11-distancias

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Distncias - 1

11

DISTNCIAS

Neste captulo estuda-se uma das partes dos Problemas Mtricos (a outra

o captulo ngulos). Apresentam-se as vrias possibilidades de conjugar

pontos, retas e planos e mostra-se como se determina a distncia entre

essas figuras. Para o estudo deste captulo convm ter um bom conheci-

mento dos Mtodos Geomtricos Auxiliares.

Sumrio:

2 e 3. As distncias no espao

4. Distncias entre pontos com uma coordenada igual

5. Distncias entre pontos sem coordenadas iguais

6. Distncia entre um ponto e um plano projetante

7 e 8. Distncia entre um ponto e plano de rampa

9 e 10. Distncia entre um ponto e um plano oblquo

11. Distncias entre planos projetantes

12 e 13. Distncia entre planos de rampa

14 e 15. Distncia entre planos oblquos

16. Distncia entre uma reta e um plano projetante

17. Distncia entre uma reta e um plano de rampa

18. Distncia entre uma reta e um plano oblquo

19. Distncias de resoluo direta entre um plano e uma reta

20. Distncias entre um ponto e as retas horizontal, frontal e

fronto-horizontal

21. Distncia entre um ponto e uma reta de perfil

22. Distncia entre um ponto e uma reta oblqua

23. Distncias de resoluo direta entre retas paralelas

24. Distncias entre retas fronto-horizontais, oblquas, horizontais e

frontais paralelas

25. Distncia entre retas de perfil paralelas

26. Distncias de resoluo direta entre retas enviesadas

27 e 28. Distncia entre retas oblquas enviesadas

29. Distncia entre um ponto e um plano definido por retas

30. Distncia entre uma reta e um plano definido por retas

31. Distncia entre planos definidos por retas

32, 33 e 34. Exerccios


As distncias no espao

Neste captulo estudam-se distncias entre: dois pontos; um ponto e um plano; dois planos; um pon-

to e uma reta; duas retas; uma reta e um plano.

Distncia entre dois pontos

A distncia entre dois pontos corresponde ao tama-nho do segmento de reta que tem esses pontos como extremos.

A

B

Distncia entre um ponto e um plano

A distncia entre um ponto e um plano a medida do segmento de reta que tem como extremos esse ponto e o ponto do plano que lhe fica mais prxi-mo. Este obtm-se passando pelo ponto dado uma reta perpendicular ao plano, que o vai intersectar.

C

I

p

Distncia entre dois planos

A distncia entre dois planos a medida de um segmento de reta cujos extremos so os pontos de interseco de uma reta com os planos, sendo essa reta perpendicular aos planos.

I

I

p

p

p


Nas projees veremos que as distncias nem sempre se determinam da forma direta e simples que

estes esquemas aparentam, sendo muitas vezes necessrio aplicar mtodos auxiliares.

Distncia entre uma reta e um plano

A distncia entre uma reta e um plano a medida dum segmento de reta perpendicular a ambas as figuras, cujos extremos se situam em cada uma delas. Esse segmento obtm-se intersectando uma reta perpendicular a ambos os elementos.

I

I

p

r

r //

p

a

b

I

I

Distncia entre duas retas paralelas

A distncia entre duas retas paralelas a medida de um segmento de reta perpendicular a ambas, com um extremo em cada uma das retas. Esse segmento pode obter-se cruzando pelas retas dadas uma reta perpendicular e concorrente com ambas.

p

r

S

I

Distncia entre um ponto e uma reta

A distncia entre estes elementos a medida do segmento de reta perpendicular reta, tendo como extremos o ponto dado e o ponto da reta que lhe fica mais prximo. Esse segmento pode obter-se passando pelo ponto dado uma reta perpendicular e concorrente com a dada.

p

r

s

I

I

Distncia entre duas retas enviesadas

A distncia entre duas retas enviesadas obtm-se aqui atravs de uma reta perpendicular e concor-rente com ambas. Dos pontos de interseco resul-ta o segmento mais curto entre estas retas.

p r

p r

p a b

p r s


Distncias entre pontos com uma coordenada igual

Nesta pgina mostra-se como se determina a verdadeira grandeza (VG) da distncia entre dois pon-

tos que tm em comum a medida de, pelo menos, uma das coordenadas.

Para mais fcil visualizao, aqui optou-se por unir os pontos, transformando-os num segmento de

reta.

x

Verdadeira grandeza de segmentos de reta paralelos aos planos de projeo

Nos segmentos paralelos aos planos de projeo, a VG determina-se diretamente. Um segmento que se proje-ta num plano ao qual paralelo mantm o seu tamanho real nessa projeo. O segmento fronto-horizontal, mantm a VG em ambas as projees, j que paralelo a ambos os planos de projeo; neste caso basta indi-car a VG apenas numa delas.

x

Verdadeira grandeza de um segmento de reta de perfil

O segmento de reta de perfil paralelo ao plano lateral de projeo, por isso a sua projeo nesse plano apre-senta-se em VG. Este exerccio pode tambm ser resolvido por qualquer dos processos que se mostram na pgina seguinte, aplicados ao segmento de reta oblquo.

A2 B2

A1

B1

VG

C2

D2

G1H1

VG

C1 D1

VG

G2

H2

I2 J2

I1 J1

VG

VG

E2F2

D1

E1

VG

yz

VG

K2 K3

L2

K1

L1

L3


Verdadeira grandeza de um segmento de reta oblquo, utilizando rebatimentos

So mostradas aqui duas maneiras de rebater o segmento de reta. No primeiro caso rebateu-se para o PHP o plano de topo que contm o segmento; no segundo fez-se um rebatimento lateral, simplificado, para o plano horizontal que contm um dos pontos, sem indicao do plano que rebate nem de charneira.

Verdadeira grandeza de um segmento de reta oblquo, com rotaes e mudanas de planos

No primeiro caso aplicou-se uma rotao, colocando o segmento horizontal com um eixo de topo. No segundo caso fez-se um mudana do PFP tornando o segmento de reta frontal.

Distncias entre pontos sem coordenadas iguais

Quando nenhuma das coordenadas dos pontos tem valor igual, estamos perante um segmento de

reta oblquo. Para determinar a sua verdadeira grandeza utilizam-se processos geomtricos auxilia-

res: rebatimentos, rotaes ou mudanas de planos. Estes processos tambm se podem aplicar ao

segmento de reta de perfil.

VG

A2

A1

B2

B1

AR

BR

xfR

hhR

f

D2

D1DR

C2

C1

= (f)

VG

=

CR

E2

E1

G2Gr2(e2)

B1Br1

Er2

Er1

VG

e1

x

J2

J1

L1

L2 =

=

J4

L4 VG

x

x // [J1L1]


Distncia entre um ponto e um plano projetante

A verdadeira grandeza da distncia entre um ponto e um plano determina-se diretamente sempre

que o plano projetante, bastando traar um segmento de reta na perpendicular ao trao do plano

sobre o qual ele projetante.

Distncia entre um ponto e os planos horizontal, frontal e de perfil

Se o plano for projetante frontal a VG da distncia encontra-se entre o seu trao frontal e a projeo frontal do ponto; se o plano for projetante horizontal encontra-se entre o trao horizontal e a projeo horizontal do ponto; no caso do plano de perfil, que duplamente projetante, pode marcar-se a partir de qualquer uma das proje-es do ponto, uma vez que as distncias aos traos do plano so iguais.

x

(f)

A2

A1

VG VG

VG

C2

C1

fh

Distncia entre um ponto e os planos de topo e vertical

No plano de topo (que projetante frontal) a VG da distncia marca-se na perpendicular entre a projeo frontal do ponto e o trao frontal do plano; no plano vertical (projetante horizontal) a VG marca-se entre a projeo horizontal do ponto e o trao horizontal do plano. No primeiro caso indica-se tambm o ponto do plano que fica mais prximo do ponto dado.

x

VG

B2

B1

f

h

(h)

B2

B1

VG

D2

D1

VG

f

h

Q1

Q2


Distncia entre um ponto e um plano de rampa

Mostra-se aqui como se pode determinar a VG da distncia entre um ponto e um plano de rampa

utilizando o plano lateral de projeo e o rebatimento.

x

Distncia entre um ponto e um plano de rampa, utilizando o plano lateral de projeo

Para determinar a VG da distncia entre um ponto e um plano de rampa recorre-se aqui projeo lateral do ponto e ao trao lateral do plano, que se marca na perpendicular a esse trao do plano. Determina-se aqui tam-bm o ponto do plano que fica mais prximo do ponto dado.

yz

h

f

l

VG

P2

P1

P3

Distncia entre um ponto e um plano de rampa, utilizando um rebatimento

Ao passar um plano de perfil pelo ponto dado, ele intersecta o plano de rampa numa reta de perfil. Essa reta, rebatida juntamente com o ponto, permite encontrar a VG da distncia entre o ponto e o plano de rampa.

xfR

fhi2i1hR

h

f

VG

P2

P1

F2

PR

HRH1

F1H2

FR

iR

Q2

Q1

Q3


Nesta pgina mostra-se como se obtm a verdadeira grandeza da distncia entre um ponto e um

plano de rampa utilizando rotaes e mudanas de plano.

x

Distncia entre um ponto e um plano de rampa, utilizando rotaes

O eixo de topo utilizado aqui rodou o plano de rampa para a posio vertical, que projetante. Desse modo, a VG da distncia entre o ponto e o plano observa-se entre a projeo horizontal do ponto e o trao horizontal do plano. A reta r uma reta oblqua do plano que se cruza com o eixo no ponto I. Os pontos I e P mantm-se fixos durante a rotao, mas tal no se indica no traado para que este no fique sobrecarregado.

h

f

fr

VG

P2(e2)I2

P1

F2

Distncia entre um ponto e um plano de rampa, utilizando mudanas de planos

Mudando um dos planos de projeo de modo a que o plano de rampa fique projetante, neste caso projetante horizontal (posio vertical), obtm-se um novo trao do plano e uma nova projeo do ponto dado. A VG deter-mina-se entre esses novos elementos.

I1 F1

H2

H1

r1

r2

e1

hr

x

h

f

VG

P1

A2

A1

h

P2

x

=

P4

A4

=


Distncia entre um ponto e um plano oblquo

Mostra-se aqui a determinao do ponto mais prximo dum plano oblquo ao ponto dado, atravs de

interseces, e aplicam-se vrios processos para determinar a VG da distncia entre esses pontos.

xfR

Distncia entre um ponto e um plano oblquo, utilizando interseces e rebatimentos

Para determinar a VG da distncia entre o ponto P e o plano oblquo passa-se pelo ponto uma reta perpendicu-lar ao plano, achando-se de seguida a interseco entre reta e plano, que o ponto I. Esse ponto o que fica mais prximo do plano. Aqui determinou-se a VG do segmento [PI] rebatendo para o PHP o plano de topo que se utilizou como auxiliar na interseco.

h

f

hhR

VG

i2fp2

P1

P2

p1

I2

I1

i1

F1

F2

H2

H1

IR

PR

p

Determinao da VG do segmento por outros processos

Aps determinar a interseco da reta com o plano (na situao anterior), pode-se determinar a VG do segmen-to [PI] por outros processos. Aqui exclui-se o traado anterior e mostra-se apenas a fase final, onde se aplicam: um rebatimento simplificado, uma rotao e uma mudana de plano.

P2

I2

I1(e1)

P1

e2

Pr1

Pr2

VG

P2

P1

I2

I1

=

=

PR

(f)

VG

P2

I2

P1

I1

=

=

P4

I4

VG

x

x


Nesta pgina mostra-se como se determina a verdadeira grandeza da distncia entre um ponto e

um plano oblquo, utilizando rotaes e mudanas de plano. Note-se que com estes processos a

quantidade de traado consideravelmente menor do que sucede na pgina anterior.

Distncia entre um ponto e um plano, utilizando rotaes

Utilizando rotaes, passa-se um eixo pelo ponto dado. Esse eixo cruza o plano no ponto I, que se determina utilizando uma reta do plano, concorrente com o eixo. O ponto I, por ser fixo, continua a pertencer ao plano quando transformado em vertical, ou seja, projetante horizontal. Por estarem no eixo, nenhum dos pontos de move na rotao.

x

Distncia entre um ponto e um plano, utilizando mudanas de planos

Utilizando mudanas de planos h que transformar tambm o plano oblquo em projetante. Neste caso o plano ficou de topo. Desse modo, a VG existe entre o novo trao do plano e a nova projeo do ponto.

h

f

VG

P1

P2

F1

F2

x

h

f

VG P1

P2(e2)I2

n1

I1

e1

F1

n2 F2

fr

hr

F4

f

x

=

=

P4


Distncias entre planos projetantes

O estudo da distncia entre dois planos apresenta situaes idnticas s que se observam entre um

ponto e um plano. Obviamente, a distncia entre dois planos envolve sempre um par de planos

paralelos. Quando se trata de planos projetantes, a verdadeira grandeza da distncia determina-se

diretamente.

Distncia entre planos frontais, horizontais e de perfil

A VG da distncia entre estes planos indica-se diretamente, bastando traar um segmento de reta perpendicu-lar aos seus traos.

x

Distncia entre planos de topo e verticais

A VG da distncia entre estes planos indica-se diretamente com um segmento de reta perpendicular aos traos dos planos que so oblquos ao eixo x. Ou seja, no plano de topo a VG indica-se entre os seus traos frontais, no plano vertical indica-se entre os traos horizontais.

x

(h) VG

VG

VG

f

h

(h)

f

h h

h

f f

(f) VG

(f)

VG

fh fh


Distncia entre planos de rampa

No plano de rampa, por no ser projetante, aplicam-se processos auxiliares para a determinao da

verdadeira grandeza da distncia entre eles. Nesta pgina mostram-se dois processos.

Um dos planos est representado apenas por um dos traos uma vez que, partida, no possvel

representar dois planos de rampa pelos seus traos ficando com a garantia de que sejam paralelos.

x

Distncia entre planos de rampa, utilizando o plano lateral de projeo

Os planos de rampa so perpendiculares ao PLP, ou seja, so projetantes sobre esse plano, por isso a VG da distncia entre eles pode determinar-se nos seus traos laterais. Considerando partida que os planos so paralelos, os seus traos laterais tambm o so.

yz

h

f

l

VG

f

l

l // l

x

Distncia entre planos de rampa, utilizando rebatimentos

Um plano de perfil perpendicular aos planos de rampa; cortando-os com um plano de perfil, resultam retas de perfil paralelas. Essas retas rebatidas do-nos a VG da distncia entre os planos.

i2i1fhhR

h

f

VG

f F2

F2

HRH1

HRH1

H2F1H2F1 FR

FR

iR iR

iR // iR


Nesta pgina mostra-se como se determina a verdadeira grandeza da distncia entre dois planos de

rampa, atravs de outros processos.

x

Distncia entre planos de rampa, utilizando mudanas de planos

Quando se utiliza o mtodo das mudanas de planos, o objetivo transformar os planos de rampa em verticais ou de topo. Aqui foram transformados em planos verticais. A VG da distncia entre os planos igual distncia entre os seus novos traos.

h

f

h

VG

f

h

h // h

x

H1

H2

H4

x

Distncia entre planos de rampa, utilizando rotaes

Quando se utiliza rotaes, h que transformar tambm os planos de rampa em verticais ou de topo. Aqui foram tambm transformados em planos verticais. A VG da distncia entre os planos igual distncia entre os seus novos traos horizontais.

h

f

hr VG

f

hr

hr // hr

I2(e2)

H1

H2

F2

F1

r1

r2

fr fr

e1

I1


Distncia entre planos oblquos

A distncia entre dois planos oblquos pode tambm ser determinada por vrios processos. Nesta

pgina mostra-se o processo dos rebatimentos associado a interseces.

Distncia entre planos oblquos, utilizando interseces e rebatimentos

Intersectando os planos com uma reta que lhes perpendicular, determina-se a VG da distncia entre os pon-tos da resultantes, pois equivale distncia entre os planos. Aqui obteve-se essa VG rebatendo o plano que se utilizou como auxiliar para a determinao da interseco entre a reta e os planos. Aps determinados os pontos de interseco entre a reta e os planos, a VG do segmento pode ser determinada por qualquer outro dos processos j mostrados em pginas anteriores.

xfR

i1

i1

f

f

h

h

p2fi2i2 F2

F1

F2

F1

H1

H1

H2H2

hhR

I2

I2

I1

I1 IR

IR

VG

p1


Mostra-se aqui como se determina a verdadeira grandeza da distncia entre dois planos oblquos

utilizando rotaes e mudanas de planos.

Distncia entre planos oblquos, utilizando rotaes

Para determinar a VG da distncia necessrio tornar os planos projetantes. Aqui ficaram verticais, pelo que a VG se encontra entre os seus novos traos horizontais. A reta n serve para determinar o ponto de interseco do eixo com o plano , no sendo necessrio fazer o mesmo com o plano uma vez que, depois de rodarem, os planos continuam a ser paralelos.

Distncia entre dois planos, utilizando mudanas de planos

Tambm aqui necessrio tornar os planos projetantes. Neste caso ficaram de topo. Para isso coloca-se o eixo x perpendicular aos traos horizontais dos planos e determinam-se os novos traos frontais, que sero tambm paralelos entre si. E entre estes que se indica a VG.

x

e1

(e2)I2

I1

n2

n1

F2

F1

f

h hr

fr

h

f

fr

hr VG

x

P2

P1

f

h

h

f

VG

hr // hr

f // f

P4

f

f

x


Distncia entre uma reta e um plano projetante

S se pode falar em distncia entre uma reta e um plano quando estes elementos so paralelos. A

verdadeira grandeza da distncia entre uma reta e um plano projetante determina-se diretamente.

Nestes traados, para cada plano apresentam-se duas retas.

Distncia entre retas e os planos horizontal, frontal e de perfil

Como se pode observar, e fcil deduzir, a VG da distncia entre uma reta e um plano horizontal ou frontal indica-se diretamente, na perpendicular entre o trao do plano e a projeo homnima da reta. Sendo os traos do plano de perfil coincidentes, e sendo este tambm um plano projetante, a VG da distncia a uma reta indica-se de modo idntico.

x

(f)

n2

n1

VG

VG

v2

fh

Distncia entre retas e os planos de topo e vertical

A VG da distncia entre uma reta e um plano de topo surge entre a sua projeo frontal e o trao homnimo do plano. No caso do plano vertical surge entre a sua projeo horizontal e o trao homnimo do plano.

x

VG

s2

s1

f

h

(h) VG

r2

r1

VG

f

h

t1

(t2) VG

(v1)

VG

a2

a1

j1

(j2)

VG

p1p2

f2

f1

VG v2

(v1) VG


Distncia entre uma reta e um plano de rampa

Mostram-se aqui trs situaes, cada uma contendo uma das retas que pode ser paralela ao plano

de rampa. Todas se resolvem aqui com recurso ao plano lateral de projeo.

Distncia entre uma reta de perfil

e um plano de rampa

Uma reta de perfil e um plano de rampa parale-los tm a projeo e o trao laterais tambm paralelos entre si. Assim a VG pode ser indicada entre esses elementos. Aqui no foi representado o trao horizontal da reta, mas pode-se determinar a partir da sua projeo lateral.

x

f

yz

l

r2

r1

F2

H2

H1

F1

r3

F3

H3

x

f

yz

l

F2

F1

p2p1

p3

F3

VG

f

Distncia entre uma reta oblqua

e um plano de rampa

Uma reta oblqua paralela a um plano de rampa tambm tem a projeo lateral paralela ao trao lateral do plano, pelo que a VG se pode determi-nar entre esses elementos. Aqui no est representado o trao horizontal do plano, mas pode-se representar a partir do seu trao lateral.

Distncia entre uma reta fronto-horizontal e um plano de rampa

A reta fronto-horizontal tem a sua projeo late-ral reduzida a um ponto. A distncia entre essa projeo e o trao lateral do plano corresponde VG da distncia entre a reta e o plano.

VG

x

f

yz

l

a2

a1

h

(a3)

VG


Distncia entre uma reta e um plano oblquo

Tal como sucedeu com o plano de rampa, interessante abordar todas as retas paralelas ao plano

oblquo. Contudo, mostram-se apenas as situaes que envolvem as retas oblqua e frontal, dado

que pelo mtodo das mudanas de planos, que aqui se optou por utilizar (por envolver menos traa-

do do que outros processos), todas as situaes ficam semelhantes.

x

Distncia entre uma reta oblqua

e um plano oblquo

Esta situao idntica anterior, com a diferena de aqui se traar uma reta no plano para se representar uma reta que lhe seja paralela. Isto , a reta a pertence ao plano, a reta r paralela a essa, por isso paralela ao plano. Tambm aqui se podia ter optado por colo-car o plano na posio vertical.

h

f

H1

H2

F2

F1

a2

a1

Distncia entre uma reta frontal

e um plano oblquo

Para que a reta frontal seja paralela ao plano basta que seja paralela ao trao frontal do plano. Atravs da mudana do PFP, colocou-se o plano oblquo de topo. A nova projeo frontal da reta fica parale-la ao novo trao do plano. Pode-se optar por colocar o plano na posi-o vertical.

x

h

f

A1

A2

f2

f1

r a // r r4 // f

A4

B4

B1

B2

x

f4

f

VG =

=

f // f4

A2

B2

B1

A1

x

f

A4

B4

VG

r2

r1

=

=

r4


Distncias de resoluo direta entre um ponto e uma reta

Quando um ponto e uma reta podem definir um plano projetante, a determinao da verdadeira

grandeza da distncia entre essas figuras determina-se diretamente. Excetua-se destas situaes o

caso em que a reta de perfil.

Para se observar um maior nmero de situaes. apresentam-se aqui dois pontos para cada reta.

x

Distncias entre pontos e as retas fronto-horizontal, vertical e de topo

No caso da reta fronto-horizontal, a VG determina-se diretamente quando uma projeo do ponto se situa na projeo homnima da reta. Nas retas vertical e de topo a VG encontra-se entre a projeo da reta que est reduzida a um ponto e a projeo homnima do ponto dado.

Distncias entre pontos e as retas horizontal e frontal

Os pontos aqui representados tm uma projeo situada na projeo homnima da reta. S nessas circunstn-cias se determina diretamente a VG entre ponto e estas retas.

(v1) VG

a2

a1

A2

A1

v2 C2

C1

VG

(t2)

t1

D2

D1

VG

x

A2

A1

VG

VG

n2

n1

D2

D1

C2

C1

VG

VG

f2

f1

B2

B1

VG

B2

B1

Distncias entre um ponto e as retas

horizontal, frontal e fronto-horizontal

Os casos que aqui se apresentam tm em comum o facto de ser possvel determinar diretamente o

ponto da reta que fica mais prximo do ponto dado, bastando, de seguida, determinar a verdadeira

grandeza dessa distncia. Opta-se aqui por um rebatimento simplificado, por ser o processo que

acarreta menos traado.

Distncia entre um ponto e uma reta fronto-horizontal

O ponto A o ponto da reta que se situa mais prximo do ponto dado, determinando-se diretamente. Os dois pontos definem um segmento de reta de perfil, sendo a sua VG determinada, tambm aqui, atravs de um rebatimento simplificado sobre um plano horizontal.

x

a1

a2

VG

P2

P1PR

A2

A1 AR

Distncia entre um ponto e as retas horizontal e frontal

O ponto N o ponto da reta n que se situa mais prximo do ponto A. O ponto F o ponto da reta f que se situa mais prximo do ponto B. Em ambos os casos a VG foi determinada rebatendo o segmento de reta sobre um plano horizontal.

x

A2

A1

VG

N2

n2(f)

n1

B2

B1

VG

f2

f1 NRN2

=

=

AR

F2

F1FR

(f) =

=

BR


= (f)

=


Distncia entre um ponto e uma reta de perfil

Mostram-se aqui duas situaes, uma em que o ponto tem a mesma abcissa da reta, outra em que

o ponto e a reta tm valores diferentes de abcissa.

Distncia entre um ponto e uma reta de perfil com diferentes abcissas

Neste caso, a projeo lateral no nos d a VG da distncia entre o ponto e a reta, mas permite-nos determinar o ponto R, que est mais prximo do ponto dado. Colocando esse ponto nas projees principais determina-se a a VG do segmento que os une.

x

yz

p2p1

VG

P2

P1

P3

F2

H1

H3 H2F1

F3

p3 R3

(f)

R2

R1RR

PR

=

=

Distncia entre um ponto e uma reta de perfil com a mesma abcissa

Neste caso, a VG da distncia entre o ponto e a reta pode determinar-se na projeo lateral, onde tambm se determina o ponto R, que o mais prximo de P.

x

yz p2p1

VG

P2

P1

P3

F2

H1

H3 H2F1

F3

p3

R3 R2

R1


Distncia entre um ponto e uma reta oblqua

Mostram-se aqui duas situaes com uma pequena diferena, suficiente para tornar a resoluo de

uma bem diferente da da outra.

Distncia entre um ponto e uma reta oblqua

Para determinar a VG da distncia entre o ponto P e a reta s, rebate-se aqui a reta sobre um plano horizontal que contm o ponto, que assim fica fixo. A VG determina-se entre ele e a reta s rebatida. Caso se pretenda saber as projees do ponto da reta que est mais prximo do ponto dado, traa-se no rebatimento uma linha perpendicular charneira a partir desse ponto rebatido, aqui indicado por Q.

Distncia entre um ponto e uma reta oblqua,

formando um plano projetante

Como na anterior situao, nesta tambm se pode utilizar um rebatimento, mas aqui optou-se uma rotao. Estando a projeo frontal do pon-to P na projeo homnima da reta s, aplicou-se aqui um eixo de topo contendo esse ponto. A reta foi rodada para a posio horizontal com ajuda do ponto A. S o ponto onde o eixo cruza a reta dada. Q o ponto da reta que fica mais prximo do ponto dado. Os pontos P e S ficam fixos na rotao, mas tal no se indica para no sobrecarregar o traado com letras.

s2

x

s1

P2 S2

A2

A1

AR

AR

sR

P1PR S1SR

(f)n2

n2nR

=

=

VG QR

Q1

Q2

s2

x

s1

A2

P2(e2)S2

P1

QR

S1

sr2

VG

e1

Ar2

A1 Ar1

sr1 Q1

Q2


Distncias de resoluo direta entre retas paralelas

Apresentam-se aqui vrias situaes em que a distncia entre duas retas paralelas se pode determi-

nar diretamente.

x

Distncias entre retas paralelas, com resoluo direta

Em todas estas situaes se encontra diretamente a VG da distncia entre duas retas numa das suas proje-es.

VG

n2n2

n1

VG

(t2)

t1

VG

n1

h2

h1h1

h2

VG (t2)

t1

(j2)

j1j1

(j2)

x

VG

f1f1

f2

(v1)

v2

VG

f2

g1

g2g2

g1

VG

(v1)

v2

(b1)

b2b2

(b1)

VG

x

a2a2

m2

m1m1

m2

VG

a1

a1

VG

p2p1 q2q1

F1H2 F1H2

F2 F2

H1 H1

VG


Distncias entre retas fronto-horizontais,

oblquas, horizontais e frontais paralelas

Mostram-se aqui trs situaes resolvidas por trs processos diferentes, que so os que envolvem

menos traado. No se mostram as retas frontais dada a semelhana com as horizontais.

x

a2

b1

a1

VG

Distncia entre retas fronto-horizontais

O processo mais simples para determinar a VG entre estas retas consiste em achar a VG de um segmento de reta de perfil cujos extremos se situam nelas. Neste caso apli-cou-se um rebatimento simplificado sobre um plano horizontal.

b2(f)

Distncia entre

retas oblquas paralelas

Rebatendo as retas sobre um plano horizontal (ou frontal) obtm-se a VG da distncia entre as retas. Aqui o rebatimento da reta s feito com a ajuda do ponto P. Rebatidas, as retas continuam paralelas.

r2 s2

x

s1

r1

R2 S2

P2

P1 PR

PR

rR

sR

R1RR

S1SR

(f)n2

n2nR

rR // sR

=

=

VG

Distncia entre

retas horizontais paralelas

Um segmento de reta perpendicular s projees horizontais destas retas, e com um extremo em cada uma delas, -lhes perpendicular. A sua VG, neste caso determinada tambm com um rebati-mento simplificado sobre um plano horizontal, a VG da distncia entre as retas. Com retas frontais o segmento a utilizar perpen-dicular s suas projees frontais.

a1

a2

b1

x

(f)b2

B1BR

A1

AR

A2

=

VG

A2

A1

B2 =

=

AR

=

B1BR

B2


Distncia entre retas de perfil paralelas

Aqui mostram-se duas situaes relativas determinao da verdadeira grandeza entre duas retas

de perfil. Numa delas recorre-se a um rebatimento, na outra s projees laterais e ao rebatimento.

Distncia entre retas de perfil

definidas pelos traos

Se as retas de perfil esto definidas pelos seus traos, tem-se um acesso fcil aos traos do plano que as contm. Neste caso rebateu-se esse plano sobre o PFP. Este processo pode aplicar-se tambm a duas retas frontais, horizontais ou obl-quas, se se tiver acesso aos traos do plano que as contm. Caso no se tenha acesso aos traos do plano, ou o cruzamento destes se d fora dos limites do papel, deve utilizar-se o processo aplicado no caso que se segue.

Distncia entre retas de perfil definidas por pontos que no os traos

A reta p dada pelos pontos A e B, a reta q dada pelo ponto C e sabe-se que paralela a p. O plano horizon-tal passa pelo ponto B e pelo ponto S, cuja projeo horizontal se determina atravs da lateral. Esses pontos definem a charneira. O rebatimento feito utilizando o ponto C.

x

h

ffR

F2FR

H2F1

p1p2

H1

F2FR

HR pR

hR

H2F1

H1

q1q2

qR

VG

qR // pR

x

q1q2

S2

yz

p2p1

p3

A2 A3

B2 B3

B1BR

A1

q3

S3

C2 C3

C1

(f)n2

n1nR

S1SR

=

CR

CR

pR qR

VG

=

p3 // q3 pR // qR


Distncias de resoluo direta entre retas enviesadas

Observam-se aqui diversas situaes daquelas cuja verdadeira grandeza entre retas enviesadas se

pode determinar diretamente.

x

Distncias de resoluo direta entre retas enviesadas

Nos casos que aqui se apresentam poss-vel encontrar diretamente a VG da distncia entre as retas numa das suas projees. As VGs esto indicadas entre os pontos das retas que se situam mais prximos, apesar de no estares nomeados, excetuando a ltima situao. No caso do lado, que envolve retas de per-fil, tambm se pode indicar a VG direta-mente, num stio qualquer. Contudo, aqui optou-se tambm por indic-la nos pontos das retas que esto mais prximos, A e B, determinados na projeo lateral.

(t2)

t1

VG

n2

n1

n2

VG

(g2)

g1

x

v2

c1

m1 VG

(j1)

j2

x

b2

h2

VG

p2p1

q2q1

F1H2 F1H2

F2

F2

H1

H1

VG

n1

f2

f2

f1

f1

VG

a2

a1

b2

b1

VG

n2

n1 VG (v1)

a1

VG

a2

h1

b1

m2

c2

yz

F3

F3

p3

q3 VG

A3B3 A2

A1 B1

B2

H3

H3


Distncia entre retas enviesadas

A determinao da distncia entre duas retas enviesadas praticamente igual determinao da

distncia entre uma reta e um plano definido por retas, que se apresenta algumas pginas adiante,

j que para a determinar necessrio cruzar com uma das retas uma reta paralela outra.

x

A1

A2

b1

b2

a2

a1

P2

P1

x

n2

n1

B2

B1

I1

VG

I2

I4

B4A4 P4

b4a4

=

=

a2

a1

a4

a // a a4 // b4a4

Distncia entre retas enviesadas

Para determinar a distncia entre as retas a e b cruza-se aqui com b a reta a paralela a a. Deste modo, fica um plano definido pelas retas a e b, paralelo reta a. A VG da distncia entre a reta a e esse plano , obviamente, a mesma que existe entre as duas retas. Para a determinar colocou-se aqui o plano na posio de topo, recor-rendo mudana do PFP. A reta horizontal n, do plano, d a direo ao eixo x, que lhe perpendicular. Tambm se pode colocar o plano definido pelas retas na posio vertical, fazendo uma mudana do PHP. Para isso utiliza-se um eixo x perpendicular a uma reta frontal do plano definido pelas retas.


Fazendo pequenas adaptaes ao exerccio da pgina anterior, sobretudo na dimenso do mesmo,

acrescenta-se aqui a determinao do ponto de cada reta que fica mais prximo da outra.

x

Pontos mais prximos entre duas retas enviesadas

Em relao ao exerccio da pgina anterior, para determinar os pontos mais prximos entre duas retas enviesa-das faz-se mais uma mudana de plano, de modo a colocar o plano definido pelas retas na posio horizontal. Esses pontos determinam-se no cruzamento das novas projees das retas dadas, j que a esto ambas hori-zontais. Fazendo o percurso inverso, at s projees originais das retas, ficam representadas nelas as proje-es desses pontos.

A1

A2

b1

b2

a2

a1

P2

P1

x

n2

n1

B2

B1

I1

I2

I4

B4A4

P4

b4a4

=

=

a2

a1

a4

x

P5

//

//

I5

B5

A5 b5

a5

a5 X4

Z4

X5Z5

X1

X2

Z2

Z1


Distncia entre um ponto e um plano definido por retas

Podem adaptar-se a esta situao os processos que se mostram na determinao da distncia entre

uma ponto e um plano definido pelos traos. Contudo, estando o plano definido por retas, qualquer

outro processo teria muito mais traado do que aquele que aqui se adota.

x

R1

R2

s1

s2

r2

r1

P2

P1 x

n2

n1

S2

S1

I1

VG

I2

Distncia entre um ponto e um plano definido por retas

Temos aqui a determinao da VG da distncia entre o ponto P e o plano definido pelas retas concorrentes r e s, atravs do mtodo das mudanas de planos. A reta horizontal n, do plano, d a direo do eixo x, que lhe perpendicular. Com a mudana do PFP o plano definido pelas retas fica de topo, da as novas projees das retas ficarem coincidentes. A VG encontra-se entre essas projees e a nova projeo do ponto P. Tambm se pode colocar o plano na posio vertical fazendo uma mudana do PHP. Para isso utiliza-se um eixo x perpendicular a uma reta frontal do plano definido pelas retas.

I4

S4R4 P4

r4s4

=

=


Distncia entre uma reta e um plano definido por retas

A distncia entre uma reta e um plano semelhante distncia entre um ponto e uma plano, uma

vez que, ao escolher um ponto da reta, se determina a distncia entre ele o plano definido pelas

retas.

Para facilmente se compararem as situaes, a que aqui se apresenta muito parecida com a da

pgina anterior.

Distncia entre uma reta e um plano definido por retas

Para que uma reta seja paralela a um plano tem de ser paralela a uma reta desse plano. Neste caso, a reta a paralela reta r, que define o plano juntamente com s. Depois de traar uma reta horizontal para determinar a direo do eixo x, com a mudana do PFP determinam-se as novas projees das retas. As do plano ficam coincidentes, j que o plano definido pelas retas ficou de topo, a da outra fica paralela a essas. A VG encontra-se entre essas projees. Tambm se pode colocar o plano na posio vertical fazendo uma mudana do PHP. Para isso utiliza-se um eixo x perpendicular a uma reta frontal do plano definido pelas retas.

x

R1

R2

s1

s2

r2

r1

P2

P1

x

n2

n1

S2

S1

I1

VG

I2

I4

S4R4 P4

r4s4

=

=

a2

a1

a4

a // r a4 // r4s4


Distncia entre planos definidos por retas

A distncia entre planos definidos por retas tambm semelhante distncia entre um ponto e uma

plano, uma vez que a partir dum ponto desse plano determina-se a distncia entre ele e o outro.

Para facilmente se compararem as situaes, a que aqui se apresenta muito parecida com as das

pginas anteriores.

Distncia entre planos definidos por retas

Aqui temos um plano definido pelas retas r e s, concorrentes em I, e outro definido pelas retas a e b, concorren-tes em I, paralelas duas a duas. Depois de traar uma reta horizontal para determinar a direo do eixo x, com a mudana do PFP determinam-se as novas projees das retas, que ficam coincidentes e paralelas s do outro plano, dado que ambos os planos ficam de topo. A VG encontra-se entre as novas projees. Tambm se pode colocar os planos em posies verticais fazendo uma mudana do PHP. Para isso utiliza-se um eixo x perpendicular a uma reta frontal de um dos planos.

x

R1

R2

s1

s2

r2

r1

x

n2

n1

S2

S1

I1

VG

I2

I4

S4R4

I4

r4s4

=

=

a2

a1

a4b4

a // r b // s a4b4 // s4r4

b2

b1

I2

I1


Distncias entre dois pontos 1. Determinar a VG da distncia entre os seguintes pares de pontos: - A(8;4;0) e B(5;1;3); - C(2;1;2) e D(2;4;4). 2. Determinar a VG da distncia entre os seguintes pares de pontos: - E(8;1;-1) e F(6;5;-5); - G(5;-2;2) e H(5;-5;5). 3. Determinar a VG da distncia entre os seguintes pares de pontos: - I(2;-1;1) e J(-6;2;-2); - K(-3;2;5) e L(-3;5;1).

Distncias entre um ponto e um plano 4. Determinar a VG da distncia entre os seguintes pontos e plano: - A(1;-2;-1); B(6;0;4); - , de topo, que faz 35ad e cruza o eixo x num ponto com 4cm de abcissa. 5. Determinar a VG da distncia entre os seguintes pontos e plano: - C(-2;3;2); D(3;-1;1); - , vertical, que faz 50ae e cruza o eixo x num ponto com -2cm de abcissa. Determinar tambm os pontos do plano que ficam mais prximos de cada ponto dado. 6. Determinar a VG da distncia entre os seguintes pontos e plano: - E(3;3;5); F(5;0;0); - , de rampa, cujos traos tm 3cm de afastamento e 5cm de cota. 7. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e plano: - G(4;2;5); - , de rampa, cujos traos tm 3cm de afastamento e -6cm de cota. Determinar tambm o ponto do plano que fica mais prximo do ponto dado. 8. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e plano: - H(6;-1;5); - , passante, que contm P(4;3;-4). Determinar tambm o ponto do plano que fica mais prximo do ponto dado. 9. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e planos: - J(6;4:-1); - 1/3; 2/4.

10. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e plano: - K(1;4;3); - , perpendicular ao 2/4, que cruza o eixo x no ponto de abcissa nula, fazendo o seu trao frontal 40ae. 11. Determinar a VG da distncia entre os seguintes plano e ponto: - , do exerccio anterior; - L, com 4cm de abcissa, cujas projeces se situam nos traos homnimos do plano; 12. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e plano: - M(3;6;3); - , que cruza o eixo x num ponto com 2cm de abcissa, fazendo os traos frontal e horizontal 60ad e 30ae, respectivamente. 13. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e plano: - N(5;-4;4); - , do exerccio anterior.

Distncias entre dois planos 14. Determinar a VG da distncia entre os planos: - , que cruza o eixo x num ponto com 4cm de abcissa, fazendo os seus traos frontal e horizontal 50ad e 40ad, respectivamente; - , que cruza o eixo x no ponto de abcissa nula e paralelo a . 15. Determinar a VG da distncia entre os planos: - , que cruza o eixo x num ponto com -3cm de abcissa, fazendo os seus traos frontal e horizontal 35ae e 60ad, respectivamente; - , que cruza o eixo x num ponto com 1cm de abcissa e paralelo a . 16. Determinar a VG da distncia entre os planos: - , perpendicular ao 2/4, que cruza o eixo x num ponto com 3cm de abcissa, fazendo o seu trao frontal 50ad; - , que cruza o eixo x num ponto com -1cm de abcissa e paralelo a . 17. Determinar a VG da distncia entre os planos: - , de rampa, cujos traos tm 2cm de cota e 3cm de afastamento; - , paralelo a , cujo trao frontal tem 5cm de cota. 18. Determinar a VG da distncia entre os planos: - , de rampa perpendicular ao 2/4, cujo trao frontal tem -2cm de cota; - , paralelo a , cujo trao horizontal tem 6cm de afastamento.

Distncias Exerccios


Distncias entre dois planos (Continuao) 19. Determinar a VG da distncia entre os planos: - , de rampa, cujos traos tm 5cm de cota e -2cm de afastamento; - , passante, paralelo a .

Distncias entre uma reta e um plano 20. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano de topo , que faz 40ad e cruza o eixo x num ponto com 2cm de abcissa; - recta frontal f, que tem trao em H(5;3;0) e paralela ao plano. 21. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano vertical , que faz 55ae e cruza o eixo x num ponto com -2cm de abcissa; - recta oblqua r, que contm P(2;2;3) e paralela ao 1/3 e ao plano dado. 22. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano , cujos traos tm 2cm de cota e 3cm de afastamento; - reta de perfil p, paralela a , cujo trao frontal F(3;0;5). 23. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano do exerccio anterior; - reta oblqua s, que contm S(6;3;4), paralela a , fazendo a sua projeo horizontal 60ae. 24. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano , cujos traos tm 5cm de cota e -2cm de afastamento; - reta fronto-horizontal h, com 3cm de cota, situada no 1/3. 25. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano do exerccio anterior; - reta de perfil passante, com 4cm de abcissa. 26.Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano , que cruza o eixo x num ponto com 3cm de abcissa, fazendo os seus traos frontal e horizontal 45ad e 55ad, respetivamente; - reta frontal f, paralela ao plano, sendo H(5;4;0) o seu trao. 27. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano do exerccio anterior; - reta de perfil p, paralela ao plano, sendo F(2;0;5) um dos seus traos.

28. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano do exerccio 26; - reta oblqua r, paralela ao plano e perpendicular ao seu trao horizontal, sendo H(3;6;0) um dos traos da reta. 29. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano oblquo , que cruza o eixo x num ponto com 3cm de abcissa, fazendo os seus traos frontal e horizontal 55ad e 25ae, respetivamente; - reta horizontal, paralela a , cujo trao F(-4;0;3). 30. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano do exerccio anterior; - reta de perfil p, paralela ao plano, sendo H(7;5;0) um dos seus traos. 31. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano , perpendicular ao 2/4, que cruza o eixo x num ponto com 2cm de abcissa, fazendo o seu trao frontal 50ae; - reta r, situada no 2/4 e paralela a , sendo passante num ponto com -4cm de abcissa.

Distncias que envolvem planos definidos por retas ou pontos 32. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - ponto P(2;2;6); - plano , passante, definido pela recta s, que contm o ponto L(3;3;1,5) e passante no ponto M, com 6cm de abcissa. 33. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - ponto R(-2;5;7); - plano , definido pelas retas paralelas a e b, contendo respetivamente os pontos A(1;3;3) e B(4;5;3), fazendo as suas projees frontais e horizontais 60ae e 30ad, respetivamente. 34. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano , definido pelos pontos A(0;4;1), B(-3;2;5) e C(-5;8;3); - ponto P(3;6;4). 35 Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano do exerccio anterior; - ponto R(-4;0;0). 36. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano do exerccio 34; - reta m, paralela reta definida pelos pontos A e B, sendo H(6;3;0) o seu trao horizontal.


Distncias que envolvem planos definidos por retas ou pontos (Continuao) 37. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - ponto P(-2;3;5); - plano , definido por d, que contm D(4;1;4), fazendo as suas projees frontal e horizontal 55ae e 65ad, respetivamente. 38. Determinar a VG da distncia entre os seguintes elementos: - plano , definido por i, que contm R(-1;1;4), fazendo as suas projees frontal e horizontal 55ae e 65ad, respetivamente; - reta r, que tem trao frontal em F(4;0;3).

Distncias entre um ponto e uma reta 39. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e reta: - P(0;5;2); - f, frontal que faz 35ad e contm A(-2;2;7). 40. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e reta: - Q(1;2;-2); - n, horizontal que faz 50ad e tem F(-4;0;2) como trao. Indicar tambm o ponto N, da reta, que fica mais prximo do ponto Q. 41. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e reta: - R(4;2;6); - a, fronto-horizontal com -2cm de afastamento e 4cm de cota. Indicar tambm o ponto A, da reta, que fica mais prximo do ponto R. 42. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e reta: - S(3;4;1,5); - p, reta de perfil passante que contm P(3;6;3). Indicar tambm o ponto L, da reta, que fica mais prximo do ponto S. 43. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e reta: - T(2;3;0); - q, de perfil, cujos traos so H(5;5;0) e F(5;0;3). Indicar tambm o ponto Q, da reta, que fica mais prximo do ponto T. 44. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e reta: - K(-1;2;2); - s, reta que contm U(-3;4;6), fazendo as suas projees frontal e horizontal 30ad e 45ad, respetivamente. Indicar tambm o ponto S, da reta, que fica mais prximo do ponto K.

45. Determinar a VG da distncia entre os seguintes ponto e reta: - Y(3;1;4); - reta s do exerccio anterior. Indicar tambm o ponto A, da reta, que fica mais prximo do ponto Y.

Distncias entre duas retas 46. Determinar a VG da distncia entre as retas: - n, horizontal, que contm A(2;3;0) e faz 40ae; - m, que contm B(-2;3;2) e paralela a n, 47. Determinar a VG da distncia entre as retas: - f, frontal, que contm C(2;-1;1) e faz 50ad; - g, que contm D(2;-4;4) e paralela a f. 48. Determinar a VG da distncia entre as retas: - a, fronto-horizontal, que contm A(4;-2;2); - b, fronto-horizontal, que contm B(2;3;4). 49. Determinar a VG da distncia entre as retas: - c, fronto-horizontal, que contm C(2;3;0); - d, fronto-horizontal, que contm D(4;3;-3). 50. Determinar a VG da distncia entre as retas: - p, de perfil, que contm os pontos A(5;-1,5;6) e B(5;3,5;2); - q, passante, com 4cm de abcissa e paralela a p. Indicar tambm os pontos de cada reta que ficam mais prximos da outra. 51. Determinar a VG da distncia entre as retas: - r, que contm A(2;4;3) e B(0;1;5); - s, que contm C(-1;2;2) e paralela a r. 52. Determinar a VG da distncia entre as retas: - r, do exerccio anterior; - z, que contm D(2;1;3) e paralela a r. 53. Determinar a VG da distncia entre as retas: - a, do 2/4, passante num ponto com 3cm de abcissa, fazendo a sua projeo frontal 40ad; - b, passante num ponto com -1cm de abcissa e paralela a a. 54. Determinar a VG da distncia entre as retas: - r, que contm A(4;1;4) e B(8;4;1); - s, que contm C(1;5;5) e D(6;-2;7).

11-distancias

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