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Método de Cross 1

ENGENHARIA CIVIL TEORIA DE ESTRUTURAS II

3º Ano / 2º Semestre – 2001/2002

Prof. João Miranda Guedes (DEC)

MÉTODO DE CROSS

Seja a seguinte estrutura hiperstática:

R1 R2 p

L

E,I

Os momentos nos apoios têm valor conhecido, apresentado em tabelas apropriadas, neste caso:

12

2

21LpRR ⋅

−=−=

Consideremos agora na estrutura anterior um apoio duplo intermédio, i.e. duas barras:

R1 R3 p

L1 L2

E,I

=

R10 R30 R20= R’20+ R’’20 p

L1 L2

R12 R32 M2=-R20

+

L1 L2

Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 2

Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:

R10 R30 R20= R’20+ R’’20 p

L1 L2

R10R’20

R30 p

R’’20 +=

e será apenas necessário determinar os esforços provocados pelo momento M2 concentrado aplicado na direcção 2:

R*12 R*32∆2=1

k’22

k’’22

L1 L2

[ ] { } { } { }222222 0 MKK =+∆⋅′′+′

21

2

2222

22

44

12

⋅⋅+

⋅⋅

⋅−−

=′′+′

=∆

LIE

LIE

Lp

KKM

i.e.

R12 R’22

R32

R’’22

+

∆2

22222

2222222

22222

2222222

MKK

KKR

MKK

KKR

⋅′′+′

′′=∆⋅′′=′′

⋅′′+′

′=∆⋅′=′


O momento flector na extremidade das barras é proporcional à rigidez à rotação das barras no nó. Somando então as duas respostas e substituido o valor M2, temos:

R1 R’2

R3 p

R’’2 +

∆2

( )

( )202222

222022202

202222

222022202

RKK

KRRRR

RKK

KRRRR

−⋅′′+′

′′+′′=′′+′′=′′

−⋅′′+′

′+′=′+′=′

Os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma percentagem do momento em desequilíbrio no nó R20, percentagem essa dada pela relação entre a rigidez à rotação da barra e a rigidez à rotação do nó.

Consideremos agora a estrutura anterior constituida por barras axialmente indeformáveis e tal que a barra da esquerda é vertical:

p

L1

E, I

L2

=

p

L1

+

L2

R20

E, I

L1

E, I

M2=-R20

L2


Apliquemos a sequência de cálculo anterior. Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método dos Deslocamentos. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação do apoio fictício:

p

L1

=

L2

R20= R’20+ R’’20

R’’20

p

R’20

+

∆2


L1

E, I

L2

K’22 K’’22

∆2=1

[ ] { } { } { }222222 0 MKK =+∆⋅′′+′

21

2

2222

22

44

12

⋅⋅+

⋅⋅

⋅−−

=′′+′

=∆

LIE

LIE

Lp

KKM

i.e.

R’’22R’22

+

∆2


22222

2222222

22222

2222222

MKK

KKR

MKK

KKR

⋅′′+′

′′=∆⋅′′=′′

⋅′′+′

′=∆⋅′=′

Somando as duas respostas e substituido o valor M2, temos:

R’’2 p

R’2

+

∆2

( )

( )202222

222022202

202222

222022202

RKK

KRRRR

RKK

KRRRR

−⋅′′+′

′′+′′=′′+′′=′′

−⋅′′+′

′+′=′+′=′

Os momentos flectores nas extremidades das barras são iguais aos calculados na estrutura anterior.

Consideremos agora a mesma estrutura, constituida por barras axialmente indeformáveis, mas supondo a barra da esquerda numa posição «diagonal»:

p

L1

L2

E, I

=

R20

p

+

E, I

L2

L1

M2=-R20

E, I

L2

L1



R20

p

+

E, I

L2

L1

R20= R’20+ R’’20

R’’20 p

R’20

+


E, I

L2

L1

K’22K’’22

∆2=1

[ ] { } { } { }222222 0 MKK =+∆⋅′′+′

21

2

2222

22

44

12

⋅⋅+

⋅⋅

⋅−−

=′′+′

=∆

LIE

LIE

Lp

KKM

i.e.

R’’22R’22

+

∆2

22222

2222222

22222

2222222

MKK

KKR

MKK

KKR

⋅′′+′

′′=∆⋅′′=′′

⋅′′+′

′=∆⋅′=′



R’’2 p

R’2

+

∆2

( )

( )202222

222022202

202222

222022202

RKK

KRRRR

RKK

KRRRR

−⋅′′+′

′′+′′=′′+′′=′′

−⋅′′+′

′+′=′+′=′

Os momentos flectores nas extremidades das barras são ainda iguais aos calculados na estrutura anterior, i.e. não dependem da orientação das barras.

Seja agora uma estrutura constituida por 3 barras axialmente indeformáveis:

p

E, I

α

L2

A

B

C

D

1

2

3

L3L1 . cos α

=

p

E, I

α

L2

L3 L1 . cos α

R20

1

2

3

E, I

α

L2

L3 L1 . cos α

+M2=-R20

1

2

3



p

E, I

α

(R20)1

(R20)2

(R20)3

1

2

3

R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3


E, I

α

1

2

3 (K22)1

(K22)2

(K22)3

∆2=1

( ) ( ) ( )[ ] { } { } { }22322222122 0 MKKK =+∆⋅++

( ) ( ) ( )321

3

2

322222122

22

444

12

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅

⋅−−

=++

=∆

LIE

LIE

LIE

Lp

KKKM

i.e.


E, I

α

1

2

3 (R22)1

(R22)2

(R22)3

∆2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2

322222122

3222322322

2322222122

2222222222

2322222122

1222122122

MKKK

KKR

MKKK

KKR

MKKK

KKR

⋅++

=∆⋅=

⋅++

=∆⋅=

⋅++

=∆⋅=


p

E, I

α

L2

L3L1 . cos α

1

2

3 (R2)1

(R2)2

(R2)3

∆2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )20

322222122

32232032232032

20322222122

22222022222022

20322222122

12212012212012

RKKK

KRRRR

RKKK

KRRRR

RKKK

KRRRR

−⋅++

+=+=

−⋅++

+=+=

−⋅++

+=+=

Mais uma vez, os momentos flectores na extremidade das barras são calculados subtraindo aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, uma percentagem do momento em desequilíbrio no nó R20, percentagem essa dada pela relação entre a rigidez à rotação da barra e a rigidez à rotação do nó. Note ainda que, por um lado, caso não exista qualquer momento concentrado aplicado no nó livre,


( ) ( ) ( ) 0322212 =++ RRR

e por outro, o equilíbrio do nó transfere para as extremidades das barras opostas ao nó que sofre rotação um momento que, por sobreposição dos efeitos anteriores, é igual a

p

E, I

α

1

2

3 (R2)1

(R2)2

(R2)3

∆2

(Ra)1

(Ra)2

(Ra)3

=

p

E, I

α

(R20)1

(R20)2

(R20)3

1

2

3

R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3

(Ra0)1

(Ra0)2

(Ra0)3

E, I

α

1

2

3 (K22)1

(K22)2

(K22)3

∆2=1

+

(Ra2)1=(Ka2)1

(Ra2)2=(Ka2)2

(Ra2)3=(Ka2)3

x ∆1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )20

322222122

32233032303

20322222122

32222022202

20322222122

12211012101

RKKK

KrRRRR

RKKK

KrRRRR

RKKK

KrRRRR

aaaa

aaaa

aaaa

−⋅++

⋅+=+=

−⋅++

⋅+=+=

−⋅++

⋅+=+=

i.e. são calculados adicionando aos momentos de encastramento na situação do apoio fictício imóvel, um valor r do momento absorvido pela barra na extremidade que sofre rotação, sendo que para a barra i,

( ) ( )iaii KKr 222 =⋅

No caso de barras de secção constante, temos:


5,024 =⇒

⋅⋅=

⋅⋅⋅ i

iii r

LIE

LIEr

Para finalizar esta primeira abordagem do Método de Cross, iremos considerar ainda na estrutura anterior um apoio duplo na extremidade direita da barra 3,

p

E, I

α

L2

A

B

C

D

1

2

3

L3L1 . cos α

A resolução da estrutura determina para os esforços nas extremidades das barras

p

E, I

α

1

2

3 (R2)1

(R2)2

(R2)3

∆2

(Ra)1

(Ra)2

(Ra)3

=

p

E, I

α

(R20)1

(R20)2

(R20)3

1

2

3

R20=(R20)1+(R20)2+(R20)3

(Ra0)1

(Ra0)2

E, I

α

1

2

3 (K22)1

(K22)2

(K22)3

∆2=1

+

(Ra2)1=(Ka2)1

(Ra2)2=(Ka2)2

x ∆1


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )20

322222122

32232032232032

20322222122

32222022222022

20322222122

12212012212012

RKKK

KRRRR

RKKK

KRRRR

RKKK

KRRRR

−⋅++

+=+=

−⋅++

+=+=

−⋅++

+=+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) 03

20322222122

32222022202

20322222122

12211012101

=

−⋅++

⋅+=+=

−⋅++

⋅+=+=

a

aaaa

aaaa

R

RKKK

KrRRRR

RKKK

KrRRRR

A rigidez à rotação da barra 3 no apoio fictício, (K22)3, é, neste caso, igual a (3. E.I / L)3 e não a (4.E.I / L)3, sendo (Ra0)3 = r3 = 0. Por outro lado, os valores cocientes da rigidez à rotação

das barras nos nós designam-se por coeficientes de distribuição de rigidez nos nós

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