na equao (75):

explicitando as derivadas obtm-se: r

para calcular valores de fl e Y' usa-se a equao (71), ou seja U+ = U i cos(a,) V' = ~h,sen(a,)

4.3 D i s c ~ ~ ~ i z ~ o ESPACIAL

O passo seguinte discretizar espacialmente a equao (67) usando o MEM. Mas antes deve-se reescrever a equao, explicitando os termos das derivadas parciais, e colecionar os termos incgnitos semelhantes:

esta equao pode ser mais condensada ficando da seguinte forma:

onde:

Para solucionar a equao (80) pode-se aproximar as derivadas de primeira e segunda ordem usando as funes de aproximao propostas pelo MEM na seo 3.3. Por causa da extenso das equaes (36), (37), (38) e (39) , apresenta-se uma forma simplificada da equao (80):

O sistema de equaes resultante da aplicao da equao (81) em cada ponto discreto do domnio a, pode ser solucionado via mtodos diretos, eliminao Gaussiana

ou mtodos iterativos. Uma vez resolvido o campo de elevaes C? pode-se calcular as componentes das velocidades Uf e V+ usando a equao (64) e (66), respectivamente.

Na seo 4.2 e 4.3 foi apresentado um esquema numrico para guas rasas baseado no desacoplamento das equaes primitivas, proposto por Rosman (1997), e o mtodo de elemento mvel. Esta abordagem identificada como Mtodo de Elemento Mvel Desacoplado (MEMD) para guas rasas. A seguir, ser apresentada uma nova abordagem da soluo das equaes de guas rasas, onde usado o MEMD junto a um algoritmo tipo Alternncia da Direo Implcita (ADI), muito utilizado nos mtodos de diferenas finitas.

4.4 Uso DO ALGORITMO TIPO DIREAO IMPL~CITA ALTERNADA

4.4.1 Algoritmo ADI

A idia bsica do algoritmo ADI o tratamento alternado das derivadas parciais espaciais de forma implcita ao longo de uma direo particular (tanto na direo x, y, ou z) mantendo-se as derivadas parciais ao longo de outras direes de forma explcita. Este processo reduz essencialmente um problema de varias dimenses a uma seqncia de problemas unidimensionais. Para um domnio espacial bidimensional de tamanho Nx x Ny (Figura 5), no tradicional mtodo implcito resultar num sistema de Nx x Ny equaes parecido como tratado na seo anterior. Com o mtodo ADI, as derivadas na direo x so inicialmente tratadas implicitamente enquanto as derivadas na direo y so tratadas explicitamente, resultando em Ny sistemas de equaes tridiagonais (uma equao por cada linha da malha), tendo cada um dos sistemas Nx equaes. No segundo passo, as derivadas na direo y so tratadas implicitamente enquanto as derivadas na direo x so tratadas explicitamente, resultando em Nx sistemas de equaes tridiagonais (uma por cada coluna da malha) tendo cada um dos sistemas Ny equaes. As Figura 5 (a) e Figura 5 (b) do uma interpretao intuitiva do tratamento alternando das derivadas em forma implcita numa s dimenso a cada vez, as solues dos diferentes sistemas tridiagonais implementados em cada passo so independentes.

, Conexes tratadas implicitamente

Conexes tratadas explicitamente

(a> (b>

Figura 5. (a) Todas as conexes na direo x so tratadas implicitamente (b) Todas as conexes na direo y so tratadas implicitamente. Os pontos em cor amarela indicam a posio das variveis conhecidas. Os pontos em cor preta indicam a posio das variveis a ser calculadas.

4.4.2 Implementao do ADI junto ao MEMD Para aplicar o mtodo ADI, divide-se o domnio C2 em pontos discretos que

estaro associados a uma malha similar ao usado em diferenas finitas com transformao de coordenadas, como se mostra na Figura 6. Esta malha consiste de Nx ns alinhados ao eixo x, e de Ny ns alinhados ao eixo y, de forma que o nmero total de ns ser de Nx x Ny. Ento a equao (81) pode ser transformada no seguinte sistema:

Para transformar o sistema obtido da equao (82) num sistema tridiagonal usa-se algumas frmulas de extrapolao (equao (59)) para o instante t + At, e obtm-se uma aproximao para os valores da incgnita na linha i + 1. Para os valores de 6' linha i - 1, assume-se que os valores j foram calculados, conforme o algoritmo ADI indica. A equao (82) ento fica:

- Recinto e Malha Irregular

Figura 6. Malha para um recinto de contornos irregulares.

reescrevendo a equao

A L,;, + B

extrapolamos o valor de I;:,, + ento a equao neste n ser

Ento, para cada linha do domnio, implementa-se um sistema de equaes tridiagonais , que so dependentes da posio do n, isto :

N interno:

N na fionteira fechada:

N na fronteira aberta:

Para implementar um sistema tridiagonal, coluna por coluna, procede-se da mesma forma. A soluo dos sistemas tri-diagonais formados podem ser obtida via mtodos diretos ou iterativos. No presente trabalho usa-se o mtodo de varredura dupla (Abbott e Basco, 1989) tambm conhecido na literatura como algoritmo de Thomas ou TDMA (Tridiagonal Matrix Algorithm), Maliska (1995).

O algoritmo para implementar o conjunto de sistemas tri-diagonais ao longo do domnio SZ, pode ser resumido por:

Passo 1

Implementa-se e resolve-se linha por linha um sistema tridiagonal de Nx equaes; fazendo a varredura no sentido positivo do eixo x para montar as equaes. Comeamos pela linha j = 1 e prosseguimos at j = N,. A Figura 8 mostra graficamente a implementao.

Implementa-se e resolve-se linha por linha um sistema tridiagonal de Nx equaes; fazendo a varredura no sentido negativo do eixo x para montar as equaes. Comeamos pela linha j = N, e prosseguimos at j = 1.

Figura 8. Varredura no sentido positivo do eixo x. Os pontos em cor amarela indicam a posio das variveis conhecidas usando frmulas de extrapolao. Os pontos em cor preta indicam a posio das variveis a ser calculadas. Os pontos em cor azul indicam a posio das variveis j calculadas.

Passo 2

Implementa-se e resolve-se coluna por coluna um sistema tridiagonal de Ny equaes; fazendo a varredura no sentido positivo do eixo y para montar as equaes. Comeamos pela coluna i = 1, at i = N,. . A Figura 9 mostra graficamente a implementao.

Implementa-se e resolve-se coluna por coluna um sistema tridiagonal de Ny equaes; fazendo a varredura no sentido negativo do eixo y para montar as equaes. Comeamos pela coluna i = N,, at i = 1

Figura 9. Varredura no sentido positivo do eixo y. Os pontos em cor amarela indicam a posio das variveis conhecidas usando frmulas de extrapolao. Os pontos em cor preta indicam a posio das variveis a ser calculadas. Os pontos em cor azul indicam a posio das variveis j calculadas.

Passo 3

Checar a convergncia. Compara-se os resultados finais do passo 1 e passo 2, verificado-se se eles so menores que um parmetro ERRMIN= 0,01 (erro mnimo). Se a comparao for menor que ENMN considera-se que o processo iterativo convergiu; uma vez atingida a convergncia, so conhecidos os valores

de c' para todo o domnio e passa-se a fazer o passo de tempo seguinte; caso contrrio, volta-se a repetir o passo 1, 2 e 3 at o nmero mximo de iteraes.

O erro mnimo relativo foi definido como:

onde:

= valor calculado no passo 1

= valor calculado no passo 2

Com o objetivo de verificar a acurcia e investigar o comportamento numrico dos esquemas numricos propostos MEMD e MEMD-ADI, foram feitos alguns testes para os quais existem solues analticas, e dados experimentais de laboratrio. Na ltima seo deste captulo feita uma aplicao a Lagoa Rodrigo de Freitas 0.

A utilidade dos modelos numricos sempre demonstrada atravs da comparao das respostas obtidas pelos modelos com observaes de campo; entretanto, este tipo de comparao muitas vezes difcil de ser obtida em funo da escassez de dados de campo. Uma forma de verificar a estabilidade, consistncia e acurcia com que os modelos numricos resolvem as equaes governantes simular casos que representem escoamentos simples, mas que tenham solues analticas conhecidas. Um destes testes de validao o escoamento governado por mars em uma baa com formato anular, cuja soluo analtica foi deduzida por Lynch e Gray (1978). Este um teste padro, que tem sido usado por muitos modeladores cujo desafio obter resultados que se igualem a soluo analtica, e demonstrar o controle do modelo sobre a tendncia de gerar oscilaes esprias de comprimento 2Ax. Em tal baa, com pouco atrito no fundo, muitos modelos podem apresentar oscilaes numricas (Rosman, 1999). Outro teste que tem soluo analtica propagao de uma onda estacionria em um recinto fechado, sendo que as respostas do modelo neste caso apresentadas na seo 5.3. O teste seguinte a simulao fluxo em um canal com expanso sbita, conhecido como teste do canal de Delft. Finalmente apresentada uma aplicao do esquema MEMD a Lagoa Rodrigo de Freitas (RJ), onde foi observados o comportamento do modelo em problemas com geometrias complexas.

5.2 BA~A COM FORMATO DE UM QUARTO ANULAR

A geometria a ser usada neste teste consiste numa baa com a forma de um quarto anular, cercada por contornos de terra em trs lados e aberto para o oceano pelo lado correspondente ao raio maior como mostrado na Figura 10(a). A simetria radial do

problema conveniente, j que o modelo testado nas direes x e y. Considera-se a batimetria variando quadraticamente, Figura 10(b). Estes testes bidimensionais com variao da profundidade indicaro a capacidade do modelo em propagar adequadamente as ondas longas e permitem conhecer o comportamento oscilatrio do comprimento da onda sobre uma determinada malha (Westerink, et. al., 1986).

Figura 10. (a) Geometria da baa com formato Quarto Anular, (b) Seo longitudinal com profundidade varivel quadraticamente.

As dimenses dos parmetros usados na geometria do teste so: raio interno r1 = 60960m e raio externo r2 = 152400m, a batimetria varia quadraticamente desde a profundidade h1 = 3,05m em r1 at h2 = 19,05m em r2.

As solues analticas para a circulao forada por mar, para este tipo de canal, foram apresentadas por Lynch e Gray (1978). Para obter a soluo analtica, linearizaram as equaes governantes, desprezando os termos advectivos da equao de conservao da quantidade de movimento, assumindo a amplitude das elevaes do nvel d'gua como sendo pequena em relao a profundidade mdia, e escrevendo os

termos de tenso no fundo linearizados como 7" =a U, , onde, f! =0,000 1 s-' um

coeficiente de atrito no fundo, constante. Ao longo do contorno aberto TI), a elevao foi calculada atravs da seguinte expresso:

onde a = 3,048x10"m a amplitude e T = 43200 s (12 h.) o perodo de mar. O valor de a reduzido para garantir a validade da soluo analtica, que assume que em todo o domnio (Q) a&

5.2.1 Resultados Apresenta-se a seguir a variao temporal e espacial das respostas obtidas com

os esquemas MEMD e MEMD - ADI, para simulaes feitas com diferentes passos de tempo, At = 1800s, At = 900s, e At = 450s. Para se verificar os resultados do modelo, a soluo analtica para a elevao da superficie livre e velocidade radial em todas as distncias radiais foram comparadas com os valores mximos e mnimos calculados pelo modelo numrico em todos os ns, na mesma posio radial. Nas figuras foi utilisada a seguinte notao: as linhas slidas representam a soluo analtica do problema, e os smbolos representam os valores mximos e mnimos das elevaes e das velocidades radiais, obtidas com os esquemas numricos. O objetivo nessa apresentao no somente comparar resultados dos esquemas com a soluo analtica, mas tambm comparar todos os resultados calculados para uma mesma distncia radial e verificar a ocorrncia de oscilaes numricas. Na Figura 11 mostra-se uma seo da baa (localizada na mesma distncia radial), onde os ns marcados com pontos vermelhos indicam as posies onde sero coletados os valores das variveis, para determinar seu valor mximo e mnimo.

Na Figura 12, apresenta-se a variao temporal da superficie livre e da velocidade radial, na seo que corta a parte central da baa (posio radial r = 106690 m), para passos de tempo At = 1800s, At = 900s, e At = 450s, respectivamente. Nestes grficos "E" (linha azul) corresponde a posio da superficie livre e "V" (linha vermelha) as velocidades radiais.

As figuras 13, 14, 15, 21, 17 e 18, mostram a distribuio espacial da posio da superficie livre e da velocidade radial, para diferentes fases de mar. A parte superior do grfico apresenta os valores de elevaes e a parte de baixo os valores radiais de velocidade. Para os dois grficos E-max e E-min so para valores mximo e mnimo respectivamente.

Tempo (h)

Tempo (h)

Tempo (h)

Figura 12. Resultados Numricos do MEMD e MEMD-ADI (smbolos) vs. soluo analtica (linha azul: elevao; linha vermelha: velocidade radial), da posio radial r = 106690m. As figuras superior, central e inferior, correspondem a os passos de tempo Af = 1800s, Af = 900s e Af = 450s, respectivamente.

MEMD (A'~1800s)

-0,Oh -15h 3,Oh - 4.5 h -6.0 h -7.5 h -9,O h -10.5 h -12.0 h V E-max V E-max V E-max V E-rnax V E-max V E-max O E-max V max O E-rnax + E-min + E-min + E-min + E-rnin + E-min + E-min + E-min + E-min + E-min

0.075

-0.075 4 1 60960 68580 76200 83820 91440 99060 106680 114300 121920 129540 137160 144780 152400

Posio Radial (m)

4.040 4 I M)960 68580 76200 83820 91440 990a, IEGO 114300 1219M 129540 137160 144780 152400

b i i Radial (rn)

Figura 13. MEMD: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo At = 1800s.

Posio Radial (m)

609a) 68580 76200 83820 91440 99060 103680 114303 121920 129540 137160 144780 152400 R o s ' i Radial (m)

Figura 14. MEMD-ADI: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo Af = 1800s.

-0,Oh -1,5h 3.0h -4.5h -6,Oh -7,5h -9,Oh -10.5h -12,Oh o m O E n l a x O m m x OE-max OE-max O E m a x O m a x OE-max OE-max + Em'n + Emin + E-mn + E-mn + E-mn + Emin + E-mn + E-mn + E-mn

0.075

PosIFp Radial (m)

MEMD (ATi900s)

60960 68580 76MO WGU 91440 99060 106680 114303 121920 129540 137160 144780 152400 Rosio Radial (m)

Figura 15. MEMD: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo Af = 900s.

-0h -1.5h 3.0h -4.5h -6.0h -7.5h -9.0h -10.5h -12h O E-ma O E-max O E-max V E-max v E-max O E-max v max O max O E-max + E-min + E-min + E-min + E-min + E-min + E-min + E-min + E-min + E-min

Posio Radial (m)

MsMD-ADI (AP900s)

60960 68580 76MO 83% 91440 99Xl 106680 1143M1 121923 129540 137160 144780 152400 W i o Radial (m)

Figura 16. MEMD-ADI: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo At = 900s.

MEMD (AT=450s]

Poslo Radial (m)

MMD (AP-450s)

Figura 17. MEMD: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diferentes fases de mar (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo At = 450s.

-0h -1.5h 3.0h -4.5h -6.0h -7.5h -9.0h -10.5h -12h V E-mdx V E-max O E-mau O max 4 E-m v E-max O max O E-max Q E-max + E-min + E-min + E-min + Emin + Emin + E-min f E-min + E-mln + E-min

0.075

P o s e o Radial (m)

P o s ' i Radial (m)

Figura 18. MEMD-ADI: Resultados numricos mximos e mnimos (smbolos) e soluo analtica (linhas) coletada em diferentes posies radial, para diversos tempos de simulao (Oh, 1,5h, 3h, 4,5h, 6h, 7,5h, 9h, 10,5h e 12h). Passo de tempo Af = 450s.

5.2.2 Discusso

As oscilaes numricas podem ser observadas nas figuras, quando os smbolos diamante e cruz no se igualam, e so significativas quanto mais afastado est um smbolo do outro. Observando-se as figuras 13, 14, 15, 16, 17 e 18, verifica-se que a oscilao numrica para o caso do esquema MEMD muito pequena ao longo das diversas posies radiais, tanto para os valores das posies da superficie livre quanto para os valores das velocidades radiais. As amplitudes dessas oscilaes vo diminuindo conforme o passo de tempo tambm diminui (At = 1 8 0 0 ~ ~ At = 900s e At = 450s). Entretanto as respostas do esquema MEMD-ADI apresentam oscilao numrica mais significativa, especialmente nas regies perto da parte mais interna da baa (r = 60960m) e na entrada da baa (r = 152400m). Pode-se observar um amortecimento nas respostas obtidas com MEMD - ADI para as velocidades radiais. Esse comportamento das respostas observado mesmo quando as simulaes so feitas com passos de tempo menores (At = 1800s, At = 900s e At = 450s). Para quantificar as amplitudes destas oscilaes, define-se o valor mdio das elevaes e velocidades calculadas, para cada posio radial, da seguinte forma:

onde e C,c so os valores mdio e calculados da varivel analisada, respectivamente, e n o nmero de ns que uma seo da baa tem (posio radial fixa); neste teste n = 13 (ver Figura 11). A partir deste valor mdio, define-se um erro relativo (8):

8 = - c ~ ~ 1 0 0 % IcrnaxT 1 (88)

sendo o valor terico, e c,,, T O valor mximo terico obtido para um perodo de mar, em uma posio radial.

Nas figuras 19, 20, 21 e 22 os erros relativos das posies da superficie livre e das velocidades radiais so apresentados ao longo das posies radiais, para os trs passos de tempo usados na simulao. Estes resultados mostram que o esquema MEMD mais estvel que o MEMD ADI e representa com melhor acurcia os valores tericos. Para o caso dos erros das elevaes calculados com o MEMD, eles encontram-se em uma faixa de f 1,5%, para um passo de tempo At = 1800s; e diminuem at uma faixa de f 0,5%

quando o passo de tempo At = 450s. Para o caso das velocidades radiais, os erros

calculados encontram-se em uma faixa maior; isto desde f 2,5% para At = 1800s, at IT 1,5% para At = 450s. na parte mais interna da baa onde se observa uma diminuigo dos erros quando o passo de tempo diminui.

Os erros das posies da superfcie livre calculado com o MEMD - ADI, encontram-

se em uma faixa de + 2,5%, mantendo-se nesta faixa para os diferentes passos de tempo usados na simulao. Os erros das velocidades radiais, encontram-se em uma faixa maior; isto f 4,0%. Os maiores erros so observados na parte mais interna do canal (7,5%), os quais diminuem significativamente quando o passo de tempo da simulao diminui (4%). Desconsiderou-se os erros de velocidade calculados nas posies da parede interna da baa (r = 60960m), porque quando se aplica a equao (88) o valor da velocidade terico nessa regio nulo, sendo o resultado um valor indeterminado.

As diferenas dos resultados obtidas com os esquemas MEMD e MED-ADI so devido ao fato que, na transformao da matriz bandeada de ordem N obtida pelo MEMD, em pequenas matrizes tridiagonais obtida pelo MEMD-ADI, os valores dos coeficientes do vetor de carga das matrizes tridiagonais, so aproximados usando funes de interpolao, mudando-se a qualidade dos resultados.

Tendo em conta a considerago anterior, pode-se concluir que o esquema numrico MEMD apresenta uma excelente aproximao da soluo analtica e tambm tem um bom controle das oscilaes numricas. Em quanto ao MEMD-ADI, este apresenta uma aceitvel aproximao quando comparado com a soluo analtica, as respostas numricas apresentam algumas oscilaes quando estas so calculadas perto da parede mais interna e na entrada da baa. importante indicar que as simulaes numricas foram feitas sem o uso de interfaces dissipativas.

MEMD (AT-1800s)

I t ~ r r o (3h) +Erro (6h) +Erro (9h) +Erro (12h) I

60960 68580 76200 83820 91440 99060 106680 114500 121920 129540 137160 1' Porlo Radial (m)

MEMD (ATi900s)

-7.5 60960 68580 76200 83820 91440 99060 106680 114300 121920 129540 137160 18

P o s i ~ o Radial (m)

MEMD ( ~ T i 4 5 0 s )

J t ~ m (3h) -Erro (6h) +Erro (9h) ++Erro (12h) 1

-7.5 4 60960 68580 76200 83820 91440 99060 106680 114300 121920 129540 137160 1,

Perio Radial (m)

Figura 19. MEMD: Erro relativo da posio da superfcie livre ao longo de vrias posies radiais e com tempos de simulao de 3, 6, 9 e 12 horas. Passos de tempo de 1800s, 900s e 450s, na figura superior, central e inferior respectivamente.

MEMD (AT= 1800s)

I t ~ r r o (3h) +Erro (6h) +Erro (9h) +Erro (12h) I

68580 76200 83820 91440 99060 106680 114300 121920 129540 137160 144780 152400 Porlgri Radial [m]

MEMD (AT- 900s)

0 1 7.5

Figura 20. MEMD: Erro relativo da Velocidade radial ao longo de vrias posies radiais e com tempos de simulao de 3, 6, 9 e 12 horas. A figura superior, central e inferior, correspondem a passos de tempo de 1800s, 900s e 450s, respectivamente.

-, ." , 60960 68580 76200 83820 91440 99060 106680 114300 121920 129540 137160 144780

Ponigo Radial (mJ

I 60960 68580 76200 83820 91440 99060 106680 114300 121920 129540 137160 144780

Pos i o Radial (m]

MEMD-ADI (AT= 450s)

I t ~ r r o (3h) +Erro (6h) +Erro (9h) +Erro (12h) I

Figura 21. MEMD-ADI: Erro relativo da posio da superfcie livre ao longo de vrias posies radiais e com tempos de simulao de 3, 6, 9 e 12 horas. A figura superior, central e inferior, correspondem a passos de tempo de l8OOs, 900s e 450% respectivamente.

MEMD- ADI (AT= 1800s)

1-~rro (3hJ -Erro (6h) +Erro (9h) -Erro (12h) (

68560 76200 83620 91440 99060 106660 114300 121920 129540 137160 144780 152400 P o s t ~ a o Rad l r l Im l

MEMD- ADI ( A T i 9005)

+-Erro (3h) -Erro (6h) +Erro (9h) +Erro (12h) I

MEMD- ADI (AT; 450s) I -Erro (3h) +Erro ( 6h ) +Erro (9h) - i c ~ r r o ( i 2 h l 1

7 5 4 I 68580 78200 83820 91440 99060 106680 114300 121920 129540 137160 144780 152400

Posiao Radial (m)

Figura 22. MEMD-ADI: Erro relativo da Velocidade radial ao longo de vrias posies radiais e com tempos de simulao de 3, 6, 9 e 12 horas. A figura superior, central e inferior, correspondem a passos de tempo de l8OOs, 900s e 450s, respectivamente.

O desempenho computacional dos dois esquemas, MEMD e MEMD-ADI, foi investigado atravs da comparao de vrios modelos numricos, na soluo do mesmo problema. O primeiro modelo, FIST (Filtered in Space and Time), desenvolvido por Rosman (1987), resolve as trs equaes governantes das guas rasas de forma acoplada, usando na discretizao espacial um esquema de elementos finitos. O segundo modelo; foi desenvolvido por Scudelari (1997) sendo identificado como MEM, resolve as trs equaes governantes da mesma forma que o primeiro modelo (FIST), isto , de forma acoplada, e na discretizao espacial usa um esquema de elementos mveis. O terceiro modelo resolve as equaes governantes das guas rasas de forma desacoplada, da mesma forma que a apresentada no presente trabalho, e na discretizao espacial usa um esquema de elementos finitos; foi desenvolvido por Cunha (2000) e identificado como FISTD (FIST Desacoplado). Os parmetros usados pelos modelos so os mesmos que os usados pelo MEMD e MEMD-ADI na simulao da propagao de mar dentro de uma baa anular. Observa-se que o domnio discretizado com o mesmo nmero de pontos discretos, 221 ns.

Tabela 2 Tempos de Processamento (segundos) e largura de Banda para T (perodo da mar) e um At (passo de tempo).

Mtodo

1 FISTD

Tempo de Processamento (s) Largura

da Banda

Rapidez Zomparado com FIST

Apresenta-se na Tabela 2 os tempos de processamento usado por cada um dos modelos indicados no pargrafo anterior mais os esquemas MEMD e o MEMD-ADI. Verificou-se que, o MEMD aproximadamente 21,7 vezes mais rpido do que o FIST, 5,3 vezes mais rpido do que o MEM e 2,8 vezes mais rpido do que o FISTD. Para o

mesmo problema, o MEMD-ADI mostrou-se 2,6 mais rpido que o MEMD, 7,4 mais rpido que o FISTD, 13,7 mais rpido que o MEM e 56,7 vezes mais rpido que o FIST. Para as simulaes foi utilizado um microcomputador com processador Celeron-550 Mhz, com 64 Mb de memria RAM.

Observa-se que a reduo do tempo de processamento conseqncia da reduo do tamanho da matriz que cada mtodo obtm ao resolver o mesmo problema. Para o problema analisado o domnio discretizado usando N (221) ns, os mtodos FIST e MEM solucionam uma matriz de ordem 3*N, mas com diferente largura de banda, 173 e 87, respectivamente. Os mtodos FISTD e MEMD solucionam uma matriz de ordem N, mas com diferente largura de banda, 57 e 28, respectivamente. Para a soluo das matrizes foi usado sub-rotinas do pacote Linpack (Dongarra et. al.; 1979) para matrizes em banda; na soluo usam o mtodo direto.

Para aplicar o MEMD-ADI necessrio dividir o domnio em linhas e colunas. Esta malha consiste de Nx (13) ns alinhados ao eixo x, e de Ny (17) ns alinhados ao eixo y, de modo que o nmero total de ns ser de Nx x Ny (221). Isto implica que por cada passo de tempo deve-se resolver Ny sistemas tridiagonais de ordem Nx, na primeira etapa, e Nx sistemas tridiagonais de ordem Ny na segunda etapa. Estas duas etapas so executadas at que a diferena entre as solues obtidas em cada etapa, seja menor ou igual ao parmetro ERRMIN, definido na seo 4.4.2. Para a soluo dos sistemas tri- diagonais usado o mtodo de varredura dupla. Foi observado que o nmero mdio de iteraes, usado por MEMD-ADI para chegar a soluo, de 3 iteraes por passo de tempo.

A seguir apresenta-se outro teste numrico que apresenta soluo analtica.

A oscilao em um recinto fechado ou aberto pode acontecer se alguns forantes esto presentes com perodo correspondente a um dos perodos de ressonncia do recinto. Neste caso pode desenvolver-se uma onda estacionaria, com ns e antins. Quando a massa de gua comea a oscilar, apresenta dois tipos de movimentos caractersticos e localizados; um movimento horizontal, que chega a ser mximo nos pontos do recinto chamados ns e outro movimento vertical, que chega ser mximo nos pontos do recinto chamado de antins. As ondas que induzem oscilao em lagoas,

valores obtidos via soluo analtica. As respostas so dadas para cada 118 do perodo T da onda estacionria.

I-~nalitica o MEMD + Adi 1

Figura 24. Comparao dos resultados obtidos pelos modelos MEMD e MEMD-ADI, para as posies da superfcie livre, com solues analticas para uma onda estacionria num recinto fechado. Resposta para cada 118 do perodo T.

-Analitico o Memd + Adi

-I 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Distancia (m)

Figura 25. Comparao dos resultados obtidos pelos modelos MEMD e MEMD-ADI, para as velocidades, com solues analticas para uma onda estacionria num recinto fechado. Resposta para cada 118 do perodo T.

5.3.2 Discusso

A simulao da propagao de uma onda estacionria em uma lagoa de formato retangular foi realizada sem considerar atrito no fundo da lagoa. Pode-se observar que ambos os esquemas, MEMD e MEMD-ADI conseguem representar com grande acurcia as amplitudes mximas e mnimas esperadas, tanto dos valores das posies da superfcie livre como das velocidades, ao longo do eixo longitudinal.

Na figura 24, a partir dos resultados obtidos pelos modelos, verifica-se que as maiores amplitudes das posies da superficie livre acontecem nas paredes da lagoa (lado esquerdo e direito da figura), estes pontos so conhecidos como antins da onda estacionria; o deslocamento zero da superficie livre na parte central da lagoa. Na figura 25, as respostas mostram que as maiores amplitudes das velocidades acontecem na parte central da lagoa, estes pontos so conhecidos como ns da onda estacionria; nas paredes a velocidade horizontal nula, como prev a soluo analtica. Os resultados numricos apresentaram uma tima concordncia com a soluo analtica.

5.4 ESCOAMENTO NAO PERMANTE EM UM CANAL COM EXPANSAO SBITA

Uma experincia com modelos hidrulicos em escalas reduzidas foi feita por Stelling e Wang (1984) no Laboratrio de Mecnica dos Fludos da Universidade de Delft. Neste trabalho apresenta-se uma boa base de dados experimentais com escoamentos no permanentes, em canais com expanso sbita de largura. O canal utilizado nos experimentos de laboratrio pode ser reproduzido por modelos numricos e os resultados comparados com os dados experimentais. A caracterstica principal do escoamento neste tipo de canal, o desenvolvimento de vrtices no estacionrios na zona de recirculao.

O experimento foi realizado em um canal de fundo e paredes transparentes, com comprimento total de 17,Om e profundidade de 0,096m. A largura do canal nos primeiros 10,Om de 0,4m, e aps um alargamento abrupto, ele passa a 0,8m de largura (Figura 26). O escoamento foi forado por uma vazo imposta na extremidade esquerda do canal, com comportamento senoidal de perodo 150s, durante meio perodo da onda:

onde Qm = 0,016m3/s e T = 150s. O canal tem um mecanismo de dissipao, para evitar que a onda que atravessa o canal possa sair dele com o mnimo de reflexo possvel.

zig zag

Figura 26. Vista de planta do canal com expanso sbita usado por Stelling e Wang (1984).

Na Figura 27 pode ser observado o domnio a ser modelado, que corresponde a os ltimos 5,O m do comprimento total do canal. O domnio foi discretizado usando 419 ns, igualmente espaados.

Figura 27. Canal de Laboratrio discretizado com 419 ns usados no modelo MEMD.

As condies iniciais adotadas nas simulaes foram:

U(x, Y, 0) = V(% Y, 0) = I;@, Y, O)=O (91) As condies de contorno consistiram em sries temporais harmnicas, obtidas por

Stelling e Wang (1984) atravs da anlise de Fourier de dados medidos nas sees do contorno.

a) Na entrado do canal: x = 0,Om Na seo a montante, foram prescritos valores de velocidade, segundo a srie de Fourier:

3

U (O, y, t ) = Uo +C Uksen (kw t ) k=l

276 onde: o = -, sendo T= 150s;

T

b) Na sada do canal: x = 5,Om No contorno a jusante foi especificada os valores de elevao, segundo a srie temporal:

C(5,nt) = 0 , t < 5 s

onde: ri = 0,021 m; = 0,001 m; 63 = 0,021 m.

5.4.1 Resultados

A seguir apresentam-se os resultados numricos obtidos com o esquema MEMD. Os resultados correspondem a um passo de tempo At = 0,05s. O modelo s consegue simular o escoamento at um tempo t = 19s. Na simulao, adotou-se o valor do parmetro SLIP = 0,053. Na seo do canal que entra em expanso sbita, imposta a seguinte condio de contorno: a velocidade normal no ponto n nula (U, = O) (Figura

Figura 28. Condio de contorno na seo com expanso sbita

A seguir apresentam-se os campos de velocidades para quatro tempos de simula$io, t = 53, t = lOs, t = 15s e t = 17s; aps 19 segundos de simulao os resultados numricos aumentam de valor que levam a uma exploso numrica. Este grupo de resultados identificado como Simulao 1.

Este parmetro define a condio de deslizamento lateral considerada no modelo, quando SLIP = 1 as paredes so totalmente lisas, e quando SLIP = 0,001 as paredes so muito rugosas

I , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ 25cmk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.41 . . - . . + . + . . I - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura 29. Simulao I : Padro de escoamento obtido com o MEMD com condio de contorno imposta no canto protuberante, velocidade normal a direo do fluxo nula. Instantes 5,10,15 e 17 segundos.

5.4.2 Discusso

Como pode-se observar na Figura 29, o esquema MEMD no consegue representar o escoamento num canal com expanso sbita de forma adequada, como o apresentado no trabalho de Stelling e Wang (1984), e que outros modelos numricos conseguem simular (Rosman, 1987; Martins, 1999; Cunha, 2000). Nos 19 segundos de simulao o MEMD no consegue simular vrtices, que devem aparecer na zona de recirculao do canal, conforme foi indicado no trabalho de Stelling e Wang (1984). As maiores velocidades calculadas acontecem logo aps a expanso do canal, onde tambm as velocidades tm uma mudanga rpida de dirego; nesta regio onde acontece a exploso numrica.

Para tentar simular o descolamento do escoamento no canal, foi formulado um novo tipo de condio de contorno (em funo da elevao), na seo que entra em expanso sbita. Define-se um n auxiliar no contorno de terra, fora do domnio do escoamento. A equao incorporada neste n auxiliar foi a imposio da velocidade nula e a posio da superficie livre nesse ponto igual a media dos valores dos ns adjacentes (Figura 30).

Figura 30. Definio de um n auxiliar, fora do domnio. Caso de fronteira com canto protuberante

A seguir escreve-se a equao para o caso em que o n auxiliar encontrasse na posio do n 4:

u,=v,=o

A Figura 31 mostra os campos de velocidades obtidas na Simulao 2, para t = 5s, r = lOs, t = 15s e t = 17s. Os resultados no foram satisfatrios. O modelo estourou antes de 19 segundos de processamento e, como na Simulao 1, o MEMD no consegue representar vrtices que devem de aparecer na zona de recirculao do canal. A diferenga da simulao 1, pode-se observar que os altos valores das velocidades calculados na regio da expanso do canal, geram uma perturbao que se propaga guas acima do canal. As condiges de contorno imposta nesta regio so as mesmas que as impostas para a simulao 1 (velocidade normal e tangencial prescritas); o campo de velocidades observados na Figura 31, mostram uma aparente alterao na direo do fluxo prescrito porque elas representam as velocidades de um ponto intermedirio entre dos ns da malha, calculadas usando frmulas de interpolao para propsitos de apresentao grfica.

Figura 31. Simulao 2: Padro de escoamento obtido com o MEMD com condio de contorno imposta no n auxiliar, velocidade nula. Instantes 5 , 10, 15 e 17 segundos.

O esquema desacoplado para guas rasas foi testado e mostrou-se eficiente na soluo de problemas de guas rasas, segundo os trabalhos de Martins (1999) e Cunha (2000), usando na discretizao espacial os mtodos de diferenas finitas e elementos finitos, respectivamente. Para o caso do canal de De& Martins (1999) e Cunha (2000), informam que o esquema desacoplado perde em robustez para esquemas implcitos, porque para simular o teste do canal de Delfi foi necessrio usar um passo de

tempo At = 0,05s, correspondendo um nmero de Courant de 0,52, entretanto esquemas implcitos como o desenvolvido por Rosman (1987) foram realizadas testes satisfatrios com At = 1,O s, correspondendo uma nmero de Courant de aproximadamente 22. No

presente trabalho foram realizados testes, usando os dois tipos de condies de contorno

(considerados nesta seo) e com diferentes passos de tempo, desde At = 1,O s at At = 0,01 s; os resultados tm o mesmo padro que os j apresentados.

Uma das caractersticas do teste do canal de Dele, que permite verificar se um esquema numrico consegue representar apropriadamente os termos advectivos e das tenses turbulentas das equaes governantes do escoamento (Cunha, 2000). Conforme foi apresentado nas sees 5.2 e 5.3 o esquema MEMD consegue obter uma boa representao da parte advectiva das equaes de guas rasas, simulando a propagao de ondas em domnios com geometrias simples. A possibilidade que o MEMD no represente adequadamente os termos das tenses turbulentas pode ser desconsiderada porque o MEMD usa a mesma parametrizao destes termos que a usada no trabalho de Cunha (2000). O autor considera que a no simulao do teste do canal de Dele usando o MEMD, tem relao com a imposio das condies de contorno apropriadas, na seo com expanso sbita. As condies naturais impostas nesta seo (contorno de terra), nos modelos que solucionam a forma primitiva das equaes governantes, esto em funo da velocidade, portanto importante pesquisar novas formulaes das condies de contorno, que em funo da posigo da superficie livre, representem as condies naturais do fluxo nessa regio.

Apresenta-se, nesta seo, o comportamento do modelo MEMD fiente a um corpo de gua real. O objetivo mostrar a potencialidade do modelo e avaliar seu desempenho computacional quanto da simulao em um corpo de gua real, com geometria complexa. A regio estudada foi a Lagoa Rodrigo de Freitas (RJ); a simulao do escoamen