Resumo Este trabalho apresenta resultados de uma investigao que teve como propsito analisar o processo de aprendizagem das crianas na faixa etria de seis at onze anos, e como estas compreendem o valor posicional que largamente utilizado como contedo de aprendizagem das operaes de adio e subtrao. Nesta pesquisa investigou-se a compreenso do valor posicional nas operaes de adio e subtrao, em 40 crianas com baixo rendimento em matemtica numa escola municipal de Itapecerica da Serra. Os resultados mostraram que os sujeitos no fizeram relaes entre o valor posicional, para eles cada nmero representava um algarismo isolado. Do total de 40 sujeitos pesquisados 60% esto no nvel III, em que numerais de um s algarismo podem significar quantidades de objetos representados, 18% esto no nvel IV em que numerais de dois algarismos sistematicamente significam a totalidade de objetos representados, mas os algarismos so transformados em numerais em si mesmos e 22% esto no nvel II situao em que os sujeitos tentam encontrar algum tipo de correspondncia entre os desenhos e a quantificao feita. No foi encontrada nenhuma diferena entre os estudantes de 2, 3, 4 e 5 ano quanto aos nveis do valor posicional propostos por KAMII. Palavraschave: valor posicional; adio; subtrao. Abstract This paper presents results of an investigation that had as purpose to analyze the learning process of children aged from six to eleven years, and these include the positional value that is widely used as content for learning the operations of addition and subtraction. Investigated in this research is to understand the positional value in the operations of addition and subtraction in 40 children with low income in a municipal school of mathematics Itapecerica da Serra. The results showed that the subjects did positional relationship between the value for each number they represented a single digit. Of the total 40 subjects studied are in the 60% level III, in which numerals of one digit amounts can mean the objects represented. 18% are at level IV in two-digit numbers that always mean the totality of objects represented, but figures are converted into numbers in themselves and 22% are at Level II situation in which the subjects try to find some kind of correlation between the design and quantification made. There was no difference between the students of 2, 3, 4 and 5 years on the level of positional value proposed by Kamii. Keywords: positional value; addition; subtraction. INTRODUO

A criana antes de iniciar sua vida escolar j faz uso da matemtica no seu cotidiano, porm quando so ensinados apenas tcnicas de como operacionalizar as contas de adio e subtrao ela no faz uso do que sabe e no consegue compreender de forma abstrata o que o professor est ensinando, passando a no gostar da disciplina de matemtica, tendo prazer em aprender e desenvolver suas habilidades em outras disciplinas. O professor tem uma grande preocupao de transmitir o contedo e no de ensinar o processo numrico do concreto para o abstrato (reflexivo), podendo ser o causador do desinteresse ou das dificuldades apresentadas pelas crianas nesta disciplina. O aprendiz precisa de estmulos para aprender algo novo e a assimilao s ocorre quando o atual substitui o antigo. VALOR POSICIONAL Antes de entrar na escola as crianas j esto em contato com o mundo dos nmeros. Em sua relao com as pessoas e na interao com os objetos em seu entorno, tendo uma srie de vivncias. Elas utilizam noes e vocabulrios em situaes diversas: sabem dizer quantos anos tm, primeiro nos dedos e mais tarde verbalizando, so capazes de contar degraus da escada. Pouco a pouco, percebem que os nmeros lhe permitem quantificar. A criana pequena aprende os nmeros pela abstrao emprica fazendo relaes (objetos/figuras), entretanto, quando ela prossegue em direo a nmeros maiores acaba sendo impossvel aprender cada nmero atravs da abstrao emprica. Para PIAGET (1975, p.19) Os nmeros so aprendidos pela abstrao reflexiva, medida que a criana constri relaes. Por volta dos cinco para seis anos maioria das crianas tem a conservao do nmero elementar, mas no est suficientemente estruturada antes dos sete anos e meio de idade para permitir que entenda que todos os nmeros consecutivos vem da operao de +1. Se ela construir a estrutura lgico-matemtica de maneira slida, torna-se- capaz de raciocinar logicamente numa ampla variedade de tarefas mais difceis do que a da conservao. Contudo, se ela for treinada a dar meramente respostas corretas tarefa de conservao, no se pode esperar que prossiga em direo a raciocnios matemticos de nvel mais alto. KAMII (2005, p.30) O valor posicional algo muito difcil para os alunos de 2 ano e extremamente confuso para os dois anos seguintes, KAMII (2005, p. 90) afirma que Agrupar objetos e lidar com grandes quantidades um problema... confirmou numa srie

de pesquisas realizada na dcada de 1980, nos Estados Unidos e algumas delas foram repetidas aqui no Brasil por educadores com NUNES (2007). A criana de sete anos est em processo de construir o sistema numrico, atravs da abstrao reflexiva. Aprender a escrever nmeros requer tcnica, j para aprender a somar, subtrair, multiplicar e dividir envolve raciocnio lgico-matemtico. Primeiramente ensina-se o que unidade, depois dezena e centena, cada um passo a passo, aps compreender a unidade poder comear a construir a dezena e assim sucessivamente. Segundo KAMII (2005) os alunos das series iniciais no tem estrutura lgica construda para entender o valor posicional, os professores fazem uso de truques para ensin-los, contudo esse aprendizado poderia ser adiado at eles terem estruturas abstratas formadas para compreender e entender o processo. As crianas tm dificuldades em compreenderem o valor posicional, exemplificando o nmero 245, sendo a equivalncia de duas centenas, quatro dezenas e cinco unidades. Para elas 245 significa 2 4 e 5 isoladamente, pensam em cada algarismo como unidade. Pois para compreender o 245 necessrio j ter compreendido que este 2 x 100 + 4 x 10 + 5, tal raciocnio muito complexo para uma criana de 7 anos. Na perspectiva de PIAGET (1997) a multiplicao uma sucesso de abstraes reflexivas que se constroem ao longo de um tempo gerando o processo denominado por ele de tomada de conscincia. PIAGET (1975) quando compara a operao de adio com a de multiplicao, admite que o desenvolvimento das multiplicaes muito mais complexo e que no caso da multiplicao, as partes devem ser iguais entre si e conter o mesmo nmero de elementos iguais entre si, enquanto que na adio simples, a determinao do todo no exige a igualdade, nem das partes e nem mesmo dos elementos, o que torna a multiplicao mais complexa e comportando quantificaes implcitas mais numerosas. Ele diz que: parece ser incontestvel que a compreenso da multiplicao numrica bem menos natural que a da adio PIAGET (1997). Pesquisas realizadas por KAMII (2005) utilizando como referncia a compreenso do valor posicional demonstraram que a maior parte das crianas at mais ou menos a quarta srie pensa que o 1 em 16 significa um. O nosso sistema de numerao depende da sua posio dentro do nmero, os algarismos 1,2,3, por exemplo, no tm o mesmo valor nos nmeros 123, 213 e 321, cada posio indica um valor, no primeiro o 1 refere-se a centena, no segundo dezena e no terceiro a unidade. Caractersticas do nosso sistema de numerao escrita, sendo:

"Ele compreende os seguintes dez algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. A base do sistema dez. A posio do algarismo indica a potncia da base que ele representa. O zero permite indicar que uma potncia da base est ausente. Os dez algarismos permitem escrever uma infinidade de nmeros." ABERKANE e BRUECKNER (2001,p. 184) Quando a criana no tem construdo o valor posicional no consegue em uma operao pensar simultaneamente em dezenas e unidades, resolvendo a conta de sua maneira, cometendo erros, ou simplesmente decorando tcnicas e dando respostas corretas. Imitam seus pais ou professores, seguindo regras sem a construo do conhecimento lgico-matemtico. As dificuldades com nmeros nos primeiros estgios das operaes bsicas de contagem, adio e subtrao, podem ocasionar srias dificuldades futuras. Quando as crianas no entendem as regras expostas, inventam verses erradas das regras, exemplos: Para DOCKRELL e MCSHANE (2000, p.114) No exemplo (a) a criana falhou ao levar um da primeira coluna para a segunda coluna; em (b) a criana adicionou os nmeros nas linhas e no nas colunas, obtendo o 8 na soma de 5 e 3 e 6 na soma de 2 e 4; em (c) a criana subtraiu o nmero menor na primeira coluna, provavelmente operando o principio que no se pode subtrair um nmero maior de um menor... Todos esses exemplos mostram como algumas crianas no conseguem dominar os procedimentos necessrios para realizar a operao aritmtica. E trabalha com a sua prpria lgica, ou ainda por metodologias ensinadas pelos adultos, mesmo sem uma compreenso clara do que est fazendo. importante descobrir quais os princpios levaram a resolverem essas operaes erradas e reconstruir um novo conceito nas operaes aritmticas. Dentre as muitas tcnicas utilizadas pelos professores, esto as msicas infantis que tem desempenhado papel importante. Elas vm com a seqncia numrica em que as crianas aprendem os nomes dos nmeros antes mesmo de estarem na escola, dando aos pais e professores a iluso de que a mera repetio da seqncia numrica a garantia de aprendizagem, mas o desenvolvimento das habilidades numricas no decorrer do processo exige trs componentes:

Conhecimento da seqncia das palavras numricas (nomes dos nmeros); Correspondncia termo a termo entre os nomes dos nmeros; Conhecimento de que o produto da contagem representa a numerosidade da coleo de objetos que foram contados. Segundo PIAGET (1995) a construo do nmero correlativa ao desenvolvimento da prpria lgica e que ao nvel pr-lgico, corresponde um perodo pr-numrico. O nmero se organiza etapa aps etapa, em solidariedade estreita com a elaborao gradual dos sistemas de incluses (hierarquia das classes lgicas) e de relaes assimtricas (seriaes qualitativas), com a sucesso dos nmeros constituindo-se, assim, em sntese operatria da classificao e da seriao. Tanto as operaes lgicas como as aritmticas aparecem como um nico sistema total e psicologicamente natural e as operaes aritmticas so o resultado da generalizao e da fuso das operaes lgicas, sob seus dois aspectos complementares da incluso de classes e da seriao de relaes, mas com eliminao da qualidade PIAGET e INHELDER (1995, p.12 e 13) A gnese do nmero envolve trs conceitos bsicos: o de seriao, que a compreenso de uma ordem implcita nas relaes entre os elementos; o de classificao, e a incluso de um elemento num outro mais amplo que o contenha. No caso dos nmeros, classificar significa incluir um elemento em outro mais amplo que o contenha, implica em reunir elementos em classes de acordo com suas semelhanas e em incluir duas ou mais classes em uma outra de maior extenso. E por fim, o de conservao, ou seja, quando a criana adquire esta noo ela passa a afirmar a invarincia quantitativa dos objetos, apesar de transformaes que eles possam sofrer em suas dimenses, como por exemplo, cor, forma, ou posio. A criana passa a compreender que dimenses, tais como quantidade, peso, nmero, etc. permanecem invariantes a despeito de certas transformaes como o deslocamento de objetos ou de partes destes no espao, mudana de forma do objeto etc. As crianas apresentam dificuldades em matemtica GEARY (1990, p.121) sugeriu o uso de estratgias que reduzam a demanda dos recursos de memria ativa e, assim, estratgias como contagem de dedos, objetos, devem ser estimuladas e no proibidas. Propiciando a progresso do desenvolvimento matemtico. Quando as duas parcelas so prximas em seu valor, como o nmero 7 e 8 tem crianas no fazem uso da estratgia de contagem contnua, presumi-se que elas tenham dificuldades em identificar qual das duas parcelas era a maior, erros

derivados de uma fraca representao da seqncia numrica. KAMII (2005) ressalta que tal procedimento est relacionado com a concepo numrica do aluno que ao somar acrescenta +1 somente aps um bom tempo, quando ela perceber a relao de incluso de classes, e a ordem, ela se tornar capaz de ver o todo e as partes ao mesmo tempo e correlacion-las. Na adio usa-se o termo de transportar e na subtrao emprestar, quando em uma operao faz-se necessrio transferir de uma coluna para outra, ocorrem erros como 120 -53 = 73 e 887 + 66 = 1053, para BROWN e LEHN (1980,p.126) ... Esses procedimentos no so invenes feitas do nada, mas sim aplicaes inadequadas de procedimentos que a criana conhece. Um ponto a mais a ser reforado que os erros revelam que elas pensam que esses procedimentos so operaes mecnicas com smbolos, sem qualquer referncia as quantidades que os smbolos representam. Ado A adio para os alunos algo espontneo e fcil, segundo KAMII (2005, p.101) Uma criana que adiciona nmeros com 2 e 5 sua prpria moda, obtm um resultado, geralmente 7. Se no sabe o que fazer, ela no est no momento de trabalhar com adio. Para a criana resolver situaes de adio faz-se necessrio: Resolver problemas de adio com ajuda de objetos. Contar nos dedos. A manipulao de objetos ou os prprios dedos facilita o entendimento deles. Para PIAGET (1991, p.126) a criana aprende sinais convencionais, no atravs da associao dos objetos, mas atravs da assimilao. As crianas assimilam os sinais nas idias que constroem. Para aprender a solucionar as operaes de adio deveria aparecer concomitantemente situao problema que envolve a realidade do aprendiz. Eles compreendem a aritmtica a partir de sua vivencia. No apenas as operaes para serem executadas sem algo para contextualizarem.

De acordo com CARPENTER, HEIBERT e MOSER (1979, p.135) ...as crianas resolviam facilmente os seguintes problemas, antes de receberem instrues sobre como escrever as equaes. A situao problema em primeira instancia deveria levar o aluno a pensar, desenvolver o raciocnio lgico e posteriormente a operao de maneira formal. Quando a criana diz que 4 + 2 = 5, a melhor forma de corrigir perguntar como chegou nesse resultado, ao tentar explicar seu raciocnio poder perceber seu prprio erro. Se a correo feita somente pelo professor ficar convencida de que a verdade advm somente dele. A criana apresenta dificuldade na soma de um nmero visto com outro no-visto, exemplo 2 + 1 + 4 = 7, porque ela tem que pensar em um 3 no-visto e efetuar a operao, algumas crianas demoraram um tempo maior para desenvolver essa habilidade de pensar em algo que no esteja visualizando. Subtrao Na maioria dos livros didticos de matemtica a subtrao ensinada como se fosse o mero inverso da adio. Se a criana sabe que 3 + 2 = 5 o professor pressupe que automaticamente ele saber que 5 2 = 3, mas no assim que a criana v. Na perspectiva piagetiana o raciocnio dos estudantes, se concentra em aspectos positivos de ao, percepo e cognio. Os aspectos negativos, como inverso e recproco, so construdos posteriormente. Os estudantes se concentram nos aspectos positivos das aes, pensamentos e percepes e s mais tarde constroem os aspectos negativos. Portanto quando a soma j tem uma base slida, a subtrao torna-se mais fcil e apresenta pouca dificuldade. Segundo PIAGET (1995) todas as aes, percepes e cognies funcionam primeiramente positivamente. Quando a soma est solidificada os alunos fazem as relaes entre aes e objetos e constroem os aspectos negativos que no so observveis de imediato. Primeiro elas constroem relaes simples, numa s direo, depois entram em sistema de operaes nas quais, cada ao direta tem sua correspondente inversa. A criana s percebe a adio como uma operao unidirecional positiva, se pudesse ser feita sem reduzir o nmero de outro conjunto. Comea a relacionar mesmo empiricamente que o que foi somado, implica numa retirada. A criana antecipa e pensa na ao com duas operaes, o que acrescentou e o que foi subtrado. Adio uma ao positiva enquanto que subtrao uma construo secundria, no natural e difcil numa poca em que as crianas esto construindo somas. Os alunos constroem a subtrao depois da adio e a partir dela.

Outro aspecto que muito explorado a utilizao das tcnicas para o ensino da subtrao. Por exemplo, a maioria dos livros de matemtica prope cinco objetos, separa dois destes e conta-se o que sobrou. Os professores crem que o aluno fazendo isso repetidas vezes e por fim associa o concreto com o exerccio escrito, depois s trocar os nmeros e continuar repetindo o procedimento at que os fatos estejam fixados. Contudo tomando como referencia a epistemologia gentica de PIAGET, os alunos pensam melhor usando smbolos pessoais como dedos, fichas, objetos, etc. equaes deveriam ser ferramentas para pensar e no fins que provam a aquisio de conhecimento matemtico, o que interfere negativamente no pensamento da criana. Os problemas de enredo podem ser usados com muita eficincia. Os objetivos dos problemas de enredo no devem ser de capacitar a criana a resolver problemas de subtrao tais como separar, comparar e igualar, nem escrever equaes, mas desenvolver a capacidade de lgico-aritmetizar sua realidade fazendo relaes parte todo (classificao e conservao). Quando o aluno incentivado a pensar ativamente seu prprio modo em todos os tipos de situaes, eles faro as relaes parte - todo, mais cedo e com compreenso. Segundo KAMII (2005) o melhor a fazer eliminar tcnicas e regras arbitrrias para produzir respostas escritas corretas, e encorajar as crianas a pensarem por si mesmas, gerando estudantes que confiam em seu raciocnio. A subtrao acaba sendo de difcil compreenso para criana, requer descender do total para uma parte. As relaes de parte-todo so complicadas para eles, pensar em duas direes opostas simultaneamente to complexo que se reflete na linguagem que ouvimos em sala de aula: 9 menos 5 igual a 4 ( 9 5 = 4 ). importante ressaltar que a subtrao na faixa de 7 aos 8 anos antinatural, normalmente comete erros de adio para subtrao, raramente o contrrio. O uso de matrias manipulveis, talvez possa auxiliar na acomodao e assimilao da perda. Geralmente problemas de subtrao consistem em separao, parte-parte-todo, comparao e equalizao. Nessas situaes problemas as crianas devem entender a lgica da pergunta, antes de passar para a resoluo da operao. complexo para a criana passar de uma experincia com nmeros de maneira informal para as formulaes.

Subtrair nmeros com mais de dois algarismos exige ainda mais duas relaes parte-todo entre o minuendo com um todo e seu valor numa coluna, e entre o subtraendo total e o valor nesta mesma coluna. Muitas crianas subtraem de baixo para cima, exemplificando: Essa subtrao de baixo para cima no aconteceria se as crianas pensassem no minuendo como o nmero123, assim como no subtraendo o nmero 45, ela pensa em apenas uma coluna por vez. No conceito de que no pode executar uma subtrao de nmero menor para o maior. A matemtica est no cotidiano da criana desde o momento que comea a compreender as coisas, ou seja, tem a iniciativa de contar objetos, o que ganhou ou perdeu, utiliza os nmeros de maneira informal, entretanto vrias crianas na fase escolar no conseguem solucionar as operaes bsicas de maneira formal, confundido os sinais, colocando os nmeros nas posies indevidas (centena/dezena/unidade), apresentam dificuldades ou desinteresse pela disciplina. Levando em considerao que uma matria essencial para seu dia-a-dia. Essa investigao se props a verificar como as crianas de 2 ao 5 relacionam o conhecimento do valor posicional, estudar os processos de adio e subtrao, descrever como elas identificam a diferena positiva (adio) e negativa (subtrao). Mtodo Participaram da pesquisa 40 crianas do 2 ao 5 ano (idade mnima de seis e mxima de onze anos), selecionados entre os alunos de uma instituio escolar do municpio de Itapecerica da Serra-SP, sendo 10 crianas de cada ano divididas quanto ao gnero (5 do sexo masculino e 5 do sexo feminino). Solicitou-se s professoras que indicassem crianas que, em sua opinio, apresentassem dificuldades na disciplina de matemtica. A pesquisa foi conduzida na prpria escola. A sala de coleta de dados constitua um ambiente agradvel com isolamento acstico e iluminao adequada. Os pais ou responsveis foram informados sobre a pesquisa e assinaram um termo de consentimento livre e esclarecido. Foram utilizados na coleta de dados um instrumento para investigar a compreenso das crianas do 2 ao 5 no valor posicional e as relaes das operaes de adio e subtrao, elaborado por KAMII (1991) e utilizado com crianas de escolas pblicas dos Estados Unidos na regio de Chicago.

A investigao ocorreu individualmente, no primeiro instrumento o registro foi pela criana numa folha de papel em branco, cada sujeito registrou a quantidade das tampinhas contadas por ele, em seguida fez um circulo nos nmeros solicitados pela pesquisadora. J o segundo instrumento as fichas ficaram dispostas sobre a mesa e foi manipulada pela pesquisadora e o registro feito de acordo com as respostas dadas pelos participantes. Descrio do instrumento A atividade um consistiu em colocar diante dos 40 alunos que compunham a populao pesquisada, 16 tampinhas, foi solicitado aos mesmos que contassem as tampinhas e fizessem um desenho delas. Foi solicitado aos alunos que escrevessem em forma de numeral (16) na mesma folha que desenharam os objetos, para que estes estabelecessem a relao objetos/numeral. Foi ento perguntado onde estaria localizado na seqncia de tampinhas o nmero 6 o 1 e o 16 das 16 tampinhas. Os sujeitos deveriam indicar no desenho o significado do nmero de cada um desses nmeros. Em pesquisa realizada por KAMII (1991) foram encontrados 5 nveis assim descritos: Nvel I os nmeros so marcas ligadas aos objetos no mundo real. Nvel II os sujeitos tentam encontrar algum tipo de correspondncia entre os desenhos e a quantificao feita. Nvel III numerais de um s algarismo podem significar quantidades de objetos representados. A noo de que numerais de um ou dois algarismos se referem a quantidades especificas (cardinalidade) uma das vrias idias no muito bem diferenciadas. O 6 de 16 significa o 6 objeto, ou o numeral 16 significa ele todo, o 16 objeto. O 6 de 16 se refere a 6 objetos, mas o 1 de 16 significa um objeto. Nvel IV - numerais de dois algarismos sistematicamente significam a totalidade de objetos representados, mas os algarismos so transformados em numerais em si mesmos e so tratados de duas formas: 0 6 de 16 significa 6 objetos, e o 1 de 16 representa 1 objeto. O fato de 9 objetos permanecerem no contados no interessa s crianas. O 6 de 16 significa conjuntos de seis, e o 1 de 16 significa conjuntos de 1 objeto. Em nenhum dos casos a criana sente uma

relao necessria entre as partes numricas (objetos e 10 objetos) e o numeral inteiro (16 que representado). Nvel V cada algarismo que forma um numeral de dois algarismos indica quantidades que so determinadas pelo lugar ou posio na qual aparecem. O mecanismo que leva a esse tipo de compreenso do valor posicional consiste em uma sntese de trs idias gradualmente construdas: Regra do cdigo: o 1 de 16 significa dez porque est escrito no lugar das dezenas. Relaes numricas todo-parte: o 1 em 16 significa dez porque 6 e 10 somados do 16. Multiplicao: o 1 de 16 significa 10 porque 1 X 10 = 10. Partindo dos nveis encontrados por KAMII (1991) analisaremos os dados coletados na amostra de estudantes. A atividade dois consistiu em colocar diante dos mesmos sujeitos, 16 fichas sobre a mesa, foi solicitado que eles contassem e em seguida a pesquisadora fez duas fileiras com 8 fichas, numa correspondncia um a um. Foi solicitado que os alunos certificassem de que as duas filas tinham as mesmas quantidades de fichas. A pesquisadora tampou a sua fileira com uma folha de papel. Foi perguntado as crianas com quantas fichas a mais elas ficariam, quando a pesquisadora mudou uma ficha adicional. Os estudantes deveriam explicar a diferena 2. Em seguida o mesmo procedimento foi repetido sem cobrir as filas. Os sujeitos entenderiam ao que ao mesmo tempo negativa e positiva Em pesquisa realizada por PIAGET (1974) foram encontrados 3 nveis assim descritos: Nvel I a criana previu uma diferena de n, e mesmo descobrindo a fila no entendeu por que a diferena era 2n. Nvel II - a diferena foi n, descobrindo a fila entendeu a transferncia da ficha, imediatamente notou o aspecto negativo.

Nvel III a criana a apresentou a diferena correta de 2n sem ver a mudana da ficha de uma fila para a outra. Resultado e Anlise de Dados Para a anlise dos dados da presente pesquisa tomou-se como referncia os trabalhos de KAMII (2005) sobre valor posicional. TABELA 1 O que os algarismos de 16 significavam para o grupo de 2 ano. Do total de 40 sujeitos pesquisados 24, ou seja, 60% esto no nvel III em que numerais de um s algarismo podem significar quantidades de objetos representados. A noo de que numerais de um ou dois algarismos se referem a quantidades especificas (cardinalidade) uma das vrias idias no muito bem diferenciadas. O 6 de 16 significa o 6 objeto, ou o numeral 16 significa ele todo, o 16 objeto. O 6 de 16 se refere a 6 objetos, mas o 1 de 16 significa um objeto. No foi encontrada nenhuma diferena entre os estudantes de 2, 3, 4 e 5 ano. No segundo ano 8 alunos ficaram no nvel III como pode ser visto na tabela 1 e dois alunos esto em outro nvel. Fizeram o desenho, assinalaram o nmero 1 com um circulo na primeira figura e do 6 ao 12 fizeram um crculo maior. Excluram o 13 e assinalaram com um crculo os trs ltimos. Ao tentar escrever o algarismo 16 em forma de numeral representou com o nmero 6, evidncia que eles no tm formado o conceito de numerais acima de 10. Estes sujeitos podem ser classificados como pertencentes ao nvel II porque tentam encontrar algum tipo de correspondncia entre os desenhos e a quantificao feita. O 1 est assinalado e de certa forma o 6 tambm, mas no aparece a idia de todo. Os dados da tabela 1 constatam que essas crianas ainda no conseguem resolver situaes formais de matemtica. TABELA 2 O que os algarismos de 16 significavam para o grupo de 3 ano. Este grupo de alunos do 3 ano teve resultados semelhantes ao grupo menos graduado, 50% esto no nvel III, 30% embora apresentem desenho diferente dos anteriores, podem ser classificados no mesmo nvel III, ainda que parea ocorrer uma evoluo a compreenso permanece centrada no 1 como primeiro

elemento do conjunto, o 6 separado do grupo todo e o 16 como 1 objeto. Em nenhum dos casos a criana sente uma relao necessria entre as partes numricas (objetos e 10 objetos) e o numeral inteiro (16 que representado). Os 20% restantes parecem se referir o 16 como uma totalidade de objetos representados, fizeram at um circulo no conjunto todo, mas os numerais ainda so tratados de duas formas de tal maneira que 0 6 de 16 significa 6 objetos, e o 1 de 16 representa 1 objeto. Ainda no aparece a necessidade da relao numrica, (objetos e 10 objetos) e o numeral inteiro que representado. Portanto neste grupo 20% pode ser classificado como estando no nvel IV. TABELA 3 O que os algarismos de 16 significavam para o grupo de 4 ano. O quarto ano tem um quadro semelhante ao do segundo ano, 90% esto no nvel III e 10% no nvel IV. Isto significa que o desempenho do 3 ano foi melhor que o desempenho do 4 ano. A tabela 3 mostra que esses alunos no tm o conceito numrico formado, o que explica a discrepncia e o desempenho ter sido inferior ao ano anterior. Essa dificuldade esta demonstrada tambm na escrita, dois sujeitos ao tentarem escrever o nmero 16 por extenso, escreveu de zese, ao invs de dezesseis, o que indica que eles no esto alfabetizados, apresentando dificuldades nas disciplinas de matemtica e portugus. TABELA 4 O que os algarismos de 16 significavam para o grupo de 5 ano. Do total de estudantes do 5 ano 40% esto no nvel III, 20% excepcionalmente esto no nvel II e 40% esto no nvel IV. Comparando-se os 4 e 5 anos houve uma evoluo porque a maioria do 4 ano est no nvel III enquanto que pouco menos da metade do 5 ano conseguiu chegar ao nvel IV. Contudo os resultados dos estudantes da amostra da presente pesquisa mostraram-se inferiores aos encontrados por KAMII (1982) em amostra de estudantes da cidade de Chicago nos Estados Unidos. Embora os resultados encontrados tenham proximidades com os da KAMII, o dficit maior da amostra em questo, pode ser explicado uma vez que os alunos pesquisados apresentam dificuldades de aprendizagem em matemtica enquanto os estudantes da pesquisa de KAMII estavam dentro do padro de normalidade. Em pesquisa realizada por PIAGET sobre relaes entre afirmaes e negaes analisaremos esses dados.

O grfico mostra que dos alunos 40 alunos pesquisados somente 10% esto no nvel III, que conseguiram explicar a diferena entre as filas quando uma ficha transferida para outra. Os estudantes do 2 ano 50% esto no nvel I, mesmo descobrindo as fileiras no conseguiram explicar a ao positiva e negativa, para PIAGET a criana do nvel I no percebe a lacuna deixada pela ficha que saiu de uma fila, 50% esto no nvel II, conseguiram somente entender a ao sem a folha. O grupo do 3 ano somente 10% no nvel I, 90% no nvel II teve uma evoluo comparando com o ano anterior, porm no conseguem pensar abstratamente. Os sujeitos do 4 ano10% esto no nvel III, para PIAGET a criana pode antecipar a resposta de 2n porque ela pensa na ao com duas operaes, 80% no nvel II e 10% no nvel I. As crianas do 5 ano 60% esto no nvel II, um percentual muito elevado para esse ano, alunos quase concluintes do ensino bsico com essa defasagem em matemtica, 10% no nvel I e 30% no nvel III. Uma das limitaes da pesquisa foram dificuldades em generalizar estes resultados de uma forma mais ampla e uma populao maior, ficando limitadas as crianas com alguma dificuldade de aprendizagem de matemtica. Este estudo tambm abre a perspectiva de estudos mais amplos e concisos com diferentes grupos de estudantes da educao bsica. Concluso Do total de 40 sujeitos pesquisados 60% esto no nvel III, em que numerais de um s algarismo podem significar quantidades de objetos representados. A noo de que numerais de um ou dois algarismos se referem a quantidades especificas (cardinalidade) uma das vrias idias no muito bem diferenciadas, 18% esto no nvel IV em que numerais de dois algarismos sistematicamente significam a totalidade de objetos representados, mas os algarismos so transformados em numerais em si mesmos. A criana ainda no sente uma relao necessria entre as partes numricas (objetos e 10 objetos) e o numeral inteiro (16 que representado) e 22% esto no nvel II situao em que os

sujeitos tentam encontrar algum tipo de correspondncia entre os desenhos e a quantificao feita. No foi encontrada nenhuma diferena entre os estudantes de 2, 3, 4 e 5 ano quanto aos nveis do valor posicional propostos por KAMII. Na ao positiva e negativa que a diferena entre as filas quando uma ficha transferida para outra 20% dos estudantes esto no nvel I, no conseguem pensar abstratamente, 70% esto no nvel II so capazes somente de explicar a ao ocorrida empiricamente e entender que a diferena entre as filas consiste do somado mais o que foi tirado da outra fila, 10% esto no nvel III tem condies de pensar abstratamente. Magali Nunes Ferreira da Silva e-mail: magalinf@ig.com.br Centro Universitrio Adventista de So Paulo Campus de So Paulo Curso Ps-Graduao Psicopedagogia Clinica e Familiar Orientador(a) Prof.Dra. Snia Bessa da Costa Nicacio Silva e-mail: sonia.bessa@unasp.edu.br REFERNCIAS BIBLIOGRAFICAS ABERKANE, Franoise Ceruqetti, BERDONNEAU, Catherine. O Ensino da Matemtica na Educao Infantil.Porto Alegre: Artmed, 2001. DOCKRELL, Julie, MCSHANE, John. Crianas Com Dificuldades de Aprendizagem. Uma abordagem cognitiva. Porto Alegre: Artmed,2000. GROSSNICKLE, Foster E., BRUECKNER, Leo J. O Ensino da Aritmtica pela Compreenso. So Paulo: Fundo de Cultura, 1959. KAMII, Constance, DECLARK, Georgia. Reinventando a Aritmtica: implicaes da teoria de Piaget. Trad. Elenice Curt, Marina Clia Moraes Dias, Maria do Carmo Domith Mendona. Campinas SP: Papirus, 1991. KAMII, Constance, JOSEPH, Linda Leslie. Crianas Pequenas Continuam Reinventando a Aritmtica: implicaes da teoria de Piaget (series iniciais). Trad. Vinicius Figueira. Porto Alegre: Artmed, 2005. KAMII, Constance. A Criana e o Nmero. Trad. Regina A. de Assis. Campinas SP: Papirus, 1993.

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