111

yyxx evevv

000

0

0v

Componentes da velocidade inicial

xe

ye

0

00cos

v

v x0

0

0sinv

v y

As componentes iniciais x e y da velocidade são

000 sinvv y 000 cosvv x

Analisamos o movimento em cada uma das dimensões separadamente

0v

22

Duas esferas largadas simultaneamente

333

Fotografia estroboscópica de duas esferas largadas simultaneamente

As duas esferas chegam ao mesmo tempo no solo

As duas esferas são jogadas sob a acção da gravidade

A cada instante as esferas têm a mesma altura

A esfera rosa é solta v0y = 0

(queda livre)

A esfera amarela tem velocidade inicial horizontal v0x

44

Exemplo: Quando um avião em deslocamento horizontal com velocidade constante deixa cair um pacote com medicamentos para refugiados em terra, a trajectória do pacote vista pelo piloto é igual à trajectória vista pelos refugiados?

Não. O piloto verá o pacote descrever uma trajectória rectilínea vertical:

Os refugiados verão o pacote descrever um movimento horizontal uniforme e um vertical uniformemente acelerado, a visão será de uma trajectória parabólica:

55

Visão do piloto e visão dos refugiados

666

Diagrama do movimento de um projéctil

Movimento rectilíneo uniforme

Movimento uniformemente variado

g

77

Exemplo do movimento de um projéctil

888

EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉCTIL

constante cos 000 vvvxxComponente horizontal da velocidade

Componente vertical da velocidade gtvgtvv oyy 00 sin

Componente vertical da posição

tvxtvxx xxx 00000 cosComponente horizontal da posição

2

000

2

00 2

1sin

2

1gttvygttvyy y

Movimento rectilíneo uniforme na horizontal (MRU)

Movimento uniformemente variado na vertical (MRUV)

99

O tempo para atingir a altura máxima y=h (quando ) :

9

Alcance e altura máxima dum projéctil

0

0v

ALTURA MÁXIMA

0yv

g

vh

2

sin 0

220

g

v

g

vg

g

vvh

2

sinsin

2

1sinsin

200

2

000000

hhyy

yy

gtvgtvv

gtvv

000

0

sin

0yv

sin

sin0

00

00

vgt

gtv

h

h

g

vth

00 sin

Substituindo th na outra expressão

2

1sin

2

1sin 2

002

000 hh gttvhgttvyy (y=h e y0=0)

1010g

vR 0

20 2sin

ALCANCE

22 htt

g

vvR 00

00

sin2cos

tvxtvxx xxx 00000 cos

)2(cos)2( 000 hhx tvtvR

g

v 00 sin0

0v

00 yv

R é o alcance - distância horizontal percorrida pela partícula até chegar à altura inicial

O movimento é simétrico a partícula leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível

Portanto o tempo para percorrer R é

111111

Um projéctil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de m/s 50para vários ângulos 0

Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R

22 0 / o450

g

vR

2

max0

0

2

2sin0 g

vR

1for quando máximo é 2sin 0

Alcance máximo Rmáx

O que acontece quando

1212

m 1020m/s 8.9

m/s) 100(2

22

0 g

v

Exemplo 11. Um canhão atira esferas com velocidade v0 = 100 m/s. a) Determine o alcance máximo da esfera. b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.

a) Determine o alcance máximo da esfera

Rmáx=

b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima

g

vR 0

2

0 2sin , mas máx

20 Rg

v . Substituindo, fica 0máx 2sin RR

assim

784.0m 1020

m 8002sin

máx0 R

R

o01

o01 26 522

e o ângulo complementarooo

02 642690 -

131313

No movimento circular uniforme a velocidade tem módulo constante, porém sua direcção muda continuamente

Movimento de satélites artificiais

Movimento circular uniforme

Exemplos:

Pontos de um disco num gira discos

Pontos de um disco rígido de computador

Ponteiros de um relógio

As pessoas girando com o movimento da Terra

1414

Para descrever o MCU utilizamos as coordenadas polares

Movimento circular uniforme MCU

x

y

r

xe

ye

Vector posição

r e

x

y

r

xe

ye

cosr

sinr

yx ererr

sin cos

rr

onde

1515

O arco sobre a trajectória que subentende um ângulo é:

x s

dr

rs

drds

O arco descrito em é dado pords d

x

y

r S

161616

v

v

A

B

ca

ca

• A aceleração centrípeta é responsável pela mudança da direcção da velocidade

O vector velocidade é sempre tangente à trajectória da partícula e é perpendicular ao raio da trajectória

• A aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo

Demonstraremos que

r

No movimento circular uniforme

1717

O movimento circular é um movimento periódico

O tempo de uma volta completa é o período T

o tempo que demora para descrever um ângulo de 2

A velocidade angular é T

2

No movimento circular uniforme a velocidade angular é constante

A unidade da velocidade angular é 1s rad

ou f 2 onde f é a frequência

A unidade da frequência no SI é o hertz (Hz)

t

181818

x

y

r

xe

ye

A velocidade da partícula é a

derivada em ordem ao tempo de rv

dt

d

O módulo da velocidade é

Relaciona a velocidade angular velocidade linear v

22222 )cos(sin rrv

rv

porque

)cos(sincossin 2222222222 rrr

v

yx ererr

sin cos

yx edt

dre

dt

dr

dt

rdv

cossin

yx ererv

cos sin

mas

rerervv yx

cos sin

cos

sin

rv

rv

y

xv

xv

yv

1919

Como , também não é constante.

O valor absoluto da velocidade linear não varia mas a direcção varia

O movimento circular uniforme é acelerado e a única função da aceleração é mudar a

direcção da velocidade

A aceleração é

Observe que a direcção da aceleração tem sentido inverso ao do vector posição

É a aceleração centrípeta que faz variar o vector velocidade

Está dirigida para o centro da circunferência e por esse motivo chama-se aceleração centrípeta

yx ererdt

d

dt

vda

cos sin

yx ererv

cos sin

yx e

dt

dre

dt

dr

sin cos

r 2

rv

) sin cos( yx ererr

2020

O módulo da aceleração centrípeta é

como rv v

v

A

B

ca

ca

rac

2

rac2

r

vac

2

21

Observe a animação abaixo. O carro se move com velocidade linear constante.

r

vac

2

1

r

vac 2

2

2

Em qual das curvas a aceleração centrípeta é maior?