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Materiais de Construção Mecânica Difusão Atômica

UFPA – ITEC – FEM Prof. Jorge Teófilo de Barros Lopes

1

2 DIFUSÃO ATÔMICA 2.1 Introdução

A difusão atômica pode ser definida como um mecanismo pelo qual a matéria é

transportada através da matéria.

Os átomos em gases, líquidos e sólidos estão em constante movimento.

Particularmente no caso dos sólidos, o movimento atômico é bastante restrito, em função

das elevadas forças de ligação atômica e da existência de posições de equilíbrio bem

definidas nesse estado.

Todavia, as vibrações atômicas de origem térmica existentes em sólidos permitem

movimentos atômicos limitados.

A difusão atômica em metais e ligas é particularmente importante, pois a maioria das

reações no estado sólido, que são fundamentais em metalurgia, envolve movimentos

atômicos.

Exemplos de reações de estado sólido ocorrem: na nucleação e crescimento de novas

fases em sólidos cristalinos, na cementação dos aços, na produção de semicondutores

(difusão de dopantes) etc.

2.2 Mecanismos de movimentos atômicos

Em um cristal, os átomos somente ficam estáticos no zero absoluto (-273,15ºC).

Nestas condições, os átomos permanecem na posição correspondente ao mínimo de

energia. Acima desta temperatura os átomos começam a vibrar e, à medida que a

temperatura se eleva, as vibrações térmicas tornam-se mais intensas fazendo com que os

átomos se dispersem ao acaso em torno da posição de menor energia.

Deslocamentos atômicos podem também ocorrer sob a ação de campos elétricos ou

magnéticos, se as cargas dos átomos interagem com o campo (átomos na forma de íons são

facilmente deslocados em um campo elétrico).

Movimentos atômicos para novas posições serão observados se a temperatura ou

campo aplicado for suficiente para fornecer a energia necessária à retirada do átomo (ou

íon) de sua posição original no reticulado.

Existem dois mecanismos básicos de difusão de átomos em um sólido cristalino,

ambos envolvendo defeitos pontuais: mecanismo substitucional ou de vazios e mecanismo



2

intersticial. Além desses dois, o movimento atômico pode se dá por meio do mecanismo de

anel, de ocorrência mais difícil, pois envolve maior gasto de energia.

a) Mecanismo substitucional ou de vazios

Os átomos podem se mover no interior do cristal, de uma posição atômica para outra,

se apresentarem energia de vibração suficiente e se existirem posições atômicas vazias

(vazios ou lacunas) ou outros defeitos cristalinos na estrutura atômica.

A energia de vibração é resultante da energia térmica dos átomos. Por outro lado, os

vazios ou lacunas em metais e ligas são defeitos de equilíbrio e, assim, estão sempre

presentes para permitir o movimento atômico pelo mecanismo substitucional.

Em metais, com o aumento da temperatura mais lacunas podem ser observadas (a

concentração de vazios é termicamente ativada) e mais energia térmica estará disponível.

Assim, a taxa de difusão atômica aumentará com a temperatura.

Na Figura 2.1, se um átomo próximo ao vazio tem energia suficiente, ele poderá

mover-se até essa posição.

Figura 2.1 – Mecanismo de vazios.

Percurso de difusão

Ene

rgia



3

b) Mecanismo intersticial

O mecanismo intersticial em sólidos cristalinos ocorre quando um átomo se move de

uma posição intersticial para outra posição intersticial vizinha, sem que exista

deslocamento de átomos da matriz cristalina, como mostra a Figura 2.2.

Figura 2.2 – Mecanismo intersticial.

Para que o mecanismo de difusão intersticial seja ativo, o tamanho do átomo em

difusão deve ser pequeno comparativamente aos átomos da matriz. Pequenos átomos,

como o hidrogênio, o carbono, o nitrogênio e o oxigênio, podem apresentar difusão

intersticial em alguns sólidos cristalinos. O carbono, por exemplo, pode difundir-se

intersticialmente na rede do ferro-α e na rede do ferro-γ.

c) Mecanismo de difusão em anel

Podem ocorrer movimentos em cristais que não envolvam defeitos pontuais. Esse

mecanismo, denominado difusão em anel, envolve o movimento simultâneo de três ou

quatro átomos, como mostra a Figura 2.3, e é mais raro devido às suas particularidades.

Uma simples troca entre dois átomos vizinhos é teoricamente possível; entretanto,

seria mais difícil que a difusão em anel, em função da necessidade de altos níveis de

energia para ocorrer.

Percurso de difusão

Ene

rgia



4

Figura 2.3 – Mecanismo de difusão em anel. (a) Anel de três átomos;

(b) anel de quatro átomos.

2.3 Energia de ativação

Em condições uniformes, cada um dos átomos adjacentes ao vazio tem a mesma

probabilidade de se mover para ele. Analogamente, o átomo intersticial tem a mesma

probabilidade de se mover em cada um dos interstícios à sua volta.

Se os átomos devem mudar de posições, as “barreiras de energia” devem ser

superadas. Energia de ativação é a energia requerida para superar tais barreiras, somada à

energia de formação do defeito, quando houver.

Portanto, necessita-se de energia para retirar o átomo dos seus vizinhos originais; na

difusão intersticial necessita-se de energia para forçar o átomo a um maior contato com os

átomos vizinhos, conforme o mesmo se move entre eles.

A energia de ativação varia com diversos fatores. Abaixo são listados alguns

exemplos:

• Um átomo pequeno tem uma energia de ativação menor que um átomo grande ou

molécula;

• Os movimentos intersticiais requerem mais energia que os movimentos de vazios;

• São necessárias elevadas energias de ativação para a difusão em materiais fortemente

ligados e de alto ponto de fusão, como o tungstênio, o carbeto de boro e outros.

Autodifusão

Normalmente não se observa difusão em um material puro, monofásico, já que os

movimentos atômicos são ao acaso e os átomos são todos idênticos; entretanto, por meio

do uso de isótopos radiativos, é possível identificar a difusão dos átomos dentro de sua

própria estrutura; a esse fenômeno dá-se o nome de autodifusão.



5

2.4 Gradientes de concentração

Embora haja a mesma probabilidade de um átomo individual se mover em qualquer

direção, o gradiente de concentração favorece o movimento preferencial dos átomos,

conforme ilustra a Figura 2.4.

Figura 2.4 – Esquema ilustrativo da difusão atômica em função do gradiente de

concentração de soluto (adaptada de VAN VLACK, 1977).

2.5 Distribuição de energia térmica

Os átomos de um material, em uma determinada temperatura, apresentam diferentes

níveis de energia, sendo esta uma distribuição estatística como mostra a Figura 2.5.

Sup

erfí

cie

Sup

erfí

cie

Sup

erfí

cie

0

1,0

%

de

solu

to

Distância 0

1,0 1,0

0



6

Figura 2.5 – Distribuição estatística dos níveis de energia atômica de átomos.

Assim, em um dado instante, muito poucos átomos têm energia nula, muitos átomos

possuem energias próximas à energia média, e alguns átomos têm energias extremamente

altas, ou seja, possuem energia de ativação suficiente para “saltar” de suas posições

originais ou mover-se na rede cristalina.

Aumentando-se a temperatura do sistema, a energia de cada átomo aumenta, e alguns

átomos que na temperatura anterior não podiam saltar de suas posições, podem agora fazê-

lo, pois têm energia maior que a energia de ativação.

Muito frequentemente necessita-se conhecer a probabilidade dos átomos possuírem

mais energia que um dado valor especificado. Por exemplo, a fração dos átomos com

energia superior à energia de ativação.

A solução do problema foi elaborada por Boltzmann a partir do estudo do efeito da

temperatura na energia das moléculas em um gás. Usando os fundamentos estatísticos

empregados por Boltzmann, pode-se calcular o número de átomos com energia maior que a

energia de ativação, como:

−⋅⋅=

kT

EexpaNn A

onde n = número de átomos com energia maior que a de ativação; N = número total de

átomos do sólido; a = constante típica do sistema; EA = energia de ativação; T =

temperatura absoluta; k = constante de Boltzmann (1,38 x 10-23J/átomo.K).



7

2.6 Coeficiente de difusão atômica

A análise estatística de Boltzmann aplicada ao movimento atômico permite

estabelecer a intensidade de difusão atômica em materiais. A difusão de um material A

(soluto) dentro da estrutura de um material B (solvente) é representada pelo coeficiente de

difusão (D), definido pela equação de Arrhenius:

−=

RT

QexpDD o

onde D = coeficiente de difusão; Do= constante do sistema soluto/solvente; Q = energia

de ativação; R = constante molar dos gases (8,314 J/mol.K ou 1,987 cal/mol.K); T =

temperatura absoluta.

A difusividade atômica depende de diversos fatores, sendo que os mais importantes

são:

a. Tipo de mecanismo de difusão (substitucional ou intersticial) – dependendo dos

tamanhos atômicos envolvidos, o mecanismo de difusão influencia a intensidade de

difusão (átomos de tamanhos próximos têm difusão elevada quando o mecanismo é

substitucional; quando os átomos apresentam tamanhos muito diferentes, o mecanismo

apropriado é o intersticial);

b. Temperatura na qual a difusão ocorre – como pode ser observado na equação, quanto

maior a temperatura, maior será o coeficiente de difusão;

c. Tipo de estrutura cristalina do solvente – estruturas compactas (CFC e HC) dificultam a

difusão atômica por serem mais compactas;

d. Tipo e quantidade de imperfeições presentes na rede cristalina – defeitos como

discordâncias e lacunas aumentam a intensidade de difusão.

A Tabela 2.1 apresenta os valores de Q e Do para vários sistemas de difusão

(ASKELAND & PHULÉ, 2003):



8

Tabela 2.1 – Valores de Q e Do para sistemas mais comuns.

Soluto Solvente Do (cm2/s)

Q (cal/mol)

Difusão intersticial Carbono Carbono Nitrogênio Nitrogênio Hidrogênio Hidrogênio

Ferro CFC Ferro CCC Ferro CFC Ferro CCC Ferro CFC Ferro CCC

0,23 0,011 0,0034 0,0047 0,0063 0,0012

32.900 20.900 34.600 18.300 10.300 3.600

Autodifusão (em lacunas) Chumbo Alumínio Cobre Ferro Zinco Magnésio Ferro Tungstênio Silício Carbono

Chumbo CFC Alumínio CFC Cobre CFC Ferro CFC Zinco HC Magnésio HC Ferro CCC Tungstênio CCC Silício (covalente) Carbono (covalente)

1,27 0,10 0,36 0,65 0,1 1,0 4,1 1,88 1800,0 5,0

25.900 32.200 49.300 66.700 21.800 32.200 58.900 143.300 110.000 163.000

Difusão em lacunas Níquel Cobre Zinco Níquel Ouro Prata Alumínio Alumínio Oxigênio Magnésio Oxigênio

Cobre Níquel Cobre Ferro CFC Prata Ouro Cobre Alumina Alumina Óxido de magnésio Óxido de Magnésio

2,3 0,65 0,78 4,1 0,26 0,072 0,045 28,0 1900,0 0,249 0,000043

57.900 61.500 43.900 64.000 45.500 40.200 39.500 114.000 152.000 79.000 82.100

2.7 Primeira Lei de Fick

A taxa de difusão dos átomos ou íons em um material pode ser medida por meio do

fluxo J, o qual é definido como o número de átomos que atravessa um plano de área

unitária por unidade de tempo (Figura 2.6).



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Figura 2.6 – Fluxo de átomos por um plano de área unitária.

O fluxo de átomos neste tipo de sistema pode ser representado pela equação:

dx

dcDJ −=

onde J = fluxo de átomos; D = difusividade ou coeficiente de difusão; dc/dx = gradiente de

concentração.

Dependendo da situação, a concentração pode ser expressa em porcentagem atômica,

porcentagem em peso, porcentagem em mol, fração atômica ou fração molar. As unidades

do gradiente de concentração e do fluxo também serão modificadas de acordo.

Tomando a direção x como referência, o sinal negativo na equação mostra que o

fluxo de massa tem sentido contrário ao aumento da concentração, e é usado porque o

fluxo de átomos ocorre no sentido do maior para o menor gradiente de concentração,

tornando o termo dc/dx negativo para J positivo.

A equação acima é denominada de primeira lei de Fick e define que para condições

estacionárias ou permanentes (concentrações constantes com o tempo), o fluxo de átomos

por difusão atômica é igual à difusividade D multiplicada pelo gradiente de concentração.

No sistema SI tem-se:

⋅⋅

−=

⋅ mm

átomos

dx

dc

s

mD

sm

átomosJ

3

2

2

Área unitária



10

O gradiente de concentração mostra como a composição do material varia com a

distância: ∆c é a diferença na concentração ao longo da distância ∆x (Figura 2.7).

Figura 2.7 – Gradiente de concentração para regime estacionário.

O gradiente de concentração pode ser criado quando dois materiais de diferentes

composições são colocados em contato; quando um gás ou um líquido está em contato com

um material sólido; quando estruturas fora do equilíbrio são produzidas em um material

devido ao processamento; e por meio de outras fontes.

O fluxo em uma temperatura particular é constante somente se o gradiente de

concentração também é constante, isto é, a composição em cada lado do plano da Figura

2.7 permanece inalterada (regime estacionário).

Entretanto, em muitos casos práticos a composição varia quando os átomos são

redistribuídos e, portanto, o fluxo também muda (regime não estacionário).

Frequentemente, é encontrado que o fluxo inicialmente é alto e então decresce

gradualmente à medida que o gradiente de concentração é reduzido pela difusão.

Distância

% a

tôm

ico

A

∆x 100

0

∆x

Átomo B

Átomo A

Cf

Co

∆C



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2.8 Segunda Lei de Fick

O movimento atômico em condições estacionárias não é comum em engenharia de

materiais. Na maioria dos casos, este movimento ocorre em regime transitório ou em

situações onde as concentrações variam com o tempo. A Figura 2.8 mostra a variação da

concentração, à medida que o tempo de processamento aumenta.

Figura 2.8 – Gradiente de concentração em regime transitório.

A segunda lei de Fick descreve a dinâmica, ou o estado não-estacionário, da difusão

de átomos, por meio da equação diferencial:

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

x

CD

xt

C

Assumindo-se que o coeficiente de difusão D não é função da localização x e da

concentração C, a equação acima pode ser reescrita na forma da versão simplificada de

Fick, como:

t3 > t2 > t1

t3

t2

t1

Distância

Con

cent

raçã

o da

s es

péci

es d

e di

fusã

o

0 t > 0 x



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A solução desta equação depende das condições de contorno para uma situação

particular. A seguir serão estudados alguns casos mais comuns.

a) Cementação dos aços

Na construção de máquinas, é freqüente a necessidade de peças dotadas

simultaneamente de uma boa resistência ao choque e uma dureza muito elevada para

resistir bem ao desgaste, como por exemplo, os dentes de engrenagens (Figura 2.9), certas

matrizes para estampagem, pinos móveis, eixos, articulações esféricas, e outros elementos.

Figura 2.9 – A superfície dos dentes da engrenagem deve ser resistente ao desgaste, mas o seu interior da peça deve ser dúctil para poder absorver choques.

Essas duas propriedades são incompatíveis pelo menos nos aços carbono. Mas como

a dureza que interessa é sempre a superficial, basta que a peça tenha essa qualidade apenas

na parte periférica. Isto se consegue com o auxílio do tratamento de cementação.

Esse processo permite, portanto, elevar o teor de carbono junto à superfície e, assim,

aumentar a dureza da camada periférica, conservando, entretanto, a ductilidade no interior

da peça, cuja composição não será alterada.

Para que isso seja possível, o aço deve ser aquecido acima da zona crítica (900°C a

1000°C), permanecendo nesta temperatura por algumas horas, o que permitirá que dissolva

mais carbono no estado sólido, como também absorva este elemento por difusão quando

em contato com substâncias ricas no mesmo, chamados de cementos.

∂

∂=

∂

∂

x

CD

t

C2

2



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Na cementação pelo carbono empregam-se, em geral, cementos sólidos; entretanto,

quando o objetivo é introduzir no aço também o nitrogênio (ou somente este), são

empregados cementos líquidos (cianetos fundidos), gases carbonetantes ou nitretantes.

A Figura 2.10 mostra o processo difusional para o tratamento de cementação.

INÍCIO (t = 0) APÓS UM TEMPO t

Figura 2.10 – Processo difusional esquemático para o tratamento de cementação.

O tratamento de cementação dos aços por meio das equações da difusão envolve o

emprego da função erro.

A solução da equação de Fick para esta situação é dada por:

⋅−−=

Dt2

xerf)CC(C)t,x(C oss

ou

=

−

−

Dt2

xerf

CC

)t,x(CC

os

s

Co

Cs

t = 0

Distância (x)

Con

cent

raçã

o

C(x,t2)

C(x,t1)

C(x,t3)

Co

Cx

Cs

x Distância (x)

Con

cent

raçã

o

Composição após um tempo t

Composição inicial



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onde C(x,t) = concentração atômica na posição x a partir da superfície, após um tempo t;

Cs = concentração atômica constante na superfície do material; Co = concentração atômica

uniforme inicial no material.

Nestas equações, é assumido basicamente um modelo unidirecional, ou seja, átomos

ou outras espécies difusionais se movem somente na direção x.

A função erro, “erf”, é uma função matemática com valores tabelados.

Função Erro (erf)

a. Definição:

∫

⋅+

⋅−== −

Z

0

53u ...

!25

Z

!13

ZZ

2due

2)Z(erf

2

ππ

b. Características:

erf(-Z) = – erf(Z)

erf(–∞) = –1

erf(0) = 0

erf(+∞) = +1

c. Derivação:

d. Função Erro complementar (erfc):

Aproximações:

)Zexp(Z

2

Z

)Z(erf 2−=∂

∂

)Zexp(ZZ

4

Z

)Z(erf 2

2

2

⋅⋅−=∂

∂

∫∞

=−=Z

2du)uexp(

Z

2)Z(erf1)Z(erfc

Z2

)Z(erf2Z

1)Z(erf2Z

π≅→<

≅→>

)Zexp()cybyuy(1)Z(erf 232 −++−=



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onde

sendo: a = 0,348; b = - 0,096; c = 0,748; d = 0,471

e. Representação gráfica esquemática:

f. Valores tabelados da função erro:

)0Z(Zd1

1y >

+=

0

+1

-1 +1 +2 -2

-1

erf(Z)

Z



16

Z erf (Z) Z erf(Z) Z erf(Z) Z erf(Z)

0,00 0,00000 0,26 0,2869 0,52 0,5379 0,78 0,7300

0,01 0,01128 0,27 0,2974 0,53 0,5465 0,79 0,7361

0,02 0,02256 0,28 0,3079 0,54 0,5549 0,80 0,7421

0,03 0,03384 0,29 0,3183 0,55 0,5633 0,81 0,7480

0,04 0,04511 0,30 0,3286 0,56 0,5716 0,82 0,7538

0,05 0,05637 0,31 0,3389 0,57 0,5798 0,83 0,7595

0,06 0,06762 0,32 0,3491 0,58 0,5879 0,84 0,7631

0,07 0,07886 0,33 0,3593 0,59 0,5959 0,85 0,7707

0,08 0,09008 0,34 0,3694 0,60 0,6039 0,86 0,7761

0,09 0,1013 0,35 0,3794 0,61 0,6117 0,87 0,7814

0,10 0,1125 0,36 0,3893 0,62 0,6194 0,88 0,7867

0,11 0,1236 0,37 0,3992 0,63 0,6270 0,89 0,7918

0,12 0,1348 0,38 0,4090 0,64 0,6346 0,90 0,7969

0,13 0,1459 0,39 0,4187 0,65 0,6420 0,91 0,8019

0,14 0,1569 0,40 0,4284 0,66 0,6494 0,92 0,8068

0,15 0,1680 0,41 0,4380 0,67 0,6566 0,93 0,8116

0,16 0,1790 0,42 0,4475 0,68 0,6638 0,94 0,8163

0,17 0,1900 0,43 0,4569 0,69 0,6708 0,95 0,8209

0,18 0,2009 0,44 0,4662 0,70 0,6778 0,96 0,8254

0,19 0,2118 0,45 0,4755 0,71 0,6847 0,97 0,8299

0,20 0,2227 0,46 0,4847 0,72 0,6914 0,98 0,8342

0,21 0,2335 0,47 0,4937 0,73 0,6981 0,99 0,8385

0,22 0,2443 0,48 0,5027 0,74 0,7047 1,00 0,8427

0,23 0,2550 0,49 0,5117 0,75 0,7112 1,10 0,8802

0,24 0,2657 0,50 0,5205 0,76 0,7175 1,20 0,9103

0,25 0,2763 0,51 0,5292 0,77 0,7238 1,50 0,9661

g. Valores tabelados da função erro complementar:

Z erfc(Z) Z erfc(Z) 1,0 0,15730 1,6 0,02365

1,1 0,11980 1,7 0,01621

1,2 0,08969 1,8 0,01091

1,3 0,0,6599 1,9 0,007210

1,4 0,04777 2,0 0,004678

1,5 0,03389 - -



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b) Tratamento de homogeneização de fundidos

Esta abordagem é aplicada na minimização de microssegregação em peças obtidas

pelo processo de fundição.

Em geral, a microssegregação de solutos ocorre em torno de braços dendríticos, o

que leva o perfil de concentração de solutos a apresentar uma variação senoidal, conforme

mostra a Figura 2.11.

Figura 2.11 – Perfil de concentração de solutos em torno de braços dendríticos.

Assumindo-se que a concentração de solutos antes do tratamento de homogeneização

tem variação do tipo

+==

l

xsenC)0t,x(C

πβ ,

a solução desse processo de difusão é dada por

−⋅

+=

2

2

l

Dtexp

l

xsenC)t,x(C

ππβ

2.9 Difusão Atômica em Contornos de Grão e Discordâncias

A existência de defeitos cristalográficos como discordâncias e contornos de grão,

pode influir no transporte atômico por difusão.

Nos contornos de grão ocorre uma maior concentração de lacunas, o que facilita o

movimento de átomo.

C

x = 0 x = l x = 2l

t = ∞ t = τ t = 0

Dendrita Soluto



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Nas regiões onde existem discordâncias, a rede cristalina sofre deformações (fica

com a estrutura mais aberta), facilitando, da mesma forma, a difusão atômica.

Como conseqüência, os coeficientes de difusão em contornos de grão e nas

vizinhanças de discordâncias são maiores. Porém, as regiões associadas a contornos de

grão e discordâncias são pequenas, comparadas como o volume de material, de modo que,

em geral, a contribuição desses defeitos é pequena.

Em temperaturas elevadas, o coeficiente de difusão é alto no cristal, facilitando o

movimento de átomos na rede, tornando desprezível, portanto, a difusão em contornos de

grão. Por outro lado, se a temperatura é baixa, a difusão na rede cristalina é difícil e a

contribuição de contornos de grão passa a ser significativa, conforme pode ser observado

na Figura 2.12.

Figura 2.12 – Curvas experimentais do coeficiente de autodifusão na prata.

No caso das discordâncias, essa contribuição é, em geral, desprezível nos materiais

recozidos (tratamento térmico para recuperar a ductilidade de um material), onde a

densidade desse defeito é geralmente baixa. Em materiais com alto grau de deformação

plástica, a densidade de discordâncias é elevada e o efeito das mesmas na difusão atômica

pode ser significativo.



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2.10 Dedução das Leis de Fick

a) 1ª lei de Fick

O fenômeno da difusão atômica pode ser analisado considerando o movimento de

átomos entre duas regiões em contato, como mostra a Figura 2.13.

Figura 2.13 – Movimento de átomos entre duas regiões rm contato.

Considerando que as concentrações C1 e C2 não se alteram com o tempo (regime

permanente), o processo de difusão é provocado pelo gradiente de concentração

(C2 – C1)/(x2 – x1).

O movimento de átomos por difusão atômica ocorre devido à vibração térmica dos

mesmos, a qual faz com que cada átomo permaneça “saltando” de uma posição para outra.

O equacionamento do fluxo atômico em regime permanente, que é dado pela 1ª lei de

Fick, é implementado pela definição das seguintes variáveis:

∆x – Espessura das regiões;

A – Área de contato entre as regiões 1 e 2;

f – Freqüência de saltos dos átomos (saltos/s), igual em todas as direções;

C1 – Concentração de átomos de soluto na região 1 (at/cm3);

C2 – Concentração de átomos de soluto na região 2 (at/cm3);

J – Fluxo de átomos entre as regiões 1 e 2 (at/cm2.s).

∆x

N1,2

N2,1

Região 1 Região 2

Plano de referência

A C1 C2 ∆x



20

Considerando o movimento atômico no espaço, um átomo tem possibilidade de saltar

nos dois sentidos das três direções (seis possibilidades). Assim, entre as regiões 1 e 2 da

Figura 2.13, a freqüência de saltos pode ser dada por f/6 e, consequentemente, em um

intervalo de tempo ∆t, o número de átomos saltando da região 1 para a região 2 é

proporcional aos valores de C1, ∆t, f e do volume da região 1, que pode ser representado

por sua espessura, ∆x, pois a área de contato é igual para as duas regiões. Assim,

xt6

fKCN 112 ∆∆=

onde k é uma constante.

O fluxo de átomos entre as regiões 1 e 2 é dado pela diferença entre o número de

átomos que saltam da região 1 para a região 2 e aqueles que fazem o caminho inverso.

Assim,

xt6

fKCxt

6

fKCNNtJ 212112 ∆∆∆∆∆ −=−=

ou

x6

f)CC(KJ 21 ∆−=

Desta equação é possível prever que, se as concentrações das regiões 1 e 2 são iguais,

o fluxo de massa entre elas será nulo. Por outro lado, se existe um gradiente de

concentração de átomos de soluto, o fluxo de átomos será diferente de zero. Uma relação

entre as concentrações C1 e C2 pode ser obtida se a concentração é contínua ao longo da

direção x (paralela ao fluxo de átomos), ou seja:

t

12x

CxCC

∂

∂+= ∆

Substituindo o valor de C2 na equação do fluxo, o fluxo de átomos entre as regiões 1

e 2 torna-se igual a:

t

2

x

C

6

f)x(KJ

∂

∂−= ∆



21

Esta equação é conhecida como a 1ª lei de Fick, sendo o coeficiente de difusão

atômica, D, dado por:

6

f)x(KD

2∆=

Se no sistema em difusão considerado não ocorrem reações químicas entre os átomos

de soluto e os de solvente, a diferença de concentração entre as regiões 1 e 2 resultará em

um fluxo atômico que vai do ponto de maior para o de menor concentração. O fluxo de

átomos neste tipo de sistema pode ser representado pela equação:

∂

∂−=

x

CDJ

onde J é o fluxo de átomos, D é o coeficiente de difusão e xC ∂∂ é o gradiente de

concentração.

b) 2ª lei de Fick

Considere uma barra de um material qualquer de concentração C, exibindo transporte

de massa do soluto por difusão, como mostra o diagrama da Figura 2.14.

Figura 2.14 – Distribuição de soluto em uma barra em função da distância e do tempo.

Considere também a existência de um elemento de volume de largura ∆x e área de

seção transversal A. Suponha que em tal elemento está entrando um fluxo de massa J1 e

saindo um fluxo de massa J2.

Co

Cs

t = 0

Distância (x)

Con

cent

raçã

o

C(x,t2)

C(x,t1)

C(x,t3)



22

Após um intervalo de tempo ∆t a variação na concentração de soluto em tal elemento

é dada por:

CxAtAJtAJ 21 ∆∆∆∆ =−

onde J = fluxo de átomos do soluto (at/cm2.s); A = área (cm2); ∆x = largura (cm); ∆t =

intervalo de tempo (s); ∆C = variação na concentração de soluto (at/cm3).

Se o fluxo atômico é contínuo ao longo de x, pode-se escrever:

xx

JJJ 12 ∆

∂

∂+=

A substituição de J2 na equação na equação anterior permite obter:

CxAtxAx

J

t

∆∆∆∆ =

∂

∂−

Fazendo ∆t tender a zero, tem-se:

xt t

C

x

J

∂

∂=

∂

∂−

O fluxo de átomos pode ser dado pela substituição da 1ª lei de Fick na equação

acima, obtendo-se:

∂

∂

∂

∂=

∂

∂−

x

CD

xx

J

ou

2

2

x

CD

t

C

∂

∂=

∂

∂

Esta equação é denominada 2ª lei de Fick e é aplicada a casos de difusão atômica em

regime transitório.



23

2.11 Referências bibliográficas

ASKELAND, Donald R.; PHULÉ, Pradeep P. The science and engineering of materials. 4.ed. California: Brooks/Cole-Thomson Learning, 2003. CALLISTER JR., William D. Ciência e engenharia de materiais: uma introdução. 8.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. CARAM JR., Rubens. Estrutura e propriedades dos materiais. Apostilha de aula. Campinas: Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), 2000. SMITH, William F. Princípios de ciência e engenharia de materiais. 3.d. New York: McGraw-Hill, 1998. VAN VLACK, L.H. Princípios de ciência dos materiais. 3.d. São Paulo: Edgard Blücher, 1977.

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