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Geometria Prof.:Carlinhos. Lista n° 11 20/05/2013

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1. (G1 - utfpr 2013) Seja α a circunferência que

passa pelo ponto B com centro no ponto C e β a

circunferência que passa pelo ponto A com centro no ponto C, como mostra a figura dada. A medida do

segmento AB é igual à medida do segmento BC e o

comprimento da circunferência α mede 12 cm.π

Então a área do anel delimitado pelas circunferências

α e β (região escura) é, em cm2, igual a:

a) 108 .π b) 144 .π c) 72 .π d) 36 .π e) 24 .π 2. (Pucrj 2013) Um show de rock foi realizado em um terreno retangular de lados 120 m e 60 m. Sabendo que havia, em média, um banheiro por cada 100 metros quadrados, havia no show: a) 20 banheiros b) 36 banheiros c) 60 banheiros d) 72 banheiros e) 120 banheiros 3. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Denotando as áreas das regiões semicircular e

triangular, respectivamente, por S φ e T ,φ

podemos afirmar que a razão S T ,φ φ quando

2φ π radianos, é

a) 2.π b) 2 .π c) .π d) 4.π

4. (Uerj 2013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo.

1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:

2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de

modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:

3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.

A área construída da bandeirinha APBCD, em cm

2, é

igual a:

a) 25 4 3 b) 25 6 3

c) 50 2 3 d) 50 3 3

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

5. (Uel 2013) Observe a simetria do corpo humano na figura acima e considere um quadrado inscrito em um círculo de raio R, conforme a figura a seguir.

2

A área da região sombreada é dada por:

a) 2A R ( 2)π b) 2R ( 2)

A2

π

c) 2 2R ( 4)

A2

π d)

2R ( 2)A

4

π

e) 2 2R ( 2)

A4

π

6. (Ueg 2012) A figura abaixo representa uma circunferência de raio r = 2 cm, em que AC é o diâmetro e AB é uma corda. Sabendo-se que o ângulo BÔC = 600, calcule a área da região hachurada.

7. (Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m

2, e outro para a parte mais clara

(regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.

De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00

8. (Pucrj 2012) Um retângulo tem lados a e b com a + b = 14. Sabemos que sua diagonal mede 10. Qual a sua área? a) 10 b) 14 c) 24 d) 28 e) 48 9. (G1 - ifsc 2012) Um triângulo retângulo tem hipotenusa igual 5 cm e os catetos medindo um o dobro do outro. É CORRETO afirmar que a medida de sua área em cm

2 é:

a) 5. b) 10. c) 10 5. d) 5. e) 8 5. 10. (Mackenzie 2012) Unindo-se os pontos médios

dos lados de um hexágono regular 1H , obtém-se um

hexágono regular 2H . A razão entre as áreas de 1H e

2H é

a) 4

3 b)

6

5 c)

7

6 d)

3

2 e)

5

3

11. (Ufsc 2012) Calcule a área, em cm

2, de um

triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 10 cm e cujo raio da circunferência inscrita mede 1 cm. 12. (Ufrgs 2012) Os círculos desenhados na figura abaixo são tangentes dois a dois.

A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada é

a) 1. b) 2. c) 3

.4 π

d) .4

π

π e)

2.

4

π

π

13. (Fgv 2012) Cada um dos 7 círculos menores da

figura a seguir tem raio 1cm. Um círculo pequeno é

concêntrico com o círculo grande, e tangencia os outros 6 círculos pequenos. Cada um desses 6 outros círculos pequenos tangencia o círculo grande e 3 círculos pequenos.

Na situação descrita, a área da região sombreada na

figura, em 2cm , é igual a

a) π b) 3

2

π c) 2π d)

5

2

π e) 3π

14. (Unicamp 2012) Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu

3

rapidamente a cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no vulcão e com raio 25% maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande foram cancelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber voos é

a) maior que 210000 km .

b) menor que 28000 km .

c) maior que 28000 km e menor que 29000 km .

d) maior que 29000 km e menor que 210000 km .

15. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m

2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de

gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante

indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).

Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do

tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do

tipo B. 16. (Ufsj 2012)

A figura acima é conhecida como Homem Vitruviano (Leonardo da Vinci, 1490). Nela, um homem nu aparece inscrito em um quadrado e em um círculo, ambos de mesma área. Considerando R o raio desse círculo e L o lado desse quadrado, é CORRETO afirmar que:

a) R = L/2 b) 2(L/R)π c) 2L /2Rπ d) 2L/Rπ

17. (G1 - col.naval 2011) Seja ABC um triângulo com

lados AB 15, AC 12 e BC 18. Seja P um ponto

sobre o lado AC, tal que PC 3AP. Tomando Q sobre

BC, entre B e C, tal que a área do quadrilátero APQB seja igual a área do triângulo PQC, qual será o valor

de BQ? 18. (Uel 2011) Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as medidas indicadas na figura ao lado, qual a área aproximada do terreno?

a) 238,28 km

b) 245,33 km c)

256,37 km

d) 258,78 km e)

260,35 km

19. (G1 - cftmg 2011) Um parque ecológico com formato circular, cujo diâmetro AC mede 500 metros, tem 3 entradas M, N e P que dão acesso ao espaço triangular ABC, reservado ao plantio de árvores, conforme figura abaixo.

Considere 3π

Se o lado BC do triângulo mede 300 m, então, a área

do parque, externa ao espaço plantado, em2m , é

igual a a) 93.700 b) 127.500 c) 147.500 d) 153.750

4

20. (G1 - utfpr 2011) Uma praça semicircular de 250m de raio ficou lotada em um determinado evento. Considerando uma ocupação média de 5 pessoas por

2m , a melhor estimativa para o número de pessoas

neste evento é de: (Use: 3,14π ) a) 1 milhão. b) 500 mil. c) 200 mil. d) 100 mil. e) 20 mil. 21. (Enem 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 20 m Terreno 5: 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 01. b) 02. c) 3. d) 4. e) 5. 22. (Ufrj 2011) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L.

Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta. 23. (G1 - ifsp 2011) A figura representa dois semicírculos com o diâmetro em dois lados consecutivos de um quadrado. Sabendo-se que a

diagonal do quadrado mede 3 8 cm , a área da

figura, em centímetros quadrados, é igual a

Adote 3

a) 72. b) 63. c) 54. d) 45. e) 30.

24. (G1 - cp2 2010) Na figura abaixo, as bases do trapézio isósceles ABCD medem 10 cm e 30 cm e a medida do ângulo BÂD é 60º. Além disso, AE = EB

a) Determine a altura do trapézio ABCD. b) Utilizando o Teorema de Pitágoras, encontre a medida DE. c) Calcule a medida da área do triângulo DCE. 25. (Ufpb 2010) Em um evento religioso, realizado em

uma praça com área livre plana de 42.000 m2, para

estimar a quantidade de pessoas presentes, os

organizadores tomaram como padrão que o espaço

ocupado por uma pessoa equivale a um retângulo de

dimensões 35cm ×60cm .

Nesse contexto, considerando que o público lotou toda

a área livre da praça, conclui-se que o número de

pessoas presentes nesse evento foi,

aproximadamente, de: a) 200.000 b) 300.000 c) 400.000 d) 500.000 e) 600.000 26. (Ibmecrj 2010) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são os vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente, como na figura. A área da parte em negrito é:

a) (4 - ) b) ( -1) c) (4 - 2 )

d) (4 -4) e) ( - 4) 27. (Enem 2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a

altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas

não o dobro.

5

c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.

d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.

e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.

28. (Enem 2010) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura.

O raio da perfuração da peça é igual a a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 29. (Enem 2009) O governo cedeu terrenos para que

famílias construíssem suas residências com a

condição de que no mínimo 94% da área do terreno

fosse mantida como área de preservação ambiental.

Ao receber o terreno retangular ABCD, em que

AB = BC

2, Antônio demarcou uma área quadrada no

vértice A, para a construção de sua residência, de

acordo com o desenho, no qual AE = AB

5 é lado do

quadrado.

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria

exatamente o limite determinado pela condição se ele a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%. 30. (Enem 2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo,

constitui preocupação constante nos períodos

chuvosos. Em alguns trechos, são construídas

canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas

canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um

trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na

figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s.

O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da

área A do setor transversal (por onde

passa a água), em m2, pela

velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja,

Q = Av.

Planeja-se uma reforma na canaleta, com as

dimensões especificadas na figura II, para evitar a

ocorrência de enchentes.

FIGURA 1 FIGURA II

Na suposição de que a velocidade da água não se

alterará, qual a vazão esperada para depois da

reforma na canaleta? a) 90 m

3/s. b) 750 m

3/s. c) 1.050 m

3/s.

d) 1.512 m3/s. e) 2.009 m

3/s.

31. (Enem cancelado 2009) Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área total. Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o filho, conforme a figura.

De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura x metros contornando o terreno cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x da faixa é

a) 10%(a + b)2 b) 10%(a . b)

2 c) a b − (a + b)

d) 2

a b ab a b e) 2

a b ab a b

32. (Enem cancelado 2009) Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilíndrico afiado para retirar parte do miolo de uma laranja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em secções perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e a 3 cm, respectivamente.

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A área da maior fatia possível é a) duas vezes a área da secção transversal do

cilindro. b) três vezes a área da secção transversal do cilindro. c) quatro vezes a área da secção transversal do

cilindro. d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro. e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro. 33. (Enem cancelado 2009) Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura.

Área do setor circular: ASC = 2R

2

, α em radianos.

A área da região S, em unidades de área, é igual a

a) 2 22 R 3R

3 2

b)

22 3 3 R

12

c) 2 2R R

12 8

d)

2R

2

e)

2R

3

34. (Enem simulado 2009) Uma pessoa de estatura mediana pretende fazer um alambrado em torno do campo de futebol de seu bairro. No dia da medida do terreno, esqueceu de levar a trena para realizar a medição. Para resolver o problema, a pessoa cortou uma vara de comprimento igual a sua altura. O formato do campo é retangular e foi constatado que ele mede 53 varas de comprimento e 30 varas de largura. Uma região R tem área AR, dada em m

2, de mesma

medida do campo de futebol, descrito acima. A expressão algébrica que determina a medida da vara em metros é

a) RAVara m.

1500 b) RA

Vara m.1590

c) R

1590Vara m.

A d) RA

Vara m.1500

e) RAVara m.

1590

35. (Uel 2007) Com a crise nas penitenciárias

brasileiras decorrentes das rebeliões simultâneas em

várias instituições, houve discussões sobre o uso de

bloqueadores de celulares. "O princípio do bloqueio é

gerar um sinal, por meio de uma antena instalada

internamente no presídio, que interfere na frequência

da rede celular e que seja mais forte

do que o sinal da operadora"

Fonte: Eduardo Neger em entrevista publicada

por IDG NOW! www.idgnow.com.br em 16/05/06.

Acesso em 20/07/2006.

A dificuldade, porém, está em evitar que o bloqueio

extrapole a área do presídio. Supondo um

determinado presídio inteiramente contido em um

círculo com raio de 500 m, no qual a antena para o

bloqueio esteja instalada no centro deste círculo e o

bloqueio de celulares extrapole este círculo em 10%

do raio, assinale qual a alternativa que corresponde à

área indevidamente bloqueada fora deste círculo: a) 52.000 π m

2 b) 52.500 π m

2 c) 53.000 π m

2

d) 53.500 π m2 e) 54.000 π m

2

36. (Uerj 2007) A figura 1 mostra uma pessoa em

uma asa-delta

O esquema na figura 2 representa a vela da asa-delta,

que consiste em dois triângulos isósceles ABC e ABD

congruentes, com AC = AB = AD. A medida de AB

corresponde ao comprimento da quilha. Quando

esticada em um plano, essa vela forma um ângulo

CÂD = 2 .

Suponha que, para planar, a relação ideal seja de 10

dm2 de vela para cada 0,5 kg de massa total.

Considere, agora, uma asa-delta de 15 kg que planará

com uma pessoa de 75 kg.

De acordo com a relação ideal, o comprimento da

quilha, em metros, é igual à raiz quadrada de:

a) 9 cos b) 18 sen c) 9

cosθ d)

18

senθ

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: - Uma área agrícola, próxima a um lago, precisa ser

adubada antes do início do plantio de hortaliças.

- O esquema (figura 1) indica as medidas do terreno a

ser plantado. Os dois lados paralelos distam 10 km e

os três ângulos obtusos indicados são congruentes.

- Para corrigir a elevada acidez do solo, o produto

recomendado foi o calcário (CaCO3), na dosagem de 5

g/m2 de solo.

- Para a adubação do terreno, emprega-se um

pulverizador com 40 m de comprimento, abastecido

por um reservatório de volume igual a 2,16 m3, que

libera o adubo à vazão constante de 1.200 cm3/s.

Esse conjunto, rebocado por um trator que se desloca

à velocidade constante de 1 m/s, está representado na

figura 2.

- A partir do início da adubação, a qualidade da água

7

do lago passou a ser avaliada com regularidade.

37. (Uerj)

A área do terreno a ser plantada é, em km2, igual a:

a) 160 b) 165 c) 170 d) 175 38. (Uerj) Unindo-se os pontos médios dos lados do

triângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A'B'C',

como mostra a figura.

Se S e S' são, respectivamente, as áreas de ABC e

A'B'C', a razão S/S' equivale a:

a) 4 b) 2 c) 3 d) 3

2

39. (Enem) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas

quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura.

Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas

médias e 16 tampas pequenas.

Área do círculo: 2r

As sobras de material da produção diária das tampas

grandes, médias e pequenas dessa empresa são

doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III,

para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas

informações, pode-se concluir que a) a entidade I recebe mais material do que a entidade

II. b) a entidade I recebe metade de material do que a

entidade III. c) a entidade II recebe o dobro de material do que a

entidade III. d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material

do que a entidade III. e) as três entidades recebem iguais quantidades de

material. 40. (Uerj) Uma folha de papel retangular, como a da

figura 1, de dimensões 8 cm × 14

cm, é dobrada como indicado na

figura 2.

Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono

ADCEB, em cm2, é igual a:

a) 112 b) 88 c) 64 d) 24 41. (Uel) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado

mede a. Um dos arcos está contido na circunferência

de centro C e raio a, e o outro é uma

semicircunferência de centro no ponto médio de BC e

de diâmetro a. A área da região hachurada é:

a) Um quarto da área do círculo de raio a. b) Um oitavo da área do círculo de raio a.

c) O dobro da área do círculo de raio a

2.

d) Igual à área do círculo de raio a

2.

e) A metade da área do quadrado. 42. (Uel 1998) Oito amigos compram uma pizza

gigante circular com 40 cm de diâmetro e pretendem

dividi-la em oito pedaços iguais. A área da superfície

de cada pedaço de pizza, em centímetros quadrados,

é

a) 50π b) 60 π c) 75 π d) 100 π e) 120π

43. (Uerj)

O decágono da figura anterior foi dividido em 9 partes:

1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2

triângulos equiláteros, todos com os lados

congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros

triângulos.

Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a

área do quadrado, pode-se concluir que a área do

decágono é equivalente a:

a) 14 T + 3 Q b) 14 T + 2 Q c) 18 T + 3 Q d) 18 T + 2 Q 44. (Uel) Um rolo de tela com 28 m de comprimento

será totalmente aproveitado para cercar um jardim

com formato de setor circular como mostra a figura a

8

seguir. Se a área do setor é 40 m2 e x é maior que y,

então o raio do setor é um número:

a) divisor de 35. b) menor que 8. c) múltiplo de 5. d) quadrado perfeito. e) ímpar. 45) (Uff 2001) Para a encenação de uma peça teatral,

os patrocinadores financiaram a construção de uma

arena circular com 10 m de raio. O palco ocupará a

região representada pela parte hachurada na figura a

seguir:

Se O indica o centro da arena e se h mede 5 m, então,

a área do palco, em m2, vale:

a) (75 3 50 )

3

π b)

(25 3 )

2

π c)

(50 2 )

2

π

d) (5 2 10 )

3

π e) 100

46) (UNIFESO) A figura a seguir mostra uma semicircunferência de diâmetro AB e um segmento PQ perpendicular a AB. Se AP = 8cm e PB = 18cm, a área do triângulo AQB é igual a:

(A) 1442cm (B) 156

2cm (C) 1692cm

(D) 1822cm (E) 195

2cm

47) A figura mostra um quadrado ABCD e duas semicircunferências, de diâmetros AB e BC, cortando-se em P.

Sendo PD = 6, a área sombreada mede: (A) 9 /2 (B) 6 + 3 (C) 18 (D) 6 (E) 24

48) (UNIFESO) A figura a seguir mostra um quadrado ABCD e um arco de circunferência de centro A, tangente à diagonal BD. Se o lado do quadrado mede 40cm, a área sombreada mede, aproximadamente:

(A) 642cm (B) 70

2cm . (C) 752cm

(D) 802cm . (E) 86

2cm

49) (UNIFESO) A figura a seguir mostra um quadrado ABCD com lado 2m e dois arcos de circunferências tangentes com centros nos pontos A e C.

A área sombreada em 2m é aproximadamente igual

a: (A) 1,32 (B) 1,20 (C) 1,07 (D) 0,98 (E) 0,86

50) (UNIFESO) Quanto vale a área em 2cm de um

triângulo que tem dois lados, cada um com 4cm de comprimento, formando um ângulo de 30°? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 12

51) (UNIFESO)

O quadrado ABCD tem área igual a 24cm . A região

CEFG corresponde à quarta parte de um círculo de raio CE = CF = CG. Esse quarto de círculo tangencia a diagonal DB do quadrado em F. A área hachurada vale:

(A)2 (B) (C)2

(D)2 (E)22 4