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Conservação de quantidade de movimento angular Aplicação em turbomaquinaria Exemplos

Conservação dequantidade de movimento angular:

aplicações em turbomáquinas

Paulo R. de Souza Mendes

Grupo de ReologiaDepartamento de Engenharia Mecânica

Pontifícia Universidade Católica - RJ

agosto de 2010


Sumário

Conservação de quantidade de movimento angularO balanço de QMA em um pedaço de fluido

Aplicação em turbomaquinariaTurbinasAcionadores primários

ExemplosExemplo: ventilador de fluxo axial


O balanço de QMA em um pedaço de fluido

O

V(t)M = const

n

t = n.T

V

r

dA

gr V

dV

T =dHdt

onde

H =

∫∀(t)

(r × V ) ρd∀

eT = T eixo +

∫S(t)

r × (n · T ) dA +

∫∀(t)

(r × g) ρd∀


Equação de conservação de QMA para um ∀C

• usando o teorema do transporte, obtemos a equação paraum volume de controle ∀C

T eixo +

∫SC

r × (n · T ) dA +

∫∀C

(r × g) ρd∀

=ddt

∫∀C

(r × V ) ρd∀+

∫SC

(r × V ) ρV · ndA


Aplicação em turbomaquinaria

• Usa-se tipicamente apenas o componente da equação nadireção do eixo de rotação da máquina (direção z, porexemplo)

• Desprezam-se os torques devidos às forças de superfíciee de corpo

• supondo que as propriedades são uniformes ao longo dassecções 1 (entrada) e 2 (saída), obtemos simplesmente

Teixo,z = m(r2Vt2 − r1Vt1) e Weixo = ωTeixo,z

onde Vt1 e Vt2 são os componentes tangenciais da velocidadeabsoluta do fluido na entrada e na saída, respectivamente, e ωé a velocidade angular do eixo.


Turbomáquinas: Turbinas e acionadores primários

Turbinas extraem energia (ou QMA) do fluidode impulso o jato é acelerado externamente ao

rotora reação existem palhetas fixas (ou guias),

presas à carcaça, e palhetas móveis(giratórias), presas ao eixo. Parte daaceleração ocorre nas palhetas fixas,e parte nas móveis.

eficiência:

η =energia que sai pelo eixoenergia extraída do fluido


Turbomáquinas:Turbinas e acionadores primários

Acionadores primários entregam energia (ou QMA) ao fluidobombas para líquidos e pastas

centrífugas líquidosde deslocamento positivo pastas

ventiladores gases e vapores, altas vazões epequenos ∆p’s

compressores gases e vapores, baixas vazões ealtos ∆p’s

eficiência:

η =energia entregue ao fluidoenergia que entra pelo eixo


Turbinas hidráulicas: roda d’água


Turbinas hidráulicas: roda Pelton


Turbinas hidráulicas: Francis


Turbinas hidráulicas: Kaplan


Turbinas hidráulicas: geração de energia elétrica


Turbinas a gás


Outras turbinas


Bombas centrífugas


Bombas parafuso


Bombas a diafragma


Ventiladores


Compressores


Exemplo: ventilador de fluxo axial

Rm

ωescoamento

1 2

Di

Do

Dados:D1,Do, ω, α1, β1, β2Achar:• vazão, Q• torque no rotor, Teixo,z

• potência transmitida aofluido, Weixo.

Utilizar o raio médio Rm = (Di + Do)/4 para avaliar aquantidade de movimento angular na entrada 1 e na saída 2.


velocidades absolutas e relativas

z

2

1

Vrb1

V1ROTOR

CARCAÇA

U = ω.Rm

Vrb2V2

fluxo de ar

U = ω.Rm

U = ω.Rm

β1

α1

β2α2

Solução: os dados doproblema são mostrados nafigura ao lado. Para usarmosa equação de conservaçãode quantidade de movimentoangular, a saber,

Teixo,z = m(r2Vt2 − r1Vt1)

precisamos primeiro avaliaros componentes tangenciaisda velocidade absoluta Vt1 eVt2. Para isso, precisamosdos assim chamadospolígonos de velocidade.


polígono de velocidade na secção 1

1U = ω.Rm

V1

Vrb1

Vn1

Vt1

β1α1

Na entrada 1, conhecemos osângulos α1 e β1, e a velocidade dapalheta U = ωRm.

Com estes dados podemos determinar a velocidade absoluta~V1 = ~U + ~Vrb1. Da figura, podemos escrever:

U = Vrb1 cosβ1 + Vt1;Vt1

Vn1= tanα1; Vn1 = Vbr1 sinβ1

Logo,

Vn1 =ωRm

cotβ1 + tanα1; Vt1 =

ωRm tanα1

cotβ1 + tanα1


Cálculo da vazão

A vazão é obtida simplesmente multiplicando o componentenormal da velocidade absoluta, Vn1, pela área de secção reta:

Q = Vn1π

4(D2

o − D2i )

ou

Q =πωRm(D2

o − D2i )

4(cotβ1 + tanα1)

Além disso, do princípio de conservação de massa obtemosque

Vn2 = Vn1

pois as áreas na entrada e saída são iguais.


polígono de velocidade na secção 2

2U = ω.Rm

Vrb2

V2

Vn2 = Vn1Vt2

α2β2

Na saída 2, conhecemos o ânguloβ2, a velocidade da palhetaU = ωRm. e o componente normalda velocidade absoluta, Vn2.

Com estes dados podemos determinar a velocidade absoluta~V2 = ~U + ~Vrb2. Da figura, podemos escrever:

U = Vrb2 cosβ2 + Vt2;Vt2

Vn2= tanα2; Vn2 = Vbr2 sinβ2

Logo,

tanα2 =ωRm

Vn1− cotβ2; Vt2 = ωRm − Vn1 cotβ2


Cálculo do torque e da potência

De posse das velocidades Vt1 e Vt2, determinam-se o torque ea potência utilizando as expressões já obtidas:

Teixo,z = ρQRm(Vt2 − Vt1); e Weixo = ωTeixo,z

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