1 projeto dissertação v3e -...
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Mecânica
FLAVIO MITSUO NAKASHIMA
ESTUDO DOS EFEITOS DO TAMANHO E
DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA DE
PARTÍCULAS CILÍNDRICAS DE BAMBU SOBRE A
VELOCIDADE DE MÍNIMA FLUIDIZAÇÃO DE
MISTURAS CONTENDO AREIA COMO MATERIAL
INERTE
CAMPINAS
2018
FLAVIO MITSUO NAKASHIMA
ESTUDO DOS EFEITOS DO TAMANHO E
DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA
DEPARTÍCULAS CILÍNDRICAS DE BAMBU SOBRE A
VELOCIDADE DE MÍNIMA FLUIDIZAÇÃODE
MISTURASCONTENDO AREIA COMO MATERIAL
INERTE
Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica, na Área de Térmica e Fluidos
Orientador: Prof. Dr. Waldir AntonioBizzo
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO
FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA
PELOALUNO FLAVIO MITSUO NAKASHIMA E
ORIENTADA PELO PROF. DR WALDIR
ANTONIOBIZZO.
CAMPINAS
2018
Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.
Ficha catalográfica Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Rose Meire da Silva - CRB 8/5974
Nakashima, Flavio Mitsuo, 1959- N145e NakEstudo dos efeitos do tamanho e distribuição granulométrica de partículas
cilíndricas de bambu sobre a velocidade de mínima fluidização de misturas contendo areia como material inerte / Flavio Mitsuo Nakashima. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.
Nak Orientador: Waldir AntonioBizzo. Nak Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade
de Engenharia Mecânica.
Nak1. Leito fluidizado. 2. Misturas binárias. 3. Bambu - Aplicações. 4. Biomassa. 5. Fluidização. I. Bizzo, Waldir Antonio, 1955-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Estudo dos efeitos do tamanho e distribuição granulométrica de partículas cilíndricas de bambu sobre a velocidade de mínima fluidização de misturas contendo areia como material inerte Palavras-chave em inglês: Fluidized bed Binary mixtures Bamboo applications Biomass Fluidization Área de concentração: Térmica e Fluídos Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica Banca examinadora: Waldir AntonioBizzo[Orientador] Rogério Gonçalves dos Santos Katia Tannous Data de defesa: 11-12-2018 Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica Poweredby
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE ENERGIA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO
ESTUDO DOS EFEITOS DO TAMANHO E
DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA DE
PARTÍCULAS CILÍNDRICAS DE BAMBU SOBRE A
VELOCIDADE DE MÍNIMA FLUIDIZAÇÃO DE
MISTURAS CONTENDO AREIA COMO MATERIAL
INERTE
Autor: Flavio Mitsuo Nakashima Orientador: Prof. Dr. Waldir AntonioBizzo A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação: Prof. Dr. WaldirAntonioBizzo, Presidente Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas Prof. Dr. Rogério Gonçalves dos Santos Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas Prof. Dra. Katia Tannous Faculdade de Engenharia Química, Universidade Estadual de Campinas
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Campinas, 11 de dezembro de 2018.
Resumo
Misturas compostas por combustíveis sólidos (biomassas, carvão, xisto ou resíduos
sólidos) e areia tem merecido atenção crescente nas últimas décadas, por serem empregadas
em processos de geração de energia (combustão, pirólise ou gaseificação) utilizando a
tecnologia de leito fluidizado. Existem na literatura resultados da velocidade de mínima
fluidização (Umf) apresentando comportamentos diferentes em função de variáveis como
fração em massa e tamanho da partícula. Isto pode ser atribuído, principalmente, à grande
diversidade de formatos, dimensões, distribuição granulométrica e densidade das biomassas.
O objetivo deste trabalho foi determinar experimentalmente a influência do tamanho e
da distribuição granulométrica de partículas de bambu com diâmetro nominal de 2 mm e
comprimento nominal de 2, 4, 8 e 16 mm, adicionadas à 90% e 95% de areia, em massa.
Foram testadas sete misturas, sendo quatro compostas por areia e partículas de bambu com
diferentes proporções da relação comprimento/diâmetro 1, 2, 4 e 8, denominadas de misturas
1 a 4 e três misturas compostas por areia e bambu de um único comprimento em cada mistura
(comprimento/diâmetro 1, 2 e 8), denominadas de mistura ldc1, ldc2 e ldc8, respectivamente.
Os resultados experimentais mostraram que aUmfdas misturas aumenta com o aumento do
percentual de bambu na mistura de 5% para 10%, em massa. Considerando somente o valor
da grandeza da Umf, para a proporção de materiais 5% de bambu/95% de areia, as misturas
testadas apresentaram 91% de variação (relação entre o menor e o maior valor da Umf). Para a
proporção de materiais 10% de bambu/90% de areia, esta variação foi de94%. De forma geral,
esta ordem de grandeza de variação da Umf não é significativa para aplicações práticas de
engenharia, podendo se considerar que para as misturas estudadascom a proporção de
materiais 5% de bambu/95% de areia e para as misturas com a proporção de materiais 10% de
bambu/90% de areia, a Umf independe da distribuição granulométrica e do tamanho de
partículas. Uma análise dos detalhes dos resultados obtidos experimentalmente é apresentada,
em que se constata que as partículas de bambu presentes no leito exercem uma pequena
influência na Umfdevido à sua adição no leito com areia, e depende de parâmetros como
quantidade, distribuição granulométrica e tamanho de partícula.
Palavras-Chaves: fluidodinâmica de leitos fluidizados; misturas biomassa-areia; partículas
cilíndricas; velocidade de mínima fluidização; projeto de reatores de leitos fluidizados.
Abstract
Mixtures composed of solid fuels (biomasses, coal, shale or solid residues) and sand
have received increasing attention in the last decades, because they are used in processes of
generation of energy (combustion, pyrolysis or gasification) using fluidized bed technology.
There are in the literature results of the minimum fluidization velocity (Umf) presenting
different behaviors as a function of variables such as mass fraction and particle size. This can
be attributed, mainly, to the great diversity of formats, dimensions, particle size distribution
and biomass density.
The objective of this work was to determine the influence of size and particle size
distribution of bamboo particles with nominal diameter of 2 mm and nominal length of 2, 4, 8
and 16 mm, added to 90% and 95% sand, by weight. Seven blends were tested, four of which
were composed of sand and bamboo particles with different proportion of the relation length/
diameter = 1, 2, 4 and 8, named as mixtures 1 to 4 and three mixtures composed of sand and
bamboo particles with only one length in each mixture (length/ diameter = 1, 2 and 8), called
as mixture ldc1, ldc2 and ldc8, respectively. Experimental results showed that the Umf of the
mixtures increases with increasing percentage of bamboo in the mixture from 5% to 10% by
weight. Considering only the value of the magnitude of the Umf, for the proportion of
materials 5% bamboo/95% sand, the mixtures tested showed 91% variation (relation between
the lowest and highest value of Umf). For the proportion of materials 10% bamboo/90% sand,
this variation was 94%. In general, this order of magnitude of variation of the Umf is not
significant for practical engineering applications, and it may be considered that for the
mixtures studied with the proportion of materials 5% bamboo/95% sand and for the mixtures
with the proportion of materials 10% bamboo/90% sand, the Umf is independent of particle
size distribution and particle size. Itis presented an analysis of the details of the results
obtained experimentally, in which it is observed that the bamboo particles present in the bed
exert a small influence on the Umf resulting from its addition in the bed with sand, and it
depends on parameters like quantity, particle size distribution and particle size.
Keywords: fluid dynamics of the fluidized bed; biomass-sand mixtures; cylindrical particles;
minimum fluidization velocity; design of fluidized bed reactors.
Lista de ilustrações
Figura 1 - Exemplo de uma partícula com o seu diâmetro circunscrito (dCC) e o inscrito (dCI)
.................................................................................................................................................. 22
Figura 2 - Vista de cima da tela da peneira - bambu ................................................................ 28
Figura 3 - Vista da parte inferior da tela da peneira - bambu ................................................... 28
Figura 4 - Abertura da peneira das fotos 2 e 3 - bambu............................................................ 29
Figura 5 - Exemplo da diversidade de tamanhos encontrados no fundo da peneira - bambu .. 29
Figura 6 - Exemplo de uma partícula indicando as partes correspondentes a nomenclatura
utilizada na definição das densidades ....................................................................................... 31
Figura 7 – Procedimento para determinação da velocidade de mínima fluidização. ............... 40
Figura 8 – Representação dos parâmetros característicos na curva fluidodinâmica ................ 41
Figura 9 – Máquina para corte do bambu ................................................................................. 48
Figura 10 – Fotos dos materiais testados .................................................................................. 49
Figura 11 - Foto ampliada da areia utilizada nos testes ............................................................ 49
Figura 12 - Classificação de Geldart das partículas de bambu (vermelho) e da areia (azul) ... 50
Figura 13 - Sistema experimental ............................................................................................. 54
Figura 14 - Distribuição das misturas de bambu testadas (marcadores quadrados) comparada
com a distribuição de Rosin, Rammler e Bennet (linha azul) .................................................. 59
Figura 15 – Exemplo de curva fluidodinâmica de mistura de bambu acrescida à areia........... 61
Figura 16 - Curva típica do diferencial de pressão na placa porosa ......................................... 64
Figura 17 - Diâmetro característico em função da relação l/dc ................................................ 71
Figura 18 – Diminuição da porosidade no leito: quantidade de partículas de areia e vazios
substituídos por uma partícula de bambu ................................................................................. 76
Figura 19 - Regime de leito totalmente fluidizado – bambu com l/dc=1 ................................. 78
Figura 20 - Regime de leito totalmente fluidizado – bambu com l/dc=2 ................................. 78
Figura 21 - Regime de leito totalmente fluidizado – bambu com l/dc=4.................................. 78
Figura 22 - Regime de leito totalmente fluidizado – bambu com l/dc=8.................................. 79
Figura 23 - Regime de leito fixo com formaçao de canais preferenciais – bambu com l/dc=8 79
Figura 24 - Curva fluidodinâmica das partículas de bambu com l/dc=1 .................................. 80
Figura 25 - Curva fluidodinâmica das partículas de bambu com l/dc=2 .................................. 80
Figura 26 - Curva fluidodinâmica das partículas de bambu com l/dc=4 .................................. 81
Figura 27 - Curvas fluidodinâmicas das partículas de bambu com l/dc=1, 2 e 4 ..................... 81
Figura 28 - Umf das partículas de bambu em função da esfericidade ....................................... 84
Figura 29 - Umf das partículas de bambu em função do diâmetro característico ...................... 84
Figura 30 - Umf das partículas de bambu em função da relação do comprimento sobre o
diâmetro característico .............................................................................................................. 85
Figura 31 - Comparação da curva fluidodinâmica da areia e das misturas de bambu (5% em
massa) adicionadas à areia (95% em massa) (misturas 1 a 4) .................................................. 87
Figura 32 - Comparação da curva fluidodinâmica da areia e das misturas de bambu (5% em
massa) adicionadas à areia (95% em massa) (misturas ldc1, ldc2 e ldc8) ............................... 87
Figura 33 - Comparação da curva fluidodinâmica da areia e das misturas de bambu (10% em
massa) adicionadas à areia (90% em massa) (misturas 1 a 4) .................................................. 88
Figura 34 - Comparação da curva fluidodinâmica da areia e das misturas de bambu (10% em
massa) adicionadas à areia (90% em massa) (misturas ldc1, ldc2 e ldc8) ............................... 88
Figura 35 - Curvas fluidodinâmicas da mistura 1 .................................................................... 90
Figura 36 - Curva fluidodinâmica da mistura 2 ........................................................................ 90
Figura 37 - Curvas fluidodinâmicas da mistura 3 .................................................................... 91
Figura 38 – Curvas fluidodinâmicas da mistura 4 .................................................................... 91
Figura 39 – Curvas fluidodinâmicas da mistura ldc1: bambu com l/dc=1 adicionada à areia.. 92
Figura 40 – Curvas fluidodinâmicas da mistura ldc2: bambu com l/dc=2 adicionada à areia.. 92
Figura 41 – Curvas fluidodinâmicas da mistura ldc8: bambu com l/dc=8 adicionada à areia.. 93
Figura 42 - Misturas de bambu adicionadas à areia e suas Umf com suas incertezas ............... 98
Figura 43 - Misturas de bambu adicionadas à areia e suas Ufi com suas incertezas ................ 99
Figura 44 – Misturas de bambu adicionadas à areia e suas Ufc com suas incertezas ............... 99
Figura 45 – Umf em função da quantidade de partículas de bambu ........................................ 101
Figura 46 – Coeficiene de arraste de cilindro liso e esfera (fonte: Schlichting, H. Boundary
Layer Theory, 7a ed.) .............................................................................................................. 103
Figura 47 - Efeito da partícula de bambu na velocidade do ar entre as partículas de areia, que
estão ao seu redor ................................................................................................................... 103
Figura 48 - Efeito do comprimento da partícula de bambu na velocidade máxima junto ao seu
contorno e entre as partículas de areia, que estão ao seu redor .............................................. 104
Figura 49 – Diferentes casos do perfil de velocidades do ar entre as partículas de areia, com o
aumento da quantidade de partículas de bambu do caso (1) para o caso (4). ......................... 106
Figura 50 – Valores da relação Umf /n (Umf obtida experimentalmente) em função da
quantidade de partículas (n). ................................................................................................... 110
Figura 51 – 10% em massa da mistura de bambu .................................................................. 111
Figura 52 - 10% em massa da mistura de bambu e 90% em massa de areia – mistura 3 ....... 111
Figura 53 – Exemplo das curvas de ajuste aos pontos experimentais .................................... 114
Figura 54 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura 1 .............................................. 115
Figura 55 - Regime de leito fixo - mistura 1 .......................................................................... 115
Figura 56 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura 2 .............................................. 116
Figura 57 - Regime de leito fixo - mistura 2 .......................................................................... 116
Figura 58 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura 3 .............................................. 116
Figura 59 - Regime de leito fixo - mistura 3 .......................................................................... 116
Figura 60 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura 4 .............................................. 117
Figura 61 - Regime de leito fixo - mistura 4 .......................................................................... 117
Figura 62 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura ldc2 ......................................... 117
Figura 63 - Regime de leito fixo - mistura ldc2 ..................................................................... 117
Figura 64 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura ldc8 ......................................... 118
Figura 65 - Regime de leito fixo - mistura ldc8 ..................................................................... 118
Figura 66 – Umf para 5% de misturas de bambu acrescidas à 95% de areia (percentuais em
massa) obtidas experimentalmente e calculadas através de correlações da literatura ............ 120
Figura 67 – Umf para 10% de misturas de bambu acrescidas à 90% de areia (percentuais em
massa) obtidas experimentalmente e calculadas através de correlações da literatura ............ 121
Lista de tabelas
Tabela 1 - Valores da esfericidade para partículas cilíndricas, conforme diferentes métodos de
cálculo ....................................................................................................................................... 25
Tabela 2 – Correlações da literatura utilizadas para comparação dos resultados experimentais
.................................................................................................................................................. 37
Tabela 3 – Valores das massas dos testes efetuados com cada material (kg) ........................... 56
Tabela 4 – Parâmetros k e xo da distribuição de Rosin, Rammler e Bennet de referência para
comparação com a distribuição granulométrica das misturas 1 a 4 ......................................... 59
Tabela 5 - Composição das misturas de bambu com areia testadas (percentual em massa de
cada componente) ..................................................................................................................... 60
Tabela 6 - Composição das misturas de bambu com areia testadas (percentual em massa de
cada componente) ..................................................................................................................... 60
Tabela 7 - Identificação das cores e descrição das características apresentadas na Figura 15 . 61
Tabela 8 - Características das partículas de areia ..................................................................... 66
Tabela 9 - Características das partículas de bambu testadas .................................................... 67
Tabela 10 - Porosidade do leito fixo das partículas de bambu ................................................. 68
Tabela 11 - Esfericidade calculada pela geometria do bambu (∅) comparada com a
esfericidade efetiva (obtida pela curva fluidodinâmica - ∅exp) ................................................. 69
Tabela 12 - Densidade envelopada do bambu (ρenv) ................................................................. 70
Tabela 13 - Diâmetro equivalente das misturas de bambu adicionadas à areia ........................ 72
Tabela 14 – Fração em massa das misturas de bambu ............................................................. 73
Tabela 15 - Número de partículas das misturas de bambu adicionadas à 90% e 95% de areia 74
Tabela 16 - Esfericidade das misturas de bambu adicionadas à 90% e 95% de areia (em
massa) ....................................................................................................................................... 75
Tabela 17 - Velocidade de mínima fluidização das partículas de bambu, faixa de variação de
Redsv e forma da curva de ajuste do regime de leito fixo .......................................................... 82
Tabela 18 - Velocidade de mínima fluidização das partículas de areia, faixa de variação de
Redsv e forma da curva de ajuste do regime de leito fixo .......................................................... 82
Tabela 19 - Identificação das cores utilizadas nas figuras ........................................................ 89
Tabela 20 - Velocidades características das misturas testadas .................................................. 98
Tabela 21 - Percentual da variação das velocidades características (Umf, Ufi e Ufc) com o
aumento do percentual de bambu de 5% para 10% na mistura .............................................. 100
Tabela 22 – Classificação das misturas, quanto ao perfil de velocidade do ar escoando entre as
partículas de areia, que se encontram próximas as partículas de bambu ................................ 106
Tabela 23 – Relação entre a variação na Umf da mistura areia e bambu e a variação na
quantidade de partículas de bambu, ocorrida com o aumento na proporção de materiais de
5/95 para 10/90 ....................................................................................................................... 107
Tabela 24 – Umf por partícula das misturas 5 a 7 – proporção de materiais 5/95 ................... 108
Tabela 25 – Umf estimada das misturas 1 a 4 tendo como base a relação Umf/n das misturas 5 a
7 (Tabela 24) – proporção de materiais 5/95 .......................................................................... 108
Tabela 26 – Umf por partícula das misturas 5 a 7 – proporção de materiais 10/90 ................. 109
Tabela 27 – Umf estimada das misturas 1 a 4 tendo como base a relação Umf/n das misturas 5 a
7 (Tabela 26) – proporção de materiais 10/90 ........................................................................ 109
Tabela 28 - Número de Reynolds do escoamento no regime de leito fixo para as misturas
testadas ................................................................................................................................... 112
Tabela 29– Comparação dos valores da Umf obtidos considerando-se somente o termo do
primeiro grau da equação do segundo grau ............................................................................ 113
Tabela 30 - Equações utilizadas para cálculo da Umf sem o termo do segundo grau .............. 114
Tabela 31 - Identificação das cores e descrição das características apresentadas nas curvas
fluidodinâmicas ...................................................................................................................... 131
Lista de Abreviaturas e Siglas
Letras latinas
A Área superficial [m2]
Ar Número de Arquimedes= [-]
D Diâmetro do leito [m]
Dtubo Diâmetro do tubo de medição da vazão [m]
dc Diâmetro da partícula cilíndrica [m]
dp Diâmetro da partícula [m]
dpi Diâmetro da partícula retida na peneira i [m]
g Aceleração da gravidade [m/s2]
G Vazão em massa [kg/s]
H Altura do leito [m]
k parâmetro da distribuição de Rosin, Rammler e Bennet [-]
l/dc Razão entre o comprimento e o diâmetro da partícula cilíndrica [-]
l Comprimento da partícula cilíndrica [m]
m Massa [kg]
P2 Diferencial de pressão na placa porosa e do material no leito [Pa]
Patm Pressão atmosférica [Pa]
Pfc Diferencial de pressão da placa porosa e do material no leito,
no regime de leito totalmente fluidizado [Pa]
Pmont Pressão à montante da placa de orifício [Pa]
PwL Pressão exercida pelo peso do material no leito [Pa]
Ra Constante universal dos gases ideais [J/kg.K]
Re Número de Reynolds, 𝑅𝑒 = [-]
Ufi Velocidade defluidização iminente [m/s]
Umf Velocidade de mínima fluidização [m/s]
Ufc Velocidade de fluidização completa [m/s]
Uo Velocidade superficial do gás [m/s]
Us Velocidade de segregação [m/s]
V Volume [m3]
w Peso das partículas [N]
x Fração em massa [-]
Letras gregas
α Fração volumétrica [-]
ΔP Diferencial de pressão [Pa]
ε Porosidade do leito de partículas [-]
µ Viscosidade dinâmica do gás [kg / m s]
ρ Massa específica ou densidade [kg/m3]
ρf Densidade aparente da partícula do componente
“flotsam” da mistura [kg/m3]
ρj Densidade aparente da partícula do componente
“jetsam” da mistura [kg/m3]
σ Desvio padrão, 𝜎 = ∑(𝑦 − 𝑦)
ϕ Esfericidade [-]
Subscritos
a Ar
ap Aparente
c Cilindro
d Distribuidor de gás (placa porosa)
e Equivalente
esf Esfera
env Envelopado
f Componenteflotsam na mistura (tendência a flutuar)
fc Fluidização completa
fi Fluidização iminente
j Componentejetsam na mistura (tendência a decantar)
ef Efetivo
g Gás
heq Hidrodinâmico equivalente
L Leito
LF Leito fixo
M Mistura
mat Materialou materiais ensaiados
mf Mínimafluidização
or Medidor de placa de orifício
p Partícula
pp Placa porosa
s Superficial
sv Superficial e volumétrico (Sauter)
t Terminal
tot Total
tubo Tubo onde foi medida a vazão
v Volumétrico
Sumário
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 17
1.2 Objetivos .................................................................................................................... 20
2. REVISÃO DA LITERATURA ......................................................................................... 21
2.1 Esfericidade ............................................................................................................... 21
2.2 Distribuição granulométrica e dimensão característica da partícula.......................... 25
2.3 Densidade ................................................................................................................... 30
2.4 Porosidade do leito ..................................................................................................... 32
2.5 Correlações da literatura para determinação da Umf de misturas com 2 materiais distintos ................................................................................................................................. 33
3. MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................................. 48
3.1 Caracterização dos materiais ..................................................................................... 48
3.2 Sistema experimental ................................................................................................. 53
3.3 Procedimento experimental e velocidades características ......................................... 54
3.3.1 Ensaios realizados com cada material individualmente............................................... 56
3.3.2 Ensaios realizados com misturas de bambu adicionados à areia ................................. 57
3.3.3. Construção da curva fluidodinâmica .......................................................................... 61
4. RESULTADOS e DISCUSSÕES ..................................................................................... 66
4.1 Caracterização dos materiais ..................................................................................... 66
4.1.1 Caracterização das partículas de bambu e da areia ...................................................... 66
4.1.2 Caracterização das misturas de bambu ........................................................................ 71
4.1.3 Porosidade do leito de areia com o acréscimo de partículas de bambu ....................... 75
4.1.4 Altura teórica do leito de partículas contendo areia e bambu comparado com o leito formado somente por partículas de areia .............................................................................. 76
4.2 Resultados e comentários dos ensaios fluidodinâmicos realizados com cada material individualmente .................................................................................................................... 77
4.2.1 Curvas fluidodinâmicas e velocidades características ................................................. 77
4.2.3 Variação da Umf das partículas de bambu com a esfericidade, diâmetro característico e relação comprimento sobre diâmetro característico ............................................................. 83
4.3 Resultados dos ensaios fluidodinâmicos realizados com misturas de bambu adicionadas à areia ................................................................................................................ 86
4.3.1 Curvas fluidodinâmicas e velocidades características ................................................. 86
4.3.3 Comparação da Umfdas misturas de bambu adicionadas a areia com as obtidas por correlações da literatura ...................................................................................................... 119
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES ................................................................................... 122
APÊNDICE A - RESULTADOS DOS TESTES FLUIDODINÂMICOS ............................. 131
APÊNDICE B – CÁLCULO E PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS .................................. 171
APÊNDICE C – FÓRMULAS UTILIZADAS PARA PARTÍCULAS CILÍNDRICAS ...... 199
APÊNDICE D – DISTRIBUIÇÃO DE ROSIN, RAMMLER E BENNET........................... 206
APÊNDICE E – VALORES DAS DIMENSÕES DOS MATERIAIS UTILIZADOS ......... 214
17
1. INTRODUÇÃO
Diante da grande produção agrícola do país, tem-se a consequente produção em larga
escala de resíduos agrícolas. A tecnologia da combustão em leito fluidizado é uma alternativa
viável para uso destes resíduos, possibilitando a produção de energia renovável. Isto
possibilita uma destinação adequada de tais resíduos e importante contribuição e
diversificação para a matriz energética do país.
Através do entendimento do fenômeno da fluidização, dos seus fundamentos, da
influência das características dos materiais envolvidos, bem como a metodologia para
determinação de tais características, será possível desenvolver melhorias e inovações no
processo, além de visualizar novas aplicações desta tecnologia.
No estudo do fenômeno da fluidização, é importante o conhecimento das características
relativas ao leito de partículas, na condição em que a força de arraste sobre elas se iguala com
o seu peso, pois esta caracteriza o início do comportamento das partículas do leito semelhante
à de um fluido. A velocidade superficial mínima em que ocorre esta condição é denominada
de “velocidade de mínima fluidização (Umf)” (Gupta e Sathiyamoorthy, 1999;Oka,
2004;Gibilaro, 2001;Kunii e Levenspiel, 1991; Yang, 2003). Para alguns materiais, esta
condição corresponde a velocidade de fluidização completa, como será discutido no presente
trabalho.
As propriedades do leito nacondição de mínima fluidizaçãofornece parâmetros
fundamentais para o projeto de equipamentos que operam com a tecnologia de leito
fluidizado, como, por exemplo, a seleção da velocidade superficial do gás a ser utilizada no
processo,o que determina a geometriado leito e as características dos equipamentos que
compõe o sistema de fluidização. Além disso, é condição utilizada para a estimativa, através
de correlações da literatura, de outros parâmetros de projeto como diâmetro das bolhas
presentes no leito, expansão do leito, perfis de concentração de partículas na coluna,
coeficientes de transferência de calor e massa e outros (Yang, 2003; Geldart, 1986; Kunii e
Levenspiel, 1991; Oka, 2004).
A Umfdepende das propriedades das partículas (esfericidade,tamanho,
densidadeaparenteda partícula e densidade “bulk” do material particulado), da porosidade,
altura e diferencial de pressão do leito na condição de mínima fluidização edas propriedades
do fluido (densidade e viscosidade).No caso de misturas de materiais diferentes, a Umf
18
também depende da composição da mistura, representada pela sua fração mássica ou
volumétrica de cada componente.
Estudos envolvendo misturas de dois materiais diferentes com diferença de tamanho
e/ou densidade, foram realizados por diversos pesquisadores como Chen e Keairns (1975) e
Chibaet al. (1979). Os resultados obtidos por estes pesquisadores mostraram a existência de
uma região de transição entre o regime de leito fixo e o regime de leito totalmente fluidizado.
A velocidade superficial do final do regime de leito fixo foi denominada de velocidade de
fluidizaçãoiminente (Ufi)e a velocidade superficial, de início do regime de leito totalmente
fluidizado, de velocidade de fluidização completa (Ufc). Na velocidade de fluidização
iminente (Ufi) as partículas estão na iminência de fluidizar, ou ocorre o início de alterações na
porosidade do leito no regime de leito fixo, que provoca mudança no comportamento do
diferencial de pressão no leito em função da velocidade superficial. Em velocidades do gás
inferiores a Ufi a mistura encontra-se no regime de leito fixo.Experimentalmente a Ufi
corresponde a velocidade em que a inclinação da curva do leito fixo é alterada. Em
velocidades superficiais a partir da Ufco leito encontra-se totalmente fluidizado (regime de
leito totalmente fluidizado)e o diferencial de pressão no leito oscila em torno do valor
correspondente a pressão exercida pelo material no leito.
Existem na literatura (Paudel e Feng, 2013; Chok et al., 2010; Lourenço e Tannous,
2012; Zhonget al., 2008) resultados da velocidade de mínima fluidização(Umf), para misturas
envolvendo biomassa e material inerte, apresentando comportamentos diferentes em função
de variáveis como fração em massa e tamanho da partícula. Isto se deve, principalmente, à
grande diversidade de formatos, dimensões, distribuição granulométrica e densidade das
biomassas. Com o objetivo de analisar este fato, efetuou-se a classificação das biomassas pelo
seu formato, sendo objeto do presente trabalho as partículas cilíndricas. Tais biomassas
podem serbagaço de cana (parte fibrosa), palha de arroz, palha de trigo, bambu, etc., as quais
são comumente observadas em leitos contendo biomassas moídas.
Partículas cilíndricas vem sendo objeto de estudo de diversos autores nas últimas
décadas, pois, na literatura existente, diversos são os estudos que abordam o comportamento e
modelagem de partículas esféricas na fluidização e combustão, mas são poucos os destinados
para partículas cilíndricas (Qi, 2001;Bonefacicet al., 2015; Cai et al., 2012).
A maioria dos autores concorda em atribuir a ocorrência da estratificação de partículas
durante a fluidização de um sistema binário à ação das bolhas que começam a fluir através do
leito. Esta interpretação foi proposta, primeiramente, por Gibilaro e Rowe (1974) os quais
salientaram que o material com tendência a emergir no leito, chamado de “flotsam”, é
19
arrastado pelas bolhas e acumula-se no topo do leito, enquanto o outro sólido, chamado de
“jetsam”, tende a imergir. A segregação de uma mistura de materiais pode ocorrer devido à
diferença de tamanho ou de densidade das partículas ou devido à ambos.
Os resultados experimentais serão comparados com correlações publicadas na literatura
com as seguintes características:
- Correlações que possuem a forma geral 𝐴𝑅𝑒 + 𝐵𝑅𝑒 = 𝐴𝑟. Esta forma de correlação
está baseada na de Ergun (1952),que se refereao regime de leito fixo, sendo igualada a pressão
exercida pela massa das partículas no leito, na condição de mínima fluidização. Possui um
termo inercial (𝐴𝑅𝑒 ), proporcional ao quadrado da velocidade do fluido e um termo
viscoso (𝐵𝑅𝑒 ) que varia linearmente com a velocidade superficial do fluido. Nessa equação
A e Bsão constantes ou parâmetros determinados a partir das características dos componentes
da mistura, Remf é o número de Reynolds, com a dimensão característica da partícula, na
condição de mínima fluidizaçãoe Aré o número de Arquimedes. Algumas correlações desse
grupofacilitam a estimativa da Umf, pois não necessitam da medida da porosidade do leito e da
esfericidade das partículas (Paudele Feng, 2013; Rao et al.,2001; Si e Guo, 2008), o que torna
o seu uso muito vantajoso, pois estes parâmetros são difíceis de serem medidos com exatidão
experimentalmente.
- Correlações que levam em consideração a Umf dos componentes individuais presentes na
mistura(Cheunget al., 1974; Bilbao et al., 1987).
- Outros formatos da equação da correlação (Oliveira et al., 2013).
Este trabalho pretende avaliar os efeitosdo tamanho e da distribuição granulométricade
partículas cilíndricas de bambusobre a velocidade de mínima fluidização de misturasde
bambucom areia, sendo este o principal componente (90% e 95% em massa). Os resultados
obtidos visam contribuir para o entendimento da fluidodinâmica de leitos fluidizados
contendo estas misturas e biomassas com formato cilíndrico.
20
1.2 Objetivos
O objetivo geral deste trabalhofoi verificar a dependência do tamanho e da distribuição
granulométrica das partículas de bambuadicionadas à areia sobre a sua Umf.Para analisar o
efeito da distribuição granulométrica foram estudadas 4 misturas de partículas cilíndricas de
bambu com o mesmo diâmetro médio de Sauter, adicionadas à 90% e 95% em massa de
areia.Para analisar o efeito do tamanho da partícula foram estudadas partículas de bambu com
l/dc=1, 2 e 8, sendo, cada uma delas, adicionadas a 90% e 95% em massa de areia.
21
2. REVISÃO DA LITERATURA
Nesta seção será apresentada a revisão de literatura relativa a caracterização de
materiais com formato alongado e correlações da literatura para determinação de Umf de
misturas com diferentes materiais.
2.1 Esfericidade
O objetivo da esfericidade é comparar a forma da partícula analisada com relação à
esférica. Assim, uma partícula com a forma semelhante à esfera possui esfericidade próxima
da unidade. É um fator de forma, existindo outros, tais como índice de arredondamento
(“roundness”), grau de circularidade (“circularitydegree”), fator de forma volumétrico, etc. É
definida como a razão entre a área superficial da esfera (Aesf) e a área superficial da partícula
(Ap), sendo o diâmetro da esfera determinado como tendo o mesmo volume da partícula em
questão (Wadell, 1933), conforme Eq. (1).
∅ =𝐴
𝐴
(1)
A expressão da esfericidade conforme Eq. (1)foi denominada por Wadell (1933) de grau
de esfericidade verdadeira (“degreeoftruesphericity”), sendo, no presente trabalho,
referenciado somente como esfericidade. A obtenção da esfericidade conforme definição de
Wadell (1933) é chamada de metodologia tridimensional.Wadell (1933) efetuou testes com
partículas de quartzo e utilizou o método da projeção para determinação da esfericidade,
constatando que para este caso, o valor assim obtido é próximo dos valores conforme sua
definição. A utilização do método da projeção por Wadell, mostra que a esfericidade
considera a superfície e volume envelopados. Isto também pode ser concluído pelos
procedimentos para obtenção da esfericidade citados nos trabalhos de Riley (1941) e
Massarani e Peçanha (1986).
22
Outros métodos para determinação da esfericidade são:
- esfericidade efetiva, obtida experimentalmente (Kunni e Levenspiel, 1991)
- esfericidade bidimensional ou de projeção (Riley, 1941;Massarani e Peçanha, 1986).
Kunni e Levenspiel (1991) recomendam obter a esfericidade experimentalmente, sendo
estadenominada pelos autores de esfericidade efetiva.Para sua obtenção, considera-se os
valores experimentais do regime de leito fixo do leito de partículas, obtendo-se a sua curva
fluidodinâmica, exemplificadana Figura 8.Como valor definido da dimensão característica e
determinando-se a porosidade do leito, substituir estes valores na correlação de Ergun(Eq.
2.5.5). A correlação de Ergun descreve o comportamento do leito de partículas no regime de
leito fixo. Este procedimento proposto pelos autores pressupõe que a correlação de Ergun
descreve com exatidão o comportamento do regime de leito fixo das partículas e, no caso de
um material polidisperso ou mistura de materiais diferentes, o resultado obtido será uma
esfericidade que representa as diversas partículas que compõe o leito.
Riley (1941) propôs uma correlação para esfericidade que fosse, conforme descreve,
“um método rápido especialmente adaptado para partículas do tamanho da areia”. Relata
que existem duas classes para análise de partículas individuais com relação a esfericidade:
metodologia tridimensional e metodologia bidimensional ou de projeção. A correlação
proposta por ele é para a metodologia de projeção. Foi baseada na correlação de Wadell
(1933). Consiste na razão entre o diâmetro inscrito (dCI) e o circunscrito (dCC) da partícula,
conformemostrada na Figura 1 e Eq. (2).
Figura 1- Exemplo de uma partícula com o seu diâmetro circunscrito (dCC) e o inscrito (dCI)
23
∅ = 𝑑
𝑑
(2)
Outro método para cálculo da esfericidade foiproposto por Massarani e Peçanha (1986),
Eq. (3), para esfericidade de projeção. Foi desenvolvida com base na análise de itabirito, dois
tipos de areia e carvão mineral.
∅ =𝑑
𝑑
(3)
A esfericidade deve ser considerada em conjunto com outras informações sobre a
partícula, pois é possível que partículas possuam a mesma esfericidade e tenham formas
distintas (Kunii e Levenspiel, 1991). Além disso,partículas com a mesma esfericidade e
formas diferentes podem ter características fluidodinâmicas distintas, como por exemplo,
aUmf, o que pode ser visto no trabalho de Liu et al. (2008).
O que dificulta o cálculo da esfericidade é a obtenção da área superficial de partículas
com superfície irregular (Yang, 2003). Além disto, materiais como as biomassas, por
exemplo, são constituídos de partículas que possuem formas diferentes, resultando em
diversos valores de esfericidade, fazendo com que seja necessário definir um critério para
obtenção de uma esfericidade média, que caracterize o material.
Para geometrias regulares, a esfericidade, conforme definição de Wadell (1933)
(metodologia tridimensional), pode ser calculada. Assim, para partículas cilíndricas, a
esfericidade é calculada pela Eq.(4).
∅ =(1,5𝑑 )
+ 𝑑 𝑙
(4)
Para mistura de partículas cilíndricas com tamanhos diferentes, a esfericidade da
mistura (𝜙M), conforme definição de Wadell (1933), é calculada pela Eq. (5), conforme
24
mostrado no Apêndice C. A quantidade total de partículas na mistura (ntot) é calculada
conforme Eq. (6). A massa total de partículas na mistura (mtot) é um dado do ensaio a ser
executado. Aie ni são, respectivamente, a área superficial envelopada e a quantidade
correspondente acada tamanho de partícula cilíndrica na mistura.
∅ =𝑛
/𝜋
∑ 𝐴 𝑛
6
𝜋
𝑚
𝜌 ,
/
(5)
A quantidade total de partículas (ntot) com diâmetro do cilindro (dc,i), comprimento (li),
massa (mi) e densidade envelopada (ρenv,i) correspondentes, é calculada conforme Eq(6).
𝑛 = 𝑛 =4
𝜋
𝑚
𝜌 , 𝑑 , 𝑙
(6)
A área superficial envelopada da partícula (Ai) com diâmetro do cilindro (dc,i) e seu
comprimento (li) correspondentes, é calculada conforme Eq(7).
𝐴 =𝜋𝑑 ,
2+ 𝜋𝑑 , 𝑙
(7)
É importante ressaltar que pelos métodos citados, a esfericidade pode resultar em
valores diferentes. Como exemplo, estão calculados naTabela 1os valores da esfericidade para
partículas cilíndricas utilizadas no presente trabalho.
Formisaniet al. (2008)consideraram a esfericidade como fator de forma em seu trabalho
e concluíram que as esfericidades das partículas que compõem a mistura são parâmetros, entre
outros analisados, que interferem no fenômeno da segregação-mistura.Backreedyet al. (2005)
estudaram a modelagem da combustão de carvão pulverizado e biomassa. A esfericidade foi
utilizada para cálculo do coeficiente de arraste da partícula. Isto foi feito, segundo os autores,
porque a combustão da biomassa mantém seu formato irregular no início do processo de
25
perda dos seus componentes voláteis.Gabito e Tsouris (2007) concluíram que, ao invés da
esfericidade, a relação entre o comprimento (l) e o diâmetro da partícula cilíndrica (dc), l/dc, é
o parâmetro que melhor representa o comportamento fluidodinâmico de partículas com forma
alongada.Nikkuet al. (2014) relatam que para uma análise sistemática de partículas não
esféricas e irregulares como a biomassa, é necessário a análise tridimensional do formato e
tamanho, apesar da dificuldade de sua execução.
Tabela 1 - Valores da esfericidade para partículas cilíndricas, conforme diferentes métodos de cálculo
Referência l/dc 1 2 4 8
Riley (1941) – esfericidade projetada
0,841 0,669 0,492 0,352
Massarani e Peçanha (1986) – esfericidade projetada
0,707 0,447 0,243 0,124
Wadell (1933) – esfericidade tridimensional
0,874 0,832 0,734 0,617
Kunii e Levenspiel (1991) – esfericidade efetiva
0,70±0,03 0,70±0,02 0,62±0,04 -
2.2 Distribuição granulométrica e dimensão característica da partícula
Caracterizar uma mistura de partículas formadas por um ou diversos materiais,
compreende determinar seus formatos, dimensões e quantificá-las com base nestes
parâmetros.
A distribuição granulométrica de um material tem por objetivo descrever a quantidade
de partículas (por exemplo, em massa ou em quantidade de partículas propriamente dito) e o
seu respectivo tamanho. O método normalmente utilizado é o peneiramento. No entanto, para
partículas alongadas não é recomendado o uso deste método, como descrito por Lenço (2010),
Rasulet al. (1999), Rosendahlet al. (2007), Nikkuet al. (2014).No caso de biomassas, para um
determinado material, o seu método de preparação pode interferir na distribuição
granulométrica (Driemeieret al., 2011).
26
Adimensão característica da partícula é uma ou mais dimensões lineares,
adequadamente definidas,que caracterizam uma partícula individual (Yang, 2003). A escolha
dadimensãocaracterísticadepende, em muitos casos, da aplicação em questão (Yang, 2003).O
formato das partículas determina a quantidade de parâmetros necessárias para caracterizá-la.
Por exemplo, partículas esféricas e quadradas necessitam de somente 1 parâmetro. Partículas
cilíndricas necessitam de 2 parâmetros. Para caracterização da forma e tamanho de partículas
irregulares e não esféricas, como as biomassas, é importante analisá-las tridimensionalmente
(Nikkuet al., 2014). Frequentemente é utilizado como dimensão característica o diâmetro
médio de Sauter, Eq. (8), relação entre o volume da partícula (Vp) e sua área superficial (Ap).
Parapartículas cilíndricas, o diâmetro médio de Sauter é calculado conforme a Eq. (9):
𝑑 =6𝑉
𝐴
(8)
𝑑 =3𝑑
+ 2
(9)
Para as misturas de partículas cilíndricas com diferentes dimensões, o diâmetro médio
de Sauter é calculado conforme Eq. (10), para densidade envelopada constante, que passa a
ser função também da fração em massa de cada componente na mistura:
𝑑 = 6𝑑
∑ + 4 𝑥=
1
∑,
(10)
Noda et al.(1986) utilizaram o diâmetro volumétrico para caracterizar misturas de
materiais diferentes no estudo da fluidização. O diâmetro volumétrico para partículas
cilíndricas é calculado conforme Eq. (11).
𝑑 =6𝑉
𝜋
/
= 3𝑙𝑑
2
(11)
27
Outra dimensão característica que poderia ser utilizada para caracterização de partículas
é o diâmetro superficial, calculada para partículas cilíndricas conforme Eq. (12).
𝑑 =𝐴
𝜋
/
= 𝑑 𝑙 +𝑑
2
(12)
Enfatizamos que as dimensões características das Eq. (9), (11) e (12) são dependentes
de duas variáveis (l e dc) e não de somente uma variável (l/dc).Para valoresespecíficos de l e dc
de partículas cilíndricas, corresponde um único valor de dsv,dV e dS. No entanto, a recíproca
não é verdadeira. Assim, no caso de misturas com diferentes valores de l e dc e com
percentuais em massa diferentes, é possível a ocorrência de misturas com o mesmo valor de
dsv,dV e dS, que podem eventualmente resultar em comportamento fluidodinâmico diferentes,
requerendo cuidados para extrapolação de resultados com base somente na igualdade destes
parâmetros.
Abdullah et al (2003) estudou biomassas como casca de arroz, serragem, casca de
amendoim moído, casca de coco moído, fibras de palma (secas após extração do óleo) e
também carvão mineral e cinza de carvão mineral. Usou o método do peneiramento para
determinação da distribuição granulométrica. As partículas analisadas eram menores do que 1
mm, com exceção da casca de arroz que possuía diâmetro médio de 1,5 mm. Utilizou o
diâmetro médio de Sauter como dimensão característica da mistura.
Driemeieret al (2011) utilizou o método de light scattering (LS)usando o
instrumentoBeckmanCoulter LS13320 com Tornado DryPowder System para determinar a
distribuição granulométrica do pó de bagaço de cana. Utilizou o diâmetro volumétrico para
relacionar os valores da distribuição granulométrica, que foi obtida na base volumétrica.
Com relação ao método de separação por peneiramento para partículas com formato
alongado, Lenço (2010) afirma: “esse método de classificação é muito adequado para
partículas de formatos onde as dimensões largura, comprimento e altura são próximas, como
em um cubo ou mesmo uma esfera. No entanto, para partículas com dimensões de
comprimento muito maiores que a altura e a largura, como um cilindro longo, seu uso pode
causar distorções na classificação, tal como acontece com o bagaço de cana, que é composto
de uma mistura de partículas de diferentes formas e granulometrias”. Para o bagaço de cana,
Lenço (2010) utilizou a técnica da separação por elutriação e sedimentação, e a mensuração e
28
contagem, por imagem fotográfica. Dada uma velocidade de separação, o material elutriado
possuirá o peso menor do que a força de arraste, ou seja, ocorre uma separação com base na
massa e forma da partícula, diferente, por exemplo, do processo de peneiramento, onde ocorre
a separação por tamanho da partícula (abertura da malha). Determinou a dimensão máxima e
mínima das partículas para cada velocidade de separação. Para cálculo do número de
Reynolds, utilizou a dimensão mínima. Determinou o tamanho das partículas separadas por
elutriação e sedimentação por imagem fotográfica.
As Figura 2àFigura 5mostrampartículas de bambu sendo separadas por peneiramento.A
Figura 2exibe o material retido na tela da peneira. NaFigura 3,temos a vista da parte inferior
da tela da peneira mostrada na Figura 2, evidenciando que partículas com dimensão maior do
que a abertura da peneira passam através dela. Uma vista da abertura da peneira utilizada com
os materiais retidos, é mostrado Figura 4. NaFigura 5é apresentado o material retido no fundo
da peneira, revelando a diversidade de tamanhos que passam por sua tela, inclusive com
dimensões superiores a ela. Assim, o peneiramento com o propósito de classificar o material
por tamanho é inadequado, pois o seu resultado apresenta uma grande diversidade de
tamanhos. No entanto, observa-se que ocorre uma separação das partículas pelas suas
dimensões menores, ou seja, sua largura e altura. O problema ocorre na classificação do seu
comprimento.
Figura 2- Vista de cima da tela da peneira - bambu
Figura 3 - Vista da parte inferior da tela da peneira - bambu
29
Figura 4- Abertura da peneira das fotos 2 e 3 - bambu
Figura 5- Exemplo da diversidade de tamanhos encontrados no fundo da peneira - bambu
Nota: Figura 2 à Figura 5 – fonte: do autor
Rasulet al. (1999) estudaram as propriedades do bagaço de cana. Também menciona
que o peneiramento é inadequado para partículas alongadas. Propõe como dimensão
característica para as partículas alongadas, o diâmetro hidrodinâmico equivalente (dheq), que é
calculado com base na velocidade terminal da partícula (Ut). O diâmetro hidrodinâmico
equivalente é obtido pela Eq. (14), sendo o valor de d*p calculado pela Eq. (22). Neste caso, o
comprimento da partícula está considerado indiretamente através da determinação do valor de
Ut. Estas equações são conforme o trabalho de Haider e Levenspiel (1989), sendo a Eq. (13),
segundo estes autores, utilizada para partículas com esfericidade igual a 1.
𝑈𝜌
𝜇 𝜌 − 𝜌 𝑔=
18
𝑑∗+
0,591
𝑑∗,
(13)
𝑑 = 𝑑∗𝜇
𝜌 𝜌 − 𝜌 𝑔
/
(14)
El Sayedet al. (2014) determinaram a distribuição granulométrica do bagaço de cana e
caule de algodão através de peneiramento. No entanto, o material utilizado era abaixo de 600
30
µm.Utilizou como dimensão característica da mistura o diâmetro médio de Sauter
multiplicado pela esfericidade.
Gabito e Tsouris (2007) estudaram o coeficiente de arraste e velocidade terminal de
partículas cilíndricas e utilizaram o diâmetro do cilindro como dimensão característica para o
cálculo do número de Reynolds e Arquimedes.
Rosendahlet al. (2007) trabalharam com palha de arroz e determinaram a distribuição
granulométrica manualmente, pois, segundo os autores, o método do peneiramento era
inadequado devido ao formato alongado da biomassa. A distribuição granulométrica foi
apresentada em função do comprimento das partículas.
Nikkuet al. (2014) trabalharam com esferas de vidro, areia, turfa e resíduos florestais.
Concluíram que o método de peneiramento não é adequado para partículas com formato de
discos com espessura pequena, formato alongado com pequena espessura e formato
cilíndrico. Utilizaram o método da separação por elutriação e sedimentação para determinação
da distribuição granulométrica (massa das partículas em função da velocidade de elutriação).
O objetivo dos autores era utilizar os dados obtidos deste método para modelagem de leito
fluidizado operando com biomassa. Este método permite obter dados para modelagem sem a
caracterização da forma e tamanho da biomassa, pois para isto, seria necessária a análise
tridimensional das partículas.
Oliveira et al. (2013) estudaram bagaço de sorgo sacarino, resíduos de tabaco e casca de
soja. Primeiramente as biomassas foram separadas por peneiramento. Posteriormente, os
materiais retidos em cada peneira foram analisados pela técnica de imagem digital dinâmica
para determinação do tamanho e forma das biomassas. As imagens foram analisadas pelo
software CAMSIZER®.
2.3 Densidade
As definições de densidade baseiam-seno volume considerado na relação massa sobre
volume. Os volumes para o cálculo da densidade, que são considerados conforme a sua
respectiva definição, são: volume de sua parte sólida, volume dos poros fechados (poros
fechados são aqueles que não se comunicam com a superfície externa da partícula), volume
dos poros abertos (poros abertos são aqueles que se comunicam com a superfície externa da
partícula) e volume entre as partículas.A densidade pode se referir a partícula isolada ou ao
31
conjunto de partículas, que neste caso será referenciado no presente trabalho como material
particulado e naquele, somente como partícula. A norma BS 2955-1993 contém, entre outros
tópicos, uma terminologia relacionada a este assunto. Serão utilizados neste trabalho as
definições de densidade conforme norma BS2955-1993, quesão as seguintes:
Figura 6- Exemplo de uma partícula indicando as partes correspondentes a nomenclatura utilizada na definição das densidades
Termo Definição
Densidade real da partícula - ρr Massa da partícula dividida pelo volume real (Vr), que compreende o volume de sua parte sólida
Densidade aparente da partícula - ρap Massa da partícula dividida pelo volume aparente (Vap) que compreende o volume de sua parte sólida e o volume dos poros fechados
Densidade envelopada - ρenv Massa da partícula dividida pelo volume envelopado (Venv), que compreende o volume de sua parte sólida, o volume dos poros fechados e o volume dos poros abertos considerando como se fosse colocado uma película recobrindo a partícula
Densidade aparente do material particulado (conjunto de partículas) ou densidade “bulk” - ρbulk
Massa do material particulado(conjunto de partículas) dividida pelo volume ocupado pelo material particulado (Vbulk), que compreende o volume de suas partes sólidas, a soma do volume dos poros fechados e dos poros abertos das partículas e ao volume do espaço entre as partículas
Superfície envelopada (linha em vermelho)
Parte sólida da partícula
Poro fechado
Poro aberto
32
2.4 Porosidade do leito
A porosidade do leito corresponde ao volume total do leito (VL) excluído o volume
ocupado pelo material no leito (Vmat), sobre o volume total do leito, conformeEq. (15). Oka
(2004) considera Vmatcomo sendo a soma do volume da parte sólida e dos poros fechados das
partículas (volume aparente – Vap). Benyahiaet al.(2005), Foumenyet al. (1996) e
Koekemoeret al.(2015) consideram Vmat, como sendo o volume envelopado das partículas
(soma dos volumes das partículas correspondentes a sua parte sólida, dos seus poros fechados
e dos seus poros abertos - Venv).
Ɛ =𝑉 − 𝑉
𝑉= 1 −
𝑉
𝑉= 1 −
𝜌
𝜌
(15)
A forma de empacotamento do leito interfere diretamente na sua porosidade. Zhang et
al. (2006) mencionam que partículas cilíndricas, devido a sua forma geométrica, tendem a
produzir uma diversidade maior de formas de empacotamentos do que partículas esféricas,
porque aquelas não possuem liberdade de orientação como estas. Isto se observa na faixa
maior de porosidades de leito de partículas cilíndricas encontradas na literatura (ε=0,25 a
ε=0,445) comparados com o leito de partículas esféricas (ε=0,36 a ε=0,42). Assim, um mesmo
leito de partículas cilíndricas pode apresentar diferentes porosidades, de acordo com a forma
com que as partículas se acomodam no leito.
Oka (2004) considera Vmat da Eq. (15), como sendo o volume total das partículas do
leito relativo à sua parte sólida adicionada ao volume dos poros internos (Vap – volume
aparente). Assim, esta equaçãoé função da densidade “bulk” e densidade aparente conforme
Eq. (16).
Ɛ =𝑉 − 𝑉
𝑉= 1 −
𝜌
𝜌
(16)
Pesquisadores, como Benyahiaet al.(2005), Foumenyet al. (1996) e Koekemoeret
al.(2015) consideram Vmat, como sendo o volume envelopado das partículas (soma dos
33
volumes das partículas correspondentes a sua parte sólida, dos seus poros fechados e dos seus
dos poros abertos). Isto pode ser constatado pelo procedimento adotado nos experimentos
desses autores para a determinação da porosidade do leito. Benyahiaet al. (2005) e Foumenyet
al. (1996) utilizaram o método do deslocamento de água (“waterdisplacement procedure”)
para medir a porosidade do leito. Não mencionam os detalhes da metodologia utilizada por
eles, mas tal método é usado para medir o volume de partículas sólidas com forma irregular.
Informam que partículas porosas foram imersas em água desmineralizada a fim de que seus
poros fossem por ela preenchidos, previamente ao teste da porosidade do leito. Assim, a
porosidade resultante exclui o volume dos poros abertos da partícula. Koekemoeret al. (2015)
colocaram, numa coluna, 35 kg de partículas de carvão, carvão vegetal e cinzas. A coluna
com os materiais foi preenchida com água e ficaram desta forma por 2 horas, antes do início
das medições, resultando que a água preencheu os poros abertos das partículas. Após este
período, registros colocados na coluna, em distâncias determinadas, foram abertos e medido o
volume da água drenada, que corresponde ao volume dos poros entre as partículas.
Considerando o volume envelopado das partículas, a Eq. (15) ficará, em função da
densidade bulk e densidade envelopada, conforme Eq. (17). A porosidade do leito (Ɛ) será a
relação do volume do espaço entre as partículas sobre o volume total do leito de partículas,
sendo esta a definição de porosidade do leito adotada neste trabalho.
Ɛ =𝑉 − 𝑉
𝑉= 1 −
𝜌
𝜌
(17)
2.5 Correlações da literatura para determinação da Umf de misturas com 2 materiais
distintos
A revisão da literatura mostra que diversos trabalhos têm sido realizados desde a década
de 1970 envolvendo a determinação experimental da Umfpara misturas com o mesmo material
ou com diferentes materiais(Cheunget al., 1974;Si e Guo,2008;Paudele Feng,2013;Raoet al.,
2001;Reinaet al., 2000).
As correlações para Umfde misturas de diferentes materiais são calculadas, de forma
geral, considerando a mistura como composta por apenas um componente, cuja densidade
34
aparente (ρe) e dimensão característica(de) das partículas são estimados a partir das
características de seus componentes individuais e de suas frações em massa (x), ou em
volume (α), na mistura.Isto equivale a considerar a mistura como sendo formada por
partículas homogêneas caracterizadas por umúnico diâmetro e uma densidadeaparente da
partícula equivalentes (de e ρe, respectivamente), quedevem refletir as características
fluidodinâmicas da mistura no leito e a interação entre as partículas e o fluido.A densidade
equivalente da mistura (ρe) pode ser calculada conforme Eq. (18) ou Eq. (19). Nestas
equações, xf e xj são, respectivamente, a fração em massa do componente com tendência a
emergir (componente “flotsam”) e componente com tendência a imergir (componente
“jetsam”) na mistura. A densidade aparente das partículas que compõe a mistura, ρf e ρj,
correspondem, respectivamente, ao componente “flotsam” e “jetsam”.
1
𝜌=
𝑥
𝜌+
𝑥
𝜌
(18)
𝜌 = 𝑥 𝜌 + 𝑥 𝜌
(19)
O diâmetro equivalente da mistura pode ser calculado conforme Eq. (20). Adimensão
característica dos componentes da mistura, df e dj, correspondem, respectivamente, ao
componente “flotsam” e “jetsam”. Frequentemente é adotado como dimensão característica o
diâmetro médio de Sauter para df e dj, que corresponde ao diâmetro da esfera que apresenta a
mesma razão volume/área superficial que a da partícula.
𝑑 = 𝑑 . 𝑑𝑥 𝜌 + 𝑥 𝜌
𝑥 𝜌 𝑑 + 𝑥 𝜌 𝑑
(20)
Se a densidade equivalente da mistura (ρe) for calculada conforme Eq.(18), será válida a
igualdade para o diâmetro equivalente da mistura conformeEq(21).
𝑑 = 𝑑 . 𝑑𝑥 𝜌 + 𝑥 𝜌
𝑥 𝜌 𝑑 + 𝑥 𝜌 𝑑= 𝜌
𝑥
𝑑 𝜌+
𝑥
𝑑 𝜌
35
(21)
Considerando os componentes na mistura, a dificuldade está na definição de uma única
dimensão característica dos materiais que reflitam o seu formato, suas dimensões, sua
distribuição granulométrica, suas características fluidodinâmicas e a interação entre os
materiais. A dificuldade cresce ainda mais, quando as partículas possuem formatos diferentes
e irregulares como as biomassas.
A revisão da literatura envolvendo a determinação da Umf de misturas de partículas com
diferentes densidades e tamanhos,a ser comparada com os resultados experimentais, é
discutidanos próximos parágrafos. Como será mencionado com frequência o trabalho de
Ergun (1952), a seguir é feito um resumo, descrevendo as condições e particularidades deseu
trabalho.
Ergun (1952)
O estudo desenvolvido por Ergun(1952), foi executado para leitos constituídos por
somente um tipo de material particulado, moído e poroso. Menciona que este, não é idêntico
ao estudo de material particulado não poroso e com forma geométrica uniforme. Alguns dos
materiais moídos testados foram: carvão, coque e vidro.
O principal objetivo do trabalho de Ergunfoi desenvolver uma expressão para a perda de
pressão de um fluido, escoando entre as partículas de um leito empacotado, no regime de leito
fixo. Concluiu que a perda de pressão no leito empacotado é a soma de um termo viscoso e
outro inercial. A correlação proposta por ele é conforme a Eq. (22), sendo,ΔPL o diferencial
de pressão no leito,H a altura do leito empacotado, Ɛ a porosidade do leito, μg a viscosidade
dinâmica do fluido, Um a velocidade superficial do fluido medida na pressão média, G a taxa
do fluxo em massa e dpa diâmetro equivalente da partícula conforme a Eq.(24).
𝛥𝑃
𝐻 = 150
(1 − 𝜀)
𝜀
µ 𝑈
𝑑+ 1,75
(1 − 𝜀)
𝜀
𝐺𝑈
𝑑
(22)
Conforme Eq. (22), em sua correlação, Ergun não considera a esfericidade da partícula.
Destaca que a porosidade do leito é uma variável importante para cálculo da perda de
pressão no leito, conforme consta nos termos à direita da correlaçãoproposta, Eq. (22), sendo,
muitas vezes, difícil de ser medida diretamente. Outra variável difícil de ser determinada para
36
partículas sólidas irregulares, especialmente para partículas porosas, é a área superficial.
Menciona que existem várias definições para a área superficial, em decorrência da
irregularidade superficial: área superficial total (inclui a área correspondente aos poros
abertos), área superficial externa projetada, área superficial geométrica, etc. Conforme Ergun,
a área superficial geométrica é a área da superfície envelopada e é esta a ser considerada no
estudo da fluidodinâmica de leito fluidizado. Esta menção à área superficial é decorrente da
correlação publicada por Ergun e Orning (1949), que é apresentada na Eq.(23):
𝛥𝑃
𝐻= 2𝛼𝜇 𝑆 𝑈
(1 − 𝜀)
𝜀+
𝛽
8𝐺𝑈 𝑆
(1 − 𝜀)
𝜀
(23)
Na Eq. (23), Sψé a superfície específica da partícula, que é a relação entre a área
superficial geométrica da partícula (área superficial envelopada) e o seu volume,α e β são
constantes estatísticas.Apesar da ressalva feita por Ergunde que a Eq. (22) foi desenvolvida
para material particulado, moído e poroso, ele menciona que a Eq. (23),que foi publicada
anteriormente a Eq.(22), foi testada para materiais esféricos, cilíndricos, nodulares, partículas
com formato de pastilha e areia além de materiais moídos (carvão, coque e vidro),
apresentando resultados satisfatórios.
O diâmetro equivalente da partícula, considerado na Eq.(22), é o apresentado na
Eq.(24), que corresponde ao diâmetro superficial-volumétrico, sendo, no entanto, utilizada a
área superficial envelopada da partícula, ao invés da área superficial total. Substituindo o
valor de Sψ, conforme Eq.(24),na correlação conforme Eq.(23), esta passa a ser função de dp.
𝑑 =6
𝑆
(24)
Na Tabela 2 estão apresentadas as correlações da literatura que serão utilizadas para
comparação com os resultados experimentais.
37
Tabela 2– Correlações da literatura utilizadas para comparação dos resultados experimentais
Referência Correlação Eq.
Paudel e
Feng
(2013)
𝑅𝑒 = 30,28 + 0,046 1 − 𝑥 + 0,108𝑥 𝐴𝑟
− 30,28
(25)
Rao et al.
(2001) 𝑈 =
𝑑 𝜌 − 𝜌 𝑔
1650𝜇
𝑑 = 𝑘 𝑑𝜌 𝑑
𝜌 𝑑
𝑘 ′ = 2000𝑑 + 0,36
(26)
(27)
(28)
Si e Guo
(2008) 𝑈 =𝜇
𝑑 𝜌𝐶 + 𝐶
𝑑 𝜌 𝜌 − 𝜌 𝑔
𝜇
/
− 𝐶
𝐶 = 25,65 , ,
𝐶 = 0,056 , ,
(29)
(30)
(31)
Cheunget
al. (1974) 𝑈 = 𝑈 ,
𝑈 ,
𝑈 , (32)
Bilbao et
al (1987)
𝑈 = 𝑈 , − 𝑈 , − 𝑈 , 𝑋
𝑋 =𝑥
𝑥 +
𝑈 , = 50. 𝑑 ,
(33)
(34)
(35)
Oliveira et
al (2013) 𝑈 = (1,17. 10 ± 6. 10 )
𝑑 𝜌 − 𝜌 𝑔
𝜇
𝜌
𝜌
( , ± , )
𝑑 = 𝑑𝑑
𝑑
𝜌
𝜌
(36)
(37)
38
As correlações apresentadas na Tabela 2, possuem algumas particularidades, que são:
rearranjando os termos das correlações de Paudel e Feng (2013), Rao et al. (2001) e Si e
Guo(2008), equações (25), (26) e (29), respectivamente, elas possuema forma geral conforme
Eq. (38);as correlações de Cheunget al. (1974) e Bilbao et al (1987) utilizam a Umf dos
componentes da mistura; a forma da correlação de Oliveira et al (2013) baseia-se no trabalho
de Coltters e Rivas (2004).
𝐴𝑅𝑒 + 𝐵𝑅𝑒 = 𝐴𝑟 (38)
Na Eq. (38),Remf é o número deReynolds do escoamento, sendo a dimensão
característica o diâmetro equivalente (de) dos materiais que compõe a mistura, quando o leito
de partículas se encontra na condição de mínima fluidização, Ar é o número de Arquimedes e
os coeficientes A e Bpossuem as seguintes características:
- são constantes empíricas (Rao et al., 2001);
- são funções da fração em massa da biomassa. Não requerem a determinaçãoda
porosidade do leito e a esfericidade das partículas (Paudele Feng, 2013).
-são funções da esfericidade das partículas (Si e Guo, 2008).
O primeiro termo dessa equação (A.Remf2) corresponde ao termo inercial, preponderante
em condições de velocidades elevadas, enquanto o segundo termo (B.Remf) corresponde ao
termo viscoso. É originada a partir da correlação de Ergun (1952), que descreve o
comportamento do leito para o regime de leito fixo, Eq. (22), sendo nela substituído dp por
𝜙.de, considerando, desta forma, o fator de forma das partículas através de sua esfericidade
(𝜙), resultando na Eq.(39), e igualando-se a queda de pressão no leito fixo, com a pressão
exercida pelo peso das partícula no leito, resultando na Eq. (42).
𝛥𝑃 =1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈
(39)
Diversos autores como Wen e Yu (1966), propuseram os fatores A e B como constantes
empíricas, obtidas a partir de experimentos envolvendo diversos tipos de partículas e
materiais, evitando assim a necessidade da determinação da esfericidade das partículas e
39
porosidade do leito. No entanto, esses fatores são constantes somente para uma determinada
mistura, pois eles dependem da esfericidade das partículas, porosidade do leito,e, no caso de
misturas,do percentual de cada material. No caso dafluidização de misturas de partículas de
biomassa e areia, esta generalização causa desvios grandes na estimativa da Umf, pois as
esfericidades e os formatos das partículas de biomassas variam numa ampla faixa, o que afeta
também a porosidade do leito, tendo como consequência a variação significativa dos
coeficientes A e B considerados constantes.
Kunii e Levenspiel (1991), Yang (2003), Oka (2004), entre outros autores, mencionam
que a velocidade em que o diferencial de pressão no leito (𝛥𝑃 ) se iguala a pressão exercida
pelo peso dos materiais no leito (𝑃 ), conforme Eq. (41), corresponde a velocidade de
mínima fluidização (Umf). Nas Eq. (40) e (41), ALrepresenta a área da seção transversal do
leito.
𝛥𝑃 𝐴 = 𝑤 (40)
𝛥𝑃 =𝑤
𝐴= 𝑃
(41)
O termo velocidade de início de fluidização ou fluidização iminente (Ufi) no presente
trabalho, refere-se graficamente ao maior valor da velocidade, onde ocorre a mudança da
inclinação da curva ajustada correspondente ao regime de leito fixo, para a curva
correspondente ao regime de leito fluidizado parcialmente ou região de transição.NaFigura
8está mostrada um exemplo de curva fluidodinâmica com a representação da Ufi.
Para determinação da velocidade de mínima fluidização (Umf), considerando um gráfico
do diferencial de pressão no leito em função da velocidade superficial do gás, obtém-se uma
reta horizontal com o valor PwLda Eq. (41). Para determinar a Umf do material, é necessária
uma curva para descrever o comportamento do seu regime de leito fixo. Para isto, para as
correlações com forma geral conforme Eq. (38) foi utilizada a correlação de Ergun, Eq. (39),
sendo a Umf determinada pela interseção da reta horizontal (PwL) com a curva relativa ao
regime de leito fixo, indicada na Figura 7 como “Umf correlação”. Este procedimento está
indicado na curva fluidodinâmica conforme a Figura 7e a equação resultante é conforme Eq.
(42).
40
Figura 7– Procedimento para determinação da velocidade de mínima fluidização. Fonte: do autor
Substituindo na correlação de Ergun, Eq. (39), o diferencial de pressão no leito (𝛥𝑃 ),
pela pressão exercida pelo material do leito (𝑃 ), na condição de mínima fluidização, resulta
na Eq. (42).
𝛥𝑃 = 𝑃 = 1 − 𝜀 𝜌 − 𝜌 𝐻 𝑔 =
=1,75 1 − 𝜀 𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 +
150 1 − 𝜀 𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈
(42)
Rearranjando a Eq. (42), para que fique em função do número de Reynolds e
Arquimedes, resulta na Eq. (43).
1,75
∅𝜀
𝜌 𝑑 𝑈
𝜇+
150 1 − 𝜀
∅ 𝜀
𝜌 𝑑 𝑈
𝜇=
𝜌 𝑑 𝜌 − 𝜌 𝑔
𝜇
(43)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade (m/s)
Umf correlação
PwLcurva relativa ao regime de leito fixo
41
Analisando aFigura 8, cuja curva fluidodinâmica foi obtida experimentalmente no
presente trabalho, observa-se o seguinte:
- areta horizontal, que corresponde a pressão resultante do peso do material no leito
(PwL), é obtida experimentalmente, no regime de leito totalmente fluidizado (ΔPfc) e não na
condição de mínima fluidização, conforme Eq. (40) e Eq. (41).
- ΔPmf experimental, diferencial de pressão no leito correspondente a velocidade de
mínima fluidização na curva fluidodinâmica experimental, é menor do que a obtida pela
interseção da extrapolação da curva correspondente ao regime de leito fixo, com a reta
horizontal do regime de leito totalmente fluidizado, que, no caso, equivale a ΔPfc.
- a Umf obtida pela interseção da extrapolação da curva correspondente ao regime de
leito fixo, com a reta horizontal do regime de leito totalmente fluidizado (ΔPfc),denominado
como Umfexperimental na Figura 8, não pertence a curva fluidodinâmica experimental.
Figura 8– Representação dos parâmetros característicos na curva fluidodinâmica Fonte: do autor
As correlações desenvolvidas a partir da igualdade conforme Eq. (40) e (41) podem
conter um desvio, pois verifica-se experimentalmente que, para alguns materiais, ΔPfc<PwL.
Esta desigualdade foi constatada também por Yang (2003), que atribui este fato a
possibilidade de formação de canais preferenciais, efeitos das dimensões finitas do leito e a
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade (m/s)
Ufc
Umf correlaçãoUmf experimental
Ufi
PwLΔPfc
ΔPmf
regime de leitototalmente fluidizado
regime deleito fixo
região de transição
42
distribuição não uniforme do distribuidor de ar. Experimentalmente, a condição de mínima
fluidização, apesar de difícil visualização, pertence a curva fluidodinâmica. Não é um ponto
extrapolado da curva do regime de leito fixo, como o obtido na Figura 8. No entanto, este é o
procedimento usual para obtenção da Umf experimentalmente (Yang, 2003; Kunii e
Levenspiel, 1991), e será este o procedimento adotado no presente trabalho.
Apesar de não ser utilizada para comparação com os resultados experimentais por
apresentar correlação para a velocidade de fluidização completa (Ufc), fazemos menção ao
trabalho de Noda et al. (1986), porque é referenciada por diversos autores (Cui e Grace, 2007;
Formisaniet al., 2008; Li et al., 2005; Paudel e Feng, 2013) e cita aspectos interessantes,
mencionados a seguir, constatados nos testes por eles realizados com misturas de dois
materiais diferentes e com relação alta entre os seus diâmetros volumétricos (1,43 a 27,5):
- a relação entre altura do leito e seu diâmetro deve ser maior do que 0,5;
- na Umfsomente as partículas pequenas estão fluidizadas. O leito está totalmente
fluidizado quando a velocidade superficial atinge Ufc.
- o valor de Umfdepende da condição inicial do leito, quando obtida pelo processo de
fluidização (curva fluidodinâmica obtida com o aumento gradual da velocidade
superficial).
Paudel e Feng (2013) estudaram a Umf de materiais inertes (areia, alumina e esferas de
vidro), de biomassas(casca de noz, finos de casca de noz e sabugo de milho) e da mistura
biomassa-material inerte. O percentual em massa de biomassa na mistura variou de 10 a
90%.Os autores consideraram os fatores A e Bda Eq.(38)corrigidos pelo percentual em massa
dos componentes na mistura.Propuseram a correlação conforme Eq. (25)para determinação da
Umf dos materiais e da mistura.O diâmetro e a densidade equivalentesforam calculados pelas
Eqs. (20) e (18), respectivamente, a partir do diâmetro médio de Sauter e densidade aparente
dos componentes da mistura.Nessas equações, os índices f e j referem-se aos componentes da
mistura com tendência a emergir (denominado flotsam) e com tendência a imergir
(denominado jetsam). Na correlação proposta por Paudele Feng (2013), os parâmetros A e B,
característicos das correlações que possuem a forma geral conforme Eq. (38), aparecem na
forma apresentada na Eq. (45) e Eq.(46), funçãoda fração em massa do componenteflotsam da
mistura, que substituídos na correlação proposta pelos autores, Eq. (25), ficam conforme
Eq.(44). Os resultados experimentais mostraram que a Umf da mistura biomassa e areia
aumenta com o aumento do percentual em massa da biomassa e com o diâmetro equivalente
da mistura.
43
1
0,046 1 − 𝑥 + 0,108𝑥
𝑅𝑒 +60,56
0,046 1 − 𝑥 + 0,108𝑥
𝑅𝑒 = 𝐴𝑟
(44)
𝐴 =1
0,046 1 − 𝑥 + 0,108𝑥
(45)
𝐵 =60,56
0,046 1 − 𝑥 + 0,108𝑥
(46)
O trabalho Rao et al. (2001)apresenta uma metodologia para a determinação da Umf de
misturas de areia e biomassa, com partículas de diferentes tamanhos e densidades, definindo
uma densidade média para a mistura e uma correlação empírica para determinar o diâmetro
equivalente da mistura. Nesse trabalho,o percentual de biomassa na mistura variou entre2e
15%, sendo que a massa total da mistura permaneceu constante nos experimentos (200 g). Os
autores propõem a correlação de Kunii e Levenspiel (1991) para cálculo da Umf, que foi
desenvolvida para somente um material.Para possibilitar a sua aplicação para mistura de
materiais diferentes, foi substituído o diâmetro da partícula pelo diâmetro equivalente(de),
Eq.(27), e a densidade aparente da partícula pela densidade equivalente da mistura(ρe), Eq.
(19). A correlação proposta pelos autores é conforme Eq. (26).O número de Reynolds da
partícula foi restringido para Rep< 20.Comparando esta correlação com a forma geral, Eq.
(38), conclui-se que oscoeficientesA e B são constantes com valores de A =0 e o coeficienteB=
1650, conforme Eq. (48). O diâmetro médio de Sauter, a densidade aparente da partícula e o
percentual em massa dos componentes da mistura são considerados no cálculo do diâmetro
equivalente, Eq.(27).
1650𝑈𝜌 𝑑
𝜇=
𝑑 𝜌 − 𝜌 𝑔
𝜇
𝜌 𝑑
𝜇
(47)
44
1650. 𝑅𝑒 = 𝐴𝑟 (48)
O valor “1650”da Eq. (48)tem origem no trabalho de Wen e Yu (1966), que
constataram em sua pesquisa que as relações da porosidade do leito são conforme Eq. (49) e
(50). Nota: o trabalho de Wen e Yu (1966) não se refere a fluidização de mistura de materiais
diferentes.
1 − 𝜀
∅ 𝜀≅ 11
(49)
1
∅𝜀≅ 14
(50)
Substituindo os valores das equações(49) e (50), representados em vermelho na Eq.(51),
na correlação de Ergun, Eq. (43), para a condição de mínima fluidização, resulta na Eq. (52):
1,751
∅𝜀
𝑈 𝑑 𝜌
𝜇+ 150
1 − 𝜀
∅ 𝜀
𝑈 𝑑 𝜌
𝜇=
𝑑 𝜌 𝜌 − 𝜌 𝑔
𝜇
(51)
24,5𝑑 𝑈 𝜌
𝜇+ 1650
𝑑 𝑈 𝜌
𝜇=
𝑑 𝜌 𝜌 − 𝜌 𝑔
𝜇
(52)
O termo quadrático da velocidade superficial, da parte esquerda da Eq.(52), foi
desprezado pelos autores, pois a validade da correlação proposta é para valores baixos
deRep.A diferença do trabalho de Rao et al. (2001) com relação aos trabalhos de Paudel e
Feng (2013) e Si e Guo (2008)está na proposta dos autores para o cálculo do diâmetro
45
equivalente das partículas da mistura, que é efetuada segundo a Eq. (27).O fatork’da Eq. (27)é
calculado conforme Eq. (28).A densidade efetiva da mistura (ρe) é calculada pela Eq. (19).Os
autores constataram que com o aumento do percentual de biomassa na mistura ocorria maior
afastamento entre os resultados previstos pela correlação proposta e os resultados obtidos
experimentalmente. Os resultados experimentais mostraram que a Umf da mistura biomassa e
areia aumenta com o aumento da fração em massa da biomassa, com o aumento da densidade
da areia e diminui com o tamanho das partículas da areia.
O trabalho deSi e Guo (2008)refere-se ao estudo de leito fluidizado auxiliado por
pressão acústica. Apresentam uma correlação para Umf utilizando a esfericidade da areia e da
biomassa, considerando assim ofator de forma das partículas. As biomassas utilizadas foram
caule de trigo e serragem. Em seus testes opercentual em massa máximo de biomassana
mistura foi de 40% sendo proposta a Eq. (29) para a previsão da Umf da mistura. Os autores
observaram que a Umfaumenta com o aumento do percentual em massa da biomassa na
mistura com a areia.Os fatores C1 e C2da Eq. (29)são conforme Eq. (30) e Eq. (31),
respectivamente.O diâmetro (de) e densidade (ρe) equivalentes são calculados conforme Eq.
(20) e Eq. (19), respectivamente.Conclui-se que os autores propõem que os fatores A e B, da
forma geral da correlação, Eq. (38), sejam função da esfericidade das partículas da mistura,
Eq. (53) e Eq.(54), respectivamente. O diâmetro médio de Sauter e a densidade aparente da
partícula dos componentes da mistura e o percentual em massa dos componentes da mistura
são considerados através do diâmetro (de) e densidade equivalente (ρe). Na Eq. (38), para
cálculo do número de Reynolds (Remf) e do número de Arquimedes (Ar), devem ser
considerados o diâmetro e densidade equivalentes.
𝐴 = 1
𝐶=
1
25,65 , ,
(53)
𝐵 = 2𝐶
𝐶= 916,0714 , ,
(54)
Cheunget al. (1974)relataram que a adição de finos diminui a Umf resultante da
fluidização de partículas grandes. Seus testes foram realizados somente com misturas do
46
mesmo material, variando-se a relação entre o diâmetro da partícula menor (dS) e o
diâmetroda partícula maior (dB) entre 0,15 e 0,85.Os valores da Umf da mistura destas
partículas aumentam com o aumento do percentual das partículas de maior tamanho. No
entanto, a correlação proposta para determinação da Umf destes pesquisadores tem sido
utilizada para mistura de dois materiais diferentes(Chiba et al., 1974;Rao et al., 2001; Li et
al.,2005), fazendo a equivalência do diâmetro médio das partículas da mistura: material com
maior diâmetro médio de Sauter e material com menor diâmetro médio de Sauter. Este
procedimento será o adotado no presente trabalho para comparação dos resultados
experimentais. No trabalho destes pesquisadores, acurva fluidodinâmica foi levantada na
fluidização, ou seja, aumentando-se gradualmente a velocidade superficial, mas os materiais
foram submetidos ao regime de leito totalmente fluidizado previamente para promover a sua
mistura.Propuseram a correlação conforme Eq. (32).
Bilbao et al. (1987)constataram que as correlações existentes para estimativa da Umf de
misturasnão apresentaram boa aproximação com os resultados experimentais para mistura de
palha de trigo e areia. Informam que somente a palha de trigo não fluidiza e o seupercentual
fluidizável na mistura com areia foi de 15% em massa.Para os testes, a areia foi previamente
calcinada a 800oC para simular as condições de trabalho no gaseificador a alta temperatura.O
trabalho apresentou a correlação conforme Eq.(33)para estimativa da Umf, sendo a
variavelXjdesta equação calculada segundo Eq.(34).Para biomassas que não fluidizam sem o
auxílio de um material auxiliar, aUmf,fé um valor fictício e é estimadapela Eq.(35). AUmf,j foi
obtida experimentalmente.Os resultados experimentais obtidos pelos autores mostraram que a
Umf aumenta com o aumento de dfe com o aumento de xf.
Oliveira et al. (2013)estudaram a fluidização e a segregação dobagaço de sorgo
sacarino, resíduo de tabaco e casca de soja. A correlação proposta por estes autores baseia-se
na forma da correlação de Coltters e Rivas (2004), que foi desenvolvida para partículas de
somente um material e polidispersas, sendo a forma da expressão para Umf obtida a partir da
análise dimensional das variáveis independentes que interferem na Umf do material, possuindo
a vantagem de não necessitar a determinação da porosidade do leito e nem da esfericidade do
material. As misturas biomassa e areia testada pelos autores, com percentual de biomassa
máxima de 15% em massa, apresentaram características de fluidizaçãoem que os valores das
velocidades de fluidizaçãoiminente e de fluidização completa ficaram próximas da Umf da
mistura. As curvas fluidodinâmicas foram obtidas aumentando a velocidade superficial. Para
a fluidização do bagaço de sorgo sacarino, a Umf da mistura diminuiu com o aumento do seu
percentual em massa, comportamento oposto ao dos demais materiais. Constataram que
47
dependendo da seleção da granulometria do material inerte pode ocorrer segregação na
fluidização da mistura. A segregação se torna mais efetiva a medida que aumenta a relação
entre o diâmetro característico das partículas de areia e o da biomassa. Com relação a
densidade das partículas na segregação, as partículas mais pesadas depositaram no fundo do
leito (areia – “jetsam” e biomassa – “flotsam”). A correlação proposta pelos autores é
conforme a Eq. (36).A caracterização dimensional das partículas foi efetuada pelo sistema de
análise de imagens dinâmicas Camsizer®. A dimensão característica utilizada foi o diâmetro
mínimo de Martin correspondente a 50% do volume acumulado das partículas. O diâmetro
equivalente (de) foi calculado conforme Eq. (37). A densidade equivalente (ρe) foi calculada a
partir das densidades aparentes dos componentes da mistura, conforme Eq. (19).
48
3. MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 Caracterização dos materiais
As partículas de areia foram separadas por peneiramento, sendo utilizadas as que
passaram na malha Tyler 32 (abertura da malha de 500µm) e ficaram retidas na malha Tyler
35 (abertura da malha de 420µm). A dimensão característica das partículas foi considerada
como sendo a média aritmética da abertura destaspeneiras: 460 µm(dj).
O bambu foi obtido a partir de varetas com diâmetro nominal de 2 mm (dc) e
comprimento 900 mm, sendo cortados nos comprimentos nominais (l) de 2, 4, 8 e 16 mm
(l/dc=1, 2, 4 e 8).Para o corte das varetas, foi construído o dispositivo conforme Figura 9.Os
valores das dimensões resultantes dos diâmetros e comprimentos das partículas de bambu
após o corte estão apresentados no ApendiceE.
Conjunto da máquina de corte Detalhe do dispositivo de corte
Figura 9– Máquina para corte do bambu
A Figura 10 e Figura 11mostram os materiais testados e a Figura 12apresenta as suas
classificações conforme Geldart, 1973.Conforme classificação de Geldart, as partículas de
49
areia se enquadram no grupo B e as partículas de bambu no grupo D. Em seu trabalho,
Geldart informa que na determinação da densidade deve ser considerada as porosidades
internas da partícula.
Areia com diâmetro médio 460 µm
Bambu l/dc=1, 2, 4 e 8
Figura 10– Fotos dos materiais testados
Figura 11 - Foto ampliada da areia utilizada nos testes
50
Figura 12 - Classificação de Geldart das partículas de bambu (vermelho) e da areia (azul)
A massa dos materiais testados para os testes fluidodinâmicos foi determinada por uma
balança digital, marca Shimadzu, modelo BL3200H, sendo a precisão de ±0,05 g.
A esfericidade das partículas de bambu, para uma determinada relação l/dc, foi
calculada através da Equação (55), conforme a definição de esfericidade de Wadell (1933):
relação entre a área superficial da esfera com o mesmo volume da partícula e a área
superficial da partícula. O índice “i”, que varia de 1 a 4, utilizado nas equações seguintes,
correspondemao parâmetro referenciado das partículas de bambu com as relações l/dc=1, 2, 3
e 4. A área superficial envelopada (A1p,i) e o volume envelopado (V1p,i) de uma partícula de
bambu foram calculados conforme equações (56) e (57), respectivamente. O diâmetro da
esfera (desf,i) com o mesmo volume da partícula (V1p,i) e a área da esfera (Aesf,i) foram
calculados conforme equações (58) e (59), respectivamente.
∅ =𝐴
𝐴 ,
(55)
0,10
1,00
10,00
10 100 1000 10000
ρ en
v-ρ
g(g
/cm
3)
d (µm)
CA
BD
51
𝐴 , =𝜋𝑑 ,
2+ 𝜋𝑑 , 𝑙
(56)
𝑉 , =𝜋𝑑 , 𝑙
4
(57)
𝑑 . = 6𝑉 ,
𝜋
/
(58)
𝐴 , = 𝜋𝑑 , = 𝜋 6𝑉 ,
𝜋
/
(59)
A esfericidade média das misturas de bambu foi calculada considerando-se a média
aritmética de sua área superficial envelopada (A1p,M), Eq. (60), a média aritmética do seu
volume envelopado (V1p,M), Eq. (61), e aplicando-se a definição de esfericidade de Wadell
(1933). Na Eq. (60) e Eq. (61), os índices 1, 2, 3 e 4 referem-se as partículas de bambu com
l/dc=1, 2, 4 e 8 respectivamente. A1p,1, A1p,2, A1p,3 e A1p,4 referem-se a área da superfície
envelopada de uma partícula e n1, n2, n3 e n4 a quantidade de partículas. Na Eq.(61),V1p,1,
V1p,2, V1p,3 e V1p,4 referem-se ao volume envelopado de uma partícula com l/dc=1, 2, 4 e 8
respectivamente.
𝐴 , =𝐴 , 𝑛 + 𝐴 , 𝑛 + 𝐴 , 𝑛 + 𝐴 , 𝑛
𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 𝑛
(60)
𝑉 , =𝑉 , 𝑛 + 𝑉 , 𝑛 + 𝑉 , 𝑛 + 𝑉 , 𝑛
𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 𝑛
(61)
52
A densidade envelopada das partículas de bambu (ρenv,i), Eq. (62),foi calculada a partir
da massa (mi) de 500 partículas (n) correspondente a cada valor da relação l/dc e do volume do
cilindro (V1p,i), sendoestas calculadas com base nas dimensões apresentadas no Apêndice E.
𝜌 , =𝑚
𝑛𝑉 ,
(62)
A densidade envelopada (ρenv) considerada como representativa das partículas de bambu
testadas foi a obtida pela média aritmética dos valores da densidade envelopada calculadas
conforme Eq. (62).
A densidade “bulk” (ρbulk) do material particulado foi determinada medindo-se
primeiramente a sua massa (mmat). Em seguida, ele foi colocado no leito fluidizado e
submetido a velocidade superficial crescente até que fosse atingida a condição de regime de
leito totalmente fluidizado. Posteriormente, procedeu-se a redução gradativa da velocidade
superficial até se atingir a velocidade nula. Nesta situação foi medida a altura do leito (HLF)
para cálculo do seu volume e com a massa determinada, calculada a densidade “bulk” do
material particulado, conforme Eq. (63). Nesta equação, D refere-se ao diâmetro do leito
fluidizado. O bambu com l/dc=8, não fluidizou. Neste caso, HLF foi medido com o leito
empacotado naturalmente.
𝜌 =4𝑚
𝜋𝐷 𝐻
(63)
A porosidade do leito das partículas de areia foi calculada conforme Eq(16),
considerando a densidade aparente da partícula (ρap) e a densidade “bulk” do leito (ρbulk).
A porosidade do leito das partículas de bambu foi calculada para cada valor da relação
l/dc com base na sua massa (mi), densidade envelopada (ρenv,i), altura ocupada pelas partículas
no leito (HLF,i) e o diâmetro do leito, conforme Eq(64).
53
𝜀 = 1 −𝑉 ,
𝑉 ,= 1 −
𝑚
𝜌 ,
4
𝜋𝐷 𝐻 ,
(64)
3.2 Sistema experimental
Os ensaios experimentais foram realizados em sistema de leito fluidizado, montado no
Laboratório de Processos Térmicos e Engenharia Ambiental da Faculdade de Engenharia
Mecânica da Unicamp, sendo composto por: soprador, tubulação, placa distribuidora tipo
placa porosa, coluna, ciclone e recipiente de coleta do material elutriado. A instrumentação
compreende uma placa de orifício para determinação da vazão do ar de fluidização (PO),
construído segundonorma ASME MFC-14M/2003, transdutores de pressão para determinação
do diferencial de pressão no leito (placa distribuidora e material), na placa de orifício e
pressão a montante da placa de orifício,marca Smar, modelo LD301 e termopar para medida
da temperatura do ar na entrada da coluna. A Figura 13mostra o esquema do sistema
experimental com seus principais componentes e instrumentação.
A coluna principal (R) é formada por seções de vidro (borosilicato), acrílico
transparente e aço carbono, permitindo a visualização do escoamento no circuito. O diâmetro
interno da coluna principal é de 0,1016 m, sua altura total é de 2,5 m. As seções do leito são
flangeadas. A base do leito possui flanges para permitir a troca do distribuidor do ar e a
limpeza do plenum.
O distribuidor de ar utilizado foi do tipo placa porosa, construída em resina plástica
microporosa.
O sistema de aquisição de dados (AQ) usado para receber os sinais de pressão dos
transdutores de pressão é composto por: placa de aquisição de dados da NationalInstruments
(NI) da série NI 47 USB – 6255, computador e o software Labview para a análise dos dados.
O objetivo deste sistema é obter o sinal de tensão da placa de aquisição de dados, para
transformá-lo em pressão, listar os dados num formato digital e salva-los num arquivo para
sua posterior análise.
54
Figura 13- Sistema experimental
3.3 Procedimento experimental e velocidades características
As velocidades características (Umf, Ufi e Ufc) e a velocidade superficial (Uo) do gás de
fluidizaçãoforam calculadas considerando-se a área correspondenteao diâmetro interno da
coluna principal (Figura 13, R), 0,1016 m.
Umf– velocidade de mínima fluidização
Para a obtenção da velocidade de mínima fluidização, foram realizados testes
experimentais, envolvendo a determinação do diferencial de pressão no leito de partículas em
função da velocidade superficial do gás, visando o levantamento da curva fluidodinâmica. A
55
Umfé o ponto de interseção da curva ajustada aos valores experimentais correspondentes ao
regime de leito fixo,com regime de leito totalmente fluidizado (reta horizontal). A curva
fluidodinâmica foi levantada em processo de defluidização do leito, ou seja, diminuindo a
velocidade superficial a partir do regime de leito totalmente fluidizado e misturado. Este
procedimento foi adotado para reduzir o efeito do grau de homogeneização dos componentes
da mistura, da forma de alimentação das partículas no leito, que influi na sua porosidade e no
seu estado inicial, fatores que interferemno processo de fluidizaçãoe consequentemente, na
determinação de sua Umf. De acordo com Formisanietal. (2003) e Chiba et al. (1979), para
material particulado com tamanhos e/ ou densidades da partícula diferentes, o estado de
mistura inicial do leito influi na determinação da sua Umf.
Ufi– velocidade de início defluidização ou fluidização iminente
Para determinação da velocidade de início de fluidização ou fluidização iminente (Ufi),
foi adotado o seguinte procedimento: seja Umino menor valor da velocidade superficial do
teste efetuado e Ux um valor da velocidade superficial maior do que Umin. Os pontos
experimentais compreendidos por esta faixa de velocidades superficiais (Umin ≤ Uo ≤ Ux)
foram aproximados por uma curva e obtido o seu coeficiente de determinação. O critério para
determinação da faixa de velocidade superficial definitiva, que consiste no regime de leito
fixo,foiaque apresentou a curva de aproximação dos pontos experimentais com o maior valor
do seu coeficiente de determinação. Definida a faixa de velocidades superficiais referentes ao
regime de leito fixo, a Uficorresponderáao maior valor da velocidade superficial, sendo este o
valor onde ocorre a mudança da inclinação da curva ajustada correspondente ao regime de
leito fixo, para a curva correspondente ao regime de leito fluidizado parcialmente ou região de
transição.
Ufc– velocidade de fluidização completa
A determinação da velocidade de fluidização completa(Ufc), teve como base o seguinte
procedimento: seja Umax o maior valor da velocidade superficial do teste efetuado e Ux um
valor da velocidade superficial menor do que Umax. Foi calculada a média aritmética do
diferencial de pressão no leito (Δpmédio) e seu desvio padrão (σ) dos valores do diferencial de
pressão compreendidos nesta faixa de velocidades superficial (Ux ≤ Uo ≤ Umax). Em seguida
foi determinada a diferença entre o valor da média aritmética do diferencial de pressão
(Δpmédio) e o desvio padrão multiplicado por 1,96 (1,96.σ), sendo este valor o corresponde a
um intervalo de confiança de 95%. O critério para determinação da faixa de velocidade
56
superficial definitiva, que consiste no regime de leito totalmente fluidizado,foi o seguinte:
para velocidades superficiais menores do que Ux, os valores do diferencial de pressão no leito
devem ser menores do que o valor Δpmédio - 1,96.σ. Definida a faixa de velocidades
superficiais que pertencem ao intervalo Δpmédio ± 1,96.σ, a Ufc será a menor velocidade
superficial cujo valor do diferencial de pressão no leito é igual a Δpmédio.
Os ensaios fluidodinâmicos foram realizados primeiramente com o leito contendo
apenas cada material estudado. Em seguida foram realizados ensaios com misturas de bambu
adicionadas à areia (5 % de misturas de bambu e 95 % de areia em massa e 10% de misturas
de bambu adicionadas à 90% de areia).
3.3.1 Ensaios realizados com cada material individualmente
Foram realizados testes individualmente com areia e bambu com l/dc= 1, 2, 4 e 8. As
massas utilizadas nestes testes estão mostradas na Tabela 3.
Tabela 3– Valores das massas dos testes efetuados com cada material (kg)
Bambu (kg) Areia (kg)
l/dc=1 l/dc=2 l/dc=4 l/dc=8 Ensaio 1 Ensaio 2
Teste 1
Teste 2
Teste 3
0,367
0,367
0,367
0,354
0,354
0,354
0,337
0,337
0,337
0,250
1,170
1,170
1,170
1,200
1,200
1,200
57
3.3.2 Ensaios realizados com misturas de bambu adicionados à areia
Visando estudar o efeito da distribuição granulométrica das partículas de bambu na
fluidodinâmica do leito, foram executados 4 ensaios com misturas de bambu adicionados à
areia (90% e 95% em massa),referenciados como mistura 1 a 4. As misturas de bambu
testadas possuíam o mesmo valor do diâmetro médio de Sauter (2526 µm), calculados com
base no diâmetro nominal de 2 mm e comprimentos nominais de 2, 4, 8 e 16mm (l/dc= 1, 2, 4
e 8). Adicionalmente foram efetuados mais 3 ensaios: ensaio 5, feito com bambu com l=2 mm
(denominado mistura 5),ensaio 6, feito com bambu com l=4 mm (denominado mistura 6) e
ensaio 7, feito com bambu l=16 mm (denominado mistura 7), sendo cada um destes
adicionados à areia (90% e 95% em massa), que foram efetuadas para verificar a influência do
tamanha da partícula de bambu na Umfdas misturas de bambu adicionadas à areia. Além disto,
as misturas 5 a 7também contribuem para análise da influência da distribuição granulométrica
das partículas de bambu na Umf de suas misturas com areia, pois como cada uma das misturas
são compostas por somente um tamanho de bambu, eles estão isentos da influência dos outros
tamanhos de bambu.
Cada ensaio foi feito em triplicata, utilizando-se o mesmo material.
Para a definição da distribuição granulométricadas misturas 1 a 4, foi calculado o
diâmetro médio de Sauter de misturas de partículas de bambu com relações de l/dc=1, 2, 4 e 8,
contendo, cada tamanho de partícula, as seguintes proporções em massa: 5%, 10%, 20%,
40%, 60% e 80%.Para cada teste, foram adotadas duas destas proporções e calculadas as
demais para que resultasse no mesmo diâmetro médio de Sauter da mistura de bambu. Desta
forma, foram selecionadas 4 combinações com o valor do diâmetro de Sauter da mistura de
bambu de 2526 µm, denominadas de misturas 1 a 4, conformeTabela 5. Foi também utilizado
um critério adicional para a seleção da distribuição granulométrica destas misturas: aquelas
que melhor se aproximaram da distribuição de Rosin, Rammler e Bennet, que é dada pela Eq.
(65). Nesta equação, G(dsv) é a fração de material acumulada, em massa, menor do que o
tamanho dsv,ou seja, passante na malha com dimensão dsv, xo é um tamanho característico e k é
uma medida da distribuição das partículas. Para uma dada distribuição, xo e k são constantes.
Na Figura 14 estão apresentadas as distribuições das misturas de bambu testadas, que estão
representadas pelos marcadores quadrados, comparadas com a distribuição de Rosin,
Rammler e Bennet (linha em azul), de acordo com a Eq. (66). Para cálculo do dsv foram
utilizadas as dimensões nominais das partículas de bambu: diâmetro do cilindro de 2 mm e
58
comprimentos de 2, 4, 8 e 16 mm. Na Eq. (66), F é a fração de material acumulada, em
massa, maior ou igual ao tamanho dsv, ou seja, retida na malha com dimensão dsv. Conforme
González-Telloet al (2008), a distribuição Rosin, Rammler e Benneté a “mais comumente
utilizada para a análise da distribuição granulométrica. Esta função é adequada para
caracterizar material particulado obtido de operações de britagem e moagem, além de
partículas produzidas por spray”.
𝐺(𝑑 ) = 1 − 𝑒 (65)
1 − 𝐺 = 𝐹 = 𝑒 =1
𝑒
(66)
𝑙𝑛1
𝐹=
𝑑
𝑥
(67)
𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑛1
𝐹 = 𝑘. 𝑙𝑜𝑔
𝑑
𝑥
(68)
𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑛1
𝐹= 𝑘. 𝑙𝑜𝑔(𝑑 ) − 𝑘. 𝑙𝑜𝑔(𝑥 )
(69)
A Eq. (69) corresponde a uma reta num gráfico comos eixos cartesianos com escala
logarítmica, considerando no eixo das ordenadas os valores de F(dsv) e no eixo das abcissas os
valores de dsv, ou com eixos cartesianos com escala decimal, considerando no eixo das
abcissas, os valores de log (dsv) e no eixo das ordenadas, os valores de log[ln(1/F))]. Para
cada uma das misturas 1, 2, 3e 4, a distribuição granulométrica acumulada foi ajustada por
uma reta nesta escala e determinados os parâmetros k e k.log(xo)e com este termo, calculado o
59
valor de xo, definindo a função da distribuição de Rosin, Rammler e Bennet, traçadas em linha
azul na Figura 14. Os valores de k e xo assim obtidos estão na Tabela 4.
Tabela 4–Parâmetros k e xo da distribuição de Rosin, Rammler e Bennet de referência para comparação com a distribuição granulométrica das misturas 1 a 4
Mistura
1 2 3 4
k 20,666 21,285 22,439 22,807
xo(mm) 2,7436 2,7363 2,7271 2,7467
Figura 14 - Distribuição das misturas de bambu testadas(marcadores quadrados) comparada com a distribuição de Rosin, Rammler e Bennet (linha azul)
0102030405060708090
100
0,00 2,00 4,00 6,00
mas
sa r
etid
a ac
umul
ada
-%
dsv da partícula de bambu - mm
distr RRB
mistura 1
0102030405060708090
100
0,00 2,00 4,00 6,00
mas
sa r
etid
a ac
umul
ada
-%
dsv da particula de bambu - mm
distr RRB
mistura 2
0102030405060708090
100
0,00 2,00 4,00 6,00
mas
sa r
etid
a ac
umul
ada
-%
dsv da partícula de bambu - mm
distr RRB
mistura 3
0102030405060708090
100
0,00 2,00 4,00 6,00
mas
sa r
etid
a ac
umul
ada
-%
dsv da partícula de bambu - mm
distr RRB
mistura 4
60
Tabela 5-Composição das misturas de bambu com areia testadas (percentual em massa de cada componente)
Material Mistura
1 2 3 4 ldc1 ldc2 ldc8
Bambu
l/dc (%)
1 1,50 1,00 0,50 0,20 10,00
2 1,50 3,00 4,00 5,00 10,00
4 4,96 4,02 4,52 3,62
8 2,04 1,98 0,98 1,18 10,00
Areia (%) 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00 90,00
Tabela 6 - Composição das misturas de bambu com areia testadas (percentual em massa de cada componente)
Material Mistura
1 2 3 4 ldc1 ldc2 ldc8
Bambu
l/dc (%)
1 0,75 0,50 0,25 0,10 5,00
2 0,75 1,50 2,00 2,50 5,00
4 2,48 2,01 2,26 1,81
8 1,02 0,99 0,49 0,59 5,00
Areia (%) 95,00 95,00 95,00 95,00 95,00 95,00 95,00
61
3.3.3. Construção da curva fluidodinâmica
Todos os dados experimentais para construção das curvas fluidodinâmicas foram
obtidos no processo de defluidização, ou seja, redução da velocidade superficial do ar a partir
do regime de leito totalmente fluidizado.
Nas curvas fluidodinâmicas obtidas pelos ensaios dos materiais, são identificáveis as
características mostradas na Figura 15 e descritas naTabela 7.
Figura 15– Exemplo de curva fluidodinâmica de mistura de bambu acrescida à areia
Tabela 7 -Identificação das cores e descrição das características apresentadas na Figura 15
Pressão do material: massa do material dividida pela seção transversal do leito (linha horizontal)
Valor da média aritmética dos valores experimentais do diferencial de pressão no leito, correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado (linha horizontal)
Valor da média aritmética dos valores experimentais do diferencial de pressão no leito, correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado, acrescido do desvio padrão multiplicado por 1,96, o que corresponde ao intervalo de confiança de 95% (linha horizontal)
Equação By = 8129,6x + 181,66
R² = 0,9992
Equação Ay = 8225,1x + 144,37
R² = 0,9989
Equação Cy = 8035,3x + 218,18
R² = 0,9993
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
Regime leito totalmente fluidizadoRegião de transição
Regime leito fixo
62
Valor da média aritmética dos valores experimentais do diferencial de pressão no leito, correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado, subtraído do desvio padrão multiplicado por 1,96, o que corresponde ao intervalo de confiança de 95% (linha horizontal)
Umf– velocidade de mínima fluidização: corresponde a interseção da curva ajustada relativa ao regime de leito fixo extrapolada, com a reta horizontal formada pelo valor médio da pressão no regime de leito totalmente fluidizado. É um valor teórico, ou seja, não possui característica específica perceptível visualmente no teste. Lourenço e Tannous (2012) denominaram esta velocidade de “velocidade de fluidização aparente” (linha vertical).
Ufi - velocidade de fluidização iminente: o leito está na iminência de que ocorra movimento relativo entre as suas partículas. Graficamente corresponde ao maior valor da velocidade superficial, onde ocorre a mudança da inclinação da curva ajustada correspondente ao regime de leito fixo, para a curva correspondente a região de transição (linha vertical).
Ufc– velocidade de fluidização completa: considerando a velocidade superficial crescente, corresponde a velocidade superficial mínima, cujo diferencial de pressão no leito é igual ao valor da média aritmética do diferencial de pressão no leito, correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado
Umin - valor mínimo da velocidade superficial que se pode medir conforme a norma ASME MFC 14M 2003, ou mínima velocidade superficial consistente com os dados obtidos no teste (linha vertical).
Umax – valor máximo da velocidade superficial dos ensaios (linha vertical).
Curva ajustada aos pontos experimentais, correspondente ao regime de leito fixo (linha inclinada), representada pela Equação B.
Curva ajustada aos pontos experimentais, acrescidos da sua incerteza, no regime de leito fixo (linha inclinada), representada pela Equação A.
Curva ajustada aos pontos experimentais, subtraídos da sua incerteza, no regime de leito fixo (linha inclinada), representada pela Equação C.
Umin ≤ U ≤ Ufi Intervalo de velocidade superficial que corresponde ao regime de leito fixo: neste regime, as partículas do leito não apresentam movimento relativo entre elas; o ar escoa entre as partículas sem movê-las.
Ufi ≤ U ≤ Ufc Intervalo de velocidade superficial que corresponde ao regime de leito parcialmente fluidizado, ou região de transição.
63
Ufc< U ≤ Umax Intervalo de velocidade superficial que corresponde ao regime de leito totalmente fluidizado: o valor do diferencial de pressão do leito permanece praticamente constante, dentro de uma faixa de valores. Para representação gráfica deste regime, foi considerado o valor da média aritmética dos diferenciais de pressão no leito, medidas experimentalmente (reta horizontal) e o seu desvio padrão. Neste regime o leito apresenta alta turbulência e a presença de bolhas. Isto provoca o surgimento de canais preferenciais instantâneos e a oscilação na pressão no leito.
Os valores do diferencial de pressão no leito, obtidos experimentalmente, correspondem
a soma do valor da perda de pressão no leito de partículas e distribuidor de ar (placa porosa).
Assim, foram obtidos experimentalmente para a placa porosa, valores do diferencial de
pressão em função da velocidade superficial, que foram aproximadas por uma função. Para a
obtenção da perda de pressão somente do leito de partículas, foi subtraído do valor do
diferencial de pressão obtidos nos testes com os materiais, os valores correspondentes da
perda de pressão na placa porosa. Foi considerada a curva do diferencial de pressão da placa
porosa com valores decrescentes da velocidade superficial.
A pressão estática a montante da placa distribuidora foi considerada como sendo a
pressão atmosférica acrescida do diferencial de pressão da placa distribuidora e leito de
partículas.
AFigura 16é um exemplo típico da curva fluidodinâmica da placa porosa. Analisando
especificamente o caso da Figura 16, a perda de pressão da placa porosa apresenta um
comportamento quadrático para valores da velocidade superficial maiores do que 0,099 m/s e
menores do que 1,423 m/s. Para velocidade superficial menor do que 0,099 m/s, quando
necessário, foi considerada uma reta teórica passando pela origem e pela pressão
correspondente a esta velocidade. Para cada material testado, foi obtida a curva
fluidodinâmica da placa porosa e adotado procedimento análogo ao descrito. Não é possível
obter valores da velocidade superficial inferiores a 0,04 m/s (aproximadamente), pois a
determinação da vazão foi efetuada com base na norma ASME MFC 14M 2003, que possui
limitação no valor mínimo da velocidade no tubo de medição (número de Reynolds do ar no
tubo de medição > 1000)
Para subtrair a perda de pressão da placa porosa, dos valores obtidos experimentalmente
para a perda de pressão do material e placa porosa, todos os pontos obtidos
experimentalmente foram corrigidos para a mesma densidade do ar, calculada para a pressão
64
barométrica de 706,1 mmHg e temperatura de 25 oC. Todas as curvas fluidodinâmicas
apresentadas estão com o diferencial de pressão corrigida para esta densidade.
As propagações das incertezas foram calculadas a partir das relativas aos instrumentos
utilizados. O valor inferior da incerteza da Umf foi obtida pela interseção da curva ajustada
aos valores experimentais, subtraídos da sua incerteza, no regime de leito fixo, com a reta
horizontal do valor médio do diferencial de pressão no leito, no regime de leito totalmente
fluidizado, subtraído do desvio padrão. O valor superior da incerteza da Umf foi obtida pela
interseção da curva ajustada aos valores experimentais, acrescidos da sua incerteza, do regime
de leito fixo, com a reta horizontal do valor médio das pressões, no regime de leito totalmente
fluidizado, acrescido do desvio padrão. As equações utilizadas para o cálculo das incertezas
estão apresentadas no Apêndice B.
Figura 16-Curva típica do diferencial de pressão na placa porosa
A determinação da vazão foi efetuada com base na norma ASME MFC 14M 2003, que
define a metodologia para obtenção da vazão através de placas de orifício com diâmetros no
tubo de escoamento do fluido entre 6 a 40 mm (item 1 da norma), regime permanente,
subsônico, monofásico. O método é iterativo, pois o coeficiente de descarga é função do
número de Reynolds do ar no tubo e a vazão é função do coeficiente de descarga. Neste
trabalho a iteração foi efetuada com base no número de Reynolds do ar no tubo (item 4.3.1 da
y = 983,46x2 + 617,69x + 85,518R² = 0,9999
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000 1,2000 1,4000 1,6000
Δp
na p
laca
por
osa
(Pa)
velocidade superficial (m/s)
65
norma), com as condições do ar tomadas a montante da placa de orifício. O diâmetro do tubo
de escoamento do ar utilizado nos testes foi de 22,15 mm e a tomada das pressões
corresponde ao “corner tapconfiguration” da norma. Tanto o sistema experimental, como os
dados experimentais e cálculos foram efetuados de acordo com as recomendações da norma,
entre as quais são destacadas as seguintes:
- descarga dos gases conforme equação 3.11a da norma;
- coeficiente de descarga conforme equação 7.1 da norma;
- coeficiente de expansão conforme equação 7.3a da norma;
- diâmetro do tubo de escoamento do ar entre 12 a 40 mm (item 7.1 da norma) para as
equações utilizadas nos cálculos;
- número de Reynolds do ar no tubo onde está instalada a placa de orifício,
𝑅𝑒 =. .
> 1000, calculado com base nas condições do ar no tubo, a
montante da placa de orifício (item 7.1 da norma) e diâmetro do tubo como dimensão
característica;
- relação entre o diâmetro da placa de orifício e o diâmetro do tubo de passagem do ar (β)
entre 0,15 ≤ β ≤ 0,8 (item 6.3.13 e item 7.1 da norma)
- relação entre pressão estática absoluta a jusante (p2) e a montante da placa de orifício do
ar (p1) > 0,85 (item 4.4.2 e item 5.3.3 da norma).
- para todos os pontos experimentais, coeficiente de expansão do ar < 1 (item 3.2.3 da
norma)
66
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Neste capitulo estão apresentados e discutidos os resultados obtidos para a
caracterização dosmateriais particulados estudados: areia e bambu.
Adicionalmente são apresentados osresultados obtidos nos testes
fluidodinâmicos:osvalores da Umf para o bambu, para a areia e Ufi, UmfeUfc para cada mistura
de bambu adicionada a areia.Estas velocidades foram obtidas a partir daconstrução e análise
da curva fluidodinâmica, conforme descrito no capítulo “Materiais e métodos”, no processo
de defluidizaçao. Nas figuras mostradas neste capitulo estão apresentados os resultados
obtidos em apenasum dos testes, dentre as três repetições realizadas. Os resultados obtidos em
todos os ensaiosfluidodinâmicos realizados estão mostrados no Apêndice A.
4.1 Caracterização dos materiais
4.1.1 Caracterização das partículas de bambu e da areia
As características da areia testada estão apresentadas na Tabela 8e das partículas de
bambu na Tabela 9. No Apêndice E estão apresentadas as dimensões medidas das partículas
de bambu.
Tabela 8-Características das partículas de areia
Propriedades Areia
d (mm) 0,46±0,04
ρap (kg/m3) 2587±40
𝜙exp 0,66±0,09
ρbulk (kg/m3) 1524±7
Porosidade do leito (Ɛ) 0,41
Classificaçãode Geldart B
67
Tabela 9- Características das partículas de bambu testadas
Propriedades bambu - l/dc
1 2 4 8
l (mm) 2,05±0,08 4,2±0,2 7,8±0,1 16,4±0,1
dc (mm) 1,9±0,1 1,94±0,07 1,89±0,08 1,91±0,08
dsv(mm) 1,9±0,3 2,4±0,2 2,5±0,2 2,7±0,3
dv(mm) 2,23±0,08 2,87±0,08 3,5±0,1 4,5±0,1
ds(mm) 2,4±0,1 3,2±0,1 4,1±0,1 5,8±0,1
𝜙 0,87±0,09 0,82±0,07 0,73±0,05 0,61±0,04
ρbulk (kg/m3) 437±2 418±2 373±5 334±9
Classificação de Geldart
D D D D
As porosidades do leito das partículas de bambu, indicadas na Tabela 10, foram
calculadas conforme Eq.(70).A densidade envelopada (ρenv) adotada foi a média aritmética
dos valoresdas densidades envelopadas indicadas na Tabela 12, por se tratar do mesmo
material cortado em comprimentos diferentes. A altura do leito, para as partículas de bambu
com l/dc=1, 2 e 4, foi medida conforme o seguinte procedimento: o leito foi submetido ao
regime de leito totalmente fluidizado por alguns minutos e em seguida a vazão de ar foi
reduzida gradualmente até que se anulasse, quando foi tomada a medida da altura do leito.
Para as partículas de bambu com l/dc=8, como não fluidizaram, a altura foi medida no leito
fixo empacotado naturalmente. A correlação para porosidade de leito empacotado de
partículas cilíndricas sólidas e isométricas de Dixonet al. (1988) resultou em 0,37. A
correlação deBenyahiaet al. (2005) apresentou valores de 0,37 a 0,38 para os 4 tamanhos de
partículas de bambu. Estas correlações foram desenvolvidas com fluxo de ar nulo e leito
empacotado naturalmente. Para que os valores experimentais fossem semelhantes a estes
valores de porosidade, na condição de vazão nula, a altura do leito fixo deveria ser
aproximadamente 85 mm, ou seja, o leito deveria estar mais compactado. Uma das causas
desta diferença pode ser atribuída ao fato de que a altura do leito fixo empacotado
68
naturalmente e a altura do leito fixo obtido após fluidização, diferem porque esta provoca uma
acomodação das partículas com maior espaçamento entre elas. No entanto, se considerarmos
os valores da altura do leito no regime de fixo obtidos experimentalmente (HLF), para cada
valor de l/dc, os valores da porosidade não sofrem grandes variações entre si.
𝜀 = 1 −𝑉
𝑉= 1 −
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻= 1 −
𝜌
𝜌
(70)
Tabela 10-Porosidade do leito fixo das partículas de bambu
Propriedade bambu - l/dc
1 2 4 8(*)
massa (g) 367,57±0,05 354,00±0,05 336,99±0,05 250,00±0,05
HLF(mm):
- Teste 1
- Teste 2
- Teste 3
102±2
105±2
104±2
105±2
105±2
104±2
110±2
110±2
113±2
90±2
92±2
95±2
Porosidade (ε): - Teste 1
- Teste 2
- Teste 3
0,48±0,02
0,50±0,02
0,49±0,02
0,52±0,02
0,52±0,02
0,51±0,02
0,56±0,02
0,56±0,02
0,57±0,02
0,60±0,02
0,61±0,02
0,62±0,02
Nota: (*) leito empacotado naturalmente
Adicionalmente aos valores da esfericidade das partículas de bambu calculados com
base na sua geometria, ela também foi obtida através da curva fluidodinâmica (esfericidade
efetiva - Kunii e Levenspiel, 1991) utilizando a correlação de Ergun, para verificar a
consistência dos valores obtidos por esta metodologia. A esfericidade efetiva foi calculada
pela correlação de Ergun para cada ponto experimental e obtida a sua média. Os parâmetros
considerados na correlação de Ergun foram os seguintes:
69
- diferencial de pressão no leito fixo, velocidade superficial e altura do leito fixo: conforme
valores obtidos experimentalmente.
- diâmetro da partícula: diâmetro de Sauter calculado com base na geometria das partículas.
- porosidade do leito fixo: calculada a partir da densidade envelopada da partícula e altura do
leito fixo obtida experimentalmente, Eq. (70).
- viscosidade e densidade do ar: correspondentes a pressão barométrica de 706,1 mmHg e
temperatura de 25oC.
Os valores estão apresentados na Tabela 11(média dos 3 testes realizados para cada
l/dc), sendo ∅expos valores da esfericidade efetiva obtidos experimentalmente a partir da curva
fluidodinâmica e ∅ os calculados através da geometria do bambu. Observa-se que os valores
da esfericidade efetiva obtidos experimentalmente apresentam razoável proximidade com os
valores teóricos.
Tabela 11- Esfericidade calculada pela geometria do bambu (∅) comparada com a esfericidade efetiva (obtida pela curva fluidodinâmica - ∅exp)
Esfericidade
bambu - l/dc
1 2 4
𝜙 0,87±0,09 0,82±0,07 0,73±0,05
𝜙exp 0,70±0,03 0,70±0,02 0,62±0,04
𝜙exp/ ∅ 0,81 0,85 0,85
Para determinação da densidade “bulk”, foi determinada a massa (mp) da amostra e
colocado no leito fluidizado, sendo submetido ao regime de leito totalmente fluidizado.
Decorridos alguns segundos, a válvula de controle da vazão do ar (Figura 13- válvula V1) foi
sendo fechada gradativamente. A altura do leito para cálculo do volume ocupado pelo material
particulado (Vleito) foi medida após a válvula estar totalmente fechada. A densidade “bulk” foi
calculada conforme Eq. (71). e os valores obtidos estão naTabela 9. O bambu com l/dc=8 não
fluidizou, a densidade “bulk” indicada foi obtida com o material empacotado naturalmente.
70
𝜌 =𝑚
𝑉
(71)
𝑉 = 𝐻𝜋𝐷
4
(72)
Os parâmetros para determinação da densidade envelopada, bem como seu valor, estão
apresentados na Tabela 12. A massa corresponde a 500 partículas de cada tamanho de bambu.
A densidade envelopada no valor de 859±28 kg/m3, que correspondente a média aritmética
dos valores de cada tamanho de partícula que estão apresentadas na Tabela 12, foi considerada
como representativa das partículas de bambupor se tratar do mesmo material com diâmetro
nominal de 2mm, cortados nos comprimentos 2, 4, 8 e 16 mm (relação l/dc=1, 2, 4 e 8).
Tabela 12- Densidade envelopada do bambu (ρenv)
Propriedade bambu - l/dc
1 2 4 8
Massa (g) 2,5070 ±0,0007 5,1174±0,0007 9,7788±0,0007 20,1147±0,0007
Volume (m3)
x 10-6
2,9±0,3 6,2±0,5 10,9±0,9 23±2
ρenv(kg/m3) 863±97 824±71 894±77 856±72
A Figura 17mostra, para o diâmetro do cilindro de 2 mm, a variação dos diâmetros
característicos (diâmetro médio de Sauter, diâmetro volumétrico e diâmetro superficial) em
função da relação l/dc. Observa-se que com o aumento da relação l/dc, a taxa de aumento dos
diâmetros característicos é diferente, sendo a menor, a que corresponde ao diâmetro médio de
Sauter e a maior, o diâmetro superficial. O percentual relativo entre os diâmetros também
aumenta com o aumento da relação l/dc.
71
Figura 17 - Diâmetrocaracterístico em função da relação l/dc
4.1.2 Caracterização das misturasde bambu
As misturas de 1 a 4,compostas por partículas de bambu com l/dc=1, 2, 4 e 8, possuem
o mesmo diâmetro médio de Sauter, calculado com o diâmetro nominal do bambu de 2 mm e
comprimentos nominais de 2, 4, 8 e 16 mm (Tabela 13- dsvnominal da mistura de bambu). As
misturas denominadas de mistura ldc1, ldc2 e ldc8 são compostas por partículas de bambu
com somente um tamanho, sendo estes l/dc=1, l/dc=2 e l/dc=8, respectivamente. Quando
calculado conforme as dimensões reais das partículas de bambu utilizadas nos testes, resultou
que, além das misturas 1 a 4, a mistura ldc2também possui o mesmo diâmetro médio de
Sauter (Tabela 13 - dsv da mistura de bambu). Considerando a incerteza nos valores de dsv,
ocorre a sobreposição da faixa de variação do diâmetro médio de Sauterdestas misturas,
também com a mistura ldc8. A notação 5/95 refere-se a 5% de mistura de bambu adicionada à
95% de areia, em massa e a notação 10/90 refere-se a 10% de mistura de bambu adicionada à
90% de areia, em massa, sendo utilizada estas notações ao longo deste texto. Na Tabela 13,
também estão indicadas a dimensão característica resultante da mistura de bambu adicionada
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
diâm
etro
car
acte
ríst
ico
(mm
)
l/dc
diâmetrosuperficial
diâmetrovolumétrico
diâmetro deSauter
72
à areia, denominada de diâmetro equivalente, calculada conforme Eq. (20). O diâmetro
equivalente, considerando a esfericidade das partículas das misturas de bambu e da areia,
representadopor𝑑∅, foi calculado conforme Eq. (73), cujos valores constam na Tabela 13. A
densidade equivalente, calculada conforme Eq. (18), é 2351 ± 33 kg/m3 para a proporção de
materiais 5/95 e 2154 ± 31 kg/m3 para a proporção de materiais 10/90.
𝑑∅ = 𝜙 𝑑 . 𝜙 𝑑𝑥 𝜌 + 𝑥 𝜌
𝑥 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑥 𝜌 𝜙 𝑑
(73)
Tabela 13 - Diâmetro equivalente das misturas de bambu adicionadas à areia
Mistura
dsvnominal da mistura de bambu
(mm)
dsv da mistura de
bambu com
dimensões reais (mm)
Diâmetro médio da
areia (mm)
Diâmetro equivalente – de (mm)
Diâmetro equivalente considerando a esfericidade das
partículas – 𝑑∅ (mm)
5/95 10/90 5/95 10/90
1 e 2 2,5 2,4±0,2
0,46±0,04
0,52±0,04 0,58±0,05
0,34±0,15
0,38±0,15 3 e 4 2,5 2,4±0,3
ldc1 2,0 1,9±0,3 0,51±0,04 0,57±0,05 0,39±0,15
ldc2 2,4 2,4±0,2 0,52±0,04 0,58±0,05 0,38±0,15
ldc8 2,8 2,7±0,3
A Tabela 14 apresenta a fração em massa e a Tabela 15o número de partículas das
misturas de bambu utilizadas nos testes com 5% de mistura de bambu adicionadas a 95% de
areia, em massa (proporção de materiais 5/95) e para 10% de mistura de bambu adicionadas a
90% de areia, em massa (proporção de materiais 10/90). ATabela 16 apresenta as esfericidades
referentes a estas misturas. A seguir estão os comentários sobre os valores calculados da
tabela:
73
- Os valores das esfericidades das partículas de bambu das misturas 1 a 4, calculadas
com diâmetro nominal do cilindro de 2 mm e comprimentos nominais de 2, 4, 8 e 16 mm,são
as mesmas (ver Apêndice C). Este resultado se repetiu considerando os valores
experimentaisreais das dimensões destas partículas, apesar da existência de pequenas
diferenças no seu diâmetro do cilindro e comprimento, em decorrência da propagação de
incerteza, tanto para a proporção de materiais 5/95 como para 10/90. Entre estas proporções
de materiais, o percentual em massa dos tamanhos das partículas de cada mistura de bambu é
o mesmo.
- Para comparação com os valores daTabela 16, a esfericidade das partículas de bambu,
calculadas com diâmetro nominal de 2 mm e comprimentos nominais de 2, 4, 8 e 16 mm das
misturas 1 a 4 é 0,80 e para a mistura 5, 6 e 7 são, respectivamente, 0,87, 0,83 e 0,62.
- O número de partículas total de bambu, para as misturas 1 a 4 e testes com a proporção
de materiais 5/95, calculadas com diâmetro nominal de 2 mm e comprimentos nominais de 2,
4, 8 e 16 mm é constante. Para as misturas com proporção de materiais 10/90, o número total
de partículas é o dobro da quantidade da proporção de materiais 5/95. Isto está mostrado no
Apêndice C. As diferenças apresentadas na Tabela 14 são decorrentes da variação nos
diâmetros e comprimentos reais das partículas cilíndricas e da densidade envelopada.
Tabela 14–Fração em massadas misturas de bambu
Mistura de
bambu
l/dc
1 2 4 8
1 0,150 0,150 0,495 0,205
2 0,100 0,300 0,402 0,198
3 0,050 0,400 0,452 0,098
4 0,020 0,500 0,362 0,118
ldc1 1,000
ldc2 1,000
ldc8 1,000
74
Tabela 15- Número de partículas das misturas de bambu adicionadas à 90% e 95% de areia
Mistura de bambu
Proporção de
materiais
Número de partículas das misturas de bambu(x103)
l/dc Total 1 2 4 8
1 5/95
10/90
1,80
3,61
0,844
1,69
1,58
3,16
0,305
0,609
4,53
9,06
2 5/95
10/90
1,20
2,40
1,69
3,38
1,28
2,57
0,295
0,588
4,47
8,94
3 5/95
10/90
0,601
1,20
2,25
4,50
1,44
2,89
0,145
0,290
4,44
8,88
4 5/95
10/90
0,240
0,481
2,81
5,63
1,16
2,31
0,175
0,350
4,39
8,77
ldc1 5/95
10/90
12,0
24,0
12,0
24,0
ldc2 5/95
10/90
5,63
11,3
5,63
11,3
ldc8 5/95
10/90
1,49
2,97
1,49
2,97
Incerteza
relativa
5/95 e
10/90
±0,12 ±0,09 ±0,09 ±0,09 De ±0,05 a ±0,12
75
Tabela 16 - Esfericidade das misturas de bambu adicionadas à 90% e 95% de areia (em massa)
Mistura de bambu Esfericidade da
mistura de bambu
1 0,79±0,08
2 0,79±0,08
3 0,78±0,08
4 0,78±0,09
ldc1 0,87±0,09
ldc2 0,82±0,07
ldc8 0,60±0,04
4.1.3Porosidade do leito de areia com o acréscimo de partículas de bambu
Ao acrescentarmos partículas de bambu no leito formado por partículas de areia, para as
frações em massa de bambu testadas, a porosidade do leito diminui (ver Figura 18), pois as
partículas de areia e a porosidade existente entre elas são substituídas por uma partícula
“sólida” de bambu, conforme exemplificado na Figura 18. Considerando somente o aspecto
da porosidade do leito, o acréscimo de partículas de bambu no leito de areia diminui a
porosidade do leito, o que deveria resultar em valores menores de Umf. No entanto, os
resultados experimentais deste trabalho e de outros encontrados na literatura (Bilbao et al.,
1987; Paudel e Feng, 2013), relatam o aumento da Umf da mistura areia e biomassa, com o
aumento desta na mistura. Estes resultados serão abordados detalhadamente no item 4.3.
76
Figura 18 – Diminuição da porosidade no leito: quantidade de partículas de areia e vazios substituídos por uma partícula de bambu
4.1.4Altura teórica do leito de partículas contendo areia e bambu comparado com o leito
formado somente por partículas de areia
Seja um leito formado somente por partículas de areia. Ao iniciarmos o acréscimo de
partículas de bambu no leito formado somente por areia, mantendo constante sua massa total,
o volume de uma partícula de bambu substituirá um conjunto de partículas de areia (ver
Figura 18). A massa de areia substituída e a massa das partículas de bambu adicionadas são
iguais, pois a massa total do leito é a mesma, por hipótese, resultando na relação conforme
Eq. (74):
𝑚 = 𝑚 → 𝑉 𝜌 = 𝑉 𝜌 (74)
Substituindo os valores das densidades dos materiais, resulta na relação entre os
volumes conforme Eq. (75).
𝑉
𝑉= 0,56
(75)
Partícula de bambu
Partículas de areia e poros substituídos pela partícula de bambu
77
Conforme Eq. (75), ovolume das partículas de areia substituídas pelas partículas de
bambu é menor do que o volume das partículas desta. Assim,a altura total do leito formado
por partículas de areia aumenta com o acréscimo das partículas de bambu, quando mantida a
massa total do leito constante.Este aspecto é importante, pois esta constatação mostra que esta
não pode ser uma possível causa do aumento da Umf da mistura de bambu acrescida à areia
comparada a Umf do leito formado somente por areia, conforme resultados experimentais
detalhados no item4.3. Isto só poderia ser verdadeiro se ocorresse a diminuição da altura do
leito com o acréscimo de partículas de bambu.
4.2 Resultados e comentários dos ensaios fluidodinâmicos realizados com cada material
individualmente
Nesta seção serão apresentadas as curvas fluidodinâmicas obtidas a partir dos valores
experimentaise expressões da Umf das partículas de bambu em função da esfericidade, do
diâmetro característico e da relação comprimento sobre diâmetro característico.
4.2.1 Curvas fluidodinâmicas e velocidades características
Os testes com bambu apresentaram boa fluidização conforme mostrado na Figura 19 a
Figura 22, com exceção do bambu com l/dc= 8. Neste caso ocorreu a formação de canais
preferenciais no regime de leito de fixo (Figura 23), o que impossibilitou a obtenção de dados
para determinação da curva correspondente ao regime de leito fixo. Assim, não foi possível
determinar a sua Umf. Todos os casos apresentaram fluidização borbulhante.
78
Figura 19- Regime de leito totalmente fluidizado – bambu com l/dc=1
Figura 20 - Regime de leito totalmente fluidizado – bambu com l/dc=2
Figura 21 - Regime de leito totalmente fluidizado – bambu com l/dc=4
79
Figura 22 - Regime de leito totalmente fluidizado – bambu com l/dc=8
Figura 23 - Regime de leito fixo com formaçao de canais preferenciais – bambu com l/dc=8
AFigura 24àFigura 27apresentam as curvas fluidodinâmicas obtidas nos ensaios com as
partículas de bambu testadas individualmente (l/dc = 1, 2 e 4). Apenas um dos testes de cada
material foi mostrado para permitir uma melhorvisualização das características observadas.
Conforme Figura 24à Figura 26, nota-se que os diferenciais de pressãono leito, no
regime de fluidização completa, ficaram significativamente mais dispersas, com relação ao
valor da média aritmética dos diferenciais de pressão neste regime, para as partículas com l/dc
= 4, do que nos casos com l/dc = 1 e 2. Observa-se experimentalmente que o tamanho das
bolhas e os canais preferenciais formados ficam maiores com o aumento da relação l/dc.
80
Figura 24 - Curva fluidodinâmica das partículas de bambu com l/dc=1
Figura 25 - Curva fluidodinâmica das partículas de bambu com l/dc=2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000 1,2000 1,4000
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
teste 2
pressão do material
reta horizontal
Umf
Polinomial (leito fixo)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000 1,2000 1,4000 1,6000
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
teste 2
pressão do material
reta horizontal
reta vertical
Polinomial (leito fixo)
81
Figura 26 - Curva fluidodinâmica das partículas de bambu com l/dc=4
Figura 27 - Curvas fluidodinâmicas das partículas de bambu com l/dc=1, 2 e 4
A Tabela 17mostra os valores da Umf do bambu e a Tabela 18os referentes à areia,
correspondentes a média aritmética dos três testes realizados com cada material, a faixa de
variação do número de Reynolds do escoamento (Redsv), calculado com o diâmetro médio de
Sauter para as partículas de bambu, como sendo a dimensão característica e para areia, a
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000 1,2000 1,4000 1,6000
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
teste 1
pressão do material
reta horizontal
Umf
Polinomial (leito fixo)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000 1,2000 1,4000 1,6000
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
bambu l/dc = 1
bambu l/dc=2
bambu l/dc=4
82
média da abertura das peneiras Tyler 32 e 35 e a forma da curva ajustada aos pontos
experimentais do regime de leito fixo. Conforme mostrado na Tabela 17 e Tabela 18, tanto
para as partículas de bambu como para as da areia, a forma da curva ajustada aos pontos
experimentais do regime de leito fixo está coerente com o número de Reynolds do
escoamento (Redsv).
Para o regime de leito fixo de um leito composto por partículas de bambu, a porosidade
do leito aumenta com o aumento da relação l/dc, conforme mostrado na Tabela 10. Com o
aumento desta relação, também aumenta a permeabilidade do leito para passagem do gás de
fluidização, diminuindo o diferencial de pressão no leito, para a mesma velocidade
superficial, ou seja, dada uma velocidade superficial, o diferencial de pressão no leito
aumenta à medida que diminui a relação l/dc.
Tabela 17 - Velocidade de mínima fluidização das partículas de bambu, faixa de variação de Redsv e forma da curva de ajuste do regime de leito fixo
Bambu l/dc Faixa de variação de
Redsvno regime de
leito fixo
Forma da curva
ajustada ao regime
de leito fixo
Umf (m/s)
1 29 a 66 Equação do 2o grau 0,62 ± 0,02
2 37 a 105 Equação do 2o grau 0,73 ± 0,02
4 37 a 162 Equação do 2o grau 1,03 ± 0,03
Tabela 18 - Velocidade de mínima fluidização das partículas de areia, faixa de variação de Redsv e forma da curva de ajuste do regime de leito fixo
Faixa de variação de
Redsvno regime de
leito fixo
Forma da curva
ajustada ao regime
de leito fixo
Umf (m/s)
areia 1,1 a 3,3 reta 0,124 ± 0,003
83
4.2.3 Variação da Umf das partículas de bambu com a esfericidade, diâmetro
característico e relação comprimento sobre diâmetro característico
AsFigura 28àFigura 30referem-se à aproximaçãopor função dos valores experimentais
da Umf das partículas de bambu em função somente da esfericidade, do diâmetro característico
e da relação comprimento sobre diâmetro característico. Foram considerados somente a faixa
dos valores testados experimentalmente e utilizadas as funções de aproximação disponíveis
no Excel, da Microsoft. Considerando os parâmetros da correlação de Ergun incluindo a
esfericidade das partículas, Eq.(76), esta, a dimensão característica e a porosidade do leito são
constantes somente para as partículas com um determinado valor del/dc. As curvas ajustadas
aos valores experimentais da Umf , Figura 28 à Figura 30, apresentaram o valor unitário para o
coeficiente de determinação (R2), pois foram aproximados 3 valores de Umf por uma equação
do segundo grau, com exceção da curva correspondente a Umf em função do diâmetro médio
de Sauter (Figura 29), que foi aproximada por uma função do terceiro grau, pois a equação do
segundo grau apresentou formato incoerente.
𝛥𝑃
𝐻
∅𝑑
𝜌 𝑈
𝜀
(1 − 𝜀 )=
150(1 − 𝜀 )𝜇
∅𝑑 𝜌 𝑈+ 1,75
(76)
84
Figura 28 - Umf das partículas de bambu em função da esfericidade
Figura 29 - Umf das partículas de bambu em função do diâmetro característico
y = 3,109x2 - 8,0226x + 5,2527R² = 1
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90
Um
f(m
/s)
esfericidade
y = 0,2766x2 - 1,2357x + 1,9971R² = 1
y = 0,1192x2 - 0,5173x + 1,1724R² = 1
y = 4,429x3 - 27,446x2 + 56,653x - 38,332R² = 0,9996
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Um
f (m
/s)
diâmetro característico (mm)
diâmetro de Sauter
diametro volumetrico
diâmetro superficial
85
Figura 30 - Umf das partículas de bambu em função da relação do comprimento sobre o diâmetro característico
y = 0,0177x2 + 0,0466x + 0,5461R² = 1
y = 0,0398x2 + 0,0434x + 0,5272R² = 1
y = 0,1403x2 - 0,126x + 0,6143R² = 1
y = 0,2657x2 - 0,3387x + 0,712R² = 1
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Um
f(m
/s)
relação do comprimento sobre o diâmetro característico
l/dc l/dSV
l/dV l/dS
86
4.3 Resultados dos ensaios fluidodinâmicos realizados com misturas de bambu
adicionadas à areia
4.3.1 Curvas fluidodinâmicas e velocidades características
AsFigura 31 àFigura 34apresentam as curvas fluidodinâmicas agrupadas dos ensaios
realizados com misturas de partículas de bambu adicionadas à areia juntamente com a da
areia, para possibilitar uma visualização das diferenças encontradas. Apenas um dos testes de
cada material, que foram executados em triplicata, foi mostrado.Foram testadas sete misturas,
sendo quatro compostas por areia e partículas de bambu com l/dc=1, 2, 4 e 8, denominadas de
misturas 1 a 4 e três misturas compostas por areia e bambu com somente um comprimento
(com l/dc=1, 2 e 8), denominadas de mistura ldc1, ldc2 e ldc8, respectivamente. Em
percentual em massa, as misturas 1 a 4 possuíam a composição de partículas de bambu
listadas a seguir, conforme a ordem l/dc=1/l/dc=2/ l/dc=4/ l/dc=8:
- mistura 1 - 15/ 15/ 49,5/ 20,5;
- mistura 2 – 10/ 30/ 40,24/ 19,76;
- mistura 3 – 5/ 40/ 45,24/ 9,76;
-mistura 4 – 2/ 50/ 36,2/ 11,8.
As misturas 1 a 4 e a mistura ldc2 possuíam o mesmo diâmetro médio de Sauter.
87
Figura 31 - Comparação da curva fluidodinâmica da areia e das misturas de bambu (5% em massa) adicionadas à areia (95% em massa) (misturas 1 a 4)
Figura 32 - Comparação da curva fluidodinâmica da areia e das misturas de bambu (5% em massa) adicionadas à areia (95% em massa) (misturas ldc1, ldc2 e ldc8)
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
areiamistura 1mistura 2mistura 3mistura 4
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
areiamistura ldc1mistura ldc2mistura ldc8
88
Figura 33 - Comparação da curva fluidodinâmica da areia e das misturas de bambu (10% em massa) adicionadas à areia (90% em massa) (misturas 1 a 4)
Figura 34 - Comparação da curva fluidodinâmica da areia e das misturas de bambu (10% em massa) adicionadas à areia (90% em massa) (misturas ldc1, ldc2 e ldc8)
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
areia
mistura 1
mistura 2
mistura 3
mistura 4
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
areiamistura ldc1mistura ldc2mistura ldc8
89
AFigura 35à Figura 41referem-se as curvas fluidodinâmicas obtidas nos ensaios com as
misturas de partículas de bambu adicionadas à areia. Apenas um dos testes de cada material
foi mostrado para permitir uma melhorvisualização das características observadas. As curvas
com linhas continuas referem-se a 5% de mistura de bambu (em massa) adicionadas à 95% de
areia (em massa). As curvas com linhas tracejadas referem-se a 10% de mistura de bambu (em
massa) adicionadas à 90% de areia (em massa). A identificação das cores e os correspondentes
significados utilizados nas figuras estão indicados na Tabela 19.
Tabela 19 - Identificação das cores utilizadas nas figuras
Linhas contínuas referem-se a misturas de bambu com 95% de areia e linhas tracejadas à 90% de areia (percentuais em massa)
Pressão do material: peso do material dividida pela seção transversal do leito (linha horizontal)
Média aritmética do diferencial de pressão no leito correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado (linha horizontal)
Umf– velocidade de mínima fluidização (linha vertical)
Ufi- velocidade de fluidizaçãoiminente (linha vertical)
Ufc–velocidade de fluidização completa (linha vertical)
Curva ajustada aos pontos experimentais no regime de leito fixo (linha inclinada)
90
Figura 35- Curvas fluidodinâmicas da mistura 1
Figura 36 - Curva fluidodinâmica da mistura 2
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
bambu 5% e areia 95% bambu 10% e areia 90%
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
bambu 5% e areia 95% bambu 10% e areia 90%
91
Figura 37 - Curvas fluidodinâmicas da mistura 3
Figura 38– Curvas fluidodinâmicas da mistura 4
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
bambu 5% e areia 95% bambu 10% e areia 90%
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
bambu 5% e areia 95% bambu 10% e areia 90%
92
Figura 39– Curvas fluidodinâmicas da mistura ldc1: bambu com l/dc=1 adicionada à areia
Figura 40– Curvas fluidodinâmicas da mistura ldc2: bambu com l/dc=2 adicionada à areia
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
bambu 5% e areia 95% bambu 10% e areia 90%
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
bambu 5% e areia 95% bambu 10% e areia 90%
93
Figura 41– Curvas fluidodinâmicas da mistura ldc8: bambu com l/dc=8 adicionada à areia
As partículas de bambu com l/dc=8 adicionadas à areia (mistura ldc8) não apresentou a
formação de canais preferenciais no regime de leito fixo, como ocorreu quando essas
partículas foram fluidizadas isoladamente, comprovando que a adição de areia, com tamanho
da partícula menor do que a do bambu, auxilia no processo de fluidização conforme relatado
porPaudel e Feng, 2013.
A média aritmética dos 3 testes realizados obtidos para as velocidades de
fluidizaçãoiminente(Ufi), fluidização completa (Ufc) e mínima fluidização (Umf) são
apresentadas na Tabela 20. A Umf e a Ufi aumentaram com o aumento do percentual em massa
de bambu na mistura de 5% para 10%. Com relação a Ufc, este aumento do percentual de
bambu provocou seu aumento para as misturas 3, ldc2 e ldc8 e sua diminuição para as demais
misturas.Os percentuais de variação das velocidades características com o aumento da
proporção em massa de bambu de 5% para 10% na mistura com areia estão mostrados na
Tabela 21. Considerando somente o valor da grandezada Umf, para a proporção de materiais
5/95, as misturas testadas apresentaram 91% de variação (relação entre o menor e o maior
valor da Umf). Para a proporção de materiais 10/90, esta variação foi de 94%. De forma geral,
esta ordem de grandeza de variação da Umf não é significativa para aplicações práticas de
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no
leit
o (P
a)
velocidade superficial (m/s)
bambu 5% e areia 95% bambu 10% e areia 90%
94
engenharia, podendo se considerar que para as misturas estudadas com a proporção de
materiais 5/95 e para as misturas com a proporção de materiais 10/90, a Umf independe da
distribuição granulométrica e do tamanho de partículas. Para uma análise detalhada, são
perceptíveis dependências dos valores obtidos experimentalmente da Umf com estes
parâmetros e com a quantidade de partículas de bambu presentes no leito, que serão expostos
nos parágrafos seguintes.
ConformeFigura 42, nos casos de proporção de materiais 5/95, verifica-se a
proximidade do comportamento das curvas fluidodinâmicas destas misturas, com a da areia,
resultando em valores semelhantes da Umf daquelas, com relação a esta. Ocorre um pequeno
deslocamento para a direita das curvas fluidodinâmicas no regime de leito fixo destas
misturas com relação a da areia (vide Figura 31 eFigura 32), que corresponde a uma
diminuição do diferencial de pressão no leito, decorrente do acréscimo de partículas de
bambu. A diminuição da resistência do leito pelo acréscimo de partículas de bambu, se
acentua, nos casos de 10% de misturas de bambu adicionadas a 90% de areia (referenciadas
como proporção de materiais 10/90), provocando o aumento da Umf de todas as misturas
testadas com relação aos das misturas com proporção de materiais 5/95, conforme Tabela 20,
sendo o maior aumento para mistura ldc8 (116%) e o menor para a mistura ldc1 (106%).
A literatura (Paudel e Feng, 2013; Rao et al., 2001; Si e Guo, 2008; Zhonget al.,2008)
menciona variáveis que interferem no fenômeno da fluidização, que com o seu aumento,
provocam o aumento da Umf. Entre elas, são citadas: relação l/dc, dsv e a fração em massa da
biomassa. Assim, seriam esperados os seguintes resultados experimentais para as misturas
testadas:
- a mistura ldc1 deveria apresentar a menor Umf, pois possuem partículas de bambu com
menor relação l/dc.
- a mistura ldc8 deveria apresentar a maior Umf, pois possuem partículas de bambu com
a maior relação l/dc;
- a mistura ldc2 e as misturas 1 a 4 deveriam apresentar Umfentre os valores da mistura
ldc1 e mistura ldc8. Adicionalmente, para estas misturas, como possuem o mesmo
diâmetro médio de Sauter, os valores das suas Umf deveriam ser iguais ou muito
próximos;
No entanto, conformeFigura 42, para a proporção de materiais 5/95, foram obtidos os
seguintes resultados experimentais, não coincidentes com alguns destes comportamentos
esperados, os quais serão comentados nos próximos parágrafos:
- considerando a Umf e sua incerteza, a mistura ldc1 apresentou a maior Umf;
95
- considerando a Umf e sua incerteza,a mistura ldc8 apresentou Umf menor do que a Umf
da mistura ldc1.
ConformeFigura 42, para as misturas 1 a 4 e misturas ldc1, ldc2 e ldc8, com a
proporção de materiais 5/95, considerando a Umf e sua incerteza, temos a mistura ldc1 isolada
e 2 grupos de misturas, cujas faixas de variação da Umf se sobrepõem: grupo 1, formado pelas
misturas 1 a 4 e grupo 2, formado pelas misturas 1, 2, ldc2 e ldc8. Analogamente, para a
proporção de materiais 10/90, resultaram três grupos de misturas,cujas faixas de variação da
Umf se sobrepõem: grupo3, formado pelas misturas 1 a 4 e a mistura ldc2, grupo 4, formado
pela mistura 1 e as misturas 3, 4, ldc1 e ldc2 e grupo 5, formado pelas misturas 3, 4, ldc1, ldc2
e ldc8. A mistura ldc1, com a proporção de materiais 5/95, apresentou a mesma Umf das
misturas do grupo 3. Considerando somente o valor da grandeza, os seguintes
comportamentos qualitativos com relação a Umf ocorreram com o aumento da proporção de
materiais de 5/95 para 10/90:
- mesma posição qualitativa para as misturas 3 e4 e mistura ldc1;
- pequena variação para as misturas 1 e 2;
- diferenças nas posições qualitativas das misturas ldc2 e ldc8 com relação as demais
misturas.
Conforme mencionado anteriormente, foram testadas sete misturas, sendo quatro
compostas por areia e partículas de bambu com l/dc=1, 2, 4 e 8, denominadas de misturas 1 a
4 e três misturas compostas por areia e bambu com somente um comprimento (com l/dc=1, 2 e
8), denominadas de mistura ldc1, ldc2 e ldc8, respectivamente. Em percentual em massa, as
misturas 1 a 4 possuíam a composição de partículas de bambu listadas a seguir, conforme a
ordem l/dc=1/l/dc=2/ l/dc=4/ l/dc=8: mistura 1 - 15/ 15/ 49,5/ 20,5; mistura 2 – 10/ 30/ 40,24/
19,76; mistura 3 – 5/ 40/ 45,24/ 9,76; mistura 4 – 2/ 50/ 36,2/ 11,8. As misturas 1 a 4 e a
mistura ldc2 possuíam o mesmo diâmetro médio de Sauter.
Osseguintes resultados foram observados para as misturas testadas.
Quantidade de partículas de bambu
A mistura ldc1, para a proporção de materiais 5/95, apresenta um comportamento
diferente das demais misturas com esta proporção de materiais. Considerando a Umfe sua
incerteza, esta mistura foi a que apresentou a maior Umf, apesar de ser composta pelas
menores partículas de bambu (l/dc =1). Este resultado pode ser decorrente dela possuir a
maior quantidade de partículas de bambu de todas as misturas com esta proporção de
materiais.
96
Considerando a Umf e sua incerteza, a mistura ldc1, com proporção de materiais 5/95,
apresentou Umf com a faixa de variação que se sobrepõe a Umf das misturas 1 a 4 e da mistura
ldc2, com proporção de materiais 10/90. Isto pode ser atribuído a mesma ordem de grandeza
da quantidade de partículas de bambu presentes no leito para as citadas misturas, apesar da
diferença na fração em massa de bambu nas misturas comparadas.
Distribuição granulométrica das partículas de bambu que compõe as misturas 1 a
4
Para a proporção de materiais 5/95 e 10/90, as faixas de variação dos valores das Umf
com suas incertezas referente as misturas 1 a 4, que são compostas por misturas de bambu
com diferentes tamanhos de partículas adicionadas à areia, mas com o mesmo diâmetro médio
de Sauter (dsv), se sobrepõem. Apesar destas misturas possuírem distribuição granulométrica
diferentes, a Umf não apresentou grandes diferenças para cada uma das proporções de
materiais. No entanto, considerando somente o valor da grandeza, aUmf destas misturas
apresentou a mesma configuração qualitativa: a Umf da mistura 1 e 2 resultou em valores
praticamente iguais e a Umf das misturas 3 e 4 iguais e maiores do que a Umf daquelas
misturas. Isto demonstra uma influência da distribuição granulométrica destas misturas, pois
caso contrário, os valores da grandeza das suas Umf seriam aleatórios, não apresentando
qualquer tendência. A contribuição de cada tamanho de partícula na Umf resultante da mistura
pode ser analisada com base na relação Umf /nconforme mostrado na Tabela 25 e Tabela 27.
Misturas com o mesmo diâmetro de Sauter: misturas 1 a 4 e mistura ldc2
As correlações da literatura (Paudel e Feng, 2013 e Oliveira et al., 2013) para estimativa
da Umf resultam no mesmo valor da Umf para o mesmo diâmetro médio de Sauter dos
componentes da mistura.Considerando a Umf e sua incerteza, para a proporção de materiais
5/95, somente as misturas 1 e 2 e a mistura ldc2 apresentaram sobreposição nos valores de
suas Umf. As misturas 3 e 4 apresentaram sobreposição na faixa de variação de suas Umf com
as misturas 1 e 2, mas não com a mistura ldc2. Esta apresentou Umf semelhante ao do leito
composto somente por areia, sendo uma possível causa a baixa quantidade de partículas. No
entanto, a quantidade de partículas das misturas 1 a 4 são menores do que o da mistura ldc2,
mas elas apresentaram Umf maiores do que a da mistura ldc2. Uma possível causa deste
resultado pode ser a presença de partículas de bambu com l/dc=4 e 8 naquelas misturas, o que
evidenciaria a influência do tamanho das partículas de bambu na Umf.
97
Considerando a Umf e sua incerteza, para a proporção de materiais 10/90, as misturas 1 a
4 e a mistura ldc2 apresentaram sobreposição nos valores de suasUmf, coerente com os
resultados das citadas correlações da literatura para estimativa da Umf. Considerando somente
o valor da grandeza da Umf, o aumento da fração em massa da biomassa de 0,05 para 0,10
provocou aumento maior na Umf da mistura ldc2 do que na Umf das misturas 1 a 4. Uma
possível causa deste resultado pode ser a maior quantidade de partículas daquela mistura.
Apesar da presença das partículas com l/dc=4 e 8 nas misturas 1 a 4, estas não foram
suficientes para tornar suas Umf maiores do que a da mistura ldc2, como ocorreu para a
proporção de materiais 5/95.
Relação l/dc das partículas de bambu que compõe as misturas ldc1, ldc2 e ldc8
Conforme citado na literatura (Zhonget al.,2008), a Umf aumenta com o aumento da
relação l/dc das partículas de bambu. Considerando a Umf e sua incerteza, para a proporção de
materiais 5/95, as misturas ldc2 e ldc8 apresentaram a mesma Umf do leito composto somente
por areia. A mistura ldc1 apresentou a maior Umf desta proporção de materiais, podendo este
resultado ser atribuído a sua maior quantidade de partículas. Estes resultados divergem dos
obtidos pela citada literatura. Para proporção de materiais 10/90, as misturas ldc1, ldc2 e ldc8
apresentaram faixa de variação da Umfque se sobrepõem. considerando somente o valor da
grandeza da Umf,ocorreram alterações na posição relativa destas misturas comparadas com a
proporção de materiais 5/95. Em ordem crescente da Umf resultou no seguinte:
para a proporção de materiais 5/95: mistura ldc2, ldc8 e ldc1, com valores
próximos da Umf das misturas ldc2 e ldc8
para a proporção de materiais 10/90: mistura ldc2, ldc1 e ldc8, com
valores próximos da Umf das misturas ldc2 e ldc1.
Para a proporção de materiais 10/90, considerando somente o valor da grandeza da Umf,
a mistura ldc8, que possui partículas de bambu com a maior relação l/dc, apresentou a maior
Umf e a Umf da mistura ldc2 ficou muito próxima da Umf da mistura ldc1, reduzindo a diferença
que ocorria na Umf destas misturas para a proporção de materiais 5/95. Apesar destes
resultados não estarem de acordo com a citada literatura, observa-se que o efeito da relação
l/dc das partículas de bambu começa a se manifestar com o aumento da fração em massa da
biomassa.
98
Tabela 20- Velocidades características das misturas testadas
Mistura
Velocidade característica (m/s)
Proporção de materiais 5/95
(em massa)
Proporção de materiais 10/90
(em massa)
Umf Ufi Ufc Umf Ufi Ufc
1 0,128±0,002 0,118±0,002 0,237±0,004 0,139±0,003 0,127±0,002 0,212±0,003
2 0,129±0,002 0,118±0,002 0,230±0,004 0,139±0,002 0,126±0,002 0,216±0,003
3 0,131±0,002 0,122±0,002 0,240±0,004 0,143±0,004 0,131±0,002 0,242±0,004
4 0,131±0,002 0,123±0,002 0,232±0,004 0,143±0,003 0,131±0,002 0,227±0,004
ldc1 0,137±0,004 0,133±0,002 0,216±0,004 0,145±0,004 0,136±0,002 0,210±0,004
ldc2 0,125±0,003 0,120±0,002 0,215±0,005 0,144±0,004 0,133±0,002 0,223±0,004
ldc8 0,127±0,002 0,116±0,002 0,230±0,004 0,148±0,004 0,125±0,002 0,257±0,005
Figura 42 - Misturas de bambu adicionadas à areia e suas Umfcom suas incertezas (marcador sem preenchimento corresponde a proporção de materiais 5/95 e com
preenchimento, 10/90; marcador em vermelho corresponde a 100% de areia)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 0,145 0,150 0,155
Mis
tura
Umf - m/s
areia100%
ldc1
ldc2
ldc8
areia
99
Figura 43 - Misturas de bambu adicionadas à areia e suas Uficom suas incertezas
(marcador sem preenchimento corresponde a proporção de materiais 5/95 e com preenchimento, 10/90).
Figura 44– Misturas de bambu adicionadas à areia e suas Ufccom suas incertezas
(marcador sem preenchimento corresponde a proporção de materiais 5/95 e com preenchimento, 10/90)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,110 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140
Mis
tura
Ufi - m/s
ldc1
ldc2
ldc8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,190 0,200 0,210 0,220 0,230 0,240 0,250 0,260
Mis
tura
Ufc - m/s
ldc1
ldc2
ldc8
100
Tabela 21- Percentual da variação das velocidades características (Umf, Ufi e Ufc) com o aumento do percentual de bambu de 5% para 10% na mistura
Mistura Percentual da variação da velocidade característica com o aumento do percentual de bambu de 5% para 10% na mistura
Umf (%) Ufi(%) Ufc (%)
1 108 ± 2 107 ± 2 89 ± 2
2 108 ± 2 107 ± 2 94 ± 3
3 109 ± 3 107 ± 2 101 ± 3
4 109 ± 3 106 ± 2 100 ± 2
ldc1 106 ± 3 103 ± 2 98 ± 3
ldc2 115 ± 3 110 ± 2 104 ± 3
ldc8 116 ± 3 108 ± 3 112 ± 3
Conforme valores que constam na Tabela 24 e Tabela 26, a relação Umf /n aumenta com
o aumento da relação l/dc, tanto para a proporção de materiais 5/95, como também para a
proporção de materiais 10/90.
São perceptíveis três comportamentos no aumento da Umf com o aumento da quantidade
de partículas de bambu, conforme Figura 45, que são:
1- para quantidade de partículas de bambu com percentual em massa entre 0 a 5% na mistura
com areia, onde ocorre um baixo valor da relação ΔUmf/Δn, conforme misturas 1 a 4 e
misturas ldc2 e ldc8;
2- para quantidade de partículas de bambu com percentual em massa entre5 a 10% na mistura
com areia, onde ocorre um elevado valor da relação ΔUmf/Δn, conforme misturas 1 a 4 e
misturas ldc2 e ldc8;
3- para quantidade de partículas de bambu com percentual em massa maior do que 5%,
relativa a mistura ldc1, onde ocorre umbaixo valor da relação ΔUmf/Δn.
É possível que, para as misturas 1 a 4 e misturas ldc2 e ldc8, para a quantidade de
partículas de bambu maiores do que a proporção de materiais 10/90, a relação ΔUmf/Δn
decresça, como ocorre com a mistura ldc1 para a quantidade de partículas entre a proporção
de materiais 5/95 e 10/90. Assim como, com a redução da quantidade de partículas de bambu
101
da mistura ldc1, para quantidade de partículas menores do que a proporção de materiais 5/95,
ocorra um aumento da relação ΔUmf/Δn semelhante ao comportamento das misturas 1 a 4 e
misturas ldc2 e ldc8. Ressalte-se também, que não existem evidências nos testes efetuados de
que os valores da quantidade de partículas de bambu correspondentes a proporção de
materiais 5/95 e 10/90 das misturas 1 a 4 e misturas ldc1, ldc2 e ldc8 sejam os limites dos
comportamentos citados.
Figura 45 – Umf em função da quantidade de partículas de bambu (marcador sem preenchimento corresponde ao percentual de materiais 5/95 e com
preenchimento, 10/90)
No caso da adição de areia em um leito inicialmente composto somente por partículas
de bambu, a permeabilidade do leito diminui porque a porosidade do leito diminui. Isto
ocorre, quando a quantidade de partículas de areia, que são menores do que as de bambu,
ocupam os espaços vazios entre estas partículas, reduzindo a porosidade do leito e
aumentando o seu diferencial de pressão, provocando a redução da Umfdesta mistura em
comparação ao leito formado somente por partículas de bambu. Este efeito é relatado em
literatura relacionados com este assunto (Cheunget al, 1974; Paudel e Feng, 2013).
0,120
0,130
0,140
0,150
0 5.000 10.000 15.000 20.000
Um
f (m
/s)
quantidade de particulas de bambu - n
mistura 1
mistura 2
mistura 3 e 4
mistura ldc1
mistura ldc2
mistura ldc8
Umf da areia 100%
102
No caso da adição de bambu em um leito inicialmente composto somente por partículas
de areia, para a fração em massa de bambu testadas, a permeabilidade do leito composto por
partículas de bambu e areia, comparada ao leito composto somente por areia, aumenta com a
adição de partículas de bambu, apesar da porosidade do leito diminuir (ver item 4.1.3). O
aumento da permeabilidade do leito de areia, com a adição de partículas de bambu, pode ser
explicado se a resistência ao escoamento de ar ao redor da partícula de bambu for
significativamente menor do que entre as partículas de areia. Analisando o coeficiente de
arraste do cilindro e o da esfera, conforme Figura 46, apesar de ser referente a cilindro e
esfera isolados, para o número de Reynolds do escoamento no regime de leito fixo, dos testes
efetuados para as misturas de bambu adicionadas à areia, que está na faixa de 1 a 4, observa-
se que o coeficiente de arraste do cilindro é menor do que o da esfera, o que coincide com a
tendência da hipótese apresentada. Em decorrência das dimensões das partículas de bambu
(diâmetro do cilindro de 2mm e comprimentos de 2, 4, 8 e 16mm) em relação as das
partículas de areia (diâmetro médio de 460 μm), para um determinado volume, a área
superficial para escoamento do ar ao redor da partícula de bambu é menor do que ao redor das
partícula de areia, o que também contribuiria para menor resistência ao escoamento ao redor
das partículas de bambu. Assim, a menor resistência ao escoamento do ar ao redor da
partícula de bambu faria com que o ar fluísse na sua direção, provocando no seu entorno, uma
diminuição da velocidade do ar entre as partículas de areia, reduzindo o diferencial de pressão
para passagem do ar neste trecho, conforme esquematizado naFigura 47. A tendência seria o
equilíbrio entre a resistência ao escoamento ao redor da partícula de bambu e entre as
partículas de areia que estão ao seu lado. Este efeito iria se repetir sucessivamente com a
passagem do ar ao redor das partículas de bambu presentes no leito e caso sua quantidade
fosse suficiente, resultaria na redução do diferencial de pressão do leito de partículas
comparativamente ao do leito composto somente por areia. Para os ensaios realizados com
misturas de bambu adicionadas à areia, foi mantida constante a massa total da mistura. Desta
forma, o efeito da redução do diferencial de pressão no leito de partículas tem como
consequência um aumento na sua Umf. O efeito da alteração no perfil de velocidades do
escoamento do ar, causada pelas partículas de bambu, entre as partículas de areia próximas ao
seu entorno, será referenciada neste trabalho resumidamente como “alteração ou perturbação
no perfil de velocidade do ar no meio areia-bambu”. Nos parágrafos seguintes está
apresentada uma análise dos resultados obtidos experimentalmente para a Umf das misturas
testadas com base na hipótese da resistência ao escoamento de ar ao redor da partícula de
bambu ser significativamente menor do que entre as partículas de areia.
103
Figura 46 –Coeficiene de arraste de cilindro liso e esfera (fonte: Schlichting, H. BoundaryLayerTheory, 7a ed.)
Figura 47- Efeito da partícula de bambu na velocidade do ar entre as partículas de areia, que estão ao seu redor
A velocidade máxima atingida junto a partícula de bambu (U3) e o alcance da
perturbação causada no perfil de velocidades do ar entre as partículas de areia (representado
com L1, L2 e L3 naFigura 48), que estão nas suas proximidades, aumentam com o aumento
da relação l/dc, pois para l/dc maiores, a superfície da partícula de bambu responsável pela
alteração no perfil de velocidade do ar no seu entorno aumenta, conforme mostrado na Figura
48. Isto pode ser constatado experimentalmente considerando somente o valor da grandeza da
Umf obtidas para a mistura 6 (partículas de bambu com l/dc=2 acrescidas à areia) e a mistura 7
(partículas de bambu com l/dc =8 acrescidas à areia), cujo valor da Umf desta, foi superior ao
daquela, mesmo com a quantidade de partículas menor. Este resultado foi observado tanto
U1 U2 U3 U1 – velocidade do ar através da areia, sem
perturbação da presença da partícula de bambu.
U2 – velocidade reduzida do ar através da areia
devido a presença da partícula de bambu.
U3 – velocidade máxima do ar junto a partícula
de bambu
Partícula de bambu
esfera
cilindro liso
104
para a proporção de materiais 5/95, como também para a proporção de materiais 10/90.
Comparando tambémsomente o valor da grandeza obtida para Umf da mistura 5 (partículas de
bambu com l/dc =1 acrescidas à areia), com a proporção de materiais 5/95 e a mistura 6, com
a proporção de materiais 10/90, ambas com a quantidade de partículas semelhantes, a Umf
desta (0,144 m/s) foi maior do que daquela (0,137 m/s), pois a mistura 6 possui o valor da
relação l/dc maior.
Figura 48- Efeito do comprimento da partícula de bambu na velocidade máxima junto ao seu contorno e entre as partículas de areia, que estão ao seu redor
(na figura, partícula de bambu com l/dc=8)
A uniformização do perfil de velocidade do ar após passagem pela partícula de bambu,
depende da extensão que o perfil de velocidade foi alterado. Quanto maior a perturbação
ocorrida no perfil de velocidade do ar no meio areia-bambu, maior distância da partícula de
bambu será requerida para sua uniformização. Por exemplo, a alteração do perfil de
velocidade após passagem por uma partícula de bambu com relação l/dc =1 é menor do que
para partícula com l/dc =8 (mostrado na Figura 48). Assim, a distância necessária para
uniformização do perfil de velocidade do ar entre as partículas de areia será maior neste caso,
do que naquele.
U1
U2
U3
A medida que o ar escoa pela superfície da partícula de bambu, a velocidade junto a esta (U3) aumenta (U3 na seção “1” é menor do que U3 na seção “3”).
Fluxo do ar
L1
L2
L3
Seção “1”
Seção “2”
Seção “3” O efeito da redução da velocidade do ar, através das partículas de areia, próximas a partícula de bambu, devido à presença desta, aumenta à medida que o ar escoa pela sua superfície (L3 > L2 > L1).
Partícula de bambu
105
Com o aumento do percentual de bambu adicionado à areia e consequentemente da
quantidade de partículas de bambu no leito, suas partículas ficam mais próximas, aumentando
a área de influência na velocidade do ar na passagem entre as partículas de areia contiguas as
partículas de bambu. Isto foi constatado experimentalmente: as Umf das misturas de bambu
adicionadas à areia na proporção de materiais 5/95 foram menores do que as Umf com a
proporção de materiais 10/90.
A Figura 49 mostra, esquematicamente, diferentes situações do perfil de velocidade do
ar no meio bambu-areia, com o aumento gradual da quantidade de partículas de bambu, em
um leito com areia. O aumento da quantidade de partículas de bambu ocorre do caso (1) para
o caso (4). O caso (1) mostra as partículas de bambu e uma região grande, onde não ocorreu o
efeito da alteração no perfil de velocidades (U1) no meio bambu-areia. A quantidade de
partículas de bambu adicionada à areia é pequena. O caso (2) mostra partículas de bambu com
regiões pequenas, onde não ocorreu o efeito da alteração no perfil de velocidade no meio
bambu-areia. No caso (3) não há regiões com o perfil de velocidade inalterado. O caso (4)
mostra partículas de bambu mais próximas do que no caso (3) pelo acréscimo de partículas de
bambu nesta. Com base nestes casos e na quantidade de partículas de bambu adicionadas à
areia nas misturas testadas, estas foram classificadas conforme apresentado na Tabela 22.
Caso (1) – Partículas de bambu com existência de grandes regiões com perfil inalterado de velocidade (U1)
Caso (2) – Existência de pequenas regiões com perfil de velocidade inalterado (U1).
Caso (3) – Inexistência de regiões com perfis de velocidade inalterado (U1=0). Resultado do acréscimo de partícula no caso (2) → U2 caso (3) < U2 caso (2)
Velocidade do ar
Velocidade do ar
Velocidade do ar
U1 U2
U1 U2
U2
Partícula de bambu
106
Figura 49 – Diferentes casos do perfil de velocidades do ar entre as partículas de areia, com o aumento da quantidade de partículas de bambu do caso (1) para o caso (4).
Tabela 22 – Classificação das misturas, quanto ao perfil de velocidade do ar escoando entre as partículas de areia, que se encontram próximas as partículas de bambu
Mistura Proporção de materiais Mistura Proporção de materiais
5/95 10/90 5/95 10/90
1 Caso (2) Caso (3) 5 Caso (3) Caso (4)
2 Caso (2) Caso (3) 6 Caso (1) ou (2) Caso (3)
3 Caso (2) Caso (3) 7 Caso (1) Caso (2)
4 Caso (2) Caso (3)
Com base na classificação das misturas indicadas na Tabela 22 e o comportamento da
relação ΔUmf/Δn(ver Tabela 23) das misturas testadas, com o aumento da fração em massa das
partículas de bambu de 0,05 para 0,10, temos:
- Mistura 7: passagem do caso (1) para o caso (2). Neste caso, ocorreu a maior variação
na relação ΔUmf/Δn do que nas demais misturas, conformeTabela 23. Isto pode ser decorrência
do efeito da redução da velocidade do ar, na passagem entre as partículas de areia, que estão
próximas das partículas de bambu, ter ocorrido em regiões em que não havia nenhuma
alteração no perfil de velocidade.
-Misturas 1 a 4 e mistura 6 (misturas com o mesmo diâmetro médio de Sauter):
passagem do caso (2) para o caso (3). A variação da relação ΔUmf/Δn foi menor do que para a
mistura 7, pois o efeito da redução da velocidade do ar pode ter ocorrido a partir de pequenas
regiões em que não havia nenhuma alteração no perfil de velocidade devido a quantidade de
partículas de bambu no leito.
Caso (4) – Resultado do acréscimo de partícula do caso (3), onde não existe região com perfil de velocidade inalterado → U2 caso (4) < U2 caso (3) Velocidade do ar
U2
107
- Mistura 5: passagem do caso (3) para o caso (4). Ocorreu a menor variação na relação
ΔUmf/Δn, pois o efeito da redução da velocidade do ar deu-se em regiões em que já ocorreram
alteração no perfil de velocidade.
Tabela 23 – Relação entre a variação na Umf da mistura areia e bambu e a variação na quantidade de partículas de bambu, ocorrida com o aumento na proporção de materiais de
5/95 para 10/90
Mistura l/dc das partículas de
bambu
Variação na Umf ΔUmf (m/s)
Variação na quantidade de partículas de
bambu Δn (pçs)
ΔUmf / Δn
1 diversos 0,011 4.530 24 x 10-7
2 diversos 0,010 4.470 22 x 10-7
3 diversos 0,012 4.440 27 x 10-7
4 diversos 0,012 4.390 27 x 10-7
5 1 0,008 12.000 7 x 10-7
6 2 0,018 5.630 34 x 10-7
7 8 0,021 1.490 141 x 10-7
Para a proporção de materiais 5/95 e 10/90, os valores da Umf das misturas 1 a 4 com
relação a Umf da mistura ldc2, misturas com o mesmo diâmetro médio de Sauter das partículas
de bambu, pode ser atribuído a diminuição da quantidade de partículas com l/dc=1 da mistura
1 para a mistura 4 e o consequente aumento dos demais tamanhos de partículas naquelas
misturas. Este efeito pode ser observado nos valores descritos na Tabela 25 e Tabela 27, que
foram elaboradas com base nos valores da Umf por partícula, Umf/n, das partículas que as
compõe, sendo apresentado também os valores das Umf estimadas utilizando tais valores,
conforme Eq. (77) eTabela 26. A Umf estimada conforme esta equação supõe que o
comportamento das partículas nas misturas 1 a 4, seja a soma do comportamento individual
das partículas de bambu que as compõem. NaTabela 24 e Tabela 26estão apresentados os
valores deUmf/n para as misturas 5 a 7 (valores da Umf obtidas experimentalmente), que são
compostos por areia e partículas de bambu com l/dc=1, 2 e 8, respectivamente e o valor
estimado da Umf para areia e partículas de bambu com l/dc=6 com sua relação Umf/n.
108
𝑈 =𝑈
𝑛 𝑛 ⁄ +
𝑈
𝑛 𝑛 ⁄ +
𝑈
𝑛𝑛 ⁄ +
𝑈
𝑛 𝑛 ⁄
(77)
Tabela 24–Umf por partícula das misturas 5 a 7 – proporção de materiais 5/95
Mistura Umf n Umf/n
(m/s) (peças) 5 0,137 12.000 1,14E-05
6 0,125 5.630 2,22E-05
estimado 0,126 3.192 3,95E-05
7 0,127 1.490 8,52E-05
Tabela 25 – Umf estimada das misturas 1 a 4 tendo como base a relação Umf/n das misturas 5 a 7 (Tabela 24)– proporção de materiais 5/95
l/dc Mistura 1 2 3 4 1 0,020 0,014 0,007 0,003 2 0,020 0,039 0,052 0,065 4 0,060 0,049 0,055 0,044 8 0,026 0,025 0,012 0,015
Umf, estimado (m/s) 0,126 0,127 0,126 0,127 Umf experimental
(m/s) 0,128 0,129 0,131 0,131
Umf, estimado / Umfexp 0,98 0,98 0,96 0,97
AsUmfestimadas das misturas 1 a 4, com base na relação Umf/n, sendo a Umf referente as
obtidas experimentalmente para as misturas 5 a 7 e Umf estimada da partícula de bambu com
l/dc=4 adicionada à areia, conforme eq. 4.3.1.1, para a proporção de materiais 10/90,
resultaram em valores maiores do que os obtidos experimentalmente. Isto pode ser atribuído
ao fato da hipótese de o efeito isolado das partículas não ser válida para as misturas 1 a 4 para
esta proporção de materiais, devido à proximidade das partículas destas misturas, como
consequência da quantidade de partículas presentes (~9.000 partículas), conforme casos
109
ilustrados naTabela 22 e Figura 49. Isto pode causar a interferência na perturbação do perfil
de velocidade do ar, que passa ao redor das partículas de areia, causada por partículas
adjacentes de bambu e este efeito pode ser diferente dependendo da relação l/dc das partículas
de bambu.
Comparando os valores de Umf/n daTabela 24com os valores da Tabela 26, observa-se
que esta relação diminui à medida que “n” aumenta, para os valores das misturas
correspondentes, apesar do aumento da Umf da mistura (ver Figura 50). A Umf da mistura
aumenta com o aumento de “n”, mas a relação Umf /n diminui com o aumento de “n”
conforme análise e ilustrações da Tabela 22 e Figura 49. Os maiores valores da relação Umf /n
ocorrem, quando são adicionadas partículas de bambu com grandes regiões de perfis de
velocidade inalterados (passagem do caso (1) para o caso (2)), por exemplo, a mistura 7. Os
menores valores desta relação ocorrem, quando são adicionadas partículas de bambu onde não
existem regiões com perfis de velocidade inalterados (passagem do caso (3) para o caso (4)),
por exemplo, a mistura 5.
Tabela 26 – Umf por partícula das misturas 5 a 7 – proporção de materiais 10/90
Mistura Umf n Umf/n
(m/s) (peças) 5 0,145 24.000 0,60E-05 6 0,144 11.300 1,27E-05
estimado 0,146 6.384 2,29E-05 7 0,148 2.970 4,98E-05
Tabela 27 – Umf estimada das misturas 1 a 4tendo como base a relação Umf/n das misturas 5 a 7 (Tabela 26) – proporção de materiais 10/90
l/dc Mistura 1 2 3 4 1 0,022 0,014 0,007 0,003 2 0,022 0,045 0,060 0,075 4 0,069 0,056 0,063 0,051 8 0,030 0,029 0,015 0,017
Umf, estimado (m/s) 0,144 0,145 0,145 0,146 Umf experimental
(m/s) 0,139 0,139 0,143 0,143
Umf, estimado / Umfexp 1,04 1,04 1,01 1,02
110
Figura 50 – Valores da relação Umf /n(Umf obtida experimentalmente) em função da
quantidade de partículas (n).
y = 103738x-0,968
R² = 0,9958
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10.000 20.000 30.000
Um
f/n
x 10
⁻⁶
quantidade de particulas - n
mistura 5 - 5/95
mistura 5 - 10/90
mistura 6 - 5/95
mistura 6 - 10/90
mistura 7 - 5/95
mistura 7 - 10/90
111
As Figura 51 e Figura 52apresentam a mistura 3, na proporção de materiais 10/90, e tem
por objetivo dar uma noção visual sobre a quantidade de bambu e de areia que compõe a
mistura.
Figura 51– 10% em massa da mistura de bambu
Figura 52 - 10% em massa da mistura de
bambu e 90% em massa de areia – mistura 3
112
A forma da curva de ajuste dos pontos experimentais, no regime de leito fixo,
selecionada para cálculo da Umf das misturas, foram retas, pois estas são coerentes com o
número de Reynolds do escoamento (Rede),considerando o diâmetro equivalente (de) da
mistura de bambu adicionada à areia, apresentado na Tabela 13, como sendo a sua dimensão
característica (Rede< 20 – Kunii e Levenspiel, 1991) e por possibilitar a sua aplicação para
todos os testes efetuados. As misturas 1 a 4 e mistura ldc2, com a proporção de materiais 5/95
e misturas 1, 3 e 6, com 10/90 possibilitaram também a aproximação por equações do
segundo grau para os três testes efetuados, mas as demais misturas apresentaram coeficiente
negativo para o termo de segundo grau, em pelo menos um dos testes.
A Tabela 28 mostra o número de Reynolds do escoamento (Rede) para cada mistura de
bambu adicionada à areia.
Tabela 28 - Número de Reynolds do escoamento no regime de leito fixo para as misturas testadas
Mistura Faixa de variação de
Redeno regime de leito fixo
Mistura
Faixa de variação de Redeno regime de
leito fixo 1
5/95 10/90
1,33 a 3,16 1,82 a 3,69
ldc1 5/95 10/90
1,77 a 3,48 1,88 a 3,91
2 5/95 10/90
1,12 a 3,13 1,46 a 3,65
ldc2 5/95 10/90
1,12 a 3,21 1,67 a 3,76
3 5/95 10/90
1,30 a 3,33 1,84 a 3,69
ldc8 5/95 10/90
1,38 a 3,16 1,94 a 3,63
4 5/95 10/90
1,22 a 3,32 1,88 a 3,73
As Tabela 29,Tabela 30 e Figura 53são referentes a verificação da validade do
procedimento de se desprezar, para baixos valores do número de Reynolds do escoamento, o
termo do segundo grau, que corresponde ao termo inercial da correlação de Ergun. Este
procedimento foi semelhante ao utilizado por autores como Di Maio et al(2012), Rao e
Bheemarasetti(2001), Kunii e Levenspiel (1991). Foram considerados os testes experimentais
113
que possibilitaram a aproximação por uma curva do segundo grau para o regime de leito fixo,
sendo estas equações denominadas de y1.Estas equações com o termo do segundo grau
desprezado, foram designadas comoy2 e estão apresentadas na Tabela 30. Os valores da média
aritmética da Umfobtidos com estas equações, denominadas de Umf2,estão na Tabela 29. Na
Tabela 29não constam valores da Umfpara mistura ldc8, pois o termo do segundo grau
apresentou coeficiente negativo para as proporções de mistura 5/95 e 10/90. Para a proporção
de materiais 5/95, a relação entre aUmf2 e aUmf obtida pelas curvas ajustadas aos pontos
experimentais ficou entre 1,05 a 1,16. Para as misturas 10/90, variou entre 1,04 a 1,20. Esta
variação decorre do fato de que a equação y2, obtida desprezando-se o termo do segundo
grauda equação y1, não coincide coma reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais. A
Figura 53 mostra um exemplo com as curvas y, y1 e y2obtidas para mistura 1, teste 1 com a
proporção dos materiais de 5/95. Nesta Figura, a equação “y” refere-se a reta de melhor ajuste
aos pontos experimentais, utilizada para estimativa da Umf das misturas, que foram
consideradas no presente trabalho, conforme valores apresentados naTabela 20.
Tabela 29– Comparação dos valores da Umf obtidos considerando-se somente o termo doprimeiro grau da equação do segundo grau
Mistura Umf (m/s) - valores considerados no presente trabalho
Umf (m/s) – obtidas pela equação y2 -
Umf2
Umf2 / Umf
1 5/95
10/90
0,128
0,139
0,138
0,155
1,08
1,11
2 5/95
10/90
0,129
0,139
0,142
0,167
1,10
1,20
3 5/95
10/90
0,131
0,143
0,141
0,153
1,07
1,07
4 5/95
10/90
0,131
0,143
0,141
0,162
1,07
1,13
ldc1 5/95
10/90
0,137
0,145
0,160
0,170
1,16
1,18
ldc2 5/95
10/90
0,125
0,144
0,131
0,149
1,05
1,04
114
Figura 53– Exemplo das curvas de ajuste aos pontos experimentais y – reta selecionada para determinação da Umfda mistura/ y1 – equação do segundo grau
ajustada aos pontos experimentais / y2 – reta obtida através da curva y1, desprezando o termo do segundo grau
Tabela 30 - Equações utilizadas para cálculo da Umfsem o termo do segundo grau
Mistura Teste 1 Teste 2 Teste 3
1 5/95 y2=9358,5x + 123,89 y2 = 9906x + 101,55 y2 = 10138x + 89,765
10/90 y2=8799,6x + 190,62 y2 = 7428,3x + 227,88 y2 = 9048,8x + 157,58
2 5/95 y2 = 9629,8x + 117,76 y2 = 9200,3x + 123,64 y2 = 9734,3x + 107,09
10/90 y2 = 8377,8x + 201,91 coef x2 negativo y2 = 6588,4x + 277,58
3 5/95 y2= 9668,1x + 89,272 y2 = 9357,2x + 93,281 y2 = 9980,3x + 74,728
10/90 y2= 8500,7x + 163,1 y2 = 8817,3x + 136,83 y2 = 8432,1x + 176,34
4 5/95 y2 = 9608,5x + 103,62 y2 = 10022x + 77,839 y2 = 9347,5x + 95,506
10/90 y2 = 7863,3x + 198,57 coef x2 negativo coef x2 negativo
ldc1 5/95 y2 = 8136,3x + 162,31 y2 = 8600,9x + 151,65 y2 = 7241,3x + 228,96
10/90 y2 = 7428,7x + 186,77 coef x2 negativo coef x2 negativo
ldc2 5/95 y2 = 9400,3x + 50,793 y2 = 10840x + 31,476 y2 = 11012x + 39,42
10/90 y2 = 9319,1x + 129,16 y2 = 9037,1x + 137,16 y2 = 8322,7x + 158,06
ldc8 5/95 coef x2 negativo coef x2 negativo coef x2 negativo
10/90 coef x2 negativo coef x2 negativo coef x2 negativo
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0,000 0,050 0,100 0,150
Δp
no le
ito
-P
a
velocidade superficial - m/s
mistura 1 - teste 1
y
y1
y2
média das pressões
Umf
Umf 1
Umf 2
115
A Figura 54à Figura 65mostram o regime de leito fixo e o regime de leito totalmente fluidizado, correspondentes a fluidização das misturas 1 a 4 e mistura ldc1, ldc2 e ldc8,
com o percentual de materiais de 5/95. Observa-se pela
Figura 55, Figura 57, Figura 59, Figura 61, Figura 63 e Figura 65, que correspondem ao
regime de leito fixo dos materiais denominados como misturas 1 a 4 e mistura ldc1, ldc2 e
ldc8, que o bambu se mistura homogeneamente com a areia, não ocorrendo aglomerados entre
as suas partículas. No regime de leito totalmente fluidizado observou-se que a fluidização era
borbulhante (Figura 54, Figura 56, Figura 58, Figura 60, Figura 62 e Figura 64,).
Figura 54- Regime de leito totalmente fluidizado – mistura 1
Figura 55- Regime de leito fixo - mistura 1
116
Figura 56 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura 2
Figura 57 - Regime de leito fixo - mistura 2
Figura 58 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura 3
Figura 59 - Regime de leito fixo - mistura 3
117
Figura 60 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura 4
Figura 61- Regime de leito fixo - mistura 4
Figura 62 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura ldc2
Figura 63 - Regime de leito fixo - mistura ldc2
118
Figura 64 - Regime de leito totalmente fluidizado – mistura ldc8
Figura 65 - Regime de leito fixo - mistura ldc8
119
4.3.3 Comparação da Umfdas misturas de bambu adicionadas a areia com as obtidas por
correlações da literatura
Na Figura 66e Figura 67estão apresentados os resultados experimentais e os obtidos
através das correlações da literatura da Umfdas misturas de bambu adicionadas à areia.As
misturas 1 a 4 contém partículas de bambu com l/dc=1, 2, 4 e 8 adicionadas à areia. As
misturas ldc1, ldc2 e ldc8 contém partículas de bambu com somente um tamanho adicionadas
à areia, sendo esses, respectivamente, l/dc=1, 2 e 8.
O cálculo da Umfpela correlação de Cheunget al. (1974), ficou restrito para as misturas
ldc1 e ldc2, pois esta correlação necessita da Umf dos componentes da mistura.
Experimentalmente só foram determinadas a Umf das particulas de bambu relativas as misturas
ldc1 e ldc2.
Para aproporção de materiais de 5/95 (5% de partículas de bambu adicionadas à 95% de
areia, em massa), a correlação que apresentou melhor aproximação da Umf com os valores
experimentais foi a de Paudel e Feng (2013), variando de 113% a 125% dos valores da
relação entre a Umf obtida pela correlação e a Umf experimental.
Para o percentual de materiais de 10/90, a correlação de Rao et al. (2001) foi a que
apresentou valores da Umf mais próximos dos valores experimentais, variando de 87% a 95%
dos valores da relação entre a Umf obtida pela correlação e a Umf experimental.
Especificamente para as misturas ldc1 e ldc2, casos em que foi possível a estimativa da
Umf com a correlação de Cheunget al. (1974), esta correlação apresentou os melhores
resultados. Para aproporção de materiais de 5/95, a Umf calculada pela correlação ficou 10%
inferior para a mistura ldc1 e coincidiu com a Umf experimental para a mistura ldc2. Para a
proporção de materiais de 10/90 (10% de partículas de bambu adicionadas à 90% de areia, em
massa), a Umf calculada pela correlação das misturas ldc1 e ldc2 ficou 12% inferior do que o
valores experimentais.
As correlações citadas nos parágrafos anteriores, que apresentaram os melhores
resultados comparados aos experimentais, correspondem a diferentes métodos de estimativas
para Umf da mistura. A correlação de Paudelet al. (2013) e a de Rao et al. (2001), apesar de
apresentarem a mesma forma geral da correlação, 𝐴𝑅𝑒 + 𝐵𝑅𝑒 = 𝐴𝑟, diferem na forma
como consideram os parâmetros envolvidos, conforme descrito a seguir. A correlação de
Cheung et al. (1974), considera a Umf dos componentes da mistura e a sua fração em massa.
120
- A correlação de Paudelet al. (2013) considera a fração em massa dos dois
componentes da mistura no cálculo do diâmetro equivalente e na expressão geral para
determinação da Umf da mistura. Considera o termo inercial e viscoso para determinação da
Umf da mistura.
- Na correlação de Rao et al. (2001), a fração em massa dos dois componentes da
mistura é considerada somente no cálculo do diâmetro equivalente. Considera somente o
termo viscoso para determinação da Umf da mistura.
A correlação apresentada por Zhonget al. (2008) apresentou valores acima de 0,3 m/s
para as misturas testadas, nas duas proporções de materiais (5/95 e 10/90).
Figura 66 – Umf para 5% de misturas de bambu acrescidas à 95% de areia (percentuais em massa) obtidas experimentalmente e calculadas através de correlações da literatura
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0 1 2 3 4 5 6 7
Um
f -
m/s
Mistura
mistura de bambu 5% + areia 95%
experimental
Paudel et al. (2013)
Rao et al. (2001)
Si e Guo (2008)
Bilbao et al. (1987)
Oliveira et al. (2013)
Cheung et al. (1974)
ldc1 ldc2 ldc8
121
Figura 67 – Umf para 10% de misturas de bambu acrescidas à 90% de areia (percentuais em massa) obtidas experimentalmente e calculadas através de correlações da literatura
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0 1 2 3 4 5 6 7
Um
f -
m/s
Mistura
mistura de bambu 10% + areia 90%
experimental
Paudel et al. (2013)
Rao et al. (2001)
Si e Guo (2008)
Bilbao et al. (1987)
Oliveira et al. (2013)
Cheung et al. (1974)
ldc1 ldc2 ldc8
122
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES
Foram testadas sete misturas, sendo quatro compostas por areia e partículas de bambu
com l/dc=1, 2, 4 e 8, denominadas de misturas 1 a 4 e três misturas compostas por areia e
bambu com somente um comprimento (com l/dc=1, 2 e 8), denominadas de mistura ldc1, ldc2
e ldc8, respectivamente. Em percentual em massa, as misturas 1 a 4 possuíam a composição
de partículas de bambu listadas a seguir, conforme a ordem l/dc=1/l/dc=2/ l/dc=4/ l/dc=8:
mistura 1 - 15/ 15/ 49,5/ 20,5; mistura 2 – 10/ 30/ 40,24/ 19,76; mistura 3 – 5/ 40/ 45,24/
9,76; mistura 4 – 2/ 50/ 36,2/ 11,8. As misturas 1 a 4 e a mistura ldc2 possuíam o mesmo
diâmetro médio de Sauter.
A Umf e a Ufi das misturas 1 a 4, que contém partículas de bambu com l/dc=1, 2, 4 e 8
adicionadas à areia e as misturas ldc1, ldc2 e ldc8, com somente um tamanho de partículas de
bambu adicionadas à areia (respectivamente, l/dc =1, 2 e 8), aumentaram com o aumento do
percentual de bambu de 5% para 10% adicionadas à areia, em massa. Com relação a Ufc, este
aumento do percentual de bambu provocou seu aumento para as misturas 3, ldc2 e ldc8 e sua
diminuição para as demais misturas. Considerando somente o valor da grandeza daUmf, para a
proporção de materiais 5/95 (5% de partículas de bambu adicionadas à 95% de areia, em
massa), as misturas testadas apresentaram 91% de variação (relação entre o menor e o maior
valor da Umf). Para a proporção de materiais 10/90 (10% de partículas de bambu adicionadas à
90% de areia, em massa), esta variação foi de 94%. De forma geral, esta ordem de grandeza
de variação da Umf não é significativa para aplicações práticas de engenharia, podendo se
considerar que para as misturas estudadas com a proporção de materiais 5/95 e para as
misturas com a proporção de materiais 10/90, a Umf independe da distribuição granulométrica
e do tamanho de partículas.No entanto, a seguir estão apresentadas as conclusões efetuando
uma análise dos detalhes dos resultados obtidos experimentalmente, onde se constata uma
dependência da Umf com parâmetros como quantidade e variação das partículas de bambu, sua
distribuição granulométrica,tamanho das partículas.
5.1 Quantidade de partículas de bambu
A mistura ldc1, para a proporção de materiais 5/95, apresenta um comportamento
diferente das demais misturas com esta proporção de materiais. Considerando a Umfe sua
incerteza, esta mistura foi a que apresentou a maior Umf, apesar de ser composta pelas
menores partículas de bambu (l/dc =1). Este resultado pode ser decorrente dela possuir a
123
maior quantidade de partículas de bambu de todas as misturas com esta proporção de
materiais.
Considerando a Umf e sua incerteza, a mistura ldc1, com proporção de materiais 5/95,
apresentou Umfcom a faixa de variação que se sobrepõe a Umf das misturas 1 a 4 e da mistura
ldc2, com proporção de materiais 10/90. Isto pode ser atribuído a mesma ordem de grandeza
da quantidade de partículas de bambu presentes no leito para as citadas misturas, apesar da
diferença na fração em massa de bambu nas misturas comparadas.
5.2 Distribuição granulométrica das partículas de bambu que compõe as misturas 1 a 4
Para a proporção de materiais 5/95 e 10/90, as faixas de variação dos valores das Umf
com suas incertezas referente as misturas 1 a 4, que são compostas por misturas de bambu
com diferentes tamanhos de partículas adicionadas à areia, mas com o mesmo diâmetro médio
de Sauter (dsv), se sobrepõem. Apesar destas misturas possuírem distribuição granulométrica
diferentes, a Umf não apresentou grandes diferenças para cada uma das proporções de
materiais. No entanto, considerando somente o valor da grandeza, aUmf destas misturas
apresentou a mesma configuração qualitativa: a Umf da mistura 1 e 2 resultou em valores
praticamente iguais e a Umf das misturas 3 e 4 iguais e maiores do que a Umf daquelas
misturas. Isto demonstra uma influência da distribuição granulométrica destas misturas, pois
caso contrário, os valores da grandeza das suas Umf seriam aleatórios, não apresentando
qualquer tendência.
5.3 Misturas com o mesmo diâmetro de Sauter: misturas 1 a 4 e mistura ldc2
Considerando a Umf e sua incerteza, para a proporção de materiais 5/95, somente as
misturas 1 e 2 e a mistura ldc2 apresentaram sobreposição nos valores de suas Umf. As
misturas 3 e 4 apresentaram sobreposição na faixa de variação de suas Umf com as misturas 1
e 2, mas não com a mistura ldc2. Esta apresentou Umf semelhante ao do leito composto
somente por areia, sendo uma possível causa a baixa quantidade de partículas. No entanto, a
quantidade de partículas das misturas 1 a 4 são menores do que o da mistura ldc2, mas elas
apresentaram Umf maiores do que a da mistura ldc2. Uma possível causa deste resultado pode
ser a presença de partículas de bambu com l/dc=4 e 8 naquelas misturas, o que evidenciaria a
influência do tamanho das partículas de bambu na Umf.
Considerando a Umf e sua incerteza, para a proporção de materiais 10/90, as misturas 1 a
4 e a mistura ldc2 apresentaram sobreposição nos valores de suasUmf. Considerando somente
o valor da grandeza da Umf, o aumento da fração em massa da biomassa de 0,05 para 0,10
provocou aumento maior na Umf da mistura ldc2 do que na Umf das misturas 1 a 4. Uma
124
possível causa deste resultado pode ser a maior quantidade de partículas daquela mistura.
Apesar da presença das partículas com l/dc=4 e 8 nas misturas 1 a 4, estas não foram
suficientes para tornar suas Umf maiores do que a da mistura ldc2, como ocorreu para a
proporção de materiais 5/95.
5.4 Relação l/dc das partículas de bambu que compõe as misturas ldc1, ldc2 e ldc8
Considerando a Umf e sua incerteza, para a proporção de materiais 5/95, as misturas ldc2
e ldc8 apresentaram a mesma Umf do leito composto somente por areia. A mistura ldc1
apresentou a maior Umf desta proporção de materiais, podendo este resultado ser atribuído a
sua maior quantidade de partículas.Para proporção de materiais 10/90, as misturas ldc1, ldc2 e
ldc8 apresentaram faixa de variação da Umfque se sobrepõem. Para esta proporção de
materiais, considerando somente o valor da grandeza da Umf, a mistura ldc8, que possui
partículas de bambu com a maior relação l/dc, apresentou a maior Umf e a Umf da mistura ldc2
ficou muito próxima da Umf da mistura ldc1, reduzindo a diferença que ocorria na Umf destas
misturas para a proporção de materiais 5/95.Observa-se que o efeito da relação l/dc das
partículas de bambu começa a se manifestar com o aumento da fração em massa da biomassa.
5.5 Comportamento da Umf com a variação da quantidade de partículas de bambu
São perceptíveis três comportamentos no aumento da Umf da mistura de partículas de
bambu adicionadas à areia, com o aumento da quantidade de partículas de bambu (n):
- para quantidade de partículas de bambu equivalente a fração em massa de 0 a 0,05 de
bambu, referente as misturas 1 a 4 e misturas ldc2 e ldc8: baixo valor da relação
ΔUmf/Δn(0,02x10-5 a 0,16x10-5 m/s por partícula);
-para quantidade de partículas de bambu equivalente a fração em massa de 0,05 a 0,1 de
bambu, referente as misturas 1 a 4 e misturas ldc2 e ldc8: alto valor da relação
ΔUmf/Δn(0,22x10-5 a 1,4x10-5 m/s por partícula);
- para quantidade de partículas de bambu maiores do que o equivalente a fração em massa de
0,05 de bambu, referente a mistura ldc1: baixo valor da relação ΔUmf/Δn(0,07x10-5 m/s por
partícula).
É possível que, para as misturas 1 a 4 e misturas ldc2 e ldc8, para a quantidade de
partículas de bambu maiores do que a proporção de materiais 10/90, a relação ΔUmf /Δn
decresça, como ocorre com a mistura ldc1, para a quantidade de partículas entre a proporção
de materiais 5/95 e 10/90. Assim como, com a redução da quantidade de partículas de bambu
da mistura ldc1, para quantidade de partículas menores do que a proporção de materiais 5/95,
ocorra um aumento da relação ΔUmf /Δn semelhante ao comportamento das misturas 1 a 4 e
misturas ldc2 e ldc8. Ressalte-se também, que não existem evidências nos testes efetuados de
125
que os valores da quantidade de partículas de bambu correspondentes a proporção de
materiais 5/95 e 10/90 das misturas 1 a 4 e misturas ldc1, ldc2 e ldc8 sejam os limites dos
comportamentos citados.
5.6 Comportamento da relação Umf /n com a relação l/dc das partículas de bambu
Conforme resultados experimentais, a relação Umf /n aumenta com o aumento da relação
l/dc, tanto para a proporção de materiais 5/95, como também para a proporção de materiais
10/90.
Como sugestões para trabalhos futuros, apresentamos os seguintes tópicos:
- Estender a análise para outras frações em massa das misturas de bambu adicionadas à
areia;
- Estender a análise para partículas cilíndricas de bambu com outras dimensões;
- Executar um estudo de modelagem computacional para analisar a resistência ao
escoamento do ar entre as partículas de bambu e de areia.
126
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131
APÊNDICE A- RESULTADOS DOS TESTES
FLUIDODINÂMICOS
Neste apêndice são apresentadas as figuras correspondentes às curvas fluidodinâmicas
obtidas nos ensaios 1, 2 e 3 para cada material ensaiado. Leitos compostos por:
- 2 ensaios com areia,material passante na peneira Tyler mesh 32 (abertura 0,50 mm) e
retida na peneira Tyler mesh 35 (abertura 0,42 mm);
- ensaios com bambu com relação l/dc=1, 2 e 4;
- 7 ensaios com 5% de misturas de bambu adicionadas a 95% de areia e 7 ensaios com
10% de mistura de bambu adicionadas a 90% de areia, percentuais citados em massa.
Também estão apresentadas as curvas do diferencial de pressão na placa porosa em
função da velocidade superficial.
Tabela 31 -Identificação das cores e descrição das características apresentadas nas curvas fluidodinâmicas
Pressão do material: massa do material dividida pela seção transversal do leito (linha horizontal)
Valor da média aritmética dos valores experimentais do diferencial de pressão no leito, correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado (linha horizontal)
Valor da média aritmética dos valores experimentais do diferencial de pressão no leito, correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado, acrescido do desvio padrão multiplicado por 1,96, o que corresponde ao intervalo de confiança de 95% (linha horizontal)
Valor da média aritmética dos valores experimentais do diferencial de pressão no leito, correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado, subtraído do desvio padrão multiplicado por 1,96, o que corresponde ao intervalo de confiança de 95% (linha horizontal)
Umf– velocidade de mínima fluidização: corresponde a interseção da curva ajustada relativa ao regime de leito fixo extrapolada com a reta horizontal formada pelo valor médio da pressão no regime de leito totalmente fluidizado. É um valor teórico, ou seja, não possui característica especifica perceptível visualmente no teste. Lourenço e Tannous (2012) denominaram esta velocidade de “velocidade de fluidização aparente” (linha vertical).
Ufi - velocidade de fluidização iminente: o leito está na iminência de que
132
ocorra movimento relativo entre as suas partículas. Graficamente corresponde ao maior valor da velocidade, onde ocorre a mudança da inclinação da curva ajustada correspondente ao regime de leito fixo para a curva correspondente a região de transição (linha vertical)
Ufc– velocidade de fluidização completa: considerando a velocidade superficial crescente, corresponde a velocidade, cujo diferencial de pressão no leito é igual ao valor da média aritmética do diferencial de pressão no leito, correspondente ao regime de leito totalmente fluidizado
Curva ajustada aos pontos experimentais, correspondente ao regime de leito fixo (linha inclinada), representada pela no gráfico.
Curva ajustada aos pontos experimentais, acrescidos da sua incerteza, no regime de leito fixo (linha inclinada).
Curva ajustada aos pontos experimentais, subtraídos da sua incerteza, no regime de leito fixo (linha inclinada).
133
A.1 Testes com o leito composto por apenas areia
Teste 1 – 11/10/2016
Teste 2 – 11/10/2016
y = 10298x + 91,851R² = 0,9996
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 10816x + 81,792R² = 0,9998
y = 10720x + 61,622R² = 0,9994
y = 10911x + 102,51R² = 0,9999
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
134
Teste 3 – 11/10/2016
Curva da placa porosa – 11/10/2016 – diâmetro do orifício da placa: 5,04 mm
y = 11114x + 76,85R² = 0,9998
y = 10975x + 58,468R² = 0,9994
y = 11253x + 95,874R² = 0,9999
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1081,6x2 + 679,75x + 26,271R² = 1
0
50
100
150
200
250
300
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300
Δp n
a pl
aca
poro
sa (
Pa)
velocidade (m/s)
135
Teste 1 – 19/10/2016
Teste 2 – 19/10/2016
y = 10889x + 124,04R² = 0,9999
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 10735x + 118,41R² = 0,9999
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
136
Teste 3 – 19/10/2016
Curva da placa porosa 19/10/2016 – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
A.2 Testes com o leito composto por bambu
A.2.1 Bambucom l/dc=1
y = 10854x + 129,59R² = 0,9998
y = 11237x + 53,8R² = 0,9991
y = 10490x + 200,95R² = 0,9998
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1091,6x2 + 721,66x + 27,064R² = 1
0
100
200
300
400
500
600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
na p
laca
por
osa
(Pa)
velocidade (m/s)
137
Teste 1
Teste 2
y = 524,4x2 + 464,55x - 28,863R² = 0,9993
0
100
200
300
400
500
600
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400
Δp n
o le
ito (P
a)
velocidade (m/s)
y = 345,07x2 + 603,62x - 56,829R² = 0,9995
0
100
200
300
400
500
600
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400
Δp n
o le
ito (P
a)
velocidade (m/s)
138
Teste 3
Curva da placa porosa para os testes 1, 2 e 3 – diâmetro do orifício da placa: 14,790 mm
y = 476,22x2 + 498,28x - 28,267R² = 0,9991
0
100
200
300
400
500
600
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400
Δp n
o le
ito (P
a)
velocidade (m/s)
y = 1080x2 + 678,31x + 93,91R² = 0,9999
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60
Δp
na p
laca
por
osa
(Pa)
velocidade superficial (m/s)
139
A.2.2. Bambu com l/dc=2
Teste 1
Teste 2
y = 231,3x2 + 487,91x - 63,736R² = 0,9994
0
100
200
300
400
500
600
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 387,97x2 + 333,68x - 26,372R² = 0,9992
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
140
Teste 3
Curva da placa porosa– diâmetro do orifício da placa: 14,790 mm
y = 317,03x2 + 424,91x - 46,557R² = 0,999
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1069,7x2 + 684,24x + 93,605R² = 0,9999
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60
Δp
na p
laca
por
osa
(Pa)
velocidade (m/s)
141
A.2.3. Bambu com l/dc=4
Teste 1
Teste 2
y = 120,28x2 + 304,88x - 50,63R² = 0,9994
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 9,9868x2 + 446,69x - 82,261R² = 0,995
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
142
Teste 3
Curva da placa porosa– diâmetro do orifício da placa: 14,790 mm
y = 228,08x2 + 238,96x - 34,707R² = 0,9993
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1051,9x2 + 692,08x + 91,72R² = 0,9999
0
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 1,600
Δp
na p
laca
por
osa
(Pa)
velocidade (m/s)
teste 1
Polinomial(teste 1)
143
A.3 Testes com o leito composto por 5% de mistura de bambu adicionada a 95% de
areia, em massa
A.3.1 Mistura 1
Teste 1
Teste 2
y = 11039x + 57,716R² = 0,9996
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 10862x + 63,009R² = 0,9998
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
144
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
A.3.2 Mistura 2
y = 10795x + 62,505R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1074,7x2 + 692,94x + 27,414R² = 1
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
145
Teste 1
Teste 2
y = 10785x + 73,181R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 10841x + 63,034R² = 0,9996
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
146
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 10759x + 68,104R² = 0,9998
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1088,5x2 + 719,68x + 26,822R² = 1
0
100
200
300
400
500
600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
147
A.3.3 Mistura 3
Teste 1
Teste 2
y = 10776x + 44,441R² = 0,9998
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 10600x + 44,206R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
148
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 10550x + 51,501R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1080,2x2 + 700,94x + 27,495R² = 1
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
149
A.3.4 Mistura 4
Teste 1
Teste 2
y = 10728x + 59,204R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 10564x + 55,574R² = 0,9998
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
150
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 10600x + 45,347R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1106,5x2 + 716,73x + 27,466R² = 1
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
151
A.3.5 Mistura 5
Teste 1
Teste 2
y = 9998,2x + 72,488R² = 0,9984
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 10028x + 83,382R² = 0,9987
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
152
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 9876x + 98,424R² = 0,9975
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 607,82x2 + 1206x - 21,971R² = 0,9936
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
0,0000 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
153
A.3.6 Mistura 6
Teste 1
Teste 2
y = 11584x + 8,3947R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 11439x + 7,698R² = 0,9996
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
154
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 5,040 mm
y = 11174x + 33,136R² = 0,9998
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1100,9x2 + 680,8x + 25,931R² = 1
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
155
A.3.7 Mistura 7
Teste 1
Teste 2
y = 10778x + 109,74R² = 0,9999
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 10547x + 122,37R² = 0,9998
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
156
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 10439x + 114,6R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1077,7x2 + 699,79x + 27,309R² = 1
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
157
A.4 Testes com o leito composto por 10% de mistura de bambu adicionada a 90% de
areia, em massa
A.4.1 Mistura 1
Teste 1
Teste 2
y = 9838,7x + 143,07R² = 0,9996
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
teste 1
pressão domaterialmédia daspressõesmédia daspressões (+)média daspressões (-)Umf
y = 9556,6x + 125,6R² = 0,9991
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
158
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 9451,2x + 138,7R² = 0,9998
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350
Δp n
o le
ito (P
a)
velocidade (m/s)
y = 161,13x2 + 1450,1x - 91,419R² = 0,9986
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500
Δp n
a pl
aca
poro
sa(P
a)
velocidade (m/s)
159
A.4.2 Mistura 2
Teste 1
Teste 2
y = 9634,1x + 142,42R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 9833,5x + 134,01R² = 0,9993
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
160
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 9490,7x + 138,23R² = 0,9992
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1526,2x - 96,859R² = 0,9986
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
500,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
161
A.4.3 Mistura 3
Teste 1
Teste 2
y = 9583,6x + 110,77R² = 0,9996
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
teste 1
pressão domaterialretahorizontalmédia daspressões (+)média daspressões (-)Umf
Ufc
y = 9223,9x + 117,55R² = 0,9997
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp n
o le
ito (P
a)
velocidade (m/s)
162
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 9650,9x + 118,81R² = 0,9993
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1484x - 79,829R² = 0,9983
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
500,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
163
A.4.4 Mistura 4
Teste 1
Teste 2
y = 9587,5x + 114,74R² = 0,9994
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 9231,2x + 132,17R² = 0,9995
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
164
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 9156,1x + 153,8R² = 0,9983
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δpno
leito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1505,1x - 86,54R² = 0,9991
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
500,00
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
165
A.4.5 Mistura 5
Teste 1
Teste 2
y = 9439,4x + 85,831R² = 0,9978
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 9151,5x + 111,93R² = 0,9957
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
166
Teste 3
NOTA: utilizada a mesma Curva da placa porosa do item A.3.5
y = 9627x + 70,298R² = 0,9967
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
167
A.4.6 Mistura 6
Teste 1
Teste 2
y = 9491x + 121,31R² = 0,9998
y = -80309x2 - 167055x + 402,57R² = 10
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 9375,3x + 121,24R² = 0,9999
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
168
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 9251,3x + 114,86R² = 0,9996
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 53,329x2 + 1488x - 83,028R² = 0,9989
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
169
A.4.7 Mistura 7
Teste 1
Teste 2
y = 8776,1x + 170,25R² = 0,9995
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 8610,8x + 197,86R² = 0,9995
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
170
Teste 3
Curva da placa porosa – diâmetro do orifício da placa: 6,385 mm
y = 8829,2x + 199,5R² = 0,9992
0
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp
no le
ito
(Pa)
velocidade (m/s)
y = 1513,9x - 86,346R² = 0,9987
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400
Δp n
a pl
aca
poro
sa (P
a)
velocidade (m/s)
171
APÊNDICE B –CÁLCULO E PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
B.1 Dados do local dos testes
- Aceleração da gravidade: 9,7855 m/s2
- Campinas: latitude: 22 graus e 54 min
- Altitude: 685 m
B.2 Incerteza dos instrumentos utilizados
- Balança digital, marca Shimadzu, modelo BL3200H, precisão de ±0,05 g
- Balança digital utilizada nos testes com picnômetro: ±0,0005 g
- Transdutor de pressão: 0,1% do spam (conforme manual Smar)
- Paquímetro: ± 0,03 mm
B.3 Pressão do material:
𝑝 = 𝑚.4. 𝑔
𝜋. 𝐷
B.3.1. Incerteza da pressão do material
𝑤 =𝜕𝑝
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝑝
𝜕𝐷. 𝑤
,
B.3.2. Cálculo das derivadas
𝜕𝑝
𝜕𝑚=
4. 𝑔
𝜋. 𝐷=
𝑝
𝑚
𝜕𝑝
𝜕𝐷= −2. 𝑚.
4. 𝑔
𝜋. 𝐷= −2.
𝑝
𝐷
172
B.3.3. Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =𝜕𝑝
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝑝
𝜕𝐷. 𝑤
,
𝑤 = 𝑝.𝑤
𝑚+ −2. 𝑝.
𝑤
𝐷
,
B.4 Densidade do ar a montante da placa de orifício
𝜌 =𝑝 + 𝑝
𝑅. (𝑇 + 273)=
𝑝
𝑅. (𝑇 + 273)+
𝑝
𝑅. (𝑇 + 273)
B.4.1 Incerteza da densidade do ar
𝑤 =𝜕𝜌
𝜕𝑝. 𝑤 +
𝜕𝜌
𝜕𝑇. 𝑤
,
B.4.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝜌
𝜕𝑝=
1
𝑅. (𝑇 + 273)
𝑝 + 𝑝
𝑝 + 𝑝=
𝜌
𝑝 + 𝑝
𝜕𝜌
𝜕𝑇= −
𝑝 + 𝑝
𝑅. (𝑇 + 273)= −
𝜌
(𝑇 + 273)
B.4.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =𝜌
𝑝 + 𝑝. 𝑤 + −
𝜌
(𝑇 + 273). 𝑤
,
𝑤
𝜌=
𝑤
𝑝 + 𝑝+ −
𝑤
(𝑇 + 273)
,
173
B.5 Densidade do ar a montante da placa porosa
𝑃 = 𝛥𝑝 + 𝛥𝑝 , 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝜌 =𝑝 + 𝑃
𝑅. (𝑇 + 273)=
𝑝
𝑅. (𝑇 + 273)+
𝑃
𝑅. (𝑇 + 273)
B.5.1 Incerteza da densidade do ar
𝑤 =𝜕𝜌
𝜕𝑃. 𝑤 +
𝜕𝜌
𝜕𝑇. 𝑤
,
B.5.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝜌
𝜕𝑃=
1
𝑅. (𝑇 + 273)
𝑝 + 𝑃
𝑝 + 𝑃=
𝜌
𝑝 + 𝑃
𝜕𝜌
𝜕𝑇= −
𝑝 + 𝑃
𝑅. (𝑇 + 273). (𝑇 + 273)=
𝜌
(𝑇 + 273)
B.5.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =𝜌
𝑝 + 𝑃. 𝑤 +
𝜌
(𝑇 + 273). 𝑤
,
𝑤
𝜌=
𝑤
𝑝 + 𝑃+
𝑤
(𝑇 + 273)
,
B.6 Diferencial de pressão no leito
𝑃 = 𝛥𝑝 + 𝛥𝑝 , 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
∆𝑃 = 𝑃 − ∆𝑃
174
B.6.1 Incerteza do diferencial de pressão no leito
𝑤∆ =𝜕∆𝑃
𝜕𝑃. 𝑤 +
𝜕∆𝑃
𝜕∆𝑃. 𝑤∆
,
𝑤∆ = 𝑤 + 𝑤∆
,
B.6.2 Incerteza para a média aritmética do diferencial de pressão no regime de leito
totalmente fluidizado
[(Incerteza do desvio padrão)^2 + (incerteza da pressão)^2]^0,5
𝑤∆ = 𝑤 + 𝑤∆
,
+ 𝜎
,
𝑤∆ = 𝑤 + 𝑤∆ + 𝜎,
B.7 Diferencial de pressão na placa porosa – dados para obtenção da curva da placa
porosa
Como o leito está sem material, temos que:
𝑃 = ∆𝑃 , 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
Assim,
𝑤 = 𝑤∆ = ±5 𝑃𝑎 (0,1% do spam)
B.8 Velocidade superficial do ar
𝑣 =4. 𝑞
𝜌 . 𝜋. 𝐷
175
B.8.1 Incerteza da velocidade superficial do ar
𝑤 =𝜕𝑣
𝜕𝑞. 𝑤 +
𝜕𝑣
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝑣
𝜕𝐷. 𝑤
,
B.8.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝑣
𝜕𝑞=
4
𝜌 . 𝜋. 𝐷
𝑞
𝑞=
𝑣
𝑞
𝜕𝑣
𝜕𝜌= −
4. 𝑞
𝜌 . 𝜌 . 𝜋. 𝐷= −
𝑣
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝐷= −
4. 𝑞
𝜌 . 𝜋. 𝐷
2
𝐷= −
2𝑣
𝐷
B.8.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =𝑣
𝑞. 𝑤 + −
𝑣
𝜌. 𝑤 + −
2𝑣
𝐷. 𝑤
,
𝑤
𝑣=
𝑤
𝑞+
𝑤
𝜌+
2𝑤
𝐷
,
B.9 Volume da partícula de bambu
𝑉 =𝜋𝑑
4𝑙
B.9.1 Incerteza do volume da partícula de bambu
𝑤 =𝜕𝑉
𝜕𝑑. 𝑤 +
𝜕𝑉
𝜕𝑙. 𝑤
,
176
B.9.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝑉
𝜕𝑑= 2
𝜋𝑑
4𝑙
𝑑
𝑑=
2𝑉
𝑑
𝜕𝑉
𝜕𝑙=
𝜋𝑑
4
𝑙
𝑙=
𝑉
𝑙
B.9.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =2𝑉
𝑑. 𝑤 +
𝑉
𝑙. 𝑤
,
𝒘𝑽 = 𝑽𝟐𝒘𝒅𝒄
𝒅𝒄
𝟐
+𝒘𝒍
𝒍
𝟐𝟎,𝟓
B.10 Densidade envelopada da partícula de bambu -
𝜌 =𝑚
𝑛𝑉
B.10.1 Incerteza da densidade envelopada
𝑤 =𝜕𝜌
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝜌
𝜕𝑉. 𝑤
,
B.10.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝜌
𝜕𝑚=
1
𝑛𝑉
𝑚
𝑚=
𝜌
𝑚
𝜕𝜌
𝜕𝑉= −
𝑚
𝑛𝑉
𝑉
𝑉= −
𝜌
𝑉
177
B.10.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =𝜌
𝑚. 𝑤 + −
𝜌
𝑉. 𝑤
,
𝒘𝝆𝒆𝒏𝒗= 𝝆𝒆𝒏𝒗
𝒘𝒎
𝒎
𝟐
+ −𝒘𝑽
𝑽
𝟐 𝟎,𝟓
B.11 Porosidade do leito das partículas de bambu
𝜀 = 1 −𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
B.11.1 Incerteza da porosidade do leito
𝑤 =𝜕𝜀
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝜀
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝜀
𝜕𝐷. 𝑤 +
𝜕𝜀
𝜕𝐻. 𝑤
,
B.11.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝜀
𝜕𝑚= −
1
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
𝑚
𝑚
𝜕𝜀
𝜕𝜌=
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
𝜕𝜀
𝜕𝐷=
2𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻=
8𝑚
𝜌
1
𝜋𝐷 𝐻
𝜕𝜀
𝜕𝐻=
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
B.11.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 = −𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
𝑤
𝑚. +
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻.𝑤
𝜌+
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻.2𝑤
𝐷
+𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻.𝑤
𝐻
,
178
𝑤 =𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
𝑤
𝑚+
𝑤
𝜌+
2𝑤
𝐷+
𝑤
𝐻
,
B.12 Porosidade do leito da mistura de bambu adicionada a areia
𝜀 = 1 −𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
B.12.1 Incerteza da porosidade do leito
𝑤 =𝜕𝜀
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝜀
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝜀
𝜕𝐷. 𝑤 +
𝜕𝜀
𝜕𝐻. 𝑤
,
B.12.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝜀
𝜕𝑚= −
1
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
𝑚
𝑚
𝜕𝜀
𝜕𝜌=
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
𝜕𝜀
𝜕𝐷=
2𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻=
8𝑚
𝜌
1
𝜋𝐷 𝐻
𝜕𝜀
𝜕𝐻=
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
B.12.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 = −𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
𝑤
𝑚. +
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻.𝑤
𝜌+
𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻.2𝑤
𝐷
+𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻.𝑤
𝐻
,
𝑤 =𝑚
𝜌
4
𝜋𝐷 𝐻
𝑤
𝑚+
𝑤
𝜌+
2𝑤
𝐷+
𝑤
𝐻
,
179
B.13 Diâmetro médio de Sauter da partícula
𝑑 , = 6𝑉
𝐴= 6
𝑉
𝐴
B.13.1 Incerteza do diâmetro médio de Sauter da mistura
𝑤,
=𝜕𝑑 ,
𝜕𝑉. 𝑤 +
𝜕𝑑 ,
𝜕𝐴. 𝑤
,
B.13.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝑑 ,
𝜕𝑉=
6
𝐴
𝑉
𝑉=
𝑑 ,
𝑉
𝜕𝑑 ,
𝜕𝐴= −6
𝑉
𝐴
1
𝐴= −
𝑑 ,
𝐴
B.13.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤,
=𝑑 ,
𝑉. 𝑤 + −
𝑑 ,
𝐴. 𝑤
,
𝑤,
= 𝑑 ,
𝑤
𝑉+ −
𝑤
𝐴
,
B.14 Diâmetro médio de Sauter da mistura
𝑑 , = 6𝑉
𝐴
B.14.1 Incerteza do diâmetro médio de Sauter da mistura
𝑤,
=𝜕𝑑 ,
𝜕𝑉. 𝑤 +
𝜕𝑑 ,
𝜕𝐴. 𝑤
,
180
B.14.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝑑 ,
𝜕𝑉=
6
𝐴
𝑉
𝑉=
𝑑 ,
𝑉
𝜕𝑑 ,
𝜕𝐴= −6
𝑉
𝐴
1
𝐴= −
𝑑 ,
𝐴
B.14.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤,
=𝑑 ,
𝑉. 𝑤 + −
𝑑 ,
𝐴. 𝑤
,
𝑤,
= 𝑑 ,
𝑤
𝑉+ −
𝑤
𝐴
,
B.15 Soma das massas da areia e do bambu
𝑚 = 𝑚 + 𝑚
B.15.1 Incerteza da soma das massas da areia e do bambu
𝑤 =𝜕𝑚
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝑚
𝜕𝑚. 𝑤
,
B.15.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝑚
𝜕𝑚= 1
𝜕𝑚
𝜕𝑚= 1
181
B.15.3Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 = 𝑤 + 𝑤,
B.16 Densidade equivalente
1
𝜌=
𝑥
𝜌+
𝑥
𝜌
𝜌 =1
+
B.16.1 Incerteza da densidade equivalente
𝑤 =𝜕𝜌
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝜌
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝜌
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝜌
𝜕𝑚. 𝑤
+𝜕𝜌
𝜕𝑚. 𝑤
,
B.16.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝜌
𝜕𝜌= −
1
+
−𝑥
𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝜌=
1
+
𝑥
𝜌= 𝜌
𝑥
𝜌
𝝏𝝆𝒆
𝝏𝝆𝒇= 𝝆𝒆
𝟐𝒙𝒇
𝝆𝒇𝟐
𝜕𝜌
𝜕𝜌=
1
+
𝑥
𝜌= 𝜌
𝑥
𝜌
182
𝝏𝝆𝒆
𝝏𝝆𝒋= 𝝆𝒆
𝟐𝒙𝒋
𝝆𝒋𝟐
𝜕𝜌
𝜕𝑚= −
1
+
1
𝑚 𝜌= 𝜌
1
𝑚 𝜌
𝝏𝝆𝒆
𝝏𝒎𝒇= −𝝆𝒆
𝟐𝟏
𝒎𝒕𝒐𝒕𝝆𝒇
𝜕𝜌
𝜕𝑚= −
1
+
1
𝑚 𝜌= −𝜌
1
𝑚 𝜌
𝝏𝝆𝒆
𝝏𝒎𝒋= −𝝆𝒆
𝟐𝟏
𝒎𝒕𝒐𝒕𝝆𝒋
𝜕𝜌
𝜕𝑚= −
1
+
−𝑚
𝑚 𝜌−
𝑚
𝑚 𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑚=
1
+
𝑚
𝑚 𝜌+
𝑚
𝑚 𝜌=
𝝏𝝆𝒆
𝝏𝒎𝒕𝒐𝒕=
𝝆𝒆
𝒎𝒕𝒐𝒕
B.17 Diâmetro equivalente
𝑑 = 𝑑 . 𝑑𝑥 𝜌 + 𝑥 𝜌
𝑥 𝜌 𝑑 + 𝑥 𝜌 𝑑
𝑑 = 𝑥 𝜌 + 𝑥 𝜌
+=
𝑚 𝜌
++
𝑚 𝜌
+
183
B.17.1 Incerteza do diâmetro equivalente:
𝑤 =𝜕𝑑
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝑑. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝑑. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝑚. 𝑤
+𝜕𝑑
𝜕𝑚. 𝑤
,
B.17.2 Cálculo das derivadas
B.17.2.1 Cálculo de 𝝏𝒅𝒆
𝝏𝝆𝒇
𝜕𝑑
𝜕𝜌= −
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑+
𝑚
+ −
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑 ,
𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜
𝜕𝑑
𝜕𝜌=
𝑚
+−
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑 −
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝜌=
𝑚
+−
𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑
B.17.2.2 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝜌=
𝑚
+−
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑−
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝜌=
𝑚
+−
𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑
B.17.2.3 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌
++
𝑚 𝜌
+
𝜕𝑑
𝜕𝑑= −
𝑚 𝜌
+
−𝑚 𝜌
𝑑−
𝑚 𝜌
+
−𝑚 𝜌
𝑑
184
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝑑+
𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝑑
B.17.2.4 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝑑= −
𝑚 𝜌
+
−𝑚 𝜌
𝑑−
𝑚 𝜌
+
−𝑚 𝜌
𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝑑+
𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝑑
B.17.2.5 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝑚=
𝜌
+−
𝑚 𝜌
+
𝜌
𝑑+
𝑚 𝜌
+
𝜌
𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑚=
𝜌
+−
(𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌 )
+
𝜌
𝑑
B.17.2.6 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝑚= −
𝑚 𝜌
+
𝜌
𝑑+
𝜌
+−
𝑚 𝜌
+
𝜌
𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑚=
𝜌
+−
𝑚 𝜌 +𝑚 𝜌
+
𝜌
𝑑
185
B.18 Diâmetro equivalente considerando a esfericidade das partículas
𝑑 = 𝜙 𝑑 . 𝜙 𝑑𝑥 𝜌 + 𝑥 𝜌
𝑥 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑥 𝜌 𝜙 𝑑
𝑑 = 𝜙 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑+
𝜙 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑
𝑑 = 𝑥 𝜌 + 𝑥 𝜌
+=
𝑚 𝜌
++
𝑚 𝜌
+
B.18.1 Incerteza do diâmetro equivalente:
𝑤 =𝜕𝑑
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝑑. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝑑. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝑚. 𝑤
+𝜕𝑑
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝜙. 𝑤 +
𝜕𝑑
𝜕𝜙. 𝑤
,
B.18.2 Cálculo das derivadas
B.18.2.1 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝜌= −
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝜙 𝑑+
𝑚
+ −
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝜙 𝑑 ,
𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜
𝜕𝑑
𝜕𝜌=
𝑚
+−
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝜙 𝑑 −
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝜌=
𝑚
+−
𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌
+
𝑚
𝜙 𝑑 (1)
186
B.18.2.2 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝜌=
𝑚
+−
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝜙 𝑑−
𝑚 𝜌
+
𝑚
𝜙 𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝜌=
𝑚
+−
𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌
+
𝑚
𝜙 𝑑 (2)
B.18.2.3 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌
++
𝑚 𝜌
+
𝜕𝑑
𝜕𝑑= −
𝑚 𝜌
+
−𝑚 𝜌
𝜙 𝑑−
𝑚 𝜌
+
−𝑚 𝜌
𝜙 𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝜙 𝑑+
𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝜙 𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝜙 𝑑 (3)
B.18.2.4 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝑑= −
𝑚 𝜌
+
−𝑚 𝜌
𝜙 𝑑−
𝑚 𝜌
+
−𝑚 𝜌
𝜙 𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝜙 𝑑+
𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝜙 𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑑=
𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌
+
𝑚 𝜌
𝜙 𝑑 (4)
187
B.18.2.5 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝑚=
𝜌
+−
𝑚 𝜌
+
𝜌
𝜙 𝑑+
𝑚 𝜌
+
𝜌
𝜙 𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑚=
𝜌
+−
(𝑚 𝜌 + 𝑚 𝜌 )
+
𝜌
𝜙 𝑑 (5)
B.18.2.6 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝑚= −
𝑚 𝜌
+
𝜌
𝑑+
𝜌
+−
𝑚 𝜌
+
𝜌
𝜙 𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝑚=
𝜌
+−
𝑚 𝜌 +𝑚 𝜌
+
𝜌
𝜙 𝑑 (6)
B.18.2.7 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝜙=
𝑑 . 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑−
𝜙 𝑑 . 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑𝑚 𝜌 𝑑
+𝑑 . 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑−
𝜙 𝑑 . 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑𝑚 𝜌 𝑑
𝜕𝑑
𝜕𝜙=
𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌 + 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑−
𝜙 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌 + 𝜙 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑𝑚 𝜌 𝑑 (7)
B.18.2.8 Cálculo de
𝜕𝑑
𝜕𝜙=
𝜙 𝑑 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑−
𝜙 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑𝑚 𝜌 𝑑
+𝜙 𝑑 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑−
𝜙 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑𝑚 𝜌 𝑑
188
𝜕𝑑
𝜕𝜙=
𝜙 𝑑 𝑑 𝑚 𝜌 + 𝜙 𝑑 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑−
𝜙 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌 + 𝜙 𝑑 𝜙 𝑑 𝑚 𝜌
𝑚 𝜌 𝜙 𝑑 + 𝑚 𝜌 𝜙 𝑑𝑚 𝜌 𝑑 (8)
B.19 Incerteza da quantidade de partículas
𝑛 =4𝑚
𝜌 , 𝜋𝑑 , 𝑙
19.1 Incerteza da quantidade de partículas
𝑤 =𝜕𝑛
𝜕𝑚. 𝑤 +
𝜕𝑛
𝜕𝜌 ,. 𝑤
,+
𝜕𝑛
𝜕𝑑 ,. 𝑤
,+
𝜕𝑛
𝜕𝑙. 𝑤
,
19.2 Cálculo das derivadas
19.2.1 Cálculo de
𝜕𝑛
𝜕𝑚=
4
𝜌 , 𝜋𝑑 , 𝑙
𝑚
𝑚=
1
𝑚𝑛
19.2.2 Cálculo de ,
𝜕𝑛
𝜕𝜌 ,= −
4𝑚
𝜌 , 𝜌 , 𝜋𝑑 , 𝑙= −
1
𝜌 ,𝑛
19.2.3Cálculo de ,
𝜕𝑛
𝜕𝑑 ,= −
2
𝑑 ,
4𝑚
𝜌 , 𝜋𝑑 , 𝑙= −
2
𝑑 ,𝑛
19.2.3Cálculo de
𝜕𝑛
𝜕𝑙= −
1
𝑙
4𝑚
𝜌 , 𝜋𝑑 , 𝑙= −
1
𝑙𝑛
189
Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =1
𝑚𝑛 . 𝑤 + −
1
𝜌 ,𝑛 . 𝑤
,+ −
2
𝑑 ,𝑛 . 𝑤
,+ −
1
𝑙𝑛 . 𝑤
,
𝑤 =𝑤
𝑚𝑛 + −
𝑤,
𝜌 ,𝑛 + −
2𝑤,
𝑑 ,𝑛 + −
𝑤
𝑙𝑛
,
𝒘𝒏𝒊= 𝒏𝒊
𝒘𝒎𝒊
𝒎𝒊
𝟐
+ −𝒘𝝆𝒆𝒏𝒗,𝒊
𝝆𝒆𝒏𝒗,𝒊
𝟐
+ −𝟐𝒘𝒅𝒄,𝒊
𝒅𝒄,𝒊
𝟐
+ −𝒘𝒍𝒊
𝒍𝒊
𝟐𝟎,𝟓
B.20 Área total das partículas para um comprimento li
𝐴 = 𝑛 𝐴
B.20.1 Incerteza da área total das partículas para um comprimento li
𝑤 =𝜕𝐴
𝜕𝑛. 𝑤 +
𝜕𝐴
𝜕𝐴. 𝑤
,
B.20.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝐴
𝜕𝑛= 𝐴
𝑛
𝑛=
𝐴
𝑛
𝜕𝐴
𝜕𝐴= 𝑛
𝐴
𝐴=
𝐴
𝐴
B.20.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =𝐴
𝑛. 𝑤 +
𝐴
𝐴. 𝑤
,
𝒘𝑨𝒊= 𝑨𝒊
𝒘𝒏𝒊
𝒏𝒊
𝟐
+𝒘𝑨𝒊𝒑
𝑨𝒊𝒑
𝟐 𝟎,𝟓
B.21 Volume total das partículas para um comprimento li
𝑉 = 𝑛 𝑉
190
B.21.1 Incerteza dovolume total das partículas para um comprimento li
𝑤 =𝜕𝑉
𝜕𝑛. 𝑤 +
𝜕𝑉
𝜕𝑉. 𝑤
,
B.21.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝑉
𝜕𝑛= 𝑉 𝑛
1
𝑛=
𝑉
𝑛
𝜕𝑉
𝜕𝑉= 𝑛
𝑉
𝑉=
𝑉
𝑉
B.21.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 = 𝑉𝑤
𝑛+
𝑤
𝑉
,
B.22 Somatória das áreas das partículas com l/dc=1, 2, 4 e 8
𝐴 = 𝐴 + 𝐴 + 𝐴 + 𝐴 = 𝐴
B.22.1 Incerteza da somatória das áreas das partículas
𝑤 =𝜕𝐴
𝜕𝐴. 𝑤
,
𝑤 = 𝑤,
B.23 Área média de uma partícula da mistura de bambu
𝐴 , =𝐴
𝑛
191
B.23.1 Incerteza da área média de uma partícula da mistura de bambu
𝑤,
=𝜕𝐴 ,
𝜕𝐴. 𝑤 +
𝜕𝐴 ,
𝜕𝑛. 𝑤
,
B.23.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝐴 ,
𝜕𝐴=
1
𝑛
𝐴
𝐴=
𝐴 ,
𝐴
𝜕𝐴 ,
𝜕𝑛= −
𝐴
𝑛
1
𝑛= −
𝐴 ,
𝑛
B.23.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤,
=𝐴 ,
𝐴. 𝑤 +
𝐴 ,
𝑛. 𝑤
,
𝑤,
= 𝐴 ,
𝑤
𝐴+
𝑤
𝑛
,
B.24 Volume médio de uma partícula da mistura de bambu
𝑉 , =𝑉
𝑛
B.24.1 Incerteza do volume médio de uma partícula da mistura de bambu
𝑤,
=𝜕𝑉 ,
𝜕𝑉. 𝑤 +
𝜕𝑉 ,
𝜕𝑛. 𝑤
,
B.24.2 Cálculo das derivadas
𝜕𝑉 ,
𝜕𝑉=
1
𝑛
𝑉
𝑉=
𝑉 ,
𝑉
192
𝜕𝑉 ,
𝜕𝑛= −
𝑉
𝑛
1
𝑛= −
𝑉 ,
𝑛
B.24.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤,
= 𝑉 ,
𝑤
𝑉+
𝑤
𝑛
,
B.25 Diâmetro esférico da mistura de bambu
𝑑 = 6𝑉 ,
𝜋
B.25.1 Incerteza do diâmetro esférico da mistura de bambu
𝑤 =𝜕𝑑
𝜕𝑉 ,. 𝑤
,
,
=𝜕𝑑
𝜕𝑉 ,. 𝑤
,
B.25.2 Cálculo da derivada
𝜕𝑑
𝜕𝑉 ,=
1
3
6
𝜋
1
𝑉 ,
𝑉 ,
𝑉 ,=
1
3
6𝑉 ,
𝜋
1
𝑉 ,=
𝑑
3
1
𝑉 ,
B.25.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤 =𝑑
3
𝑤,
𝑉 ,
B.26 Área do diâmetro esférico da mistura de bambu
𝐴 = 𝜋 𝑑
193
B.26.1 Incerteza do diâmetro esférico da mistura de bambu
𝑤 =𝜕𝐴
𝜕𝑑. 𝑤
,
=𝜕𝐴
𝜕𝑑. 𝑤
B.26.2 Cálculo da derivada
𝜕𝐴
𝜕𝑑= 2𝜋𝑑
𝑑
𝑑=
2𝐴
𝑑
B.26.3 Substituindo a derivada na expressão da incerteza
𝑤 = 2𝐴𝑤
𝑑
B.27 Esfericidade da mistura de bambu
∅ =𝐴
𝐴 ,
B.26.1 Incerteza daesfericidade da mistura de bambu
𝑤∅ =𝜕∅
𝜕𝐴. 𝑤 +
𝜕∅
𝜕𝐴 ,. 𝑤
,
,
B.26.2 Cálculo das derivadas
𝜕∅
𝜕𝐴=
1
𝐴 ,
𝐴
𝐴=
∅
𝐴
𝜕∅
𝜕𝐴= −
𝐴
𝐴 ,
1
𝐴 ,= −
∅
𝐴 ,
B.26.3 Substituindo as derivadas na expressão da incerteza
𝑤∅ =∅
𝐴. 𝑤 + −
∅
𝐴 ,. 𝑤
,
,
𝑤∅ = ∅𝑤
𝐴+ −
𝑤,
𝐴 ,
,
194
B.27 Diâmetro superficial da mistura de bambu
𝑑𝑆 = 𝐴 , /𝜋,
B.27.1 Incerteza do diâmetro superficial da mistura de bambu
𝑤 =𝜕𝑑𝑆
𝜕𝐴 ,. 𝑤
,
B.27.2 Cálculo da derivada
𝜕𝑑𝑆
𝜕𝐴=
0,5
𝜋
𝐴 ,
𝜋
,
=0,5
𝜋 𝐴 , /𝜋,
𝐴 , /𝜋,
𝐴 , /𝜋, =
0,5𝜋𝑑𝑆
𝜋𝐴 ,
B.27.3 Substituindo a derivada na expressão da incerteza
𝑤 =0,5𝑑𝑆
𝐴 ,. 𝑤
,= 0,5𝑑𝑆
𝑤,
𝐴 ,
B.28 Correlação de Ergun para mistura de bambu adicionada a areia
Esfericidade das partículas considerada no cálculo do diâmetro equivalente
𝛥𝑃 =1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈
B.28.1 Incerteza da correlação de Ergun para mistura de bambu adicionada a areia
𝑤 =𝜕𝛥𝑃
𝜕𝜀. 𝑤 +
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝐻. 𝑤 +
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝑈. 𝑤
+𝜕𝛥𝑃
𝜕𝑑. 𝑤
,
B.28.2 Cálculo das derivadas
B.28.2.1 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝜺𝑳
𝛥𝑃 =1,75𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 −
1,75𝜀 𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 2𝜀 + 𝜀 )𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈
195
𝛥𝑃 =1,75𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 −
1,75𝜀 𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 +
150𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 − 2
150. 𝜀 𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 +
150𝜀 𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈
𝛥𝑃 =1,75𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 −
1,75𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 +
150𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 −
300𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 +
150𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈
𝛥𝑃 =1,75𝜌 𝐻
𝑑𝑈 +
150𝜇 𝐻
𝑑𝑈
1
𝜀−
1,75𝜌 𝐻
𝑑𝑈 +
300𝜇 𝐻
𝑑𝑈
1
𝜀
+150𝜇 𝐻
𝑑𝑈
1
𝜀
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝜀=
1,75𝜌 𝐻
𝑑𝑈 +
150𝜇 𝐻
𝑑𝑈
(−3)
𝜀−
1,75𝜌 𝐻
𝑑𝑈 +
300𝜇 𝐻
𝑑𝑈
(−2)
𝜀
+150𝜇 𝐻
𝑑𝑈
(−1)
𝜀
B.28.2.2 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝝆𝒈
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝜌=
1,75(1 − 𝜀 )𝐻
𝑑 𝜀𝑈
B.28.2.3 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝑯𝑳
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝐻=
1,75(1 − 𝜀 )𝜌
𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 𝜀 ) 𝜇
𝑑 𝜀𝑈
B.28.2.4 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝑼𝒐
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝑈= 2
1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
𝑑 𝜀
B.28.2.5 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏∅
𝜕𝛥𝑃
𝜕∅= −
1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 − 2
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈
196
B.28.2.6 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝒅𝒑
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝑑= −
1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
𝑑 𝜀𝑈 − 2
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
𝑑 𝜀𝑈
B.29 Correlação de Ergun (com esfericidade)
𝛥𝑃 =1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈
B.29.1 Incerteza da correlação de Ergun(com esfericidade)
𝑤 =𝜕𝛥𝑃
𝜕𝜀. 𝑤 +
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝜌. 𝑤 +
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝐻. 𝑤 +
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝑈. 𝑤 +
𝜕𝛥𝑃
𝜕∅. 𝑤∅
+𝜕𝛥𝑃
𝜕𝑑. 𝑤
,
B.29.2 Cálculo das derivadas
29.2.1 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝜺𝑳
𝛥𝑃 =1,75𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 −
1,75𝜀 𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 2𝜀 + 𝜀 )𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈
𝛥𝑃 =1,75𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 −
1,75𝜀 𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 +
150𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈 − 2
150. 𝜀 𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈 +
150𝜀 𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈
𝛥𝑃 =1,75𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 −
1,75𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 +
150𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈 −
300𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈 +
150𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈
𝛥𝑃 =1,75𝜌 𝐻
∅𝑑𝑈 +
150𝜇 𝐻
∅ 𝑑𝑈
1
𝜀−
1,75𝜌 𝐻
∅𝑑𝑈 +
300𝜇 𝐻
∅ 𝑑𝑈
1
𝜀
+150𝜇 𝐻
∅ 𝑑𝑈
1
𝜀
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝜀=
1,75𝜌 𝐻
∅𝑑𝑈 +
150𝜇 𝐻
∅ 𝑑𝑈
(−3)
𝜀−
1,75𝜌 𝐻
∅𝑑𝑈 +
300𝜇 𝐻
∅ 𝑑𝑈
(−2)
𝜀
+150𝜇 𝐻
∅ 𝑑𝑈
(−1)
𝜀
197
B.29.2.2 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝝆𝒈
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝜌=
1,75(1 − 𝜀 )𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈
B.29.2.3 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝑯𝑳
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝐻=
1,75(1 − 𝜀 )𝜌
∅𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 𝜀 ) 𝜇
∅ 𝑑 𝜀𝑈
B.29.2.4 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝑼𝒐
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝑈= 2
1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 +
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀
B.29.2.5 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏∅
𝜕𝛥𝑃
𝜕∅= −
1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈 − 2
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈
B.29.2.6 Cálculo de 𝝏𝜟𝑷𝑳
𝝏𝒅𝒑
𝜕𝛥𝑃
𝜕𝑑= −
1,75(1 − 𝜀 )𝜌 𝐻
∅𝑑 𝜀𝑈 − 2
150(1 − 𝜀 ) 𝜇 𝐻
∅ 𝑑 𝜀𝑈
B.30 Área
𝐴 =𝜋𝐷
4
Incerteza da área
𝑤 =𝜕𝐴
𝜕𝐷. 𝑤
,
=𝜕𝐴
𝜕𝐷. 𝑤
Cálculo da derivada
𝜕𝐴
𝜕𝐷=
𝜋D
2
198
Substituindo a derivada na expressão da incerteza
𝑤 =𝜋. 𝐷
2. 𝑤 = 2.
𝐴
𝐷. 𝑤
199
APÊNDICE C – FÓRMULAS UTILIZADAS PARA PARTÍCULAS
CILÍNDRICAS
C.1 Diâmetro de Sauter da mistura de partículas cilíndricas (dSV,M)
Conforme definição, o diâmetro médio de Sauter é conforme Eq. C.1.1.
𝑑 , = 6𝑉
𝐴= 6
∑ 𝑉 , 𝑛
∑ 𝐴 , 𝑛
Eq. C.1.1
Com referência a Eq. C.1.1, no presente trabalho, será considerada a área superficial
envelopada e o volume envelopado. Eventualmente, dependendo do objetivo do estudo,
poderia se considerar a área superficial aparente e o correspondente volume aparente (área
superficial considerando as irregularidades da superfície e o volume da parte sólida acrescido
do volumedos poros fechados), se fossem possíveis de serem determinados.
A Eq. C.1.2 corresponde a quantidade de partículas com diâmetro dc,i, comprimento li,
massa mi e densidade envelopada ρenv,i.
𝑛 =𝑚
𝜌 , 𝑉 ,=
4
𝜌 , 𝜋𝑑 ,
𝑚
𝑙
Eq. C.1.2
A Eq. C.1.3 corresponde ao volume envelopado de 1 partícula cilíndrica (Vi,p):
𝑉 , =𝑚
𝜌 , 𝑛 𝑜𝑢 𝑉 , 𝑛 =
𝑚
𝜌 ,
Eq. C.1.3
A Eq. C.1.4 corresponde a área superficial envelopada de 1 partícula cilíndrica (Ai,p):
𝐴 , =𝜋𝑑 ,
2+ 𝜋𝑑 , 𝑙
Eq. C.1.4
200
A Eq. C.1.5 corresponde ao diâmetro médio de Sauter de uma partícula cilíndrica:
𝑑 , =3𝑑 , 𝑙
𝑑 , + 2 𝑙=
3𝑑 ,
,
+ 2
Eq. C.1.5
A Eq. C.1.6 corresponde ao diâmetro médio de Sauter da mistura de partículas
cilíndricas:
𝑑 , = 6∑ 𝑉 , 𝑛
∑ 𝐴 , 𝑛= 6
∑,
∑ 𝐴 ,, ,
Eq. C.1.6
No caso particular da densidade envelopada (ρenv,i) constante para os tamanhos de
partículas com l/dc=1, 2, 4 e 8, o que não corresponde ao caso do presente trabalho, a
densidade envelopada presente na Eq C.1.6 é cancelada, ficando conforme a Eq. C.1.7.
𝑑 , = 6∑ 𝑚
∑ 𝐴 ,,
= 6𝑚
∑ 𝐴 ,,
=1
∑,
,
=1
∑,
Eq. C.1.7
𝑑 , = 6𝑚
∑ , +,
= 3𝑚
∑ 𝑑 , + 2𝑙,
=1
∑ 𝑑 , + 2𝑙,
𝑑 , =1
∑,
,
Eq. C.1.8
O diâmetro médio de Sauter,para um determinado tamanho de partículas cilíndricas, é
conforme Eq. C.1.9:
201
𝑑 , =3𝑑 , 𝑙
𝑑 , + 2 𝑙=
3𝑑 ,
,
+ 2
Eq. C.1.9
Substituindo na expressão de dSV,M , Eq. C.1.8, resulta a Eq. C.1.10, válida para
partículas com densidade envelopada constante:
𝑑 , =1
∑,
,
=1
∑,
Eq. C.1.10
C.2 Mesmo diâmetro médio de Sauter para as quatro misturas de bambu
𝑑 , = 𝑑 , = 𝑑 , = 𝑑 ,
𝑑 , = 6∑ 𝑉 , 𝑛
∑ 𝐴 , 𝑛= 6
𝑉
∑ 𝐴 , 𝑛
𝑑 , = 𝑑 ,
6𝑉
∑ 𝐴 , 𝑛= 6
𝑉
∑ 𝐴 , 𝑛
No caso particular do diâmetro do cilindro dc=constantepara os tamanhos de partículas
com l/dc=1, 2, 4 e 8, o que não corresponde ao caso do presente trabalho, como a massa de
bambu entre as misturas é constante, Vtot é igual para as 4 misturas. Assim, temos
1
∑ 𝐴 , 𝑛=
1
∑ 𝐴 , 𝑛 𝑜𝑢
𝐴 , 𝑛 = 𝐴 , 𝑛
202
Ou seja, a área superficial total das partículas (Atot) é igual para as quatro misturas.
𝐴 , 𝑛 = 𝐴 , 𝑛
𝑛𝜋𝑑 ,
2+ 𝜋𝑑 , 𝑙 = 𝑛
𝜋𝑑 ,
2+ 𝜋𝑑 , 𝑙
Para dc =constante
𝑛𝑑 ,
2+ 𝑙 = 𝑛
𝑑 ,
2+ 𝑙
𝑛𝑑 ,
2+ 𝑛 𝑙 = 𝑛
𝑑 ,
2+ 𝑛 𝑙
Como a massa total de bambu é constante para as 4 misturas, a somatória ∑ 𝑛 𝑙 = 𝑙
é a mesma para as 4 misturas. Assim,
𝑛𝑑 ,
2= 𝑛
𝑑 ,
2
𝑛 = 𝑛
Ou seja, a quantidade total de partículas das misturas é a mesma se dc=constante e para
𝑑 , iguais.
Nota: embora dc não seja constante no presente trabalho, sua variação é pequena para os
4 tamanhos de partículas. Assim, os parâmetros das relações obtidas considerando esta
igualdade terão valores próximos ou até mesmo valores iguais considerando a sua incerteza.
C.3 Cálculo da esfericidade de mistura de partículas de cilíndricas:
Relação entre a área da esfera (Aesf) e a área de 1 partícula da mistura (A1p,M), ambas
com o mesmo volume:
∅ =𝐴
𝐴 ,
203
Os parâmetros Aesf e A1p,M são calculados conforme expressões a seguir.
Área superficial total das partículas da mistura (Atot):
𝐴 = 𝐴 = 𝑛𝜋𝑑 ,
2+ 𝜋𝑑 , 𝑙
Quantidade total de partículas numa mistura (ntot):
𝑛 = 𝑛 =4
𝜋
𝑚
𝜌 , 𝑑 , 𝑙
Área superficial de uma partícula da mistura (A1p,M):
𝐴 , =𝐴
𝑛=
∑ 𝑛 , + 𝜋𝑑 , 𝑙
∑, ,
=𝜋
8
∑ 𝑛 𝜋𝑑 , 𝑑 , + 2𝑙
∑, ,
Volume de 1 partícula da mistura (V1p,M):
𝑉 , =𝑉
𝑛=
∑ 𝑛 ,
∑, ,
=𝜋
16
∑ 𝑛 𝜋𝑑 , 𝑙
∑, ,
Diâmetro da esfera com volume V1p,M
𝑑 =6
𝜋𝑉 ,
/
Área superficial da esfera:
𝐴 = 𝜋𝑑
204
Como mostrado no item C.2, no caso particular do diâmetro do cilindro
dc=constantepara os tamanhos de partículas com l/dc=1, 2, 4 e 8, e para 𝑑 , iguais, temos
que os seguintes parâmetros são iguais para as 4 misturas:
- 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎: ∑ 𝑛 𝑉 , = 𝑉 ;
- 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎: ∑ 𝑛 𝑙 = 𝑙 ;
- 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎: ∑ 𝑛 = 𝑛 ;
- 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑢𝑟𝑎: ∑ 𝑛 𝐴 , = 𝐴 ;
Em decorrência das igualdades acima, para dc=constanteos seguintes parâmetros serão
iguais entre as misturas:
- Área superficial de uma partícula da mistura (A1p,M):
- Volume de 1 partícula da mistura (V1p,M):
- Diâmetro da esfera com volume V1p,M;
- Área superficial da esfera (Aesf):
Dessa forma, as esfericidades das misturas serão iguais para dc=constante epara 𝑑 ,
iguais. Embora dc não seja constante no presente trabalho, sua variação é pequena para os 4
tamanhos de partículas, resultando no mesmo valor, considerando a sua incerteza
C.4 Diâmetro de Sauter da mistura de partículas esféricas (dSV,M)
𝑑 , = 6𝑉
𝐴= 6
∑ 𝑉 , 𝑛
∑ 𝐴 , 𝑛
Eq. C.4.1
Quantidade de partículas com diâmetro desf,i, massa mi e densidade envelopada ρenv,i ,
Eq.C.4.2:
𝑛 =𝑚
𝜌 , 𝑉 ,=
6𝑚
𝜌 , 𝜋𝑑 ,
Eq. C.4.2
Volume envelopado de 1 partícula esférica (Vi,p), Eq. C.4.3:
205
𝑉 , =𝑚
𝜌 , 𝑛 𝑜𝑢 𝑉 , 𝑛 =
𝑚
𝜌 ,
Eq. C.4.3
Área superficial envelopada de 1 partícula esférica (Ai,p), Eq. C.4.4:
𝐴 , = 𝜋𝑑 , Eq. C.4.4
Diâmetro médio de Sauter de uma partícula esférica, Eq. C.4.5:
𝑑 , = 6𝜋𝑑 ,
6
1
𝜋𝑑 ,
= 𝑑 ,
Eq. C.4.5
Diâmetro médio de Sauter da mistura de partículas esféricas, Eq. C.4.6:
𝑑 , = 6∑ 𝑉 , 𝑛
∑ 𝐴 , 𝑛= 6
∑,
∑ 𝐴 ,, ,
Eq. C.4.6
No caso particular da densidade envelopada (ρenv,i) constante, a Eq. C.4.6 pode ser
simplificadaconforme a Eq. C.4.7.
𝑑 , = 6∑
,
∑ 𝐴 ,, ,
= 6∑ 𝑚
∑ 𝐴 ,,
= 6𝑚
∑ 𝐴 ,,
=1
∑,
,
=1
∑,
Eq. C.4.7
206
APÊNDICE D – DISTRIBUIÇÃO DE ROSIN, RAMMLER E
BENNET
Neste apêndice, é apresentado o método utilizado para obtenção da função de
distribuição de Rosin, Rammler e Bennet, referente a distribuição granulométrica das misturas
de bambu. A Eq. D.1 representa a função dedistribuição de Rosin, Rammler e Bennet. Nesta
equação, G(dsv) é a fração de material acumulada, em massa, menor do que o tamanho dsv, ou
seja, passante na malha com dimensão dsv, dsvé o diâmetro médio de Sauter da partícula, xo é
um tamanho característico e k é uma medida da distribuição das partículas. Para uma dada
distribuição, xo e k são constantes. AEq. D.2, F(dsv) representa a fração em massa, acumulada
e retida das partículas com dimensões menores ou iguais a dsv.
𝐺(𝑑 ) = 1 − 𝑒 Eq. D.1
𝐹(𝑑 ) = 𝑒 Eq. D.2
𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑛1
𝐹= 𝑘. 𝑙𝑜𝑔(𝑑 ) − 𝑘. 𝑙𝑜𝑔(𝑥 )
Eq. D.3
A Eq. D.3 representa uma reta num gráfico com eixos cartesianoscom escala decimal,
tendo no eixo das abcissas, os valores de log (dsv) e nas ordenadas, os valores de
log[ln(1/F)].Os valores de log (dsv) e log[ln(1/F)] correspondentes a cada mistura de bambu
utilizadas neste trabalho, foram plotados nestes gráficos e ajustados por uma reta, para
determinação dos valores de k e xo.Estes gráficos estão apresentados nas Figura D.1 à Figura
D.4,os valores para sua obtenção, as retas ajustadas e os valores de k e xoestão na Tabela D.1 à
Tabela D.8. Para a seleção das misturas de bambu, foram consideradas as dimensões nominais
de suas partículas, que são: diâmetro do cilindro de 2 mm e comprimentos de 2, 4, 8 e 16
mm.Após a aquisição das varetas de bambu eo corte nos comprimentos de projeto (2, 4, 8 e
207
16mm), foram medidas as dimensões resultantes (diâmetro e comprimentos) e aqui
denominadas como dimensões reais.Nas Figuras D.1 à D.4 estão representados, para
comparação, os valores da distribuição granulométrica das misturas de bambu com o dsv
calculado com as dimensões reais de suas partículas. Na Figura D.5 à Figura D.8 estão
apresentadas as funções de distribuição de Rosin, Rammler e Bennet de referência para as 4
misturas de bambu estudadas.
Tabela D.1 – Distribuição granulométrica da mistura 1 e valores calculados para o gráfico da Figura D.1
dsvnom
(mm)
log (dsv)
nominal
dsvdim
reais
(mm)
log (dsv)
dimensões
reais
Fração em massa
Fração em massa, retida e acumulada
– F
log [ln (1/F)]
2,8 0,451 2,7 0,431 0,205 0,205 0,200
2,7 0,426 2,5 0,398 0,495 0,700 -0,448
2,4 0,380 2,4 0,380 0,150 0,850 -0,789
2,0 0,301 1,9 0,279 0,150 0,999 -3,000
Figura D.1 – Reta ajustada aos valores da distribuição granulométrica da mistura 1,com dsv calculado com as dimensões nominais das partículas de bambu (marcadores em vermelho) e
com as dimensões reais (marcadores em azul)
equação da reta ajustadacom dimensões reaisy = 21,125x - 8,8692
R² = 0,9992
equação da reta ajustadacom dimensões nominais
y = 20,666x - 9,0584R² = 0,9592
-3,500
-3,000
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-0,500
0,000
0,500
0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
log
[ln
(1/
F)]
log(dsv)
Mistura 1
208
Tabela D.2 – Parâmetrosk e xo da função de distribuição de Rosin, Rammler e Bennet de referência para a distribuição granulométrica da mistura 1
Dimensões k k.log(xo) xo (mm)
nominais 20,666 9,0584 2,7436
reais 21,125 8,8692 2,6293
Tabela D.3 – Distribuição granulométrica da mistura 2 e valores calculados para o gráfico da Figura D.2
dsvnom
(mm)
log (dsv)
nominal
dsvdim
reais
(mm)
log (dsv)
dimensões
reais
Fração em massa
Fração em massa, retida e acumulada
– F
log [ln (1/F)]
2,8 0,451 2,7 0,431 0,1976 0,198 0,210
2,7 0,426 2,5 0,398 0,4024 0,600 -0,292
2,4 0,380 2,4 0,380 0,3000 0,900 -0,977
2,0 0,301 1,9 0,279 0,1000 0,999 -3,000
Figura D.2 – Reta ajustada aos valores da distribuição granulométrica da mistura 2,com dsvcalculado com as dimensões nominais das partículas de bambu (marcadores em vermelho)
e com as dimensões reais (marcadores em azul)
equação da reta ajustadacom dimensões reaisy = 21,364x - 8,9635
R² = 0,9917 equação da reta ajustadacom dimensões nominais
y = 21,285x - 9,3051R² = 0,9874
-3,500
-3,000
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-0,500
0,000
0,500
0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
log
[ln
(1/
F)]
log(dsv)
Mistura 2
209
Tabela D.4 – Parâmetrosk e xo da função de distribuição de Rosin, Rammler e Bennet de referência para a distribuição granulométrica da mistura 2
Dimensões k k.log(xo) xo (mm)
nominais 21,285 9,3051 2,7363
reais 21,364 8,9635 2,6276
Tabela D.5 – Distribuição granulométrica da mistura 3 e valores calculados para o gráfico da Figura D.3
dsvnom
(mm)
log (dsv)
nominal
dsvdim
reais
(mm)
log (dsv)
dimensões
reais
Fração em massa
Fração em massa, retida e acumulada
– F
log [ln (1/F)]
2,8 0,451 2,7 0,431 0,0976 0,098 0,367
2,7 0,426 2,5 0,398 0,4524 0,550 -0,223
2,4 0,380 2,4 0,380 0,4000 0,950 -1,290
2,0 0,301 1,9 0,279 0,0500 0,999 -3,000
Figura D.3 – Reta ajustada aos valores da distribuição granulométrica da mistura 3,com dsv calculado com as dimensões nominais das partículas de bambu (marcadores em vermelho) e
com as dimensões reais (marcadores em azul)
equação da reta ajustadacom dimensões reaisy = 22,021x - 9,23
R² = 0,9596 equação da reta ajustadacom dimensões nominais
y = 22,439x - 9,7766R² = 0,9995
-3,500
-3,000
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-0,500
0,000
0,500
0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
log
[ln
(1/
F)]
log(dsv)
Mistura 3
210
Tabela D.6 – Parâmetrosk e xo da função de distribuição de Rosin, Rammler e Bennet de referência para a distribuição granulométrica da mistura 3
Dimensões k k.log(xo) xo (mm)
nominais 22,439 9,7766 2,7271
reais 22,021 9,23 2,6251
Tabela D.7 – Distribuição granulométrica da mistura 4 e valores calculados para o gráfico da Figura D.4
dsvnom
(mm)
log (dsv)
nominal
dsvdim
reais
(mm)
log (dsv)
dimensões
reais
Fração em massa
Fração em massa, retida e acumulada
– F
log [ln (1/F)]
2,8 0,451 2,7 0,431 0,1176 0,118 0,330
2,7 0,426 2,5 0,398 0,3624 0,480 -0,134
2,4 0,380 2,4 0,380 0,5000 0,980 -1,695
2,0 0,301 1,9 0,279 0,0200 0,999 -3,000
Figura D.4 – Reta ajustada aos valores da distribuição granulométrica da mistura 4, comdsv calculado com as dimensões nominais das partículas de bambu (marcadores em vermelho) e
com as dimensões reais (marcadores em azul)
equação da reta ajustadacom dimensões reaisy = 21,779x - 9,2278
R² = 0,8858
equação da reta ajustadacom dimensões nominais
y = 22,807x - 10,008R² = 0,9745
-3,500
-3,000
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-0,500
0,000
0,500
0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
log
[ln
(1/
F)]
log(dsv)
Mistura 4
211
Tabela D.8 – Parâmetrosk e xo da função de distribuição de Rosin, Rammler e Bennet de referência para a distribuição granulométrica da mistura 4
Dimensões k k.log(xo) xo (mm)
nominais 22,807 10,008 2,7467
reais 21,779 9,2278 2,6528
Figura D.5 – Distribuição de Rosin, Rammer e Bennet de referência para a distribuição granulométrica da mistura 1:dsv calculado com as dimensões nominais das partículas de
bambu (marcadores e linha em vermelho) e com as dimensões reais (linha preta e marcadores em azul)
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
fraç
ão e
m m
assa
ret
ida
acum
ulad
a
dsv - mm
distr RRB -dimensões nominais
mistura 1 -dimensões nominais
distr RRB -dimensões reais
mistura 1 -dimensões reais
212
Figura D.6 – Distribuição de Rosin, Rammer e Bennet de referência para a distribuição granulométrica da mistura 2:dsv calculado com as dimensões nominais das partículas de
bambu (marcadores e linha em vermelho) e com as dimensões reais (linha preta e marcadores em azul)
Figura D.7 – Distribuição de Rosin, Rammer e Bennet de referência para a distribuição granulométrica da mistura 3:dsv calculado com as dimensões nominais das partículas de
bambu (marcadores e linha em vermelho) e com as dimensões reais (linha preta e marcadores em azul)
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
fraç
ão e
m m
assa
ret
ida
acum
ulad
a
dsv - mm
distr RRB -dimensões nominais
mistura 2 -dimensões nominais
distr RRB -dimensões reais
mistura 2 -dimensões reais
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
fraç
ão e
m m
assa
ret
ida
acum
ulad
a
dsv - mm
distr RRB -dimensões nominais
mistura 3 -dimensões nominais
distr RRB -dimensões reais
mistura 3 -dimensões reais
213
Figura D.8 – Distribuição de Rosin, Rammer e Bennet de referência para a distribuição granulométrica da mistura 4:dsv calculado com as dimensões nominais das partículas de
bambu (marcadores e linha em vermelho) e com as dimensões reais (linha preta e marcadores em azul)
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
fraç
ão e
m m
assa
ret
ida
acum
ulad
a
dsv - mm
distr RRB -dimensões nominais
mistura 4 -dimensões nominais
distr RRB -dimensões reais
mistura 4 -dimensões reais
214
APÊNDICE E – VALORESDAS DIMENSÕES DOS MATERIAIS
UTILIZADOS
Foram efetuadas medidas em 10 pçs de cada material (l/dc=1, 2, 4 e8). O diâmetro de
cada peça foi medida em dois pontos perpendiculares. Foi utilizado um paquímetro, com
menor divisão da escala de 0,05 mm.
Relação l/dc 1 2 4 8 diam compr diam compr diam compr diam compr (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 1,70 2,00 1,90 4,40 2,05 7,90 1,80 16,35 2,00 1,90 1,90 2,00 1,70 2,00 2,00 4,05 1,90 7,90 1,95 16,45 1,75 1,90 1,70 1,90 1,65 2,15 1,85 4,15 1,85 7,80 1,95 16,25 1,70 1,75 1,90 1,80 1,90 2,00 2,00 3,80 1,95 7,65 1,90 16,45 1,90 2,00 1,80 1,95 1,85 2,15 2,00 4,05 1,90 8,00 1,95 16,30 1,70 2,00 1,80 1,85 1,95 2,00 1,90 4,20 1,95 7,90 1,85 16,30 1,85 1,95 2,00 1,90 1,85 2,10 1,90 4,60 1,75 7,75 2,05 16,60 2,00 2,05 1,95 1,85 2,00 1,90 1,95 4,10 1,95 7,90 1,95 16,40 1,85 2,00 1,80 2,00 1,90 2,10 1,90 4,15 1,90 7,60 2,05 16,35 2,00 1,90 1,90 1,80 2,00 2,05 1,90 4,40 1,90 7,75 1,85 16,40 1,90 1,95 1,85 1,90
Média aritmética 1,86 2,05 1,94 4,19 1,89 7,82 1,91 16,39
Desvio padrão 0,12 0,08 0,07 0,23 0,08 0,13 0,08 0,10 Desvio relativo 0,06 0,04 0,04 0,05 0,04 0,02 0,04 0,01