1. introdução - fep - faculdade de economia da

Método do Caminho Crítico (CPM)

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) CPM/1

1. Introdução

Um dos métodos de Planeamento e Programação mais conhecido e utilizado é o método do Caminho Crítico,

comumente designado “CPM” (Critical Path Method).

Este método, desenvolvido nos anos 50, dá especial atenção à optimização do binómio “recursos, redução da

duração do projecto”, admitindo conhecer, com rigor, o tempo necessário à realização das diferentes actividades

de um projecto bem como a lei de variação daquele tempo em função dos recursos envolvidos.

Na apresentação do método, considera-se:

☛ que um projecto é um conjunto conhecido de tarefas (actividades) cuja satisfação conduz à conclusão

do projecto;

☛ que as tarefas de um projecto podem ter início e fim de forma independente e numa dada sequência

(o que elimina da abordagem, com este método, processos contínuos como, por exemplo, a refinação

de óleo onde as actividades se seguem, necessariamente, umas às outras sem tempo de separação

significativo entre elas);

☛ que as actividades (tarefas) são executadas numa dada sequência de natureza tecnológica (por

exemplo a colocação de vidros nas janelas supõe o assentamento prévio da caixilharia);

O método CPM é útil nas fases de planeamento, programação e controlo de um projecto dada a facilidade da sua

aplicação e a sua flexibilidade.

O Planeamento envolve a identificação das tarefas a executar (necessidades de recursos humanos e/ou materiais,

estimativas de custos e duração das várias tarefas).

A Programação procede à colocação temporal das tarefas e atribui-lhes tempo e recursos.

O Controlo compara o programa gizado com os resultados da execução para corrigir as diferenças existentes.

2. Rede do Projecto

a. Caracterização da Actividade (Tarefa)

Para aplicar o método é necessário conhecer para cada tarefa:

• a sua designação;

• a sua duração;

• a lista de precedências (quais as actividades precedentes, ou seja, as actividades de cuja conclusão

depende o seu início);

b. Tipos de rede

Para aplicar o método podem usar-se redes “AON (activities on nodes)” ou “AOA (activities on arcs).

c. Rede “AOA”

Neste tipo de rede, as identificação e duração da actividade são graficadas nos arcos do grafo sendo os

vértices denominados “Etapas” que são numeradas. Entre cada par de etapas há apenas uma actividade.

1

"B,3"

20

10"A,4"

50

40

30"D,2"

"C,5"

"F,4"

"E,6"



Cada uma das actividades tem início numa “etapa inicial” e tem fim numa “etapa final” podendo ser

designada pela numeração destas. (por exemplo a actividade “1-10” é a actividade “A”).

d. Rede “AON”

Neste tipo de rede, as identificação e duração da actividade são graficadas nos vértices (nós) do grafo sendo

a sequência da execução indicada por arcos (setas) ligando vértices. Entre cada par de vértices há apenas

um arco.

e. Lista das Actividades

Como se referiu, para desenhar a rede do projecto é necessário conhecer as tarefas e a sua dependência.

Assim, para as redes anteriores, a lista das actividades e dependências é a seguinte:

Actividade Duração (un. tempo) Actividades precedentes (imediatamente)

A 4 - B 3 - C 5 A , B D 2 A E 6 C F 4 D

3. Desenhar a Rede “AOA”

Não há técnica normalizada.

Aconselha-se a graficar as actividades só quando já estão graficadas as actividades precedentes pelo que as

primeiras actividades a graficar são aquelas cujo início marca o início do projecto.

Admita-se a rede de um projecto envolvendo os seguintes problemas lógicos:

Actividades Duração (semanas) Lógica “A”,”B”,”C” 5, 5, 4 Início simultâneo “D” 12 Subsequente de “A” “E” 8 Não pode começar antes de terminar “B” “F” 5 Idem relativamente a “C” “G” 4 O início depende da conclusão de “A” e “B” “H” 2 O início depende da conclusão de “D” e “G” “I” 1 Para começar aguarda a conclusão de “B”.

Juntamente com “F” são precedentes de “J”(9 sem)

Projecto concluído

Quando terminarem as actividades “E”, “H”, “J

A Lista de Actividades , Durações e Precedências é a seguinte:

Actividades Duração (semanas) Precedência A 5 - B 5 - C 4 -

Início

"B,3"

"A,4" "F,4"

"C,5"

"D,2"

"E,6"

Fim



Actividades Duração (semanas) Precedência

D 12 A E 8 B F 5 C G 4 A, B H 2 D, G I 1 B J 9 F, I

Para desenhar a rede graficam-se as actividades “A”, “B” e “C” (início do projecto):

Graficam-se agora “D”, “E”,”F”, “G” e “I” pois as actividades de que dependem já estão graficadas:

Veja-se que foram usadas actividades fictícias (duração e recursos nulos) para colocar “G” dependendo de “A”

e “B”, pois “D” só depende da conclusão de “A” e quer “E” quer “I” dependem só da conclusão de “B”.

Agora graficam-se “H” e “J” e completa-se o grafo com a Etapa Final do Projecto:

Veja-se que a rede tem início e fim em Etapa Única e que é um grafo orientado sem circuitos.

As Etapas foram numeradas de forma a que, em cada actividade, o número da Etapa Inicial é menor do que o

número da Etapa Final.

O intervalo de numeração é livre devendo ser tanto maior quanto maior for a previsão de necessitar introduzir

novas etapas, em particular quando, posteriormente, se pretende efectuar optimização de recursos.

10

C,4

A,5

B,5

10

C,4

20

30

A,550

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 F,5

1

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9



Notar ainda que, por exemplo, as actividades “A”, “B” e “C” são Concorrentes no Início enquanto as actividades

“E”, “H” e “J” são Concorrentes no Fim.

4. Auto Teste

a. Considerar a actividade “C” dependente de “A”; “D” dependente de “B”; “E” dependente de “A” e “B”.

Qual dos troços de redes está correcto?

A resposta correcta é “o da direita”.

De facto, na etapa 15 termina “A” pelo que todas as actividades dependentes desta actividade têm início naquela

etapa como é o caso da actividade “C”. Porque na etapa 25 termina “B” então é etapa inicial da actividade “D”.

Como a actividade “E” depende das actividades “A” e “B” e deve ser representada por um só arco, é necessário

graficar a etapa fictícia 35 para nela reunir, usando actividades fictícias, a informação já referida para as etapas

15 e 25.

5. Rede “AOA”. Tempos associados às Etapas

Às etapas do projecto associam-se os acontecimentos de início ou fim de actividades.

Para estes acontecimentos, interessa conhecer qual o Momento Mais Cedo (“Time Early” = TE = “Tempo Mais

Cedo da Etapa”) em que podem iniciar-se as actividades que nela começam bem como o Momento Mais Tarde

(“Time Later” = TL = “Tempo Mais Tarde da Etapa”) em que todas elas estão terminadas.

Naturalmente, nas Etapas Inicial e Final do Projecto tem-se “TE=TL”.

5

15

25

A

35

B

C

D

E5

15

25

A

B

C

D

E

E

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

J,9

0 0 19 19

4 5

17 17

5 13

9 10

5 5

5 9

TE TLLegenda

D,12

H,2



Vejam-se alguns exemplos da utilização dos tempos de etapa da rede anterior:

☛ Não é possível assistir ao fim de todas as actividades que terminam na etapa 70, antes do final da 9ª

semana (“Tempo Mais Cedo da Etapa”); todas as actividades que terminam nesta etapa deverão estar

terminadas até ao final da 10ª semana (“Tempo Mais Tarde” da Etapa”) para que seja possível

concluir o projecto em 19 semanas;

☛ A actividade “A” não pode sofrer qualquer atraso. Se demorar mais do que as 5 semanas previstas, o

caminho1 “A”, “D”, “H” terá duração superior a 19 semanas. Uma actividade nesta situação

denomina-se “actividade crítica” e uma sucessão de actividades críticas que ligue as etapas inicial

e final do projecto constitui um “caminho crítico” (daí a razão da designação do método).

Conhecendo as actividades críticas o planeador controlará a execução focando nelas a actividade de

controlo (gestão por excepção). As actividades “D”e “H” são também actividades críticas. A

sucessão “A”, “D”, “H” constitui um Caminho Crítico do Projecto (caminho de maior duração).

Nota: num projecto pode haver mais do que um caminho crítico.

6. Rede “AOA”. Cálculo do Tempo Mais Cedo da Etapa (TE )

O Tempo Mais Cedo (TE) da Etapa Inicial do Projecto é, em regra, nulo. Para calcular os TE de cada etapa,

percorre-se a rede no sentido Etapa Inicial - Etapa Final. O TE de uma etapa “n” reflecte a duração máxima dos

caminhos que ligam a Etapa Inicial à etapa “n”.

Veja-se, passo a passo, o cálculo a efectuar na rede seguinte (durações em semanas):

Na etapa 10 tem-se TE=0. O caminho para a etapa 20 é único e tem início na etapa 10, pelo que TE20 = TE10 +

tA = 0+5=5. De igual modo tem-se TE30 = TE10 + tB = 0+5=5 e TE40 = TE10 + tC = 0+4=4.

Nota: notar que as etapas 20,30 e 40 são vértices do nível 1, ou seja, são atingidos a partir do vértice inicial (etapa 10)

percorrendo apenas um arco. Seguidamente serão calculados os TE dos vértices de nível 2, depois do nível 3 e assim

sucessivamente até atingir o vértice final (etapa 80).

______________________________________________________________________________

1 Um caminho é uma sucessão de arcos em que a extremidade final de um arco coincide com a extremidade inicial do arco seguinte.

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0

5

5

4



As etapas cujo TE, no momento, depende apenas de etapas onde já é conhecido o valor do TE, são as etapas 50

e 70. De facto para calcular:

TE60 = Max {(TE20 + tD ) , (TE50 + tG ) } é necessário conhecer TE50

TE80 = Max {(TE30 + tE ) , (TE60 + tH ) , (TE70 + tJ ) } é necessário conhecer TE60 e TE70

Para as etapa 50 e 70 tem-se:

TE50 = Max {(TE20 + 0 ) , (TE30 + 0 ) } = Max {(5 + 0 ) , (5 + 0 ) } = 5

TE70 = Max {(TE30 + tI ) , (TE40 + tF ) } = Max {(5 + 1 ) , (4 + 5 ) } = 9

Pode agora calcular-se o TE da etapa 60 :

TE60 = Max {(TE20 + tD ) , (TE50 + tG ) } = Max {(5 + 12 ) , (5 + 4 ) } = 17

Por último, calcula-se o TE da etapa 80 :

TE80 = Max {(TE30 + tE ) , (TE60 + tH ) , (TE70 + tJ ) }= Max {(5 + 8 ) , (17 + 2 ) , (10 + 9 ) } = 19

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0

4

5

9

5

5

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0

4

5

9

5

5

17

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0

4

5

9

5

5

17

19



Calculados os TE da cada uma das etapas, fica-se a saber o Momento Mais Cedo em que estarão terminadas

todas as actividades com extremo final em cada uma das etapas. Este projecto tem a duração máxima de 19

semanas (TE da etapa final) e o(s) caminho (s) com esta duração é(são) designado(s) Caminho Crítico(s).

É fácil verificar que, neste projecto, só o caminho com as actividades A, D e H tem a duração de 19 semanas

pelo que é Caminho Crítico (maior duração total).

7. Rede “AOA”. Cálculo do Tempo Mais Tarde da Etapa (TL)

O Tempo Mais Tarde (TL) da Etapa Final do Projecto é, em regra, igual ao seu Tempo Mais Cedo.

Para calcular os TL de cada etapa, percorre-se a rede no sentido Etapa Final - Etapa Inicial ou seja os arcos são

percorridos em sentido inverso.

O TL de uma etapa “n” reflecte o Momento Mais Tarde em que devem estar terminadas todas as actividades que

nela têm extremo final, para observar a data final do projecto.

Veja-se, passo a passo, o cálculo a efectuar na rede anterior:

Na etapa 80 tem-se TL=TE=19.

As etapas cujo TL, no momento, depende apenas de etapas onde já é conhecido o valor de TL, são as etapas 60

e 70. De facto para calcular:

☛ TL60 = TL80 - tH é necessário conhecer TL80

☛ TL30 = Min {(TL80 - tE ) , (TL50 - 0 ) , (TL70 - tI ) } é necessário conhecer TL80 , TL50 e TL70

☛ TL70 = TL80 - tJ é necessário conhecer TL80

É óbvio que, no momento, apenas se podem calcular os valores de TL para as etapas 60 e 70:

☛ TL60 = TL80 - tH = 19 – 2 =17

☛ TL70 = TL80 - tJ = 19 – 9 = 10

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0

4

5

9

5

5

17

19 19

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0

4

5

9 10

5

5

17 17

19 19



Podem agora calcular-se apenas os TL das etapas 40 e 50 pois os TL de que dependem já estão calculados:

☛ TL40 = TL70 - tF = 10 – 5 =5

☛ TL50 = TL60 - tG = 17 – 4 = 13

Podem agora calcular-se apenas os TL das etapas 20 e 30 pois os TL de que dependem já estão calculados:

TL20 = Min {(TL60 - tD ) , (TL50 - 0 )}

= Min {(17 -12 ) , (13 - 0 ) } = 5

TL30 = Min {(TL50 - 0 ) , (TL80 – tE ) , (TL70 – tI )}

= Min {(13 - 0 ) , (19 - 8 ) ,( 10 - 1} = 9

Por último calcula-se o Tempo Mais Tarde da Etapa inicial:

TL10 = Min {(TL20 - tA ) , (TL30 – tB ) , (TL40 – tC )}

= Min {(5 - 5 ) , (9 - 5 ) ,( 5 - 4} = 0

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0

4 5

5 13

9 10

5 5

5 9

17 17

19 19

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0

4 5

5 13

9 10

5

5

17 17

19 19

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0 0

4 5

5 13

9 10

5 5

5 9

17 17

19 19



Calculados os TL da cada uma das etapas, fica-se a saber o Momento Mais Tarde que podem atingir as

actividades que nela terminam, sem prejudicar a duração total do projecto.

8. Rede “AOA”. Folga da Etapa

• Designa-se Folga da Etapa a diferença entre os seus tempos Mais Tarde e Mais Cedo. Trata-se afinal

do intervalo de tempo durante o qual deverá ocorrer o fim de todas as actividades que terminam na

etapa.

9. Rede “AOA”. Caminho Crítico

Como foi referido um caminho diz-se “Crítico” quando é, no projecto, um caminho que necessita do tempo

máximo para executar as actividades que o constituem. Estas actividades dizem-se críticas e são identificáveis

na rede por satisfazerem, em simultâneo, 3 condições:

☛ na etapa inicial há TEi = TLi

☛ na etapa final há TEj = TLj

☛ verifica-se a igualdade TEi + duração da actividade (i,j)= TEj

O quadro seguinte apresenta o estudo da criticidade de cada uma das actividades da rede anterior:

Actividades Duração TEi = TLi ? TEj = TLj ? TEi + ti,j = TEj ? Crítica ?

A (10-20) 5 TE10 = TL10 = 0 TE20=TL20 =5 TE10 + 5 = 5 = TE20 Sim

B (10-30) 5 TE10 = TL10 = 0 TE30≠TL30

C (10-40) 4 TE10 = TL10 = 0 TE40 ≠ TL40

D (20-60) 12 TE20 = TL20 = 5 TE60=TL60 =17 TE20 + 12 = 17 = TE60 Sim

E (30-80) 8 TE30 ≠TL30 - -

F (40-70) 5 TE40 ≠TL40 - -

G (50-60) 4 TE50 ≠TL50 - -

H (60-80) 2 TE60 = TL60 = 17 TE80=TL80 =19 TE60 + 2 = 19 = TE80 Sim

I (30-70) 1 TE30 ≠ TL30

J (70-80) 9 TE70 ≠ TL70

10. Rede “AOA”. Tempos da Actividade (i , j)

a. Tempo Mais Cedo do Início da Actividade (CI)

É o momento mais cedo em que pode iniciar-se a actividade; é igual ao Tempo Mais Cedo da etapa inicial da

actividade (CI = TEi ).

10

C,4

20

30

A,5

60

80

50

B,5

D,12

G,4

E,8

I,1

40 70F,5

H,2

J,9

0 0

4 5

5 13

9 10

5 5

5 9

17 17

19 19



b. Tempo Mais Cedo do Fim da Actividade (CF)

É o momento mais cedo em que pode estar terminada a actividade. É igual à soma da duração do Tempo

Mais Cedo do Início da actividade com a duração desta (CF = CI + tij ).

c. Tempo Mais Tarde do Fim da Actividade (TF)

É o momento mais tarde em que pode terminar a actividade. É igual ao Tempo Mais Tarde da etapa de

chegada da actividade (TF = TLj ).

d. Tempo Mais Tarde do Início da Actividade (TI)

É o momento mais tarde em que pode iniciar-se a actividade. É igual ao Tempo Mais Tarde do Fim da

actividade subtraído da duração desta (TI = TF - tij ).

Nota: se uma actividade é crítica tem CI=TI e CF=TF.

11. Rede “AOA”. Margens da Actividade (i , j)

a. Margem Total da Actividade (MT)

Considere-se a actividade 30-70:

Na actividade “I”, sendo de 10 semanas o Momento Mais Tarde do Fim (TF=10) e de 5 semanas o Momento

Mais Cedo do Início (CI=5) tal significa que há 10-5 = 5 semanas de Tempo Disponível para executar a

actividade cuja duração é de 1 semana.

Pode então dizer-se que a actividade “I” tem uma Margem Total de 10 – 5 - 1 = 4 semanas ou seja, o

planeador pode utilizar até 4 semanas para atrasar o início da actividade e/ou prolongá-la sem que se

comprometa a data final do projecto. Assim, por exemplo se decidir executar a actividade “I” em 1+4=5

semanas na rede do projecto tem-se e “I” passa a ser actividade “crítica” bem

como as actividades dela dependentes (“actividade “J”).

Duração

CFCI

Duração

CFCI

Duração

TFTI

30 I,1

5 9

70

9 10

MT = TF - CI - Dur

30 I,5

5 5

70

10 10



b. Margem Livre da Actividade (ML)

Considere-se a actividade 30-70:

O Tempo Mais Cedo da etapa 30 é de 5 semanas o que significa que o final da 5ª semana é o momento mais

cedo em que podem estar terminadas todas as actividades com final na etapa 30.

Igualmente o final da 9ª semana é o Momento Mais Cedo em que podem iniciar-se todas as actividades com

início na etapa 70. Se a actividade “I” terminar até ao final da 9ª semana não põe em causa o momento mais

cedo do início das actividades que dela dependem pelo que a actividade “I” tem uma Margem Livre de

9–5–1=3 semanas.

Assim, por exemplo, se decidir executar a actividade “I” em 1+3=4 semanas, na rede do projecto tem-se:

onde é visível que para a actividade dependente “J” se mantém o momento mais cedo de início (9).

c. Margem Interferente da Actividade (MI)

Na alínea anterior concluiu-se que se a actividade “I” for executada em 4 semanas não altera os momentos

mais cedo do início das actividades que dela dependem. Mas se o tempo de execução for para além de 4

semanas, interfere de imediato com aquele início. Como “I” pode, se desejado, prolongar-se até à 10ª

semana, conclui-se que “interfere” durante 1 semana (desde a semana 9 à semana 10). Conclui-se assim que

a Margem Interferente da actividade “I”( bem como de qualquer actividade) é sempre igual à Folga da Etapa

de Chegada (etapa 70).

Das alíneas anteriores conclui-se então que MT = ML + MI ou seja, a Margem Total é igual à soma das

Margens Livre e Interferente da actividade.

12. Rede “AOA”. Calendarização Inicial

A calendarização do projecto apresentado, planeando o início de cada actividade o mais cedo possível, permite

visualizar o Tempo Disponível para executar a actividade, o tempo de Execução, as Margens da actividade e a

usa Criticidade.

1º Preparar uma fita do tempo

Graficar a duração total do projecto e listar todas as actividades por ordem crescente dos seus números das

etapas inicial e final:

30 I,1

5 9

70

9 10

ML = MT - F

30 I,4

5 6

70

9 10



Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Observações A(10- 20) B(10- 30) C(10- 40) 20- 50 Fictª D(20- 60) 30- 50 Fictª I(30- 70) E(30- 80) F(40- 70) G(50- 60) H(60- 80) J(70- 80)

2º Marcar o Tempo Disponível para a execução de cada uma das actividades

Para cada uma das actividades marcar o Tempo Disponível para a sua execução assinalando os seus:

☛ início = CI da actividade + 1 = TE da etapa inicial + 1

☛ fim = TF da actividade = TL da etapa final

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Observações A(10- 20) B(10- 30) C(10- 40) 20- 50 Fictª D(20- 60) 30- 50 Fictª I(30- 70) E(30- 80) F(40- 70) G(50- 60) H(60- 80) J(70- 80)

Exemplos:

Actividade 10-20 :

• “Abrir” na unidade de tempo 1 pois TE10 = 0, ou seja, no momento 0 pode começar a actividade

“A” para o que será utilizada a primeira unidade de tempo (semana) disponível.

• “Fechar” na unidade de tempo 5 pois TF20 = 5

Actividade 50-60 :

• “Abrir” na unidade de tempo 6 pois TE50 +1 = 5+1=6;

• “Fechar” na unidade de tempo 17 pois TF60 = 17

Cada uma das actividades deve ser executada no intervalo assinalado para cada uma delas (tempo

disponível).

3º Marcar o Tempo de Execução

Para cada uma das actividades grafica-se a sua duração (por exemplo com “R”=consumo de recursos)

começando sempre na 1ª unidade de tempo disponível (momento mais cedo do início).



Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Observações A(10- 20) R R R R R Critica B(10- 30) R R R R R C(10- 40) R R R R 20- 50 Fictª D(20- 60) R R R R R R R R R R R R Critica 30- 50 Fictª I(30- 70) R E(30- 80) R R R R R R R R F(40- 70) R R R R R G(50- 60) R R R R H(60- 80) R R Critica J(70- 80) R R R R R R R R R

Se a duração da actividade materializada com “R” ocupar todo o tempo disponível então a actividade é

crítica (comparar com a rede).

Se a execução da actividade não carece de todo o tempo disponível então a actividade não é crítica e o

conjunto de unidades de tempo não ocupadas constitui a Margem Total da Actividade. A actividade “E”,

por exemplo, tem 6 dias de Margem Total (na rede obtém-se TF80 – TE30 – tE = 19 – 5 – 8 = 6).

4º Marcar a Margem Interferente de cada actividade

Para cada uma das actividades não críticas grafica-se a sua Margem Interferente.

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Observações A(10- 20) R R R R R Critica B(10- 30) R R R R R x x x x C(10- 40) R R R R x 20- 50 Fictª D(20- 60) R R R R R R R R R R R R Critica 30- 50 Fictª I(30- 70) R x E(30- 80) R R R R R R R R F(40- 70) R R R R R x G(50- 60) R R R R H(60- 80) R R Critica J(70- 80) R R R R R R R R R Para a actividade “B”, que termina na etapa 30, consulta-se uma actividade com início nesta etapa

(actividade “E” por exemplo) e marcam-se as unidades de tempo comuns aos dois tempos disponíveis

(unidades de tempo 6, 7, 8 e 9 neste caso). As unidades marcadas com “x” constituem a Margem

Interferente da actividade “B”.

Terminada a marcação da Margem Interferente (que pode ser nula) as unidades de tempo não marcadas,

no tempo disponível, constituem a Margem Livre da actividade.

Exemplos:

☛ Actividade “B” : Margem Total = 4 ; Margem Interferente = 4 ; Margem Livre = 0

☛ Actividade “I” : Margem Total = 4 ; Margem Interferente = 1 ; Margem Livre = 3

☛ Actividade “G” : Margem Total = 8 ; Margem Interferente = 0 ; Margem Livre = 8

☛ Actividade “H” : Margem Total = 0 ; Margem Interferente = 0 ; Margem Livre = 0 (act. crítica)



13. Auto Teste (graficar a rede AOA; calcular a rede; calendarizar)

O exercício a seguir proposto está sequenciado por forma a identificar o ou os assuntos que carecem de ser

reexaminados.

a. Trace a rede “AOA” a partir da seguinte lista de precedências:

Actividades Duração (semanas) Precedência Pessoal A 3 - 4 B 1 - 6 C 9 - 3 D 6 A 1 E 2 A 1 F 3 A,B 2 G 1 D 3 H 2 C,D,F 3 I 6 C,D,F 3 J 3 D,E 4 K 1 G,H,J 4

b. Calcule os Tempos Mais Cedo e Mais Tarde de cada uma das etapas da rede anterior. Identifique e assinale

o(s) caminho(s) crítico(s).

c. Calendarize o projecto para as necessidades indicadas de pessoal indiferenciado.

d. Marque as margens Interferentes e indique as Margens Total , Livre e Interferente de cada uma das

actividades.

14. Solução do auto teste

I,6

D,6A,3

C,9

5 15

40

25B,1 H,2F,3

10 20 K,1G,1

0 0

15 15

3 3

9 9

9 9

3 6

30

35

E,2 J,3

9 11

12 14



Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Observações MT ML MIA(5- 10) 4 4 4 Critica 0 0 0B( 5- 15) 6 x x x 5 2 3C( 5- 25) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Critica 0 0 0D(10- 20) 1 1 1 1 1 1 Critica 0 0 0E(10- 30) 1 1 x x 6 4 2F(15- 25) 2 2 2 3 3 0G(20- 35) 3 x x 4 2 2H(25- 35) 3 3 x x 3 1 2I(25- 40) 3 3 3 3 3 3 Critica 0 0 0J(30- 35) 4 4 4 x x 2 0 2K(35- 40) 4 2 2 0Totais 13 7 7 7 7 6 4 4 4 13 10 7 7 3 3

Carga Crítica = 4/11= 36%

15. Programa Acelerado de Menor Custo

Pressupostos:

☛ Para cada actividade conhecem-se as durações Máxima (dita normal) e Mínima

☛ Para cada actividade conhece-se a relação “duração − custo directo” no intervalo de tempo

admissível

☛ Para o projecto é conhecido o Custo Indirecto por unidade de tempo

Os custos associados à execução de um projecto podem agrupar-se em duas categorias distintas:

Directos: existem se houver actividade (matéria prima, salários de pessoal envolvido na execução de tarefas,

equipamentos etc.) pelo que estão relacionados com a respectiva duração que pode variar entre os extremos

"M" (duração Máxima ou normal) e "m" (duração Mínima ou acelerada).

Cus

to

Tempo

(2,250)

(8,100)

Se a variação custo-tempo for linear (ou susceptível de linearização) o declive do segmento representa o

Custo de Aceleração da actividade por unidade de tempo.

Naturalmente, a aceleração de uma actividade (redução da sua duração) impõe a "injecção" de recursos com

o consequente aumento do seu Custo Directo (Custo na Duração Máxima + Custo de Aceleração).

Assim por exemplo para a actividade "A" (figura) :

☛ Duração Máxima = 8 dias com custo directo = 100 u.m.

☛ Duração Mínima = 2 dias com custo directo = 250 u.m.

☛ Custo de Aceleração por dia (α) = (250-100) / (8-2) = 25 u.m./dia

Indirectos: são inerentes à estrutura de suporte da entidade que executa o projecto (instalações,

comunicações, salários de pessoal administrativo etc.) pelo que são função do tempo total de execução.



O objectivo é determinar a Duração Total do Projecto à qual corresponde o Mínimo da soma dos Custos

Directos e Indirectos do projecto.

O Custo Total de um Projecto é a soma dos Custos Indirectos do Projecto com os Custos Directos inerentes à

duração de cada uma das actividades.

Em regra, os Custos Indirectos são calculados em função da Duração Total do Projecto pelo que da redução

desta resulta a diminuição daqueles.

Se todas as actividades forem programadas com a duração máxima (normal), o projecto tem a duração de TM

unidades de tempo.

Se todas as actividades forem programadas com a duração mínima (aceleração máxima), o projecto tem a

duração de Tm unidades de tempo.

A Duração do Projecto Acelerado com Custo Mínimo pertence naturalmente ao intervalo [ Tm , TM ] onde a

variação de custos tem a aspecto seguinte:

Cus

to

T.Min 5 T.Max

C.Ind.C.Dir.

Total

A figura evidencia que:

☛ o programa acelerado de menor custo tem a duração 5 unidades de tempo

☛ para atingir a duração 5, a partir de TM , é necessário acelerar actividades (críticas) o que exige

consumir mais recursos com o inerente aumento de custos

☛ ao reduzir a Duração Total do projecto diminui o Custo Indirecto do Projecto

O Programa Acelerado de Menor Custo resulta assim do correcto balanceamento destas variações de custo.

Admita-se a seguinte simbologia associada à actividade genérica (i,j) :

xij Duração da actividade

yi Tempo Mais Cedo (TE) da etapa inicial “i”

yj Tempo Mais Cedo (TE) da etapa final “j”

αij Custo de aceleração da actividade (i,j) por unidade de tempo

Mij Duração Máxima da actividade (i,j)

mij Duração Mínima da actividade (i,j)

cij Custo directo de uma actividade com duração mínima

Cij Custo directo de uma actividade com duração Máxima

I Custo Indirecto por unidade de tempo



Para a duração xij o Custo Directo Kij da actividade é:

Kij = Cij + αij (Mij – xij )

A soma dos Custos Directos das Actividades na Duração Máxima com os Custos de Aceleração das Actividades

ou seja )( ijijijij xMC −+ ∑∑ α constitui o Custo Directo Total de um projecto.

Sendo “yF” o Tempo Mais Cedo da Etapa Final do projecto, o valor do custo indirecto do projecto é “ FyI ” pois

yF não é mais do que a duração total do projecto.

Resulta assim que para calcular o programa acelerado com menor custo é necessário Minimizar a soma dos

custos directos das actividades com o custo indirecto ou seja:

Fijijijij yIxMCfMin +−+= ∑∑ )(α

O conjunto de restrições a observar é o seguinte:

☛ xij ≤ Mij (duração da actividade não excede a sua duração máxima)

☛ xij ≥ mij (duração da actividade não inferior à sua duração mínima)

☛ yi + xij ≤ yj ( a soma do tempo mais cedo da etapa de arranque da actividade (i,j), com a sua

duração, não pode exceder o tempo mais tarde da etapa de chegada da actividade)

☛ y1 = 0 (considerar TE=0 na etapa inicial do projecto)

☛ yF ≤ TM (duração do projecto não excede a duração máxima do projecto)



Exemplo

Considere-se o seguinte projecto com custo indirecto de 8 u.m./dia.

Etapa Inicial Etapa Final Dur.Min Dur.Max Custo Dur. Min Custo Dur. Max Custo Acel/dia

(i) (j) (mij) (Mij) (cij) (Cij) (αij)

1 2 2 4 20 10 5 1 3 1 5 28 12 4 2 5 15 16 21 20 1 3 4 2 4 16 8 4 4 5 6 10 15 5 2.5

O Modelo de PL para calcular o Programa Acelerado com Menor Custo é o seguinte:

Min f = 8 * y5 + 5(4 - x12) + 4(5 - x13) + 1(16 - x25) + 4(4 - x34) + 2.5(10 - x45)

s.a. y1 = 0 y5 ≤ 20 y1+x12 ≤ y2 y1+ x13 ≤ y3 Restrições de encaminhamento y2 + x25 ≤ y5 y3 + x34 ≤ y4 y4 + x45 ≤ y5

2 ≤ x12 ≤ 4

1 ≤ x13 ≤ 5

15 ≤ x25 ≤ 16 Restrições da duração das actividades

2 ≤ x34 ≤ 4

6 ≤ x45 ≤ 10 xij Inteiro

Os custos para executar este programa são os

seguintes:

Indirecto : (20 dias ) (8 u.m./dia) = 160 u.m.

Directo (base) : 10 + 12 +20 + 8 + 5= 55 u.m.

Total : 160 + 55 = 215 u.m.

1

B,5

2A,4

5

3 4D,4

E,10

0 0

5 6 9 10

4 4

20 20

C,16

Rede de Duração Máxima = 20 dias



Resolvendo o modelo de PL para durações totais decrescendo de um dia a partir da duração máxima de 20 dias,

as soluções óptimas são as seguintes:

Dur.Total 1 - 2 1 - 3 2 - 5 3 - 4 4 - 5 Ind ($) Acel ($) Tot. Acel ($) Total ($) Cg.Crítica

20 4 5 16 4 10 160 0 0 160 40% 19 4 5 15 4 10 152 1 1 153 100% 18 3 5 15 4 9 144 7.5 8.5 152.5 100% 17 2 5 15 4 8 136 -69 16 152 100%

O gráfico dos custos envolvidos é o seguinte:

Nota: Nos custos totais não foi incluído o custo directo-base (custo directo das actividades na duração máxima

que é de 55 u.m. (10+12+20+8+5).

O Programa Acelerado com Menor Custo tem a Duração Total de 17 dias, com Custo Indirecto de 136 u.m.

(17dias a 8 u.m./dia), sendo a duração óptima das actividades a seguinte:

Actividade Dur.Óptima Custo Directo

(base) Dias de

aceleração

Custo da

Aceleração

Custo Directo +

Aceleração 1-2 2 10 2 10 20 1-3 5 12 12 2-5 15 20 1 1 21 3-4 4 8 8 4-5 8 5 2 5 10

Totais 16 71

O Custo Mínimo do Projecto é de 136 + 71 = 207 u.m executando-o em 17 dias.

Uma vez que o ponto óptimo é atingido no momento em que os custos de aceleração para encurtar o projecto de

uma unidade de tempo, ultrapassam o Custo Indirecto do projecto na mesma unidade de tempo (trade-off), é

possível resolver o problema, sem usar o modelo de PL apresentado, actuando como a seguir se descreve.

0

50

100

150

200

250

300

16 18 20 22

Duração (dias)

Cus

to ($

) IndirectoDirectoTotal



a. Técnica para calcular o Programa acelerado com custo mínimo

O estudo é iniciado a partir da rede de duração Máxima (20 dias) com custo total de 215 u.m.

a1. Programa de 19 dias

A redução da duração total só pode ser feita, acelerando uma ou mais das actividades críticas que não

estejam, no momento, programadas com a duração mínima.

No projecto de 20 dias as actividades críticas susceptíveis de aceleração e que permitem reduzir a duração

total de um dia são as seguintes:

☛ Actividade A (1-2)

• se for programada para 3 dias, o caminho crítico A, C ficará com 19 dias

• custo associado é de 5 u.m.

☛ Actividade C (2-5)

• se for programada para 15 dias, o caminho crítico A, C ficará com 19 dias

• o custo associado é de 1 u.m.

Decisão

A redução de um dia na duração total reduz o Custo Indirecto Total de 8 u.m. que é suficiente para

compensar o aumento de custo directo quer da actividade “A” quer da actividade “C”.

Dado que a aceleração da actividade “C” é mais económica a decisão óptima é programar “C” para 15 dias

com o que se reduz o custo total de 8 – 1 = 7 u.m.

A rede do projecto de 19 dias e respectivos custo são os seguintes:

• Custo Total do Projecto de 19 dias : 215 - 7 = 208 u.m.

(55 u.m. de custo directo-base; 1 u.m. de aceleração da actividade (2-5) ; 152 u.m. de Custo Indirecto)

As actividades (1-3),(3-4) e (4-5) são, agora, críticas (e portanto passíveis de escolha para acelerar).

A actividade (2-5) atingiu a sua duração mínima pelo que não é passível de mais aceleração.

1

B,5

2A,4

5

3 4D,4

E,10

0 0

5 5 9 9

4 4

19 19

C,15


duração mínima








☛ Actividade A (1-2) e a actividade B(1-3)

• O custo de aceleração das duas actividades é de 9 u.m.. Como este custo excede a poupança de

8 u.m. no custo indirecto esta modalidade não tem interesse.

☛ Actividade A (1-2) e a actividade D(3-4)



☛ Actividade A (1-2) e a actividade E(4-5)

• O custo de aceleração das duas actividades é de 7.5 u.m.. Como este custo é inferior à

poupança de 8 u.m. no custo indirecto esta modalidade tem interesse.

Decisão

Acelerar as actividades “A” e “E” programando-as para 3 e 9 dias respectivamente. O custo total será

reduzido de 8 – 7.5 = 0.5 u.m.


• Custo Total do Projecto de 18 dias : 208 – 0.5 = 207.5 u.m.

(55 u.m. de custo directo-base; 8.5 u.m. de aceleração das actividade (1-2), (2-5) e (4-5) ; 144 u.m. de Custo Indirecto)

Notar que para reduzir de 1 dia a duração total foi necessário reduzir simultaneamente a duração de dois

caminhos críticos distintos. A redução da duração total de um projecto conduz, em regra, ao aumento do número

de caminhos críticos resultando assim um aumento progressivo dos custos de aceleração que a dado momento já

não podem ser compensados pela redução dos custos indirectos (momento em que se atinge o Mínimo do Custo

Total do Projecto).

1

B,5

2A,3

5

3 4D,4

E,9

0 0

5 5 9 9

3 3

18 18

C,15


duração mínima








☛ Actividade A (1-2) e a actividade B(1-3)



☛ Actividade A (1-2) e a actividade D(3-4)



☛ Actividade A (1-2) e a actividade E(4-5)

• O custo de aceleração das duas actividades é de 7.5 u.m.. Como este custo é inferior à

poupança de 8 u.m. no custo indirecto esta modalidade tem interesse.

Decisão

Acelerar as actividades “A” e “E” programando-as para 2 e 8 dias respectivamente. O custo total será

reduzido de 8 – 7.5 = 0.5 u.m.


• Custo Total do Projecto de 17 dias : 207.5 – 0.5 = 207 u.m.

(55 u.m. de custo directo-base; 16 u.m. de aceleração das actividade (1-2) , (2-5) e (4-5) ; 136 u.m. de Custo Indirecto)

A actividade (1-2) atingiu a sua duração mínima pelo que não é passível de mais aceleração.

Porque as actividades (1-2) e (2-5) são as únicas no caminho crítico 1-2-5 e ambas atingiram a duração

mínima, não é possível reduzir a duração do projecto. Conclui-se que o projecto de custo mínimo é o de 17

dias.

Importa notar que o processo iterativo permitiu não só calcular a duração total de custo mínimo como ainda

conhecer os custos associados a outras durações totais inferiores à Duração Total Máxima.

O conjunto desta informação possibilita, ao decisor, seleccionar o programa que melhores condições apresenta

em termos de custo total e carga crítica associada (percentagem de actividades críticas no conjunto do

programa).

b. Auto Teste (programa acelerado de custo mínimo)

1

B,5

2A,2

5

3 4D,4

E,8

0 0

5 5 9 9

3 3

17 17

C,15


duração mínimaduração mínima



Considere-se o projecto seguinte com custo indirecto de 9 u.m./dia e em que o custo directo das actividades

varia linearmente com a duração. Calcular o programa de custo mínimo.

Actividade Dur.Min Dur.Max Custo Dur. Min Custo Dur. Max1-2 4 6 14 8 1-4 10 13 21 6 2-3 1 4 29 11 2-4 4 8 10 6 3-4 0 0 3-5 3 7 26 10 4-5 3 5 9 5

16. Solução do auto teste

Programas óptimos para durações entre a Duração Máxima (19 dias) e a Duração de Custo Mínimo (15 dias):

Dur.Total 1 - 2 1 - 4 2 - 3 2 - 4 3 - 4 3 - 5 4 - 5 Ind ($) Acel ($) Tot. Acel ($) Total ($) Cg.Crítica19 6 13 4 8 0 7 5 171 0 0 171 50% 18 6 13 4 7 0 7 5 162 1 1 163 66% 17 6 13 4 7 0 7 4 153 2 3 156 100% 16 5 13 4 8 0 7 3 144 4 7 151 100% 15 4 12 4 8 0 7 3 135 8 15 150 100%

Nota: No total ($) não está incluído o valor constante do custo directo base.

Veja-se a desaceleração da actividade “2-4” quando da redução da duração total de 17 para 16 dias.

Há uma outra variante de minimização dos custos directos (método de Siemens) em que os pressupostos são os

seguintes:

• Para cada actividade conhecem-se as durações Máxima (dita normal) e Mínima

• Para cada actividade conhece-se a relação “duração − custo directo” no intervalo de tempos

admissíveis

• Para a optimização não é considerado o Custo Indirecto por unidade de tempo

e o objectivo é minimizar o Custo Directo Total para uma determinada duração total.

17. Ajustamento de recursos (nivelamento com durações fixas)

O termo “recursos” em planeamento deve ser entendido como os meios humanos e/ou materiais necessários ao

desenvolvimento do projecto.

Na prática, os recursos impõem não raras vezes a reprogramação do projecto.

Há hoje no mercado software que efectua o ajustamento de recursos quer na perspectiva do nivelamento de

cargas quer na regularização destas.

O método a seguir serve para efectuar “nivelamento com durações fixas”, ou seja, pretende-se que, em qualquer

unidade de tempo,:

• o uso de um ou mais recursos não exceda determinado limite superior

• a duração das actividades não seja alterada

• a duração total do projecto não seja alterada

(Nota: o nivelamento sem alteração da duração total pode ser impossível. Neste caso ou se aumenta o limite superior do(s)

recurso(s) ou se aceita o alongamento da duração total do projecto ou se recorre a um balanceamento destas duas

vias de solução).

Exemplo



Considere-se um extracto de 9 semanas da calendarização de um programa em execução e durante as quais o uso

do recurso “X” não deve exceder 10 unidades / dia.

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Observações

10- 20 4 4 x x 10- 30 6 6 Critica 10- 40 3 3 x x x x 10- 70 4 4 4 4

20- 50 Fictª 30- 50 6 6 Critica 40- 70 3 3 3 50- 60 2 2 Critica 60- 70 3 3 3 Critica Totais 17 17 13 13 5 2 3 3 3

Verifica-se que nas unidades de tempo 1, 2, 3 e 4 o recurso necessário excede a disponibilidade máxima.

Para programar com recursos limitados, mantendo a totalidade das durações a solução passa por atrasar o início

de algumas actividades que não são críticas no momento. De facto, ao atrasar o início de uma actividade, reduz-

se a sua margem total o que pode conduzir, em extremo, a que esta se anule e a actividade passe a ser crítica bem

como todos os caminhos a que a mesma pertence.

Afinal, a técnica de ajustamento é “adiar esperando recursos” pelo que a escolha das actividades a reprogramar

deve obedecer à seguinte ordem de prioridades:

1º Seleccionar actividades com margem livre

Act/Tempo 1 2 3 4 5 Act/Tempo 1 2 3 4 5 A (10- 20) 3 3 A (10- 20) 3 3 B (10- 30) 2 2 x B (10- 30) 2 2 x

Total 5 5 Total 3 3 2 2

Se o limite superior do recurso é de 3 unidades, atrasa-se o início da actividade “10-30” para a 3ª

unidade de tempo. Esta actividade passa a ser dependente da actividade “10-20” pois, de facto, se a

actividade “10-20” não terminar na 2ª unidade de tempo, a actividade “10-30” não poderá ter início

na 3ª unidade de tempo por falta de recurso.

A figura seguinte mostra os extracto de rede inicial e ajustada:

Veja-se que, para a actividade “B” ficar dependente da actividade “A”, foi necessário estabelecer

uma nova etapa inicial para “B” e considerá-la extremo final de uma actividade fictícia com início

na etapa final de “A”. Sendo TE25 = 2, no calendário, o tempo disponível para a execução da

10

20

30B,2

0 0

4 5

2 2

C,4

R

25

2 3

A,2

10

20

30B,2

0 0

4 5

2 2

C,4

A,2



actividade “B” começa na unidade de tempo 3 o que está de acordo com a reprogramação executada

no calendário.

Nota: a actividade fictícia utilizada foi identificada com a letra “R” (de recursos) para a distinguir

das actividades fictícias associadas à sequência lógica do programa inicial.

2º Seleccionar actividades com margem interferente

Act/Tempo 1 2 3 4 Act/Tempo 1 2 3 4 A (1- 5) 4 4 x x A (1- 5) 4 4 Crítica B (1- 10) 6 6 B (1- 10) 6 6

Total 10 10 Total 10 10

Se o limite superior do recurso é de 7 unidades, atrasa-se o início da actividade “1-5” para a 3ª

unidade de tempo. Esta actividade passa a ser dependente da actividade “1-10” pois, de facto, se a

actividade “1-10” não terminar na 2ª unidade de tempo, a actividade “1-5” não poderá ter início na

3ª unidade de tempo por falta de recurso. Neste caso a atraso foi feito recorrendo à margem

interferente e porque se usou toda a margem total a actividade “A” fica crítica.

A figura seguinte mostra os extracto de rede inicial e ajustada:

Veja-se que para a actividade “A” ficar dependente da actividade “B” foi necessário estabelecer

uma nova etapa inicial para “A” e considerá-la extremo final de uma actividade fictícia com início

na etapa final de “B”. Sendo TE12 = 2, no calendário, o tempo disponível para a execução da

actividade “B” começa na unidade de tempo 3 o que está de acordo com a reprogramação executada

no calendário.

Nota: Veja-se como é necessário numerar as etapas com um dado intervalo para ter números

disponíveis para atribuir às etapas fictícias introduzidas quando se ajustam os recursos (a

actividade “A” inicialmente numerada como “1-5” passará a ser “12-14”).

3º Atrasar o início da(s) actividade(s) o menor tempo possível

3º Reprogramar o menor número possível de actividades

4º Aumentar a carga crítica na menor extensão possível

1

10

14A,2

R

12

0 0

2 2

4 4

2 2

B,2

1

10

5A,2

0 02 4

2 2

B,2



Retomando o exemplo anterior o calendário, após ajustamento, é o seguinte:

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Observações

Nova(s) Dependência(s)

10-20(35)(50) 4 4 x 10- 30(35) 6 6 Critica 35- 40(45) 3 3 x ex “10-40” 10-20 e 10-30

45- 70 4 4 4 4 ex “10-70” 10-40 20- 50 30- 50 6 6 Critica 40- 70 3 3 3 50- 60 2 2 Critica 60- 70 3 3 3 Critica Totais 10 10 9 9 9 9 10 7 3

Nota: a actividade “40-70” começa na semana 5 porque a sua antecedente “10-40” termina na

semana 4. A reprogramação é portanto consequência lógica e não por falta de recursos.

As redes inicial e ajustada são as seguintes:

10

20

(2)

70

(2)

(3)

0 0

9 9

2 3

50

30(2)

2 2 (2)

60(2)

6 64 4

35

R

40 (3)

4 5

(4)45R 4 5

2 3

R

10

20

(2)

70

40 (3)(2)

(3)

0 0

2 6

9 9

2 4

50

30(2)

2 2 (2)

60(2)

(4)

6 64 4



Nos quadros seguintes explica-se o processo iterativo do ajustamento:

Quadro Inicial (só com as actividades não críticas)

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Observações 10- 20 4x 4x Só as actividades não críticas 10- 40 x x 3x 3x Disponibilidade recurso para act. não críticas 10- 70 4 4 4 4 Tempos disponíveis e MI assinaladas 40- 70 3 3 3 Actividades colocadas em TI

Disponível 4 4 4 4 8 8 7 7 7 Nota: os tempos disponíveis estão sombreados

Identificar a 1ª unidade de tempo com recurso disponível: semana 1

Escolher as actividades cujas antecedentes imediatas já estejam estudadas: “10-20”, “10-40” e “10-70” (a

actividade “40-70” não é escolhida porque a sua antecessora “10- 40” ainda não foi fixada).

Ordenar as actividades escolhidas por ordem decrescente do intervalo de tempo entre o seu TI e a 1ª unidade de

tempo com recurso disponível (em caso de empate, dar prioridade à maior margem livre).

Neste momento, a ordenação é a seguinte:

☛ “10-20” a 2 semanas (TI=3 é 2 semanas além da semana 1)



Escolhe-se a 1ª actividade da lista anterior (“10-20”) e, face à disponibilidade de recurso na semana 1, decide-se

CI=1 pois há recurso suficiente. O calendário fica:

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Observações 10- 20 4 4 Fixada 10- 40 x x 3x 3x 10- 70 4 4 4 4 40- 70 3 3 3

Disponível 0 0 4 4 8 8 7 7 7

Identifica-se novamente a 1ª unidade de tempo com recurso disponível: semana 3

Escolhem-se as actividades cujas antecedentes imediatas já foram fixadas : “10-40” e “10-70”

Ordenam-se estas actividades:

☛ “10-40” a 2 semanas

☛ “10-70” a 3 semanas

Escolhe-se a actividade “10-40” e, face à disponibilidade de recurso, programa-se para a semana 3 pois há

recurso suficiente. O calendário fica:

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Observações 10- 20 4 4 Fixada 10- 40 3 3 Fixada 10- 70 4 4 4 4 40- 70 3 3 3

Disponível 0 0 1 1 8 8 7 7 7

Identifica-se novamente a 1ª unidade de tempo com recurso disponível: semana 3

Escolhem-se as actividades cujas antecedentes imediatas já foram fixadas : “10-70” e “40-70”



Ordenam-se estas actividades:

☛ “10-70” a 3 semanas

☛ “40-70” a 4 semanas

Escolhe-se a actividade “10-70”. Analisando a disponibilidade de recurso, a partir da semana 3, só na semana 5

é que aparece recurso suficiente para programar o início da actividade.

O calendário fica:

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Observações 10- 20 4 4 Fixada 10- 40 3 3 Fixada 10- 70 4 4 4 4 Fixada 40- 70 3 3 3

Disponível 0 0 1 1 4 4 0 0 7

Resta apenas a actividade “40-70”. Analisando a disponibilidade de recurso, a partir da semana 3, só na semana

5 é que aparece recurso suficiente para programar o início da actividade.

O calendário fica:

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Observações 10- 20 4 4 Fixada 10- 40 3 3 Fixada 10- 70 4 4 4 4 Fixada 40- 70 3 3 3 Fixada

Disponível 0 0 1 1 1 1 0 3 7



18. Exercícios propostos

a. Uma entidade pretende organizar um seminário.

Com base em experiências anteriores, no momento está assente que:

O primeiro passo é contactar alunos para constituir um grupo de trabalho, tarefa que se estima necessitar de 3

semanas. Uma vez constituído o grupo referido será necessário estudar os temas a tratar, tarefa que se estima

durar 3 semanas.

Fixados os temas referidos, podem ter início simultâneo 3 actividades:

☛ Escolher e convidar o orador para a sessão de abertura do seminário (demorará cerca de 5 semanas).

☛ Seleccionar o local onde decorrerá o seminário (demorará cerca de 3 semanas).

☛ Escolher e convidar os moderadores para as diferentes secções (demorará cerca de 6 semanas).

Após dispor de orador e moderadores é possível contactar firmas para aluguer de equipamentos sonoro e de

projecção, actividade que carecerá de 1 semana.

Dispondo de orador, moderadores e local para o seminário pode ser desencadeada a tarefa de elaboração do

programa oficial. A dactilografia e desenho do programa requererão 6 semanas a que se segue de imediato as

suas impressão e distribuição pelo correio o que carecerá de 2 semanas.

O seminário terá início 5 semanas após a conclusão de todas as tarefas anteriormente referidas.

A publicidade exige o mínimo de 12 semanas entre o momento em que ficar definido o local onde decorrerá

o seminário e o dia de início do mesmo, por forma a possibilitar-lhe a divulgação necessária.

Com que antecedência relativamente à data de início do seminário, deve ser iniciado o contacto com alunos

visando a formação do grupo de trabalho ? Indique as tarefas que determinaram a sua resposta e o porquê da

sua escolha.

Das actividades envolvidas no projecto, qual é a que pode sofrer maior atraso na execução sem contudo ser

afectado o início das actividades subsequentes ? Justifique a resposta.

Há 2 anos foram necessárias 8 semanas para arranjar o orador principal.

Se pretender evitar este ano qualquer atraso, caso suceda o atraso referido, em quantas semanas alteraria a

sua resposta inicial ?

b. Uma empresa pretende apresentar uma proposta para executar um projecto.

Para este projecto a empresa estabeleceu uma rede CPM cujos dados relevantes são os seguintes:

DURAÇÃO (dias) CUSTO DIRECTO (u.m.) Act Máxima Mínima Duração Máxima Duração Mínima 1-10 8 6 13 25 1-15 3 3 5 5 1-20 5 4 15 25

10-25 7 6 30 35 15-20 5 4 11 13 20-30 2 2 7 7 25-35 5 4 20 23 25-40 12 9 52 55 30-35 8 7 35 36 30-40 9 6 17 23 35-40 7 5 19 23

Os custos indirectos do projecto são fixados percentualmente sendo de 25 u.m./dia neste projecto ; no que

respeita a custos directos a empresa adopta uma relação linear custo/tempo.



Nestas condições, a duração total máxima do projecto é de 27 dias, com um custo total de 899 u.m. (custos

indirectos = (27 dias) (25 u.m./dia) = 675 u.m.; custos directos = 13+5+15+ … +19=224 u.m.) e uma carga

crítica de 45%.

Apesar de o caderno de encargos do concurso permitir o tempo máximo de execução de 26 dias, a empresa

pretende apresentar-se a concurso com uma proposta de execução de 22 dias e carga crítica máxima de 85%.

Será possível ? Analise o problema e em caso afirmativo apresente a rede do projecto e custos associados.

c. Considere os seguintes dados de um projecto em que a variação custo/tempo é linear:

Duração (dias) Custo Directo (u.m.) Act PRECEDÊNCIA Máxima Mínima Duração Máxima Duração Mínima A - 5 4 100 130 B A 2 2 50 50 C A 6 4 90 130 D B 12 8 240 280 E D 10 7 150 210 F D 9 6 180 225 G D 5 3 100 140 H B 9 7 180 215 I C, E 1 1 5 5 J G 2 2 40 40 K F, I, J 3 2 30 42.5 L K 9 8 150 172.5 M G, H 7 5 120 165 N M 8 4 200 210 Totais 1635 2015

A duração total deste projecto é de 42 dias com custo total igual a 2853 u.m. (custos directos =1635 u.m. ;

custos indirectos =42 dias a 29 u.m./dia =1218 u.m. ) ; carga crítica = 50%.

Admita que a empresa pretende concorrer a uma empreitada cujo caderno de encargos exige a conclusão do

projecto em 34 dias. Calcule o custo mínimo que a empresa deve apresentar a concurso.

d. Considere um projecto constituído por 8 actividades com as seguintes relações de precedência:

Actividades Precedência A - B - C A

D,E A,B F,G C,D H E,F

d1. Desenhe a rede AOA do projecto.



d2. Considere a seguinte tabela das durações possíveis (dias) para cada actividade e do respectivo custo de

aceleração “α” expresso em u.m./dia.

Actividades Duração mínima Duração máxima α A 3 5 3 B 4 6 7 C 3 4 5 D 2 5 6 E 1 3 8 F 1 1 - G 2 4 4 H 1 2 2

Sendo o custo diário de execução do projecto é igual a 11 u.m, calcule o programa com menor custo total.

e. Considere o projecto seguinte:

Etapa Inicial Etapa Final Duração Recurso/u.t.5 10 3 4 5 15 1 6 5 25 9 3

10 15 0 0 10 20 6 1 10 30 2 1 15 25 3 2 20 25 0 0 20 30 0 0 20 35 1 3 25 35 2 3 25 40 6 3 30 35 3 4 35 40 1 4

Minimize a dimensão do recurso “X”, necessário ao longo de todo o projecto.

f. Considere o projecto seguinte:

Etapa Inicial Etapa Final Duração Recurso/u.t.3 7 4 4 3 9 3 1 3 13 8 5 3 11 1 4 7 9 9 13 5 3 9 15 5 2

13 15 3 2 13 17 7 8 11 13 15 21 4 3 17 21 4 7 11 17 4 2

Verifique se é possível executar o projecto em 20 unidades de tempo se dispuser no máximo de 10 unidades

de um recurso necessário ao longo de todo o projecto.



19. Solução dos Exercícios propostos

a. Identificação das tarefas e suas precedências:

Tarefa Duração (semanas)

Designação Precedência

Grupo de trabalho 3 A - Temas 3 B A Orador 5 C B Moderador 6 D B Local 3 E B Programa 6 F C, D, E Sonoro e projecção 1 G C, D Distribuição 2 H F Publicidade 12 I E Pausa 5 J G, H

A rede do projecto, após calculada, mostra ser necessário iniciar o contacto com os alunos com 25 semanas

de antecedência (duração total do caminho crítico):

Para saber qual das actividades pode sofrer maior atraso sem comprometer o CI das actividades subsequentes

é necessário conhecer a Margem Livre das actividades não críticas. Sabendo que esta margem se calcula em

rede com a expressão MLij = TEj – Tei – tij conclui-se que “G= publicidade” é a actividade procurada:

Actividade ML (semanas) C 11-6-5 = 0 E 9-6-3 = 0 G 20-12-1 = 7 I 25-9-12 = 4

A actividade “C” está planeada para 5 semanas e tem Margem Total = 1 semana. Se for programada para

mais duas semanas (5+2=7 semanas no total), ficará crítica e a duração total do projecto passará a ser de

25+2 = 27 semanas.

20

40

J,5

70

G,1

F,6

B,3 6030 90D,6A,310

50

100

80E,3

C,5

H,2

I,12

0 0 3 3 6 6 12 12

12 129 12 18 18

25 2520 20

11 12



b. Sumário do Processo Iterativo da Aceleração

Dur. Total

1 -10 1-15 1 - 20

10 - 25 15 -20 20 -30 25 -35 25 -40 30 -35 30 -40 35 -40 Ind ($)

Acel ($)

Tot. Acel ($)

Total ($)

Cg. Crítica

27 8 3 5 7 5 2 5 12 8 9 7 675 0 0 675 45%

26 8 3 5 7 5 2 5 11 8 9 6 650 3 3 653 45%

25 8 3 5 7 5 2 5 10 8 9 5 625 3 6 631 45%

24 8 3 5 7 5 2 4 9 8 9 5 600 4 10 610 45%

23 8 3 5 6 5 2 4 9 8 9 5 575 5 15 590 81%

22 7 3 5 6 5 2 4 9 7 9 5 550 7 22 572 81%

Crítica Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim

É possível executar em 22 dias com custo total de 572 + 224 = 796 u.m. e carga crítica de 81%.

c. Sumário do Processo Iterativo da Aceleração

A B C D E F G H I J K M L N

Duração 10 - 20 20 - 30 20 - 50 30 - 40 40-50 40 - 70 40 - 60 30-80 50 - 70 60 - 70 60 - 80 70 - 90 80 - 100 90 - 110 100 - 11042 5 2 6 12 9 10 5 9 1 2 0 3 7 9 8 41 5 2 6 11 9 10 5 9 1 2 0 3 7 9 8 40 5 2 6 10 9 10 5 9 1 2 0 3 7 9 8 39 5 2 6 9 9 10 5 9 1 2 0 3 7 9 8 38 5 2 6 8 9 10 5 9 1 2 0 3 7 9 8 37 5 2 6 8 9 10 5 9 1 2 0 2 7 9 8 36 5 2 6 8 9 9 5 9 1 2 0 2 7 9 8 35 5 2 6 8 9 8 5 9 1 2 0 2 7 9 8 34 5 2 6 8 9 8 5 9 1 2 0 2 7 8 7

Crítica x x x x x x x x x x x x

Duração Ind ($) Acel ($) Tot. Acel ($) Total ($) Cg.Crítica42 1218 0 0 1218 50% 41 1189 10 10 1199 50% 40 1160 10 20 1180 50% 39 1131 10 30 1161 50% 38 1102 10 40 1142 50% 37 1073 12.5 52.5 1125.5 50% 36 1044 20 72.5 1116.5 50% 35 1015 20 92.5 1107.5 78% 34 986 25 117.5 1103.5 78%

Custo mínimo para a duração total de 34 dias : 1103.5 + 1635 = 2738.5 u.m.; carga crítica = 78%.

d. Rede do projecto (duração máxima)

5 C,4

E,3

1

15

10

25

20

0 0

6 6 12 13

11 115 6

B,6

A,5

D,5

G,4

15 15

H,2

F,1



Sumário do Processo Iterativo da Aceleração

Dur.Total 1 - 5 1 - 10 5 - 10 5 - 15 10 - 15 10 - 20 15 - 20 15 - 25 20 - 25 Ind ($) Acel ($) Tot. Acel ($)

Total ($) Cg.Crítica

15 5 6 0 4 5 3 1 4 2 165 0 0 165 37%

14 5 6 0 4 5 3 1 3 2 154 4 4 158 62%

13 5 6 0 4 4 3 1 3 2 143 6 10 153 62%

12 5 6 0 4 3 3 1 3 2 132 6 16 148 87%

11 5 6 0 4 3 3 1 2 1 121 6 22 143 87%

10 4 6 0 4 2 3 1 2 1 110 9 31 141 100%

9 3 5 0 4 2 3 1 2 1 99 10 41 140 100%

O programa de custo mínimo (140 + custo base ) tem a duração de 9 dias.

e. Dimensão mínima = 10 unidades (ver calendários seguintes):

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Obs. 5- 10 4 4 4 Critica 5- 15 6 x x x 5- 25 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Critica

10- 15 Fictª 10- 20 1 1 1 1 1 1 Critica 10- 30 1 1 x x 15- 25 2 2 2

20- 25 Fictª Critica 20- 30 Fictª

20- 35 3 x x 25- 35 3 3 x x 25- 40 3 3 3 3 3 3 Critica 30- 35 4 4 4 x x 35- 40 4 Totais 13 7 7 7 7 6 4 4 4 13 10 7 7 3 3

Ajustamento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Nova dep.ª

5- 10 4 4 4 Crítica 5- 15 6 x x 5-10 5- 25 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Crítica

10- 15 Fictª 10- 20 1 1 1 1 1 1 Crítica 10- 30 1 1 x x x x x 5-10 15- 25 2 2 2

20- 25 Fictª Crítica 20- 30 Fictª

20- 35 3 25- 35 3 3 x 25- 40 3 3 3 3 3 3 Crítica 30- 35 4 4 4 x 20-35 35- 40 4 Totais 7 7 7 10 7 7 6 4 4 9 10 7 7 7 3



As redes inicial e ajustada são as seguintes:

f. É possível como mostram os calendários seguintes:

Act/Tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Obs. 3- 7 4 4 4 4 Critica 3- 9 1 1 1

3- 11 4 x x x x x x x x 3- 13 5 5 5 5 5 5 5 5

7- 9 Fictª Critica 9- 13 3 3 3 3 3 Critica 9- 15 2 2 2 2 2 x x x x

11- 13 Fictª

11- 17 2 2 2 2 13- 15 2 2 2 x x x x 13- 17 8 8 8 8 8 8 8 Critica 15- 21 3 3 3 3 17- 21 7 7 7 7 CriticaTotais 14 12 12 11 12 10 10 10 5 10 10 10 11 11 11 11 7 7 7 7

15(1)

(6)

5

3510 2015 15

12 14

(3) (1) 40(1)

25(3)

30(2)

(3)

(2)(6)

(9)

0 0

3 3

3 69 9

9 9

9 11

15(1)

(6)

5

3510 2015 15

13 14

(3) (1) 40(1)

25(3)

30

(3)

(2)(6)

(9)

0 0

3 3

4 6 9 9

9 9

10 11

12

R

3 5

18 (2)

R

4 9

23

R

10 11



Ajustamento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3- 7 4 4 4 4 Crítica 3- 9 1 1 1

3- 11 4 Crítica 3- 13 5 5 5 5 5 5 5 5 Crítica

7- 9 Fictª Crítica 9- 13 3 3 3 3 3 Crítica 9- 15 2 2 2 2 2 Crítica

11-13 Fictª Crítica 11- 17 2 2 2 2 Crítica 13- 15 2 2 2 Crítica 13- 17 8 8 8 8 8 8 8 Crítica 15- 21 3 3 3 3 Crítica 17- 21 7 7 7 7 CríticaTotais 10 10 10 9 10 10 10 10 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Nota: os tempos disponíveis para a execução das actividades estão sombreados.

1. introdução - fep - faculdade de economia da

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