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Engenharia de Computação – Computação Gráfica Prof. Adelino P. Silva

Bacharelado em Engenharia Bacharelado em Engenharia de Computade Computaççãoão

ComputaComputaçção Grão Grááficafica

TransformaTransformaçções geomões geoméétricastricasAdelino P. Silva Adelino P. Silva

[email protected]@decom.cefetmg.br


TransformaTransformaçções Geomões Geoméétricastricas

São operações que podem alterar algumas características do objeto a ser desenhado;

Transformações geométricas podem ser representadas por equações;

Permitem representar um objeto em diversas posições no espaço;

Importante em diversas aplicações de computação gráfica




Uma transformação T no plano é uma função que associa a cada ponto p do plano euclidiano Π um ponto p’ em Π.

Conveniente introduzir um sistema de coordenadas.

ΠΠ

pp pp’’



Referencial no plano(O, e1, e2), onde O é um ponto escolhido como

origem e (e1, e2) forma uma base do R2.

OP = xe1 + ye2

x e y são as coordenadas de pno referencial (O, e1, e2).

Coordenadas da origem O: (0,0).

OO

ee11

ee22

pp

TransformaTransformaçções Geomões Geoméétricas (2D)tricas (2D)


Um referencial estabelece uma correspondência entre o

plano euclidiano Π e R2 = {(x,y) | x, y ∈ R}.

Permite estudar transformações do plano a partir de transformações em R2.

Ponto de partida: estrutura de espaço vetorial do R2 (logo, do plano).

TransformaTransformaçções Geomões Geoméétricas (2D)tricas (2D)


Uma transformaUma transformaçção ão LL::RR22→→RR22 éé dita dita linearlinear quandoquando

LL((ααpp11++ββpp22))==ααLL((pp11))++ββLL((pp22)),,

ondeonde pp11, , pp22∈∈RR22 ee αα,,ββ ∈∈RR..

Obs: Obs: LL((00, , 00) = () = (00, , 00) )

(ou seja, (ou seja, a origem O do referencial a origem O do referencial éé mantida fixa mantida fixa

por uma transformapor uma transformaçção linearão linear).).



Uma transformaUma transformaçção linear ão linear LL::RR22→→RR22 fica completamente fica completamente determinada quando se conhecem determinada quando se conhecem LL((ee11)) e e LL((ee22)),, onde onde ((ee11, , ee22)) formam uma base do formam uma base do RR22..

LL((ee11) = ) = aeae11 + + bebe22, , LL((ee22) = ) = cece11 + + dede22

pp = = xexe11 + + yeye22 ⇒⇒ LL((pp) = ) = xLxL((ee11)+)+yLyL(e(e22) ) ==

= x= x((aeae11+be+be22))+y(ce+y(ce11+de+de22) = ) = ((axax++cycy))ee11 + (+ (bxbx++dydy))ee22

Matriz da Matriz da

transformatransformaççãoão

L(eL(e11)) L(eL(e22))

=

′

′

y

x

db

ca

y

x



Dentre as principais transformações geométricas estão:� Translação

� Escala

� Rotação

� Reflexão

� Cisalhamento

As operações de translação e rotação são chamadas de transformações de corpo rígido, uma vez que alteram a posição sem alterar o corpo do objeto.



Translação

Significa movimentar o objeto, alterar sua posição;

Simplesmente acrescenta Tx unidades às coordenadas em relação ao eixo X e Tyunidades em relação ao eixo Y.



Fórmulax’ = x + Txy’ = y + Ty



Escala

Redimensiona o objeto

Os valores das coordenadas de cada ponto émodificado por fatores de escala;

Não é uma alteração de corpo rígido;

Se o objeto não estiver definido em relação à origem ocorrerá também uma translação.



EscalaDe acordo com os valores atribuídos a Ex e Ey

podem ocorrer as seguintes situações:

Se Ex, Ey > 1 – objeto será ampliado;

Se Ex, Ey < 1 – objeto será reduzido;

Se Ex = Ey – objeto manterá proporções relativas em x e y;

Se Ex <> Ey – objeto será deformado;



EscalaFórmula

x’ = x * Exy’ = y * Ey

Escala ½ em x e ¼ em y



Escala


xx

yy

cc

bb

=

y

xa

′

′=

y

xa

=

⋅

⋅=

y

x

s

s

ys

xs

y

x

y

x

y

x

0

0

'

'


Rotação

Gira o objeto em torno da origem;

Se o objeto não estiver definido na origem, ocorrerá também uma translação.



Rotação

Rotação em 45ºcos 45º = 0,70

sen 45º = 0,70

Fórmulax’ = x*cos(α) - y*sen(α)y’ = y*cos(α) + x*sen(α)



Rotação

Passos:1. Transladar ponto a origem (Tx, Ty);2. Rotacionar com o ângulo;3. Transladar ponto a posição inicial (-Tx,-Ty).

Fórmulax’ = x*cos(α) - y*sen(α)

y’ = y*cos(α) + x*sen(α)



Reflexão

Também conhecida como espelhamento (“flip”);

Produz um novo objeto espelhado;

Pode ser considerado sobre o eixo vertical ou horizontal, ou ainda, em torno de ambos os eixos;

É possível através da inversão das coordenadas.



Reflexão



Reflexão

−=

−=

′

′

y

x

y

x

y

x

10

01

xx´́ = = --1.x1.x

yy´́ = y= y

xx

yy

=

y

xp

′

′=′

y

xp



CisalhamentoCisalhamento (Shearing ou Skew) é uma

transformação que distorce o formato do objeto;

Deforma o objeto linearmente, ao longo do eixo X, do eixo Y ou de ambos.



Fórmulax’ = x + Sxyy’ = y + Syx



xx

yy

xx

yy

γγ

=

+=

y

x

y

yx

y

x

10

tan1tan

'

' γγ



Podemos tratar todas as transformaPodemos tratar todas as transformaçções de ões de forma unificada se representarmos os pontos forma unificada se representarmos os pontos do espado espaçço em o em coordenadas homogêneascoordenadas homogêneas..

Em coordenadas homogêneas, um ponto do Em coordenadas homogêneas, um ponto do plano plano éé representado por uma tripla representado por uma tripla [[xx,,yy,,ww] ] ao ao invinvéés de um pars de um par ((xx,,yy))..

Duas coordenadas homogêneas Duas coordenadas homogêneas [[xx,,yy,,ww] e ] e [[xx’’,,yy’’,,ww’’]]representam o mesmo ponto se uma representam o mesmo ponto se uma éé um um mmúúltiplo da outraltiplo da outra..

Coordenadas HomogêneasCoordenadas Homogêneas


Se Se ww≠≠00 podemos podemos dividir as coordenadas dividir as coordenadas

homogêneas por homogêneas por ww..

((xx,,yy,,ww)) representa o mesmo ponto que representa o mesmo ponto que ((x/wx/w,,y/wy/w,,11))..

Se Se ww==00, , entãoentão ((xx,,yy,,ww)) éé um um ponto no infinitoponto no infinito e e representa uma representa uma diredireççãoão do plano (mais sobre do plano (mais sobre isto depois...)isto depois...)



O uso de coordenadas O uso de coordenadas homogêneas consiste em homogêneas consiste em representar um esparepresentar um espaçço o

2D imerso em um espa2D imerso em um espaçço o

3D3D..

Se tomarmos todas as triplas Se tomarmos todas as triplas ((txtx,,tyty,,twtw), ), ww≠≠00, que , que representam um mesmo representam um mesmo ponto, temos uma reta no ponto, temos uma reta no espaespaçço 3D.o 3D.

yy

xx

ww

((ttx,x,tyty,tw,tw))

((x,y,wx,y,w))



Os pontos da Os pontos da forma [forma [xx, , yy, , 11] ] formam um formam um plano com plano com coordenadas coordenadas ww==11 no espano espaçço o ((xx,,yy,,ww))..

((x,y,wx,y,w))

yy

xx

ww

w=1w=1

((x/w,y/w,1x/w,y/w,1))



Pontos são representados em coordenadas Pontos são representados em coordenadas homogêneas por vetores de 3 componentes.homogêneas por vetores de 3 componentes.

Logo, as matrizes de transformaLogo, as matrizes de transformaçção devem ser ão devem ser representadas por representadas por matrizes 3x3matrizes 3x3..

+

=

′

′

f

e

y

x

db

ca

y

x

=

′

′

11001

y

x

fdb

eca

y

x



yy

xx

ww

w=1w=1

tt

=

′

′

=

′

′=

1100

10

01

1

y

x

t

t

y

x

y

xp y

x



EscalaEscala

RotaRotaççãoão

CisalhamentoCisalhamento

=

1100

00

00

. y

x

s

s

xS y

x

−

=

1100

0cossin

0sincos

. y

x

xR θθ

θθ

θ

=

1100

01tan

0tan1

. y

x

xC ψ

γ



xx

yy

xx00

yy00

αα

xx

yy

xx

yy

αα

xx

yy

xx00

yy00

1 0

0 1

0 0 1

0

0

−

−

x

y

1 0

0 1

0 0 1

0

0

x

y

cos sin

sin cos

α α

α α

−

0

0

0 0 1

−

−

−

=

1100

10

01

100

0cossin

0sincos

100

10

01

1

'

'

0

0

0

0

y

x

y

x

y

x

y

x

αα

αα



TranslaTranslaçção em ão em OpenGLOpenGL

Translate {f,d} ( Tx, Ty, Tz ), onde:

Tx: translação do objeto em relação ao eixo X Ty: translação do objeto em relação ao eixo YTz: translação do objeto em relação ao eixo Z

glTranslatef(xf, yf, zf);

glBegin(GL_POLYGON);

glVertex2f( xf, yf);



glEnd();


RotaRotaçção em ão em OpenGLOpenGLRotate {f,d} (Angulo, x, y, z ), onde:

Angulo -> é o angulo de rotaçãox,y,z -> definem o eixo onde o objeto será rotacionadoexemplo:

glRotatef(45.0f,0.0f,0.0f,1.0f);

// roda 45 graus no eixo z





glEnd();


Escala em Escala em OpenGLOpenGL

Scale {f,d} ( Sx, Sy,Sz ), onde:

Sx: é o fator de escala em relação a X.Sy: é o fator de escala em relação a Y.Sz: é o fator de escala em relação a Z.

glScalef(1.0f,1.3f,1.0f);

//aumenta escala de 1.3 em relação a Y



glVertex2f(xf, yf);

glVertex2f(xf, yf);

glEnd();


ExercExercíício cio

Para as seguintes figuras: 1) Cubo centrado na origem de tamanho 3;2) Triangulo isósceles (2;2), (4;2), (3;6);3) Pentágono regular (1,54; 1,12), (0,59; 1,81), (-0,36; 1,12), (0;0) e (1.18; 0).Operar separadamente e desenhar o resultado para:- Translação de (2,-1);- Rotação em 60º;- Cisalhamento com ɣ = 30º;- Escalonamento em X = 1,05 e Y = 0,95.

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