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8/18/2019 1_Livro_Manjeló_Cap3_51_73

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Genética de populações Luiz Alberto dos Santos Monjeló

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Estimação das Frequências Gênicas, Considerando Dois Locos

Gênicos.

Supondo dois Locos com dois alelos cada um:

loco A: alelos A e a.

loco B: alelos B e b.

Sejam as frequências dos alelos A e a do loco A, p e q

respectivamente.

Sejam as frequências dos alelos B e b do loco B, r e s

respectivamente.

Para estimar as frequências genicas, a partir dos valores

observados de uma amostra populacional, para os genótipos

considerando dois locos gênicos, podemos construir uma matriz

zigótica.

As frequências de cada genótipo nessa matriz devem ser

ponderadas pela probabilidade relativa de ocorrência na

descendência, supondo uma população mendeliana (com

cruzamentos aleatóreos).


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Observe as possibilidades dos cruzamentos:

Observe que todos os genótipos homozigotos para os dois locos

ocorrem um vez em relação aos outros, os genótipos de heterozigotos

para ambos os locos ao mesmo tempo ocorrem 4 vezes e os demais

genótipos, homzigotos para um loco e heterozigoto para outro ocorrem

duas vezes.

Para construir a matriz zigótica de frequências genotípicas devemos

considerar a linha para a variação de genótipos do loco A e a coluna

para a variação de genótipos do loco B.

z11 AABB z12 AABb z13 AAbb

Z = z21 AaBB z 22 AaBB z23 Aabb

z31 aaBB z32 aaBb z33 aabb

GAMETAS Fêmeas

machos AB Ab aB ab

AB AABB AABb AaBB AaBb

Ab AABb AAbb AaBb Aabb

aB AaBB AaBb aaBB aaBb

ab AaBb Aabb aaBb aabb


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onde a matriz gamética

g11AB g12Ab

G = é uma matriz quadrada 2x2

g21aB g22ab

Existem duas situações a considerar.

Supondo associação independente entre os dois locos (os locos estão

localizados em diferentes cromossomos.

Nesse caso a estimativa das frequências gaméticas serão:

g11 = z11 + 1/2 (z12 + z21) + 1/4 z22

g12 = z13 + 1/2 (z12 + z23) + 1/4 z22

g21 = z31 + 1/2 ( z21+ z32) + 1/4 z22

g22 = z33 + 1/2 ( z23 + z32) + 1/4 z22

Para verificarmos se esta população se encontra no equilíbrio,

podemos observar se não existe desequilíbrio gamético, obtendo o

determinante de G, (D).

Quando D=0, então a população apresenta equilíbrio para estes

dois locos.

Quando D 0 então a população não está em equilíbrio!


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Exempl o 1. Co nsi der e doi s l ocos c om associação

independente

Supondo que dois locos enzimáticos produzam respectivamente

enzimas do tipo A e do tipo B conforme o eletroferograma da figura

abaixo, vamos considerar os fenótipos para as enzimas controladas

pelos locos A e B em 100 indivíduos amostrados de uma população

mendeliana.

loco A

Observe que para o loco A os primeiros 5 indivíduos são

homozigotos AA e para o loco B também são homozigotos BB,

produzindo para cada loco um único tipo de enzima do tipo A ou do

tipo B. Os seguintes 10 indivíduos apresentam para o loco A

homozigose mas para o loco B heterozigose, Bb (pois apresentam

dois tipos de enzima B). Note também que 20 indivíduos amostrados

são heterozigotos para ambos os locos, AaBb, pois produzem dois

+

loco B

5 510 15 20 15 15 10 5


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tipos de enzimas A e dois tipos de enzimas B. A caracterização de

locos eletroforéticos para enzimas tem sido amplamente utilizada para

estudos de variabilidade populacional embora atualmente marcadores

genéticos enzimáticos tenham sido preteridos por marcadores de DNA

que fornecem informações mais diretas sobre a variabilidade genética

de populações.

Do exemplo acima, as frequências relativas de zigotos podem

ser expressas na matriz abaixo:

0.05 0.10 0.05

Z = 0.15 0.20 0.15

0.15 0.10 0.05

e por conseguinte as frequências de gametas podem ser estimadas

como segue:

g11 (AB) = 0.05 + 1/2 (0.10 + 0.15) + 1/4 (0.20) = 0.2250

g12(Ab) = 0.05 + 1/2 (0.10 + 0.15) + 1/4 (0.20) = 0.2250

g21(aB) = 0.15 + 1/2 (0.15 + 0.10) + 1/4 (0.20) = 0.3250

g22(ab) = 0.05 + 1/2 (0.15 + 0.10) + 1/4 (0.20) = 0.2250

obtendo-se então a matriz gamética:

0.2250 0.2250G =

0.3250 0.2250


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partir das combinações das frequências dos gametas produzidos na

geração atual (Z0):

g112

2(g11) (g12) g122

Z1 = 2(g11)(g21) 2[ (g11) (g22) + (g12) (g21)] 2 (g12) (g22)

g212

2( g21) (g22) g222

Com a matriz G do exemplo dado acima, podemos determinar Z1:

0.2252

2 (0.225) (0.225) 0.2252

Z1 = 2 (0.225) (0.325) 2[ (0.225) (0.225) + (0.225) (0.325)] 2 (0.225) (0.225)

0.3252

2 (0.325) (0.225) 0.2252

0.050625 0.101250 0.050625

Z1 = 0.146250 0.247500 0.101250

0.105625 0.146250 0.050625

Essas frequências esperadas na próxima geração são aquelas

esperadas no equilíbrio? O equilíbrio é atingido em 1 geração?

Para que possamos responder essa questão precisamos obter a

matriz zigótica com as frequências esperadas no equilíbrio.


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Se as frequências gênicas estimadas são p e q para o loco A e r

e s para o loco B, podemos dizer que a matriz gamética no equilíbrio

será:

pr ps

Ge =

qr qs

0.2475 0.2025

e se no exemplo Ge =

0.3025 0.2475

Observe que o d eterminante d a matriz gamética no equilíbrio, D=0!

Com os valores das frequências gaméticas no equilíbrio podemos

agora obter Ze!

0.06125625 0.1002375 0.04100625

Ze = 0.14973750 0.245025 0.10023750

0.09150625 0.14973750 0.06125625

Podemos observar comparando Z1 com Ze que o equilíbrio não foi

alcançado na geração seguinte! Comparações estatísticas podem ser

realizadas através do teste de bondade de ajuste do modelo de 2 ou

G.


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Exemplo 2. Locos lig ados.

Considere o número observado de indivíduos para o Sistema MNSs

de Grupos Sanguíneos na população de Manaus (AM) e de Outros

Estados (OE), tipados pelo HEMOAM-AM:

Número Frequência genotípica

Fenótipo Observado Observada

AM OE AM OE

MMSS 105 031 0.0505 0.0405

MMSs 339 107 0.1630 0.1397

MMss 318 111 0.1529 0.1449

MNSS 093 038 0.0447 0.0496

MNSs 416 146 0.2000 0.1906MNss 481 208 0.2312 0.2715

NNSS 016 010 0.0077 0.0131

NNSs 101 040 0.0486 0.0522

NNss 211 075 0.1014 0.0979

Total 2080 7 66 1.0000 1.0000

Total geral: 2846


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Podemos então construir Z a partir da amostra populacional de AM:

teremos:

z11 é a frequência genotípica de MMSS

z12 é a frequência genotípica de MMSs

z13 é a frequência genotípica de MMss

z21 é a frequência genotípica de MNSS

z22 é a frequência genotípica de MNSs

z23 é a frequência genotípica de MNss

z31 é a frequência genotípica de NNSS

z32 é a frequência genotípica de NNSs

z33 é a frequência genotípica de NNss

A partir dessa matriz zigótica podemos extrair a matriz de frequências

gaméticas:

g11 será a frequência de gametas MS

g12 será a frequência de gametas Ms

g21 será a frequência de gametas NS

g22 será a frequência de gametas Ns

logo Z, a matriz zigótica é uma matriz 3x3

z11 z12 z13

Z = z21 z22 z23

z31 z32 z33


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Podemos escrever Z para a população de Manaus (AM) assim:

0.0505 0.1630 0.1529

Z = 0.0447 0.2000 0.2312

0.0077 0.0486 0.1014

Supondo que a intensidade de ligação entre esses dois locos é

igual a 0.94 então a frequência de recombinação entre esses dois

locos será c=0.06.

Para se obter as frequências gaméticas de dois locos ligados é

necessário considerar l, a intensidade de ligação para as frequências

de gametas parentais e c, a frequência de recombinação, para

gametas recombinantes.

Assim:

g11(AB) = z11 + 1/2 ( z12 + z21 ) + 1/2 l ( z22)

g12(Ab) = z13 + 1/2 ( z12 + z23 ) + 1/2 c (z22)

g21(aB) = z31 + 1/2 ( z21 + z32 ) + 1/2 c (z22)

g22(ab) = z33 + 1/2 ( z23 + z32 ) + 1/2 l (z22)

no exemplo dado:g11 = 0.05050 + 0.10385 + (0.47) (0.2) = 0.24835g12 = 0.15290 + 0.19710 + (0.03) (0.2) = 0.35600g21 = 0.00770 + 0.04665 + (0.03) (0.2) = 0.06035g22 = 0.1014 0 + 0.13990 + (0.47) (0.2) = 0.33530

Estimando as frequências gênicas:

pM = 0.24835 + 0.35600 = 0.60435 0.6

qN = 0.06035 + 0.33530 = 0.39565 0.4

r S = 0.24835 + 0.06035 = 0.3087 0.3

ss = 0.35600 + 0.33530 = 0.6913 0.7


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O determinante de G 0.06, logo a população apresenta umdesequilíbrio gamético!

A matriz zigótica na próxima geração Z1 será:

0.062 0.177 0.127

Z1 = 0.030 0.209 0.239

0.004 0.040 0.112

A matriz gamética no equilíbrio será:

0.18 0.42Ge =

0.12 0.28

E a matriz zigótica no equilíbrio será:

0.03 0.15 0.18

Ze = 0.04 0.20 0.24

0.01 0.07 0.08


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Estimação das Frequências Gênicas para casos de Polialelia.

Observe a figura abaixo onde no eletroferograma podemos

distinguir três alelos na população amostrada:

+

ao-11

ao-11

ao-11

ao-10.5

ao-11

ao-10.8

ao-10.8

ao-10.8

ao-10.8

ao-10.5

ao-10.5

ao-10.5

-240 20 10 90 80 60

(0.48) (0.04) (0.02) (0.18) (0.16) (0.12)

Na figura acima estão representados fenótipos eletroforéticos

correspondendo a bandas de enzimas do tipo aldeidooxidas, e

assinalados acima de cada banda o genótipo correspondente a um

loco (AO-1) com três alelos (ao-11, o alelo mais comum, ao-10.8 e o

alelo ao-10.5) presentes nesta população. abaixo de cada fenótipo

estão assinalados o número de indivíduos encontrados com cada

fenótipo eletroforético dessa enzima em amostra de 500 indivíduos.


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Supondo que nessa espécie a aldeido oxidase é controlada por

um loco autossômico com 3 alelos codominantes, podemos estimar as

frequências desses 3 alelos assim:

pao-11 = frequência de homozigotos ao-11 ao-11 + 1/2 ( frequência dos

heterozigotos que portam o alelo ao-11).

qao-10.8 = frequência de homozigotos ao-10.8 ao-10.8 + 1/2 ( frequência

dos heterozigotos que portam o alelo ao-10.8

).

r a0-10.5 = frequência de homozigotos ao-10.5 a0-10.5 + 1/2 ( frequência

dos heterozigotsos que portam o alelo ao-10.5).

p = 0.48 + 1/2 ( 0.18 + 0.16 ) = 0.65

q = 0.04 + 1/2 ( 0.18 + 0.12 ) = 0.19

r = 0.02 + 1/2 ( 0.16 + 0.12 ) = 0.16

total ...................................... = 1.00

As frequências esperadas no equilíbrio são obtidas a partir da

expansão do trinômio: (p+q+r)2 = p2 + q2 + r 2 + 2pq+2pr+2qr = 1

ao-11 ao-11 p2 = 0.4225

ao-10.8

ao-10.8

q2

= 0.0361ao-10.5 ao-10.5 r 2 = 0.0256ao-11 ao-10.8 2pq = 0.2470ao-11 ao-10.5 2pr = 0.2080ao-10.8 ao-10.5 2qr = 0.0608total ............................. = 1.0000


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O teste de equilíbrio pode ser feito, obtendose os valores

absolutos esperados para cada genótipo e comparando com os

valores observados. Os testes do Qui-quadrado ou G de

verosimilhança podem ser utilizados para se aceitar ou regeitar a

hipótese de estado de equilíbrio.

Observado Esperado

ao-11

ao-11

240 p2

N 211.25ao-10.8 ao-10.8 20 q2N 18.05ao-10.5 ao-10.5 10 r 2N 12.80ao-11 ao-10.8 90 2pqN 123.50ao-11 ao-10.5 80 2prN 104.00ao-10.8 ao-10.5 60 2qrN 30.40Total 500 500.00

Partindo de uma hipótese inicial h0 : O=E ( a população está em

equilíbrio e portanto não devem existir diferenças relevantes entre o

número observado de genótipos e o número esperado no equilíbrio).

1. hipóteses a serem testadas:

h0: O=E

ha: O E

2. nível de = 0.05

graus de liberdade = n0 de genótipos - n0 de alelos = 6-3 = 3


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4. Estatística do teste:

Utilizar o teste G de verossimilhança que transforma o conjunto dedados para uma distribuição Qui-quadrado.

O limite do teste será portanto dado pelo 2tabela ( =0.05 ; gl=3) = 7.52

Se Gcalculado2

tabela ( =0.05 ; gl=3) = 7.52, aceitamos H0;caso contrário regeitamos H0 e aceitamos Ha.

Gcalc. = -2 [ 240 ln ( 211.25/240) + 20 ln ( 18.05/20) + 10 ln (12.8/10)

+ 90 ln ( 123.5/90) + 80 ln (104/80) + 60 ln (30.4/60)]

= -2[-30.62 -2.05+2.47+28.47+20.99-40.79] = 43.06

5. Decisão

G=calculado = 43.06 2tabela ( =0.05 ; gl=3) = 7.52, logo regeito h0 e aceitoHa.

5. Conclusão sobre o teste

Considerando que através do teste de bondade de ajuste realizado

com o teste G de verossimilhança, encontramos diferenças relevantes

entre o observado e o esperado somos inclinados a concluir que a

população não está em equilíbrio para o loco analisado com 3 alelos

(P


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Um caso especial de polialelia corresponde a estimação das

frequências gênicas para o Sistema ABO de grupos sanguíneos na

população humana onde de maneira gera; temos dois alelos

codominantes I A e IB e um alelo recessivo aos demais representado

por I0 ou i.

Assim os fenótipos A, correspondem ao conjunto de indivíduos que

apresentam genótipos I AI A homozigotos ou heterozigotos I AIO.

A - I AI A ou I AI0

B - IBIB ou IBI0

AB - I AIB

O - I0I0

Se consideramos p a frequência gênica de I A, q a frequência

gênica de IB e r a frequência gênica de I0, no equilíbrio esperamos ter

as frequências genótípicas iguais a:

I AI A I AI0 I0I0 IBIB IBI0 I AIB

(p+q+r)2

= p2

+ 2pr + r 2

+ q2

+ 2qr +

2pq = 1

onde p+q+r = 1


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Para estimar as frequências gênicas podemos utilizar o seguinte

artifício de cálculo:

Frequência Observada

A = 0.15

B = 0.32

AB = 0.04

O = 0.49

Se consideramos as frequências de fenótipos B + O temos na

B Orealidade q2 + 2qr + r 2 = (q + r)2

assim extraindo a raiz quadrada de B + O temos q + r.

se p+q+r = 1 então p = 1- (q+r) ou

p =1 - (B+O)

da mesma forma

q = 1- (A+O)

r = O


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p(I A) = 1- (0.0916+0.5849) = 1- 0.6765 = 0.1775

q (IB) = 1 - (0.3049+0.5849) =1 - 0.8898= 0.0567

r (I0

) = 0.5849 = 0.7648

como p+q+r = 0.999, temos que realizar uma correção através das

fórmulas de correção de Bernstein.

primeiro acha-se d = 1- (p+q+r)

aplica-se então esse valor nas fórmulas de correção:

p' = p (1 + 1/2 d)

q'= q ( 1+ 1/2 d)

r'= (r+1/2 d) (1+ 1/2 d)

Nesse exemplo d= 0.001

p'= 0.1775 (1.0005) = 0.1776

q'= 0.0567 (1.0005) = 0.0567

r'= (0.7648+0.0005) ( 1.0005) = (0.7653) (1.0005) = 0.7657

onde agora p'+ q'+ r'= 1.0

As frequências corrigidas são as estimativas das frequências

gênicas para a amostra da população do Amazonas.

Precisamos agora calcular as frquências genotípicas esperadas

no eqilíbrio:


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Observado Esperado

A 476 (p2 + 2pr) N = (0.0315 + 0.2720) 1561 = 473,8

B 143 (q2 + 2qr) N = (0.0032 + 0.0868)1561 = 140.5

AB 29 (2pq) N = (0.0202) 1561 = 31.5

O 913 (r 2) N = (0.5863) 1561 = 915.2

1) H0 : O = EHa : O E

2) = 0.05 e gl = 4 classes - 3 alelos = 1

O limite do teste é o 2 tabela ( = 0.05 e gl = 4 classes - 3 alelos = 1) = 3.841

3) Estatística do Teste:

Gcalc = -2 [ 476 ln ( 473.8/476) + 143 ln (140.5 / 143) + 29 ln (31.5/29)

+ 913 ln ( 915.2/913)]

= -2 (-2.21 -2.52 + 2.40 + 2.20) = 0.26

4) Decisão

Gcalc. = 0.26 < 3.84 logo somos inclinados a aceitar a H0 : O = E.

4) Conclusão

De acordo com o teste G de verossimilhança realizado, somosinclinados a aceitar a hipótese que a população está em equilíbrioem relação ao locos do Sistema ABO de grupos sanguíneos,segundo o Princípio de Hardy & Weinberg.


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