11 Sinais esistemas

-",

FiguI1I12 Automóvel respondendo a uma força (f} aplicada do motorea uma força de atrito (pv} proporcional a sua velocidade IvI.

Figura 1.1 Circuito RC simples sendo v, a tensão da fonte e "'c atensão no capacitar.

c

R

+'.

~ .fl{ó)@J

em um sinal elétrico. Como podemos observar na figura,sons diferentes correspondem a dilerentes variações dapressão acústica, e o sistema vocal humano produz a falainteligível ao gerar sequências especificas dessas varia~

ções. Por outro lado. o que impona para a imagem mo­nocromática, como mostrado na Figura IA, é a variaçãode brilho ao longo da imagem.

Sinais são representados matematicamente comofunções de uma ou mais variáveis independentes. Porexemplo, um sinal de fala pode ser representado mate­maticamente pela pressão acústica como uma função dotempo e uma imagem pode ser representada pelo brilhocomo uma função de duas variáveis espaciais. Neste li­vro, nossa atenção é voltada para os sinais envolvendouma única variável independente. Por cODveniênda,geralmente vamos nos referir à variável independentecomo tempo, embora ela possa não representar de fatoo tempo em aplicações específicas. Por exemplo, na geo­física, sinais representando variações de quantidades físi­cas, como densidade, porosidade e resistividade elétrica,

1.1 Sinais de tempo contínuo e de-- tempo discreto

1.1.1 Exemplos e representação matemáticaOs sinais podem descrever uma grande variedade

de fenômenos físicos. Embora os sinais possam ser re­presentados de diferentes maneiras, a informação do si·nal está sempre contida em algum tipo de variação. Porexemplo, considere o circuito simples na Figura 1.1. Nes­se caso, as variações ao longo do tempo nas tensões dafonte (tis) e no capacitor (vcl são exemplos de sinais. Demodo semelhante, conforme a Figura 1.2, as variaçôesao longo do tempo da força f aplicada e da veloddade vresultante do automóvel são exemplos de sinais. Comooutro exemplo, considere o mecanismo vocal humano,que produl fala ao gerar flutuações na pressão acústica.A Figura 1.3 ilustra uma gravação de um sinal de fala,obtido com o uso de um microfone para detectar as va­riações na pressão acústica, que depois são convertidas

1.0 IntroduçãoComo descrevemos DO Prólogo. noções intuitivas

de sinais e sistemas surgem em ampla variedade de COD­

texIC?s. Além disso. como veremos neste livro. existe umesquc=ma de análise - isto é, uma linguagem adequadapara descrever sinais e sistemas e um conjwlto extrema­mente poderoso de ferramentas para analisá-los - quese aplica igualmente bem em problemas originários dediversos dODÚnios. Neste capítulo, começaremos a desen·volver nosso esquema de análise para sinais e sistemasintroduzindo sua descrição matemática e suas represen­tações. Nos capítulos seguintes. tomaremos esses funda­mentos como base para desenvolver e descrever métodose conceitos adioenais. que aumentam consideravelmentetanto a nossa compreensão dos sinais e sistemas comoa nossa habilidade de analisar e resolvc=r problemas en­volvendo sinais e sistemas que surgem em ampla gama

de aplicações.

j

2 Sinais esistemas

tante em pesquisas meteorológicas. A Figura 1.5 mostraum exemplo de média anual típica do perfil do ventovertical em função da altura. A medida de variações davelocidade do vento em função da altura é usada paraexaminar padrões climáticos, bem como as condições dovento que podem afetar uma aeronave durante a apro­ximação para o pouso e para o pouso em si.

Ao longo do livro. consideraremos dois tipos bási­cos de sinais: sinais de tempo continuo e sinais de tempodiscreto. No caso dos sinais de tempo contínuo, a variá­vel independente é continua e. penamo, esses sinais sãodefinidos em um conjunto contínuo de valores da variá­vel independente. Em contrapartida. os sinais de tempodiscreto são definidos somente em instantes discretos, ouseja. a variável independente assume apenas um conjun­to discreto de valores. Um sinal de fala em função dotempo e a pressão atmosfc;rica em função da altitude sãoexemplos de sinais de tempo continuo. O índice sema­nal Dow-Jones da Bolsa de valores de Nova York. comoilustrado na Figura 1.6, é um exemplo de sinal de tem­

po discreto. Outros exemplos de sinais de tempo discre­to podem ser encontrados em estudos demográficos nosquais várias características, como renda média, Úldice decriminalidade ou quantos quilos de peixe foram pesca·dos. são associadas a variáveis discretas como tamanhoda família, população total ou tipo de navio de pesca,respectivamente.

Para distinguir os sinais de tempo continuo dos sinaisde tempo discreto. USBttmos o símbolo t para represen-

•w

,,• - - - -'- - - - -'- - - - êil - - - -'- - - - -'- - - - ~-ã - - -'. -- --

,,~ - - - -'- - - - -'- - - - -'- - - - -,- - - - -'- - --~. --- -' ... --'

Figura 1.3 Exemplo de uma gravação de fala. IAdaptado deOppenheim, A. V. (ed.l. Applications of digiral signal prrx:essing.Engfewood Cliffs, N. J.: Prentiee-Hall, Inc., 1978. p. 121.10 sinal re­presenta variações de pressão acústica em função do tempo para aspalavms faladas em inglês ·should we chase-. A primeira linha dafigura correspoode à palavra 'should: a segunda linha rorresponde àpalavra 'we' e as últimas duas tinhas. à palavra 'chase: (Indicamos oinicio eo final aPfoximado de cada som sucessivo em cada palavra.1

,,,----- .. _--_ ... _--- .... ----... ----... ---~----~-----. "

,- - - - -,- - - - -,- - - - -,- - - - -,- - - - -,- - - - ,- - - - , - - - - -, , I , , , ,

L I I I I

---------~----~----,----,----,----,-----I I I , ,

'foNj"Ntl'IWI ' ,

,, ,- - - - - .. -sf, - - .. - - - - .. - - - - .... -óüí -'- - - - -,- - -d-~- - ---

1_,----- 200~ ------1-1

·----r----r----r---~----,----,--·-,-----I , , , , ,, , ,

o 200 400 600 800 1.000 1.200 1.400 1.600

Mura (pés)

2624

22

20

'ii" 18

l16-8 14

~ 12

~ 10•> 8

•4

2

Figura 1.5 Média anual tfpica do perlil do vento vertital.(Adaptadoda Crawford e Hudson. Nationaf Severe Storms Laboratory fleportESSA ERlTM-NSSl48, ago. 1970.)

em função da profundidade, são usados para estudar a es­trutura da Terra. Além disso. o conhecimento das varia­ções da pressão do ar. da temperatura e da velod.dadedo vento em função da altitude é extremamente impor·

Figura 1.4 Imagem monocromática.

Sinais esistemas 3

350

250

200

''''100

'"• fil-lllJlllJll.Ull.U.ll.l.ll.lJ.ll1.lllllJll.Ull.U.ll.l.ll.l.ll.lJ.ll'-'t_

5 jonJ1929

FigurlII1.6 Exerrw;1o de sinal de tempo discreto: ildice semanal Dow-Jones da Bolsa de Valores de Nova Ycd. de 5 de janeiro de 1929 a 4 dejaneiro de 1930.

tal a variável indepc1dente de tempo contínuo e n pararepresentar a variável independente de tempo discreto.Para os sinais de tempo contínuo. ainda. usaremos a va­

riável independente entre parênteses n e para os sinaisde tempo di.scrtIO. utilizaremos a variável independenu~e:ntre colchetes ['). Em muitos casos será útil representar

OS sinais graficamente. Exemplos de -om. sinal de tempocontínuo x(t) e de um sinal de tempo discreto x[n] sãomostrados na Figura L7. 1j importante notar que o sinalde tempo discreto x[n} é definido aprnas para valores iD-

lal

(b)

teiros da variável independente. Nossa escolha da reprt·seDUçãO gráfica dex(n] rrssaltaesse fato. e, ocasionalmen·te. para maiorê~. vamos nos referir a xtn) como umauquincitJ de tempo discreto.

Um sinal de tempo discreto x[n) pode represtDtarum fenômeno para o qual a variável independrnte é iDe·rememente discreta. Sinais como dados demográficos sãoexemplos de tal caso. Por outro lado. uma classe muilOimportanle de sinais de tempo discreto decorre da amos­tragem de sinais de tempo contínuo. Nesse caso. °sinal de

•

...1°1

,.

,J

FigunII1.1 Representações gráficas de {aI sillais de tempO cootfnoo 8 lbl sinais de tempo discreto.

4 Sirlais e sistemas

1.11 Energia e potência de um sinal

A partir dos diferentes exemplos até agora citados.podemos notar que os sinais podem representar amplagama de fenômenos. Em muitas aplicações. os sinais queconsideramos estão diretamente relacionados a quanti­dades físicas e a partir deles pode-se extrair a pottnàa ouenergia de um sistema físico. Por exemplo, se v(t) e i(t)são. respectivamente, a tensão e a corrente através de umresistor com resistência R" então a potblcia instantânea é

tempo discreto x[n] rep~nta amostras sucessivas de umfenômeno para o qual a variáv~1 independ~nt~ é contí­nua. Devido à sua v~loddad~. capaddad~ computadonal~ fl~xibilidade. os proc~ssador~s digitais modernos sãousados para implementar muitos sistemas práticos. quevão dos pilotos automáticos até os sistemas de áudio digi­tal Sistemas dess~ tipo requerem o uso de sequências detempo discreto. representando versões amostradas de si­nais de tempo contínuo - por exemplo. posição da aero­nave, veloddade e direção para um pilOlO automático oufala e música para um sistema de áudio. Além disso. ima­gens em jornais - ou neste livro, por exemplo - consis­tem, de fato, em uma rede muito fina de pontos, e cadaum desses pontos representa uma amosua do brilbo doponto correspondente na imagem originaL No entanto,independentemente da fonte dos dados. o sinalx[n) é de­finido somente para valores inteiros de n. Não faz sentidoreferir-se tanto à amostra 3,5 de um sinal de fala digitalquanto à renda média de uma família com 2,5 membros.

AD longo de quase todo o livro, Dataremos os sinais detempo discreto e os sinais de tempo contínuo separa­damente. porém em paralelo, de forma que os conhe­cimentos desenvolvidos para um caso possam auxiliara compreensão do ouuo. No Capítulo 7. voltaremos àquestão da amostra~m e. nesse contato. utilizaremosconjuntamente os conceitos de tempo discreto e de tem­po contínuo para examinar a relação entre um sinal detempo contínuo e um sinal de tempo discreto obtido apartir de sua amostragem.

.'

(1.4)

(15)

em que Ixt denota o módulo do número x. possivelmen·te complexo. A potênda média é obtida dividindo-se aEquação IA ptlo comprimento. f, - t .. do intervalo detempo. Do mesmo modo. a energia total em um sinalde tempo discretox[n) no intervalo de tempo n l ~ n ~ ri,

é definida como

e a potbu:ia midiiJ durante esse intervalo de tempo é

De modo similar. para o automóvel da Figura 1.2. apotência instantânea dissipada por meio do atrito ~ p(t)= pv2(t). e então podemos definir a energia total e a po­tênda média em um iDtervalo de tempo da mesma formacomo nas equa~ 1.2 e 1.3.

Tendo como motivação exemplos físicos simplescomo estes. t usual considerar a mesma terminologiapara potênda e energia de qua/qutT sinal de tempo contí­nuox(t) e de quafqutTsinal de tempo discreto x[n]. Alémdisso. como veremos a seguir, muitas vezes, na prática.é conveniente considerar sinais que assumem valorescomplexos. Nesse caso. a energia total no intervalo detempo ri $; t ~ ',do sinal de tempo contínuo x(t) é defi­nida como

e dividindo-se pelo número de pontos no intervalo.n, - rl l + I, resulta na potênda média no intervalo.:éimportante lembrar que os tennos 'polência' e 'ener­gia' são usados aqui independentemente de as quanti­dades nas equações 1.4 e 1.5 serem de fato relacionadasà energia física.' CODIudo. será mais prático usar (SS(stennos de modo geral.

Além do mais. será de nosso interesse. em muitossistemas, examinar a potência e a energia em sinais aolongo de um intervalo de tempo com duração infini­ta, isto é. para -<><> < t < +.. ou para -<><> < ri < +00.(1.1)p(t) ~ v(t)ilt) ~ .!.v'lt).

R

A tntrgiJJ total dissipada no intervalo de tempo ti ~ t ~ t1~

I Mesmo qUt «SII rdação txisr.... as eqUilções 1.4 t 1.5 podtmItr dinu:nsõt:s t escalas tIradas.. Por acmplo, comperando ast:quaçf)es 1.2 e 1.4. vemos qUt ~ x(1) rep[OCDta a lensio deum rtSistor. enlio ii Equação 1.4 dtVt: ~r divididl peb rcsistên­da (medida. por aemplo. em ohms) para oblermos unidilde dtC.Dergia física.

:j~

Sinais esistemas 5

Nesses casos, definimos a energia total como limites dase'quações 1.4 e 1.5. Ou sc:ja. e'm tempo contínuo.

Encontraremos ourros exemplos de sinais em todas essasclasses 00 restante deste' capítulo e nos próIimos.

e' e'm tempo discre'to,

+N 2 +00 2E~~ lim L Ix[n]1 = L Ix[nll. (1.7)

N-OO __N ""-00

Note-se' que, para alguns sinais, a integral na Equa­ção 1.6 ou a soma na Equação 1.7 podem não conver­gir- por exemplo, se x(t) ou x(n] forem iguais a um valorconstante' diferente de' zrro para todo t ou 1t. Sinais des·se tipo têm energia infinita. C'Ilquanto sinais com E. < ­têm energia finita.

De modo análogo, podemos definir a potinda mé­dia em um intervalo de duração infinita como

1.2.1 Exemplos de transformações da variável

independente

Um exemplo simples e muito imponante de trans·

formação da variável independente de um sinal é um tin­10000mmto no tl'mpo. Um deslocamento no tempo em tem­po discreto é mostrado na Figura 1.8. na qual temos doissinais.:[n) ex{Il-llol que são idênticos na forma, mas umestá deslocado em relação ao outro. Também encontrare­mos deslocamentos do tempo em tempo contínuo, comoilustrado na Figura 1.9, cm que x(t - 'o) representa uma

versão atrasada (se to é positivo) ou adiantada (se to énegativo) de x(t). Sinais reladonados dessa maneira sur·gem em aplicações como radar, sonar e processamento desinais sísmicos, em que diversos receptores em diferenteslugares observam. um sinal transmitido por um. meio (água.rocha. ar elc_). Nesse caso. a diferença no tempo de pro­pagação do ponto de origem do sinal transmitido para

1.2 Transformações da variávelindependente

Um conceito fundamental na análise de sinais e sis­lemas é o de transformação de um sinal Por exemplo, nosistema de controle de uma aeronave, os sinais correspon­dentes às açõcs do piloto são transformados pelos sistemaselétticos e mecânicos cm mudanças no impulso da aerona­ve, ou as posições das superfídes de conrrole da aeronave,como o leme de direção ou os ailtrons, que, por sua vez. sãotransformados pela dinâmica e cinanática do vórulo cmmudanças na velocidade e no rumo da aeronave. QuITO

exemplo pode ser um sistema de áudio de alta 6delidadecujo sinal de entrada que representa música gravada cmuma fita cassete ou em um CD é modificado para melho­rar características desejáveis, remover ruído de gravaQioou equalizar os diversos componentes do sinal (comograves c agudos). Nesta scção. abordamos uma classebem limitada. porém importante, de rransfoemaçães ele­me'ntares de sinais que envolvem a modificação simplesda variável independente. isto é. o eixo do tempo. Comoveremos nesta seção e nas posteriores deste capílulo, es­sas rransformaçOO elementans nos permitem apresentardiversas propriedades básicas dos sinais e SiSUDlaS. Emcapítulos posteriores veremos que elas também têm um pa­pei importante na definição e caraaerização de classesmuito mais ricas e importantes de sistemas.

(1.8)

(1.10)p",,~limE... =O.T-002T

•. 1fT I I'p", == 14n - x(t) dIT.....oo 2T -T

1 +Np~~ lim -- L Ix[nf (1.9)H-oo 2N + l __

H

cm tempo contínuo e tempo discreto, resp:ctivamente.Com essas definições, podemos identificar três importan­tes dasses de sinais. A primeira é a classe de sinais comenergia total6nita. isto é. os sinais para os quais B. <_.Um sinal desse tipo deve ter uma potêocia média iguala lero, pois, 00 caso do te'mpo contínuo, por exemplo,vemos a partir da Equação 1.8 que

Um exemplo de um sinal de energia finita é um sinaIde valor 1 para O~ t ~ 1 C Ocaso contrário. Nesse caso,B.= 1eP.=O.

Uma segunda dasse de sinais é composta por aquelescom potênda midia finita p.' A partir do que acabamos dever. se p. > 0, oettssariamente E. = 00. Isso faz sentido,pois, se há uma energia média diferente de lero por uni­

dade de tempo (isto é, poténda diferente de zero), entãointegrá-la ou somá-la em um intervalo de tempo infinitoresulta cm uma quantidade infinita de energia. Por exem­plo, Osinal constantex(n) = 4 tem energia infinita. mas pc­tênda média p. = 16. Há também sinais para os quais nemP• nem B... são 6nhos. Um exemplo simples é o sinal XII) = t

,

,,

j

6 Sinais e sistemas

"

la)

o n

x(n-naJ

(b) x(-n]

on

Figura 1.8 Sinais de tempo discreto relacionados por um desloca·mento no tempo. Nesta figura. 'b > D, de modo qua xln - nJ é tnlaversão atrasada de xlIII (isto é,. cada ponto em xlIII aparece atrasadoemxln-~.

quaisquer dois recq)lores ~ulta em um. deslocameIUodo tempo entre os sinais nos dois receptores.

Outra transformação básica do eixo do tempo é a n·jlam) no ~mpo. Por exemplo, como ilustra a Figura LlO,o sinal x(- n] é obtido a partir do sinal x[n] pela rd!.eLioem rtlação a n = O(isto é, espelhando o sinal), Do mesmomodo, como mostra a Figura LI I. o sinal x(- t) ~ obtido apartir do sinalx(r) pela reflexão em relação a t = O. Logo, se

Figura 1.18 (a) Sinal de tempo discreto xlnl: (bl sua renexão xl-n]em relação an= D.

x(t) I"q)resmta uma gravação de áudio em fita, emão x(- t)é a mesma gravação tocada do fim para o começo, Outratransformação é a de mudança de esat/a no tempo. Na Figu­ra L12, mostramos três sinais, x(t), x(U) e x(t/2), que sãoreladonados por mudanças lineares de esca.I.a na variávelindependente. se considerarmos novamente o exemplo

(a)

figura 1.11 la) Sinal de tempo contfnuo x(tt lbl sua reftexãtl x(-tlem relação a t = o.

Figura 1.9 Sinais de tempo contInuo relacionados por um desloca·mento no tempo. Nesta figura, tu < D, de modo que x(r- to! é umaversão adiantada de xlr) (isto é, cada ponto em xltl aparece antesem .rfr- rgI),

(b) xl-r)

1

Sinais e sistemas 7

para todos os valores de t. Em outras palavras, um sinalperiódico tem a propriedade de não se modificar pelo des·locamento no tempo de T. Nesse caso, dizemos que x(t)

1.2.2 Sinais periódicosUma classe fundamental de sinais que encontrare­

mos com frequência em todo o livro ~ a classe dos sinaisperiódicos. Um sinal periódico de tempo contínuo x(t) tem apropriedade de que existe um valor positivo Tpara o qual

Al~m de serem usadas na representação de fenô­menos físicos como o deslocamento no tempo em umsinal de sonar ou a aceleração ou reflexão de uma fitade áudio, as transformações da variável independentesão extremamente úteis na análise de sinais e sistemas.Na Seção 1.6 e no Capítulo 2, usaremos transformaçõesda variável independente para apresentar e analisar aspropriedades dos sistemas. Essas transformações tambémsão importantes para definirmos e examinannos algumaspropriedades importantes dos sinais.

(1.11),(t) ~xll+ 1)

•Exemplo 1.3

Suponha que gostaríamos de determinar oefeito de trans­fonnar a variável independente de um dado sinal, x(t), para ob­ter um sinal da forma x{ot +m, em que Ct e 13 são númerosdados. Um método sistemático de fazer isso é, primeiro, atrasarou adiantar x(t) de acordo com o valor de (J e, depois, eietuara mudança de escala no tempo e/ou a reflexão no tempo nosinal resultante de acordo com o valor de a. Osinal adiantadoou arrasado será lineannente estendido se 101 < L lineannentecomprimido se 101 > 1 e refletido no tempo se a < O.

Parailustraressemétodo,vamosmosaarcomox(1t+ 1)pode ser determinado para o sinal x(t) exibido na Figu­ra 1.13(a). Sendo {3 = I, primeiro adiantamos (deslocamospara a esquerda) x(t) de 1, como mostra a Figura l.13(b).Sendo 101 = 1. podemos comprimir linearmc=nte o sinal des­locado da Figura 1.13{b) por um fator de t para obter o sinalmostrado na Figura L13(e).

•Exemplo 1.2

Dado o sinal x(r), mostrado na Figura l.13(a), o sinalxd ti corresponde a uma compressão linear de x(r) por umfator de;, como ilustrado na Figura 1.13(d). Notamos, ~-

:aca::,t~. :~;~:;;o~~:~~:: ~~ ~~:tt~co~~~xd I) no instante t =f (1) = 3-. Thmbém, como x(t) é zero pala

t < O, teremOS x(~ t) igual a zero para / < O. De modo seme­lhante, comox(t) ézeropara t> 2, entãoxd ti é zeroparn. r> 1 .

•

•Exemplo 1.1

Dado o sinalx(t) mostrado na Figura 1.13(a) (veja p. 8).o sinal x(! + 1) corresponde a um adiantamento (desloca­mento para a esquerda) por uma unidade ao longo do eixo t,conforme ilustra a Figura 1.l3(b). Especificamente, percebe­mosqueo valordex(t) emt=toocorreemx(t+ I) no instantet;:: to - 1. Por exemplo, o valordex(t) em /= I é encontradoem x(t + I) em t = I - 1 ;:: O. Igualmente. se .1(/) é zero parat < O, temos x(t + I) igual a zero para t < - I. De modo se­melhante, se x(t) é zero para /> 2, x(t + I) é zero para t > 1.

Consideremos também o sinal .1(- t + 1), que pode serobtido ao robstiminnos tpor - tem x(t +1). Lsto é, x(- t+ I) é aversão em tempo reOetido de x(t + 1). Assim. .1(- t + 1) podeser obtido graficamente espelhando-se x(t + 1) em relaçãoao eixo 1. como mostra a Figura l.13(c).

•

,(tJ21

~Figula 1.12 Sinais de tempo contfnuo relacionados por mudança deescala fiO tempo.

de x{t) como uma gravação em fita magnética. então x(2t)será essa gravação reproduzida com o dobro da velocidadee x(t/2). com a metade da velocidade.

É interessante detenninar o eleito da transformaçãoda variável independente do sinal x(t) para se obter um si­nal da forma x(ot+ (J), em que o: e fi são números dados.Uma transformação como esta da variável independente

preserva a forma de x(t), exceto pelo fato de que o sinal re·sultante pode ser linearmente estendido se lal > 1, linear­mente comprimido se lal < L refletido no tempo se a < 0,e deslocado no tempo se {J for diferente de zero. Isso éilustrado no conjunlo de exemplos a seguir.

I

1

8 Sinais e sistemas

(ai

o 2

(b).- ...:..\..:X(t+l)

(e)

(d)

-1

-,

o

o

o

x(-Hl)

2/3 413

2

r

(e)

-2/3 o 2/3

Rgura 1.13 lal Sinal de tempO cootlnuo xltl usado llO$ exemplos 1.1 a 1.3 palCl ilustrar as transformações da YcIriável independente; (bl sinaldeslocado no tempo xll. lt {el sinal x{- f+ 11 obtido por lITl deslocamento na templ e lITI8 refIedo no~ (d) sinall:tJTlrinido no~ •xli tI e (el sinal "'li f+ 11 obtido por rrudança de escala B deslocamento no t~. i

j

(1.13)

é periódico ccm pm'odo T. Sinais periódicos de mpo coo·tínuo aparecem em muitos comextos. Por exe pIo. comoilustrado no Problema 2.61. as respostas na rais de sis­temas em que a energia é conservada, como s drruitosLe ideais sem dissipação de energia resistiva e os sistemasmecânicos ideais sem perdas por atrito. são Ifriódicas e,na verdade. são compostas de alguns dos sinaif periódicosbásicos que apresentaremos na Seção 1.3.

Uma ilustração de sinal ~riódico de tempo contí­nuo é dada na Figura 1.14. Podemos rapidamente inferir.a partir da figura ou da Equação 1.11. que, se x(t) é pe­riódico com período T, então x(t) = x(t + mT} para todo te para qualquer número inteiro m. Assim. x(t) também éperiódico com período 2T, 3T, 4T•... O periodofundamen·tal To de x(t) é o menor valor positivo de Tpara o qual aEquação 1.11 é satisfeita. Essa definição do período fun­damental é adequada, exceto se X(I) for uma constante.Nesse caso, o período fundamental é indefinido, já que x(l)

é periódico para qualqutTescolba de T (de modo que nãohá valor positivo menor). Um sinal x(t) que não é perió·dica será chamado sinal aperiódico.

Os sinais periódicos são definidos de modo análogoem tempo discreto. Especificamente, um sinal de tem­po discreto x[n] é periódico com período N, em que N éum número inteiro positivo, se ele não é modificado porumdeslocamento no tempo de N, isto é, se

Sinais esistemas 9

•Exemplo 1.4

Vamos ilustrar o tipo de problema que pode ser encon­trado para detenninar se dado sinal é ou não periódico. Osinal ruja periodicidade devemos verificar é dado por

[COS(t) se t < O

x(tl~ .sen(t) se t ~ O

Sabemos pela trigonometria que cos(t + 27rJ = cos(t) e sen(t+ 211') = senti). Logo, considerando I > Oe r< Oseparada­mente, vemos que x(l) se repete a cada intervalo de compri­mento 211". No entanto, conlonne ilustrado na Figura 1.16.x(r) também tem uma descontinuidade na origem do tempoque não é recorrente em momento nenhum. Como todacaracterística na fonna de um sinal periódico dM recorrerperiodicamente. concluímos que o sinalx(t) não é periódico.

Figura 1.16 Sinal xltl considerado no Exemplo 1.4.

•

x[n} = x[n +Nl (1.12)1.2.3 Sinais com simetria par e com simetria ímpar

Outro grupo de propriedades úteis dos sinais rela·dona·se a sua simetria com relação à reflexão no tempo.Definimos um sinal x(t) ou x[n] como sinal com sime:triaparse ele é idêntico ao seu equivalente espelhado no tem·po, isto é, ao seu reflexo em relação à oligem. Em tempocontínuo, um sinal tem simetria par se

(1.14)

enquanto um sinal de tempo discreto tem simetria par se

-2T -T o T 2T x[ -n] =x[n]. (1.15)

Figura 1.14 Sinal periódico de tempo contfnuo.

'~l

Um sinal é tido como de: simetria [mpar se

x(-'I=-x(~.

x[ - n] = - x[n].

(1.16)

(1.17)

1

"Figura 1.15 Sinal periódico de tempo discreto com perfodo funda­mentai ~= 3.

Um sinal ímpar deve necessariamente ser O em t = Oou n = O, pois as equações 1.16 e 1.17 determinam quex(O) = -x(O) e x[O) = -x[O). Exemplos de sinais de tempocontínuo com simetria par e com sime:tria ímpar são mos­trados na Figura 1.17.

10 Sinais esistemas

(ai xl~ xlnl- {,.n~o0, n< o

'llU• • •, 2 1 o 1 2 , ,o

(bl xl~ ("'<O"'-{xI'I}- 1,n-0},n>o

1

-3-2-1 O1 2 , n

Figura 1.17 lal Sinal de tempo contínuo com simetria par; (bl sinalde tempo contfnuo com simetria Impar.

Od{X(tl}~Mx(r)-x(-tll. (1.19)

definido como a parir par de x(t). De modo semelhante. aparte ímpar de x(t) é dada por em que Ce a são, em geral, números complexos. Depen­

dendo dos valores desses parâmetros, a exponendal com­plexa pode assumir várias características diferentes.

Figura 1.18 Exemplo de decomposição par-ímpar de um sinal detempo discreto.

(1.18)<v {xii)} = 1[xill+ x(-rll.

:s importante destacar que qualquer sinal pode serdecomposto em uma sorna de dois !ii.nais. um com sime­cria par e outro com simetria ímpar. Para entender essefato. considere o sinal

1.3 Sinais senoidais e exponenciais

13.1 Sinais senoidais e exponenciais complexasde tempo contínuo

O final expontndal compltxiJ de tempo contínuo tema forma

Nesta seção e na próxima, apresentamos diversos si­nais básicos de tempo contínuo e de tempo discreto. Essessinais não só ocorrem com frequência, mas também ser­vem como elementos básicos a partir dos quais podemosconstruir muitos ourros sinais.

Sinais exponenciais reais

Conforme ilustrado na Figura 1.19, se C e a sãoreais [neste caso x(t) é chamado de exptmendal reaLJ, hábasicamente dois tipos de companamento. Se a é positi­vo, então, enquanto t aumenta, x(t) é wna exponendalcrescente, uma forma usada na descrição de diferentesprocessos físicos, inclusive reações em cadeia em explo­sões atómicas e reações químicas complexas. Se a é nega­tivo, então x(t) é uma exponencial decrescente, um sinalque também é usado para descrever uma ampla varie­dade de fenômenos, inclusive processos de decaimentoradioativo e as respostas de circuitos RC e sistemas mecâ­nicos amorteddos. Em particular, como mostram os pro­blemas 2.61 e 2.62, as respostas naturais do circuito naFigura 1.1 e do automóvel na Figura 1.2 são exponenciaisdecrescentes. Além disso, notamos que para a = 0, x(t)

é constante.(1.20)x(/) = C~I,

É um exeróoo simples verificar que a parte par é de fatopar, que a ímpar é de fato ímpar e que x(t) é a soma dasduas. Definições exatamente análogas são válidas DO casodo tempo discreto. Um exemplo de decomposição par-ím~

par de um sinal de tempo discrtto é dado na Figura 1.18.

Sinais e sistemas 11

la) x PortantO, os sinais t!JcI e t-W têm o mesmo período fun·damentaI.

Um sinal diretamnete reJadonado à exponendal

complexa periódica é o sinal unoidal

Mguro 1.1. EJqxrsrial.eal de ""I'> """"" ,IG - C", tal a >Q(bIa<Q.

Sinais senoidais e exponenciais complexas periódicas

Uma segunda classe importante de exponendaiscomplexas é obtida no caso em que Q é puramente imagi­nário. Particularmente. considere

(b) x(ll

.(1)= Aros(w,t+~l. (1.25)

como ilustrado na Figura 1.20. Sendo a unidade de t em

segundos, as unidades de ~ e Wo são radianos e radia­DOS por segundo. respectivamente. Também é comumescrevermos Cola = 2... 1fJ' sendo que la tem a unidade detidos por segundo. ou hertz (Hz). Assim como o sinalexponendal complexo. o sinal senoidal é pt:riódico comperlodo fundamental To dado pela Equação 1.24. Sinaisexpont:ndais complexos e sinais senoidais também sãousados para dt:Screver as características de muitos pro­cessos físicos - em partirular. ristemas físicos nos quais aenergia é conservada.. Por exemplo. conlonne mosrradono Problema 2.61. a resposta natural de um circuito LCé senoidal, bem como o movimento hannônico simplesde um sistema mt:cânico consistindo em uma massa CD­

neetada por uma mola a wna base fixa. As variações depressão acústica correspondentes a um único tom musi­cal também sâo senoidais.

usando a relação de Euler,l a exponendal complexana Equação 1.21 pode ser escrita t:m termos de sinais se­noídais com o mesmo penado fundamental:

(UI) (1.26)

Uma propriedade importante desse sinal é que ele é pe­riódico. Para verificar. lembremos da Equação 1.11 emque x(t) será periódico com período Tse

x(1) ., A cos (C&Jof + tf>l

J A re\a90 de Eu1~ e outnl KIciu báIias rciKionadB i mwipu­1i~ de aponmcil.is e númaol compInos sio comidC'RdallIa$C'çio de revlsio alatcmâda dos problem.u no fim) deslC capitulo.

Figura 1.20 Sinal senoidal de tempo continuo.

(1.24)

(1.23)

(1.22)

Se loJo = O. então x(t) = L que é periódico para qualquervalor de T. Se Wo ;ot 0, então o período fundamental To dex(t) - isto é. o menor valor positivo de T para o qual aEquação 1.23 é válida - é

2.T, ~ '"',I"

~T = 1.

~=~t+n.

Ou. como

segue·se que para a periodicidade. devemos ter

,12 Sinais e sistemas

Do mesmo modo. o sinal smoidal da Equação 1.25 pode (a)~r escrito ml tenDOS de exponenciais complexas perió·

dicas, novamente com o mesmo período fundamentaL

(1.27)

Note que as duas exponendais na Equação 1.17 têm am­plitudes compLexas. Ahemativamente, podm1OS expres­sar um rinal. senoid.a1 em termos de um sinal exponendalcomplexo como

fi 1\ " fi fi

T,,

V V v V V V

em que, se c é um número complexo. (ft.e{q denota suaparte real. Também usaremos a notação g'm(q para a-par·te imaginária de c, de modo que. por exemplo,

A sen(wot+ <PI = A flnl{ti{loIQI +.'}. (1.29)

A partir da Equação 1.24, vemos que o período fun­

damental To de um sin~ senoidal de tempo contínuo ou deuma exponendal periódica complexa é inversamenteproporcional a k..rJ, à qual nos rderiremos como frcqum­da. fimdJJmmtal. A Figura 1.21 nos mostra graficamente oque isso significa. Se diminuímos o módulo de lUl)' redu­ziremos a taXa de oscilação e. com isso. aumentamos operíodo. Efeitos exatamente opostos ocorrem se aumen­tamos o módulo de lUO' Considere agora wa = O. Nessecaso, como mencionamos amerionnente. .til) é constantee, portanto. poiódico com período T para todo valor po­sitivo de T. Assim. o JXIÍodo fundamemal de um sinalconstante é indefinido. Por ouuo lado. não há ambiguida­de em definirmos a frequência fundamental de um sinal

constante como sendo zero. Ou seja, um sinal constantetem taxa de oscilação zero.

Sinais periódicos - particularmente o sinal expo­nencial complexo periódico na Equação 1.21 e o sinalsenoidaJ na Equação 1.25 - são importantes exemplosde sinais com energia total infinita, mas com potênciamédia finita. Por exemplo, considere o sinal exponendalperiódico complexo da Equação 1.21 e suponha que cal·culemos a energia total e a potência média nesse sinaldurante um período:

ji

(1.32)

T,

Fig... 1.21 Relação entre a frequência fmdamernaJ e o periododos sinais sencidais de tempo contrrJJO: aqui, w1> lli > w,. que m­plica T, < Tz< T:r-

Como há wn número infinito de períodos, pois t varia de-00 a +""', a energia total integrada durante todo o tempoé infinita. No entanto. em cada período o sinal tem aata·mente a mesma forma. Uma vez que a potincia média dosinal é igual a 1em cada período, a média retirada duran­te múltiplos períodos 5t'mpre multa em uma potindamédia igual a L Ou seja, o sinal exponencial periódicocomplexo tem poténcia média finita igual a

(b)(1.28)

(1.30)

(1.31)1Ppl'dodo = T: Epeóxb = 1 .

"

Sioais e sistemas 13

o Problema 1.3 fornece exemplos adicionais de cálculosde potência e energia para sinais periódicos e aperiódicos.

Sinais ~xponmciais periódicos complexos têm umpapel imponaOl~ na maior pan~ da nossa abordag~m dossinais e sist~s, em parte porque servem como elememosbásicos extremamente úteis para mUÍtos outtas sinais. Se·rá bastante:: útil corniderarmos, tarrlOOn. conjuntos de si·nais exponenciais romplaos harmonicamtnrt rtladoruui.os­isto é, conjuntos de:: sinais aponc::odais periódicos. sendotodos periódicos com um período comum To. De modomais espeáfico. uma condição necessária para que umaexponencial complexa ~ seja periódica com período Toé que

uma corda em um instrumento como um violino podeser desoito como uma superposição - isto é. uma somaponderada - de exponenciais periódicas harmonicamen­te relacionadas. No capítulo 3. veremos que é possívelmontar uma classe bem rica de sinais periódicos usandoos sinais harmonicamente reladonados da Equação 1.36

como elementos básicos.

•Exemplo 15

Às vezes ~ desejável expressar a soma de dois sinaisexpooendais complexos como o produto de um único si­nal expenenda! complexo e um único sinal stnoidal. Porexemplo. suponha que se deseje representar em gráfico omódulo do sinal

tiJ1'o = l, (1.33)(1.38)

o que significa que wTo~ múltiplo de 2'lt,isto é,

wTo=2'1fk,. k=O.±1,±2....

Assim, st definirmos

(134)

Para isso. primeiro coloca·se em evidência uma exponendalcomplexa do membro dirtito da Equa~o 1.38. onde a fre·qu~nda desse: fator exponencial ~ tomada como l média dasfrtquêndas das duas exponenciais na soma. Faundo isso.obtemos

2~Wo=-·

To(1.35)

x(t) = ei2,'1(t'-j(l.5 +tio.,,). (139)

que. pela relação de Euler. pode.ser reescrito como

(1.41)

(1.40)

....4.2.

Sinal senoidal retificado em onda completa do

•

o

"(Ill2

Fig.ra 1.22.Exemplo 1.5.

Aqui,. usamos o fatO de que o módulo da exponeo<iaJ com­plexa e12,5l: é sempre unitário. Logo. 1x(t)1 ~ o que se COStumachamar de wna senoide retificada em onda completa. comomostra a Figura 1.22.

Aparir desta equação, obtemos diretamente uma expres­são para o módulo de x(t):

Sinais exponenciais complexos gerais

O caso mais geral de um sinal exponencial complexopode ser expresso e interpretado em termos dos dois casos

(1.37)

(1.36)

vemos que. para satisfazer a Equação 1.34. wdeve str umnúmero inteiro múltiplo de wo' 'Ou stja. um conjunto deexponenciais complexas harmonicamente relacionadas éum conjunto de exponendais periódicas com frequ~ndas

fundamentais que sâo múltiplas de uma única frequ~nda

positiva wo:

A k·ésima harmônica f,,(t) continua sendo periódica comperíodo TO' tambbn. já que qualquer intervalo de compri·mento To coOlém exatamente IkI de seus períodos funda­mentais.

O uso que fazemos do tenDO 'harmônica' é consis­tente com sua utilização em música, em que se referea tons resu.ltantes de variações na pressão acústica emfrequ~ndas que são múltiplos inteiros de uma frequên·da fundamental. Por exemplo. o padrão das vibraÇÕC:S de

Para k = O. <Pt!l) é uma constante. enquanto para qual·quer outro valor de k. ,,,(t) é periódico com frequêndafundameOlallkkuoe período fundamental

14 Sinais e sistemas

que examinamos até agora: a exponencial real e a expo­nencal periódica complexa. Espedficamente. considereuma exponencial complexa ([M, na qual Cé expresso naforma polar e a, na forma retangUlar. Ou seja,

e

a=r+jwo

Então.

(1.42)

usando a relação de Euler, podemos expandi-la como

ct' ~ 1<1<" cos(w,t+ 8) +À<1<" sen(w,l+ 8). (1.43)

pontilhadas agem como uma envoltória das osdlaçães nafigura porque os picos das oscilações só enconam nessascurvas. Dessa forma. a envoltória proporciona um modoprático para visuaJjzannos a tendência ~ral na amplitudedas osdIaçii<s.

Sinais senoidais multiplicados por exponenciaisdecrescentes são comwnente chamados sinais stnoidaisamorteddos. Exemplos de senoidais amoneddos podemser obstrvados na resposta dos drruitos RLC e em siste·mas mecânicos contendo laUto forças de amonerimentoquantO forças restauradoras. como sistemas de suspensãode automóveis. Esse tipo de sistema tem mecanismos quedissipam a energia (mistores, forças de amortecimentocomo atrito) com oscilações que diminuem com o tempo.Exemplos ilustrando sistemas desse tipo e suas respostasnaturais senoidais amom:cdas podem sa vistos nos pro­blemas 2.6.1 e 2.62.

em que C e a são, em grral. números complexos. Thm­

bém podemos expressar essa equação na forma

1.31 Sinais senoidais e exponenciais complexasde tempo discreto

Assim como em tempo contínuo. um imponante si­nal de tmIpo discrrto ~ a sequência ou o sinal txpemmcilllromplrxo. definido como

Portanto, para r = O, as partes real e imaginária de umaexponendal complexa são senoidais. Para r > o. elascorrespondem a sinais senoidais multiplicados por umaaponencial crescmte, e para r < O elas correspondema sinais senoidais multiplicados por uma exponencialdecres«nte. Esses dois casos são mostrados na Figura1.23. As linhas pontilhadas na figura correspondem àsfunções ±taerr. Apartir da Equação 1.42. vemos que lOe"é o módulo da exponendal complexa. Assim. as curvas

la)sendo

x[n) = Co".

x[n] = eeP",

(1.44)

(1.45)

Figura 1.23 (ai Sinal senoidal crescente x ln = Ce"~t + I.r> O; (bl seooidal decrescente "ln = Ce" cosfot+ L,< O.

(b) ",,(1)

-,

Embora a forma da sequênda exponendal complexa detempo discreto dada na Equação 1.45 seja paredda à for­rna da exponendal dr tempo conúnuo. costuma ser maisconvrniente expressar a sequência exponendal comploc.ade tempo discreto na forma da Equação 1.44.

SJna1s exponenciais reais

Se C r o são reais. podemos ler diferentes tipos decomportamento, como ilustrado na Figura 1.24. Se la! > I.o módulo do sinal cres« exponendalme.nte com II, aopasso que se lo! < I, temos uma exponendal decrescen­te. Além disso. se a é positivo. todos os valores de Cd'terão o mesmo sinal mas se o é negativo, o sinal de x[n)é alternado. Note também que se o = I, entãox(lI] é umaconstante, mas se a = -I. o valor de xIn} é alternadoentrr +C e -C. Exponenciais de tempo discrtto r valorreal são geralmente usadas para d~ver o cresdmento

la)

(b)

(e)

(d)

FigLn 124 $ilaie;queDal real A'[~ = WlaJo> 1; tiO< o < 1;lcl-1 <o<O;(dlo<-1.

Sinais e sistemas 15

Assim como em tempo contínuo. e~ sinal tstá direta­mente relacionado ao sinal senoldal

x(nJ ~ A cos(wo" +~). (1.47)

Se assumimos n como adimensionaL então tanto Woquanto f têm unidades de radianos. Três exemplos desequêndas senoldais são mostrados na Figura 1.25.

Como anteriormente, a relação de Euler pennite­-DOS relacionar senoides e aponendais complexas:

~ = C05 wr/l +j sen wrP (1.48)

,A 'a· A H .Acos(wo'I+t/!)=-r ~JI+_t:- e-JW-". (L49)2 2

Os sinais nas equações 1.46 e 1.47 são exemplos de sinaisde tempo discreto com enO'gia total infinita. mas potên­da média finita. Por exemplo. comoI~ = l. qualqueramostra do sinal representado na Equação 1.46 contribuicom I para a energia do sinal Assim. a energia total para__ < n < _ é infinita. enquanlo a potência m6:lia por

amosrra é obviamente igual a L Outros exemplos de cál·ruJas da energia e da potênda dos sinais de tempo discretosão dados no Problema 1.3.

Sinais exponenctals complexo5gerais

O sinal eIPOoencia1 complexo geral de lempo dis·creta pode ser representado e interpretado em termosde sinais senoidais e exponenciais reais. Mais especifica·mente, se escrevemos Ce cr na forma polar, isto é,

,

então

populacional d~ geração em geração e o rendimento totalsobre o investimento como uma função de dia. mês ouquadrimestre.

Sinais senoidais

Outto imponante sinal exponencial complexo é ob·tido pelo uso da forma dada na Equação 1.45 e restrin·gindo {J a um número puramente imaginário (de modoque Ial == 1). Especificamente. considere

,1

J

x(.J~"". (1.46)

Ca" ~ 1'1lol"cos(wo" +8) +il'1lol"scn(wo" +8). (UO)

Portanto. para \ai = I. a parte real e a parte imaginária de:uma ~ubxia aponendal complexa são senoidais. Para\ai < I elas correspondem a Sl:quêndas senoidais multi.­plicadas por uma sequência exponencial decrescente, aopasso que para Icrl >I. elas correspondem a sequênciassenoidaís multiplicadas por uma sequência exponencialcresttnte. Exemplos d~ sinais são rep~tados Da

Figura 1.26.

16 Sinais e sistemas

lal

(b)

x{nJ - cos (2-:nf12)

n

xlnl- ces (81rnI31)

.. ...

li , , i1 I • I 11

n

(e) x{nl- COI tfl6)

figur1I 1.25 Sinais senoidais de tempo efisaeto.

n

1.3.3 Propriedades de periodicidade dasexponenciais complexas de tempo discreto

Apesar de haver muitas semelhanças entre os sinaisde tempo contínuo e os sinais de tempo discreto, tam­

bán há uma quantidade significativa de diferenças. Umadessas diferenças diz respeito aos sinais exponenciais detempo discreto ~. Na Seção 1.3.1. identificamos asduas propriedades a seguir de ~u equivalente de tempoconlÍDuo tki: (I) quanto maior é o módulo de "'O' maiora taxa de oscilação do sinal; e (2) tkJ é periódico paraqualquer valor de lUO• Nesta seção, descrevemos as ver-

sõc:s de tempo discreto das duas propriedades, e, comoveremos. há diferenças nítidas entre cada uma delas e suacorrespondente de tempo contínuo.

Ofato de a primeira dessas propriedades ser diferen­te no tempo discreto é uma consequência dima de outradistinção extremamente importante entre exponenciaiscomplexas de tempo contínuo e de tempo discreto. Espe­cificamente. considere o sinaJ exponencial complexo detempo discreto com frequincia lUO+2r.

til""O +21'111 = tflvt~=~. (1.51)

Sinais B sistemas 17

(a) ,,,,

(b), ,

, , ,

--------

--~--­.---- n

---

--Figura 126 lal Sinais senoidais crescentes de tempo discreto: IbJ senoide decrescente de tempo discreto.

ou, de modo equivalente.

ímpares de T. Note-se que, em particular, para Wo= 1f ouqualquer múltiplo ímpar de T,

Para que a Equação 1.54 seja satisfeita, woN deve ser múl·tiplo de 211". Ou seja. deve haver um número inteiro /ti demodo que

(!.S6)

(!.S5)

(!.S3)

(1.54)

(!.S2)

~=!!!.2. N

ti'" ~ (""J" ~ (-1)".

woN = ln!,

ou. de modo equivalente,

de modo que esse sinal oscila rapidamente, mudando osinal em todos os instantes de tempo - como ilustradona Figura 1.27(e).

A segunda propriedade que devemos considerar dizrespeito à periodicidade do sinal exponencial complexode tempo discreto. Para que o sinal~ ~a periódicocom penodo N > 0, devemos ter

Da Equação 1.51. vemos que o sinal e:ç>onendal na fre­quência Wo+ 2T t. o mesmo na frequência ColO- Logo, temosuma situação bem diferente do caso do tempo contínuo.em que os sinais,flti são todos distintos para valores distintosde ""o' No tempo discreto. esses sinais não são distintos. poiso sinal de frequênda Wot. idêntico aos sinais de frequêndaswo± 2'1", wa ±4r e assim por diante. Dtssa forma. ao con·siderarmos os sinais exponenciais complexos de tempodiscreto, precisamos apenas considerar Woem um inter­valo de comprimento 2'11". De acordo com a Equação 1.51,embora qualquer intervalo de comprimento h possaser usado, na maioria das vezes usaremos o intervaloO :5 Wo < lr ou o intervalo -11' S Wo< '11".

Devido à ptriodiddade indicada na Equação 1.51. osinal tki' não tem uma taxa crescente de oscilação como aummto do módulo de ""o' Em vez disso, como ilustraa Figura 1.27, quando aumentamos Woa partir de O, obte­mos sinais que osdlam cada vez mais rápido até alcançarWo= 11". À medida que continuamos a aumentar WQ" dimi­nuilrWs a taxa de osd.lação até chegar em Wo= 211", o quegera a mesma sequência constante que Wo= O. Portanto,05 sinais exponenciais de baixa frtquência (ou seja. varia­ção lenta) de tempo discrtto têm valores de Wopróximosde O, 21r e qualquer outro múltiplo par de 11". e OS valo­res das altas frequências (que correspondem a variaçõesrápidas) estão próximos de Wo= h e outros múltiplos

J

18 Sinais e sistemas

i '" ~,g

N

" •§ § 8,,

'<:s:~ ••

E '" --t t t.- '-o

õõ~ i r-

" --" § "§ , §• :s: , -:s: • :s: l--• •

r--.o ~ "'t

t : t. •

• ~ ~!' le .E• § §8 ,• ,~

:li: :s:• •

•

figura 121 Sequências senoidais de tempo discreto para diferentes frequências.

(1.57)

De acordo com a Equação 1.56. o sinal ti-Iff' é periódicose wo/21r é um número racional caso contrário. ele é nãoperiódico. Essas mesmas observações são válidas para assequências senoidais de tempo discreto. Por exemplo. ossinais representados na Figura l.25(a) e (b) são poiódi­ros. mas o sinal na Figura 1.25(c) não é.

Usando os cálculos que acabamos de fazer. tam­bém podemos detenninar a frequênda e o penado funda­mental das exponenciais complexas de tempo discreto.sendo que definimos a frequência fundamental de umsinal periódico de tempo discreto da mesma forma quefizemos no tempo contínuo. Ou seja. ~ x[n) é perió­dico com período fundamental N. sua frequência fun­damentai é hlN. Considere. então, uma exponencialperiódica complexa x(n] = tf'fI'I com wo'" O. Como aca­bamos de ver. Wo deve satisfazer a Equação 1.56 paraalgum par de números inteiros m e N, ~ndo N > O.No Problema 1.35, mostraremos que se Wo ... Oe ~ N em não têm nenhum fator em comum, então o períodofundamental de x[n] é N. Usando este falO com a Equa­ção 1.56. enCOD[ramos que a frequência fundamentaldo sinal periódico ti-'O" é

21r _ tolo

N m

Note-se que o período fundamental também pode serescrito como

(1.58)

Essas duas últimas expressões diferem novamen­te de suas equivalentes de tempo contínuo. Na Tabela 1.1.resumimos algumas das diferenças emre o sinal de tem­

po contínuo~ e o sinal de tempo discreto tMY'. Note-seque, como no caso do tempo contínuo. o sinaI constantede tempo disat'to resultante da escolha lUa = Otem uma

TABELA 1.1 Comparllçiio dos sinais ei"'llt 9 e/WQII.

Sinais esistemas 19

frequência fundamental igual a zero, e seu período fun·damental é indefinido.

Para compreender melhor essas propriedades.vamos examinar mais uma vez os sinais representa·dos na Figura 1.25. Primeiro. considere a sequênciax(n] = cos(2:m1l2). mostrada na Figura 1.25(a), quepodemos interpretar como um conjunto de amostrasdo sinal senoidal de tempo contínuo x(t) = cos(27rtlI2)"em instantes de tempo inteiros. Nesse caso, x(t) é pe.riódico com periodo fundamental 12 e x[n] também éperiódico com período fundamental 12. Ou ~ja. os va·lores de x[n] repetem-~ a cada 12 pontos. exatamen·te no mesmo passo que o período fundamental de x(t).

Em contrapartida, considere osinalx[n] = cos(81l7J/31),representado na Figura l.25(b). o qual pode ser vistqcomo o conjunto de amostras de x(t) = cos(81lt131) eminstantes de tempo inteiros. Nes~ caso. x(t) é periódicocom período fundamental 3114. Por outro lado, x[n) t.periódico com período fundamental 31. A razão dessadiferença é que o sinal de tempo discreto é definido soomente para valores inteiros da variável Independente.Por isso. não.há nenhuma amostra no instante t = 3114quando x(t) completa um período (começando em f = O).

Do mesmo modo, não há nenhuma amostra em t = 2· 3114ou t = 3 . 3114, quando x(t) completa dois ou ttês perío.dos, mas há uma amostra em t = 4 . 31/4 = 3l, quandox(t) completa quatro penados. Isso pode ser visto na Figura1.25(b), em que o padrão dos valores x{n} não se repele acada cido de valores positivos e negativos. Em vez disso,o padrão repete-~ depois de quatro desses ciclos. isto é.a cada 31 pontos.

De modo semelhante. o sinal x[n] = cos(n/6)pode ser visto como um conjunto de amostras do sinalxl!) = cos(tJ6) em instantes de tempo inteiros. Nesse caso,os valores de x(t) em instantes de tempo inteiros nunca serepc:tern. uma vez que esses pontos de amoSlJagem nun-

j

~: ei!1f.".

Perfodo fundamental

lUa = O: iOOefinido

Wo,.,O: !;

Peri6lf1CXl SCIlll!nte S8Wa= 2-.:mlNp;n YaIorts ilteiros da N> Oe m

Perlado fundamental"

Wg "" O: indelilido

..... ~m (li)

20 Sinais e sistemas

•

Figura 1.21 knpulso lamostral unitário de tempo discreto.

Asequênda degrau unitário está ilustrada na Figura 1.29.

•

•

(l.62)

(1.6<)

(1.63)6{nl~[O' n~O

1. "=0

[O. n<O

u{nl~ I >0·, n_

~olnJ ~ 1, ~llnJ ~ ,i'U'", ~,lnJ

~,júrr1N ,;, Inl ~,ibtN-1WN·····",H-I

Outro sinal elementar de tempo disaeto é o degrauunitá.rio de tempo discreto. denotado como u[n] e defi·nido por

e que ~ mostrado na Figura 1.28. Em todo o livro. usare·mos 6[n] para nos referirmos indistintamente ao impulsounitário ou amostra unitária.

'- [nl - t j ("+N)(2:Jr1H)1l''*'k+N -

= tJ:(2w/H)"ei J.:Jrff = t/l"JnJ. (1.61)

Isso implica que há somente N exponenciais periódicas

distintas no conjunto dado na Equação 1.60. Por exemplo.

são todos distintos. e qualquer OUITO 4l"Jn] é idêntico a umdesses (porexemplo. 4lN[nl = tPo[n] e tP_,[n] == 4lH _ 1[n]).

1.4 Funções impulso unitário e degrauunitário

8;>1

........'!-.~._.~.~.~.~._.---:;

Nesta seção. apresentamos vários ouITOS sinais ele·mentares - esped1icamente. as funções impulso unitárioe degrau unitário de tempo contínuo e tempo discreto ­que t.amb6:n são bastante importantes na análise de si·nais e sistemas. No Capítulo 2. veremos como podemosusar sinais de impulso unitário como elementos básicospara a construção e a representação de outros sinais. Co°mrçamos com o caso de tempo discreto.

1.4.1 Sequências impulso unitário e degrauunitário de lempo discreto

Um dos sinais de tempo discreto mais simples é oimpulso unitário (ou amostra unitária). definido como

A primrira exponencial do membro mmto da Equação 1.59tem Jl(ríodo fundamental 3. Embora essa verifiC'ação possaser feita a panir da Equação 1.58. há uma forma mais sim·pies de se obter a resposta. Em. particular. note qUe o ãn·guio (2wl3)n da primeira parttla d~ ser aumentado porum múltiplo de 12' para que os vaJortS deSsa exponencialromectm a se repetir. Assim. vemos imediatamente que sen for aumentado em 3. o ângulo será aummtado por umúnico múltiplo de 2:11". Quanto à segunda parcela. vemos queaumentar o ângulo (3'1"/4) em 2'1"exigiria que n fosse aumen·tado em 8/3. o que ~ impossível, pois n está limitado a serum número inteiro. Da mesma forma. aumentar o ânguloem 4.. exigiria um inettmento não inteiro de 1613 para 'I.

No entanto. aummtar o ângulo em 6'1" requer um aumento de8 para n; então. o período fundamental da~da parcela é 8.

Agora. para que o sinal inteiro xfn) se rtpita. cada umadas parcda.s da Equação 1.59 deve passar por um nÚJ:nm)inteiro de seu próprio Jl(ríodo fundamental. Omenor inae·mento de 'I que satisfaz essa exigência. é 24. Ou stja. dwan·te um intervalo de 24 pontos. a primeira parcda do membrodircito da Equação 1.59 passará por oito de seus periodos fun·dammW>. a segunda panda por três de seus p<riodos funda·mentais. e o sinal ttSUltante .r{n] passará entamente porum de seus períodos fundamentais.

ca atingem um intervalo que seja um múltiplo exato doperíodo. 12'11". de X(I). Dessa forma. x[n] não é periódico.apesar do olhar visualmente interpolar entre os pontosamostrados. sugerindo a eDV(lltória x(t), que é periódica.O USO do conctito de amostragem para entender a pe.riodiddade das sequências senoidais de tempo discreto éexplorado adiante no Problmu 1.36.

Assim como no tempo contínuo. também é impor·tantr considerar. na análise de sinais e sistemas de tempodisarto. conjuntos de exponenciais periódicas ~ni·cam.ente relacionadas - isto é. exponendais periódicas comum periodo comum N. Apartir da Equação 1.56. sabemosque esses são exatamente os sinais que estão em frequên·das múltiplas de 2'1"1N. Ou seja.

'"ln] = ejt(blN)ll. k = O. ±I,... (1.60)

No caso do tempo continuo, todas as aponendais comple·xas harmonicamente relacionadas jl{hf7lt• k = O, ±L ±l•

...• são distintas. No entanto. drvido à Equação 1.51. estenão é o caso em tempo discreto. ~camente.

•Exemplo 1.6

Suponha que vamos detenninar o período fundamen·la1 do sinal de tempo discreto

xfnJ = tj(2l1"13'" +tj(b14lll'. (1.59)

Sinais e sistemas 21

figura 1.29 Sequência degrau unitário de~ discreto.

Por outro lado. o degrau unitário de tempo discreto é aS01ltQ. CWflll.lariva da amostra unitária. ou seja.

u[n)

'Wllll~._.~.~.~.~._. ~.~.~.~.~.o "------,n

Há uma relação díreta entre o impulso unitáriode trnlpo discreto e o degrau unitário de tempo discre­to. Particularmente. o impulso unitário de ttmpo dis­creto é a primtira diftTrnfiJ. do degrau de tempo discreto

A Equação 1.67 é ilustrada na Figura 1.31. Nesse caso,o valor diferente de zero de ó[n - k) está no valor de k.

igual a 71, de modo que novamente percebemos que osomatório na Equação 1.67 é Opara" < Oe 1para 71 2:: O.

Uma interpretação da Equação 1.67 seria comouma superposição de impulsos atrasados; isto t, podemosver a equação como a soma de um impulso unitário 6[")em n = O, um impulso unitário 6{n - 11 em n = I, outro.6[" - 2] em n = 2 etc. Paremos uso explícito dessa inter­pretação no Capítulo 2.

A sequência impulso unitário pode ser usada paraamostrar o valor de um sinal em n = O. Em particular,como 6[71] é diferente de zero (e igual ii I) somente para71 = O, segue que

(1.65)6[nJ ~ u[n) - u[n - 1).

ou[.] = 2: 6[n - k],.-

A Equação 1.66 é ilustrada graficamente na Figura 1.30.

Como o único valor diluente de zero da amostra unitá­ria está no ponto em que seu argumento é zero, vemosna figura que a soma cumulativa da Equação 1.66 é Opara n < O e I para n ~ O. Além disso. ao mudar avariávd do somatório de m para k = n - m na Equa­çâo 1.66. observamos que o degrau unitário de tempodiscreto pode ser escrito em termos da amostra unitáriada seguinte forma:

De forma geral, se consideramos um impulso unitário ó[n

- 7101 em 71 = 711)' então

xIn]6[n - n,1 ~x(n,l6[n - n,1. (1.69)

A propriedade de amostragem do impulso unitário seráde extrema imponâncta nos capítulos 2 e 7.

(1.701

(1.68)xlnJ6[n) ~x(OJ6[nJ.

lAl Funções impulso unitário e degrau unitário detempo contínuo

A fti1lf4.0 dt5rall. lI.nitário de tempo contínuo lI.(t) édefinida de maneira semelhante à sua correspondente detempo discreto. Especificamente,

[O. t<O

u(tl~ 1, 1>0'

(1.66)•

u[nJ~ 2: 6[m].

ou, de modo equivalente.

00

Ui.] = 2:6[n - kl..-<>

(1.67)corno mostrado na Figura 1.32. Veja que o degrau uni­tário é descontínuo em t = O. A funçiio impulso lI.nitáriode tempo contínuo 6(t) está reladonada ao d~u uni-

(aIlntel'vaIo do somatório

~~-~ :-----------

---..~._.o_o.~1 ; .n o

-- - -- - - - - - ---,••,••,

• • • • • • • •n

8[m)

... l~'~'-'~'~'~'~'-'~-m~

(aI _dooomat6o'<o

•(b)

Intervalo do somatório (b) Intertalo do somatório

J

---.~j------:

...........I....;....O n m

Figura 1.JO Soma cumulativa dlI Equação 1.66: (ai n<O; lbl n> O.

:-----3~:.kJ---,

.........i....I....o n •

Rgura 1.31 Relação dada na Equação 1.67: lal n< O; (bl n> O.

22 Sinais e sistemas

,,,~!,

.(tI

,.,

o t

tário de modo análogo à relação mm: as funções degraue o impulso unitário de tcnpo discreto. Particularmente, odegrau unitário de tempo contínuo r. a in/rgraf aunultttivado impulso unitário

U(I) = J~5(T)dT. (1.71)

Isso também sugere uma relação entre 6(t) e U(I) análogaà expressão para 6[n] na Equação 1.65. Particularmente.segue da Equação 1.71 que o impulso unitário de tempocontínuo pode su obtido como a primrira dtrivad4 do de·grau unitário de tempo contínuo:

Em oposição ao caso de tempo discreto. há umadificuldade rormal com essa equação como uma repre­sentação da função impulso unitário. pois u(l) r. descon­tínuo em I = O e, como consequênda. r. formalmentenão diíerenciável. Podemos. no entanto, interpretar aEquação 1.72 considenndo uma aproximação do degrauunitário u6 (1). como ilustrado na Figura 1.33. que passado valor Opara o valor 1 em amo intervalo de duraçãoa. o degrau unitário. obviamente. muda de valor ins­tantaneamente e, por isso. pode ser visto como umaidealização de Ut..{') para a tão alrto que sua duraçãonão tem a mínima importânda para nenhum propósitoprático. Formalmente. u(r) ~ o limite de u6 {t) quandoli. ........ o. Comideremos a derivada

U(I) = J:..x. 6(1')d1' = f~6(t -cr)(-dcr),

Note-se que 66(1) é um pulso amo, de duração ae com área unitária para qualquer valor de 6. Quando6. --t O, 66 (t) toma·se mais estreito e mais alto, man­tendo sua área unitária. Sua forma limite

i'

(1.74)5(1) = Um 5.(1)..-<>pode ser vista como uma idealização do pulso curto 6t.(1)à medida que a duração a se toma insignificante. Como6(t) não tem duração, mas área unitária. adotamos suanotação gráfica conforme a Figura 1.35. na qual a seta emt = Oindica que a área do pulso se concentra em t = Oe aaltura da seta e o 'I' perto dela são usados para represen­tar a ma do impulso. De forma g(:ra1 um impulso k6(t)

terá uma área k. portanto.

L~k6(T)dT ~ !'u(/).

Um impulso com área k ~ mostrado na Figura 1.36. emque a altura da flecha usada. para descrever o impulso éescolhida como proporcional à área do impulso.

ral como no tempo discreto. pode-se fomettr umainterprer.ação gráfica simples da integral da Equação 1.71;isso é mostrado na Figura 1.37. Como a área do impul­so unitário de tempo contínuo 6(r) está concentrada eml' = O. notamos que a integral r. Opara t < Oe 1para t> o.Alr.m. disso, vemos que a relação na Equação 1.71 entre oimpulso e o degrau unitários de tempo rontínuo pode Stt

reoaita de forma diferente:. análoga à forma de: tempo

discreto na Equação 1.67. mudando a. variável da integra­ção de r para O' = 1- 1":(1.73)

(1.72)5(1) = du(l) .dI

5 (I)~ dU.(I).o. dt'

como mostra a Figura 1.34.

Figura 1.32. fLnção degrau unitário de tempo continuo.

figu~ 1.33 ~continuado~ulJl1itário, u6 ll). Figm 1.35 IrrlJuIso tJ'Iitario de~ continuo.,1,,1

_T_o

Sinais e sistemas 23

(a)

8(t-o)

Figura 1.36 Impulso com iÍrea t o a

ou, de modo equivalente.

u(t) = Loo5(t - a}da. (1.75)

(b)

Fig1mll1.38 Relação dada na Equação 1.75: la) t < O: lbl r> O.

Visto que 6(l) eo limite de 6.0. (lI quando t::. -+ O, segue-seque

a

lI(f-o)

o

Na Figura 1.39(a) esboçamos as duas funções de tempoxl!) e 6.0.(1), e na Figura 1.39(b) temos uma visão am­pliada da porção diferente de zero de seu produto. Porconstrução, XI (r) t zero fora do intervalo O5 r ~ A. Para6 sufidentemente pequeno de modo que X(l) seja apro­ximadamente constante nesse intervalo,

A interpretação gráfica dessa forma de relação en­tre u(t) e 6(t) é dada na Figura 1.38. Já que, Desse caso, aárea de 6(t - ai está roncennada no ponto a = t, vemosnovamente que a integral na Equação 1.75 é Opara t < Oe 1 para t > O. Esse tipo de interpretação gráfica do com·ponamento do impulso unitário sob integração strá ex­tremamente úúl no Capírulo 2.

Assim como o impulso de tempo discreto, o impulsode tempo continuo tem uma propriedade de amostragemmuito importante. Em particular, por diversas razões,será ütil considerar o produto de um impulso e funç~de tempo contínuo X(I) mais bem comportadas. A inter­pretação dessa quantidade é desenvolvida mais fadImen­te usando-se a definição de 5(t} de acordo com a Equação1.74. Espedficamenle. considere

Usando o mesmo argumento, temos uma expressão aná­loga para um impulso concentrado em um ponto arbittá·rio, tO' ou seja,

(a)Intervalo de Integraçao

X(I)Ó(I) ~x(O)ó(~. (1.76)

FigunI 1.31 Integrctl cumulativa dada na Equação 1.71: la) t < O:lbl r> O.

(b)

o

Intervalo de Integração

o I

,

,

Embora nossa discussão do impulso unitário nestaseção tenha sido um tanto infonnat ela nos propordonauma intuição importante sobre esse sinal que será bas­tante útil no decorrer de todo o livro. Como declaramosanterionnente, o impulso unitário deve ser visto comouma idealização. Como ilustramos e discutimos detalha­damente na Seçào 2.5, qualquer sistema físico real temalguma inerda a.ssodada a ele e, por essa razão, não res­ponde instantaneamente a entradas. Consequentemente,se um pulso de duração sufidentemente aut.a eaplicadoa um sistema desse tipo, a resposta do sistema não será

j

,,

24 Sinais e sistemas

(a)

x(t)

o.

(b)

x(O)I---"1

o •

Figurll 1.39 Oproduto xltlólJ,.It!: (ai gráficos das duas funções;(bl visão ampliada da porção diferente de zero de seu produto.

•Exemplo 1.7

CoDSidere O sinal x(1) com descontinuidades repre­sentado na Figura 1.40{a). Por conta da relação entre oimpulso unitário de tempo cootínuo e o degrau unitário.pode:mos com fadlidade calcular e: representar graficamen­te a derivada desse sinal. De modo mais específico, aderi·vada de x(/) é claramente O, exceto nas descontinuidades.No caso do degrau unitário, vimos (Equação l.72) que adiferenciação dá origem a um impulso unitário localizadono ponto da descontinuidade. Além disso. multiplicando osdois lados da Equação 1.12 por qualquer número k. vemosque a derivada de um degrau unitário com uma desconti­nuidade de: tamanho k dá origem a um impulso de área kno ponto da descontinuidade. Essa regra l.a.Dlbém. é válidapara qualquer outro sinal com um salto de descontinuida·de, como xlI) na Figura 1.4O(a). Consequentemente, pode­mos esboçaI sua derivada i(t), como na Figura 1.40(b). emque um impulso t. colocado e:m cada descontinuidade dex(t). com área igual ao tamanho da descontinuidade. Ve:jaque, por e:xemplo. a descontinuidade de .r(r) em r = 2 (emvalor de -3. de modo que um impulso com área -3 estálocalizado em t = 2 no sinal i(t).

3

-1

-I

2 3

,I

J

T•2 3

t-, f--2

-3

Figura 1.40 lal Sinal descontinuo Ati analisado no Exemplo 1.7;lbl sua derivada iltt lei repas8utação da recoostrução de Ati comointegrar de i(tL ilustrada para um vaiei" de tentre Oe 1.

•

-2 f--3 f-

(C~ _~1nt8rvalo de irtegaçlo

,

(a) x(tl

2 ­

If-

(b) i(t)2

•

) O Impubo unitirlo e ouuu funções rdadonadu (que <:ost1ImWI

su denominadas coktívamente mmo fwtPn IÚ singularid4dt)fORID arDpWi:leD.te estudados no ampo da M.l1l:mítka allD. D0­

mes aCtemativos de fim(4a gmera/izJldas e ~t1ri4 dai dUtriblliçiJa.Panl diJcussões trais dctalhadaJ do assunto. ver Distriblltitm tlltoryand/Tans[tmfla1liIlysi1. de ZEMANlAN, A. H. (Nova Y01'k:McGraw·-Hill Book Company, 1965); Gm"a1ittdfum:titmS. de HOSICINS.R. P. (Nova Von.: Ha1sted Press, 1979). ou um tuto mais apro­fundado, Fouritr 11Jl4/y$is rJ1Id goIUalizrdjimaums, de UGHTHILL.M.I. (Nova York: Cm1bridll:e Univcniry Press. 1958). Nossa dis­cumo das funções de singularidade Doi. Seçio 2.5 rol. dlrewncnte

i.n1l.uendada peJ. tl:OrU JrnItem.í.tica descrita nesses Imos c:. por­unlo, fornece uma inaoduçio in.fo~ ;aos coooeilOl que diarupone a eu!" t6piro IUI ~~lica.

nitidamente influendada pela duração do pulso nempelos detalhes do formato do pulso. Em. vez disso. a ca·ractt:ristica primária do pulso que terá importânda é oefeito final e integrado do pulso - isto é, sua área. Paraos sistemas que respondem muito mais rápido que ou·tros. o pulso deverá ter uma duração muito mais rumantes que os detalhes da forma do pulso ou sua dura·ção deixem de ser importantes_ No entanto, para todosistema físico. podemos sempre encontrar um pulso queé ·cuno o suficiente~. O impulso unitário. então. é umaidealização desse conceito - o pulso que é curto o sufi­dente para qualquer sistema. Como veremos no Capítulo2. a resposta de um sistema ao pulso idealizado tem umpapel fundamental na análise dos sinais e sistemas. e.no processo de desenvolvimento e ent~dimento des·se papeL. desenvolveremos um racioánio mais detalhadosobre o sinal idealizado.)

Sinais esistemas 25

Para conferir nosso resuhado. verificamos que pode­mos recuperar x(t) a partir de x(t). Mais especificamrnte.como x(t) e X(l) são ambos uro para t 5: O. predsam.os ape­nas conferir que para t> O.

(1.79)

(1.78)

xln] - y(nJ.

Na maior parte deste livro, trataremos os sistemas de te:D'po discreto e os sistemas de tempo conÓDuo separadamrn·te, mas em paralelo. No Capítulo 7. colocaremos juntos 05

sistemas de tempo discreto e de tempo contíDuo por meiodo conceito de amostragem e desenvolveremos algumasideias sobre o uso dos sistemas de tempo discreto para pro­cessar sinais de tempo contínuo que foram amostrados.

(a)

1.5,1 Exemplos simples de sistemas

Uma das motivações mais importantes para o de·srnvolvimento de ferramentas gerais para a análise e oprojeto de sistemas é o fato de sistemas de muitas apli·cações: diferentes terem descrições matemáticas muitopareddas. Para ilustrar esse fato, começamos com algunsexemplos simples.

•Exemplo 1.8

Vejamos o circuito RC representado na Figura 1.1. seconsideramos v,(t) como o sinal de entrada e v,(t) como o si·

nal de safda. pOOemos usar a análise simples do drcuito paraobter uma equação descrevendo a relação entre a entrada ea saída. De modo cxpooto. a partir da lei de Obm. a corrente

(b)

xtn1---+.1 Sistema de II--_'~y[nJtempo discreto

Do mesmo modo, um sistena de ttmpo discreto - isto é, umsistema que transforma entradas de tempo discreto emsaídas de tempo discreto - será esboçado como na Figura1.41 (b) e, por vezes. representado simbolicamente como

Alternativamente. representaremos, de forma frequente,a relação entrada·saída de um sistema de tempo conÓDUOpela notação

Figu... 1.41 (ai Sistema de tempo continuo; (b) sistema de tempodiscreto.

•

(1.77)x(t) = f: x(T)dr.

Conlonne ilustrado na Figura L40(c), para t < l. a integralno membro direito da Equação 1.77 é uro. pois nenhumdos impulsos que constituem x(r) está. dentro do intervaloda integração. Para 1 < r < 2. o primeiro impulso (localiza·do em t = I) i o único dentro do intervalo da integração.e. portanto, a integral na Equação I.TI i igual a 2. a árc:adcsst impulso. Para 2 < l <4, os dois primeiros impulsos es·tão drntrO do intervalo da integração. e a integral acumula asoma de ambas as ártas, ou seja. 2 - 3 = -L Por fim. para t > 4.tooos os ttês impulsos estão dentro do intervalo da integra·

ção. de modo que a integral é igual à soma de todas as trêsáreas - isto é. 2 - 3 +2 = +I. O resultado é eutamente osinal X(I) representado na Figura 1.40(a).

1.5 Sistemas de tempo contínuo e de-- tempo discreto

Os sistemas físicos. em sentido amplo. são uma in­terconexão de componentes, dispositivos ou subsistemas.Em contextos que vão desde as comunicações e O proces·samento de sinais até 05 motores eletromecânicos, veíru·los automotores e plantas de processamento químico. um

mttma pode ser visto como um processo em que os sinaisde entrada são transformados pelo sistema ou induzemo sistema a responder de alguma forma, resultando emoutros sinais de saída. Por exemplo. um sistema de altafidelidade toma um sinal de áudio gravado e gera umareprodução daquele sinaL Se o sistema de alta fidelidadetem controles de tom. podemos mudar a qualidade to·nal do sinal reproduzido. Da mesma forma. o cirruito naFigura LI pode ser visto como um sistema com tensão

de entrada v,(r) e tensão de saSda v,(t). rnquanto o auto­móvel na Figura 1.2 pode ser tido como um sistema comentrada igual à força .ftt) e saída igual à veloddade V(l) doveíru!o. Um sistema de realce de imagem transforma umaimagem de enrrada em uma imagem de saída com algu­mas propriedades desejadas. como contraste melhorado.

Um sistnna de tunpo COlltfnuo é um sistema cm queos sinais de entrada de tempo continuo são aplicados eresultam em sinais de saída de tempo contínuo. Os siste·mas desse tipo serão representados em ilustraçOO. comona Figura 1.41 (a), em que X(l) é a entrada e y(t) é a saída.

26 Sinais e sistemas

i(t) qU( passa ptlo resistor ~ proporcional (com proporciona­lidade constant( 1IR) à qut:da de trnsão no resistor; isto é.

i(t)= V,(t)-V,(t). (1.80)R

no fim do n-ésimo mês ( suponha que y[n] evolua d(mês a mês segundo a equação

rln] = 1.01r[n - I) +xln]. (1.86)

Do mesmo modo, usando a rdação constitutiva de um ca- ou. de modo equivalente.pactor, podemos relaconar i(t) à taxa de mudança com o y[nI - 1.01y[n - I] = xtnI, (1.87)t(mpo da tensão no capactor.

v(n6)-v((n -1)6)

6

NesS( caso, fazendo v[n] = v(n.6.) eJIn] = f{nA), chegamosao seguintt mod(lo de tempo discreto relacionando os sinaisamostradosf[n) e v{n):

•

(1.88)v(n] (m ;P6) >1n ~ 1)~

6

em que x[n] representa o depósito líquido (isto é, depó·sito menos retiradas) durante o lI-ésimo m~s e o termo1,01y[n - I] representa o fato d( arumularmos 1% dejuros todo mês.

•Exemplo 1.11

Como segundo exemplo. consid~ uma simulação di·gita1siny)l~ da equação di!ttendal da Equação 1.34 na qual~presentam.os o tempo (m int(rvalos discretos de compri·mento Ó ( aproximamos dv(t)/dt em t = nÓ peJa primeiradi!erença regrtssiva. isIO~.

(1.84)

Exemplo 1.9O~rve a Figura 1.2, na qual consid(ramos a força f{t)

como entrada e a v(locidade v(t) como saída. Se m denotaa massa do automóv(l ( pv a resistênda devida ao atrito,(otão. Igualando a aceleração - isto é, a derivada no tempoda v(!ocidade - com a força resultante dividida pela massa,obtemos

isto é.

dv(l) = ~[f!I)- pv(I)1 (1.83)dt m '

i(l) = C dv,!I) . (1.81)dI

Igualando o~do membro das equação 1.80 e 1.81, ob·temos uma equação dif(rt.D<ial qU( descreve a rtlação entrea entrada v,(r) e a saída v,(r):

•dv(l) 1 1-'-+-vr(t)=-v,(t). (U12)

dI RC RC

•

•

sendo x(t) a entrada. y(tl a saída ( a e b constantes.Este é um exemplo bem simples do fato de que, aodes(nvo!v(r métodos para analisar classes g(rais d(sistemas como o representado pela Equação 1.85,podemos usá-los em ampla variedade de aplicações.

•Exemplo 1.1 D

Como simples exemplo de um sistema de tempodisano, considere um modelo de balanço mensal (muma conta bancária.. Espedficamente. seja y[n) o saldo

Examinando e comparando as equações 1.82 e1.84 nos exemplos apresentados anteriormente, vemosque as relações entrada·saída representadas nessas duasequações para esses dois sistemas físicos bem diferentessão basicament( as mesmas. Particularmente, das são(xemplos de equações diferenciais linear(s de primeiraord(m da forma

.i

"li

rln) +arln - I] ~ b<[n]. (1.89)

•

Comparando as (quaçôes 1.87 e U8, vemos que am­bas são (xemplos da mesma equação de diferença lin(ar d(primeira ord.(m, a sab(c,

Como sugerem os ell(mplos anteriores. as descri·ções matemáticas de sislemas a partir d( uma grand(variedade de aplicações geralmente tim muito em coomw:n,. e é esse fato qU( fornece uma fone motivaçãopara o desenvolvimento d( ferramentas amplamenteaplicáveis para a análise de sinais e sist(mas. A chavepara obter esse sucesso é a identificação de classes desistemas que tailiam duas características lmportantes:(I) os sistemas nessa dasse t~m propriedades e estrutu­ras qU( podemos explorar para compreender seu com·ponamento e desenvolver ferramentas eficazes para suaanálise; ( (2) muitos sistemas de importânda práticapodem ser modelados precisamente usando sistemasdessa dasse. ~ na primeira dessas características que amaior parte deste livro se concentra, pois desenvolve-

(1.85)dy(l) +~I) ~ bX(I)dt "J\ •

mos ferramentas para uma classe particular de sistemasdefinidos como sistemas lineaRS e invariantes no tempo.Na próxima seção, apreseDlaremos as propriedades quecaracterizam essa classe. ~m como várias ourras pro­priedades básicas muito imponantes de sistemas.

A segunda característica mendonada no parágra­fo anterior r de imponânda evidente para que qualquertémica de análise de sistemas tenha valor prático. é umfato bastante consolidado que uma gama muito ampla desistemas físicos (indusive aqueles dos exemplos 1.8 a 1.10)pode ser fonnulada dentro da classe de sistemas na qualnos concenrramos neste livro. No entanto. um ponto cri­tico é que qualqutr modelo usado na descrição ou análisede um sistema físico representa uma idealização desse sis­tema e, ponamo, qualquer análise resultante será tão boaquanto o próprio modelo. Por exemplo, o modelo linearsimples de um resistor na Equação I.BO e de um capacitarna Equação 1.81 são idealizações. Enrretanto, essas idea­lizações são bastante precisas para capacitares e resinaresreais em muitas aplicações e, dessa forma. análises queaplicam essas idealizações fornecem condusões e resul­tados úteis, desde que as tensões e correntes pmnant:ÇlIJ1dentro das condições de operação sob as quais essesmoddos Uneares simples são válidos. De modo semelhan­Ir, o uso de uma força linear retardadora para representarefeitos de anito na Equação 1.83 é uma aproximação comuma faixa de validade. Consequentemente. embora nãoabordemos essa questão neste livro. é imponante lembrarque um componente essenrial da prática da engenhariaquando usamos os métooos desenvolvidos aqui consisteem identificar a faixa de validade das hipóteses usadas emum modelo e garantir que toda análise ou projeto baseadonaquele modelo não viole aquelas hipóteses.

1.52 Interconexões de sistemas

Um çonceito imponame que usaremos em todo olivro é o de intercone:do de sistemas. Muitos sistemasreais são construídos como interconexões de diversossubsistemas. Podemos alar como exemplo um sistemade áudio, que envolve a interconexão de um m:tptor derádio, um CD player ou um toca-fitas com um ampli­ficador e uma ou mais caixas acústicas. Outros exem­plos são: uma aeronave cootrolada digitalmente. quet a interconexão da aeronave. descrita por suas equa­ções de movimento e as forças aerodinâmicas que aafetam; os sensores. que medem diversas variáveis daaeronave. como acelerações. taxas de rotação e rumo;um piloto automático, que responde às variáveis medi·<fus e a enrradas de comando do piloto (como a direção,a altitude e a veloddade desejadas); e os atuadores, que

Sinais e sistemas 27

respondem a entradas fornecidas pelo piloto automáticopara usar as superfíaes de controle da aeronave (leme.cauda. ailtrons) de forma a mudar as forças aerodinâmicasna aeronave. lntC'rpretando UD'" sistema desse tipo comouma interconexão de seus componentes, podemos usarnosso entendimento dos componentes e de como elesestão intercoDC'aados para analisar a operação e o com­portamento do sistema como um todo. Além disso, aodescrever um sistema em termos de interconexão dossubsistemas mais simples. podemos na verdade definirformas úteis para construir sistemas complexos a partirde elementos fundamentais básicos e mais simples.

Apesar de ser possível construir unla variedadede interconexões de sistemas. alguns tipos básicos sãofrequentemente encontrados. Uma interconexão emsme ou cascata de dois sistemas é momada na Figura1.42(a). Diagramas como este são chamados de diagra·mas de blocos. Aqui. a saída do Sistema 1é a entrada parao Sistema 2, e o sistema como um todo transforma umaentrada processando-a primeiro pelo Sistema I e depoispelo Sistema 2. Um exemplo de interconexão em sérieé um receptor de rádio seguido de um amplificador. Se·melhantemmtC'. pode-se definir uma interconexão emsérie de três ou mais sistemas.

Uma inluconwio ptJ.ralela de dois sistemas é ilustra­da na Figura 1.42(b). Aqui o mesmo sinal de entrada (aplicado aos Sistemas 1e 2. O símbolo '$' na figura sig­nifica adição, de modo que a saída da interconexâo pa.raleia é a soma das saídas dos Sistemas 1e 2. Um exemplode interconexão paralela é um sistema simples de áudiocom vários microfones ligados a um amplificador e a umsistema de caixas acústicas único. Além da interconexãoparalela simples na Figura 1.42(b). podemos definiras interconexões paralelas de mais de dois sistemas ecombinar a interconexão paralela com a interconexãoem cascata para obler inlerconexões mais complica­das. Um exemplo desse tipo de interconexão é dado naFigura 1.42(c).4

Outro tipo importanle de interconexão de sislemasé a ilIltramextlo com rea/immtaçQo. rujo ~xemplo pode servisto na Figura 1.43. Aqui. a saída do Sistema 1 é a en­Dada para o Sistema 2. ao passo que a saída do Sistema 2é realimentada e adidonada à eorrada externa paraproduzir a entrada total do Sistema L Sistemas com re­alimentação podem ser encontrados em uma grandevariedade de aplicações. Por exemplo, um sistema depiloto automático em um automóvel mede a veloddade

4 Quando for apropriado. tlmbém IJSlreIDOS o símbolo 0 em DOSSIrepresentação gríflca dos sistemas pua denotar ii opc:raçJo demultipliaçio de dois sin.eis (ver. por exemplo, ii Figura 4.26).

28 Sinais e sistemas

lalEntrada~ Sistema 1 I~-"""~I Sistema 2~ Sarda

'I

.I;,

(blSIs~ema 1

En"ada

Sistema 2

Salda

leiSistema 1 1---- Sl""",,, 2

}--;>1 Sistema 4 saída :;

L ~ Sl",,", 3 1-----

Figural.42 Intercooexão de dois sistemas: (a) interconexão em série lcascatat lbl interconexão paralela; leI interconexão série-paralela.

físicas importantes e descrições matemattcas relativa­mente simples usando a linguagem de sinais e sistemasque começamos a desenvolver.

do veículo e ajusta o fluxo de combustível para mantera velocidade no IÚvel desejado. Da mesma foana, umaaeronave controlada digitalmente é projetada, geral­mente, como um sistema com realimentação no qual asdiferenças entre a veloddade real e a veloddade desejada.o rumo ou a altitude são rtalimentados por meio do pilo­to automático para corrigir essas discrepâncias. Também éfrequentemente útil considerar os circuitos elétricos comocontendo interconexões com realimentação. Como exem­plo, considere o circuito representado na Figura 1.44(a).Conforme indicado na Figura l.44(b), esse sistema podeser visto como uma interconexão com realimentaçãodos dois dementes do circuito.

1.6 Propriedades básicas de sistemas

Nesta seção. apresentamos e discutimos várias pro­priedades básicas dos sistemas de tempo discreto e detempo contínuo. Essas propriedades têm interpretações

Entnod. ---{+-}-->1 Sistema 'i---r----s.••

la)

Ibl/(I) +

-------

+;,(~ I ;~~ I

)11~ C R,,~

;,(tl Capacrtor+ V{I) .. l f' i 1 {'J1d1- C -.

i2,(t) Reslstori2

(I) _ v(I)R

Sistema 21----'

Figura 1.43 Interconexão com realimentação.

Figura 1.44 (aI Circuito elétricll simples; {bl diagrama de bloclls nllqual o circuitll é representadll como a interconexão ClIm realimenta­ção dlls dois elementos dll circuito.

Sinais e sistemas 29

YII) = X(I).

yln) =*1.

e a relação correspondente de tempo discreto ~

Um exemplo de sistema de tempo discreto com me·mória é um acumulador ou somador

(1.96)y[n] = y[n - lJ +xlnl.

,-,y(n]= L x[k] +x[nJ. (1.9S)..-

Representado na forma da última. fQuação. para obter asaída do instantf corrente R. o acumulador deve lembrar­.~ do somatório dos valores de entrada anteriores, que ~

o.atamente o valor precedente da saída do acumulador.

Em muitos sistemas físicos, a memória está dire­tamente associada ao armazenamento de energia. Porexemplo, o capadtor na Equação 1.94 armazena energiaacumulando carga elt:tIica, representada como a integralda corrfnte. Portanto, o circuito RC simples no Exem·pio 1.8 e na Figura 1.1 tem memória fisicamente ar·mazenada no capadtor. Do mesmo modo, o automóvelna Figura \.2 tem memória armazfnada em sua enfrgiacinética. Em sistemas de tempo discretos implementa·dos com computadores ou microprocessadores digitais.a memória é tipicamente assOciada. de forma direta. aosregistros de armazenamento que retêm valores entre ospulsos do relógio.

Apesar de o conceito de memória em um sistemageralmente sugerir o armazenamento de valores passadosde entrada e de saída. nossa definição formal também nosleva a nos rtferirmos a um sistema como tendo memória~ a saída corrente for dependente de valores futurO$ daentrada e da saída. Apesarde sistemas com essa dependên·da de valores futuros poderem. a prinápio, não parecernaturais, eles, na vfrdade. formam uma importantf clas·se de sistemas, como discutiremos adiante na~o 1.6.3.

ou, de maneira equivalente.

precedente da soma cumulativa. Em outras palavras. arelação entre a entrada e a saída de um acumulador podfser descrita como

(1.93)

(1.92)

(1.91)

(1.90)

YI') = Rx(I).

yln] =* - I).

,y[n] = L x[kJ.

/0._

Yln] = (ãln] - x'ln])'

e um segundo exemplo seria o atrtWltior

Um capadtor é um exemplo de sistema de tempo contí·nua com memória, pois se a entrada ~ tida como a cor­rente. e a saída ~ a tensão, então

~ sem memória, pois o valor de y[n] em qualquer instanteparticular no depende somente do valor de x[n] naquelemesmo instante. De forma semelhante, um resistor ~ umsistema ~m memória; sendo a entrada x(t) tida como acorrente e a tensão tida como a saíday(t), a relação entra·da·saída do resistor ~

em que R ~ a resist~nda. Um sistema sem memória par·ticularmente simples ~ O sisuma idmtidadt ruja saída ~

id~nr:ic.a à entrada. Ou seja. a relação entrada·saída parao sistema identidade de tempo contínuo é

1.6.1 Sistemas com e sem memóriaUm sistema ~ dito Sim mcnóna se sua saída para cada

valor da variável independente em um dado instante ~

depende da entrada sommte naqutle mesmo instante. Porexemplo, o sistema descrito pela relação

sendo Ca capadtânda.

Em linhas gerais, o conceito de memória em umsistema corresponde à presença de um m«anismo queret&n ou guarda a informação sobre os valores de entra­da em instantes que não o atual. Por exemplo, o atrasona Equação 1.93 deve reter ou guardar o vaIar prece·dente da entrada. Da mesma maneira. o arumulador naEquação 1.92 deve 'lembrar-se' ou guardar a informaçãosobre entradas passadas. Particulannente. o acumuladorcomputa a soma cumulativa de todas as entradas at~ oinstante atual e, portanto, em cada instante do tempo,

o arumulador adidODa o valor de entrada atuaI ao valor

1.61 Sistemas inversos e invertibilidade

Dizemos Que um sistema é i1f1lt'T1ÍV!1 se entradas dis·tintas levam a saídas distintas. Conforme a Figura I.45(a)para o caso do tempo discreto. se um sistema é in~rtí·

vel então um sistema inverso existe de modo que, quan­do colocado em cascata com o sistema original. produzuma saída w(n] igual à entrada .x{n} do primeiro sistema.Ponamo, a interconexão em série na Figura 1.45(a) temuma relação entrada ·saída total que é a mesma do siste·ma identidade.

Um exemplo de um sistema invertível de tempocontínuo é

IJ'YI/) = - x(T)dT.C _ (1.94)

y(~ = 2x(l). (1.97)

30 Sinais esistemas

(a) -1'~I

"

Fillura1.45 Coo:eito de t.m sistema iMno palã: (ai t.m sistema invertível geral; lbl sistema invertIYel descrito pela Equação 1.97; lei sistemaInvertível definido na Equação 1.92. ..

para o qual o sistema inverso é

Iw(t) ~ - y(t).

2

ser deteaados e, possivelmente, corrigidos. Para umacodificação sun. ptrdas. a entrada do codificador deve ser

(1.98) recuperável a partir da saída. isto é, o codificador deveser invertível.

isto é, o sistema que produz a sequrncia de saída igual azero para qualquer sequência de mtrada. e

w(ni =y[n) -y[n-II. (1.99)

como ilustrado na Figura 1.45(c). Exemplos de sistemasnão invertíveis são

Esse exemplo é ilustrado na Figura 1.45(b). Outro exem­plo de sistema invertível é o acumulador da Equação 1.92.Para esse sistema, a dilerença entre dois valores sucessi­vos da saída é precisamente o último valor de entrada.PortantO, nesse caso, o sistema inveJSo é

(1.103)

(1.102)

y(~ =>(1+ I)

y[nJ =xjnJ -xjn+ II

e

não são. Todos os sistemas sem memória são causais. por­que a saída responde somente ao valor corrente da entrada.

Embora os sistemas causais sejam de grande impor­tância, eles não coDStituem, de modo algum.. os únicos

1.6.3 Causalidade

Um sistema é causal se a saída. em qualquer tempo,depender dos valores da entrada somente nos instantesp~nte e passados. Um sistmla assim frequentemen­te é chamado de sistema nio tmrmpativo, pois a saída dosis~ma não antedpa valores fururos da entrada. Canse·quentemente, se duas entradas para um sistmta causalsão idênticas até determinado ponto no tempo to ou tll)'

as saídas correspondentes também devem ser iguais atéesse mesmo instante. O circuito RCda Figura 1.1 é causal.

visto que a tensão do capacitar responde apenas aos va­Iares presentes e passados da fonte de tensão. Da mesmaforma,. o movimento de um automóvel é causal pois elenão antecipa ações futuras do motorisld. Os sistemas des·critos nas equações 1.92 a 1.94 também são causais, masos sistemas definidos.por

(1.100)

(1.101)

caso em. que não )X)demos determinar o sinal da entradaa partir do conhedmento da saída.

O conceito de invertibilidade é importante em muitosrontextos. Um exemplo pode ser observado em sistemas decodificação usados em muitas aplicações de comunicações.Em. um sistema~ tipo. um si.naI que queremos trans­

mitir é aplicado como entrada em wn sistema conhecidocomo codificador. Há muitas razões para essa codificação,desde o desejo de se criptogralar a mensagem original porsegurança ou para a comunicação privada até o objetivode dar alguma redundânda ao sinal (por exemplo. acres­centando o que chamamos bits de paridade), de modoque quaisquer erros que ocorram na transmissão possam

Sinais e sistemas 31

Nesse sistema, a saída em qualquer tempo t é igual à en­trada naquele mesmo tempo multiplicada por um núme­TO que varia com o tempo. Mais especificamente. pode­mos reescrever a Equação 1.106 como

•Exemplo 1.12

Ao verificar a causalidade de um sistema, é impor­tante observar cuidadosamente a relação entrada -saída.Para ilustrar alguns problemas envolvidos nessa tarefa.vamos verificara causalidade de dois sistemas particulares.

O primeiro sistema é definido por

xl~: y(1),,,

(b)

1.6.4 Estabilidade

Estabilidade é outra propriedade imponanre dos siste·mas. Informalmente. um sistema estável é aquele em quepequenas entradas levam a respostas que não são divergen·teso Por exemplo, considere o pêndulo na Figura 1.46{a). noqual a entrada é a força aplicada x(t) e a saída é o desvioangular y(t) a panir da vertical. Nesse caso, a gravidadeaplica uma força restauradora que tende a fazer que opêndulo regresse para a posição vertical, e as perdas poratrito devido a resistênda do ar tendem a desacelerá-lo.Consequentemente. se uma pequena forçax{t) é aplicada.o desvio resultante da vertical também será pequeno. Emcontraste. para o pêndulo invertido na Figura 1.46(b), oefeito da gravidade é aplicar uma força que tende a au­marlar o desvio da vertical. Portanto, uma pequena forçaaplicada leva a um grande desvio vertical que faz que opêndulo caia. independentemente de quaisquer forças deretardamento devido ao atrito.

O sistema na Figura 1.46(a) é um exemplo de sis­tema _estável. e o sistema na Figura 1.46(b). instável.Modelos para reações em cadeia ou para cresdmento po­pulacional com distribuição de suprimentos ilimitada enenhum predador, por exemplo. são sistemas instáveis.pois a resposta ao sistema cresce sem limites em respostaa pequenas entradas. OUlrO ex~mplo de sistema instá·vel é o modelo para o balanço de uma conta bancária naEquação 1.86, pois se for feito wn depósito inicial (isto

sendo s(tl uma função que varia no tempo, a saberS(t) = cos(e + 1l. Portanto, somente o valor da entradax{c) infIuenda o valor correme da saíday(t), e concluímosque esse sistema é causal (e. na verdade. sem memória).

•

(1.106)

(1.105)

(1.104)

y[n] =x[-nl.

y(t) = xl') cos('+ I).

I +My[nl=-- I: x[n-k].

lM+lb._M

Veja que a saída y[na] em um tempo positivo no depen­de apenas do valor do sinal de entrada x[-nol no tem­po (-na)' que é negativo e. portanto, no passado de no'Poderíamos concluir precipitadamente neste ponto queo dado sistema é causal. No entanto. devemos sempreter cuidado e testar a relação entrada -saída para todos osinstantes. Em particular. para n < O. por exemplo. n = - 4.vemos que y[-4] = x[41. de modo que a saída nesse ins­tante depende de um valor futuro da entrada. Logo. osistema não é causal.

Também é importante distinguir cuidadosamente osefeitos da entrada dos efeitos de quaisquer outras funçõesusadas na definição do sistema. Por exemplo, considereo sistema

sistemas de significânda prática. Por exemplo, a causali­dade nem sempre é uma restrição essencial em aplicações.nas quais a variável independente não é o tempo, comono processamento de imagens. Além disso. quando pro­cessamos dados que foram gravados previamente, comorostuma acontecer com sinais de fala. geofísicos ou meteo~

rológicos, entre muitos outros. não estamos limitados aoprocessamento causal. Dando outro exemplo, em muitasaplicações. incluindo análises históricas do IJ.lercado deações e estudos demográficos, podemos estar interessadosem determinar wna tendência que varia lentamente nosdados que também contêm fluruações de alta frequênciasobre aquela tendênda. Nesse caso. é comum optar-sepelo cálculo da média dos dados sobre um intervalo parasuavizar as flutuações e manter somente a tendência. Um

exemplo de sistema de média não causal é

y(t) = x(09('). Figura 1.46 lal Pêndulo estável: lbl pêrKlulo invertido instável.

32 Sinais esistemas

é, x[O] = um montante positivo) e não houver retiradasposteriores, o depósito crescerá todos osm~ sem limitepor causa do efeito composto do pagamento de juros.

Tambr:m há inúmeros exemplos de sistemas está­veis. A estabilidade dos sistemas físicos geralmente resul­ta da presença de mecanismos que dissipam energia. Porexemplo, assumindo valores positivos para os compo·nentes no circuito RC simples do Exemplo 1.8, o resisto!dissipa energia, e esse circuito é um sistema estável. Q

sistema no Exemplo 1.9 também é estável por causa dadissipação de energia por meio do atrito,

Os exemplos anteriores ajudam-nos a compreendero conceito de estabilidade. Mais formalmente, se a en·trada para um sistema estável é limitada (isto é, se seumódulo não cresce sem limites), então a saída tambémdeve ser limitada e, portanto, não pode divergir. Esta é adefinição de estabilidade que usaremos em todo o livro.Por exemplo, considere a aplicação de uma força cons­tante [(t) = F ao automóvel da Figura 1.2, com o veí­culo inidalmente em repouso. Nesse caso, a veJoddadedo carro aumentará, mas não sem limite. pois a força deretardo por atrito também aumenta com a veloddade. Naverdade. a velod.dade continuará crescendo até que a forçade atrito entre em equilibrio exato com a força aplicada;então, a partir da Equação 1.84. vemos que esse valor daveloddade terminal Vdeve satisfazer

Ou seja, y{O] = 1, y[ll = 2, y[2] = 3 e assim por diante, ey[n] cresce sem limite.

•Exemplo 1.13

Para verificarmos se um sistema é instável quandosuspeitamos disso, basta usar a estratégia útil de procurarpor uma entrada limitada upeájiaJ que leva a uma saída ili·mitada. Encontrar um exemplo desse tipo permite-nos con­cluir que o sistema é instável. Se tal exemplo não existe oué difícil de str encontrado, devemos verificar a estabilidadeusando um método que não utiliza exemplos espeóficos desinais de entrada. Para ilustrar essa abordagem, vamos veri­ficar a estabilidade de dois sistemas,

(1.109)

(I.UO)

S,:Y('I ~"('I

Prorurando um conlIaexemplo espedfico para refutar a es·tabilidade, podemos tentar entradas limitadas simples. comouma constante ou um degrau unitário. Para o sistema SIna Equação 1.109, uma entrada constante x(t) = I resultaem y(t) = t, que é ilimitado, pois não impona que constan­te escolhamos. IY(l)1 excederá essa constante para algum l.

Concluímos que o sistema SI é instável.

Para o sistema S2' que é estável. seríamos incapazesde encontrar uma entrada limitada que resultasse em umasaída ilimitada. Então, devemos verificar que todas as entra­das limitadas resultam em saídas limitadas. Especificamente,suponhamos que B seja um número positivo arbitrário, eque x(t) seja um sinal arbitrário limitado por B; ou seja, nãoestamos supondo nada sobre x(t) exceto que

,

(1.107)1:V = .!.p,m m

isto é.

•

para todo t. Usando a definição de S2 na Equação 1.110,vemos que se x(t) satisfaz a Equação 1.111, então y(t) devesatisfazer

Concluímos que, se qualquer entrada para S2 é limitada porum número positivo arbirrário B, estará garantido que a saídacorrespondente é limitada por t S. Portanto, S2 é estável.

(l.lU)

(1.113)

(1.111)Ix(')1 < B.

-B<x(t)<B,

Os conceitos e as propriedades dos sistemas que apre­sentamos até agora nesta seção são de grande importân­cia, e examinaremos algumas delas mais detalhadamenteneste livro. No entanto, ainda faltam duas propriedadesadicionais - invariância no tempo e linearidade - querepresentam um papel fundamental nos próximos capí-

ou

FV ~-. (1.108)

PComo outro exemplo. considere o sistema de tempo

discreto definido pela Equação 1.1 04 e suponha que aentrada x[n] seja limitada em módulo por um número.digamos. B, para todos os valores de n. Então. o maiorvalor possível para omódulo dey[n) tdIllbém é B, porqueY[1l1 é a média de um conjunto finito de valores da en­trada. Portanto, y[n] é limitado e o sistema é estável. Poroutro lado, considere o acumulador descrito pela Equa­ção 1.92. Ao contrário do sistema na Equação 1.104, essesistema soma todos os valores passados da entrada em vezde apenas um conjunto finito de valores, e o sistema éinstável. pois a soma pode crescer continuamente mesmose x[nl for limitado. Por exemplo, se a entrada para o acu­mulador for um degrau unitário u[n}, a saída será

,y[nl~ L u[k]~(n+llu[nl.

.1:=-00

Sinais e sistemas 33

ruJos; no restante desta seção apresentaremos discussõesinidais desses conceitos muito imponantes.

•Exemplo 1.14

Considere o sistema de tempo contínuo definido por

Para verificar se esse sistema é invariante no tempo, deve­mos detemlioar se a propriedade de invariância no tcopo éválida para qwJ1qutT ennada ~ para qUilfquU deslocam~to

no tempo tg. Portanto, considertmos x. (t) como uma enna­da arbiuária para esse sistema, e seja

•

(1.117)

(1.111)

(1.1I0)

(1.1I9)y[o] = ",[o).

Trata-se de um sistema variante no tempo, fato que pode serverificado usando·se o mesmo proa:dim.emo formal utiliza·do no exemplo anterior (ver Problema 1.28). No entanto,quando se suspeita que tnII sistema s~ja variante no tempo,um método bastante útil para tirar a dúvida é procurar umconrraexemplo -ISto é, usar nossa intuição para enconnarum sinal de ennada para o qual a condição de invariân·cia no tempo seja violada. Em particular, o sistema nesteexemplo representa um sistema com um ganho variante notempo. Por ~umplo, se sabemos que o valor corttnte da en­trada é L nâo podemos drtenninar o valor C'OlTtnlt de saídasem conh«'Cr o tempo corrente.

Consequentemente, considere o sinal de entrada xj[nj=6(11], qu~ produz uma saída yl[n} idêntica a O tiã quen 6[n} = O). No entanto, a entradax1[n] = 6[n -1] gera asaídaY2[nl =n6[n - I) =6(n - I}. Dessa forma. enquantoA1ln) t uma vmão deslocada d~ x.ln], y2(n) mio é uma vu·são deslocada de ,1In).

Enquanto o sistema no exemplo anterior tern um ga.nho variante no tempo e. como ttSUltado, (. um sistemavariante no tempo, o sistema na Equação 1.97 tem umganho constante e, de fato, é invariante no tempo. Outros~xemplos de sistemas invariantes DO tempo sâo dados pe­las equações 1.91 a 1.104. No exemplo seguinte (. apresen­tado um sistema variante no tempO de tempo contínuo.

•Exemplo 1.16

Considere o sistema

•

Y,(~ =sen(x,I~1 =sen(x,(I- IJI.

De modo semeIbanI~, a partir da Equação 1.115,

X,(~ =X,(I- ,).

A saída correspondente a essa entrada é

•Exemplo 1.15

Como segundo ~xem.plo, considere o sistema de tem­po discreto

a saída correspondente. Então, consideremos uma segun.da entrada obtida pelo deslocamento invariante XI (t) notempo:

Comparando as equações 1.117 e 1.118, vemos queY2(t) = Yl(t - foI e que, portanto, esse sistema ~ invarianteno tempo.

(l.II')Y(I) = sen[X(I)].

1.6.5 Invariância do tempoConceitualmeote, um sistema é invariante 00 tem­

po se o comportamento e as características do sistema sãofixos ao longo do tempo. Por exemplo, o drruito RC daFigura 1.1 i invariante no t~mpo se os valores de r~sis­

lênda e c.apacitância R e C são constantes O? d~correr

do tempo: Esperariamos obter amanhã ~xatamente osmesmos resultados de um ~xpcrimento qu~ fizemos bojecom esse circuito. Por ourro lado, se os valores de R e Csão modificados ou flutuam ao longo do tempo, entãoesperamos que os resultados de nosso experimento de­pendam do instante em que ele é executado. De manei~

ra semelhante, se o coefidente de atrito b e a massa mdo automónl na Figura 1.2 sâo constantes, esperamosque o veículo responda da mesma forma independente­mente de quando o dirigimos. Por outro lado, se enche­mos o porta-malas do automónl com malas pesadas emum dia, e assim aumentarmos m, esperamos que o carrose compone de maneira dif~reDte em. ourros instantes,quando não estiver extremalm:nte carregado.

A propriedade da invariânda no tempo pode serdesoila de forma bem simples nos termos da linguagemde sinais e sistemas que apresentamos. Esped1ica.mente,um sistema é invariante no tempo se um deslocamentono tempo do sinal de entrada resulta em um deslocamen·to no tempo idêntico no sinal de saída. Ou seja. se y[n] éa saída de um sistema invariante no tempo e de tempodiscreto quandox(nl é a entrada, então y(n - no1 é a saídaquando x[n - nol é aplicado. No tempo contínuo, sen­do y(t) a saída correspondente à entrada x(t), um sistemainvariante no tempo terá y(t - tol como saída quandox(t - to) lor a enlIada.

Para ver como determinar se um sistema é ou nãoinvariante no tempo, e para compreender um poucomais essa propriedade, considere os seguintes exemplos:

(l.llS) (l.U<l)

J

34 Sinais e sistemas

,

1.6.6 LinearidadeUm sisttma linear. de tempo continuo ou tempo dis·

creto. é um sistema que tem a importante propriedadede superposição: se uma entrada consiste de uma soma

Este sistema representa uma mudança de escala no tem·po. Ou seja. y(t) é uma versão comprimida no tempo (porum {ator de 2) dex{I).lntuirivamente. então. todo deslo­camento no tempo na entrada também será comprimidopor um {ator de 2. e é por essa razão que o sistema nãoé invariante no tempo. Para demonstrar isso por melo deum contraexemplo. considere a entrada Xl (I) mostrada naFigura 1.47{a) e a saída resultante Yt!t) representada na Fi·gura 1.47(b). Se deslocamos a entrada de 2 - isto é. coJ:!.­sideram.os~(1) :=X,(l - 2). como mostra a Figura 1.47(c)­obtemos a saída resultante )'2(1) := x2(21) mostrada na Fi·gura 1.47(d). Comparando as figuras 1.47(d) e (e). nota­mos que Y2{l) $; Y,(t - 2). de modo que o sistema não éinvariante no tempo. (De fato. Y2(t) = Y,(r - 1). portantoo deslocamento no tempo da saída só tem metade do ta·manha que deveria ter para a invariãnàa no tempo devi·do à compressão no tempo causada pelo sistema.)

(a) x,1ll

2 2

(b)

-,

ponderada de diversos sinais. então a saída é a supe:rposi·ção - isto é. asoma ponderada - das resposw do sistemaa cada um desses sinais. Mais predsamente. suponhamosqueYI(t) seja a rr:sposta de um sistema de tempo contínuoa uma entrada XI (t). e que Y2(1) seja a saída romsponden.te àentrada~(t). Então. o sistema é linear se:

1. A resposta a XI (t) +x2(e) é )II (el +)/2(1).2. A resposta a ax,lt) é Q)'1(1). em que Q é qualquer

constame complexa.

A primeira das duas propriedades é conheàda comopropriedade da aditividmk; a segunda é conbeOda como pro­priedade da mudança de escala ou honwgentidtUk. Embo·ra tenhamos feito essa descrição usando sinais de trnlpocontínuo. a mesma definição é válida em tempo discre­to. Os sistemas especificados pelas equações 1.91 a 1.100,1.102 a 1.104 e 1.1 19 são lineares. enquanto os definidospelas equações 1.101 e 1.114 são não lineares. Note·seque um sistema pode ser linear sem ser invariante noteJlIIXI. como na Equação 1.1 19. epode ser invariante no tem­po sem Sl':r linear, como nas equações 1.101 e 1.114.

As duas propriedades definindo um sistema linearpodem ser combinadas em uma única relação:

tempo continuo: 1U,(t) +bAi(t) _Q)',(t) +by2(C)' (I.UI)

tempo discreto: 1U,[nl +bx2(n) ..... Q)'I(n] +br2 [n). (I.U2)

AquL a e b são constantes complexas quaisquer. Al~disso, toma·se bastante claro. a partir da definição de li­nearidade. que se x,,[n). k:= 1.2. 3...., é um conjunto deearradas para um sistema linear de tempo discrtto comsaídas correspondentes )I,,[n). k = 1. 2. 3•...• então a res­posta a uma combinação linear dessas entradas dada por

.'

,,

.,

,'.

(e) x~" - x,(t-2j (d) x[n] ~ L:;a,x,[n],:= Qlxl[n] +a2x2[n]+~x}[n]+... (1.123)

Figura 1.4'7 lal Entrada x,lrl para osistema do Exemplo 1.16; lbl sakJa

"Irl~" • ~lrll'I .._ d"""'" >;Irl- ~Ir- 2l WIsalda y~tl correspondente a XzItt lei sinal desIcxado )11 (t- 21. Note­se~ tilll '"" Yllt - 2l mostnn1o que o sistfma não é invariante nol8lIpll.

i

y[n] ~ L:;a,J,[n],= QlYI[n] +a2Y2[n]+~}[tr]+ ... (1.124)

Esse fato bem importante é conhecido como prqpritáaikdt supaposiçmJ. que vale para sistemas lineares de tempodiscreto e de tempo contínuo.

Uma consequênàa direta da propriedade de super­posição é que. para os sistemas lineares. uma entrclda queé zero o tempo todo resulta em uma saída que é zero otempo todo. Por exemplo. se x[n} ..... )I[n]. então a pro­priedade de homogeneidade nos diz que

o

le)

x

y,(t-2)

3

o 2

0:= O· .qn) ..... O, )I[n] := O. (1.125)

J

Sinais e sistemas 35

•mas 2y,(t) = 2[xl (I)}1 = 2. Concluímos que o sistema 5 énão linear.

Como mosuado no Problema 1.29. esse sistema ~ aditivo;no e:ntanto. e:1c: não satisfaz a propriedade de homogenei­dade. como demonsrraremos agora. Seja

(1.127)

11.126)r[n] = m<lx(n]}.

x,ln] ~ rln] +jsln]

•Exemplo 1.19

Ao verificar a linearidade de um sistema, é imponan­le lembrar que o sistema deve satisfazer a propriedade dehomogeneidade e de aditividade. e que é permitido que ossinais. bem como quaisquer constantes de mudanQl de escala.sejam complexos. Para enfatizar a importância desses pan­lOS. considere o sistema especificado por

Para dett:rminar se 5 é linear ou não, consideramos duasentradas arbitrárias XI (r) e xl(t).

Xl (I) -.1.(tI "" ai (I)

"I~ - r,l~ = <x,1~

Suponhamos que xl(r) seja uma combinação linear de xl(t)e XlV). Ou seja,

Nos próximos c:J:Cmplos, ilusttamos como a linea­ridade de dado sistema pode ser verificada dirttameotepela aplicação da definição.

•Exemplo 1.17

Considere um sistema 5 cuja entrada x(r) e a saída y(r)~o relacionadas por

x,ll) = "",I~ +b"l~

em. que li e b são escalares arbitrários. Se xl(t) é a entradapara 5, então a saída correspondente pode ser expressa como

uma entrada complexa arbitrária com partes real e ima·ginária r[n] e s[n}, respectivamente, de modo que a saídacorrespondente: é

Agora. considere a mudança de: escala dex.(nJ por um

oúmero complexo. por exemplo. Q = j; isto é, considerea e:orrada

r,ll) ~ ",II)= r(ar, tr) +bx2 (rl)

= att, I~ +b<x,lt)="Y,I~+by,l~

YI(n] = r[n]. (1.128)

e

X, (t) --t 11 (t) = X~(l)

x,II)_ r,ll) ~ ~II)

•Exempl'1.18

Vamos aplicar o pro<rdimento de verificação da linea­ridade do exemplo anterior para outro sistema 5 cuja entra·da x(t) e a saída y(t) são reladonadas por

rll) =x'{t)

Definindo .1.(1). xl(t) e xl(r) como no exemplo anterior, te­mos

que não é iguaJ à versão com mudança de escala de Y1ln].

•

(1.131)

(1.130)

(1.129)

"Y,lnJ ~ jr[nl·

r,[n] ~m<lx,[n]} = -,[nJ.

"Inl = jx,ln] = jlrln] +jsln]}

= -'lnJ +jr{n].

Conduúnos que o sislema viola a propriedade de homoge­neidade e que. por isso. não é linear.

A saída correspondente a x1(n) é

•Exempl'l20

•Concluímos que o sistema Sé linear.

Esse sistema não é linear. como pode ser verificado de diver­sas maneiras. Por exemplo. o siSlema viola a propriedade deaditividade: Sul[n! = 2 exJ[nJ = 3. então

x}(t) -+ y}(t) = xiV)

= (axl(t)+ bx1(r)1

= a2x~(r) +b2x~(t)+2abxl (t)x1 (t)

= a2YI (t) +b1Y1(t) +2abx1(t)X2(t)

Claramente. podemos especificar XI (r). .rz(I), li e bde tal formaque y)(t) não é o mesmo que ll)'llt) +by1(t). Por e.xemplo. sex.(t) "" 1, .Iztt) "" O. li "" 2 e b "" O. rntão y)(t) = (lx.V)]l = 4.

Considere o sistema

rl"1 ~ 2<1"1 +3.

"I"J - 1,1"] =2<,lnl + 3 ~ 9.

(1.132)

(LBl)

(1.134)

I"

36 Sinais e sistemas

Rgura 1.48 EstMura de um sistema linear incremental. Aqui. yJnIéaresposta à entrada nula do sistema.

xln] ~ 2x[n],

e a resposta à entrada nula é

10(01

.~x[nl Is~om'l J y(oJJ lmear

Neste capítulo. desenvolvemos diversos conceitosreladonados aos sinais e sistemas de tempo discreto e detempo conánuo. Apresentamos uma visão intuitiva doque são os sinais e sistemas, por meio de vários exem·pios e de urna representação matemática para os sinais

Problemas básicos com respostas1.1 Expresse cada um dos seguintes nÚIneros comolexos na

f "(") l- hr l-~ 1,,1T' -1"12onnacaneSlana x+JY:2r'2e ,e ,e.t15"12 ,.J2~I'".Jiel9f114 .J2e-j9• I'" ,fit-iflI4.

1.2 Expresse cada um dos seguintes números complexosna forma polar (rej~,com-1J"<8<;;1J"):5.-2,-3j,

Capítulo 1- ProblemasOs problemas básicos dão ênfase aos mecanismos

de uso dos conceitos e métodos de modo semelhante aosilustrados nos exemplos resolvidos no texto.

Os problemas avançados exploram e aprofun·dam os fundamentos e implicações práticas do conteúdotextual.

A primeira seção de problemas pertence à categoriabásica, e as respostas são fornecidas no final do livro. Asduas seções posteriores contêm problemas que perten­cem. respectivamente, às categorias básica e avançada.Uma seção final. Revisão matemática, fornece proble­mas práticos sobre as ideias fundamentais de álgebra earitmética complexas.

e sistemas que usaremos em todo o livro. De modo maisespecifico, mostramos representações gráficas e matemá­ticas dos sinais e usamos essas representações para exe­rotar transformações da variável independente. Tambémdefinimos e examinamos diversos sinais básicos, tanto detempo contínuo como de tempo discreto. Estes incluíramsinais exponenciais complexos, sinais senoidais e funçõesdegrau e impulso unitário. Além disso. investigamos oconceito de periodiddade para sinais de tempo contínuoe de tempo discreto.

Ao desenvolvennos algumas das ideias básicas rela­donadas aos sistemas. apresentamos diagramas de blocospara facilitar nossas discussões reladonadas à intercone­xão dos sistemas e definimos várias propriedades impor·tantes dos sistemas. entre elas a causalidade. a estabilidade.a invariância no tempo e a linearidade.

O prindpal foco deste livro será a classe de siste­mas lineares invariantes no tempo (LIT). tanto de tempocontínuo como de tempo discreto. Esses sistemas têm umpapel particularmente importante no projeto e na análi­se: dos sistemas. em pane devido ao fato de que muitossistemas encontrados na natureza podem ser satisfatoria­mente modelados como lineares e invariantes no tem­po. Além disso, como veremos nos próximos capírulos,as propriedades de linearidade e invariância no tempopermitem-nos analisar detalhadamente o comportamen­tO dos sistemas m.

(loUO)

•

y\[nJ - Y2(nl = lX'1[n) + 3 - [lX'2[n] +31

= 2\X1[n]- x2[nll·

1.7 Resumo

No entanto, a ~sta a x3[n] = x\[n] +x2 [nl ~

Yl[nl = 2[xl [n] +x2[nlJ +3 = 13, (1.I35)

Que não é igual a y\[n] +Y2(n] = 16. Por outro lado, comoy{n} = 3 se xIn] = 0, vemos que o sistema viola aproprie·dade Mentrada-nula/saída-nuIaMdos sistemas lineares dadapela Equação 1.125.

Pode ser surpreendente que o sistema no exemplo apre­sentado não seja linear. já que a Equação 1.132 é linear. Poroutro lado, como mostra a Figura 1.48, a saída desse sistemapode ser representada como a soma da saída de wn siste­ma linear e outro sinal igual à resportil à tntratUz nula do sis­tema. Para o sistema na Equação 1.132, o sisttnla linear é

yo[n) =3.

Na verdade, há dasses amplas de sistemas de tempo con­tínuo e de tempo discreto que podem ser representadas comona Figura 1.48 - ou seja. para as quais a saída do sistema demodo geral consiste na superposição da resposta de um sis­tema linear com uma resposta à entrada nula. Conformemostra o Problema \.47, sistemas desse tipo correspondemà classe dos sistemas lintarts inatmtntais - isto é, sistemas detempo contínuo ou discreto que respondem linearmente amudal'lf'lS na entrada. Em outras palavras, a diftrenÇ/1 entre asrespostas a quaisquer duas entradas para um sistema linearincremental é uma função linear (istO é, aditiva e homogê­nea) da diftrtnf'l entre duas entradas. Por exemplo. se XI [n]e x2[nj são duas entradas para o sistema especificado pelaEquação 1.132 e se y\[nj ey2[nl são as saídas corresponden­tes. então

t- iij. I + i. II - I)'. iiI - I). II +IVII - I).

1,12+ i,n) I 11+ i./3).

1.3 Dttennim: os valo~ de P_ c: E. para cada um dos se­guintes sinais:

(a) xII!) = r 2lw(t)

(b) xlii) = (j(21+ 11/4'

(c) x,(t) = cos(t)

(d) xl[nJ={tl"u[n](e) xl[n} = ,i(lII21l+1rIS}

«() x)["] = cos (~n)

1.4 Suponhamos que xln] stja um sinal comx{n) = Oparari < - 2 e n > 4. Para ada um dos sinais dados a seguir.dC'terminc: os va1Qm; de: n para 05 quais 05 sinais sãogarantidamente iguais a zero.

(aI x[n - 3]

Ibl x[n +4]

(c) x(- n]

Idl x[-n+2]

(<<:)x[-n-2]

1.5 Suponhamos que x(l) seja um sinal com x(r) = Oparat < 3. Para os sinais dados a seguir. determine os valoresde /para os quais eles são garantidamente iguais a zero.

(a) x(l - ti(bl xiI - HxI2-~leI x{ I - 11<12 - ~

(dI x13~

(el x{1I311.6 Dttermine se .cada um dos sinais a seguir é ou não J)(­

riódico:

(a) xIII) = 2(i{l+d4JU(t)

(b) x][n]=u(nl+u[-n]

leI x,lnl:L;__~I'[n-4kl-óln-I-4kJl1.7 Para cada um dos sinais dados a seguir, c:ktmnine to­

dos os valores da variável independente para os quais apane par do sinal seja garanlidamente zero.(a) x1In]=w[n]-w[n-41

(b) xl (!) = stDCtt)

leI x,ln] = Itfuln-3](d) %4(1) = r)ru(t+ 2)

1.8 Expresse a parte real dos sinais a seguir na formaM-.r cos(wt +q,) $(ndo A, a, we q, números reais comA>Oe-7I"<</J$.7r.

(a) x1(t)=-2

(b) x2(r)=J'2eiw14cos(3t+21r)

(c) x3(r) = t-'sen(3t +7r)

(d) x4(r) = je'-2.f. j I00)l

Sinais e sistemas 37

1.9 Determine $( cada um dos sinais é ou não pm6diro, Seum sinal for ~riódiro. esptdfique seu período funda·mental.(a) x, (t) "" jelOt

Ibl x,(~~"-'+"leI x,lnJ:,ftm

(d) x4(nl "" 3tJJ"iIl+ 1/21/'

(e) x~(nl = 3tJJ/5(II + 112)

1.10 Detemtine o período fundamental do sinal

x(II ~ 2cosl101 +1)- senl4t- I).

1.11 Determine o periodo fundamental do sinal

x(n] = 1+ti4...n - t j2qJ,.

1.12 Considert o sinal de tempo disaeto

~

x(n]~1-L6[n-l-kl..-,Determine os valor~ dos números in~ M e "0 demodo que x[n] possa ser expresso como

x[n] = u[Mn - n"l.

1.13 Considere o sinal de tempo contínuo

x(t) ~ óll+ 21- '11 - 21.

Calcule o valor de E_ para o sinal

y(t) = J~ x(T)dT.

1.14 Considere um sinal periódico

X(t)=[t. 0$.t51-2, l<t<2

com período T =2. A dertvada desse sinal está relacio­nada ao ·trem de impulsos·

~

9111~ L 6[1 - 2k)..-com período T= 2. Pode·$( pen:eber que

dxtl)dr = A,,(t -t,)+ A2g(t ~t21.

Determine os valores de AI' f\, A2e t2.

1.15 Considere um sistema S com entradax{n] e saíday(n}.Esse sistema i. obtido por uma interconroo série deum sistema SI seguido por um sistema S2' As relaçõestnrrada ·saída para SI e S} são

SI: YI[n]=2x,[n)+4xl [n-I],

IS1: Y2[n] = x2{n -2J+"'ix1[n-3).

em que x,[n] e x2[n) representam sinais de entrada.

38 Sinais e sistemas

(a) Dfitrmint a relação tntrada·saída para osistema S.

(b) A relação tntrada-saída do sistema S muda se aordem dt: conexão em série de SI e 51 for invertida(isto~. se 51 mr depois de SI)?

1.16 Considere um Mana de tempo discreto com tntradax[n) e saíday[n]. Arelação entrada-saída desse sistema é

y{n) =x[n)x[n - 2].

(a) O sistema é sem memória?

(b) Deterntine a saída do sistema quando a entradafor A6[n]. em que A é um número complexo oureal qualquer.

(e) O sistema ~ tnvertívcl?

1.17 Considere um sisu:ma de tempo contínuo com entradax(e) e saída y(e) relaconado por

Ylr) ~xl=(r)).

Problemas básicos1.21 Um sinal de tempo contínuo x(e) é mostrado na Fi­

gura Pl.2l. Esboct e coloque a escala cuidadosamentepara cada um dos seguintes sinais:

(a}x(e-l)

Ib) x(2 - I)

(e) x(2r+ II(d) x(4-~)

le) Ix(~ +x(-~]ulll(I) x(I)[611+1)-6(1-1)]

'1-_..,•

(a) O sistema é causal?

(b) O sistema é linear?

1.18 Considere um sistema de tempo discreto com entradax[n] e saíday(n] re!aconadas por

.+,y[n]~ L: x[k).,-, -'v-' o

-,

,

ln Um sinal de telJlpodisaeto é mostrado na Figura Pl.22.Esboce e coloque a escala cuidadosamente para cadaum dos seguintes sinais:(a) xln - 4J(b) x(3 - n]

(el x(3n]

(d) xl3n + II(e) x[n]uI3 - "]

(I) xl" - 2161" - 2)(g) 1x{n]+ t(-I)" x(n]

(b) xl(" - I)']1 1 1, ,

sendo 1lg um número inteiro positivo finito.

(a) O sisttma é linear?

(b) O sistema é invariante no tempo?

(e) Sabendo que xlnJ ~ limitado por um número intei­ro finitoS (isto é.lx(n]1 < Bpara tOOon), podemosdemonstrar que y[nl é limitado por um númerofinito C. Conduímos que o sistema dado é estável.Expresse Cem termos de B e no'

1.19 Para cada uma das relações entrada·saída a squir. de­termine se o sistema correspondente é linear, invarian­te no tempo ou ambos.

(a) )'{t) ~ ~xll - II

(b) Ylnl~rl"-2]

(e) y[n]=xln+I]-x[n-11

(d) YI"] = 6*(1))1.10 Um sistema linear de tempo comínuo S com entrada

x(r) e saída y(l) possui os seguintes pares entrada-saída:

x(t) = (i l / ..:.. y(e) = ~Jl •

x(l)= e-ju ..:.. y(t) = e-j3t .

(a) se Xl (e) =COs(2e), determine a saída corresponden­te Jl(t) para o sistema S.

(b) Se .%1(e) = cos{2(e - t))., determine a saída corres­pondtnte }'2(e) para o sistema S.

Figara P121

-4 -3 -2 -1 O , 2 3 4-1,

-,"g.. P1.22

"

Sinais e sistemas 39

.-~

1.26 Dtw:mi.ne se os sinais dc= tempo discreto a seguir são pe­riódicos. Sc= o sinal for periódico. detennine seu perio­do fundamental(a) 4nl=",0(':'n+l)

(b) x(nl==(i-~)

(c) 4nJ= cos{fn')(d) x(n]=cos{tn)cos{tn)

(e) x[n] = 2cos(tn)+sen(fn)- 2cos(tn +tl1.27 Neste capítulo. aprc=sentamos diversas propriedades ge:­

rais dos sistemas. De modo partiOJ.1ar, um sistema podeou não ser:(1) Sem memória(1) Invariante no tempo(3) linear

(O) Causal(5) Está'Cl~lermine quais dessas propriedades são válidas equais não são para cada um dos sistemas de tempocontínuo a seguir. Justifique ruas respostas. Em cadaexemplo. y(t) representa a saída do sisteIl1.ll. e K(r) i aealcada do sistema.

(ai y(tl = X(I - 2) +x(2 - I)

(b) y{ll ~ [ens(3t)]x(11

(c) y(t) ~ f:'~X(T)dT

dI-lo. t<O( ) y()- x(t)+x(t-2), t;?:O

lo. x(t) <o(e) y{t) ~

X(I) +X(I- 2), xlI) ~ O

(I) y(1) ~ x(l/JI

(g) y(l) = dx(l)dI

1.28 Determine quais das proprkdades listadas no Problc=ma1.27 são válidas e quais não são para cada wn dos sis­temas de tempo discreto a seguir. Justifique suas r~­

postas. Em cada exemplo. y(l) representa a saída dosistema e X(l) é a entrada do sistema.(a) y[n] ~xl-n]

(b) Y['I ~x(n - 2) - 2x(n - 81(c) YI') ~ ""1'1(d) y(nloo&.!x(.-lll

1.25 Detmnint: se os sinais dc= tempo cantinuo astgUir são pe­riódiros.. Sc= o sinal for periódico. determine seu ~ríodo

fundamental.(a) x(t)=300s(4t+.!:)(b) x(/) = eiI1l1-1) 3

(c) X(lI~[ros(2t-~I!'

(d) .1(1) = &II{cos(4'1rt)u(tll(e) x(t) = gll{se:n(4JJt)u(tll

00

(O x(t)= E e-{21-nlu(2t_n)

n

n

n

...T

----A inhax(t)-tparat>O

3

-, o

Figl,. ".24

2

-1

2

-.(el

Figur. P1.2J

&-----:!2 -1 lf----'

(a)

(b)

(b)

1.24 Dete:nnine: e: es~ a parte: par e: a pane: ímpar dos si­nais tqlrc=senlados na Figura P1.24. Coloque: cuidado·samc=nte: c=scala em seus c=sboços.

l.J3 De:tmnine: e: esboce as panes par e: ímpar dos sinais rt­

presentados na Figura PU3. Coloque: cuidadosamente:acala em seus esboço$.

J

40 Sinais e sistemas

IJ

n par

n únpar

-1 O 1 2

(b) y,~

:k\o , ,

(d) "~

Figura P1.31

3 41 t

o 1 ,

-,

sistema linear invariante no t~mpo (LIT) a uma úni­ca entrada ou as respostas a várias ~ntradas. podemoscomputar diretamente as respostas a muitos outrossinais de entrada. Muito do restante deste livro tratada exploração deste fato para desenvolver resultados etécnicas para a análise e a síntese de sist~mas m.

(a) Consid~r~ um -sistema LIT cuja resposta ao sinalxl(t) na Figura P1.31(a) seja o sinalYI(t) ilustradona Figura P1.3I(b). Determine e esboc~ cuidado­samente a resposta do sistema à entrada x,.(t) re·presentada na Figura Pl.31 (c).

(b) D~termine e esboce a resposta do sistema consi­derado no item (a) à ~ntrada x3 (t) mostrada naFigura Pl.31(d).

Problemas avançados1.32 Suponhamos que x(t) seja um sinal de tempo contínuo,

e queYI(t) =x(2t) e Y2(t) =x(t/2).

O sinal YJ(t) representa uma versão mais rápida de x(r)no sentido de que a duração do sina1 é canada pela m~­

tad~. De modo s~me1hante. y~(t) repttSt:nta uma ver­são mais lenta de X(l) no sentido d~ que a duração dosina1 é duplicada. Considere as segumtes afirmações:

(1) Se x(t) é ptriódica. então Yl (tI é ptriódico.(2) Se Y1(t) é periódico. então x(t) é periódico.(3) se X(I) é periódico. então Yz(t) ê periódico.(4) Se y2(tj é periódico. então xCt) é periódico.

Determin~ se cada uma das declarações éverdadeira. sefor. determine a relação entre os penados fundamen­tais dos dois sinais considerados na declaração. Se a de·daração for falsa, produza um conuaexemplo para ela.

1.33 Suponhamos que xln] seja um sinal de tempo disaeto.e que

!xln /2J,

YI[n] "" x[ln] e Y2[n] =O.

(a) xdO

n~1

n=O

n~-l

n;:::O

n$;-1

n~1

n=On:5-1

n~1

n=O

n:5-1

(U)

[

XlnJ'(e) y(n) ~ O,

x[n +lJ,

[

xln],(~ y(n)~ O.

x[n],

(g) Yln] ~xl4n +I]

1.29 (a) Mostre qu~ o sistema d~ t~mpo discr~to cuja en­trada x[n] e a saída y[nJ são relacionadas pory[nJ = lR-e{x[nll é aditivo. ES5~ sistema continuasendo aditivo se sua relação entrada -saída émudada para y[n} = 1R-e{tJ1rIl/4x[n]J? (Não assu­ma x[n] como real neste problema.)

(b) Discutimos no texto o fato de que a proprit:dadede linearidade~ um sistema é equivalente ao sis­tema ter tanto a propriedade de aditividad~ comoa propri~dade de homogeneidade. Determine secada um dos sistemas d~finidos a seguir é aditivoelou homogêneo. Justifique suas respostas dandouma prova para cada propri~dade válida ou umcontraexemplo se não for válida.

(i) t _ I [<IX!!lj'Y()-X{II~

!x[n)x[n-2l x[n-l1~0

y(n) = xln II •

O. x[n-l}=O

1.30 Deternrinc: se os sist~m.as a seguir são invtrtíveis. Se sim,construa o sisl:ema invern)o Se não. encontre dois !iina.isde ~ntrad.a para o sistema que tenham a mesma saída.(a) y(/) ~X(/- 4)

(b) y(/) ~ cos[x(/1I(e) y[nl ~ nxtn](d) y(I) ~ J~oox(T)dT

[

x[n-l],

(e) y(n]~ 0,

xln],(I) y{n} =x{n]x[n - 1]

(S) Yln] ~x[1 - n]

(h) y(l) = I~t-(I-"'IX{T)dT

(i) y(nJ~ L:;.~W-' xlk]

ij) y(/) ~ <Ix(/)

(k) y(n] ~ l'i\n+ I],!xlnJ.

(I) y(l) = x(2/)

(m)y[n) =x[2n]

(n) y(n) = fx[nI2]. n ~rlo, n IIIlpar

1,31 Neste problema. exemplificamos uma das consequên­cias mais imponanles das propriedades de linearidadee invariânàa no t~mpo. Espeà.ficam~nte. depois de co­nhecermos a resposta de um sistema lin~ar ou de um

(pU6-l)

I

1

Os sinais , 1(11) e )'l(nJ. rC'SpC'ttivamentC'. rcoprC'SC'ntamde certa forma veISÕC'S mais rápidas e mais lmtas dextn]. No entanto. deve-se notar que as nOÇÓC'S de tem·po disatto de actlerado e desactlerado têm difermçassum no que se refere às suas equivalmtes de tempoconlÍDuo. Considere as seguintes ded.araçóes:

(a) se xtn) é periódico. então)/\ [nJ éperiódico.

(b) St)/I (n) ~ periódico. moo x[n] ~ periódico.(c) se xIn) ~ periódico. eDEão ,1111) é periódico.

(d) se )'1(1I} ~ periódico. então x(n] é peri6d.ico.

DC'1ermine se cada uma das declarações ~ verdadeira. Sefor. determine a relação entre os períodos fundamen­tais dos dois sinais considerados na dedaração. Se a de­claração for falsa. produza um conuaexemplo para ela.

1.34 Neste problema. exploramos diversas propriedades dossinais pares e ímpares.

(a) Mostre que se x[n} é um sinal ímpar. então

(b) Mostre: que se xlln) é um sinal ímpar e .,[11) é umsinal pn entãoxl (n1Xl [n) ~ um. sinal ímpar_

(c) Suponha que x["1 SC'ja um. sinal arbitrário compane par e pane ímpar representadas por

x,ln] = &\{r1nJ)

r

Mostre que

(d) Apesar de os itens (a) a (cl terem sido detennina­dos em tennos de sinais de tempo discreto. as pro­priedades análogas cambém são válidas no tempocontínuo. Para demonstrar isso. mostre que

em que x.(t) e xo(t) são. respe<.tivammte. as panespar e ímpar de x{t).

1.35 Considere o sinal exponencial periódico de tempodiscrtto

xtll] = ,iM(hlN)_.

Mostre que o penado fundamental desse sinal ~

No = NJ'mdc(m, N).

em que mdc(m. N) ~ o mJ1ior divisor mmum de m e N­ou seja. o maior número inleiro pelo qual tanto m

Sinais e sisremas 41

quanto N podem ser divididos um número intcico devezes.. Por eumpl.o.

mdc{2.3) = I. mdc(2.4) = 2. mde(S. 12) = 4.

Note-se que Na = Nse me Nnão tim fatores ml comum..1.36 Suponha que x(t) seja um sinal exponenáal romple:ro

de tempo contínuo

x(/) = tkJ

com frequênda fundammtal/Jo e períooo fundamen­tal To = 2'lf/wo· Consldert o sinal de tempo discrC'lo ob­tido ao serem lomadas amostras igualmente espaçadasde x(t) - isto ~.

x(n] = x(n1) =tMyrT.

(a) Mostre que x[n] ~ periódico se e somente se TITofor um. número radonal - ou seja se e sommtese algum múltiplo do intervalo de amostragem foratI/ammtt igual a um múltiplo do período de x(t).

(b) Suponha que x[n) seja periód.ico- isto r. que

T p-=-To q

em que p e q são números inteiros. Qual é o perío­do fundamental e qual ~ a frequmci.1 fundamen·taI de .rfn]? Expresse a frequ~ntia. fundamentaicomo uma fiação de /JoT.

(c) Supondo mais uma vaque T/Tosatisfac;a a EquaçãoPI.36-1. detenn.iJle prtrisamente quantos períodosde x(1) são neassários para obtetmos as amosrrasque formam um. único penooo de .rfn).

1.37 Um conceito importante em muitas aplicações de co­municação é a mmllJfiio enue dois sinais. Nos pro­blemas no final do Capítulo 2. teremos mais coisas adizer sobre esse tópico e daremos algumas indicaçõesde como ele ~ usado na prática. Por ora. vamos noscontentar com uma breve introdução às funções de cor­relação e algumas de suas propriedades.

Suponhamos que x(t) e )/11) sejam dois sinais; então. aftm~o dt comla{4o ~ definida romo

if>q(t) = J:X(t+T)y(T)dr .

A função ,p4(t) ~ gera1menle d:wnada defu11fio d,QV·trom"t/apW do sinal .r{t). enquanto ,p (I) costuma serdenominada ftmr40 dtmm.~.(a) Qual é a relação entrt flq(tl e 116,.(t)?

(b) caIculra parte imP"' dr 'al~.

(c) Suponha quey(t) =x(r+ 1). Exp~'q(t) et/l}')'(t)em tmnos de '.a{t).

1.38 NB.e problema. examinamos algumas propriedades dafunção impulso unitário.

42 Sinais e sistemas

(a) Mostre que sâo definidas em. termos de suas propriedades. enão de seus valom:.

16j2t)~-26(t). (a)

Dica: Examine 6ã (t). (Veja Figura 1.34.)

(b) Na Seção 1.4. ckfinimos o impulso unilário·detempo contínuo como o limite do sina166,(1). Deforma mais precisa. definimos diversas propritlÚJ­dts de 6(1) examinando as propriedades correspon­dentes de 66,(t). Por exemplo. como o sinal

"6,(t) = f~oo66,(T)dT (e)

Ib) <i~

~.,.

(d) I. ~

converge para o degrau unitário

,,I

J

(pU9-1)

•-a

(i) 1(1)" .-III/A

Figura pua

a

a

-1

•

-.

Essa equação ~ baseada na observação de que

.(1)6.(1) ~'(0)6a(q· (pU.-2)

Sendo assim. ca1roIar o limitt dessa rdação produz aequação idea:li71tda dada pela Equação P1.39·1. No en·tanto, um exame: mais cuidadoso da dedução da EquaçãoPl.)9·2 mostra que estaeq~ realm.ol.te 56 faz sentido

1.39 o papel de "(t), 6(1) e outraS funções de singularidadeno estudo de sistemas lineares invariantes no tempo éoda idtaliZAflio de um fenômeno físico. e, como veremos.o uso dwas idealizações permite-nos obter uma repre·stntaçâo enremamente importante e muito simples detais sistemas. No entanto, precisamos tomar cuidado aousar funções de singularidade. Particularmente, deve·mos lembrar que elas são idealizaÇÕC$ e que, portanto.sempre que detuamos um cálculo usando essas pro­priedades, estamos a.5Sumindo impoownmte que ocálculo repr~ta uma descrição precisa do compona­mento dos sinais que elas almejam idealizar. PaIa ilus­trar. mosidere a equação

le)

Iim ria(I) = u(1).a-o

Em cada caso, esboct e coloque a esca.la cuidadosa­mente para o sinal,}6,(~. Note que

r~(Ol = r:(O) =0 para todo,6·

Dessa forma, não basta somente ddinir ou con­sKterar 6(1) como zero para t*'O e infinito para1 "" o. Em. vez disso. são as propriedades como asda Equação Pl.38-1 que definem o impulso. NaSeção 2.5 definiremos toda uma dassc de sinaisconbeados como ftmç!ia dt singu./Dridadt, que sãorelacionadas ao impulso unitário e que também

"(I)~1im "a(l) • (pI.38-I)a-o

podonos interpretar 6(1) por meio da equação

u(t)=f~6('T)dT

ou entender 6(1) como a derivada formal de "(t).

Esse tipo de discussão é importmte porqueestamos de fato tentando dtfinir 6(t) por meio desuas propriedades em vez de especificar seu valorpara cada t, o que seria impossívd.. No Capitulo 2.apreswtarem.os uma caracterização bem simplesdo componamento do impulso unitário que ~ U·

tremamente útil no estudo dos sistemas linearesinvariantes no tempo. Neste momento. DO entanto,vamos nos concmtrar na demonstração de que oessendaI no uso do impulso unitário ~ compreen­der ((JWIb ele se comporta. Para isso, considere osseis sinais representados na Figura pus. Mostreque cada um '"se comporta como um impulso·,quando 6. -t 0, no sentido de que se considerarmos

então

Sinais e sistemas 43

y[n] ~ x[n]l<I[n] +9[n - 111.(ii) Se g{n} = 1para todo n, most:re que S~ invariante

no tempo.

(b) Sesln) = n, mostre queSnãoéinvariante no tempo.

(c) Seg[n] = 1+ (-1)", mostre que sé invariante notempo.

1.42 (a) Adeclaração a seguir ~ verdadeira ou falsa?

A interconexão em strie de dois sistemas linearesinvariantes no tempo é em si um sistema linear in­variante DO tempo.

Justifique sua resposta.

(b) A declaração a seguir é verdadeira ou falsa?

A interconexão em sttie de dois sistemas não linea­res é em si não linear.

Justifique sua resposta.

(c) Considen= três sistemas com as seguin~ n=laçôesentrada ·saída:

se x(t) é continuo em t = O. Caso contrário. não teremosx(1) .. x(OI para um I pcqumo.

Para esdartctr esse ponto.~ o sinal degrauunitário u(t). Lembn=-se da Equação 1.70, onde u(1) = Opara t < O e u(t) = 1 para t > O, mas que seu valorem r = O não é definido. [Note-se. por exemplo. queu",(O) :::: Opara todo a. enquanto ullO) = 1" (do Pr0­blema l.38(b)).J O fato de u(O) não ser definido não éparticularmente problemático. já que os cálculos quefazemos usando u(r) não se baseiam em uma escolhaespecifica para u(O}. Por exemplo. se /(t) é um sinalcontínuo em r = O, então o valor

r: /(a)u(aldu

não depende de uma escolha para u(O). Por outro ladoo fato de u{O) ser indefinido é significativo porque imoplica que ctnos cálrulos envolvendo funções de singu­laridade se}am indefinidos. Tente definir um valor parao produto u(t)6(t).

Para ver que isso não pode ser definido. mostre que

Iim[u.o. (t)6(r)) = O4-0 '

IX1n12],Sistema 1: y[n] =

O,

n parn ímpar

j

limluo. (r)óa (r)] = .!Ó(t).a-o 2

Em geral, podemos definir o produto de doissinais sem oenhuma dificuldade, desde que os sinaisnão contenham singularidades (descontinuidades.impulsos ou outras singularidades introduzidas naSeção 2.5) cujas localiz.ações coincidam. Quandoas localizações coincidem. o produto é indefinido.Como exrmplo, mostre que o sinal

9(t) = L:u(r)6(t-r)dr

é id(ntico a u(t). ou sqa. é Opara r< O, igual a I para1 > Oe indefinido para r = O.

1.40 (a) Mostre que se um sistema é aditivo ou bomog(­oeo. ele tem a propriedade de que se a entrada éIdêntica a zero. então a saída é id(ntica a zero.

(b) Dttermine um sistema (de tempo contínuo ou detempo dis<m.o) que'não seja aditivo nmt homog(­Deo. mas que tenha uma saída nula se a entradaror id&1tica a zero.

(c) A partir do item (a), é possível cooduir que, sea ennada para um sisttma linear é zero entre 05

instames t. e l:z em tmlpO contínuo ou entre os ins­tantes n1 e n1 em tempo discreto. então sua saídadeve ser igual a zero entre esses mesmos tempos?Explique sua resposta.

1.41 Considen= um sistema S com entrada xtnl e saída y[n]reladonadas por

Sisttma 2: y[n}= x[n}+.!.x[n-l]+.!.x{n- 2].2 4

Sistema 3:y[nl =x[2n}.

Suponha que e:s:srs sistemaS sqam conedados emsérie conforme a repn=semação da Figura P1.42.Encontre a relação entrada -saída para o sistemainterconectado como um todo. 'nata-se de um sis­tema linear? Eie é invariante no tempo?

*'1 -15letemIIl H Sktema 2 HSislIIl'IW. 3 ~.rIn1

Figur. puz

1.4J (a) Considen= um sistema invariante 00 tempo comentrada x(t) e saída y(t). Mostre que se x(t) é ~rió­

clico com período T, então y(r) Iambml o ~. Mostreque o resultado análogo tamb6n é válido em tem·po discreto_

(b) I)( um exemplo de um. sistana invariante: no tem­po e um sina1 de entrada não periódirox(t) de modoque a saída correspondente: y(l) seja periódica.

1.44 (a) MOSÚ'e que a causalidade para um sistema linearde tempo contínuo é equivalrnle à seguinte deda­ração:

Para qualquer tempo to e qualquer entrada x(t) demodo que x{t) = Opara t < too a saída correspon­dente y(r) deve ser zero para 1 <r".

A alinnação análoga pode ser feiu para um siste­ma linear de tempo Wsaeto.

44 Sinais e sistemas

>lnl

+I--Oj + 1-__ ""1

y,[n]

s

Figura P1.47

~:!..j<lnl' "Inl <lnl

+

L..- .jl"(rt]_r[n] w[n1

(I) y(n]-n +x{n] +2x{n+ 4]

(U) .Yi1l]=\"l.2. 1",-IY1 n par(n-lY2+.~4k1 n impu

(li) y(n]~ !xfn]-x{n-l]+ 3. se 40];'0x(1I]-x{n-l]-3, sex(Ol<O

(Iv) o"""""~do Da FIgur.o P1.47(b).

(v) O sistema rtpresentado na Figura PI.47(c).

xln] -"+:(+}---l

x~1

le)

(b)

(a)

,--' w>14>lr olnl'l w>1-oln 'I I

(b) Encontte um sistema não Unear que satisfaça acondição premiente, mas que não sqa causal

(c) Encontre um sistema não linear que seja causalmas não satisfaça a condição.

(d) Mostre quc= a invc=rtibilidade para um sistema linearde tm1po discreto equivale ii seguinte dedaIação:

Aúnica mnada que produzy(n] = opara todo n~ xln} = Opara todo n.

A lkdaração análoga também ~ verdadeira paraum sistema linear de tempo conÚDuo.

(e) Encontre um sistema não linear que satisfaça acondição do item (d), mas que não seja invertível

1.'" No Problema 1.37 apresentamos O concdto das fun­ções de correlação. ~ importante calcular na prática afunção de correlação ",...(t), cm que h(t) é um dado sinalfixo, mas x(t} pode ser qualquer um de uma grandevariedade de sinais. Nesse caso, o que se faz é projc=tarum sistema S com enrrada x(t) e salda ' ..(t).

(a) S é linear? S é invariante no tempo? S é causal?Explique suas respostas.

(b) Alguma das suas respostas de (a) muda se conside­ramos ; ..(r) como saída em vez de ; ..(r)?

1..f6 Considere o sistema com rcalimcDtação da Figura Pl.46.Suponha: quey[ni = Opara n < o.(a) Esboct a saída quandox(nl = 6[n).

(b) Esboct a saída quandox(n) =1ol[P1).

Figura PU&

1.47 (a) Suponhamos que S rtprcsente um sistema linearincremental e que xdn) seja um sinal de eurradaarbitrário para S com saída correspondente Y\[II).

Considere o sistema ilustrado na Pigura P1.47(a).Mosue que~ sistema é linear e que, de Lato, ardação enmda-saída sera! entre x(1I} e 1[11] nãodepende da escolha particular de X\[II}.

(b) Use o resultado de (a) para mostraI que S pode serrepmentado na forma mamada na Figura 1.48.

(c) Quais dos sistemas a seguir são lineares incre­mentais? Justifique suas respostas. Se um siste­ma for linear incremental identifique o sistemalinear Le a resposta ii entrada nula ' o[n) ou 10(t)para a rcpresmtação do sistema como mostradona Figura 1.48.

(d) Suponha que um sistema espeófico linear incre­mental tenha uma represtntaçio como mostraa Figura 1.48, com L indicando o sistema Iinure '0[111 a resposta ii entrada nula. Mostre que St invariaJUr no tempo se t somente se L for umsistmla invariante no tempo t '0(11) for constante.

Revisão matemáticao número complexo 1 pode ser elprtSSO de várias ror­

mas. Aforma~ ou rtranjlllor para zé

z=x+jy,

cm que j = H e x e 1 são números reais rc=spccti.vamenttchamados de park rvú e park imJJgin4.rUI de 1- Como mos­tramOS anteriormente, usaremos com frequênàa a DOtaçãO

x= Gl.~IZ1.1 = gmlzl.

•

1

I

J

o número complexo t também pode ser rtprtseDtado nafomuz po1lzr como

z::: ni',

em que r> O~ o módulo de t e 8é o ângulo ou fost de t. Essasquantidades geralmeDle são escritas como

A relação entre essas duas representações de núme­ros complexos pode ser detemtinada ~la 't1l2fiiD dt Euk,.

"=cos8+jsen8,

ou rtprcsentando graficamente 1 no plano complexo. comomostra a Figura Pl.4S, cm que os eixos coordenados sào(Jl4ZJ ao longo do eixo horizontal e §mlZl ao longo do eixovertical. No que se rtfeft a essa rtpresentaçi:o gráfica. x e 1são as coordenadas cartesianas de t. e r e 8 são suas coorde­nadas polares. ..

figura PUS

1.48 Suponhamos que lo seja um Dúmero complexo comcoordenadas polares ('O' 801e coordenadas cartesianas(.lo- '0)' Determine expressões para as coordenadas carotesianas dos seguintes números complexos em termos

de .lo e 10' Marque os pomos lI)' li' tl' ly 14 e Zs noplano complexo quando 'o = 2 e 80 = r/4 e quando,o= 2 e 80 = rl2. Indique nos seus gráficos as partes reale imaginária de cada ponto.

(a) ti = 'orilo

(b) Z2='O(c) l) = 'ci(Qg +..)

(d) l4"" 'otl(.... +..l(e) ls = rcfi(fIt+h}

1.49 ExprtSSt cada um dos números complexos a seguirna forma polar e represcllIe-os graficamente no planocomplexo. indicando o módulo e o ângulo de cada nú­mero:

(a) 1+ j13(b) -,

(c) -5-5j

(d) l+4i

Sinais e sistemas 45

(.) (1- j13)'

(~ (1+)1'(g) (13+/)(1- )1

(h) 2- j(6/13)

2+ j(6/Ji)

(i) 1+ j13Ji+j

Ol i(1 +Mo"(k) (13 + )]2J2.-io"

t pn 1PI -1+ jJi

1.50 (a) Usando a relaçi:o de Eultt ou aFigura Pl.48, deter­mine expressões para x e y em termos de r e 8.

(b) Determineexpr~ para re Bem lenDOS dexey.

(c) Se tivermos apenas r e tg O. podemos detmninarunicamente x e11 Explique sua resposta .

l.SI Usando a relaçi:o de Euler. obttnha as seguintn relações:(a) cos9 = i(ei' +t-,il)

(b) senO:::n(ei'-~-jll

(c) oos]8=;(I+COS28)

(d) (.,nB)(oen~) ~ tlXlS(8-~)-tlXlS(8+~)

(e) sen(O+ 4>l = scn8cos4>+ cos8sen4>

1.51 Suponhamos que t denote uma variável complexa. isto é.l=x+ jy= rtÍ'.

O conjugariD rDmplao de z~

t"'=x-jy=rt-IJ.

Obtenha cada uma das rda~ a seguir, cm que 1. ti el2 são números complelos:

(a) zz"' = r(b) t.". el21

(e) Z+" ~ 2iR<l'}(d) ,- ,. ~ 2#'.1~

(e) (z\ +Zlr=l~ +z;(f) (az1z1)" .. azjti oodeaéqualquernÚIDeroreal

(g) [!lJ' - '~l2 l2

(h) <ll'I!!.I~~['I';+:;"1Z2 2 Zl Z2

IS) Demonstre as relações a~. sendo 1. li e ~ núme­ros complexos arbitrários:

(a) (e')' =t"(b) ZIZ~ + t;t2:::: 2ffid.lll~ = 2(Rd.l;l11

(e) I~ = 1,'1(d) 1',',1 = 1',11',1(.) <ll.I~ S I~, Sm(~ S lzI

46 Sinais e sistemas

(I) IzlZi +zi Z2[ :5 21 Z,Z2[(g) IIr,Hr,Il':s I'. +<,[':SII'.I+I"I)'

1.S4 As relações consideradas neste problema são usadasem muitas ocasi~ no livro tOdo.

(a) Prove a validade da seguinte expressão:

Eo~=l~~. Q=1 ,~_o 1_ • p;ua qualquer numero

complexo o $ 1.Damos a essa rtpresentação o nome defórmu14"dasoma finit4..

(b) MostR que se 101 < I. então

~ I2: 0 "=-...-o l-o

Damos a essa representação o nome de fórmula daSDt1UI injittitil.

(c) Mostre que se 101 < I. então~

~na·=_o_L..., , •-o (l-o)

(d) Calcule~

2: 0 ",".,assumindo que 101 < I.

1.55 Usando os resultados do Problema 1.54, calcule cadauma das somas a seguir e expresse !ua resposta na for­ma cartesiana (retangularl:

(a) ",' ,,","L..J~.o

(b) E:__1ei...n

(e) "'~ ("I",,","LJ••o 2

(d) "'~ ("I",,","LJ.... 2 2

(e) E:.oOO;('in)

(I) "'~ ("I" cos(Ln)L..t...o 2 2

1.56 Calcule cada uma das integrais e apresse rua respostana forma cartesiana (retangular):

(a) r. ,,""dr

(b) lo' eirln dt

(c) l21lelr'"dI

(d) k e-{I+!lJ dt

(e) J:' t-l cos(t}dr

(I) j,,-usen(3tldt

1

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