1 os modelos de markowitz e sharpe o capm prof. dr. roberto arruda de souza lima outubro 2013...

1

Os Modelos de Markowitz e Sharpe

O CAPM

Prof. Dr. Roberto Arruda de Souza Lima

Outubro 2013

Baseado em SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. São Paulo: Atlas, 1996.

LES 470 – MERCADO DE CAPITAIS

2

Fronteira Eficiente de Ativos com Risco

Considere uma carteira de investimentos composta dos ativos A1, A2 e A3, nas proporções

w1, w2 e w3, respectivamente.

São conhecidos os retornos médios Im1, Im2 e

Im3, bem como os desvios IS1, IS2 e IS3,

respectivamente.

As covariâncias dos retornos dos ativos são dadas por: cov(I1, I2 ), cov(I1, I3) e cov(IS2, IS3).

3


Retorno: ImC

ISC: Risco


4


Retorno: ImC

ISC: Risco

No plano variância-retorno:

Variância:IV 2sc

5


Retorno: ImC

Variância:IV 2sc

Pr1

a1

VbaI:r 11C1

r

a

Dentre todas as retas que têm um único ponto em comum com a curva, a equação da reta tangente deverá ter o mínimo valor para o termo independente a.

6

Diversificação do Risco de uma Carteira

Equações das retas que passam por P:

VbaI jjC

Condição para que seja tangente à curva:

bVIamínimoa Cj min

Ponto P: PP IVP ;Em termos de variância retorno

321 ,, PEm termos de composição da carteira

7


Assim, o ponto P deve satisfazer às seguintes condições:

332211 IIII C

bVIamínimoa Cj min

1,,0,1, 321321 comEm que

e

21212

323

22

22

21

21

2 ,cov2 IIIIIVI SSSSC

32323131 ,cov2,cov2 IIII

e

8


Obtidos os pontos PSCP IIVP ;2

321 ,,

Pode-se obter os pontos PSC IIP ; que serão pontos da fronteira eficiente de investimentos dos ativos com risco, ambos definidos pela mesma composição

das carteiras.

Próximo passo: obter a composição da carteira que dá os pontos tipo P.

9


Obter

bVIa C min

1,,0,1, 321321 ecom

321 ,, tais que:

Ou seja

01,,, 321321 g bVIfa C 321 ,,Função a ser minimizada:

submetida à restrição

321321321 ,,.,,,,, gfF

Pelo método do multiplicador de Lagrange, tem-se a função objetivo dada por:

10


Deve-se resolver o sistema:

321321321 ,,.,,,,, gfF

01

F

02

F

03

F

0F

Deve-se resolver o sistema:

1.,,, 321321 VbIF C

11


Substituindo os valores de 2SCC IVI e

1.,,, 321321 VbIF C

tem-se:(PAG.195)

12


Reescrevendo o sistema:

b

I

bIIIIIS

13312211

21 ,cov2,cov2.2

b

I

bIIIII S

23322

22121 ,cov2.2,cov2

b

I

bIIIII S

33

23232131 .2,cov2,cov2

1.0321 b

13


Que escrito na forma matricial:

1

.

0111

12,cov2,cov2

1,cov22,cov2

1,cov2,cov22

3

2

1

3

2

1

233231

322

221

312121

b

Ib

Ib

I

b

IIIII

IIIII

IIIII

S

S

S

Que pode ser indicado por: M.W = U

Resolvendo obtém-se: W =M-1 U

O que possibilita obter (w1, w2, w3) em função do

coeficiente b.

14


Que escrito na forma matricial:

1

.

0111

12,cov2,cov2

1,cov22,cov2

1,cov2,cov22

3

2

1

3

2

1

233231

322

221

312121

b

Ib

Ib

I

b

IIIII

IIIII

IIIII

S

S

S



O que possibilita obter (w1, w2, w3) em função do

coeficiente b.

Deve-se verificar se a condição 0 ≤ w1, w2, w3 ≤ 1) está

satisfeita. (o método não capta se ocorre ou não esta condição).

15

Modelo de Markowitz – caso geral

1

.

0111

12,cov2,cov2

1,cov22,cov2

1,cov2,cov22

2

1

2

1

221

22

221

12121

b

I

b

Ib

I

b

IIIII

IIIII

IIIII

nn

Snnn

nS

nS



O que possibilita obter (w1, w2, ..., wn) em função do

coeficiente b.

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Exemplo:

Im1 = 0,15; IS1 = 0,05 cov(I1,I2) = 0,00245

Im2 = 0,25; IS2 = 0,07 cov(I1,I3) = 0,00100

Im3 = 0,35; IS3 = 0,10 cov(I2,I3) = 0,00350

1

35,0

25,0

15,0

.

0111

1)10,0(200350,0200100,02

100350,02)07,0(200245,02

100100,0200245,02)05,0(21

2

2

2

3

2

1

b

b

b

b

17


Resolvendo:

b

8760,199836,01

b

6726,131671,02

b

2034,61835,03

bb

1700,00044,0

18


Questões:

1) Verifique se w1 + w2 + w3 = 1

2) Qual é a equação do retorno médio da carteira?3) Qual é a equação do risco da carteira?4) Qual o retorno no ponto de mínimo risco? (dica:

pense em qual deve ser o valor de b no vértice da parábola)

5) Qual é o valor do desvio no ponto de risco mínimo?

6) Qual é a composição da carteira no ponto de risco mínimo?

7) Para quais valores de b são obtidos os pontos da fronteira eficiente? 1,,0 321 queparadevalores:Dica b

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0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16Risco: IS

Ret

orno

: I m

A3

A Hipérbole nos dá uma carteira

alavancada.

Fronteira Eficiente de Investimento Com Risco

20


0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16Risco: IS

Ret

orno

: I m


Considerando que o investimento livre

de risco tenha retorno IF = 0,07

0,07

Fronteira Eficiente Geral de Investimento

C*

21

Carteira de Máxima Razão Recompensa-Variabilidade

Conforme a definição de Sharpe, a razão recompensa-variabilidade de um ativo A, indicada por RVA, é dada por:

SA

FAA I

IIRV

Estendendo o conceito para uma carteira C, tem-se:

SC

FCC I

IIRV

22


0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16Risco: IS

Ret

orno

: I m


IF


C*

ISC

ImC C

SSC

FCFC I

I

IIII

SC

FCC I

IIRV

23


0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16Risco: IS

Ret

orno

: I m


IF


C*

ISC

ImC C*

*

SC

FCMAX I

IIRV

Quando se obtém a reta tangente à fronteira eficiente de

investimentos com risco, passando por IF, obtém-se a carteira C* que dá a máxima

razão recompensa-variabilidade

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Carteira de Risco Mínimo para um Retorno Fixado

Ver item 6.4 (p.207) de SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de

risco. São Paulo: Atlas, 1996.

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Modelo de SHARPE

Dificuldade no modelo de Markovitz:

- Estabelecer as covariâncias entre os retornos dos ativos que iriam compor as várias carteiras que seriam analisadas (grande número de cálculos).

Idéia inicial: substituir as covariâncias pelos coeficientes de correlação linear, visto que

yx

y,x S.S

y,xcovr

26

Modelo de SHARPE

• Até aqui, poucas vantagens, apenas trocou o cálculo das covariâncias pelo cálculo dos coeficientes de correlação...

• Seria possível calcular o coeficiente de correlação linear dos retornos dos ativos A1, A2, ..., An, em relação a um único ativo, que atuaria como uma espécie de padrão para as comparações?

Idéia inicial: substituir as covariâncias pelos coeficientes de correlação linear, visto que:

yxyx SS

yxr

.

,cov,

27

Modelo de SHARPE

• Seria possível calcular o coeficiente de correlação linear dos retornos dos ativos A1, A2, ..., An, em relação a um único ativo, que atuaria como uma espécie de padrão para as comparações?

• Se tivéssemos este ativo padrão poderíamos comparar o retorno de cada ativo com o retorno desse ativo padrão e examinar o grau de correlação linear.

IBOVESPA, por exemplo.

28

Modelo de SHARPE

Ver itens 6.5 e 6.6 de SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de

risco. São Paulo: Atlas, 1996.

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CAPM – Capital Asset Pricing ModelModelo de Precificação de Ativos Financeiros

• O desenvolvimento do CAPM baseia-se em algumas hipóteses:

1. Os investidores preocupam-se apenas com o valor esperado e com a variância (ou o desvio padrão) da taxa de retorno.

2. Os investidores têm preferências por retorno maior e risco menor.

3. Os investidores desejam ter carteiras eficientes:aquelas que dão o máximo retorno esperado, dado o risco, ou mínimo risco, dado o retorno esperado.

4. Os investidores estão de acordo quanto à distribuição de probabilidades das taxas de retorno dos ativos, o que assegura a existência de um único conjunto de carteiras eficientes. A

ceita

ção

da r

elaç

ão r

isco

-ret

orno

30


• O desenvolvimento do CAPM baseia-se em algumas hipóteses:

5. Os ativos são perfeitamente divisíveis.

6. Há um ativo sem risco, e os investidores podem comprá-lo e vendê-lo em qualquer quantidade.

7. Não há custo de transação ou impostos, ou, alternativamente, eles são idênticos para todos os indivíduos.

As hipóteses implicam em condições de mercado perfeito.

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Seja M a carteira de mercado (todos ativos do mercado), em que seu retorno RM apresenta média RmM e risco/desvio RSM.

Considere um ativo de risco A com retorno IA, de média RmA e risco/desvio RSA.

F é um ativo livre de risco com retorno IF.

Deseja-se montar uma carteira C composta pelo ativo A e por M.

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Pode-se examinar o que ocorre com o risco e o retorno à medida que variamos a proporção w do ativo A na carteira, calculando:

MAC RII 1e

MASMSASC R,IcovRII 121 22222

SCC II

e

33


Coeficiente angular das retas tangentes à hipérbole:

MAC RII

MASMSA

MASMSASC

R,IcovRI

R,IcovRII

1212

2121222222

22

0

0

SC

C

I

I

m

34


Se w 0, a composição de M é alterada. Assim, a condição de equilíbrio de mercado ocorre para w = 0, ou seja, quando não há procura do ativo A em proporções maiores do que sua participação na carteira de mercado M.

35


Para w = 0:

MAC RII

MASMSA

MASMSASC

R,IcovRI

R,IcovRII

1212

2121222222

22

SM

SMMA

MA

SC

C

RRR,Icov

RII

I

m 2

0

0

36


Para as carteiras C, formadas pelos ativos A e M (w 0), a razão recompensa-variabilidade é:

SC

FCC I

IIRV

Condição de máxima razão recompensa-variabilidade:

2

0SC

FCSC

SCC

CC

I

III

II

RVRV

37


Condição de máxima razão recompensa-variabilidade:

2

0SC

FCSC

SCC

CC

I

III

II

RVRV

0

FCSC

SCC II

II

I

SC

FC

SC

C

I

II

I

I

38


SC

FC

SC

C

I

II

I

I

Coeficiente angular das retas tangentes à

hipérbole definida pelas carteiras do tipo C

Máxima razão recompensa-

variabilidade da carteiras C

39


SC

FC

SC

C

I

II

I

I

Em condição de equilíbrio, w = 0, ou seja, C = M:

SM

FM

SC

C

R

IRI

I

0

40


Retorno

SM

FM

SC

C

R

IR

I

I

0

Risco

F

M

Carteiras do tipo C’, formadas pelos ativos F e M

Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos A e M

SCSM

FMF'C I

R

IRII

41


Retorno

SM

FM

SC

C

R

IR

I

I

0

Risco

F

M

Carteiras do tipo C’, formadas pelos ativos F e M

Carteiras do tipo C, formadas pelos ativos A e M

SM

FM

SM

SMMA

MA

R

IR

RRR,Icov

RI

2

Igualando as expressões que nos dão o coeficiente angular da reta tangente à hipérbole:

42


SM

FM

SM

SMMA

MA

R

IR

RRR,Icov

RI

2SC

SM

FMF'C I

R

IRII

SM

SMMA

SM

FMMA R

RR,Icov

R

IRRI

2

2

2

SM

SMMAFMFMFA R

RR,IcovIRIRII

43


2

2

SM

SMMAFMFMFA R

RR,IcovIRIRII

Esta expressão, obtida por Sharpe, é a equação fundamental do CAPM, caracterizando que o preço de um ativo A, ou seja, seu retorno

médio ImA, é formado por duas parcelas:

FMSM

MAFA IR

R

R,IcovII 2

44


2

2

SM

SMMAFMFMFA R

RR,IcovIRIRII

Preço do ativo livre de risco

FMSM

MAFA IR

R

R,IcovII 2

Ganho básico dado por (RmM-IF) do qual o ativo recebe uma proporção que caracteriza o

nível de risco do ativo em relação ao mercado

2SM

MA

R

R,Icov

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