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Tópicos de Lógica de 1ª ordem

Linguagens da Lógica Proposicional

Frases atómicas

Referência: Language, Proof and LogicJon Barwise e John Etchemendy, 1999

Capítulos: 18-19

Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-2

Formalizar semântica da LPO

Tratamento das noções semânticas da LPO

Proposicional 1ª Ordem

Tabela de verdade

Atribuições de verdade

Domínios de discurso

Estruturas de 1ª ordem

Informal

Formal

Atribuições de verdade: insuficientes para a semântica de frases quantificadas

x P(x)

x P(x)verdade não é função da verdade de outras frases


Representação rigorosa de um mundo

Estrutura de 1ª ordem:– especifica colecção de objectos como domínio de discurso– estabelece as propriedades dos objectos

Exemplo: sublinguagem da do Tarski´s World– Predicados Cube Larger =– Nomes c– Há número infinito de frases na linguagem

Descrever o mundo no que diz respeito à linguagem exemplo:– D={b1, b2, b3, b4} conjunto de objectos é domínio de discurso– Factos: acerca das propriedades que podem ser expressas

posição dos objectos: irrelevante, não se pode falar dela forma dos objectos: predicado Cube Cu={b1, b2, b3} subconjunto do domínio de discurso é extensão do predicado


MaryE.wld


Representação rigorosa de um mundo

Descrever o mundo(cont.)– posição dos objectos: é irrelevante, não há predicado que fale dela– tamanho dos objectos

La ={<b2,b1>, <b3,b1>, <b3,b2>, <b2,b4>, <b3,b4>} <x,y> pares em que x e y são elementos de D <x,y> La sse x é maior que y

– função de nomeação associa cada nome com o seu referente- objecto do domínio a que o nome

está associado

– identidade entre objectos- predicado = extensão fixada dado D {<b1,b1>, <b2,b2>, <b3,b3>, <b4,b4>}


Estrutura de 1ª ordem Agrupa

– domínio do discurso– extensões dos predicados– referentes dos nomes

Função única M (de modelo)– Domínio de M

predicados da linguagem nomes da linguagem símbolo de quantificador

– M() é o conjunto não vazio D- domínio do discurso– M(p) para cada predicado n-ário da linguagem

conjunto de tuplos <x1,x2,…, xn> de elementos de D - extensão de p

– M(c) para cada nome da linguagem é elemento de D - referente de c

Notação simplificadaM(Cube) - CubeM

M() - DM


Estruturas espúrias

Frases atómicas podem ser não independentes– há atribuições de verdade que não representam possibilidades genuínas– há estruturas de 1ª ordem que não representam possibilidades genuínas

Consideram-se apenas as estruturas que respeitam as relações entre frases atómicas

Exemplo: – acrescentando predicado Tet à linguagem exemplo– Estruturas em que um objecto esteja simultaneamente em TetM e em

CubeM: são espúrias


Verdade e satisfaçãox P(x) x P(x) Quando são verdadeiras? Informalmente:

– Satisfação de uma fórmula por um objecto c - novo nome S(c) quando é verdadeiro

Formalmente: nas estruturas de 1ª ordem– M: estrutura de 1ª ordem com domínio D– Atribuição de variáveis: função (parcial) h das variáveis para D– Exemplo: D={a,b,c}

h1 atribui b à variável x h2 atribui a,b,c às variáveis x,y,z respectivamente h3 atribui b a todas as variáveis da linguagem h4 é a função vazia (h)


Atribuição de verdade

Atribuição é apropriada para a wff P:– Todas as variáveis de P estão no domínio de h– No exemplo:

h1 é apropriada para qualquer wff com variável x, ou sem variáveis h2 é apropriada para qualquer wff com variáveis em {x,y,z} h3 é apropriada para todas as wff h4 é apropriada para wff’s sem variáveis livres

Modificação de uma atribuição de variáveis h– notação h[v/b]– atribuição cujo domínio é o de h acrescido da variável v – toma os mesmos valores que h, excepto para v– atribui a v o valor b


Exemplo

h1 atribui b à variável x– h1[y/c] atribui b à variável x e c à variável y– h1[x/c] só atribui valor a x e é c

h2 atribui a,b,c às variáveis x,y,z respectivamente– h2[x/b] atribui os valores b,b,c às variáveis x,y,z – h2[u/c] atribui os valores c,a,b,c às variáveis u,x,y,z

h3 atribui b a todas as variáveis da linguagem– h3[y/b] é a mesma atribuição que h3 – h3[y/c] atribui c à variável y e b às restantes


Satisfação em M com atribuição h

Satisfação da wff P na estrutura M com atribuição h– Fórmula atómica

Ex: P(x,c,y) h tem de atribuir elementos de D a x e y

h(x) = a h(y) = d M atribui a c uma denotação, seja b

Nesta estrutura e atribuição: P(x,c,y) afirma que o tuplo <a,b,d> está na extensão de P

<a,b,d> PM

h satisfaz P(x,c,y)– Negação

P é Q h satisfaz P sse h não satisfaz Q


Satisfação em M com atribuição h

Satisfação da wff P na estrutura M com atribuição h (cont.)– Conjunção

P é QR h satisfaz P sse h satisfaz Q e h satisfaz R

– Disjunção P é QR h satisfaz P sse h satisfaz Q ou h satisfaz R ou ambos

– Quantificação universal P é v Q h satisfaz P sse para todo o d DM h[v/d] satisfaz Q

– Quantificação existencial P é v Q h satisfaz P sse para algum d DM h[v/d] satisfaz Q

Notação:M |= P [h]


Exemplo D= {a,b,c} GostaM = {<a,a>, <a,b>, <c,a>} Fórmula:

y (Gosta(x,y) Gosta(y,y)) variável livre x– h tem de atribuir valor a x: senão seria inadequada

valor que h atribui a x: e (e tem de ser a, b ou c)

– por : h satisfaz P sse há um objecto d DM tal que h[y/d] satisfaz

Gosta(x,y) Gosta(y,y)

– por h[y/d] deve satisfazer Gosta(x,y) e não Gosta(y,y)

– fórmulas atómicas <e,d> deve estar na extensão de Gosta, mas <d,d> não verifica-se para e=a e d=b então h atribui a a x


Verdade numa estrutura de 1ª ordem

Verdade de uma frase numa estrutura de 1ª ordem M Frase P é verdadeira numa estrutura M sse a atribuição vazia

h satisfaz P em M– P não é verdadeira em M: P é falsa em M

M |= P P é verdadeira em M Verdade lógica

– L: Linguagem de 1ª ordem– S: colecção de todas as estruturas não espúrias para L– M S– P: frase de L– P é logicamente verdadeira se é verdadeira em toda a estrutura


Verdade e Consequência lógicas

– L: Linguagem de 1ª ordem– S: colecção de todas as estruturas não espúrias para L– M S– P: frase de L

P é logicamente verdadeira se é verdadeira em toda a estrutura M

P é satisfazível se é verdadeira em alguma estrutura M P é falsificável se é falsa nalguma estrutura M (se não é

logicamente verdadeira) Q é consequência lógica de um conjunto T={P1, …} de frases

se toda a estrutura M que torna todas as frases de T verdadeiras também torna Q verdadeira


Skolemização

Símbolos de função: evitam frases com quantificadores encaixados x y Vizinho(x,y) Para um domínio de discurso (estrutura M)

– frase afirma que todo o b no domínio tem pelo menos um vizinho c– M |= Vizinho(x,y) [b,c]– Sendo verdadeira a frase original: pode fazer-se função f de

“escolha do vizinho”– M |= Vizinho(x,y) [b,f(b)]– Na frase original: símbolo de função para a função f– M |= x Vizinho(x,f(x))

f é função de Skolem para a frase quantificada


Skolemização

Em geral

x y P(x,y)

x P(x,f(x)) forma Skolemizada

Todo o mundo que torna verdadeira a Skolemização torna verdadeira a frase original

Todo o mundo que torna verdadeira a frase inicial pode ser transformado num outro que torna a Skolemização verdadeira: interpretar o símbolo de função f por uma função f que escolhe, para todo o objecto b do domínio, um objecto c tal que satisfaçam P(x,y)


Unificação de termos

Aplicação: linguagens com símbolos de função Exemplo:

O pai do Rui anda de moto

Nenhum avô anda de moto

O avô do Zé anda de moto

Nenhum pai anda de moto

Exemplo:P(f(a)

x P(f(g(x)))

P(f(g(a)))

x P(f(x))

compatíveis

incompatíveis

possível: f(a) é P mas nenhum f(g(b)) é P

impossível: basta substituir x por g(a)


Unificação

f(a) e f(g(x)) não unificáveis

f(g(a)) e f(x) unificáveis

Definição de unificação– Termos t1 e t2 unificáveis se– Existe substituição de variáveis de t1 e t2 por termos tais que os

resultados da substituição são termos sintacticamente idênticos– Conjunto T de termos unificável se– Existe uma substituição única para algumas das variáveis que ocorrem

nos termos de T tal que os termos resultantes são todos sintacticamente idênticos

Noção puramente sintácticapai(Rui) e pai(pai(x)) não unificáveis

pai(pai(Rui)) e pai(y) unificáveis


Exemplos de unificação

g(x) h(y)

h(f(x,x)) h(y)

f(x,y) f(y,x)

g(g(x)) g(h(y))

g(x) g(h(z))

g(x) g(h(x))

Algoritmo de unificação: decide se 2 termos são unificáveis e dá o unificador mais geral caso sejam

Exemplo: (11.16)– Mostrar que há um número infinito de substituições que unificam

os termos g(f(x,y)) e g(f(h(y), g(z)))

Indicar a substituição mais geral.

Quais são unificáveis?Quais os unificadores?


Resolução em LPO Problema:

P1, …Pn premissas

Q conclusão

ReformulandoP1 ... Pn Q é não satisfazível

Resolução: requer frases sem quantificadores– Possível reformular fórmulas da LPO para aplicar resolução

Frase universal: forma prenex só com Exemplo: x y P(x,y) (S)

– linguagem só com 2 nomes: b e c; sem símbolos de função– P(b,b) P(b,c) P(c,b) P(c,c) (S’)

S satisfazível ˚ S’ satisfazível S’ não satisfazível ˚ S não satisfazível

Provar que Q é consequência lógica das

premissas


Resolução em LPO

1. Escrever cada frase em forma prenex

x1 y1 x2 y2 … P(x1, y1, x2, y2, …)

2. Skolemizar cada uma das frasesx1 x2 … P(x1, f1(x1), x2, f2(x1,x2), …)

3. Escrever o resultado em forma normal conjuntivaP1 P2 … Pn Pi: disjunção de literais

4. Distribuir os quantificadores pela conjunção e construir conjunto de frases da formax1 x2 … Pi

5. Renomear as variáveis ligadas para que não se use o mesmo nome 2 vezes

6. Abandonar os e ficando com conjunto de cláusulas

7. Resolver as cláusulas, usando a unificação para desfazer os conflitos entre literais


Exemplos

Exemplo 1x P(x,b)

y P(f(y), b)

Passo 6: unificando x e f(y) as 2 cláusulas resolvem para

Exemplo 2Premissa (A) x (P(x,b) Q(x))

Premissa (B) y (P(f(y), b) Q(y))

Conclusão(C) y (Q(y) Q(f(y)))

Forma prenex para C

y (Q(y) Q(f(y)))

Skolemizando

Q(c) Q(f(c))

mostrar que não são satisfazíveis simultaneamente

Mostrar que A B C não é satisfazível

c: função de Skolem de aridade 0


Exemplos

Exemplo 2 (cont.)Cláusulas a resolver

1. {P(x,b), Q(x)} (de A)

2. {P(f(y), b), Q(y)} (de B)

3. {Q(c)} (de C)

4. {Q(f(c))} (de C)

Resolventes Cláusulas Substituição

5. {Q(f(y)) , Q(y)} 1,2 x por f(y)

6. {Q(f(c))} 3,5 y por c

7. 4,6 ---


Exemplos

Exemplo 3Todos admiram alguém que os admira excepto se admirarem o S

Há pessoas que se admiram mutuamente, uma das quais pelo menos admira o Sx [A(x, s) y (A(x,y) A(y,x))] (S1)

x y [A(x, s) A(x,y) A(y,x)] (S2)

Provar: S2 consequência lógica de S1, ou

S1 e S2 não satisfazíveis simultaneamente

S2: x y [A(x, s) A(x,y) A(y,x)]

S1: x y [A(x, s) (A(x,y) A(y,x))] (Forma prenex)

x [A(x, s) (A(x,f(x)) A(f(x),x))] (Skolemização)

x [(A(x, s) A(x,f(x))) (A(x, s) A(f(x),x))](Forma clausal)


Exemplos

Exemplo 3 (cont.)Cláusulas a resolver

1. {A(x, s), A(x,f(x))} (de S1)

2. {A(y, s), A(f(y),y)} (de S1)

3. {A(z, s),A(z,w), A(w,z)} (de S2)

Resolventes Cláusulas Substituição

4. {A(s,f(s))} 1,3 w,x e z por s

5. {A(f(s),s)} 2,3 w,y e z por s

6. {A(s,f(s))} 3,5 z por f(s) e w por s

7. 4,6 ---


Completude

Métodos de prova: manipulações sintácticas num sistema formal

Coerência: Resultado de uma prova é consequência lógica das premissas

Completude: Se um facto é consequência lógica de um conjunto de premissas, pode encontrar-se uma prova para ele no sistema formal

Teorema da completude de Gödel Se numa linguagem de 1ª ordem não existem estruturas

espúrias, então é possível ter um sistema de inferência completo.


Incompletude

Linguagem com dependências complexas entre as frases atómicas: qualquer sistema de prova é necessariamente incompleto.

Exemplo: linguagem da aritmética.– Não existe sistema formal que permita derivar todos os teoremas da

aritmética

Teorema da Incompletude de Gödel– Sistema simbólico: codificável nos inteiros– Provas no sistema: números inteiros– Afirmações acerca de provas: afirmações acerca de inteiros– Usando a linguagem de 1ª ordem dos inteiros: podem fazer-se

afirmações acerca do que se pode provar.– G- fórmula que diz de si própria que não é derivável– G tem de ser verdadeira - não pode ser falsa num sistema coerente.

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