Universidade Eduardo Mondlane

Equações Diferenciais com Derivadas ParciaisConteúdo programático e indicações metódicas pelo tema1. Classificação das EDDP. Forma canónica

A abreveatura EDDP designa sempre a equação diferencial linear em relação às derivadas deordem superior, de segunda ordem, veja §1.1.

1.1. Definições e designações básicas

1.2. Classificação das EDDP no caso de n variaveis independentes

1.3. Classificação das EDDP no caso de duas variaveis

1.4. Transformação das EDDP

1.5. Forma canónica das EDDP no caso de n variaveis independentes

1.6. Forma canónica das EDDP no caso de duas variaveis

1.7. Simplificação das EDDP na forma canónica

1.1 Definições e designações básicas

Rn é espaço euclideano n-dimencional com producto escalar e norma

(x, y) =n∑

k=1

xkyk, |x| =√√√√

n∑

k=1

x2k, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn.

Vamos usar as designações diferentes para as derivadas parciais de uma função de váriasvariaveis. Por exemplo, para u = u(x, y, z)

∂u

∂y= u′y = uy,

∂2u

∂x2= u′′xx = uxx,

∂2u

∂x∂y= u′′xy = uxy.

Para função u = u(x1, x2, . . . , xn) e para o vector unitário ν = (ν1, ν2, . . . , νn):

gradu = ∇u = (ux1 , ux2 , . . . , uxn), div u =n∑

k=1

uxk,

∂u

∂ν= (∇u, ν) =

n∑

k=1

uxkνk.

Z0 é conjunto dos números inteiros não negativos. Elementos de Zn0 chamam-se multiíndices.

Vamos utilizar notações para derivadas parciais de uma funcão u = u(x1, x2, . . . , xn) por meiodos multiíndices:

α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Zn0 , |α| =

n∑

k=1

αk, ∂0u = u, ∂αu =∂|α|u

∂α1x1∂α2x2 . . . ∂αnxn.

Vanos usar tambem a designação vectorial

∂αmu = (∂α(1)u, . . . , ∂α(k)u),

cujas componentas são todas as derivatas possiveis ∂α(i)u de ordem |α(i)| ≤ m (a permutaçãodas componentes é fixa de maneira arbitrária).

1

Definição 1.1. O conjunto D ⊆ Rn chama-se domínio se1) D é aberto;2) D é conexo, i.e. D não é representado como reunião de dois abertos que não se intersectam.

Notemos que D ⊆ Rn é conexo sse (∀x, y ∈ D) existe uma curva contínua C com estrimidadesnos pontos x, y tal que C ⊂ D, i.e. existe função contínua f : [0, 1] → D tal que f(0) = x ef(1) = y.

D e ∂D sáo fechamento e fronteira do conjunto D ⊆ Rn. Em particular, para o domínio Dé valido D = D t ∂D.

Seja D domínio em Rn e m ∈ Z0.Cm(D) é espaço vectorial constituido das funções sobre D diferenciaveis m vezes contínua-

mente. C(D) = C0(D) e espaço vectorial constituido das funções contínuas sobre D.Cm(D) é espaço vectorial constituido das funções u : D → R tais que u|D ∈ Cm(D) e

∃ ∂αu(x0) = limx→x0, x∈D

∂αu(x0), (x0 ∈ ∂D, α ∈ Zn0 , |α| ≤ m).

Coloquemos

C(D) = C0(D), C∞(D) = ∩∞m=0Cm(D), C∞(D) = ∩∞m=0C

m(D).

Sejam D ⊆ Rn mensurável a Lebesgue e ρ : D → R, tal que infx∈D ρ(x) > 0. Designemos porL2,ρ(D) o espaço de Hilbert constituido das (classes de µ-equivalência) das funções u : D → Rde quadrado integráveis a Lebesgue com peso ρ, i.e. existe o finito

∫D ρ(x)|u(x)|2 dx, e dotado

do producto escalar e da norma seguintes:

(u, v) =∫

Dρ(x)u(x)v(x) dx, ‖u‖2,ρ =

√(u, u) =

∫

Dρ(x)|u(x)|2 dx.

Em particular, para ρ ≡ 1 obtemos o espaço das funções de quadrado integraveis clássico L2(D).

Definição 1.2. Seja D domínio em Rn. Diz-se que a fronteira σ = ∂D (em particular, a curvase n = 2 e a superfície se n = 3) pertence ao classo Cm se (∀x0 ∈ σ) existe vizinhança O(x0) doponto x0 e função ωx0 ∈ Cm(O(x0)) tais que

ωx0(x) = 0, ∇ωx0(x) = 0 (∀ ∈ σ ∩Ox0).

Se σ ∈ C1 então σ chama-se suave. A fronteira σ denomina-se parcialmente suave se σ érepresentado como reunião finito das suaves.

Seja D domínio em Rn. O operador ∆ : C2(D) → C(D) definido por

∆u = div (∇u) =n∑

k=1

∂2u

∂x2k

,

chama-se operador de Laplace. Consideremos a forma do operador em sistemas das coordenadasfrequentamente usados.

1) Se n = 1, u = u(x) então ∆u = uxx.2a) Se n = 2, u = u(x, y) (coordenadas cartesianas) então ∆u = uxx + uyy.2b) Se n = 2, u = u(r, ϕ) onde x = r cosϕ, y = r sen ϕ (coordenadas polares) então

∆u =1r

∂

∂r

(r∂u

∂r

)+

1r2

∂2u

∂ϕ2.

3a) Se n = 3, u = u(x, y, z) (coordenadas cartesianas) então ∆u = uxx + uyy + uzz.

2

3b) Se n = 3, u = u(r, ϕ, z) onde x = r cosϕ, y = r sen ϕ, z = z (coordenadas cilíndricas)então

∆u =1r

∂

∂r

(r∂u

∂r

)+

1r2

∂2u

∂ϕ2+

∂2u

∂z2.

3c) Se n = 3, u = u(r, ϕ, θ) onde x = r cosϕ sen θ, y = r senϕ sen θ, z = r cos θ (θ ∈ [0, π])(coordenadas esféricas) então

∆u =1r2

∂

∂r

(r2 ∂u

∂r

)+

1r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂u

∂θ

)+

1r2 sen 2θ

∂2u

∂ϕ2.

Depois suponhamos que D é domínio em Rn com a fronteira parcialmente suave σ = ∂D.

Definição 1.3. A equação que liga as variaveis indenpendentes x1, x2, . . . , xn, uma funçãoincógnita u : D → R e suas derivadas parciais até a ordem m (mais exactamente, valores dafunção u = u(x) = u(x1, x2, . . . , xn) e das suas derivadas no mesmo ponto), chama-se equaçãocom derivadas parciais de ordem m.

A forma geral desta equação é

Φ(

x, u(x),∂u

∂x1(x), . . . ,

∂u

∂xn(x),

∂2u

∂x21

(x),∂2u

∂x1∂x2(x) . . . ,

∂mu

∂xmn

(x))

= 0,

ou, mais abbrevemente,Φ(x, ∂α

mu) = 0. (1)

Definição 1.4. Uma função u∗ ∈ C(D) chama-se solução regular ou solução classica da equação(1), se a expressão obtido por substituição desta função à (1), representa-se identidade em D(igualidade em C(D)).

Definição 1.5. A equação de segunda ordemn∑

i,j=1

aij∂2u

∂xi∂xj+ F (x, u,∇u) = 0 (2)

onde aij = aji = aij(x, u,∇u), chama-se quaselinear.A mesma equação onde coeficientes aij podem depender só de x (i.e. aij = aij(x)), chama-se

a equação diferencial linear em relação às derivadas de ordem superior, de segunda ordem. Paraesta equação nos vamos usar semre a abbreveatura EDDP.

Usando designação operacional L =∑n

i,j=1 aij(x) ∂2

∂xi∂xj, é comodo escrever EDDP (2) na

forma

Lu + F (x, u,∇u) =n∑

i,j=1

aij(x)∂2u

∂xi∂xj+ F (x, u,∇u) = 0. (3)

Definição 1.6. Vamos dizer que a EDDP (2) não é degenerado no ponto x ∈ Rn se coeficientesaij são definidas neste ponto, a F é definida nos pontos (x, a, b) para qualquer (a, b) ∈ R×Rn e

n∑

i,j=1

|aij(x)| 6= 0. (4)

Definição 1.7. A EDDPn∑

i,j=1

aij(x)uxixj +n∑

i=1

bi(x)uxi + c(x)u + f(x) = 0 (5)

chama-se linear. No caso f(x) ≡ 0 a equação (5) chama-se homogénea, no caso f(x) 6≡ 0 aequação (5) chama-se não-homogénea.

3

Exemplo 1.1. A forma geral da EDDP linear com duas variáveis independentes é

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f(x, y)u + g(x, y) = 0. (6)

1.2 Classificação das EDDP no caso de n variaveis independentes

Consideremos a EDDP não-degenerado em D da forma (3). Fixemos um ponto x ∈ D e consid-eremos a matriz

A = A(x) =

a11(x) a12(x) . . . a1n(x)a21(x) a22(x) . . . a2n(x)

......

. . ....

an1(x) an2(x) . . . ann(x)

A classificação das EDDP no ponto x depende, só do espectro ds matriz A.Lembremos, que λ ∈ C chama-se autovalor de A se det(A−λI) = 0 (i.e. autovalores são raizes

do polinómio característico). Como matriz A é real e simétrica os todos autovalores de A sãoreais (veja Álgebra Linear). A matriz, A tem, exactamente, n autovalores onde cada autovalortomamos tanto vezes, qual é a sua miltiplicidade como raiz do polinómio característico.

Definição 1.8. Diz-se que EDDP (3) tem o tipo (α, β, γ) no ponto x se a matriz A tem nesteponto α autovalores positivos, β autovalores negativos e γ autovalores nulos.

Vamos igualar os tipos (α, β, γ) e (β, α, γ) das equações, i.e. dizer que os ternos (α, β, γ) e(β, α, γ) determinam o mesmo tipo das equações.

É claro que α + β + γ = n. Mais ainda:

Lema 1.1. O tipo do EDDP depende só do posto rankA a da signatura |α− β| da matriz A.

Alguns tipos das EDDP, mais interessantes do ponto de vista das aplicações, tem chamadasespeciais:

O tipo (e EDDP do tipo) (n− 1, 1, 0) ∨ (1, n− 1, 0) chama-se hiperbólico.O tipo (e EDDP do tipo) (n, 0, 0) ∨ (0, n, 0) chama-se elíptico.O tipo (e EDDP do tipo) (n− 1, 0, 1)∨ (0, n− 1, 1) chama-se parabólico (no sentido estreito).O tipo (e EDDP do tipo) (n −m, 0,m) ∨ (0, n −m,m) onde m ≥ 1 chama-se parabólico no

sentido geral.O tipo (e EDDP do tipo) (n − m, m, 0) ∨ (m, n − m, 0) onde 1 < m < n − 1 chama-se

ultrahiperbólico.

1.3 Classificação das EDDP no caso de duas variaveis

Consideremos a EDDP com duas variaveis indenpendentes

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0, (x, y) ∈ D. (7)

Suponjamos que este equação naõ é degenerado em D, i.e. a, b, c são definidas no D, a função Fé definida no D × R4 e

|a(x, y)|+ |b(x, y)|+ |c(x, y)| 6= 0, (x, y) ∈ D. (8)

Coloquemos pela definição∆ = b2 − ac. (9)

Notemos, que de facto ∆ = ∆(x, y).

Teorema 1.1. 1) Nos pontos (x, y) ∈ D, tais que ∆ > 0, a equação (7) tem tipo hiperbólico.2) Nos pontos (x, y) ∈ D, tais que ∆ < 0, a equação (7) tem tipo elíptico.3) Nos pontos (x, y) ∈ D, tais que ∆ = 0, a equação (7) tem tipo parabólico.

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1.4 Transformação das EDDP

Consideremos a EDDP não-degenerado em D da forma (3). Fixemos um ponto x0 ∈ D e navizinhança alguma U deste ponto tomemos a tranformação das variaveis γ diferenciavel duasvezes continuamente (não-linear, em caso geral), tal que ξ = γ(x), ou, mais detalhadamente,

ξk = ξk(x) = ξk(x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n, (10)

com matriz de Jacobi J(x) =[

∂ξi

∂xj(x)

]n

i,j=1satisfazendo a condição det J(x0) 6= 0. Da Análise

matemática II é sabido que estas condições se podem garantir (pelo teorema da função implicita)a existência a tranformação inversa γ−1 definida na vizinhança alguma V do ponto γ(x0). Atranformação descrito vamos chamar a trnformação não-degenerado no ponto x0.

Tranformemos a equção usando troca das variaveis (10). Passamos às variaveis novas ξ =(ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ V e à função incógnita v(ξ) = u(γ−1(ξ)), tal que u(ξ(x)) = v(ξ). Da AnáliseMatemática II implicam fórmulas da transformação seguintes:

uxi =∑n

k=1 vξk

∂ξk∂xi

, i = 1, 2, . . . n,

uxixj =∑n

k,l=1 vξkξl

∂ξk∂xi

∂ξl∂xj

+∑n

k=1 vξk

∂2ξk∂xi∂xj

, i, j = 1, 2, . . . n.(11)

Substituindo estas experssões à equação (3), obtemos a equação nova

n∑

i,j=1

aij(ξ)∂2v

∂ξi∂ξj+ F (ξ, v,∇v) = 0, ξ ∈ V, (12)

onde

aij =n∑

k,l=1

akl∂ξi

∂xk

∂ξj

∂xl, i, j = 1, 2, . . . n. (13)

(coeficientes aij calculamos no ponto ξ ∈ V e coeficientes e derivadas da parte direita no pontox = γ−1(ξ) = x(ξ)) e

F (ξ, v,∇v) =n∑

i=1

n∑

k,l=1

∂2ξi

∂xk∂xl

vξi + F

(x(ξ), u,

n∑

k=1

∂ξk

∂x1vξk

, . . . ,n∑

k=1

∂ξk

∂xnvξk

). (14)

Usando notação matricial A = [aij ]ni,j=1 e A = [aij ]ni,j=1 a expressóes (13) se pode reescreverna forma

A = JAJ> (15)

onde A = A(x0), A = A(ξ(x0)), J = J(x0) com jacobiano detJ(x0) 6= 0.A tranformação (13) em forma matricial é tranformação da congruência por matriz não-

degernerada J . Como é sabido da Álgebra Linear, o posto e a signatura de uma matriz sãoinveriantes da tranformação de congruência. Então, do Lema 1.1 implica o teorema seguinte.

Teorema 1.2. A propriedade, que a EDDP é não-degenerado, e o tipo da EDDP são invariantesem relação da tranformação das variaveis não-degenerado (10).

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1.5 Forma canónica das EDDP no caso de n variaveis independentes

Vamos usar as designações do §1.4. É interessante usar tais transformações não-degeneradas,que a equação (12) seja mais simples possivel.

Como a matriz A é simétrica e real existe a matriz ortogonal C (i.e. C> = C−1) tal quea matriz A seja diagonal com autovalores λ1, . . . λn na diagonal principal (suponhamos que λi

está na intersecção de i-esima linha e i-esima coluna. Não é dificil ver que para equação do tipo(α, β, γ) a ortogonal matriz C se pone escolher assim: λ1, . . . , λα são positivos, λα, . . . , λα+β sãonegativos e, afinal, λα+β+1, . . . , λn são autovalores nulos (se, por exemplo, α = 0, o conjuntoλ1, . . . , λα designa conjunto vazio).

Tomemos

f(λi) ={

1/√|λi| se λi 6= 0

0 se λi = 0,Λ =

f(λ1) 0 . . . 00 f(λ2) . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . f(λn),

, P = ΛC>.

e consideremos a transformação alguma (10) com matriz de Jacobi J(x0) = P (em particular,pode-se tomar tranformação linear ξ = Px). Então obtemos pelas construcções e (15) a matrizdiagonal

A = PAP> = JAJ> = Ic, (16)

onde I é matriz unitária e o vector c ∈ Rn defina-se pela fórmula

c = (1, 1, . . . , 1︸ ︷︷ ︸α

,−1,−1, . . . ,−1︸ ︷︷ ︸β

, 0, 0, . . . 0︸ ︷︷ ︸γ

).

Definição 1.9. A transforamação (10) tal que a matriz A da equação (12) no ponto x0 temforma (16), chama-se a transformação canónica da equação (3). A mesma equação (12) obtidapor transformação canónica, chama-se forma canónica da EDDP (3).

Teorema 1.3. Cada EDDP (3) não-degenerado no ponto x0 ∈ Rn pode ser representado nesteponto para sua forma canónica por meio do trnsformação linear certo. A forma canónica daEDDP do tipo (α, β, γ) é

α∑

i=1

vξiξi−

α+β∑

i=α+1

vξiξi+ F (ξ, v,∇v) = 0.

Em particular, as fórmas canónicas das equações hyperbólicas, parabólicas e elípticas são

vξ1ξ1 =n∑

i=2

vξiξi + F (ξ, v,∇v),n−1∑

i=1

vξiξi = F (ξ, v,∇v), ∆v = F (ξ, v,∇v),

respectivamente.

Observação 1.1. Transformação canónica depente do ponto fixo x0. Infelizmente, em casogeral, não é possivel garntir a existencia da tranformação concreta que representa a equação àforma canonica na vizinhança alguma do ponto x0. Entretanto, transformações canónicas nosconjuntos abertos D é possivel achar no caso n = 2, i.e. para a EDDP (7).

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1.6 Forma canónica das EDDP no caso de duas variaveis

Consideremos a EDDP linear com duas variaveis indenpendentes

auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu + g = 0, (x, y) ∈ D (17)

onde D é domínio em R2 as funções a, b, c, d, e, f, g são definidas no D e satisfazem à condição(8). Concretizemos conclusões de dois paragrafos precedentes para equação (17). Não é difícilgeneralizar constrições em baixo par a EDDP (7), mas limitamo-nos do caso da equação linear,que é mais interessante para práctica.

Consideremos algima trensformação não-degenerada γ : D ∈ R2: ou, mais detalhadamente,{

ξ = ξ(x, y)η = η(x, y)

tal que J(x, y) =(

ξx(x, y) ξy(x, y)ηx(x, y) ηy(x, y)

), (x, y) ∈ D (18)

Da última condição implica a existência da tranformação inversa γ−1 : γ(D) → D.Tranformemos a equação (17) para a equação em relação a função incógnita v(ξ, η) =

u(ξ(x, y), η(x, y)), usando (12)–(14). Obtemos

avξξ + 2buξη + cvηη + dvξ + evη + fv + g = 0, (ξ, η) ∈ γ(D). (19)

ondea = a(ξx)2 + 2bξxξy + c(ξy)2,b = aξxηx + b(ξxηy + ηxξy) + cξyηy,c = a(ηx)2 + 2bηxηy + c(ηy)2,d = aξxx + 2bξxy + cξyy + dξx + eξy,e = aηxx + 2bηxy + cηyy + dηx + eηy,

f(ξ, η) = f(ξ(x, y), η(x, y)),g(ξ, η) = g(ξ(x, y), η(x, y)).

(20)

Definição 1.10. A equação diferencial ordinária de segunda ordem

a(dy)2 − 2b dxdy + c(dx)2 = 0 (21)

chama-se equação característica para EDDP (17).

Lema 1.2. Uma função ω ∈ C1(D) diferente da constante é solução da equação

a(ωx)2 + 2b ωxωy + c(ωy)2 = 0

sse a função ω(x, y) = C é integral comum (solução) da equação (21).

Definição 1.11. Uma curva plana ω(x, y) = C chama-se característica da equação (17) seω(x, y) = C, considerando como a função implícia, é integral comum da equação (21).

Da Lema 1.2 e das formulas (20) implica idéia do metodo de deducção da equação (17) àforma conónica: se escolher a função ξ(x, y), (η(x, y)) da tranformação (18), tal que ξ(x, y) = C(η(x, y) = C, resp.) seja características de (17), obtemos a ≡ 0 (c ≡ 0, resp.). Esta idéia foirealizada detalhadamente nas áulas. Agora escrevermos o resultado final na forma da tabela,que serve a base do algoritmo de dedução da equação (12) para forma canónica.

Suponhamos que a(x, y) 6= 0, (x, y) ∈ D. Neste caso a equação (21) descompôs-se em duasequações

ady = (b±√

∆)dx, (22), (23)

onde ∆ = b2 − ac. Estas equações vamos chamar (mesmo que (21)) as equações característicaspara (17). Na tabela apresentada use-se designação F (·) = F (ξ, η, v(ξ, η), vξ(ξ, η), xη(ξ, η)).

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Tipo de (17) hiperbólico parabólico elípticoSinal de ∆ ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

Transformação canónica{ξ = ξ(x, y)η = η(x, y)

ξ(x, y) = C1,η(x, y) = C2

são inegrais comunsde (22),(23)

ξ(x, y) = C1 é inegralcomum de (22),

η ∈ C2(D) é arbitrário,tal que det J 6= 0

ξ(x, y)± i η(x, y) = Cé inegrail comumde (22) ou (23)

Coeficientesna forma canónica a = c = 0, b 6= 0 a = b = 0, c 6= 0 a = c 6= 0, b = 0

Fórma canónica vξη + F (·) = 0 vηη + F (·) = 0 vξξ + vηη + F (·) = 0

Algoritmo de dedução da equação (17) para forma canónica:

1) Achar o tipo da equação2) Resolver as equações (22), (23) e achar transformação canónica (18), usando particulari-

dade do tipo segundo a terceira linha da tabela.3) Achar coeficientes pelas fórmulas (20), optimizando o trabalho segundo a subúltima linha

da tabela.4) Eschrever a equação (19).5) Simplificar (19) e encontrar a forma canónica por transfomação canónica.

Proposição 1.1. 1) Nos pontos hiperbólicos a equação (17) tem duas famílias linearmenteindependentes das características reais.

2) Nos pontos parabólicos a equação (17) tem só uma família linearmente independente dascaracterísticas reais.

3) Nos pontos elípticos a equação (17) tem duas famílias linearmente independentes dascaracterísticas complexos e, respectivamente, tem nenhuma característica real.

Observação 1.2. Forma canónica do tipo hiperbólico da tebela não corresponde ao Teorema1.3. Tomando a equação vξη + F (·) = 0 e realizando a transformação α = ξ + η, β = ξ − ηobtemos a equação (com função incógnita nova w(α, β) = v(α(ξ, η), β(ξ, η)) ) seguinte:

wαα − wββ + Φ(α, β,w, wα, wβ) = 0 (24)

que se representa a forma canonica da equação hiperbólica no sentido do Teorema 1.3. Para de-ducção (24) pode-se usar as fórmulas (20), onde papeis de x, y, u, ξ, η, v desempenham ξ, η, v, α, β, w,respectivamente.

A formas vξη + F (·) = 0 e (24) para EDDP hiperbólico com duas varaveis independenteschama-se a primeira e a segunda forma canónica, resp.

Observação 1.3. A suposição a 6= 0 não limita a generalidade. De facto, consideremos doiscasos:

1) a = c = 0. Então b 6= 0 e a equação (17) tem a forma buxy + G(x, y, u, ux, uy) = 0 comb 6= 0, visto que a equação não é degenerado. A divisão por b dá-nos direitamente a formacanónica.

2) a = 0, c 6= 0. Realizemos a transformação da função incógnota: u(x, y) = u(y, x). Obtemosa EDDP linear com coefiniente a antes de uxx, sendo que a(x, y) = c(y, x) 6= 0.

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